§1-5电磁感应中的能量转化(教案)

§1-5 电磁感应中的能量转化（教案）

精要提示

1.电磁感应现象的实质是不同形式能量转化的过程。产生和维持感应电流的存在的过程就是其它形式的能量转化为感应电流电能的过程。

2.安培力做正功的过程是电能转化为其它形式能量的过程,安培力做多少正功,就有多少电能转化为其

它形式能量。

3.安培力做负功的过程是其它形式能量转化为电能的过程,克服安培力做多少功,就有多少其它形式能

量转化为电能.

4.导体在达到稳定状态之前，外力移动导体所做的功，一部分用于克服安培力做功，转化为产生感应电流的电能或最后转化为焦耳热.，另一部分用于增加导体的动能。

5.导体在达到稳定状态之后，外力移动导体所做的功，全部用于克服安培力做功，转化为产生感应电流的电能并最后转化为焦耳热.

6.用能量转化和守恒的观点解决电磁感应问题,只需要从全过程考虑,不涉及电流产生过程的具体的细节,可以使计算方便,解题简便.

例1. 如图所示，在一个光滑金属框架上垂直放置一根长l=0.4m 的金属棒ab，其电阻r=0.1Ω．框架左端的电阻R=0.4Ω．垂直框面的匀强磁场的磁感强度B=0.1T．当用外力使棒ab以速度v=5m/s右移时，ab棒中产生的感应电动势E=_ __，通过ab棒的电流I=__ ．ab棒两端的电势差U ab=___，在电阻R上消耗的功率P R=___，在ab棒上消耗的发热功率P r= ____，切割运动中产生的电功率P=

___．答案：0.2V, 0.4A,0.16V,0.064W,0.016W,0.08W

例2 如图所示，矩形线框先后以不同的速度v1和v 2匀速地完全拉出有界匀强磁场．设线框电阻为R，且两次的始末位置相同,求

(1)通过导线截面的电量之比

(2)两次拉出过程外力做功之比

(3)两次拉出过程中电流的功率之比

解:q=IΔt= EΔt/R=ΔΦ/ R ∴q1 /q2 =1

W=FL=BIlL=B2 l2 vL/R∝v ∴W1/W2=v1/v2

P= E2/R = B2 l2v2/R ∝v2 ∴ P1/P2= v12/v22

例3 如图所示，电阻为R的矩形线框，长为l ，宽为a，在外力作用下，以速度v向右运动，通过宽度为d，磁感应强度为B的匀强磁场中，在下列两种情况下求外力做的功：(a) l d 时。解：（a）线框进入和穿出时产生感应电动势E=Bav

进入时做功W1=E2 t /R=（Bav）2×l /v×R= B2a2 l v/R

穿出时做功W2= W1

∴ W=2B2a2l v/R

（b）线框进入和穿出时产生感应电动势E=Bav

进入时做功W1=E2t′/ R=（Bav）2×d /v×R= B2a2 d v/R

穿出时做功W2= W1∴W=2B2a2 d v/R

例题4 电阻为R的矩形导线框abcd,边长ab=l, ad=h,质量为m,自某一高度自由落体,

通过一匀强磁场,磁场方向垂直纸面向里,磁场区域的宽度为h ,如图,若线框恰好以恒

定速度通过磁场,线框内产生的焦耳热等于. (不考虑空气阻力) 2mgh

解: 由能量守恒定律,线框通过磁场时减少的重力势能转化为线框的内能,

所以Q=2mgh

练习1、用同种材料粗细均匀的电阻丝做成ab、cd、ef三根导线，ef较长，分别放

在电阻可忽略的光滑平行导轨上，如图，磁场是均匀的，用外力使导线水平向右做

匀速运动，（每次只有一根导线在导轨上），而且每次外力做功的功率相同，则下列说法正确的是(B D)

