2019年重庆市高中数学高考阅卷各小题情况
2019年重庆高考《数学考试说明(理工类)》答案解析
2019年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (重庆卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：D解析：∵A ∪B ＝{1,2,3}，而U ＝{1,2,3,4}，故U (A ∪B )＝{4}，故选D ． 2． 答案：D解析：全称命题的否定是一个特称命题(存在性命题)，故选D ． 3． 答案：B解析：=a ≤3，所以当32a =-92=. 方法二：∵－6≤a ≤3，∴3－a ≥0，a ＋6≥0.而(3－a )＋(a ＋6)＝9， 由基本不等式得：(3－a )＋(a －6)≥，即9≥92≤，当且仅当3－a ＝a ＋6， 即32a =-时取等号． 4． 答案：C解析：由甲组数据中位数为15，可得x ＝5；而乙组数据的平均数91510182416.85y ++(+)++=，可解得y ＝8.故选C ． 5． 答案：C解析：由几何体的三视图可得，该几何体是一个横放的直棱柱，棱柱底面为梯形，梯形两底长分别为2和8，高为4，棱柱的高为10，故该几何体体积V ＝12×(2＋8)×4×10＝200，故选C ． 6． 答案：A解析：由题意a ＜b ＜c ，可得f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0.显然f (a )·f (b )＜0，f (b )·f (c )＜0，所以该函数在(a ，b )和(b ，c )上均有零点，故选A ． 7． 答案：A解析：圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值．又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444=，故选A ．8． 答案：B 解析：由程序框图可知，输出的结果为s ＝log 23×log 34×…×log k (k ＋1)＝log 2(k ＋1)．由s ＝3，即log 2(k ＋1)＝3，解得k ＝7.又∵不满足判断框内的条件时才能输出s ，∴条件应为k ≤7. 9． 答案：C解析：4cos 50°－tan 40°＝4sin40cos40sin40cos40︒︒-︒︒＝2sin80sin 402sin100sin 40cos 40cos 40︒-︒︒-︒=︒︒ ＝2sin(6040)sin40cos40︒+︒-︒︒＝122sin40sin4022cos40︒+⨯︒-︒=︒. 10． 答案：D解析：因为1AB ⊥2AB ，所以可以A 为原点，分别以1AB ，2AB 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设B 1(a,0)，B 2(0，b )，O (x ，y )， 则AP ＝1AB ＋2AB ＝(a ，b )，即P (a ，b )．由|1OB |＝|2OB |＝1，得(x －a )2＋y 2＝x 2＋(y －b )2＝1. 所以(x －a )2＝1－y 2≥0，(y －b )2＝1－x 2≥0.由|OP |＜12，得(x －a )2＋(y －b )2＜14， 即0≤1－x 2＋1－y 2＜14.所以74＜x 2＋y 2<≤所以|OA |的取值范围是2⎛ ⎝，故选D ． 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．解析：5i 5i(12i)2i 12i (12i)(12i)z -===+++-，∴||z ==12．答案：64解析：由a 1＝1且a 1，a 2，a 5成等比数列，得a 1(a 1＋4d )＝(a 1＋d )2，解得d ＝2，故S 8＝8a 1＋872⨯d ＝64. 13．答案：590解析：方法一：从12名医生中任选5名，不同选法有512C 792=种．不满足条件的有：只去骨科和脑外科两科医生的选法有57C 21=种，只去骨科和内科两科医生的选法有5585C C 55-=种，只去脑外科和内科两科医生的选法有5595C C 125-=种，只去内科一科医生的选法有55C 1=种，故符合条件的选法有：792－21－55－125－1＝590种．方法二：设选骨科医生x 名，脑外科医生y 名，则需选内科医生(5－x －y )人．(1)当x ＝y ＝1时，有113345C C C 120⋅⋅=种不同选法； (2)当x ＝1，y ＝2时，有122345C C C 180⋅⋅=种不同选法； (3)当x ＝1，y ＝3时，有131345C C C 60⋅⋅=种不同选法；(4)当x ＝2，y ＝1时，有212345C C C 120⋅⋅=种不同选法； (5)当x ＝2，y ＝2时，有221345C C C 90⋅⋅=种不同选法； (6)当x ＝3，y ＝1时，有311345C C C 20⋅⋅=种不同选法．所以不同的选法共有120＋180＋60＋120＋90＋20＝590种．考生注意：(14)、(15)、(16)三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．答案：5解析：在Rt △ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝20，可得BC＝由弦切角定理，可得∠BCD ＝∠A ＝60°.在Rt △BCD 中，可求得CD＝BD ＝15.又由切割线定理，可得CD 2＝DE ·DB ，可求得DE ＝5. 15．答案：16解析：由极坐标方程ρcos θ＝4，化为直角坐标方程可得x ＝4，而由曲线参数方程消参得x 3＝y 2，∴y 2＝43＝64，即y ＝±8， ∴|AB |＝|8－(－8)|＝16. 16．答案：(－∞，8]解析：方法一：设f (x )＝|x －5|＋|x ＋3|＝22,5,8,35,22,3,x x x x x -≥⎧⎪-<<⎨⎪-+≤-⎩可求得f (x )的值域为[8，＋∞)，因为原不等式无解，只需a ≤8，故a 的取值范围是(－∞，8]．方法二：由绝对值不等式，得|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8， ∴不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解时，a 的取值范围为(－∞，8]．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：(1)因f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x. 令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a －6，故12a =. (2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)，f ′(x )＝x －5＋6x＝23x x x (-)(-).令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.当0＜x ＜2或x ＞3时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3. 18．解：设A i 表示摸到i 个红球，B j 表示摸到j 个蓝球， 则A i (i ＝0,1,2,3)与B j (j ＝0,1)独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P (A 1)＝123437C C 18C 35=.(2)X 的所有可能值为0,10,50,200，且P (X ＝200)＝P (A 3B 1)＝P (A 3)P (B 1)＝3337C 11C 3105⋅=， P (X ＝50)＝P (A 3B 0)＝P (A 3)P (B 0)＝3337C 22C 3105⋅=， P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝213437C C 1124C 310535⋅==， P (X ＝0)＝12461105105357---=.综上知X 的分布列为从而有E (X )＝0×67＋10×435＋50×105＋200×105＝4(元)．19．解：(1)如图，连接BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形．又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD ．以O为坐标原点，OB ，OC ，AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，则OC ＝CD πcos＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3，又OD ＝CD πsin 3故A (0，－3,0)，B 0,0)，C (0,1,0)，D (0,0)．因PA ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )，由F 为PC 边中点，F 0,1,2z ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 又AF ＝0,2,2z ⎛⎫⎪⎝⎭，PB ＝3，－z )，因AF ⊥PB ，故AF ·PB ＝0，即6－22z ＝0，z =(舍去-)，所以|PA |＝23.(2)由(1)知AD ＝(3,0)，AB ＝，3,0)，AF ＝(0,2)，设平面FAD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面FAB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由n 1·AD ＝0，n 1·AF ＝0，得111130,20,y y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩因此可取n 1＝(3，－2)．由n 2·AB ＝0，n 2·AF ＝0，得222230,20,y y +==⎪⎩故可取n 2＝(3，，2)． 从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为 cos 〈n 1，n 2〉＝12121||||8⋅=⋅n n n n ，故二面角B －AF －D的正弦值为8. 20．解：(1)因为a 2＋b 2ab ＝c 2，由余弦定理有cos C＝222222a b c ab ab +-==-，故3π4C =.(2)由题意得2(sin sin cos cos )(sin sin cos cos )cos A A B B ααααα--.因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )， tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B＝5， tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B.① 因为3π4C =，A ＋B ＝π4， 所以sin(A ＋B )＝2，因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，sin A sin B， 解得sin A sin B=由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4.。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(重庆卷.文)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）数学试题（文史类）分选择题和非选择题两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.第一部分（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆5)2(22=++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为 （ ）A ．5)2(22=+-y x B ．5)2(22=-+y xC ．5)2()2(22=+++y xD ．5)2(22=++y x解：∵圆5)2(22=++y x 的圆心(-2,0)关于原点对称的点为(2,0),∴圆5)2(22=++y x 关于原点对称的圆为(x-2)2+y 2=5,选(A).2．=+-)12sin 12)(cos 12sin 12(cosππππ（ ）A ．23-B ．21-C ．21 D ．23解：(cossin)(cossin)cos121212126πππππ-+==,选(D) 3．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)(=x f ，则使得 x x f 的0)(<的取值范围是（ ）A ．)2,(-∞B ．),2(+∞C ．),2()2,(+∞--∞D ．（－2，2）解：∵函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ,∴f(-2)=0, 在]0,(-∞上0)(<x f 的x 的取值范围是(2,0]-,又由对称性[0,)+∞,∴在R 上fx)<0仰x的取值范围为(-2,2),选(D)4．设向量a =（－1，2），b =（2，－1），则（a ·b ）（a +b ）等于（ ）A ．（1，1）B ．（－4，－4）C ．－4D ．（－2，－2）解：（a ·b ）（a +b ）=[-2+(-2)](1,1)=(-4,-4),选(B)5．不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集为 （ ）A ．)3,0(B ．)2,3(C ．)