主范式的求法及应用
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分类号O158单位代码11395
密 级学 号1204210135
学生毕业论文
题目
主范式的求法及应用
作者
王定超
院 (系)
数学与统计学院
专业
数学与应用数学
指导教师
祁兰
答辩日期
2016年5月21日
榆 林 学 院
毕业论文诚信责任书
本人郑重声明：所呈交的毕业论文，是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。毕业论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等,均已明确注明出处。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明.
4.2 判断公式是否等值
若公式 中共含有 个命题变项，按 个命题变项求出 的主析取范式 ，若 ，则 ，否则 .
例4.1[5]判断下列两组公式是否等值:
(1)
(2)
解(1)用等值值派法分别求出主合取范式：
(1) 命题变元按字典序列排列；
(2) 对公式的每个解释，以二进制数从小到大或从从大到小顺序列出；
(3)若公式复杂，可先列出各子公式的真值(若有括号，则应从里层向外层展开)，最后列出所得公式的真值.
真值表法求主范式的步骤如下：
(1)写出相应的真值表；
(2)列出真值为1的极小项进行析取得到主析取范式；
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其真值为1的极小项为
故 主析取范式：
由真值为0的极小项通过主范式的“互补”得到相应的极大项为
故 主合取范式：
例3.2求命题公式 的主范式.
解由题意,使用真值表可得,
表3-2使相应公式为真的极小项
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例3.4求命题公式 的主范式.
解将命题公式 化成析取范式得：
其真值为1的指派为(1,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(0,1,1),(1,1,1)
删去重复的知：(1,0,0)，(0,0,1),(0,1,1),(1,1,1)
则 主析取范式:
由主范式的“互补”所得极大项为
则 主合取范式:
3.3
关键词：主范式；真值表；真值指派法；等值演算法
The method and application of
ABSTRACT
Principal normal form are the host conjunctive normal form and the host disjunctive normal form. It is an important cornerstone in the mathematical logic and the power of impelling the computer science development.The method and the applicationisof great value.In this paper,wemake corresponding explanation and the non-uniqueness of the paradigm leads to the uniqueness ofprincipal normal formbythe introduction of related theorem ofprincipal normal formanddefinition.Wegetthemethodsofprincipal normal form: truth table method,true value assignment method, andequivalent calculating method, and thengivetheapplicationsofprincipal normal form: judging several propositional formulas whether equivalent or not, the type of propositional formula, seeking the formula of becoming trueor false, and solve practical problems.
解由题意知命题公式 为析取范式，利用真值指派法可得:
其真值为1的指派为(1,1,0),(1,1,1),(0,0,1),(0,1,1),(0,1,1),(1,1,1)
删去重复的，知(1,1,0),(1,1,1),(0,0,1),(0,1,1)
故 的主析取范式：
由主范式的“互补”得到相应的极大项为
故 主合取范式：
(2)否定号的内移(利用德摩根斯)或者消去(利用双重否定律)；
(3)利用分配律：利用 对 的分配律求析取范式，利用 对 的分配律求合取范式．
公式的析取范式和合取范式是不唯一的.而任何命题公式的主范式都是存在的，并且是唯一的[5].
利用等值演算法求主范式的步骤如下：
(1)将命题公式化为析取范式；
(2)析取范式中所有永假的析取范式要除去；
(3)将析取范式中重复出现的合取项和相同的变元合并；
(4)对合取项添加补入没有出现的命题变元本身和否定形式的合取，然后应用分配展开式.
例3.5求命题公式 的主范式.
解故 的主析取范式为：
由主范式的“互补”得到相应的极大项为
故 主合取范式：
例3.6[5]求命题公式 的主范式.
解故 的主析取范式为：
简单合取式 ， 在此析取范式中都不是极小项，及求出它们派生的
2 预备知识
定义2.1[1]在一公式中，仅由命题变元及否定构成的析取式(合取式），称该公式为简单析取式(简单合取式），其中每个命题变元或其否定，称为析取项(合取项).
