时变电磁场例题
大学物理变化的电磁场理论及习题
(D)三者中 E和 H可以是任意方向的，但都必须
与 u垂直。
填空题1：一根直导线在磁感应强度为的均匀磁场 中以速度运动切割磁力线，导线中对应于非静电
力的场强（又称非静电场场强）vB .
Ek
F vB q
填空题2：载有恒定电流 I 的长直导线旁有一半圆环 导线cd，半圆环半径为b，环面与直导线垂直，且半 圆环两端点连线的延长线与直导线相交，如图所示。
a
b
R
R 2R
2R (rR)0I dr
R
2r
0IR(1ln2) 2
ab b点电势髙
计算题2：将等边三角形平面回路ACDA放在磁感应强度大小 为 B = B0t（式中B0为常量）的均匀磁场中，回路平面垂直于 磁场方向，如图所示。回路中CD段为滑动导线，设 t = 0 时， CD段从A端出发，以匀速 v 远离A端运动，且始终保持回路为 等边三角形。求回路ACDA中的感应电动势与时间 t 的关系。
动生电动势: 在稳恒磁场中运动着的导体内产生的感应 电动势.
感生电动势: 导体不动, 因磁场的变化产生的感应电动势.
动生电动势
感生电动势
恒定磁场中运动的导体
B B r
导体不动B , 磁B 场r发,t生变化
磁通量发生变化的原因
d dt
• 动生电动势
导线运动时,内部 自由电子受到向下洛
感应电流的效果总是反抗 引起感应电流I
a
d
楞次定律符合能量守恒和 转换定律.
• 法拉第电磁感应定律
当穿过回路所包围面积的磁通量发生变化时,回路中产生
的感应电动势的大小与穿过回路的磁通量对时间的变化率
成正比.
i
d
电磁场习题5时变电磁场习题解答
导体
x 其中A10 为常数， 10 。 a a z 求矩形波导内磁场强度 H、电场强度 E 和 x 0 波导内壁上的面电流密度。 ˆx e ˆy e ˆz e 解： 1 1 Ay Ay 1 H A ˆ ˆ ez ex x y z z x 0 Ay 0
(3)总的平均辐射功率P 。
解：(1) 由瞬时形式的场矢量求瞬时波印亭矢量
60Il 60I l ˆ Re j E (r , , , t ) e sin e jt kr e ˆ sin cost kr 90 r r Il Il jt kr e ˆ sin cost kr 90 ˆ Re j H (r , , , t ) e sin e 2 r 2 r 2 Il S (r , , , t ) E (r , , , t ) H (r , , , t ) e ˆr 120 sin cost kr 90 2 r 2 Il ˆr 30 sin sin t kr e r
2 1 a jt 10 z 2 jt 10 z 2 ˆ y A10 sin x e e ˆ e A sin x e 10 y 10 2 j a j a a
y
导体
ˆH JS n
ˆe ˆx x 0 波导内壁的法向单位矢量 n
x 0
b
x 0
,
a
x
ˆx e ˆx H x e ˆz H z x 0 e e ˆy H z
z
因此
ˆ y A10e jt 10 z J S e
电磁场计算题
重要习题例题归纳第二章 静电场和恒定电场一、例题：1、例2.2.4（38P ）半径为0r 的无限长导体柱面，单位长度上均匀分布的电荷密度为l ρ。
试计算空间中各点的电场强度。
解：作一与导体柱面同轴、半径为r 、长为l 的闭合面S ，应用高斯定律计算电场强度的通量。
当0r r <时，由于导体内无电荷，因此有0=⋅⎰→→SS d E ，故有0=→E ，导体内无电场。
当0r r>时，由于电场只在r 方向有分量，电场在两个底面无通量，因此2ερπl rl E dS E dS a a E S d E l r Sr r Sr r r r S=⋅=⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰→→→→则有：r E l r 02περ=2、例2.2.6（39P ）圆柱坐标系中，在m r2=与m r 4=之间的体积内均匀分布有电荷，其电荷密度为3/-⋅m C ρ。
利用高斯定律求各区域的电场强度。
解：由于电荷分布具有轴对称性，因此电场分布也关于z 轴对称，即电场强度在半径为r 的同轴圆柱面上，其值相等，方向在r 方向上。
现作一半径为r ，长度为L 的同轴圆柱面。
当m r20≤≤时，有02=⋅=⋅⎰→→rL E S d E r Sπ，即0=r E ；当m rm 42≤≤时，有)4(1220-=⋅=⋅⎰→→r L rL E S d E r Sπρεπ，因此，)4(220-=r rE r ερ；当m r 4≥时，有L rL E S d E r Sπρεπ0122=⋅=⋅⎰→→，即r E r 06ερ=。
3、例2.3.1（41P ）真空中，电荷按体密度)1(220ar -=ρρ分布在半径为a 的球形区域内，其中0ρ为常数。
试计算球内、外的电场强度和电位函数。
解：（1）求场强：当a r >时，由高斯定律得2224επQ E r S d E S==⋅⎰→→而Q 为球面S 包围的总电荷，即球形区域内的总电荷。
300242002158)(44)(a dr a r r dr r r Q aaπρπρπρ=-==⎰⎰因此20302152r a a E rερ→→=当a r <时)53(44)(1425300020121a r r dr r r E r S d E rS -===⋅⎰⎰→→επρπρεπ因此)33(23001a r r a E r-=→→ερ （2）球电位；当a r >时，取无穷远的电位为零，得球外的电位分布为ra r d E r r03022152)(ερ=⋅=Φ⎰∞→→当a r =时，即球面上的电位为20152ερa S =Φ 当a r <时)1032(2)(24220011a r r a r d E r a rS +-=⋅+Φ=Φ⎰→→ερ4、例2.4.1（48P ）圆心在原点，半径为R 的介质球，其极化强度)0(≥=→→m r a P m r 。
时变电磁场习题课.
