空间向量的坐标运算

故n=(1,-1,-1)
0 1 0 cos n, B1C1 3 3 1 3 n B1C1
3 故所求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为 3
n B1C1
如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC， ∠AOC=90°，SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2. 求:⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值； ⑵OS与平面SAB所成角α的正弦值；
例2 Rt ABC中，BCA 90 , 现将 ABC沿着
0
平面ABC的法向量平移到A1B1C1位置，已知
求BD1与AF1所成的角的余弦值.
F1
取 BC CA CC1， A1B1、AC1的中点D1、F1， 1
C1
C
B1
D1
A1
A
B
解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 C xyz 如图所示，设 CC1 1 则： z
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则

六、夹角：
例2:(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值; 解： (1)以点A为坐标原点建立空间 z 直角坐标系,如图所示，则： A(0,0,0) B1(1,0,1) C(1,1,0) C1(1,1,1) A1 D1
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
n (4, 3, 6)
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z ) 则 n AB ， AC .∵ AB (3,4,0) , AC (3,0, 2) n 3 ( x, y, z ) ( 3,4,0) 0 3 x 4 y 0 y 4 x ∴ 即 ∴ ( x, y, z ) ( 3,0, 2) 0 3 x 2z 0 z 3 x 2 取 x 4 ,则 n (4, 3,6) ∴ n (4, 3,6) 是平面 ABC 的一个法向量.
1 2 2 求平面ABC的单位法向量为 ( ， ，） 3 3 3
ab 两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos ； 2 a b au 直线 l 与平面 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ),sin ； 2 a u
A.[0,5] C.(1,5) 解析：∵
|的取值范围是
(
)
B.[1,5] D.[1,25] ＝(3cosα－2cosθ，3sinα－2sinθ，0)，
∵－1≤cos(θ－α)≤1，∴| 答案：B
|∈[1,5].
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在 直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平 面 ,记作 n ⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量 n 叫做平面 的法向量. 给定一点A和一个向量 n,那么 l 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为 ( x, y, z) n
(2)找出（求出）平面内的 两个不共线的 向量的坐标a (a1, b1, c1 ),b (a2 , b2 , c2 )
(3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的 n a 0 方程组 n b 0
OS n
例1： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB 6, AD 8, AA1 6, M 为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N 在线段A1D上， A1 N 5, 求AD与平面ANM 所成的角的正弦值. 解：如图建立坐标系A-xyz,则
z
A1 1 B1 M 1
SA OB
A
x
10 所以异面直线SA与OB所成的角的余弦值为 5
（2）设平面SAB的法向量 n
( x, y, z)
显然有 n AB 0, n SA 0
x y 0 取x=1，则y=1，z=2； 故 n 2x z 0
(1,1,2)
2 6 sin cos OS , n 3 OS n 1 6
1．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
2．空间两点间的距离公式
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
AB＝ (x2－x1，y2－y1，z2－z1) ，
|AB|＝
3.若A、B两点的坐标分别是A(2cosθ，2sinθ，1)，
B(3cosα，3sinα，1)，则|
面面垂直
⊥ u ⊥ v u v 0.
例2 已知平面 经过三点A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、 C(3,-2,0),试求平面 的一个法向量.
解:∵ A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0) ∴
AB (1, 2, 4), AC (2, 4, 3)
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为 ( x, y, z) n
(2)找出（求出）平面内的 两个不共线的 向量的坐标a (a1, b1, c1 ),b (a2 , b2 , c2 )
(3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的 n a 0 方程组 n b 0
30 所以 BD1与 AF1 所成角的余弦值为 10
1 1 BD1 ( , ,1) 2 2
A x
By
5.正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成 角的余弦值为 .
