安徽大学高等数学3期末考试试卷

安徽大学2011—2012学年第一学期

《高等数学A （三）》考试试卷（A 卷）

院/系 年级 专业 姓名 学号

答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------

（闭卷 时间120分钟）

考场登记表序号

题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分

阅卷人

得分 一、选择题（每小题2分，共10分）

1.设A 为阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（ ）。

n （A）； （B）1(2)2A −=1A −11(2)(2)T T A A −−=； （C）； （D）。 1111(())(())T T A A −−−−=11(())(())T T T A A −−−=1

2.若向量组12,,,r αα α可由另一向量组12,,,s ββ β线性表示，则下列说法正确的是

（ ）。

（A）； （B）r ；

r s ≤s ≥（C）秩(12,,,r ααα )≤秩(12,,,s ββ β)； （D）秩(12,,,r ααα ≥)秩(12,,,s ββ β)。

3.设,A B 为阶矩阵，且n A 与B 相似，E 为阶单位矩阵，则下列说法正确的是（ ）。 n （A）E A E B λλ−=−；

（B）A 与B 有相同的特征值和特征向量； （C）A 与B 都相似于一个对角矩阵；

（D）对任意常数，与k kE A −kE B −相似。

4.设123,,ααα为3R 的一组基，则下列向量组中，（ ）可作为3R 的另一组基。 （A）11212,,3ααααα−−； （B）1212,,2αααα+； （C）12231,,3αααααα++−； （D）12231,,3αααααα+++。

5.设，，()0.8P A =()0.7P B =(|)0.8P A B =，则下列结论正确的是（ ）。

（A）事件A 与B 互不相容； （B）A B ⊂；

（C）事件A 与B 互相独立； （D）。 ()()()P A B P A P B =+∪

二、填空题（每小题2分，共10分） 得分

6.设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵的秩为 *A 。

7.设2λ=是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵1

213A −⎛⎞

⎜⎟⎝⎠

必有一个特征值等

于 。

8.设离散型随机变量X 的分布列为2()3k P X k a ⎛⎞

==⋅⎜⎟⎝⎠

，，则

0,1,2,3k =a =。

9.设离散型随机变量X 的分布列为，若1010.250.50.25−⎛⎞⎜⎟

⎝⎠

2

Y X =，则 (1)P Y ==。

10.某车间生产的滚珠直径X 服从2(,)N μσ,现从产品中随机抽取6件,测得平均直径为

14.95x =,若已知方差,则平均直径20.06σ=μ的置信度为95%的置信区间为 。 ((1.96)0.975,(1.645)0.95Φ=Φ=)

三、计算题（每小题9分，共9分）

得分

11.计算下列行列式

12

3111

1

100100n n

a a D a a =

，这里230n a a a ≠ 。

得分

答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------

四、分析题（每小题13分，共65分）

12.已知线性方程组AX β=有无穷多解，其中

1101

011a A a a ⎛⎞⎜

⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝

⎠，211β−⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟⎝⎠

⎟。

求：（1）的值； a （2）方程组AX

β=的通解。

13.设二次型2221232()23343f X x x x x =+++x ，

（1）求正交变换X QY =，并写出()f X 的标准形； （2）判定二次型()f X 的正定性。

14.玻璃杯成箱出售，每箱8只，假设每箱含0只和1只残次品的概率分别为0.8和0.2。一

位顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地查看2只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：

（1）顾客买下该箱的概率；

（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。

15.设(,)X Y 服从以x 轴、直线1x =以及y x =围成的三角区域上均匀分布，试判断,X Y 的独立性和相关性。

答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------

16.假设总体X 的密度函数为

(),(;)0

,x e x f x x θθ

θθ−−⎧≥=⎨

<⎩ 其中，0θ>是未知参数，1(,,)n X X 为取自X 的样本，试求θ的矩估计量和最大似然估计量。