《线性规划》PPT课件

二、数学模型
1.决策变量： X = (x1,x2,…..,xn)T 2.目标函数：max(minz) = c1 x1 + c2 x2 + ……. + cnxn
3.约束条件： a11x1 + a12 x2 +……..+ a1n xn ≤(=≥) b1 a21x1 + a22 x2 +……..+ a2n xn ≤(=≥) b2 ………………………………………… am1x1 + am2 x2 +……..+ amn xn ≤(=≥) bm x1,x2,……xn≥0
OPERATIONS RESEARCH 运筹学
——怎样把事情做到最好
绪论
Operations 汉语翻译 工作、操作、行动、手术、运算 Operations Research 日本——运用学 港台——作业研究 中国大陆——运筹学 Operational Research原来名称，意为军事行动研
究——历史渊源
所以此运输问题的线性规划的模型如下：
目标函数：
minf=6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x2 约束条件：
x11 + x12 + x13 = 200， x21 + x22 + x23 = 300， x11 + x21 = 150， x12 + x22 = 150， x13 + x23 = 200. xij≥0. (i = 1，2；j = 1，2，3)
运筹学的历史 军事运筹学阶段 德军空袭 防空系统 Blackett 运输船编队 空袭逃避 深水炸弹 轰炸机编队
运筹学在中国：50年代中期引入 华罗庚推广 优选法、统筹法 中国邮递员问题、运输问题
学科性质
▪应用学科 ▪Morse&Kimball定义：运筹学是为决策机构在 对其控制的业务活动进行决策时提供的数量化 为基础的科学方法。 ▪Churchman定义：运筹学是应用科学的方法、 技术和工具，来处理一个系统运行中的问题， 使系统控制得到最优的解决方法。
线性规划 （Linear Programming，简称LP）
线性规划的发展
1939年，前苏联数学家康托洛维奇用线性模型研究提高组织和生产效 率问题
1947年，Dantzig提出求解线性规划的单纯形法 1950-1956年，主要研究线性规划的对偶理论 1958年，发表整数规划的割平面法 1960年，Dantzig和Wolfe研究成功分解算法，奠定了大规模线性规划 问题理论和算法的基础。 1979年，Khachiyan，1984年，Karmarkaa研究成功线性规划的多项 式算法。
-x25-x45+x56+x57=0
-x36-x56+x67=0 -x47-x57-x67=-1（到达 7 的汽车为一辆） Xij=0,或1, i,j=1,2,…7.
(四)、选址问题
例、某公司拟定在东、西、南三区建立 门市部，拟议中有7个地址A1，A2，…,A7可 供选择，并规定：
在东区，A1，A2，A3中至多选两个； 在西区，A4，A5中至少选一个； 在南区，A6，A7中至少选一个； 若选Ai,投资bi元，每年可获利估计为ci元,
a2n
amn
aij
mn
系数矩阵
x1
X
x2
xn
决策变量
C c1 c2 cn 价值系数
b1
b
b2
bn
常数项
线性规划数学模型的建立
一、建模条件
1 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且能够用极值
（max 或 min）来表示； 2 限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够用决策变量的
例1. 某公司从两个产地A1,A2将物品运往 三个销地B1，B2，B3,各产地的产量、各销 地的销量和各产地运往各销地的每件物品 的运费如下表所示：
运
销
输 单
地
B1
B2
B3 产量（件）
产
价 地
A1
6
46200源自A2655
300
销量
150 150 200
问应如何调运，使得总运输费最小？
解：我们知道A1、A2两个产地的总产量为： 200 + 300 = 500（件）；B1，B2，B3三个销地 的总销量为：150+150+200=500（件）,总产量
线性规划的图解
max z=x1+3x2 s.t. x1+ x2≤6
-x1+2x2≤8 x1 ≥0, x2≥0
x2 6
4
最优解 可行域