4,3(D ．)4,2(解∵|x-2|<2的解集为(0,4),log 2(x 2-1)>1的解集为)(,+∞⋃-∞,∴不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集)4,3(,选(C) 6．已知βα,均为锐角，若q p q p 是则,2:),sin(sin :πβαβαα<++<的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：∵由α、β均为锐角，:,2q παβ+<得0<α<α+β<2π∴sin(α+β)>sin α,但α、β均为锐角，sin α<sin(α+β),不一定能推出α+β<2π,如α=6π,β=3π就是一个反例,选(C)7．对于不重合的两个平面βα与，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ； ③存在直线α⊂l ，直线β⊂m ，使得m l //； ④存在异面直线l 、m ，使得.//,//,//,//βαβαm m l l其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解：命题①③是真命题,选(B)8．若nx )21(+展开式中含3x 的项的系数等于含x 的项的系数的8倍，则n 等于 （ ）A ．5B ．7C ．9D ．11解：3x 的项的系数为332n C ,x 的项的系数为12n C ,由题意得332n C =812n C 解之得n=5,选(A)一了9．若动点),(y x 在曲线)0(14222>=+b by x 上变化，则y x 22+的最大值为（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b b b bB ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442b b b bC ．442+bD ．b 2解：由题意可设x=2cos α,y=bsin α,则x 2+2y=4cos 2α+2bsin α=-4sin 2α+2bsin α+4=-2(sin 2α-bsin α-2)=-2(sin α-2b )2+4+22b ,∴22x y +的最大值为2404424b b b b ⎧+<<⎪⎨⎪≥⎩,选(A)10．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面 各连接中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形 的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则 该塔形中正方体的个数至少是 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7解：k 层塔形的各层立方体的边长,增加的表面积以及k 层塔形的 表面积一览表如下：该塔形中正方体的个数至少是6层,选(C)第二部分（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 11．若集合}0)5)(2(|{},034|{2<--∈=<+-∈=x x R x B x x R x A ，则=B A .解：∵A=(-4,3),B=(2,5),∴A ∩B={x|2<x<3}12．曲线3x y =在点（1，1）处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 . 解：∵y '=3x 2,∵在(1,1)处切线为y-1=3(x-1),令y=0,得切线与x 轴交点(2,03),切线与直线x=2交于(2,4),∴曲线3(1,1)y x =在点处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为S=1416842363⋅⋅==.. 13．已知βα,均为锐角，且=-=+αβαβαtan ),sin()cos(则 .解：由已知得1-tan αtan β=tan α-tan β,∴tan α=1tan 11tan ββ+=+.14．若y x y x -=+则,422的最大值是 . 解：令x=2cos α,y=2sin α,则x-y=2cos α-2sin α=2sin(4πα-)≤2,∴若y x y x -=+则,422的最大值是15．若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为 .解；P=1128222101745C C C C ⋅+= 16．已知B A ),0,21(-是圆F y x F (4)21(:22=+-为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平 分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 . 解：由题意可知,动点P 的轨迹是椭圆,这个椭圆的焦点是A(-12,0)和F(12,0),定长2a=圆F 的半径2,因而动点P 的轨迹方程为13422=+y x 三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）若函数)4sin(sin )2sin(22cos 1)(2ππ+++-+=x a x x x x f 的最大值为32+，试确定常数a 的值.18．（本小题满分13分）加工某种零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的合格率分别为109、98、87， 且各道工序互不影响.（Ⅰ）求该种零件的合格率；（Ⅱ）从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率.19．（本小题满分13分）设函数∈+++-=a ax x a x x f 其中,86)1(32)(23R . （1）若3)(=x x f 在处取得极值，求常数a 的值；（2）若)0,()(-∞在x f 上为增函数，求a 的取值范围.20．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点，PE ⊥EC. 已知,21,2,2===AE CD PD 求 （Ⅰ）异面直线PD 与EC 的距离； （Ⅱ）二面角E —PC —D 的大小. 21．（本小题满分12分）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅（其中O 为原点）. 求k 的取值范围.22．（本小题满分12分）数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足记).1(211≥-=n a b n n（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；（Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S数学试题（文史类）答案一、选择题：每小题5分，满分50分.1.A2.D3.D4.B5.C6.B7.B8.A9.A 10.C 二、填空题：每小题4分，满分24分. 11．}32|{<<x x 12．38 13．1 14．22 15．4517 16．13422=+y x 三、解答题：满分76分. 17．（本小题13分）解：)4sin(sin )2sin(21cos 21)(22ππ+++--+=x a x x x x f)4sin(cos sin )4sin(sin cos 2cos 2222ππ+++=+++=x a x x x a x x x )4sin()2()4sin()4sin(222πππ++=+++=x a x a x因为)(x f 的最大值为)4sin(,32π++x 的最大值为1，则,3222+=+a所以,3±=a 18．（本小题13分） （Ⅰ）解：1078798109=⨯⨯=P ； （Ⅱ）解法一： 该种零件的合格品率为107，由独立重复试验的概率公式得： 恰好取到一件合格品的概率为 189.0)103(107213=⋅⋅C ， 至少取到一件合格品的概率为 .973.0)103(13=-解法二：恰好取到一件合格品的概率为189.0)103(107213=⋅⋅C ， 至少取到一件合格品的概率为 .973.0)107(103)107()103(107333223213=+⋅+⋅⋅C C C19．（本小题13分）解：（Ⅰ）).1)((66)1(66)(2--=++-='x a x a x a x x f因3)(=x x f 在取得极值， 所以.0)13)(3(6)3(=--='a f 解得.3=a 经检验知当)(3,3x f x a 为时==为极值点.（Ⅱ）令.1,0)1)((6)(21===--='x a x x a x x f 得当),()(,0)(),,1(),(,1a x f x f a x a -∞>'+∞-∞∈<在所以则若时 和),1(+∞上为增 函数，故当)0,()(,10-∞<≤在时x f a 上为增函数.当),()1,()(,0)(),,()1,(,1+∞-∞>'+∞-∞∈≥a x f x f a x a 和在所以则若时 上为增函 数，从而]0,()(-∞在x f 上也为增函数.综上所述，当)0,()(,),0[-∞+∞∈在时x f a 上为增函数. 20．（本小题13分）解法一：（Ⅰ）因PD ⊥底面，故PD ⊥DE ，又因EC ⊥PE ，且DE 是PE 在面ABCD 内的射影，由三垂直线定理的逆定理知 EC ⊥DE ，因此DE 是异面直线PD 与EC 的公垂线.设DE=x ，因△DAE ∽△CED ，故1,1,2±===x x xCD AE x 即（负根舍去）. 从而DE=1，即异面直线PD 与EC 的距离为1.（Ⅱ）过E 作EG ⊥CD 交CD 于G ，作GH ⊥PC 交PC 于H ，连接EH. 因PD ⊥底面， 故PD ⊥EG ，从而EG ⊥面PCD.因GH ⊥PC ，且GH 是EH 在面PDC 内的射影，由三垂线定理知EH ⊥PC. 因此∠EHG 为二面角的平面角.在面PDC 中，PD=2，CD=2，GC=,23212=-因△PDC ∽△GHC ，故23=⋅=PC CG PD GH ， 又,23)21(12222=-=-=DG DE EG故在,4,,π=∠=∆EHG EG GH EHG Rt 因此中即二面角E —PC —D 的大小为.4π 解法二：（Ⅰ）以D 为原点，、、分别为x 、y 、 z 轴建立空间直角坐标系.由已知可得D （0，0，0），P （0，0，)2， C （0，2，0）设),0,2,(),0)(0,0,(x B x x A 则>).0,23,(),2,21,(),0,21,(-=-=x x x E 由0=⋅⊥CE PE 得，即.23,0432==-x x 故 由CE DE ⊥=-⋅=⋅得0)0,23,23()0,21,23(， 又PD ⊥DE ，故DE 是异面直线PD 与CE 的公垂线，易得1||=DE ，故异面直线PD 、 CE 的距离为1.（Ⅱ）作DG ⊥PC ，可设G （0，y ，z ）.由0=⋅PC DG 得0)2,2,0(),,0(=-⋅z y即),2,1,0(,2==y z 故可取作EF ⊥PC 于F ，设F （0，m ，n ）， 则).,21,23(n m --= 由0212,0)2,2,0(),21,23(0=--=-⋅--=⋅n m n m PC EF 即得， 又由F 在PC 上得).22,21,23(,22,1,222-===+-=EF n m m n 故 因,,⊥⊥故平面E —PC —D 的平面角θ的大小为向量DG EF 与的夹角.故,4,22||||cos πθθ===EF DG 即二面角E —PC —D 的大小为.4π21．（本小题12分）解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A BA B A y y x x k x x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k 于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k.3312<<k ② 由①、②得 .1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃--。
重庆2019年高考学业质量调研抽测4月二诊理科数学试题卷含答案详析
【详解】设事件 为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件 为“学生丙第一个出场”
则
，
则 本题正确选项： 【点睛】本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.
10.已知双曲线 在圆
A. 9 【答案】B 【解析】 【分析】
的一条渐近线方程为
，左焦点为 ，当点 在双曲线右支上，点
20.已知离心率为 的椭圆 ：
的右焦点为 ，点 到直线 的距离为 1.
（1）求椭圆 的 方程；
（2）若过点
的直线与椭圆 相交于不同的 两点，设 为椭圆 上一点，且满足
（ 为坐标原点），当
时，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
或
【解析】
【分析】
（1）通过点 到直线 的距离、离心率和 的关系，求得标准方程；（2）直线与椭圆方程联立，利
由
，
得：
则 设 外接圆圆心为 ，则
由正弦定理可知， 外接圆半径：
设 到面 距离 为
由 为球 直径可知：
则 球的半径
球 的表面积 本题正确选项： 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积问题的求解，关键是能够利用球心与底面外接圆圆心的连线与底面 垂直的关系构造直角三角形.
12.已知 是函数
（其中常数
值为 0，则函数 的最小值为（ ）
(2) 当
时，丙可在产品 和产品 中任选一个投资；当
时，丙应选产品 投资.