A ab运动得最快

B. ef 运动得最快

C. 导线产生的感应电动势相等

D. 每秒钟产生的热量相等

提示：L指切割磁感应线的有效长度,

P=E2/R=（BLv）2/R

三根电阻丝的电阻R ab＜R cd＜R ef

练习2、如图示，MN和PQ为平行的水平放置的光滑金属导轨，导轨电阻不计，ab、cd为两根质量均为m的导体棒垂直于导轨，导体棒有一定电阻，整个装置处于竖直向下

的匀强磁场中，原来两导体棒都静止．当ab棒受到瞬时冲量而向右以速度

v0运动后，（设导轨足够长，磁场范围足够大，两棒不相碰）（C D ）

A．cd棒先向右做加速运动，然后做减速运动

B．cd棒向右做匀加速运动

C．ab棒和cd棒最终将以相同的速度匀速向右运动

D．从开始到ab、cd都做匀速运动为止，在两棒的电阻上消耗的电能相同

例题5 两金属杆ab和cd长均为l , 电阻均为R, 质量分别为M和m, M>m. 用两根质量和电阻均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路, 并悬挂在水平、光滑、不导电的圆棒两侧. 两金属杆都处在水平位置, 如图所示. 整个装置处在一与回路平面相垂直的匀强磁场中, 磁感应强度为B. 若金属杆ab正好匀速向下运动, 求运动的速度.

解：设磁场方向垂直纸面向里,

ab中的感应电动势E1=Bvl, 方向由a→b.

cd中的感应电动势E2=Bvl, 方向由d→c.

回路中电流方向由a→b→d→c,

大小为I= (E1 + E2 )/2R= Bvl /R

ab受到的安培力向上, 大小为F

当ab匀速下滑时, 对ab有2T+F = Mg

对cd受到的安培力向下,有2T = F + mg 式中2T为杆所受到的导线的拉力

解得2F=(M - m) g 即2BI l =(M - m)g

2B2l 2v /R=(M-m)g v =(M-m)gR/ 2B2l 2

磁场方向垂直纸面向外，结果相同。

又解:由能量守恒定律,

匀速运动过程中,在时间t内,系统重力势能的减少等于两棒中产生的电能:

Mgvt－mgvt =2×I 2 R t = 2 ×(B l v)2 t /R 2B2l 2v /R=(M-m)g

∴v =(M-m)gR/ 2B2l2

练习3、如图所示，在磁感强度为B的匀强磁场中，有半径为r的光滑半圆形

导体框架，OC为一能绕O在框架上滑动的导体棒，OC之间连一个电阻R，导

体框架与导体棒的电阻均不计，若要使OC能以角速度ω匀速转动，则外力做

功的功率是( C )

A. B2ω2r4 /R

B. B2ω2r4 /2R

C. B2ω2r4 /4R

D. B2ω2r4 /8R

解：E=B ω r2/2 P=E 2／R=B2ω2r4 /4R

练习4、竖直放置的平行光滑导轨,其电阻不计,磁场方向如图所示,磁感强度B=0.5T，

导体ab及cd长均为0.2m，电阻均为0.1Ω,重均为0.1N,现用力向上推动导体ab,使之

匀速上升(与导轨接触良好),此时，c d恰好静止不动，那么ab上升时,下列说法正确

的是(ABC)

A．ab受到的推力大小为0.2N B．ab向上的速度为2m/s

C．在2s 内，推力做功转化的电能是0.4J D．在2s 内，推力做功为0.6J

解：cd 静止,F1 =mg=0.1N

ab 匀速上升，F = F 1 +mg =0.2N ∴v =2m/s

F 1 =BIL =B 2 L 2 v /2R =0.1N S =vt =4m 拉力做功 W F =FS =0.8J 安培力做功 W F 1 =F 1 S =0.4J

例题6如图所示，MN 为金属杆，在竖直平面上贴着光滑的金属导轨下滑，导轨

间距l ＝0.1m ，导轨上端接有电阻R ＝0.5Ω，导轨与金属杆电阻匀不计，整个装

置处于磁感应强度B ＝0.5T 的水平匀强磁场中.若杆MN 以稳定速度下滑时，每

秒有0.02J 的重力势能转化为电能，则MN 杆下滑速度v ＝ m/s.

