分数巧算之裂项法20681汇编
六年级分数巧算裂项拆分
1 , 11、1(丄丄
2(1315
1
13)
1
用裂项法求
9 111113
型分数求和:
n（n k）
n n k n(n k) n(n k) n(n k)
13
分析：型（n,k均为自然数）
n（n k）
k
所以一-
n(n k) n n k
【例3】
的和
97 99
98
99
(四)
1
3)(35
1 1
)(5
1
7)
1 1
1
99
用裂项法求型分数求和:
n（n k）Leabharlann n 2k）分析:2k
n(n k)(n 2k)
【例4】
计算：
4
4
4
4
1
3
5
3 5 7
93 95
97
95
97
99
(13
15)
(315
517)…(
1
1
)(1 1)
3
93
95
95
9/V95 9797 99,
1
1
（n,k均为自然数）
1 3 97 99
3200
思维训练分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问 题、牛顿问题、数字的巧算问题。
分数裂项求和方法总结
（一）用裂项法求
1一型分数求和分析：因为
n(n1)
1n(n1)
n(n 1)
（n为自然数）所以有裂项公式:
n（n1）
【例1】
求丄
10 11
11 12
1的和。
59 60
重点小学奥数裂项公式汇总
2.求和：
证：
3.求和：
证：
4.求和：
证：5.求和：证：为 ，特殊数列求和公式
平方差公式
完全平方和（/差）公式
裂项运算常用公式
一、分数“裂差”型运算
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a＜b，那么有:
????
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即有：
二、分数“裂和”型运算
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1） ???
???
（2）
???
???
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”
分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。裂和：抵消，或凑整
三、整数裂项基本公式
(1)?
????
(2)
(3)
(4)
(5)
裂项求和部分基本公式
1.求和：
(完整word版)六年级奥数分数裂项
分数裂项计算教课目的本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，能够分为察看、改造、运用公式等过程。
好多时候裂项的方式不易找到，需要进行适合的变形，或许先进行一部分运算，使其变得更为简单了然。
本讲是整个奥数知识系统中的一个精髓部分， 列项与通项概括是密不行分的，因此先找通项是裂项的前提，是能力的表现，对学生要求较高。
知识点拨分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这类拆项计算称为裂项法. 裂项分为分数裂项和整数裂项，常有的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
碰到裂项的计算题时，要认真的 察看每项的分子和分母，找出每项分子分母之间拥有的同样的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂 的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话， 找到相邻两项的相像部分，让它们消去才是最根本的。
(1) 关于分母能够写作两个因数乘积的分数，即 1 形式的， 这里我们把较小的数写在前方， 即 a b ，a b那么有1 1 1 1a b b a ()a b(2) 关于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：1，1形式的，我们有：n ( n1) (n2)( n 1)( n 2)( n n 3)n ( n 1(n 2)1 [ 1 1) (n1 ] 1)2 n (n 1)(n 2) 11 [ 1 1n ( n 1) (n2) (n3) 3 (n 1) (n ]n 2) (n 1) (n 2) (n 3)裂差型裂项的三大重点特点：（ 1）分子所有同样，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为随意自然数 ) 的，可是只需将 x提拿出来即可转变为分子都是1 的运算。
