2012年北京各区县二模试题分类几何综合解析版

2012年北京市中考数学二模分类汇编——几何综合与中点有关的问题1.(昌平24) 如图，D 是△ABC 中AB 边的中点，△BCE 和△ACF 都是等边三角形，M 、N 分别是CE 、CF 的中点.（1）求证：△DMN 是等边三角形；（2）连接EF ，Q 是EF 中点，CP ⊥EF 于点P . 求证：DP ＝DQ .同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造 三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△NCM 绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.24. 证明：（1）取AC 的中点G ，连接NG 、DG .∴DG ＝21BC ，DG ∥BC ；△NGC 是等边三角形. ∴NG = NC ，DG = CM . …………………2分 ∵∠1 + ∠2 = 180º， ∴∠NGD + ∠2 = 240º. ∵∠2 + ∠3 = 240º， ∴∠NGD =∠3.∴△NGD ≌△NCM . ……………………3分 ∴ND = NM ，∠GND =∠CNM . ∴∠DNM =∠GNC = 60º.∴△DMN 是等边三角形.………………………………4分 （2）连接QN 、PM .∴QN =21CE= PM . ……………………5分 Rt △CPE 中，PM =EM ，∴∠4= ∠5. ∵MN ∥EF ，∴∠5= ∠6，∠7= ∠8. ∵NQ ∥CE ，∴∠7= ∠4. ∴∠6= ∠8.∴∠QND = ∠PMD . ………………………6分 ∴△QND ≌△PMD .∴DQ = DP . ……………………7分NM D EF A B C67854PQ NMDEFABCC321GNMD EFAB2.（丰台24）在△ABC 中，D 为BC 边的中点，在三角形内部取一点P ，使得∠ABP =∠ACP ．过点P 作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥AB 于点F ．（1）如图1，当AB =AC 时，判断的DE 与DF 的数量关系，直接写出你的结论；（2）如图2，当AB ≠AC ，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．图1 图224．解：（1）DE =DF ．……1分（2）DE =DF 不发生改变．……2分理由如下：分别取BP 、CP 的中点M 、N ，联结EM 、DM 、FN 、DN ．∵D 为BC 的中点，∴BP DN BP DN //,21=．……3分∵,AB PE ⊥∴BP BM EM 21==．∴21,∠=∠=EM DN ．∴12213∠=∠+∠=∠．…4分同理,524,//DM FN MD PC =∠=∠．∴四边形MDNP 为平行四边形．……5分∴67∠=∠ ∵,41∠=∠∴35∠=∠． ∴EMD DNF ∠=∠．……6分∴△EMD ≌△DNF ． ∴DE =DF ．……7分3.(海淀25.)在矩形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上，且DF = DC , M 为AB 边上一点, N 为MD 的中点, 点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）.（1）如图1, 若AB =BC , 点M 、A 重合, E 为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及BMCE的值, 并证明你的结论; （2）如图2，且若AB =BC , 点M 、A 不重合, BN =NE ，你在（1）中得到的两个结论是否成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;（3）如图3，若点M 、A 不重合，BN =NE ，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论. AEFPB D CCE BAD F P 7654321NMCD B PFEAF A ( M ) D N D AA C E D NMB FEC B F N M E C B图1 图2 图325. 解：（1）BN 与NE 的位置关系是BN ⊥NE ；CE BM=22.证明：如图，过点E 作EG ⊥AF 于G , 则∠EGN =90°．∵ 矩形ABCD 中, AB =BC ， ∴ 矩形ABCD 为正方形.