概率统计习题 3.4

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概率论与数理统计第三章课后习题答案

习题三1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222⨯⨯222⨯⨯2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 247C 3C 35= 247C 2C 35= 2247C C 6C 35=112247C C 12C 35=1247C 2C 35= 27C /C =212247C C 6C 35=2247C 3C 35=3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.,020,20,sin sin 其他ππy x y x求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ{0,}(3.2)463P X Y <≤<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636F F F F --+ππππππsin sinsin sin sin 0sin sin 0sin 4346361).4=--+=题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。

4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度f （x ，y ）=⎩⎨⎧>>+-.,0,0,0,)43(其他y x A y x e求：（1）常数A ；（2）随机变量（X ，Y ）的分布函数；（3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1）由-(34)0(,)d d e d d 112x y Af x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞-∞===⎰⎰⎰⎰得 A =12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y xF x y f u v u v -∞-∞=⎰⎰(34)340012ed d (1e )(1e )0,0,0,0,y yu v x y u v y x -+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他(3) {01,02}P X Y ≤<≤<12(34)3800{01,02}12e d d (1e )(1e )0.9499.x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈⎰⎰5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<<--.,0,42,20),6(其他y x y x k（1）确定常数k ；（2）求P {X ＜1，Y ＜3}；（3）求P {X <1.5}；（4）求P {X +Y ≤4}. 【解】（1）由性质有242(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞-∞-∞=--==⎰⎰⎰⎰故 18R =（2） 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=⎰⎰130213(6)d d 88k x y y x =--=⎰⎰ (3) 11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=⎰⎰⎰⎰如图1.542127d (6)d .832x x y y =--=⎰⎰(4) 24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=⎰⎰⎰⎰如图b240212d (6)d .83x x x y y -=--=⎰⎰题5图6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为f Y （y ）=⎩⎨⎧>-.,0,0,55其他y y e求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }.题6图【解】（1）因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为1,00.2,()0.20,.X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他而55e ,0,()0,.y Y y f y -⎧>=⎨⎩其他所以(,),()()X Y f x y X Y f x f y 独立 5515e25e ,00.20,0.20,0,yy x y --⎧⎧⨯<<>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩且其他. (2) 5()(,)d d 25e d d y y xDP Y X f x y x y x y -≤≤=⎰⎰⎰⎰如图0.20.2-550-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.xyx x y x-==-+≈⎰⎰⎰7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x ，y ）=⎩⎨⎧>>----.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e求（X ，Y ）的联合分布密度.【解】(42)28e ,0,0,(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨∂∂⎩其他. 8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤⎧⎨⎩其他求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰x204.8(2)d 2.4(2),01,=0,.0,y x y x x x ⎧⎧--≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他 ()(,)dY f y f x y x +∞-∞=⎰12y 4.8(2)d 2.4(34),01,=0,.0,y x x y y y y ⎧-⎧-+≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题8图题9图9.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<-.,0,0,其他e y x y求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰e d e ,0,=0,.0,y x x y x +∞--⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰0e d e ,0,=0,.0,yy x x y y --⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题10图10.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧≤≤.,0,1,22其他y x y cx（1）试确定常数c ；（2）求边缘概率密度. 【解】（1）(,)d d (,)d d Df x y x y f x y x y +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰⎰如图2112-14=d d 1.21xx cx y y c ==⎰⎰ 得214c =. (2) ()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰212422121(1),11,d 840,0,.x x x x x y y ⎧⎧--≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰5227d ,01,20,0, .x y x y y ⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩其他 11.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<.,0,10,,1其他x x y求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.题11图【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰1d 2,01,0,.x x y x x -⎧=<<⎪=⎨⎪⎩⎰其他111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞-∞⎧=+-<<⎪⎪⎪===-≤<⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其他所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y X X y x f x y f y x xf x ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他|1, 1,1(,)1(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y⎧<<⎪-⎪⎪==-<<⎨+⎪⎪⎪⎩其他12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大的号码为Y .（1）求X 与Y 的联合概率分布；（2） X 与Y 是否相互独立？【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===⨯=≠=== 故X 与Y 不独立（2） X 与Y 是否相互独立？(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===⨯0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为f Y （y ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-.,0,0,212/其他y y e （1）求X 和Y 的联合概率密度；（2）设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0，试求a 有实根的概率.【解】（1）因1,01,()0,X x f x <<⎧==⎨⎩其他; 21e ,1,()20,yY y f y -⎧>⎪==⎨⎪⎩其他.故/21e01,0,(,),()()20,.y X Y x y f x y X Y f x f y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩独立其他题14图(2) 方程220a Xa Y ++=有实根的条件是2(2)40X Y ∆=-≥故 X 2≥Y ，从而方程有实根的概率为：22{}(,)d d x yP X Y f x y x y ≥≥=⎰⎰21/2001d e d 21(1)(0)]0.1445.x y x y-==-Φ-Φ=⎰⎰15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X 和Y 相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>.,0,1000,10002其他x x求Z =X /Y 的概率密度.【解】如图,Z 的分布函数(){}{}Z XF z P Z z P z Y=≤=≤ (1) 当z ≤0时，()0Z F z =（2）当0<z <1时，（这时当x =1000时,y =1000z）(如图a) 3366102222101010()d d d d yz Z zx y zF z x y y x x y x y +∞≥==⎰⎰⎰⎰ 33610231010=d 2z zy yzy +∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰题15图(3) 当z ≥1时，（这时当y =103时，x =103z ）（如图b ）3366222210101010()d d d d zy Z xy zF z x y y x x yx y +∞≥==⎰⎰⎰⎰ 336231010101=d 12y y zy z +∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰即 11,1,2(),01,20,.Z z z zf z z ⎧-≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他故 21,1,21(),01,20,.Z z z f z z ⎧≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他 16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，202）分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为X i (i =1,2,3,4)，则X i ~N （160，202），从而123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥之间独立34{180}{180}P X P X ≥≥ 1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =-<-<-<-< 44144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.P X ⎡-⎤⎛⎫=-<=-Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-Φ== 17.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为P {X =k }=p （k ），k =0，1，2，…， P {Y =r }=q （r ），r =0，1，2，….证明随机变量Z =X +Y 的分布律为P {Z =i }=∑=-ik k i q k p 0)()(，i =0，1，2，….【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数，所以 {}{}Z i X Y i ==+={0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-==于是0{}{,},i k P Z i P X k Y i k X Y =====-∑相互独立0{}{}ik P X k P Y i k ===-∑()()ik p k q i k ==-∑18.设X ，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n ，p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参数为2n ，p 的二项分布.【证明】方法一：X +Y 可能取值为0，1，2，…，2n .{}{,}ki P X Y k P X i Y k i =+====-∑00202(){}2ki ki n i k i n k ii k k n k i k n kP X i P Y k i n n p q p q i k i n n p qi k i n p q k =---+=-=-===-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑方法二：设μ1,μ2,…,μn ;μ1′,μ2′,…，μn ′均服从两点分布（参数为p ），则X =μ1+μ2+…+μn ，Y =μ1′+μ2′+…+μn ′, X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′,所以，X +Y 服从参数为（2n ,p )的二项分布.(1) 求P {X =2｜Y =2}，P {Y =3｜X =0}；（2）求V =max （X ，Y ）的分布律；（3）求U =min （X ，Y ）的分布律；（4）求W =X +Y 的分布律. 【解】（1）{2,2}{2|2}{2}P X Y P X Y P Y ======5{2,2}0.051,0.252{,2}i P X Y P X i Y ========∑ {3,0}{3|0}{0}P Y X P Y X P X ======3{0,3}0.011;0.033{0,}j P X Y P X Y j ========∑ （2）{}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i =====<+≤=10{,}{,},i ik k P X i Y k P X k Y i -=====+==∑∑ 0,1,2,3,4,i =所以V 的分布律为(3) {}{min(,)}P U i P X Y i ===351{,}{,}{,}{,}k ik i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i ==+==≥+>====+==∑∑0,1,2,3i = 于是（1）求P {Y ＞0｜Y ＞X }；（2）设M =max{X ，Y }，求P {M ＞0}.题20图【解】因（X ，Y ）的联合概率密度为22221,,(,)π0,.x y R f x y R⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他（1）{0,}{0|}{}P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>=>0(,)d (,)d y y xy xf x y f x y σσ>>>=⎰⎰⎰⎰π2π/405π42π/401d d π1d d πRR r rR r rR θθ=⎰⎰⎰⎰3/83;1/24== (2) {0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=-≤00131{0,0}1(,)d 1.44x y P X Y f x y σ≤≤=-≤≤=-=-=⎰⎰21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0，x =1,x=e 2所围成，二维随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，求（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少？题21图【解】区域D 的面积为 22e e 0111d ln 2.S x x x===⎰（X ,Y ）的联合密度函数为211,1e ,0,(,)20,.x y f x y x ⎧≤≤<≤⎪=⎨⎪⎩其他（X ，Y ）关于X 的边缘密度函数为1/2011d ,1e ,()220,.x X y x f x x⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其他所以1(2).4X f =22.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X ，Y ）联合分布律及关于X 和【解】因21{}{,}j j iji P Y y P P X x Y y ======∑,故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+== 从而11111{,}.6824P X x Y y ===-=而X 与Y 独立，故{}{}{,}i j i i P X x P Y y P X x Y y =====,从而11111{}{,}.624P X x P X x Y y =⨯==== 即：1111{}/.2464P X x === 又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+==即1,3111{},4248P X x Y y =++== 从而131{,}.12P X x Y y === 同理21{},2P Y y == 223{,}8P X x Y y ===又31{}1jj P Y y ===∑,故3111{}1623P Y y ==--=. 同理23{}.4P X x == 从而23313111{,}{}{,}.3124P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=23.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p （0<p <1），且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率；（2）二维随机变量（X ，Y ）的概率分布.【解】(1) {|}C (1),0,0,1,2,m m n mn P Y m X n p p m n n -===-≤≤=.(2) {,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ======e C (1),,0,1,2,.!mm n mnnp p n m n n n λλ--=-≤≤=24.设随机变量X 和Y 独立，其中X 的概率分布为X ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021，而Y 的概率密度为f (y )，求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ).【解】设F （y ）是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U =X +Y 的分布函数为(){}0.3{|1}0.7{|2}G u P X Y u P X Y u X P X Y u X =+≤=+≤=++≤=0.3{1|1}0.7{2|2}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=由于X 和Y 独立，可见()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-0.3(1)0.7(2).F u F u =-+-由此，得U 的概率密度为()()0.3(1)0.7(2)g u G u F u F u '''==-+-0.3(1)0.7(2).f u f u =-+-25. 25. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P {max{X ,Y }≤1}.解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有1, 03,()30, 0,3;x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 1, 03,()30, 0, 3.y f y y y ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 因为X ，Y 相互独立，所以1, 03,03,(,)90, 0,0,3, 3.x y f x y x y x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪<<>>⎩ 推得 1{max{,}1}9P X Y ≤=. 26. 设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为其中a ,b ,c 为常数，且X 的数学期望E (X )= -0.2,P {Y ≤0|X ≤0}=0.5，记Z =X +Y .求：（1） a ,b ,c 的值；（2） Z 的概率分布；（3） P {X =Z }.解 (1) 由概率分布的性质知，a+b+c +0.6=1 即 a+b+c = 0.4. 由()0.2E X =-，可得0.1a c -+=-.再由 {0,0}0.1{00}0.5{0}0.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++,得 0.3a b +=.解以上关于a ，b ，c 的三个方程得0.2,0.1,0.1a b c ===.(2) Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2，{2}{1,1}0.2P Z P X Y =-==-=-=，{1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=，{0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=，{1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===，{2}{1,1}0.1P Z P X Y =====，即Z 的概率分布为(3) {}{0}0.10.20.10.10.20.4P X Z P Y b ====++=++=.习题四1.设随机变量X 的分布律为求E （X ），E （X ），E （2X +3）. 【解】(1) 11111()(1)012;82842E X =-⨯+⨯+⨯+⨯= (2) 2222211115()(1)012;82844E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=(3) 1(23)2()32342E X E X +=+=⨯+=2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X ，则X 的分布律为故 ()0.58300.34010.07020.0073E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.501,= 52()[()]iii D X x E XP ==-∑222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.=-⨯+-⨯++-⨯=3.设随机变量且已知E （X ）=0.1,E (X )=0.9,求P 1，P 2，P 3. 【解】因1231P P P ++=……①,又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②,222212313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=……由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P ===4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则(){|}{}Nk P A P A X k P X k ===∑全概率公式1{}{}1().NNk k k P X k kP X k N Nn E X N N========∑∑5.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x求E （X ），D （X ）.【解】1221()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞-∞==+-⎰⎰⎰21332011 1.33x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰ 故 221()()[()].6D XE X E X =-=6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望.（1） U =2X +3Y +1；（2） V =YZ -4X .【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=⨯+⨯+=(2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X -因独立1184568.=⨯-⨯= 7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ），D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=(2) 22(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=⨯+⨯= 8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<<.,0,0,10,其他x y x k试确定常数k ，并求E （XY ）. 【解】因11(,)d d d d 1,2xf x y x y x k y k +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰故k =2 1()(,)d d d 2d 0.25xE XY xyf x y x y x x y y +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰.9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为f X （x ）=⎩⎨⎧≤≤;,0,10,2其他x x f Y （y ）=(5)e ,5,0,.y y --⎧>⎨⎩其他求E （XY ）.【解】方法一：先求X 与Y 的均值 12()2d ,3E X x x x==⎰5(5)5()ed5e d e d 51 6.z y y zzE Y y y z zz +∞+∞+∞=-----=+=+=⎰⎰⎰令由X 与Y 的独立性，得2()()()6 4.3E XY E X E Y ==⨯=方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立，故联合密度为(5)2e ,01,5,(,)()()0,,y X Y x x y f x y f x f y --⎧≤≤>==⎨⎩其他于是11(5)2(5)552()2e d d 2d e d 6 4.3y y E XY xy x x y x xy y +∞+∞----===⨯=⎰⎰⎰⎰10.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为f X （x ）=⎩⎨⎧≤>-;0,0,0,22x x x e f Y （y ）=⎩⎨⎧≤>-.0,0,0,44y y y e 求（1） E （X +Y ）;（2） E （2X -3Y 2）. 【解】22-200()()d 2e d [e ]e d x x xX X xf x x x x x x +∞+∞+∞--+∞-∞==-⎰⎰⎰201e d .2x x +∞-==⎰401()()d 4e d y .4yY E Y y f y yy +∞+∞--∞==⎰⎰22242021()()d 4e d .48y Y E Y y f y y y y +∞+∞--∞====⎰⎰从而(1)113()()().244E X Y E X E Y +=+=+=(2)22115(23)2()3()23288E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=11.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-.0,0,0,22x x cx xke求（1）系数c ;（2） E （X ）;（3） D （X ）. 【解】(1) 由222()d e d 12k x cf x x cx x k+∞+∞--∞===⎰⎰得22c k =. (2) 2220()()d()2e dk x E X xf x x x k x x +∞+∞--∞==⎰⎰222202e d 2k x kx x k +∞-==⎰(3) 222222201()()d()2e .kxE X x f x x x k x k+∞+∞--∞==⎰⎰故2222214π()()[()].4D X E X E X k k -=-=-=⎝⎭12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X ，求E （X ）和D （X ）. 【解】设随机变量X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X 的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知9{0}0.750,12P X === 39{1}0.204,1211P X ==⨯= 329{2}0.041,121110P X ==⨯⨯= 3219{3}0.005.1211109P X ==⨯⨯⨯=由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.E X =⨯+⨯+⨯+⨯=22222222()075010.20420.04130.0050.413()()[()]0.413(0.301)0.322.E X D X E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯==-=-=13.一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,414x x xe为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值：100元和 -200元/41/411{100}{1}e d e4x P Y P X x +∞--==≥==⎰1/4{200}{1}1e.P Y P X -=-=<=- 故1/41/41/4()100e (200)(1e )300e 20033.64E Y ---=⨯+-⨯-=-= (元).14.设X 1，X 2，…，X n 是相互独立的随机变量，且有E （X i ）=μ，D （X i ）=σ2，i =1，2，…，n ，记∑==n i i S X n X 12,1，S 2=∑=--n i i X X n 12)(11. （1）验证)(E =μ，)(D =n2σ；（2）验证S 2=)(11122∑=--ni i X n X n ；（3）验证E （S 2）=σ2.【证】(1) 1111111()()().n nn i i i i i i E X E X E X E X nu u n n n n ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑22111111()()n nni i i ii i i D X D X D X X DX n nn ===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑之间相互独立2221.n n nσσ==(2) 因222221111()(2)2nnnniii ii i i i i XX X X X X X nX X X ====-=+-=+-∑∑∑∑2222112nnii i i X nX X nX X nX ===+-=-∑∑故22211()1ni i S X nX n ==--∑.(3) 因2(),()i i E X u D X σ==,故2222()()().i i i E X D X EX u σ=+=+ 同理因2(),()E X u D X nσ==,故222()E X u nσ=+.从而222221111()()[()()]11n ni i i i E s E X nX E X nE X n n ==⎡⎤=-=-⎢⎥--⎣⎦∑∑221222221[()()]11().1ni i E X nE X n n u n u n n σσσ==--⎡⎤⎛⎫=+-+=⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦∑15.对随机变量X 和Y ，已知D （X ）=2，D （Y ）=3，Cov(X ,Y )= -1,计算：Cov （3X -2Y +1，X +4Y -3）【解】Cov(321,43)3()10Cov(,)8()X Y X Y D X X Y D Y -++-=+- 3210(1)8328=⨯+⨯--⨯=- (因常数与任一随机变量独立，故Cov(X ,3)=Cov(Y ,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=221,1,π0,.x y ⎧+≤⎪⎨⎪⎩其他试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的. 【解】设22{(,)|1}D x y x y =+≤.2211()(,)d d d d πx y E X xf x y x y x x y +∞+∞-∞-∞+≤==⎰⎰⎰⎰ 2π1001=cos d d 0.πr r r θθ=⎰⎰ 同理E (Y )=0. 而 C o v (,)[()][()](,X Y x E x y E Y f x y x y+∞+∞-∞-∞=--⎰⎰222π1200111d d sin cos d d 0ππx y xy x y r r r θθθ+≤===⎰⎰⎰⎰, 由此得0XY ρ=,故X 与Y 不相关. 下面讨论独立性，当|x |≤1时，1()X f x y 当|y |≤1时，1()Y f y x 显然()()(,).X Y f x f y f x y ≠故X 和Y 不是相互独立的.17.验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，X 与Y 显然不独立，由联合分布律易求得X ，Y 及XY 的分布律，其分布律如下表由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0, 即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的.又331{1}{1}{1,1}888P X P Y P X Y =-=-=⨯≠==-=-从而X与Y不是相互独立的.18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），ρXY.【解】如图，S D=12，故（X，Y）的概率密度为题18图2,(,),(,)0,x y Df x y∈⎧=⎨⎩其他.()(,)d dDE X xf x y x y=⎰⎰11001d2d3xx x y-==⎰⎰22()(,)d dDE X x f x y x y=⎰⎰112001d2d6xx x y-==⎰⎰从而222111 ()()[()].6318 D X E X E X⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭同理11 (),().318 E Y D Y==而 1101()(,)d d 2d d d 2d .12xDDE XY xyf x y x y xy x y x xy y -====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以1111Cov(,)()()()123336X Y E XY E X E Y =-=-⨯=-. 从而112)()XY D Y ρ-===-19.设（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=1ππsin(),0,0,2220.x y x y ,⎧+≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩其他求协方差Cov （X ，Y ）和相关系数ρXY . 【解】π/2π/21π()(,)d d d sin()d .24E X xf x y x y x xx y y +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰ππ2222201ππ()d sin()d 2.282E X x x x y y =+=+-⎰⎰从而222ππ()()[()] 2.162D XE X E X =-=+-同理 2πππ(),() 2.4162E Y D Y ==+- 又 π/2π/2π()d sin()d d 1,2E XY x xy x y x y =+=-⎰⎰故 2ππππ4C o v (,)()()()1.2444X Y E X Y E X E Y -⎛⎫⎛⎫=-=--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222π4(π4)π8π164.πππ8π32π8π32)()2162XY D Y ρ-⎛⎫- ⎪--+⎝⎭===-=-+-+-+- 20.已知二维随机变量（X ，Y ）的协方差矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4111，试求Z 1=X -2Y 和Z 2=2X -Y 的相关系数.【解】由已知知：D (X )=1,D (Y )=4,Cov(X ,Y )=1.从而12()(2)()4()4Cov(,)1444113,()(2)4()()4Cov(,)414414,D Z D X Y D X D Y X Y D Z D X Y D X D Y X Y =-=+-=+⨯-⨯==-=+-=⨯+-⨯=12Cov(,)Cov(2,2)Z Z X Y X Y =--2Cov(,)4Cov(,)Cov(,)2Cov(,)2()5Cov(,)2()215124 5.X X Y X X Y Y Y D X X Y D Y =--+=-+=⨯-⨯+⨯=故122)()Z Z D Z ρ===21.对于两个随机变量V ，W ，若E （V 2），E （W 2）存在，证明：［E （VW ）］2≤E （V 2）E （W 2）.这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy -Schwarz ）不等式. 【证】令2(){[]},.g t E V tW t R =+∈显然22220()[()][2]g t E V tW E V tVW t W ≤=+=++222[]2[][],.E V t E VW t E W t R =++∀∈可见此关于t 的二次式非负，故其判别式Δ≤0，即2220[2()]4()()E VW E W E V ≥∆=- 2224{[()]()()}.E VW E V E W =-故222[()]()()}.E VW E V E W ≤22.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F （y ）.【解】设Y 表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间X ~E (λ),E (X )=1λ=5.依题意Y =min(X ,2).对于y <0,f (y )=P {Y ≤y }=0. 对于y ≥2,F (y )=P (X ≤y )=1.对于0≤y <2,当x ≥0时，在(0,x )内无故障的概率分布为 P {X ≤x }=1 -e -λx ,所以F (y )=P {Y ≤y }=P {min(X ,2)≤y }=P {X ≤y }=1 -e -y/5.。

