1.1.3探究与发现：解三角形的进一步讨论
1.1.探究与发现：解三角形的进一步讨论
a sin B x sin 450 解： sinA= = 1 b 2
又三角形有两解,
a b,
x 2 2
x 2.
即 2 x 2 2.
1.利用正弦定理、余弦定理解三角形
2.利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状 3.利用正弦定理、余弦定理证明三角形中的恒等式 注意：正弦定理、余弦定理应用时边与角的互换
ABC为等腰直角三角形。
例2.在ABC中，已知c=acosB,b=asinC,试判断ABC的形状。
解法二： (角化边）
c=acosB,
a2 c2 b2 c=a , 2ac
A=900 .
a 2 b 2 c 2 .
又b=asinC,
而RtABC中，b=asinB,
sinB=sinC,
a2 c2 b2 a 2 ac 即 2 2 , 2 b b c a 2bc
cos B sin A 即 , cos A sin B
整理得：a 4 a 2c 2 b 2c 2 b 4 0, （a 2 b 2） (a2 b 2 c 2） 0, a b或a2 b 2 c 2,
研究内容： 在生产、生活、科技和技术中，我们都会看到 许多数学的应用，我们小组主要研究高中数学 中以解三角形为中心的一系列问题。其中包括 正弦定理、余弦定理、以及解三角形在实际生 活中的一些应用，有天文测量、航海测量和地 理测量。还有解三角形中的一些特殊问题—— 海伦公式和秦九韶独出的“三斜求积”公式。
C
a<bsinA B
（3）若a<bsinA,则无解。 A
若A为锐角时:
无解 a b sin A a b sin A 一解直角 b sin A a b 二解一锐、一钝 ab 一解锐角
高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.3 解三角形的进一步讨论教案 新人
安徽省长丰县高中数学第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.3 解三角形的进一步讨论教案新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（安徽省长丰县高中数学第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.3 解三角形的进一步讨论教案新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.1。
3 解三角形的进一步讨论一、知识与技能1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；2。
三角形各种形状的判定方法；3.三角形面积定理的应用．二、过程与方法通过引导学生分析，解答三个典型例子,使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理,在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能,从而从本质上反映了事物之间的内在联系．教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形;重、难点2.三角形各种形状的判定方法；3.三角形面积定理的应用．教学难点1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向;2。
三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求；3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．教学准备投影仪、幻灯片第一张：课题引入图片（记作1．1．3A）正弦定理:RCcBbAa2sinsinsin===；余弦定理:a2=b2+c2—2bcco s A，b2=c2+a2—2caco s B，c2=a2+b2-2abco s C, bcacbA2cos222-+=，cabacB2cos222-+= ,abcbaC2cos222-+=.第二张:例3、例4(记作1．1．3B）[例3］已知△ABC, BD为角B的平分线，求证: AB∶BC＝AD∶DC。
解三角形的进一步讨论教学设计
解三角形的进一步讨论——教学设计一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（5）》（人教A版）第一章第一节第三课（1.1.3）《正、余弦定理及其应用》。
根据我所任教的学生的实际情况，我将《正、余弦定理及其应用》划分为三节课（正弦定理、余弦定理、解三角形的进一步讨论），这是第三节课“解三角形的进一步讨论”。
正余弦定理是解三角形的重要工具，是三角函数的重要应用，是在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以正余弦定理应重点研究。
二、学生学习况情分析解三角形是在学生系统学习了正余弦定理，基本掌握了正余弦定理的各种变型形式的基础上进行研究的，是学生对正余弦定理的第一次应用。
教材在之前的学习中给出了实际例子，已经让学生感受到正余弦定理的实际背景。
本节课先设计一个看似简单的问题，通过不同的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。
三、设计思想1. 正余弦定理在解三角形中占有很重要的位置。
如何突破这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。
从实际实例出发，逐步体会不同情形下产生的不同结果，从看似杂乱的现象中发现规律、总结规律，形成直观、快速、准确的判断方法。
本节课，力图让学生从不同的角度去研究解三角形，对解三角形进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到一般规律，让学生去体会这种的研究方法,以便能将其迁移到其他现象的研究中去。
2.在本课的教学中我努力实践以下两点：（1）在课堂活动中通过恰当的游戏式引入，让学生快速进入情景，迅速进入节奏。
（2）在教学过程中努力做到知识节点环环相扣、逐步深入，注重生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。
（3）通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。