时，丙应选
（1）“一年后甲、乙两人至少有一人投资获利”的概率
，可求得 ；又
可得 ，由
此可得 的范围；（2）分别求出投资 ， 两种产品的数学期望，通过数学期望的大小比较可知应选哪种产
2019年重庆市高考理科数学试卷及答案解析
2019年普通高校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.在复平面内表示复数z（l-2z）的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限［核心考点］考查复数的运算，复数的几何意义。
［解析］z（l-2z）=2+z,其在复平面上对应的点为Z（2,l）,位于第一象限。
［答案］A2.对任意等比数列{%},下列说法一定正确的是（）A.%、。
3、。
9成等比数列B.%、。
3、。
6成等比数列C.％、。
4、小成等比数列D.%、。
6、。
9成等比数列［核心考点］考查等比数列的性质应用。
［解析］根据等比数列的性质，就=%%，故向、％、％成等比数列。
［答案］D3.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本的平均数1=3,亍=3.5,则由观测的数据得线性回归方程可能为（）A.y=0.4x+2.3B.y=2x-2AC.y=-2x+9.5D.y=-O.3x+4A［核心考点］考查两个变量的相关关系以及两个变量间的回归直线方程等知识的应用。
［解析］由变量X与y正相关可排除选项C、D,由样本中心点（2.5,3.5）在回归直线方程上可得回归直线方程可能为y=0.4"2.3。
［答案］A题5图［解析］由题知，2a-3b=（2k-3,-6）,因为（2一万少c,所以（2a—3》）c=0,所以(2i—》c)=2(2+W)=伙-6)=4,解得k=3。
［答案］C5.执行如题5所示的程序框图，若输出R的值为6,则判断框内可填入的条件是（）1 A.s〉一23 s>—57 C.s>—10B.4 D.s>—5［核心考点］考查程序框图的相关知识。
9X777［解析］由s=l------=—,故当判断框内填入$〉一时，输入如勺值为6。
10 9810106.［答案］C已知命题p:对任意xeR，总有2’>0:q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是（）L p/\q B.—p/\^qC.—p/\qD.p/\—^q［核心考点］考查复合命题的真值表的应用，全称命题真假的判定以及充件的判定。
重庆市2019年高考理科数学试题及答案
重庆市2019年高考理科数学试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B =A ．(–∞，1)B ．(–2，1)C ．(–3，–1)D ．(3，+∞) 2．设z =–3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．A ．–3B ．–2C ．2D ．34．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABCD5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差6．若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │ 7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面8．若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8 9．下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=│cos2x │B ．f (x )=│sin2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )=sin│x │ 10．已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B 5C 3D 511．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为ABC ．2D 12．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(重庆.文)含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 1＝64，，则公比q 为 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）8（2）设全集U ＝|a 、b 、c 、d |，A ＝|a 、c |，B =|b |，则A ∩（CuB ）＝ （A ）∅ （B ）{a } （C ）{c } （D ）{a ,c } （3）垂直于同一平面的两条直线 （A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交 （D ）异面 （4）（2x -1）2展开式中x 2的系数为 （A ）15 （B ）60 （C ）120 （D ）240（5）“-1＜x ＜1”是“x 2＜1”的 （A ）充分必要条件 （B ）充分但不必要条件 （C ）必要但不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）下列各式中，值为23的是 （A ）︒-︒15cos 15sin 2 （B ）︒-︒15sin 15cos 22 （C ）115sin 22-︒（D ）︒+︒15cos 15sin 22（7）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（A ）41 （B ）12079 （C ）43 （D ）2423 （8）若直线1+=kx y 与圆122=+y x 相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°（其中O 为原点），则k 的值为（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,73（B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-214,72 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-72,73（D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-214,72（10）设P （3，1）为二次函数)1(2)(2≥+--x b ax ax x f 的图象与其反函数)(1x f f -=的图象的一个交点，则（A ）25,21==b a （B ）25,21-==b a（C ）25,21=-=b a（D ）25,21-=-=b a（11）设a a b +-113和是的等比中项，则a +3b 的最大值为 （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（12）已知以F 1（2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（A ）23（B ）62（C ）72（D ）24二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡相应位置上。
2019普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)-数学(理)解析版
2019普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）-数学（理）解析版注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
数学理一.填空题：本大题共10小题，每题5分，共计50分。
在每题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的1.在等差数列}{n a 中，52=a 那么}{n a 的前5项和5S =A.7B.15C.20D.25【答案】B【解析】422514d a a d=-=-,523167a a d =+=+=,故155()5651522a a S +⨯⨯===. 【考点定位】此题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式,解题时要认真审题,仔细解答. 2.不等式0121≤+-x x 的解集为A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121,【答案】A【解析】(1)(21)01101212210x x x x x x -+≤⎧-⎪≤⇒⇒<≤⎨++≠⎪⎩【考点定位】此题主要考察了分式不等式的解法，解题的关键是灵活运用不等式的性质，属于基础试题3.对任意的实数k ，直线y=kx+1与圆222=+y x 的位置关系一定是 A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心 【答案】C【解析】圆心(0,0)C 到直线10kx y -+=的距离为11d r=<<=,且圆心(0,0)C 不在该直线上.法二:直线10kx y -+=恒过定点(0,1),而该点在圆C 内,且圆心不在该直线上,应选C. 【考点定位】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:两点间接距离公式,点与圆的位置关系,以及恒过定点的直线方程.直线与圆的位置关系利用d 与r 的大小为判断.当0d r ≤<时,直线与圆相交,当d r =时,直线与圆相切,当d r >时,直线与圆相离.4.321⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项为A.1635B.835C.435D.105【答案】B【解析】841881()2r rrr r r r T C C x--+==,令404r r -=⇒=,故展开式中的常数项为4458135()28T C ==.【考点定位】此题考查利用二项展开式的通项公式求展开公的常数项. 〔5〕设tan ,tan αβ是议程2320x x -+=的两个根，那么tan()αβ+的值为 （A ）-3〔B 〕-1〔C 〕1〔D 〕3 【答案】A 【解析】tan tan 3tan tan 3,tan tan 2tan()31tan tan 12αβαβαβαβαβ++==⇒+===-+- 考点定位】此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切公式化简求值. 〔6〕设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且,a c b c ⊥，那么a b +=〔ABC〕D 〕10 【答案】B【解析】由02402a c a c x x ⊥⇒⋅=⇒-=⇒=,由//422b c y y ⇒-=⇒=-,故||(21)a b +=+=【考点定位】此题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示,模长公式.解决问题的关键在于根据a c ⊥、//b c ,得到,x y 的值,只要记住两个向量垂直,平行和向量的模的坐标形式的充要条件,就不会出错,注意数字的运算.〔7〕()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，那么“()f x 为[0，1]上的增函数”是“()f x 为[3，4]上的减函数”的〔A 〕既不充分也不必要的条件〔B 〕充分而不必要的条件 〔C 〕必要而不充分的条件〔D 〕充要条件 【答案】D【解析】由()f x 是定义在R 上的偶函数及[0,1]双抗的增函数可知在[-1,0]减函数，又2为周期，所以【3,4】上的减函数【考点定位】此题主要通过常用逻辑用语来考察函数的奇偶性，进而来考察函数的周期性，根据图像分析出函数的性质及其经过的特殊点是解答此题的关键。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(重庆.文)含详解
R所以双曲线的方程为x2- =1.
(C) (x-1)2+(y-1)2=1(D) (x-1)2+(y-1)2=1
【答案】C
【解析】本小题主要考查圆的参数方程。移项，平方相加，
，故选C。
(4)若点P分有向线段 所成的比为- ，则点B分有向线段 所成的比是
(A)- (B)- (C) (D)3
【答案】A
【解析】本小题主要考查线段定比分点的有关计算。如下图可知，B点是有向线段PA的外分点， ，故选A。
(6)函数y=10x2-1(0＜x≤1＝的反函数是
(A) (B) (x＞ )
(C) ( ＜x≤ (D) ( ＜x≤
【答案】D
【解析】本小题主要考查反函数的求法。由 得： ，即 。又因为 时， ，从而有 ，即原函数值域为 。所以原函数的反函数为 ，故选D。
(7)函数f(x)= 的最大值为
(A) (B) (C) (D)1
2019年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
数学试题卷（文史类）
数学试题卷(文史类)共5页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
(6)函数y=10x2-1(0＜x≤1＝的反函数是
(A) (B) (x＞ )
(C) ( ＜x≤ (D) ( ＜x≤
(7)函数f(x)= 的最大值为
(A) (B) (C) (D)1
(8)若双曲线 的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为
高考重庆理科数学试题及答案(word解析版)
高考重庆理科数学试题及答案(word 解析版) 2019年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求． （1）【2019年重庆, 理1】已知集合{}1,2,3A =, {}2,3B =, 则（ ）（A ）A B = （B ）A B =∅I （C ）A B Ü （D ）B A Ü 【答案】D【解析】A={1,2,2}B={2,3}B A B A B A ⇒⊂≠⇒⊂≠Q ，且, 故选D ．（2）【2019年重庆, 理2】在等差数列{}n a 中, 若24a =, 42a =, 则6a =（ ） （A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）6 【答案】B【解析】利用264+2a a a =可求得60a =, 故选B ． （3）【2019年重庆, 理3】重庆市2013年各月的平均气温（C ︒）数据的茎叶图如右,则这组数据的中位数是（ ） （A ）19（B ）20 （C ）21.5 （D ）23【答案】B 【解析】这组数据是8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32． 中位数是20+20202=, 故选B ．（4）【2019年重庆, 理4】“1x >”是“()12log 20x +<”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】12log (2)01x x +<⇒>-, 故选B ．（5）【2019年重庆, 理5】某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（ ）（A ）13π+ （B ）23π+ （C ）123π+ （D ）223π+【答案】A【解析】该立体图形是由一个三棱锥和一个半圆柱拼接而成的, 其体积为两部分体积之和：211(1)212113223ππ⨯⨯⎛⎫⨯⨯⨯⨯+=+ ⎪⎝⎭, 故选A ． （6）【2019年重庆, 理6】若非零向量,a b r r满足22||||a b =r r , 且()()32a b a b -⊥+r r r r , 则a r 与b r 的夹角为（ ）（A ）4π （B ）2π （C ）34π（D ）π【答案】A【解析】()(32)()(32)0a b a b a b a b -⊥+⇒-+=r r r r r r r r g , 结合22||||a b =r r , 可得2||3a b b =r r rg ,2cos ,,,[0,],4||||a b a b a b a b a b ππ∴<>==<>∈⇒<>=r rr r r r r r g r r , 故选A ．（7）【2019年重庆, 理7】执行如图所示的程序框图, 若输入k 的值为8, 则判断框图可填入的条件是（ ）（A ）34s ≤ （B ）56s ≤ （C ）1112s ≤ （D ）1524s ≤ 【答案】C【解析】10,022s k k s ==⇒==Q 是，是, 114+24k s ⇒==，是, 1116++246k s ⇒==，是11118+++2468k s ⇒==，否, 判断框内应该填11111++=24612s ≤, 故选C ．（8）【2019年重庆, 理8】已知直线l ：()10x ay a R +-=∈是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴,过点()4,A a -作圆C 的一条切线, 切点为B , 则||AB =（ ）（A ）2 （B） （C ）6 （D）【答案】C【解析】()()22:-2-14C x y +=, 其圆心坐标为2,1C （）, 半径2r =．由题意可知直线:10()l x ay a R +-=∈是圆的直径所在直线, 它过圆心2,1C（）, 所以21101(4,1)a a A AC +⨯-=⇒=-⇒--⇒=由几何图形可知,6AB ===,故选C ．