0
H y t
E0 sin(t z)
Hy
E0 0
cos(t
z)
H
ey
E0 0
cos(t
z)
例3、在两导体平板（z=0和z=d）之间的空气中传播的
电磁波，已知其电场强度为
E
ey E0
sin(
d
z) cos(t
kx)
式中k为常数，求：（1）磁场强度；（2）两导体表面的面电流
密度。
解：（1）磁场强度
例2 已知在无源的自由空间中，
E exE0 cos(t z)
其中E0、β为常数，求 H。
解：无源即所研究区域内没有场源电流和电荷，J =0, ρ =0。
ex ey ez
E x
y
z
0
H t
Ex 0 0
ey
E0
sin
t
z
0
t
(ex Hx
ey
H
y
ez
Hz
)
由上式可以写出：
Hx 0, Hz 0
磁场强度和坡印廷矢量
例 1、 在无源的自由空间中，已知磁场强度
H ey 2.63105 cos(3109t 10z) (A/ m)
求位移电流密度JD 。
解：无源的自由空间中J = 0, 由
D H t JD
ex ey
ez
JD
D t
H
x
y
z
ex
H y z
0 Hy(z) 0
ex 2.63104 sin(3109 t 10z) ( A / m2 )
( E) 2E H t
H E E
t
E 0
所以，电场强度满足的波动方程为
时变电磁场例题
ex
0
kE0
e jkz
(2) 电场、 磁场的瞬时值为
E( z, t ) Re[E( z)e jt ] ey E0 cos(t kz)
H ( z, t ) Re[ H ( z )e ] ex
jt
0
kE0
cos(t kz)
所以，坡印廷矢量的瞬时值为
对于媒质 1 和媒 , t E2 t t t
上面两式相减得
t ( E1t E2 t ) ( B1n B2 n ) t
代入切向分量的边界条件：
n ( E1 E2 ) 0,即E1t E2t
在分界面两侧的媒质中11于是有对于媒质1和媒质212上面两式相减得13从而有如果t0时的初值b中的场量和矢性微分算符分解成切向分量和法向分量并且展开取其中的法向分量有14此式对分界面两侧的媒质区域都成立故有15再将切向分量的边界条件方程分界面处的电流连续性设区域z0的媒质参数r1质参数r2r2201015cos201015cos601015cos满足边界条件
Bn Bt ( t t ) n ( t n ) t ( n t ) t ( n En ) t t
由上式可见：
Bn Bt t Et , n En 0, n Et t En t t
1
1
[300 sin(15108 t 5 z ) 100 sin(15108 t 5 z )]
同理，可得
H2 ey [0.1061 cos(15108 t 50z)](A / m)
(3) 将z=0代入(2)中得
H1 e y [0.106 cos(15 108 t )] H 2 e y [0.106 cos(15 108 t )]
高中物理电磁场经典高考例题
1.（20分）如图甲，在圆柱形区域内存在一方向竖直向下、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，在此区域内，沿水平面固定一半径为r 的圆环形光滑细玻璃管，环心0在区域中心。
一质量为m 、带电量为q （q>0）的小球，在管内沿逆时针方向（从上向下看）做圆周运动。
已知磁感应强度大小B 随时间t 的变化关系如图乙所示，其中002m T qB π=。
设小球在运动过程中电量保持不变，对原磁场的影响可忽略。
（1）在t=0到t=T 0 这段时间内，小球不受细管侧壁的作用力，求小球的速度大小V 0；（2）在竖直向下的磁感应强度增大过程中，将产生涡旋电场，其电场线是在水平面内一系列沿逆时针方向的同心圆，同一条电场线上各点的场强大小相等。
试求t=T 0 到t=1.5T 0 这段时间内：①细管内涡旋电场的场强大小E ；②电场力对小球做的功W 。
2．如图所示，一只用绝缘材料制成的半径为R 的半球形碗倒扣在水平面上，其内壁上有一质量为m 的带正电小球，在竖直向上的电场力F =2mg 的作用下静止在距碗口R 54高处。
已知小球与碗之间的动摩擦因数为μ，则碗对小球的弹力与摩擦力的大小分别为-----------------3．（22分）如图所示，在xOy 平面的第一象限内，分布有沿x 轴负方向的场强E =34×104N/C 的匀强电场，第四象限内分布有垂直纸面向里的磁感应强度B 1=0.2 T的匀强磁场，第二、三象限内分布有垂直纸面向里的磁感应强度B 2的匀强磁场。
在x 轴上有一个垂直于y 轴的平板OM ，平板上开有一个小孔P ，P 处连接有一段长度d =lcm 内径不计的准直管，管内由于静电屏蔽没有电场。
y 轴负方向上距O的粒子源S 可以向第四象限平面内各个方向发射a 粒子，假设发射的a 粒子速度大小v 均为2×105m ／s ，打到平板和准直管管壁上的a 粒子均被吸收。
已知a 粒子带正电，比荷为5q m=×l07C ／kg ，重力不计，求：(1)a 粒子在第四象限的磁场中运动时的轨道半径和粒子从S 到达P 孔的时间；(2) 除了通过准直管的a 粒子外，为使其余a 粒子都不能进入电场，平板OM 的长度至少是多长？(3) 经过准直管进入电场中运动的a 粒子，第一次到达y 轴的位置与O 点的距离；(4) 要使离开电场的a 粒子能回到粒子源S 处，磁感应强度B 2应为多大？4.(多选题)如图所示，在垂直纸面向里的水平匀强磁场中，水平放置一根粗糙绝缘细直杆，有一重力不可忽略，中间带有小孔的正电小球套在细杆上。
习题答案 第5章 时变电磁场和平面电磁波
第5章 时变电磁场和平面电磁波5.1 / 5.1-1 已知z 2=1+j ，求复数z 的两个解。
[解] 4221πj ej z =+=455.0099.1189.125.22841j e ez j j +===π455.0099.1189.15.222j ez j --=-=5.2 / 5.1-2 已知α是正实数，试证：(a)若;211,1⎪⎭⎫ ⎝⎛+±≈+<<αααj j(b)若;211,1⎪⎭⎫ ⎝⎛+±≈+>>αααj j 。
[解] ( a) 1<<α:()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+±≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+±=≈+=+-212sin 2cos 112121tan 21αααααααj j eej j j(b) 1>>α:()⎪⎭⎫ ⎝⎛+±=⎪⎭⎫ ⎝⎛≈+=+-4s i n 4c o s 1121221t a n 21ππααααπαj eej j j()21αj +±=5.3 / 5.1-3设E （t ）的复振幅为i je e E += ，H （t ）的复振幅为ijh h H += ，试证()()[]t j e H E t H t E ω Re ≠，并求E （t ）、H （t ）。
