高一数学指数函数3

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高一数学指数函数ppt课件

与对数式的转换、对数运算的性质等。
拓展延伸：挑战更高难度题目
复杂指数函数的性质研究
引入更复杂的指数函数形式，如复合指数函数、分段指数函数等，探讨它们的性质和应用。
指数函数在实际问题中的应用
结合实际问题，如复利计算、人口增长等，展示指数函数的应用价值，并引导学生运用所学知识解决实际问题。
指数函数与其他数学知识的综合应用
指数函数图像特征
当a>1时，图像在x轴上方，且随着x 的增大，y值迅速增大；当0<a<1时，图像在x轴上方，但随着
当a>1时，指数函数在R上是增函数；当0<a<1时，指数函数在R 上是减函数。
指数函数的值域
指数函数的值域为(0, +∞)。
在解题时，要注意判断题目所给条件是否满足对称性，以便更好
地应用这一性质。
05 复杂问题解决方法与策略
分段讨论法在处理复杂问题时应用
分段讨论法概念
将复杂问题按照一定条件分成若干段，每一段内问题相对简单，
易于解决。
分段讨论法应用
在处理指数函数问题时，当自变量在不同区间内取值时，函数性质可能发生变化，此时可以采用分段讨论法。
数形结合思想概念
将数学中的“数”与“形”结合起来，通过图形直观展示数量关系，帮助理解问题本质。
数形结合思想应用
在处理指数函数问题时，可以通过绘制函数图像来观察函数性质，如单调性、周期性等。
数形结合思想优势
通过数形结合可以更加直观地理解问题，提高解题准确性。
06 总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
幂的乘方规则
$(a^m)^n = a^{m times n}$，幂的乘方，底数不变，指数相乘。

高一数学人必修件指数函数的图象和性质

生物繁殖
在生物学领域，指数函数用于描述生物种群的繁殖速度。某些生物种群的增长符合指数函数的规律，如细菌繁殖、昆虫数量增长等。
其他领域应用案例
放射性衰变
在物理学中，指数函数用于描述放射性物质的衰变过程。放射性元素的原子数量随时间呈指数减少。
化学反应速率
化学领域中，指数函数可用于描述某些化学反应的速率。反应速率与反应物浓度的关系可以用指数函数表示。
同底数幂相乘
幂的乘方
底数不变，指数相加。即$a^m times a^n = a^{m+n}$。
底数不变，指数相乘。即$(a^m)^n = a^{m times n}$。
同底数幂相除
底数不变，指数相减。即$a^m div a^n = a^{m-n}$。
幂的乘方法则
1 2
正整数指数幂的乘法
$(a^m)^n = a^{m times n}$，其中$m, n$为正整数。
指数函数图像与坐标轴交点
指数函数的图像与x轴没有交点，与y轴的交点是(0,1)。
指数函数性质总结
指数函数的单调性
当a>1时，指数函数在定义域内单调递增；当0<a<1时，指数函数在定义域内单调递减。
指数函数的奇偶性
指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
指数函数的值域
指数函数的值域是(0, +∞)。
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数叫做指数函数。
指数函数表达式
y=a^x，其中a是自变量，x是指数，y是因变量。
指数函数图像特征
指数函数图像形状
指数函数的图像是一条从坐标原点出发，向右上方或右下方无限延伸的曲线。
指数函数图像位置
当a>1时，图像位于第一象限和第二象限；当0<a<1时，图像位于第一象限和第四象限。

北师大版高一数学必修一指数函数的概念说课稿

指数函数的概念尊敬的各位考官大家好，我是今天的08号考生，今天我说课的题目是指数函数的概念。

接下来我将从教材分析、学情分析、教学过程（手势）等几个方面展开我的说课。

一、说教材《指数函数的概念》选自北师大版必修一第3章第三节，是在学生接触到的第一个基本初等函数。

它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步学习对数函数、幂函数打下坚实的基础。

二、说学情深入了解学生是新课标要求下教师的必修课，学生在初中阶段已经掌握了用描点法画函数图象,并且通过前一阶段的学习,已经基本掌握了函数的基本性质，学习了指数和指数幂的运算，初步了解了数形结合的思想。

三、说教学目标依据学生的知识水平和年龄特点，以及本节课在教材中所处的地位及作用，我制定了以下教学目标：1、理解指数函数的定义，掌握指数函数的图象、性质及其简单应用。

2、体会数形结合和分类讨论思想，体验从特殊到一般的学习方法。

3、提升学生数学抽象素养和数学运算素养。

四、说教学重难点要上好一节数学课，在教学内容上一定要做到突出重点、突破难点。

根据本节课的内容，确定教学重点为指数函数的图像、性质及其运用。

教学难点为指数函数的图象和性质与底数a的关系。

五、说教法和学法结合本节课的内容和学生的认知规律，我主要采用讲授法、启发法、小组合作、自主探究等教学方法。

在学法上,我主要采用观察法、合作交流法、归纳总结法等教学方法。

六、说教学过程古语说“凡事预则立，不预则废”，为了更好的以学定教，我会让学生在课前完成一份前置作业（预习单），分为两部分：1.是旧知连接，出一些本课知识紧密相关的已经学过的练习题，这样可以很好的摸清学生基础。

2.是新知速递，是让学生自己先进行预习，完成一些与本课知识相关的基础的练习，从而培养学生的预习能力。

为了实现这节课的教学目标，突出重点，突破难点，整节课的教学分几个部分进行环节一：创设情境，引入新课以游戏导入，学生分组，通过动手折纸，观察对折的次数与所得的层数之间的关系，得出对折次数x与所得层数y的关系式。

