线性代数基和维数
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
T
c1, c2 , , cp .
基向量组可以建立一个H中的坐标系统.
例4.5.8
则
1
1 0
,
2
1
2
是 R2 的一组基，
x R2
的坐标为
2 3
,
x
(2)1
32
Байду номын сангаас
(2)
1 0
1
3
2
定义4.5.1 Rn 的非零子空间H的线性无关生成 集称为H的基（basis）.
例4.5.2 可逆n阶方阵的n个列向量构成Rn 的基.
证明：设可逆方阵 A 1,2,...,n , 其列向量组线性无
关. 对 Rn中的任意向量 ,由性质4.2.5, 1,2,...,n, 线性相关. 由例4.2.7知， 可由1,2,...,n 线性表出， 因此 1,2是,...,n 的基Rn .
span1,2,3 span1,3.
证 事实上，若 span1,2,3, 则
k11 k22 k33
k11 k2 21 3 k33
k1 2k2 1 k2 k3 3 span1,2.
定义4.5.2 Rn 的非零子空间H的维数dimH 定义为H的任一组基中所含向量的个数. 零空间｛0｝的维数规定为0.
空间 Rn 的维数是n.
注意：向量空间的维数与向量的维数的区别
例4.5.6 R3 的子空间可以按照维数进行分类：
0维子空间：0
1维子空间：由一个非零向量生成，几何上是 过原点的直线;
定理说明，基可以通过从生成集中去除冗余 向量构造出来, 且 Rn 的非零子空间一定存在基.
下面考虑A的零空间和列空间的基.
3 6 1 1 7
例4.5.3 A 1 2 2 3 1, 求NulA的一组基.
2 4 5 8 4
解：利用初等行变换可化A为行最简形：
1 2 0 1 3 A 0 0 1 2 2
证明：证明方法类似于上例中的讨论.
令B是A的行最简形矩阵. B的主元列线性无关， 而A行等价于B，由定理4.5.2可知，A的主元列线性 无关.
B的非主元列可表成B的主元列的线性组合，则A 的非主元列也可表成A的主元列的线性组合，因而 可以从ColA的生成集中删除.
这样，A的主元列构成了ColA的基.
注意：是A自身的主元列，而不是行阶梯形矩阵 B的主元列，构成了ColA的基.
子空间的基是不唯一的. 下面，我们讨论基中所含 向量的个数.
定理4.5.4 令H是 Rn的子空间，S 1, 2, , p
是H的生成集. 若m>p，则H中任意m个向量 必线性相关.
定理4.5.5 若子空间H有一组基包含p个向量， 则H的任一组基都恰含有p个向量.
定理4.5.2 矩阵的初等行变换不改变矩阵 的列之间的线性关系.
1 3 3 2 9
例4.5.5
A
1
,
2
,
3
,
4
,
5
2 2
2 3
2 0
8
2
,
7 1
求ColA的基.
3 4 1 11 8
解：验证可知，对A进行初等行变换后得到的 行最简形矩阵是上例中的B，因此A的主元 列是 1,2,5. 由定理4.5.2和上例的结果，有
因此1, ,p1 是H的生成集.
（2）如果初始集合S线性无关，则S是H的基. 否则，S中某个向量可表成其余向量的线性组 合，由（1），可以从S中删除该向量后得到H 的更小的生成集. 只要生成集包含至少两个向 量，则这个过程可以持续到生成集线性无关为 止，从而得到H的一组基.
如果生成集最终只包含一个向量，则由 H 0 可知该向量为非零向量，线性无关，因而是H 的基.
反之，span1,3 中的任意向量 k11 k33 k11 02 k33 span1,2,3.
可以看出，线性相关的生成集包含了冗余信息，
即如果 S 1,2, ,p是子空间H的线性相关生成
集，则至少有一个向量可以写成其余p-1个向量的 线性组合，从而可以从S中去除，得到一个较小的 生成集.
0 0 0 0 0
x1
2x2
x3
x4 2x 4
3x5 2x5
0 0.
0 0
取 x2 , x4 , x5 为自由变量，则解为：
x1 2x2 x4 3x5, x3 2x4 2x5.