页 1 第四、教学目标根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：知过程与方法：正余弦定理在解三角形中的应用讨论；识与技能：讨论总结，讲练结合；让学生体会数学中多角度看问题的思维，情感态度与价值观：使学同时通过本节课的学习，在数学活动中感受数学思想方法之美；合作交流的培养学生主动学习、生获得研究数学问题的规律和方法；意识。
1.1.3解三角形的进一步讨论
1.1.3解三⾓形的进⼀步讨论1.1.3 解三⾓形的进⼀步讨论【学习⽬标】1.掌握已知三⾓形的两边及其中⼀边的对⾓时对解个数的讨论； 2.三⾓形各种形状的判断⽅法；【学习重难点】1.已知三⾓形的两边及其中⼀边的对⾓时对解个数的讨论；2.正弦、余弦定理的综合运⽤；⼀、情景问题：我们在解三⾓形时可以会出现⼀些我们预想不到的结果，现在请⼤家思考下⾯问题：在ABC ?中，已知 133,25,22===A cm b cm a ，解三⾓形。
⼆、探索研究：问题：在ABC ?中，已知A b a ,,，讨论三⾓形解的情况，并画图表⽰。
讨论1：当A 为钝⾓时三⾓形解的情况：讨论2：当A 为锐⾓时三⾓形解的情况：结论：；三、解题研究：例1：在ABC ?中，已知 45,100,80===A b a ，讨论三⾓形解的情况；例2：在ABC ?中，已知 45,2,===B b x a ，如果利⽤正弦定理解三⾓形时有两解，求实数x 的取值范围。
例3：在ABC ?中，已知3,5,7===c b a ，判断三⾓形的类型。
对于上述问题你有什么结论吗？变式训练：1.在?ABC 中，已知sin :sin :sin ::A B C =654，试判断△ABC 的形状；2.在△ABC 中，已知⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosB ＋ccosC ＝acosA ，试判断△ABC 的形状。
例4：设2,1,++x x x ，是钝⾓三⾓形的三边长，求实数x 的取值范围。
变式训练：已知锐⾓三⾓形的三边长为：2，3，x ，求实数x 的取值范围。
四、尝试⼩结：五、课后作业：P11 B 组T2 六、课后练习：1.在?ABC 中，c o s c o s s i n s i n A B A B >，则ABC 是： A.锐⾓三⾓形 B.直⾓三⾓形 C.钝⾓三⾓形 D.正三⾓形2.在?ABC 中，A 、B 均为锐⾓，且cos sin A B >，则?ABC 是_________3.在△ABC 中，∠A ，∠B 的对边分别为a,b ，且∠A=60°，4a b =，那么满⾜条件的△ABC ：A.有⼀个B.有两个C.不存在D.不能确定个数 3.设A 是△ABC 中的最⼩⾓，且1cos 1a A a -=+，则实数a 的取值范围是：A.a ≥3B.a ＞－1C.－1＜a ≤3D.a ＞04.关于x 的⽅程22cos cos cos 02C x x A B -??-=有⼀个根为1，则△ABC ⼀定是： A.等腰三⾓形 B.直⾓三⾓形 C.锐⾓三⾓形 D.钝⾓三⾓形5.钝⾓三⾓形的三边长为2,1,++a a a ，其最⼤⾓不超过0120，则a 的取值范围是：A ．30<323<≤a C ．32≤51<≤a6.在△ABC 中，已知cos 2B+cos 2C=1+cos 2A,sinA=2sinBcosC, cosC=sinB.求证：△ABC 是以A 为直⾓顶点的等腰直⾓三⾓形.7.根据下⾯条件判断，已知形状在ABC ?中，有)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+。
1.1.3 解三角形的进一步讨论
1．1．3 解三角形的进一步讨论三维目标一、知识与技能1．掌握已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；2．三角形各种形状的判定方法；3．三角形面积定理的应用．二、过程与方法通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．教学过程一、情境导入1、回顾一下正、余弦定理的内容正弦定理：；余弦定理：2、正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系，运用定理可以进行边与角之间的转换．这一节，我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在判断三角形形状和证明三角恒等式时的应用．二、新课探究1、思考在△ABC中，已知A=22cm，B=25cm，A=133°，解三角形．阅读课本第9页解答过程并思考．从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形．下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题．2、探究分析探究一在△ABC中，已知A，B，a，讨论三角形解的情况．师：分析：先由可进一步求出；则，从而．一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况．1．当A为钝角或直角时，必须a＞b才能有且只有一解；否则无解．2．当A为锐角时，如果a≥b，那么只有一解；如果a＜b，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若a＞bsinA，则有两解；（2）若a=bsinA，则只有一解；（3）若a＜bsinA，则无解．注意：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且bsinA＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．（1）A为直角或钝角（2）A为锐角探究二在△ABC中，已知a=7，b=5，c=3，判断△ABC的类型．分析：由余弦定理可知a2=b2+c2A是直角△ABC是直角三角形，a2＞b2+c2A是钝角△ABC是钝角三角形，a2＜b2+c A是锐角△ABC是锐角三角形。
人教版高中必修5探究与发现解三角形的进一步讨论课程设计
人教版高中必修5探究与发现解三角形的进一步讨论课程设计一、课程目标•理解余弦定理、正弦定理的原理和应用；•掌握利用余弦定理、正弦定理求解三角形的面积和角度的方法；•能够综合运用知识解决实际问题；•培养学生自主思考、团队协作、解决问题的能力。
二、教学内容1.余弦定理和正弦定理的原理和应用；2.利用余弦定理、正弦定理求解三角形的面积和角度的方法；3.实际问题的应用。
三、教学方法1.活动导入：通过探究一道三角形问题的方法引出余弦定理、正弦定理；2.课堂授课：讲解余弦定理、正弦定理的原理和应用，并引导学生掌握求解三角形面积和角度的方法；3.小组讨论：分组讨论三角形实际问题，并给出解决方案；4.展示讨论结果：每个小组选出代表展示讨论结果，其他小组给予点评；5.教师点评：对学生讨论结果进行点评并给予指导；6.作业布置：巩固本课内容，并涉及到课前所学知识。
