利用勾股定理作图、计算
新人教版八年级下用勾股定理作出长度为无理数的线段
例如，已知一个直角三角形的两 条直角边长度分别为3和4，可以 利用勾股定理求出斜边长度为5
。
另外，勾股定理还可以用于判断 一个三角形是否为直角三角形， 以及解决一些与距离、速度、时
间等相关的实际问题。
XX
PART 03
无理数概念及性质
REPORTING
无理数定义与分类
无理数定义
无法表示为两个整数之比的实数 ，即不是有理数的实数。
• 利用相似三角形性质构造：通过构造相似三角形，利用相似比关系，可以作出 长度为无理数的线段。例如，可以构造一个直角三角形，其中一个锐角为30° ，那么它的对边与斜边之比就是1:2，斜边长度就是无理数√3。
• 利用圆的性质构造：通过圆的性质也可以构造出长度为无理数的线段。例如， 可以作一个直径为1的圆，然后在圆上取一个点A，使∠AOB=60°，那么线段 AB的长度就是无理数√3/2。
解题过程
首先，构造一个直角三角形，使其两直角边长度分别为1和2。然后，利用勾股定理计算 出斜边长度的平方为5。最后，通过对5开平方得到斜边长度为无理数$sqrt{5}$。
案例二
01
问题描述
已知一个直角三角形，其中一个锐角为30°，且斜边长度为2，求较短直
角边长度。
02 03
解题思路
根据30°-60°-90°特殊直角三角形的性质，较短直角边长度等于斜边长 度的一半乘以$sqrt{3}$。因此，较短直角边长度为$2 times frac{1}{2} times sqrt{3} = sqrt{3}$，为无理数。
XX
PART 04
用勾股定理构造无理数线 段方法
REPORTING
方法一：通过已知有理数边长构造直角三角形
选择两个已知的有理 数作为直角三角形的 两条直角边。
勾股定理的计算、作图【能力培优】
第十七章 勾股定理17.1勾股定理专题一 图形与勾股定理1. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）.图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ,2S ,3S .若1S +2S +3S =10，则2S 的值是 .2. 图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.在Rt △ABC 中，若直角边AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________.3. 如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形（两直角边长分别是a b ，，斜边长为c ）和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.（1）画出拼成的这个图形的示意图；（2）利用所画的图形证明勾股定理．专题二勾股定理与线段长度的计算4.如图，要制作底边BC的长为44 cm，顶点A到BC的距离与BC长的比为1∶4的等腰三角形木衣架，则腰AB的长至少需要cm．（结果保留根号的形式）5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则折痕BD的长为__________．6. Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为．【温馨提示】1. 利用图形验证勾股定理是我们常用的方法，同时能根据验证方法对勾股定理进行灵活的运用，这是近几年中考的常见的考查形式.2. 利用勾股定理的前提是这个三角形必须是直角三角形，否则是无法利用的.【方法技巧】1. 利用勾股定理求线段的长度时，首先要把所求线段转化为求直角三角形的边，然后利用勾股定理建立方程或方程组进行求解，同时注意线段的长度是正值.2. 已知直角三角形中两条边的长，求第三边的长，要注意分类讨论的应用.参考答案1. 103【分析】∵图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，2. 76 【分析】依据题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2=122+52=169，所以x=13，所以“数学风车”的周长是（13+6）×4=76．3.解法一：（1）如图：证明：大正方形的面积表示为）证明：大正方形的面积表示为：4. 【分析】如图，作AD⊥BC于D，∵AD∶BC=1∶4且BC=44，5. 35【分析】由勾股定理可求AB=10.通过折叠,有BC'＝BC＝6,故AC'＝AB－BC'＝4．设DC＝DC'＝x,在Rt△ADC'中,由勾股定理得x2+42=(8-x)2,解得x＝3,在Rt△BCD中,由勾股定理可求BD的值为35.6. 4或【分析】首先要结合题意，画出相应的图形．因为以AC为一边在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则AC可以是直角边，也可以是斜边，所以有三种情况．如图（1），BD＝4；如图（2）BD=如图（3），∠ACD＝90°，BC＝CD BD=。
数学人教版八年级下册勾股定理的应用(2)——作图
学习目标：1．能用勾股定理直角三角形全等的“斜边、直角边”判定定理。
2．能应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点。
3．体会勾股定理在数学中的地位和作用。
学习重点：用勾股定理作出长度为无理数的线段。
教学活动流程活动1：复习孕新，引入课题1.回顾勾股定理，并以针对性练习为画作铺垫；（2）用“数学海螺”图创设情境并导入新课，明确学习目标。
活动2：运用勾股定理证明（HL）用三角板作辅助演示活动3：课件动画演示作图演示的两种作法以及“数学海螺”的作法.活动4：动手实践，会“数形互变”以前面的练习题为作图思路导向，以课件演示类比模仿，教师演示规范作图，学生会作图也会求点.活动5：当堂检测教材第27页习题活动6：拓展应用，服务生活1.用无刻度的直尺在网格上按要求画含无理数线段的三角形；（2）求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路径。
活动7：小结梳理数轴图——网格图——展开图；实际问题——数学问题——建模活动8：布置作业教学过程活动1：复习孕新，引入课题1.问题（1）勾股定理的内容是什么？怎样求斜边长c或直角边长a、b？（2）求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边长。
a=1 b=1 (c=)a=1 b= (c=)a=2 b=3 (c=)设计意图：在复习的基础上为新课画无理数线段作铺垫，实现知识正迁移。
（3）如果直角三角形ABC的两边长分别为3和4，求第三边长。
设计意图：第三边应考虑为直角边或斜边，渗透分类讨论思想。
2.课件展示“数学海螺”图片并明确学习目标设计意图：创设情境并明确本节课学习任务。
活动2：运用勾股定理证明（HL）用三角板作演示，并要求画图并写出已知、求证并证明，利用勾股定理求得第三边长，再利用（SSS）或（SAS）可证得。
活动3：课件动画演示作图1.对比的两种作法，明确当直角边为正整数时作图方便，并引导学生如何规范作图。
2.“数学海螺”的作法活动4：动手实践，会“数形互变”1.在数轴上画出表示的点，的点呢？2.求点A在数轴上表示的点（1-）设计意图：以练习为画的思路导向，以活动3为类比模仿会作图也会求点，实现数形互变，以“数”化“形”，以“形”变“数”，渗透数形结合思想。
《勾股定理》PPT(第3课时利用勾股定理作图和计算)
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
- .
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
2
2
D
∵ = 12 + 22 = 5，
CD
3
5
3 5
.
5
课程讲授
2
勾股定理与网格
归纳：1.勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放
在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度.
2.网格中求格点三角形的高的题，常用的方法是利用网格
求面积，再用面积法求高.