[解] ()[]()t j t j t j e E e E e Et E ωωω-*+== 21Re ()()t j tj e He H t H ωω-*+=21 得 ()()()t j t j e H E e H E H E H E t H t E ωω2241-****+++= [][]t j t j e H E e H E H E ωω Re Re 212≠+=*()()[]()()[]t e t e t j t je e e je e t E i i t j i ωωωωωsin cos sin cos Re Re -=++=+=()()[]t h t h e jh h t H i t j i ωωωsin cos Re -=+=()()t t h e t t eh t h e t eh t H t E i i i i ωωωωωωsin cos sin cos sin cos 22--+=()()[]t h e eh t h e eh h e eh i i i i i i ωω2sin 2cos 21+--++=可见,为恒定成分与二倍频成分的叠加.5.4 / 5.1-4 将下列场矢量的瞬时值变换为复矢量，或作相反的变换：(a) ()()()kz t E y kz t E xt E -+-=ωωcos 3ˆsin ˆ00； (b) ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=6cos 3sin ˆ00πωωt E t E xt E ； (c) ()jkze y j x H -+=ˆˆ； (d) θsin 0ˆjkz e jH yH --=。
第5章-习题详解
z B w 0
α
Φ = ∫ B ⋅ dS = e y Bm sin(ωt ) ⋅ en hw
S
h y en
= Bm hw sin(ωt ) cos α dΦ = −ωBm hw cos(ωt ) cos α in = − dt
x 穿过线圈的磁通变化既 (2) 线圈以角速度 ω 旋转时， 习题 5-1 题图 有因磁场随时间变化引起的，又有因线圈转动引起 的。此时线圈面的法线 e n 是时间的函数，表示为 en (t ) ， α = ωt 。因此
Φ = B (t ) ⋅ en (t ) S = e y Bm sin(ωt ) ⋅ e y hw cos α = Bm hw sin(ωt ) cos(ωt )
故
in
=−
dΦ = −ωBm hw cos 2ωt dt
5-2
长直导线载有电流 i = I m cos ωt ，其附近有一 a × b 的矩形线框，如图所示。在下列两 种情况下求线圈中的感应电动势：(1)线圈静止不动；(2)线圈以速度 v 向右方运动。
导体表面外侧的坡印廷矢量s由高斯定理可知面电荷在导体外产生的电场为当轴向通以均匀分布的恒定电流i设以电流流向为z坐标方向时导体内的电场为根据边界条件导体表面上电场的切向分量应连续即oz恒定电流i在导体外产生的磁场为521在球坐标系下已知真空中时变电磁场的电场强度为cossin
第 5 章 时变电磁场
5-1
C/ m 2
10 4 cos(ωt − kz ) ，电缆的内外导体之间填充了理想 r 介质，介质参数为 ε r = 2, µ r = 1 。求：理想介质中的电场强度 E 和磁场强度 H 。
在无源区域，已知电磁场的电场强度 E = e x 0.1sin(6.28 ×109 t − 20.9 z ) V/m，求空间任一 点的磁场强度 H 和磁感应强度 B。
第五章 随时间变化的电磁场
第五章 随时间变化的电磁场一、选择题1、在电磁感应现象中，正确的说法是： [ ] （A ）感生电流的磁场总是跟原来磁场的方向相反；（B ）感生电动势的大小跟原来穿过电路的磁通量的变化量成正比； （C ）线圈上产生的感应电动势与穿过这个线圈的磁通量的变化率成正比，这个电动势总阻碍线圈中原来电流的变化的； （D ）穿过回路的磁通量越多，磁通量的变化率越大。
2、长为l 的直导线在磁场B 中，以速度v 作切割磁力线运动，可以用公式Blv =ε来计算动生电动势的条件是： [ ] （A ）直导线必须是闭合回路中的一段； （B ）切割速度v 必须是常量； （C ）B 必须保持不变；（D ）B 、v 为恒量且B 、l 、v 三者必须互为垂直。
3、 如图所示，导线杆MN 在均匀磁场中绕竖直轴OO‘转动，如果长度OM<ON ，那么杆两端的电位差为： [ ] （A ）U M > U N ； （B ）U M < U N ； （C ）U M = U N ； （D ）无法判断。
第4 题 图MⅠ vI4、在无限长载流直导线附近放置一正方形闭合线圈，开始时线圈与导线在同一平面内，且线圈的两条边与导线平行，当线圈以相同的速率作三种不同方向的平动时，如图示，则有： [ ]（A ）情况Ⅰ中感应电流最大；（B ）情况Ⅱ中感应电流最大 ； （C ）情况Ⅲ中感应电流最大；（D ）情况Ⅱ和Ⅲ中感应电流大小相同。
5、如图所示，一矩形金属线框，匀速从无场空间进入一均匀磁场中，然后又从磁场中出来，到无场空间中． 下面哪一条图线正确地表示了线圈中的感应电流对时间的函数关系？(从线圈进入磁场时刻开始计时，I 以顺时针方向为正) [ ]第5题 图 第6题 图6、如图所示，两根长直通电导线M 、N 通有大小方向都相同的电流I ，矩形线框abcd 与两导线M 、N 在同一平面内，线框在两导线间自右向左以速度V 匀速平动，则线框中感应电流方向是： [ ] （A ）沿adcba ，且保持这个方向不变；（B ）沿abcda ，且保持这个方向不变； （C ）由adcda 变成adcba ； （D ）由adcba 变成adcda 。
2015作业04_第四章时变电磁场答案
5.一个球形电容器的内、外半径分别为 a 和 b ，内、外导体间材料的介电常数为 ε ， 电导率为 γ ，在内、外导体间加低频电压 u = Um sin ωt 。求内、外导体间的全电 流。
解：设球形电容器带有电量为 q ，由高斯定律
v∫ S
KK D ⋅ dS
=
D 4πr 2
=
q
⇒
D
=
q 4πr 2
−
20.9
K z)ey
A/m ，
K B
=
3.33 ×10−10
cos(6.28 ×109 t
−
K 20.9z)ey
T
4. 一个同轴圆柱型电容器，其内、外半径分别为 r1 = 1cm 、r2 = 4cm ，长度 l = 0.5m ， 极板间介质介电常数为 4ε0 ，极板间接交流电源，电压为 u = 6000 2 sin100πt V 。 求极板间任意点的位移电流密度。
解：由于 r1 l ，r2 l ，所以两柱型极板间的场可以看成是无限长带电圆柱面产
生的场，设柱型极板上电荷线密度为τ ，选取柱型高斯面，由高斯定理可得：
v∫
S
K D
⋅
K dS
=
D2πrl
=
τ
l
⇒D= τ 2πr
E= τ 2πε r
两极板之间的电势差为
∫ ∫ u =
KK E ⋅ dl =