（9）【2019年重庆, 理9】若tan 2tan 5πα=, 则3cos()10sin()5παπα--＝（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】C【解析】2sin5tan 2tan sin cos 5cos 5ππαααπ=⇒=⊗Q , 3cos()cos[()]sin()sin cos cos sin cos1052555sin()sin()sin()sin cos cos sin cos55555ππππππαααααπππππααααα-+-++∴===---- 将⊗式带入上式可得：3cos()103sin()5παπα-=-, 故选C ． （10）【2019年重庆, 理10】设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F , 右顶点为A , 过F 作AF 的垂线与双曲线交于,B C 两点, 过,B C 分别作,AC AB 的垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a 则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）（A ）()()1,00,1-U （B ）()(),11,-∞-+∞U （C）()(U （D）(),-∞+∞U【答案】A【解析】由题意可得：22(,0),(,0),(,),b b A a F c B c AF c a BF a a ∴=-=．在Rt ABD ∆中, 由射影定理有：22222()()()b BF c a c a a BF AF DF DF AF c a a +-=⋅⇒===-．即点D 到直线BC 的距离为22()()c a c a a +-, 由题意得：22()()c a c a a +-<01b a a c a=+⇒<<．而双曲线的渐近线斜率(1,0)(0,1)bk k a=±∴∈-U , 故选A ．二、填空题：本大题共6小题, 考生作答5小题, 每小题5分, 共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2019年重庆, 理11】设复数()i ,a b a b R +∈的模为3, 则()()i i a b a b +-= ． 【答案】3【解析】复数i(,)a b a b R +∈的模为2222333a b a b ⇒+=⇒+=．22(i)(i)3a b a b a b ∴+-=+=．（12）【2019年重庆, 理12】532x x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中8x 的系数是 （用数字作答）． 【答案】52【解析】71535215517()()1582222r r r r r r r r T C x C x r x --+=⋅=∴-=∴=Q ．故35()2x x+的展开式中8x 的系数为2521522C =． （13）【2019年重庆, 理13】在ABC ∆中, 0120B =, 2AB =, P ABC -的角平分线3AD =, 则AC = ．【答案】6【解析】由正弦定理可得：2sin 451530sin sin AD AB ADB ADB BAD BAC B ADB =⇒∠=⇒∠=⇒∠=⇒∠=∠o o o , 30C ∴∠=o , 再由正弦定理可得：6sin sin AC ABAC B C=⇒=．考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题, 请从中任选两题作答, 若三题全做, 则按前两题给分． （14）【2019年重庆, 理14】如图, 圆O 的弦,AB CD 相交于点E , 过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P , 若6PA =, 9AE =, 3PC =, :2:1CE ED =, 则BE = ． 【答案】2【解析】由切割线定理可得：21296,3PA PC PD PD CD CE ED =⋅⇒=⇒=⇒==．再由相交弦定理可得：2AE BE CE DE BE ⋅=⋅⇒=．（15）【2019年重庆, 理15】已知直线l 的参数方程为11x ty t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）, 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 的极坐标方程为235cos24(0,)44ππρθρθ=><<．则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为 ．【答案】()2,π【解析】直线l 的直角坐标方程为2y x =+．222222cos 24(cos sin )4 4.x y ρθρθθ=∴-=∴-=Q 由222240y x x x y y =+=-⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩222x y ρ∴=+=．由35sin 0=44y ππρθθθπ==<<⇒及． 故直线l 与曲线C 的交点的极坐标为2,π（）．（16）【2019年重庆, 理16】若函数()1f x x x a =++-的最小值为5, 则实数a = __． 【答案】4或-6【解析】分情况讨论：（1）当1a ≤-时, 利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：()f x 在a 处取得最小值5, 所以|1|56a a +=⇒=-；（2）当1a >时, 利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：()f x 在a 处取得最小值5, |1|54a a +=⇒=, 综上, 可得实数a =6-或4．三、解答题：本大题共6题, 共75分．解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程． （17）【2019年重庆, 理17】（本小题满分13分, （Ⅰ）小问5分, （Ⅱ）小问8分）端午节吃粽子是我国的传统习俗, 设一盘中装有10个粽子, 其中豆沙粽2个, 肉粽3个, 白粽5个, 这三种粽子的外观完全相同, 从中任意选取3个．（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；（Ⅱ）设X 表示取到的豆沙粽个数, 求X 的分布列与数学期望．解：（Ⅰ）令A 表示事件“三种粽子各取到一个”, 则()11123531014C C C P A C ==． （Ⅱ）X 所有可能取值为0,1,2, 且()383107015C P X C ===, ()12283107115C C P X C ===,()21283101215C C P X C ===．故分布列见表： 且()77130121515155E X =⨯+⨯+⨯=（个）． （18）【2019年重庆, 理18】（本小题满分13分, （Ⅰ）小问7分, （Ⅱ）小问6分）设()2sin sin 3cos 2f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．解：（Ⅰ）由题()()213cos sin 3cos sin 21cos22f x x x x x x =-=-+=3sin 23x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭, 故()f x 的最小正周期T π=, 最大值为23-． （Ⅱ）由2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦知023x ππ≤-≤, 从而当0232x ππ≤-≤即5612x ππ≤≤时, ()f x 单调递增；当223x πππ≤-≤即52123x ππ≤≤时, ()f x 单调递减．因此, ()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增, 在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减． （19）【2019年重庆, 理19】（本小题满分13分, （Ⅰ）小问4分, （Ⅱ）小问9分）如图, 三棱锥P ABC -中, PC ⊥平面ABC , 3PC =, 2ACB π∠=, ,D E 分别为线段,AB BC上的点, 且2CD DE ==, 22CE EB ==．（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求二面角A PD C --的余弦值． 解：（Ⅰ）因PC ⊥平面ABC , DE ⊂平面ABC , 故PC DE ⊥．又2CD DE ==, 2CE =, 故CDE ∆X 0 1 2 P 715 715 115为等腰直角三角形, 且CD DE ⊥．因PC CD C =I , PC ⊂平面PCD , CD ⊂平面PCD ,所以DE ⊥平面PCD ．（Ⅱ）如图, 取CE 的中点F , 连DF ．由（Ⅰ）知CDE ∆为等腰直角三角形, 故DF CE ⊥,1DF CF FE ===．又2ACB π∠=, 故//DF AC , 因此23DF FB AC CB ==, 从而32AC =．以C 为原点, ,,CA CB CP u u u r u u u r u u u r的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系 C xyz -．则()0,0,0C , 3,0,02A ⎛⎫⎪⎝⎭, ()0,2,0E , ()1,1,0D , ()0,0,3P , 故1,1,02DA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ,()1,1,3DP =--u u u r , ()1,1,0DE =-u u u r ．设()1111,,n x y z =u u r 为平面APD 的法向量, 则1100n DA n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u ru u r u u u r即111112030x y x y z -=⎧⎨--+=⎩, 取11y =得()12,1,1n =u u r ．由（Ⅰ）知DE ⊥平面PCD , 故DE u u u r 即为平面PCD 的法向量．因1113cos ,||||n DE n DE n DE ⋅==⋅u u r u u u ru u r u u u r u u r u u u r , 故所求二面角A PD C --的余弦值为3． （20）【2019年重庆, 理20】（本小题满分12分, （Ⅰ）小问7分, （Ⅱ）小问5分）设函数()()23xx axf x a R e+=∈． （Ⅰ）若()f x 在0x =处取得极值, 确定a 的值, 并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[)3,+∞上为减函数, 求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）由题()()()()2226336x xxxx a e x ax e x a x af x e e +-+-+-+'==, 因()f x 在0x =处取得极值, 故()00f '=, 得0a =．因此()23x f x x e -=, ()()263x f x x x e -'=-．从而()31f e=, ()31f e'=, 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()331y x e e -=-即30x ey -=．（Ⅱ）由题知()0f x '≤对3x ≥恒成立, 故()2360x a x a -+-+≥即()3311a x x ≥---对3x ≥恒成立．显然()()3311g x x x =---在[)3,+∞单调递减, 故()()max 932g x g ==-, 所以92a ≥-, 即a 的取值范围为9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（21）【2019年重庆, 理21】（本题满分12分, （Ⅰ）小问5分, （Ⅱ）小问7分）如图, 椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F , 过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点, 且1PQ PF ⊥．（Ⅰ）若1||22PF =+, 2||22PF =-, 求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若1||||PF PQ =, 求椭圆的离心率e ．解：（Ⅰ）由题122||||4a PF PF =+=, 故2a =．又222124||||12c PF PF =+=, 故23c =, 因此zyxF PEDCBA2221b a c =-=, 从而椭圆方程为2214x y +=．（Ⅱ）连1F Q ,由题(1114||||||2||a F P PQ QF F P =++=,故(1||22F P a =, 从而21||2||F P a F P =-)21a =, 因此(2222124||||49c PF PF a =+=-, 所以229e =-,得e（22）【2019年重庆, 理22】（本题满分12分, （Ⅰ）小问4分, （Ⅱ）小问8分）在数列{}n a 中, 13a =,()2110n n n n a a a a n N λμ+++++=∈．（Ⅰ）若0λ=, 2μ=-, 求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若()0001,2k N k k λ+=∈≥, 1μ=-, 证明：010011223121k a k k ++<<+++． 解：（Ⅰ）由0λ=, 2μ=-得212n n n a a a +=．因130a =>, 故0n a >, 得12n n a a +=．因此{}n a 是首项为3公比为2的等比数列, 从而132n n a -=⋅．（Ⅱ）由题2101n n n a a a k +⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 因130a =>, 故1230n a a a =>>>>>L L ．因21000011111n n n n n a a a k k k a a k +==-+⋅+⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 即1001111n n n a a k k a +⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭, 故()0011111100000111113131213131k k k k i i i i i i a a a a k k a k k k ++===⎛⎫⎛⎫=+-=+->+-=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑,因此001212k k a a a a +>>>>>L , 从而00110001113122121k k i a k k k +=⎛⎫<+-=+ ⎪++⎝⎭∑． 综上可知010011223121k a k k ++<<+++．。
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2
2
一个与 ABCD 所在平面距离等于 2 的平面去截球，S 便为其中一个交点，此平 4
面的中心设为 H，则 OH
2 2
2 4
2 4
，故 S故
SG
SH 2 HG2
7 8
2 2 4
1
（10）设 m，k 为整数，方程 mx2 kx 2 0 在区间（0,1）内有两个不同的根，
故抛物线开口向上，于是 m 0 ， 0 k 2m ，令 m 1，则由 k 2 8m 0 ，得
k 3 ，则 m k 3 ，所以 m 至少为 2，但 k 2 8m 0 ，故 k 至少为 5，又 22
m k 5 ，所以 m 至少为 3，又由 m k 2 5 2 ，所以 m 至少为 4，……依 22
b a
4a b
4
1 2
5
2
b A4a ab
9 2
（8）在圆 x2 y2 2x 6 y 0 内，过点 E 0,1的最长弦和最短弦分别为 AC 和
BD，则四边形 ABCD 的面积为
（A） 5 2
（B）10 2
（C）15 2
（D） 20 2
解析：选 B ，由题意，AC 为直径，设圆心为 F，则 FE BD ,圆的标准方程为
次类推，发现当 m 6, k 7 时， m, k 首次满足所有条件，故 m k 的最小值为 13
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案写在答题卡相应 位置上。
（11）在等差数列an中， a3 a7 37 ，则 a2 a4 a6 a8
解析：74. a2 a8 a4 a6 a3 a7 37 ，故 a2 a4 a6 a8 2 37 74
（12）已知单位向量 ci , c j 的夹角为 60 ，则 2ci c j
重庆市南开中学高2019级高三数学(理)测试(4.21)(图片版)