课程讲授
3
勾股定理与几何图形
两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，
115.2
PH＝6，则长方形ABCD的面积为________．
课堂小
结
在数轴上表示出无理数
的点
利用勾股定理
作图或计算
在网格中利用勾股定理
解决问题
勾股定理在几何图形中
的应用
如图所示．作法：
解：
(1)在数轴上找出表示4的点A，则OA＝4；
(2)过A作直线l垂直于OA；
O
(3)在直线l上取点B，使AB＝1；
(4)以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与
数轴的交点C即为表示
B
17 的点．
0
1 2
•
3 4
人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT精品教学课件
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A， 则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了
勾股定理例题详解
勾股定理经典例题详解知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a,b,斜边长为c,那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：1勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理;2勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角;3理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2, a2=c2-b2, b2=c2-a2 , c2=a+b2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形;图1中,所以;方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正方形;图2中,所以;方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图3—1和3—2所示的两个形状相同的正方形;在3—1中,甲的面积=大正方形面积—4个直角三角形面积,在3—2中,乙和丙的面积和=大正方形面积—4个直角三角形面积,所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即：.方法四：如图4所示,将两个直角三角形拼成直角梯形;,所以;知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边,求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题； 4．利用勾股定理,作出长为的线段;2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数,称为勾股数又称为高数或毕达哥拉斯数,显然,以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形;熟悉下列勾股数,对解题是会有帮助的：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．如果a,b,c是勾股数,当t>0时,以at,bt,ct为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形;经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中,∠C=90°1已知a=6, c=10,求b, 2已知a=40,b=9,求c；3已知c=25,b=15,求a.思路点拨:写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用;解析：1 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b=2 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c=3 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a=总结升华：有一些题目的图形较复杂,但中心思想还是化为直角三角形来解决;如：不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差或和;举一反三变式:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少答案∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图,已知：在中,,,. 求：BC的长.思路点拨：由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有,,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的长.解析：作于D,则因,∴的两个锐角互余∴在中,如果一个锐角等于,那么它所对的直角边等于斜边的一半.根据勾股定理,在中,.根据勾股定理,在中,.∴.总结升华：利用勾股定理计算线段的长,是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时,也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.举一反三变式1如图,已知：,,于P. 求证：.思路点拨: 图中已有两个直角三角形,但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此,我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样,实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理,可证明这几条线段的平方之间的关系.解析：连结BM,根据勾股定理,在中,.而在中,则根据勾股定理有.∴又∵已知,∴.在中,根据勾股定理有,∴.变式2已知：如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2;求：四边形ABCD的面积;分析：如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单;解析：延长AD、BC交于E;∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°;∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==;∵DE2= CE2-CD2=42-22=12,∴DE==;∴S四边形ABCD =S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=类型三：勾股定理的实际应用一用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点;1求A、C两点之间的距离;2确定目的地C在营地A的什么方向;思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度,利用勾股定理求解;解析：1过B点作BE米, CＨ＝０.６＋２.３＝２.９米＞２.５米．因此高度上有米的余量,所以卡车能通过厂门．二用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分．请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线．思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短,通过利用勾股定理计算线路长,然后进行比较,得出结论．解析：设正方形的边长为1,则图1、图2中的总线路长分别为AB+BC+CD＝3,AB+BC+CD＝3图3中,在Rt△ABC中同理∴图3中的路线长为图4中,延长EF交BC于H,则FH⊥BC,BH＝CH由∠FBH＝及勾股定理得：EA＝ED＝FB＝FC＝∴EF＝1－2FH＝1－∴此图中总线路的长为4EA+EF＝3＞>∴图4的连接线路最短,即图4的架设方案最省电线．总结升华：在实际生产工作中,往往工程设计的方案比较多,需要运用所学的数学知识进行计算,比较从中选出最优设计．本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质．举一反三变式如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高ＡＢ为4cm,ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程．解：如图,在Rt△ＡＢＣ中,ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm, 根据勾股定理得提问：勾股定理∴ AC＝＝＝≈１０．７７cm勾股定理．答：最短路程约为１０．７７cm．类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为、、的线段;思路点拨：由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边长就是,类似地可作;作法：如图所示1作直角边为1单位长的等腰直角△ACB,使AB为斜边；2以AB为一条直角边,作另一直角边为1的直角;斜边为；3顺次这样做下去,最后做到直角三角形,这样斜边、、、的长度就是、、、;总结升华：1以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；2取单位长时可自定;一般习惯用国际标准的单位,如1cm、1m等,我们作图时只要取定一个长为单位即可;举一反三变式在数轴上表示的点;解析：可以把看作是直角三角形的斜边,,为了有利于画图让其他两边的长为整数,而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1;作法：如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径,以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为;类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1．原命题：猫有四只脚．正确2．原命题：对顶角相等正确3．原命题：线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等．正确4．原命题：角平分线上的点,到这个角的两边距离相等．正确思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系;解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫不正确2. 逆命题：相等的角是对顶角不正确3. 逆命题：到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．•正确4. 逆命题：到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上．正确总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备;7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ΔABC 的形状;思路点拨：要判断ΔABC的形状,需要找到a、b、c的关系,而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手,解决问题;解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,∴ a-32+b-42+c-52=0;∵ a-32≥0, b-42≥0, c-52≥0;∴ a=3,b=4,c=5;∵ 32+42=52,∴ a2+b2=c2;由勾股定理的逆定理,得ΔABC是直角三角形;总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到;举一反三变式1四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积;答案：连结AC∵∠B=90°,AB=3,BC=4∴AC2=AB2+BC2=25勾股定理∴AC=5∵AC2+CD2=169,AD2=169∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°勾股定理逆定理变式2已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2m,n为正整数,且m＞n,判断△ABC是否为直角三角形.分析:本题是利用勾股定理的的逆定理, 只要证明:a2+b2=c2即可证明：所以△ABC是直角三角形.