线性代数基和维数
线性代数教案同济版
线性代数教案同济版第一章线性代数基本概念1.1 向量空间教学目标：1. 理解向量空间的概念及其性质；2. 掌握向量空间中的线性组合和线性关系；3. 了解向量空间的基和维数。
教学内容：1. 向量空间的概念；2. 向量空间的性质；3. 线性组合和线性关系；4. 基和维数的概念及计算。
教学方法：1. 通过具体例子引入向量空间的概念，引导学生理解向量空间的基本性质；2. 通过练习题，让学生掌握线性组合和线性关系的计算方法；3. 通过案例分析，让学生了解基和维数的概念及计算方法。
教学资源：1. 教材《线性代数》（同济版）；2. 教学PPT；3. 练习题及答案。
教学步骤：1. 引入向量空间的概念，讲解向量空间的基本性质；2. 讲解线性组合和线性关系的计算方法，举例说明；3. 介绍基和维数的概念，讲解计算方法，举例说明；4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
教学评估：1. 课堂问答，检查学生对向量空间概念的理解；2. 练习题，检查学生对线性组合和线性关系计算方法的掌握；3. 案例分析，检查学生对基和维数概念及计算方法的掌握。
1.2 线性变换教学目标：1. 理解线性变换的概念及其性质；2. 掌握线性变换的矩阵表示；3. 了解线性变换的图像和核。
教学内容：1. 线性变换的概念；2. 线性变换的性质；3. 线性变换的矩阵表示；4. 线性变换的图像和核的概念及计算。
教学方法：1. 通过具体例子引入线性变换的概念，引导学生理解线性变换的基本性质；2. 通过练习题，让学生掌握线性变换的矩阵表示方法；3. 通过案例分析，让学生了解线性变换的图像和核的概念及计算方法。
教学资源：1. 教材《线性代数》（同济版）；2. 教学PPT；3. 练习题及答案。
教学步骤：1. 引入线性变换的概念，讲解线性变换的基本性质；2. 讲解线性变换的矩阵表示方法，举例说明；3. 介绍线性变换的图像和核的概念，讲解计算方法，举例说明；4. 布置练习题，让学生巩固所学知识。
线代知识点总结口诀
线代知识点总结口诀一、向量空间的定义和性质1. 定义：集合V中元素R^n或函数的封闭满足加法、数乘皆保持线性组合2. 性质：零向量唯一对任意向量封闭数乘常数满足结合律交换律二、基和维数的概念1. 基的定义：线性无关组成生成空间并且极小维数即基的元素个数空间维数无疑问2. 维数公式：维数加和定理V=W⊕U成立时维数和为分量秩不成立时加成理三、线性映射的定义和性质1. 定义：映射满足加法和数乘的保持性即为线性变换零空间和像空间2. 性质：核与像的维数加和为V的维数核是线性无关部分像是基的映射组四、矩阵与线性映射的关系1. 定义：矩阵是映射的表示基向量对应列向量映射作用为乘法基变换及相似2. 性质：矩阵与像的关系矩阵秩等于像空间零空间即核空间映射的表示很关键五、特征值和特征向量1. 定义：A的倍数即λv满足Av=λv特征多项式及根特征向量线性独2. 性质：特征向量线性无关半单特征值个数对角化矩阵不经特征值有关关键六、对称矩阵的对角化1. 定义：A的转置与原矩阵相等即为对称矩阵实对称矩阵相关定正定矩阵特征正2. 性质：对称矩阵对角化特征值为实数特征向量正交关系正定矩阵重要性七、正交和正交补空间1. 定义：内积为零即正交正交补空间的性质维数和维数加和维数和维度乘积2. 性质：正交补空间维数正交补空间的基正交补空间关键正交变换的重要八、二次型和正定矩阵1. 定义：二次型对称矩阵正定二次型性质标准型及规范型正定矩阵判定法2. 性质：正定矩阵的特征值二次型的规范型正定矩阵的判定法特征分解及应用以上就是线性代数知识点总结口诀，希望对你有帮助。
线形空间的维数与基
浅谈线性空间的维数与基摘要本文通过对有限维线性空间中基和维数的讨论，总结出了有限维线性空间的基和维数的求解方法，并且，用不同的方法对线性空间的基和维数的应用进行了探讨.关键词：线性空间；维数；基；同构；子空间THE DISCUSSING TO THE DIMENSIONS ANDBASES OF LINEAR SPACEABSTRACTIn this paper, by discussing dimensions and bases of finite dimensions linear space, we Summarizes the methods to soluting dimensions and bases of finite dimensional linear space. Moreover, the application of the bases and dimensions are discussed in different ways.Keywords: linear space; dimension; base; isomorphism; subspace .目录摘要 (1)关键词： (1)ABSTRACT (2)一、基本概念 (4)二、线性空间的基和维数求解方法 (5)2.1、定义法 (5)2.2、利用相关定理求维数与基 (8)三、线性空间基和维数的应用 (10)3.1、次子空间的应用 (10)3.2、在同构线性空间中的应用 (12)四、有限维线性空间基的扩充 (13)五、参考文献 (15)致谢 (15)一、基本概念定义1.2、U 中向量集H 如果满足下述两个条件，① 向量集H 是线性相关的；② U 中每一个向量可以由H 中有限个向量线性表出；则H 是U 的一个基，只含0向量的基是空集。
