第六讲谓词演算的永真公式
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概率论-第六讲 谓词演算的永真公式
将y代以w，得∀xP( x, w ) ∨ Q( w, w )
如果原式是永真公式, 则代入后仍得永真公式。若原 式是非永真式, 则代入后可能变化。
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三、变换规则
2）在一公式中, 一个n元(n≥0)谓词变元F(x1, x2,…, xn)可 代以至少有n个自由个体变元的公式G(y1, y2, …, yn, yn+1, …, yn+r), (这里r≥0, y1, y2, …, yn是分别对应于 x1, x2,…, xn的任意选定的n个自由变元), 只须该n元谓词 出现的各处都同样代入, 且代入的公式中, 后边的r个自由 变元不允许在原公式中以约束变元出现; 而F(x1,x2, …, xn) 中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元出现。 例如:a)
13
表 1.7 -1 含有量词的永真公式概要表
14
三、变换规则
1.代入规则 1）在一公式中, 任一自由个体变元可代以另一个体变 元, 只需该个体变元出现的各处都同样代入, 且代 入的变元不允许在原来公式中以约束变元出现。 如 ∀xP( x , y) ∨ Q( w , y)，将y代以z，得∀xP( x , z) ∨ Q( w , z)
说明否定词可通 过量词深入到辖 域且两个量词可 相互表达
① 从语义上理解 例如P(x):x今天来上课了； ¬P(x):x今天没来上课。 “不是所有的人都来上课了”等价于“有些人今天没 来上课”。 ②证明：（在有限个体域上证） 设个体域中个体变元为a1,a2,…,an 则 ¬(∀xA(x)) ⇔ ¬(A(a1 ) ∧ A(a 2 ) ∧ ... ∧ A(a n ))
含义：如果对某一确定的x，P(x)为真，则“存在一 个x,使P(x)为真”成立。
由∀xP(x) ⇒ P(x)和P(x) ⇒ ∃xP(x)根据前提三段论得 ∀xP(x) ⇒ ∃xP(x)
如果原式是永真公式, 则代入后仍得永真公式。若原 式是非永真式, 则代入后可能变化。
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三、变换规则
2）在一公式中, 一个n元(n≥0)谓词变元F(x1, x2,…, xn)可 代以至少有n个自由个体变元的公式G(y1, y2, …, yn, yn+1, …, yn+r), (这里r≥0, y1, y2, …, yn是分别对应于 x1, x2,…, xn的任意选定的n个自由变元), 只须该n元谓词 出现的各处都同样代入, 且代入的公式中, 后边的r个自由 变元不允许在原公式中以约束变元出现; 而F(x1,x2, …, xn) 中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元出现。 例如:a)
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表 1.7 -1 含有量词的永真公式概要表
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三、变换规则
1.代入规则 1）在一公式中, 任一自由个体变元可代以另一个体变 元, 只需该个体变元出现的各处都同样代入, 且代 入的变元不允许在原来公式中以约束变元出现。 如 ∀xP( x , y) ∨ Q( w , y)，将y代以z，得∀xP( x , z) ∨ Q( w , z)
说明否定词可通 过量词深入到辖 域且两个量词可 相互表达
① 从语义上理解 例如P(x):x今天来上课了； ¬P(x):x今天没来上课。 “不是所有的人都来上课了”等价于“有些人今天没 来上课”。 ②证明：（在有限个体域上证） 设个体域中个体变元为a1,a2,…,an 则 ¬(∀xA(x)) ⇔ ¬(A(a1 ) ∧ A(a 2 ) ∧ ... ∧ A(a n ))
含义：如果对某一确定的x，P(x)为真，则“存在一 个x,使P(x)为真”成立。
由∀xP(x) ⇒ P(x)和P(x) ⇒ ∃xP(x)根据前提三段论得 ∀xP(x) ⇒ ∃xP(x)
1.7谓词演算的永真公式
P(x)：x今天没来校上课。
1 xP(x)：不是所有的大学生今天都来上课。
与 xP(x)：存在一些大学生今天没来上课。（含义相同）
2 xP(x)：今天没有(不存在)来上课的大学生。
与 xP(x)：所有的大学生今天都没来上课。（含义相同）
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NUIST
3．量词辖域的扩张与收缩律
设P是不含自由变元x的任一谓词公式(包括命题公式)，
3
谓词公式类型的判断
NUIST
方法一：真值表法 ——当谓词公式A的个体域E是有限的，谓词变元的解释也
是有限的时，原则上可以用真值表来判断。
方法二：指派分析法 ——当谓词公式A的个体域E是无限的，或谓词变元的解释
是无限的时，谓词公式A的指派就是无限多个，无法实 现用真值表来判断，一般根据联结词、量词的意义，直 接用自然语言来叙述进行证明。
命题演算的等价式就转化为谓词演算的等价式。 依据：永真式的任何代入实例也必永真。 例如：1 由 P P
得： A(x) A(x) 2 由 P→Q P∨Q
得：xA(x)→xB(x) (xA(x))∨(xB(x))
二、由于引入量词而产生的谓词演算中特有的逻辑等价式、 永真蕴含式。
8
与量词有关的逻辑等价式
NUIST
1．量词的消去律
(1)设个体域为有限集D={a1, a2, …,an}时，则有
∀x P(x)