高中数学北师大版高一必修1教案 3.3指数函数的图像和性质

3．3 指数函数的图像和性质第1课时指数函数的图像与性质●三维目标1．知识与技能理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用． 2．过程与方法培养学生数形结合的意识，提高学生观察、分析、归纳的思维能力． 3．情感、态度与价值观通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问、善于探索的思维品质．●重点难点重点：指数函数的概念、图像和性质及其应用．难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用．教学时，要让学生体会其中隐含的函数关系，引导学生通过y ＝2x 和y ＝(12)x 两个函数，感受到这两个函数中的指数幂具有的共性：可以写为y ＝a x 的形式．在学习指数函数的性质时，建议尽可能地引导学生通过观察图像，自己归纳概括出指数函数的性质．为了使学生能够主动研究指数函数的图像和性质，教师可以充分利用信息技术提供互动环境，先引导学生随意地取a 的值，并在同一个平面直角坐标系内画出它们的图像，然后再通过底数a 的连续动态变化展示函数图像的分布情况，这样就会使学生比较容易地概括出指数函数的性质．●教学建议为充分贯彻新课程理念，使教学过程真正成为学生学习过程，让学生体验数学发现和创造的历程，本节课拟采用直观教学法、启发发现法、课堂讨论法等教学方法．以多媒体演示为载体，启发学生观察思考，分析讨论为主，教师适当引导点拨，让学生始终处在教学活动的中心．●教学流程从指数概念的扩充过程引出指数函数的概念，并完成例1及变式训练⇒通过描点法做出函数y＝2x和y＝(12)x的图像，观察两个函数图像的特征⇒通过例2及其变式训练，加深对指数函数的认识⇒通过多媒体课件展示当底数a取不同的值时函数图像，让学生直观感知底数对图像的影响⇒通过例3及其变式训练，让学生初步掌握函数的图像和性质⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第40页)课标解读1.理解指数函数的概念．2．通过具体指数函数的图像，体会指数函数图像与底数a的关系．(重点易混点)3．掌握指数函数的图像与性质及其简单应用．(难点) 【问题导思】已知函数y＝2x，y＝(13)x.1．上面两个关系式是函数式吗？【提示】是．2．这两个函数形式上有什么共同点？【提示】底数为常数，指数为自变量．函数y＝a x叫作指数函数，自变量x在指数位置上，底数a是一个大于0且不等1的常量．【问题导思】1．试作出函数y＝2x(x∈R)和y＝(12)x(x∈R)的图像【提示】2．两函数图像有无交点？【提示】有交点，其坐标为(0,1)．3．两函数图像与x轴有交点吗？【提示】没有交点，图像在x轴上方．4．两函数的定义域是什么，值域是什么？【提示】定义域是R，值域是(0，＋∞)．5．两函数的单调性如何？【提示】y＝2x是增函数，y＝(12)x是减函数．a>10<a<1 图象性质定义域：R值域：(0，＋∞)过点(0,1)，即x＝0时，y＝1x>0时，y>1；x<0时，0<y<1x>0时，0<y<1；x<0时，y>1是R上的增函数是R上的减函数(见学生用书第40页)指出下列函数哪些是指数函数．(1)y ＝4x ；(2)y ＝x 4；(3)y ＝－4x ；(4)y ＝(－4)x ；(5)y ＝πx ；(6)y ＝4x 2；(7)y ＝x x ；(8)y ＝(2a －1)x (a >12，且a ≠1)．【思路探究】紧扣指数函数的定义，能否转化为y ＝a x (a >0且a ≠1)的形式．【自主解答】 (1)(5)(8)为指数函数，(2)是幂函数；(3)是－1与指数函数y ＝4x 的乘积；(4)中底数－4<0，所以它不是指数函数，(6)中指数不是x ，(7)中底数x 不是常数．一般地，函数y ＝a x 叫作指数函数，其中a 是一个大于零且不等于1的常数，x 是自变量，正确完成例1需要准确理解指数函数的定义．严格对比指数函数的定义是解决好本题的关键．已知指数函数f (x )＝(a 2－8)a x 的图像过点(－1，13)．(1)求函数f (x )的解析式； (2)求f (－13)的值．【解】 (1)∵f (x )＝(a 2－8)a x 为指数函数， ∴a 2－8＝1.①又∵图像过点(－1，13)，∴f (－1)＝13.②联立①②得a ＝3， ∴f (x )＝3x .(2)f (－13)＝3－13＝133＝393.设f (x )＝3x ，g (x )＝(13)x .(1)在同一坐标系中作出f (x )，g (x )的图像；(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？【思路探究】建系→列表→描点→连线【自主解答】 (1)函数f (x )与g (x )的图像如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝(13)－1＝3；f (π)＝3π，g (－π)＝(13)－π＝3π；f (m )＝3m ，g (－m )＝(13)－m ＝3m .从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图像关于y 轴对称．1．指数函数的图像根据底数不同分为两类：(1)当0<a <1时，指数函数y ＝a x 是定义域R 上的减函数； (2)当a >1时，指数函数y ＝a x 是定义域R 上的增函数．2．不论底数取何值，指数函数的图像恒过点(0,1)．即要求指数型函数过定点，只需让指数位置等于0即可．(1)指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图像如图3－3－1所示，则( )图3－3－1A ．a <0，b <0B ．a <0，b >0C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,01.(2)因为指数函数y ＝15x 的底数15>1，所以函数y ＝15x 是R 上的增函数，排除A 、C ；又因为当x ＝0时，y ＝1，即图像过点(0,1)，故选B.【答案】 (1)C (2)B比较下列各题中两个值的大小： (1)1.72.5,1.73； (2)2.3－0.28,0.67－3.1.【思路探究】 (1)构造指数函数，利用其单调性比较大小；(2)利用中间量1比较大小．【自主解答】 (1)(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数是1.7，故构造函数y ＝1.7x ，则函数y ＝1.7x 在R 上是增函数．又2.5<3，所以1.72.5<1.73.(2)(中间量法)由指数函数的性质，知 2．3－0.28<2.30＝1,0.67－3.1>0.670＝1，所以2.3－0.28<0.67－3.1.比较指数式大小的方法1．单调性法：比较同底数幂的大小，可构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小．2．中间量法：比较不同底且不同指数幂的大小，常借助于中间值1进行比较．利用口诀“同大异小”，判断指数幂和1的大小．(1)下列不等关系中，正确的是( ) A ．(12)23<1<(12)13 B ．(12)13<(12)23<1C ．1<(12)13<(12)23D ．(12)23<(12)13<1(2)(2013·长沙高一检测)设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 3>y 2D ．y 1>y 2>y 3【解析】 (1)∵函数y ＝(12)x 在R 上是减函数，而0<13<23，∴(12)23<(12)13<(12)0，即(12)23<(12)13<1. (2)从形式上看，三个幂式的底数和指数各不相同，但根据指数的运算性质可得，y 1＝40.9＝(22)0.9＝21.8，y 2＝80.48＝(23)0.48＝21.44，y 3＝(12)－1.5＝(2－1)－1.5＝21.5.因为指数函数y ＝2x (x ∈R)是增函数，所以21.8>21.5>21.44，即y 1>y 3>y 2. 【答案】 (1)D (2)C第2课时指数函数的图像与性质的应用●三维目标1．知识与技能(1)掌握和指数函数有关的简单图像变换．(2)能根据指数函数的性质解决有关函数单调性、奇偶性的讨论问题． (3)注意指数函数的底数的讨论． 2．过程与方法(1)通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，使学生成为一个会与别人共同学习的人．(2)通过探索、比较复杂函数与简单初等函数的关系，培养学生利用化归思想解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过讨论比较复杂的函数的单调性、奇偶性，使学生感知知识之间的有机联系，感受数学的整体性，感受并体会数学中的化归思想的巨大作用及其在生活中对处理生活琐事的指导作用，激发学生的学习兴趣．(2)在教学过程中，通过学生的相互交流，增强学生数学交流能力，合作学习的能力，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质．●重点难点重点：讨论含有指数式的比较复杂的函数的单调性和奇偶性．难点：将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题．讨论含有指数式的比较复杂的函数的单调性和奇偶性是本课的教学重点．将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题以及在解决具体实际问题中目标函数模型的确立、目标函数的定义域的确立是本课的教学难点．●教学建议判断复合函数的单调性时常按照定义进行，并且首先要判断定义域是否关于原点对称．有时也可将所给函数转化为两个或多个基本初等函数的复合函数，进而通过讨论每个基本初等函数的单调性确定所求复合函数的单调性．判断复合函数的奇偶性时，往往要进行通分，这样可以得到比较对称的形式，同时在证明函数的单调性或求函数的值域时往往要进行常数分离．另外，结合图形往往使得解题更加的简单，特别是在分析题目时，图形有助于我们的思考，找到解题思路．解决具体实际问题时，为了更快、更准确地确定目标函数模型，可以先由特殊的情况开始，多列举几种情形，分析、观察、寻找其中的规律，确立目标函数模型，同时也应根据具体问题的实际意义确定函数的定义域．●教学流程复习指数函数的图像与性质和复合函数的相关知识⇒通过指数函数的图像，利用图像的变换得到和指数函数相关的函数图像⇒完成例1及其变式训练，掌握函数的三种常见变换⇒师生合作交流，得出和指数函数相关的复合函数的单调性问题⇒通过例2及其变式训练，使学生加深对复合函数单调性的认识⇒合作探究和指数函数相关的函数奇偶性问题，完成例3及其变式训练，深化对知识的理解⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第42页)课标解读1.理解并掌握指数函数的图像和性质．(重点)2．掌握函数图像的简单变换．(易混点)3．能运用指数函数的有关性质去研究指数型函数的性质．(难点)【问题导思】若已知函数f(x)＝2x的图像．1．如何得到f(x)＝2x－1的图像？【提示】向右平移1个单位．2．如何得到f(x)＝2x－2的图像？【提示】向下平移2个单位．3．如何得到f (x )＝(12)x 的图像？【提示】作f (x )＝2x 关于y 轴的对称图像． 4．如何得到f (x )＝－2x 的图像？【提示】将f (x )＝2x 的图像以x 轴为对称轴翻折到x 轴下方． 1．平移变换(1)左右平移：y ＝f (x )――→a >0，左移a 个单位a <0，右移|a |个单位y ＝f (x ＋a ) 特征：左加右减：(2)上下平移：y ＝f (x )――→k >0，上移k 个单位k <0，下移|k |个单位y ＝f (x )＋k 特征：上加下减． 2．对称变换(1)y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； (2)y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； (3)y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )． 3．翻折变换(1)y ＝f (x )――→y 轴左侧部分去掉，保留y 轴右侧部分，把y 轴右侧部分以y 轴为对称轴翻折到y 轴左侧 y ＝f (|x |)．(2)y ＝f (x )――→x 轴下侧部分去掉，保留x 轴上侧部分，把x 轴下侧部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上侧 y ＝|f (x )|.(见学生用书第43页)函数图像的作法利用函数f (x )＝(12)x 的图像，作出下列函数的图像：(1)f (x ＋1)；(2)－f (x )；(3)f (－x )．【思路探究】作出y ＝(12)x的图像→明确f (x )与f (x ＋1)，－f (x )，f (－x )图像间的关系――→平移变换对称变换分别得出图像【自主解答】作出f (x )＝(12)x 的图像，如图所示：(1)f (x ＋1)的图像：需将f (x )的图像向左平移1个单位得f (x ＋1)的图像，如图(1)． (2)－f (x )的图像：作f (x )的图像关于x 轴对称的图像得－f (x )的图像，如图(2)． (3)f (－x )的图像：作f (x )的图像关于y 轴对称的图像得f (－x )的图像，如图(3)．1．利用已知的函数图像作图，主要运用图像的平移、对称等变换，平移变换需分清楚向何方向移，要移多少个单位，如(1)；对称变换需分清对称轴是什么，如(2)(3)．2．利用变换作图，一般步骤是：选基函数→写出变换过程→画图像函数y ＝2|x |的图像是( )【解析】法一由于y ＝2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x x ≥0，12x x <0，所以A 正确．法二 y ＝2|x |――→偶函数对称变换――→保留y 轴右侧部分，并对y 轴右侧部分翻折到左边y ＝2|x |，知选A. 【答案】 A与指数函数有关的复合函数(1)y ＝3x 2－2x ＋7；(2)y ＝4x －2·2x ＋5.【思路探究】将复合函数写成y ＝f (u )，u ＝φ(x )的形式，然后利用复合函数的单调性求解．【自主解答】 (1)函数的定义域为R ，对u ＝x 2－2x ＋7＝(x －1)2＋6，当x ≥1时，u 为增函数，x ≤1时，u 为减函数，又3>1，∴函数y ＝3x 2－2x ＋7的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．(2)令2x ＝t ，则t 是x 的增函数，y ＝t 2－2t ＋5＝(t －1)2＋4，当t ≥1，即2x ≥1，即x ≥0时，y 是t 的增函数；当t ≤1，即2x ≤1，即x ≤0时，y 是t 的减函数；又函数的定义域为R ，∴函数y ＝4x －2·2x ＋5的单调增区间是[0，＋∞)，减区间是(－∞，0]．1．求函数的单调区间，首先求函数的定义域，对复合函数的单调性，应注意y ＝f (u )与u ＝g (x )单调性的一致性和相反性． 2．在复合函数中，一般情况下，如果两个函数都是增函数或都是减函数，则复合函数是增函数；如果两个函数一增一减，则复合函数为减函数，简称“同增异减”．(1)函数y ＝(12)x 2－3x ＋2的单调增区间是________． (2)y ＝(2－1)－x 2＋2x ＋3的单调增区间是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(1,3)D ．(－1,1)【解析】令u ＝x 2－3x ＋2＝(x －32)2－14，令y ＝(12)u 在定义域内是减函数，而求y ＝(12)x 2－3x ＋2的增区间，只需求u 的减区间，∴x ∈(－∞，32]． (2)函数y 的定义域为R ，u ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；x ≥1时，u 是减函数，又0<2－1<1，∴y 的增区间为(1，＋∞)．【答案】 (1)(－∞，32] (2)A指数函数的综合问题已知函数f (x )＝2x ＋2ax ＋b ，且f (1)＝52，f (2)＝174. (1)求a ，b 的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明；(3)判断并证明函数f (x )在[0，＋∞)上的单调性，并求f (x )的值域．【思路探究】 (1)将两个已知条件代入解析式即可求a ，b ；(2)求出函数的定义域，再依据奇偶性的判断方法求解；(3)依据单调性的证明步骤给出过程，再依据单调性求值域．【自主解答】 (1)∵⎩⎨⎧ f1＝52，f2＝174，∴根据题意得⎩⎨⎧ f 1＝2＋2a ＋b ＝52，f 2＝22＋22a ＋b ＝174，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0. 故a ，b 的值分别为－1,0.(2)由(1)知f (x )＝2x ＋2－x ，f (x )的定义域为R ，关于原点对称．因为f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)设任意x 1<x 2，且x 1，x 2∈[0，＋∞)，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1＋2－x 1)－(2x 2＋2－x 2)＝(2x 1－2x 2)＋(12x 1－12x 2)＝(2x 1－2x 2)·2x 1＋x 2－12x 1＋x 2. 因为x 1<x 2，且x 1，x 2∈[0，＋∞)，所以2x 1－2x 2<0,2x 1＋x 2>1，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在[0，＋∞)上为增函数．当x ＝0时，函数取得最小值，为f (0)＝1＋1＝2，所以f (x )的值域为[2，＋∞)．1．指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义． 2．指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．设a 为实数，f (x )＝a －22x＋1(x ∈R)． (1)证明f (x )在R 上为增函数；(2)试确定a 的值，使f (x )为奇函数．【解】 (1)证明：设x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(a －22x 1＋1)－(a －22x 2＋1) ＝22x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1. 由于指数函数y ＝2x 在R 上为增函数，且x 1<x 2，所以2x 1<2x 2，即2x 1－2x 2<0.又由2x >0，得2x 1＋1>0,2x 2＋1>0.所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．故f (x )在R 上为增函数．(2)若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即a －22－x＋1＝－(a －22x ＋1)．变形得2a ＝22－x ＋1＋22x ＋1＝2·2x2－x ＋1·2x ＋22x ＋1＝22x ＋12x ＋1＝2. 解得a ＝1.所以当a ＝1时，f (x )为奇函数.。