定义1.3、U 称为有限维的，如果U 有一个基包含有限多个向量，否则U 称为无限维的，有限维线性空间的一个基所含向量个数称为U 的维数。
线性空间的基与维数
线性空间的基与维数线性空间是线性代数中的重要概念，它是由一组元素构成的集合，这些元素之间满足线性运算的性质。
在线性空间中，基与维数是两个重要的概念。
一、线性空间的基线性空间的基是指线性空间中的一组线性无关的元素，通过这组元素可以表示整个线性空间中的任意元素。
换言之，线性空间中的每个元素都可以唯一地由基中的元素线性组合而成。
线性空间的基具有以下特性：1. 基中的元素线性无关，即任意一个基中的元素不能被其他基中的元素线性表示。
2. 基中的元素张成整个线性空间，即线性空间中的任意元素都可以由基中的元素线性组合而成。
3. 基中的元素个数是唯一的，即同一个线性空间中的不同基所包含的元素个数是相同的，这个个数称为线性空间的维数。
二、线性空间的维数线性空间的维数是指线性空间中的基所包含的元素的个数，用整数表示。
维数是衡量线性空间大小的一个重要指标。
线性空间的维数具有以下性质：1. 对于一个线性空间，如果存在一个有限的基，则该线性空间的维数是有限的。
2. 对于一个线性空间，如果不存在有限的基，则该线性空间的维数是无限的。
维数是线性空间一个重要的性质，它决定了线性空间的很多性质。
在线性代数中，我们可以通过求解线性方程组的秩来确定线性空间的维数。
三、基与维数的应用基与维数在线性代数的各个分支中有广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 线性变换的表示：线性变换可以由一个矩阵表示，基的选择与线性变换的矩阵表示密切相关。
2. 向量空间的表示：向量空间中的向量可以由线性组合表示，基的选择可以简化向量空间中向量的表示和计算。
3. 子空间的判断：基与维数可以用来判断一个子集是否构成了线性空间的子空间。
4. 线性方程组的解空间：线性方程组的解空间可以由基与维数表示。
总结：线性空间的基与维数是线性代数中的重要概念。
基是线性空间中一组线性无关的元素，可以表示线性空间中的任意元素；维数是基所包含的元素的个数，它决定了线性空间的很多性质。
线性代数§6.2线性空间的维数、基与坐标
0 0
10,
E 21
0 1
00,
E 22
0 0
10,
设
k1E11
+
k2E12
+
k3E21
+
k4E22
=O
0 0
0 0
,
而
k1E11 +
k2E12 + k3E21 +
k4E22 =
k1 k3
k k
2 4
,
因此, 有
k1=k2=k3=k4=0.
p(x) =(a0, a1, a2, a3, a4)T.
若取另一个基: q0=1, q1=1+x, q2=2x2, q3=x3, q4=x4,
则
p( x)
(a0
a1 )q0
a1q1
1 2 a2q2
a3q3
a4q4 .
因此, p(x)在这个基下的坐标为
p( x)
(a0
a1 ,
a1 ,
间V的维数.
维数为n的线性空间V称为n维线性空间, 记作Vn. 当一个线性空间V中存在任意多个线性无关的向
量时, 就称V是无限维的.
若1, 2, ···, n为Vn的一个基, 则Vn可表示为:
Vn = { = x11+x22+···+xnn | x1, x2, ···, xnR }
生成的子空间的基与维数.
思考题解答
f2(x) = 2x3–3x2+9x–1, f4(x) = 2x3–5x2+7x+5
线性代数基和维数
定义4.5.1 R n 的非零子空间H的线性无关生成 集称为H的基（basis）.
n R 例4.5.2 可逆n阶方阵的n个列向量构成 的基.
证明：设可逆方阵 A 1,2 ,...,n , 其列向量组线性无 关. 对 R n 中的任意向量 ,由性质4.2.5, 1,2 ,...,n , 线性相关. 由例4.2.7知， 可由1 ,2 ,...,n 线性表出， 1 ,2 是 ,...,n 的基 Rn . 因此
证明：证明方法类似于上例中的讨论. 令B是A的行最简形矩阵. B的主元列线性无关， 而A行等价于B，由定理4.5.2可知，A的主元列线性 无关.
B的非主元列可表成B的主元列的线性组合，则A 的非主元列也可表成A的主元列的线性组合，因而 可以从ColA的生成集中删除. 这样，A的主元列构成了ColA的基.