重庆市南开中学高2019届高三数学考试理科数学试题(2019.04.21 )重庆南开中学高2019级高三数学(理〉测试(4.21)—*涯择曲(本题共门小型毎小跳5分，共60分.在毎小题给出的四个选项中,只有f顼捷符合题目娶求的)1.设复数二满足・则=在复平面内的对应点位于()]+ /A. 第一象限B.第二象限C第三象眼D.第四象限2.若集合4卜|兽£0卜 5 = {i|-1<x<2jr 则()A. [-2,2)B. (-L1]C.(-Ll)D.(-l,2)3. 已知取仙线匚-益=1("0, 6>0)的一条渐近践方程为y = 2Xf且经过点P 皿4),姬双曲a b馥的方程是(〉A r—- —-1 0X_Z=，1cf Dr X i -—■ 14 32 34 2 844.在MBC中，BD = -DCi则丽二()2A.丄X5+-XC B+ -AB+-AC4 4 3 3G抨存D抨存:A.谏公司2018年度冰轉晏电器擔害亏损B*诛公司201&年度小家电类电器营业收入和净利润相同C. 该公同20揺年老净利衙主妾由空调类电器甫欝提供D. 副除林箱类电器销电数祁石・谡住司曲淖耶度空调类电器销售浄利润占比将会耳低6.将国数f(x) = 2$叫"?)7的图象上备点横生标缩短到原来的*畝坐标不喪)得到密数g()r)的圈象，则下列说法正瓏的是< )甩函数巩工)的圏象关于点[哈勺对称玖函數列打的周期巧C,函数貞工)在卜彳]上单调递増D函數就对在卜壬]上最大值是iI 1工已知橢做吞■ +令二15 Ab》0)的左右焦点分别为斤丹，右顶点为N r上顶直为以线啟卢；』九直径的附交践段叩的延长域于点若尸，则该楠园离心率是〔)議驚話疇饗富常牒:豁牒囂輕严A.曲种B.44种C.關种10-如图F 止方形网格紙中的实统图曲是一牛赛面体的三观樹・划该多面体 各表面所在平面互相垂直的有（）扎2对 B. 3对 —对 D.5对11,“垛視术飞隙职术［杲由北宋科学家沈括在电梦濱雄谈》中fl ■创，南宋栽学家畅辉、元试数学家朱 世蛊丰富和笈展的一类数列求和方法，有芟草垛、方垛、勺童垛、三炖垛尊辱.某色库中部分箕物 堆毁成如图所示的“芟車垛匕自上而下，第一层】件・以后毎一层比上••崖 每1件，垠疳一层是"件*已曲第…层贷物单价1万元.从第二层起”货物 射单价赴上一层单密的Z 若垃堆货物总价是100“孙汨万元・则用的值10 110/为（）A .7 B. 8 CftnSE ：）C. 9 DUO12函数人对詔-严"禺-1|在® 1）内有两个零点，则实歎b 的取值范囤捷（＞扎卜需 _血屮（斥-1，&）B.（l^f O ）U （O-e-l ）C,（l-Ve. O ）U （D T &-】） °（1F ■冈 1）（丘—1）二、填空尴【索题其4小他 得少船刍乩 共初加□.设零塑数列{斗}的馆”项和为若兔亠叫尅列归」的公擡吐 一——-14.若 $in （壬 + a J - j * 则 cos 2a + cosff " __ _——•15. 若CI + £H O ・ PC a1+ b 1 + _-——-的摄小值为 __{»}16. 已知芈轻为4的球面上冇两点A,B t *S 球心为0，若球面上的动点（？満足二面箱C-AB-O 的大小为60S 珈四面体Q （眈的外接琼的半轻为 ___________ -D.弭种■视脳三、解答越（本大题共6小竝，共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤》 <-）必考题匕共60分.17* 在 中，角儿 B* （7 所对的边分别为 g th Ct sin ：i4 + sin 2B + sin^sin^ = 2csinC r MBC 的 面积S * abc ■ <1）求角（？：（2）求XBC 周长的取值范围.18.如图，三棱台ABC - EFG 的底面是正三角形，平面4BC 丄平面BCGF ，CB = 2GF, BF = CF. （】）求证t /目丄fG ；C2）若ECYI 求宜线/E 与平面好£心所成角的正弦值.19.某种大型医疗检査机骼生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种趙过质保期后两年内 的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元”在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000 元： 方案二；交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次「超过4次每次收取维修费 1000 元 某医院准备一次性购买2台这种机器•现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案・为此搜集 并整理了 50台这种趴器超过质保期后延保两年内維修的次数，得下寧：以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率•记*表示这2台机器超过质 保期后延保的两年内共需维修的次数・ （］>求X 的分布列；（2）以所霊延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？< 1)B «2S®c 薦7S°)上F “g 惦其儒点F 的距离为10. 爲鶴%;圜灌鑑交于4 〃两点，且拋物线耐占两维修次数1一」P 台数5102015A点处的切钱分别込轴于21* 已知函数/(x) = a(x+l)ln(x+1)-i2-ffc(a>0)Ji减函数C1)试确定口的值；⑵已知数列⑷，“学* …码碣…心皀心求证：h[(«+2)7；]<t-^<-)选考题：共10分•谓考生在第22、23两題中住选一题作誓・注竄：只能惟所选走的题目如果多熾*则按所做的第一个题目计分.22. (本小题満分10分)选修4一4:坐标系与参数方程在直為坐嫌系Q中，曲践G的参数方程为i x = 2c^{0为参数).在以原点。
2019年重庆市高考数学试卷(理科)(附详细答案)
2019年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是（）A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列2．（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.44．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣ B．0 C．3 D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A．s＞B．s＞C．s＞D．s＞6．（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“ｘ＞1”是“ｘ＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q7．（5分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）A．54 B．60 C．66 D．728．（5分）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|?|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．39．（5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．72 B．120 C．144 D．16810．（5分）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）A．bc（b+c）＞8 B．ab（a+b）＞16C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24二、填空题：本大题共3小题，每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（?U A）∩B=．12．（5分）函数f（x）=log2?log（2x）的最小值为．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14．（5分）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=．15．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝．16．若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）已知函数f（x）=sin（ωｘ+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．18．（13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（Ⅱ）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上的一点，且BM=，MP⊥AP．（Ⅰ）求PO的长；（Ⅱ）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值．20．（12分）已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c．（Ⅰ）确定a，b的值；（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围．21．（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上．DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．22．（12分）设a1=1，a n+1=+b（n∈N*）（Ⅰ）若b=1，求a2，a3及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立，证明你的结论．2019年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是（）A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列【分析】利用等比中项的性质，对四个选项中的数进行验证即可．【解答】解：A项中a3=a1?q2，a1?a9=?q8，（a3）2≠a1?a9，故A项说法错误，B项中（a3）2=（a1?q2）2≠a2?a6=?q6，故B项说法错误，C项中（a4）2=（a1?q3）2≠a2?a8=?q8，故C项说法错误，D项中（a6）2=（a1?q5）2=a3?a9=?q10，故D项说法正确，故选：D．【点评】本题主要考查了是等比数列的性质．主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断．2．（5分）在复平面内复数Z=i（1﹣2i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．【解答】解：∵复数Z=i（1﹣2i）=2+i∵复数Z的实部2＞0，虚部1＞0∴复数Z在复平面内对应的点位于第一象限故选：A．【点评】本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z化为a=bi（a，b∈R）的形式，是解答本题的关键．3．（5分）已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.4【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．【解答】解：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D；样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，故选：A．【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．4．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣ B．0 C．3 D．【分析】根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可．【解答】解：∵=（k，3），=（1，4），=（2，1）∴2﹣3=（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）?=0'∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0，解得，k=3．故选：C．【点评】本题考查数量积的坐标表达式，是一个基础题，题目主要考查数量积的坐标形式，注意数字的运算不要出错．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）A．s＞B．s＞C．s＞D．s＞【分析】程序运行的S=××…×，根据输出k的值，确定S的值，从而可得判断框的条件．【解答】解：由程序框图知：程序运行的S=××…×，∵输出的k=6，∴S=××=，∴判断框的条件是S＞，故选：C．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S值是解题的关键．6．（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“ｘ＞1”是“ｘ＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q【分析】由命题p，找到x的范围是x∈R，判断p为真命题．而q：“ｘ＞1”是“ｘ＞2”的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答．【解答】解：因为命题p对任意x∈R，总有2x＞0，根据指数函数的性质判断是真命题；命题q：“ｘ＞1”不能推出“ｘ＞2”；但是“ｘ＞2”能推出“ｘ＞1”所以：“ｘ＞1”是“ｘ＞2”的必要不充分条件，故q是假命题；所以p∧￢q为真命题；故选：D．【点评】判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断．7．（5分）某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）A．54 B．60 C．66 D．72【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，∵AB⊥平面BEFC，∴AB⊥BC，BC=5，FC=2，AD=BE=5，DF=5∴几何体的表面积S=×3×4+×3×5+×4+×5+3×5=60．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．8．（5分）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|?|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【分析】不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex ﹣a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|?|PF2|=ab，∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，∴（3b﹣4a）（3b+a）=0∴a=b，∴c==b，∴e==．故选：B．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．9．（5分）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A．72 B．120 C．144 D．168【分析】根据题意，分2步进行分析：①、先将3个歌舞类节目全排列，②、因为3个歌舞类节目不能相邻，则分2种情况讨论中间2个空位安排情况，由分步计数原理计算每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：分2步进行分析：1、先将3个歌舞类节目全排列，有A33=6种情况，排好后，有4个空位，2、因为3个歌舞类节目不能相邻，则中间2个空位必须安排2个节目，分2种情况讨论：①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目，有C21A22=4种情况，排好后，最后1个小品类节目放在2端，有2种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48种；②将中间2个空位安排2个小品类节目，有A22=2种情况，排好后，有6个空位，相声类节目有6个空位可选，即有6种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72种；则同类节目不相邻的排法种数是48+72=120，故选：B．【点评】本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要计算或分类简便．10．（5分）已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）A．bc（b+c）＞8 B．ab（a+b）＞16C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24【分析】根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质进行证明即可得到结论．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，∴sin2A+sin2B=﹣sin2C+，∴sin2A+sin2B+sin2C=，∴2sinAcosA+2sin（B+C）cos（B﹣C）=，2sinA（cos（B﹣C）﹣cos（B+C））=，化为2sinA[﹣2sinBsin（﹣C）]=，∴sinAsinBsinC=．设外接圆的半径为R，由正弦定理可得：=2R，由S=，及正弦定理得sinAsinBsinC==，即R2=4S，∵面积S满足1≤S≤2，∴4≤R2≤8，即2≤R≤，由sinAsinBsinC=可得，显然选项C，D不一定正确，A．bc（b+c）＞abc≥8，即bc（b+c）＞8，正确，B．