2019西城一模数学
高考数学专题-选填综合-逻辑推理与应用题 习题版
二轮复习专题-选填综合-逻辑推理与应用题一．选择题（共24小题）1．（2017•丰台区一模）一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a ，b ，c ，d 四件奖品（每扇门里仅放一件）．甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ；乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c ．如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是( )A ．aB ．bC ．cD ．d2．（2018•西城区一模）某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有三项任务U ，V ，W ，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：)s 依次为a ，b ，c ，其中a b c <<．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是( ) A ．U V W →→ B ．V W U →→ C ．W U V →→ D ．U W V →→3．（2012•昌平区二模）爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身心健康，但要注意安全，准备好必需物品，控制好速度．现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为1v ，下山的速度为212()v v v ≠，乙上下山的速度都是122v v +（甲、乙两人中途不停歇），则甲、乙两人上下山所用的时间1t ，2t 的关系为( ) A ．12t t > B ．12t t < C ．12t t =D ．不能确定4．（2019•东城区二模）在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q （辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数； 车流速度V （千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离； 车流密度K （辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数． 一般的，V 和K 满足一个线性关系，即00(1)KV v k =-（其中0v ，0k 是正数），则以下说法正确的是( )A．随着车流密度增大，车流速度增大B．随着车流密度增大，交通流量增大C．随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大D．随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小5．（2019•海淀区一模）某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级，该校周一上午课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有()A．8种B．10种C．12种D．14种6．（2019•丰台区一模）某电动汽车“行车数据”的两次记录如表：0.126（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，=累计耗电量平均耗电量累计里程，剩余续航里程)=剩余电量平均耗电量下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是() A．等于12.5B．12.5到12.6之间C．等于12.6D．大于12.67．（2016•海淀区一模）某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示，若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是( )A ．甲只能承担第四项工作B ．乙不能承担第二项工作C ．丙可以不承担第三项工作D ．丁可以承担第三项工作8．（2017•海淀区二模）已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为1x ，2x ，3x ，4x ，大圆盘上所写的实数分别记为1y ，2y ，3y ，4y ，如图所示．将小圆盘逆时针旋转(1i i =，2，3，4)次，每次转动90︒，记(1i T i =，2，3，4)为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如112233441T x y x y x y x y =+++．若12340x x x x +++<，12340y y y y +++<，则以下结论正确的是( )A ．1T ，2T ，3T ，4T 中至少有一个为正数B ．1T ，2T ，3T ，4T 中至少有一个为负数C ．1T ，2T ，3T ，4T 中至多有一个为正数D ．1T ，2T ，3T ，4T 中至多有一个为负数9．（2017•西城区二模）有三支股票A ，B ，C ，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A 股票的人中，持有B 股票的人数是持有C 股票的人数的2倍．在持有A 股票的人中，只持有A 股票的人数比除了持有A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A 股票．则只持有B 股票的股民人数是( ) A ．7 B ．6C ．5D ．410．（2018•保定二模）中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为a ，b ，(c a b c >>，且a ，b ，*)c N ∈；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是( ) A ．每场比赛第一名得分a 为4B ．甲可能有一场比赛获得第二名C ．乙有四场比赛获得第三名D ．丙可能有一场比赛获得第一名11．（2017•丰台区二模）血药浓度()PlasmaConcentration 是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的个数是( )①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒．A．1个B．2个C．3个D．4个12．（2018•东城区二模）A，B，C，D四名工人一天中生产零件的情况如图所示，每个点的横、纵坐标分别表示该工人一天中生产的I型、II型零件数，则下列说法错误的是( )A．四个工人中，D的日生产零件总数最大B．A，B日生产零件总数之和小于C，D日生产零件总数之和C．A，B日生产I型零件总数之和小于II型零件总数之和D．A，B，C，D日生产I型零件总数之和小于II型零件总数之和13．（2019•西城区一模）团体购买公园门票，票价如表：现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为() A．20B．30C．35D．4014．（2019•延庆区一模）5名运动员参加一次乒乓球比赛，每2名运动员都赛1场并决出胜负．设第i 位运动员共胜i x 场，负i y 场(1i =，2，3，4，5)，则错误的结论是( ) A ．1234512345x x x x x y y y y y ++++=++++B ．22222222221234512345x x x x x y y y y y ++++=++++ C ．12345x x x x x ++++为定值，与各场比赛的结果无关D ．2222212345x x x x x ++++为定值，与各场比赛结果无关15．（2019秋•昌平区期末）为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给A ，B ，C ，D 四个派送点准备某种商品各50个．根据平台数据中心统计发现，需要将发送给A ，B ，C ，D 四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品．为完成调整，则( )A ．最少需要16次调动，有2种可行方案B ．最少需要15次调动，有1种可行方案C ．最少需要16次调动，有1种可行方案D ．最少需要15次调动，有2种可行方案16．（2020•平谷区一模）在声学中，声强级L （单位：)dB 由公式1210()10I L lg -=给出，其中I 为声强（单位：2/)W m ．160L dB =，275L dB =，那么12(II = )A ．4510 B ．4510-C ．32-D ．3210-17．（2019秋•海淀区校级期末）某企业为激励员工创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( ) A ．2022年 B ．2023年 C ．2024年 D ．2025年18．（2019秋•海淀区期末）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2562种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2562次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行112.510⨯次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为( )（参考数据20.3010lg ≈，30.477)lg ≈A ．734.510⨯秒B ．654.510⨯秒C ．74.510⨯秒D ．28秒19．（2017•西城区一模）将五个1，五个2，五个3，五个4，五个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2．考察每行中五个数之和，记这五个和的最小值为m ，则m 的最大值为( ) A ．8 B ．9C ．10D ．1120．（2017•蚌埠三模）现有10支队伍参加篮球比赛，规定：比赛采取单循环比赛制，即每支队伍与其他9支队伍各比赛一场；每场比赛中，胜方得2分，负方得0分，平局双方各得1分．下面关于这10支队伍得分的叙述正确的是( ) A ．可能有两支队伍得分都是18分B ．各支队伍得分总和为180分C ．各支队伍中最高得分不少于10分D ．得偶数分的队伍必有偶数个21．（2019•东城区一模）某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票．这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88%，70%，46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值） 最高可能为( )A ．68%B ．88%C ．96%D ．98%22．（2018•东城区一模）某次数学测试共有4道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手”，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”．已知这次测试共有5个“学习能手”，则“难题”的个数最多为( ) A ．4 B ．3C ．2D ．123．（2019•丰台区一模）在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多边形为格点多边形，若ABC 是格点三角形，其中(0,0)A ，(4,0)B ，且面积为8，则该三角形边界上的格点个数不可能为( ) A ．6 B ．8C ．10D ．1224．（2019•丰台区二模）某码头有总重量为13.5吨的一批货箱，对于每个货箱重量都不超过0.35吨的任何情况，都要一次运走这批货箱，则至少需要准备载重1.5吨的卡车( ) A ．12辆 B ．11辆C ．10辆D ．9辆二．填空题（共6小题）25．（2019•西城区二模）因市场战略储备的需要，某公司1月1日起，每月1日购买了相同金额的某种物资，连续购买了4次．由于市场变化，5月1日该公司不得不将此物资全部卖出．已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易，且该公司在买卖的过程中没有亏本，那么下面三个折线图中反映了这种物资每份价格（单位：万元）的可能变化情况是 （写出所有正确的图标序号）26．（2016•朝阳区一模）某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第(1i i =，2，⋯，12)项能力特征用i x 表示，0,1,i i x i ⎧=⎨⎩如果某学生不具有第项能力特征如果某学生具有第项能力特征，若学生A ，B 的十二项能力特征分别记为1(A a =，2a ，⋯，12)a ，1(B b =，2b ，⋯，12)b ，则A ，B 两名学生的不同能力特征项数为 （用i a ，i b 表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为 ．27．（2016•石景山区一模）某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“⨯”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分．请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分．丁得了分．28．（2017•西城区二模）某班开展一次智力竞赛活动，共a，b，c三个问题，其中题a满分是20分，题b，c满分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a与题b的人数之和为29，答对题a与题c的人数之和为25，答对题b与题c 的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是；该班的平均成绩是．29．（2020•顺德区模拟）10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是．30．（2016•西城区二模）在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影，已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片，那么在这10部微电影中，最多可能有部优秀影片．。
2019北京中考数学一模16填空压轴题
2019北京中考数学一模16填空压轴题【2019东城一模】16．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，A，B，C，D均落在格点上．（1）△#$%:△#&%=________；（2）点P为BD的中点，过点P作直线l∥BC，分别过点B作BM⊥l于点M，过点C作CN⊥l 于点N，则矩形BCNM的面积为________．【2019西城一模】16.高速公路某收费站出城方向有编号为A，B， C， D， E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每 20 分钟通过小客车的数最分别部是不变的。
同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数最记录如下：号是。
【2019海淀一模】16．小宇计划在某外卖网站点如下表所示的菜品．已知每份订单的配送费为3元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减12元，满60元减30元，满100元减45元．如果小宇在购买下表中的所有菜品时，采取适当的下订单方【2019朝阳一模】16．某实验室对150款不同型号的保温杯进行质量检测，其中一个品牌的30款保温杯的保温性、便携性与综合质量在此次检测中的排名情况如下图所示，可以看出其中A型保温杯的优势是_____．【2019 丰台一模】B16. 如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1且顶点称为格点，点A ，B 均在格点上.在网格中建立平面直角坐标系，且A （-1，1），B （1，2）.如果点C 也在此4×4的正 A 方形网格的格点上，且△ABC 是等腰三角形，那么当△ABC 的面积最大时，点C 的坐标为 ． 【2019石景山一模】16．如图，AB 是⊙O 的一条弦，P 是⊙O 上一动点（不与点A ，B 重合），C ，D 分别是AB ，BP 的中点．若AB = 4，∠APB = 45°，则CD 长的最大值为 ．【2019门头沟一模】16．顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：【2019房山一模】16. 如图，在正方形ABCD 和正方形GCEF 中，顶点G 在边CD 上，连接DE 交GF 于点H ，若FH ＝1，GH ＝2，则DE 的长为 ．【2019大兴一模】16. 鸡兔同笼问题是我国古代著名的数学趣题，出自《孙子算经》.原文为：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？小雪自己解决完此题后，又饶有兴趣地为同学编制了四道题目：①今有雉兔同笼，上有三十头，下有五十二足，问雉兔各几何？B C A那么 最短 交货 期为 工作日． 工 序 时 间 原料O PABCD②今有雉兔同笼，上有三十头，下有八十一足，问雉兔各几何？③今有雉兔同笼，上有三十四头，下有九十足，问雉兔各几何？ ④今有雉兔同笼，上有三十四头，下有九十二足，问雉兔各几何？根据小雪编制的四道题目的数据，可以求得鸡兔只数的题目是 （填题目前的序号）. 【2019通州一模】16．甲、乙两运动员在长为100m 的直道AB （A ，B 为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A 点起跑，到达B 点后，立即转身跑向A 点，到达A 点后，又立即转身跑向B 点…，若甲跑步的速度为5m/s ，乙跑步的速度为4m/s ，则起跑后100s 内，两人相遇的次数为__________. 【2019顺义一模】16．利用二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统，图1是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a ，b ，c ，d ，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a ´23 +b ´22 +c ´21+d ´20．如图 1 中 的 第 一 行 数 字 从 左 到 右 依 次 为 0 ， 1 ， 0 ， 1 ，序 号 即 为0 2 1 2 0 2 1 2 5´ 3 + ´ 2 + ´ 1 + ´ 0 = ，表示该生为5班学生．若想在图2中表示4班学生的识别图案，请问应该把标号为①、②、③、④的正方形中的 （只填序号）涂成黑色．图1图2【2019密云一模】16.在平面直角坐标系xoy 中，点A （-1，2），B （-2，1）将△AOB 绕原点顺时针旋转90° 后再沿x 轴翻折，得到D DOE ，其中点A 的对应点为点D ，点B 的对应点为点E.则D 点坐标为______________.上面由△AOB 得到D DOE 的过程，可以只经过一次图形变化完成.请你任写出一种只经过一次图形变化可由△AOB 得到D DOE 的过程_____________________.④③ ② ①在调查过程中，随机抽取某班学生，抽到（填“1班”，“2班”或“3班”）的“身高不低于155cm”可能性最大．【2019平谷一模】16．小明家的客厅有一张直径为1.2米，高0.8米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中D点坐标为（2,0），则点E 的坐标是．【2019燕山一模】16．2018年北京PM2.5平均浓度变化情况如图所示．根据统计图提供的信息，有下面三个推断：2018年北京PM2.5平均浓度变化情况56 （单位：微克/立方米）①2018年北京PM2.5全年累计平均浓度值为51微克/立方米；②2018年7月－10月，北京PM2.5平均浓度逐月持续下降； ③2018年下半年，北京PM2.5平均浓度最高的月份是11月．其中合理的推断的序号是： ． 【2019怀柔一模】16. 如图，在Rt ABC D 中，ÐACB =90，将D ABC 绕顶点C 顺时针旋转得到D ABC '',D 是AB ' ' 的中点，连接BD ，若BC=2,∠ABC=60°，则线段BD 的最大值为 .－月－月－月－月－月－月－月。
2019北京市西城区初三一模数学试题及答案
2019北京西城初三一模数 学2019.4考生须知1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分。
考试时间120分钟。
2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和学号。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上.在试卷上作答无效。
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回 第1-8题均有四个选项。
符合题众的选项只有一个。
1.下列图形中，是圆锥的侧面展开图的为2.实数a,b,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A. a>bB. a=b>0C. ac>0D. |a |>|c |3. 方程组{2x −y =05x +2y =9的解为A. {x =−1y =7B. {x =3y =6C. {x =1y =3D. {x =−1y =24. 如图，点D 在BA 的延长线，AE ∥BC 若∠DAC=100°∠B=65°，则∠EAC 的度数为 A. 65°B. 35°C. 30°D. 40°5.广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年.光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9 500 000 000 000千米，则“比邻星”距离太阳系约为(A) 4×1013千米(B) 4×1012千米(C) 9.5×1013千米(D) 9.5×1012千米 6. 如果a 2+3a+1=0,那么代数式（a 2+9a+6）·2a 2a+3的值为 A. 1B. -1C. 2D. -27. 三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点A 1，A 2，A 3的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点B 1, B 2，B 3,的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数。
北京市西城区2019~2020学年度第一学期期末考试高三数学试题(含答案解析)
北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高三数学本试卷共5页.共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上•在试 卷上作答无效。
第I 卷(选择题共40分)-S 选择题：本大题共8小题■每小题5分.共40分•在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1. 设集合Λ = {x ∖r<a}. B = {—3,0∙l ∙5}・若集合A∩B 有且仅有2个元索.则实数α 的取值范围为(A) (-3,+∞)(B) (0> 1](C) [l ∙+α□)2. 若复数Z = 注.则在复平面内N 对应的点位于I-TI(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限3. 在厶ABC 中.若 α=6, A=60o, 3 = 75°,则 C =(A) 4(B) 2√2(C) 2√3(D) 2^4. 设且兀y≠0,则下列不等式中一定成立的是(A)丄>丄(B)InlJrl >ln∣y 丨(C) 2-工<2-，CD) j ∙2>^25. 已知直线T Jry Jr2=0与圆τ ÷j∕2+2jc~2y jra = 0有公共点，则实数"的取值范围为(A) ( — 8. θ](B) [θ∙+oo)(C) [0, 2)(D) (—8, 2)2020. I(D) Eb 5)(D)第四象限6・设三个向b. c互不共线•则∙+b+c=(Γ是^以Iah ∖b∖, ICl为边长的三角形存在"的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件7.紫砂壶是中国特冇的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正徳年间.紫砂壶的壶型众多•经典的有西施壶.掇球壶、石瓢壶.潘壶等•其中.石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)・下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位cm),那么该壶的容量约为(A)IOO cm5(B)200 cm3(C)300 cm3(D)400 cn√&已知函数∕Q)=√TTΓ+4 若存在区间O M].使得函数/Q)在区间DZ 上的值域为[α + l,6 + l],则实数〃的取值范围为(A) (-l,+oo) (B) (一 1. 0] (C) (一 +，+8) (D)( —斗，0]4 4第JI 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题■每小题5分，共3。
(完整)2019年北京市初三一模数学-几何综合专题(教师版)
2019一模几何综合专题一、旋转变换1.（等边三角形+对称＋旋转）(2019通州一模27)如图，在等边ABC △中，点D 是线段BC 上一点.作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为E .连接CE 并延长，交射线AD（1）设BAF α∠=，用α表示BCF ∠的度数；（2）用等式表示线段AF 、CF、EF 之间的数量关系，并证明. 解：（1）连接AE . ∵点B 关于射线AD 的对称点为E ，∴AE =AB ，BAF EAF α∠=∠=∵ABC △是等边三角形， ∴AB AC =，60BAC ACB ∠=∠=︒. ∴602EAC α∠=︒-，AE AC =. 1分∴()1180602602ACE αα∠=︒-︒-=︒+⎡⎤⎣⎦. ∴6060BCF ACE ACB αα∠=∠-∠=︒+-︒=. ……………… 2分另解：借助圆. （2）AF EF CF -=证明：如图，作60FCG ∠=︒交AD 于点G ，连接BF . ……………… 3分 ∵BAF BCF α∠=∠=，ADB CDF ∠=∠， ∴60ABC AFC ∠=∠=︒. ∴△FCG 是等边三角形.∴GF = FC . ……………… 4分 ∵ABC △是等边三角形，∴BC AC =，60ACB ∠=︒. ∴ACG BCF α∠=∠=.在△ACG 和△BCF 中，CA CB ACG BCF CG CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△ACG ≌△BCF .∴AG BF =. ……………… 5分 ∵点B 关于射线AD 的对称点为E ， ∴BF EF =. ……………… 6分 ∴AF AG GF -=.∴AF EF CF -=. ……………… 7分另一种证法：作60FAH ∠=︒交FC 的延长线于点H ，连接BF .2.（等边三角形＋旋转）(2019平谷一模27)在△ABC中，∠ABC=120°，线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，连接CD，BD交AC于P．（1）若∠BAC=α，直接写出∠BCD的度数（用含α的代数式表示）；（2）求AB，BC，BD之间的数量关系；（3）当α=30°时，直接写出AC，BD的关系．解：（1）∠BCD=120°－α． ······························································（2）解：方法一：延长BA使AE=BC，连接DE． (2)由（1）知△ADC是等边三角形，∴AD=CD．∵∠DAB+∠DCB=∠DAB+∠DAE=180°，∴∠DAB=∠DAE．∴△ADE≌△CDB． (3)∴BD=BE．∴BD=AB+BC． (4)方法二：延长AB使AF=BC，连接CF． (2)∠BDC=∠ADE．∵∠ABC=120°，∴∠CBF=60°．∴△BCF是等边三角形．∴BC=CF．∵∠DCA=∠BCF=60°，∴∠DCA+∠ACB=∠BCF+∠ACB．即∠DCB=∠ACF．∵CA=CD，∴△ACF≌△DCB． (3)∴BD=AF．∴BD=AB+BC． (4)（3）AC，BD的数量关系是：AC ； (5)位置关系是：AC⊥BD于点P． (6)H O DBA3.（等边三角形＋旋转）(2019延庆一模27).已知：四边形ABCD 中，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，AD =CD ，对角线AC ，BD相交于点O ，且BD 平分∠ABC ，过点A 作AH BD ⊥，垂足为H ． （1）求证：ADB ACB ∠=∠；（2）判断线段BH ，DH ，BC 之间的数量关系；并证明．解：（1）证明：∵∠ADC =60°，DA=DC∴△ADC 是等边三角形． ……1分 ∴∠DAC =60°,AD=AC ． ∵∠ABC=120°,BD 平分∠ABC ∴∠ABD=∠DBC =60°．∴∠DAC =∠DBC =60° ∵∠AOD =∠BOC∠ADB=180°- ∠DAC -∠AOD∠ACB=180°- ∠DBC -∠BOC∴∠ADB=∠ACB ……3分（2）结论：DH=BH+BC ……4分 证明：在HD 上截取HE=HB ……5分∵AH ⊥BD∴∠AHB=∠AHE =90° ∵AH =AH∴△ABH ≌△AEH ∴AB=AE, ∠AEH=∠ABH =60° ……6分 ∴∠AED=180°-∠AEH=120° ∴∠ABC=∠AED=120° ∵AD=AC, ∠ADB=∠ACB ∴△ABC ≌△AED∴DE=BC ……7分 ∵DH=HE+ED∴DH=BH+BC ……8分4.（等边三角形+旋转）(2019密云一模27)已知ABC ∆为等边三角形，点D 是线段AB 上一点（不与A 、B 重合）.将线段CD 绕点C 逆时针旋转60︒得到线段CE.连结DE 、BE. （1）依题意补全图1并判断AD 与BE 的数量关系.（2）过点A 作AF EB ⊥交EB 延长线于点F.用等式表示线段EB 、DB 与AF 之间的数量关系并证明.27.（1）补全图形AD 与BE 的数量关系为AD=BE .................................2分（2）∵∠ACB=∠DCE= 60°, ∴∠ACD=∠BCE 又∵AC=BC,CD=CE ∴△ACD ≌△BCE∴AD=BE, ∠CBE=∠CAD=60°∴∠ABF=180°-∠ABC-∠CBE=60° 在Rt AFB ∆中，3AF AB = ∴BE+BD=3AB.................................7分图2D CBA图1A B CD DEBA5.（正方形+旋转+最值）(2019东城一模27)如图，在正方形ABCD 中，E 是边BC 上一动点（不与点B ，C 重合），连接DE ，点C 关于直线DE 的对称点为C ʹ，连接ACʹ并延长交直线DE 于点P ，F 是AC ′中点，连接DF ．（1）求∠FDP 的度数；（2）连接BP ，请用等式表示AP ，BP ，DP 三条线段之间的数量关系，并证明． （3）连接ACACC ′的面积最大值．解：（1）由对称可知 CD ＝C ′D ，∠CDE ＝∠C ′DE ． 在正方形ABCD 中，AD ＝CD ，∠ADC ＝90°， ∴AD ＝C ′D ．又∵F 为AC ′中点，∴DF ⊥AC ′，∠ADF ＝∠C ′DF ．……………………………………………………1分∴∠FDP ＝∠FDC ′＋∠EDC ′=12∠ADC ＝45°．…………………2分（2）结论：BP ＋DPAP ．……………………………………………………3分 如图，作AP ′⊥AP 交PD 延长线于P ′， ∴∠P AP ′＝90°．在正方形ABCD 中，DA ＝BA ，∠BAD ＝90°， ∴∠DAP ′＝∠BAP ．由（1）可知∠APD ＝45°， ∴∠P ′＝45°．