定义2.2[1]一个命题公式 称为合取范式(析取范式)，当且仅当 可表示为简单析取式的合取(简单合取式的析取)，即 ；其中 为简单析取式(简单合取式) .
因此，主合取范式和主析取范式有着“互补”关系[4].设命题公式 中含有 个命题变元，且 的主析取范式中含有 个小项 ，则 的主析取范式中必含有其余的 个小项，不妨含为 ，即 于是
.
故由给定公式的主析取范式可以求出主合取范式.本文主要给出求主析取范式的三种方法：等值演算法、真值指派法、真值表法.
3.1真值表法
定义2.3[2]在含有 个命题变项的简单析取式(简单合取式)中,若每个命题变项和它的否定式不同时出现,而二者之一必出现且反出现一次,且第 个命题变项或它的否定式出现从左算起的第 位上(若命题变项无角标，就按字典顺序排列).称这样的简单析取式(简单合取式)为极大项(极小项).
用 表示极小项, 表示表示极大项，以 , , 三个命题变元为列，见下表2-1,2-2.
公式 在全部可能的真值指派所取的真值表，称为真值表[3].真值表由表的 左部分列出公式的每一种解释，右部分给出相应每种解释公式得到的真值.
若真值用0和1表示真和假，则对公式中 个不同命题变元的 个解释，可按 为二进数从小到大或从大到小次序表示出来，假如公式 有2个命题变元，它便有 个解释，写成相应的二进制数为00、01、10、11.命题公式真值表的构造步骤如下：
(1)把命题公式化为析取范式；
(2)析取范式中每一项若是极小项，则分别取二进制数；若含有不是极小项，进行补项，再分别取二进制数.如 三个元，析取范式 补项取真值指派为(1,1,1),(1,1,0)；
(3)若有相同的指派进行合并，写出每个指派的极小项进行析取，则得到主析取范式.
例3.3[2]求命题公式 的主范式.
Keywords:principal normal form;truth table;true value assignment method;equivalent calculating method
1 引言
主范式即主析取范式与主合取范式，它是离散数学数理逻辑的一个重要分支并是计算机科学基础的必备知识,它与计算机有着不可分割的关系.在计算机科学的操作系统、数据结构、算法分析、编译系统、系统结构、逻辑结构等都含有主范式的知识.随着计算机科学对人们的生活越来越重要，数理逻辑支撑学科的迅速发展，而主范式理论及应用是数理逻辑重要的概念之一，其方法和应用也颇具价值.
范式分为合取范式与析取范式，而合取范式与析取范式在命题公式中不唯一，为使命题公式的范式唯一即析取范式与合取范式进行规范化，化成命题公式的主合取范式与主析取范式.本文主要介绍主范式的三种方法——等值演算法、真值指派法、真值表法.利用真值表法可以快速，有效的得到主范式；真值指派法适合一些特殊的范式得到主范式，这两种方法都可以避免传统算法中较复杂的等值演算法.利用主范式可以求公式的成真成假赋值、判断公式的类型、几个公式的等值、在实际问题上也有一些具体应用，并给出相应例子加深理解主范式的方法和应用.
极小项.
而简单合取式 已是极小项 ，于是
由主范式的“互补”所得极大项为
则 主合取范式:
若公式 中含 个命题变项， 的主析取范式中含 个极小项，则 有 个成真赋值，它们是所含极小项角标的二进制表示，其余 个赋列值都是成假赋值如： ，各极小项均含三个变元，因而各极小项的角标均为二进制数，它们分别为001,011,100,111.这四个赋值为该主范式的赋值.当然，主析取范式中出现的极小项为 ，它们的角标的二进制表示000,010,101,110为该公式的成假赋值[6].
性质2.3[3]任意两个极大(小)项的析(合)取式永为1(0),即 时， .
性质2.4[3]每个极大(小)项当其真值指派与编码相同时，其真值为0(1)，其余 种指派情况下均为1(0).
定义2.4[2]由不同极大(小)项组出的合取(析取)范式称为主合(析)取范式.
