1.1.3探究与发现：解三角形的进一步讨论

x=1，即BC=2.
在ABC中,AC2 =AB2 +BC2 -2AB BCcosABC.
4 6 2 2 4 6 6 84 2 21 AC =( ) +2 -2 2 = . AC= 3 3 6 9 3 AC BC 6 30 = . 由cosB= , sinB= . sin B sin A A 6 6 30 2 D 70 6 sin A . 14 2 21 B C E 3
a k sin A, b k sin B, c k sin C.(k 0)
a b c sin A ,sin B ,sin C R为外接圆半径 2R 2R 2R
b2 c2 a2 cos A 2bc
1.利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1.在ABC中，已知：B=45 ,D是BC边上一点，AD=5, AC=7,DC=3,求AB的长。 AC 2 DC 2 AD2 72 32 52 11 解：在ADC中，cosC= 2AC DC 273 14 5 3 0<C< ,sinC= . 14 5 3 7 AC sin C 5 6 14 在ABC中，AB= . sin B 2 2 A 2
a k sin A, b k sin B, c k sin C.(k 0)
a b c sin A ,sin B ,sin C R为外接圆半径 2R 2R 2R
（2）余弦定理的表示形式：
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cosC
C
a<bsinA B
（3）若a<bsinA,则无解。 A
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若A为锐角时:
无解 a b sin A a b sin A 一解直角 b sin A a b 二解一锐、一钝 ab 一解锐角
若A为直角或钝角时:
a b 无解 a b 一解锐角
0
1 0 例2.在ABC中，a 1，c ，C 40 , 2 则符合题意的b的值有 __________ 个。 两个
a sinC 又a c, 解： sinA= =2sin400 1 c A有两解。 三角形有两解,b的值有两个。
例3.在ABC中，a xcm，b 2cm，B 450， 如果用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。
0
B
D
C
4 6 6 例2.在ABC中，已知：AB= ,cosB= ,AC边上的 3 6 中线BD= 5. 求sin A的值。 1 解：取BC中点E, 连DE， 则DE AB且DE= AB. 2 2 6 DE= . 3 2 2 2 设BE=x,在BDE中,BD =BE +DE -2BE DEcosBED.
2 2 2
b c a （1）已知三边求三个角； cos A 2bc （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
a sin A sin B b
c a b 2ab cos C
2 2 2
注意：利用正弦定理求角时，应先求较短边的对角 （一定是锐角）可避免讨论。
探究：在ABC中，已知a,b,A,讨论三角形解的情况。 b sin A 分析：由sinB= ,可求出角B， a a sin C 则C=1800 ( A B), 从而c= . sin A 1.当A为钝角或直角时，
2 2 2
b2 c2 a2 cos A 2bc a2 c2 b2 cos B 2bc 2 2 2 a b c cos C 2ab
（3）正弦定理的应用范围：
b sin A ①已知两角和任一边，求其它两边及一角；a sin B
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。 （4）余弦定理的应用范围：
必须a>b,才能有且只有一解，否则无解。
C b a C b a
A
B
A
B
2.当A为锐角时， 如果a b,那么只有一解。
C b C a B2
a
A 如果a<b,那么可以分下面三种情况讨论： b
B
a B1
（1）若a>bsinA,则有两解。
A （2）若a=bsinA,则只有一解。 C b A a=bsinA B b
关于解三角形 :
(1)三角形的六元素 : A, B, C , a, b, c(其中a, b, c分别为A, B, C的对边);
(2)解三角形 : 用三角形已知元素求未知 元素.
（1）正弦定理的表示形式：
a b c 2 RR为外接圆半径 sin A sin B sin C
a b c abc k sin A sin B sin C sin A sin B sin C
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三 角形时，只有当A为锐角且 b sin A a b 时，有两解； 其它情况时则只有一解或无解。
例1.在ABC中，已知a 80，b 100，A 45 ， 试判断此三角形解的情况。
0
b sin A 100sin 45 解： sinB= = 1 a 80 又a<b, B有两解。 三角形有两解。
a sin B x sin 450 解： sinA= = 1 b 2
又三角形有两解,
a b,
x 2 2
x 2.
即 2 x 2 2.
1.利用正弦定理、余弦定理解三角形
2.利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状 3.利用正弦定理、余弦定理证明三角形中的恒等式 注意：正弦定理、余弦定理应用时边与角的互换
2 6 2 2 6 6 ( 5 ) =x +( ) -2x ( ). 3 3 6 2 即3x +4x 7 0.
2 2
A D E
7 x=1或x （舍） . 3
B
C
4 6 6 例2.在ABC中，已知：AB= ,cosB= ,AC边上的 3 6 中线BD= 5. 求sin A的值。