寿险精算原理 第一章

4、实际利率、名义利率、实际贴现率、名 义贴现率、利息强度和折现因子之间的等 价关系（单位时间为1年的情况下）：
m
m
i 1 m

d 1 i 1 v 1 d p 1 1
p

p
e

例3、已知年度实际利率为8%，求等价的 利息强度。 例4、一笔业务按利息强度6%计息，求投 资500元经8年的积累值。
a
a
n

1 i

n
dn
n a
a
n 1
1 i
n
1 i
n
n 1
n
1 i

i 1 i
※ d n 与 n无关，为常数，通常把这种情 况下的贴现率叫做复贴现率。
②与实际贴现率 d 等价的实际利率为 1 d 。 如果某人以实际贴现率 d 借款1元，则 实际上的本金为1 d ，而利息（贴现，意 味着期初支付）金额为 d ，则实际利率为：
例2、某银行以单利计息，年息为2%，某 人存入5000元，问5年后的积累值是多少？

例3、如果例2中银行以复利计息，其他条 件不变，问5年后的积累值是多少？
1.1.3 实际贴现率
某一个度量期的实际贴现率，是指该度量 期内得到的利息金额与此度量期期末积累 值金额之比。实际利率通常用字母 d 表示。 从投资日算起第 n 个度量期的实际贴侠率 用 d n 表示，则有
In a
n
a
n
n 1
1 i a
1 i n
n

1 i
n 1
i 1 i
1
※显然 I n 是关于 n 单调递增。 ③第 n 期的实际利率为：
in a
n
a
a
n
n 1 1
a
In
n
1
i

a
e
n
1
a t 1 i1 1 i 2 1 i n

例2：如果实际利率在前3年为10%，随后 2年为8%，最后1年为6%，求投资1000元 在这6年中所得总利息。 ②如果整个度量期内保持为常数时： 假设 1 2 n ，则 有 i1 i 2 i n i ，即 e 1 i 。 ※由①和②可得到以下结论：如果利息 强度在某个时间区间上为常数，那么该时 间区间上的实际利率也为常数。
②其在 t 时的积累值为：
a
t
1 itLeabharlann ③第 n 期的实际利率为：
in a
n
a i
a
n
n 1 1

1
in 1 i 1 i
n
n 1
1
1 i
n
1
※ i n 关于 n 单调递减，也就是说，常数的 单利意味着递减的实际利率。
例1、如果 t 0.01t , 0 t 2 ，确定投资 1000元在第1年年末的积累值和第2年内的 利息金额。 3、理论上，利息强度可以随时变化。但是， 实际上它经常保持为常数或者在各个度量 期上保持为常数。 ①如果各个度量期上保持为常数时： 假设 n为从投资日起的第 n 个时期 上的常数利息强度，即

t n , n 1 t n
则积累函数为：
a n e 0 r d r
1 2
n
0 1 d r 1 2 d r n 1 n d r e e e
n
1
2
n
e e
e
第 n 个时期的实际利率 i n 为（是常数）：
n a n 1 in a n 1 这样积累函数也可表示成：
第一章

利息的基本概念
1.1 实际利率与实际贴现率

1.2 名义利率与名义贴现率
1.3 利息强度

1.1 实际利率与实际贴现率
基本概念：

1、利息可定义为资本借入者因使用资本而 支付给资本借出者的一种报酬。也可以说， 利息是资本借入者支付给资本借出者因放 弃资本的使用，所发生的损失的一种租金。 理论上讲，资本和利息可以是货币，也可 以不用货币度量。
n 1,
n为 常 数

例1、某人到银行存入1000元，第1年年末 的存款余额为1020元，第2年年末的存款 余额为1050元，问第1年，第2年的实际利 率分别是多少？
1.1.2

单利和复利
一、单利 1、概念：假定投资一个单位本金，在每个单 位时间所得的利息是相等的，而利息并不 用与再投资，按这种形式增长的利息称为 单利。单利形式下只有本金处于投资状态。 2、考虑投资一单位本金，若每期单利 i 计 息，则： ①投资期的每个度量期产生的利息均为常 数i 。

