巧构造妙解题
高考数学复习点拨巧构造妙解题
指数函数的单调性是指数函数的重要性质， 灵活应用此性质可以解决一些与之相关的问 题，使一些看似复杂的问题， 通过构造指数函数轻松获解． 那么在具体问题中应如何构造函 数呢？下面结合几例加以剖析．
一、确定代数式的符号
例 1 已知 x， y R ，3x 3y 3 x 3 y ，判断 x y 的符号．
c 1．
a
a
x
x
因为 f ( x) b
c 在 R 上是单调递减函数，
a
a
用心 爱心 专心
bc
所以若 m 1，则 f (1)
1，即 b c a ，显然不能构成三角形；
aa
若 m 1，则 f (m) f (1) ，
m
m
b 又 f (m)
c
1， f (1)
b
c
，
a
a
a
因此 b c a ，故能构成三角形；
5a
a 的取值范围．
x
x
解：据方程有负实根，并注意到 y 3 是单调递减的，从而得到
3
1，
4
4
于是问题就变为解不等式
评析： 本题构造函数 y
3a 2
3
1 ，可知 a 5 ．
5a
4
x
3
是关键，利用函数与方程的关系使问题得以顺利解决．
4
三、判断几何图形形状
例３ 已知 a，b，c， m 都是正数，且 am bm cm ，
m
c
1，
a
用心 爱心 专心
求当 m 取何值时，长分别为 a， b，c 的三条线段能构成三角形？
解：由于 am bm cm ，且 a，b，c， m 都是正数，
巧用构造法妙解三角题
2008·5构造法解题是一种富有创造性的思维方法。
很多三角问题若用构造法求解，可获得新颖、独特、简捷的解法。
根据题目特征，恰当构造数学模型，是灵活运用构造法的关键。
本文举例介绍几种方法。
一、构造函数某些三角题，用常规解法难以奏效，但由已知条件，通过联想，构造出一个相关的函数，可将问题转化为函数问题，使之得以迅速解决。
二、构造方程有些三角问题，符合方程的某些特点，则可考虑构造一个辅助方程，使问题获得解决。
三、构造复数复数与三角有着非常密切的关系，解三角题时，通过构造复数，巧妙运用复数的运算法则及复数相等的定义来解题，简捷有效。
四、构造数列当题目的某些特征与数列的通项、求和、中项等公式相似时，可构造相应的数列求解，独辟蹊径。
五、构造对偶式根据已知三角式的结构特征，采用整体代换的方法，构造一个对偶式，可使问题化难为易，化繁为简。
六、构造平面几何模型如果条件的数量关系能以某种方式与几何图形建立联系，则可通过构造图形，将题设条件或数量关系直接在图形中得到体现，常使复杂问题简单化，抽象问题直观化。
七、构造立体几何模型题设中的数量关系有比较明显的几何意义，则也可以根据已知条件构造出符合要求的特殊立体几何模型，从而直观、快速解决问题。
八、构造解析几何模型寻找题设或题设变形后数量关系的解析几何背景，然后利用解析几何中的公式、曲线的性质等解决三角问题，也会显得十分巧妙。
总之，恰当运用构造法，能使许多三角问题的解决变得简洁巧妙，起到事半功倍的效果。
因此，学习中若能适当地运用这种思想，则对培养创新意识和创新能力，完善认知结构，全面提高数学素养大有裨益。
巧用构造法 江苏省如东县马塘高级中学 张海兵妙解三角题在数学学习过程中，反思历来具有重要的地位和作用。
1989年波斯纳曾提出过一条成长的公式：经验＋反思=成长。
荷兰著名数学教育家费赖登塔尔指出“反思是数学思维活动的核心和动力”，“通过反思才能使现实世界数学化”。
巧用构造法妙解最值题
正解：去括号，得８髫一４—３０ｘ一６＝２４．
防错诀窍：去括号、不漏乘；正不变、负改变．
三、移项
常常是把含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程
右边．注意移项要变号，其理论依据是等式性质１． 例３ ８ｘ一４—３０ｘ一６＝２４．
错解：移项，得８ｘ＝３０ｘ＝２４＋４—６． 错因分析：（１）一３０ｘ仍在方程左边，没有移项，不应变号； （２）一６由等号左边移项到等号右边应变为６． 正解：移项，得８ｘ～３０ｘ＝２４＋４＋６． 防错诀窍：移项易、符号变． 四、合并同类项 根据法则将同类项合并，要防止发生符号错误和分组错误． 例４ ８ｘ一３０ｘ＝２４＋４＋６．
于是Ｐ到ＢＢ’的距离最大，即将直线向上平移到与抛物线有唯
一交点Ｐ处．设与直线ＢＢ’平行的直线Ｚ的解析式为Ｙ＝一算＋
ｍ，与Ｙ＝一ｚ２＋（√３—１）ｚ＋√３联立，消元后令ａ＝０可得所求．
点评：涉及底边为定值，且三角形第三个顶点在函数图象上
运动的面积类最值问题，常可借助一元二次方程根的判别式加
以解决．
三、利用函数构造反比例函数的性质
最多有４４名同学．
点评：在解决有关“不足、至少、至多、不超过”等的最值问
题时，尝试将如上关键词准确转化为不等量关系，并用不等式
加以刻画往往能收到较好的解决效果．
２．构造方程
例４（芜湖卷）如图２，在平面 直角坐标系中放置一直角三角板，其
顶点为Ａ（一１，Ｏ），曰（０，√３），０（０， ０），将此三角板绕原点Ｄ顺时针旋转 ９００，得到ＡＡ’Ｂ’０．
错解：合并同类项，得２２ｘ＝３４． 错因分析：系数相加时忘记符号的判断． 正解：合并同类项，得一２２ｘ＝３４． 防错诀窍：合并时、准确算；一判号，二定值． 五、系数化为１ 根据等式性质２在方程两边同时除以未知数的系数或乘以 它的倒数进行计算．易发生两种类型错误，一是符号错误，二是
巧妙构造函数 破解三类题型
中孝生皋捏化解题篇创新题！溯源高二数学2021年5月巧妙构造函数破解三类题型■河北师范大学附属实验中学闫文娟函数是支撑数学学科知识体系的重要内容，反映了客观世界两个集合间的对应关系&而导数是研究函数性质的有力工具，是高考的热点话题。
函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数解题的思路恰好是这两种思想的良好体现。
下面浅谈巧妙构造函数，合理运用导数，破解三类题型，旨在抛砖引玉$一、由“导^寻“源™妙解函数不等式在近几年的高考试题中，出现了一类抽象函数、导数、不等式交汇的重要题型，这类题型涉及抽象函数，很多学生解题时，突破不了由于抽象而造成的解题障碍，不能从容应对不等式的求解问题。
实际上，根据所给不等式，联想导数的运算法则，构造适当的辅助函数，然后利用导数判断其单调性是解决此类问题的通法$!!62020年河南信阳高中期末】已知函数f(')在R上存在导函数对于任意的实数都有f(!'"=A2'，当'V0时&f一)f{'"+f('">0,若e"f(2"+1"% f("+1),则实数"的取值范围是("$A. B.[-2#.[0,+7) D.(—7,0,解析：令g('"=e'f('"则当'V0时& g f('"=e'「f('"+?('),>0,g(')在(—7,0)上单调递增又g(—'"=e'f(—'"=e'f('"= g(c",故 g('"为偶函数，g(')在(0,+7"上单调递减$从而e"f(2"+1"%f("+1"等价于e2"+1f(2"+1"%e"+1f("+1",g(2"+1"% g(,"+1" $因此，I2"+1I'二I"+1I，即(2"+1)2'二2("+1"2,3"2+2"'0,解得一3'"'0,选B$点睛：联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法。