北师大版高中数学课件必修第1册第三章指数运算与指数函数

2.
3.1 指数函数的概念＋ 3.2 指数函数的图象和性质
刷基础
3．[江苏镇江 2021 高一期中]已知指数函数 f(x)的图象过点(－2，4)，则 f(6)＝( B )
3
1
4
A.
B.
C.
4
64
3
1 D.
12
解析
1
设
f(x)＝ax(a>0
且
a≠1)，∴f(－2)＝a－2＝4，解得
1 a＝，∴f(6)＝
3.1 指数函数的概念＋ 3.2 指数函数的图象和性质
刷基础
6．[宁夏大学附属中学 2021 高一期中]已知 f(x)＝ka－x(k，a 为常数，a>0 且 a≠1)的图象过点 A(0，1)，B(－ 3，8)． (1)求 f(x)的解析式；
f（x）－1
(2)若函数 g(x)＝
，试判断 g(x)的奇偶性并给出证明．
10
解析
103x－2y＝103x＝（10x）3＝33＝27，故选 C. 102y （10y）2 42 16
§2 指数幂的运算性质
刷能力
5．已知 ab＝－5，则 a
A．2 5 C．－2 5
解析
b －＋b
a
a －的值是( B )
b
B．0
D．±2 5
由题意知 ab<0，a 故选 B.
b －＋b
a
a －＝a
2
6＝
1
.故选
B.
2
64
3.1 指数函数的概念＋ 3.2 指数函数的图象和性质
刷基础
4．[福建福州第三中学 2021 高一期中]以下关于函数 f(x)＝2x 的说法正确的是( D ) A．f(mn)＝f(m)f(n) B．f(mn)＝f(m)＋f(n) C．f(m＋n)＝f(m)＋f(n) D．f(m)f(n)＝f(m＋n)

高一数学指数函数的概念、图象与性质(解析版)