（ 2）分母上均为几个自然数的乘积形式，而且知足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接”（ 3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：（ 1）a 2 2 2 2b ab1 1 （ 2）a ba bab a b a b a b b a a b a b a b b a裂和型运算与裂差型运算的比：裂差型运算的中心是“两两抵消达到化的目的” ，裂和型运算的目不有“两两抵消”型的，同有化“分数凑整”型的，以达到化目的。
分数裂项公式
分数裂项公式分数裂项公式是初中数学中经常出现的一个重要的知识点。
这个公式可以帮助我们快速地计算分式，处理复杂的代数式，甚至在高中数学中也会用到。
接下来，我们就来一起详细探究一下分数裂项公式。
首先，让我们来看一下分数裂项公式的定义。
分数裂项公式（也称分式分解式子）是指将一个分数拆成两个或多个分数的和（或差）的形式。
也就是说，我们可以将一个分数进行扩展，变成更多个分数的和（或差）的形式，这个过程就叫做分数的裂项。
那么，为什么需要分数裂项呢？分数裂项可以帮助我们处理一些复杂的代数式，在解析几何、三角函数等高中数学的学习中，也会涉及到分式的拆分和简化。
所以，掌握分数裂项公式，对于我们的数学学习和运用都是有很大的帮助的。
接下来，我们来看一下如何使用分数裂项公式。
假设有一个分数$\frac{a}{b}$，我们要将它分裂成两个分数的和或差。
我们可以先找到两个数$p$和$q$，满足$p+q=1$，然后就可以将分母$b$分拆成$p$和$q$两部分，即$b=pb+qb$。
接下来，我们就可以对分子$a$按照$pb$和$qb$来分别乘一些因式，如$a=ap+a(1-p)$，然后进行合并整理得到分数的裂项形式。
例如，假设我们要将$\frac{2}{3x+9}$进行分裂成两个分数的和，那么我们可以取$p=\frac{1}{3}$，$q=\frac{2}{3}$，则有：$\frac{2}{3x+9}=\frac{2}{3(\frac{1}{3}x+3)+3(\frac{2}{3}x+6)}$然后，我们可以对分子$2$按照$\frac{1}{3}x+3$和$\frac{2}{3}x+6$来分别乘上一些因式，得到：$\frac{2}{3x+9}=\frac{\frac{2}{3}(\frac{1}{3}x+3)-\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}x+3}+\frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}x+ 6}$最后，我们对分数进行化简，即可得到分裂后的两个分数之和：$\frac{2}{3x+9}=\frac{x-3}{9(x+3)}+\frac{2}{3(x+3)}$通过以上的例子，我们可以看到分数裂项公式的用处，不仅可以将分式进行拆解，还能将其进行化简，让计算更方便快捷。
分数巧算之裂项法
【举一反三】计算：
(1) 3 3 3 3 3 6 12 20 30 42
(2) 7 7 7 7 7 42 56 72 90 110
仔细观察这些分数的分母就会发现每个分母都可以 写成两个相邻数的乘积的形式： 6＝2×3 , 12＝3×4 , 20＝4×5 ，…，2450＝49×50。
原来可以 这样拆分啊
这样，上面算式中分数的分母也可以写成相邻两个自
然数乘积的形式。Biblioteka 1 1 1 ...... 1
6 12 20
2450
1 1 1 ....... 1
分数裂项巧求和
学习中这样一个有趣的现象： 如果分数的分子是自然数1，分母是相邻两个自然数
的乘积，那么这个分数可以写成两个分数差的形式。写 成的两个分数的分子是自然数1，分母分别是相邻的 两个自然数。（这种方法称为“裂项法” ）
如：
1 1 1 1 2 1 2
1 1 1; 23 2 3
1 11 3 4 3 4
1 ...... （去掉括号）
223344
48 49 49 50
1 1 50
（ 中 间 的 数 都是相 同的分 数一减 一加的 形式， 结果为 0）
49 50
小结： 通过以上的介绍可以看到在分数计
算中，有的计算如果运用通分等思想， 由于题目过于复杂，不容易计算，而使 用裂项法就使解题变得十分的简单。
【举一反三】 计算：
(1) 1 1 1 ...... 1 1
1 2 2 3 3 4
1819 19 20
(2) 1 1 1 ......