6、总量函数：k 单位的本金在 t 时刻的 积累值，记为 A t 。 t 7、折现因子：积累函数 a t 的倒数 a 称为 t 期折现因子或折现函数。特别地， 把一个度量期的折现因子 a 1 简称为 折现因子，并记为 v 。 8、现值：为了在 t 期期末得到某个积 累值 ，而在开始时投入的本金金额称为 该积累值的现值。
i d 1 d
i
d
③与实际利率 i 等价的实际贴现率为 1 i 。 如果某人以实际利率 i 借款1元，则期 末积累值为1 i ，而利息金额为 i ，则 实际贴现率为： d i
1 i
④
d iv 。 d 1 v
⑤
。
⑥ i d id 。
※ ④和⑥经济含义解释看书第6页。

A
t
A
0
t
e
0 r d r
t
②积累函数利息强度之间的关系：
a
t
a
0
e
0 r d r
e
0 r d r
t
③度量期内获得的利息与利息强度之间的关 n 系： n

0
A t t d t

0
A t d t A n A 0

dn A n A n 1 A n 1 In An
n 1,
n为 常 数

例1、某人到银行存入1000元，第1年年末 的存款余额为1020元，第2年年末的存款 余额为1050元，问第1年，第2年的实际贴 现率分别是多少？

实际利率、实际贴现率和折现因子之间的 关系 ①复利假设下，如果实际利率是常数 i ， 那么实际贴现率也是常数。 这是因为，如果实际利率为 i ，则有

m
d 1 d 1 m
m

m
d d 1 1 m
d
m
m

m
m 1
1 d

1 m


6、名义利率与名义贴现率之间的关系
i 1 m
m

m
d 1 p
1.2 名义利率与名义贴现率
1、实际中有很多，在一个度量期中利息支 付不止一次或多个度量期才支付一次的情 形，称相应的一个度量期的利率和贴现率 为 “名义”的。 2、名义利率： m 用i 表示每一个度量期付 m次利息的名 1 m 义利率。名义利率 i ，是指每 m 个度 1 量期支付利息一次，而在每 m 个度量期的 i 实际利率为 。

2、本金：每项业务开始时投资的金额。 3、积累值：业务开始一定时间后回收到 的总金额，即业务开始一定时间后本金和 利息之和。

4、度量期：用来度量投资时间的单位。 如日、周、月、季、半年、一年等。 5、积累函数：一单位的本金在 t 时刻的 积累值，记为 a t 。很显然 a 0 1 。 积累函数 a t 也可称为 t 期积累因子。

实际利率
某一个度量期的实际利率，是指该度量期 内得到的利息金额与此度量期开始时投入 的本金金额之比。实际利率通常用字母 i 表示。 从投资日算起第 n 个度量期的实际利率用 i n 表示，则有
in A n A n 1 A n 1 In A n 1

m
m

3、在同一个度量期内，名义利率 i 实际利率 i 之间的关系。
i 1 i 1 m i i 1 m
m m
m
和

m

m
1
i
m
m 1 m 1 i
1
4、名义贴现率 1 m 用d 表示每一个度量期付 m 次利息的 1 m 名义贴现率。名义贴现率d ，是指每 m 1 个度量期支付利息一次，而在每 m 个度量 d 期的 实际贴现率为 。 m m 5、在同一个度量期内，名义贴现率 d 和实际贴现率 d 之间的关系。

1 1

9、从投资日起第 n 个时期得到的利息金 额记为 I n ，则有
In A
n
A
n
1

由上面的概念可得一下的结论： ① A t ka t ② a t 是在 t 期期末支付1的现值。 ③在某种意义上，积累与折现是相反的过 程。
1
1.1.1

p


p
如果 m p ，则有：
1 i
m
m
d 1 m
m

1
从而有：
i
m
m
d
m
m
i
m