高中数学必修5 第2章 数列 配套练习 第9课时 等比数列的概念和通项公式
【人教A版】高中数学必修5教学同步讲练第二章《等比数列前n项和的示解》练习题(含答案)
第二章 数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列前n 项和的示解A 级 基础巩固一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．1282．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）43．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．1934．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 7．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．8．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .B级能力提升1．在等比数列{a n}中，a1＋a2＋…＋a n＝2n－1(n∈N*)，则a21＋a22＋…＋a2n等于()A．(2n－1)2 B.13(2n－1)2C．4n－1 D.13(4n－1)2．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若S n＋1，S n，S n＋2成等差数列，则q的值为________．3．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点(n，S n)均在函数y＝b x＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记b n＝n＋14a n(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和T n.第二章 数列2.5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列前n 项和的示解（参考答案）一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128解析：设数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则有a 5＝a 1q 4＝16， 所以q ＝2，数列的前7项和为S 7＝a 1（1－q 7）1－q ＝1－271－2＝127. 答案：C2．已知等比数列{a n }中，a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 的值为( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.3（9n －1）4解析：因为a n ＝2×3n －1，则数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列，则前n 项和为S n ＝6（1－9n ）1－9＝3（9n －1）4.答案：D3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193解析：设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12＝381，解得a 1＝192.答案：C4．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)解析：因为3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43≠0，所以a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }是以－13为公比的等比数列．因为a 2＝－43，所以a 1＝4，所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10)．答案：C5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15解析：由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1且a n >0，即log 3a n ＋1a n ＝1，解得a n ＋1a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列．因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－log 335＝－5.答案：B 二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________． 解析：因为a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝30，a 3＋a 4＝a 1q 2(1＋q )＝60，所以q 2＝2，所以a 7＋a 8＝a 1q 6(1＋q )＝[a 1(1＋q )]·(q 2)3＝30×8＝240.答案：2407．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．解析：法一：a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15. 法二：因为a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|，数列{|a n |}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为1－241－2＝15.答案：158．(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．解析：a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1⇒a 1＝1，a 2＝3，再由a n ＋1＝2S n ＋1，a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)⇒a n ＋1－a n ＝2a n ⇒a n ＋1＝3a n (n ≥2)，又a 2＝3a 1，所以a n ＋1＝3a n (n ≥1)，S 5＝1－351－3＝121.答案：1 121 三、解答题9．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得 ⎩⎨⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1，故S 1＝1，S n2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n . 所以，当n ＞1时，S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n ，所以S n ＝n2n －1，综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.10．数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1， 即a n ＋1n ＋1－a nn＝1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)解：由(1)得a nn ＝1＋(n －1)·1＝n ， 所以a n ＝n 2.从而b n ＝n ·3n 。
高中数学 第二章 数列 2.4.1 等比数列的概念及通项公式练习 新人教A版必修5-新人教A版高一必
第1课时等比数列的概念及通项公式课后篇巩固探究A组1.若a,b,c成等差数列,则一定()A.是等差数列B.是等比数列C.既是等差数列也是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列解析因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,于是,所以一定是等比数列.答案B2.在等比数列{a n}中,a2 017=-8a2 014,则公比q等于()A.2B.-2C.±2D.解析由a2 017=-8a2 014,得a1q2 016=-8a1q2 013,所以q3=-8,故q=-2.答案B3.在等比数列{a n}中,a n>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5的值为()A.16B.27C.36D.81解析由a2=1-a1,a4=9-a3,得a1+a2=1,a4+a3=9.设公比为q,则q2==9.因为a n>0,所以q=3,于是a4+a5=(a1+a2)q3=27.答案B4.已知等差数列{a n}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=()A.-4B.-6C.-8D.-10解析∵a4=a1+6,a3=a1+4,a1,a3,a4成等比数列,∴=a1·a4,即(a1+4)2=a1·(a1+6),解得a1=-8,∴a2=a1+2=-6.故选B.答案B5.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,则S n=()A.2n-1B.C.D.解析由S n=2a n+1,得S n=2(S n+1-S n),即2S n+1=3S n,.又S1=a1=1,所以S n=,故选B.答案B6.已知等比数列{a n},a3=3,a10=384,则该数列的通项a n=.解析设公比为q.∵=q7==27,∴q=2.∴a n=a3q n-3=3·2n-3.答案3·2n-37.在数列{a n}中,已知a1=3,且对任意正整数n都有2a n+1-a n=0,则a n=.解析由2a n+1-a n=0,得,所以数列{a n}是等比数列,公比为.因为a1=3,所以a n=3·.答案3·8.在等比数列{a n}中,若a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是.解析依题意,得a6=a1q5=×25=4,而a4与a8的等比中项是±a6,故a4与a8的等比中项是±4.答案±49.导学号04994040已知数列{a n}是等差数列,且a2=3,a4+3a5=56.若log2b n=a n.(1)求证:数列{b n}是等比数列;(2)求数列{b n}的通项公式.(1)证明由log2b n=a n,得b n=.因为数列{a n}是等差数列,不妨设公差为d,则=2d,2d是与n无关的常数,所以数列{b n}是等比数列.(2)解由已知,得解得于是b1=2-1=,公比q=2d=24=16,所以数列{b n}的通项公式b n=·16n-1.10.已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=a n+(n∈N*).(1)求证:是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式.(1)证明∵a n+1=a n+,∴a n+1-a n+.∴.∴是首项为,公比为的等比数列.(2)解∵a n-,∴a n=.B组1.若a,b,c成等差数列,而a+1,b,c和a,b,c+2都分别成等比数列,则b的值为()A.16B.15C.14D.12解析依题意,得解得答案D2.在等比数列{a n}中,a1=1,公比|q|≠1.若a m=a1a2a3a4a5,则m等于()A.9B.10C.11D.12解析∵a m=a1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10=1×q10,∴m=11.答案C3.已知等比数列{a n},各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则=()A.3+2B.1-C.1+D.3-2解析由a1,a3,2a2成等差数列,得a3=a1+2a2.在等比数列{a n}中,有a1q2=a1+2a1q,即q2=1+2q,得q=1+或1-(舍去),所以=q2=(1+)2=3+2.答案A4.已知-7,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则=. 解析由题意,得a2-a1==2,=(-4)×(-1)=4.又b2是等比数列中的第3项,所以b2与第1项同号,即b2=-2,所以=-1.答案-15.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公比q=.解析依题意,得a n=a n+1+a n+2,所以a n=a n q+a n q2.因为a n>0,所以q2+q-1=0,解得q=(q=舍去).答案6.若数列a1,,…,,…是首项为1,公比为-的等比数列,则a5=.解析由题意,得=(-)n-1(n≥2),所以=-=(-)2,=(-)3,=(-)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得=(-)1+2+3+4=32.又a1=1,所以a5=32.答案327.已知数列{a n}满足S n=4a n-1(n∈N*),求证:数列{a n}是等比数列,并求出其通项公式.解依题意,得当n≥2时,S n-1=4a n-1-1,所以a n=S n-S n-1=(4a n-1)-(4a n-1-1),即3a n=4a n-1,所以,故数列{a n}是公比为的等比数列.因为S1=4a1-1,即a1=4a1-1,所以a1=,故数列{a n}的通项公式是a n=.8.导学号04994041已知数列{a n}的前n项和S n=2a n+1,(1)求证:{a n}是等比数列,并求出其通项公式;(2)设b n=a n+1+2a n,求证:数列{b n}是等比数列.证明(1)∵S n=2a n+1,∴S n+1=2a n+1+1,S n+1-S n=a n+1=(2a n+1+1)-(2a n+1)=2a n+1-2a n,∴a n+1=2a n.由已知及上式可知a n≠0.∴由=2知{a n}是等比数列.由a1=S1=2a1+1,得a1=-1,∴a n=-2n-1.(2)由(1)知,a n=-2n-1,∴b n=a n+1+2a n=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.∴数列{b n}是等比数列.。
人教课标版高中数学必修5《第二章数列》知识概述
1．本章是通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列──等差数列、等比数列的通项公式及前n项求和公式的研究的。
教科书首先通过三角形数、正方形数的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍了数列的几种简单表示法（列表、图象、通项公式）。
作为最基本的递推关系──等差数列，是从现实生活中的一些实例引入的，然后由定义入手，探索发现等差数列的通项公式。
等差数列的前n项和公式是通过的高斯算法推广到一般等差数列的前n项和的算法。
与等差数列呈现方式类似，等比数列的定义是通过细胞分裂个数、计算机病毒感染、银行中的福利，以及我国古代关于“一尺之棰，日取其半，万世不竭”问题的研究探索发现得出的，然后类比等差数列的通项公式，探索发现等比数列的通项公式，接着通过实例引入等比数列的前n项求和，并用错位相减法探索发现等比数列前n项求和公式。
最后，通过“九连环”问题的阅读与思考以及“购房中的数学”的探究与发现，进一步感受数列与现实生活中的联系和具体应用。
2．人们对数列的研究有的源于现实生产、生活的需要，有的出自对数的喜爱。
教科书从三角形数、正方形数入手，指出数列实际就是按照一定顺序排列着的一列数。
随后，又从函数的角度，将数列看成是定义在正整数集或其有限子集上的函数。
通过数列的列表、图象、通项公式的简单表示法，进一步体会数列是型，借助数列的相关知识解决问题的思想。
三、编写中考虑的几个问题1．体现“现实问题情境——数学模型——应用于现实问题”的特点数列作为一种特殊函数，是反映自然规律的基本数学模型。
教科书通过日常生活中大量实际问题（存款利息、放射性物质的衰变等）的分析，建立起等差数列与等比数列这两种数列模型。
通过探索和掌握等差数列与等比数列的一些基本数量关系，进一步感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决了一些实际问题。
教科书的这一编写特点，可由下面图示清楚表明：数列：三角形数、正方形数数列概念数列的三种表示回归到实际问题（希尔宾斯基三角形、斐波那契数列、银行存款等）等差数列：4个生活实例等差数列概念等差数列通项公式等差数列基本数量关系的探究（出租车收费问题等）前100个自然数的高斯求解等差数列的前n项和公式等差数列数量关系的探究及实际应用（校园网问题）等比数列：细胞分裂、古代“一尺之棰”问题、计算机病毒、银行复利的实例等比数列概念等比数列的通项公式等比数列基本数量关系的探究及实际应用（放射性物质衰变、程序框图等）诺贝尔奖金发放金额问题等比数列前n项和公式等比数列基本数量关系探究及实际应用（商场计算机销售问题、九连环的智力游戏、购房中的数学等）教科书的这种内容呈现方式，一方面可以使学生感受数列是反映现实生活的数学模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学不仅仅是形式的演绎推导，数学是丰富多彩而不是枯燥无味的；另一方面，这种通过具体问题的探索和分析建立数学模型、以及应用于解决实际问题的过程，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断，提高数学地提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础。
高中数学《等比数列的概念及通项公式》知识点讲解及重点练习