专题32 指数函数的概念、图象与性质1．指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R. 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： (1)底数a 为大于0且不等于1的常数． (2)自变量x 的位置在指数上，且x 的系数是1. (3)a x 的系数是1.2．指数函数的图象和性质a 的范围a ＞10＜a ＜1图象性质定义域 R 值域(0，＋∞)过定点 (0,1)，即当x ＝0时，y ＝1单调性在R 上是增函数在R 上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性函数y ＝a x 与y ＝a －x 的图象关于y 轴对称(1)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y 轴．当a >b >1时，①若x >0，则a x >b x >1；②若x <0，则1>b x >a x >0. 当1>a >b >0时，①若x >0，则1>a x >b x >0；②若x <0，则b x >a x >1. (2)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在x 轴上方．(3)当a >1时，x →－∞，y →0；当0<a <1时，x →＋∞，y →0.(其中“x →＋∞”的意义是“x 趋近于正无穷大”)题型一指数函数的概念1．下列各函数中，是指数函数的是( )A ．y ＝(－3)xB ．y ＝－3xC ． y ＝3x －1 D ．y ＝⎝⎛⎭⎫13x [解析]由指数函数的定义知a >0且a ≠1，故选D. 2．下列函数一定是指数函数的是( )A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 3 C ．y ＝3·2xD ．y ＝3－x[解析]由指数函数的定义可知D 正确． 3．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝⎝⎛⎭⎫122x －1. A ．0个 B ．1个 C ．3个D ．4个[解析]由指数函数的定义可判定，只有②正确．[答案] B 4．下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3. 其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析]形如“y ＝a x (a >0，且a ≠1)”的函数为指数函数，只有③符合，选B. 5．下列函数中，是指数函数的个数是( )①y ＝(－8)x；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x ；④y ＝2·3x .A ．1B ．2C ．3D ．0[解析] (1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x ，而是x 的函数，所以不是指数函数； ③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数； ④中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D. 6．指出下列哪些是指数函数．(1)y ＝4x ；(2)y ＝x 4；(3)y ＝－4x ；(4)y ＝(－4)x ；(5)y ＝πx ；(6)y ＝4x 2；(7)y ＝x x ；(8)y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a ＞12，且a ≠1. [解析] (2)是四次函数；(3)是－1与4x 的乘积；(4)中底数－4＜0；(6)是二次函数；(7)中底数x 不是常数．它们都不符合指数函数的定义，故不是指数函数．综上可知，(1)(5)(8)是指数函数． 7．已知函数f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________．[解析]由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，解得a >12，且a ≠1，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)． 8．函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( )A ．a ＝1或a ＝3B ．a ＝1C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1[解析]由指数函数的概念可知，⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝1，a >0，a ≠1，得a ＝3.9．函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x (a >0，且a ≠1)是指数函数，则m ＝________. [解析]∵函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x 是指数函数，∴m 2－m ＋1＝1，解得m ＝0或1. 10．若函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数，则a 的值是( )A ．4B ．1或3C ．3D ．1[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ≠1，a 2－4a ＋4＝1，解得a ＝3，故选C.11．若函数f (x )＝(a 2－2a ＋2)(a ＋1)x 是指数函数，则a ＝________. [解析]由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2＝1，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝1.12．指数函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值是________． [解析]由题意知4＝a 2，所以a ＝2，因此f (x )＝2x ，故f (－3)＝2－3＝18.13．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________．[解析]由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x＋3，所以f (－2)＝⎝⎛⎭⎫12－2＋3＝4＋3＝7. 14．已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝⎛⎭⎫－32＝39，则f (－2)＝________. [解析]设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝⎛⎭⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2，所以f (－2)＝3－2＝19.15．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝9，则f (－2)＝________，f (1)＝________. [解析]设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，∵f (2)＝9，∴a 2＝9，a ＝3，即f (x )＝3x . ∴f (－2)＝3－2＝19，f (1)＝3.16．若点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，则a 的值为( )A. 6 B ．1 C ．2 2D ．0[解析]选A 点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，∴27＝(3)a ，即33＝3a 2，∴a2＝3，解得a ＝6，∴a ＝ 6.故选A.17．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12ax ，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则a ＝________，若g (x )＝4－x－2，且g (x )＝f (x )，则x ＝________.[解析]因为函数的图象过点(－1,2)，所以⎝⎛⎭⎫12－a＝2，所以a ＝1，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ， g (x )＝f (x )可变形为4－x －2－x －2＝0，解得2－x ＝2，所以x ＝－1. 18．已知f (x )＝2x ＋12x ，若f (a )＝5，则f (2a )＝________.[解析]因为f (x )＝2x ＋12x ，f (a )＝5，则f (a )＝2a ＋12a ＝5.所以f (2a )＝22a ＋122a ＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝⎝⎛⎭⎫2a ＋12a 2－2＝23. 19．若f (x )满足对任意的实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2020)f (2019)＝( )A ．1010B ．2020C ．2019D ．1009[解析]不妨设f (x )＝2x ，则f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2020)f (2019)＝2，所以原式＝1010×2＝2020.题型二指数函数的图象及其应用1．y ＝⎝⎛⎭⎫34x的图象可能是( )[解析]0<34<1且过点(0,1)，故选C.2．函数y ＝3－x 的图象是( )A B C D[解析]∵y ＝3－x＝⎝⎛⎭⎫13x，∴B 选项正确．3．函数y ＝2－|x |的大致图象是( )[解析]y ＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥0.2x ，x <0，画出图象，可知选C. 4．函数y ＝a －|x |(0<a <1)的图象是( )A B C D[解析]y ＝a－|x |＝⎝⎛⎭⎫1a |x|，易知函数为偶函数，∵0<a <1，∴1a>1，故当x >0时，函数为增函数，当x <0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A. 5．函数y ＝－2－x 的图象一定过第________象限．[解析]y ＝－2－x ＝－⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 关于x 轴对称，一定过第三、四象限． 6．函数f (x )＝a x－b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0[解析]从曲线的变化趋势，可以得到函数f (x )为减函数，从而有0<a <1；从曲线位置看，是由函数y ＝a x (0<a <1)的图象向左平移|－b |个单位长度得到，所以－b >0，即b <0. 7．已知0<m <n <1，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )[解析]由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.8．若a >1，－11，且－10，且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )A ．0<a <1，且b >0B ．a >1，且b >0C ．0<a <1，且b <0D ．a >1，且b <0[解析]函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象是由函数y ＝a x 的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a ∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y ＝a x (0<a <1)的图象向下平移至少大于1个单位长度，即b －1<－1⇒b <0.故选C.10．若函数y ＝a x ＋m －1(a ＞0)的图象经过第一、第三和第四象限，则( )A ．a ＞1B ．a ＞1，且m ＜0C ．0＜a ＜1，且m ＞0D ．0＜a ＜1[解析]选B,y ＝a x (a ＞0)的图象在第一、二象限内，欲使y ＝a x ＋m －1的图象经过第一、三、四象限，必须将y ＝a x 向下移动．当0＜a ＜1时，图象向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a ＞1时，图象向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a ＞1时，图象向下移动不超过一个单位时，图象经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图象恰好经过原点和第一、三象限，欲使图象经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m －1＜－1，所以m ＜0，故选B. 11．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )[解析]当a >1时，函数f (x )＝a x 单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a >1，此时两函数的图象大致为选项A. 12．二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x的图象可能是( )[解析]二次函数y ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2－b 24a ，其图象的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 2a ，－b 24a ，由指数函数的图象知0<ba<1，所以－12<－b 2a <0，再观察四个选项，只有A 中的抛物线的顶点的横坐标在－12和0之间．13．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是()[解析]由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知0<a<1，b<－1，所以函数g(x)＝a x＋b是减函数，排除选项C、D；又因为函数图象过点(0,1＋b)(1＋b<0)，故选A.14．如图是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c[解析](1)解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c.解法二：根据图象可以先分两类：③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．15．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．[解析]作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.16．函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]因为指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝a x－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝a x－3＋3的图象过定点(3,4)．17．函数y＝2a x＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]令x＋3＝0得x＝－3，此时y＝2a0＋2＝2＋2＝4.即函数y＝2a x＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点(－3,4)．18．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝a x＋1－1的图象一定过点()A．(0,1) B．(0，－1)C ．(－1,0)D ．(1,0)[解析] 当x ＝－1时，显然f (x )＝0，因此图象必过点(－1,0)．19．已知函数y ＝2a x －1＋1(a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则m ＋n ＝( )A ．1B ．3C ．4D ．2[解析]选C,由题意知，当x ＝1时，y ＝3，故A (1,3)，m ＋n ＝4. 20．函数y ＝a 2x ＋1＋1(a >0，且a ≠1)的图象过定点________． [解析]令2x ＋1＝0得x ＝－12，y ＝2，所以函数图象恒过点⎝⎛⎭⎫－12，2. 21．若函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，则( )A ．－1≤m ＜0B ．0≤m ≤1C ．0＜m ≤1D ．m ≥0[解析]易知y ＝2－|x |－m ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－m .若函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，则方程⎝⎛⎭⎫12|x |－m ＝0有解，即m ＝⎝⎛⎭⎫12|x |有解．∵0＜⎝⎛⎭⎫12|x |≤1，∴0＜m ≤1. 22．已知f (x )＝2x 的图象，指出下列函数的图象是由y ＝f (x )的图象通过怎样的变化得到：(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝2x －1；(3)y ＝2x ＋1；(4)y ＝2－x ；(5)y ＝2|x |. [解析] (1)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向左平移1个单位得到．(2)y ＝2x－1的图象是由y ＝2x 的图象向右平移1个单位得到．(3)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向上平移1个单位得到．(4)∵y ＝2－x 与y ＝2x 的图象关于y 轴对称，∴作y ＝2x 的图象关于y 轴的对称图形便可得到y ＝2－x的图象．(5)∵y ＝2|x |为偶函数，故其图象关于y 轴对称，故先作出当x ≥0时，y ＝2x 的图象，再作关于y 轴的对称图形，即可得到y ＝2|x |的图象．23．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的值； (2)若f (x )的图象如图②所示，求a ，b 的取值范围；(3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数根，求m 的取值范围．[解析] (1)f (x )的图象过点(2,0)，(0，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2，又因为a ＞0，且a ≠1，所以a ＝3，b ＝－3.(2)f (x )单调递减，所以0＜a ＜1，又f (0)＜0.即a 0＋b ＜0，所以b ＜－1. 故a 的取值范围为(0,1)，b 的取值范围为(－∞，－1)．(3)画出|f (x )|＝|(3)x －3|的图象如图所示，要使|f (x )|＝m 有且仅有一个实数根，则m ＝0或m ≥3.故m 的取值范围为[3，＋∞)∪{0}．题型三指数函数的定义域与值域1．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝1－3x ；(2)y ＝21x －4 ; (3)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x | ; (4)y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3；(5)y ＝4x ＋2x ＋1＋2. [解析] (1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0，故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]．因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1，所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x 的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则x －4≠0，解得x ≠4. 所以函数y ＝21x －4的定义域为{x |x ≠4}．因为1x －4≠0，所以21x －4 ≠1，即函数y ＝21x －4 的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(3)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0.所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的定义域为{x |x ＝0}．因为x ＝0，所以⎝⎛⎭⎫23－|x | ＝⎝⎛⎭⎫230＝1，即函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的值域为{y |y ＝1}． (4)定义域为R.∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16. 又∵⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3>0，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]． (5)因为对于任意的x ∈R ，函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义，所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R. 因为2x >0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2，即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)． 2．(1)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x -的定义域与值域；(2)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2，x ∈[0,2]的最大值和最小值及相应的x 的值． [解析] (1)由x －2≥0，得x ≥2，所以定义域为{x |x ≥2}．当x ≥2时，x －2≥0，又因为0＜13＜1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x －2的值域为{y |0＜y ≤1}．(2)∵y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2，∴y ＝4·⎝⎛⎭⎫14x －4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2.令m ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则⎝⎛⎭⎫14x ＝m 2. 由0≤x ≤2，知14≤m ≤1.∴f (m )＝4m 2－4m ＋2＝4⎝⎛⎭⎫m －122＋1. ∴当m ＝12，即当x ＝1时，f (m )有最小值1；当m ＝1，即x ＝0时，f (m )有最大值2.故函数的最大值是2，此时x ＝0，函数的最小值为1，此时x ＝1. 3．函数y ＝2x －1的定义域是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0]C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析]由2x －1≥0，得2x ≥20，∴x ≥0.[答案] C 4．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域是________．[解析]由1－⎝⎛⎭⎫12x≥0得⎝⎛⎭⎫12x ≤1＝⎝⎛⎭⎫120，∴x ≥0，∴函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域为[0，＋∞)．5．若函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则a 的取值范围为( )A ．a >0B ．a <1C ．0<a <1D ．a ≠1[解析]由a x －1≥0，得a x ≥a 0.∵函数的定义域为(－∞，0]，∴0<a <1.6．若函数f (x )＝a x －a 的定义域是[1，＋∞)，则a 的取值范围是( ) A ．[0,1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1)D ．(2，＋∞)[解析]∵a x －a ≥0，∴a x ≥a ，∴当a ＞1时，x ≥1.故函数定义域为[1，＋∞)时，a ＞1. 7．y ＝2x ，x ∈[1，＋∞)的值域是( )A ．[1，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析]y ＝2x 在R 上是增函数，且21＝2，故选B. 8．函数y ＝16－4x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)[解析]要使函数有意义，须满足16－4x ≥0.又因为4x ＞0，所以0≤16－4x ＜16，即函数y ＝16－4x 的值域为[0,4)．9．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ≥8)的值域是( )A ．R B.⎝⎛⎦⎤0，1256 C.⎝⎛⎦⎤－∞，1256 D.⎣⎡⎭⎫1256，＋∞[解析]因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在[8，＋∞)上单调递减，所以0<⎝⎛⎭⎫12x≤⎝⎛⎭⎫128＝1256. 10．函数y ＝1－2x ，x ∈[0,1]的值域是( )A ．[0,1]B ．[－1,0] C.⎣⎡⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎦⎤－12，0 [解析]∵0≤x ≤1，∴1≤2x ≤2，∴－1≤1－2x ≤0，选B.11．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________．[解析]∵y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上为减函数，∴m ＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3，n ＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9，故m ＋n ＝12. 12．函数y ＝⎝⎛⎭⎫1222x x －＋的值域是________． [解析]设t ＝－x 2＋2x ＝－(x 2－2x )＝－(x －1)2＋1≤1，∴t ≤1.∵⎝⎛⎭⎫12t ≥⎝⎛⎭⎫121＝12，∴函数值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 13．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1的值域是________．[解析]∵x 2－1≥－1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2，又y >0，∴函数值域为(0,2]．14．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，－2－x ，x >0，则函数f (x )的值域是________． [解析]由x <0，得0<2x <1；由x >0，∴－x <0,0<2－x <1，∴－1<－2－x <0，∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．15．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a >0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．[解析](1)∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，12，∴a 2－1＝12，则a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1，x ≥0.由x ≥0，得x －1≥－1，于是0<⎝⎛⎭⎫12x －1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2，所以函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0,2]．16．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a 0时，3x >3－x, f (x )＝3－x ，f (x )∈(0,1)；当x ＝0时，f (x )＝3x ＝3－x ＝1；当x <0时，3x <3－x ，f (x )＝3x ，f (x )∈(0,1)．综上， f (x )的值域是(0,1]．17．函数f (x )＝3x 3x ＋1的值域是________．[解析]数y ＝f (x )＝3x 3x ＋1，即有3x ＝－y y －1，由于3x ＞0，则－y y －1＞0，解得0＜y ＜1，值域为(0,1)． 18．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．[解析]当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 0－1＝2，a 2－1＝0无解．当a ＞1时，函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝0，a 2－1＝2，解得a ＝ 3. 综上，a 的值为 3.19．已知f (x )＝9x －2×3x ＋4，x ∈[－1,2]．(1)设t ＝3x ，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值；(2)求f (x )的最大值与最小值．[解析](1)设t ＝3x ，∵x ∈[－1,2]，函数t ＝3x 在[－1,2]上是增函数，故有13≤t ≤9，故t 的最大值为9，t 的最小值为13. (2)由f (x )＝9x －2×3x ＋4＝t 2－2t ＋4＝(t －1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t ＝1，且13≤t ≤9，故当t ＝1时，函数f (x )有最小值为3，当t ＝9时，函数f (x )有最大值为67.。

数学学案：指数函数()

学必求其心得，业必贵于专精数学人教B必修1第三章3。

1。

2 指数函数1．理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象．2．探索并理解指数函数的单调性与特殊点等性质．3．利用计算工具，比较指数函数增长的差异．1．指数函数的定义函数______________叫做指数函数，其中________是自变量．对指数函数定义的理解应注意以下两点：（1)定义域：因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在底数a＞0的前提下，x可以是任意实数．(2）规定底数a大于零且不等于1的理由是：如果a＝0,错误!如果a＜0,比如y＝(－4)x，这时对于x＝错误!，x＝错误!，…y＝（－4)x都无意义．如果a＝1，对于任何实数x,y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的价值和必要了．【做一做1】指数函数y＝（a－1）x中，实数a满足的条件是__________．2．指数函数的图象和性质定义域：______值域:______图象过定点______在______上是增函数在______上是减函数指数函数y＝a x（a＞1)在R上为单调增函数,在闭区间［s，t］上存在最大、最小值，当x＝s时，函数有最小值a s；当x＝t时，函数有最大值a t.指数函数y＝a x（0＜a＜1)在R上为单调减函数，在闭区间[s，t]上存在最大、最小值，当x＝s时,函数有最大值a s；当x＝t 时，函数有最小值a t。

【做一做2－1】函数y＝2－x的图象是( ）【做一做2－2】函数y＝a x－1＋2 011(a＞0且a≠1)中,无论a取何值恒经过一个定点，则这个定点的坐标为________．【做一做2－3】(1）已知3x≥9，求实数x的取值范围；（2)已知0。