∴AP ＝AP ′……………………………………………………4分在△BAP 和△DAP ′中，BA DA BAP DAP AP AP =⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩，∴△BAP ≌△DAP ′（SAS ）……………………………………………………5分 ∴BP ＝DP ′．P BAP BA∴DP＋BP＝PP′＝．（3－1……………………………………………………7分P'B A6.（等腰直角三角形+旋转）(2019房山一模27).已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.(1) 如图1，点D是BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接CE.若∠BAD=α，求∠DBE的大小(用含α的式子表示) ；(2) 如图2，点D在线段BC的延长线上时，连接AD，过点B作BE⊥AD，垂足E在线段AD上，连接CE.①依题意补全图2；②用等式表示线段EA，EB和EC之间的数量关系，并证明.图1 图2解：（1）解: 依题意，∠CAB=45°，∵∠BAD=α，∴∠CAD=45α︒-.∵∠ACB=90°，BE⊥AD，∠ADC=∠BDE，∴∠DBE=∠CAD=45α︒-. …………………………………2分（2）解：①补全图形如图…………………………………4分②猜想：当D在BC边的延长线上时，EB - EAEC.…………………………………5分证明：过点C作CF⊥CE，交AD的延长线于点F.∵∠ACB=90°，∴∠ACF=∠BCE.∵CA=CB，∠CAF =∠CBE，∴△ACF≌△BCE.…………………………………6分∴AF=BE，CF=CE.∵∠ECF=90°，∴EFEC.即AF-EAEC.AB A∴7分7.（等腰直角三角形+旋转）(2019门头沟一模27). 如图，∠AOB = 90°，OC 为∠AOB 的平分线，点P 为OC 上一个动点，过点P 作射线PE 交OA 于点E ．以点P 为旋转中心，将射线PE 沿逆时针方向旋转90°，交OB 于点F ．（1）根据题意补全图1，并证明PE = PF ；（2）如图1，如果点E 在OA 边上，用等式表示线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系，并证明； （3）如图2，如果点E 在OA 边的反向延长线上，直接写出线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系．图1 图227．（本小题满分7分）解：（1）补全图形（如图1）； ……………………………… 1分证明：略. ……………………………………… 3分（2）线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系是OF +OE =2OP . ……………………………… 4分证明：如图2，作PQ ⊥PO 交OB 于Q .∴ ∠2+∠3 = 90°，∠1+∠2 = 90°. ∴ ∠1=∠3.又∵ OC 平分∠AOB ，∠AOB =90°， ∴∠4 =∠5 = 45°. 又∵ ∠5 +∠6 = 90°， ∴∠6 = 45°，∴∠4 = ∠6 . ∴ PO = PQ .∴ △EPO ≌ △FPQ . ……………………… 5分 ∴ PE =PF ，OE = FQ .又∵OQ = OF +FQ = OF + OE .又∵ OQ =2OP ，∴OF + OE =2OP . ……………………… 6分（3）线段OE ，OP 和OF 之间的数量关系是OF - OE =2OP . ………………………… 7分PPEECCBBOOAA图2图18.（等腰直角三角形+旋转）(2019燕山一模27)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，点D 为线段BC 上一个动点(不与点B ，C 重合)，连接AD ，将线段AD 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DE ，连接EC ．(1) ① 依题意补全图1；② 求证：∠EDC ＝∠BAD ； (2) ① 小方通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，线段CE 与BD 的数量关系始终不变，用等式表示为： ； ② 小方把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：过点E 作EF ⊥BC ，交BC 延长线于点F ，只需证△ADB ≌△DEF ． 想法2：在线段AB 上取一点F ，使得BF ＝BD ，连接DF ，只需证△ADF ≌△DEC ． 想法3：延长AB 到F ，使得BF ＝BD ，连接DF ，CF ，只需证四边形DFCE 为平行四边形． ……请你参考上面的想法，帮助小方证明①中的猜想．(一种方法即可)27．(1)①补全的图形如图的所示；………………………………1分②证明：∵∠ADE ＝∠B ＝90°，∴∠EDC ＋∠ADB ＝∠BAD ＋∠ADB ＝90°，∴∠EDC ＝∠BAD ． ………………………………3分(2) ①CE ＝2BD ． ………………………………4分②想法1：证明：如图，过点E 作EF ⊥BC ，交BC 延长线于点F ，∴∠F ＝90°．在△ADB 和△DEF 中，∠B ＝∠F ＝90°，∠EDC ＝∠BAD ，AD ＝DE ， ∴△ADB ≌△DEF ， ∴AB ＝DF ，BD ＝EF ．图1 D C B A 备用图 A B CD AB ECD EA∵AB＝BC，∴DF＝BC，即DC＋CF＝BD＋DC，∴CF＝BD＝EF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CECFBD．………………………………7分想法2：证明：在线段AB上取一点F，使得BF＝BD，连接DF，∵∠B＝90°，AB＝BC，∴DFBD，∵AB＝BC，BF＝BD，∴AB－BF＝BC－BD，即AF＝DC．在△ADF和△DEC中，AF＝DC，∠BAD＝∠EDC，AD＝DE，∴△ADF≌△DEC，∴CE＝DFBD．………………………………7分∴AD＝CF，∠BAD＝∠BCF．∵AD＝DE，∴DE＝CF．∵∠EDC＝∠BAD，∴∠EDC＝∠BCF，∴DE∥CF，∴四边形DFCE为平行四边形，9.（等腰直角三角形+旋转）(2019丰台一模27)在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ， D 为AB 的中点，点E 为AC 延长线上一点，连接DE ，过点D 作DF ⊥DE 交CB 的延长线于点F ． （1）求证：BF= CE ；（2）若CE =AC ，用等式表示线段DF 与AB 的数量关系，并证明．解：（1）连接CD.在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 为AB 中点，∴CD ⊥BD , CD=BD=DA. ...............1分∵DF ⊥DE ， ∴∠BDF =∠CDE . ∵∠F =∠E ，∴△DBF ≌△DCE .∴BF=CE. ..................3分 （2）52DF AB =. ..................4分 理由如下：由（1）知△DBF ≌△DCE ，∴DF=DE. ..................5分 连接BE.∵CE=CA ， ∴BA=BE.∴∠A=∠BEA=45°. ∴∠ABE=90°. 设AD=BD=a ， ∴AB=BE=2a. ∴5DF DE a ==.∴52DF AB =. .........................7分FA EC DB10.（等腰直角三角形+旋转＋解直角三角形）(2019朝阳一模27)如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，将线段BC 绕点B 逆时针旋转α°（0<α<180），得到线段BD ，且AD ∥BC ． （1）依题意补全图形；（2）求满足条件的α的值； （3）若AB =2，求AD 的长． 解：（1）满足条件的点D 有两个，补全图形如图1所示．………………………………………2分 （2）如图2，过点B 作BE ⊥D 1D 2于点E ．由题意可知，BD 1=BD 2 =BC ，AE ∥BC ． ∴∠AEB =90°．∵在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ， ∴∠EAB =∠ABC =45°．∴在Rt △ABE 中，22BE AB =，在Rt △ABC 中，22AB BC =． ∴11122BE BC BD ==．……………………………………………………………………4分∴∠D 1=∠D 2=30°． ∵D 1D 2∥BC ，∴30α=或150．……………………………………………………………………………5分（3）∵AB =2，∴2BE AE ==．∴D 1E = D 2E =6．∴AD 的长为62-或62+．………………………………………………………7分图1图2CFE CAB11.（等边三角形+旋转）(2019怀柔一模27)如图，等边△ABC 中，P 是AB 上一点，过点P 作PD ⊥AC 于点D ，作PE ⊥BC 于点E ，M 是AB 的中点，连接ME ，MD ． （1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段BE ，AD 与AB 的数量关系，并加以证明； （3）求证：MD=ME ．（1）补全图形如图：（2）线段BE ，AD 与AB 的数量关系是：AD+ BE=12AB ． ∵△ABC 是等边三角形，∴∠A=∠B=60°． ∵PD ⊥AC ，PE ⊥BC ，∴∠APD=∠BPE=30°， ∴AD=AP ，AD=AP ． ∴AD+ BE=（AP+ BP ）=AB ．………………………………3分（3）取BC 中点F ，连接MF ．∴MF=AC ．MF ∥AC ． ∴∠MFB=∠ACB=60°．∴∠A=∠MFE=60°． ∵AM=AB ，AB=AC ，∴MF=MA ． ∵EF+ BE=BC ， ∴AD + BE=AB ．∴EF=AD. ∴△MAD ≌△MFE （SAS ）．∴MD=ME ．…………………………………7分212121212121212121二、轴对称变换12.（正方形+对称）(2019西城一模27)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连接DE交AC于点F，连接BF．（1）求证：FB=FD；（2）点H在边BC上，且BH=CE，连接AH交BF于点N．①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；②连接CN．若AB=2，请直接写出线段CN长度的最小值．解：（1）证明：∵∠ABC=90°，BA=BC，∴∠BAC=∠ACB=45°．∵AB绕点A逆时针旋转90°得到AD，∴∠BAD=90°，AB=AD．∴∠DAF=∠BAD－∠BAC=45°．∴∠BAF=∠DAF．…………………………………………………………1分∵AF=AF，∴△BAF≌△DAF．∴FB=FD．…………………………………………………………………2分（2）①AH与BF的位置关系：AH⊥BF．……………………………………………3分证明：连接DC，如图．∵∠ABC+∠BAD=180°，∴AD∥BC．∵AB=BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形．∴AB=DC，∠ADC=∠DCB=90°．∴∠ABH=∠DCE．∵BH=CE，∴△ABH≌△DCE．∴∠BAH=∠CDE．∵△BAF≌△DAF，∴∠ABF=∠ADF．∴∠BAH＋∠ABF=∠CDE＋∠ADF=∠ADC=90°．∴∠ANB=180°－(∠BAH＋∠ABF)=90°．∴AH⊥BF．……………………………………………………………5分1．…………………………………………………………………………7分13．（等腰三角形+对称）(2019顺义一模27)已知：如图，在△ABC中，AB>AC，∠B=45°，点D是BC边上一点，且AD=AC，过点C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F．（1）若∠CAD=α，求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；（2）求证：AC=FC；（3）用等式直接表示线段BF与DC的数量关系．解：（1）过点A作AG⊥BC于点G，…………………1分∴∠2+∠4=90°，∵AD=AC，∴∠1=∠2=12∠CAD=12α，…………………………2分∵CF⊥AD于点E，∴∠3+∠4=90°，∴∠3=∠2=12∠CAD=12α，…………………………3分即∠BCF=12α．（2）证明：∵∠B=45°，∴∠BAG=45°，………………………………………4分∵∠BAC=45°+∠1，∠AFC=45°+∠3，∴∠BAC=∠AFC，∴AC=FC．………………………………………………5分（3）DC．…………………………………7分AB CDFE4231GEFD CBA三、平移变换14.（等边三角形+平移）(2019石景山一模27). 如图，在等边△ABC 中，D 为边AC 的延长线上一点()CD AC <，平移线段BC ，使点C 移动到点D ，得到线段ED ，M 为ED 的中点，过点M 作ED 的垂线，交BC 于点F ，交AC 于点G ． （1）依题意补全图形； （2）求证：AG = CD ；（3）连接DF 并延长交AB 于点H ，用等式表示线段AH 与CG 的数量关系，并证明．27．（1）补全的图形如图1所示． …………… 1分 （2）证明：Q △ABC 是等边三角形， ∴AB BC CA ==．60ABC BCA CAB ∠=∠=∠=︒．由平移可知ED ∥BC ，ED =BC ．………… 2分 60ADE ACB ∴∠=∠=︒． 90GMD ∠=︒Q ，2DG DM DE ∴==． …………… 3分 DE BC AC ==Q ， DG AC ∴=．AG CD ∴=． …………… 4分（3）线段AH 与CG 的数量关系：AH = CG ．…………… 5分证明：如图2，连接BE ，EF ．,ED BC =Q ED ∥BC ，BEDC ∴四边形是平行四边形．BE CD CBE ADE ABC ∴=∠=∠=∠，． GM ED Q 垂直平分，EF DF ∴=．DEF EDF ∴∠=∠．Q ED ∥BC ，BFE DEF BFH EDF ∴∠=∠∠=∠，． BFE BFH ∴∠=∠． BF BF =Q ，BEF BHF ∴△≌△． …………… 6分 BE BH CD AG ∴===． AB AC =Q ，AH CG ∴=．…………… 7分B图1图2四、其它15.（等腰直角三角形+全等）(2019海淀一模27)如图，在等腰直角△ABC 中，90ABC ?°，D 是线段AC 上一点（2CA CD > ），连接BD ，过点C 作BD 的垂线，交BD 的延长线于点E ，交BA 的延长线于点F ．（1）依题意补全图形；（2）若ACE α?，求ABD Ð的大小（用含α的式子表示）； （3）若点G 在线段CF 上，CG BD =，连接DG ．①判断DG 与BC 的位置关系并证明；②用等式表示DG ，CG ，AB 之间的数量关系为 ．（1）补全图形，如图．（2） 解：∵ AB =BC ，∠ABC =90°，∴ ∠BAC =∠BCA =45°．∵ ∠ACE =α， ∴ 45ECB α??．∵ CF ⊥BD 交BD 的延长线于点E ， ∴ ∠BEF =90°． ∴ ∠F +∠ABD =90°． ∵ ∠F +∠ECB =90°， ∴45ABD ECB α???．（3）① DG 与BC 的位置关系：DG ⊥BC ．证明：连接BG 交AC 于点M ，延长GD 交BC 于点H ，如图．∵ AB =BC ，∠ABD =∠ECB ，BD =CG ， ∴ △ABD ≌△BCG ． ∴ ∠CBG =∠BAD =45°． ∴ ∠ABG =∠CBG =∠BAC =45°． ∴ AM =BM ，∠AMB =90°． ∵ AD =BG ， ∴ DM =GM ．∴ ∠MGD =∠GDM =45°． ∴ ∠BHG =90° ∴ DG ⊥BC ．H。
2021届高考数学(理)考点复习：函数的单调性与最值(含解析)
2021届高考数学（理）考点复习函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f (x1)<f (x2)，那么就说函数f (x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f (x1)>f (x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f (x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f (x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f (x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M (1)对于任意的x∈I，都有f (x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M结论M为最大值M为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x1，x2∈D，x1≠x2，f(x1)－f (x2)x1－x2>0⇔f (x)在D上是增函数；对∀x1，x2∈D，x1≠x2，(x1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在D 上是增函数．减函数类似． 2．写出函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间．提示 (－∞，－a ]和[a ，＋∞)．1．（2020·新课标Ⅱ）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B. 是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D. 是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭， 2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，D 正确. 2．（2018·北京卷）能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 【答案】23()()2f x x =-- （答案不唯一）【解析】对于23()()2f x x =--，其图象的对称轴为32x =， 则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立， 但f （x ）在［0，2］上不是单调函数.1．（2019•平谷区一模）下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是( ) A ．1y x=B ．y lnx =C ．sin y x =D ．2x y -=【答案】B【解析】根据题意，依次分析选项： 对于A ，1y x=，为反比例函数，在(0,)+∞上为减函数，不符合题意； 对于B ，y lnx =，为指数函数，在区间(0,)+∞上为增函数，符合题意； 对于C ，sin y x =，为正弦函数，在(0,)+∞上不是单调函数，不符合题意； 对于D ，12()2x x y -==，是指数函数，在(0,)+∞上为减函数，不符合题意；故选B ．2．（2019•西城区一模）下列函数中，值域为R 且在区间(0,)+∞上单调递增的是( ) A ．22y x x =+ B ．12x y += C ．31y x =+D ．(1)||y x x =-【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，222(1)1y x x x =+=+-，其值域为[1-，)+∞，不符合题意； 对于B ，12x y +=，其值域为(0,)+∞，不符合题意；对于C ，31y x =+，值域为R 且在区间(0,)+∞上单调递增，符合题意； 对于D ，22,0(1)||,0x x x y x x x x x ⎧-=-=⎨-+<⎩，在区间1(0,)2上为减函数，不符合题意；故选C ．3．（2016•安庆三模）若函数2()||2f x x a x =++，x R ∈在区间[3，)+∞和[2-，1]-上均为增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．11[3-，3]- B ．[6-，4]- C ．[3-，22]- D ．[4-，3]-【答案】B【解析】2()||2f x x a x =++，22()()||2||2()f x x a x x a x f x -=-+-+=++=，()f x ∴为实数集上的偶函数，由2()||2f x x a x =++在区间[3，)+∞和[2-，1]-上均为增函数，知()f x 在[3，)+∞上为增函数，在[1，2]上为减函数，∴函数22(0)y x ax x =++>的对称轴[2,3]2a x =-∈，得[6a ∈-，4]-．故选B ．4．（2016•天津二模）若221,0()(1)(1),0axax x f x a a e x ⎧+=≠⎨-<⎩，在定义域(,)-∞+∞上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A ．2]B ．[2,1)[2,)--+∞C ．(,2]2]-∞⋃D ．2(0,)[2,)3+∞【答案】C【解析】()f x 在定义域(,)-∞+∞上是单调函数时，①函数的单调性是增函数时，可得当0x =时，22(1)11ax a e ax -+=， 即211a -，解之得22a0x 时，21y ax =+是增函数，0a ∴>又0x <时，2(1)ax a e -是增函数，210a ∴->，得1a <-或1a >因此，实数a 的取值范围是：12a <②函数的单调性是减函数时，可得当0x =时，22(1)11ax a e ax -+=， 即211a -，解之得2a -或2a．0x 时，21y ax =+是减函数，0a ∴<又0x <时，2(1)ax a e -是减函数，210a ∴->，得1a <-或1a >因此，实数a 的取值范围是：2a - 综上所述，得(,2]2]a ∈-∞⋃故选C ．5．（2020春•天津期末）下列函数中，在(0,)+∞上为增函数的是( ) A ．()3f x x =- B ．2()3f x x x =-C ．1()f x x=-D ．()||f x x =-【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，()3f x x =-为一次函数，在(0,)+∞上为减函数，不符合题意； 对于B ，2()3f x x x =-为二次函数，在3(0,)2上为减函数，不符合题意；对于C ，1()f x x=-为反比例函数，在(0,)+∞上为增函数，符合题意； 对于D ，()||f x x =-，当0x >时，()f x x =-，则函数()f x 在(0,)+∞上为减函数，不符合题意； 故选C ．6．（2019秋•武昌区期末）下列函数在(0,2)上是增函数的是( ) A ．2y x =- B ．12y x =-C ．21()2x y -=D ．12log (2)y x =-【答案】D【解析】对于A ，函数在(0,2)递减，不合题意； 对于B ，函数在(0,2)递减，不合题意； 对于C ，函数在(0,2)递减，不合题意； 对于D ，函数在(0,2)递增，符合题意； 故选D ．7．（2020春•郑州期末）函数2()2f x x lnx =-的单调减区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(1,1)-【答案】A【解析】函数2()2(0)f x x lnx x =->的导数为 2()2f x x x'=-， 令()0f x '<，解得01x <<． 即有单调减区间为(0,1)． 故选A ．8．（2020•北京模拟）下列函数中，在(0,)+∞内单调递增，并且是偶函数的是( ) A ．2(1)y x =-- B ．cos 1y x =+C ．||2y lg x =+D ．2x y =【答案】C【解析】A ．2(1)y x =--的对称轴为1x =，为非奇非偶函数，不满足条件．B ．cos 1y x =+是偶函数，但在(0,)+∞内不是单调函数，不满足条件．C ．||2y lg x =+为偶函数，在(0,)+∞内单调递增，满足条件，D ．2x y =，(0,)+∞内单调递增，为非奇非偶函数，不满足条件．故选C ．9．（2019春•武邑县校级期中）函数()af x x x=+在区间(2,)+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是( ) A ．02a < B ．04a <C ．4aD ．4a【答案】D【解析】根据题意，函数()af x x x=+，其导数222()1a x a f x x x -'=-=， 若()af x x x=+在区间(2,)+∞上单调递增，则22()0x a f x x -'=在(2,)+∞上恒成立，则有2a x 在(2,)+∞上恒成立， 必有4a ， 故选D ．10．（2019秋•东海县期中）函数1()f x x=的单调减区间是( ) A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(-∞，0)(0⋃，)+∞D ．(,0)-∞和(0,)+∞【答案】D【解析】根据题意，函数1()f x x =，其定义域为{|0}x x ≠其导数21()f x x'=-， 分析可得：当0x >时，()0f x '<，即函数()f x 在(0,)+∞上为减函数， 当0x <时，()0f x '<，即函数()f x 在(,0)-∞上为减函数； 综合可得：函数1()f x x=的单调减区间是(,0)-∞和(0,)+∞； 故选D ．11．（2019秋•钟祥市校级期中）函数||1y x =-的单调递减区间为( ) A ．(0,)+∞ B ．(,0)-∞ C ．(,1)-∞- D ．(1,)-+∞【答案】B【解析】当0x 时，||11y x x =-=-，此时函数为增函数， 当0x <时，||11y x x =-=--，此时函数为减函数， 即函数的单调递减区间为(,0)-∞， 故选B ．12．（2019秋•金凤区校级期中）下列函数在(0,)+∞上单调递增的是( ) A ．2||y x = B ．1y x =C ．1()2x y =D ．2y x x =-【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，2,02||2,0x x y x x x ⎧==⎨-<⎩，在(0,)+∞上单调递增，符合题意；对于B ，1y x=，为反比例函数，在(0,)+∞上单调递减，不符合题意； 对于C ，1()2x y =，为指数函数，在(0,)+∞上单调递减，不符合题意；对于D ，2y x x =-，为二次函数，在1(0,)2上单调递减，不符合题意；故选A ．13．（2019秋•赫章县期中）下列函数在[1-，)+∞上单调递减的是( ) A ．2()3f x x x =-- B ．()14x f x =+ C ．()(2)f x lg x =+ D ．()|21|f x x =-+【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项：对于A ，2()3f x x x =--，为二次函数，其开口向下且对称轴为32x =-，在[1-，)+∞上单调递减，符合题意；对于B ，()14x f x =+，在R 上为增函数，不符合题意； 对于C ，()(2)f x lg x =+，在R 上为增函数，不符合题意；对于D ，121,2()|21|121,2x x f x x x x ⎧---⎪⎪=-+=⎨⎪+<-⎪⎩，在1(1,)2--上为增函数，不符合题意；故选A ．14．（2019秋•香坊区校级月考）已知函数21()2x f x x +=+，则函数()y f x =的单调增区间是( ) A ．(,)-∞+∞B ．(,2)-∞-C ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞D ．(,2)-∞-和(2-．)+∞【答案】D【解析】根据题意，函数213()222x f x x x +-==+++，其导数23()(2)f x x '=+， 易得在区间(,2)-∞-和(2,)-+∞上，()0f x '>， 即函数()f x 在区间(,2)-∞-和(2-．)+∞为增函数， 故选D ．15．（2019春•温州期中）函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数．则( ) A ．12m >B ．12m <C ．12m >-D ．12m <-【答案】B【解析】根据题意，函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数， 则有210m -<，解可得12m <， 故选B ．16．（2019•湖南模拟）定义在R 的函数3()f x x m =-+与函数32()()g x f x x x kx =++-在[1-，1]上具有相同的单调性，则k 的取值范围是( ) A ．(-∞，2]- B ．[2，)+∞C ．[2-，2]D ．(-∞，2][2-，)+∞【答案】B【解析】根据题意，函数3()f x x m =-+，其定义域为R ，则R 上()f x 为减函数，322()()g x f x x x kx x kx m =++-=-+在[1-，1]上为减函数， 必有12kx =，解可得2k ， 即k 的取值范围为[2，)+∞； 故选B ．17．（2019秋•金台区期中）函数221()2x x y -+=的单调递增区间是( )A ．[1-，)+∞B ．(-∞，1]-C ．[1，)+∞D ．(-∞，1]【答案】C【解析】令22t x x =-+， 则1()2t y =，由22t x x =-+的对称轴为1x =，可得函数t 在(,1)-∞递增，[1，)+∞递减， 而1()2t y =在R 上递减，由复合函数的单调性：同增异减，可得函数221()2x x y -+=的单调递增区间是[1，)+∞，故选C ．18．（2019秋•天津期中）函数254y x x =-+( ) A ．5[,)2+∞B ．5[,4)2C ．[4，)+∞D ．5[1,),[4,)2+∞【答案】C【解析】令2540x x -+， 解得：4x 或1x ，而函数254y x x =-+的对称轴是：52x =， 由复合函数同增异减的原则，故函数254y x x =-+[4，)+∞， 故选C ．19．（2019秋•项城市校级月考）下列函数中，在区间(0,1)上是递增函数的是( ) A ．|1|y x =+ B ．3y x =-C ．1y x=D ．24y x =-+【答案】A【解析】A ．(0,1)x ∈时，|1|1y x x =+=+，∴该函数在(0,1)上是递增函数，；所以该选项正确B ．3y x =-是一次函数，在(0,1)上是递减函数，所以该选项错误；C ．1y x=是反比例函数，在(0,1)上是递减函数，所以该选项错误； D ．24y x =-+是二次函数，在(0,1)上是递减函数，所以该选项错误．故选A ．20．（2019•西湖区校级模拟）函数()2f x lnx x =-的定义域为___________；单调递减区间是___________．【答案】(0,)+∞；1(2，)+∞【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞；112()2xf x x x-'=-=， 令()0f x '<，得12x >， ∴函数的单调递减区间为1(2，)+∞．故答案为：(0,)+∞；单调递减区间为1(2，)+∞．21．（2019•西湖区校级模拟）函数42y x x=+的单调递增区间为___________，值域为___________． 【答案】(,2)-∞和(2，)+∞，(-∞，42][42-，)+∞ 【解析】24()20f x x '=->，解得2x >或2x <-函数42y x x=+的单调递增区间为(,2)-∞和(2，)+∞，单调递减区间为[2-0)，(02]，即函数在2x =-(2)42f -=-，在2x =处有极小值(2)42f = 所以函数的值域为(-∞，42][42-，)+∞．故答案为：(,2)-∞和(2)+∞，(-∞，42][42-，)+∞．22．（2018•浙江模拟）已知函数已知函数222,2()1,2x x x f x log x x ⎧-+⎪=⎨->⎪⎩，则(f f （4）)___________；函数()f x 的单调递减区间是___________．【答案】1，[1，2]【解析】f （4）2log 411=-=； (f f ∴（4）)f =（1）21211=-+⨯=；2x 时，2()2f x x x =-+，对称轴为1x =；()f x ∴在[1，2]上单调递减； ()f x ∴的单调递减区间为[1，2]．故答案为：1，[1，2]．23．