一维扩散方程数值解法
扩散方程的数值解法及应用-热流问题的数值计算-课件-04
a PTP a E TE aW TW a N TN a S TS b
其中
r aE re ( ) e / e
r aW rw ( ) w / w
0 P
rn aN (r ) n / n
rs aS (r ) s / s
( c) P V a V 0.5(rn rs )r t
因为离散方程都可表示为
a PTP anbTnb b
aP anb S P V
线性代数方程迭代求解收敛的一个充分必 要条件是对角占优，即：
a P anb
要求
SP 0
4. 由代数方程迭代求解的公式
TP
a a
nb nb
T b
nb
S P V
SP绝对值的大小影响到迭代过程中温度的 变化速度，SP的绝对值越大，系统的惯性越大， 相邻两次迭代之间TP的变化越小，收敛速度下 降，但有利于克服迭代过程的发散；SP的绝对 值小，可使变化率加快，但容易引起发散。
由式（5），可得
0 TP aP (1 f )aE (1 f )aW 1 2(1 f ) FO 0 TP aP 1 2 fFO
FO
at 2 x
为网格Fourier数。
从物理概念上，TP与前一时层的温度 之比应永远为正值，并随时间的增长而 0 趋近于0。在不同的f下， P / TP随 FO T 的变化如图所示：图4-3。 只有全隐格 式才能满足要求，任何f<1的格式， 当 FO大于一定值后都会出现物理 上不真 实的解。
（1）
4.1.2 用控制容积积分法导出通用方程的 离散形式
假定源项S在任一控制容积内中的值可以表 示温度的线性函数：
扩散方程的数值差分解法
扩散方程的数值差分解法作者：刘浩庭来源：《价值工程》2019年第29期摘要：扩散现象是其初始密度不均匀分布引起的，它会对物质粒子的分布状态产生影响，最终达到物质在空间均匀分布状态。
本研究通过分离变量法对给定条件的粒子浓度在一维空间分布下的扩散现象的解析解进行计算，同时结合使用欧拉法利用计算物理的方法对扩散过程进行了数值模拟。
通过对比理论数据与模拟实验数据对等离子体一维扩散现象进行阐释与讨论。
Abstract： The diffusion phenomenon is caused by the difference of the initial density. It affects the motion of the particles and finally make all the particles into the uniformly distribution. In this study， the analytical solution of the diffusion phenomenon of a given particle concentration in a one-dimensional space is calculated by using the method of separation of variables， and the diffusion process is simulated numerically by using the computational physics method combined with Euler's polygonal arc method. The one-dimensional plasma diffusion phenomenon is explained by comparing the theoretical data with the simulated experimental data.關键词：一维扩散;分离变量法;欧拉法Key words： one-dimensional diffusion;the method of separation of variables;Euler's polygonal arc method中图分类号：O122.2; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;文献标识码：A; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 文章编号：1006-4311（2019）29-0272-041; 简介受控热核聚变是受世人瞩目的前沿重要课题，其目的便是探索清洁可持续的新能源。
土体一维传热方程解析解及热扩散系数测定
T (t) = D + A ⋅ sin(ωt) ，
(22)
式中，D 表示平均温度，A 为温度波动幅度，即振幅。
下面将证明，在地下深度为 z 处的温度是深度 z 的函
数。由式（22），该式对应的傅里叶级数系数分别为
a0 = D， ⎫
a1
=
1 2j
当土体中有水分存在时，表示热导率比空气大 30 倍的水（参见表 2）在一定程度上取代了空气，这样， 土体热导率将随土体湿度的增加而增大，其增长速度
在湿度比较小时比较显著，然后随着湿度的继续增加，
热导率增长速度慢慢降低。
表 2 不同物质的热导率λ
Table 2 Thermal conductivity of some materials 单位: W/(m·k)
绍了该方法的应用效果。 关键词：热导率；热扩散系数；传热方程；地温梯度
中图分类号：TU441
文献标识码：A
文章编号：1000–4548（2008）05–0652–06
作者简介：涂新斌(1971– )，湖北孝感人，博士，主要从事工程地质、岩土工程研究。E-mail: tuxinbin@。