2x＋1＜5，求实数x的取值范围．一、指数函数y＝a x（a＞0,且a≠1）的函数值的变化规律剖析:先从具体函数入手：列表：从上表中很容易发现：①当x＜0时，总有2x＞3x；②当x＞0时，总有2x＜3x；③当x从1增加到3，y＝2x的函数值从2增加到8,y＝3x的函数值从3增加到27,说明当x＞0时，函数y＝3x的函数值比y＝2x的函数值增长得要快．又对于指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)，当将底数a由2变为3，发现它们的图象发生了显著变化，在第一象限内，底数a越小,函数的图象越接近x轴．再类似地列表分析函数y＝错误!x和y＝错误!x的函数值的变化．由上面的探究过程可以得出底数a对函数值的影响：指数幂a x和1的比较:当x＜0，a＜1或x＞0，a＞1时，a x＞1，即指数x和0比较，底数a和1比较，当不等号的方向相同时，a x大于1,简称为“同大"．当x＜0，a＞1或x＞0，a＜1时，a x＜1，即指数x和0比较,底数a和1比较，当不等号的方向相反（异）时,a x小于1，简称为“异小”．因此简称为“同大异小”．二、指数函数的图象分布规律剖析：先从特例入手：在同一个坐标系中画出下列各函数的图象:①y＝2x;②y＝5x；③y＝错误!x；④y＝错误!x。

高一数学《指数函数》优秀教案(优秀5篇)-最新

高一数学《指数函数》优秀教案（优秀5篇）作为一名优秀的教育工作者，时常要开展教案准备工作，教案有助于顺利而有效地开展教学活动。

写教案需要注意哪些格式呢？它山之石可以攻玉，下面为您精心整理了5篇《高一数学《指数函数》优秀教案》，我们不妨阅读一下，看看是否能有一点抛砖引玉的作用。

高一数学《指数函数》优秀教案篇一一、教学目标：1、知识与技能(1)理解指数函数的概念和意义；(2)与的图象和性质；(3)理解和掌握指数函数的图象和性质；(4)指数函数底数a对图象的影响；(5)底数a对指数函数单调性的影响，并利用它熟练比较几个指数幂的大小(6)体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想。

2、情感、态度、价值观(1)让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。

(2)培养学生观察问题，分析问题的能力。

二、重、难点：重点：(1)指数函数的概念和性质及其应用。

(2)指数函数底数a对图象的影响。

(3)利用指数函数单调性熟练比较几个指数幂的大小。

难点：(1)利用函数单调性比较指数幂的大小。

(2)指数函数性质的归纳，概括及其应用。

三、教法与教具：①学法：观察法、讲授法及讨论法。

②教具：多媒体。

四、教学过程：第一课时讲授新课指数函数的定义一般地，函数(0且≠1)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R。

提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(1，且)小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为0，是任意一个实数时，是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R。

若0，如在实数范围内的函数值不存在。

若=1,是一个常量，没有研究的意义，只有满足的形式才能称为指数函数，不符合我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究。

先来研究的情况。

下面我们通过用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数的图象。

再研究，01的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数的图象。

高一数学：指数函数及其性质

高一数学：指数函数及其性质
目录
• 引言 • 指数函数的基本性质 • 指数函数的运算性质 • 指数函数的应用举例 • 指数函数的深入探究 • 复习与总结
01
引言
Chapter
指数函数的概念
指数函数是一种特殊的函数形式，形如$y=a^x$（ $a>0$，$a≠1$）的函数叫做指数函数。
指数函数中的自变量$x$位于指数位置，而底数$a$是一个大于0且不等于1的常数。
指数函数与对数函数的关系
01
互为反函数
指数函数和对数函数是一对互为反函数的函数，它们的图像关于直线
y=x对称。这意味着对于任意的x和y，如果y是指数函数的结果，那么x
就是对数函数的结果；反之亦然。
02
转换关系
通过指数函数和对数函数之间的转换关系，可以将一些复杂的问题简化
。例如，在解决与复利、放射性衰变等相关的问题时，可以利用对数性
02
掌握运算法则
熟练掌握指数运算法则，并能够灵活运用。
03
多做练习题
通过多做练习题来加深对知识点的理解和记忆，提高解题能力。
04
及时复习总结
学习完一个知识点后要及时复习总结，形成自己的知识体系。
THANKS
感谢观看
，即(am)n=am×n。
幂的开方
对于指数函数的开方运算，一般需先计算出指数函数的值再进行开方运算，但也可通过换元法或其他技巧进行简化计算。
复合幂运算
对于复杂的幂运算，如幂的乘方再开方等，需根据运算优先级和结合律进行计算，也可通过换元法或其他技巧进行简化计算。
04
指数函数的应用举例
Chapter
指数函数的除法运算

北师大版高中数学课件第三章 §3 第1课时指数函数的概念、图象与性质

无意义;
二、指数函数的图象和性质
1.指数函数的图象和性质
a>1
图象
0<a<1
(1)定义域:R
(2)值域:(0,+∞)
(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
(4)当x<0时,0<y<1;
当x>0时,y>1
性质
(5)在R上是增函数
当x值趋近于正无穷大时,函数值
趋近于正无穷大;
当x值趋近于负无穷大时,函数值
方部分,并保留y=f(x)的图象在x轴上及其上方部分即可得到函数y=|f(x)|的
图象.
②将函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分沿y轴翻折到y轴左侧,替代原y轴左
侧部分,并保留y=f(x)的图象在y轴上及其右侧的部分即可得到函数y=f(|x|)
的图象.
(3)利用变换作图法作图要注意以下两点:
①选择哪个指数函数作为起始函数;
数函数既不是奇函数,也不是偶函数.
2.指数函数的图象永远在x轴的上方.底数越大,图象越高,简称“底大图高”.
微判断
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画“×”.
(1)指数函数y=mx(m>0,且m≠1)是R上的增函数.(
)
(2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)既不是奇函数,也不是偶函数.(
是
.
解析∵当x+1=0,即x=-1时,f(-1)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3的图象
恒过点(-1,4).
答案(-1,4)
反思感悟指数型函数图象过定点问题的解法
因为函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1),所以对于函数

高一数学指数函数教案汇总6篇

高一数学指数函数教案汇总6篇高一数学指数函数教案汇总6篇教案对于老师是重要的。

学习可以说很枯燥，记公式做题，做大量的类型题。

这时候，如果教师有一份明确的说课稿，将会大大提升教学效率，下面小编给大家带来关于高一数学指数函数教案，希望会对大家的工作与学习有所帮助。

高一数学指数函数教案篇1教学目标：(1)知识与技能：了解集合的含义，理解并掌握元素与集合的“属于”关系、集合中元素的三个特性，识记数学中一些常用的的数集及其记法，能选择自然语言、列举法和描述法表示集合。

(2)过程与方法：从圆、线段的垂直平分线的定义引出“集合”一词，通过探讨一系列的例子形成集合的概念，举例剖析集合中元素的三个特性，探讨元素与集合的关系，比较用自然语言、列举法和描述法表示集合。

(3)情感态度与价值观：感受集合语言的意义和作用，培养合作交流、勤于思考、积极探讨的精神，发展用严密谨慎的集合语言描述问题的习惯。

教学重难点：(1)重点：了解集合的含义与表示、集合中元素的特性。

(2)难点：区别集合与元素的概念及其相应的符号，理解集合与元素的关系，表示具体的集合时，如何从列举法与描述法中做出选择。

教学过程：【问题1】在初中我们已经学习了圆、线段的垂直平分线，大家回忆一下教材中是如何对它们进行定义的[设计意图]引出“集合”一词。

【问题2】同学们知道什么是集合吗请大家思考讨论课本第2页的思考题。

[设计意图]探讨并形成集合的含义。

【问题3】请同学们举出认为是集合的例子。

[设计意图]点评学生举出的例子，剖析并强调集合中元素的三大特性：确定性、互异性、无序性。

【问题4】同学们知道用什么来表示一个集合，一个元素吗集合与元素之间有怎样的关系[设计意图]区别表示集合与元素的的符号，介绍集合中一些常用的的数集及其记法。

理解集合与元素的关系。

【问题5】“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}，“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集[设计意图]引出并介绍列举法。

北师大版高一数学必修1第三章《指数函数》

第三章指数函数第1节正整数指数函数知识点1：正整数指数函数的概念函数y=a x （a>0,1≠a +∈N x ）叫做正整数指数函数，其中x 是自变量，定义域是正整数集N +。

知识点2：正整数指数函数的图像特征及其单调性 1、正整数指数函数的图像是散点图；2、当1>a 时，在定义域上递增；当10<<a 时，在定义域上递减。

知识点3：指数型函数我们把形如xka y =（1,0≠>∈a a R x k ，、）的函数叫作指数型函数。

例：已知正整数指数函数f(x)的图像经过点（3,27）. （1）求函数f(x)的解析式；（2）求f （5）的值；（3）函数f(x)有最值吗？如有，试求出；若无，请说明理由。

第2节指数扩充及其运算性质知识点1：分数指数幂1、定义：给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n （m ，n 互素），存在唯一的正实数b ，使得mna b =，我们把b 叫作a 的nm次幂，记作n ma b =。

2、意义知识点2：无理数指数幂无理数指数幂αa （a>0，α是无理数）是一个确定的实数。

知识点3：实数指数幂及其运算性质1、当a>0时，对任意的R ∈α，αa 都有意义，且是唯一确定的实数。

2、实数指数幂的运算性质：对任意实数m 、n ，当a>0，b>0时，nm nma a a +=•；()mn nma a =；()n n nb a ab =。

知识点4：根式及其分数指数幂的运算 1、指数幂运算的常用技巧：（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算；（2）负指数幂化为正指数幂的倒数；（3）底数是小数，要先化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 2、根式化简的步骤：（1）将根式化成分数指数幂的形式；（2）利用分数指数幂的运算性质求解. 3.根式的性质（其中n ∈N +，且n>1）；（1）当n 为奇数时，a a n n =；（2）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==0,0,||a a a a a a nn；（3）00=n ；（4）负数没有偶次方根。

