空间向量的坐标运算
空间向量的坐标运算
a b a1b1 a2b2 a3b3 a // b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3 0.
若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则
无罪，该负责任的是那些劝说我的人。世上有很多很好的鞋，但要看适不适合你的脚。在这里，所有的经验之谈都无济于事，你只需在半夜时分，倾听你脚的感觉。 看到好位赤着脚参加世界田径大赛的南非女子的风采，我报以会心一笑：没有鞋也一样能破世界纪录！脚会长，鞋却
不变，于是鞋与脚，就成为一对永恒的矛盾。鞋与脚的力量，究竟谁的更大些？我想是脚。只见有磨穿了的鞋，没有磨薄了的脚。鞋要束缚脚的时候，脚趾就把鞋面挑开一个洞，到外面去凉快。 脚终有不长的时候，那就是我们开始成熟的年龄。认真地选择一种适合自己的鞋吧！一
这是从远古传下来的手艺，博物馆描述猿人生活的图画，都绘着腰间绑着兽皮的女人，低垂着乳房，拨弄篝火，准备食物。可见烹饪对于女人，先于时装和一切其他行业。汤不一定鲜美，却要热；饼不一定酥软，却要圆。无论从爱自己还是爱他人的角度想，“食”都是一件大事。一个不
爱做饭的女人，像风干的葡萄干，可能更甜，却失了珠圆玉润的本相。 ? 我喜欢爱读书的女人。书不是胭脂，却会使女人心颜常驻。书不是棍棒，却会使女人铿锵有力。书不是羽毛，却会使女人飞翔。书不是万能的，却会使女人千变万化。不读书的女人，无论她怎样冰雪聪明，只有一
只脚是男人，一只脚是女人，鞋把他们联结为相似而又绝不相同的一双。从此，世人在人生的旅途上，看到的就不再是脚印，而是鞋印了。 削足适履是一种愚人的残酷，郑人买履是一种智者的迂腐；步履维艰时，鞋与脚要精诚团结；平步青云时切不要将鞋儿抛弃…… 当然，脚
空间向量的坐标运算
(x2 x1 ) (y2 y1 ) (z2 z1 ) ;
例3 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求
线段 AB的中点坐标和长度.
z 解：设M(x,y,z)是AB的中点，则 B(1,0,5)
OM=
M
1 2
(OA+OB)
AM=MB
o y
x
d A, B 1 3 0 3 5 1 29
2 2 2
A(3,3,1)
例4 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求 到A，B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐
标x,y,z满足的条件. 解：设点P到A，B的距离相等，则
2 2 2 2 2
( x 3) y 3 z 1 x 1 y 0 z 5
例2 已知向量a=(-2,2,0),b=(-2,0,2), 求向 量n使n⊥a,且n⊥b. 解:设n=(x, y, z,)则 n•a=(x, y, z,)•(-2,2,0)=-2x+2y=0 n•b=(x, y, z,)•(-2,0,2)=-2x+2z=0 所以y=x, z=x
于是n= (x, x, x)=x(1,1,1),
C 1 A1 N C A B
B1
M
课后作业
课本：P94 练习
P97 练习
z
D1
A1
F1 E1
B1
C1
D(0，0，0）
1 F1（O， 4
，1）
O D
A
C
y
x
B （1，，1） E1 3
4
思考题：直三棱柱ABC A1B1C1 , 底面ABC中， CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M , N 分别为A1B1 ,AA1的中点. (1)求BN的长； (2)求 cos BA1 , CB1 的值； (3)求证：A1 B C1M .
空间向量运算的坐标表示
F1
0
,
1 4
，1 .
B
BE1
1 ,
3 4
, 1
(1 , 1 ,
0)
0
,
1 4
, 1
,
例2 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
DF1
所成的角的余弦值。
z
D1
F1
C1
DF1
0
,
1 4
，1 (0
,
0
,
0)
0
,
1 4
，1 .
A1
E1 B1
一、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2, a3),b (b1,b2,b3)则 a b (a1b1,a2 b2,a3 b3) ; a b (a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 );
a (a1,a2,a3),( R);
a b a1b1 a2b2 a3b3
;
a // b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3( R) ; a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
注意：
a1b1 a2b2 a3b3
;
a12 a22 a32 b12 b22 b32
（1）当 cos a , b 1 时，a 与 b 同向； （2）当 cos a , b 1 时，a 与 b 反向；
（3）当cos a , b 0 时，a b 。
思考：当 0 cos a , b 1及 1 cos a , b 0时，
2)求点A到直线EF的距离。 D1
(用向量方法）
F A1
C1 B1
E
D A
C B
空间向量的坐标与运算
空间向量的坐标与运算空间向量是向量的一种特殊形式，用于表示空间中的位置和方向。
在三维空间中，我们可以用三个坐标轴来表示空间向量的三个分量，分别是x、y和z轴的坐标。
通过对空间向量的坐标进行运算，我们可以进行各种有趣的空间几何计算。
首先，我们来看一下空间向量的表示。
一个三维向量可以表示为(Vx, Vy, Vz)，其中Vx、Vy和Vz分别是向量在x、y和z轴上的坐标。
如果我们在空间中有两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，我们可以通过这两点的坐标求出空间向量AB的坐标。
坐标运算是对空间向量的坐标进行运算。
常用的坐标运算有加法、减法、数量乘法和点乘。
首先，让我们来看一下向量的加法和减法。