构造方程组巧解数学题
２ ， （ ， ） 上 （ 包 ， ） Ｍ： ２ ２ ） 不
繇
‘２２ ｆ．１
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例 ５ （０９年 陕 西卷 ， ２０ 理科 第 １ 题 ） １ 若 ， 满 Ｙ
ｆ ＋Ｙ ≥ １ ｘ
括两 个 端点 Ｍ 一４，） （ ２， （ ， ） 的 任 意 一 点 ２２ ） 时 ，仅 有 当 点 Ⅳ 与 点
引 知 数 列 ｌ 一 ０ 开 理 ６一 理 系行式 ｍ：， 整 得ｍ ｌ 展
Ｉ ｂ — ｎ Ｉ
＝
６．
由此 可见 ， 这种解 题方法 的实质 就是根 据题 目的 特征构造线性方程 组模 型 ， 将某 些量 作为线 性方 程组 的系数 ， 而将其 余量作为方程组 的解 ， 而利 用齐次线 从 性方程组 的理论使 问题迎 刃而解． 了更 好体 现其应 为 用 的广泛性 ， 现分类举例说 明如下 ： １ 在证 明等式 中的应 用
综 上知 ， 利用 向量数量积 的几何 意义解决 这类 线 性规划 最值 问题 ， 的确不仅 解法新 颖 、 独特 ， 而且难 度
小 、 的机会 也大 大 减少 ； 仅 沟通 了数 学不 同知 出错 不
１ Ｉ ｌ ｓ＜ ｌ ｃ ｏ
，
＞ 所 以对 于 Ｉ Ｉ ．பைடு நூலகம் ＝
ｌ ｓ＜Ｏ ｃ 。 — Ｍ
【 ，Ｂ （ ，Ｍ 一 ２ ４ａ： ４ ！
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【 ２ 戈
一
（ ，）重 合 时 ，Ｏ 在 】０ Ｎ
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ｖ≤ ２
（ 上 的射 影 Ｏ ） Ｐ取 得最 小值 ， 时 取最小 值 ， 此 即总 有 目标 函数 名＝ａ ｘ＋２ 仅 在 点 （ ，）处 取 得 最小 ｙ ＿ １０ 值， 除此 之外 ， 不符 合要 求 ， 均 故 的取 值 范 围是 （ 一
专题1 巧构圆，妙解题（含答案）
第一章 圆专题1巧构圆，妙解题知识解读在处理平面几何中的许多问题时，常常需要借助圆的性质，问题才能解决.而有时候我们需要的圆并不存在，这就需要我们能利用已知的条件，借助图形的特点把实际存在的圆找出来，从而运用圆中的性质来解决问题，往往有事半功倍的效果，使问题获得巧解或简解，这是我们解题必须要掌握的技巧. 作辅助圆的常用依据有以下几种：①圆的定义：若几个点到某个固定点的距离相等，则这几个点在同一个圆上； ②有公共斜边的两个直角三角形的顶点在同一个圆上；③对角互补的四边形四个顶点在同一个圆上，简记为：对角互补，四点共圆；④若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，则这两个三角形有公共的外接圆，简记为：同旁张等角，四点共圆.培优学案典例示范例1将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AC ，继续旋转(0120)αα<<得到线段AD ，连接CD . (1)连接BD .①如图1-1-1①，若α=80°，则∠BDC 的度数为；②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC 的大小是否改变？若不变，求出∠BDC 的度数；若改变，请说明理由；(2)如图1-1-1②，以AB 为斜边作Rt △ABE ，使得∠B =∠ACD ，连接CE ，DE .若∠CED =90°，求α的值.图1-1-1②①EDCBADCBA【提示】(1)①∠BDC =∠ADC -∠ADB ，利用“等边对等角及三角形内角和为180°”可求出∠BDC 为30°； ②由题意知，AB =AC =AD ，则点B ，C ，D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，利用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”可快速求出∠BDC 仍然为30°；(2)过点A 作AM ⊥CD 于点M ，连接EM ，证明“点A ，C ，D 在以M 为圆心，MC 为半径的圆上”. 【解答】跟踪训练如图1-1-2，菱形ABCD 中，∠B =60°，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上.若∠EAF =60°，求证：△AEF是等边三角形.【提示】不难发现∠EAF +∠ECF =60°+120°=180°，所以点A ，E ，C ，F 共圆，再利用“同弧所对的圆周角相等”获证.图1-1-2BFEDC A【解答】例2 (1)如图1-1-3①，正方形ABCD 中，点E 是BC 边上的任意一点，∠AEF =90°，且EF 交正方形外角平分线CF 于点F .求证：AE =EF ；(2)若把(1)中的条件“点E 是BC 边上的任意一点”，改为“点E 是BC 边延长线上的一点”，其余条件不变，如图1-1-3②，那么结论AE =EF 是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.①②图1-1-3A B E CFDFDCEBA【提示】连接AC ，AF ，显然∠ACF =∠AEF =90°，所以A ，E ，C ，F 四点在以AF 为直径的圆上. (1)如图1-1-4①，当点E 在BC 边上，则∠AFE =∠ACE =45°，于是△AEF 是等腰直角三角形，AE =EF 获证；(2)如图1-1-4②，当点E 在BC 边的延长线上，则∠F AE =∠FCE =45°，于是△AEF 是等腰直角三角形，AE=EF 获证.OOABECDFDFEB图1-1-4②①【拓展】本题将“正方形”改为“正三角形”，“∠AEF =90°”相应改为“∠AEF =60°”，仍然可以运用构造“辅助圆”的思路.还可进一步拓展为“正n 边形”，360180AEF n=-∠，仍然可延续这种思路，读者可自己完成. 【解答】跟踪训练已知，将一副三角板(Rt △ABC 和Rt △DEF )如图1-1-5①摆放，点E ，A ，D ，B 在一条直线上，且D 是AB的中点.将Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角(090)αα<<，在旋转过程中，直线DE ，AC 相交于点M ，直线DF ，BC 相交于点N ，分别过点M ，N 作直线AB 的垂线，垂足为G ，H . (1)如图1-1-5②，当α=30°时，求证：AG =DH ； (2)如图1-1-5③，当α=60°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由； (3)当090α<<时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图1-1-5④说明理由.③④图1-1-5②①BCD AEH G G H HGEAFD CB EAF D C (N )BFE DCBA【提示】本题除了常规解法外，还可考虑构造“辅助圆”. 