3-3指数函数

1 1 3 (1)y＝ x；(2)y＝x ；(3)y＝－3x； 3 1 (4)y＝－3x；(5)y＝(π－1)x；(6)y＝3x2；
(7)y＝(2a＋1)
x
1 a>－，且a≠0. 2
第三章 ·§3
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
[解析]
且 a≠1)的函数才叫指数函数．
第三章 ·§3
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
[解析]
①y＝10x 符合定义，是指数函数；②y＝10x＋1 是
由 y＝10x 和 y＝10 这两个函数相乘得到的函数，不是指数函数；③y＝10x＋1 是由 y＝10x 和 y＝1 这两个函数相加得到的函数；④y＝2· x 是由 y＝2 和 y＝10x 这两个函数相乘得到的 10 函数；⑤y＝(－10)x 的底数是负数，不符合指数函数的定义； ⑥由于 10＋a>0，且 10＋a≠1，即底数是符合要求的常数，故 y＝(10＋a)x(a>－10，且 a≠－9)是指数函数；⑦y＝x10 的底数不是常数，故不是指数函数．
第三章 ·§3
y＝ax(a>0，a≠1，x∈R)
成才之路 ·数学 ·北师大版 · 必修1
1x 3.y＝a 与 y＝( ) 的关系 a
x
一般地，当函数 y＝a 与函数
x
1 y＝ax 的自变量的取值互为
相反数时，其函数值________，这两个函数的图像是关于 ________对称的． 4．函数 y＝ax 与 y＝bx 的特点(a>b>1) (1)当 x<0 时，总有 ax________bx________1. (2)都过点________．
－x
就不是指数函数，而是指数函数 y＝