r2
τ
K E
=
2 ×10−5
sin(108
πt
K )ex
，计算在
t
=
2.5 ×10−9
s
时刻，媒质中的传导电流密度
K Jc
和
位移电流密度
K Jd
第4章 时变电磁场1
2、坡印亭矢量
− ∫
S
v v v 表流入闭合面S的电磁功率， ( E × H )dS 表流入闭合面S的电磁功率，因此
v v 为一与通过单位面积的功率相关的矢量。 与通过单位面积的功率相关的矢量 E × H 为一与通过单位面积的功率相关的矢量。
v 定义：坡印廷矢量（ 表示）－ 定义：坡印廷矢量（用符号 S 表示）－能流密度矢量
v v 讨论:1 :1、 为与时间相关的函数(瞬时形式), ),则 讨论:1、若 E , H 为与时间相关的函数(瞬时形式),则 v v v S (t ) = E (t ) × H (t )
称为坡印廷矢量的瞬时形式。 称为坡印廷矢量的瞬时形式。 瞬时形式
v v 对某些时变场， 2、对某些时变场， , H 呈周期性变化。则将瞬 E 呈周期性变化。
v v v d v v ⇒ − ( E × H )dS = (We + Wm ) + ∫ E JdV ∫S V dt
坡印廷定理积分形式 说明： 说明：
− ∫
S
坡印廷定理物理意义： 坡印廷定理物理意义： 物理意义 流入体积V 流入体积V内的电磁功率 等于体积V 等于体积V内电磁能量的 增加率与体积V 增加率与体积V内损耗的 电磁功率之和。 电磁功率之和。
坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系。 坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系。
第4章 时变电磁场
13
1、坡印亭定理
在时变场中， 在时变场中，电、磁能量 相互依存， 相互依存，总能量密度为
1r r 1r r w = we + wm = D ⋅ E + B ⋅ H 2 2 W = ∫V 1 r r r r w dV = ∫V （D ⋅ E + B ⋅ H） V d 2
高中物理竞赛习题专题之《电磁场典型必练例题》(Word版包含答案详解》
高中物理竞赛习题之电磁场经典例题一、选择题1. 如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，参见附图。
设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ）（A ）dεq V E 0π4,0==（B ）dεq V d εq E 020π4,π4== （C ）0,0==V E（D ）Rεq V d εq E 020π4,π4== 解析： 达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零。
点电荷q 在导体球表面感应等量异号的感应电荷±q′，导体球表面的感应电荷±q′在球心O 点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势。
因而正确答案为（A ）。
2、在图（ａ）和（ｂ）中各有一半径相同的圆形回路L1 、L2 ，圆周内有电流I1 、I2 ，其分布相同，且均在真空中，但在（ｂ）图中L2 回路外有电流I3 ，P 1 、P 2 为两圆形回路上的对应点，则（ ）（A ） ⎰⎰⋅=⋅21L L d d l B l B ，21P P B B = （B ） ⎰⎰⋅≠⋅21L L d d l B l B ，21P P B B = （C ） ⎰⎰⋅=⋅21L L d d l B l B ，21P P B B ≠ （D ） ⎰⎰⋅≠⋅21L L d d l B l B ，21P P B B ≠ 解析：由磁场中的安培环路定律，积分回路外的电流不会影响磁感强度沿回路的积分；但同样会改变回路上各点的磁场分布．因而正确答案为（C ）．3、对位移电流，下述四种说法中哪一种说法是正确的是（ ）（A ） 位移电流的实质是变化的电场（B ） 位移电流和传导电流一样是定向运动的电荷（C ） 位移电流服从传导电流遵循的所有定律（D ） 位移电流的磁效应不服从安培环路定理解析：位移电流的实质是变化的电场．变化的电场激发磁场，在这一点位移电流等效于传导电流，但是位移电流不是走向运动的电荷，也就不服从焦耳热效应、安培力等定律．因而正确答案为（A ）．4.将形状完全相同的铜环和木环静止放置在交变磁场中，并假设通过两环面的磁通量随时间的变化率相等，不计自感时则（ ）（A ） 铜环中有感应电流，木环中无感应电流（B ） 铜环中有感应电流，木环中有感应电流（C ） 铜环中感应电动势大，木环中感应电动势小（D ） 铜环中感应电动势小，木环中感应电动势大分析与解 根据法拉第电磁感应定律，铜环、木环中的感应电场大小相等，但在木环中不会形成电流．因而正确答案为（A ）．二、计算题5、如图所示，有三个点电荷Q 1 、Q 2 、Q 3 沿一条直线等间距分布且Q 1 ＝Q 3 ＝Q .已知其中任一点电荷所受合力均为零，求在固定Q 1 、Q 3 的情况下，将Q 2从点O 移到无穷远处外力所作的功.解析：由库仑力的定义，根据Q 1 、Q 3 所受合力为零可求得Q 2 .外力作功W ′应等于电场力作功W 的负值，即W ′＝－W .求电场力作功的方法有两种：(1)根据功的定义，电场力作的功为l E d 02⎰∞=Q W 其中E 是点电荷Q 1 、Q 3 产生的合电场强度.(2) 根据电场力作功与电势能差的关系，有()0202V Q V V Q W =-=∞其中V 0 是Q 1 、Q 3 在点O 产生的电势(取无穷远处为零电势).解1 由题意Q 1 所受的合力为零()02π4π420312021=+d εQ Q d εQ Q 解得 Q Q Q 414132-=-=由点电荷电场的叠加，Q 1 、Q 3 激发的电场在y 轴上任意一点的电场强度为 ()2/322031π2y d εQ E E E yy y +=+=将Q 2 从点O 沿y 轴移到无穷远处，(沿其他路径所作的功相同，请想一想为什么？)外力所作的功为()d εQ y y d εQ Q Q W y 022/3220002π8d π241d =+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⋅-='⎰⎰∞∞l E 解2 与解1相同，在任一点电荷所受合力均为零时Q Q 412-=，并由电势的叠加得Q 1 、Q 3 在点O 的电势dεQ d εQ d εQ V 003010π2π4π4=+= 将Q 2 从点O 推到无穷远处的过程中，外力作功dεQ V Q W 0202π8=-=' 比较上述两种方法，显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁.这是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大，而求电势分布要简单得多.6、在一半径为R １ ＝6.0 cm 的金属球A 外面套有一个同心的金属球壳B ．