【解答】例3 已知，在△ABC 中，AB =AC ，过A 点的直线a 从与边AC 重合的位置开始绕点A 按顺时针方向旋转角θ，直线a 交BC 边于点P (点P 不与点B ，点C 重合)，△BMN 的边MN 始终在直线a 上(点M 在点N 的上方)，且BM =BN ，连接CN . (1)当∠BAC =∠MBN =90°时.①如图1-1-6①，当θ=45时，∠ANC 的度数为 ；②如图1-1-6②，当45θ≠时，①中的结论是否发生变化？说明理由；(2)如图1-1-6③，当∠BAC =∠MBN ≠90°时，请直接写出∠ANC 与∠BAC 之间的数量关系，不必证明.③①②图1-1-6MaA BPN CM BA CP Naa NPCA (M )Bθθθ【提示】由于在旋转过程中不变的关系是：∠BAC =∠MBN ，AB =AC ，BM =BN ，易知∠ABC =∠ACB =∠BMN =∠BNM .由∠ACB =∠BNM 可知A ，B ，N ，C 四个点在同一个圆上(如图1-1-7)，则∠ANC =∠ABC =1902BAC -∠，这样思考，所有问题都会迎刃而解.①a N PCABM CNPBAaM 图1-1-7②【解答】跟踪训练在△ABC 中，BA =BC ，∠BAC =α，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段P A 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ . (1)若α=60°且点P 与点M 重合(如图1-1-8①)，线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出∠CDB 的度数；(2)在图1-1-8②中，点P 不与点B ，M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想∠CDB 的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明；(3)对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置(不与点B ，M 重合)时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ =QD ，请直接写出α的范围.①图1-1-8②DP BACMQQM (P )CB A【解答】例4如图1-1-9，点A 与点B 的坐标分别是（1，0），（5，0），点P 是该直角坐标系内的一个动点． （1）使∠APB ＝30°的点P 有 个；（2）若点P 在y 轴上，且∠APB ＝30°，求满足条件的点P 的坐标；（3）当点P 在y 轴上移动时，∠APB 是否有最大值？若有，求点P 的坐标，并说明此时∠APB 最大的理由；若没有，也请说明理由．图1-1-9【提示】（1）已知点A 、点B 是定点，要使∠APB ＝30°，只需点P 在过点A 、点B 的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个．（2）结合（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标；当点P在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的坐标．（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB最大，只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆，切点就是使得∠APB最大的点P，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．【解答】跟踪训练已知，如图1-1-10①，，∠MON＝60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB＝43，在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP＝BP，∠APB＝120°．（1）求AP的长；（2）求证：点P在∠MON的平分线上．（3）如图1-1-10②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，P A的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP．若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．图1-1-10 【解答】例5已知，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．（1）如图1，当b＝2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC＝90°；（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC＝90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．、① ②③图1-1-11【提示】本题除了建立方程模型，将问题转化为方程是否有解的判断外，还可以通过构造辅助圆，将问题转化为直线与圆的位置关系来讨论．【解答】跟踪训练1.如图1-1-12，直线y＝﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．（1）求该反比例函数的关系式；（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC1m．图1-1-12【提示】（1）①由直线y=-x+3写出OA=3，OB=3；由等腰直角三角形的边长关系，可得AB2；由PC⊥y轴，可得QC=1，BC=2；由对称知A'B=AB2，OA'=0A=3，然后用勾股定理求出A'C的长，也就可以求出△A'BC的周长；（2）②如果选用上一题的思路求∠BMC的正弦值，会陷入计算的麻烦，这里采用转化的思想，找到△BCM的外接圆，把∠BCM转化为圆心角的一半，即图中的∠BMC=∠CND，从而把m转化为△BCM的外接圆的半径，另外还应分类讨论。
巧构平行四边形妙解几何题
＿ ４
＝／ 一
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＝
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所 Ｌ １ ｌ 三 』
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学 们 参．， 考
迅 速 获 解 ． 且 有 助 于 创 新 而
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思 维 的培 养． 就构 造 平行 四边 形 的 几种 不 同方 法 现
举 例 加 以 说 明 ． 同 供
利 用 对 角 线 互 相 平 分 构 平 行 四 边 形
倒 ， 如 图 １ ＡＤ 是 △ ＢＣ 中 ＢＣ 边 上 的 中 ，
