第七章期权定价(金融工程学-中央财大,李磊宁)

St
S0er
h
ln
St S0
ln
St S0
N(, 2 )
ln St
ln S0
N(, 2 )
St资产在t时的价格
S
资产在起初的价格
0
h : 资产收益率
N (, 2 ) : 正态分布
: 资产年收益率的数学期望
2：资产收益率的方差
对于对数正态分布，其密度函数是：
f (x)
1
•
1
•
(ln x )2
ST>K
ST –X X ST
0 ST ST
ST<K
0 X X
X – ST ST X
第七章 期权定价
在期权到期时，两个组合的价值均相等。因此两 组合在时刻t必须具有相等的价值，下面的公式 是看涨期权-看跌期权平价公式：
c Xe r(T t) p S
第七章 期权定价
第三节 布莱克-斯科尔斯期权定价模型
2．看跌期权价格的上限
由于美式看跌期权的多头执行期权的最高价值为协议价 格（X），因此，美式看跌期权价格（P）的上限为X：
P X
由于欧式看跌期权只能在到期日（T时刻）执行，在T时
刻，其最高价值为X，因此，欧式看跌期权价格（p）不
能超过X的现值：
p Xe r(T t)
其中，r代表T时刻到期的无风险利率，t代表现在时刻。
f
(St )dSt
er
X St
f
(St )dSt
er X
X f (St )dSt
AB
A er
X St f (St )dSt
er
X St •
令 ln St S,
1
2
•
1 St
(ln St )2
• e 2 2
• dSt
A er •
1
(S )2
e
S 2 2
• dS
2 ln X
概 率
S
X • ert
概 率
X • ert
S
S Βιβλιοθήκη BaiduX • ert
期权的时间价值是两种 概率的总和。第一种概率 N（d1）是资产价格上升 到执行价格之上的概率， 第二种概率N（d2）是相 对于执行价格，资产价格 进一步下跌的概率。
S0
e
2 ln X
2 2
dS
做变换：W 1 [S （ 2）]
dS dW
A
S 0
2
W2
e ln X ( 2 ) 2 dW
S 0
2
( 2 )ln X
W
2
e 2 dW
此式子通常简记为：
A
S 0 N (
2 ) ln
X
，
( 2 ) ln X ln S 0 r 2 / 2 ln X
第七章 期权定价
为了推导c和p之间的关系，我们考虑两个组合：
组合A：一份欧式看涨期权加上金额为 的现金 Xer(T t) 组合B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式 看跌期权加上一单位标的资产
第七章 期权定价
组合的表现
A组合： call价格 存款价值 总价值 B组合： put价格 1单位标的资产 总价值
e 2 2
x0
2 x
f (x) 0 x 0
数学期望E
2
e2
方差D e 2 2 (e 2 1)
E(St
)
2
e2
,
E(St
)
S0er
2
e 2
S0er
2
2
r ln S0
C er E(Ct ) er
Ct f (Ct )dCt
e
r
X
0•
f
(St )dSt
X (St
X)
在任何情况下，期权的价值都不会超过标的资产的价 格。否则的话，套利者就可以通过买入标的资产并卖出 看涨期权的办法来获取无风险利润。因此，标的资产价 格都是看涨期权价格的上限：
c S和C S
其中，c代表欧式看涨期权价格，C代表美式看涨期 权价格，S代表标的资产价格。
第七章 期权定价
（一）期权价格的上限
S (S )2 2 2 S S 2 2S 2
2 2
2 2
2 2 S S 2 2S 2 (2 2 4 ) (2 2 4 ) 2 2
[S ( 2 )]2 2
2 2
2
A er
2
•e 2
•
1
2
e dS
[S ( 2 )]2 2 2
ln X
[S ( 2 )]2
第七章 期权定价
（二）期权价格的下限 1．欧式看涨期权价格的下限：由于期权的价值一定为正，
因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为
c max[S Xe r(T t) ,0]
2．欧式看跌期权价格的下限：由于期权价值一定为正，因 此无收益资产欧式看跌期权价格下限为
p max[Xe r(T t) S,0]
第七章 期权定价
像其他金融资产一样，期权 的价值无非等于它可能取得的 任何价值乘以该价值产生概率 的加总。
---洛伦兹•格利茨
第七章 期权定价
第一节 期权的价值边界
确定期权价值的边界是期权定价 的第一步，也是正确描绘期权价值曲 线的基础。
第七章 期权定价
（一）期权价格的上限 1．看涨期权价格的上限：
式中的r和σ是以1年为基数来计算的，如果期权有
效期不是1年，就应该用rt和σ 来t代替式中的 r和 σ。
C
A
B
S
0
N
ln(S
0
/
X
)
(r t
2
/
2)t
Xe rt
N
ln(S
0
/
X
)
(r t
2
/
2)t
S0 N (d1 ) Xert N (d 2 )
注：d2 d1 t
概 率
各种资产价格水平 上的概率分布交叉图
Call
价
格
价格上限
虚值期权 S<X e-r(T-t)
时间价值
平值期权 S=X e-r(T-t)
价格下限
实值期权 S
S>X e-r(T-t)
put价格 X e-r(T-t)
上限
下限
内在
价值
时间价值
X e-r(T-t)
S
第七章 期权定价
第二节 看涨期权和看跌期权的平价关系
看涨期权与看跌期权虽然分属不 同的权利，但两者在价格上却有密切 的联系。利用这种联系，在确定了看 涨期权的价格以后，就能够推导出相 应的看跌期权的价格，而不必单独为 后者定价。
ln S 0 r 2
X
2
A
ln
S
0
N
S0 X
r
2
2
f (W )
1
W2
e2
2
是标准正态分布N（0，1）的密度函数
A
A
( 2 ) ln X
ln X ( 2 )
A
S0
N
ln(S 0
/
X
)
r
2
/
2
B
Xe r
N
ln(S 0
/
X
)
r
2
/
2
我们用同样的方法可以求得B。需要说明的是，
1973年，F•Black和M•Scholes 在他们著名的论文《期权定价与公司 财务》中成功地将基础资产价格、执 行价格、时间、波动率和无风险利率 等因素用数学模型将看涨期权的价值 计算出来了。这就是著名的B-S模型。
第七章 期权定价
模型的推导
资产价格变动的特征：资产价格的自然对数服从正态 分布，我们称价格服从对数正态分布。