高一数学讲义完整版
高一数学讲义1
高一数学讲义第一章：集合第一节：集合的概念和表示方法：知识点一：元素与集合的概念一般地，我们把研究的对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合。
说明：1、集合是一个整体2、构成集合的对象必须是确定的。
典型例题1：判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）大于3小于11的偶数（2）我国的小河流巩固练习:下列各组对象中，能组成集合的有。
（1）所有的好人；（2）平面上的到原点的距离等于2的点；（3）正三角形（4）不等式x+1>0的实数解；知识点二：元素的特征与集合相等：1、元素的特征：2、集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的，例如，集合{-1，1}与集合{1，-1}是相等的。
典型例题：判断下列各组中的两个集合是否相等。
（1）{3，4}和{4,3}；（2）{7,2}和{7,2}（3）{y|y=x²，x∈R}和{x| y=x²，x∈R};知识点三：元素与集合的关系我们通常用大写拉丁字母A,B,C，…表示集合，用小写的拉丁字母a,b，c…表示集合中的元素。
知识点四：常用的数集及其记法：注意：（1）通常情况下，上面的大写英文字母不再表示其他的集合；（2）0是最小的自然数（3）对于常用数集的记法要做到范围明确，即明确各数集符号所包含的元素，记忆准确，并且书写要规范。
典型例题：1、用符号∈和∉填空；（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：中国A, 美国 A印度A, 英国 A(2)若A={x|x²=x},则-1 A（3）若B={x|x²+x-6=0},则3 B(3)若C={x∈N|1≤x≤10}，则8 C，9.1 C巩固练习：用符号∈和∉填空；（1）√2+√5{x|x≤2+√3}（2）3 {x|x=n²+1，n∈N}y=3+√2π，M={m|m=a+b√2,a∈Q，b∈Q}，（3）x=3−5√2则x M,y M知识点五：集合的表示方法：（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法；（2）列表法：把集合的元素一一列举出来，并用“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法。
高中数学复习讲义
高中数学复习讲义一、代数1.1 一元一次方程1.2 一元二次方程1.3 平面直角坐标系1.4 解析几何与向量1.5 指数与对数1.6 三角函数与三角恒等变换1.7 数列与数学归纳法二、几何2.1 平面与立体几何基本概念2.2 直线与角2.3 三角形与三角形的性质2.4 四边形与四边形的性质2.5 圆与圆的性质2.6 空间几何与立体几何三、概率与统计3.1 随机事件与概率的计算3.2 组合与排列3.3 抽样与统计四、数学思想方法4.1 推理与证明4.2 逻辑与谬误4.3 数学建模与解题策略五、应用题本讲义将针对高中数学涵盖的主要内容进行复习总结，旨在帮助大家全面复习数学知识，掌握解题方法和技巧，为高考做好充分准备。
一、代数1.1 一元一次方程一元一次方程是数学中最基础的方程形式之一，解一元一次方程需要掌握方程的基本性质和求解方法。
我们将重点讲解常见的一元一次方程类型，并提供解题思路和方法。
掌握一元一次方程的求解技巧对于解决实际问题具有重要意义。
1.2 一元二次方程一元二次方程在高中数学中起着重要的作用，解一元二次方程需要掌握配方法、因式分解法以及求根公式等知识点。
我们将介绍一元二次方程的基本概念和解法，并通过大量例题帮助大家提高解题能力。
1.3 平面直角坐标系平面直角坐标系是研究平面几何和解析几何的基础，了解坐标系的性质和坐标变换的规律对于解决几何问题至关重要。
我们将详细介绍直角坐标系的相关概念和性质，并结合实例进行讲解，帮助大家掌握平面直角坐标系的应用。
1.4 解析几何与向量解析几何是将代数与几何相结合的重要数学分支，研究空间中点、直线、平面等几何对象的解析表达和性质。
向量是解析几何中的重要工具，学习向量的表示方法和运算规律有助于解决几何问题。
我们将讲解解析几何基本概念和向量的数学性质，并通过练习题提高大家的解题能力。
1.5 指数与对数指数和对数是高中数学中重要的数学工具和运算方法，涉及到数学表达式的简化、方程的求解等。
高中数学必修一讲义(知识点带题目)
第二章 复习题........................................................................... 36
第三章
3.1.
函数的应用
函数与方程
3.1.1.
方程的根与函数零点............................................................................................44
1
记号 名称
意义 (1)A A A 中的任一元素都属 于B
性质
示意图
A B
子集 （或
B A)
AB
A (3)若 A B 且 B C ，则 A C (4)若 A B 且 B A ，则 A B
(2) （1）
A(B)
B
A
或
真子集 （或 B A）
A B ，且 B 中至
二次函数
0
0
0
y ax 2 bx c (a 0)
的图象
O
O
L
=
O
一元二次方程
ax 2 bx c 0(a 0)
的根
b b2 4ac x1,2 2a
（其中 x1
x1 x2
x2 ) {x | x
b 2a
无实根
ax 2 bx c 0(a 0)
2.4.
其它函数及概念 2.4.1. 2.4.2. 2.4.3. 反函数概念.......................................................................................................... 29 对勾函数................................................................................................................30 三次函数................................................................................................................30
高一数学必修一第一章集合与函数的概念讲义(集合的关系与运算)
知识点3、集合间的基本关系知识梳理1、子集的概念定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集图示(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.3、真子集的概念(1)A⊂B且B⊂C，则A⊂C；(2)A⊆B且A≠B，则A⊂B常考题型题型一、集合间关系的判断例1、(1)下列各式中，正确的个数是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}A．1B．2 C．3 D．4①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．判断集合间关系的方法(1)用定义判断．首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合判断．对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．变式训练能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是()A. B. C. D.题型二、有限集合子集的确定例2、(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是()A．6 B．7 C．8 D．9(2)满足{1,2}⊂≠M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集．(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．(4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．(5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个．变式训练非空集合S⊆{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S，则6－a∈S”，则这样的集合S共有________个．题型三、集合间关系的应用例3、已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．变式训练已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．课时小测1、给出下列四个判断：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中，正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个2、已知A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方形}，C＝{x|x是平行四边形}，那么A，B，C之间的关系是()A．A⊆B⊆C B．B⊆A⊆C C．A⊂≠B⊆C D．A＝B⊆C3、已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.4、集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数为________．5、已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}．(1)若A是B的真子集，求a的取值范围；(2)若B是A的子集，求a的取值范围；(3)若A＝B，求a的取值范围．同步练习一、选择题1．已知集合A，B，若A不是B的子集，则下列命题中正确的是A．对任意的a∈A，都有a∉B B．对任意的b∈B，都有b∉A2．如果{}|1A x x =>-，那么A ．0A ⊆B ．{}0A ∈C ．A ∅∈D ．{}0A ⊆ 3．下列各式中，正确的个数是（1）{0}∈{0，1，2}；（2）{0，1，2}⊆{2，1，0}；（3）∅⊆{0，1，2}. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．若集合{}|0A x x =≥，且B A ⊆，则集合B 可能是A ．{}1,2B ．{}|1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R 5．若2{|,}x x a a ⊂∅≤∈≠R ，则实数a 的取值范围是A ．B ．C ．D ． 6．已知全集U =R ，则正确表示集合{}1,0,1M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩(Venn)图是A B C D7．设集合{1,2}M =，2{}N a =，那么 A ．若1a =，则N M ⊆B ．若N M ⊆，则1a =C ．若1a =，则N M ⊆，反之也成立D ．1a =和N M ⊆成立没有关系8．已知集合{}4,5,6P =，，定义{},,P Q x x p q p P q Q ⊕==-∈∈，则集合P Q ⊕的所有非空真子集的个数为A ．32B ．31C ．30D ．以上都不对二、填空题9．设P ={x |x <4}，Q ={x |－2<x <2}，则P Q ．10．已知集合，，则满足条件的集合C 的个数为_____.三、解答题11．写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集. (0,)+∞[0,)+∞(,0]-∞(,0)-∞{}1,2,3Q =2{|320,}A x x x x =-+=∈R {|05,}B x x x =<<∈N A C B ⊆⊆12．已知集合{}{}2,4,6,8,9,1,2,3,5,8A B ==,又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集;若各元素都减去2后，则变为B 的一个子集,求集合C .13．已知集合A ={x|2a −1<x <3a +1},集合B ={x|−1<x <4}.（1）若A ⊆B ,求实数a 的取值范围;（2）是否存在实数a ,使A =B ?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.知识点4、集合的并集、交集知识梳理1、并集的概念、并集的性质(1)A ∪B ＝B ∪A ，即两个集合的并集满足交换律．(2)A ∪A ＝A ，即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身． (3)A ∪∅＝∅∪A ＝A ，即任何集合与空集的并集等于这个集合本身．(4)A ⊆(A ∪B)，B ⊆ (A ∪B)，即任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集．(5)若A ⊆B ，则A ∪B ＝B ，反之也成立，即任何集合同它的子集的并集，等于这个集合本身． 3、交集的概念4、交集的性质(1)A∩B＝B∩A，即两个集合的交集满足交换律．(2)A∩A＝A，即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身．(3)A∩∅＝∅∩A＝∅，即任何集合与空集的交集等于空集．(4)A∩B⊆A，A∩B⊆B，即两个集合的交集是其中任一集合的子集．(5)若A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立，即若A是B的子集，则A，B的公共部分是A.常考题型题型一、并集的运算例1、(1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于()A．{3,4,5,6,7,8}B．{5,8} C．{3,5,7,8} D．{4,5,6,8} (2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于()A．{x|x>－2} B．{x|x>－1} C．{x|－2<x<－1} D．{x|－1<x<2}变式训练若集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x有()A．1个B．2个C．3个D．4个题型二、交集的运算例2、(1)若A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x＝3a，a∈A}，则A∩B等于()A．{1,2} B．{0,1} C．{0,3} D．{3}(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}求交集运算应关注两点(1)求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合．(2)利用集合的并、交求参数的值时，要检验集合元素的互异性．变式训练已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．题型三、交集、并集的性质及应用例3、已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．变式训练已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∩B＝A，试求k的取值范围．课时小测1、设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝()A．{0,1}B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}2、已知S＝{(x，y)|y＝1，x∈R}，T＝{(x，y)|x＝1，y∈R}，则S∩T＝()A．空集B．{1}C．(1,1) D．{(1,1)}3、若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤－1，或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________.4、已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．5、设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求实数x，y的值及A∪B.知识点5、补集及综合应用知识梳理1、全集的定义及表示(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)符号表示：全集通常记作U.2、补集的概念及性质的补集，记作U＝∅，U∅U U(U(U U常考题型题型一、补集的运算例1、(1)设全集U＝R，集合A＝{x|2<x≤5}，则U A＝________.(2)设U＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则U A＝________，U B＝________.变式训练设全集U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1，|a－5|,9)，U A＝{5,7}，则a的值为________．题型二、集合的交、并、补的综合运算例2、已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(U A)∪B，A∩(U B)，U(A∪B)．变式训练已知全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求U(A∪B)，U(A∩B)，(U A)∩(U B)，(U A)∪(U B)．题型三、补集的综合应用例3、设全集U＝R，M＝{x|3a<x<2a＋5}，P＝{x|－2≤x≤1}，若M⊂≠U P，求实数a的取值范围．变式训练已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x<－1，或x>0}，若A∩(R B)＝∅，求实数a的取值范围．课时小测2、已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1，或x >4}，那么集合A ∩(U B )等于( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤3，或x ≥4}C ．{x |－2≤x ＜－1}D ．{x |－1≤x ≤3}3、已知集合A ＝{3,4，m }，集合B ＝{3,4}，若A B ＝{5}，则实数m ＝________. 4、已知全集U ＝R ，M ＝{x |－1<x <1}，U N ＝{x |0<x <2}，那么集合M ∪N ＝________.5、设U ＝R ，已知集合A ＝{x|－5<x<5}，B ＝{x|0≤x<7}，求(1)A∩B ；(2)A ∪B ；(3)A ∪(U B)；(4)B∩(U A)；(5)(U A )∩(U B )．同步练习一、选择题1、已知集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,4}A =，则UA =A ．{5,6}B ．{1,2,3,4}C ．{2,5,6}D ．{2,3,4,5,6} 2、已知集合{}|1A x x =>，{|1}B x x =≤，则 A ．AB ≠∅ B ．A B =RC ．B A ⊆D ．A B ⊆3、若集合{}{}1,2,3,4,2A B x x ==∈≤N ，则AB 中的元素个数是A ．4B ．6C ．2D ．34、已知全集U ={1，2，3，4，5，6}，集合P ={1，3，5}，Q ={1，2，4}，则U P Q ()= A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}5、设集合{},A a b =，集合{}1,5B a =+，若{}2A B =，则A B =A ．{}1,2B ．{}1,5C ．{}2,5D ．{}1,2,5 6、若集合AB BC =，则集合A,B,C 的关系下列表示正确的是。
高一数学讲义