∴ AB =AD =CD , ∠A =∠ADC =∠DCB =90°． ∴ EG//CD , ∠EGN =∠A , ∠CDF =90°．……………1分 ∵ E 为CF 的中点，EG//CD ,∴ GF =DG =11.22DF CD =∴ 1.2GE CD =∵ N 为MD (AD )的中点， ∴ AN =ND =11.22AD CD = ∴ GE =AN , NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB . ………2分 ∴ △NGE ≌△BAN ． ∴ ∠1=∠2. ∵ ∠2+∠3=90°， ∴ ∠1+∠3=90°． ∴ ∠BNE =90°.∴ BN ⊥NE ． ……………………………3分 ∵ ∠CDF =90°, CD =DF , 可得 ∠F =∠FCD =45°，2.CFCD.于是122.2CF CE CE CE BM BA CDCD…………4分 （2）在（1）中得到的两个结论均成立.证明：如图，延长BN 交CD 的延长线于点G ，连结BE 、GE ，过E 作EH ⊥CE ，交CD 于点H ．∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB ∥CG ．∴ ∠MBN =∠DGN ，∠BMN =∠GDN . ∵ N 为MD 的中点，∴ MN =DN ．∴ △BMN ≌△GDN ．∴ MB =DG ，BN =GN . ∵ BN =NE ，∴ BN =NE =GN . ∴ ∠BEG =90°． ……………5分 ∵ EH ⊥CE ， ∴ ∠CEH =90°．HGA BC DEM N F 321GFEA (M )CD NB∴ ∠BEG =∠CEH ． ∴ ∠BEC =∠GEH ． 由（1）得∠DCF =45°． ∴ ∠CHE =∠HCE =45°． ∴ EC=EH , ∠EHG =135°．∵∠ECB =∠DCB +∠HCE =135°， ∴ ∠ECB =∠EHG ． ∴ △ECB ≌△EHG ． ∴ EB =EG ，CB =HG ． ∵ BN =NG ，∴ BN ⊥NE. ……………………6分∵ BM =DG= HG -HD= BC -HD =CD -HD =CH=2CE ， ∴CE BM=22. ……………………7分 （3）BN ⊥NE ；CEBM不一定等于22. ……………………8分密云25．已知菱形ABCD 的边长为1，60ADC ∠=，等边△AEF 两边分别交DC 、CB 于点E 、F ．（1）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，求证：菱形ABCD 对角线AC 、BD 的交点O 即为等边△AEF 的外心；（2）若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动，记等边△AEF 的外心为P ． ①猜想验证：如图2，猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E 、F 分别是边DC 、CB 的中点时，过点P 任作一直线，分别交DA 边于点M ，BC 边于点G ，DC 边的延长线于点N ，请你直接写出11DM DN+的值．25．（本小题满分8分）证明：（1）如图1：分别连结OE 、OF ． ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD DC CB ==，AC BD ⊥，DO BO =，且112302ADC ∠=∠=∠=． ∴在Rt △AOD 中，有12AO AD =．又 E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，∴1122EO CB DC OF ===． ∴AO EO FO ==．∴点O 即为等边△AEF 的外心． ------------------------- 3分 （2）①猜想：△AEF 的外心P 落在对角线DB 所在的直线上． 证明：如图2：分别连结PE 、P A ，作PQ DC ⊥于Q ，PH AD ⊥于H ． 则90PQE PHD ∠=∠=∵60ADC ∠=， ∴在四边形QDHP 中，120QPH ∠=． 又 ∵点P 是等边△AEF 的外心，60EFA ∠=，∴PE PA =，2260120EPA EFA ∠=∠=⨯=． ∴αβ∠=∠． ∴△PQE ≌△PHA （AAS ）．∴PQ=PH ． ∴点P 在ADC ∠的角平分线上．∵菱形ABCD 的对角线DB 平分ADC ∠， ∴ 点P 落在对角线DB 所在直线上--- 6分 ②112DM DN+=． ---------------------- 8分 旋转变换在几何证明应用延庆24. （1）如图1：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=60°时，猜想AB 与BD+CD 数量关系，请直接写出结果 ；（2）如图2：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=45°时，猜想AB 与BD+CD数量关系并证明你的结论；（3）如图3：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=β（20°≤β≤70°）时，直接写出AB 与BD+CD 数量关系(用含β的式子表示)。