解：由能量守恒定律，重力的功率等于电功率

P =E 2/R =(BLv )2 /R =0.02

2m/s 0.050.50.02)(2

2=?==BL PR v 练习5、如图所示，一个“ П” 形导轨PMNQ 的质量为M ，水平固定在一个竖直向下的匀强磁场中，导轨上跨放一根质量为m 的金属棒ab ，导轨的MN 边和金属棒ab 平行，它们的电阻分别是R 和r ，导轨的其余部分的电阻不计。若沿着MP 方向作用在金属棒上一个水平

冲量使 ab 在很短时间内由静止得到速度v 0，设导轨足够长。求在金属

棒ab 中产生的热量。

解:金属棒ab 在冲量作用下获得速度v 0 ，

相应的动能 E k = mv 02/2

ab 切割磁感线运动，产生感应电流受到磁场力F 作用做减速运动，直

到速度减为零停止下来，在这个过程中，ab 棒的动能转化为电能，最终转化成导轨与ab 棒产生的焦耳热Q 1和Q 2，满足 Q 1＋Q 2＝E k

因导轨电阻R 和ab 棒电阻r 是串联关系，则 Q 1/Q 2=R /r

由以上各式可解得，金属棒上产生的热量 Q 2＝m v 02 r / 2(R ＋r )

例题7如图所示,两根足够长的固定平行金属光滑导轨位于同一水平面,导轨上横放着两根相同的导体棒ab 、cd ,与导轨构成矩形回路.导体棒的两端连接着处于压缩状态的两根轻质弹簧,两棒的中间用细线绑住,它们的电阻均为R,回路上其余部分的电阻不计.在导轨平面内两导轨间有一竖直向下的匀强磁场.开始时,导体棒处于静止状态.剪断细线后,导体棒在运动过程中 ( AD)

A.回路中有感应电动势

B.两根导体棒所受安培力的方向相同

C.两根导体棒和弹簧构成的系统动量守恒、机械能守恒

D.两根导体棒和弹簧构成的系统动量守恒、机械能不守恒

练习6、如图所示，固定的水平光滑金属导轨，间距为L ，左端接有阻值为R 的电阻，处在方向竖直、磁感应强度为B 的匀强磁场中。质量为m 的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻可忽略。初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度v 0，在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触。

（1）求初始时刻导体棒受到的安培力

（2）若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为

E p ，则在这一过程中安培里所做的功W 1和电阻R 上产生的焦耳热

Q 1分别是多少？

（3）导体棒往复运动，最终将静止于何处？从导体棒开始运动直到

最终静止的过程中，电阻R 上产生的焦耳热Q 为多少？

解：（1）初始时刻棒中感应电动势 E =BLv 0 棒中感应电流 I =E /R

作用于棒上的安培力的大小： F =BIL =BLv 0/R 安培力的方向： 水平向右

（2）由功能关系得：安培力做功 W 1 =E P -mv 0/2 电阻R 上产生的焦耳热 Q 1= mv 0 /2- E P

（3）由能量转化及平衡条件等，可判断出：

棒最终静止于初始位置电阻R 上产生的焦耳热Q 为Q = 1/2 mv 02/2

1．给电动机接通电源，线圈受安培力的作用转动起来．由于线圈要切割磁感线，因此必有感应电动势产生，感应电流方向与原电流方向相反，就此问题，下列说法正确的是(AC)

A ．电动机中出现的感应电动势为反电动势，反电动势会阻碍线圈的运动

B ．如果电动机正常工作，反电动势会加快电动机的转动

C ．如果电动机工作中由于机械阻力过大而停止转动，就没了反电动势，线圈中的电流就会很大，很容易烧毁电动机

D ．如果电动机工作电压低于正常电压，电动机也不会转动，此时尽管没有反电动势，但由于电压低也不容易烧毁电动机

2．如图所示，固定的水平长直导线中通有电流I ，矩形线框与导线在同一竖直平面内，

且一边与导线平行．线框由静止释放，在下落过程中( B )