在一元二次方程 ax 2+ bx + c = 0 (a ≠ 0) 有两个实根 x 1, x 2 ，那么有 ⎨⎧x + x = ______x ⋅ x = ______ ⎩第一部分 初中知识点复习1.一元二次方程的根及其分布【知识梳理】1．根的判别式一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 根的情况由决定，我们把它叫做根的判别式，通常用符号_______表示． 一般地，方程 ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)（1）如果______________,则说明方程有个实数根（2）如果______________,则说明方程有个实数根（3）如果______________,则说明方程有个实数根2．根与系数关系（韦达定理）12 1 2拓展：【经典例题】例 1．讨论关于 x 的方程 (m - 1)x 2 + 2mx + (m - 2) = 0 的根的情况．x2；例2．若x1,x2分别是一元二次方程2x2+5x-3=0的两根，求下列式子的值：（1）|x1-x2|；（2）11x2+12（3）x3+x312例3．已知关于x的一元二次方程x2-2mx+m+2=0（1）若方程的两个根都是正数，求m的取值范围；（2）若方程的两个根一个大于0，另一个小于0，负根的绝对值小，求m的取值范围；（3）若方程的两个根一个大于1，另一个小于1，求m的取值范围．例4．若一元二次方程x2-4x+a=0的两个根，一个比3大，一个比3小，求a的取值范围．A．0<k≤14Ｂ．0<k≤14Ｃ．<k≤14Ｄ．k≤【过关练习】1.讨论关于x的方程ax2-(1+a)x+1=0的根的情况．2.若x,x是方程x2+2x-2018=0的两个根，试求下列各式的值：12（1）(x1-5)(x2-5)（2）x1-x2（3）11x+x123.若方程x2-11x+(30+k)=0有两个实数根，且两个实数根均大于5，则k的取值范围为（）1144.已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m-1=0有两个非零实数根，求满足下列条件时，m的取值范围：（1）两根都小于0；（2）一根大于0，一根小于0．2.一元二次不等式【知识梳理】“三个二次”之间的关系：假设相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2且x1<x2，∆=b2-4ac，则一元二次不等式的解的各种情况如下表：∆>0∆=0∆<0二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集一元二次不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集总结：解一元二次不等式的口诀：【经典例题】例1．解不等式：（1）x2+x-6>0（2）x2-8x+16<0（3）-2x2+3x+7≥0例2．解下列不等式：x2≥16x2≤25(2x−1)2≤9−4+x−x2<0(2−x)(x+3)>02x2+7x+3>0例3．解关于x的不等式：(m-1)x2+2mx+(m-2)>0（m∈R）【过关练习】1.解不等式：2x2+5x+3>0−x2+3x+10<02x2−x−1<03x2−x−42x2−7x−4>0(x−1)(3−x)＜5−2x −1x2+3x−5>0−x2+8x−3>0x2−4x−5≤0 22.解关于x的不等式：x2-(a+a2)x+a3>0（a∈R）3.分式不等式【知识梳理】分式不等式的解题步骤：【经典例题】例1．解下列分式不等式x-1 x+2<03x7-2x≥0x-3x+7<2x-1 -x+2>12x-33x-4≤2－1<3x-1x+2<2例2．解下列高次不等式x-2x2+3x+2>0x2+xx2+x-6<x2+x2x-1<2(x-2)2(x-3)3(x+1)<0(x+3)(-2)(-4)>0x2-2x-1x-2<0x x【过关练习】1.解下列分式不等式x-3 2-x≥02x-1-x+2>12x-1x+3>1x-2 x+3≥2x32x≥22x-1x+3>12.解下列高次不等式2x2+3x-2 x2-2x-3≤0.x2-3x+2x2-2x-3≤0(x-2)2(x-3)3(x+1)<07x-5x2x2-5x+6<xxx2-3x-4(x-2)(+3)≤00<x-1x<1x⎪ -a < 0) .⎨0 (a4.绝对值不等式【知识梳理】一．绝对值的概念1．几何意义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值 2．代数意义：______的绝对值是他本身，________的绝对值是他的相反数，_______的绝对值是 0，⎧ a (a > 0)即 a = ⎪= 0)⎩二．绝对值不等式两个绝对值不等式: x < a (a > 0) ⇔ ________________ ；x > a (a > 0) ⇔ ________________【经典例题】例 1．化简（1） 2x - 1 + x - 3 （2） 5 x - 1 - 3 x - 3例 2．解下列不等式（1） x - 1 > 4（2） x - 1 + x - 3 > 4（3） x - 1 + 3 x - 3 > 4（4） 5 x - 1 - 3 x - 3 > 4例2．（1）解不等式：x+1+x+2<4（2）对任意的x，不等式x-a+x+2≥6恒成立，求实数a的范围【过关练习】1.化简下列各式（1）x-1+x-3（2）x-1+3x-32.解下列不等式（1）x+1-x-2≤2（2）3x-2+2x+1>9 3.（1）解不等式：x-1+x+2≥5（2）对任意的x，不等式x+a+x-2≥5恒成立，求实数a的范围第二讲集合（一）1.1.1集合的含义与表示知识点1.集合的概念：一般地，指定的某些对象的全体称为，简称“集”。
高一数学讲义_集合间的基本关系
集合间的基本关系一、子集、空集等概念的教学：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：（1）A={123},B={123,4,5};（2）C={新华一中高一班全体女生},D={新华一中高一班全体学生}；（3）E={x I x是两条边相等的三角形},F={x|x是等腰三角形}1．子集的定义：对于两个集合A,B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。
记作：A G B（或B o A）读作：A包含于（iscontainedin）B,或B包含（contains）A当集合A不包含于集合B时，记作AB用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：A G B2.集合相等定义：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若A G B且B G A，则A=B。
女如（3）中的两集合E=F。
例1.若集合A=x2+x-6=0丿,B=mx+1=o},B三A,求m的值。
3.真子集定义：若集合A匸B，但存在元素x G B,且x电A，则称集合A是集合B的真子集(propersubset)。
记作：B(或异A)读作：A真包含于B(或B真包含A)4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集(emptyset),记作：0。
用适当的符号填空：0{o}；00；0{0}；{0}{0}重要结论：(1) 空集是任何集合的子集；(2) 空集是任何非空集合的真子集；(3) 任何一个集合是它本身的子集；(4) 对于集合A,B,C,如果A匸B，且B匸C，那么A匸C。
说明：1．注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；2．在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。
三、例题讲解：(m=0或-或-—)32例2.已知集合A=i x|-2<x<5},B= i x|-m+1<x< 2m-1}且A匸B,求实数m的取值范围。
高一数学立体几何讲义
I. 基础知识要点一、 平面.1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2. 两个平面可将空间分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X 、Y 、Z 三个方向）二、 空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线——共面有且仅有一个公共点；平行直线——共面没有公共点；异面直线——不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =，则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围[) 180,0∈θ） （直线与直线所成角(] 90,0∈θ）（斜线与平面成角() 90,0∈θ）（直线与平面所成角[] 90,0∈θ） 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线）②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线） 12方向相同12方向不相同③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）⑦直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理）， 得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ，但PO 不垂直OA .● 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.[注]：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线．．．．．的两个平面平行）②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上四、 平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.[注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.P OA a P αβ推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.证明：如图，找O 作OA 、OB 分别垂直于21,l l ，因为ααββ⊥⊂⊥⊂OB PM OA PM ,,,则OB PM OA PM ⊥⊥,.五、 棱锥、棱柱.1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：Ch S =（C 为底面周长，h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：l C S 1=（1C 是斜棱柱直截面周长，l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑶棱柱具有的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．.②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×）（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形） ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直．棱柱才行） ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形） ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）2. 棱锥： [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V Sh V ==.⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；⑧每个四面体都有内切球，球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）3. 球：⑴球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=. ②球的体积公式：334R V π=. 附：①圆柱体积：h r V 2π=（r 为半径，h 为高） ②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高） ③锥形体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高） 侧面积公式S 直棱柱侧＝ch ( c －底面周长，h －高 )S 正棱锥侧＝1/2 ch ( c －底面周长，h －斜高 )S 正棱台侧＝1/2 (c ＋c')h (c ，c'－上、下底面周长，h －斜高)S 圆柱侧＝cl ＝2πrl (c －底面周长，l －母线长 ，r －底面半径) S 圆锥侧＝1/2cl ＝πrl (c －底面周长，l －母线长 ，r －底面半径) S 圆台侧＝1/2(c ＋c')l ＝π(r ＋r')l(c ，c' －上、下底面周长，r ，r －上、下底面半径)体积公式V 柱体＝Sh ( S －底面积，h －高 )V 椎体=1/3Sh ( S －底面积，h －高 )()h ss s s V '31'++=台体 (S ，S －上下底面积，h －高 ) 3R 34π=球V (R 为球的半径) 24R S π=球。
高一数学讲义完整版
高一数学复习讲义函数部分(1) 重点：1把握函数基本知识（定义域、值域）x（a>0、<0) 主要是指数函数y=a x（a>0、<0),对数函数y=loga2二次函数（重点）基本概念（思维方式）对称轴、开口方向、判别式考点1：单调函数的考查2：函数的最值3：函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲)4：个数问题（结合函数图象）3反函数（原函数与对应反函数的关系）特殊值的取舍4单调函数的证明(注意一般解法）简易逻辑(较容易)1.2.3.4.启示：对此部分重点把握第3题、第4题的解法（与集合的关系）问题1：恒成立问题解法及题型总结(必考)一般有5类：1、一次函数型：形如：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0)练习：对于满足0<p<4的所有实数p,求使不等式x2+px>-4x+p-3恒成立的x的取值范围2、二次函数型:若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立,则有a>0Δ<0若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解练习：1设f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1, +∞)时,都有f(x)>a恒成立, a的取值范围2关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解,求a的范围。
3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解练习：若1-ax>1/(1+x),当对于x∈[0, 1]恒成立,求实数a的取值范围。
4利用图象练习：当x∈(1, 2)时,不等式(x-1)2<logx恒成立,求a的取值范围.a５利用函数性质练习：若f(x)=sin(x+α)+cos(x-α)为偶函数,求α的值.（最值）已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[03]，上的最大值为2，则t =函数部分2（三角函数）学习目标：1熟悉函数命题知识点2 每种题目能找出突破点（课后总结归纳） 3三角函数主要考点（平移、函数大小及比较（2007）、最值（两大类）、二次函数综合、恒成立问题（湖北2007）、图像） 三角函数考点 1考查化简2考查图像变换（与一般函数联系起来） 平移：a 普通平移 b 向量平移引出知识点：1函数周期性 y=sinx2 参数范围求解 若方程3sinx+cosx=a 在[0,2π]上有两个不同的实数解,求a 的取值范围.3.函数解析式 如图是函数y=Asin(ωx+φ)的半个周期 的图象,求其解析式.3 考查函数性质4考查解三角形5考查综合运用数列1.数列问题（常见几类数列的解法）特殊的（裂项法、构造法等）三类数列你知道吗？2.函数知识的复习函数在数列中应用（复习函数的有关解法）1(2000年上海卷)在xOy平面上有一点列P1 ( a1 , b1 ) 、P2 ( x2 , y2 ) 、⋯、Pn ( an , bn ) 、⋯,对每个自然数n,点Pn 位于函数y = 2000 ( a/10) x (0 < a < 10)的图像上,且点Pn、点( n, 0)与点( n + 1, 0)构成一个以Pn 为顶点的等腰三角形. ( Ⅰ)求点Pn 的纵坐标bn 的表达式;( Ⅱ)若对每个自然数n,以bn、b n + 1、b n + 2为边长能构成一个三角形,求a的取值范围;( Ⅲ)设cn= lg( b n ) ( n∈N) . 若a取( Ⅱ)中确定的范围内的最小整数, 问数列{ cn }前多少项的和最大? 试说明理由.2在等差数列{ a n }中,若a1 < 0,且S5 = S13,试问这数列的前几项之和最小?（变化类型）3 (2004年重庆卷)若{ an }是等差数列, 首项a1 > 0, a2003 + a2004 > 0, a2003 a2004 < 0,则使前n项和Sn > 0成立的最大自然数n是( ) .(A) 4005 (B) 4006 (C) 4007 (D) 4008.4 (2004年福州卷) y = f ( x)的定义域为R,且f ( 0 ) ≠ 0. , 对任意实数m、n 有f (m + n ) =f (m ) f ( n) ,当x∈R时, f ( x)是单调函数. 数列{ an }满足a1 = f (0) , f ( an + 1 ) =1/f ( - 2 - a n )( n∈N+ ) .(1)求f (0)的值;(2)求数列{ an }的通项公式;5 ( 2004年湖南卷)已知数列{ an }满足a1= 0, an + 1 =an – 3/3an + 1 ( n∈N) ,则a20 = ( ) .(A) 0 (B) - 3 (C) 3 (D) 3补充常考三类数列问题:1 化为等比数列如an =2an-1+5构造法在1的基础上多一项,解法类似 2 等差数列+等比数列3 含有分式用裂考试主要考三类数列：1 a n=2a n-1+5 （非等差、非等比）2 a n=q 2n （求和）3 裂项数列类问题的解题方法：常数列构造法奇偶讨论函数思想（Sn是二次函数）题型练习：一、选择题1、三个正数a、b、c成等比数列，则lga、lgb、lgc是（）A、等比数列B、既是等差又是等比数列C、等差数列D、既不是等差又不是等比数列2、前100个自然数中，除以7余数为2的所有数的和是（）A、765B、653C、658D、6603、如果a,x1,x2,b 成等差数列，a,y1,y2,b 成等比数列，那么(x1+x2)/y1y2等于A、(a+b)/(a-b)B、(b-a)/abC、ab/(a+b)D、(a+b)/ab4、在等比数列{a n}中，S n表示前n项和，若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q=A、1B、-1C、-3D、35、在等比数列{a n}中,a1+a n=66,a2a n-1=128,S n=126，则n的值为A、5B、6C、7D、86、若{ a n }为等比数列，S n为前n项的和，S3=3a3,则公比q为A、1或-1/2B、-1 或1/2C、-1/2D、1/2或-1/27、一个项数为偶数的等差数列，其奇数项之和为24，偶数项之和为30，最后一项比第一项大21/2，则最后一项为（）A、12B、10C、8D、以上都不对8、在等比数列{a n}中，a n>0,a2a4+a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值是A、20B、15C、10D、59、等比数列前n项和为S n有人算得S1=8,S2=20,S3=36,S4=65,后来发现有一个数算错了，错误的是A、S1B、S2C、S3D、S410、数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a7,a10,a15是一等比数列{b n}的连续三项，若该等比数列的首项b1=3则b n等于A、3·(5/3)n-1B、3·(3/5)n-1C 、3·(5/8)n-1D 、3·(2/3)n-1二、填空题11、公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一等比数列，该等比数列的公比q = 12、各项都是正数的等比数列{a n }，公比q ≠1,a 5,a 7,a 8成等差数列，则公比q=13、已知a,b,a+b 成等差数列,a,b,ab 成等比数列，且0<log m ab<1，则实数m 的取值范是14、已知a n =a n －2+an －1(n≥3), a 1=1,a 2=2, b n =1+n na a ,则数列{b n }的前四项依次是 ______________.15、已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），……，则第60个数对为三、解答题（12分×4+13分+14=75分）16、有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数为等差数列，其和为12，求此四个数。
高中数学必修一全册讲义教师学生双用带答案一对一班课通用
集合的含义与表示__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性。
2、 掌握元素与集合的关系，并能用符号“∈”或“∉”来表示。
3、 掌握列举法和描述法，会选择不同的方法来表示集合，记住常用数集的符号。
一、集合与元素的概念：一般地，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合，简称集。
集合中每一个对象称为该集合的元素。
如所有的三角形可以组成集合，每个三角形都是这个集合的元素；所有的直角三角形也可以组成集合，每个直角三角形都是集合的元素；由1，2，3，4组成的集合｛1，2，3，4｝。
1，2，3，4就是这个集合的元素 。
类似“与2非常接近的全体实数”，“高个子”这样模糊的说法就不能确定集合。
特别提醒：1、集合是一个“整体”。
一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象。
2、集合具有两个方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件。
3、集合通常用大写的字母表示，如A B C 、、、……；元素通常用小写的字母表示，如a b c d 、、、……。
二、集合中元素的特性：1、确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一具体的对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，二者必居其一，不能模棱两可．2、互异性： 对于一个给定的集合，它的任意两个元素是不能相同的。
集合中相同的元素只能算是一个。
如方程0122=+-x x 有两个重根121==x x ，其解集只能记为{}1，而不能记为{}1,1。