最新(人教b版)数学必修三练习：3.4概率的应用(含答案)

最新（人教b版）数学必修三练习：3.4概率的应用（含答案）精品学习资料整理精品学习资料整理精品学习资料整理第三章3.4一、多项选择题1．从一篮鸡蛋中取1个，如果其重量小于30克的概率是0.30，重量在[30,40]克的概率是0.50，则重量不小于30克的概率是()a、 0.30摄氏度。

0.80[答案]d[解析]由题意得1个鸡蛋其重量不小于30克的概率是1－0.30＝0.70.2.在调查服用兴奋剂的运动员时，采用华纳随机法对300名运动员进行了调查，得到了80个“是”的答案。

因此，我们估计服用兴奋剂的人a．3.33%c．5%[答案]a[分析]使用华纳随机抽样方法对300名运动员进行调查，我们预计150人回答第一个问题，其中大约一半（75人）回答“是”。

其他五个人回答“是”服用过兴奋剂，由此估计这群人中服用兴奋剂的大约占≈3.33%，故选a.一百五十3．袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事件中8概率是（）9a、所有的颜色都是一样的[解析]每次任取一个，有放回的抽取3次，所得基本事件总数为27个，颜色全相同248有3和24种不同的颜色，所以不同颜色的概率是=，所以选择B2794.4学生与班主任站成一排拍照。

校长站在中间的概率是（1A）。

51c．3[答]a1【分析】五个人一排有五个位置，班主任可以站在任何位置，xmlopenp=51b。

41d．二b．颜色不全相同d．颜色无红色b．53%d．26%b．0.50d．0.705.乒乓球a队和B队分别有三名男子和两名女子，其中a队和B队的一名男子和一名女子是种子选手。

现在两队进行混合双打比赛，两名种子选手都上场的概率是（）1a．65摄氏度。

12[答案]a[分析]每个队选出一男一女参赛。

有3种不同的比赛结果（即基本项目总数）×2×2×3×2＝6136种，而两个种子选手都上场的情况有2×3＝6种．∴概率为p＝＝.三百六十六6．x是[－4,4]上的一个随机数，则使x满足x2＋x－2<0的概率为()1a．25摄氏度。

陈国华等主编概率论与数理统计第三章习题解答

⎧1 PX ( x) = ⎨ ⎩0
0 < x <1 其他
⎧e− y PY ( x) = ⎨ ⎩0
y>0 其他
由 X,Y 的独立性知 X 与 Y 的联合密度函数为
⎧e − y P ( x, y ) = PX ( x) PY ( y ) = ⎨ ⎩0
（2） P ( y ≤ x ) =
0 < x < 1, y > 0 其他
所以 U 的分布列为 U P 同理 V 的分布列为 V 0 1 2 1 0.12 2 0.37 3 0.51
P
0.40
0.44
0.16
2. 设随时机变量 X 和 Y 的分布列分别为 X -1 0 1 P Y 1/4 0 1/2 1 1/4
1/2 1/2 P 已知 P(XY=0)=1,试求 Z=max(X,Y)的分布列. 答案：解：记（x,y）的联合也分布列及其边际分布为 Y X -1 0 1 P(Y=j) 0 1 P(X=i)
1 ⎧1 2 ⎪ 1< x < e ,0 < y < P( X , Y ) = ⎨ 2 x ⎪ 其他 ⎩0
由此得，当 1 < x < e 时
2
PX ( x) = ∫
+∞
−∞
1 1 1 f ( x, y )dy = ∫ x dy = 0 2 2x
所以 X 的边际密度函数为
⎧1 1 < x < e2 ⎪ PX ( x) = ⎨ 2 x ⎪ 其他 ⎩0
（2）采用不放回抽样时（x,y）的联合分布为 Y X 0 1 联合分布律. 答案：解：以 x 表示取到的红球只数，y 表示取到的白球只数，则任取四只球的可能情况如下红白黑 4 0 0 3 1 0 3 0 1 2 1 1 2 0 2 1 1 2 1 0 3 0 1 3 0 1\5 1\5 3\5 0 1