1
1
1112 1213 1314
2008 2009 2009 2010
这道题目与例1相 比有什么不同？
分数计算技巧之裂项法
分数计算技巧之裂项法裂项法是一种常用的分数计算技巧，可以帮助我们快速而准确地计算复杂的分数。
当分数的分子或者分母都是多项式时，我们可以使用裂项法将分数分解为多个简单的分数，从而更容易计算。
裂项法的核心思想是分解多项式，通过对多项式进行因式分解，将分数分解为多个部分，每个部分都是简单的分数。
这样一来，我们就可以分别计算每个简单分数，最后再将它们合并在一起得到最终的结果。
下面以一个具体的例子来说明裂项法的具体步骤和运用。
假设我们需要计算以下分数的值：\[ \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^3 + 4x^2 + 5x + 2} \]首先，我们需要对分子和分母进行因式分解，将它们分解为最简单的形式。
在这个例子中，我们可以将分子分解为(3x-1)(x+1)，将分母分解为(x+1)(x+2)(x+1)。
现在，我们可以将原始的分数分解为三个简单的分数：\[ \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^3 + 4x^2 + 5x + 2} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x + 2} \]其中，A、B、C是待定系数，我们需要通过运算求得它们的值。
将等式两边通分，得到：\[3x^2+2x-1=A(x+2)(x+1)+B(x+1)(x+1)+C(x+1)(x+2)\]将上式两边进行展开，我们可以得到一个带有未知系数A、B和C的多项式。
然后，我们可以通过对多项式比较同类项的系数，来求得A、B 和C的值。
比较x的平方项的系数，我们可以得到：\[3=A+B+C\]比较x的一次项的系数，我们可以得到：\[2=A+2B+C\]比较常数项的系数\[-1=2A+B+2C\]现在，我们得到了一个三元一次方程组，我们可以通过求解这个方程组来得到A、B和C的值。
解方程组后，我们假设得到A的值为1，B的值为1，C的值为1、将这些值带回到原始的分数中，我们可以得到最终的结果：\[ \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^3 + 4x^2 + 5x + 2} = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 2} \]通过裂项法，我们成功地将原始的分数分解为多个简单的分数，从而更容易计算。
(完整版)六年级奥数-分数裂项
分数裂项计算授课目的本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行合适的变形，也许先进行一部分运算，使其变得更加简单了然。
本讲是整个奥数知识系统中的一个精华部分， 列项与通项归纳是密不可以分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的表现，对学生要求较高。
知识点拨分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法. 裂项分为分数裂项和整数裂项，常有的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的 观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间拥有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂 的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话， 找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1 形式的， 这里我们把较小的数写在前面， 即 a b ，a b那么有1 1 1 1a b b a ()a b(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：1，1形式的，我们有：n ( n1) (n2)( n 1)( n 2)( n n 3)n ( n 1(n 2)1 [ 1 1) (n1 ] 1)2 n (n 1)(n 2) 11 [ 1 1n ( n 1) (n2) (n3) 3 (n 1) (n ]n 2) (n 1) (n 2) (n 3)裂差型裂项的三大要点特色：（ 1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数 ) 的，但是只要将 x提取出来即可转变成分子都是1 的运算。
（ 2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接”（ 3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：（ 1）a 2 2 2 2b ab1 1 （ 2）a ba bab a b a b a b b a a b a b a b b a裂和型运算与裂差型运算的比：裂差型运算的核心是“两两抵消达到化的目的” ，裂和型运算的目不有“两两抵消”型的，同有化“分数凑整”型的，以达到化目的。
分数巧算之裂项法
例3、计算
33333 20 30 42 56 72
分析与解：这道题目和前面的例题非常相似，我们可结合前 面知识，将原式中的分数进行拆分，如：
3 3 1 ; 3 3 1 ; 3 3 1 ....... 20 20 30 30 42 42
将拆分后的数代入到原式中，题目就变成了前面已学的类型：
3 3 3 3 3 20 30 42 56 72 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