3、无序性：集合中的元素是不分顺序的．如{},a b 和{},b a 表示同一个集合．特别提醒：集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（l ，0）和点（0，l ）表示不同的两个点，而集合｛1，0｝和｛0，1｝表示同一个集合。
高一数学讲义 第六章 三角函数
高一数学讲义 第六章 三角函数6.1 正弦函数和余弦函数的性质与图像每一个实数x 都有唯一确定的角与之对应，而这个角又可以与它的三角比sin x （或cos x ）对应，即每个实数x 都可以与唯一确定的值sin x （或cos x ）对应．按这样的对应法则建立起来的函数，表示为sin y x =（或cos y x =），叫做自变量为x 的正弦函数（或余弦函数）．sin y x =和cos y x =的定义域都是R ，值域都是[]11-，． ()()sin cos y x x y x x =∈=∈R R ，的性质：1．奇偶性根据诱导公式，对x ∀∈R ，有()sin sin x x -=-，()cos cos x x -=， ()sin y x x ∴=∈R 是奇函数，()cos y x x =∈R 是偶函数．2．周期性对于()()sin 2πsin k x x k +=∈Z ，当0k ≠时，2πk 是()sin f x x =的周期，2π是不是()sin f x x =的最小正周期呢？假设存在T ，满足02πT <<，且是函数()sin f x x =的周期，即()()f x T f x +=，令π2x =，得ππ1sinsin cos 22T T ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，与02πT <<时，cos 1T <矛盾． 3．函数图像 若把角x 的顶点置于坐标系uOv 的原点，角x 的始边与Ou 轴重合，终边与单位圆的交点为()P u v ，则sin cos x v x u ==，．当x 在区间[)02π，上连续变化的时候，都有单位圆上点()P u v ，与之对应．相应地在坐标系xOy 中，描绘出点()Q x v ，和点()R x u ，．点Q 便勾画出正弦函数sin y x =一个周期的图像（见图6－1），点R便勾画出余弦函数cos y x =一个周期的图像（见图6－2）．然后再利用函数的周期性将图像向左右延伸，便得到正弦函数和余弦函数的图像（见图6－3）．图6-34．单调性当ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，角x 的始边与单位圆的交点的纵坐标随x 的递增而递增，∴函数sin y x =在ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上单调增．当π3π22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，角x 的始边与单位圆的交点的纵坐标随x 的递增而递减，∴函数sin y x =在π3π22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调减．同理可得，函数cos y x =在[]0π，上单调减，在[]π2π，上单调增．拓展：函数sin y x =在ππ2ππ2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，上单调增，在π3π2π2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，上单调减，其中k ∈Z ． 函数cos y x =在[]2π2ππk k +，上单调减，在[]2ππ2π2πk k ++，上单调增，其中k ∈Z ． 说明：若()y f x =是定义在实数集R 上的周期函数，最小正周期是T ，[]a b ，是()y f x =的单调区间，则对任意整数k ，[]kT a kT b ++，均是()y f x =的单调区间． 5．最值回顾：函数sin y x =在ππ2π2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，上单调增，在π3π2π2π22k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，上单调减，其中k ∈Z ． 函数cos y x =在[]2π2ππk k +，上单调减，在[]2ππ2π2πk k ++，上单调增，其中k ∈Z ． 结论：当()π2π2x k k =+∈Z 时，函数sin y x =取最大值1； 当()π2π2x k k =-∈Z 时，函数sin y x =取最小值1-； 当()2πx k k =∈Z 时，函数cos y x =取最大值1； 当()2ππx k k =+∈Z 时，函数cos y x =取最小值1-．例1．求证：()sin f x x =是偶函数．证明：对x ∀∈R ，有()()()sin sin f x x x f x -=-==， ()sin f x x ∴=是偶函数．例2．研究函数()sin cos f x x x =+的奇偶性． 解：πππsin cos 0444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， πππsin cos 444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()sin cos f x x x ∴=+既不是奇函数，也不是偶函数．另解：若()()f x f x -=，即()()sin cos sin cos x x x x -+-=+， 则sin 0x =，即πx k =，k ∈Z ．若()()f x f x -=-，即()()sin cos sin cos x x x x -+-=--， 则cos 0x =，即ππ2x k =+，k ∈Z ． ()sin cos f x x x ∴=+既不是奇函数，也不是偶函数．说明：对于()sin cos f x x x =+，虽然有无数多个实数x ，满足()()f x f x -=，但是()f x 并不是偶函数．同理()f x 也不是奇函数．函数的奇偶性是函数的整体性质．若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-对于定义域内的每一个x 恒成立； 若()f x 是偶函数，则()()f x f x -=对于定义域内的每一个x 恒成立．例3．已知A ωϕ、、都是常数，且0A >，ω>0，求证：函数()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期是2πω．解：对于任何实数x ，()2π2πsin sin 2πf x A x A x ωϕωϕωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()sin A x f x ωϕ=+=，2πω∴是函数()()sin f x A x ωϕ=+的周期．可以证明2πω是函数()()sin f x A x ωϕ=+的最小正周期．例4．作出函数sin cos y x x =+在[]02π，上的图像．解：πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．描点作图，见图6－4．图6-4例5．求函数sin cos y x x =+的单调增区间． 解：πsin cos 4y x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．πππ2π2π242k x k k -++∈Z ，≤≤，3ππ2π2π44k x k k ∴-+∈Z ，≤≤． ∴函数sin cos y x x =+的单调增区间是()3ππ2π2π44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，．例6．求函数π2cos 33y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间．解：π2π32ππ3k xk k -+∈Z ，≤≤，2ππ2π4π3939k k x k ∴++∈Z ，≤≤．∴函数π2cos 33y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间是()2ππ2π4π3939k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，．例7．求函数()sin cos 0y a x b x ab =+≠的最值． 解：()sin cos y a x b x x ϕ=++，其中tan baϕ=， max min y y ∴==．例8．求下列函数的最值： （1）2sin 2cos y x x =+；（2）()22sin cos y a x b x a b =+≠； （3）()()3sin 2105sin 270y x x =+︒++︒；（4）66sin cos y x x =+．解：（1）()2111sin 2cos sin 2cos22222y x x x x x ϕ=+=++=++，max y ∴min y =． （2）()222sin cos sin y a x b x a b x b =+=-+，∴若a b >，则2sin 1x =时，max y a =；2sin 0x =时，min y b =．若a b <，则2sin 0x =时，max y b =；2sin 1x =时，min y a =． {}max max y a b ∴=，，{}min min y a b =，．另解：221cos21cos2sin cos cos22222x x b a a by a x b x ab x -+-+=+=+=+， ∴若a b >，则cos21x =-时，max y a =；cos21x =时，min y b =．若a b <，则cos21x =时，max y b =；cos21x =-时，min y a =． {}max max y a b ∴=，，{}min min y a b =，．（3）()()3sin 2105sin 270y x x =+︒++︒3cos10sin23sin10cos25cos70sin25sin70cos2x x x x =︒+︒+︒+︒()()3cos105cos70sin 23sin105sin 70cos2x x =︒+︒+︒+︒ ()7sin 2x ϕ=+，其中3sin105sin 70tan 3cos105cos70ϕ︒+︒=︒+︒，max 7y ∴=，min 7y =-．（4）664224sin cos sin sin cos cos y x x x x x x =+=-+()2222223sin cos 3sin cos 1sin 24x x x x x =+-=-，max 1y ∴=，min 14y =． 说明：在求函数的最值过程中，始终要贯彻“统一名称统一角”的观点． 基础练习1．判断下列函数的奇偶性，并求最小正周期： （1）()sin sin 2f x x x =+； （2）()sin f x x x =； （3）()πsin πf x x =；（4）()2sin sin 2f x x x =+；（5）()ππcos cos 33f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（6）()22sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++； （7）()66sin cos f x x x =+；（8）()()2222sin cos 0f x a x b x a b =++≠．2．用五点法分别作出下列各函数的图像，并说明这些函数的图像和sin y x =图像的区别．（1）2sin 1y x =-；（2）12sin 2y x =．3．观察正弦曲线和余弦曲线．写出满足下列条件的区间： （1）sin 0x >； （2）cos 0x <； （3）1sin 2x >； （4）cos x <． 4．求下列函数的单调区间：（1）πcos 27y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）π2sin 34y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（3）lg cos 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭．5．求下列函数的最值，及取得相应最值的x 值．（1）π32sin 3y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭； （2）23cos 4sin 2y x x =--；（3）22sin 3sin 1y x x =-+，π2π33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．6．确定函数131log 4y x ⎤⎛⎫=- ⎪⎥⎝⎭⎦的定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性．能力提高7．设π02αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、、，，满足：()()cos cos sin sin cos ααββγγ===，，，则αβγ，，的大小关系为__________．8．求下列函数的周期： （1）sin3cos y x x =+；（2）1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos x x x xy x x x x+++-=++-++； （3）()2cos 325y x =-+．9．求5sin 2π2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的对称轴方程．10．（1）求函数()2sin sin f x a x x =-的最大值()g a ，并画出()g a 的图像．（2）若函数()2cos sin f x x a x b =-+的最大值为0，最小值为4-，实数0a >，求a b ，的值．6.2 正切函数的性质与图像定义：对于ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，都有唯一确定的值tan x 与之对应，按照此对应法则建立的函数tan y x =，叫做正切函数． 正切函数的性质：1．周期性ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，有()tan πtan k x x k +=∈Z ，， tan t x ∴=是周期函数．可以证明函数tan y x =的最小正周期是π（见图6－5）．图6-52．奇偶性ππ2x x x k k ⎧⎫∀∈≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，有()tan tan x x -=-，tan y x ∴=是奇函数． 3．单调性12π02x x ⎡⎫∀∈⎪⎢⎣⎭、，，且12x x <，()121212sin tan tan cos cos x x x x x x --=12π02x x -<-<， ()12sin 0x x ∴-<． 1cos 0x >，2cos 0x >，()121212sin tan tan 0cos cos x x x x x x -∴-=>，即tan y x =在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调增．tan y x =是奇函数， tan y x =在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调增．tan y x =是周期为π的函数，∴函数tan y x =的单调增区间是()ππππ22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，．4．值域函数tan y x =的值域是R ．正切函数tan y x =在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，的图像如图6－6：图6-6利用正切函数的周期性，得到正切函数的图像． 例1．判断函数()tan 1lgtan 1x f x x +=-的奇偶性．解：函数的定义域应满足tan 10tan 1x x +>-，即tan 1x <-，或tan 1x >．于是定义域是()ππππππππ2442k k k k k ⎛⎫⎛⎫--++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，，，定义域是关于原点对称的． ()()()1tan 11tan 1tan lg lg lg tan 1tan 1tan 1x x x f x x x --+-+⎛⎫-=== ⎪-----⎝⎭()tan 1lgtan 1x f x x +=-=--．所以，tan 1lgtan 1x y x +=-是奇函数．例2．解不等式：tan21x -≤．解：在ππ22⎛⎫- ⎪⎝⎭，内，πtan 14⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．∴不等式tan21x -≤的解集由不等式()πππ2π24k x k k -<-∈Z ≤确定，解得()ππππ22428k k x k -<-∈Z ≤， ∴不等式tan21x -≤的解集为ππππ22428k k x x k ⎧⎫-<-∈⎨⎬⎩⎭Z ，≤．基础练习 1．有人说：“正切函数在整个定义域内是单调递增的函数．”这句话对吗？为什么？ 2．求下列函数的周期： （1）()()tan 0y ax b a =+≠； （2）tan cot y x x =-． 3．求函数11tan 2y x=+五的定义域．4．求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最大值、最小值，并求函数取得最大值或最小值时自变量x 的集合．5．求下列函数的最大值和最小值：（1）sin 2sin 3x y x -=-；（2）sin 2cos 3x y x -=-．能力提高6．求函数sin cos π0,sin cos 2x x y x x x ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭的最值．7．根据条件比较下列各组数的大小： （1）已知ππ32θ<<，比较sin θ，cot θ，cos θ的大小； （2）已知π04θ<<，比较sin θ，()sin sin θ，()sin tan θ的大小； （3）已知π02θ<<，比较cos θ，()cos sin θ，()sin cos θ的大小． 6.3 函数()sin y A x d ωϕ=++的图像与性质例1．对下列函数与函数()sin y x x =∈R 进行比较研究（最好利用几何画板进行动态的研究）： （1）()sin 01y A x x A A =∈>≠R ，，；（2）()sin 01y x x ωωω=∈>≠R ，，； （3）()()sin 0y x x ϕϕϕ=+∈∈≠R R ，，； （4）()sin 0y x d x d d =+∈∈≠R R ，，； （5）()()sin 01100y A x d x A A d d ωϕωωϕϕ=++∈>≠>0≠∈≠∈≠R R R ，，，，，，，，． 解：（1）函数sin y A x =与sin y x =都是奇函数，具有相同的周期和单调区间，但值域不同．当1A >时，函数sin y A x =的图像可以看成由函数sin y x =的图像纵向拉伸得到；当01A <<时，函数sin y A x =的图像可以看成由函数sin y x =的图像纵向压缩得到（见图6－7）．图6-7（2）函数sin y x ω=与sin y x =都是奇函数，值域相同，但函数sin y x ω=与sin y x =的周期和单调区间都不同．当ω>1时，函数sin y x ω=的图像可以看成由函数sin y x =的图像横向压缩得到；当0ω<<1时．函数sin y x ω=的图像可以看成由函数sin y x =的图像横向拉伸得到（见图6－8）．图6-8（3）当()πk k ϕ-+=∈Z Z 时，函数()sin y x ϕ=+是奇函数；当()ππ2k k ϕ=+∈Z ，函数()sin y x ϕ=+偶函数；函数()sin y x ϕ=+与sin y x =具有相同的周期和值域；当()2πk k ϕ-+=∈Z Z 时，函数()sin y x ϕ=+与sin y x =具有相同的单调区间．当ϕ>0时，函数()sin y x ϕ=+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向左平移得到；当ϕ<0时，函数()sin y x ϕ=+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向右平移得到（见图6－9）．图6-9（4）函数sin y x d =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数sin y x d =+与sin y x =具有相同的周期和单调区间，但值域不同．当0d >时，函数sin y x d =+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向上平移得到；当0d <时，函数sin y x d =+的图像可以看成由函数sin y x =的图像向下平移得到（见图6－10）．图6-10（5）函数()sin y A x d ωϕ=++的图像可以由函数sin y x =的图像经过一系列的变换得到．首先把函数sin y x =的图像进行纵向的变化，让函数sin y x =的图像上点的横坐标保持不变，让点的纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin y A x =的图像（见图6－11）．图6-11其次把函数sin y A x =的图像进行横向的变化，让函数sin y A x =的图像七点的纵坐标保持不变，让点的横坐标变为原来的1ω倍，得到函数sin y A x ω=。
数学必修1讲义