物质 λ
物质
λ
物质
λ
纯铜 398.00 大理石 2.700 水(0℃) 0.5510
黄铜 109.00 壤土 1.256 水(20℃) 0.6280
钢
36.70 砂土 1.172
蒸汽
0.0183
铁
29.10 冰
2.093 空气(0℃) 0.0244
花岗岩 4.06 冰(0℃) 2.220 空气(20℃) 0.0260
其边界条件为
T (0,t) = T (t) 。
(12)
第四章扩散方程的数值求解
非线性代数方程组的求解流程
给定节点上的温度值T* aPTP = aETE + aW TW + b
计算差分方程的系数和源项 a*PTP = a*ETE + a*WTW + b*
求解线性代数方程组，得到新的温度分布T
T → T*
Max T − T * < ε? Y 结束
N
例子
d2T d2x
+
f
(
x)
=
0
x
中国科学院研究生院2010年春季
3
T(K) T(K)
T(K) T(K)
x= 0 ∆x
1
i= 1 2 … i-1 i i+1 … ∆x=1/(n-1)
…
n
中国科学院研究生院2010年春季
500
prediction accuracy solution D-D,T(1)=300,T(100)=500,f(x)=600x
aPTP = aETE + a W TW + b
系数是待 求温度的 函数
线性代数方程组
线性代数 方程组的 求解方法
非线性代数方程组 线化
温度场
假定温度场
中国科学院研究生院2010年春季
非线性代数方程组的求解步骤
1、在所有各个网格节点上，猜测或估计或假定一个T值 2、用这些估计的T值去计算差分方程中的所有系数，从而差 分方程中的所有系数变成了已知量，而使差分方程变成了线性 方程。 3、求解上边的线性方程组，得到各离散点新T值。 4、用新得到的T值去计算差分方程中的所有系数，并返回第 3步求解系数发生了变化的线性差分方程。重复3、4这个过程， 直到重复计算不在引起T值任何有意义的变化为止。
一维对流扩散方程的数值解法
一维对流扩散方程的数值解法对流-扩散方程是守恒定律控制方程的一种模型方程，它既是能量方程的表示形式，同时也可以认为是把压力梯度项隐含到了源项中去的动量方程的代表。
因此，以对流-扩散方程为例，来研究数值求解偏微分方程的相容性、收敛性和稳定性具有代表性的意义。
1 数学模型本作业从最简单的模型方程，即一维、稳态、无源项的对流扩散方程出发，方程如下： 22, 02f f fU D x t x x∂∂∂+=≤≤∂∂∂ (1)初始条件 (),0sin(2)f x t A kx π==(2)解析解()()()224,sin 2Dk tf x t eA k x Ut ππ-=-(3)式中，1,0.05,0.5,1U D A k ====函数(3)描述的是一个衰减波的图像，如图1所示t=0 t=0.5 t=1图1 函数()()()224,sin 2Dk tf x t ek x Ut ππ-=- 的图像（U=1，D=0.05，k=1）2 数值解法2.1 数值误差分析在网格点(),i n 上差分方程的数值解ni f 偏离该点上相应的偏微分方程的精确解(),f i n 的值，称为网格节点上的数值误差。
当取定网格节点数21N =时，观察差分方程的解与微分方程的解在不同时间步长下的趋近程度，其中时间步长分别取值0.05,0.025,0.0125,0.0005t ∆=。
（a ）21,0.05N t =∆= （b ）21,0.025N t =∆=（c ）21,0.0125N t =∆= （d ）201,0.0005N t =∆=图2 数值误差随步长的变化情况从图2的(a)~(d)可以定性的看出，数值误差与步长的大小有关。
在满足稳定性条件的前提下，数值误差随着时间步长的减小而减小，同时，图（d ）表示增大网格的分辨率也有助于减小网格误差。
为了对数值误差有一个定量的认识，接下来取定时间步长为0.0005t ∆=，分别算出11,21,41,61,81,101,121,161N =时，指标E =1所示。
一维扩散偏微分方程
一维扩散偏微分方程一维扩散偏微分方程（PDE）是一类常见的微分方程，它表达了某种物理现象的变化。
举个例子，它可以用来描述热的传导、浓度的变化、电场的强度以及气体的压力等等。
PDES 的形式可以用更抽象的方法表达，可以为应用程序设计者提供更多的自由度。
一维扩散偏微分方程的形式可以用通用的微积分方式来描述，其基本形式可以表述为：u_t=k(u_xx)，其中u表示变量，t表示时间，x表示空间，k表示扩散系数。
该方程描述了当变量因扩散作用而随时间发生变化时，随着空间单位变化量的变化率，变量会发生变化。
一维扩散偏微分方程有几个典型的形式，具体可以分为以下几类：一、静态扩散型方程：这种方程的形式为：u_t=k(u_xx)，其中u表示变量，t表示时间，x表示空间，k表示扩散系数。
它描述了由于变量的扩散作用而发生变化的系统，而不考虑任何外部影响因素。
二、动态扩散型方程：它的形式为：u_t=k(u_xx)+f(u,x,t)，其中f(u,x,t)表示变量受外部影响因素的作用，由外部影响决定变量的波动。
三、热扩散型方程：这种方程的形式为：u_t=a(u_xx)+b(u_xxxx)，其中a和b分别表示传热系数和热容系数。
当变量受到外部热源的影响时，可以使用这种方程来描述。
四、声学扩散型方程：它的形式为：u_t=c(u_xx)+v(u_xxxx)，其中c和v分别表示声学场的传播速度和声学场的波动速度。