概率统计ch3_4_5习题详细解答

第三、四(六、七节)、五章习题解答习题3.11．一个袋子中有3只黑球、5只白球一共8只球．现从中不放回地抽出三只球，求这三球中黑球数的数学期望．解：用X 表示所抽三球中的黑球数．则 ) 3 2, 1, ,0k ( ,}{38353=⋅==-C C C k X P kk ． 56635613561525630156100C k )(33835k 3=⨯+⨯+⨯+⨯=⋅⋅=∑=-k k C C X E ． 2．从学校乘汽车到某个公园的途中有3个交通岗，假设在每个交通岗遇到红灯的概率都是0.4，并且相互独立．用X 表示途中遇到的红灯数，求X 的分布律和E(X)．解：)4.0 ,3(B X ～， 2.14.036.04.0k )(333=⨯=⨯⨯⋅=-=∑k k k k CX E ．3．根据气象资料，设某地区的年降雨量X （单位mm ）的概率密度函数为 ⎩⎨⎧<≥=- 0 x0, 0x ,)( 2x xe x f θθ，其中01.0=θ．求该地区的年平均降雨量E(X)．解：20020)()(020==⋅⋅+⋅==⎰⎰⎰+∞-∞-+∞∞-θθθdx xex dx x dx x xf X E x．4．设随机变量X 具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1x 0, 1x ,11)(2x x f π，求E(X)．解：根据奇函数积分性质可得 01)()(112=-==⎰⎰-+∞∞-dx xxdx x xf X E π．5．设随机变量X 具有分布律：求E(X)，E(2X )，E(2X+3)．解：10951252231011510101)2(x )(1k =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-==∑+∞=k k p X E ； 51151252231011510101)2(x )(2222212k2=⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⨯+⨯-==∑∞+=k k p X E ；5245175261015513101)1()3(2x )32(1k =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=+=+∑+∞=k k p X E ． 6．设随机变量X 具有概率密度函数 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1 x0, 1x ,1)(2x x f ．证明X 的数学期望不存在．证：由于+∞===∞++∞+∞∞-⎰⎰1 12ln )(x dx x x dx x xf ，发散，故数学期望不存在． 7．设随机变量X 的概率密度函数为 ⎩⎨⎧≤<=其他0, 1x 0 , )(a x k x f ，且75.0)(=X E ，求正常数k 与a 的值．解：由11)(10=+==⎰⎰+∞∞-a k dx kx dx x f a， 75.02)()(101=+===⎰⎰++∞∞-a kdx kx dx x xf X E a ，得 2a ,3==k ．8．设) ,(b a U X ～，求)54(+X E ，)(2X E ．解：由 2)(ba X E +=得 5)(25)(4)54(++=+=+b a X E X E ； 3)()(22222b ab a dx a b x dx x f x X E ba ++=-==⎰⎰∞+∞-．9．设随机变量X 具有概率密度函数⎩⎨⎧<≥=-0x 0, 0 x ,2)(2x e x f ，求)32(-X E ，)(3X e E -．解：232123)(2)32(-=-⨯=-=-X E X E ； 522)()(02333=⋅==⎰⎰+∞--+∞∞---dx e e dx x f e eE x x xX ． 10．一种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点．若规定疵点数不超过1为一等品，价格10元；疵点数大于1但不多于4为二等品，价格8元；疵点数4个以上者为废品，价格0元．求：(1) 产品的废品率； (2) 产品的平均价格．解：用X 表示每件产品上的疵点数，则 )(λP X ～，8.0)(==X E λ．(1) 废品率 00141.02224.21!8.01} 40 {1}4{8.048.0=-=⋅-=≤≤-=>=-=-∑e k e X P X P p k k ．(2) 用Y 表示一件产品的价格（元），Y 取值0 ,8 ,10．8088.0!8.0}10{}10{10 8.0=⋅=≤≤==∑=-k k k e X P Y P ； 1898.0!8.0}42{}8{428.0=⋅=≤≤==∑=-k k k e X P Y P ；00141.0}5{}0{==≥==p X P Y P ． 6064.900141.001898.088088.010)(=⨯+⨯+⨯=Y E （元）．习题 3.21．设连续随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-+-<=1 x 1, 1x 1bx,a 1 x,0 )(x F ．试求：(1)常数a 和b ； (2) E(X)，)(X Var ．解：(1) )(x F 处处连续，0)01()1(=--=-=-F b a F ，1)01()1(=+=+=F b a F ，得 5.0==b a ．⎩⎨⎧≤≤-='=他其0, 1x 1 ,5.0)()(x F x f ．(2) 05.0)(11==⎰-xdx X E ，3105.0)]([)()(112222=-=-=⎰-dx x X E X E X Var ． 2．设随机变量X 的分布律为且 0.79Var(X) ,8.0)(2==X E ．试求常数c b a , ,．解：1=++c b a ，8.0)(2=+=c a X E ，79.0)(8.0)]([)()(222=--=-=a c X E X E X Var ．得 0.45c 0.2,b ,35.0===a ． 3. 设随机变量X 服从几何分布，分布律为 {} 3, 2, 1,k ,)1(1=-==-k p p k X P ，其中常数)1 ,0(∈p ．求)(X Var ．解：记 p q -=1，px x p x p pq p X E qx qx k k k k k k 11 k x )( 1 111k ='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛=====∞+=∞+=-∞+=∑∑∑； 2 1 2112221k 1k )]([)()(px p p pqX E X E X Var qx k k k k -'⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=-==∞+=∞+=-∑∑21 1p x x p qx k k-'⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡'⎪⎭⎫ ⎝⎛==∞+=∑ 22 111ppp x x x p qx -=-'⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡'⎪⎭⎫ ⎝⎛-==． 4．设随机变量X 具有概率密度函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤=其他0, 2x 1 1, 1x 0 ,23)(2x x x f ．求)12(2+X E ，⎪⎭⎫ ⎝⎛X E 1，⎪⎭⎫⎝⎛X Var 1．解：记 301341314215531)1(x 2321)(2)12(21 210 422=+-+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=+⎰⎰dx x x dx X E X E ； 2ln 472ln 143)1(1x 231121 10 2-=-+=-+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dx x x dx x X E ；2221 210 22222ln 47212ln 232ln 47)1(1x 231111⎪⎭⎫⎝⎛---+=⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dx x x dx x X E X E X Var2)2(ln 16332ln 29--=．习题 3.31．设随机变量)1 ,0(N X ～，利用标准正态分布表（附表1）对下列各种情况求出常数c ，并且用p 分位数p u 表示c ．(1) 95.0}{=<c X P ； (2) 5.0}{=>c X P ； (3) {}8.0 =≤c X P ．解：(1)645.195.0==u c ； (2) 05.0==u c ；(3) {}8.01}{2}]{1[}{}{ =-≤=≤--≤=≤≤-=≤c X P c X P c X P c X c P c X P ，9.0}{=≤c X P ，282.19.0==u c ．2．设随机变量)(λExp X ～，常数0>λ．若X 的0.70分位数12070.0=x ，求参数λ．解：) 0 x ( ,1)( ≥-=-xex F λ，0.71)120( 120=-=-λe F ，01.01203.0ln =-=λ．复习题 31．假设国际市场每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X （单位吨），)5000 ,1000(U X ～．设该商品每售出一吨可获利3万美元；但若销售不出积压于库，则每吨每年需支付保管费1万美元．试问如何计划年出口量，能使国家期望获利最多？解：设国家计划年出口量为s 吨， ]5000 ,1000[∈s ．则利润函数为 ⎩⎨⎧≥<-=--=s X ,3sX ,4)(3)(s s X X s X X L s ，期望获利 ]102 160002[400014000 3 4000)4()]([625000 1000⨯-+-=+-=⎰⎰s s dx s dx s x X L E s ss ．令0)160004(40001)]([=+-=s X L E ds d s ，当 4000=s 吨时，)]([X L E s 取最大值，即期望获利最多． 2．设随机变量X 具有概率密度函数⎩⎨⎧≤≤=他其0, 1x 0 ,)(2ax x f ，试求：(1)常数a ；(2) E(X)；(3))}({X E X P >．解：(1) 由13ax )(12===⎰⎰+∞∞-adx dx x f ，得 3=a ． (2) 433x )(21=⋅=⎰dx x X E ．(3) 64374313 43)}({21 432=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=>⎰dx x X P X E X P ．3．设X 是随机变量，c 是常数，证明：2][)(c X E X Var -≤．证：22]})([)]({[][)(c X E X E X E c X E X Var -+-=-≤)(])([)(}])([])()][([2)]({[222X Var c X E X Var c X E c X E X E X X E X E ≥-+=-+--+-=．4．设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0 0,0 x ,)()2(222x ex x f x σσ，其中常数0>σ．瑞利分布常用于描述随机噪音．求E(X)，)(X Var ．解：设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22Y 22exp 21)(f ), ,0(σσπσy y N Y 则～，222[E(Y)]Var(Y))E(Y ,0)(σ=+==Y E ． 2)( 212exp 2212exp 1)()(2222222022πσσπσσσππσσσ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞+∞-Y E dx x x dx x x dx x xf X E2πσ=；22exp d )(22exp 1)]([)()(2220 22223222πσσπσσσ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰⎰∞+∞+x x dx x x X E X E X Var22220 2022224222f(x)dx 2 2exp σπσπσσπσσ-=-=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰∞++∞x x ． 5．由统计物理学知，一种气体分子运动的速率V 服从Maxwell 分布，其概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-00, 0 v ,)(22v e Av v f b v ，其中常数kT mb 2=，k 为Boltzmann 常数，T 为绝对温度，m 为气体分子质量．试确定常数A ，并求动能221mV E =的平均值．解：设b x e b x b N X 21)(f ,2 ,0X -=⎪⎭⎫⎝⎛π则～， 0)(=X E ， 2[E(X)]Var(X) )E(X 2222b dx e b x b x =+==-∞+∞-⎰π．由122)(2v 2Av )(220222=⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰⎰∞+∞--∞+-∞+∞-b b A X E b A dv e b b A dv edv v f b v bv ππππ，得 bb A π4=．221mV E = 的平均值 )( 4 2)(mv 21)(0 30 4222⎰⎰⎰+∞-+∞-+∞∞--===b v b v e d v Abm dv e v Am dv v f E E )(8343340 20 20 2032222⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+-+∞--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=bv b v b v b v e vd m Ab dv e v Abm dv e v e v AbmkT m mb Amb dx x f Amb dv e ve m Ab X b v b v 8343163)( 16383225250 0222====⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰⎰∞+∞-∞+-∞+-ππ( kTmb 2=代入)． 6．设随机变量)(λP X ～，常数0>λ．求X 的众数．解：由于 ) N k ( ,!}{∈==-k e k X P k λλ，⎩⎨⎧><≤≤≥==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-==---λλλλλλλk 1,k 0 ,1)!1(!}1{}{1k k e k e k X P k X P k k ，所以 ][*λ=x ．习题 4.61．设随机变量)Y ,(X 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤+=他其0, 1x y 0),(2),(y x y x f ．求E(X)，E(Y)，)(XY E ，)(22Y X E -．解：433)(2),()(13010==+==⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy y x x dx dy y x xf dx X E x ； 12535)(2),()(10 30 10 ==+==⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy y x y dx dy y x yf dx Y E x；1581532)( 2),( )(10 30 10 ==+==⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy y x xy dx dy y x f xy dx XY E x ；3011611)( )y (x 2),( )y (x )(10 40 2210 2222==+-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy y x dx dy y x f dx Y X E x ．2．设随机变量0.2) B(10,Y ),3(～～P X ． (1) 求)2(Y X E +，)2(22Y X E -； (2) 又设X 与Y 相互独立，求E(XY)．解：(1) 72.010232)(2)()2(=⨯⨯+=+=+=+np Y E X E Y X E λ；1293)]([)()(222=+=+=+=λλX E X Var X E ；6.5)2.010(8.02.010)()]([)()(2222=⨯+⨯⨯=+=+=np npq Y E Y Var Y E ； 4.186.5122)()(2)2(2222=-⨯=-=-Y E X E Y X E ；(2) 62.0103)()()(=⨯⨯=⋅==np Y E X E XY E λ．3．设随机变量)9 ,1(N X ～，随机变量Y 的概率密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=10, 1y ,3)(4y y y f Y ．(1) 求)2(Y X E -，)3(2X Y E -； (2) 又设X 与Y 相互独立，求E(XY)．解：(1) 233)(14==⎰+∞dy yy Y E ， 21232232)()(2)2(=-=-=-=-μY E X E Y X E ； 257)19(323})]([)({3)()(222-=+⨯-=+-=-X E X Var Y E X Y E ； (2) 2323123)()()(=⨯=⋅==μY E X E XY E ． 4．设随机变量)Y ,(X 的分布律为求：(1) E(X)，E(Y)； (2) E(XY)； (3) 设 2)(Y X Z +=，求 E(Z)； (4) )(X Var ，)(Y Var ．解：(1) 1.03.027.0)1()(11-=⨯+⨯-==∑∑+∞=+∞=i j ji ipx X E ；9.04.021.015.00)(11=⨯+⨯+⨯==∑∑+∞=+∞=i j j i j p y Y E ；(2) 3.01.04022.003.0)2(1.0)1(3.00)(11-=⨯+⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯==∑∑+∞=+∞=i j j i jip yx XY E ；(3) 31.04032.023.011.003.0)1()()(22222112=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=+=∑∑+∞=+∞=i j j i jip y x Z E ；(4) 89.1)1.0(9.1)]([)()(222=--=-=X E X E X Var ； 89.09.07.1)]([)()(222=-=-=Y E Y E Y Var ．5．掷n 颗骰子出现点数之和记为X ，求平均点数E(X)和)(X Var ．解：用i X 表示第i 颗骰子出现的点数，)n , 2, 1,i ( =． n 21X , , , X X 相互独立，具有相同分布．∑==ni i X X 1． ) 6 , 2, 1,k ( ,61}{ ===k X P i ．276)621()(61=+++==∑= k k i kp X E ； 123527)621(61)]([)()(222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=-= i i i X E X E X Var ．21276)()(61=⨯==∑=i i X E X E ； 23512356)()(61=⨯==∑=i i X Var X Var ．习题 4.71．设随机变量)Y ,(X 的分布律为求E(X)，3)]([X E X E -，)(2Y E ，) ,(Y X Cov ，XY ρ．解：18531061612121)(=⨯+⨯+⨯=X E ； 1212210)(=⨯+⨯=Y E ；33333181131185061185612118521)]([-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-X E X E ； 2212210)(222=⨯+⨯=Y E ；9118561118531003161100610310)()()()Y ,(-=-=⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-=Y E X E XY E X Cov ；54731061612121)(2222=⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=X E ； 32417185547)]([)()(222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X Var ； 112)]([)()(222=-=-=Y E Y E Y Var ； 1717213241791(Y)(X)) ,(-=⋅-==σσρY X Cov XY ．2．设随机变量)Y ,(X 的概率密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他0, 1x ,21),(y y x f ．试验证X 与Y 是不相关的，但并非相互独立．证：⎪⎩⎪⎨⎧>≤-===⎰⎰-+-∞+∞-1 0, 1x , 121),()( 1 1x x dy dy y x f x f x x X ； ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-===⎰⎰-+-∞+∞-1y 0, 1y , 121),()( 1 1y dx dx y x f y f y y Y ；0)1()(11=-=⎰-dx x x X E ； 0)1()(11=-=⎰-dy y y Y E ；00022),()(10 110111=+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰---+--+∞∞-+∞∞-x x xxdy xy dx dy xydx dy y x xyf dx XY E ；0(Y)(X))()()((Y)(X)) ,(=-==σσσσρY E X E XY E Y X Cov XY ， X 与Y 不相关．但当121,121<<<<y x 时，0y)f(x, ,0)1)(1()()(=>--=y x y f x f Y X ，所以 y)f(x, e. a. )()(y f x f Y X 不成立，X 与Y 不独立．3．设随机变量)Y ,(X 具有概率密度函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他0, 2x ,41),(y y x f ．求E(X)，4)]([X E X E -，)(3Y E ，) ,(Y X Cov ．解：⎪⎩⎪⎨⎧>≤-===⎰⎰∞+∞-2 0, 2x ), 2(4141),()(2 x x dy dy y x f x f x X ； ⎪⎩⎪⎨⎧∉≤≤===⎰⎰-∞+∞-2] [0,y 0,2y 0 ,241),()(y dx dx y x f y f y yY ．0)2(4)()(22=-==⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x xf X E X ； 1516)2(41)0()]([22444⎰-=-=-=-dx x x X E X E X E ； 51621)()(20 433⎰⎰===+∞∞-dy y dy y f y Y E Y ； 3421)()(20 2⎰⎰===+∞∞-dy y dy y yf Y E Y ；04),()(20===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-yydx xy dy dy y x xyf dx XY E ；03400)()()() ,(=⨯-=-=Y E X E XY E Y X Cov ． 4．设随机变量)Y ,(X 具有概率密度函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他 0,10 1,x 0),(56),(2y y x y x f ．求E(X)，E(Y)，) ,(Y X Cov ，XY ρ，)(Y X Var +．解：⎪⎩⎪⎨⎧∉≤≤+=+==⎰⎰∞+∞-1] [0, x 0,1x 0,5256)(56),()(10 2x dy y x dy y x f x f X ；⎪⎩⎪⎨⎧∉≤≤+=+==⎰⎰∞+∞-1] [0,y 0,1y 0 ,5653)(56),()(210 2y dx y x dx y x f y f Y ．