ab（a+b）＞abc≥8，即ab（a+b）＞8，但ab（a+b）＞16，不一定正确，故选：A．【点评】本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分共15分把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（?U A）∩B={7，9} ．【分析】由条件利用补集的定义求得?U A，再根据两个集合的交集的定义求得（?A）∩B．U【解答】解：∵全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，∴（?U A）={4，6，7，9 }，∴（?U A）∩B={7，9}，故答案为：{7，9}．【点评】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．12．（5分）函数f（x）=log2?log（2x）的最小值为．【分析】利用对数的运算性质可得f（x）=，即可求得f（x）最小值．【解答】解：∵f（x）=log2?log（2x）∴f（x）=log（）?log（2x）=log x?log（2x）=log x（log x+log2）=log x（log x+2）=，∴当log x+1=0即x=时，函数f（x）的最小值是．故答案为：﹣【点评】本题考查对数不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的综合应用，考查二次函数的配方法，属于中档题．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=4±．【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解：圆心C（1，a），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d=，平方得a2﹣8a+1=0，解得a=4±，故答案为：4±【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．三、选做题：考生注意（14）（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分14．（5分）过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点），再作割线PBC依次交圆于B、C，若PA=6，AC=8，BC=9，则AB=4．【分析】由题意，∠PAB=∠C，可得△PAB∽△PCA，从而，代入数据可得结论．【解答】解：由题意，∠PAB=∠C，∠APB=∠CPA，∴△PAB∽△PCA，∴，∵PA=6，AC=8，BC=9，∴，∴PB=3，AB=4，故答案为：4．【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判断，属于基础题．15．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0（ρ≥0，0≤θ＜2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝．【分析】直线l的参数方程化为普通方程、曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求出公共点的坐标，即可求出极径．【解答】解：直线l的参数方程为，普通方程为y=x+1，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0的直角坐标方程为y2=4x，直线l与曲线C联立可得（x﹣1）2=0，∴x=1，y=2，∴直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝=．故答案为：．【点评】本题考查直线l的参数方程、曲线C的极坐标方程，考查学生的计算能力，属于中档题．16．若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，] ．【分析】利用绝对值的几何意义，确定|2x﹣1|+|x+2|的最小值，然后让a2+a+2小于等于它的最小值即可．【解答】解：|2x﹣1|+|x+2|=，∴x=时，|2x﹣1|+|x+2|的最小值为，∵不等式|2x﹣1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立，∴a2+a+2≤，∴a2+a﹣≤0，∴﹣1≤a≤，∴实数a的取值范围是[﹣1，]．故答案为：[﹣1，]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，突出考查一元二次不等式的解法及恒成立问题，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）已知函数f（x）=sin（ωｘ+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．【分析】（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω=2．再根据图象关于直线x=对称，结合﹣≤φ＜可得φ 的值．（Ⅱ）由条件求得sin（α﹣）=．再根据α﹣的范围求得cos（α﹣）的值，再根据cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]，利用两角和的正弦公式计算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．再根据图象关于直线x=对称，可得2×+φ=kπ+，k∈z．结合﹣≤φ＜可得φ＝﹣．（Ⅱ）∵f（）=（＜α＜），∴sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=．再根据0＜α﹣＜，∴cos（α﹣）==，∴cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin=+=．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωｘ+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题．18．（13分）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．（Ⅰ）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（Ⅱ）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．（注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）【分析】第一问是古典概型的问题，要先出基本事件的总数和所研究的事件包含的基本事件个数，然后代入古典概型概率计算公式即可，相对简单些；第二问应先根据题意求出随机变量X的所有可能取值，此处应注意所取三张卡片可能来自于相同数字（如1或2）或不同数字（1和2、1和3、2和3三类）的卡片，因此应按卡片上的数字相同与否进行分类分析，然后计算出每个随机变量所对应事件的概率，最后将分布列以表格形式呈现．【解答】解：（Ⅰ）由古典概型的概率计算公式得所求概率为P=，（Ⅱ）由题意知X的所有可能取值为1，2，3，且P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，所以X的分布列为：X123P所以E（X）=．【点评】本题属于中档题，关键是要弄清涉及的基本事件以及所研究的事件是什么才能解答好第一问；第二问的只要是准确记住了中位数的概念，应该说完成此题基本没有问题．19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上的一点，且BM=，MP⊥AP．（Ⅰ）求PO的长；（Ⅱ）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值．【分析】（Ⅰ）连接AC，BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，分别求出向量，的坐标，进而根据MP⊥AP，得到?=0，进而求出PO的长；（Ⅱ）求出平面APM和平面PMC的法向量，代入向量夹角公式，求出二面角的余弦值，进而根据平方关系可得：二面角A﹣PM﹣C的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）连接AC，BD，∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，故AC∩BD=O，且AC⊥BD，以O为坐标原点，OA，OB，OP方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系O﹣xyz，∵AB=2，∠BAD=，∴OA=AB?cos（∠BAD）=，OB=AB?sin（∠BAD）=1，∴O（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），C（﹣，0，0），=（0，1，0），=（﹣，﹣1，0），又∵BM=，∴=（﹣，﹣，0），则=+=（﹣，，0），设P（0，0，a），则=（﹣，0，a），=（，﹣，a），∵MP⊥AP，∴?=﹣a2=0，解得a=，即PO的长为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知=（﹣，0，），=（，﹣，），=（，0，），设平面APM的法向量=（x，y，z），平面PMC的法向量为=（a，b，c），由，得，令x=1，则=（1，，2），由，得，令a=1，则=（1，﹣，﹣2），∵平面APM的法向量和平面PMC的法向量夹角θ满足：cosθ＝==﹣故sinθ＝=【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．20．（12分）已知函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c．（Ⅰ）确定a，b的值；（Ⅱ）若c=3，判断f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（x）有极值，求c的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，构造关于a，b的方程，可得a，b的值；（Ⅱ）将c=3代入，利用基本不等式可得f′（x）≥0恒成立，进而可得f（x）在定义域R为均增函数；（Ⅲ）结合基本不等式，分c≤4时和c＞4时两种情况讨论f（x）极值的存在性，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ae2x﹣be﹣2x﹣cx（a，b，c∈R）∴f′（x）=2ae2x+2be﹣2x﹣c，由f′（x）为偶函数，可得2（a﹣b）（e2x﹣e﹣2x）=0，即a=b，又∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4﹣c，即f′（0）=2a+2b﹣c=4﹣c，故a=b=1；（Ⅱ）当c=3时，f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣3≥2=1＞0恒成立，故f（x）在定义域R为均增函数；（Ⅲ）由（Ⅰ）得f′（x）=2e2x+2e﹣2x﹣c，而2e2x+2e﹣2x≥2=4，当且仅当x=0时取等号，当c≤4时，f′（x）≥0恒成立，故f（x）无极值；当c＞4时，令t=e2x，方程2t+﹣c=0的两根均为正，即f′（x）=0有两个根x1，x2，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞，x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＞0，故当x=x1，或x=x2时，f（x）有极值，综上，若f（x）有极值，c的取值范围为（4，+∞）．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档．21．（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上．DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．【分析】（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF1|==，|DF2|=，从而可得2a=2，于是可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由F1P1⊥F2P2，得x1=﹣或x1=0，分类讨论即可求得圆的半径．【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，由=2，得|DF1|==c，从而=|DF1||F1F2|=c2=，故c=1．从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2，得=+=，因此|DF2|=，所以2a=|DF1|+|DF2|=2，故a=，b2=a2﹣c2=1，因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣+=0，由椭圆方程得1﹣=，即3+4x1=0，解得x1=﹣或x1=0．当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；当x1=﹣时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C．由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，知CP1⊥CP2，又|CP1|=|CP2|，故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题．22．（12分）设a1=1，a n+1=+b（n∈N*）（Ⅰ）若b=1，求a2，a3及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b=﹣1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立，证明你的结论．【分析】（Ⅰ）若b=1，利用a n+1=+b，可求a2，a3；证明{（a n﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列，即可求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设f（x）=，则a n+1=f（a n），令c=f（c），即c=﹣1，解得c=．用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，a n+1=+b，b=1，∴a2=2，a3=+1；又（a n+1﹣1）2=（a n﹣1）2+1，∴{（a n﹣1）2}是首项为0，公差为1的等差数列；∴（a n﹣1）2=n﹣1，∴a n=+1（n∈N*）；（Ⅱ）设f（x）=，则a n+1=f（a n），令c=f（c），即c=﹣1，解得c=．下面用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n+1＜1．n=1时，a2=f（1）=0，a3=f（0）=﹣1，∴a2＜c＜a3＜1，成立；设n=k时结论成立，即a2k＜c＜a2k+1＜1∵f（x）在（﹣∞，1]上为减函数，∴c=f（c）＞f（a2k+1）＞f（1）=a2，∴1＞c＞a2k+2＞a2，∴c=f（c）＜f（a2k+2）＜f（a2）=a3＜1，∴c＜a2k+3＜1，∴a2（k+1）＜c＜a2（k+1）+1＜1，即n=k+1时结论成立，综上，c=使得a2n＜c＜a2n+1对所有的n∈N*成立．【点评】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，难度大．。
2019年重庆市高考数学试卷含答案
ab 20．已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，| a |=2，| b |=1，则| a +2 b |= ______ . 三、解答题
2019 年重庆市高考数学试卷含答案
一、选择题
1．某人连续投篮 5 次，其中 3 次命中，2 次未命中，则他第 2 次，第 3 次两次均命中的
概率是 ( )
A． 3 10
B． 2 5
C． 1 2
D． 3 5
2．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23 ，样本点的中心 4,5 ，则回归直线方程为
（）
A． yˆ 1.23x 0.08
A． 5 3
B． 3 5
C． 3 7
D． 5 7
9．若 a,b R,i 为虚数单位，且 (a i)i b i ，则
A． a 1,b 1
B． a 1,b 1 C． a 1,b 1 D． a 1,b 1
10．若干年前，某教师刚退休的月退休金为 6000 元，月退休金各种用途占比统计图如下面
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A 解析：A 【解析】 【分析】
基本事件总数 n C35C22 10 ，他第 2 次，第 3 次两次均命中包含的基本事件个数 m C22C13C22 3 ，由此能求出他第 2 次，第 3 次两次均命中的概率，得到答案．
的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折
线图.已知目前的月就医费比刚退休时少 100 元，则目前该教师的月退休金为（ ）.