它通常用来描述声音在空间上的传播。
五、湍流扩散型方程：它的形式为：u_t=p(u_xxx)+q(u_xxxx)，其中p和q分别表示湍流的传播速度和湍流的波动速度。
它通常用来描述边界层的湍流场的变化。
一维扩散偏微分方程在物理上反映了某些物理现象的变化，是一类经典的微分方程，广泛应用于物理，工程和数学领域，如工程热力学、传热学、流体动力学等。
值得一提的是，一维扩散偏微分方程也可以用一般的微分方法来求解，求解过程相对简单，求解结果可靠，值得我们学习和应用。
哈尔滨工业大学计算传热学第四章扩散方程的数值解法及其应用资料重点
1
y
xw
TP
aETE
aNTN
aSTS
1
y
xw
Tf
Scxy
kB
kB
所以对第三类边界条件不仅有附加常数源项，而且还有 附加源项的斜率项
aPTP aETE aNTN aSTS (Sc•ad Sc )xy
aP aE 0 aN aS (Sp•ad Sp )xy
Sp•ad
y xy
a)算术平均线性分布
ke
kp
xe+ xe
kE
xe xe
e
••
•
W
Pxe xe E
xe
b)调和平均
qe
TE TP
xe
ke
TE Te
xe
kE
Te Tp
xe
kp
TE
xe
kE
TP
xe
kP
ke
kP kExe xek p xekE
当 xe xe
kP kE
算术平均
ke
kP
kE 2
kP 2
第四章 扩散方程的数值解法及其应用
§4.1 一维稳态导热
1 • d [kF(x) dT ] S 0
F (x) dx
dx
F(x)：与坐标系和截面形状有关的计算因子
S：内热源。
w
e
△x
e d
dT
[kF (x) ]dx
w dx
dx
e
F (x) • Sdx 0
w
•
W
xw
•
P
xe
•
E
keFe
W PE
ap
Fe k e
xe
扩散方程的数值解法
扩散方程的应用例子
• 多孔介质渗流
• 二维无旋流
• 充分发展的管流 • 电磁场理论
4.1 一维导热
• • • • • • 1. 一维导热问题的通用控制方程 2. 控制容积积分法离散 3. 控制容积界面当量导热系数的确定方法 4. 源项的线化处理 5. 边界条件的引入 6. 线化代数方程组的三对角阵解法
源项
0 0 a (1 f ) a (1 f ) a (1 f ) S A ( x ) T E W P P P P SC AP ( x ) P P
• 显式
aPTP a T a T b
0 E E 0 W W
• 全隐式
aPTP aETE aW TW b
• C-N格式
aE aW aPTP TE TW b 2 2
区别在于系数的表达式不同
稳态一维导热情况：没有时间积分
• 整理为：
aPTP aETE aW TW b
• 其中：
aP aE aW SP AP (x)P , b SC AP (x) P
源项
4.1.3 控制容积界面当量导热系数的 确定方法
木头
铜
(1) 加权平均法：
( x )e ( x )e e P E ( x )e ( x )e
(2) 调和平均法
TE TP 整体 qe ( x )e
e
TE TP qe ( x )e ( x ) e
w e t t
T dx
t
t t
t
e t t T T A( x ) x A( x ) x dt A( x ) Sdxdt e w w t
(参考资料)一维对流扩散方程的数值解法
一维对流扩散方程的数值解法对流-扩散方程是守恒定律控制方程的一种模型方程，它既是能量方程的表示形式，同时也可以认为是把压力梯度项隐含到了源项中去的动量方程的代表。
因此，以对流-扩散方程为例，来研究数值求解偏微分方程的相容性、收敛性和稳定性具有代表性的意义。
1 数学模型本作业从最简单的模型方程，即一维、稳态、无源项的对流扩散方程出发，方程如下： 22, 02f f fU D x t x x∂∂∂+=≤≤∂∂∂ (1)初始条件 (),0sin(2)f x t A kx π==(2)解析解()()()224,sin 2Dk tf x t eA k x Ut ππ-=-(3)式中，1,0.05,0.5,1U D A k ====函数(3)描述的是一个衰减波的图像，如图1所示t=0 t=0.5 t=1图1 函数()()()224,sin 2Dk tf x t ek x Ut ππ-=- 的图像（U=1，D=0.05，k=1）2 数值解法2.1 数值误差分析在网格点(),i n 上差分方程的数值解ni f 偏离该点上相应的偏微分方程的精确解(),f i n 的值，称为网格节点上的数值误差。
当取定网格节点数21N =时，观察差分方程的解与微分方程的解在不同时间步长下的趋近程度，其中时间步长分别取值0.05,0.025,0.0125,0.0005t ∆=。
（a ）21,0.05N t =∆= （b ）21,0.025N t =∆=（c ）21,0.0125N t =∆= （d ）201,0.0005N t =∆=图2 数值误差随步长的变化情况从图2的(a)~(d)可以定性的看出，数值误差与步长的大小有关。
在满足稳定性条件的前提下，数值误差随着时间步长的减小而减小，同时，图（d ）表示增大网格的分辨率也有助于减小网格误差。
为了对数值误差有一个定量的认识，接下来取定时间步长为0.0005t ∆=，分别算出11,21,41,61,81,101,121,161N =时，指标E =1所示。
扩散方程 (2)
扩散方程引言扩散方程是描述物质扩散现象的方程之一。
在自然界中，扩散是一种常见的物理现象，例如气体的自由扩散、液体中的溶质扩散以及热量的传导等都可以通过扩散方程来描述。