如果有两个向量A(x1,y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们的坐标和分别是(x1+x2, y1+y2, z1+z2)。
也就是说，向量的坐标相加就是分别将对应坐标相加。
同样，向量的减法也是使用相同的方式。
接下来，我们来看一下向量的数量乘法。
向量的数量乘法是将向量的坐标分别乘以一个标量。
如果有一个向量A(x, y, z)和一个标量k，那么A乘以k的结果就是(kx, ky, kz)。
最后，我们来看一下向量的点乘。
向量的点乘也叫数量积，结果是一个标量。
如果有两个向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们的点乘结果等于x1*x2 + y1*y2 + z1*z2。
点乘的结果可以用来判断两个向量之间的夹角、平行性等。
除了以上的基本运算外，我们还可以进行其他更复杂的运算，如叉乘、模长计算等。
叉乘是两个向量的乘积，结果是一个新的向量。
叉乘的结果正交于原来的两个向量，并且模长与原向量之积等于原向量之间的夹角的正弦值。
空间向量的坐标和运算在几何学、物理学等许多学科中都有广泛的应用。
通过对坐标的运算，我们可以计算两点之间的距离、判断两个向量之间的关系等。
在计算机图形学、计算机游戏等领域，也经常使用空间向量的坐标和运算来表示和处理三维图形。
空间向量的直角坐标及其运算
∴ AP AB ， AP AD，又 AB AD A ， AP 平面 ABCD，
∴ AP 是平面 ABCD的法向量； 解：（2） AB 22 12 42 21 ， AD 42 22 02 2 5 ，
∴ SABC
1 2
AB
AC
sin
A
101 。 2
7、在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E, F 分别是 DD1、DB 中点，G 在棱CD 上，
CG
1 4
CD
，
H
是
C1G
的中点；
（1）求证： EF B1C ；（2）求 EF 与C1G 所成的角的余弦；（3）求 FH 的长。
解：如图以 D 为原点建立直角坐标系 D xyz ，
（3）证明线面平行：若直线的方向向量与平面的一个法向量垂直，则这直线与该平面平行；
（4）证明面面平行：若两个不重合平面的法向量平行，则这两个平面就互相平行。 11、用向量求异面直线所成角：
找出两条异面直线各自的一个方向向量，计算这两个向量的夹角 ，则 （或 的补角）
即为两条异面直线所成的角。
设 a、b 是异面直线， d1 是直线 a 的一个方向向量， d2 是直线b 的一个方向向量，异面
一、基本概念：
1、空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 i, j,k
表示；
（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底 i, j,k ，以点O 为原点，分别以 i, j,k 的方向
为正方向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴；我们称建立了一个空间 直角坐标系 O xyz ，点O 叫原点，向量 i, j, k 都叫单位向量；通过每两个坐标轴的平
空间向量的3种坐标运算洋葱数学
空间向量的3种坐标运算洋葱数学【实用版】目录1.空间向量的概念及表示方法2.空间向量的坐标运算2.1 向量加法2.2 向量减法2.3 向量数量积3.空间向量的应用3.1 几何问题3.2 物理问题正文空间向量是具有大小和方向的量，可以用来表示空间中的点或者箭头。
在数学和物理学中，空间向量是一种重要的概念和工具，它可以用来解决许多实际问题。
空间向量的概念及表示方法空间向量通常用有序的三元组 (x, y, z) 来表示，其中 x, y, z 分别表示向量在 x, y, z 三个方向上的分量。
这个有序的三元组也可以用一个有序的列表或者一个箭头来表示。
例如，向量 (2, 3, 4) 表示一个向量，其分量分别为 2, 3, 4。
空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算包括向量加法、向量减法和向量数量积。
2.1 向量加法向量加法是指将两个向量相加，得到一个新的向量。
向量加法的运算规则是：对于两个向量 A 和 B，它们的和是一个向量 C，其中 C 的分量为 A 和 B 对应分量之和。
例如，设向量 A = (2, 3, 4)，向量 B = (1, 2, 3)，则向量 A 和 B 的和为：C = (2 + 1, 3 + 2, 4 + 3) = (3, 5, 7)2.2 向量减法向量减法是指将两个向量相减，得到一个新的向量。
向量减法的运算规则是：对于两个向量 A 和 B，它们的差是一个向量 C，其中 C 的分量为 A 和 B 对应分量之差。
例如，设向量 A = (2, 3, 4)，向量 B = (1, 2, 3)，则向量 A 和 B 的差为：C = (2 - 1, 3 - 2, 4 - 3) = (1, 1, 1)2.3 向量数量积向量数量积是指两个向量的长度之积与它们之间的夹角的余弦值的乘积。
向量数量积的运算规则是：对于两个向量 A 和 B，它们的数量积是一个标量，可以用以下公式计算：A ·B = |A| * |B| * cos(θ)其中，|A| 和 |B| 分别表示向量 A 和 B 的长度，θ表示向量 A 和 B 之间的夹角。
空间向量的坐标运算1
空间直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作.
a =( a 1 , a2, a3)
z
a
k i Oj
A(a1,a2,
a3) y
x
；菲律宾签证 https:/// 菲律宾签证
;
；