四、教学重点1.掌握余弦定理、正弦定理的应用；2.利用余弦定理、正弦定理求解三角形的面积和角度。
五、教学难点1.实际问题的应用；2.解决问题的方法。
六、课时安排本课程计划为4学时，具体安排如下：时间教学内容第1学时活动导入、授课第2学时小组讨论、展示第3学时教师点评、作业布置第4学时作业讲解、扩展课程七、教学资源1.电子白板；2.课件PPT；3.教学实例。
八、预期效果1.学生理解余弦定理、正弦定理的原理和应用；2.学生掌握利用余弦定理、正弦定理求解三角形的面积和角度的方法；3.学生能够综合运用知识解决实际问题；4.学生具备自主思考、团队协作、解决问题的能力。
人教版高一数学教案-解三角形的进一步讨论
1.1.3 解三角形的進一步討論從容說課本節課中，應先通過分析典型例題，幫助學生理解並掌握正弦定理和余弦定理；應指出正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然．但解題的時候，應有最佳選擇．教學過程中，我們應指導學生對利用正弦定理和余弦定理解斜三角形的問題進行歸類，列表如下： 解斜三角形時可用的定理和公式 適用類型 備註 余弦定理 a 2=b 2+c 2-2bcco s Ab 2=a 2+c 2-2acco s Bc 2=b 2+a 2-2baco s C（1）已知三邊 （2）已知兩邊及其夾角 類型（1）（2）有解時只有一解 正弦定理 R Cc B b A a 2sin sin sin === （3）已知兩角和一邊（4）已知兩邊及其中一邊的對角 類型（3）在有解時只有一解，類型（4）可有兩解、一解或無解 三角形面積公式 ==A bc S sin 21 =B ac sin 21 C ab sin 21 （5）已知兩邊及其夾角同時應指出，在解斜三角形問題時，經常要利用正弦、余弦定理實施邊角轉換，轉化的主要途徑有兩條：（1）化邊為角，然後通過三角變換找出角與角之間的關係，進而解決問題；（2）化角為邊，將三角問題轉化為代數問題加以解決．一般地，當已知三角形三邊或三邊數量關係時，常用余弦定理；若既有角的條件，又有邊的條件，通常利用正弦定理或余弦定理，將邊化為角的關係，利用三角函數公式求解較為簡便．總之，關鍵在於靈活運用定理及公式．教學重點1.在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；2.三角形各種形狀的判定方法；3.三角形面積定理的應用．教學難點1.利用正、余弦定理進行邊角互換時的轉化方向;2.三角恒等式證明中結論與條件之間的內在聯繫的尋求；3.正、余弦定理與三角形的有關性質的綜合運用．教具準備 投影儀、幻燈片第一張:課題引入圖片(記作1．1．3A)正弦定理:R Cc B b A a 2sin sin sin ===； 余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bcco s A ,b 2=c 2+a 2-2caco s B ,c 2=a 2+b 2-2abco s C ，bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+= ,abc b a C 2cos 222-+=.第二張:例3、例4(記作1．1．3B )[例3]已知△ABC , BD 為角B 的平分線,求證: AB ∶BC ＝AD ∶DC .[例4]在△ABC 中,求證:a 2sin2B +b 2sin2A =2ab sin C .第三張:例5(記作1．1．3C)[例5]在△ABC 中,bco s A =aco s B ,試判斷三角形的形狀.三維目標 一、知識與技能1.掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；2.三角形各種形狀的判定方法；3.三角形面積定理的應用． 二、過程與方法通過引導學生分析，解答三個典型例子，使學生學會綜合運用正、余弦定理，三角函數公式及三角形有關性質求解三角形問題． 三、情感態度與價值觀通過正、余弦定理，在解三角形問題時溝通了三角形的有關性質和三角函數的關係，反映了事物之間的必然聯繫及一定條件下相互轉化的可能，從而從本質上反映了事物之間的內在聯繫．教學過程 導入新課師 前面兩節課,我們一起學習了正弦定理、余弦定理的內容,並且接觸了利用正、余弦定理解三角形的有關題型.下面,我們先來回顧一下正、余弦定理的內容 (給出幻燈片 1.1.3A ).從幻燈片大體可以看出,正弦定理、余弦定理實質上反映了三角形內的邊角關係,運用定理可以進行邊與角之間的轉換,這一節,我們將通過例題分析來學習正、余弦定理的邊角轉換功能在判斷三角形形狀和證明三角恒等式時的應用.推進新課思考：在△ABC 中，已知A =22c m ，B =25c m,A =133°，解三角形．（由學生閱讀課本第9頁解答過程）從此題的分析我們發現，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，在某些條件下會出現無解的情形．下面進一步來研究這種情形下解三角形的問題．【例1】在△ABC 中，已知A ,B ,A ，討論三角形解的情況.師 分析：先由a A b B sin sin =可進一步求出B ；則C =180°-(A +B ),從而A C a c sin sin =. 一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有兩解、一解、無解三種情況． 1.當A 為鈍角或直角時，必須a ＞b 才能有且只有一解；否則無解．2.當A 為銳角時，如果a ≥b ，那麼只有一解； 如果a ＜b ，那麼可以分下面三種情況來討論：（1）若a ＞b sin A ，則有兩解；（2）若a =b sin A ，則只有一解；（3）若a＜b sin A，則無解．（以上解答過程詳見課本第9到第10頁）師注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當A為銳角且b sin A＜a＜b時，有兩解；其他情況時則只有一解或無解．（1）A為直角或鈍角（2）A為銳角【例2】在△ABC中，已知a =7,b=5,c =3，判斷△ABC的類型．分析：由余弦定理可知a2=b2+c2⇔A是直角⇔△ABC是直角三角形，a2＞b2+c2⇔A是鈍角⇔△ABC是鈍角三角形，a2＜b2+c⇔A是銳角/△ABC是銳角三角形。