变式3如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=AB;请问FE与DE是否垂直请说明;答案答：DE⊥EF;证明：设BF=a,则BE=EC=2a, AF=3a,AB=4a,∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2;连接DF如图DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2;∴ DF2=EF2+DE2,∴ FE⊥DE;经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3：4,斜边长是20,求此直角三角形的面积;思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,可以先通过比值设未知数,再根据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积;解析：设此直角三角形两直角边分别是3x,4x,根据题意得：3x2+4x2＝202化简得x2＝16；∴直角三角形的面积＝×3x×4x＝6x2＝96总结升华：直角三角形边的有关计算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程组求解;举一反三变式1等边三角形的边长为2,求它的面积;答案如图,等边△ABC,作AD⊥BC于D则：BD＝BC等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合∵AB＝AC＝BC＝2等边三角形各边都相等∴BD＝1在直角三角形ABD中,AB2＝AD2+BD2,即：AD2＝AB2－BD2＝4－1＝3∴AD＝＝BC·AD＝S△ABC注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a,则其面积为a;变式2直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积;答案设此直角三角形两直角边长分别是x,y,根据题意得：由1得：x+y＝7,x+y2＝49,x2+2xy+y2＝49 33－2,得：xy＝12∴直角三角形的面积是xy＝×12＝6cm2变式3若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,求n;思路点拨：首先要确定斜边最长的边长n+3,然后利用勾股定理列方程求解;解：此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得：n+12+n+22＝n+32化简得：n2＝4∴n＝±2,但当n＝－2时,n+1＝－1<0,∴n＝2总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方,在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下,首先要先确定斜边,直角边;变式4以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是A、8,15,17B、4,5,6C、5,8,10D、8,39,40解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断,对数据较大的可以用c2＝a2+b2的变形：b2＝c2－a2＝c－ac+a来判断;例如：对于选择D,∵82≠40+39×40－39,∴以8,39,40为边长不能组成直角三角形;同理可以判断其它选项; 答案：A变式5四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积;解：连结AC∵∠B=90°,AB=3,BC=4∴AC2=AB2+BC2=25勾股定理∴AC=5∵AC2+CD2=169,AD2=169∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°勾股定理逆定理∴S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=36类型二：勾股定理的应用2、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN＝30°,点A处有一所中学,AP＝160m;假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒思路点拨：1要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度;2要求出学校受影响的时间,实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程;因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后结束影响学校;解析：作AB⊥MN,垂足为B;在 RtΔABP中,∵∠ABP＝90°,∠APB＝30°, AP＝160,∴ AB＝AP＝80; 在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半∵点 A到直线MN的距离小于100m,∴这所中学会受到噪声的影响;如图,假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响,那么AC＝100m,由勾股定理得： BC2＝1002-802＝3600,∴ BC＝60;同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响,那么,AD＝100m,BD＝60m,∴CD＝120m;拖拉机行驶的速度为 : 18km/h＝5m/st＝120m÷5m/s＝24s;答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时,学校会受到噪声影响,学校受影响的时间为24秒;总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理;举一反三变式1如图学校有一块长方形花园,有极少数人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内走出了一条“路”;他们仅仅少走了__________步路假设2步为1m,却踩伤了花草;解析：他们原来走的路为3+4＝7m设走“捷径”的路长为xm,则故少走的路长为7－5＝2m又因为2步为1m,所以他们仅仅少走了4步路;答案4变式2如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,这样的三角形称为单位正三角形;1直接写出单位正三角形的高与面积;2图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形平行四边形ABCD的面积是多少3求出图中线段AC的长可作辅助线;答案1单位正三角形的高为,面积是;2如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形,因此其面积;3过A作AK⊥BC于点K如图所示,则在Rt△ACK中,,,故类型三：数学思想方法一转化的思想方法我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决．3、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5．求线段EF的长;思路点拨：现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中,所以关键是线段的转化,根据直角三角形的特征,三角形的中线有特殊的性质,不妨先连接AD．解：连接AD．因为∠BAC=90°,AB=AC．又因为AD为△ABC的中线,所以AD=DC=DB．AD⊥BC．且∠BAD=∠C=45°．因为∠EDA+∠ADF=90°．又因为∠CDF+∠ADF=90°．所以∠EDA=∠CDF．所以△AED≌△CFDASA．所以AE=FC=5．同理：AF=BE=12．在Rt△AEF中,根据勾股定理得：,所以EF=13;总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识;通过此题,我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解;二方程的思想方法4、如图所示,已知△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,,求、、的值;思路点拨：由,再找出、的关系即可求出和的值;解：在Rt△ABC中,∠A=60°,∠B=90°-∠A=30°,则,由勾股定理,得;因为,所以,,,;总结升华：在直角三角形中,30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半;举一反三：变式如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EF的长;解：因为△ADE与△AFE关于AE对称,所以AD=AF,DE=EF;因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=∠C=90°,在Rt△ABF中, AF=AD=BC=10cm,AB=8cm,所以; 所以;设,则;在Rt△ECF中,,即,解得;即EF的长为5cm;。
17.1 勾股定理(2)勾股定理的应用 参考解析
17.1 勾股定理第2课时勾股定理的应用课前预习1.应用勾股定理的前提条件是在直角三角形中.如果三角形不是直角三角形，要先构建直角三角形，再利用勾股定理求未知边的长.2.利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的计算和证明，其主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；（2）已知直角三角形的任意一边，确定另外两边的关系；（3）证明包含平方关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长.3.一般地，n为正整数），通常是利用勾股定理作图.课堂练习知识点1 勾股定理的实际应用1.如图，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=___2___.2.【核心素养·数学抽象】如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要___7___米.3.（教材改编）如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑___0.5___米.【解析】在Rt△ACB中，根据勾股定理，得AC=22-=2.在2.5 1.5AB CB-=22Rt△ECD中，根据勾股定理，得CE=22-=1.5.∴AE=AC -ED CD2.52-=22CE=2-1.5=0.5.即滑竿顶端A下滑0.5米.故答案为0.5.4.如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的高度﹒于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线未端刚好接触地面.请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB.解：根据题意，得AC=AB+1，BC=5米.在Rt△ABC中，BC2+AB2=（1+AB）2.解得AB=12（米）.答：风筝距离地面的高度AB 为12米.5.放学以后，小东和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小东和晓晓行走的速度都是40米/分钟，小东用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，求小东和晓晓家的直线距离.解：根据题意作图，由图可知△ABO是直角三角形，OA=40×20=800（米），OB=40×15=600（米）.在Rt△OAB中，根据勾股定理，得（米）.答：小东和晓晓家的直线距离为1 000米.知识点2 在数轴上表示无理数6.（2020玉溪红塔区期末）如图，数轴上的点A表示的数是-2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC=2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（C）.7.用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示解：∵32+22=13，3和2的直角三角形的斜边长.∴课时作业练基础1.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这___8___条.30°，则以它的腰长为边2.有一个面积为的正方形的面积为___20___.3.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行（B）A.8米B.10米C.12米D.14米4.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读ｋǔｎ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，图2，推开双门，双门间隙C，D的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺=10 寸），则AB的长是（C）A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸5.（2020盘龙区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为 1.5米，则小巷的宽为（C）A.2.5米B.2.6米C.2.7米D.2.8米【解析】在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=1.5米，BD2+A′D2=A′B2，∴BD2+1.52=6.25.∴BD2=4.∵BD＞0，∴BD=2米.∴CD=BC+BD=0.7+2=2.7米.故选C.6.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-2，3），以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标在（B）A.-3和-2之间B.-4和-3之间C.-5和-4之间D.-6和-5之间7.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三边a，b，c的大小关系是（B）A.c＜b＜aB.c＜a＜bC.a＜c＜bD.a＜b＜c8.（教材改编）小明拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿的长和门的高. 解：根据题意作图，由图可知AD=4尺.设门高AB为x尺，则竹竿的长BD为（x+1）尺.在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2+AD2=BD2，即x2+42=(x+1)2，解得x=7.5.则x+1=8.5.答：竹竿的长为8.5尺，门高为7.5尺.9.【核心素养·数学抽象】一根直立的旗杆AB长 8 m，一阵大风吹过，旗杆从C点处折断，顶部（B）着地，离杆脚（A）4 m，如图.工人在修复的过程中，发现在折断点C的下面1.25 m 的D处，有一明显伤痕，如果下次大风将旗杆从D 处刮断，则杆脚周围多大范围内有被砸伤的危险？解：在Rt △ABC 中，设AC 的长为x m ，则BC 的长为（8-x ）m.根据勾股定理，得AC 2+AB 2=BC 2，即x 2+42=（8-x ）2.解得x=3，即AC=3.当从点D 处折断时，AD=AC-CD=3-1.25=1.75，∴BD=8-1.75=6.25.∴AB=3675.125.62222=-=-AD BD =6 （m ）.答：杆脚周围6 m 范围内有被砸伤的危险.10.如图，铁路上A ，B 两站（视为直线上的两点）相距25 km ，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，DA=15 km ，CB=10 km ，现要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C ，D 两村到收购站E 的距离相等，则收购站E 应建在距离A 站多少km 处？解：∵C ，D 两村到E 点的距离相等，∴CE=DE.在Rt △DAE 和Rt △CBE 中，根据勾股定理，得DE 2=AD 2+AE 2，CE 2=BE 2+BC 2，∴AD 2+AE 2=BE 2+BC 2.设AE=x km ，则BE=（25-x ）km.x 2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：收购站E 应建在距离A 站10 km 处.提能力11.如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则BC 边上的高是（ A ）A.223 B.1055 C.553 D.554【解析】由图形，根据勾股定理可得ABC 的面积为2×2-12×1×1-12×1×2-12×1×2=4-12-2=32，再根据△ABC 面积的不同计算方法得32=12BC 边上的高.故选A. 12.有一辆装满货物的卡车，高5 m ，宽3.2 m （货物的顶部是水平的），要通过如图所示的截面的上半部分是半圆，下半部分是长方形的隧道，已知半圆的直径为4 m ，长方形竖直的一条边长是4.6 m.这辆卡车能否通过此隧道？请说明理由.解：能通过. 理由如下：如图，设O 为半圆的圆心，AB 为半圆的直径，在OB 上截取OE=3.2÷2=1.6（m ），过点E 作EF ⊥AB 交半圆于点F ，连接OF.在Rt △OEF 中，OF 2=OE 2+EF 2，即22=1.62+EF 2，解得EF=1.2 m.因为1.2+4.6=5.8（m ）＞5 m ，所以这辆卡车能通过此隧道.。