如果 能用两种方式表成1,2 ,..., p 的线性 组合，即
k11 k22 ... k p p ,
l11 l22 ... l p p .
两式相减，有
0 (k1 l1 )1 (k2 l2 )2 ... (k p l p ) p .
例4.5.7 NulA的维数是方程组Ax=0中自由变 量的个数. ColA的维数是A的主元列的数目.
n R 定理4.5.6 若H是 的子空间，dim H p. 则
（1）H中任意p个线性无关的向量构成H的一 组基; （2）如果H中p个向量构成H的生成集，则这 p个向量也构成H的一组基.
子空间H的基相对于生成集的另一个优点是： H中的每个向量仅能用一种方式写成基向量 的线性组合，即表出是唯一的. 定理4.5.8 若 1 , 2 ,..., p 是子空间H的基，则H 中的任一向量能且仅能用一种方式表为 1 ,2 ,..., p 的线性组合. 证明：因为 1 , 2 ,..., p 是H的生成集，H中任 一向量 必可表为 1,2 ,..., p 的线性组合.
线性空间的基与维数
线性空间的基与维数线性空间是线性代数中的重要概念，它是指具有加法和数乘运算的集合，并满足线性空间的定义和性质。
在线性空间中，基和维数是两个核心概念，它们对于理解线性空间的结构和性质具有重要意义。
一、线性空间的定义和性质线性空间是指满足以下定义和性质的集合：1. 集合中存在加法运算，即对于任意两个元素x和y，存在相应的元素x+y；2. 集合中存在数乘运算，即对于任意元素x和数k，存在相应的元素kx；3. 加法和数乘运算满足封闭性，即对于任意元素x和y，x+y和kx 仍然属于该集合；4. 加法满足结合律和交换律，即对于任意元素x、y和z，(x+y)+z=x+(y+z)和x+y=y+x；5. 加法满足单位元存在性，即存在一个元素0，对于任意元素x，有x+0=x；6. 加法满足逆元存在性，即对于任意元素x，存在相应的元素-y，使得x+(-y)=0；7. 数乘运算满足结合律和分配律，即对于任意元素x和k、l，有k(lx)=(kl)x和(k+l)x=kx+lx；8. 数乘运算满足单位元存在性，即对于任意元素x，有1x=x。
二、在线性空间中，基是指一个线性无关且能生成整个空间的向量组。
即对于线性空间V，存在向量组{v1, v2, ..., vn}，满足以下条件：1. 线性无关性：向量组中的任意有限个向量线性无关，即不存在非零标量c1, c2, ..., cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0；2. 生成性：向量组的线性组合能够生成整个线性空间V，即对于任意向量v∈V，存在标量c1, c2, ..., cn，使得v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn。
线性空间的维数是指基中向量的个数，用n表示。
记作dim(V) = n。
三、线性空间的基与维数的性质线性空间的基与维数具有以下性质：1. 基的个数是唯一的：线性空间V的任意两个基所含向量个数相同；2. 维数的唯一性：线性空间V的维数唯一，与基的选择无关；3. 向量组的性质：线性空间V中的任意向量组若线性无关，则含有的向量个数不超过维数；4. 维数与子空间：线性空间V的任意非零子空间的维数小于等于V的维数；5. 维数与线性变换：线性空间V到线性空间W的线性映射T是满射时，有dim(W) ≤ dim(V)；当T是一一映射时，有dim(W) ≥ dim(V)。
基和维数的关系
基和维数的关系
基和维数是线性代数中的两个重要概念，它们之间有着密切的关系。
在矩阵论中，基的数量决定了矩阵的列空间的维数，也就是列向量的线性独立的数量。
因此，如果一个矩阵的列向量数量为 n，但其列向量中有重复的向量，那么矩阵的列空间的维数就会小于 n。
这时，我们需要找到一组线性无关的向量作为基，从而得到列空间的基和维数。
另一方面，矩阵的行空间的维数也和其基的数量有关系。
矩阵的行空间是由其行向量张成的向量空间，而行向量的数量和它们的线性独立的数量相同。
