吉布斯采样

Ek
sS
U 2 (s ) U1 (s , F) 2
T T b)否则取 k =k+1，修改温度系数，取 ，其中 α 取经验值在 0.8-0.98 之间的值，转到步骤 2）。同 时计算当前的各区域的均值和方差；
xs
2）根据目标函数计算当前分割结果：取k 为当前的迭代次数 ，随机或按照固定扫描方式选取一个像素点s，定义
U1 (s, i) U1 (i, F) U 2 (i)其中s i
计算向量
1 V (s, i ) exp[ U1 ( s, i ) ] 定义函数 T
(V (s,1),V (s,2),......, V (s, L))
吉布斯采样
尚文荟
主要内容
• • • • • 吉布斯现象 吉布斯采样 贝叶斯统计的框架分析Biblioteka BaiduMCMC(马尔可夫链蒙特卡罗) Gibbs采样在图像分割中的应用
吉布斯现象
• 吉布斯现象Gibbs phenomenon（又叫吉布斯效应）： 将具 有不连续点的周期函数（如矩形脉冲)进行傅立叶级数展 开后，选取有限项进行合成。
( 1 , 2 ,......, L , 1 , 2 ,......, L , ）
• 1）按照一定的扫描形式对图像进行扫描，首次依据似然函 数P(Y/X)最大的原则，遍历图像的每个元素s取其标号为w • arg max(U1( X s , Y )) ,从而得到图像的初始分割。
取s的使V（s,i）最大的i作为该像素点的标号，直到遍历整 个图像，得到标记场 k 3）判断收敛条件：以每次迭代过程中全局能量的变化量为收 敛条件，计算当前全局能量的值：
a）如果 认为全局能量变化小，标量场 k 为 最后的分割结果，其中 为设定的能量该变量阈值。
Ek - Ek -1
• 其中参数 um和 m 分别是第m区域的均值和 方差。
利用Gibbs采样进行图像分割
对 • p(Y / X ) * p( X )取对数得到
ln p(Y / X ) lnp( X )令 U 1( X , Y ) ln p(Y / X ) (ln( 2 xs U 2( X ) Vc ( xs )
MRF与Gibbs分布的等价关系
马尔科夫模型：
Gibbs分布
基于MRF的图像分割模型
• 图像分割可以看作是一个统计的推断问题，基于MRF的模 型假设分割图像的像素只与邻域内的像素有关；因此我们 可以根据最大后验概率准则（MAP），有效利用像素之间 的结构信息分割图像。
模型的数学定义
• 通常只考虑有两个节点的势团。当所考虑是各相同性的马 尔科夫场时，势函数如下：
• （二）基本思想
Gibbs采样步骤
Gibbs采样在图像分割中的应用
• 马尔科夫随机场（MRF） • MRF的概念 • 领域系统 • MRF与Gibbs之间的等价关系 • 基于MRF的图像分割模型
马尔科夫随机场
随机场：当给每个位置中按照某种分布随机赋予相空间的一个 值之后，其全体就叫随机场。其中有两个概念：位置，相空间。
cC sS
( y s u xs ) 2 2
2 xs
)
(U 1( X , Y ) U 2( X )) 则MAP准则变成： arg max x
利用Gibbs采样进行图像分割步骤
• 在这里进行有监督的模式，首先认为的将图像进行划分为L 个区域，并给出这些区域的样本，计算各个样本的均值和 方差作为似然函数参数的初始值 1 1 2 f ， （ f ） sS s sS s | S | | S | • 得出2L+1个参数
-1.5 -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Gibbs采样
• 定义
MCMC(Markov chain Monte Carlo ):马尔可夫链蒙特卡罗
贝叶斯统计的框架分析
后验分布 先验信息 似然函数
困难: 后验分布是复杂的、高维的分布 解决方法:马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法
MCMC
• 目前，MCMC已经成为一种处理复杂统计问题的特别流行 的工具，尤其在经常需要复杂的高维积分运算的贝叶斯分 析领域更是如此。在那里，高维积分运算主要是用来求取 普通方法无法得到的后验分布密度。如果合理的定义和实 施，MCMC总能得到一条或几条收敛的马尔可夫链，该马 尔可夫链的极限分布就是所需的后验分布
1.5
k=0.001;%取点间隔 N=50;%选取傅里叶项数 t=-2*pi:k:2*pi; s=square(t);%产生矩形 波 y=0; for n=1:2:N, y=y+4/pi*sin(n*t)/n; end
1
w=(max(y)-1)/2; plot(t,s,t,y);
0.5
0
-0.5
-1
• 一维马尔科夫随机过程很好的描述了随机过程中某点的状 态只与该点之前的一点的状态有关系。对于定义在二维空 间上的图像，也可以将它看为一个二维随机场。自然也存 在二维马尔科夫随机场，此时必须考虑空间的关系，二维 MRF的平面网络结构同样可以较好地表现图像之间的空间 相关性。
邻域系统
子团
S中有不同的邻域结构，在S上由单个像元或由像元与其邻点 组成的子集 c S 称为一个子团。子团c的集合用C来表示 。 基团：在S 中有不同 的邻域结 构,当子集 cΑS中的 每对不同 位置总是 相邻的,称c 是 一个基团