5 材料力学第二章 轴向拉伸和压缩
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3
力学模型如图
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
P
4
二、
工 程 实 例
5
§2–2 拉伸与压缩时直杆横截面上的内力、应力
一、内力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内 力系的合成（附加内力）。 轴向力的符号规定：垂 直于截面向外的力为正 ，向内的力为负。 轴力图：表示轴力大 小与截面位置关系的 图
b′ d′
△l＝l -l
1
0
, 拉伸为正，压缩为负。
二、拉压杆的相对变形
P
a′ c′
P
x +d x LL+d 1 L
l lim l
正应变，线应变。
22
三、拉压杆的胡克定律：在一定范围内，杆件所发生的拉压变形与 所受力及原始长度成正比，而与其横截面成反比。
P
P
PL L A L PL SL EA EA
6
二、截面法 ·轴力与轴力图 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的 基础。求内力的一般方法是截面法。 1. 截面法的基本步骤： ① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用 在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。
③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来
14
（二）、拉（压）杆横截面上的应力
1. 变形规律试验及平面假设： 变形前
受载后 a c P a´ c´ b d b´ d´ P
试验现象：
1.原来的纵向线仍然平行，伸长一致。 2. 原来的横向线相对移动，但仍然相互平行，仍垂直纵向线。 （纵向纤维共同承担外力的作用） 假设： 1.平面截面假设：变形前的平面横截面在变形后仍然是平面横 截面。 15 2.内力是均匀分布的。
b：平行于截面的应力，剪应力τ
13
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义
不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集 度最大处开始。 2. 应力的表示： ①平均应力： P M A
pM
ΔP ΔA
②全应力（为一点处的应力）：
Δ P dP pM lim dA Δ A0 Δ A S ③正应力 S是作用于横截面上的力 A是横截面面积 A
或 :
弹性定律是材料力学等固体力学中的一个非常重要的定律 。一般认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的 ，所以通常叫做胡克定律。 胡克定律：
＝Eε
24
常用材料的E和μ值
材料名称 低碳钢 中碳钢 205 E(GPa) 196-216 0.24-0.28 0.24-0.28
①已知【 】，A，求S, 可进行载荷设计(确定许用载荷)。 ②已知 A，S，求【 】，可合理的选材。 ③已知S, 【 】,求A，可进行截面设计。 ④已知S, 【 】, A，求构件是否安全——强度校核。
18
[例1] 已知一圆杆受拉力P =25 K N，直径 d =14mm，许用应 []=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。
ζn
Α S A’
31
sin sin cos
当α＝0°时，正应力 最大。 当α＝45°, τ 剪应力最大。 当α＝90 °时，剪应力为零。
P
P
符号：拉应力为正，压应力为负。 绕物体内任一点(研究对象)有顺时 剪应力， 针转动趋势为正，反之为负。 角，X轴旋至截面外法线 ，逆时针转为正， 反时针转为负。
强度条件(强度设计 (Strength Design)准则)：
ζ≤【 ζ 】 其中ζ是工作应力， 【ζ】是容许应力
拉压强度条件:
容许应力的计算：
S [ ] A
[ ] n
max
其中：[]--许用应力， max— 极限应力，n – 安全系数，n>1.05
17
依强度条件可进行下列计算：
μ
16锰钢
合金钢 铸铁 混凝土 石灰岩 木材（顺纹）
196-216
186-216 59-162 15-35 41 10-12
0.25-0.30
0.25-0.30 0.23-0.27 0.16-0.18 0.16-0.34
橡胶
0.0078
0.47
25
材料力学
§2-5
轴向拉伸时材料的机械性能
一、试验条件及试验仪器
解：① 轴力：N = P =25KN
3 N 4 P 4 25 10 ②应力： MPa max 2 2 162 A πd 3. 14 0.014
③强度校核：
max
162MPa 170MPa
④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。