（2017•河东区一模）已知函数32()1f x x ax x =-+--在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】[3,3]-【解析】由题意知，32()1f x x ax x =-+--， 则2()321f x x ax '=-+-，32()1f x x ax x =-+--在R 上是单调函数， 2()3210f x x ax ∴'=-+-在R 上恒成立， 则△2(2)4(3)(1)0a =-⨯-⨯-，解得33a-，∴实数a 的取值范围是[3,3]-，故答案为：[3,3]．24．（2016•永康市模拟）设函数21,1()2,1x x x f x ax x ⎧+=⎨+>⎩，若(f f （1）)4a =，则实数a =___________，函数()f x 的单调增区间为___________． 【答案】2，(0,)+∞【解析】函数21,1()2,1x x x f x ax x ⎧+=⎨+>⎩，可得f （1）2=，(f f （1）)f =（2）424a a =+=， 解得2a =；21,1()22,1x x x f x x x ⎧+=⎨+>⎩的增区间为(0,1)[1，)+∞(0,)=+∞．故答案为：2，(0,)+∞25．（2019秋•徐汇区校级期中）函数2()2f x x x =-+的单调递增区间为___________． 【答案】(-∞，1]【解析】根据题意，22()2(1)1f x x x x =-+=--+，是开口向下的二次函数，其对称轴为1x =， 故()f x 的单调递增区间为(-∞，1]；故答案为：(-∞，1]．26．（2019秋•香坊区校级月考）函数224y x x =--+的值域是___________，单调递增区间是___________．【答案】[0，2]；[2，4]【解析】根据题意，函数224y x x =-+设24t x x =-+，必有240t x x =-+，解可得04x ， 必有04t ，则2042x x -+，则有02y ，即函数的值域为[0，2]；又由24t x x =-+，必在区间[0，2]上为增函数，则[2，4]上为减函数，则函数()f x 的递增区间为[2，4]；故答案为：[0，2]；[2，4]．27．（2019春•江阴市期中）已知2()(2)2f x x m x =-++在[1，3]上是单调函数，则实数m 的取值范围为___________． 【答案】0m 或4m【解析】根据题意，2()(2)2f x x m x =-++为二次函数，其对称轴为22m x +=， 若()f x 在[1，3]上是单调函数，则有212m +或232m +， 解可得0m 或4m ，即m 的取值范围为0m 或4m ； 故答案为：0m 或4m ．28．（2018秋•驻马店期末）已知()f x 是定义在[1-，)+∞上的单调递增函数，则不等式2()(2)2x xf e f --的解集是___________．【答案】[2，6]【解析】根据题意，()f x 是定义在[1-，)+∞上的单调递增函数， 则22()(2)2122x x x xf e f e ---⇒--，解可得：26x ，即不等式的解集为[2，6]； 故答案为：[2，6]．29．（2019秋•秦州区校级月考）已知函数|1|1()()2x f x -=，则()f x 的单调递增区间是___________．【答案】(,1)-∞【解析】1|1|11()11()()2221x x x x f x x ---⎧⎪==⎨⎪<⎩；()f x ∴在(,1)-∞上单调递增；即()f x 的单调递增区间为(,1)-∞． 故答案为：(,1)-∞．30．（2019秋•思明区校级期中）函数()|2|f x x x =-的单调减区间为___________． 【答案】[1，2]【解析】当2x >时，2()2f x x x =-， 当2x 时，2()2f x x x =-+，这样就得到一个分段函数222,2()2,2x x x f x x x x ⎧->=⎨-+⎩．2()2f x x x =-的对称轴为：1x =，开口向上，2x >时是增函数； 2()2f x x x =-+，开口向下，对称轴为1x =， 则1x <时函数是增函数，12x <<时函数是减函数． 即有函数的单调减区间是[1，2]． 故答案为：[1，2]．31．（2018秋•定远县期末）若函数()|2|(4)f x x x =--在区间(5,41)a a +上单调递减，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】2152a【解析】函数(2)(4)(2)()|2|(4)(2)(4)(2)x x x f x x x x x x --⎧=--=⎨--<⎩ ∴函数的增区间为(,2)-∞和(3,)+∞，减区间是(2,3)．在区间(5,41)a a +上单调递减，(5a ∴，41)(2a +⊆，3)，得25413a a ⎧⎨+⎩，解之得2152a故答案为：2152a．32．（2019•西湖区校级模拟）已知函数22();[1,)x x af x x x++=∈+∞（1）若12a =，求函数()f x 的最小值．（2）求函数()f x 的单调区间． 【解析】（1）1()22f x x x=++，在区间2[)+∞上单调递增，所以()f x 在[1，)+∞上是增函数， 所以7[()](1)2min f x f ==（2）22()2,[1,)x x a af x x x x x++==++∈+∞当0a 时，()f x 在[1，)+∞上是增函数当0a >时，()f x 在)a 上递减，在(,)a +∞递增，所以 ①1,01a a <时，()f x 在[1，)+∞上是增函数；②当1a >时，()f x 在a 上是减函数，在(,)a +∞上是增函数； 综上所述，当1a 时，()f x 在[1，)+∞上是增函数当1a >时，()f x 在)a 上是减函数，在(,)a +∞上是增函数． 33．（2019秋•秦淮区校级期中）（1）求函数()1f x x x =-+ （2）求函数212log (21)y x x =-++的单调区间．【解析】（11(0)x t t +=，则21x t =-， 所以21(0)y t t t =--，因为抛物线21y t t =--开口向上，对称轴为直线12t =， 所以当12t =时，y 取得最小值为54-，无最大值，所以函数()f x 的值域为5[,)4-+∞．（2）设221t x x =-++．令2210x x -++>，解得1212x <+ 所以函数212log (21)y x x =-++的定义域为(12，12)，2(1)2t x =--+，对称轴方程为1x =，221t x x ∴=-++在(12，1)上为单调增函数，而在(1,12)+上为单调减函数，因为12log y t =为单调减函数，∴函数212log (21)y x x =-++的单调增区间为(1,12)+，单调减区间为(12，1)．34．（2018秋•合肥期末）已知函数1()22x x f x =-． （1）判断()f x 在其定义域上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； （2）解关于x 的不等式2(log )f x f <（1）． 【解析】（1）1()22(2)()2x x x x f x f x --=-=--=-，则函数()f x 是奇函数， 则当0x 时，设120x x <，则2112121212121122()()22222222x x x x x x x x x x f x f x --=--+=-+121212221(22)22x x x x x x -=-，120x x <，12122x x ∴<，即12220x x -<，12221x x >，则12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <， 则()f x 在[0，)+∞上是增函数， ()f x 是R 上的奇函数， ()f x ∴在R 上是增函数．（2）()f x 在R 上是增函数，∴不等式2(log )f x f <（1）等价为不等式2log 1x <，即02x <<．即不等式的解集为(0,2)．。
北京各区2019-2021年高三年级数学模拟试题汇编-两角和与差的三角函数
北京各区2019-2021年高三年级数学一模二模试题汇编两角和与差的三角函数一．选择题（共11小题） 1．（2019•西城区模拟）已知12cos 13α=，(,0)2πα∈−，则cos()(4πα−= )A B C D 2．（2019•北京模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB ．射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34(,)55A ，(1,0)C −．若6BOC π∠=，则cos()βα−的值是( )A B C D3．（2019•丰台区二模）已知3(,)22ππα∈，且tan αsin (α= )A ．B ．C D4．（2019•延庆区一模）函数()sin 22f x x x =在区间[,]22ππ−上的零点之和是( )A ．3π−B ．6π−C ．6πD ．3π5．（2019•西城区模拟）sincos1212ππ+的值为( )A B C D ．126．（2019•北京模拟）已知tan()16πα+=，则tan()(6πα−= )A ．2B ．2C ．2−D ．2−+7．（2020•海淀区校级模拟）若()sin cos f x x x =−在[a −，]a 上是增函数，则a 的最大值是( )A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π8．（2020•北京模拟）函数()sin 2cos 2f x x x =+的最小正周期是( ) A ．2πB ．πC ．2πD ．4π9．（2021•丰台区模拟）sin 69cos9sin 21sin 9(︒︒−︒︒= )A ．B ．12−C D ．1210．（2021•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称．若cos α=cos()(αβ−= ) A ．35−B ．35C ．1D ．3411．（2021•北京模拟）cos24cos36sin 24cos54︒︒−︒︒的值等于( )A ．0B ．12C D ．12−二．填空题（共8小题）12．（2019•海淀区校级模拟）若角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线3y x =上，则tan()4πθ−=13．（2019•北京模拟）已知3cos 5α=，(0,)2πα∈，则cos()3πα+=14．（2021•北京模拟）设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+= ．15．（2020•北京模拟）已知函数()sin f x a x x =−的一条对称轴为12,()()06x f x f x π=−+=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为 ．16．（2020•北京模拟）已知(2πα∈，)π，4sin 5α=，则tan()4πα+= ． 17．（2021•丰台区二模）函数()sin cos f x x x =+的值域为 ．18．（2021•顺义区二模）已知α是任意角，且满足cos()sin 6k παα+⋅=，则常数k 的一个取值为 ．19．（2021•海淀区校级三模）已知()sin())f x x x θθ=−++是偶函数，且[0θ∈，]π，则θ= ． 三．解答题（共1小题）20．（2021•丰台区一模）已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>．（Ⅰ）当1ω=时，求()6f π的值；（Ⅱ）当函数()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离是2π时，______．从①②③中任选一个，补充到上面空格处并作答．①求()f x 在区间[0,]2π上的最小值；②求()f x 的单调递增区间； ③若()0f x ，求x 的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．【分析】由已知结合同角平方关系可求sin α，然后结合两角差的余弦公式可求． 【解答】解：12cos 13α=，(,0)2πα∈−， 5sin 13α∴=−，则7cos()sin )413πααα−+=故选：D ．【点评】本题主要考查了同角平方关系及两角和的余弦公式在求解三角函数值中的简单应用，属于基础试题． 2．【分析】由三角函数的定义可知，3cos 5α=，4sin 5α=，56πβ=，然后结合两角差的余弦公式即可求解【解答】解：由三角函数的定义可知，3cos 5α=，4sin 5α=，56πβ=，55314cos()cos cos sin sin 66525ππβααα∴−=+=+⨯=故选：C ．【点评】本题主要考查了三角函数的定义及两角差的余弦公式的简单应用，属于基础试题 3．【分析】直接利用三角函数的定义的应用求出结果．【解答】解：已知3(,)22ππα∈，且tan α则：sin3α==−． 故选：B ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题题型．4．【分析】利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再根据函数零点的定义、正弦函数的零点，求出在区间[,]22ππ−上的零点，可得结论．【解答】解：令函数()sin 222sin(2)03f x x x x π=−=−=，可得23x k ππ−=，求得26k x ππ=+，k Z ∈．根据x ∈区间[,]22ππ−，可得3x π=−，6π， 故函数在区间[,]22ππ− 上的零点之和为366πππ−+=−， 故选：B ．【点评】本题主要考查函数零点的定义，两角和差的三角公式，正弦函数的零点，属于基础题． 5．【分析】可利用辅助角公式将sincos1212ππ+sin()1243πππ+=，从而可得答案． 【解答】解：sin cos2())121221221212432πππππππ++=+==， sincos1212ππ∴+． 故选：A ．【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，关键是辅助角公式的熟练应用及逆用两角和的正弦，属于中档题． 6．【分析】由题意利用两角和差的正切公式求得tan α的值，再利用两角和差的正切公式求得要求式子的值． 【解答】解：已知tan tantan 6tan()1631tan tan 163πααπαπαα++===−−，tan 2α∴==则tan tantan()2633παπαα−−==， 故选：D ．【点评】本题主要考查两角和差的正切公式的应用，属于基础题．7．【分析】由辅助角公式可得())4f x x π−，再根据正弦函数的单调性，即可得解．【解答】解：()sin cos )4f x x x x π=−=−，令[242x k πππ−∈−+,2]2k ππ+,k Z ∈，则[24x k ππ∈−+,32]4k ππ+,k Z ∈， ∴函数()f x 的单调递增区间为[24k ππ−+,32]4k ππ+,k Z ∈， 又()f x 在[a −，]a 上是增函数,∴取0k =，()f x 的单调递增区间为[4π−,3]4π,此时对应的a 的最大值为4π．故选：B ．【点评】本题考查三角恒等变换与三角函数的综合，熟练掌握辅助角公式、正弦函数的单调性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8．【分析】函数y 变形，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出最小正周期．【解答】解：函数sin 2cos22y x x x =++， 2ω=，T π∴=．故选：B ．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，将函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．9．【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出结果．【解答】解：sin 69cos9sin 21sin9cos21cos9sin 21sin9cos30︒︒−︒︒=︒︒−︒︒=︒ 故选：C ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10．【分析】由任意角的三角函数知cos cos αβ=，sin sin αβ=−，再根据两角差的余弦公式，即可得解． 【解答】解：由题意得，cos cos αβ=，sin sin αβ=−， 2223cos()cos cos sin sin cos sin 2cos 15αβαβαβααα∴−=+=−=−=． 故选：B ．【点评】本题考查两角和差的余弦公式，同角三角函数的平方关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．11．【分析】由题意利用诱导公式、两角和的余弦公式，计算求得结果． 【解答】解：cos24cos36sin24cos54cos24cos36sin24sin36︒︒−︒︒=︒︒−︒︒ 1cos(2436)cos602=︒+︒=︒=，故选：B ．【点评】本题主要考查诱导公式、两角和的余弦公式，属于基础题． 二．填空题（共8小题）12．【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tan θ的值，再利用两角和差的正切公式求得要求式子的值． 【解答】解：角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线3y x =上，tan 3θ∴=，则tan 11tan()41tan 2πθθθ−−==+，故答案为：12． 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正切公式的应用，属于基础题．13．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin α的值，再利用两角和的余弦公式求得cos()3πα+的值．【解答】解：3cos 5α=，(0,)2πα∈，4sin 5α∴=，则1334343cos()cos cos sin sin 333252510πππααα−+=−=−=，故答案为：310−． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．14．【分析】已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tan θ的值，再根据θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin θ与cos θ的值，即可求出sin cos θθ+的值．【解答】解：tan 11tan()41tan 2πθθθ++==−，1tan 3θ∴=−，而222221cos 1cos sin cos tan θθθθθ==++，θ为第二象限角，cos θ∴==，sin θ则sin cos θθ+==．故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．15．【分析】利用辅助角公式化简，对称为6x π=−，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性，可得对称中心，即可求出最小值．【解答】解：函数()(),f x asinx x tan θθ=−+=其中， 函数()f x 的一条对称轴为6x π=−，可得1()62f a π−=−−=2a =． ∴3πθ=−；对称中心横坐标由()(),33x k k z x k k z ππππ−=∈=+∈可得；又12()()0f x f x +=，且函数()f x 在1(x ，2)x 上具有单调性，∴12||2||3x x k π+=+，当0k =时，可得122||3x x π+=． 故答案为：23π． 【点评】本题考查了正弦函数的最值和单调性的综合应用，属于中档题． 16．【分析】直接利用三角函数关系式的定义和和角公式的应用求出结果．【解答】解：4(,),sin 25παπα∈=，则：3cos 5α=−，所以：4tan 3α=−，则：41tan tan134tan()4471tan tan 143παπαπα−+++===−−+， 故答案为：17−．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，和角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．17．【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，然后求解即可．【解答】解：函数()sin cos )[4f x x x x π=+=+∈．故答案为：[．【点评】本题考查了辅助角公式和三角函数的值域的求法，是基础题．18．【分析】由已知结合诱导公式进行化简即可求解．【解答】解：因为cos()sin 6k παα+⋅=，令62k ππ⋅=−，则3k =−．故答案为：3−（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了诱导公式，属于基础题．19．【分析】正弦函数的图象关于y 轴对称，从而当0x =时，函数取得最值，代入函数后，结合正弦函数对称轴处取得函数最值可求．【解答】解()sin())f x x x θθ=−+是偶函数，故函数的图象关于y 轴对称，根据正弦函数的对称性可知，当0x =时，()f x 取得最值，故sin 2θθ−=±，所以sin 2θθ=±，即12(sin )22θθ=±，所以sin()13πθ−=±，因为[0θ∈，]π， 则56πθ=， 故答案为：56π． 【点评】本题主要考查了正弦函数对称性的应用，解题的关键是正弦函数在对称轴处取得最值条件的应用． 三．解答题（共1小题）20．【分析】()I 把1ω=代入可求()f x ，即可求解()6f π，()II 由已知先求出()2sin(2)3f x x π=+，选①：由02x π得42333x πππ+，然后结合正弦函数的性质可求； ②令222232k x k πππππ−++，解不等式可求函数的单调递增区间；③若()0f x ，结合正弦函数的图象及性质可求．【解答】解：()1I ω=时，()sin f x x x =+，故1()262f π=+=，()()2sin()3II f x x πω=+，由函数()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离是2π得T π=，2ω=，故()2sin(2)3f x x π=+，选①：由02x π得42333x πππ+，所以sin(2)13x π+，所以()f x 在区间[0,]2π上的最小值②求()f x 的单调递增区间， 令222232k x k πππππ−++，得51212k x k ππππ−+，k Z ∈，故函数()f x 的单调递增区间5[12k ππ−，]12k ππ+，k Z ∈， ③若()0f x ，则2223k x k ππππ++，k Z ∈，解得63k x k ππππ−+，k Z ∈， 故x 的取值范围[6k ππ−，]3k ππ+，k Z ∈．【点评】本题主要考查了正弦函数的周期性，单调性，最值求解，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用．。
2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)2019年北京市高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=i（1+i），则|z|等于（）A。
2B。
√2C。
1D。
2√22.在方程r=2cosθ+3sinθ（θ为参数）所表示的曲线上的点是（）A。
(2.-7)B。
(3.1)C。
(1.5)D。
(2.1)3.设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=2(a2+a3)，则Sn=（）A。
5anB。
6anC。
7anD。
14an4.将函数y=sin2x的图象向左平移π/4个单位后得到函数y=g(x)的图象。
则函数g(x)的一个增区间是（）A。
(π/4.3π/4)B。
(3π/4.5π/4)C。
(5π/4.7π/4)D。
(7π/4.9π/4)5.使“a>b”成立的一个充分不必要条件是（）A。
a>b+1B。
a>b-1C。
a^2>b^2D。
a^3>b^36.下列函数：①y=-|x|；②y=(x-1)^3；③y=log2(x-1)；④y=-6.在x中，在(1.+∞)上是增函数且不存在零点的函数的序号是（）A。
①④B。
②③C。
②④D。
①③④7.某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（）A。
6B。
8C。
10D。
128.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A。
336B。
510C。
1326D。
3603二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.在(1-x)^5的展开式中，x^2的系数为______（用数字作答）。
答案：1010.已知向量a=(1.b)。
b=(-2.-1)，且向量a+b的模长为√10.则实数x=______。
最新北京中考数学真题模拟题汇编专题17：图形的变化之解答题
最新北京中考数学真题模拟题汇编专题17 图形的变化之解答题（14道题）参考答案与试题解析一．解答题（共14小题）1．（2019•门头沟区二模）如图，在等边三角形ABC中，点D为BC边上的一点，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD、DE，在AD上取点F，使得∠EFD＝60°，射线EF与AC交于点G．（1）设∠BAD＝α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；（2）用等式表示线段CG与BD之间的数量关系，并证明．【答案】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵∠BAD＝α，∴∠FAG＝60°﹣α，∵∠AFG＝∠EFD＝60°，∴∠AGE＝180°﹣60°﹣（60°﹣α）＝60°+α；（2）CG＝2BD，理由是：如图，连接BE，过B作BP∥EG，交AC于P，则∠BPC＝∠EGP，∵点D关于直线AB的对称点为点E，∴∠ABE＝∠ABD＝60°，∴∠EBD+∠C＝180°，∴EB∥GP，∴四边形EBPG是平行四边形，∴BE＝PG，∵∠DFG+∠C＝120°+60°＝180°，∴∠FGC+∠FDC＝180°，∴∠ADB＝∠BGP＝∠BPC，∵AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，∴△ABD≌△BCP（AAS），∴BD＝PC＝BE＝PG，∴CG＝2BD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，对称的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．2．（2019•东城区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，AE∥BD，且AE＝BD．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的长．【答案】（1）证明：∵AE∥BD，AE＝BD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形AEBD是矩形．（2）解：∵四边形AEBD是矩形，∵∠ABE＝30°，AE＝2，∴BE＝2，BC＝4，∴EC＝2，∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF，∴，∴EF EC．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．（2019•东城区二模）如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．（1）求证：BD＝CE；（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；（3）在（2）的条件下，若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值．【答案】证明：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°∴△ADE是等边三角形∵△ABC为等边三角形∴AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝60°∴∠DAB＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE∴△ADB≌△AEC（SAS）∴BD＝CE（2）如图，过点C作CG∥BP，交EF的延长线于点G，∵∠ADB＝90°，∠ADE＝60°∴∠BDG＝30°∵CG∥BP∴∠G＝∠BDG＝30°，∵△ADB≌△AEC∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝90°∴∠GEC＝∠AEC﹣∠AED＝30°∴∠G＝∠GEC＝30°∴GC＝CE，∴CG＝BD，且∠BDG＝∠G，∠BFD＝∠GFC∴△BFD≌△CFG（AAS）∴BF＝FC∴点F是BC中点（3）如图，连接AF，∵△ABC是等边三角形，BF＝FC∴AF⊥BC∴∠AFC＝90°∴∠AFC＝∠AEC＝90°∴点A，点F，点C，点E四点在以AC为直径的圆上，∴EF最大为直径，即最大值为1【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．4．（2019•平谷区二模）在等边三角形ABC外侧作射线AP，∠BAP＝α，点B关于射线AP的对称点为点D，连接CD交AP于点E．（1）依据题意补全图形；（2）当α＝20°时，∠ADC＝40°；∠AEC＝60°；（3）连接BE，求证：∠AEC＝∠BEC；（4）当0°＜α＜60°时，用等式表示线段AE，CD，DE之间的数量关系，并证明．【答案】解：（1）如图，补全图形：（2）连接AD，∵三角形ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，由对称可知，AD＝AB，∴AD＝AC，∵∠BAP＝α＝20°，∴∠DAB＝40°，∴∠DAC＝40°+60°＝100°，∴∠ADC＝∠ACD，∠AEC＝∠ADC+∠DAE＝40°+20°＝60°，故答案为40，60；（3）由对称可知，∠BAE＝∠DAE＝α，∵AD＝AB＝AC，∴∠ADC，∠AEC＝60°，∵∠ACB＝60°，∠ACD＝∠ADC＝60°﹣α，∴∠BCE＝α，∵∠ABC＝60°，∠ABE＝∠ADC＝60°﹣α，∴∠BEC＝60°，∴∠AEC＝∠BEC；（4）当0°＜α＜60°时，CD＝2DE+AE，证明：在CD上截取BG＝BE，∵∠BEC＝60°，∴△BGE是等边三角形，∴∠BGC＝∠AED＝120°，∵∠BCE＝∠DAE＝α，∴△BCG≌△DAE（AAS），∴AE＝CG，∵EG＝BE＝DE，∴CD＝2DE+CG，即CD＝2DE+AE．【点睛】本题考查了轴对称，熟练运用等边三角形的性质是解题的关键．5．（2019•顺义区二模）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如图1，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连结CE．①求证：∠AED＝∠CED；②用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系（直接写出结果）；（2）在图2中，若将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到AD，连结CD、BD，∠BAC的平分线交BD的延长线于点E，连结CE．请补全图形，并用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明．【答案】证明：（1）①∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，∴AC＝AD，∠DAC＝60°∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝150°，且AB＝AC＝AD ∴∠3＝∠5＝15°∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AE平分∠BAC∴∠1＝∠2＝45°，∠ABC＝∠ACB＝45°又∵AE＝AE，∴△ABE≌△ACE（SAS）∴∠3＝∠4＝15°∴∠6＝∠7＝30°∴∠DEC＝∠6+∠7＝60°∵∠AED＝∠3+∠1＝60°∴∠AED＝∠CED②BD＝2CE+AE理由如下：过点A作AH⊥BD于点H，∵∠EBC＝∠ECB∴BE＝CE，∵∠AED＝60°，AH⊥BD∴AE＝2EH∵AB＝AD，AH⊥BD∴BD＝2BH＝2（BE+EH）＝2BE+AE＝2EC+AE（2）补全图形如图，2CE﹣AE＝BD理由如下：如图2，以A为顶点，AE为一边作∠EAF＝60°，AF交DB延长线于点F．