扩散方程在物理学、化学、工程学等领域都有广泛的应用。
扩散方程的基本概念扩散是指物质由高浓度区域朝向低浓度区域的自发运动。
在数学上，扩散过程可以用扩散方程来描述。
扩散方程是一个偏微分方程，一般形式可以写为：$$ \\frac{{\\partial u}}{{\\partial t}} = D \\cdot \ abla^2 u $$其中，u是描述扩散物质浓度的函数，u是时间，u是扩散系数，uuuu2表示拉普拉斯算子。
上述方程可以解释为：物质的浓度随时间的变化率等于扩散系数和浓度分布的二阶导数之积。
扩散方程的求解方法扩散方程是一个偏微分方程，通常需要采用数值方法来求解。
以下介绍几种常见的求解方法。
有限差分法有限差分法是求解偏微分方程的常用方法之一。
基本思想是将求解区域离散化为有限个点，并通过近似求解偏微分方程的导数。
具体步骤如下：1.将求解区域网格化，并给出相应初始条件和边界条件；2.将扩散方程转化为差分格式，例如中心差分格式；3.迭代计算网格中的节点的值，直到达到收敛条件。
有限差分法的优点是简单易行，适用于一维、二维以及三维空间的扩散问题。
但是其精度较低，对网格尺寸和时间步长的选择敏感。
有限元法有限元法是一种广泛应用于求解偏微分方程的数值方法。
其基本思想是将求解区域分割为有限个单元，并在每个单元内逼近解的形式，然后通过拼接所有单元的解来得到整体的解。
具体步骤如下：1.将求解区域分割为有限个单元，并给出相应初始条件和边界条件；2.在每个单元内选择适当的插值函数形式，建立单元内的近似解；3.将各个单元的近似解拼接起来，形成整体的解；4.通过求解线性方程组得到近似解的系数。
有限元法的优点是适用于复杂几何形状的求解区域，精度较高，并且对网格尺寸的选择相对灵活。
第4章 扩散方程的数值解法及其应用
，
x 为网格间距
( x)e 设 Lx ( x) 为节点间距比 w
要获得由物理意义的解，各影响系数 均需大于等于零。
结论：数学上的稳定未必导致物理上有意
义的解；推荐使用全隐格式。
22
4.2 多维非稳态导热的全隐格式
1、三种二维正交坐标系中的全隐离散方程
（1）直角坐标系
（a）二维非稳态导热方程：
（b）控制容积积分： 空间型线与一维问题相同；
时间型线为全隐格式；
界面上热流密度均匀。
4.3.1 非常数源项的线性化处理 4.3.2 补充边界节点代数方程的方法
4.3.3 附加源项法
4.3.4 两种处理方法的比较
30
4.3.1 非常数源项的线性化处理
1、线性化方法
源项是一个广义量，其代表不能包括在控制方程的非 稳态项、对流项与扩散项中的所有其它各项之和。 线性化表达式：对任意控制容积P其源项表示为：
0 0 aPTP aE fT (1 f ) T a fT (1 f ) T E W W W E 0 TP0 a P (1 f )aE (1 f )aW (1 f ) S P AP x
SC AP x
0.5 f 1
0 f 0.5
，初值问题格式绝对稳定；
，格式条件稳定：
at 1 2 x 2(1 2 f )
5、一维非稳态导热空间项时间取值的三种常见格式
（1）显式，
f 0
； ；
（2）全隐式，
f 1
（3）C-N格式， f
0.5 ；
0 TE0 2TP0 TW TP TP0 a t x 2 T 2TP TW TP TP0 a E t x 2
一维扩散方程差分格式的数值计算
一维扩散方程差分格式的数值计算∂u/∂t=D∂²u/∂x²其中，u(x,t)是在位置x和时间t的扩散现象的浓度，D是扩散系数。
为了对一维扩散方程进行数值计算，可以使用差分格式。
最常用的差分格式是向前差分和中心差分。
1.向前差分格式：使用向前差分格式将时间t和位置x分别离散化，差分步长分别为Δt和Δx。
将扩散方程中的偏导数用有限差分近似替代，可以得到近似方程：(u_i(t+Δt)-u_i(t))/Δt=D(u_i-1(t)-2u_i(t)+u_i+1(t))/Δx²其中，u_i(t)表示在位置x_i和时间t的解，u_i(t+Δt)和u_i(t)是上一时刻和当前时刻的浓度，u_i-1(t)和u_i+1(t)分别是x_i左右两侧位置的解。
这样，一维扩散方程就被转化为一个差分方程。
根据初始条件u(x,0)和边界条件u(0,t)和u(L,t)，L表示空间区域的长度，可以得到差分方程的初始条件。
使用向前差分格式可以得到一个显式迭代公式：u_i(t+Δt)=u_i(t)+DΔt(u_i-1(t)-2u_i(t)+u_i+1(t))/Δx²这个公式可以用来逐步推进时间t的步骤，从而获得扩散过程中的浓度分布。
2.中心差分格式：使用中心差分格式将时间t和位置x分别离散化，差分步长分别为Δt和Δx。
将扩散方程中的偏导数用有限差分近似替代，可以得到近似方程：(u_i(t+Δt)-u_i(t))/Δt=D(u_i-1(t)-2u_i(t)+u_i+1(t))/Δx²与向前差分格式不同的是，在右侧位置x_i+1处使用u_i+1(t)近似。
这个差分方程可以进一步简化为一个稳定的隐式迭代公式：u_i(t+Δt)=u_i(t)+DΔt(u_i-1(t+Δt)-2u_i(t+Δt)+u_i+1(t+Δt))/Δx²这个公式可以通过求解线性方程组来计算下一个时间步长的解。
以上是一维扩散方程差分格式的数值计算的基本原理和方法。
第4章 扩散方程数值解法
e
E N-1 N
第4章 扩散方程的数值解法及应用
8
aPTP aETE aW TW b
aE Ae ( x) / (d x e P (d x e E