19
[例2] 起重三脚架如图所示。木杆AB的许用应力[]=12M Pa， AC
e
DE段：颈缩阶段。
• 材料的分类：根据试件断裂时的残余相对变形率将材料分类： 延伸率（δ ）>5% 塑性变形：低碳钢，铜，塑料，纤维。 延伸率（δ ）<5% 脆性变形：混凝土，石块，玻璃钢，陶瓷， 玻璃，铸铁。 • 冷作硬化：材料经过屈服而进入强化阶段后卸载，再加载时，弹 性极限明显增加，弹性范围明显扩大，承载能力增大的现象。 • 强度指标：对塑性材料，在拉断之前在残余变形0.2 %（产生 0.2%塑性应变）时对应的应力为这种材料的名义屈服应力，用 0.2表示 ，即此类材料的失效应力。 锰钢、镍钢、铜等 • 脆性材料拉伸的机械性能特点： 1.断裂残余相对变形率δ <5% 0.2 or s max b 2.弹性变形基本延伸到破坏 3.拉伸强度极限比塑性材料小的多 4.b是脆性材料唯一的强度指标
(a)
P
选P .7kN max 11
20
[例3]（设计截面）
冷镦机的曲柄滑块机构如图。 镦压工件时，连杆接近水平位置， 承受的镦压力P=1100kN,连杆截面 为矩形，高度h与宽度b之比为1.4， 构件的许用应力为[σ]=60MPa,试 确定截面尺寸。 A
B
解：连杆的横截面积为
A h b 1.4b 2 轴力为 N P 1100kN
三、低碳钢试件的应力--应变曲线(--图)
28
阶段分析
OA段：弹性阶段，外力去除 后能够完全恢复，其中含有 比例阶段。比例极限： p
弹性极限： e AC段：屈服阶段，应力没有 什么变化，应变明显增大。 原因：剪应力引起的晶格之 间的相对滑移，试件表面明 显变暗，与轴线成45°的倾 斜花纹，有塑性变形。 屈服极限：s CD段：强化阶段，屈服阶 段后，晶格之间的相对滑移 到一定程度，试件又具有一 定的抵抗变形的能力。必需 继续增加应力。 29 强度极限： b
由此可知：杆件可以看成是有许多纵向纤维构成的。 当其受到轴向挤压时，自杆件表面到内部所有的纵向纤维 的变形都相等，因此，各纤维所受到的内力也完全相等。 因此，应力在横截面上的分布是均匀的，而且应该与横截 面垂直。
=
N A
——横截面上的轴力（内力）
——横截面面积
16
§2-3 容许应力 构件安全工作的强度条件
※E为弹性模量，是衡量材料抵抗弹 性变形能力的一个指标。“EA”称 为杆的抗拉压刚度。
l E Sl S E E l l EA A
胡克定律：
＝Eε
23
四、横向变形
d d 1 d 0
泊松比（或横向变形系数）
d d 1 d 0 相对变形： ' d0 d0
RA 30 10kN
+
AB段： N –
20
3 30 30 20
40 kN R A
注：内力的大小与杆截面的 大小无关，与材料无关。
11
轴力图要求： 1.正负号 2.数值 3.阴影线与轴线垂直
[ 练习 ] 直杆受力如图所示，试画出杆的轴力图。
2P A B 5P C 2P D E 解： CE段： N P
1、试验条件：常温(20℃)；静载（极其缓慢地加载）；标准试件（圆形或矩形截面） 构件：组成机器结构或设备的基本元件。 试件：具有标准结构的检测机械性能的元件。
d0 l0
h0
d0
26
2、试验仪器：万能材料试验机
27
二、低碳钢试件的拉伸图(P-- L图)
PL L EA
L P L EA E
2、讨论： ① 0
max
0
直杆受轴向拉压时，横截面上的正应力最大， 剪应力为零。 拉伸性能较差的铸铁等脆性材料所制成的杆件， 在轴向拉伸时，沿横截面断裂，就是由最大正应力 所引起的。
32
② 45 角的截面上。
max
2
即直杆在受到轴向拉压时，在与横截面成45°角的斜面 上的剪应力最大，等于横截面上正应力的一半。 (a) 用抗剪能力比抗拉能力较差的材料制成的杆件（低碳 钢平版）受拉伸达屈服时，在试件表面出现的滑移线。
P BC段：N 2 3 P
1
3P + P
AB段：N
3
2 P
+
–
12
2P
三、横截面上的应力
问题提出： P P （一）应力的概念 P P
度量横截面 上分布内力 的集度
1.定义：作用在单位面积上的内力值。 2.应力的单位是： Pa KPa MPa GPa
3.应力：a：垂直截面的应力－－正应力σ 拉应力为正，压应力为负。
[百度文库 ]
n
30
§2-6 轴向拉伸时直杆斜截面上的应力
1、分析
A' A cos
轴力S=P
则斜截面上的应力
P P cos cos A' A
2
α A
A’
P
沿法线n的应力：
cos cos
剪应力：
2
(1 cos 2 )
α
2 sin 2
N [ ]得： A
1100 103 A 1.4b [ ] 60 N
2
解得：b 115m m 取： b 115m m 得： h 1.4b 161m m
21
代入强度条件
材料力学
§2 －4
一、拉压杆的绝对变形
轴向拉压时直杆的变形
l l 1 l 0 l0 l0
为钢杆，许用应力[]=160M Pa ，求结构的最大荷载P。
d=80
B
30
解：取节点A为受力体，受力图如图(a)
A
N AB 3P
木杆设计:
N AC 2P
P
C
N AB A 60.3kN 1