马上就明白了。哈里被人领养了，而汤姆没有，他还依旧被留在孤儿院。 如何答复汤姆呢？摩罗·邦尼博士知道，最直截了当的办法，就是找一家愿意领养孩子的人，然后秘密地办理领养手续，待一切办好之后，给汤姆回信，说：汤姆，我的孩子！我真有点疏忽大意了，像您这样好的孩 子，是不应该没有爸爸妈妈的。明天我一定给您送去。 对于一个孤儿，上帝真的会这样答复吗？摩罗·邦尼博士心里非常矛盾。他想，对于一个从小失去依靠的人，要想让他知道上帝是公平的，绝不能用这种办法。经过深思熟虑，他给汤姆回了这么一封信。 亲爱的汤姆： 我不 期望您现在就读懂这封信，不过我还是想现在就告诉您，上帝永远是公平的。假若您认为我没有送给您爸爸妈妈，就是我的不公，这实在让我感到遗憾。我想告诉你：我的公平在于免费地向人类供应了三样东西：生命、信念和目标。 您知道吗？你们每一个人的生命都是免费得到的。到目 前为止，我没让任何一个人在生前为他的生命支付过一分钱。信念和目标与生命一样，也是我免费提供给你们的，不论你生活在人间的哪一个角落，不论你是王子还是贫儿，只要想拥有它们，我都随时让您们据为己有。 孩子，让生命、信念和目标成为免费的东西，这就是我在人间的公平 所在，也是我作为上帝的最大智慧。但愿有一天，您能理解。 您的上帝 这封信后来被刊登在《基督教科学箴言报》上，成为上帝最著名的公平独白，同时也使很多人第一次真正地认识了上帝 务实的李敖 ?你会说我的思想有一点老古板，我对你们清华大学早期的校友名字叫胡适的态 度，你们知道我是老牌的态度，在很早的时候胡适送给我1000块，我在大学捐了150万台币，相当于35万人民币，我是来还这个情，告诉大家，人间有情有义，可是人间也会疏财仗义，我的解释是钱拿出来才是事，光同情你是不可以的。 在帮助慰安妇的时候我把胡适送给我的字都义卖了。 因为二次世界大战，在中国，在朝鲜，在高丽，在台湾，在菲律宾，街上走的女孩子17、18岁抓着就跑，放在军营里面，给他们做性奴隶，不但集体乱奸，怀孕了把她绑在门板上动妇科手术，没有麻醉药，日本人是这样子对待我们的。后来日本人为了应付联合国，就说我们和解这件事情，就 是全世界对慰安妇每个人送50万新台币，相当于10几万人民币，台湾当时还剩下54个老太太，很可怜，有的眼睛看不到，有的路走不动，一身都是性病，没有人理她们。慰安妇的团体和他们说，这个钱不能要，日本人说原谅他们，这50万现金对她们太重要了，可是她们说不可以拿这个钱，为 了国家的尊严和个人的荣誉不可以拿这个钱。不拿可是心里觉得很难过，因为她们现在需要这个钱，我李敖实在看不过去，我站出来，我拿出100件收藏品，举行义卖，我们卖了100万美金，每个人发50万，条件就是你不能要日本鬼子的50万，你要我的50万，还定了一个规定，如果你拿了日本 的50万，这个50万要还我，最后日本人真这样了，但是我说不行，不能要日本人的钱。所以日本人是行不通的，至少在台湾保留了我们中国人的尊严。 我和大家讲，大家注意，我这个招不谈高调的，就是你道德劝说慰安妇不拿这个钱，不尽人情，老太太们实在要这个钱，她内心发生了天 人交战，什么办法，就是我的方法，这才是务实。你们只看到我张牙舞爪，骂张三和李四，你们没有看到我务实这一面，这是很重要的。今天的意思就是大家要务实，面对今天的中国问题和中国的前途，就是说中国才是我们真正努力的方向，真正努力的目标，真正献身的目标。 摘自《李 敖2005年9月23日清华大学演讲文字实录》 爱的遗赠 ?艾尔非常年轻的时候，就已经是一个娴熟的艺术家和制陶工人了。他有一个妻子和两个优秀的儿子。 一天晚上，他的长子感到胃部疼得厉害，但是艾尔和妻子都认为这只是普通的肠道疾病，而没有多加注意。可是男孩得的却是急性阑尾炎， 他在那天晚上意外地死去了。如果不是由于他的粗枝大叶，如果他能稍微意识到儿子病情的严重性，儿子的死本来是完全可以避免的。——在这样巨大的犯罪感的压制下，艾尔的情绪急剧地变坏了。 不久之后，他的妻子也离开了他，留下他和6岁的小儿子相依为命，这使本来就已经很糟 的局面更加恶化。艾尔受不了这两件事给他带来了打击和痛苦，就妄图从酒精中寻求帮助和解脱，没过多久，他就变成了一个酒鬼。 随着对酒精的迷恋越来越深，艾尔所拥有的一切开始一点一点地失去了--他的家，他的土地，他的艺术作品，他的一切。最后，艾尔在旧金山的一家汽车旅 馆里孤独地死去了。 当我听到艾尔去世的消息后，我对他的蔑视也和世人对那些死后没给子孙留下任何遗产的人的蔑视一样。"这是一个多么彻底的失败者呀！"我心里这样想，"完全是浪费生命！" 随着时间的流逝，我开始对早年自己对艾尔的苛刻评断重新估价，因为，我认识了艾 尔现在已经成年的小儿子厄尼。他是我所知道的最仁慈最精细最富爱心的人之一。我观察着厄尼和他的孩子们，看见他们之间洋溢着丰富的关爱之情。我知道那种仁慈和爱心一定源自某处。 我很少听到厄尼谈论他的父亲。要为一个酒鬼辩护是多么困难啊。一天，我鼓起勇气问他，"有一 件事使我感到很迷惑，"我说，"我知道你主要由你的父亲抚养长大的。那么他究竟是如何使你成为这样一个非同一般的人的呢？" 厄尼平静地坐在那儿，仔细思索了一会儿，然后他说："从我记事起一直到我18岁离开家，父亲每天晚上都到我的房间里来，在我的面颊上吻一下，并且说：' 我爱你，儿子。'" 我的眼睛湿润了，我意识到我过去觉得艾尔是一个失败者的想法是多么的愚蠢。他虽然没给儿子留下了什么物质财富，但是他用一个父亲的仁慈和爱心，培养出了一个非常善良无私的儿子。 ? 给狗取个好名字 ? 我的朋友琴德太太，住在纽约白利斯德路，她刚雇好一个 女佣，告诉她下星期一开始来工作。琴德太大打电话给那女佣以前的女主人，那太太指这个女佣并不好。当那女佣来上班的时候，琴德太太说： "妮莉，前天我打电话给你以前做事的那家太太。她说你诚实可靠，会做菜，会照顾孩子，不过她说你平时很随便，总不能将房间整理干净。 我相信她说的是没有根据的，你穿的很整洁，这是谁都可以看出来的……我可以打赌，你收拾房间，一定同你的人一样整洁干净。我也相信，我们一定会相处得很好。" 是的，她们果然相处得非常好，妮莉不得不顾全她的名誉，所以琴德太太所讲的，她真的做到了。她把屋子收拾得干干 净净，她宁愿自己多费些时间，辛苦些，也不愿意破坏琴德太太对她的好印象。 包德文铁路机车工厂总经理华克伦，他说过这样的话："一般人，都会愿意接受指导，如果你得到他的敬重，并且对他的某种能力表示敬重的话。" 我们也可以这样说，如果你想改善一个人某方面的缺点， 你要表示出，他已经具有这方面的优点了。莎士比亚说： "如果你没有某种美德，就假定你有。"最好是"假定"对方有你所要激发的美德，给他一个美好的名誉去表现，他会尽其所能，也不愿意使你感到失望的。 雷布利克在她的《我和梅脱林克的生活》一书中，曾叙述一个低卑的比 利时女佣的惊人改变。 她这样写着：隔壁饭店里有个女佣，每天替我送饭菜来，她的名字叫洗碗的玛丽。因为她开始工作时，是厨房里的一个助手。