P(a1)∧P(a2)∧…∧P(an) （1）
∃x P(x)
P(a1) ∨P(a2) ∨…∨P(an) （2）
(2) 设A是不含自由变元x的谓词公式，则有
xA A
（3）
xA A
（4）
(因为A的真值与自由变元x无关)
(第6讲)谓词逻辑
XDC
C S | S W U S T (4).量词与否定的交换 量词与否定的交换 ¬∀xA(x) ⇔ ∃x¬A(x) ① ¬∀ ¬ ¬∃xA(x) ⇔ ∀x¬A(x) ② ¬∃ ¬ 例如， D={a，b，c}时 例如，在D={a，b，c}时 ①式左边¬∀ 式左边¬∀xA(x) ⇔¬(A(a) ∧A(b) ∧A(c)) ⇔¬ ¬∀ ⇔¬A(a) ∨¬ ∨¬A(b)∨ ¬A(c) ①式右边∃x¬A(x) ⇔¬ 式右边∃ ¬ ∨ 比较两公式右边可得。 比较两公式右边可得。 在命题逻辑中相当于德.摩根律 摩根律。 ① ②在命题逻辑中相当于德 摩根律。
C S | S W U S T
1.7
谓词演算的公式
例如： 例如：G⇔P→Q∧R P→Q∧ 例如： P(a)→( x)P(f(x)) 例如：A⇔P(a)→(∃x)P(f(x)) 一、谓词公式的解释指对以下一些符号进行指定： 谓词公式的解释指对以下一些符号进行指定： 指对以下一些符号进行指定 1.谓词公式 的论述域为D 谓词公式A的论述域为 谓词公式 的论述域为 2.每一个个体常元指定 中的一个元素 每一个个体常元指定D中的一个元素 每一个个体常元指定 3.每一个 元函数为 n到D的一个映射 每一个n元函数为 每一个 元函数为D 的一个映射 4.每一个 元谓词为 n 到{0,1}的一个映射 每一个n元谓词为 每一个 元谓词为D 的一个映射 称以上一组指定为谓词公式A的一个解释或 称以上一组指定为谓词公式 的一个解释或赋值 的一个解释
XDC
C S | S W U S T (1).命题逻辑中结论的推广 命题逻辑中结论的推广 在命题逻辑中成立的基本逻辑恒等式和 在命题逻辑中成立的基本逻辑恒等式和基本重 基本逻辑恒等式 言蕴含式的代换实例都是谓词逻辑的逻辑等价 言蕴含式的代换实例都是谓词逻辑的逻辑等价 式和重言蕴含式。 式和重言蕴含式。 例：幂等律 蕴含律 ∃xA(x)∧∃ ∧∃xA(x)⇔ ∃xA(x) ∧∃ ⇔ ⇔∀x(¬ ∀x(A(x)→B)⇔∀ ¬A(x)∨B) → ⇔∀ ∨
C S | S W U S T (4).量词与否定的交换 量词与否定的交换 ¬∀xA(x) ⇔ ∃x¬A(x) ① ¬∀ ¬ ¬∃xA(x) ⇔ ∀x¬A(x) ② ¬∃ ¬ 例如， D={a，b，c}时 例如，在D={a，b，c}时 ①式左边¬∀ 式左边¬∀xA(x) ⇔¬(A(a) ∧A(b) ∧A(c)) ⇔¬ ¬∀ ⇔¬A(a) ∨¬ ∨¬A(b)∨ ¬A(c) ①式右边∃x¬A(x) ⇔¬ 式右边∃ ¬ ∨ 比较两公式右边可得。 比较两公式右边可得。 在命题逻辑中相当于德.摩根律 摩根律。 ① ②在命题逻辑中相当于德 摩根律。
C S | S W U S T
1.7
谓词演算的公式
例如： 例如：G⇔P→Q∧R P→Q∧ 例如： P(a)→( x)P(f(x)) 例如：A⇔P(a)→(∃x)P(f(x)) 一、谓词公式的解释指对以下一些符号进行指定： 谓词公式的解释指对以下一些符号进行指定： 指对以下一些符号进行指定 1.谓词公式 的论述域为D 谓词公式A的论述域为 谓词公式 的论述域为 2.每一个个体常元指定 中的一个元素 每一个个体常元指定D中的一个元素 每一个个体常元指定 3.每一个 元函数为 n到D的一个映射 每一个n元函数为 每一个 元函数为D 的一个映射 4.每一个 元谓词为 n 到{0,1}的一个映射 每一个n元谓词为 每一个 元谓词为D 的一个映射 称以上一组指定为谓词公式A的一个解释或 称以上一组指定为谓词公式 的一个解释或赋值 的一个解释
XDC
C S | S W U S T (1).命题逻辑中结论的推广 命题逻辑中结论的推广 在命题逻辑中成立的基本逻辑恒等式和 在命题逻辑中成立的基本逻辑恒等式和基本重 基本逻辑恒等式 言蕴含式的代换实例都是谓词逻辑的逻辑等价 言蕴含式的代换实例都是谓词逻辑的逻辑等价 式和重言蕴含式。 式和重言蕴含式。 例：幂等律 蕴含律 ∃xA(x)∧∃ ∧∃xA(x)⇔ ∃xA(x) ∧∃ ⇔ ⇔∀x(¬ ∀x(A(x)→B)⇔∀ ¬A(x)∨B) → ⇔∀ ∨
谓词逻辑 基本推理公式
谓词逻辑基本推理公式
在谓词逻辑中，基本的推理公式包括：
1.求反与证明反例：
如果要证明一个命题为假（否定），可以通过求反的方式来证明。
即，将该命题的否定作为前提，通过推理得出矛盾结论。
反之，要证
明一个命题为真，可以通过证明反例的方式。
即，找到一个具体的例
子使得该命题成立。
2.假设推理（反证法）：
假设待证明的命题为假，通过推理得出矛盾结论，以此推断待证
明的命题为真。
这种推理方法也被称为反证法。
3.归谬法：
如果通过假设推理后，无法得出矛盾结论，但也无法确定该命题
为真，则可以得出一个归谬（无解）结论，即无法证明该命题的真假。
4.极值法则：
对于一些带有最大值或最小值的问题，可以通过极值法则来解决。
即，假设待证明的结论不成立，通过比较得出矛盾结论，从而证明待
证明的结论成立。
这些基本的推理公式在谓词逻辑中起着重要的作用，可以帮助我
们进行逻辑思考和推理，解决各种问题。
在实际应用中，还可以结合
其他推理方法和技巧，进行更深入的推理和分析。
因此，在学习和应
用谓词逻辑时，需要多加练习和思考，提高逻辑推理能力。
离散数学 谓词逻辑
例1 给定解释I1如下：
(1)个体域为自然数集合N； (2)N中的特定元素a=0； （3）F(x,y):x大于或等于y. 在解释I1下,求下列各式的真值： (1)(∀x)F(x,a)；(2)(∀x∃y)F(x,y) 解 在解释I1下,公式分别解释为： (1)任何自然数都大于或等于零, 为真命题.