高中数学《探究与发现 解三角形的进一步讨论》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学人教A版必修5第一章《探究与发现解三角形的进一步讨论》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案
公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1.正弦定理的概念;
2.正弦定理的证明及其基本应用.
2重点难点
1.正弦定理的探索和证明;
2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.
3教学过程
3.1第一学时
教学活动
1【讲授】正弦定理
导入新课
师如右图,固定△ABC的边CB及∠B,使边AC绕着顶点C转动.
师思考:∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系?
生显然,边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大.
师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来?
师在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系.如右图,在Rt△ABC中,设BC =A,AC =B,AB =C,根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有=sinA, =sinB,又sinC=1= ,则 .从而在直角三角形ABC中,
.
推进新课
[合作探究]。
人教版高中必修5探究与发现解三角形的进一步讨论课程设计 (2)
课程设计：人教版高中必修5探究与发现解三角形的进一步讨论一、教学目标1. 知识目标•了解解三角形的概念和方法•掌握利用正弦定理、余弦定理、正切定理及海伦公式等解决三角形相关问题的方法•根据实际问题，运用相关知识解决三角形的相关问题2. 能力目标•培养学生观察、归纳和总结的能力•培养学生沟通、合作和创新思维的能力•提高学生运用数学知识解决实际问题的能力3. 情感目标•激发学生学习数学的兴趣和热情•培养学生积极参与课堂讨论，自主学习的意识•培养学生正义、和谐、团结的价值观二、教学内容1. 概念介绍•解三角形的概念及相关术语说明2. 解三角形的方法•正弦定理的应用•余弦定理的应用•正切定理的应用•海伦公式的应用3. 相关问题探究•从实际问题出发，引导学生自主观察、归纳、总结•运用所学方法解决相关问题三、教学过程1. 课前预习•学生预习课本内容及课件•学生思考和准备提出解三角形有哪些方法2. 自主学习•小组合作，每个小组选择一个问题，研究并解决问题•学生自主寻找相关材料，进行学习和总结3. 讲授并讨论•介绍解三角形的概念及相关术语•分别讲解正弦定理、余弦定理、正切定理和海伦公式的应用•在每个方法讲解后，由学生提出实际问题并进行讨论解决4. 实践演练•学生分组，在白板上模拟相关问题，运用所学方法解决•学生自主寻找相关实际问题，进行解决练习5. 总结归纳•教师与学生共同总结本次课程所学内容，提出不足和进一步改进措施•学生进行总结自我反思，思考如何将所学知识应用到实际生活中四、作业•学生回去后继续以小组形式进行学习和讨论•选取1-2个相关问题，并利用所学方法进行解决，准备进行讲解展示•学生通过个人笔记记录所学重点及解决问题的过程五、教学评估•通过学生的课前预习讨论，了解学生的掌握程度及问题•在课堂讲授、讨论、实践过程中及时反馈和引导，检查学生的掌握情况•通过学生的课后作业和自我反思，了解学生的学习效果六、教学反思•通过本次课程的设计和实施，掌握了针对解三角形相关内容的教学思路和方法•鉴于学生学习数学实践应用的能力较为薄弱，课程设计应注重实践环节的拓展•下一步的工作将持续探索和实践，倡导学生以积极探究的心态参与数学学习，提升学生数学思维的发展。
1.3解三角形的进一步讨论
1.1.3 解三角形的进一步讨论三维目标一、知识与技能1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；2.三角形各种形状的判定方法；3.三角形面积定理的应用．二、过程与方法通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．重难点教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；2.三角形各种形状的判定方法；3.三角形面积定理的应用． 教学难点1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求；3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．教具准备 投影仪、幻灯片 第一张:课题引入图片(记作1．1．正弦定理:R CcB b A a 2sin sin sin ===；余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bcco s A ,b 2=c 2+a 2-2caco s B ,c 2=a 2+b 2-2abco s C ，bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+= ,abc b a C 2cos 222-+=第二张:例3、例4(记作1．1．B[例3]已知△ABC , BD 为角B 的平分线,求证: AB ∶BC ＝AD ∶DC[例4]在△ABC 中,求证:a 2sin2B +b 2sin2A =2ab sin C第三张:例5(记作1．1．[例5]在△ABC 中,bco s A =aco s B ,试判断三角形的形状教学过程导入新课师 前面两节课,我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容,并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面,我们先来回顾一下正、余弦定理的内容 (给出幻灯片 1.1.3A ).从幻灯片大体可以看出,正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系,运用定理可以进行边与角之间的转换,这一节,我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在判断三角形形状和证明三角恒等式时的应用推进新课思考：在△ABC 中，已知A =22c m ，B =25c m,A =133°，解三角形．（由学生阅读课本第9页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形．