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平 行 四边 形 是 一种 特 殊 的 四边 形 ， 具 有 一 些 特 殊 的 性 质 在解 几 它
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巧构对偶式__妙解数学题
!巧构对偶式!妙解数学题"重庆市璧山中学!杨帆对偶!在语文中是一种修辞手法!如岳飞"满江红#中的诗句'三十功名尘与土!八千里路云和月(就是对偶句!殊不知!数学中也有对偶!处处可见给人以美感的对偶关系!有加便有减!有乘便有除!有几何就有代数!诸如此类!无不体现出数学中的对偶关系!然而!本文要讲的是另外一种对偶!一种隐藏在解题过程中的对偶式!要求解题者为了便于解题有意识去发现去构造的对偶式!这样的对偶式该如何构造呢+本文举例说明!!和差对偶 水到渠成和与差是一种对偶关系!如果我们遇到表达式O)&*L P)&*!那么可尝试构造表达式O)&*=P)&*来作为它的对偶关系式!利用这种关系来解题!可谓棋高一招!例!!)#*若"%$%'!!且,@56$*&21@$$/!求<:6$的值!)!*已知7!H!8!C5+!且7!*H!*8!*C!4#!求证%)7*H*&*)7*8*&*)7*C*&*)H*8*&*)H*C*&*)8*C*&4+!解 )#*由,@56$*&21@$$/想到构造,@56$"&21@$$%!于是由,@56$*&21@$$/!,@56$"&21@$$%!3得@56$$/*%+!21@$$/"%-!./再根据@56!$*21@!$$#!就可求得%$"$/!所以<:6$$,&!)!*证明%设D$)7*H*&*)7*8*&*)7*C*&*)H*8*&*)H*C*&*)8*C*&!则构造E$)7"H*&*)7"8*&*)7"C*&*)H"8*&*)H"C*&*)8"C*&!于是D*E$+)7&*H&*8&*C&*!7!H!*!7!8!*!7!C!*!H!8!*!H!C!*!8!C!*$+)7!*H!*8!*C!*!4+!又E,"!所以D4+!这样原不等式就成立了!"互倒对偶 由此及彼互倒对偶!就是指分子分母互换!由一个式子变出另一个式子!将它们相乘或建立方程组!往往会出现一些数学中的'奇特(现象!使数学解题更方便!更简捷!令人拍案叫绝!例"!)#*若&!%!@5)"!#*!求证%##"&*%*##"%*@*##"@*&,,!)!*已知对任意实数&5)"H!"*7)"!*H*总有/)&**!/#&)**&$"成立!试求函数%$/)&*的表达式!解 )#*证明%令D$##"&*%*##"%*@*##"@*&!构造对偶式!再令E$)#"&*%**)#"%*@**)#"@*&*$,!于是D*E$##"&*%*)#"&*%**##"%*@*)#"%*@**##"@*&*)#"@*&**##"%*@,!*!*!$+!而E$,!故D,,!即##"&*%*##"%*@*##"@*&,,!原不等式成立!)!*由于/)&**!/#&)**&$"!!!只需用#&替代上式中的&!便可构造对偶式/#&)**!/)&**#&$"!!"由!""2!!得/)&**&"&/)&*"!&$"!故/)&*$&!"!&,&)&$"*!#倒序对偶 配对成双在数列求和问题中!出现了一种倒序相加的求和"#备习备考解法探究!"!!年!月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.!方法!像当初数学小王子高斯就是用了倒序相加法求出了#*!*,*//*#""$/"/"的结果!其实高斯就是利用倒序构造对偶式!这种方法不仅对数列求和有用!对组合数求和问题也有立竿见影的效果!例#!)#*求和%A $4#:*!4!:*,4,:*&4&:*//*:4::&)!*在正项等比数列37:4中!Q $7#07!07,0//07:!A $7#*7!*7,*//*7:!试用A !Q 表示,$#7#*#7!*/*#7:!解析 )#*因为4#:$4:"#:!"4#4:!:5,8!故想到倒序构造对偶式%由A $"04":*4#:*!4!:*//*:4::!构造对偶式%A $:4":*):"#*4#:*):"!*4!:*//*"4::"把"化为%A $"04":*4#:*!4!:*//*:4::#!*#!得:4":*:4#:*//*:4:"#:*:4::!所以!A $:4":*:4#:*//*:4:"#:*:4::$:)4":*4#:*//*4:"#:*4::*!所以!A $:0!:!所以A $:0!:"#!)!*本题若用传统解法!需对I $#和I $#两种情形讨论!会陷入漫漫无期的运算绝境!而构造倒序对偶式!却能'柳暗花明又一村(!根据题意!得Q $7#07!07,0//07:!构造倒序对偶式%Q $7:07:"#07:"!0//07#"!2"!得Q !$)7#07:*0)7!07:"#*0//0)7:07#*$)7#07:*!!即Q $)7#07:*!再看%,$#7#*#7!*//*#7:#构造倒序对偶式%,$#7:*#7:"#*//*#7#$#*$!得!,$#7#*#7:)**#7!*#7:"#)**//*#7:*#7#)*!即!,$7#*7:7#07:*7!*7:"#7!07:"#*//*7:*7#7:07#!根据等比数列性质!右边的分母都是7#07:!故!,$)7#*7:**)7!*7:"#**//*)7:*7#*7#07:!即!,$!A 7#7:!所以,$A7#7:!又因为7#7:$Q !所以,$A Q$A:Q 槡!!$互余对偶独领风骚三角函数中的正弦与余弦!也是对偶元素!@56!&*21@!&$#!体现了它们之间的内在联系!正弦可以变成余弦!余弦也可以变成正弦!我们利用对偶函数来构造对偶式!同样也能解决一些看似不能解决的三角问题!例$!)#*已知&5"!'!12!解方程%21@!&*21@!!&*21@!,&$#&)!*试求@56!#"G *21@!&"G *@56#"G 21@&"G 的值!解析 )#*令D $21@!&*21@!!&*21@!,&!则可构造对偶式%E $@56!&*@56!!&*@56!,&!于是D *E $,!D "E $21@!&*21@&&*21@+&$!21@&21@,&*!21@!,&"#$!21@,&)21@&*21@,&*"#$&21@&21@!&21@,&"#!所以D "E $&21@&21@!&21@,&"#"!*"!得21@&21@!&21@,&$#&)!D "!*!又因为D $#!所以21@&21@!&21@,&$"!所以21@&$"或21@!&$"或21@,&$"!&5"!'!12!所以&$'+或&$'&或&$'!!)!*令D $@56!#"G *21@!&"G *@56#"G 21@&"G !根据正余弦平方和为#!构造对偶式%E $21@!#"G*@56!&"G "21@#"G @56&"G !于是D *E $!*@56#"G 21@&"G *21@#"G @56&"G $!*@56/"G!D "E $"21@!"G *21@-"G *@56#"G 21@&"G "21@#"G @56&"G $"!@56/"G @56,"G "@56,"G $"#!"@56/"G !所以D *E $!*@56/"G !D "E $"#!"@56/"G!./0所以D $,&!当然数学解题中的对偶式的构造远不止以上四种!比如!还有利用奇偶构造!利用轮换式构造!利用共轭关系构造!利用和为定值构造!利用积为定值构造等等!构造对偶式的目的只有一个!即优化解题过程!提高解题速度!发展数学思维能力!同时!我们也欣赏到了数学的内在美!激发了学习数学的兴趣!去追求数学解题的最高境界,,,简捷!-##!"!!年!月上半月解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高中数学 巧构造 妙解题解题思路大全