从i=2到N-1，遍历所有控制容积，得线性代数方程组：
(
aW Aw ( x) / (d x w P (d x e W
aPP aEE aW W b
aE e Ae / (d x e , aW w Aw / (d x w
aP aW aE SP AP Dx , b Sc AP Dx
到此为止，只剩下界面物性λe，λw取值问题了。
2013-7-10 第4章 扩散方程的数值解法及应用 4
MODULE CASEDATA USE PARAM REAL H,D REAL*8 GAM(NI),SP(NI),SC(NI),AF(NI) END MODULE
SUBROUTINE GRID USE MESH ! ----------控制容积界面位置-----------DX=XL/(N-2.) ! 控制容积的宽度 XU(2)=0 ! The first CV面编号为2 DO I=3,N XU(I)=XU(I-1)+DX ENDDO !------- 节点坐标计算 -----------X(1)=XU(2) DO I=2,N-1 X(I)=0.5*(XU(I)+XU(I+1)) ENDDO X(N)=XU(N) END SUBROUTINE
2013-7-10
第4章 扩散方程的数值解法及应用
12
SUBROUTINE COEF USE COEFDATA; USE MESH; USE CASEDATA INTEGER P,E Real*8 gamw,afw,dltax_w,RE,AFE,DIFF,CV GAMW=GAM(1) Afw=AF(2) Dltax_W=X(2)-X(1) AW(2)=GAMW*Afw/Dltax_W ! 第1个内节点的西界面总传导系数 DO I=2,N-1 P=I ; E=P+1 Re=(XU(E)-X(P))/(GAM(P)+1.0e-30)+(X(E)-XU(E))/(GAM(E)+1.0e-30) ! 热阻 计算 DIFF=AF(E)/Re AE(P)=DIFF ; AW(E)=DIFF CV= 0.5* (XU(E)-XU(P)) * ( AF(P)+AF(E)) AP(P)=AE(P)+AW(P)-SP(P)*CV CON(P)=SC(P)*CV ENDDO END SUBROUTINE
matlab求解一维对流扩散方程
一维对流扩散方程是描述物质传输和扩散现象的重要数学模型，对于工程、地质、生物等领域具有重要的理论和应用价值。
在科学研究和工程实践中，人们经常需要利用计算机软件对一维对流扩散方程进行数值求解，以获得物质传输和扩散的详细信息。
MATLAB作为一种强大的科学计算软件，提供了丰富的数学工具和编程接口，可以方便地对一维对流扩散方程进行数值求解。
本文将介绍利用MATLAB对一维对流扩散方程进行数值求解的基本方法和步骤。
一、一维对流扩散方程的数学模型一维对流扩散方程是描述物质在一维空间中传输和扩散的数学模型，通常可以写成如下的形式：∂c/∂t + u∂c/∂x = D∂^2c/∂x^2其中，c是物质浓度，t是时间，x是空间坐标，u是对流速度，D是扩散系数。
该方程的求解可以得到物质浓度随时间和空间的变化规律，对于理解物质传输和扩散过程具有重要意义。
二、MATLAB求解一维对流扩散方程的基本步骤在MATLAB中，可以利用偏微分方程求解工具箱（Partial Differential Equation Toolbox）来对一维对流扩散方程进行数值求解。
求解的基本步骤如下：1. 网格的生成首先需要在空间上生成一个网格，将一维空间离散化为有限个网格点。
可以利用MATLAB中的linspace函数或者自定义函数来实现网格的生成。
2. 边界条件和初始条件的设定根据具体问题的边界条件和初始条件，需要在MATLAB中对边界条件和初始条件进行设定。
3. 偏微分方程的建立利用MATLAB中的偏微分方程建立工具箱，可以方便地将一维对流扩散方程建立为MATLAB中的偏微分方程对象。
4. 方程的数值求解利用MATLAB中的求解器对建立的偏微分方程进行数值求解，可以获得一维对流扩散方程的数值解。
5. 结果的可视化可以利用MATLAB中丰富的绘图函数，对求解得到的数值解进行可视化，以便对物质传输和扩散过程进行直观的理解。
三、MATLAB求解一维对流扩散方程的举例为了进一步说明MATLAB求解一维对流扩散方程的方法，下面举一个简单的例子进行说明。
一维热传导方程求数值解
⼀维热传导⽅程求数值解⼀维热传到⽅程求数值解本⽂主要利⽤泰勒展开将⽅程中的⼀阶还有⼆阶偏导数进⾏离散化，推导出⼀种可以⽤程序求解的形式求解原理⼀维热传导⽅程\begin{align} \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x} \left ( x,t \right ) &=a^{2} \frac{\partial^{2}u}{\partial x^2}u(x,t)+f(x,t)\\ u(x,0)&=\varphi({x})\\u(a,t)&=\gamma_{1}(t)\\ u(b,t)&=\gamma_2(t) \end{cases} \end{align}由于热传导⽅程较为复杂，只能将⽅程中的⼀阶和⼆阶偏导进⾏离散化。