习题word版：第十七章 勾股定理
第十七章 勾股定理17．1 勾股定理 第1课时 勾股定理01 基础题知识点1 勾股定理的证明1．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理结论的数学表达式是a 2＋b 2＝c 2．2．在一张纸上画两个全等的直角三角形，并把它们拼成如图形状，请用两种方法表示这个梯形的面积．利用你的表示方法，能得到勾股定理吗？解：∵梯形的面积为12(a ＋b)(a ＋b)＝12ab ＋12ab ＋12c 2，∴a 2＋2ab ＋b 2＝ab ＋ab ＋c 2. ∴a 2＋b 2＝c 2.知识点2 利用勾股定理进行计算3．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对应边分别是a ，b ，c ，若∠B ＝90°，则下列等式中成立的是(C ) A ．a 2＋b 2＝c 2 B ．b 2＋c 2＝a 2 C ．a 2＋c 2＝b 2 D ．c 2－a 2＝b 2 4．(2019·平顶山期末)在△ABC 中，∠B ＝90°.若BC ＝3，AC ＝5，则AB 等于(C ) A ．2 B ．3 C ．4 D .34 5．已知直角三角形中30°角所对的直角边的长是2 3 cm ，则另一条直角边的长是(C ) A ．4 cm B ．4 3 cm C ．6 cm D ．6 3 cm 6．(2019·毕节)如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上．若EB ＝1，EC ＝2，则正方形ABCD 的面积为(B ) A .3 B ．3 C . 5 D ．57．(2019·洛阳期中)如图，在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝5 cm ，BC ＝13 cm ，BD 是AC 边上的中线，则△BCD 的面积是15__cm 2．8．(2019·郑州高新区期末)如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A 所代表的正方形的面积为64．【变式】 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆S 1，S 2，S 3.若S 2＝32π，S 3＝18π，则斜边上半圆的面积S 1＝50π．知识点3赵爽弦图9．【关注数学文化】(2019·咸宁)勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是(B),A) ,B) ,C) ,D)10．(2019·大庆)我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么(a－b)2的值是1．易错点直角边不确定时漏解11．(2019·洛阳期中)已知Rt△ABC的三边长为a，4，5，则a的值是(C)A．3 B.41C．3或41 D．9或4102中档题12．(本课时T8变式)如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外作等边三角形．若AB＝4，则三个等边三角形的面积之和是(A)A．8 3 B．6 3C．18 D．1213．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB 上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)A．3 3 B．6C．3 2 D.2114．(2019·河南)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3.分别以点A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若点O是AC的中点，则CD的长为(A)A．2 2 B．4C．3 D.1015．(2018·荆州)为了比较5＋1与10的大小，可以构造如图所示的图进行推算，其中∠C ＝90°，BC ＝3，D 在BC 上且BD ＝AC ＝1.通过计算可得5＋1>10.(填“>”“<”或“＝”)16．在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为32或42． 17．如图，在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．解：在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13， 设BD ＝x ，则CD ＝14－x.由勾股定理，得AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x)2. ∴152－x 2＝132－(14－x)2.解得x ＝9. ∴AD ＝12.∴S △ABC ＝12BC·AD ＝12×14×12＝84., 03 综合题) 18．(2019·毕节改编)三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝45°，∠A ＝60°，AC ＝10，求CD 的长度．解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝10， ∴∠ABC ＝30°.∴AB ＝2AC ＝20，BC ＝AB 2－AC 2＝10 3. ∵AB ∥CF ，∴∠BCM ＝∠ABC ＝30°.∴BM ＝12BC ＝12×103＝5 3.∴CM ＝BC 2－BM 2＝15. 在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝45°， ∴∠EDF ＝45°. ∴MD ＝BM ＝5 3.∴CD ＝CM －MD ＝15－5 3.第2课时勾股定理的应用01基础题知识点1勾股定理在平面图形中的应用1．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行10米．2．八(2)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD的长度为15米；(注：BD⊥CE)②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明身高为1.6米．求风筝的高度CE.解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD＝CB2－BD2＝252－152＝20(米)．∴CE＝CD＋DE＝20＋1.6＝21.6(米)．答：风筝的高度CE为21.6米．3．(2019·郑州管城区月考)如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，它们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距多少海里？解：由题意，得BO＝1.5×6＝9(海里)，AO＝1.5×8＝12(海里)，∠1＝∠2＝45°，故∠AOB＝90°，AB＝BO2＋AO2＝15(海里)．答：甲、乙两渔船相距15海里．知识点2两次勾股定理的应用4．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为(C) A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米5．(教材P25例2变式)如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC 上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑0.5米．知识点3利用勾股定理求两点间的距离6．(2019·常州)平面直角坐标系中，点P(－3，4)到原点的距离是5．7．(教材P26练习T2变式)如图，在平面直角坐标系中，A(4，4)，B(1，0)，C(0，1)，则B，C两点间的距离是2；A，C两点间的距离是5；A，B两点间的距离是5．8．(2019·大庆)如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km 至C港．(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)；(2)确定C港在A港的什么方向．解：(1)由题意，得∠PBC＝30°，∠MAB＝60°.∴∠CBQ＝60°，∠BAN＝30°.∴∠ABQ＝30°.∴∠ABC＝∠ABQ＋∠CBQ＝90°.∵AB＝BC＝10，∴在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝102≈14.1.答：A，C两港之间的距离约为14.1 km.(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°.∴∠CAM＝60°－45°＝15°.∴C港在A港北偏东15°的方向上．02中档题9．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为(D)A．4米B．8米C．9米D．7米10．(2019·南京)无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有5cm.11．【方程思想】如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5 m(踏板厚度忽略不计)，右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1 m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5 m(不考虑支柱的直径)．求秋千支柱AD的高．解：设AD＝x m，则由题意可得AB＝(x－0.5)m，AE＝(x－1)m.在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，即(x－1)2＋1.52＝(x－0.5)2.解得x＝3.答：秋千支柱AD的高为3 m.12．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100 m的P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A 处行驶到B处所用的时间为3 s，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了80 km/h的限制速度？解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，则∠P AO＝30°.∴AP＝2OP＝200 m，AO＝AP2－OP2＝2002－1002＝1003(m)．在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，则BO＝OP＝100 m.∴AB＝AO－BO＝(1003－100)m.∴从A到B小车行驶的速度为(1003－100)÷3≈24.4(m/s)＝87.84 km/h>80 km/h.∴此车超过80 km/h的限制速度．03综合题13．【分类讨论思想】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC 以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s.(1)求BC边的长；(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16.∴BC＝4 cm.(2)由题意，知BP＝t cm，①当∠APB为直角时，如图1，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，∴t＝4；②当∠BAP为直角时，如图2，BP＝t cm，CP＝(t－4)cm，AC＝3 cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2＝32＋(t－4)2.在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，即52＋[32＋(t－4)2]＝t2.解得t ＝254.∴当△ABP 为直角三角形时，t ＝4或254.第3课时 利用勾股定理作图01 基础题知识点1 在数轴上表示无理数 1．(教材P 27练习T 1变式)(2019·河南期末)如图，数轴上点A 对应的数是0，点B 对应的数是1，BC ⊥AB ，垂足为B ，且BC ＝2，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交数轴于点D ，则点D 表示的数为(D )A ．2.2B . 2C . 3D . 52．在数轴上作出表示10的点(保留作图痕迹，不写作法)． 解：略．知识点2 网格中的无理数3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，点B(3，－1)，则线段AB 的长度为(C ) A . 