Chapter5一维单元(不含拉格朗日)
《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》范文
《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》篇一一、引言Sine-Gordon方程是一种重要的非线性偏微分方程，在物理学的多个领域中有着广泛的应用，如孤立子理论、场论和统计力学等。
由于该方程具有丰富的动力学行为和复杂的解结构，因此对其数值解法的研究具有重要意义。
本文将介绍一种高阶紧致有限体积方法，用于求解一维Sine-Gordon方程。
二、Sine-Gordon方程及其性质Sine-Gordon方程是一种非线性偏微分方程，其形式为：U_t = sin(U) + U_xx其中，U是因变量，t是时间变量，xx表示对空间的二阶导数。
该方程具有孤立子解、周期解等多种解形式，且在物理系统中表现出丰富的动力学行为。
三、高阶紧致有限体积方法高阶紧致有限体积方法是一种基于有限体积思想的数值方法，通过将计算区域划分为一系列控制体积，并对每个控制体积应用守恒律，得到一组离散化的方程组。
该方法具有高精度、稳定性好、易于实现等优点。
在本研究中，我们将高阶紧致有限体积方法应用于一维Sine-Gordon方程的求解。
具体而言，我们将计算区域划分为一系列等距的网格，每个网格点作为一个控制体积的中心。
在每个控制体积上，我们对Sine-Gordon方程进行积分，并利用高阶紧致格式对空间导数进行离散化。
通过这种方法，我们可以得到一组离散化的方程组，用于求解Sine-Gordon方程的数值解。
四、数值实验与结果分析我们通过一系列数值实验来验证高阶紧致有限体积方法求解一维Sine-Gordon方程的有效性。
首先，我们设置了一组典型的初始条件，并利用该方法对Sine-Gordon方程进行求解。
通过对比不同时间步长下的数值解与精确解，我们发现该方法具有较高的精度和稳定性。
此外，我们还分析了该方法在不同网格尺寸下的数值误差，结果表明该方法在较粗的网格下仍能保持较高的精度。
为了进一步验证该方法的有效性，我们还对Sine-Gordon方程的孤立子解进行了数值模拟。
《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》范文
《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》篇一一、引言一维Sine-Gordon方程是一种重要的非线性偏微分方程，在物理、工程和数学等多个领域有着广泛的应用。
近年来，随着计算科学的发展，高阶数值方法在求解这类方程时显得尤为重要。
本文将介绍一种高阶紧致有限体积方法（High-Order Compact Finite Volume Method，HOCFVM）来求解一维Sine-Gordon方程，以期提高计算精度和效率。
二、Sine-Gordon方程及其性质Sine-Gordon方程是一种非线性偏微分方程，具有丰富的物理背景和数学性质。
在物理中，它常用于描述孤立子、非线性波等现象。
该方程的一般形式为：U_t = sin(U)_x其中，U是因变量，t和x分别是时间和空间坐标。
该方程具有非线性和周期性等特点，使得其求解过程具有一定的挑战性。
三、高阶紧致有限体积方法为了求解一维Sine-Gordon方程，本文采用高阶紧致有限体积方法。
该方法通过将计算区域划分为有限个体积单元，然后在每个体积单元上应用有限体积原理进行离散化和求解。
通过选择适当的离散格式和紧致算子，可以在保证计算精度的同时，降低数值耗散和数值色散，提高计算效率。
四、HOCFVM方法的具体实现1. 离散化：将一维计算区域划分为N个等距的体积单元，每个体积单元的长度为Δx。
在每个体积单元上，因变量U的离散化值表示为U_i，其中i表示体积单元的编号。
2. 紧致算子的选择：选择适当的紧致算子来逼近空间导数和时间导数。
常用的紧致算子包括二阶、四阶等高阶差分算子。
在本方法中，我们选择四阶紧致算子来提高计算精度。
3. 离散方程的建立：根据有限体积原理，在每个体积单元上建立离散化方程。
通过将Sine-Gordon方程在时间和空间上进行离散化，得到一系列关于U_i的离散方程。
4. 求解离散方程：采用适当的数值方法（如迭代法、追赶法等）来求解离散方程，得到因变量U的数值解。
Evans PDE Solution Chapter 5 Sobolev
=
u u . 1−t C 0,β
t C 0,1
Remark 0.1. There is a general convexity theorem for Higher-order H¨older norm (due to Ho¨rmander), see Helms [3, chapter 8].
3. Omit.
with
exponents
pair
(p,
p,
p p−2
).
11. Proof. Given K ⊂ U , compact. Then u ∈ L1(K). Note that D(u ∗ ηε) = Du ∗ ηε = 0. Since U is connected, u ∗ ηε = c which converges to u in Lp and hence to u(y) for some y (up to subsequence), and consequently c converges to some constant c. Therefore, u = constant a.e. in K and hence in U .