下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题． 【例1】在△ABC 中，已知A ,B ,A ，讨论三角形解的情况师 分析：先由a A b B sin sin =可进一步求出B ；则C =180°-(A +B ),从而ACa c sin sin =一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况．1.当A 为钝角或直角时，必须a ＞b 才能有且只有一解；否则无解．2.当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a ＜b ，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若a＞b sin A，则有两解；（2）若a=b sin A，则只有一解；（3）若a＜b sin A，则无解．（以上解答过程详见课本第9到第10页）师注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且b sin A＜a＜b 时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．（1）A为直角或钝角（2）A为锐角【例2】在△ABC中，已知a =7,b=5,c =3，判断△ABC的类型．分析：由余弦定理可知a2=b2+c2⇔A是直角⇔△ABC是直角三角形，a2＞b2+c2⇔A是钝角⇔△ABC是钝角三角形，a2＜b2+c⇔A是锐角/△ABC是锐角三角形。
1.1.3--解三角形的进一步讨论
a < bsinA
Ｃ
a
Ｃ
a
Ｃ a Ａ B1
a≥b 即 sinB < 1 且B < A 一解
b Ａ
b
B2
b
a
Ｂ Ａ
Ｂ
a = bsinA
bsinA < a < b 即 sinB < 1 且B > A
即sinB > 1 即sinB = 1
无解
一解
两解
2. A为钝角
Ｃ
b
a
Ｃ
b
a
a≤b
无解
Ａ
a>b 一解
又b < a，∴ B < A，∴ B = 30°有一种结果；
b sin A （2）sin B = =1 a
∴ B = 90°，有一种结果
（3）sin B = b sin A = 2 3 1 ∴ 此时无解 a 3
一、三角形解的个数的判定 已知边a, b和角A,求其他边和角的各种类型的图示．
b sin A 法1.A为锐角 sin B = a
解三角形的进一步讨论 及应用
引例:以下∆ABC中∠B的结果各有几种 C 1. b = 20, A = 60, a = 20 3 ； b 2. b = 20, A = 60, a = 10 3 ； 60° A 3. b = 20, A = 60, a = 15
B
b sin A 1 解：（1）sin B = = a 2
为a、b、c，且asinAsinBbcos2A =
b (1)求 ; a
2a，
(2)若 c 2 = b2 3a 2 , 求B. 【审题指导】（1）利用正弦定理化简上式， 从而求得 b
高中数学 1.1.3解三角形的进一步讨论教案 新人教A版必修5 教案
课题: §1．1．3解三角形的进一步讨论授课类型：新授课 ●教学目标知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
●教学重点在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
●教学难点正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情景]思考：在∆ABC 中，已知22a cm =，25b cm =，0133A =，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。
下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
Ⅱ.讲授新课 [探索研究]例1．在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况分析：先由sin sin b AB a=可进一步求出B ； 则0180()C A B =-+从而sin a Cc A=1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。
2．当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若sin a b A >，则有两解； （2）若sin a b A =，则只有一解； （3）若sin a b A <，则无解。
（以上解答过程详见课本第910页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
高中数学同步教学示范教案： 解三角形的进一步讨论新人教A版必修
１．１．３ 解三角形的进一步讨论从容说课本节课中，应先通过分析典型例题，帮助学生理解并掌握正弦定理和余弦定理；应指出正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然．但解题的时候，应有最佳选择．教学过程中，我们应指导学生对利用正弦定理和余弦定理解斜三角形的问题进行归类，列表如下： 解斜三角形时可用的定理和公式适用类型 备注 余弦定理 a ２=b ２+c ２—２bcco s Ab ２=a ２+c ２—２acco s Bc ２=b ２+a ２—２baco s C（１）已知三边（２）已知两边及其夹角 类型（１）（２）有解时只有一解 正弦定理 R Cc B b A a 2sin sin sin === （３）已知两角和一边 （４）已知两边及其中一边的对角类型（３）在有解时只有一解，类型（４）可有两解、一解或无解 三角形面积公式 ==A bc S sin 21 =B ac sin 21 C ab sin 21 （５）已知两边及其夹角同时应指出，在解斜三角形问题时，经常要利用正弦、余弦定理实施边角转换，转化的主要途径有两条：（１）化边为角，然后通过三角变换找出角与角之间的关系，进而解决问题；（２）化角为边，将三角问题转化为代数问题加以解决．一般地，当已知三角形三边或三边数量关系时，常用余弦定理；若既有角的条件，又有边的条件，通常利用正弦定理或余弦定理，将边化为角的关系，利用三角函数公式求解较为简便．总之，关键在于灵活运用定理及公式．教学重点１．在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； ２．三角形各种形状的判定方法； ３．