因此，矩阵的行空间的维数取决于它的行向量的线性独立的数量，也就是它的基的数量。
除了列空间和行空间，矩阵还有一个重要的概念——零空间。
零空间是由矩阵的所有零空间向量张成的向量空间。
零空间向量是指矩阵乘以该向量得到的结果为零向量的向量。
矩阵的零空间的维数也和其基的数量有关系。
根据线性代数的基本定理，矩阵的列空间和零空间的维数之和等于矩阵的列数。
因此，如果知道了矩阵的列空间的维数，就可以求得它的零空间的维数。
总之，基和维数在线性代数中起着至关重要的作用。
它们的关系非常紧密，互相影响。
通过矩阵的基和维数，我们可以更好地理解矩阵的性质和特征。
线性代数中的基与维数
线性代数中的基与维数线性代数是数学的一个分支，主要研究向量空间和线性映射的性质。
而在线性代数中，基与维数是两个重要的概念，它们扮演着关键的角色。
本文将详细讨论线性代数中的基与维数，并探讨它们的应用。
一、基与线性无关性在线性代数中，我们将向量空间中的一组向量称为基（basis），它们具有以下两个性质：1. 生成性：基中的向量可以通过线性组合生成向量空间中的任意向量。
2. 线性无关性：基中的向量不能通过线性组合得到零向量。
具体来说，设V是一个向量空间，若存在向量组B={v₁, v₂, ..., vₙ}满足以下两个条件，则称该向量组为V的基：1. 所有的向量v∈V都可以由B中的向量线性表出。
2. 如果B中的向量进行线性组合时等于零向量，那么必须其中的所有系数都等于零。
基的一个重要性质是线性无关性。
线性无关的向量组意味着每个向量都是独立的，不能由其他向量线性表示出来。
当一组向量线性无关时，它们的个数称为向量空间的维数。
二、维数的概念及性质在线性代数中，维数（dimension）是向量空间中独立向量的最大个数，记作dim(V)。
维数是衡量向量空间复杂程度的一个指标，它具有以下性质：1. 如果向量空间V中存在有限个向量使得它们线性无关，那么V的维数是有限的。
2. 如果在V中存在无穷多个向量，且它们线性无关，那么V的维数是无穷大。
3. 如果V的维数为n，那么V的任意一个基都包含n个向量。
4. 如果V的维数为n，那么V中的任意n+1个向量必然线性相关。
维数的计算方法也有一些常见的技巧。
对于有限维向量空间V而言，可以通过求解线性方程组的方法来求解维数。
另外，对于一些特殊的向量空间，也可以直接通过观察其内部的向量性质来确定维数。
三、基与维数的应用基与维数在线性代数中有广泛的应用，下面简要介绍几个常见的应用领域：1. 基变换与坐标系：在向量空间中，不同的基可以产生不同的坐标系，基变换就是在不同的基之间进行坐标的转换。
线性代数基和维数
对于矩阵A，A的列之间的线性关系可以表 成Ax=0，其中x为相应的组合系数构成的列 向量.（如果A的某列在某个关系式中不出现， 则相应的系数为零.）
A经初等行变换化为B后，B的列一般与A的 列完全不同，但Ax=0和Bx=0两个方程组同 解，这意味着，A的列与B的相应列之间有 完全相同的线性关系. 因而有以下结果：
一向量 必可表为 1,2,..., p 的线性组合.
如果 能用两种方式表成1,2,..., p 的线性 组合，即
k11 k22 ... k p p , l11 l22 ... lp p.
两式相减，有
0 (k1 l1)1 (k2 l2 )2 ... (k p lp ) p.
(2) 如果 H 0, 则必有S的某个子集是H的基.
证明：(1)不妨设 p 是1, , p1 的线性组合：
p c11 c p1 p1.
H中的任意向量 可以表为
k11 k p1 p1 k p p ,
代入上式，容易验证 是1, , p1的线性组合.
可以看出，线性相关的生成集包含了冗余信息，
即如果 S 1,2, ,p是子空间H的线性相关生成
集，则至少有一个向量可以写成其余p-1个向量的 线性组合，从而可以从S中去除，得到一个较小的 生成集.
另一方面，如果B 1, 2, , r是H的线性无关生成
集，则B中任一向量都不能由其余r-1个向量线性表 出，因此从B中去除一个向量后得到的B的子集一 定不是H的生成集（去除的向量不能由剩余向量线 性表出）.