高一数学第一章集合一、集合有关概念1.集合的含义：2.集合的中元素的三个特性：3.集合的表示：A={…}有法和法。
如：A={我校的篮球队员}，B={太平洋,大西洋}，C={x?R|x-3>2}★注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R4、集合的分类：(1)有限集含有个元素的集合；(2)无限集含有个元素的集合；(3)空集元素的集合。
例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：BA⊆有两种可能：（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
另外规定：空集是的子集。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA真子集:如果那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)规定:空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合，含有个子集，个真子集性质：如果A?B,B?C,那么AC；如果A?B同时B?A那么AB 2．“相等”关系：A=B如：(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B即A B=｛x|x∈A，且x∈B｝．由的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A B即A B={x|x∈A，或x∈B})．设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中A的补集（或余集）记作ACS，即CSA=},|{AxSxx∉∈且韦恩图示SAS性质 A A=AA Φ=ΦA B=B AA B ⊆AA B ⊆B A A=A A Φ=A A B=B A A B ⊇Ａ A B ⊇B =C u (A B ) A (C u A)= A (C u A)=．记住这个结论：B B A A B A B A =⇔=⇔⊆例1：设{}{}(){}2,|,,,y x ax b A x y x a M a b M =++====求例2：若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，求m 的值。
高一数学必修一全套讲义(含答案)
§1.1 集合1．1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义一、基础过关1． 下列各项中，不可以组成集合的是( )A ．所有的正数B ．等于2的数C ．接近于0的数D ．不等于0的偶数2． 集合A 中只含有元素a ，则下列各式正确的是( )A ．0∈AB ．a ∉AC ．a ∈AD ．a ＝A 3． 由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含( )A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素4． 由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号)①不超过π的正整数； ②本班中成绩好的同学； ③高一数学课本中所有的简单题； ④平方后等于自身的数．5． 如果有一集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________． 6． 判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加2012年伦敦奥运会的所有国家构成一个集合； (2)未来世界的高科技产品构成一个集合； (3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；(4)某校的年轻教师．7．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .二、能力提升8．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形9．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为() A．2 B．3C．0或3 D．0,2,3均可10．方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________.11．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q 中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？三、探究与拓展12．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．第2课时 集合的表示一、基础过关1． 集合{x ∈N ＋|x －3<2}用列举法可表示为( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5} 2． 集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( )A ．方程y ＝2x －1B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合3． 将集合⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝52x －y ＝1表示成列举法，正确的是 ( )A ．{2,3}B ．{(2,3)}C ．{(3,2)}D ．(2,3)4． 若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．25． 用列举法表示下列集合：(1)A ＝{x ∈N ||x |≤2}＝________； (2)B ＝{x ∈Z ||x |≤2}＝________；(3)C ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4，x ∈Z ，y ∈Z }＝______. 6． 下列各组集合中，满足P ＝Q 的有________．(填序号)①P ＝{(1,2)}，Q ＝{(2,1)}； ②P ＝{1,2,3}，Q ＝{3,1,2}；③P ＝{(x ，y )|y ＝x －1，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝x －1，x ∈R }． 7． 用适当的方法表示下列集合．(1)方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合； (3)不等式x －2>6的解的集合；(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．8． 已知集合A ＝{x |y ＝x 2＋3}，B ＝{y |y ＝x 2＋3}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理 由．二、能力提升9．下列集合中，不同于另外三个集合的是() A．{x|x＝1} B．{y|(y－1)2＝0}C．{x＝1} D．{1}10．集合M＝{(x，y)|xy＜0，x∈R，y∈R}是() A．第一象限内的点集B．第三象限内的点集C．第四象限内的点集D．第二、四象限内的点集11．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是______．(填序号)①M＝{π}，N＝{3.141 59}；②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；③M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}；④M＝{1，3，π}，N＝{π，1，|－3|}．12．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.三、探究与拓展13．定义集合运算A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和是多少？1.1.2集合间的基本关系一、基础过关1．下列集合中，结果是空集的是() A．{x∈R|x2－1＝0} B．{x|x＞6或x＜1}C．{(x，y)|x2＋y2＝0} D．{x|x＞6且x＜1}2．集合P＝{x|y＝x＋1}，集合Q＝{y|y＝x－1}，则P与Q的关系是() A．P＝Q B．P QC．P Q D．P∩Q＝∅3．下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅.其中正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．34．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是()5．已知M＝{x|x≥22，x∈R}，给定下列关系：①π∈M；②{π}M；③πM；④{π}∈M.其中正确的有________．(填序号)6．已知集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a的取值范围是________．7．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．8．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B⊆A，求实数a的取值范围．二、能力提升9．适合条件{1}⊆A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是() A．15个B．16个C．31个D．32个10．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是()A．S P M B．S＝P MC．S P＝M D．P＝M S11．已知集合A{2,3,7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．12．已知集合A＝{x|1＜ax＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．三、探究与拓展13．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，B＝{1,2，b}．问是否存在实数a，使得对于任意实数b(b≠1，b≠2)都有A⊆B.若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由．1.1.3集合的基本运算第1课时并集与交集一、基础过关1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于() A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{1,2} D．{0}2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩B等于() A．{x|x＜1} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1≤x＜1}3．若集合A＝{参加伦敦奥运会比赛的运动员},集合B＝{参加伦敦奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加伦敦奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是()A．A⊆B B．B⊆CC．A∩B＝C D．B∪C＝A4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为() A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)C．{3，－1} D．{(3，－1)}5．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N等于() A．{0} B．{0,1}C．{－1,1} D．{－1,0,1}6．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.7．设A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，已知A∩B＝{9}，求A∪B.8．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．二、能力提升9．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于() A．0或 3 B．0或3 C．1或 3 D．1或310．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.11．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤4}，C＝{x|－3<x<2}且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a ＝________，b＝________.12．已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝∅.求p，q的值．三、探究与拓展13．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x＜－1，或x＞16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．(1)A∩B＝∅；(2)A⊆(A∩B)．第2课时补集及综合应用一、基础过关1．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁U A等于() A．{1,3} B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9}2．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为() A．{1,2,4} B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}3．设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩(∁R B)等于() A．(1,4) B．(3,4)C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)4．设全集U和集合A、B、P满足A＝∁U B，B＝∁U P，则A与P的关系是() A．A＝∁U P B．A＝PC．A P D．A P5．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.6．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则∁U A＝____________，∁U B＝________，∁B A＝________.7．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，∁U A＝{5}，求实数a，b的值．8．(1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3,5}，求N∩(∁U M)；(2)设集合M＝{m∈Z|－3＜m＜2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，求M∪N.二、能力提升9．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是() A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪S C．(M∩P)∩(∁I S) D．(M∩P)∪(∁I S)10．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A)∩(∁U B)等于()A．{5,8} B．{7,9}C．{0,1,3} D．{2,4,6}11．已知全集U，A B，则∁U A与∁U B的关系是____________________．12．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设全集为U，若B∪(∁U B)＝A，求∁U B.三、探究与拓展13．学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？§1.2 函数及其表示1．2.1 函数的概念一、基础过关 1． 下列对应：①M ＝R ，N ＝N ＋，对应关系f ：“对集合M 中的元素，取绝对值与N 中的元素对应”； ②M ＝{1，－1,2，－2}，N ＝{1,4}，对应关系f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈N ；③M ＝{三角形}，N ＝{x |x >0}，对应关系f ：“对M 中的三角形求面积与N 中元素对应”． 是集合M 到集合N 上的函数的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 2． 下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )23． 函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1} 4． 函数y ＝x ＋1的值域为( )A ．[－1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(－∞，－1]5． 已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为________． 6． 若A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，则A ∩B ＝________ 7． 判断下列对应是否为集合A 到集合B 的函数．(1)A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |； (2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； (3)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x ；(4)A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{0}，f ：x →y ＝0. 8． 已知函数f (1－x1＋x )＝x ，求f (2)的值．二、能力提升9． 设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有 ( )A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．② 10．下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x11．若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f (x ＋23)的定义域为________．12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ (2)何时开始第一次休息？休息多长时间？ (3)第一次休息时，离家多远？ (4)11∶00到12∶00他骑了多少千米？(5)他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？ (6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？三、探究与拓展13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象．1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法一、基础过关1． 一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )A ．y ＝50x (x >0)B ．y ＝100x (x >0)C ．y ＝50x(x >0)D ．y ＝100x(x >0)2． 一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33． 已知x ≠0时，函数f (x )满足f (x －1x )＝x 2＋1x2，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝x ＋1x (x ≠0)B ．f (x )＝x 2＋2(x ≠0)C ．f (x )＝x 2(x ≠0)D ．f (x )＝(x －1x)2(x ≠0)4． 已知在x 克a %的盐水中，加入y 克b %(a ≠b )的盐水，浓度变为c %，将y 表示成x 的函数关系式为( )A ．y ＝c －ac －b xB ．y ＝c －ab －cxC ．y ＝c －bc －axD ．y ＝b －cc －ax5． 如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f {f [f (2)]}＝________.6． 已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________． 7． 已知f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.求f (x )的解析式．8． 已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根的平方和为10，图象过(0,3)点，求f (x )的解析式．