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AE平分∠BAC∴∠BAE＝∠CAE＝45°，∠ABC＝∠ACB＝45°．∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，∴AC＝AD，∠DAC＝60°∴∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝15°，AB＝AD∴∠ABD＝∠ADB，∠BAD＝30°∴∠ABD＝∠ADB＝75°∴∠AED＝∠ADB﹣∠DAE＝60°∵∠EAF＝60°又∵∠EAF＝60°，∴∠F＝60°∴△AEF是等边三角形．∴AE＝AF＝EF．∵AC＝AD，∠CAE＝∠DAF＝45°，AE＝AF，∴△CAE≌△DAF（SAS）．∴CE＝DF．∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE＝45°，AE＝AE，∴△BAE≌△CAE（SAS）．∴BE＝CE．∴BE＝CE．∵DF+BE﹣EF＝BD，∴2CE﹣AE＝BD【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．6．（2019•石景山区二模）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为外角∠BCD平分线上一动点（不与点C重合），点E关于直线BC的对称点为F，连接BE，连接AF并延长交直线BE于点G．（1）求证：AF＝BE；（2）用等式表示线段FG，EG与CE的数量关系，并证明．【答案】解：（1）如图，连接CF．∵，∠ACB＝90°，CE平分∠BCD，∴∠BCE＝45°，∵点E、F关于直线BC对称，∴CE＝CF，∠FCB＝∠BCE＝45°，∴∠FCA＝45°，在△FCA与△ECB中，∴△FCA≌△ECB（SAS），∴AF＝BE；（2）FG，EG与CE的数量关系：GE2+GF2＝2CE2，证明：∵△FCA≌△ECB，∴∠AFC＝∠BEC，∵∠AFC+∠CFG＝180°，∴∠CFG+∠CEG＝180°，∴∠ECF+∠EGF＝180°，∵∠ECF＝45°+45°＝90°，∴∠EGF＝90°，连接EF，∴GE2+GF2＝EF2，∵CE＝CF，∴CE2+CF2＝2CE2＝EF2，∴GE2+GF2＝2CE2．【点睛】本题考查了轴对称的性质与等腰直角三角形的性质，熟练运用勾股定理、三角形全等的判定与性质是解题的关键．7．（2019•朝阳区一模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，将线段BC绕点B逆时针旋转α°（0＜α＜180），得到线段BD，且AD∥BC．（1）依题意补全图形；（2）求满足条件的α的值；（3）若AB＝2，求AD的长．【答案】解：（1）满足条件的点D和D′如图所示．（2）作AF⊥BC于F，DE⊥BC于E．则四边形AFED是矩形．∴AF＝DE，∠DEB＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AF⊥BC，∴BF＝CF，∴AF BC，∵BC＝BD，AF＝DE，∴DE BD，∴∠DBE＝30°，∴∠D′BC＝120°+30°＝150°，∴满足条件的α的值为30°或150°．（3）由题意AB＝AC＝2，∴BC＝2，∴AF＝BF＝DE，∴BE DE，∴AD，AD′＝2（）．【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．，属于中考常考题型．8．（2019•石景山区一模）如图，在等边△ABC中，D为边AC的延长线上一点（CD＜AC），平移线段BC，使点C移动到点D，得到线段ED，M为ED的中点，过点M作ED的垂线，交BC于点F，交AC于点G．（1）依题意补全图形；（2）求证：AG＝CD；（3）连接DF并延长交AB于点H，用等式表示线段AH与CG的数量关系，并证明．【答案】解：（1）补全的图形如图1所示．（2）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝CA．∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°．由平移可知ED∥BC，ED＝BC．∴∠ADE＝∠ACB＝60°．∵∠GMD＝90°，如图1，∴DG＝2DM＝DE．∵DE＝BC＝AC，∴DG＝AC．∴AG＝CD．（3）线段AH与CG的数量关系：AH＝CG．证明：如图2，连接BE，EF．∵ED＝BC，ED∥BC，∴四边形BEDC是平行四边形．∴BE＝CD，∠CBE＝∠ADE＝∠ABC．∵GM垂直平分ED，∴EF＝DF．∴∠DEF＝∠EDF．∵ED∥BC，∴∠BFE＝∠DEF，∠BFH＝∠EDF．∴∠BFE＝∠BFH．∵BF＝BF，∴△BEF≌△BHF（ASA）．∴BE＝BH＝CD＝AG．∵AB＝AC，∴AH＝CG．【点睛】本题考查平移变换、等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键灵活应用所学知识解决问题，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．9．（2019•西城区一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC．将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连接DE交AC于点F，连接BF．（1）求证：FB＝FD；（2）点H在边BC上，且BH＝CE，连接AH交BF于点N．①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；②连接CN．若AB＝2，请直接写出线段CN长度的最小值．【答案】（1）证明：如图1中，∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，∴∠BAD＝90°，BA＝AD，∴∠FAD＝∠FAB＝45°，∵AF＝AF，∴△FAD≌△FAB（SAS），∴BF＝DF．（2）①解：结论：AH⊥BF．理由：如图2中，连接CD．∵∠ABC+∠BAD＝180°，∴AD∥BC，∵AD＝AB＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形，∵BA＝CD，∠ABH＝∠DCE，BH＝CE，∴△ABH≌△DCE（SAS），∴∠BAH＝∠CDE，∵∠FCD＝∠FCB＝45°，CF＝CF，CD＝CB，∴△CFD≌△CFB（SAS），∴∠CDF＝∠CBF，∴∠BAH＝∠CBF，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAH+∠ABF＝90°，∴∠ANB＝90°，∴AH⊥BF．②如图3中，取AB的中点O，连接ON，OC．∵∠ANB＝90°，AO＝OB，∴ON AB＝1，在Rt△OBC中，OC，∵CN≥OC﹣ON，∴CN1，∴CN的最小值为1．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．10．（2019•平谷区一模）在△ABC中，∠ABC＝120°，线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，连接CD，BD交AC于P．（1）若∠BAC＝α，直接写出∠BCD的度数（用含α的代数式表示）；（2）求AB，BC，BD之间的数量关系；（3）当α＝30°时，直接写出AC，BD的关系．【答案】解：（1）∵线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，∵∠ABC＝120°，∴∠BAC+∠BCA＝60°，∴∠BCD＝∠ACD+∠BCA＝60°+60°﹣α＝120°﹣α，即∠BCD＝120°﹣α．（2）BD＝AB+BC．如图1，延长BA使AE＝BC，连接DE．由（1）知△ADC是等边三角形，∴AD＝CD．∵∠DAB+∠DCB＝∠DAB+∠DAE＝180°，∴∠DCB＝∠DAE．∴△ADE≌△CDB（SAS）．∴BD＝BE．∴BD＝AB+BC．（3）如图2，AC，BD的数量关系是：；位置关系是：AC⊥BD于点P．理由如下：∵∠BAC＝30°，∠ABC＝120°，∴∠ACB＝30°，∴AB＝BC，∵AD＝DC，∴BD垂直平分AC，∴∠ABD＝60°，∠DAB＝90°，∴，∴．【点睛】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．11．（2019•通州区一模）如图，在等边△ABC中，点D是线段BC上一点．作射线AD，点B关于射线AD的对称点为E．连接CE并延长，交射线AD于点F．（1）设∠BAF＝α，用α表示∠BCF的度数；（2）用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系，并证明．【答案】解：（1）连接AE．∵点B关于射线AD的对称点为E，∴AE＝AB，∠BAF＝∠EAF＝α，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠EAC＝60°﹣2α，AE＝AC，∴[180°﹣（60°﹣2α）]＝60°+α，∴∠BCF＝∠ACE﹣∠ACB＝60°+α﹣60°＝α．（2）结论：AF＝EF+CF．证明：如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF．∵∠BAF＝∠BCF＝α，∠ADB＝∠CDF，∴∠ABC＝∠AFC＝60°，∴△FCG是等边三角形，∴GF＝FC，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°，∴∠ACG＝∠BCF＝α，在△ACG和△BCF中，，∴△ACG≌△BCF．∴AG＝BF，∵点B关于射线AD的对称点为E，∴BF＝EF，∴AF﹣AG＝GF，∴AF＝EF+CF．【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．（2019•门头沟区一模）如图，∠AOB＝90°，OC为∠AOB的平分线，点P为OC上一个动点，过点P 作射线PE交OA于点E．以点P为旋转中心，将射线PE沿逆时针方向旋转90°，交OB于点F．（1）根据题意补全图1，并证明PE＝PF；（2）如图1，如果点E在OA边上，用等式表示线段OE，OP和OF之间的数量关系，并证明；（3）如图2，如果点E在OA边的反向延长线上，直接写出线段OE，OP和OF之间的数量关系．【答案】解：（1）补全图形（如图1）；理由：如图1中，作PQ⊥PO交OB于Q∴∠OPQ＝∠EPF＝90°∴∠EPO＝∠FPQ，又∵OC平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠EOP＝∠POB＝45°，又∵∠POQ+∠OQP＝90°，∴∠PQO＝45°，∴∠POE＝∠PQF＝∠POQ，∴PO＝PQ．∴△EPO≌△FPQ（ASA），∴PE＝PF，（2）结论：线段OE，OP和OF之间的数量关系是OF+OE OP．理由：如图1中，∵△EPO≌△FPQ，∴OE＝FQ．又∵OQ＝OF+FQ＝OF+OE，又∵OQ OP，∴OF+OE OP．（3）结论：线段OE，OP和OF之间的数量关系是OF﹣OE OP．理由：如图1中，作PQ⊥PO交OB于Q∴∠OPQ＝∠EPF＝90°∴∠EPO＝∠FPQ，又∵OC平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOP＝∠POB＝45°，又∵∠POQ+∠OQP＝90°，∴∠PQO＝45°，∴∠POA＝∠PQO＝∠POQ＝45°，∴PO＝PQ，∠POE＝∠PQE＝135°，∴△EPO≌△FPQ（ASA），∴PE＝PF，OE＝FQ．又∵OQ＝OF﹣FQ＝OF﹣OE，又∵OQ OP，∴OF﹣OE OP．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．13．（2019•延庆区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a﹣2（a≠0）的对称轴与x轴交于点A，将点A向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点B．（1）求抛物线的对称轴及点B的坐标；（2）若抛物线与线段AB有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【答案】解：（1）抛物线的对称轴为直线x2，∴点A的坐标为（2，0）．∵将点A向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点B，∴点B的坐标为（2+3，0+2），即（5，2）．（2）分a＞0和a＜0两种情况考虑：①当a＞0时，如图1所示．∴25a﹣20a+3a﹣2≥2，∴a；②当a＜0时，如图2所示．∵y＝ax2﹣4ax+3a﹣2＝a（x﹣2）2﹣a﹣2，∴，∴a≤﹣2．综上所述：a的取值范围为a或a≤﹣2．【点睛】本题考查了坐标与图形的变化﹣平移：掌握点平移的坐标规律和二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质，求出点A的坐标；（2）分a＞0和a＜0两种情况，利用数形结合找出关于a的一元一次不等式（或一元一次不等式组）．14．（2019•北京模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）（1）如果∠A＝30°①如图1，∠DCB＝60°②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3，若点P在线段CB的延长线上，且∠A＝α（0°＜α＜90°），连结DP，将线段DP绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE．BF、BP三者的数量关系（不需证明）【答案】解：（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵AD＝DB，∴CD＝AD＝DB，∴△CDB是等边三角形，∴∠DCB＝60°．②补全图形如图2，结论：CP＝BF．理由如下：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A＝α，∴DC＝DB＝AD，DE∥AC，∴∠A＝∠ACD＝α，∠EDB＝∠A＝α，BC＝2CE，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2α，∵∠PDF＝2α，∴∠FDB＝∠CDP＝2α﹣∠PDB，∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，∴DP＝DF，在△DCP和△DBF中，∴△DCP≌△DBF（SAS），∴CP＝BF，CP＝BF．（2）结论：BF﹣BP＝2DE•tanα．理由：如图3，∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A＝α，∴DC＝DB＝AD，DE∥AC，∴∠A＝∠ACD＝α，∠EDB＝∠A＝α，BC＝2CE，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2α，∵∠PDF＝2α，∴∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，∴DP＝DF，在△DCP和△DBF中，∴△DCP≌△DBF（SAS），∴CP＝BF，而CP＝BC+BP，∴BF﹣BP＝BC，在Rt△CDE中，∠DEC＝90°，∴tan∠DCE，∴CE＝DE tanα，∴BC＝2CE＝2DE tanα，即BF﹣BP＝2DE tanα．【点睛】本题考查了三角形外角性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP≌△DBF是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．。
北京市西城区2019届九年级上期末数学试卷含答案解析
2019-2019学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．二次函数y=（x﹣5）2+7的最小值是（）A．﹣7 B．7 C．﹣5 D．52．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则cosA的值为（）A．B．C．D．3．如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=6，则OC的长为（）A．12 B．C．D．4．将二次函数y=x2﹣6x+5用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（）A．y=（x﹣6）2+5 B．y=（x﹣3）2+5 C．y=（x﹣3）2﹣4 D．y=（x+3）2﹣9 5．若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是12π cm，则此扇形的圆心角等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣1，2），AB⊥x轴于点B．以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的2倍，得到△OA1B1，且点A1在第二象限，则点A1的坐标为（）A．（﹣2，4）B．（，1）C．（2，﹣4）D．（2，4）7．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为（）A．40海里B．40tan37°海里C．40cos37°海里D．40sin37°海里8．如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．70°9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（）A．y=60（300+20x）B．y=（60﹣x）（300+20x）C．y=300（60﹣20x）D．y=（60﹣x）（300﹣20x）10．二次函数y=2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（）A．8 B．﹣10 C．﹣42 D．﹣24二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．若，则的值为．12．点A（﹣3，y1），B（2，y2）在抛物线y=x2﹣5x上，则y1y2．（填“＞”，“＜”或“=”）13．△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，则△DEF的周长为．14．如图，线段AB和射线AC交于点A，∠A=30°，AB=20．点D在射线AC上，且∠ADB是钝角，写出一个满足条件的AD的长度值：AD=．15．程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”【注释】1步=5尺．译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC=1尺，CD=EB=10尺，人的身高BD=5尺．设绳索长OA=OB=x尺，则可列方程为．16．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线．已知：P为⊙O外一点．求作：经过点P的⊙O的切线．小敏的作法如下：如图，（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；（2）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；（3）作直线PA，PB．所以直线PA，PB就是所求作的切线．老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：4cos30°•tan60°﹣sin245°．18．如图，△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，求tanC的值．19．已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）求A，B两点的坐标和此抛物线的对称轴；（2）设此抛物线的顶点为C，点D与点C关于x轴对称，求四边形ACBD的面积．20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．21．某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？22．已知抛物线C1：y1=2x2﹣4x+k与x轴只有一个公共点．（1）求k的值；（2）怎样平移抛物线C1就可以得到抛物线C2：y2=2（x+1）2﹣4k？请写出具体的平移方法；（3）若点A（1，t）和点B（m，n）都在抛物线C2：y2=2（x+1）2﹣4k上，且n ＜t，直接写出m的取值范围．23．如图，AB是⊙O的一条弦，且AB=．点C，E分别在⊙O上，且OC⊥AB 于点D，∠E=30°，连接OA．（1）求OA的长；（2）若AF是⊙O的另一条弦，且点O到AF的距离为，直接写出∠BAF的度数．24．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A 的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A 的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）25．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．PC是⊙O的切线，C为切点，PD⊥AB于点D，交AC于点E．（1）求证：∠PCE=∠PEC；（2）若AB=10，ED=，sinA=，求PC的长．26．阅读下面材料：如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=ax+b与双曲线y2=交于A（1，3）和B（﹣3，﹣1）两点．观察图象可知：①当x=﹣3或1时，y1=y2；②当﹣3＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b＞的解集．有这样一个问题：求不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集．某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集进行了探究．下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整：（1）将不等式按条件进行转化：当x=0时，原不等式不成立；当x＞0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＞；当x＜0时，原不等式可以转化为x2+4x﹣1＜；（2）构造函数，画出图象设y3=x2+4x﹣1，y4=，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象．双曲线y4=如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y3=x2+4x﹣1；（不用列表）（3）确定两个函数图象公共点的横坐标观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3=y4的所有x的值为；（4）借助图象，写出解集结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式x3+4x2﹣x﹣4＞0的解集为．27．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣+bx+c的图象经过点A（1，0），且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣+bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．（1）求二次函数y=﹣+bx+c的表达式；（2）连接AB，求AB的长；（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．28．（7分）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AB的中点．D是射线BC 上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN．（1）如图1，当BD=2时，AN=，NM与AB的位置关系是；（2）当4＜BD＜8时，①依题意补全图2；②判断（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接ME，在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，ME的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作⊙C的切线l．当入射光线照射在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点P称为反射点．规定：光线不能“穿过”⊙C，即当入射光线在⊙C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线．光线在⊙C外反射的示意图如图1所示，其中∠1=∠2．（1）自⊙C内一点出发的入射光线经⊙C第一次反射后的示意图如图2所示，P1是第1个反射点．请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线；（2）当⊙O的半径为1时，如图3，①第一象限内的一条入射光线平行于x轴，且自⊙O的外部照射在其上点P处，此光线经⊙O反射后，反射光线与y轴平行，则反射光线与切线l的夹角为°；②自点A（﹣1，0）出发的入射光线，在⊙O内不断地反射．若第1个反射点P1在第二象限，且第12个反射点P12与点A重合，则第1个反射点P1的坐标为；（3）如图4，点M的坐标为（0，2），⊙M的半径为1．第一象限内自点O出发的入射光线经⊙M反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P的纵坐标的取值范围．2019-2019学年北京市西城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．二次函数y=（x﹣5）2+7的最小值是（）A．﹣7 B．7 C．﹣5 D．5【考点】二次函数的最值．【分析】根据二次函数的性质求解．【解答】解：∵y=（x﹣5）2+7∴当x=5时，y有最小值7．故选B．【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x 的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=﹣，函数最小值y=；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=﹣，函数最大值y=．2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则cosA的值为（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理，得AB==5．cosA==，故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C相切于点P．若∠AOB=90°，OP=6，则OC的长为（）A．12 B．C．D．【考点】切线的性质．【分析】连接CP，由切线的性质可得CP⊥AO，再由切线长定理可得∠POC=45°，进而可得△POC是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出OC的长．【解答】解：连接CP，∵OA边与⊙C相切于点P，∴CP⊥AO，∵⊙C与∠AOB的两边分别相切，∠AOB=90°，∴∠POC=45°，∴OP=CP=6，∴OC==6，故选C．【点评】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，能够正确的判定△POC是等腰直角三角形是解题关键．4．将二次函数y=x2﹣6x+5用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（）A．y=（x﹣6）2+5 B．y=（x﹣3）2+5 C．y=（x﹣3）2﹣4 D．y=（x+3）2﹣9【考点】二次函数的三种形式．【分析】运用配方法把一般式化为顶点式即可．【解答】解：y=x2﹣6x+5=x2﹣6x+9﹣4=（x﹣3）2﹣4，故选：C．【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．5．若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是12π cm，则此扇形的圆心角等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°【考点】弧长的计算．【分析】把弧长公式进行变形，代入已知数据计算即可．【解答】解：根据弧长的公式l=，得n===120°，故选：D．【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式l=是解题的关键．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣1，2），AB⊥x轴于点B．以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的2倍，得到△OA1B1，且点A1在第二象限，则点A1的坐标为（）A．（﹣2，4）B．（，1）C．（2，﹣4）D．（2，4）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点A1的坐标．【解答】解：∵点A的坐标为（﹣1，2），以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的2倍，得到△OA1B1，且点A1在第二象限，∴点A1的坐标为（﹣2，4）．故选：A．【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．7．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为（）A．40海里B．40tan37°海里C．40cos37°海里D．40sin37°海里【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】根据已知条件得出∠BAP=37°，再根据AP=40海里和正弦定理即可求出BP的长．【解答】解：∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，∴∠BAP=37°，∵AP=40海里，∴BP=AP•sin37°=40sin37°海里；故选D．【点评】本题考查解直角三角形，用到的知识点是方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．8．如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．70°【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【分析】根据三角形的内角和定理得到∠A=80°，根据圆周角定理得到∠D=∠A=80°，根据等腰三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵∠ABC=70°，∠ACB=30°，∴∠A=80°，∴∠D=∠A=80°，∵D是的中点，∴，∴BD=CD，∴∠DBC=∠DCB==50°，故选C．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（）A．y=60（300+20x）B．y=（60﹣x）（300+20x）C．y=300（60﹣20x）D．y=（60﹣x）（300﹣20x）【考点】根据实际问题列二次函数关系式．【分析】根据降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，由题意可得等量关系：总销售额为y=销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．