已知球壳B 的内、外半径分别为R 2＝8.0 cm ，R 3 ＝10.0 cm ．设球A 带有总电荷Q A ＝3.0 ×10－８C ，球壳B 带有总电荷Q B ＝2.0×10－８C ．（１） 求球壳B 内、外表面上所带的电荷以及球A 和球壳B 的电势；（2） 将球壳B 接地然后断开，再把金属球A 接地，求金属球A 和球壳B 内、外表面上所带的电荷以及球A 和球壳B 的电势．解析：（１） 根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布的规律，电荷Q A 均匀分布在球A 表面，球壳B 内表面带电荷－Q A ，外表面带电荷Q B ＋Q A ，电荷在导体表面均匀分布［图（ａ）］，由带电球面电势的叠加可求得球A 和球壳B 的电势．（2） 导体接地，表明导体与大地等电势（大地电势通常取为零）．球壳B 接地后，外表面的电荷与从大地流入的负电荷中和，球壳内表面带电－Q A ［图（ｂ）］．断开球壳B 的接地后，再将球A 接地，此时球A 的电势为零．电势的变化必将引起电荷的重新分布，以保持导体的静电平衡．不失一般性可设此时球A 带电q A ，根据静电平衡时导体上电荷的分布规律，可知球壳B 内表面感应－q A ，外表面带电q A －Q A ［图（c ）］．此时球A 的电势可表示为0π4π4π4302010=-+-+=R εQ q R εq R εq V A A A A A 由V A ＝0 可解出球A 所带的电荷q A ，再由带电球面电势的叠加，可求出球A 和球壳B 的电势．解 （１） 由分析可知，球A 的外表面带电3.0 ×10－８C ，球壳B 内表面带电－3.0 ×10－８C ，外表面带电5.0 ×10－８C ．由电势的叠加，球A 和球壳B 的电势分别为V 106.5π4π4π43302010⨯=-+-+=R εQ Q R εQ R εq V A A A A A V 105.4π4330⨯=+=R εQ Q V B A B （2） 将球壳B 接地后断开，再把球A 接地，设球A 带电q A ，球A 和球壳B 的电势为0π4π4π4302010=+-+-+=R εq Q R εq R εq V A A A A A 30π4R εq Q V A A B +-= 解得C 1012.2831322121-⨯=-+=R R R R R R Q R R q A A 即球A 外表面带电2.12 ×10－８C ，由分析可推得球壳B 内表面带电－2.12 ×10－８C ，外表面带电-0.9 ×10－８C ．另外球A 和球壳B 的电势分别为0A V =27.2910V B V =-⨯导体的接地使各导体的电势分布发生变化，打破了原有的静电平衡，导体表面的电荷将重新分布，以建立新的静电平衡．7、如图所示球形金属腔带电量为Q ＞0，内半径为ɑ，外半径为b ，腔内距球心O 为r 处有一点电荷q ，求球心的电势．解析：导体球达到静电平衡时，内表面感应电荷－q ，外表面感应电荷q ；内表面感应电荷不均匀分布，外表面感应电荷均匀分布．球心O 点的电势由点电荷q 、导体表面的感应电荷共同决定．在带电面上任意取一电荷元，电荷元在球心产生的电势Rεq V 0π4d d = 由于R 为常量，因而无论球面电荷如何分布，半径为R 的带电球面在球心产生的电势为R εq R εq V s 00π4π4d ==⎰⎰由电势的叠加可以求得球心的电势． 解 导体球内表面感应电荷－q ，外表面感应电荷q ；依照分析，球心的电势为bεQ q a εq r εq V 000π4π4π4++-= 8、有一个空气平板电容器，极板面积为S ，间距为d ．现将该电容器接在端电压为U 的电源上充电，当（1） 充足电后；（2） 然后平行插入一块面积相同、厚度为δ（δ ＜d ）、相对电容率为εｒ 的电介质板；（3） 将上述电介质换为同样大小的导体板．分别求电容器的电容C ，极板上的电荷Q 和极板间的电场强度E ．解析：电源对电容器充电，电容器极板间的电势差等于电源端电压U ．插入电介质后，由于介质界面出现极化电荷，极化电荷在介质中激发的电场与原电容器极板上自由电荷激发的电场方向相反，介质内的电场减弱．由于极板间的距离d 不变，因而与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，以维持电势差不变，并有()δSεεQ δd S εQ U r 00+-= 相类似的原因，在平板电容器极板之间，若平行地插入一块导体板，由于极板上的自由电荷和插入导体板上的感应电荷在导体板内激发的电场相互抵消，与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，使间隙中的电场E 增强，以维持两极板间的电势差不变，并有()δd SεQ U -=0 综上所述，接上电源的平板电容器，插入介质或导体后，极板上的自由电荷均会增加，而电势差保持不变．解 （1） 空气平板电容器的电容dS εC 00= 充电后，极板上的电荷和极板间的电场强度为U dS εQ 00= d U E /0=（2） 插入电介质后，电容器的电容C 1 为()()δd εδS εεδS εεQ δd S εQ Q C r r r -+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=0001/ 故有()δd εδSU εεU C C r r -+==011 介质内电场强度 ()δd εδU S εεQ E r r -+=='011 空气中电场强度 ()δd εδU εS εQ E r r -+==011 （3） 插入导体达到静电平衡后，导体为等势体，其电容和极板上的电荷分别为δd S εC -=02 U δd S εQ -=02 导体中电场强度 02='E 空气中电场强度δd U E -=2 无论是插入介质还是插入导体，由于电容器的导体极板与电源相连，在维持电势差不变的同时都从电源获得了电荷，自由电荷分布的变化同样使得介质内的电场强度不再等于E 0/εｒ．9、如图所示，有两根导线沿半径方向接触铁环的a 、b 两点，并与很远处的电源相接。
随时间变化的电磁场的基本性质和运动规律
第五章随时间变化的电磁场麦克斯韦方程研究问题：随时间变化的电磁场的基本性质和运动规律。
§5.1 电磁感应现象与电磁感应定律一、电磁感应现象1、电磁感应现象的发现：（1） 1820年，奥斯特发现电流的磁效应，引起了相反方向的探索；（2） 1831年，法拉第经十年艰苦探索，发现了电磁感应现象——磁的电效应仅在某种东西正在变动的时刻才发生。
2、基本实验事实：（1）闭合的导线回路和永久磁铁之间发生相对运动时，回路中出现电流。