解： 设 在基 1, 2 , 3下的坐标为 x1, x2, x3 T，则
x1
1
2
基与维数的基本概念与应用
基与维数的基本概念与应用线性代数是现代数学中非常重要的一部分，而作为线性代数的基本概念之一，基与维数在很多领域中都有着重要的应用和作用。
在本文中，我们将着眼于基与维数的基本概念和应用，希望能够给读者带来全面且深入的了解。
基的概念基是线性空间的一个基本概念。
在线性代数中，所谓线性空间就是一个向量空间的特殊情形，向量空间由向量组成，这些向量可以用数字来表示。
而基就是指这些向量的数量最少的子集，这个子集中的向量可以表示出这个向量空间中的其他所有向量。
具体来说，基的定义是：如果一个向量空间V中的向量集S有以下两个性质：1. 向量集S中的向量是线性无关的；2. 向量集S中的任意向量都可以用向量集S中的有限个向量线性组合表示（即，对于任意一个向量v∈V，都存在一组系数a1,a2,……,an使得v=a1s1+a2s2+……+ansn，其中si∈S，ai∈K，K是所在域）那么，S就是V的一个基。
基的一些性质包括:1. 基是线性无关的。
2. 基中的任意向量都不可由其他向量线性组合得到。
3. 维数相同的向量空间会有同样数量的基。
4. 所有向量空间都有基，包括零向量空间。
维数的概念维数是向量空间的另一个重要概念。
在数学中，向量空间的维数是指基中向量的数量的大小。
具体来说，如果一个向量空间V有一个n个线性无关向量的基，那么V就称为一个n维向量空间。
维数可以理解为空间中向量的独立自由度，向量空间的维数可以用来区分不同的向量空间，也用来确定矩阵的秩等重要性质。
基的应用基作为线性代数中的基本概念，应用十分广泛。
以下列举了一些基的应用：1. 矩阵乘法：矩阵乘法的前提是两个矩阵的行列数满足要求。
具体来说，矩阵A的列数必须等于矩阵B的行数。
而每一个矩阵可以看做是向量空间中向量的组合，因而矩阵的乘法实际上就是向量之间的线性组合，而基恰好是向量的组合表示。
2. 解方程组：在线性代数中，矩阵可以看做是线性方程组的系数，而矩阵的秩和向量空间的维数有密切关系。
线形空间的维数与基
浅谈线性空间的维数与基摘要本文通过对有限维线性空间中基和维数的讨论，总结出了有限维线性空间的基和维数的求解方法，并且，用不同的方法对线性空间的基和维数的应用进行了探讨.关键词：线性空间；维数；基；同构；子空间THE DISCUSSING TO THE DIMENSIONS ANDBASES OF LINEAR SPACEABSTRACTIn this paper, by discussing dimensions and bases of finite dimensions linear space, we Summarizes the methods to soluting dimensions and bases of finite dimensional linear space. Moreover, the application of the bases and dimensions are discussed in different ways.Keywords: linear space; dimension; base; isomorphism; subspace .目录摘要 (1)关键词： (1)ABSTRACT (2)一、基本概念 (4)二、线性空间的基和维数求解方法 (5)2.1、定义法 (5)2.2、利用相关定理求维数与基 (8)三、线性空间基和维数的应用 (10)3.1、次子空间的应用 (10)3.2、在同构线性空间中的应用 (12)四、有限维线性空间基的扩充 (13)五、参考文献 (15)致谢 (15)一、基本概念定义1.2、U 中向量集H 如果满足下述两个条件，① 向量集H 是线性相关的；② U 中每一个向量可以由H 中有限个向量线性表出；则H 是U 的一个基，只含0向量的基是空集。
定义1.3、U 称为有限维的，如果U 有一个基包含有限多个向量，否则U 称为无限维的，有限维线性空间的一个基所含向量个数称为U 的维数。
线性空间的概念,维数、基与坐标
统计软202件1/4分/22析与应用
线性代数A
4
6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标
(5) 1 ;
(6) ; (7) ; (8) .
那么,V 就称为数域 F上的线性空间(或向量空 间),V 中的元素称为向量(或元).
线性代数A
19
6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标
三、线性空间的子空间
定义2 设 V 是一个线性空间, U 是 V 的一个 非空子集,如果 U 对于 V 中所定义的加法和乘数 运算也构成一个线性空间, 则称 U 是 V 的一个子 空间．
线性空间中的零元构成一子空间, 称为零空间. V 自身是V 的子空间. 我们称这两个子空间为V 的 平凡子空间.
记作
;
统计软202件1/4分/22析与应用
线性代数A
3
6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标
如果上述两种运算满足以下八条运算规律
( 设 , , V;, F )：
(1) ;
(2) ;
(3) 在V中存在零元素 0 ,对任何 V ,都有 0 ;
于是有 定理2 线性空间V 的非空子集U 构成子空间的
充分必要条件是： ⑴ 如果 , U, 则 U;
⑵ 如果 U, k R,则 k U.
[证略]
统计软202件1/4分/22析与应用
线性代数A
22
6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标
例7
证明： N 2
a 0
b
0
a, b R
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间V 中，最多能有多少线性无关的向量？
线性代数3.4 基和维数
(1) 虽然线性无关但不是R3的张集 (2) 线性相关也不是R3的张集
(3) 线性无关且是R3的张集 (4) 虽然是R3的张集但 个向量.
推论 设v1 , v2 , . . . , vn 是Rn中的 n 个向量， 则 { v1 , v2 , . . . , vn }是 Rn 的一组基的充要条件是 |V | 0,
方法1. 先找到向量空间的一个张集，然后将它删减到最小 张集，即为一组基.
方法2. 先找到向量空间中的一个线性无关的向量组，然后 将将它扩充成一个极大线性无关组，即为一组基.
例3 练习
给定向量 v1 = (1,−1, 1)T, v2 = (1, 0, 0)T, v3 = (1, 1, 1)T, v4 = (1, 2, 4)T.