【解答】解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，根据题意得，y=（60﹣x）（300+20x），故选：B．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列函数解析式．10．二次函数y=2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x 轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（）A．8 B．﹣10 C．﹣42 D．﹣24【考点】二次函数的性质．【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x=2，在7＜x＜8这一段位于x轴的上方，利用抛物线对称性得到抛物线在0＜x＜1这一段位于x轴的上方，而图象在1＜x＜2这一段位于x轴的下方，于是可得抛物线过点（﹣2，0），（6，0），然后把（﹣2，0）代入y=2x2﹣8x+m可求出m的值．【解答】解：∵抛物线y=2x2﹣8x+m=2（x﹣2）2﹣8+m的对称轴为直线x=2，而抛物线在﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方∴抛物线过点（﹣2，0），（6，0），把（﹣2，0）代入y=2x2﹣8x+m得8+16+m=0，解得m=﹣24．故选D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．若，则的值为．【考点】比例的性质．【分析】已知的比值，根据比例的合比性质即可求得．【解答】解：根据比例的合比性质，已知=，则=．【点评】熟练应用比例的合比性质．12．点A（﹣3，y1），B（2，y2）在抛物线y=x2﹣5x上，则y1＞y2．（填“＞”，“＜”或“=”）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】分别计算自变量为﹣3、2时的函数值，然后比较函数值的大小即可．【解答】解：当x=﹣3时，y1=x2﹣5x=24；当x=2时，y2=x2﹣5x=﹣6；∵24＞﹣6，∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．13．△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，则△DEF的周长为90．【考点】相似三角形的性质．【分析】由△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，即可求得△AC的周长以及相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC的三边长分别为5，12，13，∴△ABC的周长为：5+12+13=30，∵与它相似的△DEF的最小边长为15，∴△DEF的周长：△ABC的周长=15：5=3：1，∴△DEF的周长为：3×30=90．故答案为90．【点评】此题考查了相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题关键．14．如图，线段AB和射线AC交于点A，∠A=30°，AB=20．点D在射线AC上，且∠ADB是钝角，写出一个满足条件的AD的长度值：AD=10．【考点】含30度角的直角三角形．【分析】过B作BE⊥AC于E，由∠A=30°，AB=20，得到AE=10，推出∠ADB ＞∠AEB，即可得到结论．【解答】解：过B作BE⊥AC于E，∵∠A=30°，AB=20，∴AE=10，∵∠ADB是钝角，∴∠ADB＞∠AEB，∴0＜AD＜10，∴AD=10，故答案为：10．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟记直角三角形的性质是解题的关键．15．程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”【注释】1步=5尺．译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC=1尺，CD=EB=10尺，人的身高BD=5尺．设绳索长OA=OB=x尺，则可列方程为102+（x﹣5+1）2=x2．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理列出方程．【解答】解：设绳索长OA=OB=x尺，由题意得，102+（x﹣5+1）2=x2．故答案为：102+（x﹣5+1）2=x2．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，考查学生理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来求解．16．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线．已知：P为⊙O外一点．求作：经过点P的⊙O的切线．小敏的作法如下：如图，（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；（2）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；（3）作直线PA，PB．所以直线PA，PB就是所求作的切线．老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是直径所对的圆周角是90°；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．【考点】作图—复杂作图；切线的判定．【分析】分别利用圆周角定理以及切线的判定方法得出答案．【解答】解：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是：直径所对的圆周角是90°；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是：经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．故答案为：直径所对的圆周角是90°；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．【点评】此题主要考查了切线的判定以及圆周角定理，正确把握切线的判定方法是解题关键．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：4cos30°•tan60°﹣sin245°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式=4××﹣（）2=6﹣=．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．18．如图，△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，求tanC的值．【考点】解直角三角形．【分析】根据在△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，可以求得BD、AD、CD的长，从而可以求得tanC的值．【解答】解：∵△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AB=2BD，∴BD=6，∴CD=BC﹣BD=15﹣6=9，∴AD=，∴tanC=．即tanC的值是．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是计算出题目中各边的长，找出所求问题需要的条件．19．已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧．（1）求A，B两点的坐标和此抛物线的对称轴；（2）设此抛物线的顶点为C，点D与点C关于x轴对称，求四边形ACBD的面积．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】（1）令y=0解方程即可求得A和B的横坐标，然后利用配方法即可求得对称轴和顶点坐标；（2）首先求得D的坐标，然后利用面积公式即可求解．【解答】解：（1）令y=0，则﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3．则A的坐标是（﹣1，0），B的坐标是（3，0）．y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，则对称轴是x=1，顶点C的坐标是（1，4）；（2）D的坐标是（1，﹣4）．AB=3﹣（﹣1）=4，CD=4﹣（﹣4）=8，则四边形ACBD的面积是：AB•CD=×4×8=16．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式以及配方法确定二次函数的对称轴和顶点坐标，正确求得A和B的坐标是关键．20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．（1）求证：△ABD∽△DCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据平行线的性质，可得∠ADB与∠DBC的关系，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案；（2）根据相似三角形的性质，可得答案．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵∠A=∠BDC，∴△ABD∽△DCB；（2）∵△ABD∽△DCB，AB=12，AD=8，CD=15，∴=，即=，解得DB=10，DB的长10．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了两个角对应相等的两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例是解题关键．21．某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？【考点】一元二次方程的应用．【分析】设人行道的宽度为x米，则矩形绿地的长度为：，宽度为：8﹣2x，根据两块绿地的面积之和为60平方米，列方程求解．【解答】解：设人行道的宽度为x米，由题意得，2××（8﹣2x）=60，解得：x1=2，x2=9（不合题意，舍去）．答：人行道的宽度为2米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．22．已知抛物线C1：y1=2x2﹣4x+k与x轴只有一个公共点．（1）求k的值；（2）怎样平移抛物线C1就可以得到抛物线C2：y2=2（x+1）2﹣4k？请写出具体的平移方法；（3）若点A（1，t）和点B（m，n）都在抛物线C2：y2=2（x+1）2﹣4k上，且n ＜t，直接写出m的取值范围．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．【分析】（1）抛物线与x轴只有一个公共点，则判别式△=0，据此即可求得k 的值；（2）把C1化成顶点式的形式，利用函数平移的法则即可确定；（3）首先求得t的值，然后求得等y=t时C2中对应的自变量的值，结合函数的性质即可求解．【解答】解：（1）根据题意得：△=16﹣8k=0，解得：k=2；（2）C1是：y1=2x2﹣4x+2=2（x﹣1）2，抛物线C2是：y2=2（x+1）2﹣8．则平移抛物线C1就可以得到抛物线C2的方法是向左平移2个单位长度，向下平移8个单位长度；（3）当x=1时，y2=2（x+1）2﹣8=0，即t=0．在y2=2（x+1）2﹣8中，令y=0，解得：x=1或﹣3．则当n＜t时，即2（x+1）2﹣8＜0时，m的范围是﹣3＜m＜1．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点的个数的确定，以及函数的平移方法，根据函数的性质确定m的范围是关键．23．如图，AB是⊙O的一条弦，且AB=．点C，E分别在⊙O上，且OC⊥AB 于点D，∠E=30°，连接OA．（1）求OA的长；（2）若AF是⊙O的另一条弦，且点O到AF的距离为，直接写出∠BAF的度数．【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理．【分析】（1）根据垂径定理求出AD的长，根据圆周角定理求出∠AOD的度数，运用正弦的定义解答即可；（2）作OH⊥AF于H，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求出∠OAF的度数，分情况计算即可．【解答】解：（1）∵OC⊥AB，AB=，∴AD=DB=2，∵∠E=30°，∴∠AOD=60°，∠OAB=30°，∴OA==4；（2）如图，作OH⊥AF于H，∵OA=4，OH=2，∴∠OAF=45°，∴∠BAF=∠OAF+∠OAB=75°，则∠BAF′=∠OAF′﹣∠OAB=15°，∴∠BAF的度数是75°或15°．【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理和勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．24．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A 的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A 的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】根据已知条件求出BD=AD，设DC=x，得出AD=90+x，再根据tan58°=，求出x的值，即可得出AD的值．【解答】解：∵∠B=45°，AD⊥DB，∴∠DAB=45°，∴BD=AD，设DC=x，则BD=BC+DC=90+x，∴AD=90+x，∴tan58°===1.60，解得：x=150，∴AD=90+150=240（米），答：最高塔的高度AD约为240米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的运用．25．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．PC是⊙O的切线，C为切点，PD⊥AB于点D，交AC于点E．（1）求证：∠PCE=∠PEC；（2）若AB=10，ED=，sinA=，求PC的长．【考点】切线的性质．【分析】（1）由弦切角定理可知∠PCA=∠B，由直角所对的圆周角等于90°可知∠ACB=90°．由同角的余角相等可知∠AED=∠B，结合对顶角的性质可知∠PCE=∠PEC；（2）过点P作PF⊥AC，垂足为F．由锐角三角函数的定义和勾股定理可求得AC=8，AE=，由等腰三角形三线合一的性质可知EF=，然后证明△AED∽△PEF，由相似三角形的性质可求得PE的长，从而得到PC的长．【解答】解：（1）∵PC是圆O的切线，∴∠PCA=∠B．∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠A+∠B=90°．∵PD⊥AB，∴∠A+∠AED=90°．。
2019-2020年北京市中考数学各地区模拟试题分类(北京专版)(一)——二次函数(含解析)
2019-2020年北京市中考数学各地区模拟试题分类（北京专版）（一）——二次函数一．选择题1．（2020•海淀区一模）将抛物线y＝2x2向下平移3个单位长度所得到的抛物线是（）A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x﹣3）2D．y＝2（x+3）2 2．（2019•房山区二模）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（）A．小球的飞行高度不能达到15mB．小球的飞行高度可以达到25mC．小球从飞出到落地要用时4sD．小球飞出1s时的飞行高度为10m3．（2019•通州区三模）四位同学在研究二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线x＝1；乙同学发现3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x＝2时，y＝5，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．（2019•怀柔区二模）在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其表达式中的二次项系数绝对值最小的是（）A．y1B．y2C．y3D．y4 5．（2019•道外区二模）将抛物线y＝x2沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移1个单位，则得到的抛物线解析式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣1 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+1）2﹣1 6．（2019•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，2），（5，3），则下列说法正确的是（）①抛物线与y轴有交点②若抛物线经过点（2，2），则抛物线的开口向上③抛物线的对称轴不可能是x＝3④若抛物线的对称轴是x＝4，则抛物线与x轴有交点A．①②③④B．①②③C．①③④D．②④7．（2019•丰台区模拟）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m 的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与O点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（）A．球不会过网B．球会过球网但不会出界C．球会过球网并会出界D．无法确定二．填空题8．（2020•朝阳区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，﹣2），B（0，3），C（3，3），D（4，﹣2），y是关于x的二次函数，抛物线y1经过点A、B、C，抛物线y2经过点B、C、D，抛物线y3经过点A、B、D，抛物线y4经过点A、C、D．下列判断：①四条抛物线的开口方向均向下；②当x＜0时，至少有一条抛物线表达式中的y均随x的增大而减小；③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的上方；④抛物线y4与y轴的交点在点B的上方．所有正确结论的序号为．9．（2020•朝阳区校级模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线y＝x2﹣4x+6上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD．则正方形的边长AB的最小值是．10．（2020•西城区校级模拟）已知在同一坐标系中，抛物线y1＝ax2的开口向上，且它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小，请你写出一个满足条件的a值：．11．（2020•海淀区校级一模）计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数y＝x2（x﹣3）和y＝x﹣3的图象如图所示．根据图象可知方程x2（x﹣3）＝x﹣3的解的个数为；若m，n分别为方程x2（x﹣3）＝1和x﹣3＝1的解，则m，n的大小关系是．12．（2020•西城区校级模拟）如图，双曲线y＝与抛物线y＝ax2+bx+c交于点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由图象可得不等式组0＜+bx+c的解集为．13．（2019•朝阳区模拟）在平面直角坐标系中xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记函数y＝﹣x2+a（a＞0）的图象在x轴上方的部分与x轴围成的区域（不含边界）为W．当a＝2时，区域W内的整点个数为，若区域W内恰有7个整点，则a 的取值范围是．14．（2019•大兴区一模）已知二次函数y＝x2﹣2x+3，当自变量x满足﹣1≤x≤2时，函数y的最大值是．15．（2019•朝阳区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为．16．（2019•朝阳区模拟）请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式，y＝．17．（2019•石景山区二模）如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端安有一个喷水池，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取A点为坐标原点时的抛物线的表达式为y＝﹣，则选取点D为坐标原点时的抛物线表达式为，水管AB的长为m．三．解答题18．（2020•北京二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax（a≠0）与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．（1）求点A，B的坐标及抛物线的对称轴；（2）已知点P（2，2），Q（2+2a，5a），若抛物线与线段PQ有公共点，请结合函数图象，求a的取值范围．19．（2020•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（6，4）．抛物线y＝x2﹣5x+a﹣2的顶点为C．（1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；（2）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围；（3）若满足不等式x2﹣5x+a﹣2≤0的x的最大值为3．直接写出实数a的值．20．（2020•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝mx2+2mx+3的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，将其图象在点A，B之间的部分（含A，B两点）记为F．（1）求点B的坐标及该函数的表达式；（2）若二次函数y＝x2+2x+a的图象与F只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．21．（2020•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣ax+3的图象与y 轴交于点A，与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的对称轴交于点B，将点A向右平移5个单位得到点C，连接AB，AC得到的折线段记为图形G．（1）求出抛物线的对称轴和点C坐标；（2）①当a＝﹣1时，直接写出抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与图形G的公共点个数．②如果抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与图形G有且只有一个公共点，求出a的取值范围．22．（2020•丰台区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax．（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝；（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．23．（2020•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求m的值；（2）若一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过点A，求k的值；（3）将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y＝kx+5（k≠0）向上平移n个单位，当平移后的直线与图象G有公共点时，请结合图象直接写出n的取值范围．24．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1与y轴交于点A．（1）求点A的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点M（﹣2，﹣a﹣2），N（0，a）．若抛物线与线段MN恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．25．（2020•西城区校级模拟）定义：点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q 到图形W的距离．例如，如图，正方形ABCD满足A（1，0），B（2，0），C（2，1），D（1，1），那么点O（0，0）到正方形ABCD的距离为1．（1）如果点G（0，b）（b＜0）到抛物线y＝x2的距离为3，请直接写出b的值．（2）求点M（3，0）到直线y＝x+3的距离．（3）如果点N在直线x＝2上运动，并且到直线y＝x+4的距离为4，求N的坐标．参考答案一．选择题1．解：依题意，得平移后抛物线顶点坐标为（0，﹣3），由平移不改变二次项系数，故得到的抛物线解析式为：y＝2x2﹣3．故选：B．2．解：A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2，解得：t1＝1，t2＝3，故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误；B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误；C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2，解得：t1＝0，t2＝4，∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确；D、当t＝1时，h＝15，故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误；故选：C．3．解：对称轴是直线x＝1时，b＝﹣2a①；3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根时，3a+b+1＝0 ②；函数的最大值为4时，b2＝﹣4a③；当x＝2时，y＝5时，2a+b﹣1＝0 ④；当甲不对时，由②和④联立a＝﹣2，b＝5，不满足③，故不成立；当乙不对时，由①和③联立a＝﹣1，b＝2，不满足④，故不成立；当丙不对时，由②和④联立a＝﹣2，b＝5，不满足①，故不成立；当丁不对时，由①和③联立a＝﹣1，b＝2，成立；故选：D．4．解：由图象可知：抛物线y1的顶点为（1，0），与y轴的交点为（0，4），根据待定系数法求得y1＝2（x ﹣1）2；抛物线y2的顶点为（1，0），与y轴的一个交点为（0，2），根据待定系数法求得y2＝（x﹣1）2；抛物线y3的顶点为（1，0），与y轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y3＝（x ﹣1）2；抛物线y4的顶点为（1，0），与y轴的交点为（0，﹣b）且﹣b＜﹣4，根据待定系数法求得y4＝﹣（x﹣1）2；综上，二次项系数绝对值最小的是y3故选：C．5．解：抛物线y＝x2沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是y＝（x+1）2﹣1．故选：D．6．解：①当x＝0时，y＝c，∴与y轴有交点；①正确；②抛物线经过（1，2），（2，2），（5，3），∴，∴a＝，∴抛物线开口向上；∴②正确；③如果抛物线的对称轴x＝3，（1，2）关于对称轴对称的点为（5，2），与经过点（5，3）矛盾，∴对称轴不能是x＝3，∴③正确；④对称轴是x＝4，∴﹣＝4，∴b＝﹣8a，将点（1，2），（5，3）代入得，，∴24a+4b＝1，∴﹣8a＝1，∴a＝﹣，∴b＝1，c＝△＝b2﹣4ac＝64a2﹣4ac＞0，∴抛物线与x轴有交点，∴④正确；故选：A．7．解：∵球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，∴抛物线为y＝a（x﹣6）2+2.6过点，∵抛物线y＝a（x﹣6）2+2.6过点（0，2），∴2＝a（0﹣6）2+2.6，解得：a＝﹣，故y与x的关系式为：y＝﹣（x﹣6）2+2.6，当x＝9时，y＝﹣（x﹣6）2+2.6＝2.45＞2.43，所以球能过球网；当y＝0时，﹣（x﹣6）2+2.6＝0，解得：x1＝6+2＞18，x2＝6﹣2（舍去）故会出界．故选：C．二．填空题（共10小题）8．解：将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线y1的表达式为：y1＝﹣x2+x+3，顶点（，）；同理可得：y2＝﹣x2+x+3，顶点坐标为：（，）；y3＝﹣x2+x+3，顶点坐标为（1，）；y4＝﹣x2+2x+6，与y轴的交点为：（0，6）；①由函数表达式知，四条抛物线的开口方向均向下，故正确，符合题意；②当x＜0时，y3随x的增大而增大，故错误，不符合题意；③由顶点坐标知，抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的下方，错误，不符合题意；④抛物线y4与y轴的交点（0，6）在B的上方，正确，符合题意．故答案为：①④．9．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AC，∵y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，∴当x＝2时，AC有最小值2，即正方形的边长AB的最小值是．故答案为：．10．解：∵抛物线y1＝ax2的开口向上，∴a＞0，又∵它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小，∴|a|＞3，∴a＞3，取a＝4即符合题意，故答案为：4（答案不唯一）．11．解：函数y＝x2（x﹣3）的图象与函数y＝x﹣3的图象有3个交点，则方程x2（x﹣3）＝x﹣3的解有3个；方程x2（x﹣3）＝1的解为函数图象与直线y＝1的交点的横坐标，x﹣3＝1的解为一次函数y＝x﹣3与直线y＝1的交点的横坐标，如图，由图象得m＜n．故答案为3，m＜n．12．解：由图可知，x2＜x＜x3时，0＜＜ax2+bx+c，所以，不等式组0＜＜ax2+bx+c的解集是x2＜x＜x3．故答案为：x2＜x＜x3．13．解：（1）当a＝2时，函数y＝﹣x2+2，函数与坐标轴的交点坐标分别为（0，2），（﹣，0），（，0），函数y＝﹣x2+2的图象在x轴上方的部分与x轴围成的区域中，整数点有（﹣1，1），（1，1），（0，2）在边界上，不符合题意，点（0，1）在W区域内．所以此时在区域W内的整数点有1个．（2）由（1）发现，当（0，2）是顶点时，在W区域内只有1个整数点，边界上有3个整数点；当a＝3时，在W区域内有4个整数点（﹣1，1），（1，1），（0，2），（0，1），边界上有3个整数点（0，3），（﹣1，2），（1，2）；当a＝4时，在W区域内有7个整数点（﹣1，1），（1，1），（0，2），（0，1），（0，3），（﹣1，2），（1，2）；所以区域W内恰有7个整点，3＜a≤4．故本题答案是1；3＜a≤4．14．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴该抛物线的对称轴为x＝1，且a＝1＞0，∴当x＝1时，函数有最小值2，当x＝﹣1时，二次函数有最大值为：（﹣1﹣1）2+2＝6，故答案为6．15．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），所以抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），即x＝1或﹣3时，函数值y＝0，所以关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝﹣3，x2＝1．故答案为x1＝﹣3，x2＝1．16．解：函数解析式为y＝﹣x2+2（答案不唯一）．故答案为：﹣x2+2（答案不唯一）．17．解：以池中心A为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3，当选取点D为坐标原点时，相当于将原图象向左平移3个单位，故平移后的抛物线表达式为：y＝﹣（x+2）2+3（﹣3≤x≤0）；令x＝﹣3，则y＝﹣+3＝2.25．故水管AB的长为2.25m．故答案为：y＝﹣（x+2）2+3（﹣3≤x≤0）；2.25．三．解答题（共8小题）18．