P .8kN 1 34
钢杆设计:
N AB
A
N AC
N AC A2 1.459104 160106 23.3kN P2 11.7kN
计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。
7
例如： 截面法求N。
P A A P
截开：
P
P 简图
代替：
P
N
A
平衡：
X 0
PN 0
PN
2. 轴力——轴向拉压杆的内力，用N 表示。
8
3. 轴力的正负规定: N 与截面外法线同向, 为正轴力(拉力) N与截面外法线反向, 为负轴力(压力)
低碳钢轴向拉伸时在与杆轴线成 45°倾角的斜截面上。剪应力达到 最大值。故可推断，材料的屈服与最大剪应力有关。该条纹系因材 料内部晶格间沿最大剪应力方向发生相互错动所致，称为滑移线。
34
(b) 铸铁制试件在进行压缩实验时，试件沿与杆轴成45° 角的斜截面破坏。
轴力(图)的简便求法： 由内力方程得： 轴力N（设为正向）等于保留一侧所有 轴向外力的代数和。轴向外力使保留段 拉伸为正、压缩为负
10
[例] 杆受力如图所示。试画出杆的轴力图。 解： 30KN 30KN 20KN DE 段：N 20 kN 1
RA A
40 +
B
10
C D
E
BD段： N 2 30 20 10kN
工程力学
Engineering Mechanics
1
第二章 轴向拉伸和压缩
2
2-1
一、概念
概念与实例
轴向拉伸与压缩: 直杆在其两端沿轴线受到拉力而伸长或受到压力而缩短。 轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。 轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向 缩扩。 轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
N
N
N>0
N
N
N<0
三、 轴力图—— N (x) 的图象表示。
意 义
①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；
②确定出最大轴力的数值
及其所在横截面的位置， 即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。
N P + x
9
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 5kN 5kN + 8kN – 3kN 8kN 3kN
力学模型如图
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
P
4
二、
工 程 实 例
5
§2–2 拉伸与压缩时直杆横截面上的内力、应力
一、内力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内 力系的合成（附加内力）。 轴向力的符号规定：垂 直于截面向外的力为正 ，向内的力为负。 轴力图：表示轴力大 小与截面位置关系的 图
b′ d′
△l＝l -l
1
0
, 拉伸为正，压缩为负。
二、拉压杆的相对变形
P
a′ c′
P
x +d x LL+d 1 L
l lim l
正应变，线应变。
22
三、拉压杆的胡克定律：在一定范围内，杆件所发生的拉压变形与 所受力及原始长度成正比，而与其横截面成反比。
P
P
PL L A L PL SL EA EA
6
二、截面法 ·轴力与轴力图 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的 基础。求内力的一般方法是截面法。 1. 截面法的基本步骤： ① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用 在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。
③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来
14
（二）、拉（压）杆横截面上的应力
1. 变形规律试验及平面假设： 变形前
受载后 a c P a´ c´ b d b´ d´ P
试验现象：
1.原来的纵向线仍然平行，伸长一致。 2. 原来的横向线相对移动，但仍然相互平行，仍垂直纵向线。 （纵向纤维共同承担外力的作用） 假设： 1.平面截面假设：变形前的平面横截面在变形后仍然是平面横 截面。 15 2.内力是均匀分布的。
b：平行于截面的应力，剪应力τ
13
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义
不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集 度最大处开始。 2. 应力的表示： ①平均应力： P M A
pM
ΔP ΔA
②全应力（为一点处的应力）：
Δ P dP pM lim dA Δ A0 Δ A S ③正应力 S是作用于横截面上的力 A是横截面面积 A