AB A BAB24. （1）AB=BD+CD…………………………………………1分（2）猜想：……………………2分证明：如图，过A点作A E⊥AC交CD延长线于E点，作A F⊥AB交BD延长线于F点，连接EF。

…………3分容易证出：△ABC≌△AEF………………4分∴∠ABC=∠AEF,BC=EF容易证出：△DBC≌△DEF………………5分∴CD=DF在等腰Rt△ABF中，结论可以得出。

(3)2CDBDCOSAB+=•β（或变形）……………………7分通州23．（1）已知：如图1，ABC∆是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA PB PC=+（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：2PA PC PB=+（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请你写出P A，PB，PC三者之间的数量关系表达式．（不需要证明）23.在AP上截取PM=BP,连结BM…………………………………….(1分)∵ABC∆是⊙O的内接正三角形，∴︒=∠=∠60ACBABC,AB=BC∴︒=∠=∠60ACBAPB∵PM=BP,∴BPM∆是正三角形∴︒=∠60MBP∵CBPABM∠=∠…………………………………….(2分)ABM∆≌CBP∆∴AM=PC∴AP = PB+PC…………………………………….( 3分)(2)DFEACB2AB=BD+CD图2 图3图1OCABPODAMNP 431H MA D G EF ∵过点B 做PB BN ⊥,交P A 于点N …………….(4分) ∵四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，∴AB=BC,︒=∠=∠90BCD ABC ,︒=∠90AOB ∴︒=∠45APB ,PB=BN 根据勾股定理得：PB PN 2=…………………………………….(5分)∵︒=∠=∠90NBP ABC ∴CBP ABN ∠=∠ ∴ABN ∆≌CBP ∆ ∴PC AN =∴2PA PC PB =+……….(6分) (3)结论：PC PB PA +=3………….(7分)平谷24．如图1，若四边形ABCD 、GFED 都是正方形，显然图中有AG =CE ，AG ⊥CE ． （1）当正方形GFED 绕D 旋转到如图2的位置时，AG =CE 是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（2）当正方形GFED 绕D 旋转到B ，D ，G 在一条直线 （如图3）上时，连结CE ，设CE分别交AG 、AD 于P 、H ．① 求证：AG ⊥CE ；② 如果AD =4，DG =2，求CE 的长．24．证明：（1）AG CE =成立．∵ 四边形ABCD 、四边形DEFG 是正方形， ∴ ,,GD DE AD DC ==…………………………1分∠GDE =∠90ADC =︒.∴ ∠GDA =90°－∠ADE =∠EDC .∴ △AGD ≌△CED .………....................………2分 ∴ AG CE =.………………………………………3分（2）①由（1）可知△AGD ≌△CED ，∴ ∠1＝∠2 .∵ ∠3＝∠4，∠4＋∠2＝90°， ∴ ∠3＋∠1＝90° ∴ ∠APH ＝90︒.OPFEDC BAHA B C D E F G 图2 A B C D E FG 图 1 PH AC D BG E F 图3EDC M N .AG CH ⊥……………………………………5分 ② 过G 作GM AD ⊥于M .∵ BD 是正方形ABCD 的对角线， ∴ 45ADB GDM ∠=∠=︒. ∴ ∠DGM ＝45°.∵ DG =2，∴ 1MD MG ==. .................6分 在Rt △AMG 中 ，由勾股定理，得 22225126AG AM MG =+=+=∴ CE =AG =26………………7分3.