感应电流的大小取决于磁铁运动的快慢，感应电流的方向与磁铁移动的方向有关；（2）闭合的导线回路与载流线圈之间发生相对运动时，结果相同；（3）两个线圈都固定，其中一个线圈中的电流发生变化时（闭合电键的开关、电阻值的变化），在另一个线圈中引起感应电流；（4）处在磁场中的闭合导线回路中的一部分导体在磁场中运动，回路中产生感应电流，感应电流的大小和方向取决于导线运动的速度大小和方向。
3、分类：（1）导线回路或回路上的部分导体在恒定不变的磁场（磁铁或电流产生）中运动，回路中出现电流；（2）固定不动的闭合导线回路所在处或其附近的磁场发生变化，回路中出现电流。
4、共同特点：感应电流的产生是由于通过闭合导线回路的磁感应强度通量发生变化。
引起磁感应强度通量变化的原因可以是磁感应强度的变化，也可以是由于导体在稳定的磁场中运动引起。
二、法拉第电磁感应定律1、法拉第的研究发现：（1）在相同条件下，不同金属导体中的感应电流与导体的导电能力成正比；（2）感应电流是由与导体性质无关的电动势产生的；（3）即使不形成闭合回路，也会有电动势存在——感应电动势。
（4） 结论：对于给定的导线回路，感应电流与感应电动势成正比。
电磁感应现象就是磁感应通量的变化在回路中产生感应电动势的现象——电磁感应现象的本质。
（5） 德国物理学家纽曼和韦伯的工作结论：对于任一给定回路，其中感应电动势的大小正比于回路所圈围面积的磁通量的变化率。
《电磁场与电磁波》（第四版）习题集：第4章时变电磁场
《电磁场与电磁波》（第四版）习题集：第4章时变电磁场第4章时变电磁场在时变的情况下，电场和磁场相互激励，在空间形成电磁波，时变电磁场的能量以电磁波的形式进行传播。
电磁场的波动方程描述了电磁场的波动性，本章首先对电磁场的波动方程进行讨论。
在时变电磁场的情况下，也可以引入辅助位函数来描述电磁场，使一些复杂问题的分析求解过程得以简化。
本章对时变电磁场的位函数及其微分方程进行了讨论。
电磁能量一如其它能量服从能量守恒原理，本章将讨论电磁场的能流和表征电磁场能量守恒关系的坡印廷定理。
本章在最后讨论了随时间按正弦函数变化的时变电磁场，这种时变电磁场称为时谐电磁场或正弦电磁场。
4. 1 波动方程由麦克斯韦方程可以建立电磁场的波动方程，揭示了时变电磁场的运动规律，即电磁场的波动性。
下面建立无源空间中电磁场的波动方程。
在无源空间中，电流密度和电荷密度处处为零，即0ρ=、0=J 。
在线性、各向同性的均匀媒质中，E 和H 满足的麦克斯韦方程为t ε=?EH （4.1.1） tμ=-?HE （4.1.2） 0?=H （4.1.3） 0?=E （4.1.4）对式（4.1.2）两边取旋度，有()()tμ=-E H 将式（4.1.1）代入上式，得到22()0t με+=?EE利用矢量恒等式2()()=??-?E E E 和式（4.1.4），可得到2220tμε??-=?EE （4.1.5）此式即为无源区域中电场强度矢量E 满足的波动方程。
同理可得到无源区域中磁场强度矢量H 满足的波动方程为2220tμε??-=?H H （4.1.6）无源区域中的E 或H 可以通过求解式（4.1.5）或式（4.1.6）的波动方程得到。
在直角坐标系中，波动方程可以分解为三个标量方程，每个方程中只含有一个场分量。
例如，式（4.1.5）可以分解为222222220x x x xE E E E x y z tμε++-= （4.1.7） 222222220yyyyE E E E x y z t με++-= （4.1.8）222222220z z z zE E E E x y z t με++-= （4.1.9）在其它坐标系中分解得到的三个标量方程都具有复杂的形式。
时变电磁场综合资料
20．无耗媒质中均匀平面电磁波的
（
）
A．波矢量为平面
Ｂ． 电场与磁场同方向
Ｃ．相速度等于光速
Ｄ．一边传播一边衰减
21．关于空间中的电磁波，下列表达不正确的是
（）
A．电磁波是场的一种形式
B．电磁波与时间无关
C．电磁波由电场和磁场构成
D．随时间变化的磁场会产生电场
22．时变电场性质的表述正确的是
（）
A．时变电场是无散场
Ｂ．时变电场是无旋场
Ｃ．时变电场是有旋场但无散
Ｄ．时变电场是既有旋又有散
23．时变电磁场中，表达式 S E H 表示
（）
A．瞬时功率
Ｂ．瞬时功率流密度
Ｃ．穿过某一面积的功率
Ｄ．穿过某一面积的平均功率
24．在无限大导电媒质中，电磁波的传播速度
（
A．与电磁波频率有关
Ｂ．等于常数
Ｃ．与媒质无关
Ｄ．等于光速
C．电场与磁场相互垂直
D．电场与磁场强度平行，但方向相同
13．均匀平面电磁波的
（
A．等相位面与传播方向一致
Ｂ．电场和磁场垂直于传播方向
Ｃ．波的矢量为平面
Ｄ．传播方向为平面
） ） ） ） ）
1/7
14．无源区域中时变电磁场的电力线
（）
A．电力线是闭合的
Ｂ．电力线是不闭合
Ｃ．有时闭合有时不闭合
Ｄ．既闭合又不闭合
Ｃ．有时闭合有时不闭合
Ｄ．既闭合又不闭合
4．无源区域的电磁波满足的方程是
（）
A．泊松方程
Ｂ． 拉普拉斯方程
C． 亥姆霍兹方程
Ｄ．本构方程
5．关于电磁波的色散特性，下列说法正确的是
（）
南理工工程电磁场考试题库之时变电磁场
时变电磁场1．无源真空中，已知时变电磁场的磁场强度(,)H r t 为；12(,)sin(4)cos()cos(4)sin() /x z H r t e A x t y e A x t y A m ωβωβ=-+-,其中A 1、A 2为常数，求位移电流密度J d 。
2．在均匀导电媒质(介电常数ε,磁导率μ,电导率γ)中，若忽略位移电流，证明：电场强度E 和磁场强度H 满足微分方程为：22E E t HH t μγμγ∂⎧∇=⎪⎪∂⎨∂⎪∇=⎪∂⎩3．球形电容器的内、外半径分别为R 1、R 2，电极间的介质为空气。
设电极间外加缓变电压m sin u U t ω=，求电容器的位移电流i d 。
4.如图所示，一尺寸为a b ⨯的矩形线框与无限长直导线共面:(1)若长直导线中载有电流m sin i I t ω=，求矩形线框中感应电动势的大小。
（2）求两导体的互感系数。
(3)若长直导线不载电流，而矩形线框中载有电流m sin i I t ω=，那么长直导线上的感应电动势为多少？题4图 5. 如图所示，一个尺寸为a b ⨯间并与其共面，求线框中的感应电动势e 。
题5图 i6.无源真空中，已知时变电磁场的磁场强度(,)H r t 为；12(,)sin(4)cos()cos(4)sin() /x z H r t e A x t y e A x t y A m ωβωβ=-+-,其中A 1、A 2为常数，求位移电流密度J d 。
7．球形电容器的内、外半径分别为R 1、R 2，电极间的介质为空气。
设电极间外加缓变电压m t u U e τ-=，τ为常数。
(1)求内外导体之间的电场强度E ；(2)求电容器的位移电流d i 。
8. 写出麦克斯韦方程组，利用其中两个方程，推导电流连续性方程 0 J tρ∂∇⋅+=∂ 9．在无源的自由空间中，已知磁场强度597.210cos(31010)/y H e t z A m -=⨯⨯-，求位移电流密度。
电磁感应电磁场习题