或 :
弹性定律是材料力学等固体力学中的一个非常重要的定律 。一般认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的 ，所以通常叫做胡克定律。 胡克定律：
＝Eε
24
常用材料的E和μ值
材料名称 低碳钢 中碳钢 205 E(GPa) 196-216 0.24-0.28 0.24-0.28
①已知【 】，A，求S, 可进行载荷设计(确定许用载荷)。 ②已知 A，S，求【 】，可合理的选材。 ③已知S, 【 】,求A，可进行截面设计。 ④已知S, 【 】, A，求构件是否安全——强度校核。
18
[例1] 已知一圆杆受拉力P =25 K N，直径 d =14mm，许用应 []=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。
ζn
Α S A’
31
sin sin cos
当α＝0°时，正应力 最大。 当α＝45°, τ 剪应力最大。 当α＝90 °时，剪应力为零。
P
P
符号：拉应力为正，压应力为负。 绕物体内任一点(研究对象)有顺时 剪应力， 针转动趋势为正，反之为负。 角，X轴旋至截面外法线 ，逆时针转为正， 反时针转为负。
强度条件(强度设计 (Strength Design)准则)：
ζ≤【 ζ 】 其中ζ是工作应力， 【ζ】是容许应力
拉压强度条件:
容许应力的计算：
S [ ] A
[ ] n
max
其中：[]--许用应力， max— 极限应力，n – 安全系数，n>1.05
17
依强度条件可进行下列计算：
μ
16锰钢
合金钢 铸铁 混凝土 石灰岩 木材（顺纹）
196-216
186-216 59-162 15-35 41 10-12
0.25-0.30
0.25-0.30 0.23-0.27 0.16-0.18 0.16-0.34
橡胶
0.0078
0.47
25
材料力学
§2-5
轴向拉伸时材料的机械性能
一、试验条件及试验仪器
解：① 轴力：N = P =25KN
3 N 4 P 4 25 10 ②应力： MPa max 2 2 162 A πd 3. 14 0.014
③强度校核：
max
162MPa 170MPa
④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。
19
[例2] 起重三脚架如图所示。木杆AB的许用应力[]=12M Pa， AC
e
DE段：颈缩阶段。
• 材料的分类：根据试件断裂时的残余相对变形率将材料分类： 延伸率（δ ）>5% 塑性变形：低碳钢，铜，塑料，纤维。 延伸率（δ ）<5% 脆性变形：混凝土，石块，玻璃钢，陶瓷， 玻璃，铸铁。 • 冷作硬化：材料经过屈服而进入强化阶段后卸载，再加载时，弹 性极限明显增加，弹性范围明显扩大，承载能力增大的现象。 • 强度指标：对塑性材料，在拉断之前在残余变形0.2 %（产生 0.2%塑性应变）时对应的应力为这种材料的名义屈服应力，用 0.2表示 ，即此类材料的失效应力。 锰钢、镍钢、铜等 • 脆性材料拉伸的机械性能特点： 1.断裂残余相对变形率δ <5% 0.2 or s max b 2.弹性变形基本延伸到破坏 3.拉伸强度极限比塑性材料小的多 4.b是脆性材料唯一的强度指标
(a)
P
选P .7kN max 11
20
[例3]（设计截面）
冷镦机的曲柄滑块机构如图。 镦压工件时，连杆接近水平位置， 承受的镦压力P=1100kN,连杆截面 为矩形，高度h与宽度b之比为1.4， 构件的许用应力为[σ]=60MPa,试 确定截面尺寸。 A
B
解：连杆的横截面积为
A h b 1.4b 2 轴力为 N P 1100kN
三、低碳钢试件的应力--应变曲线(--图)
28
阶段分析
OA段：弹性阶段，外力去除 后能够完全恢复，其中含有 比例阶段。比例极限： p
弹性极限： e AC段：屈服阶段，应力没有 什么变化，应变明显增大。 原因：剪应力引起的晶格之 间的相对滑移，试件表面明 显变暗，与轴线成45°的倾 斜花纹，有塑性变形。 屈服极限：s CD段：强化阶段，屈服阶 段后，晶格之间的相对滑移 到一定程度，试件又具有一 定的抵抗变形的能力。必需 继续增加应力。 29 强度极限： b
由此可知：杆件可以看成是有许多纵向纤维构成的。 当其受到轴向挤压时，自杆件表面到内部所有的纵向纤维 的变形都相等，因此，各纤维所受到的内力也完全相等。 因此，应力在横截面上的分布是均匀的，而且应该与横截 面垂直。
=
N A
——横截面上的轴力（内力）
——横截面面积
16
§2-3 容许应力 构件安全工作的强度条件
※E为弹性模量，是衡量材料抵抗弹 性变形能力的一个指标。“EA”称 为杆的抗拉压刚度。
l E Sl S E E l l EA A
胡克定律：
＝Eε
23
四、横向变形
d d 1 d 0
泊松比（或横向变形系数）
d d 1 d 0 相对变形： ' d0 d0
RA 30 10kN
+
AB段： N –
20
3 30 30 20
40 kN R A