（东城24） 已知：等边ABC ∆中，点O 是边AC,BC 的垂直平分线的交点，M,N 分别在直线AC , BC 上，且60MON ∠=．(1) 如图1，当CM=CN 时， M 、N 分别在边AC 、BC 上时，请写出AM 、CN 、MN 三者之间的数量关系；（2） 如图2，当CM ≠CN 时，M 、N 分别在边AC 、BC 上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；(3) 如图3，当点M 在边AC 上，点N 在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM 、CN 、MN 三者之间的数量关系．24. 解： (1) AM CN MN =+……2分 （2）AM CN MN =+……3分证明：过点O 作,,OD AC OE BC ⊥⊥易得,120,OD OE DOE =∠= 在边AC 上截得DN ’=NE ,连结ON ’, ∵ DN ’=NE , OD =OE , ∠ODN ’=∠OEN'.DON EON ∴∆≅∆……4分 ∴ON’=OE. ∠DON ’=∠NOE .120,DOE ∠=60,MON ∠=∴∠MOD +∠NOE=600. ∴∠MOD +∠DON ’=600.易证'MON MON ∆≅∆.……5分 ∴MN’=MN.'.,,()(),.MN MD DN MD NE MD AM AD AM CE NE CE CN MN AM CE CE CN AM CN AM CN MN ∴=+=+=-=-=-∴=-+-=-∴=+(3) .MN CN AM =+……7分纯添辅助线（特殊情况可用旋转变换）1．（石景山）在△ABC 中，AC AB =,D 是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点,且∠BAC CED BED ∠=∠=2．(1) 如图1,若∠︒=90BAC ,猜想DB 与DC 的数量关系为 ； (2) 如图2,若∠︒=60BAC ，猜想DB 与DC 的数量关系，并证明你的结论； （3）若∠︒=αBAC ，请直接写出DB 与DC 的数量关系.解：24.解：（1）DC DB 2=(2) DC DB 2=证明：过点C 作CF ∥BE 交AD 的延长线于点F , 在 AD 上取点G 使得CF CG = ∴76∠=∠=∠F∵︒=∠=∠=∠602BAC CED BED ∴︒=∠=∠606F ,︒=∠30CED ∴41205∠=︒=∠A B C D EAE B C D图1 图2 7654321AEG∵︒=∠+∠=∠=∠+∠6021713 ∴23∠=∠ ∵AC AB = ∴△ABE ≌△CAG ∴AG BE AE CG ==, ∵︒=∠-∠=∠306CED GCE ∴EG CG =∴BE AG CG CF 2121=== 由△DBE ∽△DCF 得2==FCBEDC BD∴DC DB 2=(3) 结论：DC DB 2=.2.（顺义24）已知：如图，D 为线段AB 上一点（不与点A 、B 重合），CD ⊥AB ，且CD=AB ，AE ⊥AB ，BF ⊥AB ，且AE=BD ，BF=AD ．（1）如图1，当点D 恰是AB 的中点时，请你猜想并证明∠ACE 与∠BCF 的数量关系；（2）如图2，当点D 不是AB 的中点时，你在（1）中所得的结论是否发生变化，写出你的猜想并证明；（3）若∠ACB=α，直接写出∠ECF 的度数（用含α的式子表示）．图1 图224．解：（1）猜想：∠ACE=∠BCF ．证明：∵D 是AB 中点，∴AD=BD ，又∵AE=BD ，BF=AD ， ∴AE=BF ．∵CD ⊥AB ，AD=BD ， ∴CA=CB ． ∴∠1 =∠2．∵AE ⊥AB ，BF ⊥AB ，87654321E D CBAGF图(2)FEDCBAFE DCB A 4321DCBABDCFEA∴∠3 =∠4=90°． ∴∠1+∠3 =∠2+∠4． 即∠CAE=∠CBF ． ∴△CAE ≌△CBF ．∴∠ACE=∠BCF ．……………… 2分（2）∠ACE=∠BCF 仍然成立．证明：连结BE 、AF ．∵CD ⊥AB ，AE ⊥AB ， ∴∠CDB=∠BAE=90°． 又∵BD = AE ，CD = AB ，△CDB ≌△BAE ．……………… 3分∴CB=BE ，∠BCD=∠EBA ．在Rt △CDB 中，∵∠CDB =90°，∴∠BCD+∠CBD =90°． ∴∠EBA+∠CBD =90°． 即∠CBE =90°．∴△BCE 是等腰直角三角形．∴∠BCE=45°．…………………… 4分 同理可证：△ACF 是等腰直角三角形． ∴∠ACF=45°．………………… 5分 ∴∠ACF=∠BCE ．