高中数学第三章指数函数和对数函数 3.5 对数函数学案北师大版必修1-北师大版高一必修1数学学

3.5 对数函数第1课时对数函数的概念对数函数y ＝log2x 的图像和性质[核心必知]1．对数函数的概念 (1)对数函数的定义：一般地，函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)叫作对数函数，a 叫作对数函数的底数． (2)两种特殊的对数函数：我们称以10为底的对数函数y ＝lg_x 为常用对数函数；称以无理数e 为底的对数函数y ＝ln_x 为自然对数函数．2．反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数． 3．函数y ＝log 2x 的图像和性质图像性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过点(1,0)，即x ＝1，y ＝0 (4)当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0 (5)单调性：在(0，＋∞)上是增函数[问题思考]1．函数y ＝log 3x (x >0)，y ＝log 12x (x >0)，y ＝2log 2x ，y ＝log 12x 2都是对数函数吗？为什么？提示：根据对数函数的定义，只有严格符合y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)形式的函数才是对数函数．因此y ＝log 3x (x ＞0)，y ＝log 12x (x ＞0)是对数函数，而y ＝2log 2x ，y＝log 12x2等都不是对数函数．2．函数y ＝log a x 2与y ＝2log a x (a ＞0且a ≠1)是同一个函数吗？为什么？提示：不是，因为定义域不同． 3．对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x有何关系？提示：(1)对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x互为反函数，其图像关于直线y ＝x 对称；(2)对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x的定义域与值域互换，即y ＝log 2x 的定义域(0，＋∞)是y ＝2x的值域，而y ＝log 2x 的值域R 恰好是y ＝2x 的定义域．(3)对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x的单调性一致，即都是增函数．讲一讲1．求下列函数的定义域．(1)y ＝－log 2(1－x )；(2)y ＝lg(x －1)＋log (x ＋1)(16－4x)．[尝试解答] (1)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，－log 2(1－x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <1，log 2(1－x )≤0，解得0≤x <1，所以函数的定义域为[0,1)．(2)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，16－4x>0，x ＋1>0，x ＋1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x <2，x >－1，x ≠0.∴1<x <2，故所求函数的定义域为(1,2)．求函数的定义域时，若遇到简单的对数不等式，可利用对数函数的单调性或结合函数的图像求解．注意保证真数有意义：如log 2x <1，有人常由此得到x <2，而忘记x >0.同时应保证底数大于0且不等于1.对于含有字母的函数求定义域时应注意分类讨论，切记不能将结果写成交或并的形式．练一练1．求下列函数的定义域． (1)y＝1－log 2x ；(2)y ＝lg(x ＋1)＋1log 2(－x )＋1.解：(1)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－log 2x ≥0，即0<x ≤2，∴所求函数的定义域为(0,2]． (2)要使函数有意义，需有：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，－x ＞0，log 2(－x )＋1≠0.即－1＜x ＜0且x ≠－12.∴所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.讲一讲2．写出下列函数的反函数． (1)y ＝log 0.13x ；(2)y ＝3.05x. [尝试解答] (1)y ＝log 0.13x 的反函数是y ＝0.13x .(2)y ＝3.05x的反函数是y ＝log 3.05x .函数y ＝log a x 的反函数是y ＝a x(a ＞0，a ≠1)；函数y ＝a x 的反函数是y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)．练一练2．写出下列函数的反函数．(1)y ＝lg x ；(2)y ＝ln x ；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.解：(1)y ＝lg x 的反函数为y ＝10x. (2)y ＝ln x 的反函数为y ＝e x. (3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的反函数为y ＝log 13x .讲一讲3．根据函数f (x )＝log 2x 的图像和性质解决以下问题．(1)若f (a )＞f (2)，求a 的取值范围；(2)y ＝log 2(2x －1)在x ∈[2,14]上的最值．[尝试解答] 函数y ＝log 2x 的图像如图．(1)因为y ＝log 2x 是增函数，若f (a )＞f (2)，即log 2a ＞log 22，则a ＞2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)． (2)∵2≤x ≤14， ∴3≤2x －1≤27，∴log 23≤log 2(2x －1)≤log 227. ∴函数y ＝log 2(2x －1)在x ∈[2,14]上的最小值为log 23，最大值为log 227.(1)研究函数y ＝log 2x 的性质，应让学生熟悉其图像，由图像可一览无余地发现其相应的性质．(2)函数y ＝log 2x 的图像和性质的应用，突出表现在可用来比较大小、解相关不等式、求最值等，尤其要注意单调性的应用．练一练3．(1)比较log 245与log 234的大小；(2)若log 2(2－x )＞0，求x 的取值范围．解：(1)函数f (x )＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数，又∵45＞34，∴log 245＞log 234.(2)log 2(2－x )＞0即log 2(2－x )＞log 21，∵函数y ＝log 2x 为增函数，∴2－x ＞1，即x ＜1.∴x 的取值范围为(－∞，1)．当m 为何值时，关于x 的方程|log 2(x －1)|＝m 无解？有一解？有两解？[巧思] 将关于x 的方程解的问题转化为函数y ＝|log 2x －1|的图像与直线y ＝m 的交点个数问题，利用数形结合法求解．[妙解] 在同一坐标系，分别作出函数y ＝|log 2(x －1)|和y ＝m 的图像，如图所示．由图像得：当m <0时，方程无解，当m ＝0时，方程有一解，当m >0时，方程有两解．1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log a (2x ) B ．y ＝lg(10x) C ．y ＝log a (x 2＋x ) D ．y ＝ln x 解析：选D 形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的函数为对数函数，所以只有y ＝ln x 符合此形式．2．函数y ＝log 2x (1≤x ≤8)的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．(－∞，3]D ．[0,3]解析：选D ∵y ＝log 2x 在[1,8]上为增函数，∴log 21≤y ≤log 28，即y ∈[0,3]．3．图中所示图像对应的函数可能是( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x的反函数 C ．y ＝2－xD ．y ＝2－x 的反函数解析：选D 由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图像以及与其反函数间的关系知，图中的图像对应的函数应为y ＝的图像．4．若函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数图像过点(2，－1)，则a 的值是________．解析：依题意，f (x )的图像过点 (－1,2)，∴a －1＝2，即a ＝12.答案：125．函数y ＝log 2(3x －1＋1)的定义域为________，值域为________．解析：由已知得x －1≥0，得x ≥1，故定义域为[1，＋∞)．又x －1≥0得3x －1≥30＝1，∴3x －1＋1≥2.∴y ＝log 2(3x －1＋1)≥log 22＝1.∴值域为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞) [1，＋∞)6．已知对数函数f (x )＝log 2(x ＋3)－1. (1)求此对数函数的定义域；(2)若f (a )＞f (1)，求a 的取值范围．解：(1)由题意知x ＋3＞0，即x ＞－3， ∴函数的定义域为(－3，＋∞)． (2)f (a )＝log 2(a ＋3)－1，f (1)＝log 2(1＋3)－1＝1，∵f (x )为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＞0log 2(a ＋3)－1＞1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＞0a ＋3＞4∴a ＞1.即a 的取值范围是(1，＋∞)．一、选择题1．(重庆高考)函数y ＝lg(x ＋1)x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ≠1，故选C.2．函数y ＝log 2|x |的图像大致是( )解析：选Ay ＝log 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)，log 2(－x ) (x <0)，分别作图知A 正确．3．已知函数y ＝log 2x ，其反函数y ＝g (x )，则g (x －1)的图像是( )解析：选C 由已知g (x )＝2x，∴g (x －1)＝2x －1，故选C.4．设f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝log 2x ，则当x <0时，f (x )等于( )A ．－log 2xB ．log 2(－x )C ．log x 2D ．－log 2(－x ) 解析：选 D ∵x <0，∴－x >0，∴f (－x )＝log 2(－x )．又∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－log 2(－x )．二、填空题5．集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞1}，B ＝yy＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＞1，则(∁R A )∩B ＝________. 解析：∵x ＞1，∴log 2x ＞log 21＝0，∴A＝{y |y ＞0}．而当x ＞1时，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫121，∴B ＝y 0＜y ＜12.∴(∁R A )∩B ＝{y |y ≤0}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫y 0＜y ＜12＝∅.答案：∅6．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图像经过点(a ，a )，则f (x )＝________.解析：∵y ＝f (x )的图像过点(a ，a )， ∴其反函数y ＝a x的图像过点(a ，a )，∴a a＝a ＝，∴a ＝12，∴f (x )＝.答案：7．若log 2a ＜log 2b ＜0，则a ，b,1的大小关系是________．解析：log 2a ＜log 2b ＜0⇔log 2a ＜log 2b ＜log 21，∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，∴a ＜b ＜1.答案：a ＜b ＜18．函数f (x )＝log 2x 在区间[a,2a ](a >0)上的最大值与最小值之差为________．解析：∵f (x )＝log 2x 在区间[a,2a ]上是增函数，∴f (x )max －f (x )min ＝f (2a )－f (a )＝log 22a －log 2a ＝log 22＝1.答案：1 三、解答题9．求下列函数的定义域． (1)y ＝lg(x ＋1)＋2x 2－x；(2)y ＝log (x －2)(5－x )．解：(1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，∴函数的定义域为(－1,2)．(2)要使函数有意义．需⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x >0，x －2>0，x －2≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x <5，x >2，x ≠3.∴定义域为(2,3)∪(3,5)．10．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，g (x )＝log 2(1－x )．(1)若函数f (x )的定义域为[3,63]，求函数f (x )的最值；(2)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值范围；(3)判断函数F (x )＝f (x )＋g (x )的奇偶性．解：(1)由题意知，3≤x ≤63，∴4≤x ＋1≤64，∵函数y ＝log 2x 是增函数，∴log 24≤log 2(x ＋1)≤log 264，∴2≤f (x )≤6，∴f (x )的最大值为6，最小值为2. (2)f (x )－g (x )＞0⇔f (x )＞g (x )，即log 2(x ＋1)＞log 2(1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，x ＋1＞1－x ，得：0＜x ＜1，∴x 的取值范围为(0,1)．(3)要使函数F (x )＝f (x )＋g (x )有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，1－x ＞0，即－1＜x ＜1，∴定义域为(－1,1) 又F (－x )＝f (－x )＋g (－x ) ＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝log 2(1－x 2)＝f (x )＋g (x )＝F (x )， ∴F (x )为偶函数．第2课时对数函数的图像和性质[核心必知]对数函数的图像和性质底数a ＞1 0＜a ＜1图像性质定义域 (0，＋∞) 值域(－∞，＋∞)过定点恒过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0有界性当x ＞1时，y >0；当0＜x ＜1时，y <0当x ＞1时，y <0；当0＜x ＜1时，y >0 单调性在定义域内是增函数在定义域内是减函数[问题思考]对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的底数变化对图像位置有何影响？提示：在同一坐标系中作出对数函数y ＝log 2x ，y ＝log 5x ，y ＝log 12x ，y ＝log 15x 的图像如图所示：观察这些图像，可得如下规律： (1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a ＞1时，a 越大，图像越靠近x 轴，0＜a ＜1时，a 越小，图像越靠近x 轴．(2)左右比较(比较图像与y ＝1的交点)：交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．讲一讲1．比较大小(1)log23.4，log28.5;(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)log67，log76;(4)log3π，log20.8；(5)log712，log812.[尝试解答] (1)考察对数函数y＝log2x，∵2＞1，∴它在(0，＋∞)上是增函数．∴log23.4＜log28.5.(2)考察对数函数y＝log0.3x，∵0＜0.3＜1，∴它在(0，＋∞)上是减函数，∴log0.31.8＞log0.32.7.(3)∵log67＞log66＝1，log76＜log77＝1，∴log67＞log76.(4)∵log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，∴log3π＞log20.8.(5)法一：在同一坐标系中作出函数y＝log7x与y＝log8x的图像，由底数变化对图像位置的影响知：log7 12＞log8 12.法二：log7 12log 8 12＝lg 12lg 7lg 12lg 8＝lg 8lg 7＝log78＞1.∵log812＞0，∴log712＞log812.比较对数值大小的类型及相应方法：[注意] 当底数为字母时要分类讨论．练一练1．比较下列各组中两个值的大小 (1)ln 0.3，ln 2； (2)log 23，log 0.32； (3)log a π，log a 3.141；解：(1)(单调性法)因为y ＝ln x 在(0，＋∞)上是增函数，所以ln 0.3＜ln 2.(2)(中间量法)因为log 23＞log 21＝0，log 0.32＜0，所以log 23＞log 0.32.(3)(分类讨论)当a ＞1时，函数y ＝log a x 在定义域上是增函数，则有log a π＞log a 3.141；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在定义域上是减函数，则有log a π＜log a 3.141.综上所得，当a ＞1时，log a π＞log a 3.141；当0＜a ＜1时，log a π＜log a 3.141. (4)(图像法)借助y ＝log 14x 及y ＝log 15x的图像，如图，在(1，＋∞)上，y ＝log 14x的图像在y ＝log 15x 图像的下方，∴log 143＜log 153.讲一讲2．画出下列函数的图像，并根据图像写出函数的定义域与值域以及单调区间：(1)y ＝log 3(x －2)； (2)y ＝|log 12x |.[尝试解答] (1)函数y ＝log 3(x －2)的图像可看作把函数y ＝log 3x 的图像向右平移2个单位得到的，如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R ，在区间(2，＋∞)上是增加的；(2)y＝|log12x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，0＜x ≤1，log 2x ，x ＞1，其图像如图②.其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1]上是减少的，在[1，＋∞)上是增加的．把例2(2)变为y ＝，画出其图像，并根据图像写出定义域，判断奇偶性及单调性．解：y ＝＝其图像如图所示．其定义域为{x |x ≠0}，为偶函数．在(－∞，0)为增加的，在(0，＋∞)上为减少的．(1)与对数函数有关的一些对数型函数，如y ＝log a x ＋k ，y ＝log a |x |，y ＝|log a x ＋k |等，其图像可由y ＝log a x 的图像，通过平移，对称或翻折变换而得到．(2)对能画出图像的对数型函数性质及对数型方程解的研究，常先画出图像，再利用数形结合法求解．练一练2．已知函数f (x )＝|log 2(x ＋1)|. (1)画出其图像，并写出函数的值域及单调区间；(2)若方程f (x )＝k 有两解，求实数k 的取值范围．解：(1)函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图像如图．由图像知，其值域为[0，＋∞)，单调减区间是(－1,0]，单调增区间是[0，＋∞)．(2)由(1)的图像知，k ＞0即可．讲一讲3．已知f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，其中a ＞0，a ≠1.(1)求函数f (x )－g (x )的定义域； (2)判断函数f (x )－g (x )的奇偶性，并予以证明；(3)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值范围．[尝试解答] (1)要使函数f (x )－g (x )有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞01－x ＞0，解得－1＜x ＜1，所以f (x )－g (x )的定义域为(－1,1)． (2)任取x ∈(－1,1)，则－x ∈(－1,1)f (－x )－g (－x )＝log a (1－x )－log a (1＋x )＝－[f (x )－g (x )]，所以f (x )－g (x )在(－1,1)上是奇函数． (3)由f (x )－g (x )＞0得log a (1＋x )＞log a (1－x )，①当a ＞1时，则①可化为⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞1－x－1＜x ＜1，解得0＜x ＜1；当0＜a ＜1时，由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜1－x－1＜x ＜1，解得－1＜x ＜0.所以当a ＞1时，x 的取值范围是(0,1)，当0＜a ＜1时，x 的取值范围是(－1,0)．(1)判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称．而对于类似于f (x )＝log a g (x )的函数，利用f (－x )±f (x )＝0来判断奇偶性更简捷．(2)判断函数的单调性有两种思路，①利用定义；②利用图像．练一练3．已知f (x )＝log a (a x－1)(a ＞0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性．解：(1)要使函数f (x )＝log a (a x－1)(a ＞0，且a ≠1)有意义，则a x－1＞0.当a ＞1时，由a x－1＞0得a x＞1，即x ＞0，故函数的定义域为(0，＋∞)；当0＜a ＜1时，由a x－1＞0得a x＞1，即x ＜0，故函数的定义域为(－∞，0)． (2)当a ＞1时，设0<x 1<x 2，则∴f (x 1)－f (x 2)＝＝，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，0)上也是增函数．设函数y ＝f (x )，且log 2(log 2y )＝log 23x ＋log 2(3－x )，求f (x )的值域．[错解] 由log 2(log 2y )＝log 23x ＋log 2(3－x )，得log 2y ＝3x (3－x )，∴y ＝23x (3－x )．∵3x (3－x )＝－3x 2＋9x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274≤274， ∴函数的值域为(－∞，2274]．[错因] 产生错解的原因在于未掌握对数函数、指数函数需满足真数大于0，a x＞0(a ＞0，且a ≠1)．此题因在未确定定义域前求值域，从而把值域扩大了．[正解] 由log 2(log 2y )＝log 23x ＋log 2(3－x )，得log 2y ＝3x (3－x )， ∴y ＝23x (3－x )，且⎩⎪⎨⎪⎧3x ＞0，3－x ＞0，log 2y ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜3，y ＞1.而－3x 2＋9x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274.∵0＜x ＜3，∴0＜－3x 2＋9x ≤274，.1．已知函数f (x )＝log (a ＋1)x 是(0，＋∞)上的增函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－1,0) D ．(0，＋∞)解析：选D 由题意得a ＋1>1，解得a >0. 2．函数y ＝1＋log 3x 的图像一定经过点( ) A ．(1,0) B ．(0,1) C ．(2,0) D ．(1,1)解析：选D ∵y ＝log 3x 一定过定点(1,0)．∴y ＝1＋log 3x 的图像一定过点(1,1)． 3．(天津高考)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c 2，而b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8，所以10，x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <4，x ≠3.∴x ∈(－∞，3)∪(3,4)．答案：(－∞，3)∪(3,4)5．已知0＜a ＜1,0＜b ＜1，如果a log b (x －3)＜1，那么x 的取值范围为________．解析：a log b (x －3)＜1即a log b (x －3)＜a 0. ∵0＜a ＜1，∴y ＝a x在(－∞，＋∞)上是减函数， ∴log b (x －3)＞0，又∵0＜b ＜1，∴y ＝log b x 在(0，＋∞)上是减函数， ∴0＜x －3＜1，解得3＜x ＜4.答案：(3,4)6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤1，log 3x 3·log 3x9，x >1.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232的值； (2)求f (x )的最小值．解：(1)∵log 232<log 22＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232＝2－log 232＝2log 223＝23，即f ⎝⎛⎭⎪⎫log 232＝23. (2)当x ∈(－∞，1]时，f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥12，即f (x )min ＝12.当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＝(log 3x －1)(log 3x －2)，令log 3x ＝t ，则t >0，∴f (x )＝(t －1)(t －2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－14.∵t >0，∴当t ＝32时，f (x )min ＝－14<12.∴f (x )的最小值是－14.一、选择题1．若a ＝log 3π，b ＝log 76，c ＝log 20.8，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a解析：选A a ＝log 3π＞log 33＝1，log 71＜b ＝log 76＜log 77， ∴0＜b ＜1，c ＝log 20.8＜log 21＝0，∴a ＞b ＞c .2．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图像大致是( )解析：选A 依题意，得f (－x )＝ln(x 2＋1)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，即函数f (x )的图象关于y 轴对称，故排除C.因为函数f (x )过定点(0,0)，排除B ，D ，应选A.3．函数y ＝log a (x －3)＋2的图像恒过定点( ) A ．(3,0) B ．(3,2) C ．(4,0) D ．(4,2)解析：选D 令x ＝4，则y ＝log a (4－3)＋2＝2， ∴函数的图像恒过定点(4,2)． 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(－x )，x ＜0，log 12x ， x ＞0，若f (m )＜f (－m )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析：选C 当m ＞0时，－m ＜ 0，f (m )＜f (－m )⇒log 12m ＜log 2m ⇒log 21m ＜log 2m ⇒1m ＜m ，可得m ＞1；当m ＜0时，－m ＞0，f (m )＜f (－m )⇒log 2(－m )＜log 12(－m )⇒log 2(－m )＜log 2(－1m )⇒－m ＜－1m，可得－1＜m ＜0.故m 的取值范围是－1＜m ＜0或m ＞1. 二、填空题5．已知函数f (x )＝2log 12x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域是________．解析：由题意知－1≤2log 12x ≤1，即－1≤－2log 2x ≤1.∴－12≤log 2x ≤12，即log 222≤log 2x ≤log 22， ∴22≤x ≤ 2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2 6．已知f (x )＝|lg x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，f (2)的大小关系为________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝lg 14＝－lg 4＝lg 4， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝lg 13＝－lg 3＝lg 3，f (2)＝|lg 2|＝lg 2，∴f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14.答案：f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 7．方程⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |＝|log 13x |的根的个数为________．解析：同一坐标系中作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |与y ＝|log 13x |的图像，可知有两个交点，故有两解．答案：28．已知函数f (x )的图像与函数g (x )＝3x的图像关于直线y ＝x 对称，令h (x )＝f (1－|x |)，则关于函数h (x )有以下命题：(1)h (x )的图像关于原点(0,0)对称； (2)h (x )的图像关于y 轴对称； (3)h (x )的最小值为0；(4)h (x )在区间(－1,0)上单调递增．其中正确的是________．解析：∵函数f (x )的图像与函数g (x )＝3x的图像关于直线y ＝x 对称，∴f (x )与g (x )互为反函数，∴f (x )＝log 3x ；∴h (x )＝f (1－|x |)＝log 3(1－|x |)．由1－|x |＞0得－1＜x ＜1. ∵h (x )的定义域关于原点对称，且h (－x )＝log 3(1－|－x |)＝log 3(1－|x |)＝h (x )． ∴h (x )是偶函数，其图像关于y 轴对称，(2)正确；又当x ∈(－1,0)时，h (x )＝log 3(1＋x )，显然h (x )在(－1,0)上是递增的，∴(4)正确；利用特殊点验证可知，(1)不正确；由于h (x )在(－1,0)上单调递增，且h (x )为偶函数， ∴h (x )在[0,1)上单调递减，∴h (x )在(－1,1)上有最大值，h (0)＝log 31＝0，无最小值，故(3)不正确．答案：(2)(4) 三、解答题9．(1)已知函数f (x )＝log 3(3x＋1)＋12ax 是偶函数，求a 的值；(2)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a ＞0且a ≠1)． ①求函数的定义域和值域；②若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．解：(1)函数的定义域是R ，由于f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即对任意x ∈R ，总有log 3(3－x ＋1)－12ax ＝log 3(3x＋1)＋12ax ，∴log 3(3－x＋1)－log 3(3x＋1)＝ax ，即(a ＋1)x ＝0，由于x 是任意实数，∴a ＝－1.(2)①由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0得－3＜x ＜1.∴函数的定义域为{x |－3＜x ＜1}．f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)．设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2， ∴t ≤4，又t ＞0，则0＜t ≤4.当a ＞1时，y ≤log a 4，值域为(－∞，log a 4]．当0＜a ＜1时，y ≥log a 4，值域为[log a 4，＋∞)； ②由题意及①知，当0＜a ＜1时，函数有最小值． ∴log a 4＝－2.∴a ＝12.10．设函数f (x )＝x 2－x ＋b ，且满足f (log 2a )＝b ，log 2[f (a )]＝2(a >0，a ≠1)，求f (log 2x )的最小值及对应的x 值．解：由f (log 2a )＝b 可得，(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ， ∴log 2a ＝1或log 2a ＝0.∴a ＝2或a ＝1(舍去)．又∵log 2[f (a )]＝2，即log 2(2＋b )＝2， ∴2＋b ＝4，b ＝2.∴f (x )＝x 2－x ＋2. ∴f (log 2x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x －122＋74.∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，y min ＝74.。