和欧拉法采⽤相同的思路，下⾯进⾏推导：将x与t分别在横坐标与纵坐标上进⾏划分x步长: \Delta{x}= \frac{b-a}{N}，得到关于x_j与t_n的表达式：\begin{aligned} x_j &= a + (j-1)\Delta{x} \\ t_n &= 0 + (n-1)\Delta{t} \\ \end{aligned}将函数进⾏近似替换u_j^n\approx u(x_j,t_n)根据泰勒展开将公式进⾏代换对于任意⼀个x_j对t进⾏展开：u(x_j,t_n+\Delta{t})=u(x_j,t_n)+\frac{\partial u}{\partial t} (x_j,t_n)\Delta{t}+···由于很难求出函数的偏导，所以需要将其所有偏导形式转换成容易求解出来的离散形式⾸先⽤⼀维热传导⽅程进⾏替换\frac{\partial u}{\partial t} (x_j,t_n) = a^2 \frac{\partial^{2}u}{\partial x^2}(x_j,t_n)+f(x_j,t_n)利⽤上式联⽴下⾯两个式⼦\begin{aligned} u(x_j+\Delta{x},t_n) &= u(x_j,t_n)+\frac{\partial u}{\partial x} (x_j,t_n)\Delta{x}+1/2\frac{\partial^{2}u}{\partial x^2}(x_j,t_n)\Delta{x}^2+···\\u(x_j-\Delta{x},t_n) &= u(x_j,t_n)-\frac{\partial u}{\partial x} (x_j,t_n)\Delta{x}+1/2\frac{\partial^{2}u}{\partial x^2}(x_j,t_n)\Delta{x}^2-··· \\ \frac{\partial^{2}u} {\partial x^2}(x_j,t_n) &\approx \frac{u_{j+1}^n+u_{j-1}^n-2u_j^n}{\Delta{x}^2} \end{aligned}最后得到递推关系式u_j^{n+1}=u_j^n+[a^2\frac{u_{j+1}^n+u_{j-1}^n-2u_j^n}{\Delta{x}^2}+f_j^n]\Delta{t}化成易于⽤程序求解的形式在时间维度上进⾏递推⾸先设置两个时间向量，将所有的位置包括其中u^n= \begin{pmatrix}u_1^n \\\vdots \\\vdots \\u_{N+1}^n \end{pmatrix}\qquad u^{n+1}= \begin{pmatrix}u_1^{n+1} \\\vdots \\\vdots \\u_{N+1}^{n+1}\end{pmatrix}建⽴系数矩阵\begin{pmatrix} \phi \\ 第⼀取值 \\ \vdots \\ 第N取值 \\ \phi \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-2\quad1\quad0\quad0\quad··· \\1\quad-2\quad1\quad0\quad···\\\vdots \\···\quad0\quad1\quad-2\quad1 \\···\quad0\quad0\quad1\quad-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_1^n \\u_2^n \\\vdots \\\vdots \\u_{N+1}^n\end{pmatrix}为何矩阵要这么建⽴，系数矩阵A的第⼆⾏为例，与右边的列向量相乘得到结果u_1^n - 2u_2^n + u_3^n将结果表⽰成以下列向量。
第4章扩散方程的数值解法及其应用
T T T c S t x x y y
非稳态项：
s
n
e
t t
w t
T c dxdydt c P TP TP0 xy t
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传热与流体流动的数值计算
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传热与流体流动的数值计算
二、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式
三种坐标系的区别： x-y x-r -r 东西坐标 x x 南北坐标 y r r 通用离散形式：
引入尺度系数SX 引入名义半径R
aPTP aETE aW TW aNTN aSTS b
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传热与流体流动的数值计算
一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续） 扩散项：
t
t t
n
s
t t n e T T dxdydt dxdydt t s w w x y y x e
TE TP TN TP TP TW TP TS e w s yt n xt x w y s x e y n
c P AP x T
t t P
T
t P
t t
t t t
TE TP TP TW w Aw e Ae dt x e x w AP SC SPTP xdt
t
采用全隐格式离散：
cP
TP a a
nb nb
4、SP绝对值的大小影响到迭代过程中温度的变化速度。
T b
nb
S P V
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一维时间分数阶扩散方程的数值解法
一维时间分数阶扩散方程的数值解法一维时间分数阶扩散方程是一种常见的微分方程，常用于描述扩散过程的动态变化。