巧构造 妙解题1. 直接构造例1. 求函数f x x x ()sin cos =-+32的值域。
分析：由于f x x x()sin cos =-+32可以看作定点（2，3）与动点（-cosx ，sinx ）连线的斜率，故f(x)的值域即为斜率的最大、最小值。
解：令μθ=-=cos sin x x ，，则μθ221+=表示单位圆f x k ()=--=32θμ表示连接定点P （2，3）与单位圆上任一点（μ，θ）所得直线θμ---=k k ()320的斜率。
显然该直线与圆相切时，k 取得最值，此时，圆心（0，0）到这条直线的距离为1，即||32112-+=k k所以k =±2233 故22332233-≤≤+f x ()例 2. 已知三条不同的直线x y a sin sin 3αα+=，x y a sin sin 3ββ+=，x y a sin sin 3γγ+=共点，求sin sin sin αβγ++的值。
分析：由条件知sin sin sin αβγ，，为某一元方程的根，于是想法构造出这个一元方程，然后用韦达定理求值。
解：设（m ，n ）是三条直线的交点，则可构造方程m n a sin sin 3θθ+=，即 4303m n m)a sin (sin θθ-++=（*）由条件知，sin sin sin αβγ，，均为关于sin θ的一元三次方程（*）的根。
由韦达定理知sin sin sin αβγ++=02. 由条件入手构造例3. 已知实数x ，y ，z 满足x y z xy =-=-692，，求证：x y =分析：由已知得x y xy z +==+692，，以x ，y 为根构造一元二次方程，再由判别式非负证得结论。
解：构造一元二次方程p p z 22690-++=其中x ，y 为方程的两实根所以∆=-+≥364902()z即z 299+≤z z 200≤=，故△＝0，即x y =3. 由结论入手构造例4. 求证：若n ≥3，n N ∈，则13141511123333++++< n 分析：待证式的左边求和的分母是三次式，为降低分母次数，构造一个恒不等式。
巧构几何模型 妙解向量问题
一 ． 日 ）
解 将原 方程 化为 ：ｌｇ（－ ｋ ＝ｌｇ ｘ 一 ， ｏ ｘ ａ ） ｏ 以
・
—
．
．
ａ ｋ：ｘ 口 ］ 一 ， 且 — ｋ ｘ ａ ＞０，
一 ＞ ａ ０，
解集为Ｊ ， Ｉ 去 ５．
令 Ｙ ＝ ， 它 表 示 倾 角 为 ４。 ｌ 一 ５ 的直 线 系 ，
角和模 ．
Ｂ． Ｉａ＜ ２ ＋ ｌ １ ａ ｂ ２ Ｉ
Ｃ．Ｉｂ＞ａ ２ ｌ Ｉ ＋ ６ ２ １
Ｄ．Ｉｂ＜ａ ２ Ｉ １ ＋ ６ ２ Ｉ
解 析 构造 Ａ Ｂ ， Ｃ ＡＣ Ａ：Ｃ ，如 图 ２ （ ） Ｂ １， Ａ Ｄ＝ａ ６ ， 因 为 Ｚ Ａ ＋２ Ｄ Ｂ＞Ｚ Ｂ ， 所 以 有 ＤＡ
／ ／ｊ ｙ ／
／
图 ７ 图 ８
孚…孚 ． －， 等的 ｝ ａ时 不 解 ￣ｏ 原 式 集
为 ．
ｓ
６ ．构造直线与半双曲线 例 ６ 设 ａ＞０ 口≠１ 且 ，试求 下述 方程 有解 时 ｋ的 取值范 围 ．
１ （ —ａ ） ｏ （ ｏｇ ｋ ＝ｌ ｇ
３ ８
福建 中学数 学
２ １ 笫 １ 期 ００年 １
分 应 为 不 式 解 Ｘｆａ ］ 对 的 即 原 等 的 集 Ｅ ，； 一 ０ ２
当口 ＜０时 （ ６ ， 所 求 的 不 等 式 的 解 集 为 图 ）
分 ，Ｊ ＞０． ， ２
・ ． ’
原 方程 有解 ． 两个 函数 的 图象有交 点 ，由图 ｋ的取值 范 围为 （。， １ｕ（ ， ． —。 一） ０ １ ）
７ ，知 一 ＞ 或 一 ａ＜一 ＜０， ．ｋ １ ０ ＜１ ・ ＜一 或 ＜ｋ ， ．
巧构造,妙解题
巧构造，妙解题等腰三角形的性质定理和判定定理分别为：等边对等角，等角对等边。
在求解或证明边长与角度的问题时，如果能够巧妙地构造出等腰三角形，就可以利用等腰三角形的性质定理和判定定理简便地解决问题。
下面介绍几种构造等腰三角形的方法，供大家学习时参考。
一、“角平分线+平行线”构造等腰三角形例1、如图，在△ABC 中，已知∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点F ，过F 作DE//BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD +CE=10，则线段DE 的长为_______F E DC BA分析：由DE//BC ，BF 和CF 分别平分∠ABC 和∠ACB ，先判断△BDF 和△CEF 是等腰三角形，从而将DE 转化为DF +FE= BD +CE解：∵BF 平分∠ABC ，∴∠DBF=∠FBC ，又∵DE//BC ，则∠DFB=∠FBC ，∴∠DBF=∠DFB ，∴DB=DF ，同理EF=EC ，∴DE=DF +FE= BD +CE=10二、“角平分线+垂行线”构造等腰三角形例2、如图所示，在△ABC 中，BM 是∠ABC 的平分线，AD ⊥BM 于点D ，求证：∠BAD=∠DAC +∠CM E D C BA分析：由BM 是∠ABC 的平分线，AD ⊥BM ，我们只要延长AD 与BC 交于点E ，△ABE 就是等腰三角形。
证明：延长交BC 于点E ，∵BM 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠EBD ，∵AD ⊥BM ，∴∠ADB=∠EDB=90°，在△ABD 和△EBD 中，ABD EBD ADB EDB BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△EBD ，∴∠BAD==∠BED=∠DAC +∠C ，即∠BAD=∠DAC +∠C三、用“垂直平分线” 构造等腰三角形例3、如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，交AB 于点M ，BD=8，求AC 的长MDC BA分析：由MD 垂直平分AB ，联想到连接AD ，构造出一个等腰三角形，则AD=BD ，∠B=∠BAD=15°，再结合直角三角形的性质可得解：连接AD ，∵MD 垂直平分AB ，∴ND=AD=8，∴∠B=∠BAD=15°，∴∠ADC=∠B +∠BAD=30°，在Rt △ACD 中，∠ADC =30°，∴142AC AD == 四、用“三角形中2倍角的关系” 构造等腰三角形例4、如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，∠B=2∠C ，求证：AB BD CD += 分析：由已知AD ⊥BC ，∠B=2∠C ，如果我们在CD 上截取DE=DB ，连接AE ，就可以构造出两个等腰三角形△ABE 和△AEC ED CB A证明：在上截取DE=DB ，连接AE ，∵AD ⊥BC ，DE=DB ，∴AE=AB ，∴∠B=∠AEB ，又∵∠AEB=∠C +∠CAE=2∠C ，∴∠CAE=∠C ，∴AE=EC ，AB BD AE ED EC ED CD +=+=+=。