二、能力提升9． 如果f (1x )＝x 1－x，则当x ≠0,1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1 10．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10]B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510]11．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x)＋x ，则f (x )的解析式为____________．12．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域．三、探究与拓展13．已知函数y＝1a x＋1(a＜0且a为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a的值．第2课时 分段函数及映射一、基础过关1． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x >0，x ＋1， x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3或－1B ．－1C ．1D ．－3 2． 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 (x ≥6)，f (x ＋2) (x <6)，则f (3)为( )A ．2B ．3C ．4D ．53． 某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( )A ．13立方米B ．14立方米C ．18立方米D ．26立方米4． 已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列不能表示从P 到Q 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x5． 下列对应关系f 中，构成从集合P 到S 的映射的是( )A ．P ＝R ，S ＝(－∞，0)，x ∈P ，y ∈S ，f ∶x →y ＝|x |B ．P ＝N ，S ＝N ＋，x ∈P ，y ∈S ，f ∶y ＝x 2C ．P ＝{有理数}，S ＝{数轴上的点}，x ∈P ，f ∶x →数轴上表示x 的点D ．P ＝R ，S ＝{y |y ＞0}，x ∈P ，y ∈S ，f ∶x →y ＝1x26． 设A ＝Z ，B ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }，C ＝R ，且从A 到B 的映射是x →2x －1，从B 到C 的映射是y →12y ＋1，则经过两次映射，A 中元素1在C 中的象为________． 7． 化简f (x )＝x ＋|x |x ，并作图求值域．8． 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (－1≤x ≤1)1 (x >1或x <－1)，(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．二、能力提升9． 已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1(x ≤0)，－2x (x ＞0)，使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－5210．已知函数f (x )的图象如下图所示，则f (x )的解析式是________．11．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2， －1≤x <0，－12x ， 0<x <2，3， x ≥2，则f {f [f (－34)]}的值为___________________，f (x )的定义域是____________．12. 如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C 、D 、A 绕边界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x ) 的解析式．三、探究与拓展13．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式．§1.3 函数的基本性质1．3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性一、基础过关1． 下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( )A ．y ＝x 2－2B ．y ＝3xC ．y ＝1＋2xD ．y ＝－(x ＋2)22． 已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)3． 如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞－14B ．a ≥－14C ．－14≤a ＜0D ．－14≤a ≤04． 如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，则下列结论中不正确的是( )A.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0 B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C ．f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b ) D.x 1－x 2f (x 1)－f (x 2)>05． 设函数f (x )是R 上的减函数，若f (m －1)>f (2m －1)，则实数m 的取值范围是________．6． 函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝______________. 7． 画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象，并指出函数的单调区间．8． 已知f (x )＝x 2－1，试判断f (x )在[1，＋∞)上的单调性，并证明．二、能力提升9． 已知函数f (x )的图象是不间断的曲线，f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )·f (b )＜0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上( )A ．至少有一个根B ．至多有一个根C ．无实根D ．必有唯一的实根10．若定义在R 上的二次函数f (x )＝ax 2－4ax ＋b 在区间[0,2]上是增函数，且f (m )≥f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．0≤m ≤4B ．0≤m ≤2C ．m ≤0D ．m ≤0或m ≥411．函数f (x )＝ax ＋1x ＋2(a 为常数)在(－2,2)内为增函数，则实数a 的取值范围是________．12．求证：函数f (x )＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ＞0)在(2，＋∞)上递增，求实数a 的取值范围．第2课时 函数的最大(小)值一、基础过关1． 函数f (x )＝1x在[1，＋∞)上( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值也有最小值D ．无最大值也无最小值 2． 函数y ＝x ＋2x －1( )A ．有最小值12，无最大值B ．有最大值12，无最小值C ．有最小值12，有最大值2D ．无最大值，也无最小值3． 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6， x ∈[1，2]x ＋7， x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对 4． 函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的( )A ．最小值是0，最大值是4B ．最小值是－4，最大值是0C ．最小值是－4，最大值是4D ．没有最大值也没有最小值 5． 函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是( )A.45B.54C.34D.436． 函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a <b <3)上有最大值9，最小值－7，则a ＝______，b ＝________. 7． 已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，求f (x )在区间[－1,1]上的最大值和最小值．8． 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2.(1)求f (x )在区间[12，3]上的最大值和最小值；(2)若g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上是单调函数，求m 的取值范围．二、能力提升9． 函数f (x )＝x 2－4x ＋5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[2,4]C ．(－∞，2]D ．[0,2]10．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元11．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范围是________． 12．已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)，(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．三、探究与拓展13．若二次函数满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．1.3.2 奇偶性 第1课时 奇偶性的概念一、基础过关 1． 下列说法正确的是( )A ．如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数B ．如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称C ．如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数D ．如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数为奇函数 2． f (x )是定义在R 上的奇函数，下列结论中，不正确的是( )A ．f (－x )＋f (x )＝0B ．f (－x )－f (x )＝－2f (x )C ．f (x )·f (－x )≤0 D.f (x )f (－x )＝－13． 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A ．y ＝－x 2＋5(x ∈R )B ．y ＝－xC ．y ＝x 3(x ∈R )D ．y ＝－1x (x ∈R ，x ≠0)4． 已知y ＝f (x )，x ∈(－a ，a )，F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 5. 设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集是______．6． 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x (x ≥0)g (x )(x ＜0)为奇函数，则f (g (－1))＝________.7． 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3，x ∈R ；(2)f (x )＝5x 4－4x 2＋7，x ∈[－3,3]； (3)f (x )＝|2x －1|－|2x ＋1|； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2， x ＞0，0， x ＝0，x 2－1， x ＜0.8． 已知函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c (a ，b ，c ∈Z )是奇函数，又f (1)＝2，f (2)＜3，求a ，b ，c 的值．二、能力提升9． 给出函数f (x )＝|x 3＋1|＋|x 3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数y ＝f (x )的图象上的是( )A ．(a ，－f (a ))B ．(a ，f (－a ))C ．(－a ，－f (a ))D ．(－a ，－f (－a ))10．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝x 2＋2x (x ≥0)，若f (3－a 2)＞f (2a －a 2)，则实数a 的取值范围是________． 11．已知函数f (x )＝1－2x.(1)若g (x )＝f (x )－a 为奇函数，求a 的值；(2)试判断f (x )在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．12．已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x (x >0)0 (x ＝0)x 2＋mx (x <0).(1)求实数m 的值，并画出y ＝f (x )的图象；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，试确定a 的取值范围．三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0)．(1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性．第2课时 奇偶性的应用一、基础过关1． 下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④没有一个函数既是奇函数，又是偶函数． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42． 已知函数f (x )＝(m －1)x 2－2mx ＋3是偶函数，则在(－∞，0)上此函数( )A ．是增函数B ．不是单调函数C ．是减函数D ．不能确定3． 定义在R 上的函数f (x )在(－∞，2)上是增函数，且f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，则( )A ．f (－1)＜f (3)B ．f (0)＞f (3)C ．f (－1)＝f (3)D ．f (0)＝f (3)4． 设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x＜0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)5． 已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝x 2＋|x |－1，那么x <0时，f (x )＝________.6． 设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (7.5)＝________. 7． 设函数f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，求a 的取值范围．8． 已知函数f (x )是定义在R 上的单调函数，满足f (－3)＝2，且对任意的实数a ∈R 有f (－a )＋f (a )＝0恒成立．(1)试判断f (x )在R 上的单调性，并说明理由． (2)解关于x 的不等式f (2－xx )＜2.二、能力提升9． 已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (x )<f (1)的x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．[－1,1)10．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)11．y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，y ＝f (x ＋2)是偶函数，则f (1)，f (52)，f (72)的大小关系是________________．12．已知函数f (x )＝ax ＋1x2(x ≠0，常数a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[3，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为常数)，x ∈R .F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) (x ＞0)－f (x ) (x ＜0).(1)若f (－1)＝0，且函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围； (3)设m ·n ＜0，m ＋n ＞0，a ＞0，且f (x )为偶函数，判断F (m )＋F (n )能否大于零？章末检测一、选择题1． 若集合A ＝{x ||x |≤1，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则A ∩B 等于( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |0≤x ≤1}D ．∅2． 已知函数f (x )＝ax 2＋(a 3－a )x ＋1在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是( )A ．a ≤ 3B ．－3≤a ≤ 3C ．0<a ≤ 3D ．－3≤a <03． 若f (x )＝ax 2－2(a ＞0)，且f (2)＝2，则a 等于( )A ．1＋22B ．1－22C ．0D ．24． 若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝9x ＋8B ．f (x )＝3x ＋2C ．f (x )＝－3x －4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －45． 已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ∩(∁I M )＝∅，则M ∪N 等于( )A ．MB ．NC ．ID ．∅6． 已知函数f ：A →B (A 、B 为非空数集)，定义域为M ，值域为N ，则A 、B 、M 、N 的关系是( )A ．M ＝A ，N ＝B B ．M ⊆A ，N ＝BC ．M ＝A ，N ⊆BD ．M ⊆A ，N ⊆B 7． 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |8． 已知函数f (x )＝1x在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B 等于 ( )A.12B ．－12C ．1D ．－1 9． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3 (x >10)f (f (x ＋5)) (x ≤10)，则f (5)的值是( )A ．24B ．21C ．18D ．16 10．f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(2,5)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．有增有减D ．增减性不确定11．若f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )＝f (x )＋g (x )＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F (x )有( )A ．最小值－8B ．最大值－8C ．最小值－6D ．最小值－412. 在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系的图象可表示为( )二、填空题13．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝______. 14．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是________．15．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥ba ，a ＜b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．16．用描述法表示如图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)为________．三、解答题17．设集合A ＝{x |2x 2＋3px ＋2＝0}，B ＝{x |2x 2＋x ＋q ＝0}，其中p 、q 为常数，x ∈R ，当A ∩B ＝{12}时，求p 、q 的值和A ∪B .18．已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a<g(x)<b，求证：f(g(x))在(a，b)上也是增函数．