535256)()(10 =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎰⎰∞+∞-dx x x dx x xf X E X ； 535653)()(10 2⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∞+∞-dy y y dy y yf Y E Y ；207)2(103)(56),()(10 210 10 2=+=+⋅==⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x x dy y x xy dx dy y x xyf dx XY E ；10015353207)()()() ,(-=⨯-=-=Y E X E XY E Y X Cov ； 150112593013535256x )]([)()(210 222=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=⎰dx x X E X E X Var ； 2522592511535653y )]([)()(210 2222=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=⎰dy y Y E Y E Y Var ；1763252150111001(Y)(X)) ,(-=⋅-==σσρY X Cov XY ；152100225215011) ,(2)()()(=-+=++=+Y X Cov Y Var X Var Y X Var ． 5．设随机变量)4 ,0(N X ～，)9 ,2(N Y ～，21=XY ρ．又设 32Y X Z -=．求：(1) E(Z)，)(Z Var ；(2) XZ ρ．解：(1) 32231021)(31)(21)(-=⨯-⨯=-=Y E X E Z E ；33221(Y)(X)) ,(=⨯⨯==σσρXY Y X Cov ；)(91) ,(31)(4133Y ,222)(Y Var Y X Cov X Var Y Var X Cov X Var Z Var +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=1991331441=⨯+⨯-⨯=． (2) 1331421) ,(31) ,(21) ,(=⨯-⨯=-=Y X Cov X X Cov Z X Cov ， 21141(Y)(X)) ,(=⋅==σσρY X Cov XZ ． 6．设X 与Y 相互独立，服从相同的指数分布，X 的概率密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-00, 0x ,21)(2x e x f x X ．试求 Y Y X U X V βαβα-=+=与的相关系数．这里 βα ,为非零常数．解：421)Var()Var( ,21)E()E( ,21 ),Exp(X 22========λλλλY X Y X ～； )(4)() ,() ,(Var(X)) ,(2222βαβαβαβα-=-+-=Y Var Y X Cov Y X Cov V U Cov ；)(4)()()(Var(U)2222βαβα+==+=V Var Y Var X Var ； 22222222)(4)(4(V )(U )) ,(βαβαβαβασσρ+-=+-==V U C o v UV． 7．设随机向量T X )Y ,(服从二维正态分布，均值向量与协方差矩阵分别为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1 1μ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4 339 C ．写出T X )Y ,( 的概率密度函数),(y x f 的表达式．解：21 ,3 ,4 ,9 ,1 ,121222121-=-====-=ρσρσσσμμ； ) R y x,( ,)1(41)1)(1(61)1(9132exp 361),(22∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+++-=y y x x y x f π．复习题 410．设随机变量)Y ,(X 的分布律为求：(1) E(X)，E(Y)； (2) E(XY)； (3) Var(Y) ),(X Var ．解：(1)7273721733611124110)(1=⨯+⨯+⨯==∑+∞=∙i i i p x X E； 3412539223613)1()(1=⨯+⨯+⨯-==∑+∞=∙j j j p y Y E ．(2) 72137819181618136131212181)1()(11=⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯-==∑∑+∞=+∞=i j ij ij p x XY E ； (3) 72175721733611124110)(222122=⨯+⨯+⨯==∑+∞=∙i i i p x X E ； 512539223613)1()(222122=⨯+⨯+⨯-==∑+∞=∙j jj p y Y E ． 51847271727271727372175)]([)()(2222==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X Var ； 929345)]([)()(222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y Var ． 11．一电梯载n 人从一楼上升，设楼高 (M+1) 层，每人在每一层楼走出电梯是等可能的，且相互独立．若某一层无人走出电梯则电梯不停．求电梯的平均停止次数．解：用Y 表示电梯的停止次数．令 ⎩⎨⎧=层不停止电梯在第层停止电梯在第i0,i,1i X ，) 1M , 3, 2,i (+= ．则 132++++=M X X X Y ．n i M M X E ⎪⎭⎫⎝⎛--=11)(， ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛--==∑+=n M i i M M M X E Y E 11)()(12 ． 12．设随机变量)3 ,0(U X ～，)5 ,1(U Y ～，且X 与Y 相互独立．令 ⎩⎨⎧<≥=Y X ,1YX ,0Z ．写出Z 的分布律，并求E(Z)．解：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=⨯==他其0, 5y 13,x 0 ,1214131)()(),(y f x f y x f Y X ．61121),(}{}0{131===≥==⎰⎰⎰⎰≥-xy x dy dx d y x f Y X P Z P σ； 65}0{1}1{==-==Z P Z P ；65)(=Z E ．13．设)Y ,(X 是二维随机变量，证明：)Y ()()Y X ,(Var X Var Y X Cov -=-+．证：)Y X ,()Y X ,()Y X ,(-+-=-+Y Cov X Cov Y X Cov)()()Y ,()X ,()Y ,()X ,(Y Var X Var Y Cov Y Cov X Cov X Cov -=-+-=．14．设随机变量)2 ,0(πU X ～，令X Y sin =，)cos(a X Z +=，其中常数]2 ,0[π∈a ．求相关系数YZ ρ．解：02sin )(sin )(20⎰⎰==⋅=+∞∞-ππdx xdx x f x Y E X ；02)cos()()cos()(20 ⎰⎰=+=⋅+=+∞∞-ππdx a x dx x f a x Z E X ；a dx a a x dx a x x dx x f a x x YZ E X sin 21)]sin()2[sin(412)cos(sin )()cos(sin )(20 20-=-++=+⋅=⋅+⋅=⎰⎰⎰+∞∞-ππππ；21)]2cos(1[41sin 21)]([)()(20 20222⎰⎰=-==-=ππππdx x xdx Y E Y E Y Var ；21)](2cos 1[41)(cos 21)]([)()(20 20222⎰⎰=++=+=-=ππππdx a x dx a x Z E Z E Z Var ； a a Z E Y E YZ E Z Y Cov YZ sin 21sin 21(Z)(Y))()()((Z)(Y)) ,(-=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==σσσσρ．15．设)Y ,(X 是二维随机变量，E(X)= 1，E(Y)= 0，)(X Var = 2，)(Y Var = 4，3.0=XY ρ．令aY X W +=2，求常数a ，使)(W Var 达到最小．解：26.0423.0(Y)(X)) ,(=⨯⨯=⋅=σσρXY Y X Cov ；8 24.24)() ,(4)(4)() ,2(2)2()(22++=++=++=a a Y Var a Y X aCov X Var aY Var aY X Cov X Var W Var ；令024.28)(=+=a W Var dad，当 23.0-=a 时，)(W Var 达到最小． 16．已知三个随机变量X 、Y 、Z 中，E(X)= 0， 1)(-=Y E ， E(Z)= 0，1)()(==Y Var X Var ，4)(=Z Var ，21-=XY ρ，0=XZ ρ，21-=YZ ρ．求 Z)Y Var(X )(++++和Z Y X E ．解：1010)()()()(-=+-=++=++Z E Y E X E Z Y X E ；Var(Z)Z),Y 2Cov(X Y)Var(X Z)Y Var(X ++++=++Var(Z) Z),2Cov(Y Z),2Cov(X Y) ,2Cov(X Var(Y)Var(X)+++++=(Z)(Y)2(Z)(X)2(Y)(X)2Var(Z)Var(Y)Var(X)Y Z X Z X Y σσρσσρσσρ+++++=321212210221112411=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯+++=．17．一家大型超市在某个城市开设四个销售门店，各门店每周售出的同一种食品的重量（单位kg ）分别记为1X ，2X ，3X ，4X ．已知)350 ,600(1N X ～，)200 ,450(2N X ～，)300 ,500(3N X ～，)250 ,400(4N X ～，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，记 ∑==41i iXZ ．(1) 求这家超市一周的总销售量的均值 E(Z)和方差)(Z Var ；(2) 求这家超市一周内销售这种食品的总重量达到2000kg 的概率}2000{≥Z P ； (3) 超市每周进货一次，为了使新的供货到达之前各门店不脱销的概率大于0.99，问超市的仓库至少应储存多少公斤该食品？解：⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==41 241 ,i i i i N Z σμ～，即 )1100 ,1950(N Z ～．(1) 1100Var(Z) ,1950)(2====σμZ E ． (2) 0658.09342.01)508.1(11100195020001}2000{1}2000{=-=Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=<-=≥Z P Z P ．(3) 设仓库至少应储存该食品x 公斤，则(kg) 2027.182.327 x ,327.2),327.2(99.0}{=+>>-Φ=>⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=≤μσσμσμx x x Z P ．习题 5.11．某公司生产一种儿童使用的化妆品，经检测，每毫升产品中所含的细菌数X 的期望为200，标准差为10．试估计概率}30200{≤-X P ．解：10)(,200)(====X X E σσμ． 9830101)(1})({}30200{222=-=-≥≤-=≤-εεX Var X E X P X P ．2．设随机变量)9 ,0(N X ～． (1) 求概率{}8 ≤X P ； (2) 利用切比雪夫不等式估计{}8 ≤X P 的下界．解：0E(X) ,3,0====μσμ． (1) 9924.019962.021)667.2(2308308}8{}8{}8{=-⨯=-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=-<-≤=≤X P X P X P ． (2) 8594.0891)(1}8)({}8{22=-=-≥≤-=≤εX Var X E X P X P ．习题 5.21．设随机变量 ,X , ,X ,n 21 X 独立同分布，记∑==ni i X n X 11．在下列情况下，当+∞→n 时，X 依概率收敛于什么值？(1) )0.5 ,10(B X n ～， 3, 2, ,1 =n ； (2) ) ,(a a U X n -～， 3, 2, ,1 =n ，常数0>a ； (3) ) ,(2σμN X n ～， 3, 2, ,1 =n ．解：(1) 5=−→−μP X ； (2) 0)(==−→−n PX E X μ； (3) μ−→−PX ． 2．设 ,X , ,X ,n 21 X 是一个相互独立的随机变量序列，且 {})1ln(+=i X P i{}5.0)1ln(=+-==i X P i ， 3, 2, ,1 =i ．试利用切比雪夫不等式证明：+∞→−→−=∑=n ,0 11Pn i i X n X ．证：) 3, 2, 1,i ( ,0])1ln([5.0)1ln(5.0)( ==+-⨯++⨯==i i X E i i μ． 0)(1)(1==∑=ni i X E n X E ．)1ln()1ln(5.0)1ln(5.0)]([)()(22+=+⨯++⨯=-=i i i X E X E X Var i i i ，n n n n i n X Var n X Var n i n i n i i )1ln()1ln( 1)1ln( 1)( 1)(1 21 21 2+=+≤+==∑∑∑===． 0 >∀ε，据切比雪夫不等式得：) n ( ,0)1ln()(1})({022+∞→→+=≤≥-≤εεεn n X Var X E X P ．从而 1})({lim =<-+∞→εX E X P n ，即 ) n ( ,0 11+∞→−→−=∑=Pn i i X n X ．习题 5.31．设连续随机变量10021X , ,X , X 相互独立，它们服从相同的分布，概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1x 0, 1x ,)(x x f ．记∑==1001 i i X S ．利用中心极限定理计算}10{≥S P ．解：0)()(11====⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x xf X E i μ，210)]([)()(2112222=-=-==⎰-dx x x X E X E X Var i i i σ． 100=n ．据定理5.3.1，得：0787.09213.01)414.1(1100101100100101}10{1}10{=-=Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-Φ-=<-=≥σσμσμnn S S P S P ．2．若计算机进行数值的加法时，对每个加数以四舍五入取整到个位．设所有舍入误差是相互独立的且服从(－0.5, 0.5)上的均匀分布．(1) 将1000个数相加，求误差总和的绝对值大于10的概率； (2) 最多有多少个数相加可使误差总和的绝对值20≤的概率达到99% 以上？解：(1) 用i X 表示第i 个舍入误差，则 ) 1000 , 2, 1,i ( ),0.5 ,5.0( =-U X i ～．100021X , ,X , X 独立同分布，1000n .12112)5.05.0()( ,025.05.0)(22==+===+-==i i X Var X E σμ．据定理5.3.1，得：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-≤---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑∑∑===n n n n X nn P X P X P ni i n i i n i i σμσμσμ1010110101101112736.0]8632.01[2)]095.1(1[21211000101211000101=-=Φ-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅Φ-≈．(2) 要求n 满足 99.0201≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∑=n i i X P ．即 99.0120220201≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-≤--∑=n n n n n X nn P ni i σσμσμσμ，723.91n ,575.2n 20),575.2(995.020≤≥Φ=≥⎪⎭⎫⎝⎛Φσσn ．最大可取 723=n ． 3．假设在n 重伯努利试验中事件A 每次发生的概率为0.6，要使事件A 出现的频率在0.58～0.62之间的概率不低于0.95，问至少需要进行多少次独立试验？(1) 利用切比雪夫不等式估计； (2) 利用中心极限定理计算．解：用X 表示n 重伯努利试验中A 发生的次数，令 ⎩⎨⎧=不发生次试验中第发生次试验中第A i ,0A i ,1i Z ，)n , 2, ,1 ( =i ．则 0.4q 0.6,P(A)p ,1====∑=ni i Z X ，) ,(p n B X ～．(1) A 出现的频率npq Var(X) np,E(X) , Z Z 11 )(n1i i =====∆=∑n X n A f n ． n pq Var(Z) 0.6,E(Z)==． 95.00004.0102.0)(1}02.0)({}02.0)(02.0{}62.0158.0{2≥-=-≥≤-=≤-≤-=≤≤n pqZ Var Z E Z P Z E Z P X n P ， 05.00004.0≤n pq ， 1200005.00004.04.06.005.00004.0=⨯⨯=⨯≥pq n ．(2) 要求n 满足 95.0}62.0158.0{≥≤≤X n P ，即 95.0} 62.058.0{≥≤≤n X n P ．利用153P 公式(5.3.5)．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈≤≤npq n npq n npq np n npq np n n X n P 02.002.058.062.0} 62.058.0{102.02-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅Φ=pq n 95.0≥， 2304.96n ,96.102.0 ),96.1(975.002.0≥≥Φ=≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φpq npq n ．最小取 2305=n ．4．现有一大批产品，次品率为1%．若随机地抽取5000件进行检查，求次品数在30～60件之间的概率的近似值．解：用A 表示抽到次品，0.99q ,01.0)(===A P p ．此为5000=n 重伯努利试验．用X 表示所抽n 件产品中的次品数，则 ) ,(p n B X ～．据定理5.3.2 得：)914.2()492.1(5.295.60} 5.605.29{} 6030{-Φ-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈<<=≤≤npq np npq np X P X P 9304.019982.09322.01)914.2()492.1(=-+=-Φ+Φ=．5．某次英语课程的考试成绩（百分制）)225 ,65(N X ～，考生有一大批，各人成绩相互独立．试求： (1) 考试的合格率}60{≥=X P p ；(2) 随机地抽取1000名考生作调查，其中成绩合格的人数在600～700之间的概率的近似值．解：(1) 用A 表示“考试合格”， 6304.0)333.0(22565601}60{)(=Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=≥==X P A P p ；3696.01=-=p q ．(2) 此为1000=n 重伯努利试验．用Y 表示所抽n 名考生中的合格人数，则 ) ,(p n B X ～．所求概率)024.2()592.4(5.5995.700} 5.7005.599{} 700600{-Φ-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈<<=≤≤npq np npq np X P X P 9785.019785.011)024.2()592.4(=-+=-Φ+Φ=．复习题 51．某车间有100台车床，它们独立地工作，开工率各为0.8，开工时耗电功率各为0.5kW ．问供电所至少要供给该车间多少kW 的电力，才能以 99% 的概率保证车间不会因供电不足而影响生产？解：用X 表示“任一时刻工作的车床数”，则 ) ,(p n B X ～，0.2p 1q ,8.0 ,100=-===p n ．要求x 满足 99.0}5.0{≥≤x X P ，即 99.0} 2{≥≤x X P ．利用定理5.3.2．)327.2(99.022} 2{Φ=≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤npq np x npq np x npq np X P x X P ， 327.22≥-npq npq x ， 654.44)327.2(21=+≥np npq x ．最小取(kW) 45=x2．一家保险公司承接中国民航的航空意外伤害保险业务，每张保险单售价20元．空难发生后，每位乘客的家属可获得保险公司理赔40万元．据调查，近年来中国民航的空难发生率平均为十万分之一．假设一年中保险公司售出此种保险单10万张．试求：(1) 保险公司亏本的概率；(2) 保险公司一年中从该项业务中获得利润达到100万元、150万元的概率分别是多少？解设X 表示购买保险单的十万人中遭受空难的人数，则 0.00001p 100000,n ), ,( ==p n B X ～， 0.99999npq 1,np ,99999.01===-=p q ．由定理5.3.2，)1 ,0(N npq npX A ～-． (1) 所求概率为：}5.5{1}5{1}20100000400000{}{<-=≤-=⨯>=X P X P X P P 保险公司亏本0)500.4(15.51=Φ-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-≈npq np ． (2) 所求概率为：}5.2{}100000040000020100000{}100 {≤=≥-⨯=X P X P P 万元获利达到⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=npq np npq np X P 5.29332.0)500.1(5.2=Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈npq np ． }25.1{}150000040000020100000{}150 {≤=≥-⨯=X P X P P 万元获利达到⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=npq np npq np X P 25.15987.0)250.0(25.1=Φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈npq np ． 3．设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，已知4 3, 2, 1,k ,)(1==k k X E μ存在，且224μμ>．证明当n 充分大时，随机变量∑==n i i n X n Y 121 渐近地服从正态分布，并指出其分布参数．证：随机变量序列{}+∞12nX 独立同分布，)()( ,)()(21222212X Var X Var X E X E n n =====σμμ0)]([)(22422141>-=-=μμX E X E ．根据定理5.3.1，得：当n 充分大时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=n N n Y A i n 2242n 1 2i ,X 1μμμ～． 4．设随机变量)(n P Y n ～，并记nn Y Z n n -=，}{)(x Z P x F n n ≤=， 3, 2, 1,=n ．试证明：R x ),(e21)(lim 2t 2∈Φ==⎰∞--+∞→x dt x F xn n π．（提示：可将n Y 看成n 个相互独立，且都服从P(1)分布的随机变量之和）．证：设随机变量序列 ,X , ,X ,n 21X 独立同分布，)1(P X n ～．记 )(1n P X Y ni in ～∑== ( Poisson 分布具有可加性)．1)( ,1)(2====n n X V a r X E σμ，由定理5.3.1，得：当n 充分大时，)1 ,0( N n n Y nn Y Z A n n n ～σμ-=-=，即n Z 的极限分布是)1 ,0(N ．。