解：（1）∵y＝ax2﹣4ax＝ax（x﹣4），∴y＝0时，ax（x﹣4）＝0，∴x＝0或x＝4，∴抛物线与x轴交于点A（0，0），B（4，0）．∴抛物线y＝ax2﹣4ax的对称轴为直线：．（2）y＝ax2﹣4ax＝a（x2﹣4x）＝a（x﹣2）2﹣4a，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣4a）．令y＝5a，得ax2﹣4ax＝5a，a（x﹣5）（x+1）＝0，解得x＝﹣1或x＝5，∴当y＝5a时，抛物线上两点M（﹣1，5a），N（5，5a）．①当a＞0时，抛物线开口向上，顶点位于x轴下方，且Q（2+2a，5a）位于点P的右侧，如图1，当点N位于点Q左侧时，抛物线与线段PQ有公共点，此时2+2a≥5，解得a．②当a＜0时，抛物线开口向下，顶点位于x轴上方，点Q（2+2a，5a）位于点P的左侧，（ⅰ）如图2，当顶点位于点P下方时，抛物线与线段PQ有公共点，此时﹣4a≤2，解得a．（ⅱ）如图3，当顶点位于点P上方，点M位于点Q右侧时，抛物线与线段PQ有公共点，此时2+2a≤﹣1，解得a．综上，a的取值范围是a≥或﹣a＜0或a．19．解：（1）由题意可得：4＝36﹣5×6+a﹣2，∴a＝0，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣5x﹣2，∴顶点C坐标为（，﹣），（2）如图，当顶点C在线段AB下方时，由题意可得：，解得：0≤a＜6；当顶点C在AB时，当x＝时，y＝4，∴，∴a＝，综上所述：当0≤a＜6或时，抛物线与线段AB恰有一个公共点；（3）由题意可得当x＝3时，y＝0，即9﹣15+a﹣2＝0，∴a＝8．20．解：（1）∵二次函数y＝mx2+2mx+3的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，∴令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），把A（﹣3，0）代入y＝mx2+2mx+3，求得m＝﹣1，∴函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）画出函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象如图所示：把A（﹣3，0）代入y＝x2+2x+a得0＝9﹣6+a，解得a＝﹣3，二次函数y＝x2+2x+a的的顶点与图象F的顶点（﹣1，4）重合时，则4＝1﹣2+a，解得a＝5，由图象可知，二次函数y＝x2+2x+a的图象与F只有一个公共点，a的取值范围为﹣3≤a＜3或a＝5．21．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0），∴对称轴x＝﹣＝1，∵一次函数y＝﹣ax+3的图象与y轴交于点A，∴A（0，3），∵点A向右平移5个单位得到点C，∴C（5，3）．（2）①如图1中，观察图象可知，抛物线与图象G的交点有3个，②∵抛物线的顶点（1，﹣4a），当a＜0时，由①可知，a＝﹣1时，抛物线经过A，B，∴当a＜﹣1时，抛物线与图象G有且只有一个公共点，当抛物线的顶点在线段AC上时，如图2中，也满足条件，∴﹣4a＝3，∴a＝﹣，当a＞0时，如图3中，抛物线经过点C时，25a﹣10a﹣3a＝3，解得a＝，抛物线经过点B时，﹣4a＝﹣a+3，解得a＝﹣（舍弃）不符合题意．观察图象可知a≥时，满足条件，综上所述，满足条件的a的取值范围：a＜﹣1或a≥或a＝﹣．22．解：（1）由题意可得：对称轴是直线x＝＝1，故答案为：1；（2）当a＞0时，∵对称轴为x＝1，当x＝1时，y有最小值为﹣a，当x＝3时，y有最大值为3a，∴3a﹣（﹣a）＝4．∴a＝1，∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x；当a＜0时，同理可得y有最大值为﹣a；y有最小值为3a，∴﹣a﹣3a＝4，∴a＝﹣1，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x；综上所述，二次函数的表达式为y＝x2﹣2x或y＝﹣x2+2x；（3）∵a＜0，对称轴为x＝1，∴x≤1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，x＝﹣1和x＝3时的函数值相等，∵t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，∴t≥﹣1，t+1≤3，∴﹣1≤t≤2．23．解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与y轴交于点C（0，﹣3），∴m﹣4＝﹣3，∴m＝1．（2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，得到x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∵抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），∴A（﹣1，0），B（3，0），∵一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过点A，∴﹣k+5＝0，∴k＝5．（3）如图，设平移后的直线的解析式为y＝5x+5+n，点C平移后的坐标为（﹣n，﹣3），点B平移后的坐标为（3﹣n，0），当点C落在直线y＝5x+5+n上时，﹣3＝﹣5n+5+n，解得n＝2，当点B落在直线y＝5x+5+n上时，0＝5（3﹣n）+5+n解得n＝5，观察图象可知，满足条件的n的取值范围为2≤n≤5．24．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1与y轴交于A，令x＝0，得到y＝a+1，∴A（0，a+1）．（2）由抛物线y＝ax2﹣3ax+a+1，可知x＝﹣＝，∴抛物线的对称轴x＝．（3）对于任意实数a，都有a+1＞a，可知点A在点N的上方，令抛物线上的点C（﹣2，y），∴y c＝11a+1，①如图1中，当a＞0时，y c＞﹣a﹣2，∴点C在点M的上方，结合图象可知抛物线与线段MN没有公共点．②当a＜0时，（a）如图2中，当抛物线经过点M时，y c＝﹣a﹣2，∴a＝﹣，结合图象可知抛物线与线段MN巧有一个公共点M．（b）当﹣＜a＜0时，观察图象可知抛物线与线段MN没有公共点．（c）如图3中，当a＜﹣时，y c＜﹣a﹣2，∴点C在点M的下方，结合图象可知抛物线与线段MN恰好有一个公共点，综上所述，满足条件的a的取值范围是a≤﹣．25．解：（1）①当G在原点下方时，b＝﹣3，②当G在原点上方时，＝3，整理得：x4+（1﹣2b）x2+b2﹣9＝0，△＝（1﹣2b）2﹣4（b2﹣9）＝0，解得：b＝（舍去），故答案为：﹣3；（2）如图1，作直线y＝x+3与x轴交于点B（﹣3，0），过点M作MN⊥BN交于点N，则MN的长度为所求值，则△BMN为等腰直角三角形，故MN＝BM＝3，故点M（3，0）到直线y＝x+3的距离为3；（3）①当点N在直线BH和x＝2的交点下方时，如图2，作直线y＝x+4交x轴于点B，过点N作NH⊥BH于点H，过点N作MN∥x轴交直线BH于点M，则HN＝4，由（2）同理可知，△HMN为等腰直角三角形，MN ＝HN＝4，故x M＝2﹣4，y M＝x M+4＝6﹣4＝y N，故点N的坐标为：（2，6﹣4）；②当点N在直线BH和x＝2的交点上方时，同理可得：点N的坐标为：（2，6+4）；综上，点N的坐标为：（2，6﹣4）或（2，6+4）．。
北京市西城区2019届高三一模数学理考试试题(解析版)
北京市西城区高三统一测试数学（理科） 2019.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，{3,1,1,3}B =--，则集合()U A B =I ð （A ）{3,1}-- （B ）{3,1,3}-- （C ）{1,3} （D ）{1,1}-答案：B考点：集合的运算解析：U A =ð{|02}x x x ≤≥或， 所以，()U A B =I ð{3,1,3}--2．若复数1i2iz -=-，则在复平面内z 对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 答案：D考点：复数的运算，复数的几何意义。
解析：1i 2i z -=-＝(1i)(2+i)31555i -=-，对应的点为（31,55-），在第四象限。
3. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为（A ）4 （B ）5 （C ）7 （D ）9考点：程序框图。
解析：第1步：S ＝－3，k ＝3；第2步：S ＝－12，k ＝5；第3步：S ＝13，k ＝7； 第4步：S ＝2，k ＝9，退出循环，此时，k ＝94．下列直线中，与曲线C ：12,()24x t t y t =+⎧⎨=-+⎩为参数没有公共点的是 （A ）20x y += （B ）240x y +-= （C ）20x y -= （D ）240x y --=答案：C考点：参数方程化为普通方程，两直线的位置关系。
解析：消去参数t ，得：2x －y ＝4，所以，与直线20x y -=平行，即没有公共点。
5. 设 ,,a b m 均为正数，则“b a >”是“a m ab m b+>+”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件答案：C考点：充分必要条件，不等式的性质。
2019北京西城区一模数学答案
7
27.(1)证明： ∵ ∠ABC = 90 , BA=BC ∴ ∠BAC = ∵ ∠DAB = 90 ∴ ∠DAC = 90 − ∠BAC = 在∆ABF 和∆ADF 中,
=ܤ ∠BAC = ∠DAC
ܨ =ܨ ∴ ∆ABF ≅ ∆ADF (SAS) (2)证明： 在 BC 上取 BH=EC，连接 BC，延长 BF 交 DC 于点 M ∵ AD//BC, AD = BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 ∵ ∠ABC = 90 , ܤ = ܤ䳌 ∴ 四边形 ABCD 是正方形 ∴ ∆ABH ≅ ∆DCE (SAS) ∴ ∠BAH = ∠CDE ∵ ∆ABF ≅ ∆ADF (SAS) ∴ ∠ABF = ∠ADF ∴ 90 − ∠ABC = 90 − ∠ADF 即∠CBF = ∠CDE=∠BAH ∵在 Rt∆ABH 中, ∠BAH + ∠BHA = 90 ∴ ∠CBF + ∠BHA = 90
C：以内接正三角形的边长为桥梁，表示中心 O 到两点的距离，并不相等；
D：图 1 可转化成与图 2 半径相等的等圆，周长相等
1
二．填空题 9. AF
10. x 3
11. ab 5b 5
12. 90
13. a 1,b 1（答案不唯一，符合要求即可）
解析：a 值为负，b 值为正即可 14. 8 15. 丙 解析：不低于四星，即比较四星和五星的总和，丙最多 16. B 解析：两两对比，根据相同出口流量固定进行比较
1＜yP＜ ∴﹣1＜k＜﹣
4
23、（1）证明：
∵CB为切线 ABC 90 ∵ EF AB AHE 90 EF ∥ BC MED C 又∵ BC BD MDE C MED MDE
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题32 数列的综合问题(解析版)
考点32 数列的综合问题1．（北京市房山区2019年高考第一次模拟测试理）《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）（结果精确到0.1．参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771．）A．天B．天C．天D．天【答案】C【解析】设蒲的长度组成等比数列{a n}，其a1=3，公比为，其前n项和为A n，则A n=.莞的长度组成等比数列{b n}，其b1=1，公比为2，其前n项和为B n．则B n，由题意可得：，整理得：2n+=7，解得2n=6，或2n=1（舍去）．∴n=≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等.故选：C．2．（新疆乌鲁木齐市2018届高三第三次诊断性测验）已知数列，满足，，，则数列的前10项的和为A．B．C．D．【答案】D【解析】由a n+1﹣a n2，所以数列{a n}是等差数列，且公差是2，{b n}是等比数列，且公比是2．又因为＝1，所以a n ＝+（n ﹣1）d ＝2n ﹣1． 所以b 2n ﹣1＝•22n ﹣2＝22n ﹣2．设，所以＝22n ﹣2，所以4，所以数列{∁n }是等比数列，且公比为4，首项为1．由等比数列的前n 项和的公式得：其前10项的和为（410﹣1）．故选：D ．3．（安徽省“皖南八校”2018届高三第三次（4月)联考）删去正整数数列 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意可得，这些数可以写为：，第个平方数与第个平方数之间有个正整数，而数列共有项，去掉个平方数后，还剩余个数，所以去掉平方数后第项应在后的第个数，即是原来数列的第项，即为，故选B.4．（华大新高考联盟2018届高三上学期11月教学质量测评理）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,3123S a a =+，则42S S =（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】由3123S a a =+可得312a a =，所以22q =，又因为2123434421212113a a a a a a S q S a a a a ++++==+=+=++，所以选B.5．（湖南省2017届高三高考冲刺预测卷六理）最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（ ） A ．140B ．1121C ．1364D ．11093【答案】C 【解析】由题意，可设1,2,3,4,5,6 扇形区域的面积分别为,3,9,27,81,243x x x x x x ，则由几何概型得，消费88 元以上者抽中一等奖的概率1392781243364x P x x x x x x ==+++++ ，故选C. 6．（湖北省钟祥市2019届高三高考第一次模拟考试理）对于实数x ，[x]表示不超过x 的最大整数，已知正数列{a n }满足S n =12（a n n 1a +），n ∈N*，其中S n 为数列{a n }的前n 项的和，则[12121111S S S ++⋯+]=______．【答案】20 【解析】由题可知0n S >，当1n >时，1111[()]2n n n n n S S S S S --=-+-化简可得2211n n S S --=，当22111,1n S a === 所以数列2{}n S 是以首项和公差都是1的等差数列，即2n n S n S =∴=又1n >时，22nS =<<=记12121111S S S S =++一方面21]1)20S >-=>另一方面1(21)]11)21S <+++-=+=所以2021S << 即[]20S = 故答案为207．（北京市朝阳区2019届高三第一次（3月)综合练习一模）天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．【答案】243 3402 【解析】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块， 则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列， 所以，a n ＝9＋（n －1）×9＝9n ， 所以，a 27＝9×27＝243， 前27项和为：1272727()27(9243)22a a S ++==＝3402.格谦教育收集整理，更多优惠资料请搜索淘宝店铺：格谦教育 https://8．（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试）在数列{a n }中，若a 4＝1，a 12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a 2018＝______． 【答案】9【解析】分析：将a n +a n+1+a n+2=15中n 换为n+1，可得数列{a n }是周期为3的数列．求出a 2，a 1，即可得到a 2018详解：由题意可得a n +a n+1+a n+2=15，将n 换为a n+1+a n+2+a n+3=15，可得a n+3=a n ，可得数列{a n 是周期为3的数列．故，由a n +a n+1+a n+2=15，n 取1可得，故，故答案为9.9．（湖北省武昌2018届元月调研考试）对任一实数序列，定义新序列，它的第项为，假设序列的所有项都是，且，则__________．【答案】100. 【解析】 设序列的首项为，则序列，则它的第n 项为，因此序列A 的第项，则是关于的二次多项式，其中的系数为，因为，所以必有，故。
2022年中考全真模拟测试《数学试卷》含答案解析
数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________第Ⅰ卷(选择题)一．选择题(共8小题，每小题2分，共16分)1．(2019•海淀区二模)科学家在海底下约4.8公里深处的沙岩中，发现了一种世界上最小的神秘生物，它们的最小身长只有0.00000002米，甚至比已知的最小细菌还要小．将0.00000002用科学记数法表示为A．7210-⨯B．8210-⨯C．9210-⨯D．10210-⨯2．(2019•西城区二模)如图所示的图案中，可以看作是轴对称图形又是中心对称图形的是A．B．C．D．3．(2019•门头沟区二模)在如图所示的四个几何体中，俯视图是矩形的是A．B．C．D．4．(2019•北京)在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示数，2，将点向右平移1个单位长度，得到点，若CO BO=，则的值为A．B．C．D．15．(2018•随州)正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为A．22π-B．24π-C．28π-D．216π-6．(2019•西城区一模)如果2310a a ++=，那么代数式2292(6)3a a a a +++的值为 A ．1 B ． C ．2 D ．7．(2020•石狮市一模)实数、、在数轴上的对应点的位置如图所示，若||||a b =，则下列结论中错误的是A ．0a b +>B ．0a c +>C ．0b c +>D ．0ac <8．(2020•丰台区模拟)改革开放40年以来，城乡居民生活水平持续快速提升，居民教育、文化和娱乐消费支出持续增长，已经成为居民各项消费支出中仅次于居住、食品烟酒、交通通信后的第四大消费支出，如图为北京市统计局发布的2017年和2018年我市居民人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2017年第二季度相比较;环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2018年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中错误的是 A ．2017年第二季度环比有所提高 B ．2017年第三季度环比有所提高 C ．2018年第一季度同比有所提高D ．2018年第四季度同比有所提高第Ⅱ卷(非选择题)二．填空题(共8小题，每小题2分，共16分) 9．(2019•海淀区二模)当x = 时，分式2x x-的值为0． 10．(2019•石景山区一模)正多边形的一个内角为135︒，则该正多边形的边数为 ．11．(2019•西城区二模)已知是的函数，其函数图象经过(1,2)，并且当0x >时，随的增大而减小．请写出一个满足上述条件的函数表达式： ．12．(2020•北京模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，若直线1y x a =-+与直线24y bx =-相交于点(1,3)P -，则关于的不等式4x a bx -+<-的解集是 ．13．(2019•北京)把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 ．14．(2019•海淀区二模)某学习小组做抛掷一枚纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如下表．抛掷次数 50 100 200 500 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数193868168349707106914001747“正面向上”的频率 0.3800 0.3800 0.3400 0.3360 0.3490 0.3535 0.3563 0.3500 0.3494 下面有三个推断：①在用频率估计概率时，用实验5000次时的频率0.3494一定比用实验4000次时的频率0.3500更准确; ②如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，”正面向上”的频率有更大的可能仍会在0.35附近摆动;③通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的． 其中正确的是 ．15．(2018•宁波)如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB ，飞机上的测量人员在处测得，两点的俯角分别为45︒和30︒．若飞机离地面的高度CH 为1200米，且点，，在同一水平直线上，则这条江的宽度AB 为 米(结果保留根号)．16．(2019•长丰县模拟)如图，AB 是O 的一条弦，是O 上一动点(不与点，重合)，，分别是AB ，BP 的中点．若4AB =，45APB ∠=︒，则CD 长的最大值为 ．三．解答题(共12小题，17-22题，每小题5分;23-26题，每小题6分;27、28题，每小题7分;共68分) 17．(2020•延庆区一模)计算：0123tan 30(1)|13|π-︒--+-． 18．(2019•海淀区校级模拟)解不等式2(3)47123x x x x++⎧⎪⎨+>⎪⎩ 19．(2019•石景山区一模)关于的一元二次方程2(3)20x m x m -+++=． (1)求证：方程总有两个实数根;(2)若方程的两个实数根都是正整数，求的最小值．20．(2019•朝阳区一模)如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，、分别是边BC ，AC 的中点，连接ED 并延长到点，使DF ED =，连接BE 、BF 、CF 、AD ． (1)求证：四边形BFCE 是菱形; (2)若4BC =，2EF =，求AD 的长．21．(2020•丰台区模拟)某年级共有400学生，为了解该年级学生上学的交通方式，从中随机抽取100名学生进行问卷调查，并对调查数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ．不同交通方式学生人数分布统计图如图1所示：．采用公共交通方式单程所花费时间(分的频数分布直方图如图2所示(数据分成6组：1020x <，2030x <，3040x <，4050x <，5060x <，6070):x．采用公共交通方式单程所花费时间在3040x <这一组的是： 30 30 31 31 32 33 33 34 35 35 36 37 38 39 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全频数分布直方图;(2)采用公共交通方式单程所花费时间的中位数为 分;(3)请你估计该年级采用公共交通方式上学共有 人，其中单程不少于60分钟的有 人．22．(2019•鄂温克族自治旗二模)如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点，在O 的切线CM 上取一点，使得CPB COA ∠=∠． (1)求证：PB 是O 的切线;(2)若43AB =，6CD =，求PB 的长．23．(2019•崇文区校级二模)现在，红旗商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡(注此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款)，花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物．(1)顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等?在什么情况下购物合算? (2)小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算?小张能节省多少元钱?(3)小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果红旗商场还能盈利25%，这台冰箱的进价是多少元? 24．(2019•门头沟区二模)如图1，为半圆直径AB 上一动点，为半圆上一定点，连接AC 和BC ，AD 平分CAB ∠交BC 于点，连接CE 和DE ．如果6AB cm =， 2.5AC cm =，设，两点间的距离为xcm ，，两点间的距离为1y cm ，，两点间的距离为2y cm ．小明根据学习函数经验，分别对函数1y 和2y 随自变量变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请将它补充完整：(1)按表中自变量值进行取点、画图、测量，得到了1y 和2y 与几组对应值： /x cm 0 1 2 3 4 5 6 1/y cm 2.50 2.27 2.47 3.73 4.56 5.46 2/y cm2.972.201.681.692.192.973.85问题：上表中的m = cm ;(2)在同一平面直角坐标系xOy 中(见图，描出补全后的表中各组数值所对应的点2(,)x y 和1(,)x y ，并画出函数1y 和2y 的图象;(3)结合函数的图象，解决问题：当ACE ∆为等腰三角形时，AE 的长度约为 cm (结果精确到0.01)． 25．(2019•海淀区一模)在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x b =+经过点(1,)A m 、(1,1)B --． (1)求和的值;(2)将点向右平移到轴上，得到点，设点关于原点的对称点为，记线段BC 与AD 组成的图形为． ①直接写出点、的坐标; ②若双曲线ky x=与图形恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 26．(2019•东城区二模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m =-+-与轴交于点． (1)试用含的代数式表示抛物线的顶点坐标;(2)将抛物线2221y x mx m =-+-沿直线1y =-翻折，得到的新抛物线与轴交于点．若0m >，8CD =，求的值;(3)已知(2,0)A k ，(0,)B k ，在(2)的条件下，当线段AB 与抛物线2221y x mx m =-+-只有一个公共点时，直接写出的取值范围．27．(2019•石景山区二模)如图在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，为外角BCD ∠平分线上一动点(不与点重合)，点关于直线BC 的对称点为，连接BE ，连接AF 并延长交直线BE 于点． (1)求证：AF BE =;(2)用等式表示线段FG ，EG 与CE 的数量关系，并证明．28．(2019•北京)在ABC ∆中，，分别是ABC ∆两边的中点，如果DE 上的所有点都在ABC ∆的内部或边上，则称DE 为ABC ∆的中内弧．例如，图1中DE 是ABC ∆的一条中内弧．(1)如图2，在Rt ABC ∆中，22AB AC ==，分别是AB ，AC 的中点，画出ABC ∆的最长的中内弧DE ，并直接写出此时DE 的长;(2)在平面直角坐标系中，已知点(0,2)A ，(0,0)B ，(4C t ，0)(0)t >，在ABC ∆中，，分别是AB ，AC 的中点． ①若12t =，求ABC ∆的中内弧DE 所在圆的圆心的纵坐标的取值范围; ②若在ABC ∆中存在一条中内弧DE ，使得DE 所在圆的圆心在ABC ∆的内部或边上，直接写出的取值范围．答案与解析一、选择题(共8小题，每小题2分，共16分)1．(2019•海淀区二模)科学家在海底下约4.8公里深处的沙岩中，发现了一种世界上最小的神秘生物，它们的最小身长只有0.00000002米，甚至比已知的最小细菌还要小．将0.00000002用科学记数法表示为A．7210-⨯D．10⨯C．9210-⨯B．8210-⨯210-【分析】科学记数法的表示形式为10na⨯的形式，其中1||10a<，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数;当原数的绝对值时，是负数．【解答】解：将数字0.00000002用科学记数法表示应为8210-⨯，故选：．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10na⨯的形式，其中1||10a<，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．2．(2019•西城区二模)如图所示的图案中，可以看作是轴对称图形又是中心对称图形的是A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误;、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确;、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误;、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误;故选：．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．(2019•门头沟区二模)在如图所示的四个几何体中，俯视图是矩形的是A．B．C．D．【分析】俯视图是分别从物体上面看，所得到的图形．【解答】解：、圆柱俯视图是圆，故此选项错误;、圆锥俯视图是带圆心的圆，故此选项错误;、三棱柱俯视图是三角形，故此选项错误;、长方体俯视图是矩形，故此选项正确．故选：．【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．4．(2019•北京)在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示数，2，将点向右平移1个单位长度，得到点，若CO BO=，则的值为A．B．C．D．1【分析】根据CO BO=可得点表示的数为，据此可得213a=--=-．【解答】解：点在原点的左侧，且CO BO=，点表示的数为，213a∴=--=-．故选：．【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．5．(2018•随州)正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为A．22π-B．24π-C．28π-D．216π-【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率．【解答】解：如图，连接PA、PB、OP;则2122OSππ⋅==半圆，12112ABPS∆=⨯⨯=，由题意得：图中阴影部分的面积()4ABP O S S ∆=-半圆 4(1)242ππ=-=-，米粒落在阴影部分的概率为24242ππ--=， 故选：．【点睛】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积，难度不大．6．(2019•西城区一模)如果2310a a ++=，那么代数式2292(6)3a a a a +++的值为 A ．1 B ． C ．2 D ．【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据2310a a ++=，即可求得所求式子的值．【解答】解：2292(6)3a a a a +++ 229623a a a a a ++=+ 22(3)23a a a a +=+ 2(3)a a =+22(3)a a =+， 2310a a ++=， 231a a ∴+=-，原式2(1)2=⨯-=-， 故选：．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．7．(2020•石狮市一模)实数、、在数轴上的对应点的位置如图所示，若||||a b =，则下列结论中错误的是A ．0a b +>B ．0a c +>C ．0b c +>D ．