19．函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值．20．已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．21．某公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B 产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2(注：利润与投资量的单位：万元)．(1)分别将A 、B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式；(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？22．已知函数y ＝x ＋tx有如下性质：如果常数t ＞0，那么该函数在(0，t ]上是减函数，在[t ，＋∞)上是增函数．(1)已知f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1，x ∈[0,1]，利用上述性质，求函数f (x )的单调区间和值域；(2)对于(1)中的函数f (x )和函数g (x )＝－x －2a ，若对任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得g (x 2)＝f (x 1)成立，求实数a 的值．参考答案第1课时 集合的含义1． C 2.C 3.A 4．①④ 5．x ≠0,1,2，1±52.6． 解 (1)正确．因为参加2012年伦敦奥运会的国家是确定的，明确的．(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一个元素，故这个集合含有三个元素．(4)不正确．因为年轻没有明确的标准．7． 解 由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32.则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去． 当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，∴a ＝－32.8． D 9．B 10．211．解 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8； 当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个． 12．证明 (1)若a ∈A ，则11－a ∈A . 又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A . ∵－1∈A ，∴11－(－1)＝12∈A . ∵12∈A ，∴11－12＝2∈A . ∴A 中另外两个元素为－1，12. (2)若A 为单元素集，则a ＝11－a ， 即a 2－a ＋1＝0，方程无解． ∴a ≠11－a，∴集合A 不可能是单元素集．第2课时 集合的表示1． B 2.D 3.B 4.C 5．(1){0,1,2} (2){－2，－1,0,1,2} (3){(2,0)，(－2，0)，(0,2)，(0，－2)} 6．②7． 解 (1)∵方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解为0和－1，∴解集为{0，－1}；(2){x |x ＝2n ＋1，且x <1 000，n ∈N }； (3){x |x >8}； (4){1,2,3,4,5,6}．8． 解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A 中代表的元素是x ，满足条件y ＝x 2＋3中的x ∈R ，所以A ＝R ；集合B 中代表的元素是y ，满足条件y ＝x 2＋3中y 的取值范围是y ≥3，所以B ＝{y |y ≥3}．集合C 中代表的元素是(x ，y )，这是个点集，这些点在抛物线y ＝x 2＋3上，所以C ＝{P |P 是抛物线y ＝x 2＋3上的点}． 9． C 10．D 11．④12．解 (1)当k ＝0时，原方程变为－8x ＋16＝0，x ＝2.此时集合A ＝{2}．(2)当k ≠0时，要使一元二次方程kx 2－8x ＋16＝0有一个实根．只需Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1.此时方程的解为x 1＝x 2＝4，集合A ＝{4}，满足题意． 综上所述，实数k 的值为0或1.当k ＝0时，A ＝{2}； 当k ＝1时，A ＝{4}．13．解 当x ＝1或2，y ＝0时，z ＝0；当x ＝1，y ＝2时，z ＝2；当x ＝2，y ＝2时，z ＝4.所以A *B ＝{0,2,4}，所以元素之和为0＋2＋4＝6.1.1.2 集合间的基本关系1． D 2.B 3.B 4.B 5．①② 6．a ≥27． 解 A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A .①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，解得m <2，此时有B ⊆A ； ②若B ≠∅，则m ＋1≤2m －1，即m ≥2，由B ⊆A ，得⎩⎨⎧m ≥2m ＋1≥－22m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②得m ≤3.∴实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．8． 解 A ＝{－3,2}．对于x 2＋x ＋a ＝0，①当Δ＝1－4a <0，即a >14时，B ＝∅，B ⊆A 成立；②当Δ＝1－4a ＝0，即a ＝14时，B ＝{－12}，B ⊆A 不成立；③当Δ＝1－4a >0，即a <14时，若B ⊆A 成立，则B ＝{－3,2}，∴a ＝－3×2＝－6.综上：a 的取值范围为a >14或a ＝－6.9． A 10．C 11．612．解 ①当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B .②当a ＞0时，A ＝{x |1a ＜x ＜2a}．又∵B ＝{x |－1＜x ＜1}，A ⊆B ，∴⎩⎨⎧1a≥－1，2a ≤1，∴a ≥2.③当a ＜0时，A ＝{x |2a ＜x ＜1a }．∵A ⊆B ，∴⎩⎨⎧2a≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a ＝0或a ≥2或a ≤－2.13．解 不存在．理由如下：要使对任意的实数b 都有A ⊆B ，则1,2是A 中的元素，又因A ＝{a －4，a＋4}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4＝1，a ＋4＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4＝1，a －4＝2.这两个方程组均无解，故这样的实数不存在． 第1课时 并集与交集1． A 2.D 3.D 4.D 5.B 6．17． 解 ∵A ∩B ＝{9}，∴9∈A ，所以a 2＝9或2a －1＝9，解得a ＝±3或a ＝5.当a ＝3时，A ＝{9,5，－4}，B ＝{－2，－2，9}，B 中元素违背了互异性，舍去．当a ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8，4,9}，A ∩B ＝{9}满足题意，故A ∪B ＝{－7，－4，－8,4,9}．当a ＝5时，A ＝{25,9，－4}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}，与A ∩B ＝{9}矛盾，故舍去．综上所述，A ∪B ＝{－7，－4，－8,4,9}． 8． 解 ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .∵A ＝{－2}≠∅，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0. 当B ≠∅时，此时a ≠0，则B ＝{－1a }，∴－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12.综上，a ＝0或a ＝12.9． B 10．0或1 11．－1 212．解 由A ∩C ＝A ，A ∩B ＝∅，可得：A ＝{1,3}，即方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实根为1,3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3＝－p 1×3＝q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－4q ＝3. 13．解 (1)若A ＝∅，则A ∩B ＝∅成立．此时2a ＋1＞3a －5，即a ＜6.若A ≠∅，如图所示， 则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，2a ＋1≥－1，3a －5≤16，解得6≤a ≤7.综上，满足条件A ∩B ＝∅的实数a 的取值范围是{a |a ≤7}． (2)因为A ⊆(A ∩B )，且(A ∩B )⊆A ，所以A ∩B ＝A ，即A ⊆B . 显然A ＝∅满足条件，此时a ＜6.若A ≠∅，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，3a －5＜－1或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，2a ＋1＞16.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1≤3a －5，3a －5＜－1解得a ∈∅；由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，2a ＋1＞16解得a ＞152.综上，满足条件A ⊆(A ∩B )的实数a 的取值范围是{a |a ＜6或a ＞152}．第2课时 补集及综合应用1． D 2.C 3.B 4.B 5.－3 6．{0,1,3,5,7,8} {7,8} {0,1,3,5} 7． 解 ∵∁U A ＝{5}，∴5∈U 且5∉A .又b ∈A ，∴b ∈U ，由此得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋2a －3＝5，b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3经检验都符合题意．8． 解 (1)∵U ＝{1,2,3,4,5}，M ＝{1,4}，∴∁U M ＝{2,3,5}．又∵N ＝{1,3,5}，∴N ∩(∁U M )＝{3,5}．(2)∵M ＝{m ∈Z |－3＜m ＜2}，∴M ＝{－2，－1,0,1}；∵N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，∴N ＝{－1,0,1,2,3}，∴M ∪N ＝{－2，－1,0,1,2,3}． 9． C 10．B 11．(∁U B )(∁U A )12．解 因为B ∪(∁U B )＝A ，所以B ⊆A ，U ＝A ，因而x 2＝3或x 2＝x .①若x 2＝3，则x ＝±3.当x ＝3时，A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}， U ＝A ＝{1,3，3}，此时∁U B ＝{3}；当x ＝－3时，A ＝{1,3，－3}， B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，－3}，此时∁U B ＝{－3}．②若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1.当x ＝1时，A 中元素x 与1相同，B 中元素x 2与1也相同，不符合元素的互异性，故x ≠1；当x ＝0时，A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}，U ＝A ＝{1,3,0}，从而∁U B ＝{3}． 综上所述，∁U B ＝{3}或{－3}或{3}．13．解 如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a ，b ，x .根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋x ＝20，b ＋x ＝11，a ＋b ＋x ＝30－4.解得x ＝5，即两项都参加的有5人．1．2.1 函数的概念1． A 2.D 3.D 4.B 5．{－1,1,3,5,7} 6．[1，＋∞) 7． 解 (1)A 中的元素0在B 中没有对应元素，故不是集合A 到集合B 的函数．(2)对于集合A 中的任意一个整数x ，按照对应关系f ：x →y ＝x 2在集合B 中都有唯一一个确定的整数x 2与其对应，故是集合A 到集合B 的函数．(3)集合A 中的负整数没有平方根，故在集合B 中没有对应的元素，故不是集合A 到集合B 的函数． (4)对于集合A 中任意一个实数x ，按照对应关系f ：x →y ＝0在集合B 中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A 到集合B 的函数． 8． 解 由1－x 1＋x ＝2，解得x ＝－13，所以f (2)＝－13.9． C 10．C 11．[0，13]12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．(2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家17千米． (4)11∶00至12∶00他骑了13千米．(5)9∶00～10∶00的平均速度是10千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是14千米/时． (6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋(2＋2h )]h2＝h 2＋2h (m 2)．(2)定义域为{h |0<h <1.8}．值域由二次函数A ＝h 2＋2h (0<h <1.8)求得．由函数A ＝h 2＋2h ＝(h ＋1)2－1的图象可知，在区间(0，1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0<A <6.84.故值域为{A |0<A <6.84}．(3)由于A ＝(h ＋1)2－1，对称轴为直线h ＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0<h <1.8，∴A ＝h 2＋2h 的图象仅是抛物线的一部分，如图所示．第1课时 函数的表示法1． C 2．B 3．B 4．B 5．2 6．f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －87． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∴f (x ＋2)＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋c ， 则f (x ＋2)－f (x )＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.又f (0)＝3，∴c ＝3，∴f (x )＝x 2－x ＋3. 8． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由f (0)＝f (4)知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝c ，f (4)＝16a ＋4b ＋c ，f (0)＝f (4)，得4a ＋b ＝0.①又图象过(0,3)点，所以c ＝3.②设f (x )＝0的两实根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a )2－2·c a ＝10. 即b 2－2ac ＝10a 2.③ 由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3. 所以f (x )＝x 2－4x ＋3. 9． B 10．B 11．f (x )＝－x 2＋23x(x ≠0)12．解 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y…－5343－5…连线，描点，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (3)<f (0)<f (1)． (2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．13．解 要使函数y ＝1a x ＋1(a ＜0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，必须有1ax ＋1≥0，a ＜0，∴x ≤－a ，即函数的定义域为(－∞，－a ]， ∵函数在区间(－∞，1]上有意义，∴(－∞，1]⊆(－∞，－a ]，∴－a ≥1，即a ≤－1，∴a 的取值范围是(－∞，－1]．第2课时 分段函数及映射1． D 2．A 3．A 4．C 5．C 6.137． 解 f (x )＝x ＋|x |x＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0.其图象如图所示．由图象可知，f (x )的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 8． 解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1， 所以f (x )的值域为[0,1]．9． A 10．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， －1≤x ＜0，－x ， 0≤x ≤111.32 {x |x ≥－1且x ≠0}12．解 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， 0≤x ≤4，8， 4<x ≤8，24－2x ， 8<x ≤12.13．解 由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b .由已知⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝020a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0≤x ≤2013(200－x )， 20＜x ≤200.第1课时 函数的单调性1． C 2．C 3．D 4．C 5．m >0 6．－3 7． 解 y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋3 (x ≥0)－x 2－2x ＋3 (x <0)＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋4 (x ≥0)－(x ＋1)2＋4 (x <0).函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．∴函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)． 8． 解 函数f (x )＝x 2－1在[1，＋∞)上是增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1)＝x 22－1－x 21－1＝x 22－x 21x 22－1＋x 21－1＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)x 22－1＋x 21－1.∵1≤x 1<x 2，∴x 2＋x 1>0，x 2－x 1>0，x 22－1＋x 21－1>0.∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数． 9． D 10．A 11．a ＞1212．证明 设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(－x 31＋1)－(－x 32＋1)＝x 32－x 31＝(x 2－x 1)(x 21＋x 1x 2＋x 22)．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，又∵x 21＋x 1x 2＋x 22＝(x 1＋x 22)2＋34x 22且(x 1＋x 22)2≥0与34x 22≥0. 其中两等号不能同时取得(否则x 1＝x 2＝0与x 1＜x 2矛盾)，∴x 21＋x 1x 2＋x 22＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，又∵x 1＜x 2， ∴f (x )＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上为减函数．13．解 设2＜x 1＜x 2，由已知条件f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22＋ax 2＝(x 1－x 2)＋a x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－a x 1x 2＜0恒成立．由于x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，即当2＜x 1＜x 2时，x 1x 2＞a 恒成立．又x 1x 2＞4，则0＜a ≤4.1． A 2.A 3.A 4.C 5.D 6．－2 07． 解 ∵f (x )＝x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34，又∵12∈[－1,1]，∴当x ＝12时，函数f (x )有最小值，当x ＝－1时，f (x )有最大值，即f (x )min ＝f (12)＝34，f (x )max ＝f (－1)＝3.8． 解 (1)∵f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[12，3]，∴f (x )的最小值是f (1)＝1，又f (12)＝54，f (3)＝5，所以f (x )在区间[12，3]上的最大值是5，最小值是1.(2)∵g (x )＝f (x )－mx ＝x 2－(m ＋2)x ＋2，∴m ＋22≤2或m ＋22≥4， 即m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)． 9． B 10．C 11．(－∞，－5]12．(1)证明 设x 2＞x 1＞0，则x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0，∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＞0，∴f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)解 ∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增，∴f (12)＝12，f (2)＝2.∴a ＝25.13．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，∴c ＝1，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1.∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. (2)由题意：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立． 令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝(x －32)2－54－m ，其对称轴为x ＝32，∴g (x )在区间[－1,1]上是减函数，∴g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0， ∴m <－1.。