巧构“辅助圆”，妙解“最值”问题
巧构“辅助圆”，妙解“最值”问题作者：殷娟来源：《初中生世界·九年级》2021年第05期许多同学在圆的学习中都会通过添加垂线段、连半径、连直径等进行解题，但在解决一些较难问题时，上述方法就起不了多少作用。
而有时在图形中构造圆能获得意想不到的效果。
下面就以几道例题和同学们一起分析如何用“辅助圆”来求解“最值”问题。
一、折叠问题中的辅助圆例1 （2019·江苏宜兴一模）如图1，在Rt△ABC中，∠B=60°，BC=3，D是BC边上的三等分点，BD=2CD，E为AB边上一动点。
将△DBE沿DE折叠到△DB′E的位置，连接AB′，则线段AB′的最小值是。
【解析】△DBE在折叠的过程中，满足DB=DB′，即点B′始终是在以点D为圆心，DB长为半径的圆上运动（如图2）。
点A是圆外一点，由图1可以看到AB′要取到最小值，则点A、B′、D必须共线。
在Rt△ABC和Rt△ACD中易求得AD=[27]，则AB′的最小值为AD-DB′=[27]-2。
【总结】折叠图形有“共端点、等线段”的特征，满足圆的定义。
利用这一特征构造“辅助圆”，再利用“两点之间，线段最短”的原理便能很快找到对应线段的最值。
二、直角三角形中的辅助圆例2 （2017·江苏江阴一模）如图3，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围为。
【解析】由∠APB为“直角”这个特征，联想到90°角所对的弦是直径，可以构造经过A、B、P三点的⊙M（如图4），半径为1。
点P在⊙M上运动，PC的长度也随之不断变化。
我们在运动中不难发现PC所在的直线经过圆心M时，可以取到最大或最小值。
图4中，PCmin=MC-MP=[5]-1;图5中，PCmax=MC+MP=[5]+1。
【总结】直角三角形中，“定斜边、动直角顶点”的特征，满足90°的圆周角所对的弦是直径。
巧构造，妙解题
构造法是一种解答高中数学问题的常用方法，尤其是在解答数列问题、立体几何问题、导数问题、方程问题时，巧妙地构造出新数学模型，便可从新角度找到解题的方案.这样不仅能有效地提升解题的效率，还能拓宽解题的思路.运用构造法解题，难点在于怎样构造出合适的数学模型.下面结合实例来进行探讨.一、妙用构造法，解数列问题数列问题侧重于考查等差、等比数列的通项公式、性质、前n项和公式.对于一些复杂的数列问题，我们常需要根据已知条件，构造出等差或等比数列，利用等差、等比数列的通项公式、前n项和公式来求解.巧妙地运用构造法，来构造出辅助数列，可使复杂的问题简单化.例1.已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n-3n，求数列的通项公式.解：因为a1=S1=2a1-3，所以a1=3,当n≥2时,an=S n-S n-1=(2a n-3n)-(2a n-1-3n-1),化简可得an-2a n-1=2·3n-1,设bn-1=an2n-a n-12n-1=æèöø32n-1(n≥2),则{b n}是一个以32为首项，32为公比的等比数列，设b n的前n项和为T n，则Tn-1=a222-a121+a323-a222+…+a n2n-a n-12n-1=32éëêùûú1-æèöø32n-11-32,整理得an2n-a121=2·æèöø32n-3，故an=2·3n-3·2n-1，所以数列的通项公式为a n=2·3n-3·2n-1.解答本题，需先根据数列的前n项和与a n之间的关系a n={S1,n=1,Sn-S n-1,n≥2,来消去Sn，得到关于an、an-1的关系式，然后根据其特征，在其左右同时除以2n，构造辅助数列{b n}.根据等比数列的定义可知该数列为等比数列，于是根据等比数列的前n项和公式求出数列{a n}的通项公式.构造辅助数列的常用途径有在递推式的左右同时除以一个常数、同时取对数、同时取倒数等.二、妙用构造法，解立体几何问题立体几何问题对同学们的空间想象能力和抽象思维能力有较高的要求.有些立体几何问题较为复杂，很难快速找到解题的思路，此时可根据几何图形的特点和相关的定理、性质、定义来添加合适的辅助线，构造出规则的几何体、向量、平行线、垂线等，这样便能将问题简化，快速找到解题的突破口.例2.在四面体OABC中，OA=OB=OC，∠AOC=∠AOB.证明：OA在△OBC所在的平面的射影平分∠BOC.分析：本题采用几何法证明较为困难，于是转换思路，构造向量OA、OB、OC，并以这3个向量为基底，分别表示出其他向量，然后根据向量的数量积公式证明cos∠BOH=cos∠COH，即可解题.证明：如图，过A向平面OBC作垂线，垂足为H，则OH为OA在平面OBC上的射影.解题宝典40设 OA =a , OB =b ,OC =c ,则|a |=|b |=|c |，且 OH = OA + AH =a +AH ，于是 OB · OH =| OB |·|OH |·cos ∠BOH=|b |·| OH |·cos ∠BOH =b ·(a + AH )=b ·a +b ·AH =b ·a =|b |·|a |·cos ∠AOB ，所以cos ∠BOH =|a ||b |·cos ∠AOB |b ||OH |=|a ||OH |cos ∠AOB.同理可得cos ∠COH =|a ||OH |cos ∠AOC因为∠AOB =∠AOC ，所以cos ∠BOH =cos ∠COH .所以∠BOH =∠COH .即OA 在平面OBC 上的射影平分∠BOC .通过构造向量来将问题转化为向量问题求解，是解答立体几何问题的常用思路.三、妙用构造法，解不等式问题很多不等式问题中给出的条件较为简单，为了证明结论，常需运用构造法，将不等式进行变形，构造出合适的函数模型、方程、几何图形等，利用函数的性质、方程的性质、几何图形的位置关系来解题.这样能减少计算量，降低解题的难度.例3.已知x >0，证明：ln x +1x -1x +1>0.证明：设f (x )=lnx +1x -1x +1,x >0,令x +1x=t ，其中x >0，所以x =1t -1，t >1，则f (t )=ln t +1t-1，其中t >1,所以f ′(t )=1t -1t 2=t -1t2，因为当t ∈(1,+∞)时，f ′(t )>0，所以f (t )在t ∈(1,+∞)上为增函数，所以f (t )>f (1)=0,故f (x )>0.要证明ln x +1x -1x +1>0，只需构造函数f (x )，证明f (x )>0，即证f (x )的最小值大于0，这样便将不等式证明问题转化为函数的最值问题.根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数f (x )的单调性，求得函数f (x )的最小值，即可证明不等式成立.