0ac <【分析】根据||||=，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．a b【解答】解：||||=，a b原点在，的中间，如图，由图可得：||||<，0a cac<，0+<，0a b+=，a c+>，0b c故选项错误，故选：．【点睛】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置．8．(2020•丰台区模拟)改革开放40年以来，城乡居民生活水平持续快速提升，居民教育、文化和娱乐消费支出持续增长，已经成为居民各项消费支出中仅次于居住、食品烟酒、交通通信后的第四大消费支出，如图为北京市统计局发布的2017年和2018年我市居民人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图．说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2017年第二季度相比较;环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2018年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中错误的是A．2017年第二季度环比有所提高B．2017年第三季度环比有所提高C．2018年第一季度同比有所提高D．2018年第四季度同比有所提高【分析】根据环比和同比的比较方法，验证每一个选项即可;【解答】解：2017年第二季度支出948元，第一季度支出859元，所以第二季度比第一季度提高，故正确; 2017年第三季度支出1113元，第二季度支出948元，所以第三季度比第二季度提高，故正确;2018年第一季度支出839元，2017年第一季度支出859元，所以2018年第一季度同比有所降低，故错误; 2018年第四季度支出1012元，2017年第一季度支出997元，所以2018年第四季度同比有所提高，故正确;故选：．【点睛】本题考查折现统计图，同比和环比的意义;能够从统计图中获取数据，按要求对比数据是解题的关键．二．填空题(共8小题，每小题2分，共16分)9．(2019•海淀区二模)当x=时，分式2xx-的值为0．【分析】根据分式的值为0的条件进行解答即可．【解答】解：当20x-=时，即2x=时，分式2xx-的值为0，故答案为：2．【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．10．(2019•石景山区一模)正多边形的一个内角为135︒，则该正多边形的边数为．【分析】根据正多边形的一个内角是135︒，则知该正多边形的一个外角为45︒，再根据多边形的外角之和为360︒，即可求出正多边形的边数．【解答】解：正多边形的一个内角是135︒，该正多边形的一个外角为45︒，多边形的外角之和为360︒，边数360845n==，该正多边形为正八边形，故答案为8．【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是知道多边形的外角之和为360︒，此题难度不大．11．(2019•西城区二模)已知是的函数，其函数图象经过(1,2)，并且当0x>时，随的增大而减小．请写出一个满足上述条件的函数表达式：．【分析】答案不唯一，根据已知写出一个即可．【解答】解：答案不唯一，如：3y x=-+，故答案为：3y x=-+．【点睛】本题考查了函数的性质，能熟记反比例函数、一次函数的性质是解此题的关键．12．(2020•北京模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，若直线1y x a =-+与直线24y bx =-相交于点(1,3)P -，则关于的不等式4x a bx -+<-的解集是 ．【分析】观察函数图象得到当1x >时，函数y x a =-+的图象都在4y bx =-的图象下方，所以不等式4x a bx -+<-的解集为1x >;【解答】解：当1x >时，函数y x a =-+的图象都在4y bx =-的图象下方，所以不等式4x a bx -+<-的解集为1x >; 故答案为1x >．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y ax b =+的值大于(或小于)0的自变量的取值范围;从函数图象的角度看，就是确定直线y kx b =+在轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．13．(2019•北京)把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 ．【分析】由菱形的性质得出OA OC =，OB OD =，AC BD ⊥，设OA x =，OB y =，由题意得：51x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：32x y =⎧⎨=⎩，得出26AC OA ==，24BD OB ==，即可得出菱形的面积．【解答】解：如图1所示： 四边形ABCD 是菱形，OA OC ∴=，OB OD =，AC BD ⊥，设OA x =，OB y =，由题意得：51x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：32x y =⎧⎨=⎩，26AC OA ∴==，24BD OB ==，菱形ABCD 的面积11641222AC BD =⨯=⨯⨯=; 故答案为：12．【点睛】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用;熟练掌握正方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键．14．(2019•海淀区二模)某学习小组做抛掷一枚纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如下表．抛掷次数 50 100 200 500 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数193868168349707106914001747“正面向上”的频率 0.3800 0.3800 0.3400 0.3360 0.3490 0.3535 0.3563 0.3500 0.3494 下面有三个推断：①在用频率估计概率时，用实验5000次时的频率0.3494一定比用实验4000次时的频率0.3500更准确; ②如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，”正面向上”的频率有更大的可能仍会在0.35附近摆动;③通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的． 其中正确的是 ．【分析】根据图表和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：①在用频率估计概率时，用实验5000次时的频率0.3494一定比用实验4000次时的频率0.3500更准确，错误;②如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，”正面向上”的频率有更大的可能仍会在0.35附近摆动，正确;③通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的，正确， 故答案为：②③．【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答． 15．(2018•宁波)如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB ，飞机上的测量人员在处测得，两点的俯角分别为45︒和30︒．若飞机离地面的高度CH 为1200米，且点，，在同一水平直线上，则这条江的宽度AB 为 米(结果保留根号)．【分析】在Rt ACH ∆和Rt HCB ∆中，利用锐角三角函数，用CH 表示出AH 、BH 的长，然后计算出AB 的长．【解答】解：由于//CD HB ，45CAH ACD ∴∠=∠=︒，30B BCD ∠=∠=︒在Rt ACH ∆中，45CAH ∴∠=︒ 1200AH CH ∴==米，在Rt HCB ∆，tan CHB HB∠= 1200tan tan30CH HB B ∴==∠︒12001200333==(米．AB HB HA ∴=-120031200=-1200(31)=-米故答案为：1200(31)-【点睛】本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含CH 的式子表示出AH 和BH ．16．(2019•长丰县模拟)如图，AB 是O 的一条弦，是O 上一动点(不与点，重合)，，分别是AB ，BP 的中点．若4AB =，45APB ∠=︒，则CD 长的最大值为 ．【分析】由三角形中位线定理可得12CD AP =，即当AP 为直径时，CD 长最大，由直角三角形的性质可求AP 的长，即可求解．【解答】解：C ，分别是AB ，BP 的中点 12CD AP ∴=， 当AP 为直径时，CD 长最大，AP 为直径，90ABP ∴∠=︒，且45APB ∠=︒，4AB =， 42AP ∴=CD ∴长的最大值为22故答案为22【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，熟练运用圆周角定理是本题的关键．三．解答题(共12小题，17-22题，每小题5分;23-26题，每小题6分;27、28题，每小题7分;共68分) 17．(2020•延庆区一模)0123tan 30(1)|13π︒--+．【分析】本题涉及零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角三角函数4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：原式3233131=--+ 232=-．【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角三角函数等考点的运算．18．(2019•海淀区校级模拟)解不等式2(3)47123x x x x++⎧⎪⎨+>⎪⎩ 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得：0.5x -， 解不等式②，得：6x >-， 则不等式组的解集为60.5x -<-．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知”同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．(2019•石景山区一模)关于的一元二次方程2(3)20x m x m -+++=． (1)求证：方程总有两个实数根;(2)若方程的两个实数根都是正整数，求的最小值．【分析】(1)先根据方程有两个相等的实数根列出关于的一元二次方程，求出的值即可; (2)根据题意得到1x =和2x m =+是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求的最小值． 【解答】(1)证明：依题意，得△2[(3)]4(2)m m =-+-+ 26948m m m =++--21)m =+． 2(1)0m +， △0．方程总有两个实数根．(2)解：解方程，得11x =，22x m =+， 方程的两个实数根都是正整数，21m ∴+． 1m ∴-．m ∴的最小值为．【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答(2)时得到方程的两个根是解题的关键．20．(2019•朝阳区一模)如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，、分别是边BC ，AC 的中点，连接ED 并延长到点，使DF ED =，连接BE 、BF 、CF 、AD ． (1)求证：四边形BFCE 是菱形; (2)若4BC =，2EF =，求AD 的长．【分析】(1)根据平行线的判定定理得到四边形BFCE 是平行四边形，根据直角三角形的性质得到BE CE =，于是得到四边形BFCE 是菱形; (2)连接AD ，根据菱形的性质得到122BD BC ==，112DE EF ==，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】(1)证明：D 是边BC 的中点，BD CD ∴=，DF ED =，四边形BFCE 是平行四边形，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，是边AC 的中点， BE CE ∴=，四边形BFCE 是菱形; (2)解：连接AD ，四边形BFCE 是菱形，4BC =，2EF =， 122BD BC ∴==，112DE EF ==， 22215BE ∴=+ 225AC BE ∴==，2220162AB AC BC ∴=-=-=， 2222AD AB BD ∴=+．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，三角形的中位数的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．21．(2020•丰台区模拟)某年级共有400学生，为了解该年级学生上学的交通方式，从中随机抽取100名学生进行问卷调查，并对调查数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ．不同交通方式学生人数分布统计图如图1所示：．采用公共交通方式单程所花费时间(分的频数分布直方图如图2所示(数据分成6组：1020x <，2030x <，3040x <，4050x <，5060x <，6070):x．采用公共交通方式单程所花费时间在3040x <这一组的是： 30 30 31 31 32 33 33 34 35 35 36 37 38 39 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全频数分布直方图;(2)采用公共交通方式单程所花费时间的中位数为 31 分;(3)请你估计该年级采用公共交通方式上学共有 人，其中单程不少于60分钟的有 人．【分析】(1)用被抽查总人数乘以乘公共交通对应的百分比可得其人数，再减去其它分组的人数求出4050x <的人数，从而补全图形;(2)根据中位数的概念计算可得; (3)利用样本估计总体思想计算可得．【解答】解：(1)选择公共交通的人数为10050%50⨯=(人，4050x∴<的人数为50(5171442)8-++++=(人，补全直方图如下：(2)采用公共交通方式单程所花费时间共50个数据，其中位数是第25、26个数据的平均数，所以采用公共交通方式单程所花费时间的中位数是3131312+=(分，故答案为：31;(3)估计该年级采用公共交通方式上学共有40050%200⨯=(人，其中单程不少于60分钟的有2200850⨯=(人，故答案为：200、8．【点睛】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．22．(2019•鄂温克族自治旗二模)如图，AB是O的直径，弦CD AB⊥于点，在O的切线CM上取一点，使得CPB COA∠=∠．(1)求证：PB是O的切线;(2)若43AB=，6CD=，求PB的长．【分析】(1)根据切线的性质得到OC PC ⊥，求得90OCP ∠=︒，推出180BOC CPB ∠+∠=︒，求得OB PB ⊥，于是得到结论;(2)连接OP ，根据已知条件得到1232OC OB AB ===，得到132CE CD ==，根据三角函数的定义得到60COE ∠=︒，根据切线的性质得到CPO BPO ∠=∠，OCP OBP ∠=∠，于是得到结论．【解答】(1)证明：PC 是O 的切线， OC PC ∴⊥， 90OCP ∴∠=︒，AOC CPB ∠=∠，180AOC BOC ∠+∠=︒， 180BOC CPB ∴∠+∠=︒，36090PBO CPB BOC PCO ∠=︒-∠-∠-∠=︒， OB PB ∴⊥，PB ∴是O 的切线;(2)连接OP ，AB 是O 的直径，43AB =1232OC OB AB ∴=== CD AB ⊥，6CD =，132CE CD ∴==，3sin CE COE CO ∠==60COE ∴∠=︒，PB ，PC 是O 的切线，CPO BPO ∴∠=∠，OCP OBP ∠=∠， 60COP BOP ∴∠=∠=︒，tan606PB OB ∴=︒=，【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 23．(2019•崇文区校级二模)现在，红旗商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡(注此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款)，花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物． (1)顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等?在什么情况下购物合算? (2)小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算?小张能节省多少元钱?(3)小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果红旗商场还能盈利25%，这台冰箱的进价是多少元? 【分析】(1)根据花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物，得出等式进而求出即可; (2)根据(1)中所求即可得出怎样购买合算;(3)首先假设进价为，则可得出(30035000.8)25%y y +⨯-=进而求出即可． 【解答】(1)解：设顾客购买元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等． 根据题意，得3000.8x x +=， 解得1500x =，所以，当顾客消费少于1500元时不买卡合算; 当顾客消费等于1500元时买卡与不买卡花钱相等; 当顾客消费大于1500元时买卡合算; (2)小张买卡合算，3500(30035000.8)400-+⨯=，所以，小张能节省400元钱; (3)设进价为元，根据题意，得 (30035000.8)25%y y +⨯-=，解得 2480y =答：这台冰箱的进价是2480元．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确得出买卡后付费等式是解题关键．24．(2019•门头沟区二模)如图1，为半圆直径AB 上一动点，为半圆上一定点，连接AC 和BC ，AD 平分CAB ∠交BC 于点，连接CE 和DE ．如果6AB cm =， 2.5AC cm =，设，两点间的距离为xcm ，，两点间的距离为1y cm ，，两点间的距离为2y cm ．。
2019年数学中考一模试卷(附答案)
2019年数学中考一模试卷(附答案)一、选择题1．在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是( )A ．B ．C ．D ．2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，AC ＝1，则cosB 的值为（ ）A ．15B ．14C ．15D ．417 3．九年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：90分，95分，96分，96分，95分，89分，则该同学这6次成绩的中位数是（ ）A ．94B ．95分C ．95.5分D ．96分4．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l ：y=kx+43与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，∠OAB=30°，点P 在x 轴上，⊙P 与l 相切，当P 在线段OA 上运动时，使得⊙P 成为整圆的点P 个数是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 5．将两个大小完全相同的杯子（如图甲）叠放在一起（如图乙），则图乙中实物的俯视图是（ ）.A ．B ．C ．D ．6．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，6BC =，将ABC V 沿AC 折叠，使点B 落在点E 处，CE 交AD 于点F ，则DF 的长等于（ ）A．35B．53C．73D．547．如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=70°，则∠AED度数为( )A．110°B．125°C．135°D．140°8．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=27，CD=1，则BE的长是()A．5B．6C．7D．89．下面的几何体中，主视图为圆的是（）A．B．C．D．10．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（）A．1201508x x=-B．1201508x x=+C．1201508x x=-D．1201508x x=+11．在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示.有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米.其中正确的说法有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4个12．某种工件是由一个长方体钢块中间钻了一个上下通透的圆孔制作而成，其俯视图如图所示，则此工件的左视图是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如表：抽取的体检表数n501002004005008001000120015002000色盲患者的频数m37132937556985105138色盲患者的频率m/n0.0600.0700.0650.0730.0740.0690.0690.0710.0700.069根据表中数据，估计在男性中，男性患色盲的概率为______（结果精确到0.01）．14．一列数123,,,a a a……na，其中1231211111,,,,111nna a a aa a a-=-===---L L，则1232014a a a a++++=L L__________.15．如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF－S△BEF=_________．16．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A，B在x轴正半轴上，反比例函数kyx=在第一象限的图象经过点D，交BC于E，若点E是BC的中点，则OD的长为_____．17．已知一组数据6，x ，3，3，5，1的众数是3和5，则这组数据的中位数是_____．18．如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD ，且BD ＝CD ，过点A 作AM ⊥BD 于点M ，过点D 作DN ⊥AB 于点N ，且DN ＝32，在DB 的延长线上取一点P ，满足∠ABD ＝∠MAP ＋∠PAB ，则AP ＝_____.19．一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用.已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运完这批货物分别用2, a a 次；甲、丙两车合运相同次数，运完这批货物，甲车共运180吨；乙、丙两车合运相同次数，运完这批货物乙车共运270吨，现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完，货主应付甲车主的运费为___________ 元.(按每吨运费20元计算)20．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点处，当△为直角三角形时，BE 的长为 .三、解答题21．先化简，再求值：(2)(2)(4)a a a a +-+-，其中14a =． 22．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于E ，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．23．解不等式组3415122x xxx≥-⎧⎪⎨--⎪⎩＞，并把它的解集在数轴上表示出来24．材料：解形如（x+a）4+（x+b）4＝c的一元四次方程时，可以先求常数a和b 的均值，然后设y＝x+．再把原方程换元求解，用种方法可以成功地消去含未知数的奇次项，使方程转化成易于求解的双二次方程，这种方法叫做“均值换元法．例：解方程：（x﹣2）4+（x ﹣3）4＝1解：因为﹣2和﹣3的均值为，所以，设y＝x﹣，原方程可化为（y+）4+（y ﹣）4＝1，去括号，得：（y2+y+）2+（y2﹣y+）2＝1y 4+y2++2y3+y 2+y+y 4+y2+﹣2y3+y 2﹣y＝1整理，得：2y4+3y2﹣＝0（成功地消去了未知数的奇次项）解得：y2＝或y2＝（舍去）所以y＝±，即x﹣＝±．所以x＝3或x＝2．（1）用阅读材料中这种方法解关于x的方程（x+3）4+（x+5）4＝1130时，先求两个常数的均值为______．设y＝x+____．原方程转化为：（y﹣_____）4+（y+_____）4＝1130．（2）用这种方法解方程（x+1）4+（x+3）4＝70625．甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．甲公司方案：每月的养护费用y（元）与绿化面积x（平方米）是一次函数关系，如图所示．乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500 元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．（1）求如图所示的y与x的函数解析式：（不要求写出定义域）；（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】由几何体的三视图知识可知，主视图、左视图是分别从物体正面、左面看所得到的图形，细心观察即可求解.【详解】A、正方体的左视图与主视图都是正方形，故A选项不合题意；B、长方体的左视图与主视图都是矩形，但是矩形的长宽不一样，故B选项与题意相符；C、球的左视图与主视图都是圆，故C选项不合题意；D、圆锥左视图与主视图都是等腰三角形，故D选项不合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了几何题的三视图，解题关键是能正确画出几何体的三视图.2．A解析：A【解析】∵在Rt△ABC中,∠C=90°，AB=4，AC=1，∴BC224115，则cos B=BCAB=154，故选A 3．B解析：B 【解析】根据中位数的定义直接求解即可．【详解】把这些数从小到大排列为：89分，90分，95分，95分，96分，96分，则该同学这6次成绩的中位数是：＝95分；故选：B．【点睛】此题考查了确定一组数据的中位数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．4．A解析：A【解析】试题解析：∵直线l：y=kx+43与x轴、y轴分别交于A、B，∴B（0，43），∴OB=43，在RT△AOB中，∠OAB=30°，∴OA=3OB=3×43=12，∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，∴PM=12 PA，设P（x，0），∴PA=12-x，∴⊙P的半径PM=12PA=6-12x，∵x为整数，PM为整数，∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数，∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．故选A．考点：1．切线的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征．5．C【解析】从上面看，看到两个圆形，故选C ．6．B解析：B【解析】【分析】由折叠的性质得到AE=AB ，∠E=∠B=90°，易证Rt △AEF ≌Rt △CDF ，即可得到结论EF=DF ；易得FC=FA ，设FA=x ，则FC=x ，FD=6-x ，在Rt △CDF 中利用勾股定理得到关于x 的方程x 2=42+（6-x ）2，解方程求出x 即可．【详解】∵矩形ABCD 沿对角线AC 对折，使△ABC 落在△ACE 的位置，∴AE=AB ，∠E=∠B=90°，又∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=CD ，∴AE=DC ，而∠AFE=∠DFC ，∵在△AEF 与△CDF 中，AFE CFD E DAE CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△AEF ≌△CDF （AAS ），∴EF=DF ；∵四边形ABCD 为矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=4，∵Rt △AEF ≌Rt △CDF ，∴FC=FA ，设FA=x ，则FC=x ，FD=6-x ，在Rt △CDF 中，CF 2=CD 2+DF 2，即x 2=42+（6-x ）2，解得x ＝133， 则FD ＝6-x=53. 故选B ．【点睛】考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理． 7．B解析：B【分析】由AB ∥CD ，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠CAB=110°，再由角平分线的定义可得∠CAE=55°，最后根据三角形外角的性质即可求得答案.【详解】∵AB ∥CD ，∴∠BAC+∠C=180°，∵∠C=70°，∴∠CAB=180°-70°=110°，又∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE=55°，∴∠AED=∠C+∠CAE=125°，故选B.【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.8．B解析：B【解析】【分析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵半径OC 垂直于弦AB ，∴AD=DB=12在Rt △AOD 中，OA 2=(OC-CD)2+AD 2,即OA 2=(OA-1)2 )2，解得，OA=4∴OD=OC-CD=3，∵AO=OE,AD=DB,∴BE=2OD=6故选B【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键9．C解析：C【解析】试题解析：A 、的主视图是矩形，故A 不符合题意；B 、的主视图是正方形，故B 不符合题意；C 、的主视图是圆，故C 符合题意；D、的主视图是三角形，故D不符合题意；故选C．考点：简单几何体的三视图．10．D解析：D【解析】【分析】首先用x表示甲和乙每小时做的零件个数，再根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等即可列出一元一次方程.【详解】解：∵甲每小时做x个零件，∴乙每小时做（x+8）个零件，∵甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，∴1201508x x=+，故选D.【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，熟练掌握是解题的关键.11．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：①由纵坐标看出，起跑后1小时内，甲在乙的前面，故①正确；②由横纵坐标看出，第一小时两人都跑了10千米，故②正确；③由横纵坐标看出，乙比甲先到达终点，故③错误；④由纵坐标看出，甲乙二人都跑了20千米，故④正确；故选C．12．A解析：A【解析】从左面看应是一长方形，看不到的应用虚线，由俯视图可知，虚线离边较近，故选A．二、填空题13．07【解析】【分析】随着实验次数的增多频率逐渐稳定到的常数即可表示男性患色盲的概率【详解】解：观察表格发现随着实验人数的增多男性患色盲的频率逐渐稳定在常数007左右故男性中男性患色盲的概率为007故解析：07【解析】【分析】随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到的常数即可表示男性患色盲的概率．