§4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及通项公式学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形．知识点一等比数列的概念1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．递推公式形式的定义：a na n－1＝q(n∈N *且n>1)⎝⎛⎭⎫或a n＋1a n＝q，n∈N*.思考为什么等比数列的各项和公比q均不能为0?答案由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为0，因此q也不能为0.知识点二等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.思考当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？答案不一定，如数列0,0,5就不是等比数列．知识点三等比数列的通项公式若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则a n＝a1q n－1(n∈N*)．知识点四等比数列通项公式的推广和变形等比数列{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1①＝a m q n－m②＝a1 q·qn.③其中当②中m＝1时，即化为①.当③中q>0且q≠1时，y＝a1q·qx为指数型函数．1．数列1，－1,1，－1，…是等比数列．( √ )2．若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．( × )3．等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．( × )4．常数列一定为等比数列．( × )一、等比数列中的基本运算例1 在等比数列{a n }中：(1)a 1＝1，a 4＝8，求a n ；(2)a n ＝625，n ＝4，q ＝5，求a 1；(3)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .解 (1)因为a 4＝a 1q 3，所以8＝q 3，所以q ＝2，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1.(2)a 1＝a n q n －1＝62554－1＝5， 故a 1＝5.(3) 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ①a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ② 由②①，得q ＝12，从而a 1＝32. 又a n ＝1，所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，故n ＝6.反思感悟 等比数列的通项公式涉及4个量a 1，a n ，n ，q ，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．跟踪训练1 在等比数列{a n }中：(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a 5；(2)若a 4＝2，a 7＝8，求a n .解 (1)因为a 5＝a 1q 4，而a 1＝5，q ＝a 2a 1＝－3， 所以a 5＝405.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ② 由②①得q 3＝4， 从而q ＝34，而a 1q 3＝2，于是a 1＝2q 3＝12， 所以a n ＝a 1q n －1＝2532n -.二、等比中项的应用例2 如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝__________，ac ＝___________. 答案 －3 9解析 因为b 是－1，－9的等比中项，所以b 2＝9，b ＝±3.又等比数列奇数项符号相同，得b <0，故b ＝－3，而b 又是a ，c 的等比中项，故b 2＝ac ，即ac ＝9.反思感悟 (1)由等比中项的定义可知G a ＝b G⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab ，所以只有a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．(3)a ，G ，b 成等比数列等价于G 2＝ab (ab >0)．跟踪训练2 在等比数列{a n }中，a 1＝－16，a 4＝8，则a 7等于( )A ．－4B ．±4C ．－2D ．±2答案 A解析 因为a 4是a 1与a 7的等比中项，所以a 24＝a 1a 7，即64＝－16a 7，故a 7＝－4.三、等比数列通项公式的推广及应用例3 在等比数列{a n }中．(1)已知a 3＝4，a 7＝16，且q >0，求a n ；(2)若{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，求通项公式a n .解 (1)∵a 7a 3＝q 7－3＝q 4＝4， ∴q 2＝2，又q >0，∴q ＝2，∴a n ＝a 3·q n －3＝4·(2)n －3＝122n +(n ∈N *)．(2)由a 25＝a 10＝a 5·q 10－5，且a 5≠0， 得a 5＝q 5，即a 1q 4＝q 5，又q ≠0，∴a 1＝q .由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1得，2a n (1＋q 2)＝5qa n ，∵a n ≠0，∴2(1＋q 2)＝5q ，解得q ＝12或q ＝2. ∵a 1＝q ，且{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2. ∴a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)．反思感悟 (1)应用a n ＝a m q n －m ，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a 1.(2)等比数列的单调性由a 1，q 共同确定，但只要单调，必有q >0.跟踪训练3 已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( )A ．21B ．42C ．63D ．84答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.四、灵活设元求解等比数列问题例4 (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．答案 45解析 (1)设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3，则a －1，aq －1，aq 2－4，aq 3－13成等差数列．即⎩⎪⎨⎪⎧ 2(aq －1)＝(a －1)＋(aq 2－4)，2(aq 2－4)＝(aq －1)＋(aq 3－13)，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a (q －1)2＝3，aq (q －1)2＝6， 解得a ＝3，q ＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数．解 方法一 设前三个数分别为a q，a ，aq ， 则a q·a ·aq ＝216， 所以a 3＝216.所以a ＝6.因此前三个数为6q，6,6q . 由题意知第4个数为12q －6.所以6＋6q ＋12q －6＝12，解得q ＝23. 故所求的四个数为9,6,4,2.方法二 设后三个数为4－d,4,4＋d ，则第一个数为14(4－d )2， 由题意知14(4－d )2×(4－d )×4＝216， 解得4－d ＝6.所以d ＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.反思感悟 几个数成等比数列的设法(1)三个数成等比数列设为a q，a ，aq . 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，a q 2，a q，a ，aq ，aq 2，… (2)四个符号相同的数成等比数列设为a q 3，a q，aq ，aq 3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，a q 5，a q 3，a q，aq ，aq 3，aq 5，… (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a ，aq ，aq 2，aq 3.跟踪训练4 在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或352B ．4或352C ．4D.352答案 B解析 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22. 由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20. ∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5.当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝352.1．在等比数列{a n }中，若a 2＝4，a 5＝－32，则公比q 应为( )A ．±12B ．±2 C.12D ．－2 答案 D解析 因为a 5a 2＝q 3＝－8，故q ＝－2. 2．(多选)已知a 是1,2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( )A ．6B ．－6C ．－12D ．12答案 AB解析 ∵a ＝1＋22＝32，b 2＝(－1)×(－16)＝16，b ＝±4， ∴ab ＝±6.3．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )A ．4B ．8C ．6D ．32答案 C解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6.4．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n 等于( )A ．(－2)n －1B ．－(－2n －1) C ．(－2)nD ．－(－2)n 答案 A解析 设公比为q ，则a 1q 4＝－8a 1q ，又a 1≠0，q ≠0，所以q 3＝－8，q ＝－2，又a 5＞a 2，所以a 2＜0，a 5＞0，从而a 1＞0，即a 1＝1，故a n ＝(－2)n －1.5．在等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则数列{a n }的公比为________，通项公式为a n ＝______________.答案 ±2 (－2)n 或－2n解析 ∵a 3a 1＝q 2， ∴q 2＝－8－2＝4，即q ＝±2. 当q ＝－2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n ；当q ＝2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×2n －1＝－2n .1．知识清单：(1)等比数列的概念．(2)等比数列的通项公式．(3)等比中项的概念．(4)等比数列的通项公式推广．2．方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法．3．常见误区：(1)x ，G ，y 成等比数列⇒G 2＝xy ，但G 2＝xy ⇏x ，G ，y 成等比数列．(2)四个数成等比数列时设成a q 3，a q，aq ，aq 3，未考虑公比为负的情况． (3)忽视了等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错．1．在数列{a n }中，若a n ＋1＝3a n ，a 1＝2，则a 4为( )A ．108B ．54C ．36D ．18答案 B解析 因为a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }是公比为3的等比数列，则a 4＝33a 1＝54.2．(多选)在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为( ) A ．－4 B ．4 C ．－14 D.14答案 AB解析 由题意得a 26＝a 4a 8，因为a 1＝18，q ＝2， 所以a 4与a 8的等比中项为±a 6＝±4.3．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．81答案 B解析 ∵a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍去)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.4．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( ) A. 2 B ．4 C ．2 D.12答案 C解析 因为a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中的连续三项，所以a 23＝a 1a 7，设数列{a n }的公差为d ，则d ≠0，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，所以a 1＝2d ，所以公比q ＝a 3a 1＝4d 2d＝2. 5．若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则数列{a n }的通项公式a n 等于( )A ．22n －1B ．2nC ．22n ＋1D ．22n －3答案 A解析 由a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0， 得(a n ＋1－4a n )·(a n ＋1＋a n )＝0.又{a n }是正项数列，所以a n ＋1－4a n ＝0，a n ＋1a n＝4. 由等比数列的定义知数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式，得a n ＝2×4n －1＝22n －1.6．若{a n }为等比数列，且a 3＋a 4＝4，a 2＝2，则公比q ＝________.答案 1或－2解析 根据题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＋a 1q 3＝4，a 1q ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，q ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－1，q ＝－2.7．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，且a 1＝________，d ＝________.答案 23－1 解析 ∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 2a 7，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，即2d ＋3a 1＝0.①又∵2a 1＋a 2＝1，∴3a 1＋d ＝1.②由①②解得a 1＝23，d ＝－1. 8．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.答案 4×⎝⎛⎭⎫32n －1解析 由已知可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，所以a 1＝4，a 2＝6，所以q ＝a 2a 1＝64＝32， 所以a n ＝4×⎝⎛⎭⎫32n －1.9．在等比数列{a n }中，a 3＝32，a 5＝8.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若a n ＝12，求n . 解 (1)因为a 5＝a 3q 2，所以q 2＝a 5a 3＝14.所以q ＝±12.当q ＝12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝⎛⎭⎫12n －3＝28－n ；当q ＝－12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －3.所以a n ＝28－n 或a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －3.(2)当a n ＝12时，即28－n ＝12或32×⎝⎛⎭⎫－12n －3＝12，解得n ＝9.10．在等比数列{a n }中：(1)已知a 3＝2，a 5＝8，求a 7；(2)已知a 3＋a 1＝5，a 5－a 1＝15，求通项公式a n .解 (1)因为a 5a 3＝q 2＝82，所以q 2＝4，所以a 7＝a 5q 2＝8×4＝32.(2)a 3＋a 1＝a 1(q 2＋1)＝5，a 5－a 1＝a 1(q 4－1)＝15，所以q 2－1＝3，所以q 2＝4，所以a 1＝1，q ＝±2，所以a n ＝a 1q n －1＝(±2)n －1.11．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于()A ．3B ．2C ．1D ．－2答案 B解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.12．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A ．2B ．1 C.12 D.18答案 C解析 方法一 ∵a 3，a 5的等比中项为±a 4，∴a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12.方法二 ∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12.13．(多选)已知等差数列a ，b ，c 三项之和为12，且a ，b ，c ＋2成等比数列，则a 等于() A ．－2 B ．2 C ．－8 D. 8答案 BD解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，a ＋b ＋c ＝12，a (c ＋2)＝b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝4，c ＝0.故a ＝2或a ＝8.14．若数列{a n}的前n项和为S n，且a n＝2S n－3，则{a n}的通项公式是________．答案a n＝3·(－1)n－1解析由a n＝2S n－3得a n－1＝2S n－1－3(n≥2)，两式相减得a n－a n－1＝2a n(n≥2)，∴a n＝－a n－1(n≥2)，又a1＝3，故{a n}是首项为3，公比为－1的等比数列，∴a n＝3·(－1)n－1.15．已知在等差数列{a n}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________．答案275或8解析设公差为d，由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，①由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，化简得a1－d＝－1或d＝0，②当d＝3时，a n＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{a n}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.当d＝0时，a n＝8，a92＝8.16．设数列{a n}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝a n(n＋2－λ)，且数列{b n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．解(1)设数列{a n}的公比为q.由题意，可得a n＝8q n－1，且0＜q＜1.由a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列，知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2，解得q＝12或152(舍去)，所以a n＝8×⎝⎛⎭⎫12n－1＝24－n，n∈N*.(2)b n＝a n(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，由b n＞b n＋1，得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n，即λ＜n＋1，所以λ＜(n＋1)min＝2，故实数λ的取值范围为(－∞，2)．。