解析：如图，建立直角坐 标系，设正方体棱长为1，
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B
4 得n (1,1, ) 又 AD (0,8,0), 3
| 0 1 8 0 | 3 34 , 34 4 2 2 2 8 1 1 ( ) 3
z
A1 1 B1 M 1
NN
D1 1
| AD n | | sin | | AD || n |
设平面 的法向量是 n ( x, y, z )
x 2 y 4z 0 2 x 4 y 3z 0
依题意,有 n AB 0且n AC 0 ,即
∴平面 的一个法向量是 n (2,1,0)
解得z=0且x=2y,令y=1,则x=2
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
例2：已知AB (2, 2,1), AC (4,5,3), 求平面ABC的 单位法向量。
解：设平面的法向量为n x，y，z）， （
则n AB， AC n x，y，z） 2,1) 0，（x，y，z） （ (2, (4,5,3) 0, 1 2 x 2 y z 0 x 即 , 取z 1，得 2 4 x 5 y 3 z 0 y 1 3 1 n ( , 1,1), | n | 2 2
中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边
形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4， CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB 与平面ABCD成30°的角. (1)求证：CM∥平面PAD；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.
[思路点拨]
[课堂笔记] 以C为坐标原点，CB为x 轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示 的空间直角坐标系C－xyz. ∵PC⊥平面ABCD， ∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30°.
(1,1,0)，C1(0,1,1)， ∴ ＝(1,0,1)， ＝(1,1,0)， ＝(－1,0,1). 设n＝(x，y，z)为平面A1BD的法向量
则
∴
取n＝(1，－1，－1)，
设直线BC1与平面A1BD所成角为θ，
则sinθ＝|cos〈n，
∴cosθ＝ 答案： .
〉|＝
＝
＝
.
【巩固练习】
1 三棱锥P-ABC PA⊥ABC,PA=AB=AC,
C1 1
D D
A
y
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B B
C C
3 34 AD与平面ANM 所成角的正弦值是 34
题型二：线面角 例二： 在长方体 ABCD A B1C1D1 中， = 5，AD 8, AB 1
AA1 4, M为BC1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM . （2）求AD与平面ANM 所成的角.
C C
即
6x 2 y 6z 0 4 y 3z 0
| sin |
| AD n | | AD | | n |
例1： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB 6, AD 8, AA1 6, M 为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N 在线段A1D上， A1 N 5, 求AD与平面ANM 所成的角的正弦值.
解：以o为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示 z A（2，0，0）； B（1，1，0）； 则O（0，0，0）； S
C（0，1，0）； S（0，0，1），
于是我们有 SA =（2，0，-1）；OB =（1，1，0）；
O C B
y
OS =（0，0，1）； AB =（-1，1，0）；
2 10 (1).cos SA, OB 5 5 2 SA OB
z
A1
N
D1
AD (0,8,0), A1D (0,8, 4),
A(0,0,0), A1 (0,0, 4), D(0,8,0),
B1 M A
B
C1
D
y
2 5 AD与平面ANM 所成角的正弦值是 5
2 5 cos AD, A1D 5
x
C
BAC 90 ,E为PC中点 ,则PA与BE所成角
0
6 的余弦值为_________ 6
. 0 2 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, BAC 90 AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成
3 10 角的余弦值为_________ 10
.
如图所示，在四棱锥P－ABCD
n
完全确定的.
几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向 量m 是与平面平行或在平面 内，则有 n m 0

A
垂直关系： 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则 线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
B1C1 (0,1,0), AB (1,0,1), AC (1,1,0) 1
设平面AB1C的法向量为n=(x ,y ,z ),
1 1 1
B1
C1
A
B
D y C
则n AB1 0, n AC 0
所以
X1+z1=0 X1+y1=0
x 取x =1,得y =z =-1
1 1 1
A(1,0,0), B(0,1,0),
1 1 1 F1 ( , 0, a), D1 ( , ,1) 2 2 2 1 所以： AF1 ( , 0,1), 2
F1
C1
C
B1
D1
A1
1 1 AF1 BD1 30 4 cos AF1 , BD1 . 10 5 3 | AF1 || BD1 | 4 2
NC
D1 1
AM (6,2,6), AN (0,4,3). 设平面的法向量n ( x, y, z),由
AM n 0 AN n 0
A(0,0,0), M (6,2,6) 由A1 N 5, 可得 N (0,4,3)
C1 1
D D
A
y
x
B B