概率论各章精选习题（PDF）

概率统计各章节习题§1.1 随机事件1、写出下列各试验的样本空间及指定事件所含的样本点；（i ）将一枚硬币抛掷三次，{}A =第一次掷出正面、{}B =三次掷出同一面、{}C =有正面掷出；（ii ）将一颗骰子掷两次，{}A =点数相同、{}B =其中一次点数是另一次的两倍、{}6C =点数之和是；2、从某图书馆里任取一本书，事件A 表示“取到数学类图书”，事件B 表示“取到中文版图书”，事件C 表示“取到精装图书”； ①试述ABC 的含义；②何种情况下，C B ⊂？；③何种情况下，A B =3、设1234,,,A A A A 为某一试验中的四个事件，试用事件的运算表达如下事件：①“四个事件中至少有一个发生”；②“恰好发生两个”；③“至少发生三个”；④“至多发生一个”；4、试述下列事件的对立事件：①A = “射击三次皆命中目标”；②B =“甲产品畅销乙产品滞销”；③C =“加工四个零件至少有一个是合格品”；5、在区间[]0,1中任取一点x ，记：203A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭、1344B x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭、 213C x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，试用相同的作法表示如下诸事件：①AB ；②AB ； ③()A B A C ； 6、试证明以下事件的运算公式：（i ）A AB AB =；（ii ）A B A AB =；§1.2 频率与概率1、任取两整数，求“两数之和为偶数”的概率；2、①袋中有7个白球3个黑球，现从中任取2个，试求“所取两球颜色相同”的概率；②甲袋中有球5白3黑，乙袋中有球4白6黑，现从两袋中各取一球，试求“所取两球颜色相同”的概率；3、①n 个人任意地坐成一排，求“甲、乙两人坐在一起”的概率；②n 个人随机地围一圆桌而坐，求“甲、乙相邻”的概率；③n 个男生、m 个女生（1m n ≤+）坐成一排，求“任意两个女生都不相邻”的概率；4、从()0,1中随机地取两个数，试求：①“两数之和小于65”的概率；②“两数之积小于14”的概率；5、①已知事件,A B 满足：AB AB =，若()P A a =，试求()P B ；②已知事件,A B 满足：()()P AB P AB =，若()P A a =，试求()P B ；6、设,A B 为两事件，且()0.4P A =，()0.7P B =，问：①在什么条件下，()P AB 取得最大值，最大值是多少？②在什么条件下，()P AB 取得最小值，最小值是多少？若()0.5P B =，结果又如何？7、某班n 名战士各有一支归自己保管使用的枪，这些枪外形完全一样；在一次夜间紧急集合中，每人随机地取一支枪，求“至少有一人拿到自己的枪”的概率；8、证明：①()()()1P AB P A P B ≥+-；②()()()()()12121n n P A A A P A P A P A n ≥+++--；9、试证明：若,A B 为两事件，则()()()14P AB P A P B -≤； §1.3 条件概率、全概率公式与贝叶斯（Bayes ）公式1、已知()0.3P A =，()0.4P B =，()0.5P A B =；试求：()P AB 、 ()P A B 、()P B A 、()P B A B 、()P A B A B； 2、已知()12P A =，()13P B =，()16P A B =，试求()P A B ； 3、已知()0.8P A =，()0.7P B =，()0.2P A B -=，试求()P B A ； 4、已知()14P A =，()13P B A =，()12P A B =，试求()P AB ； 5、设一批产品中一、二、三等品各占60％、35％、5％，从中任取一件，结果不是三等品，求“取到的是一等品”的概率；6、设10件产品中有4件是不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求“另一件也是不合格品”的概率；7、袋中有4白1红5只球，现有5人依次从袋中各取一球，取后不放回，试求“第i （1,2,,5i =）人取到红球”的概率；8、两台车床加工同样的零件，“第一台出现不合格品”的概率是0.03，“第二台出现不合格品”的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，①试求“任取一个零件是合格品”的概率；②如果取出的零件是不合格品，求“它是由第二台车床加工”的概率；9、某商店正在销售10台彩电，其中7台是一级品，3台是二级品；某人到商店时，彩电已售出2台，试求“此人能买到一级品”的概率；10、甲袋中有2只白球1只黑球，乙袋中有1只白球2只黑球，今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求“此球是白球”的概率；11、有两箱零件，第一箱装50件，其中20件是一等品；第二箱装30件，其中18件是一等品；现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后任取两个零件，试求：①“第一次取出的零件是一等品”的概率；②“第二次取出的零件是一等品”的概率；③在第一次取出的是一等品的条件下，“第二次取出的零件仍然是一等品”的概率；④在第二次取出的是一等品的条件下，“第一次取出的零件仍然是一等品”的概率；12、玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱有0,1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1；一个顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时售货员随机取一箱，顾客开箱随机地查看4只，若无次品，就买下这箱玻璃杯，否则退回；试求：①“顾客买下这箱玻璃杯”的概率；②“在顾客买下的一箱中，确实没有次品”的概率；13、证明：()()()()()P A B P A BC P C B P A BC P C B=+；14、设有N个袋子，每个袋子中都装有a个白球b个黑球，现从第一个袋中任取一球放入第二个袋中，然后从第二个袋中任取一球放入第三个袋中，如此下去，求“从最后一个袋中取出一白球”的概率；§1.4 事件的独立性1、假设()0.4P A=，()0.9P A B=，在以下情形下求()P B：①,A B互斥；②,A B独立；③A B⊂；2、甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.8和0.7，现已知目标被击中，求“它是甲命中”的概率；3、若事件,A B独立，且两事件“仅A发生”与“仅B发生”的概率都是14，试求()P A与()P B；4、三人独立地破译一个密码，他们单独译出的概率分别为13、14、15，求“此密码被译出”的概率；5、一射手对同一目标独立地射击四次，若“至少命中一次”的概率为8081，试求该射手进行一次射击的命中率；6、三门高射炮独立地向一飞机射击，已知“飞机中一弹被击落”的概率为0.4，“飞机中两弹被击落”的概率为0.8，中三弹则必然被击落；假设每门高射炮的命中率为0.6，现三门高射炮各对飞机射击一次，求“飞机被击落”的概率；7、甲、乙二人轮流射击，首先命中目标者获胜；已知甲的命中率为a ，乙的命中率为b ，甲先射击，试求“甲（乙）获胜”的概率；8、甲、乙两选手进行乒乓球单打比赛，已知每局中“甲获胜”的概率为0.6，“乙获胜”的概率为0.4；比赛可采用三局两胜制或五局三胜制，问：何种赛制对甲更有利？§2.1 随机变量及其分布函数1、箱中装有次品12,a a 与正品123,,b b b ，现从中一次取出两件产品，①写出此试验的样本空间；②令ξ表示所取两件产品中的次品个数，标出ξ在每个样本点上的值；③写出{}{}0,1,ξξ=≤ {}2ξ≥所包含的样本点；2、设随机变量（..r v ）X 的分布函数（..d f ）为()0,0;1,03;41,36;31,6;x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，试求()3P X <、()3P X ≤、()1P X >、()1P X ≥； 3、设..r v X 的..d f 为()0,1;ln ,1;1,;x F x x x e x e <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，试求：()2P X <、()03P X ≤≤、 ()2 2.5P X <<；4、已知..r v X 的分布函数为()0,0;2,01;23,12;1112,23;1,3;x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩，试求：()3P X <、()13P X ≤<、12P X ⎛⎫> ⎪⎝⎭、()3P X =； 5、设随机变量ξ的分布函数为()F x ，试用()F x 表示下列事件的概率：{}{}{}{}{}231,23,215,4,8ξξξξξ<-<+>≤<；6、若()()121,1P X x P X x αβ≥=-≤=-，其中12x x <，试求()12P x X x ≤≤；7、①设..r v ξ的分布函数为：()0,1;arcsin ,11;1,1;x F x a b x x x <-⎧⎪=+-≤<⎨⎪≥⎩，试确定常数,a b ；②设..r v ξ的分布函数为()arctan ,F x A B x x R =+∈，试确定常数,A B ；8、①在半径为R 的圆内任取一点，求此点到圆心距离X 的分布函数及概率23P X R ⎛⎫> ⎪⎝⎭；②在ABC ∆内任取一点P ，记X 为点P 到底边BC 的距离，试求X 的分布函数；9、设()()12,F x F x 分别是两个随机变量的分布函数，,0a b >且 1a b +=，试证明：()()()12F x aF x bF x =+也是一个分布函数； §2.2 离散型随机变量及其分布律1、试判断下列分布列中所含的未知参数c ：① (),1,2,,c P k k N N ξ===； ② (),0,1,2,3!k c P k k k ξ===⋅； 2、现有三只盒子，第一只盒中装有1只白球4只黑球，第二只盒中装有2只白球3只黑球，第三只盒中装有3只白球2只黑球；现任取一只盒子，从中任取3只球，以X 表示所取到的白球数，试求：①X 的分布列；②“取到白球数不少于2”的概率；3、袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5；现从中任取3只，以X 表示3只球中的最大号码；①试求X 的分布列；②写出X 的分布函数并作图；4、已知..r v X 的..d f 为()0,0;0.5,01;0.7,13;1,3;x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，试求X 的分布列； 5、已知...d r v X 的分布列为：1010.25a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭，其分布函数为： (),1;,10;0.75,01;,1;c xd x F x xe x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，试求,,,,a b c d e ； 6、从1,2,3,4,5五个数中任取三个，按大小顺序排列记为： 123x x x <<，令2X x =，试求： X 的分布函数及()()2,4P X P X <>；7、连续“独立”地掷n 次骰子，记,X Y 分别为n 个点数的最小、最大值，试求,X Y 的分布列；8、设()X P λ～，试求X 的最大可能值，即：k 取何值时，概率()P X k =取最大值？§2.3 连续型随机变量及其概率密度1、设..r v X 的分布函数为：()20,0;,01;1,1;x F x Ax x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，试求：① A；②()()0.3,0.7P X ∈；③X 的概率密度函数（...p d f ）；2、设..r v X 的...p d f 为(),01;2,12;0,;x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他，试求：①X 的分布函数；②32P X ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭； 3、已知..r v X 的...p d f 为(),x f x ce x -=-∞<<+∞，试确定常数c 并求X 的..d f ；4、设..r v X 有()11;...29,36;0,;x p d f f x x ≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其他，若()23P X k ≥=，试确定k 的取值范围；5、设..,r v X Y 同分布（又记为：d X Y =），且X 有...p d f 为()23,02;80,;x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他；已知事件{}A X a =>与{}B Y a =>独立，且 ()34P A B =，试求常数a ； 6、设A 为曲线22y x x =-与x 轴所围成的区域，在A 中任取一点，求该点到y 轴的距离ξ的分布函数及密度函数；7、设[]..0,5r v U ξ～，试求“方程24420x x ξξ+++=有实根”的概率；8、设..r v ξ的...p d f 为()221,x x f x x -+-=-∞<<+∞，试求()02P ξ≤≤；9、设()2..3,2r v X N ～，试求：①()()25,2P X P X<≤>；②确定c ，使得()()P X c P X c >=<；③设d 满足()0.9P X d >≥，d 至多为多少？10、由学校到火车站有两条路线，所需时间随交通堵塞状况有所变化，若以分钟计算，第一条路线所需时间()2150,10N ξ～，第二条路线所需时间()2260,4N ξ～，如果要求：①在70分钟内赶到火车站；②在65分钟内赶到火车站；试问：各应选择哪条路线？ 