2019-2020年高中数学 第二第9课时《等比数列的概念和通项公式》教案 (学生版)苏教版必修5
2019-2020年高中数学 第二第9课时《等比数列的概念和通项公式》教案（学生版）苏教版必修5【学习导航】知识网络学习要求1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念；2.类比等差数列的通项公式,探索发现等比数列的通项公式, 掌握求等比数列通项公式的方法；3. 掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题. 【自学评价】1．等比数列：一般地，如果一个数列从__________，每一项与它的前一项的比等于________，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的_____；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：=q （q ≠0） 注:⑴“从第二项起”与“前一项”之比为常数q ,｛｝成等比数列=q （,q ≠0） ⑵ 隐含：任一项⑶______________时，{a n }为常数列. 2.等比数列的通项公式： ⑴ ______________________ ⑵ 3．既是等差又是等比数列的数列：_______． 4.等比中项的定义：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.且 5．证明数列为等比数列： ⑴定义：证明=常数； ⑵中项性质：212121n n n n n n n a a a a a a a +++++==或； 【精典范例】【例1】判断下列数列是否为等比数列： （１）１，１，１，１，１； （２）０，１，２，４，８； （３）1，，，，. 【解】【例2】求出下列等比数列中的未知项： （１）２，ａ，８； （２）－４，ｂ，ｃ，． 【解】【例3】在等比数列{a n }中，（１）已知ａ１＝３，ｑ＝－２，求ａ６； （２）已知ａ３＝20，ａ６＝160，求ａｎ． 【解】【例4】在243和３中间插入３个数，使这５个数成等比数列． 【解】追踪训练一1. 求下列等比数列的公比、第５项和第ｎ项：（1）２，６，１８，５４，…； （2）7，，，（3）0.3，－0.09，0.027，－0.0081，…； （4）5， ，，.听课随笔2. 数列m ,m ,m ,…m , ( ) A. 一定是等比数列B.既是等差数列又是等比数列C.一定是等差数列，不一定是等比数列D.既不是等差数列，又不是等比数列3.已知数列{a n }是公比q ≠±1的等比数列，则在{a n +a n +1},{a n +1－a n }，{}na n 这四个数列中，是等比数列的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 【选修延伸】【例5】成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数. 【解】【例6】已知数列｛a n ｝满足：lg a n ＝3n ＋5，试用定义证明｛a n ｝是等比数列.【证明】【点评】 若｛a n ｝是等差数列，b n ＝b an 可以证明数列｛b n ｝为等比数列，反之若｛a n ｝为等比数列且a n ＞0，则可证明｛lg a n ｝为等差数列. 追踪训练二 1．在等比数列｛a n ｝中，a 3·a 4·a 5＝3，a 6·a 7·a 8＝24，则a 9·a 10·a 11的值等于( ) A.48 B.72 C.144 D.192 2．在等比数列中，已知首项为，末项为,公比为，则项数n 等于___ __.3．已知等比数列{a n }的公比q =－,则=___ ___.4．已知数列｛a n ｝为等比数列，(1)若a n ＞0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25， 求a 3＋a 5.(2)a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .2019-2020年高中数学第二讲参数方程本讲小结新人教A版选修4-4一、基本内容简介1．参数方程．2.几种常见曲线的参数方程及相应的普通方程： (1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． 普通方程：y －y 0＝tan α(x －x 0)或x ＝x 0.t 的几何意义：直线l 上任一点P (不同于M 点)为终点，M 为起点的有向线段MP 的长度．(2)以原点为圆心，半径为r 的圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos φ，y ＝r sin φ(φ为参数)． 普通方程：x 2＋y 2＝r 2.(3)中心在原点，长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦点在x 轴上的椭圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)． 普通方程：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．(4)中心在原点，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦点在x 轴上的双曲线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ(φ为参数)． 普通方程：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．(5)顶点在原点，x 轴为对称轴，开口向右且焦点到准线的距离为p 的抛物线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (p ＞0，t 为参数)． 普通方程：y 2＝2px (p ＞0)． (6)圆的渐开线方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （cos φ＋φsin φ），y ＝r （sin φ－φcos φ）(φ为参数)． (7)摆线的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)． 3．直线参数方程的一般形式及应用：过定点M (x 0，y 0)的直线l 的一般形式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt ，其中t 为参数，a 、b 为常数且满足a 2＋b 2≠0.当a 2＋b 2＝1时，t 才具有几何意义．①求直线l 被二次曲线f (x ，y )＝0截得的弦长|PQ |. 将直线l 的参数方程代入曲线方程得到关于t 的二次方程：At 2＋Bt ＋C ＝0(A ≠0)， 则|PQ |＝a 2＋b 2·B 2－4AC|A |.②普通方程：当a ＝0时，x ＝x 0； 当a ≠0时，y －y 0＝b a(x －x 0)． 二、学习参数方程重点注意的几点1．关于参数方程的学习，首先要正确理解曲线的参数方程的概念，注意掌握课本中讲到的曲线的参数方程、直线的参数方程、圆的参数方程、椭圆的参数方程(这三个内容新教材中也有)、双曲线的参数方程、抛物线的参数方程．2．由于同学们对曲线的普通方程有着较深刻的理解和掌握，因此要善于消去参数，把参数方程化为普通方程，进而可以再研究曲线的几何性质．消去参数的常用方法有：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用消参的手段．3．参数方程的一个优点是曲线上的动点坐标(x，y)中的x和y分别用第三个变量t来表示，因此在利用参数方程解答数学问题时就可以消去x和y，转化为t的方程或t的函数问题了．4．参数的方法在求曲线的方程等方面有着广泛的应用，要注意合理选参、巧妙消参．5．参数既是刻画变化状态的工具，又是揭示问题中内在联系的媒介，确立参数思想是提高数学能力的重要环节，一些解析几何问题，适当地引进参数后，问题的难度明显降低．但参数方程只是曲线方程多种形式的一种，利用参数方程研究曲线或建立轨迹参数方程有它的简便之处，但也不是任何问题参数法就比其他解法优越，因此，复习中应要求恰当，既不能简单处理，也不宜要求过高．在求动点轨迹方程的综合问题中，常用参数法．其步骤为：(1)选参数并确定参数的取值范围；(2)建立参数与x、y的函数关系；(3)消参数并整理得普通方程．6．在选择参数时，要注意以下几点：(1)参数应与动点坐标x、y有直接关系，且x、y便于用参数表示．(2)选择的参数要便于使问题中的条件解析化．(3)对于所选定的参数，要注意其取值范围，并能确定参数对x、y取值范围的制约．(4)若求轨迹，应尽量使所得的参数方程便于消去参数得普通方程．7．提高利用转化解题的意识．建立曲线方程时，可先引入参数，建立起参数方程，再化为普通方程；同样地，在根据参数方程确定曲线的形状和研究性质时，又往往化为普通方程来求解．这一转化过程能降低解题难度，是一个有效的过程，在解题时应善于应用．。
苏教版高中数学必修五学案第二章第课时等比数列的概念和通项公式(2)
第9课时 等比数列的概念和通项公式【分层训练】1.在数列{}n a 中，对任意n N *∈，都有120n n a a +-=，则123422a a a a ++等于（ ）A 14B 13C 12D 12.{}n a 是公比为2的等比数列，且147a a a ++28100a +=L ,则36930a a a a ++++L 等于（ ）A 25B 50C 125D 400 3.已知,,a b c 依次成等比数列，那么函数()f x 2ax bx c =++的图象与x 轴的交点的个数为（ ）A 0B 1C 2D 1或2 4. 若{}n a 是等差数列，公差0d ≠，236,,a a a 成等比数列，则公比为（ ）A.1B. 2C. 3D. 45.设23,26,212a b c===，那么,,a b c（ ）.A 既是等差数列，又是等比数列B 是等差数列，但不是等比数列C 是等比数列，但不是等差数列D 既不是等差数列，也不是等比数列 6.在等比数列{}n a 中，对任意n N *∈，都有12n n n a a a ++=+，则公比q =____. 7.培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第五代大约可以得到这种新品种的种子________粒（保留两个有效数字）. 8.已知数列{}n a 是等比数列，,,m n p N *∈，且,,m n p 成等差数列，求证：,,m n p a a a 依次成等比数列.【拓展延伸】9.有四个数，前三个数成等比数列，它们的和为19，后三个数成等差数列，它们的和为12.求这四个数.10.在数列{}n a 中，其前n 项和322n n n nS -=，()n N *∈,求证数列{}n a 是等比数列.。
北京市西城区教辅资料-学习探究诊断-高中数学(必修5)第二章-数列
北京市西城区教辅资料-学习探究诊断-高中数学必修五全册练习和参考答案第二章：数列测试三 数列Ⅰ 学习目标1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数.2．理解数列的通项公式的含义，由通项公式写出数列各项.3．了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据递推公式写出数列的前几项.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }的前四项依次是：4，44，444，4444，…则数列{a n }的通项公式可以是( ) (A)a n ＝4n (B)a n ＝4n (C)a n ＝94(10n－1) (D)a n ＝4×11n2．在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x ，48，63，……中，x 的值是( ) (A)30 (B)35 (C)36 (D)42 3．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n ，则a 4等于( ) (A)4 (B)13 (C)28 (D)43 4．156是下列哪个数列中的一项( ) (A){n 2＋1} (B){n 2－1} (C){n 2＋n } (D){n 2＋n －1} 5．若数列{a n }的通项公式为a n ＝5－3n ，则数列{a n }是( ) (A)递增数列 (B)递减数列 (C)先减后增数列 (D)以上都不对 二、填空题6．数列的前5项如下，请写出各数列的一个通项公式：(1)n a ,,31,52,21,32,1 ＝________；(2)0，1，0，1，0，…，a n ＝________.7．一个数列的通项公式是a n ＝122n n .(1)它的前五项依次是________； (2)0.98是其中的第________项.8．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋1，则a 4＝________. 9．数列{a n }的通项公式为)12(3211n a n (n ∈N *)，则a 3＝________.10．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2－15n ＋3，则它的最小项是第________项. 三、解答题11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝14－3n .(1)写出数列{a n }的前6项； (2)当n ≥5时，证明a n ＜0.12．在数列{a n }中，已知a n ＝312 n n (n ∈N *).(1)写出a 10，a n ＋1，2n a ； (2)7932是否是此数列中的项？若是，是第几项？13．已知函数xx x f 1)(，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋). (1)写出数列{a n }的前4项；(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？测试四 等差数列Ⅰ 学习目标1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能解决一些简单问题. 2．掌握等差数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能体会等差数列与一次函数的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝a n －2，则a 100等于( ) (A)98 (B)－195 (C)－201 (D)－1982．数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝2008，那么n 等于( ) (A)667 (B)668 (C)669 (D)670 3．在等差数列{a n }中，若a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) (A)15 (B)30 (C)31 (D)644．在a 和b (a ≠b )之间插入n 个数，使它们与a ，b 组成等差数列，则该数列的公差为( )(A)n a b (B)1 n a b (C)1 n a b (D)2n ab 5．设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) (A)S 4＜S 5 (B)S 4＝S 5 (C)S 6＜S 5 (D)S 6＝S 5 二、填空题6．在等差数列{a n }中，a 2与a 6的等差中项是________.7．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝9，那么a 5＋a 6＝________. 8．设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 17＝102，则a 9＝________.9．如果一个数列的前n 项和S n ＝3n 2＋2n ，那么它的第n 项a n ＝________.10．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，设{a n }的前n 项和是S n ，则S 10＝________. 三、解答题11．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 3＝7，S 4＝24．求数列{a n }的通项公式.12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n .13．数列{a n }是等差数列，且a 1＝50，d ＝－0.6．(1)从第几项开始a n ＜0；(2)写出数列的前n 项和公式S n ，并求S n 的最大值.Ⅲ 拓展训练题14．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若3a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝90，求S 100．测试五 等比数列Ⅰ 学习目标1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能解决一些简单问题. 2．掌握等比数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能体会等比数列与指数函数的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝2a n ，则a 4等于( )(A)83 (B)24 (C)48 (D)542．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) (A)33 (B)72 (C)84 (D)189 3．在等比数列{a n }中，如果a 6＝6，a 9＝9，那么a 3等于( )(A)4(B)23 (C)916 (D)3 4．