• dim Rn = n
设 x 和 y 是 Rn中的非零向量，则
• dim Span (x) = 1 • dim Span (x, y) =
1， 若x 和 y线性相关 2， 若x 和 y线性无关
例 6 设 A = 1 1 3 1 ，求 dim N(A) . 2 2 5 0
解：
1 1 3 1
1 1 3 1
求 span (w1 , w2 , w3 , w4 ) 的一组基 .
3. Rn 中向量空间基的一般理论
定理 2 向量组{v1, v2,. . ., vn } 构成向量空间V 的一组基 V 中任意向量 u 都可以被v1, v2,. . ., vn 唯一地线性表出.
定理 3 设向量组 {u1, u2 ,. . ., um}可以被{ v1, v2,. . ., vn} 线性表出. 如果 m > n, 则 u1, u2 ,. . ., um 必线性相关. 换句话说，若 u1, u2 ,. . ., um 线性无关, 则 m ≤ n.
线性代数 基、维数与坐标
基、维数与坐标⏹基、维数的概念⏹坐标的概念基、维数与坐标定义2(1) α1,α2, …,αm 线性无关；(2) V 中任一向量都能由α1,α2, …,αm 表示，则称α1,α2, …,αm 为空间V 的一组基(或基底), 基与维数m 称为向量空间V 的维数，记为dim V ＝m ,设V 是数域p 上的向量空间，向量α1,α2, …,αm V ，如果并称V 是数域p 上的m 维向量空间.零空间的维数规定为零.基、维数与坐标2. 将向量空间V 的基的定义与向量组的极大线性无关组的定义相比较，不难看出，1. 向量空间的维数和该空间中向量的维数是两个不同的概念.若把向量空间V 看作一个向量组，那么它的基就是V 的一个极大线性无关组，dim V 就是V 的秩.3. 容易证明，若向量空间V 的维数是m ，那么V 中任意m 个线性无关的向量都是V 的一组基；对于向量空间V 的任一子空间V 1,dim V 1≤dim V .基、维数与坐标对于向量空间R n ，基本单位向量ε1, ε2, …, εn 就是它的一组基，有dim R n =n , 则称R n 为n 维实向量空间.在四维向量空间R 4中，向量组α1=(0, 0,0,1),α2=(0,1,0,1), α3=(-1,2,0,1),α4=(1,0,2,1)线性无关，所以它们也是R 4的一组基.基、维数与坐标定义3设α1,α2, …,αm 为向量空间V 的一组基，1122m m x x x ,则称有序数组由定理3.2.2,向量α的表示也是唯一的， α V , 有因此α基下α1,α2, …,αm 的坐标也是唯一的.坐标的概念x 1,x 2, …,x m 为向量α在基α1,α2, …,αm 下的坐标.记为(x 1,x 2, …,x m ).基、维数与坐标例4证明111002210A设α1=( 1,0,2),α2=(1,0,1), α3=(-1,2,0),证明α1,α2, α3是向量空间R 3的一组基，并求向量α=( 2,-3,5)在这组基下的坐标.以向量α1T ,α2 T , α3 T 为列向量做矩阵基、维数与坐标因为A 的行列式|A |＝2≠0，,把α1,α2, α3代入，比较等式两端向量的对应分量，可得线性方程组112233x x x 设所以α1,α2, α3线性无关, 故它们是R 3的一组基.12331222325x x x x x x基、维数与坐标解之，得于是向量在α基α1,α2, α3下的坐标为12393,4,22x x x 93,4,22 （）。
维数和基的个数的关系
维数和基的个数的关系维数和基的个数是线性代数当中非常重要的概念，很多人在学习线性代数时都会遇到。
在这里，我们将围绕这个概念进行详细的阐述，希望能够帮助大家更好地理解它们之间的关系。
步骤一：什么是维数？维数是线性空间的一种度量，它用来描述一个线性空间的“大小”。
具体来说，维数是指线性空间的一组基中所含向量的个数。
例如，一个二维向量空间的基包含两个线性无关的向量，因此它的维数为2。
在线性代数的学习过程中，我们通常会遇到很多和维数有关的问题。
其中最常见的就是如何确定一个线性空间的维数。
对于有限维的线性空间，我们可以通过找到它的一个基来确定它的维数。
而对于无限维的线性空间，则需要借助更高级的数学工具来进行刻画。
步骤二：什么是基？基是线性空间当中的一个非常重要的概念，它是用来描述向量空间的“构成元素”。
具体来说，一个线性空间的基是一个线性无关的向量组，它能够表示出该空间中的任何一个向量。
在学习线性代数的过程中，我们经常需要用到基来描述向量空间的某些性质。
例如，我们可以通过找到一个基来确定一个向量空间的维数，也可以利用基来求解线性方程组的解。
步骤三：维数和基的个数的关系根据定义，我们可以发现，线性空间的维数和它的基的个数是非常紧密相关的。
具体来说，一个线性空间的维数等于它的任意一个基的向量个数。
这个结论在很多时候都是非常有用的。