三角形面积定理的应用．教学难点１．利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向; ２．三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求； ３．正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．教具准备 投影仪、幻灯片第一张:课题引入图片（记作１．１．３A ） 正弦定理:R Cc B b A a 2sin sin sin ===； 余弦定理:a ２=b ２+c ２—２bcco s A ,b ２=c ２+a ２—２caco s B ,c ２=a ２+b ２—２abco s C ， bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+= ,abc b a C 2cos 222-+=.第二张:例３、例４（记作１．１．３B ）[例３]已知△ABC , BD 为角B 的平分线,求证：AB ∶BC ＝AD ∶DC .[例４]在△ABC 中,求证:a ２sin ２B +b ２sin ２A =２ab sin C .第三张:例５（记作１．１．３C ）[例５]在△ABC 中,bco s A =aco s B ,试判断三角形的形状.三维目标一、知识与技能１．掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；２．三角形各种形状的判定方法；３．三角形面积定理的应用．二、过程与方法 通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．教学过程导入新课师 前面两节课,我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容,并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面,我们先来回顾一下正、余弦定理的内容 （给出幻灯片１．１．３A ）.从幻灯片大体可以看出,正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系,运用定理可以进行边与角之间的转换,这一节,我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在判断三角形形状和证明三角恒等式时的应用. 推进新课思考：在△ABC 中，已知A =２２c m ，B =２５c m,A =１３３°，解三角形．（由学生阅读课本第9页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形．下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题．【例１】在△ABC 中，已知A ,B ,A ，讨论三角形解的情况.师 分析：先由a A b B sin sin =可进一步求出B ；则C =１80°—（A +B ）,从而A C a c sin sin =. 一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况．１．当A 为钝角或直角时，必须a ＞b 才能有且只有一解；否则无解．２．当A 为锐角时，如果a≥b，那么只有一解；如果a＜b，那么可以分下面三种情况来讨论：（１）若a＞b sin A，则有两解；（２）若a=b sin A，则只有一解；（３）若a＜b sin A，则无解．（以上解答过程详见课本第9到第１0页）师注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且b sin A＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．（１）A为直角或钝角（２）A为锐角【例２】在△ABC中，已知a =7,b=５,c =３，判断△ABC的类型．分析：由余弦定理可知a２=b２+c２⇔A是直角⇔△ABC是直角三角形，a２＞b２+c２⇔A是钝角⇔△ABC是钝角三角形，a２＜b２+c⇔A是锐角/△ABC是锐角三角形。
解三角形的进一步讨论教学设计
解三角形的进一步讨论——教学设计一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（5）》（人教A 版）第一章第一节第三课（1.1.3）《正、余弦定理及其应用》。
根据我所任教的学生的实际情况，我将《正、余弦定理及其应用》划分为三节课（正弦定理、余弦定理、解三角形的进一步讨论），这是第三节课“解三角形的进一步讨论”。
正余弦定理是解三角形的重要工具，是三角函数的重要应用，是在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以正余弦定理应重点研究。
二、学生学习况情分析解三角形是在学生系统学习了正余弦定理，基本掌握了正余弦定理的各种变型形式的基础上进行研究的，是学生对正余弦定理的第一次应用。
教材在之前的学习中给出了实际例子，已经让学生感受到正余弦定理的实际背景。
本节课先设计一个看似简单的问题，通过不同的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。
三、设计思想1. 正余弦定理在解三角形中占有很重要的位置。
如何突破这个即重要又抽象的内容，其实质就是将抽象的符号语言与直观的图象语言有机的结合起来，通过具有一定思考价值的问题，激发学生的求知欲望――持久的好奇心。
从实际实例出发，逐步体会不同情形下产生的不同结果，从看似杂乱的现象中发现规律、总结规律，形成直观、快速、准确的判断方法。
本节课，力图让学生从不同的角度去研究解三角形，对解三角形进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到一般规律，让学生去体会这种的研究方法,以便能将其迁移到其他现象的研究中去。
2.在本课的教学中我努力实践以下两点：（1）在课堂活动中通过恰当的游戏式引入，让学生快速进入情景，迅速进入节奏。
（2）在教学过程中努力做到知识节点环环相扣、逐步深入，注重生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。
（3）通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。
