二次曲面的几个性质

经计算可知 R = 算得
c c R S= 因此 -= x 1 S
2
∫ ∫ ∑
2 c 0
xd ∑ = d h0
1
m 2 - n2 si n2 2 θ xd e ( D 是∑ 在 xOy 面上的投影 ) c R D
∫ ∫
=
1 c
∫ ∫ ι+
x0
R co sθ r coshm + n si n2 θ
x0 R si n θ r sin h r dr = ι m - n si n2 θ
参考文献 :
[ 1 ] 邓光辉 ,陈运胜 . 圆锥曲线的平分弦性质 [ J ]. 益阳师专学报 , 2000, 5 : 16 — 18.
2 2 2
Several Properties of Quadric Surf ace
CHEN Yun-sheng , DENG Guang hui
( Hunan M etallur gica l Pro fessio nal T ech no lo gy Colleg e, Zhuzhou Hunan 412000, China) Abstract : The pape r intr oduces sev e ral proper ties of ta ng ent lines of quadric sur fa ce, ex tends analo g y pro pe rties o f co nic to quadric surface. Keywords : quadric sur face; geo metr y bar ycenter; tange nt point
2 4 2 2
+ 记 R=
( a b c y 0 cosθ- a b c x 0 sinθ ) m - n sin2 θ
( a2b4c 2x 0 cosθ + a4b2 c2 y 0 si n θ )2 ( a 4b2c2 y 0 co sθ- a 2b4c2 x 0 si n θ )2 4 4 2 4 4 2 + + a b z0 - a b c m + n si n2 θ m - n sin2 θ a 4b4z 2 0 (ι - 1) x2 0 y2 0 z2 0 . 其中 ι = 2+ 2 + 2 (由此可知当 ι > 1时才能引切线 ) , 经计 ι a b c x2 0 y2 0 z2 0 4+ 4 + 4 a b c , z 0 ≠ 0 m 2 - n2 sin2 2 θz0
2x 0x 2y 0 y + - z0 p q
所围成的在此平面上的闭区域 , 此区域在 xO y 面上的投影为 (x - x 0)2 ( y - y0 ) 2 x2 0 y2 0 D: + ≤ + p q p q - z0 x2 0 y2 0 x 2 y2 记 R2 = + - z 0 (由此知点 P ( x 0 , y 0 , z 0 )应在椭圆抛物面 z = + 之外 ) , 于是 ∑ 的 p q p q 面积为 S = pqc R2 4x 2 0 4y 2 0 + 1, 因此 2 + p q2 1 1 x= xd ∑ = pqcR2 D x de S ∑
4期
陈运胜 ,等 : 二次曲面的几个性质
2
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x 2+ a x0 连线必过由切点围成的平面图形的重心 (形心 ) , ι 证明方法与前面一样 , 但应注意到 ι < 0. 定理 4 从点 P ( x 0 , y 0 , z 0 )引单叶双曲面
2
y 2b y0 , ι
2
2
z 2 = 1的切线 , 此点与坐标原点的 c z0 x2 0 y2 0 z2 0 其中 ι = 2+ 2 - 2 . ι a b c
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数 学 的 实 践 与 认 识
34 卷
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- 2a b c x 0x - 2a b c y 0 y = a b z 0 - a b c 先假设 x 0 y 0≠ 0, 令 x = x′ cosθ- y′ si n θ y = x′ si n θ + y′ cosθ 消除交叉项 , 得
2x 0 x 2y 0 y + - z - z 0 = 0 的交点为 p q
2x 2 0 2y 2 0 + - z0 . p q 因此过点 P ( x 0 , y 0 , z 0 )平行于 z 轴的直线必过由切点围成的平面图形的重心 (形心 ) . x 2 y2 z 2 定理 3 从点 P ( x 0 , y 0 , z 0 )引椭球面 2+ 2 + 2 = 1 的切线 , 此点与坐标原点的连线 a b c 必过由切点围成的平面图形的重心 (形心 ) . 证明 由定理 1知 , 切点在平面 x0 x y0 y z 0z 2 + 2 + 2 - 1= 0 a b c 上 , 因此切点所围成的平面图形 ∑ 就是曲线 x2 y2 z2 = 1 2+ 2 + a b c2 x 0x y0 y z 0z + + = 1 a2 b2 c2 所围成的在此平面上的闭区域 , 此曲线在 xO y 面上的投影为 4 2 2 2 2 ( a 2b4 z 2 0 + b c x 0) x + ( a4b2 z 2 0+ a4 c2 y 2 0 )y + 2a2b2 c2x 0 y 0 x y
4 2 2 4 2 2 4 2 2 2a 2b2c2 x 0 y 0 cos2 θ= ( a 2b4z 2 0 + b c x 0 - a b z 0 - a c y 0 ) sin2 θ 4 2 2 2 4 2 4 4 2 4 4 2
a b z 0 + b c x 0 + a b z 0 + a c y0 2
2
2
定理 5 从点 P ( x 0 , y 0 , z 0 )引双叶双曲面 x 2 - y 2+ z 2 = - 1的切线 , 此点与坐标原点 a b c 的 连 线 必 过 由 切 点 围 成 的 平 面 图 形 的 重 心 (形 心 ) x0 y0 z0 x 0 y0 z 0 , - , 其中 ι = 2 - 2+ 2 . ι ι ι a b c 证明方法与前面一样 , 但应注意到 - 1 <ι < 0. 对于锥面 ,切点不能围成封闭域 , 所以形心不存在 .