在构造新的数学模型时，通常需将不等式进行适当的变形，再根据其代数式的特征和几何意义进行构造.四、妙用构造法，解方程问题解答方程问题常用的方法有因式分解法、配方法、换元法、待定系数法等.但当面对一些复杂的解方程题目时，运用这些方法往往很难奏效，此时可运用构造法，根据方程中代数式的特点、几何意义，构造出向量、函数、几何图形，运用向量的运算法则、函数的图象、性质、几何图形的位置关系来解题.例4.解方程x 4-5x 2-4x +13+x 4+x 2-2x +1=10.分析：该方程中含有根式且未知数的最高次数达到了4次，不能直接去根号.可将根号下的式子整理为平方和的形式，根据两点间的距离公式构造出三个点A 、B 、C ，根据三点之间的位置关系以及斜率公式来解题.解：x 4-5x 2-4x +13+x 4+x 2-2x +1=(x 2-3)2+(x -2)2+(x 2-0)2+(x -1)2=10,设A (x ,x 2)，B (2,2)，C (1,0)，则|AB |=(x 2-3)2+(x -2)2,|AC |=(x 2-0)2+(x -1)2,因为|AB |+|AC |=10，又|BC |=(2-1)2+32=10，则|AB |+|AC |=|BC |，故A ,B ,C 三点共线，从而可得K AB K CB ,即3-x 22-x =3-02-1，解得x ，因为A 位于B ,C 之间，所以1<x <2，故x =16(3+21)是方程的唯一解.在解题受阻时，要学会转换解题的思路，可以将复杂的数列与等差、等比数列靠拢；也可以将不等式与函数、方程关联起来；也可以利用“向量”的双重身份，根据几何图形的特点构造出向量，还可以深入挖掘问题中代数式的特点、几何意义，构造出几何图形，运用构造法来解题.这就要求我们在解题时，展开想象，运用发散性思维，将问题与其他知识关联起来，以便另辟蹊径，构造出合适的数学模型，利用其他板块的知识来解题，从而将复杂问题简单化.（作者单位：西华师范大学数学与信息学院）解题宝典41。
巧构造,妙解题
构造法是根据题目的条件与特征，构造出一种新的数学模型，从一种新的角度解题的方法.巧妙运用此方法解题，往往可以将复杂的数学问题转化为简单的问题，达到化难为易、化繁为简的目的.一、构造方程方程是指含有未知数的等式.在解题时，我们可根据问题中所给的数量关系和特征，确定一个或几个未知数，从而构造出一个新的方程，然后通过解方程，或运用方程的性质来解题.例1.若x ，y ∈R ，且x 2+y 2+xy =3，求x 2+y 2-xy的最值.解：由x 2+y 2+xy =3及x 2+y 2-xy =k 可知x 2+y2=k +32，x 2y 2=-6k +9+k 24，可将x 2，y 2看作关于t 的方程t 2-k +32t +-6k +9+k 26=0的两个根，则判别式△≥0，即k 2-10k +9≤0，解得1≤k ≤9，故x 2+y 2-xy 的最小值为1，最大值为9.将题中的两个代数式进行变形可得出x 2+y 2、x 2y 2的表达式，于是联想到一元二次方程的根与系数的关系，于是构造方程t 2-k +32t +-6k +9+k 26=0，根据一元二次方程的判别式大于或等于0建立不等式，从而求得问题的答案.二、构造函数用函数可以表示出变量之间的关系.若某个变量与另一个变量之间存在一定的联系，此时我们便可根据题意构造出一个函数模型，利用函数的图象和性质来解题.例2.已知x ，y ，z ∈R ，求证：x 2+4y 2+9z 2≥4xy +6zx -12yz .证明：要证明x 2+4y 2+9z 2≥4xy +6zx -12yz ，只要证明x 2-(4y +6z )x +4y 2+9z 2+12yz ≥0，不妨设f (x )=x 2-(4y +6z )x +4y 2+9z 2+12yz ，此函数图象的开口向上，其判别式△=(4y +6z )2-4(4y 2+9z 2+12yz )=0，由其图象可知，f (x )≥0，即12yz ≥0成立，所以x 2+4y 2+9z 2≥4xy +6zx -12yz 得证.此题中的变量较多，并且不等式中的各项都是二次的，难以破解.于是可以确定一个主元，并以其为自变量构造一个二次函数，利用二次函数的图象讨论根的分布情况，即可证明不等式成立.三、构造数列当遇见与自然数n 相关的数学问题时，可以根据题意构造一个数列，运用数列的性质、通项公式、前n 项和公式进行求解.例3.证明：∑k =1n1k>n (n ≥2).证明：构造数列{}x n ，这里x n=k =nn，则x n +1-xn =1n +1+n -n +1=所以x n +1n ，则{}x n 是单调递增数列，从而可得x n +1>x n ≥x 2，又x 2=(1-2=10，所以x n >0，即∑k =1n1k>n （n ≥2）.欲证含有与自然数n 有关的不等式f (n )>g (n )，可以构造数列模型x n =f (n )-g (n )，然后设法证明数列是单调数列，并且说明x n >0，且f (n )，g (n )均为正值，即可运用数列的单调性证明不等式成立.可见，巧妙运用构造法解题，能使问题快速获解.而运用构造法解题的关键在于构造合适的数学模型，从新的角度思考解题的方案.因此在运用构造法解题时，同学们要仔细审题，明确问题的本质，展开联想，将问题中的未知数、变量、自然数与方程、函数、数列关联起来，然后构造出相应的方程、函数、数列，灵活运用方程、函数、数列的性质以及相关的公式来解题.（作者单位：江苏省大丰高级中学）考点透视唐卉35。
联想出妙解——构造直角三角形解题一例
2020年第4期中学数学月刊・63・EFGH I构造直角三角形解题一例侯明辉（辽宁省岫岩满族自治县教师进修学校114300）问题已知正数％%#b）与锐角a%!#%）满足%人・!92"——1）+b=b・tan a—%%—b'sin"%/=槡%2+b2，求a+%的大小.分析题中给岀关于正数％%与锐角a%的三角函 间比较的等量关系%特点,直接求a十％的度数，往往使人感策，所以直接有一定的难度由槡%2+b2，可以很自然地联想到勾股定理，因此通过构造直角三角形%将其转化为，然后利用几何、三角函数和代数的一些相关知识，可使此题得到妙解.解如图1作△ABC,使6ACB=90°,BC=%AC=b%矿一则AB=槡%2+b2•”"■图—长AB到点M,使BM、=%；延长BA到点N,使AN=b.过点A作AE丄AB AE交MC的延长线于点E；过点B作BF丄BABF交NC的延长线于点F所以6ACE= 90o—Z BCM=90°—Z M=Z E,MW AE=AC= b.类似地,BF=BC=%.%—,・(^2一1)十b=槡％2+b2,得%—b sn%'sin2a%2一%b+b2+(%—b)・槡％2十b2=2—，即sin%%sin2a_%2+b2+(一b)・—%2十b2一%b sin2%=%2+b2—b2(—%2+b2+%)・(—%2+b2一b)(—%2+b2+b)・(—%2+b2一b)—%2+b2+%—%2+b2+b，sin a sin6E所以i%=i z F-因a%,6E,6F都是锐角，故T③”sin6F由b・tan a一%=—%2+b2,得tan a=—%2+b2+%b AE=tn6E，即"=6E%由③④可知％=6F.易知6M=—6ABC,6N=—Z BAC,故sin2Z EAM2ME2(槡％2十b2+%)2所以6M+6N=—(6ABC+6BAC)= (槡％2十b2+%)2+b2(!%2十b2+%)22!2+b2)+2%・槡％2十b2(!%2+b2+%)2槡%2+b+%=①2槡%2+b2・((%2+b2+%)2槡%2+b类似地sin26F =槡%2十b2十b②2槡％2十b2—X90。