她那副长相真古怪，一对斗鸡眼，两条弯弯的腿，身上瘦得没有四两肉，精神也是显得无精打采、迷迷糊糊的。 有一天，当她端着一 盘面来给我时，我坦白的对她这样说："玛丽，你不知你有内在的财富？" 玛丽平时似乎有约束自己感情的习惯，生怕会招来什么灾祸，不敢做出一点喜欢的样子，她把面放到桌上后，才叹了口气说："太太，我是从来不敢想到那些的。"她没有任何怀疑，也没有提出更多的问题，她只是回 到厨房，反复思索我所说的话，深信这不是人家开她的玩笑。 就从那天起，她自己似乎也考虑到那回事了；在她谦卑的心理，已起了一种神奇的变化。她相信自己是看不见的暗室之宝；她开始注意修饰她的面部和身体。她那原来枯萎了的青春，渐渐洋溢出青春般的气息来。 两个月 后，当我要离开那地方时，她突然告诉我，她就要跟厨师的侄儿结婚了。她悄悄的告诉我："我要去做人家的太太了！她向我道谢我只用了这样简短的一句话，就改变了她的人生。 雷布利克给"洗碗的玛丽"，一个美好的名誉，而那个名誉改变了她的一生。 当利士纳要影响在法国的美 国士兵的行为时，也用了同样的方法。哈巴德将军--一位最受人们欢迎的美国将军，他曾经告诉利士纳说，在他看来，在法国的二百万美国兵，是他所接触过最合乎理想、最整洁的队伍。 这是不是过份的赞许？或许是的。可是我们看利士纳如何应用它！ 利士纳说："我从未忘记把哈 巴德将军所说的话，告诉士兵们，我并没有怀疑这话的真实性，即使并不真实，那些士兵们知道哈巴德将军的意见后，他们会努力去达到那个水准。" 有这样一句古语："如果不给一条狗取个好听的名字，不如把它勒死算了。" 几乎包括了富人、穷人、乞丐、盗贼，每一个人都愿意竭 尽其所能，保持别人赠予他的"诚实"的美誉。 "星星监狱"狱长洛斯说： "如果你必须去对付一个盗贼、骗子，只有一个办法可以制服他，那就是待他如同一个诚会、体面的绅士一样，假设他是位规规矩矩的正人君子。他会感到受宠若惊，他会很骄傲的认为有人信任他。" 那句话 太重要，太好了！我们不妨再说一遍： "如果你必须去对付一个盗贼、骗子，只有一个办法可以制服他，那就是待他如同一个诚实、体面的绅士，假设他是位规规矩矩的正人君子。他会感到受宠若惊，他会很骄傲的认为有人信任他。" 所以，如果你要影响一个人的行为，而不引起他 的反感，记住这项规则，那是： 给人一个美名让他去保全。 ? 松下幸之助：为你配副好眼镜 ?每一个生意人都想赚钱，这是天经地义的事。可是，满脑子都是生意经，这只是一般人的想法。 很久以前，我曾接到一封从北海道的札幌市寄来的信件，内容大致如下："我是一位眼镜商 人，前几天，在杂志上看到了您的照片。因为您所配戴的眼镜不大适合脸形，希望我能为您服务，
空间向量的坐标运算精选全文完整版
| AC | | BB1 | cos 900 0 AD1 DB1 AD1 DA AD1 AB AD1 BB1 | AD1 | | DA | cos1350 | AD1 | | AB | cos 900
| AD1 | | BB1 | cos 450 0 又AD1 AC A,
AD1 DB1, AC DB1. DB1 平面ACD1.
xA‘
y B(3,4,0)
与y轴垂直的坐标平面是___x_o__z___ A'(3, 4, 5)
与z 轴垂直的坐标平面是___x_o_y____
(2)点P(2,3,4)在 xoy平面内的射影是_(_2_,3_,_0_)
在 xoz 平面内的射影是_(2_,_0_,4_)_
在 yoz平面内的射影是_(0_,_3_,4_)_
(2)a 6b 8c _(2_,_-3_,_1_)_+_(_12,0,18)+(0,0,-16)
=(14,-3,3)
练习Ｐ39 8.判定下列各题中的向量是否平行: (1) (1,2,-2)和(-2,-4,4), (2) (-2,3,5)和(16,-24,40). 解: (1) (-2,-4,4) = -2 (1,2,-2)
数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样
就建立了一个空间直角坐标系O — x y z .
点O叫做原点，向量 i, j, k
z k
都叫做坐标向量.通过每两个
y
i 坐标轴的平面叫做坐标平面。
O
j
x
三、向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向量
a ,且设 i, j, k为坐标向量，由空z a
间向量基本定理，存在唯一的有
D1 A1
D
3.1.5空间向量的坐标运算
知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
名称
向量表示形式
满足条件 坐标表示形式
a∥b
a＝λb(λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)
→→ EF·CG →→
＝
|EF||CG|
1 4 3×
5＝
15 15 .
22
又因为异面直线所成角的范围是(0°，90°]，
所以异面直线 EF 与 CG 所成角的余弦值为 1155.
(3)求CE的长.
解 |CE|＝|C→E|＝
02＋－12＋212＝
5 2.
反思感悟 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的 点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标， 然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运 算求解夹角和距离问题.
题型三 空间向量的夹角与长度的计算
例3 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的 中点. (1)求证：EF⊥CF； 证明 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别 为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则 D(0,0,0)，E0，0，12，C(0,1,0)，F12，21，0，G1，1，12. 所以E→F＝12，21，－21，C→F＝12，－12，0，C→G ＝1，0，12，C→E＝0，－1，12. 因为E→F·C→F＝12×12＋12×－12＋－12×0＝0，所以E→F⊥C→F，即 EF⊥CF.