(2)对任一自然数x,都存在一自然数y使得x≥y, 为真命题.
4
例子
［例2-1.1］ 张明是位大学生。 解：设S(x)：x是大学生,c：张明, 一元谓词：表 则原句的谓词形式为S(c)。 示客体性质 ［例2-1.2］我坐在张三和李四中间。 解：设S(x,y,z)：x坐在y和z之间,i：我,z：张 三,l：李四, 多元谓词：表 示客体间关系 则原句的谓词形式为S(i,z,l)。
★从以上两命题的符号化可以看出,同一命题在不同个体域下 符号化的形式可能不同。
11
这里,M(x)称为特性谓词。应该注意 的是,全称量词和存在量词符号化时,引入 特性谓词时的形式是不同的。 用全称量词 符号化时,特性谓词作为条 件式的前件； 用存在量词符号化时则作为合取式的一 项。
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对于任一给定的实数x,都存在着一个实数y,使得 x+y=0。 如果取个体域为实数集合 ∀ x ∃ y H(x, y ) 然而 ∃ y ∀ x H(x, y )： 存在着一个少数y,对于任一实数x,使得x+y=0
3
谓词的表示
客体词有两种：客体常元和客体变元。客体常 元表示具体的或特定的客体,一般用小写字母 a、b、c等表示；表示抽象的或泛指的客体的 词称为客体变元,常用小写字母x、y、z等表 示。 谓词,通常用大写的字母A、B、C等表示。
谓词填式：单独一个谓词不是完整的命题, 把谓词字母后填以客体所得的式子。
谓词公式与翻译(精)
xP(x)→x Q(x)) ┒(x)P(x) ⋁x Q(x)
定义2:
设A为谓词公式，若在任何解释下，A的真值都为真，则 称A为永真式；
若至少存在一种解释，使A的真值为真，则称A为可满足 式；
若在任何解释下，A的真值都为假，则称A为矛盾式，矛 盾式也称不可满足式。
2019/6显/3 然，永真式是可满足式。
2019/6/3
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2.3 谓词公式与翻译
2．谓词公式的解释 定义 谓词公式的一个解释I，由下面4部分组成 1）非空的论域U； 2）U中的特定的个体常项； 3）U上特定的函数； 4）U上特定的谓词。
若将谓词公式中的个体常项，函数和谓词分别指定 为U中的特定个体常项，U上特定的函数和U上特定的谓 词，即为该公式在解释I下的真值。
彐x(P(z)∧R(x,z)) 但是彐x(P(x)∧R(x,x))与彐x(P(z)∧R(x,y))这两种代入都是与
规则不符的。
2019/6/3
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2.5谓词公式的等价与蕴涵
1、谓词逻辑中常见的等价与蕴含关系 谓词公式的赋值:
在谓词公式中常包含命题变元和客体变元，当客体 变元由确定的客体所取代，命题变元用确定的命题 所取代时，就称作对谓词公式的赋值。一个谓词公 式经过赋值以后，就成为具有确定真值T或F的命 题。
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(1)命题逻辑中等价和蕴含的推广
在命题演算中，任一永真公式，其中同一命题变元， 用同一公式取代时，其结果也是永真公式。我们可以 把这个情况推广到谓词公式之中，当谓词演算中的公 式代替命题演算中永真公式的变元时，所得的谓词公 式即为有效公式，故命题演算中的等价公式表和蕴含 式表都可推广到谓词演算中使用。
例题 2 对x(P(x)→R(x,y))∧Q(x,y)换名。 解 可换名为： z(P(z)→R(z,y))∧Q(x,y)， 但不能改名为： y(P(y)→R(y,y))∧Q(x,y) 以及 z(P(z)→R(x,y))∧Q(x,y)。
谓词逻辑永真公式
P(1,1): T； P(1,2): F； P(2,1):F； P(2,2): T – 则xyP(x,y)和yxP(x,y) 在解释I下的真值分
别为?
xyP(x,y) 关于x的一元函数
x y P(x,y) yP(x,y) xyP(x,y)
1
T
1
T
2
F
T
1
F
2
T
2
T
yxP(x,y) 关于y的一元函数
– 例：I(x)：x是整数，论域E为自然数集合
• I(x)在E上是永真式 • I(x) ∨ I(x)是与论域无关的永真式
• 谓词公式的永假式 • 谓词公式的可满足式
例：试说明以下公式的类型
1. xA(x)→A(y)
永真式
2. xA(x)→A(y)
可满足式
3. A(x) (A(x) ：x+6=5) 可满足式
x(A(x)∨B(x)) F
B(1) B(2) F
因此
xA(x) F
所以 xB(x) T
从而 A(1) A(2) B(1) B(2)
F
FT
结论：所给公式不是永真式
例(续前)：试判断xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x)) 是否是永真式，并说明理由。
解：所给公式不是永真式，理由如下。
体函数常量
3. 对A中出现的每一个n元谓词，指定一个D上的n元谓词 常量
4. 对A中出现的每一个个体常量及自由变元，指定D中的 一个个体常量
5. 对A中出现的每一个命题变元P，指派一个真值T或F
由此得到一个命题AI，称AI的真值为公式A在 解释I 下的真值
例
• 取解释I如下：
– D={1,2}, – 定义D上的二元谓词P真值为
别为?