巧妙构造,让数学解题更精彩
应考方略数学有数GUANG DONG JIAO YU GAO ZHONG 巧妙构造，让数学解题更精彩■江苏省太仓市明德高级中学王佩其数学解题，贵在巧思，巧思方可得妙解.而巧思中最为推 崇的解法是构造法，这种方法体现了数学思维的创新性，是 数学解题的最高境界.通过对题目的条件与结论进行对比分 析，找到一座沟通它们之间的桥梁，这座桥梁可以是一个函 数，一个方程，一个图形等，借助这座桥梁，可以让原问题 圆满解决，这就是所谓的构造法.本文举例说明，供同学们 参考._、巧构几何体，速解立几题在立体几何中，我们通常把正方体、长方体、正四面体 等这些形状优美，性质优美且特殊的几何体称作完美几何体. 在立体几何中，这些几何体有着十分重要的地位，起着不可 替代的作用，有些几何问题，往往可以通过对比与联想，构 造出完美几何体，借助于完美几何体的优美性质，让原问题 快速解决，同时也让我们感受到数学的奇异美.例1.已知一个棱长是a的正四面体的四个顶点均在同一 个球面上，则这个球的表面积是（)A. 37T02B-T na2C.^rTTa}D.各•jra2解析j正四面体有六条相等的棱，而正方体的六个面都是 全等的正方形，因此它们的对角线都相等，于是可以采用补 形的方法，将正四面体“还原”成正方体（如图1),那么正 方体的外接球就是与正四面体的外接球.因为四面体的棱长为a,所以正方体的棱长是A f a,于是正方体对角线f就是这个球的直径，故球半径= S:477"/?2=~^-7ra2.所以本题选 D.正方体是立方体中最完美的图形，它与它的内切球 与外接球之间的关系，能帮助我们快速找到解题“突破口 对于正四面体，将其“放入”正方体中，可以快速求出它的 外接球的半径.例2.已知乙/10B是平面a内的一个直角，0是直角顶 点，又0C是平面a的斜线，且乙4O C=Z S O C=60°,则直线 0C与平面a所成的角的大小是______._如图2所示，作正四棱锥且它的每一个侧面都是正三角形.于是a4, O B,0C满足已知条件，这相当于把题设所给的线面关系“搬到”了正四棱锥中，于是原问题等价于求侧棱C0与正四棱锥的底面a4A B所成的角.设底面中心为£,则乙C0£：即为所求的角.经图2计算可知，〇£=C£，故乙C O£=45。
人教版数学-备课资料巧妙构造 一题多解
巧妙构造 一题多解题目：已知a ，b 为正常数，x ，y 为正实数，且1=+yb x a ，求x+y 的最小值。
法一：巧用“1”的逆代换，构造定值，利用均值不等式x ay y bx b a y b x a y x y x +++=++=+))((≥ab 2b a ++当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=1yb x a y bx x ay ，即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=abb y ab a x 时等号成立 法二：对条件等式进行变形，构造定值，利用均值不等式 由1=+yb x a 得xy bx ay =+即ab b y a x =--))((（定值），且又易知b y a x >>, 所以 ab b y a x b y a x 2))((2)()(=--≥-+-，从而 2)(2b a ab b a y x +=++≥+ 当仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-1y b x a b y a x ，即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ab a x ab b y 时等号成立 法三：消元为一元函数，再构造定值，利用均值不等式 由1y b x a =+得by ay x -= ∴ b a )b y (b y ab y b y ab a y b y ab )b y (a y b y ay y x ++-+-=+-+=+-+-=+-=+ ∵ x>0，y>0，a>0 ∴ 由by ay ->0得y-b>0 ∴ x+y ≥b a ab ++2 当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-1yb x a b y b y ab ，即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=aba x ab b y 时，等号成立 法四：三角消元法，利用1cot tan =θθ构造定值，再用均值不等式 令θ2cos =x a ，θ2sin =y b ，θ∈（0，2π） ∴ θθ22sec cos a a x ==，θ2csc b y = ∴ x+y=θθθθ2222cot tan )cot 1()tan 1(b a b a b a +++=+++≥ab b a 2++当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+=1cot tan y b x a b a θθ即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ab a x ab b y 时等号成立 求解函数（或表达式）的最值，是均值不等式的重要应用，“和定积最大，积定和最小”，构造“定值”是成功解决此类问题的关键。
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巧构造妙解题
高琴
1. 直接构造
例1. 求函数的值域。
分析：由于可以看作定点（2，3）与动点（-cosx，sinx）连线的斜率，故f(x)的值域即为斜率的最大、最小值。
解：令，则表示单位圆
表示连接定点P（2，3）与单位圆上任一点（，）所得直线
的斜率。
显然该直线与圆相切时，k取得最值，此时，圆心（0，0）到这条直线的距离为
1，即
所以
故
例2. 已知三条不同的直线，，
共点，求的值。
分析：由条件知为某一元方程的根，于是想法构造出这个一元方程，然后用韦达定理求值。
解：设（m，n）是三条直线的交点，则可构造方程，即
（*）
由条件知，均为关于的一元三次方程（*）的根。
由韦达定理知
2. 由条件入手构造
例3. 已知实数x，y，z满足，求证：
分析：由已知得，以x，y为根构造一元二次方程，再由判别式非负证得结论。
解：构造一元二次方程
其中x，y为方程的两实根
所以
即
故△＝0，即
3. 由结论入手构造
例4. 求证：若，，则
分析：待证式的左边求和的分母是三次式，为降低分母次数，构造一个恒不等式。
所以左边
故原式得证。
例5. 已知实数x，y满足，求证：
分析：要证原式成立，即证
即证
由三角函数线知可构造下图，此时不等式右边为图中三个矩形的面积之和，而单位圆的面积为，所以
故结论成立。