空间向量运算的坐标表示
1 1 1 E 1,1, , F , ,1 2 2 2 1 1 1 EF - , - , , DA1 1, 0,1 2 2 2
A1 z D1
F
C1
B1 E y
1 1 EF DA1 - 0 0 EF⊥DA1 2 2
x
x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 G , , 3 3 3
二、空间向量数量积的坐标表示及夹角公式
若 a (a1，a2，a3)，b (b1，b2，b3)，则
(1) a b ＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 ；
2 2 2 a ＋ a ＋ a (2)| a |＝ a a ＝ 1 2 3 ； a1b1 a2 b2 a3 b3 ab (3)cos< a, b >＝ ＝ 2 2 2 2 2 2 a a a b b b | a || b | 1 2 3 1 2 3
答案 a (1,1,0) , b (-1,0, 2)
ka b (k - 1, k , 2)
5 k- 或 k2 2
ka - 2b (k 2, k , -4)
例3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
点E1，F1分别是A1B1，C1D1的一个四等分
点，求BE1与DF1所成角的余弦值
空间向量运算的坐标表示
知识回顾： 空间向量基本定理： 如果三个向量 a, b, c 不共线，则对于空间任
一向量 p ，存在唯一有序实数组 { x, y, z },
使得 p xa yb zc 空间向量的坐标表示： 当以x 轴，y 轴，z 轴的正向单位向量 e1 , e2 , e3 为基向量时，若 p xe1 ye2 ze3 则向量 p
空间向量坐标运算
空间向量坐标运算空间向量是指在空间中有大小和方向的线段。
空间向量的坐标运算包括向量的加法、减法、数乘和内积。
下面将对这些运算进行详细介绍。
一、向量的加法设空间中有两个向量A和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。
向量的加法即将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量C。
它的坐标为(Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz)。
例如，设A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)，则A+B = (1+4, 2+5, 3+6) = (5, 7, 9)。
二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量。
设向量A和B的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)，则向量A减去向量B的坐标为(Ax-Bx, Ay-By, Az-Bz)。
例如，设A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)，则A-B = (1-4, 2-5, 3-6) = (-3, -3, -3)。
三、向量的数乘向量的数乘是指一个向量乘以一个实数。
设向量A的坐标为(Ax, Ay, Az)，实数k，则向量A乘以实数k的坐标为(kAx, kAy, kAz)。
例如，设A = (1, 2, 3)，k = 2，则kA = (2*1, 2*2, 2*3) = (2, 4,6)。
四、向量的内积向量的内积又称为点乘，它是两个向量之间的一种运算。
设向量A和B的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)，则向量A与向量B的内积为Ax*Bx + Ay*By + Az*Bz。
例如，设A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)，则A·B = 1*4 + 2*5 +3*6 = 32。
向量的内积有以下几个性质：1. 交换律：A·B = B·A；2. 分配律：(A+B)·C = A·C + B·C；3. 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B) = A·(kB)。
3第三讲 空间向量的坐标运算-学生版
第三讲空间向量的坐标运算【基础知识】一、空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j,k},以点O为原点,分别以i, j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i, j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分.二、空间点的坐标表示在空间直角坐标系Oxyz中,i, j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量OA,且点A的位置由向量OA唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA=x i+y j+z k.在单位正交基底{i,j,k}下与向量OA对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A 的竖坐标.三、空间向量的坐标表示在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a.作OA=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=x i+y j+z k.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z).四、空间向量常用结论的坐标表示设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3).1.建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标;2.求出直线的方向向量;3.证明两向量共线;4.说明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上,即表示方向向量的 有向线段不共线,即可得证. 六、证明两直线垂直的步骤:1.根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标;2.根据所求点的坐标求出两直线方向向量的坐标;3.计算两直线方向向量的数量积为0;4.由方向向量垂直得到两直线垂直. 七、求两异面直线夹角的步骤1.求异面直线a ,b 上的方向向量的坐标:a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2);2.利用公式cos<a ,b >= 求解;3.设异面直线a ,b 所成的角为θ,则cos θ=|cos<a ,b >|.【考点讲解】考点一：求点的坐标例1．已知空间点(3,1,4)P --，则点P 关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A ．(3,1,4)--- B ．(3,1,4)-- C ．(3,1,4)-D ．(3,1,4)考点二：求向量的坐标例2．给定空间三个点()1,1,2A ､()3,7,1B -､()5,4,0C . (1)求以向量AB ､AC 为一组邻边的平行四边形的面积S ； (2)求与向量AB ､AC 都垂直的单位向量a .考点三：线性运算的坐标表示例3．已知向量()3,2,5a =-，()1,5,1b =-，则3a b -=（ ） A ．8,11(),14-B ．9,3(),15-C ．10,1(),16-D ．(0,13,2)考点四：数量积运算的坐标表示例4．（多选）已知空间向量()1,1,1a =，()1,0,2b =-，则下列正确的是（ ） A ．()0,1,3a b +=B ．3a =C ．2a b ⋅=D ．a <，4b π→>=考点五：求长度或距离例5．空间两点()1,2,3A 、()2,0,5B 之间的距离为______．考点六：求角度例6．已知()cos ,1,sin a αα=-，()sin ,1,cos b αα=-，则向量a b +与a b -的夹角为（ ） A ．90° B ．60°C ．30°D ．0°考点七：根据平行或垂直求参数的值例7.已知点(2,0,2)A -，(1,1,2)B -，(3,0,4)C -，设a AB =，b AC =． (1)求a ，b 夹角的余弦值．(2)若向量ka b +，2ka b -垂直，求k 的值． (3)若向量a b λ-，a b λ-平行，求λ的值．【课堂练习】1.已知向量(2,1,3),(,2,6)a b x →→=-=-，若a b →→⊥，则实数x 的值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．102.若向量()1,,0a λ=，(2,1,2)b =-且a 与b 的夹角余弦值为23，则实数λ等于（ ） A ．0B ．－43C ．0或－43D ．0或433.平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()11,2,3,1,2,4AC C =-，则点1A 的坐标为（ ） A ．()0,4,7B ．()2,0,1-C ．()2,0,1-D ．()2,0,14. （多选）已知平面{}00P n P P α=⋅=，其中点0P 是平面α内的一定点，n 是平面α的一个法向量，若0P 坐标为()2,3,4，()1,1,1n =，则下列各点中在平面α内的是（ ） A ．()1,3,5B ．()4,3,2C ．()2,3,8-D ．()2,3,8-5. （多选）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,P Q R 分别在111,,AB CC D A 上，并满足111(01)1D R AP CQ a a PB QC RA a===<<-，设1,,AB i AD j AA k ===，设PQR ∆的重心为G ，下列说法正确的是（ ）A ．