一般解的参数向量形式为：
x1 2x2 x4 3x5 2 1 3
B 0 0 0
1 0 0
2 0 0
1 0
0 1 0 0
解：令 B 1, 2, 3, 4, 5, 有
3 31 22 , 4 51 2 ,
即3, 4是主元列的线性组合. 任取ColB中向量,
k11 k22 k33 k44 k55
1
6
.
例4.5.9 Rn 中的向量x在单位向量组 e1, e2, , en
构成的标准基下的坐标即为x.
1 1 0
6
1
0
6
1
1
e1
6
e2.
例4.5.10 在 R3中，求向量 1,7,3T在基 1 2,0, 1T , 2 1,3, 2T , 3 2,1,1T 下的坐标.
一向量 必可表为 1,2,..., p 的线性组合.
如果 能用两种方式表成1,2,..., p 的线性 组合，即
k11 k22 ... k p p , l11 l22 ... lp p.
两式相减，有
0 (k1 l1)1 (k2 l2 )2 ... (k p lp ) p.
x2
x2
1
0
0
x3 x4
2x4
2x5 x4
x2
0
0
x4
2 1
x5
2
0
x5
x5 0 0 1
由1,2,..., p 的线性无关性，
0 c1 d1 c2 d2 cp d p ,
所以 的两种表出方式一致，即表出方式唯一.
定义4.5.3 设 1, 2,..., p 是子空间H的基.
H中的向量x若可表成 x c11 c22 ... cp p , 称系数 c1, c2,..., cp 为x相对于基B的坐标. 记为
p个向量也构成H的一组基.
子空间H的基相对于生成集的另一个优点是： H中的每个向量仅能用一种方式写成基向量 的线性组合，即表出是唯一的.
定理4.5.8 若 1,2,...,p 是子空间H的基，则H
中的任一向量能且仅能用一种方式表为 1,2,..., p 的线性组合.
证明：因为 1,2,...,p 是H的生成集，H中任
对增广矩阵作初等行变换
2 1 2 1 1 2 1 3 1 2 1 3
A
0
3
1
7
0
3
1
7
0
31
7
k11 k22 k3 31 22 k4 51 2 k55
是 1, 2, 5 的线性组合. 因此 1, 2, 5 是ColB 的生成集. 同时，1, 2, 5 是4阶单位阵的不同 列，线性无关. 因此B的主元列构成B的列空 间的一组基.
3 31 22, 4 51 2.
类似于上例，可证 1,2,5 是ColA的生成集.
同时，由 1, 2, 5 的线性无关性和定理4.5.2， 知 1,2,5 线性无关. 因此 1,2,5 是ColA的基.
定理4.5.3 A的主元列构成ColA的一组基.
§4.5 基和维数
将向量组的极大无关组和秩的概念放在 Rn的子空 间H上来考察.
Rn 的非零子空间包含无穷多个向量，在处理有 关子空间的问题时，利用该子空间的生成集会更加 方便. 子空间的生成集不唯一，但不是所有的生成 集都同样有效.
例如，令 u 1 1T , e1, e2 和 e1,e2,u是R2的
x2 x4 x5 .
上式说明 NulA span, ,.
同时，, , 的构造方式保证其线性无关性.
因此，,, 是NulA的基.
以上例子说明将Ax=0的解写成参数形式的 过程同时可以确定NulA的一组基.
1 0 3 5 0
例4.5.4 求行最简形矩阵 的列空间的基.
(2) 如果 H 0, 则必有S的某个子集是H的基.
证明：(1)不妨设 p 是1, , p1 的线性组合：
p c11 c p1 p1.
H中的任意向量 可以表为
k11 k p1 p1 k p p ,
代入上式，容易验证 是1, , p1的线性组合.
两个生成集，u对于张成 R2 是冗余的. 事实上，
注意到 e1,e2,u 是线性相关的.
例4.5.1 设 S 1,2,3 R3, 其中
1 4 2
1
2
,
2
5
,3
1
.
