迁移观点 巧秒解题 ( 安徽 宣城六中 李庆银)

迁移观点 巧秒解题

安徽 宣城六中 李庆银

学习能够迁移，这是学习中的普遍现象。在数学解题中，只有掌握了迁移的实质才能举一反三，触类旁通，使学习达到由此及彼。只有使数学的思维顺向正迁移，才能使我们学生解题最优化，方法最好，最本质。在思维观点迁移下，学生才能更好的多角度分析问题，更好的自如在几种解题途径中判断，选择，实施最优解法。

一． 迁移方程（组）观点。

有些题目虽然不是方程或方程组，但可以通过变形，转化，换元创造出方程（组），利用与它们有关的知识，顺利地解决问题。因为我们更习惯用这种模式思考与解题，更重要的是我们对方程（组）的原理十分清楚，过程非常熟悉，这也体现了化未知为已知基本数学思想。

例1：已知a 2+ b 3=5，求a 3+2b 的取值范围

分析：求取值范围通常是把它转化为一个未知数；利用不等式求出范围。但我们可以把a 3+2b =s ,把它当作另一个方程，与已知方程构成方程组，利用a ，b 的非负性，巧妙求解。运用方程（组）观点，在许多题目上都能迁移运用。 解：a 2+ b 3=5 ① 令a 3+2b =s ,②

解得 a =

5215s -，b =5

103-s ，又a ≥0，b ≥0 所以 5215s -≥0，5103-s ≥0，解得 310 ≤ s ≤215 练习1 已知 a 2+b 2=1,且a ,b 均为正数，求a +b 的取值范围（答案 1

二． 迁移函数观点。

许多问题如果孤立的看，便会给解题带来不便与麻烦，有些问题如果仅从条件出发，需要经过严密计算与推导，费时费力。此时若从联系的角度，以函数的观点将两个变量联系起来，便会融会贯通，新颖求解。

例2．已知方程x 2－2x －1=0,求作一个新的方程，使它的各根是原方程各根的2倍。 分析：若从问题直接出发，所求方程为 x 2－(2x 1+2x 2)x +2x 1x 2=0,利用根与系数关系可求解。若从函数角度出发，所求新根为y ，有y =2x ,得x =2y ,把x =2y 代入原方程得（2

y ）

2－2·2

y －1=0即y 2－4y －4=0,既x 2-4x -4=0为所求。 练习 2 已知方程 x 2-2x -1=0 求作一个方程，使它各根是原方程各根的倒数加 3 （ 答案 x 2-4x +2=0 ）

三 、迁移整体观点。

由于事物可看做是各部分之和，故可各个击破，逐一求解这种常规解题，但同时也有许多问题，把各部分看作是一个整体，迁移观点，用整体的思想，方法来求解，能达到化难为易，化繁为简，出奇制胜的效果，经常这样做能更好的把握问题的实质，领悟更多。整体观点类型很多，选择3例，窥见一斑。

例3 已知 x +x

1=3, 求1242++x x x 值 解：原式的倒数=x 2+1+

21x =(x +x 1)2－1=32－1=8 所以原式=8

1 练习3 设a >b >0,a 2+b 2=3ab , 求

b a b a -+值 （思路：可以先求它的平方值ab

b a ab b a 222222-+++，答案： 5） 例4 已知 x =2

20101+,求（4x 3－2013x －2010）2010的值 分析：直接代入，计算太繁太难，几乎很难准确。可以从已知变形得2x －1=

2010,所以(2x －1)2=2010,展开得，

4x 2－4x =2009,或4x 2=4x +2009

∴ 4x 3－2013x －2010=x ·4x 2－2013x －2010=x ·(4x +2009)－ 2013x －2010=4x 2+2009x －2013x －2010=4x +2009+2009x －2013x －2010=－1

∴原式=（－1）2010=1

练习4 已知x =

251+,求x 3－3x 2+x +2010的值（答案：2008） 例6 a ,b 是x 2－x －1=0的两根，求a 4+3b 值。

分析：所求的式没有对称性，有4次与1次单项式，直接求出x 的值，再带入，很难求出。可以运用根的定义，整体降次代入，结合根与系数的关系可求。

解：a,b是x2－x－1=0的两根，∴a2－a－1=0, a+b=1, ab=－1可以推出a2=a+1

∴a4=(a2)2=(a+1)2=a2+2a+1=a+1+2a+1=3a+2

∴a4+3b=3a+2+3b=3(a+b)+2=3·1+2=5