仔细观察这些分数的分母就会发现每个分母都可以 写成两个相邻数的乘积的形式： 6＝2×3 , 12＝3×4 , 20＝4×5 ，…，2450＝49×50。
原来可以 这样拆分啊
这样，上面算式中分数的分母也可以写成相邻两个自
然数乘积的形式。
1 1 1 ...... 1
6 12 20
2450
1 1 1 ....... 1
【举一反三】计算：
(1) 3 3 3 3 3 6 12 20 30 42
(2) 7 7 7 7 7 42 56 72 90 110
5 5 6
25 6
【举一反三】计算： (1) 8 8 8 8 8
23 24 24 25 25 26 26 27 27 28
(2) 2 2 2 2 2 3 4 45 56 67 78
例3、计算
1 1 1 ...... 1
6 12 20
2450
分析与解：上面这道题中的每个分数的分子都是1，但分母 并不是两个相邻自然数的乘积，该怎么办呢？按照常规做法， 我们应该先通分，再求和。
分数裂项巧求和
学习中这样一个有趣的现象： 如果分数的分子是自然数1，分母是相邻两个自然数
的乘积，那么这个分数可以写成两个分数差的形式。写 成的两个分数的分子是自然数1，分母分别是相邻的 两个自然数。（这种方法称为“裂项法” ）
小学奥数教程：分数裂项计算 全国通用(含答案)
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：知识点拨教学目标分数裂项计算（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
分数巧算之裂项法
【举一反三】 计算：
3 3 3 3 3 (1) 6 12 20 30 42
7 7 7 7 7 (2) 42 56 72 90 110
1 1 1 1 ....... 2 3 3 4 4 5 49 50 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ....... 2 3 3 4 4 5 5 49 50 1 1 2 50 24 12 50 25
【举一反三】 计算：
1 1 1 通过拆分，我们将例2转化成了 n(n 1) n n 1
的形式，因此
1 1 1 1 1 原式 5 ( ) 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 5 5 6 25 6
【举一反三】计算：
8 8 8 8 8 (1) 23 24 24 25 25 26 26 27 27 28
3 (
1 1 1 1 1 ) 20 30 42 56 72
分母写成两个 相邻的数的乘积
1 1 1 1 1 3 ( ) 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ( ) 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 1 1 3 ( ) 4 9 5 5 3 36 12
1 1 1 将每一个分数分裂成两分数的差，即 n(n 1) n n 1
1 1 1 1 1 ...... 1 2 2 3 3 4 48 49 49 50
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ...... ( ) ( ) 1 2 2 3 3 4 48 49 49 50
分数裂项公式大全
分数裂项公式大全
分数裂项公式是指将一个分数写成两个或多个分数之和的表达式。
以下是常见的分数裂项公式大全：
1. 一个分数的裂项公式：如果a、b、c均为整数且c ≠ 0，则有：
a/b = (a \cdot c + b \cdot c)/(b \cdot c)
这个公式可以将一个分数拆分为两个分数之和。
2. 分数的倒数裂项公式：如果a、b、c均为整数且b ≠ 0，则有：
1/(a/b) = b/a
这个公式可以将一个分数的倒数拆分为等值的另一个分数。
3. 分数的和的裂项公式：如果a、b、c、d、e、f均为整数且b、
d、f ≠ 0，则有：
(a/b) + (c/d) = (ad + bc)/(bd)
这个公式可以将两个分数的和拆分为一个分数。
4. 分数的差的裂项公式：如果a、b、c、d、e、f均为整数且b、
d、f ≠ 0，则有：
(a/b) - (c/d) = (ad - bc)/(bd)
这个公式可以将两个分数的差拆分为一个分数。
5. 分数的积的裂项公式：如果a、b、c、d、e、f均为整数且b、
d、f ≠ 0，则有：
(a/b) \cdot (c/d) = (ac)/(bd)
这个公式可以将两个分数的积拆分为一个分数。
6. 分数的商的裂项公式：如果a、b、c、d、e、f均为整数且b、
d、f ≠ 0，则有：
(a/b) ÷ (c/d) = (ad)/(bc)
这个公式可以将两个分数的商拆分为一个分数。
这些是常见的分数裂项公式，可以帮助你在计算和简化分数的过程中进行分数的拆分和合并。
分数裂项法总结
1
1 n 1
n n 1
分数裂项的减法形式举例如下:
通分与拆分互逆：
Q 11 3 2 1 2 3 23 23 6
1＝ 3 2 ＝1 1 6 23 23 2 3
两个相邻数裂项解析
1 1 23 6
1 1 1 23 6
1 1 78 56
11 1 7 8 56
111111 344556677889
1111111 2 6 12 20 30 42 56
1＋ 1＋ 1＋ L＋ 1 1 2 2 33 4 2 0 1 0 2 0 1 1
一 .分 母 是 两 个 相 邻 数 裂 项 法 总 结 ：
把每个分数拆成两个分数单位的差，
11 1 7 8 56
注意：分数的分母必
须是相邻的自然数;分
1 1
子必须是1
5 7 35
11 2 5 7 35
11 1 5 6 30
3 3
11 1 5 7 57
11 3 5 6 56
总结： 1 1 1 n(n1) n n1
5 6 30