xyP(x,y) 关于x的一元函数
x y P(x,y) yP(x,y) xyP(x,y)
1
T
1
T
2
F
T
1
F
2
T
2
T
yxP(x,y) 关于y的一元函数
– 例：I(x)：x是整数，论域E为自然数集合
• I(x)在E上是永真式 • I(x) ∨ I(x)是与论域无关的永真式
• 谓词公式的永假式 • 谓词公式的可满足式
例：试说明以下公式的类型
1. xA(x)→A(y)
永真式
2. xA(x)→A(y)
可满足式
3. A(x) (A(x) ：x+6=5) 可满足式
x(A(x)∨B(x)) F
B(1) B(2) F
因此
xA(x) F
所以 xB(x) T
从而 A(1) A(2) B(1) B(2)
F
FT
结论：所给公式不是永真式
例(续前)：试判断xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x)) 是否是永真式，并说明理由。
解：所给公式不是永真式，理由如下。
体函数常量
3. 对A中出现的每一个n元谓词，指定一个D上的n元谓词 常量
4. 对A中出现的每一个个体常量及自由变元，指定D中的 一个个体常量
5. 对A中出现的每一个命题变元P，指派一个真值T或F
由此得到一个命题AI，称AI的真值为公式A在 解释I 下的真值
例
• 取解释I如下：
– D={1,2}, – 定义D上的二元谓词P真值为
谓词公式的解释
解： 1 永真式 P(QP）的代换实例，故为逻辑有效的。 2 矛盾式 (PQ)Q 的代换实例，故为不可满足的。 3）解释I1: 个体域N, F(x):x>5, G(x): x>4, 公式为真 解释I2: 个体域N, F(x):x<5, G(x):x<4, 公式为假 结论: 为非永真式的可满足式
小结
例2.8
给定解释I如下：
1 个体域为实数集合R； 2 R中的特定元素a=0； 3 R上的特定函数f(x, y) =x+y,
g(x, y)=xy； 4 R上的特定谓词F(x, y)：x=y。
在解释I下，公式分别解释为： 1） xF(f(x, a), g(x, a)) 解释为：
在实数集合R中，x(x+0=x0)
把这样得到的公式记作A*。称A*为A在I下的解释，或A在I下被解释成A*。
例2.8
给定解释I如下：
1 个体域为实数集合R； 2 R中的特定元素a=0； 3 R上的特定函数f(x, y) =x+y,
g(x, y)=xy； 4 R上的特定谓词F(x, y)：x=y。
在解释I下，求下列各式的真值：
1）xF(f(x, a), g(x, a)) 2） xy(F(f(x, y), g(x, y))F(x, y)) 3 ）xF(g(x, y), a)
定理2.2 重言式的代换实例都是逻辑有效的，永假式的代换实例都是不可满足的。
பைடு நூலகம்2.9
判断下列公式中，哪些是逻辑 有效的，哪些是不可满足的？ 1）xF(x)(xyG(x,y)xF(x)) 2）(xF(x)yG(y))yG(y) 3）x(F(x)G(x))
分析——两种思路 1 公式的解释； （2）定理2.2。
小结
例2.8
给定解释I如下：
1 个体域为实数集合R； 2 R中的特定元素a=0； 3 R上的特定函数f(x, y) =x+y,
g(x, y)=xy； 4 R上的特定谓词F(x, y)：x=y。
在解释I下，公式分别解释为： 1） xF(f(x, a), g(x, a)) 解释为：
在实数集合R中，x(x+0=x0)
把这样得到的公式记作A*。称A*为A在I下的解释，或A在I下被解释成A*。
例2.8
给定解释I如下：
1 个体域为实数集合R； 2 R中的特定元素a=0； 3 R上的特定函数f(x, y) =x+y,
g(x, y)=xy； 4 R上的特定谓词F(x, y)：x=y。
在解释I下，求下列各式的真值：
1）xF(f(x, a), g(x, a)) 2） xy(F(f(x, y), g(x, y))F(x, y)) 3 ）xF(g(x, y), a)
定理2.2 重言式的代换实例都是逻辑有效的，永假式的代换实例都是不可满足的。
பைடு நூலகம்2.9
判断下列公式中，哪些是逻辑 有效的，哪些是不可满足的？ 1）xF(x)(xyG(x,y)xF(x)) 2）(xF(x)yG(y))yG(y) 3）x(F(x)G(x))
分析——两种思路 1 公式的解释； （2）定理2.2。
谓词公式的解释
谓词公式的解释2.2.3 谓词公式的解释定义2.12谓词逻辑中公式A的每一个解释（赋值）I由以下几部分构成：1）非空个体域D；2）D中的某些特定元素；3）D中的某些特定的函数；4）D中某些特定的谓词。
用一个解释I解释一个谓词公式A包括：将I的个体域D作为A的个体域，A中的个体常元用I中的特定元素代替，A中的函数用I中的特定函数代替，谓词用I上的特定谓词代替。
把这样得到的公式记作A*。
称A*为A在I下的解释，或A在I下被解释成A*。
给定解释I如下：1）个体域为实数集合R；2）R中的特定元素a=0；3）R上的特定函数f(x, y) =x+y, g(x, y)=xy；4）R上的特定谓词F(x, y)：x=y。
在解释I下，求下列各式的真值：1）∃xF(f(x, a), g(x, a))2）∀x∀y(F(f(x, y), g(x, y))→F(x, y)) 3）∀xF(g(x, y), a)给定解释I如下：1）个体域为实数集合R；2）R中的特定元素a=0；3）R上的特定函数f(x, y) =x+y, g(x, y)=xy；4）R上的特定谓词F(x, y)：x=y。
在解释I下，公式分别解释为：1）∃xF(f(x, a), g(x, a)) 解释为：2）∀x∀y(F(f(x, y), g(x, y))→F(x, y)) )) 解释为：3）∀xF(g(x, y), a) 解释为：封闭的公式在任何解释下都成为命题。
定理2.1在实数集合R中，∃x(x+0=x⋅0) 真值为1;在实数集合R中，∀x∀y(x+y=x⋅y→x=y) 真值为0;在实数集合R中，∀x(x⋅y=0) 真值不确定。