【详解】解： 观察表格发现，随着实验人数的增多，男性患色盲的频率逐渐稳定在常数0.07左右， 故男性中，男性患色盲的概率为0.07故答案为：0.07．【点睛】本题考查利用频率估计概率．14．【解析】【分析】分别求得a1a2a3…找出数字循环的规律进一步利用规律解决问题【详解】解：…由此可以看出三个数字一循环2014÷3=671…1则a1+a2+a3+…+a2014=671×（-1++2 解析：20112【解析】【分析】分别求得a 1、a 2、a 3、…，找出数字循环的规律，进一步利用规律解决问题．【详解】 解：123412311111,,2,1,1211a a a a a a a =-======----… 由此可以看出三个数字一循环，2014÷3=671…1，则a 1+a 2+a 3+…+a 2014=671×（-1+12+2）+（-1）=20112． 故答案为20112． 考点：规律性：数字的变化类.15．2【解析】由D 是AC 的中点且S △ABC=12可得；同理EC=2BE 即EC=可得又等量代换可知S △ADF －S △BEF=2解析：2【解析】由D 是AC 的中点且S △ABC =12，可得1112622ABD ABC S S ∆∆==⨯=；同理EC=2BE 即EC=13BC ，可得11243ABE S ∆=⨯=，又,ABE ABF BEF ABD ABF ADF S S S S S S ∆∆∆∆∆∆-=-=等量代换可知S △ADF －S △BEF =216．【解析】【分析】设D （x2）则E （x+21）由反比例函数经过点DE 列出关于x 的方程求得x 的值即可得出答案【详解】解：设D （x2）则E （x+21）∵反比例函数在第一象限的图象经过点D 点E ∴2x ＝x+2解析：12x x 【解析】【分析】设D （x ，2）则E （x+2，1），由反比例函数经过点D 、E 列出关于x 的方程，求得x 的值即可得出答案．【详解】解：设D （x ，2）则E （x+2，1）， ∵反比例函数k y x=在第一象限的图象经过点D 、点E ， ∴2x ＝x+2，解得x ＝2，∴D （2，2），∴OA ＝AD ＝2，∴OD ==故答案为:【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D 、E 的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k ． 17．4【解析】【分析】先根据众数的定义求出x=5再根据中位数的定义进行求解即可得【详解】∵数据6x3351的众数是3和5∴x=5则这组数据为133556∴这组数据的中位数为=4故答案为：4【点睛】本题主解析：4【解析】【分析】先根据众数的定义求出x=5，再根据中位数的定义进行求解即可得．【详解】∵数据6，x ，3，3，5，1的众数是3和5，∴x=5，则这组数据为1、3、3、5、5、6， ∴这组数据的中位数为352+=4， 故答案为：4．【点睛】本题主要考查众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义以及求解方法是解题的关键. 18．6【解析】分析：根据BD=CDAB=CD 可得BD=BA 再根据AM ⊥BDDN ⊥AB 即可得到DN=AM=3依据∠ABD=∠MAP+∠PAB ∠ABD=∠P+∠BAP 即可得到△APM 是等腰直角三角形进而得到解析：6【解析】分析：根据BD=CD，AB=CD，可得BD=BA，再根据AM⊥BD，DN⊥AB，即可得到，依据∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，即可得到△APM是等腰直角三角形，进而得到AM=6．详解：∵BD=CD，AB=CD，∴BD=BA，又∵AM⊥BD，DN⊥AB，∴，又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，∴∠P=∠PAM，∴△APM是等腰直角三角形，∴AM=6，故答案为6．点睛：本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题给的关键是判定△APM是等腰直角三角形．19．【解析】【分析】根据甲乙两车单独运这批货物分别用2a次a次能运完甲的效率应该为乙的效率应该为那么可知乙车每次货运量是甲车的2倍根据若甲丙两车合运相同次数运完这批货物时甲车共运了180吨；若乙丙两车合解析：2160【解析】【分析】根据“甲、乙两车单独运这批货物分别用2a次、a次能运完”甲的效率应该为1 2a ，乙的效率应该为1a，那么可知乙车每次货运量是甲车的2倍根据“若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨．”这两个等量关系来列方程．【详解】设这批货物共有T吨，甲车每次运t甲吨，乙车每次运t乙吨，∵2a⋅t甲=T，a⋅t乙=T,∴t甲:t乙=1:2，由题意列方程：180270 180270T Tt t--=甲乙，t乙=2t甲，∴180270180135T T--=，解得T=540.∵甲车运180吨，丙车运540−180=360吨，∴丙车每次运货量也是甲车的2倍，∴甲车车主应得运费15402021605⨯⨯= (元)，故答案为：2160.【点睛】考查分式方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键.20．3或32【解析】【分析】当△CEB′为直角三角形时有两种情况：①当点B′落在矩形内部时如答图1所示连结AC先利用勾股定理计算出AC=5根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°而当△CEB′为直角三角解析：3或．【解析】【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC==5，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x 2+22=（4-x ）2，解得，∴BE=； ②当点B′落在AD 边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上所述，BE 的长为或3． 故答案为：或3．三、解答题21．44a -，3-．【解析】试题分析：根据平方差公式和单项式乘以多项式可以对原式化简，然后将a=14代入化简后的式子，即可解答本题．试题解析：原式=2244a a a -+-=44a -； 当a=14时，原式=1444⨯-=14-=3-． 考点：整式的混合运算—化简求值． 22．（1）DE=3；（2）ADB S 15∆=.【解析】【分析】（1）根据角平分线性质得出CD=DE ，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB 的长，然后计算△ADB 的面积.【详解】（1）∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，∠C=90°，∴CD=DE ，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt △ABC 中，由勾股定理得：2222AB AC BC 6810=+=+=，∴△ADB 的面积为ADB 11S AB DE 1031522∆=⋅=⨯⨯=. 23．-1＜x≤1【解析】【分析】分别解两个不等式，然后根据数轴或“都大取大，都小取小，大小小大取中间，大大小小无解了”求解不等式组.【详解】 解：341{5122x x x x ≥---＞①② 解不等式①可得x≤1，解不等式②可得x ＞-1在数轴上表示解集为：所以不等式组的解集为：-1＜x≤1.【点睛】本题考查了解不等式组，熟练掌握计算法则是解题关键.24．（1）4，4，1，1；（2）x ＝2或x ＝﹣6．【解析】【分析】（1）可以先求常数3和5的均值4，然后设y ＝x+4，原方程可化为（y ﹣1）4+（y+1）4＝1130；（2）可以先求常数1和3的均值2，然后设y ＝x+2，原方程可化为（y ﹣1）4+（y+1）4＝706，再整理化简求出y 的值，最后求出x 的值．【详解】（1）因为3和5的均值为4，所以，设y ＝x+4，原方程可化为（y ﹣1）4+（y+1）4＝1130，故答案为4，4，1，1；（2）因为1和3的均值为2，所以，设y ＝x+2，原方程可化为（y ﹣1）4+（y+1）4＝706，去括号，得：（y 2﹣2y+1）2+（y 2+2y+1）2＝706，y 4+4y 2+1﹣4y 3+2y 2﹣4y+y 4+4y 2+1+4y 3+2y 2+4y ＝706，整理，得：2y 4+12y 2﹣704＝0（成功地消去了未知数的奇次项），解得：y 2＝16或y 2＝﹣22（舍去）所以y ＝±4，即x+2＝±4．所以x ＝2或x ＝﹣6． 【点睛】本题考查了解高次方程，求出均值把原方程换元求解是解题的关键．25．（1）y=5x+400．（2）乙.【解析】试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）绿化面积是1200平方米时，求出两家的费用即可判断；试题解析：（1）设y=kx+b ，则有400100900b k b =⎧⎨+=⎩ ，解得5400k b =⎧⎨=⎩， ∴y=5x+400．（2）绿化面积是1200平方米时，甲公司的费用为6400元，乙公司的费用为5500+4×200=6300元，∵6300＜6400∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．。
2019西城一模数学初三 三角形
三角形试卷总分 120 分，共 5 大题 29 题单选题(总分 33 分，共 11 题)1. (3分) 三角形的角平分线是（）A. 直线B. 射线C. 线段D. 以上都不对【答案】C【解析】2. (3分) 如图，三角形被遮住的两个角不可能是（）A. 一个锐角，一个钝角B. 两个锐角C. 一个锐角，一个直角D. 两个钝角【答案】D【解析】3. (3分) 若三角形的一个内角等于另两个内角之差，则这个三角形为（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 任意三角形【答案】C【解析】4. (3分) 若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有（）A. 2对B. 3对C. 4对D. 6对【答案】B【解析】5. (3分) 如图，一块实验田的形状是三角形(设其为△ABC)，管理员从BC边上的一点D出发，沿DC→CA→AB→BD的方向走了一圈回到D处，则管理员从出发到回到原处在途中身体（）A. 转过90°B. 转过180°C. 转过270°D. 转过360°【答案】D【解析】6. (3分) 关于三角形的角平分线和中线，下列说法正确的是（）A. 都是直线B. 都是射线C. 都是线段D. 可以是射线或线段【答案】C【解析】7. (3分) 如果一个三角形的三条高的交点恰是一个三角形的顶点，那么这个三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定【答案】B【解析】8. (3分) 下列说法正确的是（）A. 三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部;B. 三角形的角平分线、高都在三角形的内部;C. 三角形的高、中线都在三角形的内部;D. 三角形的角平分线、中线在三角形的内部【答案】D【解析】9. (3分) 如图，画△ABC的AB边上的高，正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】10. (3分) 下面的说法：①三角形一边的对角也是另外两边的夹角；②三角形的角平分线就是三角形的内角的平分线；③三角形的中线就是顶点和它的对边中点的连线段；④△ABC 中，顶点A就是∠A，其中正确的说法是（）A. ①②③④B. ①②③C. ①②D. ①③【答案】D【解析】11. (3分) 三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）A. 形状相同的三角形B. 面积相等的三角形C. 直角三角形D. 周长相等的三角形【答案】B【解析】填空题(总分 36 分，共 12 题)12. (3分) 工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常像图中所示，钉上两条斜拉的木条，这样做的原理是根据三角形的____ 性．【答案】稳定【解析】13. (3分)一个三角形的两条高既不在三角形内，又不在三角形外，这个三角形是__________ 【答案】直角三角形【解析】14. (3分) 若a,c,b为三角形的三边长，此三角形周长为18cm,且a+b=2c,b=2a,则a=__ ，b=__ ，c=__【答案】4; 8; 6【解析】15. (3分) △PAB的AB边上任取一点C（异于A,B），连结PC，可以得到3个不同的三角形（如图（1））；在△PAB的AB边上任取两点C、D（异于A，B），分别连结PC、PD，可以得到__个不同的三角形（如图（2））；要得到15个不同的三角形，可以在△PAB的AB边上任取__个点（异于A,B），分别与点P连结即可．【答案】6; 4【解析】16. (3分)用7根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数为__ 【答案】2【解析】17. (3分)连结三角形一个顶点与对边中点的线段，叫做三角形的一边的____．【答案】中线【解析】18. (3分)从三角形的一个顶点向对边作垂线，__________________叫做三角形的一条高【答案】顶点与垂足间的线段【解析】19. (3分)三角形一个内角的角平分线与对边相交于一点，____________________叫做三角形的一条角平分线．【答案】顶点与交点之间的线段【解析】20. (3分) 测试点三角形的三条重要线段锐角三角形的三条高在三角形__，钝角三角形有__条高在三角形外，直角三角形有两条高恰好是________．【答案】内; 两; 两直角边【解析】21. (3分) 如图1，BD=DE=EF=CF，图中共有____个三角形，AF是△______的中线，AE是△________________的中线．【答案】10; AEC; ADF和△ABC【解析】22. (3分) 如图2，∠AEB=90°，则AE是__ 个三角形的高，它们分别是__________________________________________________________ ．【答案】六; △ADE，△ABE，△ACE，△ADC，△ABD，△ABC【解析】23. (3分) 如图7，BD是△ABC的中线，AB=6cm，BC=4cm，则△ABD与△BCD 的周长差为__cm．【答案】2【解析】问答题(总分 18 分，共 3 题)24. (6分) 如图，垂足分别为．现有下列说法：（1）在△ABC中，AC是BC边上的高；（2）在△BCD中，DE是BC边上的高；（3）在△ABE中，DE是BE边上的高；（4）在△ACD中，AD是CD边上的高．其中，哪些是正确的？哪些是不正确的？【答案】正确的有：（1）、（2）、（4）；不正确的有：（3）．【解析】25. (6分) 如图所示是一块三角形优质土地，现引进良种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你设计分法方案．【答案】如图所示：【解析】26. (6分) 如图，△ABC中，∠B=32°，∠C=55°，AD⊥BC于D， AE平分∠BAC交BC于E，求∠EAD的度数．【答案】因为∠B=32°，∠C=55°，所以∠BAC=180°-32°-55°=93°，又AE平分∠BAC,所以∠EAC=46.5°,因为∠DAC=90°-55°=35°，所以∠DAE=46.5°-35°=11.5°【解析】解答题(总分 27 分，共 2 题)27. (12分) 两条平行直线上各有个点，用这对点按如下的规则连接线段；①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；②符合①要求的线段必须全部画出；图1展示了当n=1时的情况，此时图中三角形的个数为0；图2展示了当n=2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2；(1) 当n=3时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为__ 个；【答案】4【解析】(2) 试猜想当对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？【答案】当有对点时，最少可以画个三角形【解析】(3)【解析】个答：当时，最少可以画4010个三角形．28. (15分) 在图1至图3中，已知△ABC的面积为a．(1) 如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1=__ （用含a的代数式表示）；【答案】a【解析】(2) 如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2=____ （用含a的代数式表示）；【答案】2a【解析】(3) 在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3=____ （用含a的代数式表示），并运用上述（2）的结论写出理由【答案】6a【解析】理由：∵CD=BC，AE=CA，BF=AB∴由（2）得S△ECD=2a，S△FAE=2a，S△DBF=2a，∴S3=6a．(4) 发现像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC 面积的__ 倍．【答案】7【解析】(5) 应用要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在△ABC的空地上种红花，然后将△ABC向外扩展三次（图4已给出了前两次扩展的图案）．在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域（即△ABC）的面积是10平方米，请你运用上述结论求出：（1）种紫花的区域的面积；（2）种蓝花的区域的面积．【答案】（1）（72－7）×10=420（平方米）；（2）（73－72）×10=2940（平方米）．【解析】手写题(总分 6 分，共 1 题)29. (6分)【解析】画图略。
2021中考数学几何压轴 综合题
6.(2019北京东城一模,27)如图,在正方形ABCD中,E是边BC上一动点(不与点B,C重合),连接DE,点C关于直 线DE的对称点为C',连接AC'并延长交直线DE于点P,F是AC'中点,连接DF. (1)求∠FDP的度数; (2)连接BP,请用等式表示AP,BP,DP三条线段之间的数量关系,并证明; (3)连接AC,若正方形的边长为 2 ,请直接写出△ACC'的面积最大值.
解析 (1)∵△ABC为等边三角形,∴∠B=60°. ∴∠APC=∠BAP+∠B=80°. ∵AP=AQ,∴∠AQB=∠APC=80°. (2)①补全的图形如图所示. ②想法1: 证明:过点A作AH⊥BC于点H,如图. 由△ABC为等边三角形,AP=AQ,可得∠PAB=∠QAC. ∵点Q,M关于直线AC对称, ∴∠QAC=∠MAC,AQ=AM. ∴∠PAB=∠MAC,AM=AP.∴∠PAM=∠BAC=60°. ∴△APM为等边三角形.∴PA=PM. 想法2:
证明:在BA上取一点N,使BN=BP,连接PN,CM,如图. 由△ABC为等边三角形,可得△BNP为等边三角形. ∴AN=PC,∠ANP=120°. 由AP=AQ,可得∠APB=∠AQC. 又∵∠B=∠ACB=60°, ∴△ABP≌△ACQ. ∴BP=CQ. ∵点Q,M关于直线AC对称, ∴∠ACM=∠ACQ=60°,CM=CQ.∴NP=BP=CQ=CM. ∵∠PCM=∠ACM+∠ACQ=120°,∴△ANP≌△PCM.∴PA=PM. 想法3: 证明:将线段BP绕点B顺时针旋转60°,得到BK,连接KP,CK,MC,如图. ∴△BPK为等边三角形.
解析 (1)补全的图形如图所示. (1分) (2)证明:∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=CA. ∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°. 由平移可知ED∥BC,ED=BC. (2分) ∴∠ADE=∠ACB=60°. ∵∠GMD=90°, ∴DG=2DM=DE. (3分) ∵DE=BC=AC,∴DG=AC.∴AG=CD. (4分) (3)线段AH与CG的数量关系为AH=CG. (5分) 证明:如图,连接BE,EF.∵ED=BC,ED∥BC, ∴四边形BEDC是平行四边形.
2019西城一模数学试卷
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2019年北京市西城区初三一模数学试卷数 学 2019.4一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．下列图形中，是圆锥的侧面展开图的为 A ．B ．C ．D ．2．实数a b c ，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A ．a b ＞B ．+0a b ＞C ．0ac ＞D ． ||||a c ＞3．方程组20529x y x y ì-=ïí+=ïî的解为A ．17x y ì=-ïí=ïîB ．36x y ì=ïí=ïîC ．12x y ì=ïí=ïîD ．12x y ì=-ïí=ïî4．如图，点D 在BA 的延长线上，AE//BC .若10065DAC B ?靶=?，，则∠EAC 的度数为 A ．65° B ．35°C ．30°D ．40°5．广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年.光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9 500 000 000 000千米，则“比邻星”距离太阳系约为A ．13410´千米B ．12410´千米C ．139.510´千米D ．129.510´千米6． 如果2310a a ++=，那么代数式2292(6)3a a a a ++?+的值为 A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-27．三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点123A A A ，，的横、纵左边分别表示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点123B B B ，，的横、纵左边分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数.有如下三个结论：①上午派送快递所用时间最短的是甲； ②下午派送快递件数最多的是丙； ③在这一天中派送快递总件数最多的是乙.上述结论中，所有正确结论的序号是A ．①②B ．①③C ．②D ．②③8. 中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识.因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”.除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（图1），它是分别以等边三角的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形，图2是等宽的勒洛三角形和圆.图1 图2 下列说法中错误的是 A ．勒洛三角形是轴对称图形B ．图1中，点A 到BC 上任意一点的距离都相等C ．图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 中心1O 的距离都相等D ．图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 如图，在线段AD AE AF ，，中，ABC 的高是线段 .10.在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 . 11.分解因式：225ab a -= .12. 如图，点O A B ，，都在正方形网格的格点上，将OAB 绕点O 顺时针旋转后得到''OA B ，点A B ，的对应点','A B 也在格点上，则旋转角0180a a 鞍（＜＜）的度数为 .13.用一组,a b 的值说明命题“对于非零实数,a b ，若a b ＜，则11a b ＞”是错误的，这组值可以是____,____a b ==.14. 如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将矩形ABCD 沿AE 所在直线折叠，点D 恰好落在边BC 上的点F 处.若54DE FC ==，，则AB 的长为 .15.小芸一家计划去某城市旅行，需要做自由行的攻略，父母给她分配了一项任务：借助网络评价选取该城市的一家餐厅用餐.小芸根据家人的喜好，选择了甲、乙、丙三家餐厅，对每家餐厅随机选取了1000条网络评价，统计如下：（说明：网上对于餐厅的综合评价从高到低，依次为五星、四星、三星、二星和一星.）小芸选择在（填“甲”、“乙”或“丙”）餐厅用餐，能获得良好用餐体验（即评价不低于四星）的可能性最大.16. 高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量分别都是不变的.同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：在A，B，C，D，E五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是.三、解答题（本题共68分，第17—22题，每小题5分，第23—26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17.计算：0 |5|2sin60(2019)p----18.解不等式组：4(21)31 385x xxxì-+ïí-ïî＜＜19.下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60”的尺规作图过程.已知：O⊙.求作:矩形ABCD,使得矩形ABCD内接于⊙O,且其对角线AC,BD的夹角为60°作法：如图，①作⊙O的直径AC;②以点A为圆心,AO长为半径画弧,交直线AC上方的圆弧于点B;③连接BO并延长交⊙O于点D；④连接AB，BC，CD，DA.所以四边形ABCD就是所求作的矩形根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);A（2）完成下面的证明证明：∵点A,C 都在⊙O 上,∴OA=OC . 同理OB=OD .∴四边形ABCD 是平行四边形 ∵AC 是⊙O 的直径,∴∠ABC =90°( )(填推理的依据) ∴四边形ABCD 是矩形 ∵AB = =BO , ∴∠AOB =60°∴四边形ABCD 是所求作的矩形.20.已知关于x 的一元二次方程20x bx c ++=（1）当2c b =-时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的非零实数根，写出一组满足条件的b ，c 的值，并求此时方程的根。
21.如图，在ABC 中，AC BC =，点D E F ，，分别时AB AC BC，，的中点，连接DE DF ，.（1）求证：四边形DFCE 是菱形；（2）若754A AC ??，，求菱形DFCE 的面积。
22.在平面直角坐标系xOy 中,直线l y x b =+：与x 轴交于点()0,2,A -与y 轴交于点B .双曲线ky x=直线l 交于P Q ，两点，其中点P 的纵坐标大于点Q 的纵坐标。
（1）求点B 的坐标；（2）当点P 的横坐标为2时，求k 的值;（3）连接PO ,记POB 的面积为S ，若112S <<，结合函数图象，直接写出k 的取值范围。
23.如图, AB 是O ⊙的直径, CB 与O ⊙相切于点B .点D 在⊙O 上,且BC=BD ,连接CD 交⊙O 于点E .过点E 作EF AB ^于点H ，交BD 于点M ，交⊙O 于点F .（1）求证：∠MED=∠MDE ；（2）连接BE ，若ME=3，MB=2，求BE 的长24.如图，AB 是直径AB 所对的半圆弧，C 是AB 上一定点，D 是AB 上一动点，连接DA ，DB ，DC .已知AB =5cm ，设D ，A 两点间的距离为xcm ，D ，B 两点间的距离为1y cm ，D ，C 两点间的距离为2y cm小腾根据学习函数的经验,分别对函数y 1，y 2随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究。
下面是小腰的探究过程,请补充完整：（1） 按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了y 1，y 2与x 的几组对应值；（2） 在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点12x y x y （，）,(，），并画出函数y 1，y 2的图象；（3） 结合函数图象，解决问题：连接BC ，当△BCD 是以CD 为腰的等腰三角形时，DA 的长度约为 cm.25.某公司的午餐采用自助的形式，并倡导员工“适度取餐,减少浪费”该公司共有10个部门，且各部门的人数相同,为了解午餐的浪费情况，从这10个部门中随机抽取了A ，B 两个部门,进行了连续四周(20个工作日)的调查,得到这两个部门每天午餐浪费饭菜的重量,以下简称“每日餐余重量”(单位：千克),并对这些数据进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a A 部门每日餐余重量的频数分布直方图如下（数据分成6组：02x ?，24x ?，46x ?，68x ?，810x ?，1012x ＃）：.b A 部门每日餐余重量在6≤x<8这一组的是:6.1 6.67.0 7.0 7.0 7.8.c B 部门每日餐余重量如下:1.42.8 6.9 7.8 1.9 9.73.14.6 6.9 10.8 6.9 2.6 7.5 6.9 9.5 7.8 8.4 8.3 9.4 8.8.d A ，B 两个部门这20个工作日每日餐余重量的平均数、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题：（1） 写出表中m n ，的值；（2） 在A ，B 这两个部门中，“适度取餐，减少浪费”做得较好的部门是（填“A”或“B”），理由是 ；（3） 结合A ，B 这两个部门每日餐余重量的数据，估计该公司（10个部门）一年（按240个工作日计算）的餐余总重量。
26.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x mx n =-+.（1）当2m =时，①求抛物线的对称轴，并用含n 的式子表示顶点的纵坐标；②若点1(2,)A y -，22(,)B x y 都在抛物线上，且21y y >，则2x 的取值范围是_______;（2）已知点(1,2)P -，将点P 向右平移4个单位长度，得到点Q . 当3n =时，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图像，求m 的取值范围.27. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC.将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连接DE交AC于点F，连接BF.(1) 求证：FB=FD；(2) 点H在边BC上，且BH=CE，连接AH交BF于点N.①判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；②连接CN.若AB=2，请直接写出线段CN长度的最小值.28.在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点,P Q 和图形W ，如果在图形W 上存在点,M N （,M N 可以重合）使得PM QN =，那么称点P 与点Q 是图形W 的一对平衡点.（1）如图1，已知点(0,3)A ，(2,3)B .①设点O 与线段AB 上一点的距离为d ，则d 的最小值是____，最大值是____；②在1233(0)(14)(30)2P P P -，，，，，这三个点中，与点O 是线段AB 的一对平衡点的是____；图1（2）如图2，已知O ⊙的半径为1，点D 的坐标为(5,0).若点(,2)E x 在第一象限，且点D 与点E 是O ⊙的一对平衡点，求x 的取值范围；图2 图3（3）如图3，已知点(3,0)H -，以点O 为圆心，OH 长为半径画弧交x 轴的正半轴于点K .点(,)C a b （其中0b ³）是坐标平面内一动点，且5OC =，C ⊙是以点C 为圆心，半径为2的圆.若HK 上的任意两个点都是C ⊙的一对平衡点，直接写出b 的取值范围.。