-8
0
目标函数等值线
6 x1
(一)、运输问题
一般的运输问题就是要解决把某种产 品从若干个产地调运到若干个销地，在每 个产地的供应量与每个销地的需求量已知， 并知道各地之间的运输单价的前提下，如 何确定一个使得总的运输费用最小的方案。
其它形式
② 矩阵形式
① 求和形式
n
max(min)z c j x j j 1
其中：
max(min) z CX AX b
n
aijx j bi (i 1,2, , m)
j 1
X 0
x j 0( j 1,2, , n)
其中：
a11 a12
A
a21 am1
a22 am2
a1n
ui 0,vi 0,
a,b为自由变量
模型中，xi,yi已知，ui,vi, a, b为决策变量。 原问题化为含（2n+2)个决策变量，n个约 束方程的一极小化问题。
例3、合理下料问题
设 xj 分别代表采用切割方案1~8的套数，
方案
2.9m
2.1m
1.5m
合计
1
2
0
1
7.3
2
1
2
0
7.1
3
1
1
1
6.5
4
1
0
3
7.4
5
0
3
0
6.3
6
0
2
2
7.2
余料
0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2
若目标函数为使购裁买剪的后 钢零筋料最少,则有
min f (x) x01.1x1x2 0.x33x2x40.9x35 0x6x4 1.1x5 0.2x6
总投资不超过b元.问如何选择门市部的地址
公司的年利润最大.
解 设
1，选择Ai,
xi= 0，否则
则得0-1规划模型：
7
max z cixi i 1 7
s.t. bixi b, i 1
x1 x 2 x3 2,
x 4 x5 1,
x6 x7 1,
xi 0或1,
i 1,2, ,7
2x11 x22 x33 x44 100
s.t.
2
x22 x11
x33 x33
3x55 3x44
2 2
x66 x66
100 100
x11, x22, x33, x44, x55, x66 0
则最有优最解优为解: x为4 : 1x01 0,1x06,x250,5O0B,Jx41030,OBJ 16
线性规划研究的主要问题
一类是已有一定数量的资源（人力、物质、时间等），研究如 何充分合理地使用它们，才能使完成的任务量为最大。
另一类是当一项任务确定以后，研究如何统筹安排，才能使完成 任务所耗费的资源量为最少。
—— 实际上，上述两类问题是一个问题的两个不同的方面，都是求问 题的最优解（ max 或 min ）。
▪中国定义：运筹学是应用分析、试验、量化的 方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等 资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最 优方案，以实现最有效的管理。
运筹学的工作步骤
确定问题 搜集数据建立模型 检验模型 求解模型 结果分析 结果实施
运筹学与计算机
计算机为运筹学提供解题工具。
要学会解题的思路与方法，建立模型很重 要。
(i 1.2. .n)
j 1
n
xij 1
( j 1.2. .n)
i 1 xij
0或1(i,
j
1.2.
.n)
(三)、网络问题
一个网络包括一些结点（用圆圈表示），
每个结点由几条弧（用箭头表示）与其它 结点相连，如图：
2
15
4
20
1
12
8
9
5
10
7
14
10
8
12
3 13
6
最短路问题
a
bxi
i 1
最小的 a,b。由于函数中带有绝对值，不便用
数学分析方法来处理，但用线性规划方法来处 理就变得较容易。令
yi a bxi ui vi, yi a bxi ui vi
则得线性规划模型
min
z
n
ui
vi
i 1
s.t.a bxi ui vi yi, i 1,2, n.
x1 + 2x2 + x3 + x4 ≥160
2x1
+4 x3 +2 x4 ＝200
3x1 ＋x2 +x3 +2 x4 ≤180
x1、x2 、x3 、x4≥0
例3、合理下料问题
某车间接到制作 100 付钢架的定单，每付钢架要用长为 2.9m, 2.7m,1.5m 的圆钢 各一根，已知原料长 7.4m。问如何下料，可使所用原料最省。
平行移动，找与可行域最后相交的点，该点就是最优解。 4 将最优解代入目标函数，求出最优值。