2.2.4 谓词公式的类型定义2.13若谓词公式A在任何解释下均为真, 则称A为逻辑有效的或永真式；若A在任何解释下均为假, 则称A为不可满足的或永假式；若至少有一个解释使A为真, 则称A为可满足的。
逻辑有效的公式为可满足的，但反之不真。
116谓词逻辑永真公式
– 联词与量词的关系 – 问题与否问题的关系 – 构造证法的一种典型情形 – 公式形成规则、联词、量词、变元约束等知识点 – 逐步推演思想 – 完整地自顶向下逐步求精思想
问题与否问题
• 问题：所给公式是永真式吗？ • 否问题：所给公式不是永真式吗？ • 这两个问题有不同的难度
– 是永真式：在任何论域的任何解释下皆为真 – 不是永真式：存在一个使该公式为假的特定
考虑D={1,2}上的解释I：
A(1) A(2) B(1) B(2)
FFFT
在I下： xB(x) A(1)∨B(1)
T
F
此处取T亦可
所以 xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x))
T
F
xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))
F
总结
• 总的思路：试图在D={1,2}上找到一个使所给公式 为假的解释。
P(1,1): T； P(1,2): F； P(2,1):F； P(2,2): T – 则xyP(x,y)和yxP(x,y) 在解释I下的真值分
别为?
xyP(x,y) 关于x的一元函数
x y P(x,y) yP(x,y) xyP(x,y)
1
T
1
T
2
F
T
1
F
2
T
2
T
yxP(x,y) 关于y的一元函数
– 例：I(x)：x是整数，论域E为自然数集合
• I(x)在E上是永真式 • I(x) ∨ I(x)是与论域无关的永真式
• 谓词公式的永假式 • 谓词公式的可满足式
例：试说明以下公式的类型
1. xA(x)→A(y)
永真式
2. xA(x)→A(y)
可满足式
问题与否问题
• 问题：所给公式是永真式吗？ • 否问题：所给公式不是永真式吗？ • 这两个问题有不同的难度
– 是永真式：在任何论域的任何解释下皆为真 – 不是永真式：存在一个使该公式为假的特定
考虑D={1,2}上的解释I：
A(1) A(2) B(1) B(2)
FFFT
在I下： xB(x) A(1)∨B(1)
T
F
此处取T亦可
所以 xA(x)∨xB(x) x(A(x)∨B(x))
T
F
xA(x)∨xB(x) → x(A(x)∨B(x))
F
总结
• 总的思路：试图在D={1,2}上找到一个使所给公式 为假的解释。
P(1,1): T； P(1,2): F； P(2,1):F； P(2,2): T – 则xyP(x,y)和yxP(x,y) 在解释I下的真值分
别为?
xyP(x,y) 关于x的一元函数
x y P(x,y) yP(x,y) xyP(x,y)
1
T
1
T
2
F
T
1
F
2
T
2
T
yxP(x,y) 关于y的一元函数
– 例：I(x)：x是整数，论域E为自然数集合
• I(x)在E上是永真式 • I(x) ∨ I(x)是与论域无关的永真式
• 谓词公式的永假式 • 谓词公式的可满足式
例：试说明以下公式的类型
1. xA(x)→A(y)
永真式
2. xA(x)→A(y)
可满足式
数理逻辑中的谓词函数与谓词公式
数理逻辑中的谓词函数与谓词公式数理逻辑（mathematical logic）是研究形式逻辑（formal logic）的一个分支，它运用数学方法来研究逻辑的基本原理与推理规则。
在数理逻辑中，谓词函数和谓词公式是非常重要的概念。
本文将介绍谓词函数与谓词公式的概念、性质及其在数理逻辑中的应用。
一、谓词函数的定义与性质在数理逻辑中，谓词函数（Predicate Function）是一种将一组变量映射到真值的函数。
它通过变量的赋值将谓词的真值确定下来。
谓词函数的定义可以用集合和映射来描述。
1.1 谓词函数的定义设P是一个谓词，n是一个正整数，X1, X2, ..., Xn是n个变量，则称(P, n)为一个n元谓词，也称为谓词函数。
通常用P(x1, x2, ..., xn)来表示一个具体的n元谓词函数。
1.2 谓词函数的性质（1）真值集合：对于给定的变量赋值，谓词函数的结果是一个命题（proposition），即取值要么为真，要么为假。
谓词函数的真值集合可以用集合来表示。
（2）变元：谓词函数中的变量称为变元（arguments）。
变元的个数决定了谓词函数的元数（arity）。
（3）布尔函数：谓词函数可以看作是一种特殊的布尔函数，即输入是布尔值，输出也是布尔值的函数。
（4）值域：谓词函数的取值范围称为值域（range）。
值域通常是真值集合{真, 假}。
二、谓词公式的定义与性质谓词公式（Predicate Formula）是由谓词函数和逻辑连接词（如否定、合取、析取、蕴含、等价等）通过逻辑运算得到的复合命题。
谓词公式可以描述系统中的关系、属性和规则等。
2.1 谓词公式的定义谓词公式由谓词及其变元，逻辑连接词和量词（如全称量词∀、存在量词∃等）组成。
谓词公式可以使用自由变量或约束变量形式来表示。
2.2 谓词公式的性质（1）合法公式：符合数理逻辑规则的谓词公式称为合法公式，也称为良构公式。
（2）可满足性：对于合法公式，如果存在一种变量赋值使该谓词公式成为真命题，则称该谓词公式是可满足的。
谓词演算的等价式和蕴含式
（9） x(H ( x ) S ( x )) （10）H (a ) S (a )
B xA( x ) x( B A( x ))
xP( x ) xQ( x ) x( P ( x ) Q( x ))
x( P( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x )
xA( x ) xB( x ) x( A( x ) B( x ))
x( A( x ) B) xA( x ) B
x( A( x ) B) xA( x ) B