在等比数列{a n }中，若a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前四项和为( ) (A)81 (B)120 (C)168 (D)1925．若数列{a n }满足a n ＝a 1q n －1(q ＞1)，给出以下四个结论： ①{a n }是等比数列； ②{a n }可能是等差数列也可能是等比数列； ③{a n }是递增数列； ④{a n }可能是递减数列.其中正确的结论是( ) (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④ 二、填空题6．在等比数列{a n }中,a 1，a 10是方程3x 2＋7x －9＝0的两根，则a 4a 7＝________. 7．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝6，那么a 5＋a 6＝________. 8．在等比数列{a n }中，若a 5＝9，q ＝21，则{a n }的前5项和为________. 9．在38和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________.10．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q ＝________. 三、解答题11．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝6，a 5＝162.设数列{a n }的前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若S n ＝242，求n .12．在等比数列{a n }中，若a 2a 6＝36，a 3＋a 5＝15，求公比q .13．已知实数a ，b ，c 成等差数列，a ＋1，b ＋1，c ＋4成等比数列，且a ＋b ＋c ＝15，求a ，b ，c .Ⅲ 拓展训练题14．在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q ，每列上的数从上到下都成等差数列.a ij 表示位于第i 行第j 列的数，其中a 24＝81，a 42＝1，a 54＝5.(1)求q 的值；(2)求a ij 的计算公式.测试六 数列求和Ⅰ 学习目标1．会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分项的和. 2．会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知等比数列的公比为2，且前4项的和为1，那么前8项的和等于( ) (A)15 (B)17 (C)19 (D)21 2．若数列{a n }是公差为21的等差数列，它的前100项和为145，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99的值为( ) (A)60 (B)72.5 (C)85 (D)1203．数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n －1·2n (n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则S 100等于( ) (A)100 (B)－100 (C)200 (D)－200 4．数列)12)(12(1n n 的前n 项和为( )(A)12 n n (B)122 n n (C)24 n n (D)12 n n5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝a n ＋3(n ＝1，2，3，…)，则S 100等于( ) (A)7000 (B)7250 (C)7500 (D)14950 二、填空题 6．nn11341231121 ＝________.7．数列{n ＋n21}的前n 项和为________. 8．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________. 9．设n ∈N *，a ∈R ，则1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝________. 10．n n 21813412211＝________. 三、解答题11．在数列{a n }中，a 1＝－11，a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N *)，求数列{|a n |}的前n 项和S n .12．已知函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n (n ∈N *，x ∈R )，且对一切正整数n 都有f (1)＝n 2成立.(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)求13221111 n n a a a a a a .13．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝12141211 n ，求数列的前n 项和S n .Ⅲ 拓展训练题14．已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝2，a 1＋a 2＋a 3＝12.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n x n (x ∈R )，求数列{b n }的前n 项和公式.测试七 数列综合问题Ⅰ 基础训练题一、选择题1．等差数列{a n }中，a 1＝1，公差d ≠0，如果a 1，a 2，a 5成等比数列，那么d 等于( ) (A)3 (B)2 (C)－2 (D)2或－2 2．等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5等于( ) (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 3．如果a 1，a 2，a 3，…，a 8为各项都是正数的等差数列，公差d ≠0，则( ) (A)a 1a 8＞a 4a 5 (B)a 1a 8＜a 4a 5 (C)a 1＋a 8＞a 4＋a 5 (D)a 1a 8＝a 4a 54．一给定函数y ＝f (x )的图象在下列图中，并且对任意a 1∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1＞a n (n ∈N *)，则该函数的图象是( )5．已知数列{a n }满足a 1＝0，1331n n n a a a (n ∈N *)，则a 20等于( ) (A)0 (B)－3(C)3(D)23 二、填空题6．设数列{a n }的首项a 1＝41，且.,,41,211为奇数为偶数n a n a a n nn 则a 2＝________，a 3＝________. 7．已知等差数列{a n }的公差为2，前20项和等于150，那么a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝________. 8．某种细菌的培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3个小时，这种细菌可以由1个繁殖成________个.9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n (n ∈N *)，则a n ＝________.10．在数列{a n }和{b n }中，a 1＝2，且对任意正整数n 等式3a n ＋1－a n ＝0成立，若b n 是a n 与a n ＋1的等差中项，则{b n }的前n 项和为________. 三、解答题11．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a n ＝5S n －3(n ∈N *).(1)求a 1，a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)求a 1＋a 3＋…＋a 2n －1的和. 12．已知函数f (x )＝422x (x ＞0)，设a 1＝1，a 21 n ·f (a n )＝2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0.(1)求公差d 的范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪个值最大，并说明理由.Ⅲ 拓展训练题14．甲、乙两物体分别从相距70m 的两地同时相向运动.甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m . (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？15．在数列{a n }中，若a 1，a 2是正整数，且a n ＝|a n －1－a n －2|，n ＝3，4，5，…则称{a n }为“绝对差数列”.(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)； (2)若“绝对差数列”{a n }中，a 1＝3，a 2＝0，试求出通项a n ； (3)*证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.测试八 数列全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝4，a 3＋a 4＝12，那么a 5＋a 6等于( ) (A)16 (B)20 (C)24 (D)36 2．在50和350间所有末位数是1的整数和( ) (A)5880 (B)5539 (C)5208 (D)48773．若a ，b ，c 成等比数列，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)不能确定 4．在等差数列{a n }中，如果前5项的和为S 5＝20，那么a 3等于( ) (A)－2 (B)2 (C)－4 (D)45．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2007＋a 2008＞0，a 2007·a 2008＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( ) (A)4012 (B)4013 (C)4014 (D)4015 二、填空题6．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________. 7．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和S 20＝________. 8．数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S n ＝n 2－3n ＋1，则a n ＝________.9．等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则1074963a a a a a a ＝________.10．设数列{a n }是首项为1的正数数列，且(n ＋1)a 21 n －na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________. 三、解答题11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝4，求S 13.12．已知数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1＋1)(n ∈N *)在函数f (x )＝2x ＋1的图象上.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)设c n ＝S n ，求数列{c n }的前n 项和T n .13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件S n ＝3a n ＋2.(1)求证：数列{a n }成等比数列； (2)求通项公式a n .14．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.(1)写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用)；(2)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)？(3)若当盈利总额达到最大值时，渔船以8万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元？Ⅱ 拓展训练题 15．已知函数f (x )＝412x (x ＜－2)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f (－11 n a )(n ∈N *).(1)求a n ；(2)设b n ＝a 21 n ＋a 22 n ＋…＋a 212 n ，是否存在最小正整数m ，使对任意n ∈N *有b n ＜25m 成立？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.16．已知f 是直角坐标系平面xOy 到自身的一个映射，点P 在映射f 下的象为点Q ，记作Q＝f (P ).设P 1(x 1，y 1)，P 2＝f (P 1)，P 3＝f (P 2)，…，P n ＝f (P n －1)，….如果存在一个圆，使所有的点P n (x n ，y n )(n ∈N *)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P n (x n ，y n )的一个收敛圆.特别地，当P 1＝f (P 1)时，则称点P 1为映射f 下的不动点.若点P (x ，y )在映射f 下的象为点Q (－x ＋1，21y ). (1)求映射f 下不动点的坐标；(2)若P 1的坐标为(2，2)，求证：点P n (x n ，y n )(n ∈N *)存在一个半径为2的收敛圆.北京市西城区教辅资料-学习探究诊断-高中数学必修五全册练习和参考答案第二章 数列测试三 数列一、选择题1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 二、填空题6．(1)12n a n (或其他符合要求的答案) (2)2)1(1n n a (或其他符合要求的答案)7．(1)2625,1716,109,54,21 (2)7 8．67 9．15110．4提示：9．注意a n 的分母是1＋2＋3＋4＋5＝15.10．将数列{a n }的通项a n 看成函数f (n )＝2n 2－15n ＋3，利用二次函数图象可得答案. 三、解答题11．(1)数列{a n }的前6项依次是11，8，5，2，－1，－4；(2)证明：∵n ≥5，∴－3n ＜－15，∴14－3n ＜－1， 故当n ≥5时，a n ＝14－3n ＜0.12．(1)31,313,31092421102 n n a n n a a n n ； (2)7932是该数列的第15项. 13．(1)因为a n ＝n －n1，所以a 1＝0，a 2＝23，a 3＝38，a 4＝415；(2)因为a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)11n ]－(n －n1)＝1＋)1(1 n n又因为n ∈N ＋，所以a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n .所以数列{a n }是递增数列.测试四 等差数列一、选择题1．B 2．D 3．A 4．B 5．B 二、填空题6．a 4 7．13 8．6 9．6n －1 10．35 提示：10．方法一：求出前10项，再求和即可；方法二：当n 为奇数时，由题意，得a n ＋2－a n ＝0，所以a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2m －1＝1(m ∈N *).当n 为偶数时，由题意，得a n ＋2－a n ＝2，即a 4－a 2＝a 6－a 4＝…＝a 2m ＋2－a 2m ＝2(m ∈N *).所以数列{a 2m }是等差数列. 故S 10＝5a 1＋5a 2＋2)15(5 ×2＝35. 三、解答题11．设等差数列{a n }的公差是d ，依题意得.242344,7211d a d a 解得 .2,31d a ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1. 12．(1)设等差数列{a n }的公差是d ，依题意得.5019,30911d a d a 解得 .2,121d a ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋10.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n ×12＋2)1( n n ×2＝n 2＋11n ， ∴S n ＝n 2＋11n ＝242，解得n ＝11，或n ＝－22(舍).13．(1)通项a n ＝a 1＋(n －1)d ＝50＋(n －1)×(－0.6)＝－0.6n ＋50.6.解不等式－0.6n ＋50.6＜0，得n ＞84.3. 因为n ∈N *，所以从第85项开始a n ＜0.(2)S n ＝na 1＋2)1( n n d ＝50n ＋2)1( n n ×(－0.6)＝－0.3n 2＋50.3n .由(1)知：数列{a n }的前84项为正值，从第85项起为负值， 所以(S n )max ＝S 84＝－0.3×842＋50.3×84＝2108.4.14．∵3a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝32， 由等差数列定义知：数列{a n }是公差为32的等差数列. 记a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝A ，a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝B ， 则B ＝(a 1＋d )＋(a 3＋d )＋(a 5＋d )＋…＋(a 99＋d )＝A ＋50d ＝90＋3100. 所以S 100＝A ＋B ＝90＋90＋3100＝21331. 测试五 等比数列一、选择题1．B 2．C 3．A 4．B 5．D 提示：5．当a 1＝0时，数列{a n }是等差数列；当a 1≠0时，数列{a n }是等比数列； 当a 1＞0时，数列{a n }是递增数列；当a 1＜0时，数列{a n }是递减数列. 二、填空题6．－3 7．12 8．279 9．216 10．－2 提示：10．分q ＝1与q ≠1讨论.当q ＝1时，S n ＝na 1，又∵2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2，∴2na 1＝(n ＋1)a 1＋(n ＋2)a 1， ∴a 1＝0(舍).