A ．穿过线框的磁通量保持不变

B ．线框中感应电流方向保持不变

C ．线框所受安培力的合力为零

D ．线框的机械能不断增大

3．圆形导体环用一根轻质细杆悬挂在O 点，导体环可以在竖直平面内来回摆动，空气阻力和摩擦力

均可忽略不计．在图所示的正方形区域，有匀强磁场垂直纸面向里．下列说法正

确的是(BD)

A ．此摆开始进入磁场前机械能不守恒

B ．导体环进入磁场和离开磁场时，环中感应电流的方向肯定相反

C ．导体环通过最低位置时，环中感应电流最大

D ．最后此摆在匀强磁场中振动时，机械能守恒

解析：选BD.导体环在进、出磁场阶段，导体环有一部分在做切割磁感线运动，电路中有感应电流产生，机械能转化为电能，且由楞次定律知这两种情况下感应电流方向相反．环全部进入磁场后，穿过导体环的磁通量不变，无感应电流．

4．如图所示，两个端面半径同为R 的圆柱形铁芯同轴水平放置，相对的端面之间有一缝隙，铁芯上绕导线并与电源连接，在缝隙中形成一匀强磁场．一铜质细直棒ab 水平置于缝隙中，且与圆柱轴线等高、垂直．让铜棒从静止开始自由下落，铜棒下落距离为0.2R 时铜棒中电动势大

小为E 1，下落距离为0.8R 时电动势大小为E 2，忽略涡流损耗和边缘效应．关于E 1、

E 2的大小和铜棒离开磁场前两端的极性，下列判断正确的是(D)

A ．E 1>E 2，a 端为正

B ．E 1>E 2，b 端为正

C ．E 1

D ．

E 1

解析：选D.将立体图转化为平面图如图所示，由几何关系计算有效切割长度L

L 1＝2R 2－h 21＝2R 2－ 0.2

R 2＝2R 0.96

L 2＝2R 2－h 22＝2R 2－ 0.8

R 2＝2R 0.36 由机械能守恒定律计算切割速度v ，

即：mgh ＝12

mv 2，得v ＝2gh ，则： v 1＝2g ×0.2R ＝0.4gR ，

v 2＝2g ×0.8R ＝ 1.6gR

根据E ＝BLv ，E 1＝B ×2R 0.6×1.6×0.4gR ，E 2＝B ×2R 0.36×1.6gR ，可见E 1

5. 水平放置的两根平行金属导轨ad 和bc ，导轨两端a 、b 和c 、d 两点分别连接电阻R 1和R 2，组成矩形线框，如图所示，ad 和bc 相距L ＝0.5 m ．放在竖直向下的匀强磁场中．磁感应强度B ＝1.2 T ，一根电阻为0.2 Ω的导体棒PQ 跨接在两根金属导轨上，在外力作用下以4.0 m/s 的速度向右匀速运动，若电阻R 1＝0.3 Ω，R 2＝0.6 Ω，导轨ad 和bc 的电阻不计，导体与导轨接触良好．求：

(1)导体PQ 中产生的感应电动势的大小和感应电流的方向；

(2)导体PQ 向右匀速滑动过程中，外力做功的功率． 解析：(1)E ＝BLv ＝1.2×0.5×4.0 V ＝2.4 V

R 外＝R 1R 2R 1＋R 2＝0.3×0.60.3＋0.6

Ω＝0.2 Ω I ＝E R 外＋r ＝ 2.40.2＋0.2

A ＝6 A. 根据右手定则判断电流方向Q →P .

(2)F ＝F 安＝BIL ＝1.2×6×0.5 N ＝3.6 N.

P ＝Fv ＝3.6×4.0 W ＝14.4 W. 答案：(1)2.4 V 电流方向Q →P (2)14.4 W

1．著名物理学家费曼曾设计过这样一个实验装置：一块绝缘圆板可绕其中心

的光滑轴自由转动，在圆板的中部有一个线圈，圆板的四周固定着一圈带电的

金属小球，如图所示．当线圈接通电源后，将产生流过如图所示方向的电流，

则下列说法正确的是(BD)

A．接通电源瞬间，圆板不会发生转动

B．线圈中电流强度的增大或减小会引起圆板向不同方向转动

C．若金属小球带正电，接通电源瞬间圆板转动方向与线圈中电流流向相同

D．若金属小球带负电，接通电源瞬间圆板转动方向与线圈中电流流向相同

解析：选BD.根据楞次定律，线圈中的电流增大或减小会产生方向不同的感生电场，带电金属球在方向不同的电场作用下，会向不同方向转动；在接通电源瞬间，感生电源产生的磁场方向与原磁场方向相反，根据安培定则，电流方向与负电荷定向移动方向相反．故选B、D.