xA( x ) B x( A( x ) B)
xA( x ) B x( A( x ) B)
B xA( x ) x( B A( x ))
x (H ( x ) S ( x )) x ( H ( x ) C ( x )) x (C ( x ) E ( x )) xE ( x )
xS( x )
证明： （1）xE ( x ) （2） E (a ) （3）x(C ( x ) E ( x )) （4） C (a ) E (a ) （5） C (a ) （6）x( H ( x ) C ( x )) （7） H (a ) C (a )
I15
I16
例2-15用谓词演算的等价式和蕴含式证明 （1）x( P ( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x ) （2） xy( P( x ) Q( y )) xP( x ) yQ( y ) （3） x( P( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x ) 证明(1)： x( P( x ) Q( x ))
如果论域D中的任意一个个体c，都能使A(c)成立， 则由该规则可得结论成立。注意，此时的个体c不是论域 中某一特定的个体，而是泛指论域中所有的个体。
B xA( x ) x( B A( x ))
xP( x ) xQ( x ) x( P ( x ) Q( x ))
x( P( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x )
xA( x ) xB( x ) x( A( x ) B( x ))
x( A( x ) B) xA( x ) B
x( A( x ) B) xA( x ) B
xA( x ) B x( A( x ) B)
xA( x ) B x( A( x ) B)
B xA( x ) x( B A( x ))
x (H ( x ) S ( x )) x ( H ( x ) C ( x )) x (C ( x ) E ( x )) xE ( x )
xS( x )
证明： （1）xE ( x ) （2） E (a ) （3）x(C ( x ) E ( x )) （4） C (a ) E (a ) （5） C (a ) （6）x( H ( x ) C ( x )) （7） H (a ) C (a )
I15
I16
例2-15用谓词演算的等价式和蕴含式证明 （1）x( P ( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x ) （2） xy( P( x ) Q( y )) xP( x ) yQ( y ) （3） x( P( x ) Q( x )) xP( x ) xQ( x ) 证明(1)： x( P( x ) Q( x ))
如果论域D中的任意一个个体c，都能使A(c)成立， 则由该规则可得结论成立。注意，此时的个体c不是论域 中某一特定的个体，而是泛指论域中所有的个体。
17 谓词演算的永真公式
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谓词公式类型的判断
方法一：真值表法 ——当谓词公式A的个体域E是有限的，谓词变元的解释也 是有限的时，原则上可以用真值表来判断。 方法二：指派分析法 ——当谓词公式A的个体域E是无限的，或谓词变元的解释 是无限的时，谓词公式A的指派就是无限多个，无法实 现用真值表来判断，一般根据联结词、量词的意义，直 接用自然语言来叙述进行证明。
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二、谓词演算中的逻辑等价式和永真蕴含式
遍及个体域E等价（永真蕴含） 给定个体域E上的两个谓词公式A和B，若对E中的任意指派I， 1 A、B 都具有相同的真值（即谓词公式A↔B为永真式）， 则称谓词公式A和B在E上等价，记作：在E上AB。 2 当A为真时，B也为真（即谓词公式A→B为永真式）， 则称谓词公式A在E上永真蕴含B，记作：在E上AB。
P(x)∧xP(x)在E上可满足， xP(x)在E上永真。
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2 ∀xP(x)→∃xP(x) 解： 未指明个体域与谓词P(x)的含义 ---任意多组解释 设D为任意一个个体域，I为任意一个指派。 若∀xP(x)为真， 即对于D中任意x，P(x)均为真。 此时在D中当然至少有一个x，使P(x)为真。 则∃xP(x)为真。 所以在指派I下，∀xP(x)→∃xP(x)取值为真。 由I的任意性，∀xP(x) →∃xP(x)为永真式。
例如：对 x(P(x)→Q(x)) 指定：1.个体域D为全总个体域 2.Ｐ(x)：x是人；Ｑ(x)：x是黄种人。 则x(P(x)→Q(x))：所有的人都是黄种人。 F 思考：若 个体域D为实数集 Ｐ(x)：x是自然数；Ｑ (x)：x是有理数。 南京信息工程大学数理学院
例1-7-1 给定一个解释I： D={2，3}； D中的特定元素 a=2 D上的特定谓词 F(x)为：F(2)=0，F(3)=1 L(x,y)为：L(2,2)= L(3,3)=1; L(2,3)=L(3,2)=0. 在这个解释下，求下列各式的值。 1 ∀x(F(x)∧L(x,a)) (F(2)∧L(2,2))∧(F(3)∧L(3,2)) (0∧1)∧(1∧1) 0 2 ∀x∃y L(x,y) ∀x(L(x,2)∨L(x,3)) (L(2,2)∨L(2,3))∧(L(3,2)∨L(3,3)) (1∨0)∧(0∨1) 1
6谓词逻辑推理
本定理说明：任何公式的前束范式都是存在的，但 一般说来并不是唯一的。
例4 求下列公式的前束范式
(1) x(M(x)F(x))
解 x(M(x)F(x)) x(M(x)F(x))
（量词否定等值式）
x(M(x)F(x)) 后两步结果都是前束范式，说明公式的前束范式不惟一.