由于主范式是由极大项或极小项构成，从极大项和极小项的定义，可知：
本人毕业论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。
论文作者签名:
年 月 日
摘
主范式即主合取范式与主析取范式，它是数理逻辑中重要的基石也是推动计算机科学发展的动力，其方法与应用颇有价值.本文通过介绍主范式的相关定理、定义并作出相应解释，以及由范式的不唯一性引出主范式的唯一性，得到求主范式的三种方法：真值表法、真值指派法、等值演算法，并给出主范式的四种应用：判断几个命题公式是否等价、命题公式的类型、求公式的成真成假赋、解决实际问题.
表2-1 使相应公式为真的极小项
极小项
二进制
十进制
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表2-2 使相应公式为假的极大项
极大项
二进制
十进制
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性质 2.1[3] 个命题变元可构成 个极大(小)项.
性质 2.2[3]全体极大(小)项的合(析)取范式永为0(1).
在等值演算法求主范式中，需要利用以下等值公式[4].
下面任意的命题公式由 三个元代表．
1.双重否定律
2.结合律
3.分配律
( 对 的分配律)
( 对 的分配律)
4.交换律
,
5.德摩根律
,
6.等价等值法
7.蕴涵等值法
8.归谬论
9.同一律
,
10.零律
11.吸收律
,
12.矛盾律
13.排中律
在求主范式之前，要先求出公式的范式，下面给出求给定公式范式的步骤[4]：(1)消去连结词 (若存在)；
(3)列出真值为0的极小项，通过“互补”得到相应的极大项进行合取为主合取范式.
例3.1求命题公式 的主范式.
解由题意,使用真值表可得,
表3-1 使相应公式为真的极小项
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1Baidu Nhomakorabea
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其真值为1的极小项为
则 主析取范式:
其真值为0的极小项通过主范式的“互补”所得极大项为
则 主合取范式:
3.2真值指派法
设 为含有命题变元 的命题公式，给 一组确定的取值，称做公式 关于 的一组真值指派[3].其真值用1和0表示真和假.真值指派法求主析取范式构造步骤如下：
密 级学 号1204210135
学生毕业论文
题目
主范式的求法及应用
作者
王定超
院 (系)
数学与统计学院
专业
数学与应用数学
指导教师
祁兰
答辩日期
2016年5月21日
榆 林 学 院
毕业论文诚信责任书
本人郑重声明：所呈交的毕业论文，是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。毕业论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等,均已明确注明出处。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明.
4.2 判断公式是否等值
若公式 中共含有 个命题变项，按 个命题变项求出 的主析取范式 ，若 ，则 ，否则 .
例4.1[5]判断下列两组公式是否等值:
(1)
(2)
解(1)用等值值派法分别求出主合取范式：
(1) 命题变元按字典序列排列；
(2) 对公式的每个解释，以二进制数从小到大或从从大到小顺序列出；
(3)若公式复杂，可先列出各子公式的真值(若有括号，则应从里层向外层展开)，最后列出所得公式的真值.
真值表法求主范式的步骤如下：
(1)写出相应的真值表；
(2)列出真值为1的极小项进行析取得到主析取范式；
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其真值为1的极小项为
故 主析取范式：
由真值为0的极小项通过主范式的“互补”得到相应的极大项为
故 主合取范式：
例3.2求命题公式 的主范式.
解由题意,使用真值表可得,
表3-2使相应公式为真的极小项
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例3.4求命题公式 的主范式.
解将命题公式 化成析取范式得：
其真值为1的指派为(1,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(0,1,1),(1,1,1)
删去重复的知：(1,0,0)，(0,0,1),(0,1,1),(1,1,1)
则 主析取范式:
由主范式的“互补”所得极大项为
则 主合取范式:
3.3
关键词：主范式；真值表；真值指派法；等值演算法
The method and application of
ABSTRACT
Principal normal form are the host conjunctive normal form and the host disjunctive normal form. It is an important cornerstone in the mathematical logic and the power of impelling the computer science development.The method and the applicationisof great value.In this paper,wemake corresponding explanation and the non-uniqueness of the paradigm leads to the uniqueness ofprincipal normal formbythe introduction of related theorem ofprincipal normal formanddefinition.Wegetthemethodsofprincipal normal form: truth table method,true value assignment method, andequivalent calculating method, and thengivetheapplicationsofprincipal normal form: judging several propositional formulas whether equivalent or not, the type of propositional formula, seeking the formula of becoming trueor false, and solve practical problems.