{un(x)} is decreasing to 0 for each x ∈ U , MCT tells us un p,U → 0. On the other hand,
un p,∂U = 1 p,∂U is a positive constant. Hence
T un p,U = un p,∂U → ∞
10. Proof. (Sketch) (b) is similar to (a). To prove (a), we start with the formula in Hint, do
5常用本构模型
第5章 本构模型
2021年5月19日
如何学好这门课？带着科研问题！ 这门课得到什么？力学思维方法！
增加互动机制，请同学讲问题！
1. 通过“有限元离散〞这条主线把连续介质力学、固体 本构、板壳理论等众多固体力学课程贯穿起来，对多 年来学习的力学知识进展有效的梳理。教材是科研中 不可缺少的“百科全书〞。
储存在物体中的能量全部消耗在变形中，卸载后材料恢复。
w( x )
0
x
x
d
x
对于一维弹性材料，可逆、路径无关、无能量耗散是等价的特征。
对于二维和三维弹性，以及超弹性材料，也类似。
3 一维弹性
应变能一是应变的凸函数，例如，
(
w(
1 x
)
w(
2 x
))(
1 x
2 x
)
0
当
1 x
2 x
公式的等号成立。
Sij Cijkl Ekl
S C:E
式中C为弹性模量的四阶张量，有81个常数。利用对称性可以显
著地减少常数。
4 非线性弹性
利用势能表示的应力－应变关系和Green公式，
Sij
W Eij
2W
2W
EijEkl EklEij
故有
Sij Skl Ekl Eij
这样C为对称矩阵（主对称性: Cijkl Cklij )， 在81个常数中有 45个是独立的。成为上三角或下三角矩阵。
x L0
因为 L 和
即名义应变率等于伸长率，例如 x x
L0 L L0 x
可以看出，对于 率无关材料的应力－ 应变曲线是应变率独 立的，而对于率相关 材料的应力－应变曲 线，当应变率提高时 是上升的；而当温度 升高时是下降的。
利用5阶WENO格式求解一维Euler方程
被学者 广泛使 用 和研究 ， 尤其 是 ＪＡ Ｇ和 Ｓ Ｕ发 ＩＮ Ｈ
展 的 ＷＥ Ｏ 格 式 （ Ｅ ＯＪ ） Ｊ 它 的 加 权 因 子 Ｎ Ｗ Ｎ ． ¨， Ｓ
是一 种本质无 振 荡格式 ， 阶 ＷＥ Ｏ格 式在 复杂 高 Ｎ 流场计 算 中具有 重要 的地 位 ， 因此 对 ＷＥ Ｏ格式 Ｎ
第 ２ 第 ３期 ６卷
２１ ０ ０年 ６月
上
海
电 力 学 院
学
报
Ｖｏ ． ６．Ｎｏ ３ １． ２ ． Ｊｌ ｏ Ｓ ａ ｇ ａ Ｕｎ ｖ ｒｉｙ ｏ Ｅｌｃｒ ｃ Ｐ ｗｅ ｏ ｒａ ｆ ｈｎ ｈｉ ｉｅ ｓｔ ｆ ｅｔ ｏ ｒ ｉ
收 稿 日期 ：２０ ０ ２ ０ ９— ６— ２
１ 控 制方 程
流体力学 无粘 流 动 的 Ｅ ｌ 方 程 是 典 型 的非 ｕｅ ｒ
Ｓ ｌ ｉ ｇ １ Ｅｕ ｅ ｕ ｔｏ ｉ ｇ Ｆｉｔ ｄ ｒ Ｗ ＥＮＯ ｃ ｍ ｅ ｏ ｖｎ Ｄ ｌ ｒ Ｅｑ ａ ｉ ｎ Ｕｓｎ ｆｈ Ｏｒ ｅ Ｓ ｈｅ ｓ
ＸＵ Ｌｉ
（ ｅｔ ｆＭａｈｍ ｔ ｓ ｎ ｈｓ ｓ Ｓａ ｇ ａ ｎ ｅ ｉ ＥｅｔｃＰ ｗ ｒ Ｓ ｎｈ ｉ ２０ ９ Ｃ ｉ ） Ｄｐ．ｏ ｔ ａｉ ｄＰ ｙｉ ， ｈ ｎ ｈ ｉ ｉ ￣ｔ ｏ ｌ ｒ ｏ ｅ， ｈ ｇ ａ ０ ００， ｈｎ ｅ ｃａ ｃ Ｕ ｖ ｙｆ ｃ ｉ ａ ａ
文 章 编 号 ：１０ ４ ２ （０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ６— ７ ９ ２ １ ）３— ３ ８— ３
利 用 ５阶 Ｗ Ｅ ＮＯ 格 式 求 解 一 维 Ｅ ｌ ｕｅ 程 ｒ方
徐 丽
２ ０９ ） ０ ０ ０
一维单原子链
第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子第n个原子maµn-2µn-1µnµn+1µn+2第n-2个原子第n-1个原子第n+1个原子第n+2个原子第n个原子maµn-2µn-1µnµn+1µn+2a一维晶格仅考虑最近邻原子间相互作用时的色散关系qv p ω=2.21∑=qqQ 221∑⎟⎠⎞⎜⎝⎛=•n n m T μ∑••=qiqna q n t Q Nmt ,)e (1)(μ∑∑∑′−′−′=nq qinaq q .q ina q .,t Q t QN T )e ()e (21∑∑∑′+′−′=q nq q ina qq .q .,Nt Q t Q)(e1)()(21∑∑′−′′=q qqq qq t Qt Q,)()(21,..δ∑−=qqqt Qt Q)()(21..∑=qqqt Qt Q)()(21.*.)()(*t Q t Q q q =−动能的正则坐标表示：势能∑−=qinaqq n eQ Nm 1μ∑−−−='')1('11q aq n i q n e QNm μ∑−−=nn n U 21)(21μμβ1(')'(')','1{[1]}()2N ia q q iaq iaq ina q q q q q q n U Q Q e e e emNβ−++==+−−∑∑}2{2∑−−−−=qiaq iaq qq e e Q Q mβ{1cos()}q qqQ Qaq mβ−=−∑代入上式，得：*{1cos()}qqqU Q Q aq mβ=−∑利用)}cos(1{22aq mq −=βω2*12q q q qU Q Q ω=∑2221∑=qq q Q U ω系统势能所以2221∑=qq q Q U ω哈密顿量2221()2q q qqH T U Q Q ω=+=+∑ ——系统复数形式的简正坐标ti q q q eA Nm Q ω=势能动能∑=qq Q T 221 1()[()()]2Q q a q ib q =+)]()([21)(*q ib q a q Q −=∑=qq Q T 2212221∑=qq q Q U ω∑>+=22)]()([21q q b q a T 实数形式的简正坐标令∑>+=222)]()([21q q q b q a U ω能量本征值qq n n qωε=)21(+=2()/exp()()2qq n q q n Q H ξϕωξ=−=本征态函数一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数。
一维有限元法
ux =
xj − x le
u
O
x − xi ui + uj e l
ui ux uj xj x xi x
线性函数 注意：关键是 设位移函数， 在很短范围内 认为是直线。
3
返回
Ui
ui
E,A qe i le=l/3 j
Uj
uj
设单元位移函数ux为:
x u
ux= a + bx
(1-1)
式中 a，b为待定系数。 ux= ui ; x = xj ux= uj uj = a + bxj