26
一阶逻辑的常用推理规则
(1)命题演算中的所有推理规则都是谓词演算中的 推理规则，谓词演算的所有永真式也是谓词推理 规则。
前提引入、结论引入、置换规则、假言推理、附 加、化简、拒取式、假言三段论、析取三段论、 构造性两难、合取引入等等。
27
一阶逻辑的常用推理规则
为了构造推理系统，还要给出4条重要的推理规则, 即消去量词和引入量词的规则：
A1 ,A2 ,… ,Ak → B 若为永真式，则称推理正确，否则称推理不正确。
在一阶逻辑中称永真式的蕴涵式为推理定律， 若一个推理的形式结构正是某条推理定律，则这个 推理显然是正确的。
在一阶逻辑的推理中，某些前提与结论可能是受量词限 制，为了使用命题逻辑中的等值式和推理定律，必须在推理 过程中有消去和添加量词的规则，以便使谓词演算公式的推 理过程可类似于命题演算中推理理论那样进行。
7
有限个体域上消去量词
设个体域为有限集D={a1, a2,…, an}, 则 xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an) xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)
例: 个体域D={a,b,c}, 则消去下面公式中的量词 xyF(x,y) x (F(x,a)∧F(x,b)∧F(x,c)) (F(a,a)∧F(a,b)∧F(a,c))∨ (F(b,a)∧F(b,b)∧F(b,c))∨ (F(c,a)∧F(c,b)∧F(c,c))
永真推理定义
在逻辑学中，永真推理（Tautology）是指一个逻辑表达式或命题，无论其变量取任何可能的真值，该表达式的值始终为真的推理。
这种推理形式在所有情况下都是有效的，它的真值表中的所有行结果均为“真”。
例如，在命题逻辑中，以下是一个简单的永真推理例子：
- (A ∨¬A) （命题A 或非A）
这个表达式不论A是真还是假，整个表达式的值总是真的：- 当A为真时，¬A为假，但根据或逻辑（析取），只要有一个子句为真，则整体表达式为真。
- 当A为假时，¬A则为真，同样使得整体表达式为真。
因此，(A ∨¬A) 是一个永真推理，也称为逻辑等式或逻辑恒等式。
在形式逻辑和数学逻辑中，永真推理是非常重要的概念，它们构成了逻辑系统的公理基础，并且在证明论、逻辑设计以及计算机科学等领域都有广泛应用。
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二、谓词演算的基本永真公式
5 量词的分配形式 ① x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) ② x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) ③ x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) ④ xA(x) xB(x) x(A(x) B(x)) 证： ①因为对一切x，A(x) B(x)为真，等价于对一切x， A(x)为真且B(x)为真。 ② 对① x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) 用¬A(x), ¬B(x)分别取代A(x),B(x),则
二、谓词演算的基本永真公式
1.命题演算的永真公式也是谓词演算的永真公式。 因为谓词演算是命题演算的扩充，所以列于表 1.2 -1 , 表1.2 -2 的恒等式和永真蕴含式同样适用于 谓词演算。 2.量词的增加与删除 1）
xA A xA A
A中不含自由变元x
因为A不含自由变元x，所以A的真值与x无关，故恒等 式成立。
谢谢同学们的主动配合！ 愿大家天天快乐！
一、谓词演算基本概念
4. 两个任意谓词公式A和B,
1) A与B等价， A B iffA B 永真； E 2)在E上A与B等价，A B iffA B 在E上永真.
5. 两个任意谓词公式A和B, 1) A永真蕴含B ， A B iff A → B 永真； E 2)在E上A永真蕴含B， A B iff A → B 在E上永真.
将y代以w，得xP(x, w) Q(w, w)
注意： 换名规则的对象：只用于约束变元，换名后所得公式与原式等价；
代入规则的对象：只用于自由变元，换名后所得公式与原式一般
不等价，除非是永真式。
三、变换规则
2）在一公式中, 一个n元(n≥0)谓词变元F(x1, x2,…, xn)可 代以至少有n个自由个体变元的公式G(y1, y2, …, yn, yn+1, …, yn+r), (这里r≥0, y1, y2, …, yn是分别对应于 x1, x2,…, xn的任意选定的n个自由变元), 只须该n元谓词 出现的各处都同样代入, 且代入的公式中, 后边的r个自由 变元不允许在原公式中以约束变元出现; 而F(x1,x2, …, xn) 中的变元也不允许在代入的公式中以约束变元出现。 例如:a) P Q P Q，
x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) 因为存在一个x，使A(x) B(x)为真，则存在一个x， 使A(x)为真，同时使B(x)也为真。 x(A(x) B(x)) xA(x) xB(。 x) 所以
③
注：
xA(x) xB(x) x(A(x) B(x))
二、谓词演算的基本永真公式
表 1.7 -1 含有量词的永真公式概要表
三、变换规则
1.代入规则 1）在一公式中, 任一自由个体变元可代以另一个体变 元, 只需该个体变元出现的各处都同样代入, 且代 入的变元不允许在原来公式中以约束变元出现。 如 xP(x, y) Q(w, y)，将y代以z，得xP(x, z) Q(w, z)
x(P(x) Q(x)) x(R (x) Q(x)) (R (x) P(x))
x(P(x) Q(x)) x(R (x) Q(x))
Q10 E5, x((R (x) Q(x)) (P(x) Q(x))) x((R (x) Q(x)) (Q(x) P(x))) E24
(R (x) Q(x)) (Q(x) P(x))
R (x) P(x)
x((P(x) Q(x)) (R (x) Q(x)))
Q1
I6
所以
x(P(x) Q(x)) x(R (x) Q(x)) (R (x) P(x))
作业： P48 1.7习题 1.证Q17、Q19 2.(2),(3) 4.(2),(4)
第六讲 谓词演算的永真公式
讲授内容： 1. 谓词演算基本概念 解释概念 永真 永假 2. 谓词演算的永真公式 共七大类演算公式 3. 谓词演算的变换规则
第六讲 谓词演算的永真公式
讲授重点：谓词演算基本概念
与解释的概念
讲授难点：谓词演算的七大类公式
一、谓词演算基本概念
对命题公式，指派， 确定的真值 对谓词公式，情况比较复杂。 谓词公式中个体，谓词未指定含义时，公式的意义不 清楚，可真可假。只有对谓词公式中各变项指定特殊的常 项后，谓词公式才有确定含义。 1.一个解释由下面四部分组成： (1) 一个确定的个体域D； (2) D上的每一原子谓词指定特定的谓词； (3) 对个体常元指定D中的一个特定元素； (4) 对自由变元指定D中的一个特定元素。 解释 相当于命题逻辑中的指派
一、谓词演算基本概念
例1 自然数集合N：{0,1.2,3,…}
任何自然数都大于零。
(1) x个体域:实数集合R
(2) N(x):x是自然数； (3) M(x):x大于等于0.