电磁感应、电磁场习题班级 姓名 学号 成绩一、选择题1、已知圆环式螺线管的自感系数为L ，若将该螺线管锯成两个半环式的螺线管，则两个半环式的螺线管的自感系数为【 】(A) 都等于L /2 (B) 有一个大于L /2，另一个小于 L /2 (C) 都大于L /2 (D) 都小于L /22、如图，一导体棒ab 在均匀磁场中沿金属导轨向右作匀加速运动，磁场方向垂直导轨所在平面，若导轨电阻忽略不计，并设铁心磁导率为常数，则达到稳定后在电容器的M 极板上【 】(A) 带有一定量的正电荷 (B) 带有一定量的负电荷 (C) 带有越来越多的正电荷 (D) 带有越来越多的负电荷3、两个闭合的金属环，穿在一光滑的绝缘杆上，如图所示。
当条形磁铁N 极自右向左插向圆环时，两圆环的运动是【 】(A) 边向左移动边分开 (B) 边向右移动边合拢 (C) 边向左移动边合拢 (D) 同时同向运动 4、导体棒AB 在匀强磁场中绕ON 轴匀角速转动。
磁感应强度为B ，方向平行ON 轴，角速度为ω。
ON 轴垂直于棒AB 且通过其中点C ，棒长为l ，如图所示。
A 、B 、C 三点电势以U A 、U B 、U C 表示，则【 】和【 】是正确的。
(A) U A > U C (B) U C >U A (C) U B >U C (D) U B <U C5、如图所示，圆形均匀分布的磁场中，磁场的磁感应强度变化率dB/dt<0，磁场中有三条导线，分别为直线ab 、曲线acb 、和折线acb ，导线中感应电动势最大的是【 】，最小的是【 】(A) 直线ab (B) 曲线acb (C) 折线acb (D) 无法确定 6、一导体圆线圈在均匀磁场中运动,下列几种情况,能产生感应电流的是【 】 (A) 线圈沿磁场方向平移 (B) 线圈沿垂直磁场方向平移 (C) 线圈以自身的直径为轴转动, 转动轴与磁场方向平行 (D) 线圈以自身的直径为轴转动, 转动轴与磁场方向垂直7、有一个铜环和木环, 其尺寸完全一样. 今用两根相同的磁铁, 从相同起始距离, 以相同的速度插入铜环和木环, 则在插入过程某一时刻【 】(A) 铜环中的磁通量大于木环中的磁通量 (B) 铜环中的磁通量小于木环中的磁通量(C) 两个环中的磁通量相等 (D) 无法判定8、在自感为0.25H 的线圈中, 当电流在(1/16)s 内由2A 线性减少到零的感应电压为【 】 (A) 2V (B) 4V (C) 8V (D) 16V9、由两个完全相同的电感器L 0组成一个电感器组, 使得每一个线圈耦合的全部磁通也与另一个线圈耦合, 则它们串联时电感与并联时电感之比为【 】(A) 1:1 (B) 2:1 (C) 3:1 (D) 4:1 10、在有磁场变化的空间, 如果没有导体, 则在此空间【 】(A) 一定有电场存在, 也有感应电动势 (B) 一定无电场存在, 也无感应电动势 (C) 一定无电场存在, 但有感应电动势 (D) 一定有电场存在, 但无感应电动势二、填空题1、一导线被弯成如图所示形状，弧a ，c ，b 为 半径为R 的四分之三圆弧，直线段oa 长为R ，若将此导线放在匀强磁场B 中，B 的方向垂直图面向内，导线以角速度ω在图面内绕O 点匀速转动，则此导线中的动生电动势εi = 。
第七章 时变电磁场4(唯一性定律及习题)
叶齐政，2014,5§7.6 定解条件与唯一性定理
麦克斯韦方程组的微分形式、电荷守恒方程的微分形式以及分界面上的边界条件是时变电磁场必须满足的基本方程，但这组方程的解是通解，要想得到具体物理问题的定解——特解，还必须给定初始条件和边界条件，这些条件称为定解条件，与此相关的问题称为定解问题。
唯一性定理：在t >0的所有时刻，闭区域V内的电磁场是由整个V内的电和磁矢量的初始值，以及t ≥0时边界上电矢量（或磁矢量）的切向分量的值所唯一确定。
线圈
磁极
F
E
磁极
r 'r
()()
1875年法拉第给麦克斯韦的信
我亲爱的先生，我接到你的论文，为此深为感谢。
我并不是说我要感谢你是因为你谈论“力线”，因为我知道你已经在哲学真理的意义上处理了它；但你必然以为这项工作使我感到愉快，并给予我很大的鼓励去进一步思考。
起初当我看到你用这样的数学威力来针对这样的主题，我几乎吓坏了。
后来我才惊讶地看到这个主题居然处理得如此之好。
时变电磁场问题求解
计算同轴线中传输的功率；（2）当导体的电导率σ为有限值时，计算通过内导体表面
进入每单位长度内导体的功率。
【解】（1）在内外导体为理想导体
的情况下，电场和磁场只存在于内外
导体之间的理想介质中，内外导体表
面的电场无切向分量，只有电场的径
向分量。利用高斯定理和安培环路定
同轴线
理，容易求得内外导体之间的电场和
sin(108
t
kz)
求：（1）电场的复矢量;（2）磁场的复矢量和瞬时值。
解：（1）因为
r E
(
z,
t
)
r ex
0.03
cos(108
t
kz
2
)
Re
erx
0.03e
j (kz
/
2)e
j108
t
故电场的复矢量为
Er&(
z)
r ex
0.03e
j
/
2e
jkz
（2）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量
I2
2 2a3
r ez
UI
2 a2 ln(b
a)
三、电磁能量守恒定律
（2）内导体表面外侧的坡印廷矢量为
同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量 （非理想导体情况）
r
r I2 r
UI
Sout a e 2 2a3 ez 2 a2 ln(b a)
由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢 量既有轴向分量，也有径向分量，如图 所示。
出电场强度的瞬时矢量
答案： 【例1】 【例2】
Er&(z)
r (ex
Exme
jx
r ey
jEyme jy
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J
1.58 108 ( A / m2 )
t r1mm
r 1m m
(3) 在r=1 mm的球内总电荷的增加率：dQ I 3.97A
dt
例 在无源的自由空间中，已知磁场强度
H ey 2.63105 cos(3109t 10z) (A/ m)
求位移电流密度Jd。
解：无源的自由空间中J=0, H D
t)
E(
z,
t)
H
(
z,
t)
ez
k E02
0
cos2
(t
kz)
(3) 平均坡印廷矢量：
Sav
1 2
Re[E(z)
H
*(z)]
1 2
Reey
E0e
jkz
ex
k E0
0
e
jkz
*
1 2
Reez
k E02
0
ez
1 2
k E02
0
例：已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度为
求：(1)磁场Ev 强 ev度yE；0 （co2s）(瞬t 时kz坡) 印(V廷/ m矢)量；（3）平均
)