3
6
0
注意到 2 21 3, 可知S线性相关. 证明
另一方面，如果B 1, 2, , r是H的线性无关生成
集，则B中任一向量都不能由其余r-1个向量线性表 出，因此从B中去除一个向量后得到的B的子集一 定不是H的生成集（去除的向量不能由剩余向量线 性表出）.
在这个意义下，线性无关生成集是子空间的最小 生成集，是描述子空间结构的更有效的方式.
解： 设 在基 1, 2 , 3下的坐标为 x1, x2, x3 T，则
x1
1
2
3
x2
,
x3
或
2 1 2 x1 1
0
3
1
x2
7
.
1 2 1 x3 3
特殊地，n阶单位阵的列向量组e1,e2,...,en 称为 Rn 的
标准基.
定理4.5.1 设 S 1, ,p Rn, H span 1, ,p .
(1) 如果S中的某个向量 k 是S中其余向量的 线性组合，则从S中去掉 k 后剩余向量构成 的集合仍然是H的生成集.
对于矩阵A，A的列之间的线性关系可以表 成Ax=0，其中x为相应的组合系数构成的列 向量.（如果A的某列在某个关系式中不出现， 则相应的系数为零.）
A经初等行变换化为B后，B的列一般与A的 列完全不同，但Ax=0和Bx=0两个方程组同 解，这意味着，A的列与B的相应列之间有 完全相同的线性关系. 因而有以下结果：
证明：令 B 1, 2, , p 是H的包含p个向量
的一组基, S 1,2, ,r 是H的任一组基.
S是H的生成集，由定理4.5.5，H中任意多 于r个向量必线性相关，而B是H的线性无 关子集，所以 p r.
同理 r p. 因此有 r p.
定理4.5.5说明子空间H的每一组基含有相同 个数的向量，因此有以下定义.
2维子空间：由两个线性无关向量生成，几何 上是过原点的平面;
3维子空间：R3.
例4.5.7 NulA的维数是方程组Ax=0中自由变 量的个数.
ColA的维数是A的主元列的数目.
定理4.5.6 若H是 Rn的子空间，dim H p. 则 （1）H中任意p个线性无关的向量构成H的一
组基; （2）如果H中p个向量构成H的生成集，则这
c1, c2 , , cp .
基向量组可以建立一个H中的坐标系统.
例4.5.8
则
1
1 0
,
2
1
2
是 R2 的一组基，
x R2
的坐标为
2 3
,
x
(2)1
32
Байду номын сангаас
(2)
1 0
1
3
2
定义4.5.1 Rn 的非零子空间H的线性无关生成 集称为H的基（basis）.
例4.5.2 可逆n阶方阵的n个列向量构成Rn 的基.
证明：设可逆方阵 A 1,2,...,n , 其列向量组线性无
关. 对 Rn中的任意向量 ,由性质4.2.5, 1,2,...,n, 线性相关. 由例4.2.7知， 可由1,2,...,n 线性表出， 因此 1,2是,...,n 的基Rn .
span1,2,3 span1,3.
证 事实上，若 span1,2,3, 则
k11 k22 k33
k11 k2 21 3 k33
k1 2k2 1 k2 k3 3 span1,2.
定义4.5.2 Rn 的非零子空间H的维数dimH 定义为H的任一组基中所含向量的个数. 零空间｛0｝的维数规定为0.
空间 Rn 的维数是n.
注意：向量空间的维数与向量的维数的区别
例4.5.6 R3 的子空间可以按照维数进行分类：
0维子空间：0
1维子空间：由一个非零向量生成，几何上是 过原点的直线;
定理说明，基可以通过从生成集中去除冗余 向量构造出来, 且 Rn 的非零子空间一定存在基.
下面考虑A的零空间和列空间的基.
3 6 1 1 7
例4.5.3 A 1 2 2 3 1, 求NulA的一组基.
2 4 5 8 4
解：利用初等行变换可化A为行最简形：
1 2 0 1 3 A 0 0 1 2 2
证明：证明方法类似于上例中的讨论.
令B是A的行最简形矩阵. B的主元列线性无关， 而A行等价于B，由定理4.5.2可知，A的主元列线性 无关.
B的非主元列可表成B的主元列的线性组合，则A 的非主元列也可表成A的主元列的线性组合，因而 可以从ColA的生成集中删除.