向量,,i j i j k +-可以构成一组基底B ．当12a =时，111j+333DG i k =-C ．当13a =时，PQ 在平面1ADD ．对任意实数a ，总有0RG DG ⋅=6.已知空间三点A (1，-1，-1)，B (-1，-2，2)，C (2，1，1)，则AB 在AC 上的投影向量的模是______.7.设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a 满足对任意的,,x y a xi y j --的最小值是2，则3a k +的最小值是_________．8.已知空间中三点(),1,2A m -，()3,1,4B -，()1,,1C n -． (1)若A ，B ，C 三点共线，求m n +的值；(2)若AB ，BC 的夹角是钝角，求m n +的取值范围．【课后练习】1.若点(2,5,1)A --，(1,4,2)B ---，(3,3,)C m n +-在同一条直线上，则m n -=（ ） A ．21B ．4C ．-4D ．102.已知直线2,l l l 的方向向量分别为()()1,4,2,2,1,a b m =-=-，若12l l ⊥，则m 等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33.设,x y ∈R ，向量(,1,1),(1,,1),(2,4,2)a x b y c ===-，且,a c b c ⊥∥，则||x y +=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44.已知(1,0,1)a =，(,1,2)b x =，且3a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．60︒B ．120︒C ．30D ．150︒5. （多选）对于非零空间向量a ，b ，c ，现给出下列命题，其中为真命题的是（ ） A ．若0a b ⋅<，则a ，b 的夹角是钝角 B ．若()1,2,3a =，()1,1,1b =--，则a b ⊥ C ．若a b b c ⋅=⋅，则a c =D ．若()1,0,0a =，()0,2,0b =，()0,0,3c =，则a ，b ，c 可以作为空间中的一组基底 6．（多选）已知空间向量()2,1,1a =--，()3,4,5b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()2//a b a + B ．53a b = C ．()56a a b ⊥+D ．a 与b 夹角的余弦值为7．（多选）已知空间中三点()0,1,0A ，()1,2,0B ，()1,3,1C -，则正确的有（ ） A ．AB 与AC 是共线向量 B ．AB 的单位向量是()1,1,0C ．AB 与BC 夹角的余弦值是D ．平面ABC 的一个法向量是()1,1,3-8. 平面α经过点()0,0,2A 且一个法向量()1,1,1n =--，则平面α与x 轴的交点坐标是______．9．已知()1,1,2A -，()1,0,1B -．设D 在直线AB 上，且2AD DB =，设1,,13C λλλ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，若CD AB ⊥，则实数λ=______．10.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：,,i j k 分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x 轴､y 轴､z 轴）正方向的单位向量，若向量n xi yj zk =++，则n 与有序实数组（x ，y ，z ）相对应，称向量n 的斜60°坐标为[x ，y ，z ]，记作[,,]n x y z =. (1)若[]1,2,3a =，[1,1,2]b =-，求a b +的斜60°坐标；(2)在平行六面体11ABCD ABC D -中，AB =AD =2，AA 1=3，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=，如图，以{}1,,AB AD AA 为基底建立“空间斜60°坐标系”.①若1BE EB =，求向量1ED 的斜60坐标； ①若[]2,,0AM t =，且1AM AC ⊥，求AM .。
空间向量坐标运算
空间向量坐标运算空间向量是指具有大小和方向的直线段，在三维空间中通常用坐标表示。
空间向量的坐标运算包括向量的加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘等。
下面将详细介绍这些运算。
1. 向量的加法和减法向量的加法和减法是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量，其坐标运算规律如下：- 加法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的和的坐标为(u1+v1, u2+v2, u3+v3)；- 减法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的差的坐标为(u1-v1, u2-v2, u3-v3)。
2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量，其坐标运算规律如下：- 数量乘法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，实数k，则向量u 乘以k的坐标为(k*u1, k*u2, k*u3)。
3. 向量的点乘向量的点乘又称为内积，是指将两个向量进行乘法运算得到一个标量（实数），其计算公式如下：- 点乘：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的点乘的结果为u1*v1 + u2*v2 + u3*v3。
4. 向量的叉乘向量的叉乘又称为外积，是指将两个向量进行乘法运算得到一个新的向量，其计算公式如下：- 叉乘：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的叉乘的坐标为((u2*v3 - u3*v2), (u3*v1 -u1*v3), (u1*v2 - u2*v1))。
通过以上的描述可以看出，向量的加法、减法、数量乘法都是按照对应位置进行运算，只要对应坐标进行相加、相减或乘以相同的实数即可。
点乘和叉乘则需要对应坐标进行特定的运算。
需要注意的是，向量的坐标运算不关心向量的起点和终点，只关心向量的大小和方向。
空间向量的坐标运算
X1+z1=0 所以 X1+y1=0
取x1=1,得y1=z1=-1x
B C
故n=(1,-1,-1)
cos n, B1C1
n B1C1 n B1C1
010 1 3
3 3
故所求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为 3
3
D y
如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°， SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2. 求:⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值；
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量
B
(1).cos SA,OB SAOB 2 10
SA OB 5 2 5 x
所以异面直线SA与OB所成的角的余弦值为 10 5
（2）设平面SAB的法向量n (x, y, z)
显然有 n AB 0, n SA 0
x
2x
y z
0 0
取x=1，则y=1，z=2； 故 n (1,1,2)
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的 向量的坐标a (a1,b1, c1),b (a2,b2, c2 ) (3)根据法向量的定义建立关于x, y, z的 方程组n • a 0
n •b 0
(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量。
空间向量及其运算的坐标表示
平面向量
平面向量的坐标运算： a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 );
空间向量
空间向量的坐标运算： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z 2 );
空间向量
空间向量的夹角： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) ab cos a,b | a || b | x1 x2 y1 y2 z1 z 2 2 2 2 2 2 x1 y1 z12 x2 y2 z 2
垂直与平行： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) x1 y1 z1 a // b (?) x2 y 2 z 2 a b x1 x2 y1 y2 z1 z 2 0
x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2 （3）中点坐标公式： ( , , ) 2 2 2
2.两个向量夹角公式
a1b1 a2b2 a3b3 a b cos a, b ; 2 2 2 2 2 2 | a || b | a1 a2 a3 b1 b2 b3
垂直与平行： a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) a // b x1 y2 x2 y1 0 a b x1 x2 y1 y2 0
对比表4
平面向量
平面向量基本定理： 如果e1 , e 2是同一平面内的两个不 共线 的向量，那么对于这个 平面内的任一 向量a，有且仅有一对实数 x, y，使a xe1 ye 2 .