S
]
0
例 设区域Ⅰ(z<0)的媒质参数εr1=1, μr1=1, σ1=0；区域Ⅱ(z>0)的媒
质参数εr2=6, μr2=20, σ2=0。区域Ⅰ中的电场强度为 E1 ex[60 cos(15 108t 5z) 20 cos(15 108t 5z)](V / m)
区域Ⅱ中的电场强度为 E2 ex A cos(15 108t 5z)(V / m)
A 80V / m
(2) 根据麦克斯韦方程
有
E1
1
H1 t
H1 t
1
1
E1
ey
1
1
E1x z
ey
1
1
[300 s in(15 108 t
5z)
100 s in(15 108 t
5z)]
所以
H1 ey[0.1592 cos(15108t 5z) 0.0531 cos(15108t 5z)](A/ m)
解： 根据麦克斯韦方程
H J D t
可知，通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为
S
Jc
D t
dS
( H ) dS
S
( H ) dS S
( H )dV
V
0
S
Jc
D t
dS
Ic
Id
I
例 在坐标原点附近区域内，传导电流密度为
J er10r1.5 ( A / m2 )
解：如图一段长度为l的长直导线， 其轴线与圆柱坐标系的z轴重合，直 流电流将均匀分布在导线的横截面 上，于是有
坡印廷定理验证
J
ez
1
b2
,
E
J
ez
I
b2
在导线表面，
H
e
I
2b
因此，导线表面的坡印廷矢量
S
E
H
er
I2
2 2b3
其方向处处指向导线的表面。将坡印廷矢量沿导线段表面积分，有
S dS
有
t
( B1n
B2n
)
t
[n
( B1
B2 )]
0
从而有
n (B1 B2 ) C(常数)
如果t=0 时的初值B1、B2都为零，那么C=0。 故
n (B1 B2 ) 0,即B1矢性微分算符分解成切向分量和法向分量，并且展
开取其中的法向分量，有
例 计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。设铜中的
电场为E0sinωt，铜的电导率σ=6.8×107S/m, ε≈ε0。
铜中的传导电流大小为
解：
Jc E E0 sint
Jd
D t
E t
E0 cost
Jd Jc
2f 1 109 36
5.8 107
9.6 1019
f
例 证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流总量为零。
E
U r1n
b
er , H
I
2r
e (a
r
b)
a
UI
S E H 2r21n b ez
a
上式说明电磁能量沿z轴方向流动，由电源向负载传输。 通过同 轴线内、外导体间任一横截面的功率为
P
S dS'
S'
b a
UI
2r21n
b
2rdr
UI
a
这一结果与电路理论中熟知的结果一致。
例 将下列场矢量的复数形式写为瞬时值形式。
0 t
t
(t) 0e
例 已知在无源的自由空间中，
E exE0 cos(t z) 其中E0、β为常数，求H。
解：所谓无源，就是所研究区域内没有场源电流和电荷，
即J=0, ρ=0。
ex ey ez
E x
y
z
0
H t
Ex 0 0
ey
E0
sint
z
0
t
(exH x
eyH
常数，求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。
解：
B
A
ey
Ax t
e y k Am
c os (t
kz)
H
ey
k
Am
c os (t
kz)
A 0, C
t
如果假设过去某一时刻，场还没有建立，则C=0。
E
A t
exAm
cos(t
kz)
坡印廷矢量的瞬时值为
S(t) E(t) H (t)
[exAm
ex 2E0 sin cos(kx cos ) sin(t kz sin )
例 已知无源(ρ=0, J=0)的自由空间中，时变电磁场的电场
E(z) eyE0e jkz
式中k、E0为常数。求：
(V / m)
(1)磁场强度复矢量；
(2)
(3) 平均坡印廷矢量。
解： (1) 由 E j 0H 得
H (z)
1
j0
E(z)
1
j0
ez
z
(ey E0e jkz )
ex
k E0
0
e
jkz
(2) 电场、 磁场的瞬时值为
E(z,t) Re[E(z)e jt ] eyE0 cos(t kz)
H
(z,
t)
Re[
H
( z)e
jt
]
ex
k E0
0
cos(t
k z)
所以，坡印廷矢量的瞬时值为
S(
z,
解：如图一段长度为l的长直导线， 其轴线与圆柱坐标系的z轴重合， 直流电流将均匀分布在导线的横 截面上，于是有
坡印廷定理验证
J
ez
1
b2
,
E
J
ez
I
b2
在导线表面，
Tv0 v
E(t) H
(t
(t)dt
kz)
T0
kE0
0
cos(t
kz)
evz
kE02
0T
T cos2 (t kz)dt
0
evz
kE02
0T
T cos(2t 2kz) 1
dt
0
2
evz
kE02
20
(W
/
m2 )
例 试求一段半径为b，电导率为σ，载有直流电流I的 长直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。
S
S
S
erdS
I2
2 2b3
2bl
I
2
l
b2
I
2R
例 一同轴线的内导体半径为a，外导体半径为b，内、外导体间为
空气，内、外导体均为理想导体，载有直流电流I，内、 外导体间 的电压为U。求同轴线的传输功率和能流密度矢量。
解：分别根据高斯定理和安培环路定律，可以求出同轴线内、外
导体间的电场和磁场：
(1) 常数A (2) 磁场强度H1和H2 (3) 证明在z=0处H1和H2满足边界条件。
解：(1) 在无耗媒质的分界面z=0处， 有
E1 ex[60 cos(15108t) 20 cos(15108t)] ex80 cos(15108t)
E2 ex A cos(15108t)
由于E1和E2恰好为切向电场，
方程。
解：考虑到各向同性、线性、均匀的导电媒质和无源区域，由
麦克斯韦方程有
E
H
t
( E) 2E H
t
( E) 2E E
t
t
所以，电场强度E满足的波动方程为
2E
2E t 2
E t
0
同理，可得磁场强度满足的波动方程为
2E
2H t 2
H t
0
例已知时变电磁场中矢量位 A ex Am sin(t kz) ，其中Am、k是
cos(t
kz)] ey
k
Am
cos(t
kz)
ez
k
Am2
cos(t
kz)
例 已知无源(ρ=0, J=0)的自由空间中，时变电磁场
的电场
E(z) eyE0e jkz (V / m)
式中k、E0为常数。求：
(1)磁场强度复矢量；
(2)
(3) 平均坡印廷矢量。
解： (1) 由 E j 0H 得
坡印廷矢量
v
解：(1)
v E
B
v
t
B t
v H
evz