水利工程风险分析[1]

•（1）给定一个β值
•（2）对全部变量Xi，选取设计验算点的初值，
• 一般取均值，
。
•（3）计算
的值
•（4）由4-3-6计算
的值。
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水利工程风险分析[1]
•（5）由4-3-9计算新的验算点 的值。 •（6）重复步骤3-5，直到 前后两次的差值在 容许误差范围内为止。
•（7）将所得的 值代入4-3-10式计算g值。
•这里： •因此在Z=0时，则得到：
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水利工程风险分析[1]
•或
•根据上两式，在给定风险度R及施工防洪年限N 以后，则可算出设计频率P或设计重现期T了。
•可以看出，工期愈长，则遭遇超设计标准洪水 的几率就愈大。
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水利工程风险分析[1]
•例如：当围堰的使用期为N=1年或N=3年，若风 险度R同取为10%，则有： •围堰用一年，N=1年，
当 Z<0时，系统丧失规定功能， 处于失效状态
当 Z=0时，系统处于临界状态， 或称为极限状态
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2020/11/22
水利工程风险分析[1]
荷载和抗力
• 荷载可以理解为使系统失去中规定功能的 影响因素
• 而抗力则可理解为使系统保持可靠状态的 影响因素。
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水利工程风险分析[1]
1、均值一次二阶矩法
• 在早期结构可靠性分析中，假设线性化点 就是均值点 ，此时，极限状态方程为：
•
• • 式中
的对应均值
表示随机变量
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水利工程风险分析[1]
设各随机变量统计独立，功能函数Z的均值mz ，
和标准差σz可由下式求得：
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3.1抗洪能力为常值的风险分析
抗洪能力为常值，即抗力为常值，非随机变量。而洪水的 值（荷载）为随机变量。
假设洪水设计值x0对应的超过概率p是已确定的值
以上定义的
在水文计算中叫重现期，含义为平均意
义上的发生间隔。
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水利工程风险分析[1]
• T被理解为首次发生时间的期望值更好。
•5、可靠指标与安全系数的关系
• a.可靠指标可以反映变量的随机性， 能够更加真实地反映系统的风险情况。
• b.可靠指标可以反映随机变量的离散 程度，更加合理。
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3.3 一次二阶矩法
• 结构功能函数大多是非线性函数，且不服从正 态分布。不能直接计算结构可靠指标，而采用 近似计算法。
•（8）检验
的条件是否满足，若不满足，
再次给定一个β值，并重复3-7步。
•（9）再次检验
的条件是否满足，若
不满足，则计算前后两次β和g的各自差值的比值
•，且令
，
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水利工程风险分析[1]
•估算新的β值，并重复步骤3-7，直到获得
•
为止
•（10）由
或
计算结
构可靠度或失效概率。
•（11） β的误差一般要求在0.01之内。
• 首次发生时间：从现在开始首次发生指定
事件（即
)的时间间隔，是一个随机
变量。
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水利工程风险分析[1]
• 显然，对于防洪系统（水库、围堰、河堤 等）在运行过程中，要么发生超标准洪水 ，要么不发生，二者必居其一。因此可以 用二项分布来表达。
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水利工程风险分析[1]
水利工程风险分析
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水利工程风险分析[1]
水利工程中风险的定义： 在规定的时间和规定的条件下，水利工程
不能够完成预计功能的概率。
水利工程中可靠度的定义： 系统在规定的时间和规定的条件下，完成 预定功能的概率。
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水利工程风险分析[1]
• 在通常情况下，只有一阶矩(均值)和二阶矩 (方差)较容易得到。
• 一次二阶矩法是一种在随机变量的分布尚不清 楚时，采用只有均值和标准差的数学模型去求 解结构可靠度的方法。
• 该法将功能函数 在某点用泰勒级数展开，使之线性化，然后求 解结构的可靠度，因此称为一次二阶矩。
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水利工程风险分析[1]
这是因为对于非线性功能函数，因略去二阶及高阶项，
故随着线性化点X0i (i=1，…，n)到失效边界距离的增
加而使误差越来越大.由于选用均值点作为线性点，
而均值点一般在可靠区（M）而非失效边界上，故往
往有相当大的误差。
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•2、改进一次二阶矩
• 规定的时间：在设计使用期内 • 规定的条件：规定的运行工况下 • 预定功能：根据不同的工程，功能不同
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水利工程风险分析[1]
系统的极限状态
• 整个系统或系统的某一部分超过某一特定 状态时，系统就不能满足设计规定的某一 功能要求，此特定状态称为该系统的极限 状态。
•的T>10年，R<50%的情况下，则可简化为：
•或
•在风险度R和施工年限N已给定的条件下，设 计施工洪水频率P（或重现期T）立即可以求 得。这样可以在施工年限和设计洪水组合上考 虑经济与安全的统一。
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水利工程风险分析[1]
• 参考文献：论施工导流标准，肖焕雄，水 力发电学报，1987年第3期。
水利工程风险分析[1]
•1、设R和S都服从正态分布
•则 •Z的概率密度函数为
•的正态分布
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概率密度如图
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•2、R,S为非正态分布随机变量 •概率密度函数分别为 fR(r) 和 fS(s)
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水利工程风险分析[1]
•围堰用三年，N=3年，
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水利工程风险分析[1]
•由此可以看出，围堰只用一年和用三年相比， 若要承受同样的风险，则设计的重现期后者比前 者更长。
•重现期为T年，围堰使用期为N年内都不出现重 现期为T的洪水的概率则为（1-1/T)N，风险度R 则为：
•或
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水利工程风险分析[1]
•优点：
•（1）直接给出β，直观 •（2）计算简便，当β=1~2时，尤为适用。
•缺点： •由上可以看出，对于同一问题，当采用不同的且等
效的极限状态方程时，将获得不同的可靠度指标β，
这就是均值一次二阶矩法存在的严重问题，即（1） 同一失效面，可能有多个等效的失效函数，（2）取 不同形式的功能函数，计算得到的可靠度指标不同。
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水利工程风险分析[1]
3.2 抗洪能力为随机变量的风险分析