当q ≠1，S n ＝q q a n 1)1(1.又∵2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2，∴2×q q a n 1)1(1＝qq a q q a n n 1)1(1)1(2111，解得q ＝－2，或q ＝1(舍).三、解答题11．(1)a n ＝2×3n －1； (2)n ＝5. 12．q ＝±2或±21. 13．由题意，得.15)1()4)(1(,22c b a b c a b c a ，解得 852c b a ，或1511c b a .14．(1)设第4列公差为d ，则161381165252454a a d . 故a 44＝a 54－d ＝41161165 ，于是q 2＝414244 a a .由于a ij ＞0，所以q ＞0，故q ＝21. (2)在第4列中，a i 4＝a 24＋(i －2)d ＝i i 161)2(16181 .由于第i 行成等比数列，且公比q ＝21， 所以，a ij ＝a i 4·q j －4＝j j i i )21()21(1614 . 测试六 数列求和一、选择题1．B 2．A 3．B 4．A 5．C 提示：1．因为a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)q 4＝1×24＝16， 所以S 8＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＝1＋16＝17. 2．参考测试四第14题答案.3．由通项公式，得a 1＋a 2＝a 3＋a 4＝a 5＋a 6＝…＝－2，所以S 100＝50×(－2)＝－100.4．)121121(21)5131(21)311(21)12)(12(1531311 n n n n12)]121121()5131()311[(21n nn n . 5．由题设，得a n ＋2－a n ＝3，所以数列{a 2n －1}、{a 2n }为等差数列， 前100项中奇数项、偶数项各有50项，其中奇数项和为50×1＋24950 ×3＝3725，偶数项和为50×2＋24950 ×3＝3775， 所以S 100＝7500. 二、填空题 6．11 n 7．1212)1( n n n 8．31(4n －1) 9．)1,0(,11)1(,1)0(,11a a aa a n a n 且 10．n n n22121提示： 6．利用n n nn 111化简后再求和.8．由a n ＋1＝2a n ，得21 nn a a ，∴221n n a a ＝4，故数列{a 2n }是等比数列，再利用等比数列求和公式求和.10．错位相减法.三、解答题11．由题意，得a n ＋1－a n ＝2，所以数列{a n }是等差数列，是递增数列.∴a n ＝－11＋2(n －1)＝2n －13，由a n ＝2n －13＞0，得n ＞213. 所以，当n ≥7时，a n ＞0；当n ≤6时，a n ＜0.当n ≤6时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝－a 1－a 2－…－a n ＝－[n ×(－11)＋2)1( n n ×2]＝12n －n 2； 当n ≥7时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝－a 1－a 2－…－a 6＋a 7＋a 8＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－2(a 1＋a 2＋…＋a 6) ＝n ×(－11)＋2)1( n n ×2－2[6×(－11)＋256 ×2]＝n 2－12n ＋72.S n ＝ )7(,7212)6(,1222n n n n n n (n ∈N *).12．(1)∵f (1)＝n 2，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n 2. ①所以当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝(n －1)2 ② ①－②得，a n ＝n 2－(n －1)2＝2n －1.(n ≥2) 因为n ＝1时，a 1＝1符合上式. 所以a n ＝2n －1(n ∈N *). (2))12)(12(153131********* n n a a a a a a n n)121121(21)5131(21)311(21 n n )]121121()5131()311[(21 n n 12)1211(21n nn . 13．因为)2(212211)211(1214121111n a n n n n . 所以)212()212()212(11221 n n n a a a S)212121()1(2112 n n112122211)211(2112 n n n n .14．(1)a n ＝2n ；(2)因为b n ＝2nx n ，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝2x ＋4x 2＋…＋2nx n . 当x ＝0时，S n ＝0；当x ＝1时，S n ＝2＋4＋…＋2n ＝2)22(n n ＝n (n ＋1)； 当x ≠0且x ≠1时，S n ＝2x ＋4x 2＋…＋2nx n ，xS n ＝2x 2＋4x 3＋…＋2nx n ＋1；两式相减得(1－x )S n ＝2x ＋2x 2＋…＋2x n －2nx n ＋1， 所以(1－x )S n ＝2x x x n 1)1(－2nx n ＋1，即x nx x x x S n n n 12)1()1(212. 综上，数列{b n }的前n 项和)1(,12)1()1(2)1(),1(12x xnx x x x x n n S n n n测试七 数列综合问题一、选择题1．B 2．A 3．B 4．A 5．B 提示：5．列出数列{a n }前几项，知数列{a n }为：0，－3，3，0，－3，3，0….不难发现循环规律，即a 1＝a 4＝a 7＝…＝a 3m －2＝0； a 2＝a 5＝a 8＝…＝a 3m －1＝－3；a 3＝a 6＝a 9＝…＝a 3m ＝3. 所以a 20＝a 2＝－3. 二、填空题6．41;21 7．85 8．512 9．23n 2－23n ＋2 10．2[1－(31)n ]三、解答题11．(1)643,163,43321a a a . (2)当n ＝1时，由题意得a 1＝5S 1－3，所以a 1＝43； 当n ≥2时，因为a n ＝5S n －3， 所以a n －1＝5S n －1－3；两式相减得a n －a n －1＝5(S n －S n －1)＝5a n ， 即4a n ＝－a n －1. 由a 1＝43≠0，得a n ≠0. 所以411 n n a a (n ≥2，n ∈N *).由等比数列定义知数列{a n }是首项a 1＝43，公比q ＝－41的等比数列. 所以.)41(431n n a (3)a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝)1611(541611)1611(43n n . 12．由a 21 n ·f (a n )＝2，得242221n n a a ， 化简得a 21 n －a 2n ＝4(n ∈N *).由等差数列定义知数列{a 2n }是首项a 21＝1，公差d ＝4的等差数列. 所以a 2n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.由f (x )的定义域x ＞0且f (a n )有意义，得a n ＞0. 所以a n ＝34 n .13．(1)06011201213211301112211211113112d a d a d a S d a S ，又a 3＝a 1＋2d ＝12 a 1＝12－2d ，∴030724d d ，故724 ＜d ＜－3.(2)由(1)知：d ＜0，所以a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 13.∵S 12＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)＞0，S 13＝213(a 1＋a 13)＝13a 7＜0， ∴a 7＜0，且a 6＞0，故S 6为最大的一个值. 14．(1)设第n 分钟后第1次相遇，依题意有2n ＋2)1( n n ＋5n ＝70， 整理得n 2＋13n －140＝0.解得n ＝7，n ＝－20(舍去). ∴第1次相遇是在开始运动后7分钟.(2)设第n 分钟后第2次相遇，依题意有2n ＋2)1( n n ＋5n ＝3×70， 整理得n 2＋13n －420＝0.解得n ＝15，n ＝－28(舍去). ∴第2次相遇是在开始运动后15分钟.15．(1)a 1＝3，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝1，a 6＝0，a 7＝1，a 8＝1，a 9＝0，a 10＝1.(答案不唯一)(2)因为在绝对差数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝0，所以该数列是a 1＝3，a 2＝0，a 3＝3，a 4＝3，a 5＝0，a 6＝3，a 7＝3，a 8＝0，….即自第1项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3，所以,0,3,3332313n n n aa a (n ＝0，1，2，3，…).(3)证明：根据定义，数列{a n }必在有限项后出现零项，证明如下：假设{a n }中没有零项，由于a n ＝|a n －1－a n －2|，所以对于任意的n ，都有a n ≥1，从而 当a n －1＞a n －2时，a n ＝a n －1－a n －2≤a n －1－1(n ≥3)； 当a n －1＜a n －2时，a n ＝a n －2－a n －1≤a n －2－1(n ≥3)； 即a n 的值要么比a n －1至少小1，要么比a n －2至少小1. 令c n ＝),(),(212221212n n n n n n a a a a a a (n ＝1，2，3，…).则0＜c n ≤c n －1－1(n ＝2，3，4，…).由于c 1是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项c n ＜0， 这与c n ＞0(n ＝1，2，3，…)矛盾，从而{a n }必有零项.若第一次出现的零项为第n 项，记a n －1＝A (A ≠0)，则自第n 项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A ，A ，即,,,023133A aA a a k n k n k n (k ＝0，1，2，3，…). 所以绝对差数列{a n }中有无穷多个为零的项.测试八 数列全章综合练习一、选择题1．B 2．A 3．A 4．D 5．C 二、填空题6．3·2n －3 7．180 8．a n ＝ )2(,42)1(,1n n n 9．7610．a n ＝n 1(n ∈N *)提示：10．由(n ＋1)a 21 n －na 2n ＋a n ＋1a n ＝0，得[(n ＋1)a n ＋1－na n ](a n ＋1＋a n )＝0，因为a n ＞0，所以(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即11n na a n n ， 所以nn n a a a a a a a n n n 11322112312 .三、解答题 11．S 13＝156.12．(1)∵点(a n ，a n ＋1＋1)在函数f (x )＝2x ＋1的图象上，∴a n ＋1＋1＝2a n ＋1，即a n ＋1＝2a n .∵a 1＝1，∴a n ≠0，∴nn a a 1＝2， ∴{a n }是公比q ＝2的等比数列，∴a n ＝2n －1.(2)S n ＝1221)21(1 n n . (3)∵c n ＝S n ＝2n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1)＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝n n21)21(2＝2n ＋1－n －2. 13．当n ＝1时，由题意得S 1＝3a 1＋2，所以a 1＝－1；当n ≥2时，因为S n ＝3a n ＋2， 所以S n －1＝3a n －1＋2；两式相减得a n ＝3a n －3a n －1， 即2a n ＝3a n －1.由a 1＝－1≠0，得a n ≠0.所以231n n a a(n ≥2，n ∈N *). 由等比数列定义知数列{a n }是首项a 1＝－1，公比q ＝23的等比数列. 所以a n ＝－(23)n －1． 14．(1)设第n 年所需费用为a n (单位万元)，则a 1＝12，a 2＝16，a 3＝20，a 4＝24． (2)设捕捞n 年后，总利润为y 万元，则y ＝50n －[12n ＋2)1( n n ×4]－98＝－2n 2＋40n －98． 由题意得y ＞0，∴2n 2－40n ＋98＜0，∴10－51＜n ＜10＋51. ∵n ∈N *，∴3≤n ≤17，即捕捞3年后开始盈利. (3)∵y ＝－2n 2＋40n －98＝－2(n －10)2＋102， ∴当n ＝10时，y 最大＝102．即经过10年捕捞盈利额最大，共盈利102＋8＝110(万元). 15．(1)由a n ＝f (－11 n a )，得411221 nn a a (a n ＋1＞0)， ∴{21n a }为等差数列，∴21na ＝211a ＋(n －1)·4． ∵a 1＝1，∴a n ＝341 n (n ∈N *).(2)由1815411412122221n n n a a a b n n n n ， 得b n －b n ＋1＝)981281()581281(981581141 n n n n n n n )98)(28(7)58)(28(3n n n n∵n ∈N *，∴b n －b n ＋1＞0，∴b n ＞b n ＋1(n ∈N *)，∴{b n }是递减数列. ∴b n 的最大值为451423221a ab . 若存在最小正整数m ，使对任意n ∈N *有b n ＜25m成立， 只要使b 1＝254514m即可，∴m ＞970. ∴对任意n ∈N *使b n ＜25m成立的最小正整数m ＝8．16．(1)解：设不动点的坐标为P 0(x 0，y 0)，由题意，得0000211y y x x ，解得21x ，y 0＝0， 所以此映射f 下不动点为P 0(21，0). (2)证明：由P n ＋1＝f (P n )，得n n n n y y x x 21111，所以x n ＋1－21＝－(x n －21)，y n ＋1＝21y n . 因为x 1＝2，y 1＝2， 所以x n －21≠0，y n ≠0， 所以21,1212111n n n n y y x x . 由等比数列定义，得数列{x n －21}(n ∈N *)是公比为－1， 首项为x 1－21＝23的等比数列， 所以x n －21＝23×(－1)n －1，则x n ＝21＋(－1)n －1×23.同理y n ＝2×(21)n －1.所以P n (21＋(－1)n －1×23，2×(21)n －1).设A (21，1)，则|AP n |＝212])21(21[)23( n .因为0＜2×(21)n －1≤2， 所以－1≤1－2×(21)n －1＜1，所以|AP n |≤1)23(2 ＜2． 故所有的点P n (n ∈N *)都在以A (21，1)为圆心，2为半径的圆内，即点P n (x n ，y n )存在一个半径为2的收敛圆.单元测试二 数列一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＝3，a 6＝11，则a 4等于( ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)9 2．在正项等比数列{a n }中，若a 4a 5＝6，则a 1a 2a 7a 8等于( ) (A)6 (B)12 (C)24 (D)363．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列{a n }的公差等于( ) (A)1 (B)2 (C)－1 (D)－2 4．若数列{a n }是公比为4的等比数列，且a 1＝2，则数列{log 2a n }是( ) (A)公差为2的等差数列 (B)公差为lg2的等差数列(C)公比为2的等比数列 (D)公比为lg2的等比数列 5．等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4＝2，S 8＝6，则S 12等于( ) (A)8 (B)10 (C)12 (D)146．{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，用S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( ) (A)21 (B)20 (C)19 (D)187．如果数列{a n }(a n ∈R )对任意m ，n ∈N *满足a m ＋n ＝a m ·a n ，且a 3＝8，那么a 10等于( ) (A)1024 (B)512 (C)510 (D)256 8．设f (n )为正整数n (十进制)的各数位上的数字的平方之和，例如f (123)＝12＋22＋32＝14．记a 1＝f (2009)，a k ＋1＝f (a k )，k ＝1，2，3，…则a 2009等于( ) (A)85 (B)16 (C)145 (D)58 二、填空题9．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________.10．在等差数列{a n }中，a 2，a 11是方程x 2－3x －5＝0的两根，则a 5＋a 8＝________.11．设等比数列{a n }的公比21q ，前n 项和为S n ，则44a S ＝________.12．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，则a 5＝______；前8项的和S 8＝______.(用数字作答)13．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |＞1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1，2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中，则6q ＝________.14．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 三、解答题15．在等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }前n 项和S n .16．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列.