注：内力的大小与杆截面的 大小无关，与材料无关。
11
轴力图要求： 1.正负号 2.数值 3.阴影线与轴线垂直
[ 练习 ] 直杆受力如图所示，试画出杆的轴力图。
2P A B 5P C 2P D E 解： CE段： N P
1、试验条件：常温(20℃)；静载（极其缓慢地加载）；标准试件（圆形或矩形截面） 构件：组成机器结构或设备的基本元件。 试件：具有标准结构的检测机械性能的元件。
d0 l0
h0
d0
26
2、试验仪器：万能材料试验机
27
二、低碳钢试件的拉伸图(P-- L图)
PL L EA
L P L EA E
2、讨论： ① 0
max
0
直杆受轴向拉压时，横截面上的正应力最大， 剪应力为零。 拉伸性能较差的铸铁等脆性材料所制成的杆件， 在轴向拉伸时，沿横截面断裂，就是由最大正应力 所引起的。
32
② 45 角的截面上。
max
2
即直杆在受到轴向拉压时，在与横截面成45°角的斜面 上的剪应力最大，等于横截面上正应力的一半。 (a) 用抗剪能力比抗拉能力较差的材料制成的杆件（低碳 钢平版）受拉伸达屈服时，在试件表面出现的滑移线。
P BC段：N 2 3 P
1
3P + P
AB段：N
3
2 P
+
–
12
2P
三、横截面上的应力
问题提出： P P （一）应力的概念 P P
度量横截面 上分布内力 的集度
1.定义：作用在单位面积上的内力值。 2.应力的单位是： Pa KPa MPa GPa
3.应力：a：垂直截面的应力－－正应力σ 拉应力为正，压应力为负。
[百度文库 ]
n
30
§2-6 轴向拉伸时直杆斜截面上的应力
1、分析
A' A cos
轴力S=P
则斜截面上的应力
P P cos cos A' A
2
α A
A’
P
沿法线n的应力：
cos cos
剪应力：
2
(1 cos 2 )
α
2 sin 2
N [ ]得： A
1100 103 A 1.4b [ ] 60 N
2
解得：b 115m m 取： b 115m m 得： h 1.4b 161m m
21
代入强度条件
材料力学
§2 －4
一、拉压杆的绝对变形
轴向拉压时直杆的变形
l l 1 l 0 l0 l0
为钢杆，许用应力[]=160M Pa ，求结构的最大荷载P。
d=80
B
30
解：取节点A为受力体，受力图如图(a)
A
N AB 3P
木杆设计:
N AC 2P
P
C
N AB A 60.3kN 1
P .8kN 1 34
钢杆设计:
N AB
A
N AC
N AC A2 1.459104 160106 23.3kN P2 11.7kN
计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。
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例如： 截面法求N。
P A A P
截开：
P
P 简图
代替：
P
N
A
平衡：
X 0
PN 0
PN
2. 轴力——轴向拉压杆的内力，用N 表示。
8
3. 轴力的正负规定: N 与截面外法线同向, 为正轴力(拉力) N与截面外法线反向, 为负轴力(压力)
低碳钢轴向拉伸时在与杆轴线成 45°倾角的斜截面上。剪应力达到 最大值。故可推断，材料的屈服与最大剪应力有关。该条纹系因材 料内部晶格间沿最大剪应力方向发生相互错动所致，称为滑移线。
34
(b) 铸铁制试件在进行压缩实验时，试件沿与杆轴成45° 角的斜截面破坏。
轴力(图)的简便求法： 由内力方程得： 轴力N（设为正向）等于保留一侧所有 轴向外力的代数和。轴向外力使保留段 拉伸为正、压缩为负
10
[例] 杆受力如图所示。试画出杆的轴力图。 解： 30KN 30KN 20KN DE 段：N 20 kN 1
RA A
40 +
B
10
C D
E
BD段： N 2 30 20 10kN
工程力学
Engineering Mechanics
1
第二章 轴向拉伸和压缩
2
2-1
一、概念
概念与实例
轴向拉伸与压缩: 直杆在其两端沿轴线受到拉力而伸长或受到压力而缩短。 轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。 轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向 缩扩。 轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
N
N
N>0
N
N
N<0
三、 轴力图—— N (x) 的图象表示。
意 义
①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；
②确定出最大轴力的数值
及其所在横截面的位置， 即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。
N P + x
9
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 5kN 5kN + 8kN – 3kN 8kN 3kN