这样，A的主元列构成了ColA的基.
注意：是A自身的主元列，而不是行阶梯形矩阵 B的主元列，构成了ColA的基.
子空间的基是不唯一的. 下面，我们讨论基中所含 向量的个数.
定理4.5.4 令H是 Rn的子空间，S 1, 2, , p
是H的生成集. 若m>p，则H中任意m个向量 必线性相关.
定理4.5.5 若子空间H有一组基包含p个向量， 则H的任一组基都恰含有p个向量.
定理4.5.2 矩阵的初等行变换不改变矩阵 的列之间的线性关系.
1 3 3 2 9
例4.5.5
A
1
,
2
,
3
,
4
,
5
2 2
2 3
2 0
8
2
,
7 1
求ColA的基.
3 4 1 11 8
解：验证可知，对A进行初等行变换后得到的 行最简形矩阵是上例中的B，因此A的主元 列是 1,2,5. 由定理4.5.2和上例的结果，有
因此1, ,p1 是H的生成集.
（2）如果初始集合S线性无关，则S是H的基. 否则，S中某个向量可表成其余向量的线性组 合，由（1），可以从S中删除该向量后得到H 的更小的生成集. 只要生成集包含至少两个向 量，则这个过程可以持续到生成集线性无关为 止，从而得到H的一组基.
如果生成集最终只包含一个向量，则由 H 0 可知该向量为非零向量，线性无关，因而是H 的基.
反之，span1,3 中的任意向量 k11 k33 k11 02 k33 span1,2,3.
可以看出，线性相关的生成集包含了冗余信息，
即如果 S 1,2, ,p是子空间H的线性相关生成
集，则至少有一个向量可以写成其余p-1个向量的 线性组合，从而可以从S中去除，得到一个较小的 生成集.
0 0 0 0 0
x1
2x2
x3
x4 2x 4
3x5 2x5
0 0.
0 0
取 x2 , x4 , x5 为自由变量，则解为：
x1 2x2 x4 3x5, x3 2x4 2x5.
一般解的参数向量形式为：
x1 2x2 x4 3x5 2 1 3
B 0 0 0
1 0 0
2 0 0
1 0
0 1 0 0
解：令 B 1, 2, 3, 4, 5, 有
3 31 22 , 4 51 2 ,
即3, 4是主元列的线性组合. 任取ColB中向量,
k11 k22 k33 k44 k55
1
6
.
例4.5.9 Rn 中的向量x在单位向量组 e1, e2, , en
构成的标准基下的坐标即为x.
1 1 0
6
1
0
6
1
1
e1
6
e2.
例4.5.10 在 R3中，求向量 1,7,3T在基 1 2,0, 1T , 2 1,3, 2T , 3 2,1,1T 下的坐标.
一向量 必可表为 1,2,..., p 的线性组合.
如果 能用两种方式表成1,2,..., p 的线性 组合，即
k11 k22 ... k p p , l11 l22 ... lp p.
两式相减，有
0 (k1 l1)1 (k2 l2 )2 ... (k p lp ) p.
x2
x2
1
0
0
x3 x4
2x4
2x5 x4
x2
0
0
x4
2 1
x5
2
0
x5
x5 0 0 1
由1,2,..., p 的线性无关性，
0 c1 d1 c2 d2 cp d p ,
所以 的两种表出方式一致，即表出方式唯一.
定义4.5.3 设 1, 2,..., p 是子空间H的基.
H中的向量x若可表成 x c11 c22 ... cp p , 称系数 c1, c2,..., cp 为x相对于基B的坐标. 记为
p个向量也构成H的一组基.
子空间H的基相对于生成集的另一个优点是： H中的每个向量仅能用一种方式写成基向量 的线性组合，即表出是唯一的.
定理4.5.8 若 1,2,...,p 是子空间H的基，则H
中的任一向量能且仅能用一种方式表为 1,2,..., p 的线性组合.
