(东三省三校)哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2014年高三第二次联合考试数理试题

一、选择题

1．若{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{1,2,3}A =，{5,6,7}B =，则()()U U C A C B = A ．{4,8} B ．{2,4,6,8} C ．{1,3,5,7} D ．{1,2,3,5,6,7}

2

．已知复数12z =-

，则||z z += A

．12-

B

．12-+ C

．12+ D

．12 3．设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若()(2)P c P c ξξ>=<-,则c 的值是 A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4．已知p :x k ≥，q ：

3

11

x <+，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是 A ．［2，＋∞） B ．（2，＋∞） C ．［1，＋∞） D ．（一∞，－1]

5．已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且sin sin sin c b A

c a C B

-=

-+． 则B = A ．6π B ．4π C ．3π D ．4

3π

6．已知函数2

()ln(1)f x x =+的值域为{}0,1,2，则满足这样条件的函数的个数为

8．函数()2sin(2)4

h x x π

=+的图象与函数()f x 的图象关于点(0,1)对称，则函数()f x 可由()h x 经过

__________的变换得到

A ．向上平移2个单位，向右平移

4π个单位 B ．向上平移2个单位，向左平移4π

个单位 C ．向下平移2个单位，向右平移4π个单位 D ．向下平移2个单位，向左平移4

π

个单位

9．一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未击中9环或10环就以0环记．某运动员在练

习时击中10环的概率为a ，击中9环的概率为b ，既未击中9环也未击中10环的概率为(,,[0,1))c a b c ∈，如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为9环，则当错误！未找到引用源。取最小值时，c 的值为

A ．

111

B ．

211

C ．

5

11

D ． 0 10．已知某算法的流程图如图所示，输入的数x 和y 为自然数，若已知输出的有序数对为（13，14），则开始输入的有序数对（x ，y ）可能为

A ．（6，7）

B ．（7，6）

C ．（4，5）

D ．（5，4）

11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>的焦点12(,0)(,0)(0)F c F c c ->、，

过2F 的直线l 交双曲线于,A D 两点，交渐近线于,B C 两点．设

11

11,F B FC m F A F D n +=+= ，则下列各式成立的是 A ．||m n > B ．||m n < C ．||0m n -= D ．||0m n ->

12．已知方程

cos x k x

=在()0,+∞上有两个不同的解α、()βαβ<，则

下列的四个命题正确的是

A ．2sin 22cos ααα=

B ．2cos 22sin ααα=

C ． 2

sin 22sin βββ=- D ．2

cos22sin βββ=- 二、填空题

13．观察下列等式：3211=，3

3

2

3

3

3

2

3

3

3

3

2

123,1236,123410,,+=++=+++=⋅⋅⋅根据上述规律，第n 个等式为____________

14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为__________

15．在区间[]0,2错误！未找到引用源。和[]0,1错误！未找到引用源。分别取一个数，记为,x y 错误！未找

到引用源。，则2

2y x x ≤-+的概率为

16．P 为正方体1111ABCD A B C D -对角线1BD 上的一点，且1BP BD λ=（()0,1λ∈）

，下面结论：①11A D C P ⊥；②若1BD ⊥平面PAC ，则13λ=；③若PAC ∆为钝角三角形，则10,2λ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

；④若2(,1)3λ∈，

则PAC ∆为锐角三角形.其中正确的结论为 .(写出所有正确结论的序号)

三、解答题 17．（本小题满分12分）

4

4

3

3

5

5

正视图

侧视图

俯视图

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n a b 4log =，求数列21n n b b +⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

前n 项和n T .

18．（本小题满分12分）

某个团购网站为了更好的满足消费者，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分．上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按 照得分分成以下几组：第一组[0,2)，第二组[2,4)， 第三组[4,6)，第四组[6,8)，第五组[8,10]，

得到的频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）分别求第三，四，五组的频率；

（Ⅱ）该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的 方法抽取6个产品.

① 已知甲产品和乙产品均在第三组，求甲、乙同时被 选中的概率；

② 某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，设第4组中有X 个产品被购买，求X 的分布列和数学期望. 19．（本小题满分12分） 已知四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，AC BD O =

,1AA =，

1BD A A ⊥，︒=∠=∠601AC A BAD ，点M 是棱1AA 的中点．

（Ⅰ）求证：1//AC 平面BMD ；

（Ⅱ）求证：1

AO ⊥平面ABCD ； （Ⅲ）求直线BM 与平面1BC D 所成角的正弦值．

20．（本小题满分12分）

已知圆22

:(2)1M x y +-=，直线:1l y =-，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E ．

（Ⅰ）求E 的方程；

（Ⅱ）定点(4,2)A ，,B C 为E 上的两个动点，若直线AB 与直线AC 垂直，求证：直线BC 恒过定点． 21．（本小题满分12分） 已知2

()(0)1

ax b

f x a x +=

>+ （Ⅰ）求证：()f x 必有两个极值点，一个是极大值点，一个是极小值点；

（Ⅱ）设()f x 的极小值点为α，极大值点为β，()1f α=-，()1f β=，求,a b 的值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设()()x

g x f e =，若对于任意实数x ，2

2()2g x mx ≤

+恒成立，求实数m 的

取值范围．

22．选修4－1：几何证明选讲

已知PQ 与圆O 相切于点A ，直线PBC 交圆于

,B C 两点，D 是圆上一点，且//AB CD ，DC 的延

长线交PQ 于点Q ，

（Ⅰ）求证：2AC CQ AB =⋅；

（Ⅱ）若2AQ AP =，AB

=

2BP =，求QD ．

23．选修4—4，参数方程

在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知曲线1C 的极坐标方程为

222

1sin ρθ=

+，直线l

的极坐标方程为ρ=， （Ⅰ）写出曲线1C 与直线l 的直角坐标方程；

（Ⅱ）设Q 为曲线1C 上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值．. 选修4—5，不等式

24．已知,,a b c R ∈,2221a b c ++=．

（Ⅰ）求证：a b c ++≤