2．如图所示，一个矩形线框从匀强磁场的上方自由落下，进入匀强磁场中，

然后再从磁场中穿出．已知匀强磁场区域的宽度L大于线框的高度h，那么下

列说法中正确的是(A)

A．线框只在进入和穿出磁场的过程中，才有感应电流产生

B．线框从进入到穿出磁场的整个过程中，都有感应电流产生

C．线框在进入和穿出磁场的过程中，都是磁场能转变成电能

D．线框在磁场中间运动的过程中，电能转变成机械能

3．如图所示，在匀强磁场中，导体ab与光滑导轨紧密接触，ab在向右的拉

力F作用下以速度v做匀速直线运动，当电阻R的阻值增大时，若速度v不

变，则(A)

A．F的功率减小B．F的功率增大

C．F的功率不变D．F的大小不变

4．如图所示，EF、GH为平行的金属导轨，其电阻可不计，R为电阻，C为电容器，AB为可在EF 和GH上滑动的导体横杆．有匀强磁场垂直于导轨平面．若用I1和I2分别表示图中该处导线中的电流，则当横杆AB(D)

A．匀速滑动时，I1＝0，I2＝0

B．匀速滑动时，I1≠0，I2≠0

C．加速滑动时，I1＝0，I2＝0

D．加速滑动时，I1≠0，I2≠0

5.用均匀导线做成的正方形线框每边长为0.2 m，正方形的一半放在和纸面垂直向里的匀

强磁场中，如图所示，当磁场以10 T/s的变化率增强时，线框中a、b两点的电势差是(B)

A．U ab＝0.1 V B．U ab＝－0.1 V

C．U ab＝0.2 V D．U ab＝－0.2 V

6.如图所示，导体棒ab可以无摩擦地在足够长的竖直轨道上滑动，整个装置处于匀强磁

场中，除电阻R外，其他电阻均不计，则在ab棒下落的过程中(CD)

A．ab棒的机械能守恒

B．ab棒达到稳定速度以前，其减少的重力势能全部转化为电阻R增加的内能

C．ab棒达到稳定速度以前，其减少的重力势能全部转化为增加的动能和电阻R增

加的内能

D．ab棒达到稳定速度以后，其减少的重力势能全部转化为电阻R增加的内能

7.如图所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R，质量不能忽略的金

属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装置

放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，棒在竖直向上的恒力F作用下加速上升

的一段时间内，力F做的功与安培力做的功的代数和等于(A)

A．棒的机械能增加量B．棒的动能增加量

C．棒的重力势能增加量D．电阻R上放出的热量

8．如图所示，有两根和水平方向成α角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，

空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B.一根质量为m的金属杆从

轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度

v m，则(B)

A．如果B增大，v m将变大B．如果α增大，v m将变大

C．如果R增大，v m将变小D．如果m减小，v m将变大

9．光滑金属导轨宽L ＝0.4 m ，电阻不计，均匀变化的磁场穿过整个

轨道平面，如图甲所示．磁场的磁感应强度随时间变化的情况如图乙

所示．金属棒ab 的电阻为1 Ω，自t ＝0时刻起从导轨最左端以v ＝1

m/s 的速度向右匀速运动，则(CD)