证明：因为 1,2,...,p 是H的生成集，H中任
对增广矩阵作初等行变换
2 1 2 1 1 2 1 3 1 2 1 3
A
0
3
1
7
0
3
1
7
0
31
7
k11 k22 k3 31 22 k4 51 2 k55
是 1, 2, 5 的线性组合. 因此 1, 2, 5 是ColB 的生成集. 同时，1, 2, 5 是4阶单位阵的不同 列，线性无关. 因此B的主元列构成B的列空 间的一组基.
3 31 22, 4 51 2.
类似于上例，可证 1,2,5 是ColA的生成集.
同时，由 1, 2, 5 的线性无关性和定理4.5.2， 知 1,2,5 线性无关. 因此 1,2,5 是ColA的基.
定理4.5.3 A的主元列构成ColA的一组基.
§4.5 基和维数
将向量组的极大无关组和秩的概念放在 Rn的子空 间H上来考察.
Rn 的非零子空间包含无穷多个向量，在处理有 关子空间的问题时，利用该子空间的生成集会更加 方便. 子空间的生成集不唯一，但不是所有的生成 集都同样有效.
例如，令 u 1 1T , e1, e2 和 e1,e2,u是R2的
x2 x4 x5 .
上式说明 NulA span, ,.
同时，, , 的构造方式保证其线性无关性.
因此，,, 是NulA的基.
以上例子说明将Ax=0的解写成参数形式的 过程同时可以确定NulA的一组基.
1 0 3 5 0
例4.5.4 求行最简形矩阵 的列空间的基.
(2) 如果 H 0, 则必有S的某个子集是H的基.
证明：(1)不妨设 p 是1, , p1 的线性组合：
p c11 c p1 p1.
H中的任意向量 可以表为
k11 k p1 p1 k p p ,
代入上式，容易验证 是1, , p1的线性组合.
两个生成集，u对于张成 R2 是冗余的. 事实上，
注意到 e1,e2,u 是线性相关的.
例4.5.1 设 S 1,2,3 R3, 其中
1 4 2
1
2
,
2
5
,3
1
.
3
6
0
注意到 2 21 3, 可知S线性相关. 证明
另一方面，如果B 1, 2, , r是H的线性无关生成
集，则B中任一向量都不能由其余r-1个向量线性表 出，因此从B中去除一个向量后得到的B的子集一 定不是H的生成集（去除的向量不能由剩余向量线 性表出）.
在这个意义下，线性无关生成集是子空间的最小 生成集，是描述子空间结构的更有效的方式.
解： 设 在基 1, 2 , 3下的坐标为 x1, x2, x3 T，则
x1
1
2
3
x2
,
x3
或
2 1 2 x1 1
0
3
1
x2
7
.
1 2 1 x3 3
特殊地，n阶单位阵的列向量组e1,e2,...,en 称为 Rn 的
标准基.
定理4.5.1 设 S 1, ,p Rn, H span 1, ,p .
(1) 如果S中的某个向量 k 是S中其余向量的 线性组合，则从S中去掉 k 后剩余向量构成 的集合仍然是H的生成集.
对于矩阵A，A的列之间的线性关系可以表 成Ax=0，其中x为相应的组合系数构成的列 向量.（如果A的某列在某个关系式中不出现， 则相应的系数为零.）
A经初等行变换化为B后，B的列一般与A的 列完全不同，但Ax=0和Bx=0两个方程组同 解，这意味着，A的列与B的相应列之间有 完全相同的线性关系. 因而有以下结果：
证明：令 B 1, 2, , p 是H的包含p个向量
的一组基, S 1,2, ,r 是H的任一组基.
S是H的生成集，由定理4.5.5，H中任意多 于r个向量必线性相关，而B是H的线性无 关子集，所以 p r.
同理 r p. 因此有 r p.
定理4.5.5说明子空间H的每一组基含有相同 个数的向量，因此有以下定义.
2维子空间：由两个线性无关向量生成，几何 上是过原点的平面;
3维子空间：R3.
例4.5.7 NulA的维数是方程组Ax=0中自由变 量的个数.
ColA的维数是A的主元列的数目.
定理4.5.6 若H是 Rn的子空间，dim H p. 则 （1）H中任意p个线性无关的向量构成H的一
组基; （2）如果H中p个向量构成H的生成集，则这