实际上，水文事件和抗洪能力都是随机变量， 亦即荷载和抗力都是随机变量。那么风险可以定 义为
•记
• 则破坏可以定义
为 • 一般R，S是独立的、不同分布的随机变量；
Z的分布较难推出。先考虑下面的情况。
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水利工程风险分析[1]
功能函数
• 系统的极限状态可通过功能函数定义
设 X1，X2 ，……，Xn 为影响系统功能的n个
随机变量，则下面的随机函数
称为系统的功能函数
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水利工程风险分析[1]
当 Z>0时，系统可以完成规定功能， 处于可靠状态
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•解:（一）： •（1） •（2）
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•（3）选取β=3.0
•（4）选取验算点初值
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•（5）计算 的值
•（6）计算新的验算点 的值
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水利工程风险分析[1]
例题8：圆截面直杆，承受拉力P=100kN，已知材 料屈服强度fy的均值及标准差、杆的直径均值和标
准差分别为：
用均值一次二阶矩法求杆的可靠性指标β。
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水利工程风险分析[1]
•解题步骤：
•①给出极限状态方程 ②求偏导，给出均值泰勒展开线性化方程 ③求均值 ④求标准差
以施工导流工程为例： 设施工全过程防洪年限N年中，实际遭遇超
标准洪水I年，设计施工洪水频率为P，若允许超 过设计标准的洪水次数为z，则有： 设计施工洪水Xp的重现期为
即：
随机安全度
式中：R称为随机风险度
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水利工程风险分析[1]
当N，Z确定之后，则S~P（或S~T）的关系可 求得。
对N>10，T<15时，上式可用泊松分布表达， 近似可以写为：
•为解决均值一次二阶矩的问题，将线性化点 选在失效边界上，而且选在于结构最大可能 失效概率对应的设计验算点P*(S*,R*)上。依 此得到的方法称为改进一次二阶矩法或验算 点法。该方法是1974年由Hasofer和Lind提出 来的，也称H-L法。
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•定义可靠度指标为：在标准化坐标系中从原点（均 值点）到失效面的最短距离。当极限状态方程为线 性的时候，则
•同理，还可写成：
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3、可靠度与可靠指标
•仍以R和S均为正态随机变量的极限状态方程为例 •有
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• 将正态分布的随机变量Z转换成标准正态分布随 机变量Y •有
•引入符号 •并令
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•4、计算可靠指标的两个常用公式
•当极限状态方程为非线性的时候，则必须采用其
他的方法来求得β，其中最常用的是迭代法。
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•β的求法：
已知随机变量
，对应的功能函数为：
极限状态方程为：
将验算点
作为线性化点，用泰勒
级数展开（一次展开），则有：
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•Z的均值：
•由于 在失效边界面上，因此必有：
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•再次代入计算 的值，有：
•再次计算新的验算点 的值
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•整理后有： •所以有： •从中可得到验算点为：
•（对所有i）
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•上式表示n个方程，而未知数有n+1个，因此需进行
迭代求解，迭代公式为：：
•（43-9） •（4-3-10）
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•给出迭代过程解法：
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•Z的标准差： •可靠度指标为：
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•另一解法：
•解：P为常量，fy与d为随机变量。
•用应力极限状态方程来进行求解：
•有：
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•由此得：
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•Z的均值： •Z的标准差： •可靠度指标为：
⑤求可靠性指标β
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•解：P为常量，fy 与d 为随机变量。
•用极限载荷表示的极限状态方程为： •所以有：
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•线性化后的极限状态方程为：
•方程为：
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•由此有： •Z的均值：
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•所以 •Z的标准差
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•线性化 •且：
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水利工程风险分析[1]
表示第i个随机变量对整个标准差的相对影响，
因此称为灵敏系数。在已知变量方差下， 可以 完全由 确定，并且有：
•可靠度指标为：
•（4-3-7）
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•失效概率依然可以表示为
•先考虑抗力落在区 间 •ds内的概率，显然
•而抗力R小于荷载S 的概率为
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•假定R和S为相互独立的随机变量，则根据概率 的乘法定理，在S落在ds的时候，R小于S的概率 应为
•失效的概率Pf是在整个区间（0， ）上R小于S 的概率，所以有
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•例题9：已知极限状态方程
•变量f、W 均为正态分布，且:
•
，
•求可靠性指标β及 f、W 的验算点值
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•解题步骤：
•
①求出
；
•
②对非线性函数求各参数的偏导值
•
③给出 的表达式。
•
④给出 的表达式。
•
⑤选取可靠性指标β并进行迭代求解
•泰勒级数
•定义 如果函数 f (x)在 x0 的某邻域内是存在
任意阶导数,则幂级数
•称为函数 f (x)在x0处的泰勒级数.
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水利工程风险分析[1]
• 不考虑随机变量的实际分布，给出有关结 构构件可靠度的解析表达式，采用泰勒级 数在平均值（中心点）处展开，进行分析 和计算，称为均值一次二阶矩法。