A ．1 s 末回路中电动势为0.8 V

B ．1 s 末ab 棒所受磁场力为0.64

N

C ．1 s 末回路中电动势为1.6 V

D ．1 s 末ab 所受磁场力为1.28 N

10．如图所示，闭合小金属环从高为h 的光滑曲面上由静止滚下，又沿曲

面的另一侧上升，若图中磁场为匀强磁场，则环上升的高度________h ；若

为非匀强磁场，则环上升的高度应________h ．(填“>”“＝”或“<”)(提示：从

能否产生感应电流的角度思考) 答案：＝ <

11．如图所示，小灯泡的规格为“2 V 4 W”，接在光滑水平导轨上，轨距

0.1 m ，电阻不计．金属棒ab 垂直搁置在导轨上，电阻为1 Ω.整个装置处于

磁感应强度B ＝1 T 的匀强磁场中．求：

(1)为使小灯泡正常发光，ab 的滑行速度多大？

(2)拉动金属杆ab 的外力的功率为多大？

解析：要使小灯泡正常发光，灯两端电压应等于其额定值2 V ，这个电压是由于金属棒滑动时产生的感应电动势提供的．金属棒移动时，外力的功率转化为电路上的总电功率．

(1)小灯泡的额定电流和电阻分别为I ＝P U ＝2 A ，R ＝U 2P

＝1 Ω，设金属棒滑行速度为v ，它产生的感应电流为I 感＝BLv R ＋r ，式中r 为棒的电阻．由I 感＝I ，即BLv R ＋r

＝I ，得v ＝I R ＋r BL ＝2× 1＋1 1×0.1 m/s ＝40 m/s.

(2)根据能的转化，外力的机械功率等于整个电路中的电功率，所以拉动ab 做切割运动的功率为P 机＝P 电＝I 2×(R ＋r )＝22×(1＋1) W ＝8 W.

12．如图甲所示，光滑且足够长的平行金属导轨MN 、PQ 固定在同一水平面上，两导轨间距L ＝0.30 m ．导轨电阻忽略不计，其间连接有固定电阻R ＝0.40 Ω.导轨上停放一质量m ＝0.10 kg 、电阻r ＝0.20 Ω的金属杆ab ，整个装置处于磁感应强度B ＝0.50 T 的匀强磁场中，磁场方向竖直向下．用一外力F 沿水平方向拉金属杆ab ，使之由静止开始运动，电压传感器可将R 两端的电压U 即时采集并输入电脑，获得电压U 随时间t 变化的关系如图乙所示．

(1)利用上述条件证明金属杆做匀加速直线运动，并计算加速度的大小；

(2)求第2 s 末外力F 的瞬时功率；

(3)如果水平外力从静止开始拉动杆2 s 所做的功W ＝0.35 J ，求金属杆上产生的焦耳热．

解析：(1)设路端电压为U ，金属杆的运动速度为v ，则感应电动势E

＝BLv

通过电阻R 的电流I ＝E R ＋r 电阻R 两端的电压U ＝IR ＝BLvR R ＋r

由图乙可得U ＝kt ，k ＝0.10 V/s

解得v ＝k R ＋r BLR ·t

因为速度与时间成正比，所以金属杆做匀加速运动，

加速度a ＝k R ＋r BLR ＝1.0 m/s 2 (用其他方法证明也可以)．

(2)在2 s 末，速度v 2＝at ＝2.0 m/s 电动势E ＝BLv 2

通过金属杆的电流I ＝E R ＋r ，金属杆受安培力F 安＝BIL ＝ BL 2v 2R ＋r

解得：F 安＝7.5×10－2 N

设2 s 末外力大小为F 2，由牛顿第二定律得F 2－F 安＝ma

解得：F 2＝1.75×10－1 N

故2 s 末时F 的瞬时功率P ＝F 2v 2＝0.35 W.

(3)设回路产生的焦耳热为Q ， 由能量守恒定律，W ＝Q ＋12

mv 22 解得：Q ＝0.15 J 电阻R 与金属杆的电阻r 串联，产生焦耳热与电阻成正比 所以，Q R Q r

＝R r

运用合比定理，Q R ＋Q r Q r ＝R ＋r r 而Q R ＋Q r ＝Q 故在金属杆上产生的焦耳热Q ＝Q r R ＋r

解得：Q r ＝5.0×10－2 J. 答案：(1)见解析 (2)0.35 W (3)5.0×10－2 J