11、假设一机器的检修时间（单位：小时）服从12λ=的指数分布，试求：①“检修时间超过2小时”的概率；②若已经检修4小时，求“总共至少5小时检修好”的概率；12、①设()2,5X U ～，试求“对X 进行三次独立地观测中，至少有两次观测值大于3”的概率；②设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟记）服从参数为15的指数分布，某顾客在窗口等待服务若超过10分钟他就离开；他一个月要到银行五次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试求()1P Y ≥；13、对某地考生抽样调查的结果表明：考生的外语成绩（百分制）近似服从()272,N σ（0σ>未知）；已知96分以上的考生占考生总数的2.3％，试求“考生成绩介于60分与84分之间”的概率；14、设()2..0,1r v N ξ～，ηξ=或ηξ=-视1ξ≤或1ξ>而定，试求η的分布；§2.4 随机变量的函数的分布1、①设...d r v X 有分布列：210131111115651530--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，试求2Y X =与Z X =的分布列；②设()...1,2c r v X U -～，记1,0;1,0;X Y X ≥⎧=⎨-<⎩，试求Y 的分布列； 2、设随机变量X 的概率分布为：()1,1,2,2k P X k k ===；试求sin 2Y X π⎛⎫= ⎪⎝⎭的分布律； 3、假设一设备开机后无故障工作的时间15X E ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，设备定时开机，出现故障时自动关机；且在无故障的情况下工作2小时便关机，试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()Y F y ，并指明Y 是否为连续型随机变量？4、设..r v X 的...p d f 为()[]1,8;0,;x f x ∈=⎩其他，()F x 为X的..d f ，试求随机变量()Y F X =的分布函数；5、①设()..0,1r v X U ～，试求1X -的分布；②设()..2r v X E ～，试证：21X Y e -=与221X Y e -=-均服从()0,1上的均匀分布；6、若()2..ln ,r v X N μσ～，则称X 服从对数正态分布；①试求X 的概率密度函数()X f x ；②若()2ln 1,4X N ～，求31P X e e ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭； 7、设()..0,1r v X U ～，试求以下Y 的密度函数； ① 2ln Y X =- ；② 31Y X =+ ；③ X Y e = ；④ ln Y X = ；8、设()21,03;..90,;x x r v X f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩～其他，且2,1;,12;1,2;X Y X X X ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩，试求：①Y 的分布函数；②()P X Y ≤；§3.1 二维随机变量及其分布1、袋中有1红2黑3白共6个球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以,,X Y Z 分别表示两次取到的红、黑、白球的个数，①求()10P X Z ==；②求(),X Y 的概率分布；2、袋中有10个大小相等的球，其中6个红球4个白球；现随机抽取2次，每次抽取1个，定义随机变量,X Y 如下：1,0X ⎧=⎨⎩第一次抽到红球；，第一次抽到白球；、1,0Y ⎧=⎨⎩第二次抽到红球；，第二次抽到白球；，试就以下两种情况，分别求出(),X Y 的联合分布：①第一次抽取后放回；②第一次抽取后不放回；3、将一枚硬币抛掷三次，以X 表示三次中掷出正面的次数，以Y 表示掷出正面与反面次数之差的绝对值，试求(),X Y 的联合分布；4、①假设,X Y 同分布，且101111424X -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭～，()01P XY ==，试求(),X Y 的联合分布及()P X Y =；②设,X Y 为离散型随机变量，且101111442X -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭～，1101513124Y -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭～，已知()0P X Y <=，()14P X Y >=，试求(),X Y 的联合分布； 5、①设(),X Y 的联合概率密度为()22,1;,0,;cx y x y f x y ⎧≤≤=⎨⎩其他，（i ）确定常数c ；（ii ）求()(),P X Y D ∈，2:21D x y ≤≤； ②设(),X Y 具有联合密度()()6,02,24;,0,;k x y x y f x y ⎧--≤≤≤≤=⎨⎩其他，（i ）确定常数k ；（ii ）求()1,3P X Y ≤<、()1.5P X ≤、()4P X Y +≤；6、从()0,1中随机地取两个数，求“其积不小于316且其和不大于1”的概率； 7、设()0.5,10;..0.25,02;0,;x r v X f x x -<<⎧⎪=≤<⎨⎪⎩～其中，令2Y X =，(),F x y 为二维随机向量(),X Y 的联合分布函数，①求Y 的()...Y p d f f y ；②求1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭； §3.3 条件分布1、①将2只球放入3只盒中，以,X Y 分别表示1号盒与2号盒中的球数，试求在0Y =的条件下X 的条件分布； ②从1,2,3,4,5中任取一个数，记为X ；再从1,,X 中任取一个数记为Y ，试求(),X Y 的联合分布及Y 的分布；2、设..,r v X Y 独立，且()1X P λ～，()1Y P λ～，试求给定X Y n +=时，X 的条件分布；3、①设()()3,01;,,0,;x y x X Y f x y <<<⎧=⎨⎩～其他，试求给定X x =（01x <<）时，Y 的条件密度函数()Y X f y x ；②设()()1,,0;,,0,;xy y e e x y X Y f x y y --⎧⋅>⎪=⎨⎪⎩～其他，0y ∀>，试求给定Y y =时，X 的条件密度函数()X Y f x y 及()1P X Y y >=；③设()()2221,1;,,40,;x y x y X Y f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩～其他，试由此求条件概率 ()0.750.5P Y X ≥=；4、①设()0,1X U ～，已知X x =（01x <<），10,Y U x ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，试求Y 的 ()...Y p d f f y ；②设ξ在区间[]0,1上随机地取值，当观察到x ξ=时，η在区间[],1x 上随机地取值，试求η的密度函数；③设()2,0;0,0;x xe x f x x λξλξ-⎧>=⎨≤⎩～，η在()0,ξ上均匀分布，试求η的密度函数；④设()45,01;0,;Y y y Y f y ⎧<<=⎨⎩～其他，给定Y y =（01y <<）时，X 的条件密度为()233,0;0,;X Y x x y f x y y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，试求()0.5P X >；5、设[]2,4Y U ～，且给定Y y =（24y ≤≤）时，()X E y ～，试求：①(),X Y 的....J p d f （联合密度函数）；②试证：()1XY E ～； 6、①设,X Y 为两个随机变量，010.70.3Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，且给定Y k =时， ()2,1X N k ～，0,1k =；试求X 的分布； ②设121122X ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭～，且给定X k =时，()0,Y U k ～，1,2k =；试求Y 的分布，并求EY ；7、设[]0,1X U ～，试求给定12X >时，X 的条件分布； §3.4 随机变量的独立性1、设(),X Y 有如下联合分布：/01104114X Y b a ，且事件{}0X =与 {}1X Y +=相互独立，①确定常数,a b ；②问：,X Y 是否独立？2、设101111424X -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭～，011122Y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭～，如果()221P X Y ==，①试求(),X Y 的联合分布；②,X Y 是否独立？3、设随机变量,X Y 独立同分布，且011X p p ⎛⎫ ⎪-⎝⎭～，令 1,0X Y Z X Y +⎧=⎨+⎩若为偶数；，若为奇数；，问：p 取何值时，,X Z 相互独立？ 4、设随机向量(),X Y 具有如下的联合密度： ①(),4,0,1f x y xy x y =<<；②(),8,01f x y xy x y =<<<；试讨论以上两种情形下，,X Y 是否独立？5、①设()(),X Y U D ～，其中22:1D x y +≤，试讨论,X Y 的独立性；②设()(),X Y U G ～，其中[][]0,10,2G =⨯，试讨论,X Y 的独立性；6、设()()()2,,0;,,0,;x y ce x y X Y f x y -+⎧>⎪=⎨⎪⎩～其他，①确定常数c ；②试求X 的边缘密度及条件密度，讨论,X Y 是否独立？③求(),X Y 的联合分布函数；7、①设..,r v X Y 独立，且[]0,1X U ～，12Y E ⎛⎫⎪⎝⎭～，（i ）试写出(),X Y 的联合密度函数；（ii ）试求“方程220t Xt Y ++=有实根”的概率；②从长度为a 的线段的中点两边随机各选取一点，求“两点间距离小于3a ”的概率；8、试用概率方法证明：0a ∀>22x aa e dx --≤⎰9、设随机向量(),X Y 的联合密度为()1,1,1;,40,;xyx y f x y +⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他，试证：,X Y 不独立，但22,X Y 是独立地；§3.5 二维随机变量的函数的分布1、设,X Y 满足()30,07P X Y ≥≥=，且()()4007P X P Y ≥=≥=，试求{}()max ,0P X Y ≥；2、设..,r v X Y 具有分布：101111424X -⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭～，011122Y ⎛⎫⎪⎪⎝⎭～；已知 ()01P XY ==，试求()max ,Z X Y X Y =∨=的分布；3、设随机变量1234,,,X X X X 独立同分布，且 ()01i P X ==-()10.6,1,2,3,4i P X i ===，试求行列式1234X X X X X =的概率分布；4、设,A B 为两个事件，且()14P A =，()13P B A =，()12P A B =，令1,0,;A X ⎧=⎨⎩若发生;否则，1,0,;B Y ⎧=⎨⎩若发生;否则，试求：①(),X Y 的概率分布；②22Z X Y =+的概率分布；5、设某一设备装有三个同类的电器元件，各元件工作相互独立，且工作时间服从参数为λ的指数分布；当三个元件都正常工作时，设备才正常工作；试求设备正常工作时间T 的概率分布；6、①设()(),X Y U D ～，(){},02,01D x y x y =≤≤≤≤，试求边长为,X Y 的矩形面积S 的概率分布；②设,X Y 独立同()20,1N分布，则Z =Rayleigh ）分布，试求Z 的密度函数；7、设,X Y 独立，且()1X E λ～，()2Y E λ～，若{}()1min ,1P X Y e ->=，()13P X Y ≤=，试求12,λλ； 8、①设..,r v X Y 独立，且()13P Xi ==，1,0,1i =-；[)0,1Y U ～，记： Z X Y =+，试求： 102P Z X ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭、Z 的()...Z p d f f z ；②设..,r v X Y 独立，且120.30.7X ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，()Y Y f y ～，试求Z X Y =+的概率分布；9、①设,X Y 独立同()0,1U 分布，试求Z X Y =+的密度； ②设()()3,01;,,0,;x y x X Y f x y <<<⎧=⎨⎩～其他，试求Z X Y =-的密度；③设()()2,0,1;,,0,;x y x y X Y f x y --<<⎧=⎨⎩～其他，试求Z X Y =+的密度；④设,X Y 独立同()1E 分布，试求Z X Y =-的密度；10、（最大值与最小值分布）设12,,,n X X X 相互独立，若()12max ,,,n Y X X X =，()12min ,,,n Z X X X =，试在以下情况下求,Y Z 的分布；① i X 具有()..i d f F x ，1,2,,i n =；②诸i X 同分布，且有 ()..d f F x ，1,2,,i n =；③诸i X 为...c r v 且同分布，()i X f x ～，1,2,,i n =；④()i X E λ～，1,2,,i n =；11、设,X Y 独立同[]0,1U 分布，若(),01;1,12;X Y X Y Z X Y X Y +≤+≤⎧=⎨+-<+≤⎩，试问：Z 服从什么分布？ §4.1 数学期望2、某新产品在未来市场的占有率X 是仅在()0,1上取值的随机变量，其密度函数为()()341,01;0,;x x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他，试求其平均占有率；3、设..r v X 的...p d f 为()2,01;0,;a bx x f x ⎧+≤≤=⎨⎩其他，若23EX =，试求,a b ；4、①设()X P λ～，试求2321Y X X =+-的数学期望；②设()1X E ～，试求()2X E X e -+； ③设()20,1X N ～，试求()2X E Xe ；5、①假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生两次故障获得利润0元；发生三次或三次以上故障要亏损2万元；试求机器一周内所获得的平均利润；②游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光。