x (N(x) M (x))为真
任何整数都大于零。
(1) x个体域:实数集合R
(2) N(x):x是整数； (3) M(x):x大于等于0.
3.对偶原理 对偶式：当A中仅含， ， ，将与互换， 与 互换，
T与F互换，得到A *为对偶式。 若A B或A B，则A* B*,B* A *
例2：证明 x(P(x) Q(x)) x(R (x) Q(x)) (R (x) P(x)) 证：根据CP规则，上式等价于 而
x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x)) x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) x(A(x) B(x)) (xA(x) xB(x)) x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x)
二、谓词演算的基本永真公式
xA(x) xB(x) xA(x) xB(x) xA(x) xB(x) 7）关于多个量词的永真式 ① xyP( x, y) yxP( x, y) ② xyP( x, y) xyP( x, y);xyP( x, y) yxP( x, y); ③ yxP( x, y) xyP( x, y) ④ xyP( x, y) xyP( x, y) ⑤ xyP( x, y) yxP( x, y)
二、谓词演算的基本永真公式
4 量词辖域的扩张和收缩 xA( x ) P x(A( x ) P) xA( x ) P x(A( x ) P) xA( x ) P x(A( x ) P) xA( x ) P x(A( x ) P) P是不含自由变元x的谓词。
二、谓词演算的基本永真公式
3 量词的否定
(xP (x)) xP (x) (xP (x)) xP (x)
证明：设论述域为D ，任给一种解释I下. ① (xP (x)) xP (x) 若 ¬(∀xP(x))在解释I下为T， ∀xP(x)在解释I下为F, 存在a∈ D，使P(a)为F, ¬ P(a)为T ∃ x¬P(x)为T. ② xP (x) (xP (x)) 若 ∃ x¬P(x)在解释I下为T时，存在b∈ D，使¬ P(b)为T, P(b)为F ∀xP(x)为F ¬(∀xP(x)) 为T.
x(A(x) B(x)) (xA(x) xB(x))
xA(x) xB(x) x(A(x) B(x))
二、谓词演算的基本永真公式
6）量词对 及→的处理 x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x) 证：x(A(x) B(x)) x(A(x) B(x))
如解释：A(x):x是奇数；B(x)：x是偶数；论述域为N。 则xA(x) xB(x)为真，而x(A(x) B(x))为假。
④上面的 ③式为 x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x)
对③用¬A(x), ¬B(x)分别取代A(x),B(x),则
x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x)) x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x)
2. A为谓词公式，
1)在任意论述域上,A在任何一种解释下均为真，称A(普遍)永真； 2)在任意论述域上,A在任何一种解释下均为假，称A(普遍)永假； 3)至少存在某一论述域E上，若存在一种解释，使A的真值为真，
称A可满足. 关系： A(普遍)永真 一定 A在E上永真； A(普遍)永假 一定 A在E上永假; A在E上可满足 一定 A可满足.
二、谓词演算的基本永真公式
或xP(x) P(x) 2）xP(x) P(y)
含义：如果对一切x,P(x)为真，则对任一确定的x， P(x)为真。
P(y) xP(x)或P(x) xP(x)
含义：如果对某一确定的x，P(x)为真，则“存在一 个x,使P(x)为真”成立。
由xP(x) P(x) 和P(x) xP(x) 根据前提三段论得 xP(x) xP(x)
x (N(x) M (x))为假
无个体常元与自由变元
一E是它们公有的论述域, 若
1) 在论述域E的任何一种解释下，A均为真，称A在E上永真； 2)在论述域E的任何一种解释下，A均为假，称A在E上永假； 3) 在论述域E上存在一种解释,使A的真值为真，称A在E上可满足.
P代以xP( x )，Q代以S(x) 得 xP( x ) S(x) xP( x ) S(x)
若原式是永真式, 则代入后仍得永真式;
若原式是非永真式, 则代入后可能变化。
另外, 命题演算中的代入规则是本规则的特例。
三、变换规则
2.替换规则
设A( x1, x2,...,xn) B( x1, x2,...,xn)，而A是公式C中的 子公式，将B去替换C中的A(不必每一处)，得到D, 则 C D。