例如，在求解线性方程组的过程中，我们可以通过线性空间的基来确定它的维数，从而得出方程组的解的个数。
同样地，在理解矩阵的秩的时候，我们也可以利用线性空间的基来进行刻画。
总之，维数和基的个数是线性代数中两个非常重要的概念。
它们之间的关系非常密切，在很多时候都能够相互联系。
学习线性代数的同学们，一定要认真掌握和理解它们之间的内在关系，才能更好地应用它们解决实际问题。
【线性代数】基、维数
【线性代数】基、维数
m*n矩阵A，m < n，则线性⽅程组Ax = 0含有⾃由变量，矩阵A的零空间除了0向量外还有其他解。
线性相关和线性⽆关
⼀组向量v1,v2,...vn, 如果存在⼀个系数不全为零的线性组合，得到零向量，则称这组向量线性相关；否则称线性⽆关。
这组向量构成矩阵A的列向量，若这组向量线性⽆关，等价于矩阵A的零空间N(A) 只含有零向量⼀个元素；若线性相关，等价于N(A)还含有其他元素。
⼀组向量中如果含有零向量，则这组向量⼀定线性相关。
张成空间
⼀组向量的张成空间（span）：包含⼀组向量所有线性组合的最⼩线性空间，⽤“S”表⽰
简单的说，就是⼀组向量v1,v2,...vn线性组合的集合
基
⼀个空间的基：（⼀）张成该空间（⼆）线性⽆关
R^n空间，n个n维向量是基，等价于以这n个向量为列的矩阵可逆
维数
给定⼀个空间，所有基中向量个数是相同的，个数成为维数
dim C(A) = rank(A) = # pirot columns
dim N(A) = # free variables = n - rank(A)
总结：
线性⽆关：⼀组向量线性组合不为零
张成：向量组的线性组合
基：张成空间的线性⽆关向量
维数：基向量的个数。
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子空间H的基相对于生成集的另一个优点是： H中的每个向量仅能用一种方式写成基向量 的线性组合，即表出是唯一的.
定理4.5.8 若 1,2,...,p 是子空间H的基，则H
中的任一向量能且仅能用一种方式表为 1,2,..., p 的线性组合.
证明：因为 1,2,...,p 是H的生成集，H中任
对于矩阵A，A的列之间的线性关系可以表 成Ax=0，其中x为相应的组合系数构成的列 向量.（如果A的某列在某个关系式中不出现， 则相应的系数为零.）
A经初等行变换化为B后，B的列一般与A的 列完全不同，但Ax=0和Bx=0两个方程组同 解，这意味着，A的列与B的相应列之间有 完全相同的线性关系. 因而有以下结果：
1
6
.
例4.5.9 Rn 中的向量x在单位向量组 e1, e2, , en
构成的标准基下的坐标即为x.
1 1 0
6
1
0
6
1
1
e1
6
e2.Leabharlann 例4.5.10 在 R3中，求向量 1,7,3T在基 1 2,0, 1T , 2 1,3, 2T , 3 2,1,1T 下的坐标.
定义4.5.2 Rn 的非零子空间H的维数dimH 定义为H的任一组基中所含向量的个数. 零空间｛0｝的维数规定为0.
空间 Rn 的维数是n.
注意：向量空间的维数与向量的维数的区别
例4.5.6 R3 的子空间可以按照维数进行分类：
0维子空间：0
1维子空间：由一个非零向量生成，几何上是 过原点的直线;
一向量 必可表为 1,2,..., p 的线性组合.
如果 能用两种方式表成1,2,..., p 的线性 组合，即
k11 k22 ... k p p , l11 l22 ... lp p.
两式相减，有
0 (k1 l1)1 (k2 l2 )2 ... (k p lp ) p.
span1,2,3 span1,3.
证 事实上，若 span1,2,3, 则
k11 k22 k33
k11 k2 21 3 k33
k1 2k2 1 k2 k3 3 span1,2.
§4.5 基和维数
将向量组的极大无关组和秩的概念放在 Rn的子空 间H上来考察.
Rn 的非零子空间包含无穷多个向量，在处理有 关子空间的问题时，利用该子空间的生成集会更加 方便. 子空间的生成集不唯一，但不是所有的生成 集都同样有效.
例如，令 u 1 1T , e1, e2 和 e1,e2,u是R2的
特殊地，n阶单位阵的列向量组e1,e2,...,en 称为 Rn 的
标准基.
定理4.5.1 设 S 1, ,p Rn, H span 1, ,p .
(1) 如果S中的某个向量 k 是S中其余向量的 线性组合，则从S中去掉 k 后剩余向量构成 的集合仍然是H的生成集.
T
c1, c2 , , cp .
基向量组可以建立一个H中的坐标系统.
例4.5.8
则
1
1 0
,
2
1
2
是 R2 的一组基，
x R2
的坐标为
2 3
,
x
(2)1
32
(2)
1 0
1
3
2
由1,2,..., p 的线性无关性，
0 c1 d1 c2 d2 cp d p ,
所以 的两种表出方式一致，即表出方式唯一.