(1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .17．已知三个数成等差数列，它们的和为30，如果第一个数减去5，第二个数减去4，第三个数不变，则所得三个数组成等比数列，求这三个数.18．已知函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n (x ∈R ，n ∈N *)，且对一切正整数n 都有f (1)＝n 2成立.(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)求13221111 n n a a a a a a .19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2．(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式.单元测试二 数列一、选择题1．C 2．D 3．B 4．A 5．D 6．B 7．A 8．D二、填空题9．13 10．3 11．15 12．16,255 13．－9 14．3三、解答题15．解：设{a n }的公差为d ，则05316)6)(2(1111d a d a d a d a ， 即 d a d da a 41612812121， 解得 ,2,81d a 或,2,81d a . 因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9).16．解：(1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0，又q ≠0，从而q ＝21. (2)由已知可得a 1－a 1(21 )2＝3， 故a 1＝4，从而S n ＝])21(1[38)21(1])21(1[4n n . 17．解：设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝30，解得a ＝10．又由(a －d －5)(a ＋d )＝(a －4)2，解得d ＝2，或－7．所以三个数为8，10，12，或17，10，3．18．解：(1)由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n 2． ①所以当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝(n －1)2 ②①－②得，a n ＝n 2－(n －1)2＝2n －1．(n ≥2)因为n ＝1时，a 1＝1符合上式，所以a n ＝2n －1(n ∈N *). (2))12)(12(153131********* n n a a a a a a n n )121121(21)5131(21)311(21 n n )]121121()5131()311[(21 n n 12)1211(21n n n . 19．解：(1)由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2，得a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3． 由S n ＋1＝4a n ＋2， ……………①得当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2 ……………② ①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1，∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)， 又因为b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1，所以{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列. (2)由(1)可得b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，所以432211 n n n n a a ， 所以数列{n n a 2}是首项为21，公差为43的等差数列. 所以n n a 2＝414343)1(21 n n ，a n ＝(3n －1)·2n －2．。
高二数学新教材苏教版必修5学案：第2章 2.3 2.3.1 2.3.2 第1课时 等比数列的概念及通项公式
2.3等比数列2．3.1等比数列的概念2．3.2等比数列的通项公式第1课时等比数列的概念及通项公式学习目标：1.理解等比数列的概念，能在具体情景中，发现数列的等比关系．(重点)2.会推导等比数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等比数列问题．(重点)3.会证明一个数列是等比数列．(难点)1．等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．2．等比数列的通项公式如果数列{a n}是等比数列，首项为a1，公比为q，那么它的通项公式为a n＝a1q n －1(a1≠0，q≠0)．3．等比中项(1)若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，且满足G2＝ab.(2)若数列{a n}是等比数列，对任意的正整数n(n≥2)，都有a2n＝a n－1·a n＋1.[基础自测]1．思考辨析(1)等比数列中，各项与公比均不为零．()(2)数列a，a，…，a一定是等比数列．()(3)等比数列{a n}中，a1，a3，a5一定同号．()[答案](1)√(2)×(3)√2．在等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16，则a n＝________.[解析]∵a4＝a1q3，∴q 3＝8，∴q ＝2， ∴a n ＝a 1q n －1＝2·2n －1＝2n . [答案] 2n3．在等比数列{a n }中，已知a 1＝3，q ＝3，若a n ＝729，则n ＝________. [解析] ∵a n ＝a 1q n －1，a 1＝3，q ＝3， ∴729＝3·3n －1＝3n ， ∴n ＝6. [答案] 64．若22是b －1，b ＋1的等比中项，则b ＝________.[解析] ∵(b －1)(b ＋1)＝(22)2，∴b 2－1＝8，∴b 2＝9，∴b ＝±3. [答案] ±35．若1，a,4成等比数列，则a ＝________. [解析] ∵1，a,4成等比数列， ∴a 2＝1×4＝4，∴a ＝±2. [答案] ±2等比数列的通项公式n 465(2)在等比数列{a n }中，若a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，则n ＝________. [解析] (1)∵a 6＝a 4q 2，a 5＝a 4q ，∴2a 4＝a 4q 2－a 4q ，∴q 2－q －2＝0，∴q ＝－1或q 2＝2.∴公比为－1或2.(2)法一：因为⎩⎨⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，③a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，④ 由④③得q ＝12，从而a 1＝32，又a n ＝1，所以32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，所以n ＝6.法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝1 2.由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.由a n＝a1q n－1＝1，知n＝6.[答案](1)－1或2(2)6[规律方法]等比数列基本量的求法a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，法一是常规解法，先求a1，q，再求a n，法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a1和q，这也是常见的方法.[跟踪训练]1．(1)若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是________．(2)一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面两项的和，则公比q ＝________.[解析](1)∵a5＝a1q4，a1＝5，∴q＝－3，∴a5＝405.(2)由题意，a n＝a n＋1＋a n＋2，即a n＝a n q＋a n q2，∴q2＋q－1＝0，∴q＝－1±52.∵q>0，∴q＝5－1 2.[答案](1)405(2)5－12等比中项的应用在4与14之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数．[思路探究]法一：利用等比数列的通项公式求解；法二：先设出这三个数，再利用等比中项求解．[解]法一：依题意，a1＝4，a5＝14，由等比数列的通项公式，得q4＝a5a1＝116，q＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.法二：此等比数列共5项，a 3是a 1与a 5的等比中项，因此a 3＝±a 1a 5＝±1. a 2是a 1与a 3的等比中项，a 4是a 3与a 5的等比中项，因为一个正数和一个负数没有等比中项，所以a 3＝1，a 2＝±a 1a 3＝±2，a 4＝±a 3a 5＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.[规律方法]注意等比数列中各项的符号特点是隔项符号必须相同.从而，对于数a ，b 的等比中项G ，G 2＝ab 一定成立，但G 的符号不一定正负都可取，如等比数列{a n }中，三项分别为a 1，a 4，a 7，则a 4是a 1与a 7的等比中项，此时a 4可取正值，也可取负值；而对于下面的三项a 2，a 4，a 6，也有a 4是a 2与a 6的等比中项，此时a 4只能与a 2和a 6同号.提醒：三个数满足G 2＝xy ，则x ，G ，y 不一定成等比数列，如0，0，0这三个数不成等比数列.)[跟踪训练]2．已知a ，－32，b ，－24332，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值．[解] 由题意知b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－24332＝⎝ ⎛⎭⎪⎫326，∴b ＝±278.当b ＝278时，ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，解得a ＝23； bc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－243322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，解得c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫327.同理，当b ＝－278时，a ＝－23， c ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫327.综上所述，a，b，c的值分别为23，278，⎝⎛⎭⎪⎫327或－23，－278，－⎝⎛⎭⎪⎫327.等比数列的判定与证明[探究问题]1．判定或证明等比数列有哪些常用的方法？[提示](1)利用定义：a n＋1a n＝q(与n无关的常数)．(2)利用等比中项：a2n＋1＝a n·a n＋2(n∈N*)．(3)通项公式法：a n＝a1q n－1(a1≠0且q≠0)．2．如何判定或证明一个数列不是等比数列？[提示](1)利用定义：a n＋1a n≠常数．(2)证明a3a2≠a2 a1.已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝13(a n－1)(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)求证：数列{a n}是等比数列．[思路探究](1)S n＝13(a n－1)⇒令n＝1，n＝2求值．(2)S n＝13(a n－1)⇒消去S n⇒a n，a n－1的关系证明．[解](1)由S1＝13(a1－1)，得a1＝13(a1－1)，所以a1＝－12，又S2＝13(a2－1)，即a1＋a2＝13(a2－1)，得a2＝14.(2)当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝13(a n－1)－13(a n－1－1)，得a na n－1＝－12，又a1＝－12，所以{a n}是首项为－12，公比为－12的等比数列．母题探究：1.(变条件)将本例的条件改为“a 1＝78，且a n ＋1＝12a n ＋13”，求证数列{a n －23}是等比数列．[证明] 因为a n ＋1＝12a n ＋13，所以a n ＋1－23＝12a n ＋13－23＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －23， 所以a n ＋1－23a n －23＝12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是首项为524，公比为12的等比数列．2．(变条件)将本例条件“S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)”改为“a 1＝1，a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n＋1”，试证明数列{a n }是等比数列，并求{a n }的通项公式．[解] 由已知得a 2n ＋1－a n a n ＋1－2a 2n ＝0，所以(a n ＋1－2a n )(a n ＋1＋a n )＝0. 所以a n ＋1－2a n ＝0或a n ＋1＋a n ＝0. (1)当a n ＋1－2a n ＝0时，a n ＋1a n＝2.又a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．所以a n ＝2n －1. (2)当a n ＋1＋a n ＝0时，a n ＋1a n ＝－1，又a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公比为－1的等比数列． 所以a n ＝1×(－1)n －1＝(－1)n －1. 综上：a n ＝2n －1或a n ＝(－1)n －1. [规律方法]判断一个数列是不是等比数列的常用方法： (1)定义法；(2)等比中项法；(3)通项公式法.提醒：判断是否为等比数列，最终一般都要转化为定义法.1．下列数列是等比数列的是()A．2,2，－2，－2,2,2，－2，－2，…B．－1,1，－1,1，－1，…C．0,2,4,6,8,10，…D．a1，a2，a3，a4，…B[A.从第2项起，每一项与前一项的比不是同一常数，故不选A.B．由等比数列定义知该数列为等比数列．C．等比数列各项均不为0，故该数列不是等比数列．D．当a＝0时，该数列不是等比数列；当a≠0时，该数列为等比数列．]2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数n＝________.[解析]由等比数列的通项公式，得128＝4×2n－1,2n－1＝32，所以n＝6.[答案] 63．在8和5 823之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是________．[解析]设公比为q，则8q6＝5 832，所以q6＝729，所以q2＝9，所以a5＝8q4＝648.[答案]6484．在数列{a n}中，若a1＝1，a n＋1＝2a n＋3(n≥1)，则该数列的通项a n＝________.[解析]由条件知a n＋1＋3＝2(a n＋3)，∴a n＋1＋3a n＋3＝2，即a n＋3＝4·2n－1，∴a n＝2n＋1－3.[答案]2n＋1－35．在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这3个数．[解]设插入的三个数为a2，a3，a4，由题意得243，a2，a3，a4,3成等比数列．设公比为q ， 则3＝243·q 5－1， 解得q ＝±13.当q ＝13时，a 2＝81，a 3＝27，a 4＝9；当q ＝－13时，a 2＝－81，a 3＝27，a 4＝－9.因此，所求三个数为81,27,9或－81,27，－9.由Ruize收集整理。
高中数学第二章数列2.4.1等比数列的概念及通项公式人教A版必修5
2.等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,这三个数满足关系式 ab=G2.
思考 1 若 G2=ab,则 a,G,b 一定成等比数列吗?
提示:不一定.因为若 G=0,则 a,b 中至少有一个为 0,使 G2=ab,根据等比 数列的定义,a,G,b 不成等比数列.当 a,G,b 全不为零时,若 G2=ab,则 a,G,b 成
探究四
探究二 等比中项的应用
若 a,G,b 成等比数列,则 G 叫做 a 与 b 的等比中项,此时 G=± ������������. 注意:(1)在 a,b 同号时,a,b 的等比中项有两个,异号时,没有等比中项. (2)在一个等比数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是 它的前一项与后一项的等比中项. (3)“a,G,b 成等比数列”等价于“G2=ab”(a,b 均不为 0),可以用它来判断 或证明三个数成等比数列. 同时还要注意到“a,G,b 成等比数列”与“G= ������������”不是等价的.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)∵a1=-1,an=3an-1-2n+3,∴a2=3a1-2×2+3=-4,a3=3a2-2×3+3=-15.
下面证明{an-n}是等比数列:
������������+1-(n + ������������-n
1)
=
3������������-2(n
+ 1) + ������������-n
是等比数列. (3)通项公式法:若数列{an}的通项公式为 an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列
苏教版数学高二-必修五课件 -2 等比数列的概念 等比数列的通项公式(一)
思考1 下列数列一定是等比数列的是 . (1)1,3,32 ，33，…，3n－1，…； (2)－1,1,2,4,8，…； (3)a1，a2，a3，…，an，….
解析答案
思考2 若数列{an}满足an＋1＝2an(n∈N*)，那么{an}是等比数列吗？ 答案 不一定.当a1＝0时，按上述递推关系，该数列为常数列，且常数 为0，故{an}不一定为等比数列.
12345
解析答案
12345
3.