概率统计习题 3.4 演示文稿1

解其中记gZ(为x,此y商) 店{经110000销00xy该50种0( y商x)品每{15周00000(所xy, 得y),y的xy利x 润,由题设知Z=g(X,Y),
由题设条件知(X,Y)的联合概率密度为
1 , 10x20,10 y20,
px, y
(x,
y)

{100 0,
其它,

np1(t)[1
F1 (t)]n1

n(1
t
)n1
1
所以
E(Y )

n n
0
t n dt

n n 1
E(Z )

n n
0
t(

t)n1 dt

n 1
14.设随机变量U服从(-2,2)上的均匀分布,定义X和Y如下:
X {1 若U 1, 1 若U-1,
这是贝塔分布Be(10,1),由此得
E(Y )
10 ;Var(Y ) 11

10 11212

5 726
10．系统有n个部件组成，记 Xi为第i个部件能持续工作的时间，如果 X1, X 2 ,L , X n 独立同分布，且 Xi : Exp()，试在以下情况下求系统持续工作的平均时间：
（1）如果有一个部件在工作，系统就不工作了；（2）如果至少有一个部件在工作，系统就工作。
解因为X,Y独立,都服从N(0,1),所以 X Y : N (0, 2). ,又因为
max(X ,Y ) X Y | X Y | 2
由于 X Y : N(0, 2).,所以
E[max( X ,Y )] E( X ) E(Y ) E | X Y | E | X Y |

概率论与数理统计(茆诗松)第二版第三章课后习题3.3、3.4(部分)参考答案

0 −z
x
y
z
0
x
p(
x,
y)
=
⎧3x, ⎩⎨0,
0 < x < 1, 0 < y < x, 其他.
试求 Z = X − Y 的密度函数．
解：方法一：分布函数法
作曲线簇 x − y = z，得 z 的分段点为 0, 1，
当 z < 0 时，FZ (z) = 0，
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 当 0 ≤ z < 1 时， FZ (z) =
0
x
pZ
(
z)
=
FZ′
(
z)
=
⎧ ⎪ ⎨ ⎪
1
2 1
ez, e−z
,
⎩2
z ≤ 0, z > 0.
方法二：增补变量法
（1）函数 z = x + y 对任意固定的 y 关于 x 严格单调增加，增补变量 v = y， 2
18
可得
⎪⎨⎧z
=
x
+ 2
y
,
⎪⎩v = y,
有反函数
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
2z v,
z
x
dx 3xdy +
0
0
1
x
dx 3xdy =
z
x−z
z 3x 2 dx +
0
1
3xzdx =
x3
z
+
3
x2z 1
=
3
z
−
1
z3，
z
02 z2 2
当 z ≥ 1 时，FZ (z) = 1，
y
因分布函数 FZ (z) 连续，有 Z = X − Y 为连续随机变量，

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ；2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= .(2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： .(3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： .(5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： .2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ，（4）B A ⋃= ，（5）B A = 。

§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= .2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。

概率论第三四章练习题答案

概率论第三四章练习题答案练习八班级_____________ 姓名_____________1. 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到白球的只数，求X ，Y 的联合分布律.解：（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=35347223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=02. 设随机变量（X ，Y ）概率密度为<<<<--=其它,042,20),6(),(y x y x k y x f （1）确定常数k ；（2）求P {X <1, Y <3}；（3）求P (X <1.5}；（4）求P (X+Y ≤4}.解：（1）∵+∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴8 1=k （2）83)6(81)3,1(3210=--=<<="" p="" x="" y="">Y X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤?dy y x dx Y X P X P（4）32)6(81)4(4020=--=≤+?-dy y x dxY X P x3. 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到白球的只数，求的随机变量（X , Y ）的边缘分布律.4. 设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为≤≤=其它,01,),(22y x y cx y x f（1）试确定常数c ; （2）求边缘概率密度. 解: l=?∞+∞-+-∞+∞-====42121432),(1025210c c dy y cydx cx dydxdy y x f y y≤--==?,01),1(8 21421)(~42122x x ydy x x f X x X ??≤≤==?+-其它1027421)(~252y y ydx d y f Y y yY练习九班级_____________ 姓名_____________1. 设一加油站有两套用来加油的设备，设备A 是加油站的工作人员操作的，设备B 是有顾客自己操作的. A ，B 均有两个加油管. 随机取一时刻，A ，B 正在使用的软管根数分别记为X ，Y ，它们的联合分布律为(1)(2) 求在0=X 的条件下Y 的条件分布律；在1=Y 的条件下X 的条件分布律. (3) 问随机变量X 和Y 是否相互独立? 解：（1）至少有一根软管在使用的概率为9.01.01}0,0{1}1{=-===-=≥+Y X P Y X P（2）根据公式}0{}0,{}0|{======X P X i Y P X i Y P ，得到在0=X 的条件下Y 的条件分布律为类似地，在1=Y 的条件下X 的条件分布律为（3）P （X =0≠所以随机变量X 和Y 不是相互独立. 2. 设随机变量（X ，Y ）在由曲线x y x y ==,2所围成的区域G 均匀分布.(1) 问随机变量X 和Y 是否相互独立? (2) 求条件概率密度)|(|x y f X Y .解：（1）根据题意，（X ，Y ）的概率密度),(y x f 必定是一常数，故由),(31),(),(121y x f dy y x f dxdxdy y x f xxG===，得到∈=他其，0),(,3),(Gy x y x f 。

概率统计精选练习题及答案

概率统计精选练习题及答案练题一- 问题：有一袋子里面装有5个红球和3个蓝球，从袋子里随机取两个球，求取出的两个球颜色相同的概率。

- 解答：首先，我们计算取两个红球的概率。

从5个红球中取出2个红球的组合数为C(5, 2) = 10。

总的取球组合数为C(8, 2) = 28。

所以，取两个红球的概率为10/28。

同理，取两个蓝球的概率为C(3, 2)/C(8, 2) = 3/28。

因为取球的过程是相互独立的，所以取出的两个球颜色相同的概率等于取两个红球的概率加上取两个蓝球的概率，即(10/28) + (3/28) = 13/28。

练题二- 问题：某商场每天的顾客数量服从均值为100，标准差为20的正态分布。

求该商场下一个月（30天）的总顾客数量的期望值和标准差。

- 解答：下一个月的总顾客数量等于每天顾客数量的总和。

因为每天的顾客数量服从正态分布，所以总顾客数量也服从正态分布。

总顾客数量的期望值等于每天顾客数量的期望值的总和，即30 * 100 = 3000。

标准差等于每天顾客数量的标准差的总和，即sqrt(30) * 20 ≈ 109.544。

练题三- 问题：某城市的交通事故发生率为每年100起。

求在下一个月内该城市发生至少一起交通事故的概率。

- 解答：在下一个月内，发生至少一起交通事故的概率等于1减去没有发生交通事故的概率。

没有发生交通事故的概率可以用泊松分布来计算。

假设一个月内发生交通事故的平均次数为100/12 ≈ 8.333，那么没有发生交通事故的概率为P(X = 0)，其中X服从参数为8.333的泊松分布。

计算得到P(X = 0) ≈ 0.。

所以，在下一个月内该城市发生至少一起交通事故的概率为1 - P(X = 0) ≈ 0.。

以上是概率统计的精选练习题及答案，希望能对您的学习有所帮助。

概率论与数理统计第三、四章答案

第三章习题参考答案1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。

解：由习题二第2题计算结果0112{0}={1}=33p p p p ξξ====，得12201333E ξ=⨯+⨯= 一般对0-1分布的随机变量ξ有{1}E p p ξξ===2．用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值,一种是利用矩形长与宽的期望计算,另一种是利用周长期望的分布计算。