解由题意知命题公式 为析取范式，利用真值指派法可得:
其真值为1的指派为(1,1,0),(1,1,1),(0,0,1),(0,1,1),(0,1,1),(1,1,1)
删去重复的，知(1,1,0),(1,1,1),(0,0,1),(0,1,1)
故 的主析取范式：
由主范式的“互补”得到相应的极大项为
故 主合取范式：
(2)否定号的内移(利用德摩根斯)或者消去(利用双重否定律)；
(3)利用分配律：利用 对 的分配律求析取范式，利用 对 的分配律求合取范式．
公式的析取范式和合取范式是不唯一的.而任何命题公式的主范式都是存在的，并且是唯一的[5].
利用等值演算法求主范式的步骤如下：
(1)将命题公式化为析取范式；
(2)析取范式中所有永假的析取范式要除去；
(3)将析取范式中重复出现的合取项和相同的变元合并；
(4)对合取项添加补入没有出现的命题变元本身和否定形式的合取，然后应用分配展开式.
例3.5求命题公式 的主范式.
解故 的主析取范式为：
由主范式的“互补”得到相应的极大项为
故 主合取范式：
例3.6[5]求命题公式 的主范式.
解故 的主析取范式为：
简单合取式 ， 在此析取范式中都不是极小项，及求出它们派生的
2 预备知识
定义2.1[1]在一公式中，仅由命题变元及否定构成的析取式(合取式），称该公式为简单析取式(简单合取式），其中每个命题变元或其否定，称为析取项(合取项).
定义2.2[1]一个命题公式 称为合取范式(析取范式)，当且仅当 可表示为简单析取式的合取(简单合取式的析取)，即 ；其中 为简单析取式(简单合取式) .
因此，主合取范式和主析取范式有着“互补”关系[4].设命题公式 中含有 个命题变元，且 的主析取范式中含有 个小项 ，则 的主析取范式中必含有其余的 个小项，不妨含为 ，即 于是
.
故由给定公式的主析取范式可以求出主合取范式.本文主要给出求主析取范式的三种方法：等值演算法、真值指派法、真值表法.
3.1真值表法
定义2.3[2]在含有 个命题变项的简单析取式(简单合取式)中,若每个命题变项和它的否定式不同时出现,而二者之一必出现且反出现一次,且第 个命题变项或它的否定式出现从左算起的第 位上(若命题变项无角标，就按字典顺序排列).称这样的简单析取式(简单合取式)为极大项(极小项).
用 表示极小项, 表示表示极大项，以 , , 三个命题变元为列，见下表2-1,2-2.
公式 在全部可能的真值指派所取的真值表，称为真值表[3].真值表由表的 左部分列出公式的每一种解释，右部分给出相应每种解释公式得到的真值.
若真值用0和1表示真和假，则对公式中 个不同命题变元的 个解释，可按 为二进数从小到大或从大到小次序表示出来，假如公式 有2个命题变元，它便有 个解释，写成相应的二进制数为00、01、10、11.命题公式真值表的构造步骤如下：
(1)把命题公式化为析取范式；
(2)析取范式中每一项若是极小项，则分别取二进制数；若含有不是极小项，进行补项，再分别取二进制数.如 三个元，析取范式 补项取真值指派为(1,1,1),(1,1,0)；
(3)若有相同的指派进行合并，写出每个指派的极小项进行析取，则得到主析取范式.
例3.3[2]求命题公式 的主范式.