2 B . 3 C . 5 D ．34．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD ⊥AC 于点D ，则CD 的长为(A ) A .255 B .355 C .455 D .455．利用如图4×4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数8和－8.解：如图所示．知识点3 等腰三角形中的勾股定理6．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB ＝12 cm ，则AF ＝62cm .7．(2019·天水)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为(B ) A ．(1，1) B ．(1，3) C ．(3，1) D ．(3，3)8．(教材P27练习T2变式)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13 cm ，BC ＝10 cm ，求等腰三角形的底边上的高与面积．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ， ∵AB ＝AC ＝13 cm ，∴BD ＝CD ＝12BC ＝12×10＝5(cm)．∴AD ＝AB 2－BD 2＝132－52 ＝12(cm)，即等腰三角形底边上的高为12 cm.∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×10×12＝60(cm 2)．02 中档题 9．(2019·驻马店汝南县期末)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以点A 为圆心，AC 长为半径作圆弧交边AB 于点D.若 AC ＝3，BC ＝4，则BD 的长是(A )A ．2B ．3C ．4D ．510．如图，图中小正方形的边长为1，△ABC 的周长为(B )A ．16B ．12＋4 2C ．7＋7 2D ．5＋11 211．(教材P 27练习T 1变式)如图，数轴上点A 所表示的实数是5－1．12．点A ，B ，C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离为355．13．如图，△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连接BD ，求BD 的长．解：∵△ABC 和△DCE 都是边长为4的等边三角形， ∴CB ＝CD ，∠CDE ＝∠DCE ＝60°.∴∠BDC ＝∠DBC ＝12∠DCE ＝30°.∴∠BDE ＝90°.在Rt △BDE 中，DE ＝4，BE ＝8， ∴BD ＝BE 2－DE 2＝82－42＝4 3.14．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点． (1)在图1中，以格点为端点，画线段MN ＝13；(2)在图2中，以格点为顶点，画正方形ABCD ，使它的面积为10.解：(1)如图． (2)如图．03 综合题15．仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题．OA 22＝(1)2＋1＝2，S 1＝12； OA 23＝(2)2＋1＝3，S 2＝22； OA 24＝(3)2＋1＝4，S 3＝32； …(1)请用含有n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA 10的长；(3)求出S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210的值．解：(1)OA 2n＝(n －1)2＋1＝n ，S n ＝n2(n 为正整数)． (2)OA 210＝(9)2＋1＝10， ∴OA 10＝10.(3)S 21＋S 22＋S 23＋…＋S 210 ＝(12)2＋(22)2＋(32)2＋…＋(92)2＋(102)2 ＝14＋24＋34＋…＋94＋104 ＝1＋2＋3＋…＋9＋104＝1＋102×104＝554.小专题(二) 利用勾股定理解决最短路径问题 ——教材P39复习题T12的变式与应用【例】 如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm ，底面半径等于3 cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少？(π取3)【思路点拨】 要求蚂蚁爬行的最短路程，需将空间图形转化为平面图形(即立体图形的平面展开图)，把圆柱沿着过A 点的直线AA ′剪开，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段AB 这条路线走．解：如图，由题意可得：AA ′＝12，A ′B ＝12×2π×3＝9.在Rt △AA ′B 中，根据勾股定理，得 AB 2＝A ′A 2＋A ′B 2＝122＋92＝225. ∴AB ＝15.∴需要爬行的最短路程是15 cm.图例圆柱――→展开长方 体阶梯 问题基本 思路将立体图形展开成平面图形→利用“两点之间，线段最短”确定最短路线→构造直角三角形→利用勾股定理求解.1．(2018·禹州期中)如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.(杯壁厚度不计)2．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为24 dm，3 dm，3 dm，点A和点B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是30__dm．3．如图，长方体的高为5 cm，底面长为4 cm，宽为1 cm.(1)点A1到点C2之间的距离是多少？(2)若一只蚂蚁从点A2爬到C1，则爬行的最短路程是多少？解：(1)∵长方体的高为5 cm，底面长为4 cm，宽为1 cm，∴A2C2＝42＋12＝17(cm)．∴A1C2＝52＋（17）2＝42(cm)．(2)如图1所示，A2C1＝52＋52＝52(cm)．如图2所示，A2C1＝92＋12＝82(cm)．如图3所示，A2C1＝62＋42＝213(cm)．∵52＜213＜82，∴一只蚂蚁从点A2爬到C1，爬行的最短路程是5 2 cm.小专题(三)方程思想在勾股定理中的应用——教材P39复习题T10的解法剖析及变式应用【教材母题】一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？(这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题．其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺．)解：设AB＝x尺，根据题意，得∠BAC＝90°，AB＋BC＝10尺，∴BC ＝(10－x )尺． ∵AC 2＋AB 2＝BC 2， ∴32＋x 2＝(10－x )2，解得x ＝41120.答：折断处离地面41120尺．在一个直角三角形中，若已知两边长，可直接运用勾股定理求第三边长，若已知一边长，且知另两边具有一定的数量关系，可利用方程思想，设出一边长，利用数量关系表示另一边长，借助勾股定理这一等量关系列出方程解决问题，其中两边的数量关系主要有两种呈现形式：一是直角三角形中有特殊角，二是出现图形的折叠．类型1 利用直角三角形中的特殊角揭示两边的数 量关系1．求下列直角三角形中未知的边长．解：如图1，设AC ＝x ，∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°， ∴AB ＝2x.∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴(2x)2＝x 2＋32.∴x ＝3或－3(负值舍去)． ∴AC ＝3，AB ＝2 3.如图2，设AC ＝x ，∵∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，∴BC ＝AC ＝x.∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴x 2＋x 2＝(32)2.∴x ＝3或－3(负值舍去)． ∴AC ＝BC ＝3.类型2 利用图形的折叠找两边的数量关系2．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝4，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为(C )A .53B .52C .83D ．53．如图，在长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB ＝6．4．如图，把长方形纸片ABCD 折叠，使其对角顶点A 与C 重合．若长方形的长BC 为8，宽AB 为4，则折痕EF 的长度为25．类型3 利用勾股定理和方程思想求点的坐标5．如图，在平面直角坐标系中，A(1，3)，试在x 轴上找一点P ，使△OAP 为等腰三角形，求出P 点的坐标．解：过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B. ∵A(1，3)，∴OB ＝1，AB ＝3. ∴OA ＝12＋32＝10.当AO ＝AP 时，以A 为圆心，AO 长为半径画弧与x 轴交于点O 与点P 1， ∵AB ⊥x 轴，∴BP 1＝BO ＝1，即P 1(2，0)；当OA ＝OP 时，以O 为圆心，OA 长为半径画弧与x 轴交于点P 2，P 3， ∵OA ＝10，∴P 2(10，0)，P 3(－10，0)；当PA ＝PO 时，作OA 的垂直平分线交x 轴于点P 4. 设OP 4＝x ，则BP 4＝x －1，AP 4＝OP 4＝x.在Rt △ABP 4中，AP 24＝AB 2＋BP 24， ∴x 2＝32＋(x －1)2.解得x ＝5，即P 4(5，0)．综上所述，使△OAP 为等腰三角形的点P 有：P 1(2，0)，P 2(10，0)，P 3(－10，0)，P 4(5，0)．17.2 勾股定理的逆定理01 基础题 知识点1 互逆命题1．下列各命题的逆命题不成立的是(C ) A ．两直线平行，同旁内角互补B ．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等C ．对顶角相等D ．如果a 2＝b 2，那么a ＝b 2．(2019·安徽)命题“如果a ＋b ＝0，那么a ，b 互为相反数”的逆命题为如果a ，b 互为相反数，那么a ＋b ＝0．逆命题是真命题．(填“真命题”或“假命题”)知识点2 勾股定理的逆定理 3．(2019·郑州期末)下面四组数，其中是勾股数组的是(A ) A ．3，4，5 B ．0.3，0.4，0.5 C ．32，42，52 D ．6，7，8 4．(2019·洛阳洛龙区期中)由线段a ，b ，c 组成的三角形不是直角三角形的是(D ) A ．a 2－b 2＝c 2B ．a ＝54，b ＝1，c ＝34C ．a ＝2，b ＝3，c ＝7D ．∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5 5．(2019·益阳)已知M ，N 是线段AB 上的两点，AM ＝MN ＝2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则△ABC 一定是(B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形6．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数：答案不唯一，如：5，12，13；7，24，25．7．已知：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角．(1)a＝3，b＝22，c＝5；(2)a＝5，b＝7，c＝9；(3)a＝5，b＝26，c＝1.解：(1)是，∠B是直角．(2)不是．(3)是，∠A是直角．8．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．解：在△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，∴根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝42＋32＝52.∴AC＝5.∵AC2＋CD2＝52＋122＝25＋144＝169，AD2＝132＝169，∴AC2＋CD2＝AD2.∴△ACD是直角三角形，且AD为斜边，即∠ACD＝90°.02中档题9．如图，AD为△ABC的中线，且AB＝13，BC＝10，AD＝12，则AC等于(D)A．10 B．11 C．12 D．1310．下列定理中，没有逆定理的是(B)A．等腰三角形的两个底角相等B．对顶角相等C．三边对应相等的两个三角形全等D．直角三角形两个锐角的和等于90°11．【关注数学文化】(2018·长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为(A)A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米12．如图，方格中的点A，B称为格点(横线的交点)，以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C的个数为(B)A．3 B．4 C．5 D．613．把一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，则这个三角形是直角三角形．14．(教材P34习题T6变式)如图，在正方形ABCD中，E，F分别BC，CD边上的一点，且BE＝2EC，FC＝2 9DC，连接AE，AF，EF，求证：△AEF是直角三角形．证明：设FC ＝2a ，则DC ＝9a ，DF ＝7a. ∴AB ＝BC ＝AD ＝CD ＝9a. ∵BE ＝2CE ，∴BE ＝6a ，EC ＝3a.在Rt △ECF 中，EF 2＝EC 2＋FC 2＝(3a)2＋(2a)2＝13a 2. 在Rt △ADF 中，AF 2＝AD 2＋DF 2＝(9a)2＋(7a)2＝130a 2. 在Rt △ABE 中，AE 2＝AB 2＋BE 2＝(9a)2＋(6a)2＝117a 2. ∵13a 2＋117a 2＝130a 2， ∴EF 2＋AE 2＝AF 2.∴△AEF 是以∠AEF 为直角的直角三角形．15．(教材P 34习题T 5变式)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝1，CD ＝3，DA ＝1，且∠B ＝90°.