高一数学复习讲义
高一数学复习讲义第1课时：空间几何体的结构相关定义：1.由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点2.由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体,叫做旋转体,这条定直线叫做旋转体的轴下面我们来探究柱,锥,台,球的结构特征一、柱体的结构特征柱体：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱.棱柱的底面(底):两个互相平行的面棱柱的侧面:其余各面棱柱的侧棱:相邻侧面的公共边棱柱的顶点:侧面与底面的公共顶点以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等.1.侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱2.侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱3.底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱棱柱的表示：用底面各顶点的字母表示棱柱,如图所示的六棱柱表示为：“棱柱ABCDEF—A'B'C'D'E'F'”圆柱：以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转而成的面所围成的旋转体叫做圆柱。
圆柱和棱柱统称为柱体想一想：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱吗？练习：1.长方体按如图截去一角后所得的两部分还是棱柱吗？2.在棱柱中，下列说法正确的是（）A.只有两个面平行B.所有的棱都相等C.所有的面都是平行四边形D.两底面平行，并且各侧棱也平行3.下图中不可能围成正方体的是（）二、锥体的结构特征锥体：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥棱锥的侧面：有公共顶点的各三角形棱锥的底面或底：余下的那个多边形棱椎的侧棱：两个相邻侧面的公共边棱锥的顶点：各侧面的公共顶点底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥其中三棱锥又叫做四面体棱锥的表示：用表示顶点和底面各顶点的字母表示,如图所示的棱锥表示为：“棱锥S—ABCDE”圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体。
高一数学集合讲义(完整资料)
此文档下载后即可编辑高一数学：集合讲义一、集合及其基本概念1、若干个（有限个或无限个）确定对象的全体，可以看作一个集合。
集合的元素特征：确定性；互异性；无序性。
注意：集合｛0｝与空集∅的区别：前者是含有一个元素“0”的集合，后者是不含元素的集合。
例1：下列各项中不能组成集合的是（A ）所有正三角形 （B ）《数学》教材中所有的习题（C ）所有数学难题 （D ）所有无理数2、元素与集合的关系一个集合A 与一个对象a ，要么a 是A 中的元素，记作a A ∈（读作a 属于A ）；要么a 不是A 中的元素，记作a A ∉（读作a 不属于A ）。
这个性质即为集合中元素的确定性。
在元素与集合之间，只能用∈或∉表示，它们之间只存在这两种关系。
例2、若A={x | x=0}，则下列各式正确的是（A ）φ=A （B ）φ∈A（C ）{ 0 }∈A （D ）0 ∈A3、集合的表示方法我们用列举法与描述法表示一个集合。
列举法就是把集合中的元素一一列举出来，并写在大括号中。
描述法就是通过描述集合中所有元素的共同特性来表示集合，一般写作{}|x x 具有某种特性。
我们应熟练记住一些常用的数学符号：自然数集可以用N 表示；正整数集可以用+N 表示；整数集可以用Z 表示；有理数集可以用Q 表示；实数集可以用R 表示。
例3、用列举法表示集合{}N y N x y x y x ∈∈=-+,,052|),(____________________例4、解不等式23<-x ，并把其正整数解表示出来__________________________.二、集合与集合的关系1、子集对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A B ⊆。
任何集合都是自己的子集；空集是任何集合的子集。
2、真子集对于两个集合A 和B ，如果集合A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A ⊂≠B 。
高中数学必修一讲义详细
数学必修1知识讲解讲义目录第一讲集合的概念 (1)第二讲集合的关系与运算 (6)第三讲映射与函数 (11)第四讲函数的表示方法——解析式法 (16)第五讲函数单调性 (20)第六讲函数奇偶性 (27)第七讲指数与指数幂的运算 (36)第八讲指数函数 (42)第九讲对数函数 (50)第十讲对数与对数运算 (56)第十一讲幂函数 (61)第十二讲方程的根与函数的零点 (66)第十三讲用二分法求方程的近似解 (71)第十四讲几类不同增长的函数模型 (76)第十五讲函数的图像 (86)第十六讲函数的综合应用 (94)第十七讲二次函数性质与函数的图像 (112)第一讲 集合的概念一. 知识思维导图二. 知识要点解读（一）集合的概念1. 含义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称为集）。
（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、……2. 元素与集合的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A要注意“∈”的方向，不能把a ∈A 颠倒过来写.3. 集合中元素的三个特性： 集合集合的概念集合及元素集合的分类及表示集合的关系包含子集真子集集合的运算交集并集补集集合的应用(1)元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)元素的互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
高一数学第二章完全讲义
第二章 函数二、讲解新课：（一）函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f . (1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.（2）A ：定义域，原象的集合；{}A x x f ∈|)(：值域，象的集合,其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则 ， x ∈A ， y ∈B（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f 已学函数的定义域和值域1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R;2．反比例函xkx f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2函数的值：关于函数值 )(a f例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”3︒)(x f 与)(a f是不同的，前者为变数，后者为常数函数的三要素： 对应法则f 、定义域A、值域{}A x x f ∈|)( 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数 二、区间的概念及求定义域的方法1．区间的概念和记号在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.设a,b ∈R ,且a<b.我们规定：①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）；③满足不等式a ≤x<b 或a<x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b) ,(a ，b].这里的实数a 和b 叫做相应区间的端点.在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点：定 义 名 称 符 号 数 轴 表 示{x|a ≤x ≤b}闭区间[a ，b]{x|a<x<b}开区间(a ，b){x|a ≤x<b}左闭右开区间[a ，b]{x|a<x ≤b}左开右闭区间 (a ，b)这样实数集R 也可用区间表示为(-,+),“”读作“无穷大”，“-”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x ≥a ，x>a ，x ≤b ，x<b 的实数x 的集合分别表示为[a ，+∞)，（a ，+∞）,(- ∞,b ],(- ∞,b). 注意：书写区间记号时：①有完整的区间外围记号（上述四者之一）； ②有两个区间端点，且左端点小于右端点； ③两个端点之间用“，”隔开. 2．求函数定义域的基本方法3．分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数.4．复合函数：设 f (x )=2x -3，g (x )=x 2+2，则称 f [g (x )] =2(x 2+2)-3=2x 2+1（或g [f (x )] =(2x -3)2+2=4x 2-12x +11）为复合函数求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 三、映射设A ，B 分别是两个集合，为简明起见，设A ，B 分别是两个有限集说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A 中的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应映射：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应， 这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫 做集合A 到集合B 的映射 记作：B A f →:象、原象：给定一个集合A 到集合B 的映射，且B b A a ∈∈,，如果元素a 和元素b 对应，则元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫 做元素b 的原象 关键字词：（学生思考、讨论、回答，教师整理、强调）求平方B B①“A 到B ”：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射,A 到B 是求平方，B 到A 则是开平方，因此映射是有序的； ②“任一”：就是说对集合A 中任何一个元素，集合B 中都有元素和它对应，这是映射的存在性； ③“唯一”：对于集合A 中的任何一个元素，集合B 中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性； ④“在集合B 中”：也就是说A 中元素的象必在集合B 中，这是映射的封闭性. 指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A 到集合B的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一思考：（1）为什么不是集合A 到集合B 的映射？ 回答：对于（1），在集合A 中的每一个元素，在集合B 中都 有两个元素与之相对应，因此，（1）不是集合A 到集合B 的映一对一，多对一是映射 但一对多显然不是映射辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等； ②有序性：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射； ③存在性：映射中集合A 的每一个元素在集合B 中都有它的象； ④唯一性：映射中集合A 的任一元素在集合B 中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A 的任一元素的象都必须是B 中的元素，不要求B 中的每一个元素都有原象，即A 中元素的象集是B 的子集.映射三要素：集合A 、B 以及对应法则f ，缺一不可； 课 题：2.2函数的表示法讲解新课：表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.例如，s=602t ，A=π2r ，S=2rl π,y=a 2x +bx+c(a ≠0),y=2-x (x ≥2)等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.函数值域的表示方法1．直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤}. 2．二次函数比区间上的值域(最值)： 对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时，①当a>0时，则当a b x 2-=时，其最小值a b ac y 4)4(2min -=； ②当a<0时，则当ab x 2-=时，其最大值a b ac y 4)4(2max -=. ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值.②若0x ∉[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内，只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大（小）值.若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3．判别式法（△法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论4．换元法例．求函数x x y -+=142的值域解：设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2t代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-⋅==4)1(224222+--=++-=t t t ∵t ≥0 ∴y ≤4 5．分段函数例．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解法1：将函数化为分段函数形式：⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)1(12x x x x x y ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y ≥3}.解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1，2的距离之和，∴易见y 的最小值是3，∴函数的值域是[3，+∞]. 如图两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解 课 题：2.3 函数的单调性讲解新课： ⒈ 增函数与减函数定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，⑴若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数（如图3）；⑵若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）.间而言的.些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =（图1），当x ∈[0,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,0)时是减函数. ⒉ 单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. 说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 样的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f <)(2x f 或)(1x f >)(2x f , ”改为“)(1x f ≤)(2x f 或)(1x f ≥)(2x f ,”即可；⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.3．函数单调性的证明例1．判断并证明函数3)(x x f =的单调性 证明：设21x x <则)x x x )(x x (x x x )f(x )f(x 22212121223121++-=-=-∵21x x < ∴021<-x x ，043)2(22221222121>++=++xx x x x x x ,∴021<-)f(x )f(x 即)f(x )f(x 21< （注：关键021<-)f(x )f(x 的判断） ∴3)(x x f =在R 上是增函数. 4．复合函数单调性的判断对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性，当),(b a x ∈时，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性，则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. 课 题：2.4 反函数讲解新课：反函数的定义一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=ϕ(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ(y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=ϕ(y) (y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y fx -=,习惯上改写成)(1x f y -=2、探究互为反函数的函数的图像关系观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：函数)(x f y =的图象和它的反函数)(1x f y -=的图象关于直线x y =对称.逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x 对称，则这两个函数一定是互为反函数.4．应用：⑴利用对称性作反函数的图像若)(x f y =的图象已作出或比较好作，那么它的反函数)(1x fy -=的图象可以由)(x f y =的图象关于直线y=x 对称而得到；⑵求反函数的定义域求原函数的值域； ⑶反函数的单调性与原函数的单调性相同课 题：2.5 指数函数1、定义：一般地，若*),1(N n n a x n∈>= 则x 叫做a 的n 次方根na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数例如，27的3次方根表示为327，-32的5次方根表示为532-，6a 的3次方根表示为36a ；16的4次方根表示为!416，即16的4次方根有两个，一个是416，另一个是-416，它们绝对值相等而符号相反. 