四、教学目标根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：知识与技能：正余弦定理在解三角形中的应用讨论； 过程与方法：讨论总结，讲练结合；情感态度与价值观：体会数学中多角度看问题的思维，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美；同时通过本节课的学习，使学生获得研究数学问题的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。
高中数学必修5公开课教案3 解三角形的进一步讨论
1.1.3解三角形的进一步讨论从容说课本节课中，应先通过分析典型例题，帮助学生理解并掌握正弦定理和余弦定理；应指出正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然．但解题的时候，应有最佳选择．教学过程中，我们应指导学生对利用正弦定理和余弦定理解斜三角形的问题进行归类，列表如下： 解斜三角形时可用的定理和公式适用类型备注余弦定理a 2=b 2+c 2-2bcco s Ab 2=a 2+c 2-2acco s B c 2=b 2+a 2-2bacos C （1）已知三边（2）已知两边及其夹角类型（1）（2）有解时只有一解正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin === （3）已知两角和一边 （4）已知两边及其中一边的对角类型（3）在有解时只有一解，类型（4）可有两解、一解或无解 三角形面积公式==A bc S sin 21=B ac sin 21C ab sin 21（5）已知两边及其夹角同时应指出，在解斜三角形问题时，经常要利用正弦、余弦定理实施边角转换，转化的主要途径有两条：（1）化边为角，然后通过三角变换找出角与角之间的关系，进而解决问题；（2）化角为边，将三角问题转化为代数问题加以解决．一般地，当已知三角形三边或三边数量关系时，常用余弦定理；若既有角的条件，又有边的条件，通常利用正弦定理或余弦定理，将边化为角的关系，利用三角函数公式求解较为简便．总之，关键在于灵活运用定理及公式．教学重点 1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；2.三角形各种形状的判定方法；3.三角形面积定理的应用．教学难点1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向 2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求； 3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用． 教具准备 投影仪、幻灯片第一张:课题引入图片(记作1．1． 正弦定理:R CcB b A a 2sin sin sin ===； 余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bcco s A ,b 2=c 2+a 2-2caco s B ,c 2=a 2+b 2-2abco sC ，bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+= ,abc b a C 2cos 222-+=第二张:例3、例4(记作1．1．B[例3]已知△ABC , BD 为角B 的平分线,求证: AB ∶BC ＝AD ∶DC [例4]在△ABC 中,求证:a 2sin2B +b 2sin2A =2ab sin C 第三张:例5(记作1．1．[例5]在△ABC 中,bco s A =aco s B ,试判断三角形的形状三维目标一、知识与技能1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；2.三角形各种形状的判定方法；3.三角形面积定理的应用． 二、过程与方法通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．教学过程导入新课师 前面两节课,我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容,并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面,我们先来回顾一下正、余弦定理的内容 (给出幻灯片1.1.3A ).从幻灯片大体可以看出,正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系,运用定理可以进行边与角之间的转换,这一节,我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在判断三角形形状和证明三角恒等式时的应用 推进新课思考：在△ABC 中，已知A =22c m ，B =25c m,A =133°，解三角形．（由学生阅读课本第9页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形．下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题． 【例1】在△ABC 中，已知A ,B ,A ，讨论三角形解的情况 师 分析：先由a A b B sin sin =可进一步求出B ；则C =180°-(A +B ),从而ACa c sin sin =一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况．1.当A 为钝角或直角时，必须a ＞b 才能有且只有一解；否则无解．2.当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a ＜b ，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若a ＞b sin A ，则有两解； （2）若a =b sin A ，则只有一解；（3）若a＜b sin A，则无解．（以上解答过程详见课本第9到第10页）师注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且b sin A＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．（1）A为直角或钝角（2）A为锐角【例2】在△ABC中，已知a =7,b=5,c =3，判断△ABC的类型．分析：由余弦定理可知a2=b2+c2⇔A是直角⇔△ABC是直角三角形，a2＞b2+c2⇔A是钝角⇔△ABC是钝角三角形，a2＜b2+c⇔A是锐角/△ABC是锐角三角形。
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x=1，即BC=2.