求： (1)∠BAD 的度数；(2)四边形ABCD 的面积(结果保留根号)；(3)将△ABC 沿AC 翻折至△AB′C ，如图所示，连接B′D ，求四边形ACB′D 的面积．解：(1)∵AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°， ∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°，AC ＝AB 2＋BC 2＝ 2. 又∵CD ＝3，DA ＝1， ∴AC 2＋DA 2＝CD 2.∴△ADC 为直角三角形，∠DAC ＝90°. ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝135°.(2)∵S △ABC ＝12AB·BC ＝12，S △ADC ＝12AD·AC ＝22，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝1＋22.(3)过点D 作DE ⊥AB′，垂足为E ， 由(1)知∠DAC ＝90°.根据折叠可知∠B′AC ＝∠BAC ＝45°，AB ＝AB′＝1，S △AB′C ＝S △ABC ＝12.∴∠DAE ＝∠DAC －∠B′AC ＝45°. ∴AE ＝DE.设DE ＝AE ＝x ，在Rt △ADE 中，AE 2＋DE 2＝AD 2. ∴x 2＋x 2＝1.∴x ＝22.∴S △ADB′＝12×1×22＝24.∴S 四边形ACB′D ＝S △AB′C ＋S △ADB′＝12＋24＝2＋24.03 综合题16．(2019·呼和浩特改编)如图，在△ABC 中，内角∠A ，∠B ，∠C 所对应的边分别为a ，b ，c.(1)若a ，b ，c 满足aa －b ＋c＝12（a ＋b ＋c ）c ，求证：△ABC 是直角三角形；(2)若a ＝m －n ，b ＝2mn ，c ＝m ＋n ，(其中m ，n 都是正整数，且m>n)，求证：△ABC 是直角三角形．证明：(1)原式可变形为aa ＋c －b＝a ＋b ＋c 2c ，∴(a ＋c)2－b 2＝2ac ，即a 2＋2ac ＋c 2－b 2＝2ac. ∴a 2＋c 2＝b 2.∴△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形．(2)∵a 2＝(m －n)2，b 2＝(2mn)2＝4mn ，c 2＝(m ＋n)2， ∴(m －n)2＋4mn ＝(m ＋n)2，即a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形．章末复习(二)勾股定理01分点突破知识点1勾股定理(河南中招2019T9选，2018T9选，2017T18(2)解，2016T6选，2015T7选，2014T7选) 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则AC＝(C)A．6 B．6 2C．6 3 D．122．如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为64cm2.3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2.求证：AB＝BC.证明：连接AC.∵在△ABC中，∠B＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2.∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°.∴在△ACD中，AD2＋CD2＝AC2.∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2.∴BC2＝AB2.∵AB＞0，BC＞0，∴AB＝BC.知识点2勾股定理的应用4．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)(D)A．12 mB．13 mC．16 mD．17 m5．你听说过亡羊补牢的故事吧．为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在宽0.9 m，长1.2 m的长方形栅栏门的相对角顶点间加固一条木板，则这条木板至少需1.5__m长．6．如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO 长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为7．知识点3逆命题及逆定理7．“同旁内角互补”的逆命题是互补的两个角是同旁内角，它是假命题．知识点4勾股定理的逆定理及其应用8．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，则该三角形为(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形9．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c且a2－b2＝c2，则下列说法正确的是(C)A．∠C是直角B．∠B是直角C．∠A是直角D．∠A是锐角02易错题集训10．已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是100或28．11．(2018·襄阳)已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为23或27．03河南常考题型演练12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝5，则BC的长为(D)A.3－1B.3＋1C.5－1D.5＋113．如果将长为6 cm，宽为5 cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是(A)A．8 cm B．6 cmC．5.5 cm D．1 cm14．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是(B)A．CD，EF，GH B．AB，EF，GHC．AB，CD，EF D．GH，AB，CD15．(2019·信阳罗山县模拟)如图，在△ABC中，点M是AC边上一个动点．若AB＝AC＝10，BC＝12，则BM的最小值为(B)A．8 B．9.6 C．10 D．4 516．若一个三角形的周长为12 3 cm，一边长为3 3 cm，其他两边之差为 3 cm，则这个三角形是直角三角形．17．(2019·枣庄)把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝6－2．18．(2019·河北)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km)．笔直铁路经过A，B两地．(1)A，B间的距离为20km；(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D 间的距离为13km.19．如图，有一块空白地，∠ADC＝90°，CD＝6 m，AD＝8 m，AB＝26 m，BC＝24 m．试求这块空白地的面积．解：连接AC.∵∠ADC＝90°，∴△ADC是直角三角形．∴AD2＋CD2＝AC2，即82＋62＝AC2.解得AC＝10.又∵AC2＋CB2＝102＋242＝262＝AB2，∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°.∴S四边形ABCD＝S Rt△ACB－S Rt△ACD＝12×10×24－12×6×8＝96(m2)．故这块空白地的面积为96 m2.04核心素养专练20．(2019·邵阳)公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a ＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积是4．周测(第十七章)(时间：40分钟满分：100分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是(C)A．8，15，17 B.2，3， 5C.3，2， 5 D．1，2， 52．已知命题：等边三角形是等腰三角形，则下列说法正确的是(B)A．该命题为假命题B．该命题为真命题C．该命题的逆命题为真命题D．该命题没有逆命题3．点A(－3，－4)到原点的距离为(C)A．3 B．4 C．5 D．74．如图，数轴上点A表示的数是0，点B表示的数是1，BC⊥AB，垂足为B，且BC＝1，以A为圆心，AC 的长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数为(B)A ．1.4 B. 2 C. 3 D ．25．将直角三角形的三条边长同时扩大一倍，得到的三角形是(C ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形6．在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3.若AC ＝4，则AB 的长为(D ) A ．8 B ．6 C .433 D .8337．下面各三角形中，面积为无理数的是(C )8．如图，将边长为12的正方形ABCD 折叠，使得点A 落在CD 边上的点E 处，折痕为MN.若CE 的长为7，则MN 的长为(B )A ．10B ．13C ．15D ．无法求出9．已知直角三角形两条直角边的长之和为6，斜边长为2，则这个三角形的面积是(B ) A ．0.25 B ．0.5 C ．1 D ．2 310．已知一个直角三角形的斜边长为3，若以三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，则所作的三个等腰直角三角形的面积和为(A )A .92B .94C ．3D ．9 二、填空题(每小题4分，共20分)11．直角三角形斜边长是6，一直角边的长是5，则此直角三角形的另一直角边长为11．12．如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点A 为圆心，AB x 轴的负半轴于点C ，则点C 的坐标为(－1，0)．13．如图，每个小正方形的边长均为1，则△ABC 边AC 上的高BD 的长为85．14．如图，在△ABC 中，AB ∶BC ∶CA ＝3∶4∶5，且周长为36 cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以每秒1 cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以每秒2 cm 的速度移动．若同时出发，则过3秒时，△BPQ 的面积为18cm 2.15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4.分别以AB ，AC ，BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF ，ACPQ ，BCMN ，四块阴影部分的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于18．三、解答题(共50分)16．(8分)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上．(1)求△ABC 的面积；(2)求AB ，AC 的长． 解：(1)S △ABC ＝12×7×5 ＝17.5.(2)由勾股定理，得AB ＝32＋52＝34，AC ＝42＋52＝41.17．(10分)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，BC ＝6，AC ＝8，求AB 与CD 的长．解：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，由勾股定理，得AB ＝BC 2＋AC 2＝10，∵S △ABC ＝12AB·CD ＝12AC·BC ， ∴CD ＝AC·BC AB ＝8×610＝4.8.18．(10分)如图，∠AOB ＝90°，OA ＝45 cm ，OB ＝15 cm ，一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO 方向匀速滚向点O ，机器人立即从点B 出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？解：因为小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，所以BC ＝CA.设AC ＝BC ＝x ，则OC ＝45－x ，由勾股定理可知OB 2＋OC 2＝BC 2.又因为OB ＝15，所以152＋(45－x)2＝x 2.解得x ＝25.答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是25 cm .19．(10分)清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》：用现代的数学语言描述就是：若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S ，则求其边长的方法为：第一步：S 6＝n ；第二步：n ＝k ；第三步：分别用3，4，5乘k ，得三边长．当面积S 等于150时，请用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长．解：当S ＝150时，k ＝n ＝S 6＝1506＝25＝5， ∴三边长分别为3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25.∴这个直角三角形的三边长为15，20，25.20．(12分)在正方形ABCD 中，过点A 引射线AH ，交边CD 于点H(点H 与点D 不重合)，通过翻折，使点B 落在射线AH 上的点G 处，折痕AE 交BC 于点E ，延长EG 交CD 于点F.如图1，当点H 与点C 重合时，易证得FG ＝FD(不要求证明)；如图2，当点H 为边CD 上任意一点时，求证：FG ＝FD.【应用】 在图2中，已知AB ＝5，BE ＝3，则FD ＝54，△EFC 的面积为154．(直接写结果)证明：连接AF ，由折叠的性质可得，AB ＝AG ＝AD.在Rt △AGF 和Rt △ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AD ，AF ＝AF ， ∴Rt △AGF ≌Rt △ADF(HL )．∴FG ＝FD.。
17.1.3利用勾股定理作图、计算3
问题2
2.若直角三角形的三边为6、8、x， 则x的长为 （ D） A.6 C.10 B.8 D.以上答案均不对
例1：已知等边三角形的边长为6,求它 的高和面积. A
⑴求它的高.
⑵求它的面积.