空间向量的坐标运算
9.6空间向量的坐标运算亠、空间直角坐标系:如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，这个基底叫做单位正交基底，常用｛i, j,k｝表示。
r r u 在空间选定一点0和一个单位正交基底｛i, j,k｝，r r u J 以点O为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴。
这时我们称建立了一个空间直角坐标系O- xyz，点0叫r r u做原点，向量i、j、k都叫做坐标向量。
通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz 平面，zOx平面。
u注意：①作空间直角坐标系O- xyz时，一般使? xOy 135 °（或45 °）, ? yOz 90 °。
②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
说明右手直角坐标系的特点是：从Ox到Oy是逆时针方向。
③如无特别说明，以后建立的坐标系都是右手直角坐标系。
给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k 为坐标向量，根据空间向量基本定理可知：存在唯一的有序实数组(a i,a2, a3)，使r r r ua = a i i + a2 j + a3 k有序实数组(a i,a2,a3)叫做向量\在空间直角坐标系O- xyz中的坐标，可简记作ra = (a i, a2, a3)z在空间直角坐标系O- xyz中，对空间任一点A，r对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组x、y、z，使um r r uOA = xi + yj + zk有序实数组(x, y, z)叫做点A的坐标，记作A (x,y,z )，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的 纵坐标,z 叫做点A 的竖坐标。
二、空间向量的直角坐标运算：r rI •设 a = (a i , a 2, a 3)? b = (bi ,6 ,b s )，则 ① a + b = (a i + b,a 2 + 6,a 3+ b 3); r r② a - b = (a i - b i ,a 2- b 2,a 3- b s );r③ I a = (l a i ,l a 2,l a 3)(l ? R );r r④ a ?b a i b i + a 2 b 2 + a 3 b s ;r r⑤ a 八 b ? a i b i a 26+ a 3b s = 0;l a i = l bi ^a 2 l b 2(l ? R ) =l b 3①AB 的中点坐标是 严产，皿产，电产); uuur uuur uuur② AB = OB - OA =(X 2- x i , y 2- y i 卫-Z i )。
空间向量的坐标运算
9.6 空间向量的坐标运算一、空间直角坐标系：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，这个基底叫做单位正交基底，常用{},,i j k r r u r表示。
在空间选定一点O 和一个单位正交基底{},,i j k r r u r，以点O 为原点，分别以i r 、j r 、k u r的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴。
这时我们称建立了一个空间直角坐标系-O xyz ，点O 叫做原点，向量i r 、j r 、k u r都叫做坐标向量。
通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面。
注意：O xyz时，一般使①作空间直角坐标系-?xOy135o（或45o），?yOz90o。
②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
说明右手直角坐标系的特点是：从Ox到Oy是逆时针方向。
③如无特别说明，以后建立的坐标系都是右手直角坐标系。
给定一个空间直角坐标系和向量a r，且设i r 、j r 、k u r为坐标向量，根据空间向量基本定理可知：存在唯一的有序实数组(),,a a a 123，使=++a a i a j a k 123r r r u r有序实数组(),,a a a 123叫做向量a r在空间直角坐标系-O xyz 中的坐标，可简记作()=,,a a a a 123r在空间直角坐标系-O xyz 中，对空间任一点A ，对应一个向量OA uu u r，于是存在唯一的有序实数组x 、y 、z ，使=++OA xi y j zk u u u r r r u r有序实数组(),,x y z 叫做点A 的坐标，记作(),,A x y z ，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标。
二、空间向量的直角坐标运算：Ⅰ．设()=,,a a a a 123r ，()=,,b b b b 123r，则 ①()+=+++,,a b a b a b a b 112233r r； ②()-=---,,a b a b a b a b 112233r r；③()()=?,,a a a a R l l l l l 123r； ④?++a b a b a b a b 112233r r； ⑤^?+=a b a b a b a b 1122330r r；⑥()ì=ïïï??íïïï=ïî//a b a b a b R a b l l l l 112233r r 。
空间向量的坐标运算1
x 点O叫做原点，向量i、j、k都叫做坐标向量.通过每两
个坐标轴的平面叫做坐标平面。分别称为xOy平面,yOz平
面,xOz平面.
二、向量的直角坐标
给定一个空间坐标系和向 量 ,且设i、j、k为坐标向量， 由空间向量基本定理，存在唯一的 有序实数组( 1, 2, 3)使
= 1i+ 2j+ 3k 有序数组( 1, 2, 3)叫做 在 空间直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作.
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表 示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起 点的坐标.
空间向量坐标运算法则，关键是注意空 间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在 利用向量的坐标运算判断空间几何关系时， 首先要选定单位正交基，进而确定各向量的 坐标。
例1 已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求a+b,a-b,8a, a b
练习1 如图建立直角坐标系,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2， 求正方体各顶点的坐标
D1 z
A1
C 1
B1
D
的正方体ABCD-A1B1C1D1中，取D点为原点 建立空间直角坐标系，O、M、P、Q分别是AC、DD1、 CC1、A1B1的中点，写出下列向量的坐标.
空间向量的基本定理：
任一向如量果三p ，个存向在量一a 个, 唯b 一, 的c 有不序共实面数，组那x么、对y、空z间，
使得：
p xa yb zc
a , b , c 叫做空间的一个_基__底___
空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底
一、空间直角坐标系
单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基
向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基
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在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
n (4, 3, 6)
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z ) 则 n AB ， AC .∵ AB (3,4,0) , AC (3,0, 2) n 3 ( x, y, z ) ( 3,4,0) 0 3 x 4 y 0 y 4 x ∴ 即 ∴ ( x, y, z ) ( 3,0, 2) 0 3 x 2z 0 z 3 x 2 取 x 4 ,则 n (4, 3,6) ∴ n (4, 3,6) 是平面 ABC 的一个法向量.