求 1和 1 ： 11111 1 22 33 44 55 66 77 8
解 1 ： （ 1 1 ) 1 原 （ 1 1 ) 式 1 （ 1 1 ) 1 （ 1 1 ) 21 323 5 211 1 2 3 11 35
1 （ 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 2 335 11 13 13 15
一 .分 母 是 两 个 相 邻 数 裂 项 法 总 结 ：
把每个分数拆成两个分数单位的差，
消 去 中 间 留 下 两 边 .即 ：
1 1 2
小学奥数裂项公式汇总
裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即ba ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a a b b a --=⨯(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a bb a ab a ba 11+=⨯+⨯=⨯+? ? ?（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或 凑整三、整数裂项基本公式(1)?)1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n n n n n +=+2)1((4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n(5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 13)1311(31+=+-=n n n4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n )2111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， ])2)(1(121[21])2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=∴n n n n n n S n特殊数列求和公式2)1(321+=++n n n 212311321n n n n =++++-++-++++ ）（）（2127531n n =-++++）（6)12)(1(21222++=+++n n n n 3)14(3)12)(12(1253122222-⨯=-+=-++++n n n n n n ）（ ()()412121222333+=++=+++n n n n平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。
小学奥数裂项公式汇总
裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a a b b a --=⨯(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a bb a ab a ba 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或 凑整三、整数裂项基本公式(1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n n n n n +=+2)1((4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n(5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n Λ2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n Λ证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n Λ3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n Λ证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n Λ 13)1311(31+=+-=n n n4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n Λ 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n Λ )2111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n Λ 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， ])2)(1(121[21])2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=∴n n n n n n S n Λ特殊数列求和公式2)1(321+=++n n n Λ 212311321n n n n =++++-++-++++ΛΛ）（）（2127531n n =-++++）（Λ6)12)(1(21222++=+++n n n n Λ 3)14(3)12)(12(1253122222-⨯=-+=-++++n n n n n n ）（Λ ()()412121222333+=++=+++n n n n ΛΛ平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。
分数计算中的特殊方法 裂项
作业 5 【详解】设甲种盐水浓度为 x ，乙种盐水浓度为 3x 。列方程：
2000 26% 600x 200 3x 1 ，乙种盐水的浓度为 10% 。 100% 20% ，解得 x 2000 600 200 30
第三讲 逻辑综合