B D C
练习：1、 等边三角形的边长为12，
则它的高为______
例2：在Rt△ABC中,∠ACB=90°， AC=5,BC=3. A 求Rt△ABC斜边上的高．
A
1m B D
2m
C
解：在Rt△ ABC中，∠B=90°,由勾股定理可知：
AC AB2 BC 2 12 22 5
想一想：
练习：小丁的妈妈买了一部34英 寸（86厘米）的电视机。小丁量 50 了电视机的屏幕后，发现屏幕只 有70厘米长和50厘米宽，他觉得 一定是售货员搞错了。你能解释 这是为什么吗？
课堂练习
• 1．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则 BC= ，S△ABC= 。 • 2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=cm，则 ∠A= 度，∠B= 度,∠C= 度， BC= ，S△ABC= 。 • 3．△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC= 2 3 ， CD⊥AB于D，则AC= ，CD= ， • BD= ，AD= ,S△ABC= 。 • 4．已知：如图，△ABC中，AB=26，BC=25， A AC=17， 求S△ABC。
D
C 练习：2.直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘 米，那么斜边上的高是（ ） A、6厘米 B、 8厘米 C、 80/13厘米； D、 60/13厘米；
B
例3：已知：在Rt△ABC中， ∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60 °， C 3 CD= ， 求线段AB的长。
17.1.3勾股定理 作图
图17－1－23
A．2
B. 5－1
C. 10－1
D. 5
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的 距离是 36 A. 5 ( A )
B. 12 25 C. 9 4 D. 3 3 4
3．[2014· 临夏]在等腰△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm， 8 cm. 则BC边上的高是____
八年级
下册
17.1 勾股定理（3）
新知应用
问题1 我们知道数轴上的点有的表示有理数， 有的表示无理数，你能在数轴上画出 表示 13 的点吗？
类比迁移
“数学海螺”
应用提高
例 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∠ACB =∠ECD =90°，D为AB边上一点．求证：AD2 + DB2 =DE2．
课堂小结
今天你有哪些收获？
A
D E
C B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 应用提高
例 如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∠ACB =∠ECD =90°，D为AB边上一点． 求证：AD2 +DB2 =DE2． A D E C B
1．[2014· 邹平]如图17－1－23，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1， AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交 数轴于点M，则点M表示的数为 ( C )
勾股定理的计算、作图听课手册
2
2
第3课时 利用勾股定理计算、作图
目标二 利用勾股定理解决一些数学问题
例 2 教材补充例题 如图 17－1－12，折叠长方形的一边 AD， 使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB＝8 cm，BC＝10 cm，求 CE 的 长．
图 17－1－12
第3课时 利用勾股定理计算、作图
[解析] 由折叠的性质知，AF＝AD，DE＝EF， 可设 CE＝x cm，则 DE＝(8－x)cm. 在 Rt△ABF 中，AF＝10 cm，AB＝8 cm， 根据勾股定理，可知 BF＝6 cm， 所以 CF＝4 cm. 在 Rt△CEF 中，根据勾股定理可得关于 x 的方程．
2 2
1 1 14 28 即 AD＝4，所以△ABC 的面积为 BC·AD＝ × ×4＝ . 2 2 3 3
第3课时 利用勾股定理计算、作图
【归纳总结】运用勾股定理的“三注意”： (1)已知直角三角形的两边求第三边时，若未明确哪一条边是 斜边，则需分类讨论； (2)涉及三角形的高求边长时，若题目未附图，则需分高在三 角形内部和高在三角形外部两种情况求解； (3)若不能直接利用勾股定理求线段的长，则需设未知数，然 后建立方程求解．如例 2，例 3.
第3课时 利用勾股定理计算、作图
如图 17－1－14，在长方形 ABCD 中，AB＝3，AD＝1，AB 在数 轴上，若以点 A 为圆心，对角线 AC 的长为半径作弧，交数轴的正 半轴于点 M，则点 M 在数轴上对应的数为________．
图 17－1－14
第3课时 利用勾股定理计算、作图
解：∵在长方形 ABCD 中，AB＝3，AD＝1， ∴BC＝AD＝1. ∴AC＝ AB ＋BC ＝ 3 ＋1 ＝ 10. ∵圆弧交数轴的正半轴于点 M， ∴点 M 在数轴上对应的数为 10. 以上解答正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请写出 正确解答．
人教版八年级下册数学《勾股定理》说课复习(第2课时勾股定理的应用)
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·
CD.
10km
藏宝点B的距离是________．
课程讲授
构造直角三角形解决实际问题
例4
一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要
开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该
工厂的厂门?说明理由.
解：在Rt△OCD中，∠CDO=90°,由
C
A
O
勾股定理，得
CD＝ OC 2 OD 2 1 0.82 0.6(米).
CH＝0.6＋2.3＝2.9(米)＞2.5(米).
D
B
2.3米
2
答：卡车能通过厂门．
M
2米
H
N
课程讲授
2
构造直角三角形解决实际问题
练一练：
(中考·安顺)如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，
一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行( B )
A．8米
B．10米
C．12米
练一练：
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB
一样长.已知滑梯的高度 CE=3m, CD=1m,试求滑道AC的长.
解：设滑道AC的长度为xm,则AB的长度为xm,
AE的长度为（x－1）m,
勾股定理的计算、作图课堂反馈
图 D－9－3
数 学
八年级 下册
新课标（RJ）
课堂反馈(九)
17．1 第3课时 利用勾股定理计算、作图
课堂反馈(九)
1.设 a， b 是直角三角形的两条直角边， 若该三角形的周长为 6，
2 2 6.25 3.5 斜边长为 2.5，则 a＋b＝________①，a ＋b ＝________②.由①②
3 得 ab＝________ ． Nhomakorabea课堂反馈(九)
2．如图 D－9－1，在数轴上找到点 A，使 OA＝3，作直线 l 垂直于 OA，在直线 l 上取点 B，使 AB＝2，以原点 O 为圆心，OB
13 长为半径画弧，交数轴于点 C，则点 C 所表示的数是________ ．
图 D－9－1
课堂反馈(九)
3． 如图 D－9－2， 在 Rt△ABC 中， ∠B＝90°， AB＝3， BC＝4， 将△ABC 折叠，使点 B 恰好落在斜边 AC 上的点 B1 处，AE 为折痕， 则
3 EB1＝________ ． 2
图 D－9－2
课堂反馈(九)
4．如图 D－9－3，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC＝10 cm， BC＝12 cm. (1)求 BC 边上的高 AD 的长； (2)求△ABC 的面积．
解：(1)∵AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝6 cm. 在 Rt△ABD 中，
八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第3课时利用勾股定理作图或计算导学案无答案新版新人教
第十七章勾股定理17.1 勾股定理第3课时利用勾股定理作图或计算学习目标：1.会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题；2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.重点：会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题.难点：灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.一、知识回顾1.我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,-2.5的点吗？2.求下列三角形的各边长.一、要点探究探究点1：勾股定理与数轴想一想1.你能在数轴上表示出2的点吗？2呢？(提示：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.)2.长为13的线段能是这样的直角三角形的斜边吗,即是直角边的长都为正整数？3.以下是在数轴上表示出13的点的作图过程，请你把它补充完整.(1)在数轴上找到点A,使OA=______;(2)作直线l____OA,在l上取一点B，使AB=_____;(3)以原点O为圆心，以______为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示______的点.课堂探究自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分配套PPT讲授1.情景引入（见幻灯片3-4）2.探究点1新知讲授（见幻灯片5-12）要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法:（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.为线段,形成如图所示的数学海螺.例1如图，数轴上点A 所表示的数为a ，求a 的值.1.如图，点A 表示的实数是 （ ）-2.A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴于点M ，则点M 表示的数为（ ）3.你能在数轴上画出表示17的点吗？探究点2：勾股定理与网格综合求线段长 例2 在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC 各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．方法总结:勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定此类网格中求格点三角形的高的题，常用方法是利用网格求面积，再用面积法求高.的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多列出一个关于x的方程；(4)解这个方程，从而求出所求线段长.变式题如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长.ABCD的面积．1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（）A.5B.6C.7D.252.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上（）A.2和3之间B.3和4之间3.如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为_______.4.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四边形ABCD的周长为32cm，求△BCD的面积．叠部分△AFC的面积.）画出相应的△ABC，并求出它的面积．图②。