重庆 2019年 文数 解析
2019年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）本试卷满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）A ．22(2)1x y +-=B ．22(2)1x y ++=C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1x y +-= 【答案】A解法1（直接法）：设圆心坐标为(0,)b 1=，解得2b =，故圆的方程为22(2)1x y +-=。
解法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为22(2)1x y +-= 解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B ，D ，又由于圆心在y 轴上，排除C 。
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ） A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 【答案】B解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”。
3．6(2)x +的展开式中3x 的系数是（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA ．20B ．40C ．80D ．160【答案】D解法1设含3x 的为第1r +，则1Tr +62rrrn C x-=⋅，令63r -=，得3r =，故展开式中3x 的系数为3362160C ⋅=。
解法2根据二项展开式的通过公式的特点：二项展开式每一项中所含的x 与2分得的次数和为6，则根据条件满足条件3x 的项按3与3分配即可，则展开式中3x 的系数为3362160C ⋅=。
4．已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是（ ） A ．-2 B ．0C ．1D ．2【答案】D解法1因为(1,1),(2,)a b x ==，所以(3,1),42(6,42),a b x b a x +=+-=-由于a b +与42b a -平行，得6(1)3(42)0x x +--=，解得2x =。
2019年重庆市高考数学试卷(理科)答案解析
2019年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的=2．（5分）不等式的解集为（）．B D．由不等式可得，解得﹣＜的解集为224．（5分）的展开式中常数项为（）．．的展开式通项公式中，令的展开式通项公式为=，=0=，2==6．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）．．，以及|===）且⊥，∥，则有||=，7．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增8．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）9．（5分）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的））），AD=＜＜．10．（5分）设平面点集．．∵⇔或均关于故阴影部分面积为圆的面积的一半，即二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）若（1+i）（2+i）=a+bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a+b=4．12．（5分）=．把要求的式子化为，即，再利用极限及其运算法解：===，．本题主要考查极限及其运算法则的应用，把要求的式子化为，是解题13．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则c=．，cosB=，sinA==sinB==，=sinAcosB+cosAsinB=×+×==得：=．故答案为：14．（5分）过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，则|AF|=．，+x|BF|=+x，所以）x+，|AF|=+x故答案为：15．（5分）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）．节艺术课，则排法种数为=216文化课中相邻排列，则排法种数为，而所有的排法共有节艺术课，则排法种数为若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，则排法种数为而所有的排法共有=．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（13分）设，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．（，确定函数的单调性，即可求得函求导函数可得，∴（（舍去）17．（13分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．=，（（==（（（×+=（（=（=1 2×+2××=18．（13分）设f（x）=4cos（ωx﹣）sinωx﹣cos（2ωx+π），其中ω＞0．（Ⅰ）求函数y=f（x）的值域（Ⅱ）若f（x）在区间上为增函数，求ω的最大值．sin2）在区间上为增函数，此区间必为函数某一个单调区间的﹣）cos sincos x+sin2][所以，解不等式得≤[）在区间上为增函数⊆[，于是有，故．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值．CD===2D=．所以，0），C1（0，，h），从而=（4，0，h），=（2，，﹣h），=，=2 =，的法向量为=，则有⊥，⊥•=0且•，即，取，则=，的法向量为⊥，⊥，即=0，得＜，==余弦值。
名师点评：高考重庆卷理科数学试题
名师点评：2019年高考重庆卷理科数学试题2019年四川理科数学试题重基础、出活题、考能力。
一试题易、中、难层次明显，尤其重视考查基础，选择题1至8题，填空题13至15题，解答题17至20题，21题第1问共一百分左右的题目都十分基础。
这些试题起点较低，只要平时重视教材，抓好第一轮复习中的基础练习，做到理解、熟练、准确，就能顺利解答。
选择题9至12题逐渐加难，尤其12题提高了难度。
解答题21题题型常见，有一定运算量。
22题作为最后一题，把函数、导数、数列、不等式等主干内容有机结合，层层递进，增强了试题的选拔功能。
试题第12、16、22题作为把关试题，用意明显。
二注重主干知识、重点内容考查，试题不偏不怪。
如19题，考查了异面直线公垂线、二面角、体积，这些都是立几中的典型问题，都是围绕立几中最核心的位置关系“垂直”而展开，着力考查了数学中的重点、难点。
三重视数学思想方法和分析问题、解决问题能力的考查。
如第2、4、6、9、10、14、15、21题考查了数形结合。
12、22题考查了化归的思想方法。
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。
我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。
看得清才能说得正确。
在观察过程中指导。
我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。
有的孩子说“乌云跑得飞快。
”我加以肯定说“这是乌云滚滚。
”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。
”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。
点评重庆文科数学卷：难度适中无偏题
点评2019年重庆文科数学卷：难度适中无偏题2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学测试（重庆卷）试题点评：伍绍华重庆市万州第三中学高三数学教师考试内容和试卷结构符合考试大纲的要求，做到了数学试题命制的连续性和稳定性，既保证了科学性、公平性的实现，又稳中有新，较好地体现了数学课程改革的要求和我市地方特色。
试题科学、规范、准确，无偏题怪题，试卷难度适中，总体上不难。
试题具有以下特点：试题考查内容分布科学合理，具体表现在：第一：选择题第1道至第7道都是基础题和中档题，题目主要考查学生对定理、公理和基本概念的理解和掌握，计算量比较小，属于易得分的题。
但从第8道题开始题目难度稍有提升，第8题考查了圆锥曲线的参数坐标和直线与圆锥曲线的位置关系的判断。
第9题利用了异面直线问题来考查了学生的空间想象能力，是一道易错的题目。
第10题是一道排列组合的问题，题干利用了即将当来的端午节值班安排作为题目的出发点是素质和人文教育以及让学生“身临其境”的目标立意凸显。
第二：填空题前4道题目属于比较简单的常规题目，其中第12题与前两年的重庆文科数学求函数的最值问题试题相比仅是考查了一个基本的均值不等式，难度也大幅下降。
填空题最后一道题目的难度有大的提升，主要考查学生利用题设条件分析和归纳问题的能力。
第三：解答题部分与前几年试题顺序有很大的变化，今年把以往年最后一道考查的数列试题放在了大题第一题的位置，试题难度大大降低。
第一问主要考查等差数列的通项公式和前n项和，第二问同样是构造一个新数列后求其通项公式和前n项和。
第二大题的概率题目与往年的难度相差不大，但容易失分。
第三大题考查三角函数的题目，第一问主要考查余弦定理，第二问的式子化简容易出错。
第四大题主要考查奇函数的性质与导数的知识，题目的难度属于中档题。
第五大题作为立体几何题来看难度与往年持平，尤其是第二问学生在构造二面角的平面角时有一定的难度，不过用向量解决要简单些。
重庆高考数学试题分析题型常规 试题区分度好
重庆高考数学试题分析题型常规试题区分度好
2019重庆高考数学试题分析题型常规试题区分
度好
1.试题形式
重庆市2019年数学高考题(文、理)均无偏题、怪题，题型常规，学生入手容易;思维常规，无刻意追求技巧解法，着重考查通解通法。
对学生能力要求很适合重庆考生的实际，为新课程实施起到了很好的导向作用。
2.试题结构
文、理科试题结构与2019年普通高考国家课标版《考试大纲》和重庆市2019《考试说明》相吻合，试题从生活中来并应用到生活中去，如理科3题、17题，文科4题、17题。
同时也是对社会宣传的正能量。
3.试题难度
重庆市2019年数学高考题非常适合2019年重庆考生的水平和实际，是一套难得的好试卷。
我估计文理科试题难度与2019年基本持平，理科稍微简单一点点，文科稍微难一点点。
4. 试题区分度
重庆市2019年数学高考题不但满足了难度要求，在试题的区分度上也体现得非常好。
能较好的区分出数学学得很好、好、中、差、很差的学生。
如：理科
1--4，11，文科1--4，11，12属于基础题;理科5--9，12--16，17--20，21的第一问，22题的第一问，文科5--9，。