解：方法一：先按定义计算长的数学期望290.3300.5310.229.9E ξ=⨯+⨯+⨯=和宽的数学期望190.3200.4210.320E η=⨯+⨯+⨯=再利用数学期望的性质计算周长的数学期望(22)229.922099.8E E ζξη=+=⨯+⨯=方法二：利用习题二地30题的计算结果<见下表>,按定义计算周长的数学期望960.09980.271000.351020.231040.0698.8E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.对习题二第31题,〔1〕计算圆半径的期望值；〔2〕(2)E R π是否等于2ER π？〔3〕能否用2()ER π来计算远面积的期望值,如果不能用,又该如何计算？其结果是什么？解〔1〕100.1110.4120.3130.211.6ER =⨯+⨯+⨯+⨯= 〔2〕由数学期望的性质有(2)223.2E R ER πππ==〔3〕因为22()()E R E R ππ≠,所以不能用2()E R π来计算圆面积的期望值。

利用随机变量函数的期望公式可求得222222()()(100.1110.4120.3130.2)135.4E R E R ππππ==⨯+⨯+⨯+⨯= 或者由习题二第31题计算结果,按求圆面积的数学期望1000.11210.41440.31690.2)135.4E ηπππ=⨯+⨯+⨯+⨯=4．连续随机变量ξ的概率密度为,01(,0)()0,a kx x k a x ϕ⎧<<>=⎨⎩其它又知0.75E ξ= ,求k 和a 的值解由1010()11324a a kx dx kx dx a k E kx x dx a ϕξ+∞-∞===+=⋅==+⎰⎰⎰解得2,3a k ==5．计算服从拉普拉斯分布的随机变量的期望和方差〔参看习题二第16题〕。

概率统计练习题(第3版)

（1）每次取出的产品都不放回；
（2）每次取出的产品都立即放回，然后再取下一件产品；
（3）每次取出一件产品后总以一件合格品放回该产品中。
6. 设 5 个晶体管中有 2 个次品 3 个正品，如果每次从中任取 1 个进行测试，
测试后的产品不放回，直到把 2 个次品都找到为止。求需要进行测试的次数 X
的分布律，并求概率(2 < < 5)。
下列事件的概率：
（1）没有一双配对；
（2）恰有一双配对；
（3）恰有两双配对；
（4）恰有 r 双配对。
6. 掷均匀硬币 2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率。
7. 从 0，1，2，…，9 等十个数字中任意选和 5；
（2）三个数字中不含 0 或 5。
总数超过壹角的概率。
13. 设有某产品 40 件，其中有 10 件次品，其余为正品。现从中任取 5 件，
求取出的 5 件产品中至少有 4 件次品的概率。
14. 某专业研究生复试时，有 3 张考签，3 个考生应试，一个人抽一张看后
立刻放回，再让另一个人抽，如此 3 个人各抽一次，求抽签结束后，至少有一张
38. 一架长机和两架僚机一同飞往某地进行轰炸，但需要到达目的地，非有
无线电导航不可，而只有长机具有此项设备，一旦到达目的地，各机将独立地进
行轰炸且炸毁目标的概率为 0.3，在到达目的地之前必须经过高射炮阵地上空，
此时任一飞机被击落的概率为 0.2，求目标被炸毁的概率。
4 / 22
第2章
1. 投掷两颗骰子，所得点数之和记为 X，求 X 的分布律。
这批元件经检验能出厂的概率。
34. 商店销售 10 台电冰箱，其中 7 台一级品，3 台二级品，已售出 1 台，在

王松桂第三版概率论与数理统计答案

解：因为X + Y = 4，所以(X,Y)的可能取值为(2,2),(3,1)
且
P( X
2,Y
1) 0 ， P( X
2,Y
2)
C32
C
2 2
C54
3 5
0.6
P( X
3,Y
1)
C33C
1 2
C54
2 5
0.4 ， P( X
3,Y
2) 0
故(X,Y)的概率分布为
X\Y
1
2
2
0
0.6
0
x2
c
1(x
0
x 2 )dx
c( x2 2
x3 )1 30
c 6
1
所以 c = 6.
(2) 因为，当 0 x 1 时， f X (x)
f (x, y)dy
x x2
cdy
6( x
x2
)
所以，X的边缘分布密度为
f
X
(
x)
6(
x
0
x
2
)
0 x 1 其他
又因为，当 0 y 1时， fY ( y)
所以 P(1 X 2,3 Y 5) F (2,5) F (1,5) F (2,3) F (1,3)
27
26
25 24
3 27
3 128
3.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X表示取到的黑球的个数, 用Y表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布.
(
y)
2.4
y(3
4 0
y
y2
)
0 y 1 其他
3.10 设二维随机向量 ( X ,Y ) 的概率密度函数为

《概率论与数理统计》第三版_科学出版社_课后习题答案.所有章节

第二章随机变量 2.12.2解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---e ae 。

故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=11220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++ =11[1()]1441314k k lim →∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--= 2.6解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.7 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e - （2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.8解：设应配备m 名设备维修人员。

《概率论与数理统计》课后练习题册

《概率论与数理统计》课后练习题册习题一随机事件及其概率和性质1.1 选择题（1）设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是（）。

（A ）A B B A =-⋃)( （B ）A B B A ⊃-⋂)( （C ）A B B A ⊂-⋂)( （D ）A B B A =⋃-)(（2）以A 表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则对立事件A 为（）。

（A ）甲种产品滞销，乙种产品畅销（B ）甲、乙产品均畅销（C ）甲种产品滞销（D ）甲产品滞销或乙产品畅销 1.2 指出下列关系中那些是正确的，那些是错误的，并说明理由。

（1）（A ∪B ）- C = A ∪（B -C ）；（2）（A ∪B ）- A = B ；（3）)(B A ⋃C =A B ∪B C ；（4）AB B A B A B A =⋃⋃；（5）=))((B A AB ∅；（6）若A B ⊂，则A B A =⋃。

1.3 试把C B A ⋃⋃表示成三个两两互不相容事件的和。

1.4 设}20|{≤≤=Ωx x ，}15.0|{≤<=x x A ，}5.125.0|{<≤=x x B ，请具体写出下列各事件：（1）B A ；（2）B A ⋃；（3）B A ；（4）AB 。

1.5 一个工人生产了四件产品，以i A 表示他生产的第i 件产品是正品（4,3,2,1=i ），试用)4,3,2,1(=i A i 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。

1.6 设A 、B 、C 是三个事件，且41)()()(===C P B P A P ，81)(=AC P ， 0)()(==BC P AB P ，求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率。

1.7 设A 、B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) =0.7。

问（1）在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？1.8 袋中有白球5只，黑球6只，依次从袋中不放回取出三只，求顺序为黑白黑的概率。

概率论与数理统计3.4节二维 r.v.函数的分布

二维连续r.v.函数的分布
问题已知r.v.( X ,Y )的d.f.数，
g(x,y)为已知的二元函数，
求 Z= g( X ,Y ) 的d.f.
方法
从求Z 的分布函数出发,将Z 的分布函数转化为( X ,Y )的事件
建立新的二维r.v.(Z ,X )或(Z, Y ), 求其边缘分布得Z 的d.f.
1 z 2,
Ch3-124
0,
f
Z
(
z
)
z,
2 z,
z 0或z 2 0 z 1 1 z 2
解法二从分布函数出发 y
1 FZ (z) P( X Y z)
f (x, y)dxdy
1
x yz
x
当z < 0 时，
FZ (z) 0
当0 z < 1 时，
z
zx
FZ (z) 0 dx0 1dy
Z X /Y V Y
X ZV
Y
V
vz | J || || v |
01
fZV (z,v) f zv,v| v |
fZ (z)
fZV (z, v)dv
f (zu,v) | v | dv
Ch3-139
例4 已知( X, Y ) 的联合分布函数为
1 ex ey e(xy) , x 0, y 0
Ch3-117
具有可加性的两个离散分布
设 X ~B (n1, p), Y ~B (n2, p), 且独立，则 X + Y ~ B ( n1+n2, p)
设 X ~ P (1), Y ~ P (2), 且独立，则 X + Y ~ P(1+ 2)
Poisson分布可加性的证明

《概率论和数理统计》第三版-课后习题及答案解析.

习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{Λ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22Λ=Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{Λ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i π (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ωπ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207ππx x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8φφ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

《概率学》3.4二维随机变量的条件分布

第4节多维随机变量的条件分布
第三章多维随机变量及其分布
例2 已知(X,Y )服从圆域 x2 + y2 r2 上的均匀分布,求
fY X ( y x).
当 – r < x < r 时，
fY X ( y
x)
f (x, y) fX (x)
2
1 ,
r2 x2
0,
r2 x2 y 其他
r2 x2
f
(x,
y)
1 / 0,
x,
0 x 1,0 y x;
其他.
1 5
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第4节多维随机变量的条件分布
第三章多维随机变量及其分布
练习对于随机向量(X,Y)已知
fY
X (y
x)
2y
1
x
2
,
0,
x y 1
4x(1 x2 ),
fX (x)
其他
0,
求Y在X=0和X在Y=1条件下的条件概率分布.
X
Y
1
2
3 P(X=xi)
0
0.1
0.2
0.3 0.6
1
0.1
0.2
0.1 0.4
解再计算 (X, Y)关于Y的边缘概率分布
由公式
P{Y xi
X
yj}
pi j p j
i 1, 2,
得在Y=1条件下X的条件概率分布为：
X|Y=1 0
1
pi| j
1
2
求P{X+Y≥1}，
P{Y<0.5},
P Y
2 3
X
1 2
0 x 1 其他

概率与数理统计3.4 相互独立的随机变量

26
12
23
1
则有 P{X 0,Y 1} 1 6 P{X 0}P{Y 1},
P{X 0,Y 2} 1 6 P{X 0}P{Y 2},
P{X 1,Y 1} 2 6 P{X 1}P{Y 1},
P{X 1,Y 2} 2 6 P{X 1}P{Y 2},
xe y
d
y,
xex , x 0,
0, x 0.
x0 x 0.

fY ( y)
f (x, y)d x

y 0
xe y d x,
y0
0,
y 0.
12 y2e y , y 0,
0,
y 0.
由于在 0 x y 上, f ( x, y) f X ( x) fY ( y), 故 X 与Y 不独立.
第四节相互独立的随机变量
一、随机变量的相互独立性二、二维随机变量的推广三、小结
一、相互独立的随机变量
1.定义
设F ( x, y)及FX ( x), FY ( y)分别是二维随机变量( X ,Y )的分布函数及边缘分布函数. 若对于所有
x, y有
P{X x,Y y} P{X x}P{Y y},
(2) 设连续型随机变量( X ,Y )的联合概率密度为 f ( x, y),边缘概率密度分别为f X ( x), fY ( y),则有
X 和 Y 相互独立 f ( x, y) fX ( x) fY ( y).
(3)X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
例1 对于随机变量 X和Y，由
exp

2024年数学九年级概率统计专项练习题3(含答案)

2024年数学九年级概率统计专项练习题3（含答案）试题部分一、选择题：1. 下列哪个事件是随机事件？（）A. 掷一枚硬币，正面朝上B. 太阳从西方升起C. 一辆汽车行驶1小时，路程为60公里D. 一个数既是偶数又是奇数2. 下列哪个图形的面积可以用概率公式求解？（）A. 正方形B. 圆C. 三角形D. 梯形3. 一个袋子里有5个红球，3个蓝球，2个绿球，从中随机取出一个球，取出红球的概率是多少？（）A. 5/10B. 3/10C. 2/10D. 1/104. 一次考试共有10道题，小明会做8道题，不会做2道题，他随机选择一道题作答，答对的概率是多少？（）A. 8/10B. 7/10C. 6/10D. 5/105. 下列哪个统计量可以用来描述一组数据的离散程度？（）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差6. 下列哪个概率模型适用于描述连续型随机变量？（）A. 伯努利模型B. 二项分布C. 泊松分布D. 正态分布7. 一个班级有50名学生，其中有25名男生，25名女生，随机抽取一名学生，抽取到女生的概率是多少？（）A. 25/50B. 24/50C. 23/50D. 22/508. 下列哪个事件是必然事件？（）A. 抛掷一枚硬币，正面朝上B. 抛掷一枚骰子，点数为7C. 一年有365天D. 一个数既是正数又是负数9. 下列哪个统计量可以用来描述一组数据的集中趋势？（）A. 极差B. 四分位数C. 平均数D. 标准差10. 一个袋子里有10个球，编号为1至10，随机取出一个球，取出编号小于5的球的概率是多少？（）A. 4/10B. 3/10C. 2/10D. 1/10二、判断题：1. 概率值一定在0和1之间。

（）2. 抛掷一枚硬币，正面朝上和反面朝上的概率相等。

（）3. 一个事件的概率为0，意味着该事件不可能发生。

（）4. 方差越大，数据的离散程度越大。

（）5. 众数是一组数据中出现次数最多的数值。