《勾股定理》(第3课时利用勾股定理作图和计算)
1 2
忽视勾股定理的前提条件
只有在直角三角形中才能使用勾股定理进行计算 。
混淆勾股定理的变形公式
例如，误将c^2 - a^2当作b^2或a^2 + b^2当 作c^2 + (c^2 - a^2)。
3
计算错误
由于粗心大意导致计算结果不准确。
04
案例分析与应用
利用勾股定理解决实际问题
确定最短路径
在航海、航空和陆地交通中， 利用勾股定理可以确定两点之
添加中继器来增强信号。
船舶设计
在船舶设计中，勾股定理用于计 算船体各部分的长度和角度，以
确保船舶的稳定性和安全性。
飞机设计
在飞机设计中，勾股定理用于计 算机翼的长度、角度和形状，以 确保飞机在空中能够保持平衡。
利用勾股定理进行数据分析
数据可视化
在数据可视化中，勾股定理用于创建三维图形，如柱状图、折线图 和散点图等，以更直观地展示数据之间的关系。
间最短和最安全的路径。
建筑测量
在建筑行业中，勾股定理被广泛应 用于测量和计算角度、长度等，以 确保建筑物的安全和稳定。
地球周长计算
通过勾股定理，科学家们可以使用 三角测量法来计算地球的周长，从 而得到地球的半径。
利用勾股定理进行设计计算
电路设计
在电力系统中，勾股定理被用于 计算导线的长度和确定是否需要
统计分析
在统计分析中，勾股定理用于计算方差、标准差等统计指标，以评 估数据的离散程度和中心趋势。
市场预测
在市场预测中，勾股定理用于分析历史数据和市场趋势，以预测未来 的市场变化和需求。
05
总结与思考
本课时的总结
掌握了利用勾股定理进行作图和计算 的方法。
勾股定理作图与计算导学案
2020“空中课堂”三河市第八中学学科：数学章节：17.1《勾股定理作图与计算》主讲人：李伟时间：2020-2教师简介：李伟三河八中数学教师第十七章 勾股定理17.1 勾股定理第三课时 利用勾股定理作图与计算勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.几何语言：∵在Rt △ABC 中 ，∠C =90°，∴a 2+b 2=c 2a AB C bc ∟勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.已知一个直角三角形的两边，利用勾股定理可以求出第三边，这在求距离时有着重要作用．利用勾股定理证明“HL ”定理 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等． 学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ 证明：在Rt △ABC 和Rt △A B C 中，∠C =∠C ′=90°，根据勾股定理，得22=-BC AB AC ，22-=B C A B A C ．′′′′′′ A B C AB C ′ ′′∴△ABC ≌△A B C （SSS ）．′′′′′′ 分析：先画出图形，再写已知、求证、证明 已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △A B C 中，∠C =∠C ′=90°，AB =A B ， AC =A C .求证：△ABC ≌△A B C ．′′′ ∵ AB =A B ， AC =A C ， ∴ BC =B C ．′′′′′′′′′′′′′我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出 的点吗？2分析：（1） 只要能画出长为 的线段,就能圆规截取 的长度， 在数轴上画出表示这个数的点。
（2） 是两条直角边都是1的直角三角形的斜边。
22知识点1：勾股定理与无理数2112l在数轴上表示作法：１．在数轴上找点A ，使OA =1；０１A2．过点A 作直线l 垂直于OA,在l 上取点B ,使AB =1;B3．以原点O 为圆心,以OB 为半径作弧,弧与数轴的交点C 即为表示 的点．2222-2-22c知识点1：勾股定理与无理数思考：你能在数轴上表示出 的点吗？13分析：（1） 只要能画出长为 的线段，就能在数轴上画出表示这个数的点。
勾股定理作图
勾股定理第3课时 利用勾股定理作图或计算
一知识回顾
1.我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,-
2.5的点吗？
2.求下列三角形的各边长
.
二要点探究 探究点1：勾股定理与数轴
想一想 1.
(提示：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.)
2.,即是直角边的长都为正整数？
3.
. (1)在数轴上找到点A,
使OA=______;
(2)作直线l
____OA,在l 上取一点B ，使AB=_____;
(3)以原点O 为圆心，以______为半径作弧，弧与数轴交于C 点， 则点C 即为表示______的点.
要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.。
（
2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数。
为线段,形成如图所示的数学海螺. 例1如图，数轴上点A
所表示的数为a ，求a 的值
.
1.如图，点A 表示的实数是 （ ）
A.2
B.5 1
C.10
-
勾股定理与网格的综合求线段长时，
方法总结:此类网格中求格点三角形的高的题，方法是利用网格求面积，再用面积法求高
针对训练
.
个单位长度的小正方形组成的
之间 B.3和4之间
之间 D.5和6之间
如图，网格中的小正方形边长均为1，△
4.如图，在四边形
∠ADC=150°，已知四边形
△BCD的面积．。
八年级下册PPT课件17利用勾股定理作图与计算(人教版)
l
也可以使
13 2
B
13
2
OA=2，AB=3， 同样可以求 出C点.
3
O 0
1
2
A• 3
13
C4
练习 1.你能在数轴上画出表示 17 的点吗？
l B
17
4
17 ?
16 4
1
A•
17
0 1 2 3 4C
练习 2. 如图，点A表示的实数是 __________
3. 如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值.
程思想
练一练 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩 形沿AC折叠，点D落在点D′处，求重叠部分 △AFC的面积.
用勾股定理求最短路径的长
例4 在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一
点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，
于是它想从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近？已知圆柱
体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3.
如图，点A表示的实数是 __________ 如图，点A表示的实数是 __________
例4 在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近？已知圆柱体高为12 cm，底面
半径为3 cm，π取3.
是1，点A、B、C都在格点上，求：
B
数学思想： 立体图形
转化 展开
A
平面图形
变式1：有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子， 正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米 (已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3）?
B
A
变式2：如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长 为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜， 此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜 相对的点A处，问蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短 距离为多少？(杯壁厚度不计)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
BC的长为 5 或 7 . B
B
4
4
C3 A
A3 C
注：在应用勾股定理时，要结合图形具体处理，不能
机械的认为c所对的角是直角或c边必是斜边
例1：已知等边三角形的边长为6,求它
的高和面积.
A
⑴求它的高.
⑵求它的面积.
B
D
C
练习：1、 等边三角形的边长为12，
则它的高为______
2、如图有两颗树，一棵高8m，另一棵高 2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞 到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
A
8m
E
B
8m
C
2m
D
图1中的x等于多少? 图2中的x、y、z等于多少?
2x 1 1
图1
2z 3y
x2 1 1
图2
沿着图2继续画直角三角形,还能得到那些无理数?
A
45
B
C
60
解： ∵AC=11.25×4=45cm,BC=20×3=60cm
在Rt△ABC中，∠ACB=90° ∴AB2=AC2+BC2(勾股定理）
AB AC 2 BC 2 452 602 5625 75
∴通道的长度为75cm.
2007年将在上海举行第12届夏季特殊奥林匹克运动会．
如图，现要在此楼梯旁建造无障碍通道，经测量 每格楼梯的高为11.25cm，宽20cm，你能求出通道的 长度吗？
寸（86厘米）的电视机。小丁量 50
了电视机的屏幕后，发现屏幕只
有70厘米长和50厘米宽，他觉得
一定是售货员搞错了。你能解释
这是为什么吗？
70
我们通常所说的34英寸 或86厘米的电视机，是指 其荧屏对角线的长度
∵702+502=7400 862=7396 荧屏对角线大约为86厘米
∴售货员没搞错
问题2
③以O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴于点C，
L
点C即为表示 13 的点.
B
2
0 1 2 A•3 1•3C4
- 17
2007年在上海举行第12届夏季特殊奥林匹克运动会．
无障碍设施建设是社会文明进步的重要标志，是城市管理 人性化、现代化的必要举措，是上海成为现代化国际大都市不 可或缺的环境条件。
如图，现要在此楼梯旁建造无障碍通道，经测量 每格楼梯的高为11.25cm，宽20cm，你能求出通道的 长度吗？
2z
5 6
图2中的图形的面积是多少?
3y
x2 1 1
图2
在数轴上如何表示 2 ？
在数轴上如何表示 3 ？
1 0 1 2 32 5 3 4 5
数轴上的点有的表示有理数，有的
表示无理数，你能在数轴上画出 13
表示 的点吗？
作图方法：①在数轴上找到点A，使OA=3，
②过A点作直线L垂直于OA，在L上截取AB=2，
对边相等）的一边，使点D
落在BC边上的点F处，若AB=8，
AD=10.
（1）你能说出图中哪些线段的长?
（2）求EC的长.
A
10
D
8 10 B6
8-x E 8-x x F4 C
谢谢观看！ 2020
若放缓坡度，使∠ADC=30°,则点D还要距离点B多远
？ 解：∵AC=45cm,BC=60cm
在Rt△ADC中， ∠ADC=30°,
A
∴AD=2AC=90cm（
）
30°
45
D
B 60 C
DC AD2 AC 2 902 452 45 3(勾股定理） ∴DB=DC-BC=45 3 60 .
如图,折叠长方形（四个角都是直角，
18.1.2利用勾股定理 计算、作图
C
D
c
acbຫໍສະໝຸດ AbEa B勾股定理 ：
直角三角形中，两直角边的平方和等 于斜边的平方.
A
弦
c
股
b
B 勾 a┏C
在Rt△ABC中，若∠C=90°，则
a2+b2=c2
A
A
A
15 10 6
76
B
8 ┏C
B A
┏C B
┏C
A
2
B 45°┏C
4
B 60°┏C
想一想：
练习：小丁的妈妈买了一部34英