定义4.5.3 设 1, 2,..., p 是子空间H的基.
H中的向量x若可表成 x c11 c22 ... cp p , 称系数 c1, c2,..., cp 为x相对于基B的坐标. 记为
解： 设 在基 1, 2 , 3下的坐标为 x1, x2, x3 T，则
x1
1
2
3
x2
,
x3
或
2 1 2 x1 1
0
3
1
x2
7
.
1 2 1 x3 3
因此1, ,p1 是H的生成集.
（2）如果初始集合S线性无关，则S是H的基. 否则，S中某个向量可表成其余向量的线性组 合，由（1），可以从S中删除该向量后得到H 的更小的生成集. 只要生成集包含至少两个向 量，则这个过程可以持续到生成集线性无关为 止，从而得到H的一组基.
如果生成集最终只包含一个向量，则由 H 0 可知该向量为非零向量，线性无关，因而是H 的基.
定理4.5.2 矩阵的初等行变换不改变矩阵 的列之间的线性关系.
1 3 3 2 9
例4.5.5
A
1
,
2
,
3
,
4
,
5
2 2
2 3
2 0
8
2
,
7 1
求ColA的基.
3 4 1 11 8
解：验证可知，对A进行初等行变换后得到的 行最简形矩阵是上例中的B，因此A的主元 列是 1,2,5. 由定理4.5.2和上例的结果，有
另一方面，如果B 1, 2, , r是H的线性无关生成
集，则B中任一向量都不能由其余r-1个向量线性表 出，因此从B中去除一个向量后得到的B的子集一 定不是H的生成集（去除的向量不能由剩余向量线 性表出）.
在这个意义下，线性无关生成集是子空间的最小 生成集，是描述子空间结构的更有效的方式.
0 0 0 0 0
x1
2x2
x3
x4 2x 4
3x5 2x5
0 0.
0 0
取 x2 , x4 , x5 为自由变量，则解为：
x1 2x2 x4 3x5, x3 2x4 2x5.
一般解的参数向量形式为：
x1 2x2 x4 3x5 2 1 3
对增广矩阵作初等行变换
2 1 2 1 1 2 1 3 1 2 1 3
A
0
3
1
7
0
3
1
7
0
31
7
k11 k22 k3 31 22 k4 51 2 k55
是 1, 2, 5 的线性组合. 因此 1, 2, 5 是ColB 的生成集. 同时，1, 2, 5 是4阶单位阵的不同 列，线性无关. 因此B的主元列构成B的列空 间的一组基.
反之，span1,3 中的任意向量 k11 k33 k11 02 k33 span1,2,3.
可以看出，线性相关的生成集包含了冗余信息，
即如果 S 1,2, ,p是子空间H的线性相关生成
集，则至少有一个向量可以写成其余p-1个向量的 线性组合，从而可以从S中去除，得到一个较小的 生成集.
注意：是A自身的主元列，而不是行阶梯形矩阵 B的主元列，构成了ColA的基.
子空间的基是不唯一的. 下面，我们讨论基中所含 向量的个数.
定理4.5.4 令H是 Rn的子空间，S 1, 2, , p
是H的生成集. 若m>p，则H中任意m个向量 必线性相关.
定理4.5.5 若子空间H有一组基包含p个向量， 则H的任一组基都恰含有p个向量.
定理说明，基可以通过从生成集中去除冗余 向量构造出来, 且 Rn 的非零子空间一定存在基.
下面考虑A的零空间和列空间的基.
3 6 1 1 7
例4.5.3 A 1 2 2 3 1, 求NulA的一组基.
2 4 5 8 4
解：利用初等行变换可化A为行最简形：
1 2 0 1 3 A 0 0 1 2 2
(2) 如果 H 0, 则必有S的某个子集是H的基.
证明：(1)不妨设 p 是1, , p1 的线性组合：
p c11 c p1 p1.
H中的任意向量 可以表为
k11 k p1 p1 k p p ,
代入上式，容易验证 是1, , p1的线性组合.
x2
x2
1
0
0
x3 x4
2x4
2x5 x4
x2
0
0
x4
2 1
x5
2
0
x5
x5 0 0 1
证明：证明方法类似于上例中的讨论.
令B是A的行最简形矩阵. B的主元列线性无关， 而A行等价于B，由定理4.5.2可知，A的主元列线性 无关.
B的非主元列可表成B的主元列的线性组合，则A 的非主元列也可表成A的主元列的线性组合，因而 可以从ColA的生成集中删除.
这样，A的主元列构成了ColA的基.
证明：令 B 1, 2, , p 是H的包含p个向量
的一组基, S 1,2, ,r 是H的任一组基.
S是H的生成集，由定理4.5.5，H中任意多 于r个向量必线性相关，而B是H的线性无 关子集，所以 p r.