∫ ∫
∫ ∫
= 同理可得 1 y= S
1 pqcLeabharlann BaiduR2
∫∫
0
2 c
d θ0 x 0 +
1
p Rr cosθ
pqR2 r dr = x 0
∫ ∫ ∑
1 yd ∑ = y0 z- = S
∫ ∫ ∑
zd ∑ =
2x 2 0 p +
2y 2 0 0 q - z
另一方面 , 过点 P ( x 0 , y 0 , z 0 )平行于 z 轴的直线与平面 x 0 , y0 ,
第 34卷第 4期 2004 年 4 月
数学的实践与认识 M A T HEM A T ICS IN PRAC T ICE AND T HEO RY
V ol. 34 N o. 4 April, 2004
教学园地
二次曲面的几个性质
陈运胜 , 邓光辉
(湖南冶金职业技术学院基础课部 , 湖南 株洲 412000)
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4 2 2
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( m + n si n2 θ ) x′2 + ( m - n sin2 θ ) y′2 - 2( a 2b4c2 x 0 co sθ + a4b2c 2 y 0 si n θ ) x′ - 2( a b c y 0 cosθ- a b c x 0 sinθ ) y′ = a b z0 - a b c 其中 m= n= θ 应满足的条件为
2 4 2 4 2 2 2
+ ( m - n sin2 θ ) y′ = a b z0 - a b c +
4 2 2 4 4 2 4 4 2
a 4b2c2 y 0 co sθ- a 2b4c2 x 0 sin θ2 m - n sin2 θ
( a2b4 c2 x 0 co sθ + a 4b2c2 y 0 sin θ )2 m + n si n2 θ
收稿日期 : 2001-05-29
4期
陈运胜 ,等 : 二次曲面的几个性质
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其中 S 为 ∑ 的面积 . 定理 2的证明 由定理 1知 , 切点在平面 2x 0 x p + 2y 0 y 0 q - z- z = 0
2 2
上 , 因此切点所围成的平面图形 ∑ 就是曲线 z= x + y p q z=
4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 (a 2b4z 2 0 + b c x 0 - a b z 0 - a c y0 ) + 4a 4b4c4 x 2 0 y0 2 2 2 4a b c x 0 y 0
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经计算可知 , m + n sin2 θ , m - n sin2 θ 都大于零 . 经配方得 ( m + n sin2 θ ) x′ a b c x 0 cosθ + a b c y 0 si n θ m + n si n2 θ
y0 - z 0 x 0x y 0 y z 0z 同理 y= , z= . 另一方面 ,点 P ( x 0 , y 0 , z 0 )与坐标原点的连线和平面 2 + 2 + 2 ι ι a b c 0 0 0 x y z 1= 0 的交点经计算也是 , , . 当 x 0 y 0 = 0或 z 0 = 0 时也可得同样的结论 . ι ι ι
摘要 : 介绍了二次曲面的切线的几个性质 ,把二次曲线的类似性质推广到了二次曲面 . 关键词 : 二次曲面 ;形心 ; 切点
在平面解析几何里 , 从二次曲线外的一点引该曲线的切线有平分切点弦的性质 [1 ] , 本文 把这些性质推广到了二次曲面 . 定义 方程 Ax 2 + B y 2 + Cz 2 + Dx y + Eyz + Fx z + Gx + H y + Iz + J = 0所表 示的曲面称为二次曲面 ( A、 B、 C、 D、 E、 F 不同时为零 ) . 定理 1 如果从曲面外的点 P 能引二次曲面的切线 , 那么切点共面 . 证明 设 P 的坐标为 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , 切点为 Q ( x 1 , y 1 , z 1 ) , 据二元函数的理论 , 二次曲面 在切点的法向量 n = { 2Ax 1+ Dy 1+ Fz 1+ G , 2By 1+ Dx 1+ Ez 1+ H , 2Cz 1+ Ey 1+ Fx 1+ I } , 而 向量 PQ与法向量垂直 , 即 PQ n = 0 代入整理化简并注意到切点 Q 在曲面上 , 得 ( 2A x 0 + Dy 0 + Fz 0 + G) x 1 + ( 2B y 0 + Dx 0 + Ez 0 + H ) y 1 + (2 Cz 0 + Fx 0 + Ey 0 + I ) z 1 + Gx 0 + H y 0 + Iz 0 + 2J = 0 这就是说切点 Q ( x 1 , y 1 , z 1 )在平面 ( 2Ax 0 + Dy 0 + Fz 0 + G ) x + ( 2By 0 + Dx 0 + Ez 0 + H ) y + ( 2Cz 0 + Fx 0 + Ey 0 + I ) z + Gx 0 + 上. x2 y2 定理 2 从 P ( x 0 , y 0 , z 0 )引椭圆抛物面 z = + ( > 0, q> 0)的切线 , 过此点平行 p q p 于 z 轴的直线必过由切点围成的平面图形的重心 (形心 ) . 在证明此定理之前 , 先介绍空间平面图形的形心的公式 . 设 ∑ 是有界空间平面图形 , 它可用方程 z = f ( x , y )表示 , 且 f ( x , y )有连续的偏导数 , -, y -, z - )的公式为 那么 ∑ 的重心 (形心 ) ( x -= x 1 S -= 1 z d x d∑ y= 1 y d∑ z ∑ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ S∫ S ∑ ∑ ∑ Hy 0 + Iz 0 + 2J = 0