2、性质：①当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数记作： na x =②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数）记作： na x ±=③负数没有偶次方根， ④ 0的任何次方根为03、常用公式根据n 次方根的定义，易得到以下三组常用公式：①当n 为任意正整数时，(n a )n =a.例如，(327)3=27，(532-)5=-32.②当n 为奇数时，nna =a ；当n 为偶数时，nna =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a .例如，33)2(-=-2，552=2；443=3，2)3(-=|-3|=3.⑶根式的基本性质：n m npmp a a =，（a ≥0）.注意，⑶中的a ≥0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如3628)8(-≠-. 用语言叙述上面三个公式：⑴非负实数a 的n 次方根的n 次幂是它本身.⑵n 为奇数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 本身；n 为偶数时，实数a 的n 次幂的n 次方根是a 的绝对值.⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.分指数1.正数的正分数指数幂的意义n m nm a a= (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.2.规定： (1)nm nm aa1=- (a ＞0，m ,n ∈N *,且n ＞1)(2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a ＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.3.有理指数幂的运算性质:)()(),()(),(Q n b a ab Q n m a a Q n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+说明：若a ＞0，P 是一个无理数，则pa 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略. 指数函数1．指数函数的定义：函数)10(≠>=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质：在同一坐标系中分别作出函数y=x 2，y=x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21，y=x 10，y=x⎪⎭⎫ ⎝⎛101的图象.课题 2.6对数函数新课讲解对数的定义定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N, 就是 N a b=，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数1642=⇔ 216log 4= ; 100102=⇔2100log 10=2421= ⇔212log 4= ; 01.0102=-⇔201.0log 10-= 探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）⑵01log =a ，1log =a a∵对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10=a ∴01log =a同样易知： 1log =a a⑶对数恒等式如果把 N a b = 中的 b 写成 N a log , 则有 N a N a =log⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数,N 的常用对数N 10log 简记作lgN 例如：5log 10简记作lg5 ; 5.3log 10简记作lg3.5.⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作lnN例如：3log e 简记作ln3 ; 10log e 简记作ln10（6）底数的取值范围),1()1,0(+∞ ；真数的取值范围,0(+∞对数的性质积、商、幂的对数运算法则：如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= N M MN a a a log log )(log ⋅≠ ，N M N M a a a log log )(log ±≠±对数换底公式及推论1.对数换底公式：aN N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 2.两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a② b mn b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1） 证：①lg lg lg lg log log =⋅=⋅b a a b a b b a ②m n a m b n a b b a m n na m log lg lg lg lg log ===对数函数1．对数函数的定义：函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数；它是指数函数xa y = )10(≠>a a 且的反函数 对数函数x y a log = )10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为,(+∞-∞2．对数函数的图象由于对数函数x y a log =与指数函数x a y =互为反函数，所以x y a log =的图象与x ay =的图象关于直线x y =对称xa y =的图象关于x y =对称的曲线，就可以得到x y a log =的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质3．对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质见P87 表课题2.6 幂函数新课讲解定义：一般地，我们把形如a=y x的函数称为幂函数，其中x是自变量，a是常数。
高一数学必修一函数讲义
第一节、函数、函数1、函数的定义： 设集合A 是一个非空的数集，对 A 中的任意数X ,按照确定的法则f ,都有唯一 确定的数y 与它对应，这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数，记作 y =f x , x A 。
其中，x叫做自变量，自变量的取值范围叫做函数的定义域。
所有函数值构成的集合，即{ y y = f (x ),x w A}叫做这个函数的值域。
2、检验两个给定的变量之间是否具有函数关系，需检验:例2、 卜列等式中， 能表小 y 是x 的函数的是()A. y h' f xB.2y =x 1C.y - -1- x 2D3、如何判断函数的定义域:(1) 分式的分母不能为零；(2) 开偶次方根的被开方数要不小于零；(3) 多个函数经过四则运算混合得到的函数定义域是多个定义域的交集;(4)函数x 0中x 不为零。
例3、求下列函数的定义域第二章、函数(1 )定义域和对应法则是否给出; 例 A CD3 -2x 3 2x (2) f(x)»2x-1;(1) f (x)二5、区间：设a , b R ,且a v b ,x 的集合，都叫做半开半闭区间，分别记作[a,b )或(a,b ]；分别满足x > a,x > a,x w a,x v a 的全体实数的集合分别记作 [a, +8) , ( a, + 8) ,(—8 ,a ], (―^ ,a )。
6、 映射：设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f : A T B 为从集合A 到集合B 的一个映射•其中x 叫做原象，y 叫做象。
注：映射可以是多对一，不可以一对多。
即A 中元素不可剩余，B 中元素可以剩余。
特别的，集合B 中的任意元素在集合 A 中有且只有一个原象的映射，叫做一一映射。
7、 映射个数的确定：若集合A 有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则A 到B 的映射有n m 个。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高一数学复习讲义09年版函数部分(1) 重点：1把握函数基本知识（定义域、值域）主要是指数函数y=a x（a>0、<0),对数函数y=log a x（a>0、<0)2二次函数（重点）基本概念（思维方式）对称轴、开口方向、判别式考点1：单调函数的考查2：函数的最值3：函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲)4：个数问题（结合函数图象）3反函数（原函数与对应反函数的关系）特殊值的取舍4单调函数的证明(注意一般解法）简易逻辑(较容易)1.2.3.4.启示：对此部分重点把握第3题、第4题的解法（与集合的关系）问题1：恒成立问题解法及题型总结(必考)一般有5类：1、一次函数型：形如：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0)练习：对于满足0<p<4的所有实数p,求使不等式x2+px>-4x+p-3恒成立的x的取值范围2、二次函数型:若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立,则有a>0Δ<0若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解练习：1设f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1, +∞)时,都有f(x)>a恒成立, a的取值范围2关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解,求a的范围。
3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解练习：若1-ax>1/(1+x),当对于x∈[0, 1]恒成立,求实数a的取值范围。
4利用图象练习：当x∈(1, 2)时,不等式(x-1)2<log a x恒成立,求a的取值范围.５利用函数性质练习：若f(x)=sin(x+α)+cos(x-α)为偶函数,求α的值.函数部分2（三角函数）学习目标：1熟悉函数命题知识点2 每种题目能找出突破点（课后总结归纳）3三角函数主要考点（平移、函数大小及比较（2007）、最值（两大类）、二次函数综合、恒成立问题（湖北2007）、图像）三角函数考点1考查化简2考查图像变换（与一般函数联系起来）平移：a 普通平移b 向量平移引出知识点：1函数周期性y=sinx2 参数范围求解若方程3sinx+cosx=a在[0,2π]上有两个不同的实数解,求a的取值范围.3.函数解析式如图是函数y=Asin(ωx+φ)的半个周期的图象,求其解析式.3 考查函数性质4考查解三角形5考查综合运用数列1.数列问题（常见几类数列的解法）特殊的（裂项法、构造法等）三类数列你知道吗？2.函数知识的复习函数在数列中应用（复习函数的有关解法）1(2000年上海卷)在xOy平面上有一点列P1 ( a1 , b1 ) 、P2 ( x2 , y2 ) 、⋯、Pn ( an , bn ) 、⋯,对每个自然数n,点Pn 位于函数y = 2000 ( a/10) x (0 < a < 10)的图像上,且点Pn、点( n, 0)与点( n + 1, 0)构成一个以Pn 为顶点的等腰三角形. ( Ⅰ)求点Pn 的纵坐标bn 的表达式;( Ⅱ)若对每个自然数n,以bn、b n + 1、b n + 2为边长能构成一个三角形,求a的取值范围;( Ⅲ)设cn= lg( b n ) ( n∈N) . 若a取( Ⅱ)中确定的范围内的最小整数, 问数列{ cn }前多少项的和最大? 试说明理由.2在等差数列{ a n }中,若a1 < 0,且S5 = S13,试问这数列的前几项之和最小?（变化类型）3 (2004年重庆卷)若{ an }是等差数列, 首项a1 > 0, a2003 + a2004 > 0, a2003 a2004 < 0,则使前n项和Sn > 0成立的最大自然数n是( ) .(A) 4005 (B) 4006 (C) 4007 (D) 4008.4 (2004年福州卷) y = f ( x)的定义域为R,且f ( 0 ) ≠ 0. , 对任意实数m、n 有f (m + n ) =f (m ) f ( n) ,当x∈R时, f ( x)是单调函数. 数列{ an }满足a1 = f (0) , f ( an + 1 ) =1/f ( - 2 - a n )( n∈N+ ) .(1)求f (0)的值;(2)求数列{ an }的通项公式;5 ( 2004年湖南卷)已知数列{ an }满足a1= 0, an + 1 =an – 3/3an + 1 ( n∈N) ,则a20 = ( ) .(A) 0 (B) - 3 (C) 3 (D) 3补充常考三类数列问题:1 化为等比数列如an =2an-1+5构造法在1的基础上多一项,解法类似 2 等差数列+等比数列3 含有分式用裂项(06年湖北已考)向量命题知识点1.有关“定比分点”主要考查概念、定比分点坐标、中点坐标、两点间距离公式,试题难度不大与课本中的例题、习题相当;(以课本为主)2.向量的加法,主要考查运算法则,几何意义;3.平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容,主要考查运算能力和灵活运用知识的能力;4.平面向量与三角、平面几何结合的方式题经常出现;5.正弦定理和余弦定理的应用,如解斜三角形.(主要在三角函数中讲解)考试主要考三类数列：1 a n=2a n-1+5 （非等差、非等比）2 a n =q 2n （求和）3 裂项数列类问题的解题方法：常数列 构造法 奇偶讨论 函数思想（Sn 是二次函数）题型练习：一、选择题1、三个正数a 、b 、c 成等比数列，则lga 、 lgb 、 lgc 是 （ ） A 、等比数列 B 、既是等差又是等比数列C 、等差数列D 、既不是等差又不是等比数列2、前100个自然数中，除以7余数为2的所有数的和是（ ） A 、765 B 、653 C 、658 D 、6603、如果a,x 1,x 2,b 成等差数列，a,y 1,y 2,b 成等比数列，那么(x 1+x 2)/y 1y 2等于 A 、(a+b)/(a-b) B 、(b-a)/ab C 、ab/(a+b) D 、(a+b)/ab4、在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3=2S 2+1,a 4=2S 3+1,则公比q= A 、1 B 、-1 C 、-3 D 、35、在等比数列{a n }中,a 1+a n =66,a 2a n -1=128,S n =126，则n 的值为 A 、5 B 、6 C 、7 D 、86、若{ a n }为等比数列，S n 为前n 项的和，S 3=3a 3,则公比q 为 A 、1或-1/2 B 、-1 或1/2 C 、-1/2 D 、1/2或-1/27、一个项数为偶数的等差数列，其奇数项之和为24，偶数项之和为30，最后一项比第一项大21/2，则最后一项为 （ ）A 、12B 、10C 、8D 、以上都不对8、在等比数列{a n }中，a n >0,a 2a 4+a 3a 5+a 4a 6=25,那么a 3+a 5的值是 A 、20 B 、15 C 、10 D 、59、等比数列前n 项和为S n 有人算得S 1=8,S 2=20,S 3=36,S 4=65,后来发现有一个数算错了，错误的是A 、S 1B 、S 2C 、S 3D 、S 410、数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 7,a 10,a 15是一等比数列{b n }的连续三项，若该等比数列的首项b 1=3则b n 等于 A 、3·(5/3)n-1 B 、3·(3/5)n-1 C 、3·(5/8)n-1 D 、3·(2/3)n-1二、填空题11、公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一等比数列，该等比数列的公比q = 12、各项都是正数的等比数列{a n }，公比q ≠1,a 5,a 7,a 8成等差数列，则公比q=13、已知a,b,a+b 成等差数列,a,b,ab 成等比数列，且0<log m ab<1，则实数m 的取值范是14、已知a n =a n －2+an －1(n≥3),a 1=1,a 2=2,b n =1+n na a ,则数列{b n }的前四项依次是______________.15、已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），……，则第60个数对为三、解答题（12分×4+13分+14=75分）16、有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数为等差数列，其和为12，求此四个数。
怎样设四个数？17、已知数列{a n }的前n 项和S n =2n-n 2,a n =log 5bn ，其中bn>0，求数列{bn}的前n 项和。
18．已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足21056,n n n S a a =++且1215,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项.n a19、在数列{}n a 中，2,841==a a 且0212=+-++n n n a a a ，n *∈N .错误!未找到引用源。
求数列{}n a 的通项公式。
错误!未找到引用源。
设n n n S a a a S 求.||||||21+++=20、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足)2(021≥=+-n S S a n n n ，211=a ， 错误!未找到引用源。
求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列；错误!未找到引用源。
求数列{}n a 的通项公式。
21、在等差数列}{n a 中，21=a ，12321=++a a a 。
(1) 求数列}{n a 的通项公式；(2) 令nn n a b 3⋅=，求数列}{n b 的前n 项和n S高一数学阶段复习――向量（定点分比、共线）一、选择题：1．已知P 点分有向线段AB 所成的比为31，则点B 分有向线段AP 所成的比为 （ C ）A ．43B ．34C ．－34 D ．－43 2．.已知两点1(1,6)P --,3(3,0)P ，点7(,)3P y -分有向线段21P P 所成的比为λ，则λ，y 的值分别为（ C ）A ．－41，8 B ．41，－8 C ．－41，－8 D ．4，81 3，已知a=(2,3) ,b=(－4,7) ,则a 在b 上的投影值为 （ B ）A ．13 B ．565 C ．513 D ．654．已知a =(2,1) , b =(3,x), 若(2a －b )⊥b ，则x 的值为（ D ）A ．3B ．－1C ．－3或1D ．－1或3 5．若|a|=|b|=|a －b|,则b 与a+b 的夹角为 （ A ）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°6．若20AB BC AB ⋅+=，则ΔABC 为 （ AA ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形7．己知|a |=1,|b |=2, a 与b 的夹角为60︒,c =3a+b , d =λa －b ,若c ⊥d ,则实数λ的值为（C ） A ．4 B ．75 C ．7 D ．7把一个函数的图像按(,2)4a π=,( B )A ．y=sinxB ．y=cosxC ．y=sinx+2D ．y=cosx+49．将函数y=f(x)图象F 上的点P(1,0)平移变为P'(2,0),平移后得到新图象'F 的函数解析式 为 （A ） A ．(1)y f x =- B ．()1y f x =- C ．(1)y f x =+D ．()1y f x =+10．为了得到y=f(-2x)的图像，可以把函数y=f(1-2x)的图像按向量a 进行平移，则a 等于( D ) A.(1，0)B. (1,0)-C. 1(,0)2D.1(,0)2-11．点A(2,0)，B(4,2)，若|AB|=2|AC|, 则C 点的坐标为 D ）A ．(－1,1)B ．(－1,1)或(5,－1)C ．(－1,1)或(1,3)D ．无数多个12．设 a,b,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则①(a b )c －(ca )b =0；②|a | －|b |< |a －b | ③(bc )a －(ca )b 不与c 垂直；④(3a +2b )(3a －2b )= 9|a |2－4|b |2 其中真命题是 （C ） A ．①② B ．②③C ．②④D ．③④二 填空题13．已知△ABC 的顶点(2,3)A ，(4,2)B --和重心(2,5)G -，则C 点坐标为 (－4,14) . 14．已知||10a =，(8,2)()a t t N =-+∈，(4,3)b =-，则与a b -垂直单位向量的坐标为_______34(,)55±__.15．已知过(3,4)A ，(1,5)B 的直线与直线22y x =--交于点P ，则P 分AB 的比为_43-. 16．已知点P(2,－3)按向量a = (t 2+3t －12,t 2+2t －5)平移，得到P'(0,0)，则t=___2_.17（08 三、解答题：18．已知三角形的三个顶点坐标为A(0，8)、B(－4，0)、C(5，－3)。