一维时间分数阶扩散方程的数值解法可以使用不同的数值求解方法来解决。
一种常见的一维时间分数阶扩散方程数值解法是使用时间分步法（Time Step Method）。
时间分步法是通过将时间划分为若干个等间隔的时间步，然后利用前一个时间步的解来计算下一个时间步的解的方法。
时间分步法的基本流程如下：
1.选择合适的时间步间隔Δt。
2.对于第i个时间步，计算出对应的解x[i]。
3.根据所使用的时间分步法，利用前一个时间步的解
x[i-1]来计算当前时间步的解x[i]。
4.重复步骤2和3，直到求出结果。
li原子的一维扩散长度
li原子的一维扩散长度原子的一维扩散是指原子在一维空间中的自由移动。
在固态材料中，原子之间存在相互作用力，这些力会影响原子的运动和位置。
原子的一维扩散长度是衡量原子在一维空间中扩散能力的一个重要参数。
本文将从原子扩散的基本概念、原子扩散的机制、原子扩散长度的计算方法等方面，详细介绍原子的一维扩散长度。
首先，我们来了解一下原子的扩散。
原子扩散是指原子从一个位置移动到另一个位置的过程。
在固态材料中，原子之间存在相互作用力，如吸引力和斥力等。
这些相互作用力决定了原子之间的距离和位置。
当外界条件改变时，如温度的变化或应力的作用，会使原子具有一定的能量，从而克服相互作用力，发生扩散。
原子扩散的机制主要包括空位扩散、间隙扩散和跃迁扩散。
空位扩散是指空位在晶格中的扩散，即原子从一个晶格位置跳到邻近空位的过程。
间隙扩散是指原子从一个晶格位置跳到另一个晶格位置的过程，该过程中间隙原子作为中间体进行跳跃。
跃迁扩散是指原子在固态材料中通过晶格缺陷（如位错和孔洞等）进行跃迁的过程。
原子的一维扩散长度是指原子在一维空间中扩散的平均距离。
通常情况下，原子扩散的距离可用扩散系数D和时间t的乘积来表示，即L=(2Dt)^(1/2)。
其中，L为一维扩散长度，D为扩散系数，t为时间。
扩散系数是一个与材料性质相关的参数，它决定了原子在单位时间内扩散的距离，与温度、材料结构和缺陷等因素有关。
计算原子的一维扩散长度需要知道扩散系数。
扩散系数的计算可以通过实验或数值模拟方法得到。
实验方法包括扩散试样的制备和测量等。
数值模拟方法则是通过计算机模拟原子的扩散行为，根据扩散机制和材料性质，得到扩散系数。
除了计算一维扩散长度，还可以通过一维扩散模型来预测材料的扩散行为。
一维扩散模型是一种简化的模型，假设材料在某一方向上的扩散完全独立于其他方向。
根据扩散方程和边界条件，可以得到一维扩散的解析解或数值解。
通过一维扩散模型，可以研究不同材料、温度和时间等因素对原子扩散行为的影响，进而优化材料的性能。
一类分数阶延迟扩散微分方程的数值解法
一类分数阶延迟扩散微分方程的数值解法刘明鼎【摘要】A numerical method is presented to solve one time fractional delay diffusion differential equation. The first-order time derivative is replaced by Caputo fractional derivative,and the paper gives a difference scheme which is proved the difference schemes are stable and convergence. Numerical example shows that the numerical method is a practical method.%给出求解一类时间分数阶延迟扩散微分方程的数值解法，方程中对时间的一阶导数利用分数阶α()0<α<1阶导数代替，构造了求解该微分方程的差分格式，并对收敛性和稳定性进行证明，数值算例检验该格式解决此类方程是有效的。
【期刊名称】《河南科学》【年(卷),期】2016(000)002【总页数】4页(P171-174)【关键词】时间分数阶;延迟扩散微分方程;无条件收敛;无条件稳定【作者】刘明鼎【作者单位】青岛理工大学琴岛学院，山东青岛 266106【正文语种】中文【中图分类】O241.82分数阶微分方程比较于传统整数阶微分方程应用领域更广泛，分数阶延迟微分方程能更好地描述自然现象的发生，例如地震分析粘弹性、岩石的流变性质等，因此引起了各个领域专家学者的广泛关注，已有一些研究此类方程解的性质等论文[1-7]，对数值求解的论文相对较少[8-10].本文给出了求解此类方程的差分格式，并进行了稳定性与收敛性的证明，通过算例验证差分格式是有效的.本文将考虑如下初边值时间分数阶延迟扩散微分方程的数值解法：0<α<1,a,b>0，函数h(x,t),κ(x,t),κ0(t),κ1(t)，已知且连续，L>0,T>0，分数阶导数为Caputo分数阶导数[7].离散节点记为(xm,tn),tn=nΔt,n=0,1,2,…,N,Δt=,xm=mh,m=0,1,2,…,M,h=,M,N,P是正整数.方程（1a）解析解u(xm,tn)，数值解unm.在(xm,tn+1)处对式（1a）离散得：这里有ωk=(k+1)1-α-k1-α.记r1=>0,r2=b(Δt)αΓ(2-α)>0，对式（2）分解整理得：.对式（1b）离散得：定理1差分格式（3）、（4）是无条件稳定的.证明记差分格式（3）、（4）近似解为，误差为ωk>ωk+1>…>0 .由差分格式（3）、（4）得误差方程：，记ωk=(k+1)1-α-k1-α有：1=ω0>ω1>…>记n=0,1,2,…N则当n=1时，由式（5）得：由式（6）得：假设n≤k时，有成立.