作业 1 【详解】如果说话的人讲的是真话，那他会是特威德勒哥哥，应持有一张黑牌，但他是决 不可能既讲真话而又持黑牌的.因此，他必然在说假话，而这意味着他持有的必 然是张黑牌.由于他讲的是假话，所以他决不会是持黑牌的特威德勒哥哥，而一 定是持有黑牌的特威德勒弟弟。
1 1 1 1 2 3 3 4 1 1 2 10 2 5
1 1 9 10
作业 4 【详解】原式
2 2 1 2 2 1 3 3 2 1 10 10
1 1 1 2 10 11 2 3 3 4 1 1 1 1 1 1 2 10 11 2 3 3 4 1 1 2 2 11 9 11
10 （5V人－V人） =8 分钟 5V人
作业 5 【详解】物品漂流的速度（即水速）与甲船顺水的速度差： 1
4 15 （千米／时） 60 所以甲、乙的静水船速为 15 千米／时，乙船与物品的速度和为 15 千米／时，相遇时
间为： 45÷15=3（小时）
第七讲 递推与归纳计数
作业 1 【详解】从第 4 个数开始，每个数都等于前面 3 个数之和。应填 24。
作业 5 【详解】原式 1
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
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331;331;331....... 20 20 30 30 42 42
33333 20 30 42 56 72 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
2030425672
3(11111) 2030425672
1 1 1 ; 1 1 1 ;...... 34 3 4 45 4 5
自主尝试
（1）
111 .. ...1 . 1
1 22 33 4
4 8 49 4 9 50
111 .. ...1 . 1
1 22 33 4
4 8 49 4 9 50
( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) .. .(1 . .1 .) (1 1 ) 122334 44 89 45 90
2 6 1220
90
(2 ) 11111 2030425672
归纳提炼
1.如果每个分数的分母都是两个相邻自
然数相乘且分子是1时，就可以把每个
分数拆成两个分数单位的差，
即：
，消除中间留下两边。
2.如果分不为1且相同时，可以把相同
的分子提出来，使分子变为1。
拓展练习
33333 20 30 42 56 72
敬请指导！
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空白演示
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如果分数的分子是自然数1，分母是相邻两个自然数 的乘积，那么这个分数可以写成两个分数差的形式。写 成的两个分数的分子是自然数1，分母分别是相邻的 两个自然数。
探究二
111 .... .. 1
6 12 20
2450
思考分析：上面这道题中的每个分数的分子都是1，但分母 并不是两个相邻自然数的乘积，该怎么办呢？按照常规做法， 我们应该先通分，再求和。
仔细观察这些分数的分母就会发现每个分母都可以 写成两个相邻数的乘积的形式： 6＝2×3 , 12＝3×4 , 20＝4×5 ，…，2450＝49×50。
1 1 1 1 1 1 1 .. .1 . .1 . 1 ） 1 223344 48 49 49 50
1 1 50
49 50
探究一
55555 12 23 34 45 56
我的发现
消中间
留两边
我们可以这样想：
5 5 1 ; 5 5 1 ; 5 5 1 ; 12 12 23 23 34 34
【举一反三】 计算：
(1 1) 11 .. ..1 ..1 1 22 33 4 1 1 89 1 9 20
( 2 ) 111 .. ...1 . 1 1 1 11 2 1 21 3 1 34 20 20 0 2 8 0 0 2 9 0 0
【举一反三】计算：
(1)33333 6 12 2030 42
(2) 7777 7 42567290110
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
原来可以 这样拆分啊
111 .... .. 1
6 12 20
2450
1 1 1 ....... 1
23 34 45
49 50
1 1 1 1 1 1 1 ....... 1 1
2334455
49 50
1 1 2 50
24 12 50 25
【举一反三】 计算：
( 1 )1111... ..1 .
5 5 1 ; 5 5 1 45 45 56 56
5( 1 1 1 1 1 ) 12 23 34 45 56
5 5 6
25 6
【举一反三】 计算： (1) 8 8 8 8 8
2324 2425 2526 2627 2728
(2) 2 2 2 2 2 34 45 56 67 78
3 (11111) 分母写成两个 4 55 66 77 88 9 相邻的数的乘积
3 (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 4556677889
3(1 1) 49
3 5 5 36 12
体会质疑
谈谈你对这节课的看法，从内容 和我们的学习方式上说说你的感 受。
分数巧算之裂项法20681
1
•=
6
1
×
1
1= 12
1
×
1
1
=
20
1
×
1
1 • 30 =
1
×
1
1
1
1
1
1
1
42 = × 56 = ×
•
1
=
6
1
-
1
1 12
=
1
-
1
1
1
1
Hale Waihona Puke 20 = - •1=
30
1
-
1
1
42 =
1
-
1
1=
56
1
-
1
我的发现
1 11; 1 1 1; 1 2 1 2 23 2 3