在ABC中,AC2 =AB2 +BC2 -2AB BCcosABC.
4 6 2 2 4 6 6 84 2 21 AC =( ) +2 -2 2 = . AC= 3 3 6 9 3 AC BC 6 30 = . 由cosB= , sinB= . sin B sin A A 6 6 30 2 D 70 6 sin A . 14 2 21 B C E 3
必须a>b,才能有且只有一解，否则无解。
C b a C b a
A
B
A
B
2.当A为锐角时， 如果a b,那么只有一解。
C b C a B2
a
A 如果a<b,那么可以分下面三种情况讨论： b
B
a B1
（1）若a>bsinA,则有两解。
A （2）若a=bsinA,则只有一解。 C b A a=bsinA B b
2 2 2
b c a （1）已知三边求三个角； cos A 2bc （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
a sin A sin B b
c a b 2ab cos C
2 2 2
注意：利用正弦定理求角时，应先求较短边的对角 （一定是锐角）可避免讨论。
探究：在ABC中，已知a,b,A,讨论三角形解的情况。 b sin A 分析：由sinB= ,可求出角B， a a sin C 则C=1800 ( A B), 从而c= 2 6 6 ( 5 ) =x +( ) -2x ( ). 3 3 6 2 即3x +4x 7 0.
2 2
A D E
7 x=1或x （舍） . 3
B
C
4 6 6 例2.在ABC中，已知：AB= ,cosB= ,AC边上的 3 6 中线BD= 5. 求sin A的值。
C
a<bsinA B
（3）若a<bsinA,则无解。 A
若A为锐角时:
无解 a b sin A a b sin A 一解直角 b sin A a b 二解一锐、一钝 ab 一解锐角
若A为直角或钝角时:
a b 无解 a b 一解锐角
a k sin A, b k sin B, c k sin C.(k 0)
a b c sin A ,sin B ,sin C R为外接圆半径 2R 2R 2R
b2 c2 a2 cos A 2bc
1.利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1.在ABC中，已知：B=45 ,D是BC边上一点，AD=5, AC=7,DC=3,求AB的长。 AC 2 DC 2 AD2 72 32 52 11 解：在ADC中，cosC= 2AC DC 273 14 5 3 0<C< ,sinC= . 14 5 3 7 AC sin C 5 6 14 在ABC中，AB= . sin B 2 2 A 2
关于解三角形 :
(1)三角形的六元素 : A, B, C , a, b, c(其中a, b, c分别为A, B, C的对边);
(2)解三角形 : 用三角形已知元素求未知 元素.
（1）正弦定理的表示形式：
a b c 2 RR为外接圆半径 sin A sin B sin C
a b c abc k sin A sin B sin C sin A sin B sin C
a k sin A, b k sin B, c k sin C.(k 0)
a b c sin A ,sin B ,sin C R为外接圆半径 2R 2R 2R
（2）余弦定理的表示形式：
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cosC
a sin B x sin 450 解： sinA= = 1 b 2
又三角形有两解,
a b,
x 2 2
x 2.
即 2 x 2 2.
1.利用正弦定理、余弦定理解三角形
2.利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状 3.利用正弦定理、余弦定理证明三角形中的恒等式 注意：正弦定理、余弦定理应用时边与角的互换
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三 角形时，只有当A为锐角且 b sin A a b 时，有两解； 其它情况时则只有一解或无解。
例1.在ABC中，已知a 80，b 100，A 45 ， 试判断此三角形解的情况。
0
b sin A 100sin 45 解： sinB= = 1 a 80 又a<b, B有两解。 三角形有两解。
0
B
D
C
4 6 6 例2.在ABC中，已知：AB= ,cosB= ,AC边上的 3 6 中线BD= 5. 求sin A的值。 1 解：取BC中点E, 连DE， 则DE AB且DE= AB. 2 2 6 DE= . 3 2 2 2 设BE=x,在BDE中,BD =BE +DE -2BE DEcosBED.
0
1 0 例2.在ABC中，a 1，c ，C 40 , 2 则符合题意的b的值有 __________ 个。 两个
a sinC 又a c, 解： sinA= =2sin400 1 c A有两解。 三角形有两解,b的值有两个。
例3.在ABC中，a xcm，b 2cm，B 450， 如果用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。
2 2 2
b2 c2 a2 cos A 2bc a2 c2 b2 cos B 2bc 2 2 2 a b c cos C 2ab
（3）正弦定理的应用范围：
b sin A ①已知两角和任一边，求其它两边及一角；a sin B
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。 （4）余弦定理的应用范围：