当n=k+1时，由式（7）得：由式（9）以及ω0=1，化简（10）式得：这里maxk=，定理1得证.记误差enm=u(xm,tn)-unm.由式（5）得：由式（3）、（4）和局部截断误差得：是局部截断误差，根据泰勒公式、积分中值定理得[11]：存在常数C>0，使得[11]：定理2差分格式（3）、（4）无条件收敛.证明令,k=0,1,2,…N .当n=1时，由式（11）得：其中:C=(Δt)αΓ(2-α)C(Δt+h2) .假设n≤k时，有C(1+4r1+r2)k，则n=k+1时，根据式（12）得k的最大值为，因此定理2成立.考虑下面问题：精确解为u(x,t)=tex，延迟量t=1，取时间步长为0.01，0.001，空间步长为0.1，数值计算结果如表1所示.因此该数值解法是有效的.本文给出求解一类时间分数阶延迟扩散微分方程的数值差分格式，证明了该格式是无条件稳定和收敛的，通过数值算例验证数值解精度较高，是一个实用的方法.【相关文献】［1］Liu Yang.Application of Avery-Peterson fixed point theorem to nonlinear boundary value problem of fractional differential equation with the Caputo’s derivative［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2012，17（12）：4576-4584.［2］Wang Weibing，Yang Xuxin，Shen Jianhua.Boundary value problems involving upper and lower solutions in reverse order［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2008，230（1）：1-7.［3］Rahmat Ali Khan，Webb J R L.Existence of at least three solutions of a second-order three-point boundary value problem［J］.Nonlinear Analysis，2005，64（6）：1356-1366.［4］Podlubny I.Frcational differential equations［M］.San Diego：Academic Press，1999. ［5］李凡凡，刘锡平，智二涛.分数阶时滞微分方程积分边值问题解的存在性［J］.山东大学学报：理学版，2013，48（12）：24-29.［6］杨水平，肖爱国.数阶延迟微分方程的样条配置方法［J］.数学的实践与认识，2014，44（6）：257-274.［7］陈兆卿.迟分数阶微分方程的数值方法研究［D］.哈尔滨：哈尔滨工业大学，2014.［8］杨水平.分数阶比例延迟微分方程的三次样条配置方法［J］.应用数学学报，2014，27（3）：673-678.［9］潘新元.两类分数阶延迟微分方程及其数值方法的渐近稳定性［D］.长沙：湘潭大学，2009. ［10］马亮亮.时间分数阶扩散方程的数值解法［J］.数学的实践与认识，2013，43（10）：248-253.［11］金承日，潘有思.时间分数阶色散方程的有限差分法［J］.黑龙江大学自然科学学报，2011，28（3）：291-294.。
湿气扩散方程
湿气扩散方程湿气扩散方程是描述湿气在空气中传播和扩散的数学模型。
它是一个重要的气象学方程，用于预测大气中湿气的分布和变化趋势。
湿气扩散方程的推导和应用在气象学、环境科学、气候变化研究等领域具有重要意义。
湿气扩散方程的基本形式是一维扩散方程，它描述了湿气在空气中的传播过程。
一维扩散方程可以表示为：∂C/∂t = D ∂²C/∂x²其中，C是湿气的浓度，t是时间，x是空间坐标，D是扩散系数。
湿气扩散方程可以解释为湿气浓度随时间和空间的变化率等于湿气在空气中的传播速度。
湿气扩散方程的解决方法有多种，其中最常用的是有限差分法和有限元法。
有限差分法是将时间和空间分割成离散的小区间，通过近似计算来得到湿气浓度的数值解。
有限元法则是将时间和空间分割成小的单元，通过插值和积分计算来求解湿气浓度的数值解。
湿气扩散方程的应用非常广泛。
在气象学中，湿气扩散方程可以用来预测大气中湿气的传播和扩散过程，从而帮助预测天气变化和气候变化。
在环境科学中，湿气扩散方程可以用来研究湿气在大气和土壤中的传播和转化过程，从而帮助评估环境污染和生态变化。
在气候变化研究中，湿气扩散方程可以用来模拟湿气在大气中的传播和分布，从而揭示气候系统中的湿气循环和能量交换过程。
湿气扩散方程的应用还面临一些挑战和限制。
首先，湿气扩散过程是一个复杂的非线性过程，受到多种因素的影响，如风速、温度、地形等。
其次，湿气扩散方程的参数估计和边界条件的选择也具有一定的不确定性。
因此，在实际应用中，需要结合观测数据和数值模拟来对湿气扩散进行分析和预测。
湿气扩散方程是描述湿气在空气中传播和扩散的数学模型。
它在气象学、环境科学和气候变化研究中具有重要意义，可以用来预测大气中湿气的分布和变化趋势。
湿气扩散方程的应用面临一些挑战和限制，需要结合观测数据和数值模拟来进行分析和预测。
通过不断改进和发展，湿气扩散方程将为我们提供更准确和可靠的湿气预测和环境评估。