若
等比
数
列
的首
项
为 98
，
末
项为
1 3
，
公比
为
23 ，
则
这
个数
列
的项
数
为 4.
解析 设项数为 n，则98·(23)n－1＝13，∴n＝4.
解析答案
12345
4.若数列{an}是等比数列，则下列数列中一定成等比数列的有 ①②④⑤⑥ .
①{a2n}；②{a2n}；③{lg an}；④a1n；⑤{|an|}；⑥{can}(c 为常数且不等 于 0)；⑦{an±k}(k≠0).
答案
12345
5.已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 解 不是等比数列.∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
解析答案
课堂小结
1.等比数列定义的理解 (1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q 也不可能为零. (2)aan＋n 1均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分 母次序不能颠倒. (3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的 前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列.
高中数学必修5(人教A版)第二章数列2.4知识点总结含同步练习及答案
第二章 数列 2.4 等比数列
一、学习任务 理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决一些简单的问题．能在具体的 问题情境中，发现数列的等比关系．了解等比数列与指数函数的关系． 二、知识清单
等比数列的概念与性质
三、知识讲解
1.等比数列的概念与性质 描述： 等比数列 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫 做等比数列（geometric sequence），这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通 常用字母 q 表示 (q ≠ 0) ． 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a ，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中 项． 等比数列的通项公式：an = a1 q n−1 ． 等比数列的性质 an ，am 为等比数列中任意两项，则 an = am q n−m (n, m ∈ N + ) ． 若 n，m ，p ，r ∈ N ∗ 且 n + m = p + r ，则 an ⋅ am = ap ⋅ ar ． 下标（即项的序号）成等差数列的项，仍然成等比数列． 等比数列前 n 项和
27 是否为这个数列中的一项？如 2
a(3a + 3) = (2a + 2)2 ,
解得 a = −1 或 a = −4 ． 当 a = −1 时，数列的前三项依次为 −1，0 ，0 ，与等比数列的定义相矛盾，故舍去． 当 a = −4 时，数列的前三项依次为 −4，−6，−9，则公比为 q =
3 ．所以 2
q = 1, ⎧ na1 , n 等比数列的前 n 项和 S n = ⎨ a1 (1 − q ) a − an q ⎩ = 1 , q ≠ 1. 1−q 1−q 等比数列的前 n 项和的性质 当 S n ，S 2n − S n ，S 3n − S 2n 均不为零时，数列 S n ，S 2n − S n ，S 3n − S 2n 构成等比数列；
苏教版数学必修5课件：第2章 2.3 等比数列 2.3.1 等比数列的概念 2.3.2 等比数列的通
【答案】 ±9
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等比数列的性质
[小组合作型]
在等比数列{an}中， (1)若 a3a5a7a9a11＝243，求aa1291的值； (2)若 an>0，且 a3a6＝32，求 log2a1＋log2a2＋…＋log2a8 的值．
【精彩点拨】 利用等比数列的性质，若 m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，
故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
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灵活设项求解等比数列的技巧 1．三数成等比数列，一般可设为aq，a，aq. 2．四数成等比数列，一般可设为qa3，aq，aq，aq3 或 a，aq，aq2，aq3. 3．五数成等比数列，一般可设为qa2，aq，a，aq，aq2.
【精彩点拨】 解答此类题目主要是利用性质和已知巧设，再构造方程或 方程组求解．
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【自主解答】 法一：设这四个数依次为 a－d，a，a＋d，a＋ad2，
由条件得a－d＋a＋a d2＝16， a＋a＋d＝12，
解得ad＝ ＝44， 或ad＝ ＝9－，6. ∴当 a＝4，d＝4 时，所求四个数为 0,4,8,16； 当 a＝9，d＝－6 时，所求四个数为 15,9,3,1. 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1.
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[再练一题]
2．三个数成等比数列，其积为 512，如果第一个数与第三个数各减去 2，
则这三个数成等差数列，求这三个数.
【解】 设三个数依次为aq，a，aq，
【导学号：92862052】
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高中数学必修五-等比数列
等比数列知识集结知识元等比数列的通项公式知识讲解1．等比数列的通项公式【知识点的认识】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n＝a1•q n﹣13．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a•b（ab≠0）4．等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等比数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{a n}是递增数列；或⇔{a n}是递减数列；q＝1⇔{a n}是常数列；q＜0⇔{a n}是摆动数列．例题精讲等比数列的通项公式例1.若公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=64，则a6等于（）A．1B．2C．4D．8例2.已知等比数列{a n}前9项的积为512，且a8=32，则a2=（）A．B．C．D．例3.在公比q为整数的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1∙a4=32，a2+a3=12，则下列说法错误的是（）A．q=2B．数列{S n+2}是等比数列C．S8=510D．数列{lga n}是公差为2的等差数列等比数列的性质知识讲解1．等比数列的性质【等比数列】（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1时，a n为常数列．等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，a n＝a1q n﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，S n＝，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有a m•a n＝a p•a q．例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝．解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，则18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案为：6．本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．【等比数列的性质】（1）通项公式的推广：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等比数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{a n}是递增数列；或⇔{a n}是递减数列；q＝1⇔{a n}是常数列；q＜0⇔{a n}是摆动数列．例题精讲等比数列的性质例1.已知等比数列{a n}中a5=1，若+++=5，则a2+a4+a6+a8=（）A．4B．5C．16D．25例2.等比数列{a n}的各项均为正数，且a4a6+a3a7=18，则log3a1+log3a2+log3a3++log3a9=（）A．12B．10C．9D．2+log35例3.已知数列{a n}为等比数列，且a2a3a4=-a72=-64，则tan=（）A．B．C．D．当堂练习单选题练习1.已知等比数列{a n}的首项为1，且a6+a4=2（a3+a1），则a1a2a3…a7=（）A．16B．64C．128D．256练习2.在等比数列{a n}中，a1=1，=8，则a6的值为（）A．4B．8C．16D．32练习3.等比数列{a n}的各项均为正数，已知向量=（a4，a5），=（a7，a6），且∙=4，则log2a1+log2a2+…+log2a10=（）A．12B．10C．5D．2+log25练习4.已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则=（）A．2B．4C．8D．16练习5.设{a n}（n∈N*）是各项为正数的等比数列，q是其公比，K n是其前n项的积，且K5<K6，K6=K7>K8，则下列结论错误的是（）A．0<q<1B．a7=1C．K9>K5D．K6与K7均为K n的最大值填空题练习1.已知数列{a n}的前n项和S n=3n-1，则首项a1=___，通项公式a n=________．练习2.已知等比数列a1，a2，a3，a4满足a1∈（0，1），a3∈（1，2），a4∈（2，4），则a6的取值范围为__．练习3.在等比数列{a n}中，已知a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a8+a9+a10=_____．练习4.在等比数列{a n}中，a4，a8是关于x的方程x2+10x+4=0的两个实根，则a2a6a10=____．练习5.已知等比数列{a n}的首项为1，且a6+a4=2（a3+a1），则a1a2a3…a7=_____．练习6.已知无穷等比数列{a n}满足：对任意的n∈N*，sin a n=1，则数列{a n}公比q的取值集合为______________．解答题练习1.'（1）在等差数列{a n}中，已知a1=3，d=4，a n=59，求n；（2）在等比数列{a n}中，已知，求a1与q．'练习2.'已知等差数列{a n}中，a2+a3=14，a4-a1=6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a1，b3=a3，若b6=a m，求实数m的值．'练习3.'已知数列{a n}满足：a1=1，a2=a（a>0）．数列{b n}满足b n=a n a n+1（n∈N*）．（1）若{a n}是等差数列，且b3=12，求a的值及{a n}的通项公式；（2）当{b n}是公比为a-1的等比数列时，{a n}能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．'。
高中数学新人教A版必修5第二章 2.4 第一课时 等比数列的概念及通项公式
等比数列第一课时等比数列的概念及通项公式预习课本P48～50，思考并完成以下问题(1)等比数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等比数列？(2)等比数列的通项公式是什么？(3)等比中项的定义是什么？[新知初探]1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．[点睛](1)“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；(2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；(3)“同一常数q”，q是等比数列的公比，即q＝a na n－1(n≥2)或q＝a n＋1a n.特别注意，q不可以为零，当q＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列．2．等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±ab.[点睛](1)G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．G＝±ab，即等比中项有两个，且互为相反数．(2)当G2＝ab时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝5×0，但0,0,5不是等比数列．3．等比数列的通项公式等比数列{a n}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：a n＝a1q n－1.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列( ) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零( ) (3)常数列一定为等比数列( ) (4)任何两个数都有等比中项( )解析：(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列．(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零． (3)错误，当常数列不为零时，该数列才是等比数列．(4)错误．当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项． 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．下列数列为等比数列的是( )A ．2,22,3×22，… B.1a ，1a 2，1a 3，…C ．s －1，(s －1)2，(s －1)3，…D ．0,0,0，…解析：选B A 、C 、D 不是等比数列，A 中不满足定义，C 、D 中项可为0，不符合定义．3．等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B ∵13＝98·⎝⎛⎭⎫23n －1，∴827＝⎝⎛⎭⎫23n －1，即⎝⎛⎭⎫233＝⎝⎛⎭⎫23n －1， ∴n －1＝3，∴n ＝4.4．在等比数列{a n }中，a 4＝27，q ＝－3，则a 7＝________. 解析：a 7＝a 4·q 3＝27×(－3)3＝－729. 答案：－729[典例] (1)在等比数列{a n }中，a 1＝12，q ＝12，a n ＝132，则项数n 为( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.[解析] (1)因为a n ＝a 1q n －1，所以12×⎝⎛⎭⎫12n －1＝132，即⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫125，解得n ＝5. (2)由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1⇒2q 2－5q ＋2＝0⇒q ＝2或12，由a 25＝a 10＝a 1q 9>0⇒a 1>0，又数列{a n }递增，所以q ＝2.a 25＝a 10⇒(a 1q 4)2＝a 1q 9⇒a 1＝q ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .[答案] (1)C (2)2n等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再求a n ，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q 后，再求a 1，最后求a n ，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．[活学活用]在等比数列{a n }中， (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .解：(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ② 由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22n －53.(2)法一：因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ③a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ④由④③得q ＝12，从而a 1＝32.又a n ＝1，所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1， 即26－n ＝20，所以n ＝6.法二：因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，得a 1＝32. 由a n ＝a 1q n －1＝1，得n ＝6.等比中项[典例] (1)在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项是( )A ．±4B ．4C ．±14D.14(2)已知b 是a ，c 的等比中项，求证：ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项． [解析] (1)由a n ＝18×2n －1＝2n －4知，a 4＝1，a 8＝24，所以a 4与a 8的等比中项为±4.答案：A(2)证明：因为b 是a ，c 的等比中项， 所以b 2＝ac ，且a ，b ，c 均不为零，又(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)＝a 2b 2＋a 2c 2＋b 4＋b 2c 2＝a 2b 2＋2a 2c 2＋b 2c 2，(ab ＋bc )2＝a 2b 2＋2ab 2c ＋b 2c 2＝a 2b 2＋2a 2c 2＋b 2c 2，所以(ab ＋bc )2＝(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)，即ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项．