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2019年重庆市高中数学高考阅卷各题情况梳理一、理科数学：填空题典型解法及错误：13题常见答案：0.98；4958；98100；98％；14题常见答案：-3；ln81ln2；ln8ln2-；18ln2；12ln8；log8ln2e-；1ln8ln2；15题常见答案：316题常见答案：第一空26，1；22；；1空，有学生填反。
17题典型解法：第一问：几何法1：参见标准答案；几何法2：∵1BE EC⊥，∴11222BE EC BC+=即11222221111()BE BC B E BC B B++=+，∴22211BE B E B B+=，∴1BE B E⊥；几何法3：利用三垂线定理，由1BE EC⊥，证明1BE B E⊥；向量法1：通过建系，求得平面11C B E的法向量nr，算得n BEλ=r u u u r，进而证得BE⊥平面11C B E；向量法2：利用向量计算11111111())0BC BE BC BA AE BC BA BC AE⋅=⋅+=⋅+⋅=u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r，进而证得11B C BE⊥。
第二问：几何法1：利用三垂线定理作二面角1B EC C --的补角。
连BD AC O =I ，过O 作ON CE ⊥于N ，连结BN ，BNO ∠即为二面角1B EC C --的平面角； 几何法2：延展平面1BEC DD F =I ，连结1C F ，则1C F ⊥平面BEC ，再作二面角1B EC C --的补角即可；向量法：参照校准答案（只是建系时坐标原点的选择不同）。
值得一提的是，有的同学用a b ⨯r r确定平面的法向量，也有的用行列式计算法向量，比较简洁且准确，而且a b ⨯r r可以彻底解决困扰老师多年的二面角锐（钝）角的判定难题；几何法+向量法：易知DB u u u r为平面1C CE 的法向量，而1B E u u u r 为平面BCE 的法向量，将DB u u u r平移至11D B u u u u r ，连1ED u u u u r ，恰好构成11B D E ∆，计算十分简单。
典型错误：（1） 由平面11B C E ⊥平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，证得BE ⊥平面11B C E ； （2） 设11,2,1AB AA AE ===，再证明1BE B E ⊥；（3） 建系后直接设11,2AB AA ==，解决第二问，没有证明12AA AB =； （4） 把线面角的公式和二面角的公式混为一谈；（5） 向量的坐标与点的坐标没有区分开，向量书写不写箭头； （6） 没有法向量计算的中间过程。
18题典型解法：（1） 第二问：前两次甲、乙一个胜一局，0.50.40.50.60.5⨯+⨯=，三、四局甲全胜0.50.40.2⨯=，所以0.50.20.1P =⨯=；（2） 第二问：前三局10.50.40.50.50.60.50.25P =⨯⨯+⨯⨯=，(4)0.40.250.1P x ==⨯=；（3） 第二问：0.50.40.50.1⨯⨯=。
典型错误：（1） 审题不清：第一问220.50.50.5+=； (2)0.50.50.40.60.5P x ==⨯+⨯=；(2)0.50.50.40.50.45P x ==⨯+⨯=；第二问0.50.40.50.520.1⨯⨯⨯⨯=；0.50.60.50.40.50.60.50.60.50.40.50.60.50.60.50.6⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯0.0108=；(0.50.60.50.4)(0.50.40.50.4)0.24P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=；（2） 第一问也理解成了甲胜，121(2)255P x ==⨯=，第二问0.50.40.50.40.50.60.50.6P =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯；（3） 第一问：0.50.40.50.50.60.5P =⨯⨯+⨯⨯，第二问多比了一局：0.50.40.50.60.50.50.40.50.40.5P =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯；（4） 第二问错误理解为甲、乙各胜两局；（5） 第二问多算了甲甲乙甲或甲甲甲乙的情况，比分误理解3：1； （6） 误理解为超几何分布，第一问22220.50.40.50.60.5P C C =⨯⨯+⨯⨯=，第二问120.50.50.40.60.50.40.50.40.16P C =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=； （7） 误理解为胜的概率占总的一半：20.40.520.60.5(2)0.52P x ⨯⨯+⨯⨯===；（8） 独立重复，条件概率，算了平局； （9） 第一问：1(2)2P x ==第二问多算了乙胜的情况，或者讨论了甲、乙先发球的概率：乙先发球10.60.50.40.50.40.50.40.5P =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯， 甲先发球20.50.40.50.40.50.60.40.5P =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯，120.2P P P =+=。
19题典型解法：（1） 标准答案解法，两式相加、相减进行证明并求通项；（2） 第一问用定义法进行证明，如11343444n n n n n n n nn na b b a a b a b a b ++-+--++=++ 221442n n n n a b a b +==+；（3）第二问利用等差、等比数列前n 项和公式，先求得数列{}n n a b +、{}n n a b -前n 项和n n Q H 、，然后n n Q H 、相加减求得数列{}{}n n a b 、的前n 项和n n S T 、，进而求得n n a b 、；（4）11121121344(4)344(3)344(2)344(1)n n n n n nn n n n n n a a b b b a a a b b b a ++++++++=+-⎧⎪=++⎪⎨=+-⎪⎪=++⎩，[(1)(2)][(3)(4)]+-+证得{}n n a b +是等差数列同理证等比数列；（5）第二问先求11()2n n n a b -+=，得11()2n n n b a -=-，将其代入1434n n n a a b +=-+，得11112n n n a a ++-=-，再累加求得n a ，进一步求n b ；（6）利用等差中项、等比中项进行证明；（7）代入法消掉1n n b b +、，构造新等比数列1{1}n n a a +--，再构造等差数列1{}2nn a -（），从而求得通项。
典型错误：（1） 利用特殊值法证明等差、等比数列；（2） 计算出错较普遍。
如：移项时加、减符号出错；约分时公差、公比出错，错算成公差8、公比2，导致第二问失分；第二问求通项时，指数出错，112212n n a n -=+-，化简错算为21122n n a n -=+-。
20题典型解法： 第一问讨论单调性：法一：定义域为(0,1)(1,)+∞U ，∵'212()0(1)f x x x =+>-，∴()f x 在(0,1),(1,)+∞单调递增；法二：当1201x x <<<时，112122122()()()ln 0(1)(1)x x x f x f x x x x --=+<--，当121x x <<时，112122122()()()ln0(1)(1)x x x f x f x x x x --=+<--，∴()f x 在(0,1),(1,)+∞单调递增； 第一问证明零点：法一：∵2221213()0,()011e f f e e e e -=>=<--，∴存在1(0,1)x ∈，使1()0f x =，又∵22213()10,()011e ef e f e e e +-=-<=>--，∴存在1(1,)x ∈+∞，使2()0f x =，结合()f x 的单调性得函数()f x 有且仅有两个零点；法二：当0x +→时，()f x →-∞，当1x -→时，()f x →+∞，当1x +→时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →+∞，结合()f x 的单调性得函数()f x 有且仅有两个零点；法三：()0f x =即(1)ln 11x x x x ---=-即(1)ln 10x x x ---=，令()(1)ln 1g x x x x =---，'1()ln g x x x =-，211"()0g x x x =+>，∴'()g x 在(0,)+∞单调递增，令'3()0g x =，即331ln x x =，且3(1,2)x ∈，∴()g x 在3(0,)x 单调递减，3(,)x +∞单调递增， ∴min 3331()()()0g x g x x x ==-+<，又∵222213()10,()30g g e e e e=->=->∴()g x 在(0,)+∞有且仅有两个零点，∴()f x 有且仅有两个零点第二问证明公切线：法一：∵0x 是()f x 的零点，∴0001ln 1x x x +=-，由ln y x =得'1y x=，∴ln y x =在00(,ln )A x x 处的切线方程1001:y ln 1l x x x =⋅+-， 由x y e =得'x y e =，∴x y e =在44(,)x B x e 处的切线方程11121l :y x x x e x e x e =⋅+-，101x e x =时，有10ln 0x x =->，∴1100100001ln 1ln ln 1x x x x e x e x x x x +-=+==-，或都化成021x -，∴12l l 与共线，即ln y x =在00(,ln )A x x 处的切线也是x y e =的切线； 法二：∵0x 是()f x 的零点，∴0001ln 1x x x +=-，由ln y x =得'1y x =∴ln y x =在00(,ln )A x x 处的切线方程1001:y ln 1l x x x =⋅+-，令 101x e x =得10ln 0x x =->，代入x y e =得01y x =，∴001B(ln ,)x x -在曲线x y e =上，0000000000111ln 111ln 1ABl x x x x x k k x x x x x x +---====+---=-，得证。
法三：把法二中的001B(ln ,)x x -代入切线l ，刚好满足l 的解析式。
法四：联立001y ln 1xy e x x x ⎧=⎪⎨=⋅+-⎪⎩，结合0001ln 1x x x +=-得001201xe x x x -⋅-=- 令0012()01x h x e x x x =-⋅-=-，'01()x h x e x =-，''()0x h x e =>，∴'()h x 在定义域内单调递增，令'()0h x =即11001,ln 0x e x x x ==->，∴()h x 在0(0,ln )x -单调递减，0(ln ,)x -+∞单调递增，∴()h x 的极小值为0ln 000012(ln )ln 01x h x e x x x --=+⋅-=-，∴()h x 的图象与x 轴相切，即曲线x y e =与曲线001ln 1y x x x =⋅+-相切。