巧构造妙解题

巧构造妙解题

高琴

1. 直接构造

例1. 求函数的值域。

分析：由于可以看作定点（2，3）与动点（-cosx，sinx）连线的斜率，故f(x)的值域即为斜率的最大、最小值。

解：令，则表示单位圆

表示连接定点P（2，3）与单位圆上任一点（，）所得直线

的斜率。

显然该直线与圆相切时，k取得最值，此时，圆心（0，0）到这条直线的距离为

1，即

所以

故

例2. 已知三条不同的直线，，

共点，求的值。

分析：由条件知为某一元方程的根，于是想法构造出这个一元方程，然后用韦达定理求值。

解：设（m，n）是三条直线的交点，则可构造方程，即

（*）

由条件知，均为关于的一元三次方程（*）的根。

由韦达定理知

2. 由条件入手构造

例3. 已知实数x，y，z满足，求证：

分析：由已知得，以x，y为根构造一元二次方程，再由判别式非负证得结论。

解：构造一元二次方程

其中x，y为方程的两实根

所以

即

故△＝0，即

3. 由结论入手构造

例4. 求证：若，，则

分析：待证式的左边求和的分母是三次式，为降低分母次数，构造一个恒不等式。

所以左边

故原式得证。

例5. 已知实数x，y满足，求证：

分析：要证原式成立，即证

即证

由三角函数线知可构造下图，此时不等式右边为图中三个矩形的面积之和，而单位圆的面积为，所以

故结论成立。