4 得n (1,1, ) 又 AD (0,8,0), 3
| 0 1 8 0 | 3 34 , 34 4 2 2 2 8 1 1 ( ) 3
z
A1 1 B1 M 1
NN
D1 1
| AD n | | sin | | AD || n |
设平面 的法向量是 n ( x, y, z )
x 2 y 4z 0 2 x 4 y 3z 0
依题意,有 n AB 0且n AC 0 ,即
∴平面 的一个法向量是 n (2,1,0)
解得z=0且x=2y,令y=1,则x=2
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为 ( x, y, z) n
(2)找出（求出）平面内的 两个不共线的 向量的坐标a (a1, b1, c1 ),b (a2 , b2 , c2 )
(3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的 n a 0 方程组 n b 0
A(1,0,0), B(0,1,0),
1 1 1 F1 ( , 0, a), D1 ( , ,1) 2 2 2 1 所以： AF1 ( , 0,1), 2
F1
C1
C
B1
D1
A1
1 1 AF1 BD1 30 4 cos AF1 , BD1 . 10 5 3 | AF1 || BD1 | 4 2
故n=(1,-1,-1)
0 1 0 cos n, B1C1 3 3 1 3 n B1C1
3 故所求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为 3
n B1C1
如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC， ∠AOC=90°，SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2. 求:⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值； ⑵OS与平面SAB所成角α的正弦值；
C C
即
6x 2 y 6z 0 4 y 3z 0
| sin |
| AD n | | AD | | n |
例1： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB 6, AD 8, AA1 6, M 为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N 在线段A1D上， A1 N 5, 求AD与平面ANM 所成的角的正弦值.
C1 1
D D
A
y
x
B B
C C
3 34 AD与平面ANM 所成角的正弦值是 34
题型二：线面角 例二： 在长方体 ABCD A B1C1D1 中， = 5，AD 8, AB 1
AA1 4, M为BC1上的一点,且B1M 2,点N在线段A1D上，
A1D AN. (1)求证：A1D AM . （2）求AD与平面ANM 所成的角.
解：以o为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示 z A（2，0，0）； B（1，1，0）； 则O（0，0，0）； S
C（0，1，0）； S（0，0，1），
于是我们有 SA =（2，0，-1）；OB =（1，1，0）；
O C B
y
OS =（0，0，1）； AB =（-1，1，0）；
2 10 (1).cos SA, OB 5 5 2 SA OB
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为 ( x, y, z) n
(2)找出（求出）平面内的 两个不共线的 向量的坐标a (a1, b1, c1 ),b (a2 , b2 , c2 )
(3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的 n a 0 方程组 n b 0
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
例2：已知AB (2, 2,1), AC (4,5,3), 求平面ABC的 单位法向量。
解：设平面的法向量为n x，y，z）， （
则n AB， AC n x，y，z） 2,1) 0，（x，y，z） （ (2, (4,5,3) 0, 1 2 x 2 y z 0 x 即 , 取z 1，得 2 4 x 5 y 3 z 0 y 1 3 1 n ( , 1,1), | n | 2 2
SA OB
A
x
10 所以异面直线SA与OB所成的角的余弦值为 5
（2）设平面SAB的法向量 n
( x, y, z)
显然有 n AB 0, n SA 0
x y 0 取x=1，则y=1，z=2； 故 n 2x z 0
(1,1,2)
2 6 sin cos OS , n 3 OS n 1 6
n
完全确定的.
几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向 量m 是与平面平行或在平面 内，则有 n m 0
A
垂直关系： 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则 线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
1．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
2．空间两点间的距离公式
设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
AB＝ (x2－x1，y2－y1，z2－z1) ，
|AB|＝
3.若A、B两点的坐标分别是A(2cosθ，2sinθ，1)，
B(3cosα，3sinα，1)，则|
NC
D1 1
AM (6,2,6), AN (0,4,3). 设平面的法向量n ( x, y, z),由
AM n 0 AN n 0
A(0,0,0), M (6,2,6) 由A1 N 5, 可得 N (0,4,3)
C1 1
D D
⊥ v u v 0.
例2 已知平面 经过三点A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、 C(3,-2,0),试求平面 的一个法向量.
解:∵ A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0) ∴
AB (1, 2, 4), AC (2, 4, 3)
OS n
例1： 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB 6, AD 8, AA1 6, M 为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N 在线段A1D上， A1 N 5, 求AD与平面ANM 所成的角的正弦值. 解：如图建立坐标系A-xyz,则
z
A1 1 B1 M 1
1 2 2 求平面ABC的单位法向量为 ( ， ，） 3 3 3
ab 两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos ； 2 a b au 直线 l 与平面 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ),sin ； 2 a u
中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边
形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4， CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB 与平面ABCD成30°的角. (1)求证：CM∥平面PAD；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.
[思路点拨]
[课堂笔记] 以C为坐标原点，CB为x 轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示 的空间直角坐标系C－xyz. ∵PC⊥平面ABCD， ∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30°.
30 所以 BD1与 AF1 所成角的余弦值为 10
1 1 BD1 ( , ,1) 2 2
A x
By
5.正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成 角的余弦值为 .
解析：如图，建立直角坐 标系，设正方体棱长为1，
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B
A.[0,5] C.(1,5) 解析：∵
|的取值范围是
(
)
B.[1,5] D.[1,25] ＝(3cosα－2cosθ，3sinα－2sinθ，0)，
∵－1≤cos(θ－α)≤1，∴| 答案：B
|∈[1,5].
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在 直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平 面 ,记作 n ⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量 n 叫做平面 的法向量. 给定一点A和一个向量 n,那么 l 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
B1C1 (0,1,0), AB (1,0,1), AC (1,1,0) 1
设平面AB1C的法向量为n=(x ,y ,z ),
1 1 1
B1
C1
A
B
D y C
则n AB1 0, n AC 0
所以
X1+z1=0 X1+y1=0
x 取x =1,得y =z =-1
1 1 1
(1,1,0)，C1(0,1,1)， ∴ ＝(1,0,1)， ＝(1,1,0)， ＝(－1,0,1). 设n＝(x，y，z)为平面A1BD的法向量