Keywords:principal normal form;truth table;true value assignment method;equivalent calculating method
1 引言
主范式即主析取范式与主合取范式，它是离散数学数理逻辑的一个重要分支并是计算机科学基础的必备知识,它与计算机有着不可分割的关系.在计算机科学的操作系统、数据结构、算法分析、编译系统、系统结构、逻辑结构等都含有主范式的知识.随着计算机科学对人们的生活越来越重要，数理逻辑支撑学科的迅速发展，而主范式理论及应用是数理逻辑重要的概念之一，其方法和应用也颇具价值.
范式分为合取范式与析取范式，而合取范式与析取范式在命题公式中不唯一，为使命题公式的范式唯一即析取范式与合取范式进行规范化，化成命题公式的主合取范式与主析取范式.本文主要介绍主范式的三种方法——等值演算法、真值指派法、真值表法.利用真值表法可以快速，有效的得到主范式；真值指派法适合一些特殊的范式得到主范式，这两种方法都可以避免传统算法中较复杂的等值演算法.利用主范式可以求公式的成真成假赋值、判断公式的类型、几个公式的等值、在实际问题上也有一些具体应用，并给出相应例子加深理解主范式的方法和应用.
极小项.
而简单合取式 已是极小项 ，于是
由主范式的“互补”所得极大项为
则 主合取范式:
若公式 中含 个命题变项， 的主析取范式中含 个极小项，则 有 个成真赋值，它们是所含极小项角标的二进制表示，其余 个赋列值都是成假赋值如： ，各极小项均含三个变元，因而各极小项的角标均为二进制数，它们分别为001,011,100,111.这四个赋值为该主范式的赋值.当然，主析取范式中出现的极小项为 ，它们的角标的二进制表示000,010,101,110为该公式的成假赋值[6].
性质2.3[3]任意两个极大(小)项的析(合)取式永为1(0),即 时， .
性质2.4[3]每个极大(小)项当其真值指派与编码相同时，其真值为0(1)，其余 种指派情况下均为1(0).
定义2.4[2]由不同极大(小)项组出的合取(析取)范式称为主合(析)取范式.
由于主范式是由极大项或极小项构成，从极大项和极小项的定义，可知：
本人毕业论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。
论文作者签名:
年 月 日
摘
主范式即主合取范式与主析取范式，它是数理逻辑中重要的基石也是推动计算机科学发展的动力，其方法与应用颇有价值.本文通过介绍主范式的相关定理、定义并作出相应解释，以及由范式的不唯一性引出主范式的唯一性，得到求主范式的三种方法：真值表法、真值指派法、等值演算法，并给出主范式的四种应用：判断几个命题公式是否等价、命题公式的类型、求公式的成真成假赋、解决实际问题.
表2-1 使相应公式为真的极小项
极小项
二进制
十进制
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表2-2 使相应公式为假的极大项
极大项
二进制
十进制
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011
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101
110
111
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性质 2.1[3] 个命题变元可构成 个极大(小)项.
性质 2.2[3]全体极大(小)项的合(析)取范式永为0(1).
在等值演算法求主范式中，需要利用以下等值公式[4].
下面任意的命题公式由 三个元代表．
1.双重否定律
2.结合律
3.分配律
( 对 的分配律)
( 对 的分配律)
4.交换律
,
5.德摩根律
,
6.等价等值法
7.蕴涵等值法
8.归谬论
9.同一律
,
10.零律
11.吸收律
,
12.矛盾律
13.排中律
在求主范式之前，要先求出公式的范式，下面给出求给定公式范式的步骤[4]：(1)消去连结词 (若存在)；
(3)列出真值为0的极小项，通过“互补”得到相应的极大项进行合取为主合取范式.
例3.1求命题公式 的主范式.
解由题意,使用真值表可得,
表3-1 使相应公式为真的极小项
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其真值为1的极小项为
则 主析取范式:
其真值为0的极小项通过主范式的“互补”所得极大项为
则 主合取范式:
3.2真值指派法
设 为含有命题变元 的命题公式，给 一组确定的取值，称做公式 关于 的一组真值指派[3].其真值用1和0表示真和假.真值指派法求主析取范式构造步骤如下：