∴∠ACF -∠ECF =∠BCE -∠ECF ． 即∠ACE=∠BCF ．……………… 6分（3）∠ECF 的度数为90°-α．……………………… 7分平移变换1.（大兴23）在△ABC 中，AB =AC ，点P 为△ABC 所在平面内一点，过点P 分别作PE ∥AC 交AB 于点E ，PF ∥AB 交BC 于点D ，交AC 于点F ．(1)如图1，若点P 在BC 边上，此时PD =0，易证PD ，PE ，PF 与AB 满足的数量关系是PD +PE +PF =AB ；当点P 在△ABC 内时，先在图2中作出相应的图形，并写出PD ，PE ，PF 与AB 满足的数量关系，然后证明你的结论；(2)如图3，当点P 在△ABC 外时，先在图3中作出相应的图形，然后写出PD ，PE ，PF 与AB 满足的数量关系．（不用说明理由）23．解：（1）结论：PD PE PF AB ++= ……………………2分证明：过点P 作MN ∥BC PF AB ∥∴四边形BMPD 是平行四边形BM PD ∴=……………………………………………3分 PE AC PF AB ∥，∥∴四边形AEPF 是平行四边形PF AE ∴=……………………………………………4分AB AC =B C ∴=∠∠又PE AC PF AB ∥，∥，MN ∥BC ∴=∠∠C ∠ANM =EPM B ∴=∠∠AMNAMN EPM ∴∠=∠ PE ME ∴=AE ME MB AB ++=PD PE PF AB ∴++=…………………………………………5分 （2）结论：PE PF PD AB +-= ……………………………7分相似1.（昌平25）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，过点B 作BD ⊥AC 于D ，BE 平分∠DBC ，交AC 于E ，过点A 作AF ⊥BE 于G ，交BC 于F ，交BD 于H ． （1）若∠BAC =45°，求证：①AF 平分∠BAC ；②FC =2HD ．（2）若∠BAC =30°，请直接写出FC 与HD 的等量关系．25．解：（1）①∵ BD ⊥AC ，AF ⊥BE ， ∴ ∠ADH =∠HGB =90°． ∵ ∠BHG=∠AHD ， ∴ ∠HBG =∠HAD ． ∵ ∠ABC =∠FGB =90°， ∴ ∠BAF+∠AFB=90°， ∠GBF+∠AFB=90°． ∴ ∠GBF=∠BAF ．∵ BE 平分∠DBC ， ∴ ∠GBF=∠HBG ． ∴ ∠HAD=∠BAF ．即 AF 平分∠BAC ． …………………2分G AB DE F HC H G ED C F B A K GABD EFHC②∵ 在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，∠BAC=45°， ∴ ∠C=∠BAC = 45°， ∴ AB=BC ． ∵ BD ⊥AC ， ∴ AD=DC=21AC ． 过点D 作KD ∥FC 交AF 于K ， ∴21==AC AD FC KD ． ∴ FC=2KD ． ……………………………4分 ∵ BE 平分∠DBC ，BE ⊥AF ，∴ ∠DBE =∠EBF ，∠HGB =∠FGB =90°．∴ ∠BFH =∠BHF ．∴ ∠BHF =∠DHK ．∴ ∠BFH =∠DHK ． ∵ KD ∥BC ，∴ ∠DKH =∠BFH ．∴ ∠DKH =∠DHK ．∴ KD =HD ． ∴ FC =2HD ． …………………………6分（2）FC=34HD ． ……………………………8分 2.（房山24）探究问题：已知AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，且AD 、BE 交于点O . ⑴△ABC 为等边三角形，如图1，则AO ︰OD = ；⑵当小明做完⑴问后继续探究发现，若△ABC 为一般三角形（如图2），⑴中的结论仍成立，请你给予证明.⑶运用上述探究的结果，解决下列问题：如图3，在△ABC 中，点E 是边AC 的中点，AD 平分∠BAC , AD ⊥BE 于点F ，若AD =BE =4.求：△ABC 的周长.图1 图2 图3 24.解：⑴2：1 ---------------------------------------1分 ⑵证明：联结DE∵D 、E 为AC 、BC 中点∴DE ∥AB ，DE=21AB ∴△DOE ∽△AOBO DE A BC D CFB E A O ED B C A∴12==DE AB OD AO ------------------------------------------3分 ⑶解：过点C 作CG ∥BE ，交AB 延长线于点G ，并延长AD 交CG 于点H 。