苏教版高一上册数学作业单6.2(3)指数函数(3)

课题指数函数(3)学习目标1、了解指数函数的定义，会作指数函数的图象；2、掌握指数函数的性质，并能运用解题。

教学过程学法指导活动一：情境引入某工厂今年的产值为a万元，为了增加产值，今年增加了新产品研发，预计从明年起，年产值递增r%，则明年的产值为____________万元，后年的产值为____________，设x年后实现产值翻两番，则得方程____________活动二：活动探究指数函数实际应用例1、某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%，写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式式。

利用指数函数的性质解不等式例2、某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期为x (x∈N*)，本利和(本金加上利息)为y元，(1)写出本利和y随存期时间x变化的函数关系式；(2)已知存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和。

知识梳理1、指数型函数的定义在实际问题中，经常遇到类似的指数函数模型，设原有基数(如今年的产值)为m，平均增长率为p，则对于经过时间x后的数值y为y＝m(1+p)x。

我们把形如y=ka x(k∈R，a＞0且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型。

(1)指数型函数，常见于工农业生产，环境治理及投资理财等；(2)递增型的指数型模型为：递减型的指数型模型为：2、指数型函数实际应用问题求解的注意点(1)精确度的问题，同学们在使用过程中往往忽视题中的精确度；(2)定义域的问题，在实际问题中函数的定义域必须要使研究的问题有意义。

3、关于单利与复利的计算设a为本金，r为利率，n为存期，S为本利和，则(1)单利：(2)复利：课堂检测班级：姓名：得分：一、选择题1、已知某企业去年的年产值是a万元，计划在今后6年内每年比上一年产值增长10％，则第6年的产值为（）A、6.6a万元B、1.6a万元C、a1.06万元1.16万元 D、a2、如图,某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)满足关系式y=a t(a>0,且a ≠1),给出下列说法:①这个指数函数的底数是2;②第5个月时,浮萍的面积就会超过30m2;③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月;④浮萍每个月增加的面积都相等.其中正确的是( ）A.①②③B.①②③④C.②③④D.①②3、酒驾是严重危害交通安全的违法行为,为了保障安全,根据国家有关规定:100 mL血液中酒精含量达到20~80 mg(不包括80 mg)的驾驶员即为酒后驾车,80 mg及以上的人即为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中酒精含量上升到了0.6 mg/mL,如果停止饮酒后,他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少,那么他要想驾车,至少需要经过的小时数为 ()A.6B.5C.4D.3二、填空题1、如果某厂一年中12月份的产量是1月份的产品产量的m倍，那么该工厂这一年中产品产量的余额平均增长率为2、某企业响应环保政策，通过技术改造计划在今后的m年内每年比上一年减少p％的二氧化碳排放量。

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例2、比较下列各题中两数值的大小
0.9
① ( 0.7)0.4 ,1
②0.8－0.3 ,4.9－0.1
解：①∵(
0.9 0.7
)0.4>(
00..79)0=1
∴(
00..79)0.4>1
② ∵0.8－0.3>0.80=1 4.9－0.1<4.90=1
∴0.8－0.3 >4.9－0.1
归纳：比较两个不同底数幂的大小时,通常引入第三个数作参照.
质（3）当x>0时,y>1;x<0时,0<y<1（3）当x>0时,0<y<1;x<0时,y>1
（4）是R上的增函数
（4）是R上的减函数
例1 比较下列各题中两数值的大小
① 1.72.5,1.73. ② 0.8-0.1 ,0.8-0.2
解：① 因为指数函数y=1.7x 在R上是
增函数. 2.5<3
所以 1.72.5<1.73
的单调性即可比较大小.
怎样搭建一个出色家具展展台
2014年将在广州举办的数届家具展览会，必将吸引来自世界各地的观展者，而参展的家具商面对如此机遇，必然会想向参观者展现出企业最好的品牌形象和产品，借此来吸引更多的观展者，从而望，促成中单率；如何搭建一个出色的家具展，对于众多参展商和展会搭建商都具有不可言喻的重要性。今天，至简科技来与大家分享，怎样搭建一个出色家具展展台，从而达到利益最大化。1、和产品的突出展示品牌形象是一个企业的标志，更是产品的“质量保证书”。消费者对品牌和产品的要求越来越高。特别是像家具类产品，消费者通常更倾向于选择品牌形象突出的产品，而不是“杂以，一个优秀的家具展位应该合理突出并又恰到好处地展示自己的品牌LOGO，让人们一目了然，让人一看就有一种值得信赖的感觉，这样不仅能提高意向更能让消费者更加容易的记住你的产品和 2、重视整体和细节方面的设计家具展要做的不仅是要呈现产品，更要呈现家具产品与环境相互融合，只有具有的强烈的视觉效果，这样才能吸引更多的消费者。把家具展示作为一个统一的整体来用多种手法来营造体验式消费空间，展示的不仅仅是家具产品本身，更是一种生活方式、价值观念等。从入门到离开，就如同我国传统园林设计中的移步异景的效果，让人置身其中、并融入其中连忘返。3、好的展位位置必不可少一个家具展不可能会只有一家企业，而是有几十甚至上百的参展商；企业要想的就是如何从数百家企业中脱颖而出，展位的选址就非常重要了，若是太偏僻、太置，可能会导致大量的观展者错过你的展位，而导致潜在的减少，如果这样的话，那展位搭建地再好也达不到预期的效果；反之，好的位置能起到事半功倍的效果，一般来说最佳的展位位置有：主席台对面及两侧；(2)入口处的正门口或正门口的两侧；(3)出口处的后门口或后门口两侧；(4)主要人行干道的两首或“十”字干道的中心四角处。展台选择的好，搭建的有新意，能吸引更多的参观从中得到的利益也会更多，这样企业参展才不会只进不出没有效果。 / 少儿书法培训加盟
y=ax
gx

x7
6 5 4 3 2 1
fx x
-6
-4
-2
-1
-2
2
4
6
8
指数函数的概念
指数自变量
函数 y = a x 叫作指数函数
底数(a>0且a≠1) 常数
问题提出
怎样研究指数函数的图像和性质？
研究 y=2x
和
y=(
1 2
x
) 的图像和性质
进入画板
a>1
图
0<a<1
象
性 (1)定义域为(-∞，+ ∞ )，值域为(0，+ ∞ ) (2)图像都过点(0，1)，当x=0时，y=1
②因为指数函数y= 0.8x在R上是减函数. -0.1>-0.2 ∴0.8-0.1 < 0.8-0.2
练习1：比较大小
> • ① 0.79－0.1 0.790.1 < • ② 2.012.8 2.013.5 > • ③ b2 b4(0<b<1)
④ a0.3与a0.4 (a>0 且a≠1)
归纳：比较两个同底数幂的大小时,可以构造一个指数函数,再利用指数函数