(1)由等比中项的定义可知G a ＝bG ⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab ，所以只有a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．(3)a ，G ，b 成等比数列等价于G 2＝ab (ab >0)． [活学活用]1．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－9解析：选B 因为b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号， 所以b ＝－3，且a ，c 必同号． 所以ac ＝b 2＝9.2．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________. 解析：由已知可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)， 解得a ＝5，所以a 1＝4，a 2＝6， 所以q ＝a 2a 1＝64＝32，所以a n ＝4×⎝⎛⎭⎫32n －1. 答案：4×⎝⎛⎭⎫32n －1等比数列的判定与证明[典例] 在数列{a n }中，若a n >0，且a n ＋1＝2a n ＋3(n ∈N *)．证明：数列{a n ＋3}是等比数列．[证明] [法一 定义法] ∵a n >0，∴a n ＋3>0. 又∵a n ＋1＝2a n ＋3， ∴a n ＋1＋3a n ＋3＝2a n ＋3＋3a n ＋3＝2(a n ＋3)a n ＋3＝2. ∴数列{a n ＋3}是首项为a 1＋3，公比为2的等比数列． [法二 等比中项法] ∵a n >0，∴a n ＋3>0. 又∵a n ＋1＝2a n ＋3， ∴a n ＋2＝4a n ＋9. ∴(a n ＋2＋3)(a n ＋3) ＝(4a n ＋12)(a n ＋3) ＝(2a n ＋6)2 ＝(a n ＋1＋3)2.即a n ＋3，a n ＋1＋3，a n ＋2＋3成等比数列， ∴数列{a n ＋3}是等比数列．证明数列是等比数列常用的方法(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 为常数且q ≠0)或a n a n －1＝q (q 为常数且q ≠0，n ≥2)⇔{a n }为等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．[活学活用](1)已知各项均不为0的数列{a n }中，a 1，a 2，a 3成等差数列，a 2，a 3，a 4成等比数列，a 3，a 4，a 5的倒数成等差数列，证明：a 1，a 3，a 5成等比数列．(2)已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，求证数列{b n }是等比数列，并求其通项公式．证明：(1)由已知，有2a 2＝a 1＋a 3，① a 23＝a 2·a 4，② 2a 4＝1a 3＋1a 5.③ 由③得2a 4＝a 3＋a 5a 3·a 5，所以a 4＝2a 3·a 5a 3＋a 5.④由①得a 2＝a 1＋a 32.⑤ 将④⑤代入②，得a 23＝a 1＋a 32·2a 3·a 5a 3＋a 5. ∴a 3＝(a 1＋a 3)a 5a 3＋a 5，即a 3(a 3＋a 5)＝a 5(a 1＋a 3)．化简，得a 23＝a 1·a 5.又a 1，a 3，a 5均不为0，所以a 1，a 3，a 5成等比数列． (2)依题意a n ＝2＋(n －1)×(－1)＝3－n ， 于是b n ＝⎝⎛⎭⎫123－n .而b n b n －1＝⎝⎛⎭⎫123－n⎝⎛⎭⎫124－n ＝⎝⎛⎭⎫12－1＝2. ∴数列{b n }是公比为2的等比数列，通项公式为b n ＝2n －3.层级一 学业水平达标1．2＋3和2－3的等比中项是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．2解析：选C 设2＋3和2－3的等比中项为G ，则G 2＝(2＋3)(2－3)＝1，∴G ＝±1. 2．在首项a 1＝1，公比q ＝2的等比数列{a n }中，当a n ＝64时，项数n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选D 因为a n ＝a 1q n －1，所以1×2n －1＝64，即2n －1＝26，得n －1＝6，解得n ＝7.3．设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d ，若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 等于( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选B ∵a n ＝(n ＋8)d ，又∵a 2k ＝a 1·a 2k ，∴[(k ＋8)d ]2＝9d ·(2k ＋8)d ，解得k ＝－2(舍去)或k ＝4.4．等比数列{a n }的公比为q ，且|q |≠1，a 1＝－1，若a m ＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11D ．12解析：选C ∵a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3·a 1q 4＝a 51·q 10＝－q 10，a m ＝a 1q m －1＝－q m －1，∴－q 10＝－q m －1，∴10＝m －1，∴m ＝11.5．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n 等于( ) A ．(－2)n －1B ．－(－2n －1)C ．(－2)nD ．－(－2)n解析：选A 设公比为q ，则a 1q 4＝－8a 1q ， 又a 1≠0，q ≠0，所以q 3＝－8，q ＝－2， 又a 5＞a 2，所以a 2＜0，a 5＞0， 从而a 1＞0，即a 1＝1，故a n ＝(－2)n －1.6．等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则a n ＝________. 解析：∵a 3a 1＝q 2，∴q 2＝－8－2＝4，即q ＝±2.当q ＝－2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n ；当q ＝2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×2n －1＝－2n .答案：(－2)n 或－2n7．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则a 4＝________. 解析：设公比为q ，则a 1q 2＝3，a 1q 9＝384， 所以q 7＝128，q ＝2，故a 4＝a 3q ＝3×2＝6. 答案：68．已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于________．解析：依题意设原来的三个数依次为a q ，a ，aq .∵aq ·a ·aq ＝512，∴a ＝8.又∵第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，∴⎝⎛⎭⎫a q －2＋(aq －2)＝2a ，∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12，∴原来的三个数为4,8,16或16,8,4.∵4＋8＋16＝16＋8＋4＝28，∴原来的三个数的和等于28.答案：289．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数．解：设前三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则有 (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝48，即a ＝16. 设后三个数分别为bq ，b ，bq ，则有 b q·b ·bq ＝b 3＝8 000，即b ＝20， ∴这四个数分别为m,16,20，n ， ∴m ＝2×16－20＝12，n ＝20216＝25.即所求的四个数分别为12,16,20,25.10．已知递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2和a 4的等差中项，求a n .解：设等比数列{a n }的公比为q .依题意，知2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， ∴a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＋4＝28， ∴a 3＝8，a 2＋a 4＝20，∴8q ＋8q ＝20，解得q ＝2或q ＝12(舍去)．又a 1＝a 3q2＝2，∴a n ＝2n .层级二 应试能力达标1．设a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，其公比为2，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( )A.14B.12C.18D ．1解析：选A 原式＝2a 1＋a 2q 2(2a 1＋a 2)＝1q 2＝14.2．在等比数列{a n }中，已知a 1＝13，a 5＝3，则a 3＝( )A ．1B ．3C ．±1D ．±3解析：选A 由a 5＝a 1·q 4＝3，所以q 4＝9，得q 2＝3，a 3＝a 1·q 2＝13×3＝1.3．设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为3的等比数列，则a 6等于( )A ．607.5B ．608C ．607D ．159解析：选C ∵1＋2a n ＝(1＋2a 1)×3n －1， ∴1＋2a 6＝5×35，∴a 6＝5×243－12＝607. 4．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，14 12，14 34，38，316 …记第i 行第j 列的数为a ij (i ，j ∈N *)，则a 53的值为( ) A.116 B.18C.516D.54解析：选C 第一列构成首项为14，公差为14的等差数列，所以a 51＝14＋(5－1)×14＝54.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为54，公比为12的等比数列，所以a 53＝54×⎝⎛⎭⎫122＝516. 5．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝－1， a 1－a 3＝a 1(1－q 2)＝－3，两式相除，得1＋q 1－q 2＝13，解得q ＝－2，a 1＝1，所以a 4＝a 1q 3＝－8. 答案：－86．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________． 解析：由a n ＝2S n －3得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a na n －1＝－1(n ≥2)． 故{a n }是公比为－1的等比数列，令n ＝1得a 1＝2a 1－3，∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1.答案：a n ＝3·(－1)n －17．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，求证：数列{a n }是等比数列． 证明：∵S n ＝2－a n ，∴S n ＋1＝2－a n ＋1.∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2－a n ＋1)－(2－a n )＝a n －a n ＋1. ∴a n ＋1＝12a n .又∵S 1＝2－a 1， ∴a 1＝1≠0.又由a n ＋1＝12a n 知a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝12. ∴数列{a n }是等比数列．8．已知数列{a n }满足a 1＝73，a n ＋1＝3a n －4n ＋2(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)证明数列{a n －2n }是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式．解：(1)由已知得a 2＝3a 1－4＋2＝3×73－4＋2＝5，a 3＝3a 2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9.(2)证明：∵a n ＋1＝3a n －4n ＋2，∴a n ＋1－2n －2＝3a n －6n ， 即a n ＋1－2(n ＋1)＝3(a n －2n )． 由(1)知a 1－2＝73－2＝13，∴a n －2n ≠0，n ∈N *.∴a n ＋1－2(n ＋1)a n －2n＝3，∴数列{a n －2n }是首项为13，公比为3的等比数列．∴a n －2n ＝13×3n －1，∴a n ＝3n －2＋2n .。
人教A版高中数学必修五学教案集数列等比数列二,
第九教时教材：等比数列（二）目的：在熟悉等比数列有关概念的基础上，要求学生进一步熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断一个数列是否成等比数列的方法。
过程：一、复习：1、等比数列的定义，通项公式，中项。
2、处理课本P128练习，重点是第三题。
二、等比数列的有关性质：1、与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。
与某一项距离相等的两项之积等于 这一项的平方。
2、若q p n m +=+，则q p n m a a a a =。
例一：1、在等比数列{}n a ，已知51=a ，100109=a a ，求18a 。
解：∵109181a a a a =，∴205100110918===a a a a 2、在等比数列{}nb 中， 34=b ，求该数列前七项之积。
解：()()()45362717654321b b b b b b b b b b b b b b =∵53627124b b b b b b b ===，∴前七项之积()2187333732==⨯ 3、在等比数列{}n a 中，22-=a ，545=a ，求8a ， 解：145825454255358-=-⨯=⋅==a a a q a a 另解：∵5a 是2a 与8a 的等比中项，∴25482-⨯=a ∴14588-=a三、判断一个数列是否成GP 的方法：1、定义法，2、中项法，3、通项公式法 例二：已知无穷数列 ,10,10,10,1051525150-n ，求证：（1）这个数列成GP（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的101， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。
证：（1）5152511101010==---n n n n a a （常数）∴该数列成GP 。
（2）101101010154515===-+-+n n n n a a ，即：5101+=n n a a 。
（3）525151101010-+--==q p q p q p a a ，∵N q p ∈,，∴2≥+q p 。
人教A版高中数学必修五等比数列的概念及通项公式课件
定义
做a与b的等差中项
a与b的 等比 中项
定义式
A－a＝b－A
Ga ＝Gb
公式
A＝a＋b 2
G＝± ab
个数
a与b的等差中项唯一
a与b的等比中项有 两 个，且互为_相_ _反__数_
备注 任意两个数a与b都有等差中项 只有当ab＞0时，a与b才有等比中项
人教A版高中数学必修五2.4.1等比数 列的概 念及通 项公式 课件(共34张PPT)
从第2项起,每一项与它前
项的比等同一个非零常数
一项的差等同一个常数
公比 q 0
常数
公差 d R
an q, n 2 an-1
an a1 q n-1
G2 ab 或 G ab
定义式
通项公 式
中项 公式
an - an-1 d , n 2
an a1 (n - 1)d
a b 2 A或A a b 2
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2 题型探究
PART TWO
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共n – 1 项
an - a1 (n -1)d
an q n-1 a1
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等比数列
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第9课时 等比数列的概念和通
项公式
【分层训练】
1.在数列{}n a 中，对任意n N *∈，都有
120n n a a +-=，则
12
34
22a a a a ++等于
（ ）
A
14 B 13 C 1
2 D 1 2.{}n a 是公比为2的等比数列，且
147a a a ++28100a +=,则36930a a a a +++
+等于（ ）
A 25
B 50
C 125
D 400 3.已知,,a b c 依次成等比数列，那么函数
()f x 2ax bx c =++的图象与x 轴的交点
的个数为（ ）
A 0
B 1
C 2
D 1或2 4. 若{}n a 是等差数列，公差0d ≠，
236,,a a a 成等比数列，则公比为（ ）
A.1
B. 2
C. 3
D. 4
5.设23,26,212a b c
===，那么,,a b c
（ ）.
A 既是等差数列，又是等比数列
B 是等差数列，但不是等比数列
C 是等比数列，但不是等差数列
D 既不是等差数列，也不是等比数列 6.在等比数列{}n a 中，对任意n N *∈，都有12n n n a a a ++=+，则公比q =____. 7.培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第五代大约可以得到这种新品种的种子________粒（保留两个有效数字）. 8.已知数列{}n a 是等比数列，
,,m n p N *
∈，且,,m n p 成等差数列，求证：,,m n p a a a 依次成等比数列.
【拓展延伸】
9.有四个数，前三个数成等比数列，它们的和为19，后三个数成等差数列，它们的和为12.求这四个数.
10.在数列{}n a 中，其前n 项和
322
n n n n
S -=，()n N *
∈,求证数列{}n a 是等比数列.。