KZ12 KZ22 KZ32 KZ42
KZ13 KZ23 KZ33 KZ43
1 2 3 4 ① ① KZ14 ⎤ ⎡k11 k12 0 0⎤1 ① ① ② ② KZ24 ⎥ ⎢k21 k22 + k22 k23 0⎥2 ⎥=⎢ ⎥ ② ② ③ ③ KZ34 ⎥ ⎢ 0 k32 k33 + k33 k34 ⎥ 3 ⎥ ⎢ ⎥ ③ ③ KZ44 ⎦ ⎣ 0 0 k43 k44 ⎦ 4
e
单元① 单元② 单元③
K
①
EA = e l
⎡ 1 − 1⎤ ⎡ k11 ⎢− 1 1 ⎥ = ⎢k ① ⎣ ⎦ ⎣ 21
①
1
K
②
EA ⎡ 1 − 1⎤ ⎡ k 22 = e ⎢ ⎥ = ⎢ k② l ⎣ − 1 1 ⎦ ⎣ 32
②
2
① k12 ⎤ 1 k① ⎥ 2 22 ⎦
2
(1-21)
k② ⎤ 2 23 (1-22) ② ⎥ k 33 ⎦ 3
ux= a +bx
ux = ui x j − u j xi x j − xi + u j − ui x j − xi x =
Surface Evolver 第五章
SURFACE EVOLVER 第五章......................................................................................................................- 4 -5.1数据文件组织 (4)5.2词汇格式 (4)5.2.1 注释................................................................................................................................................- 4 -5.2.2 行和行断开....................................................................................................................................- 4 -5.2.3 包括文件........................................................................................................................................- 5 -5.2.4 宏....................................................................................................................................................- 5 -5.2.5 大小写..........................................................................................................................................- 5 -5.2.6 空白..............................................................................................................................................- 5 -5.2.7 标识符..........................................................................................................................................- 5 -5.2.8 字符串............................................................................................................................................- 6 -5.2.9 数字................................................................................................................................................- 6 -5.2.10 关键词..........................................................................................................................................- 6 -5.2.11 颜色..............................................................................................................................................- 6 -5.2.12 表达式..........................................................................................................................................- 6 -5.3数据文件头部定义：定义和选项 (8)5.3.1 宏....................................................................................................................................................- 8 -5.3.2 版本检查........................................................................................................................................- 9 -5.3.3 单元id编号.....................................................................................................................................- 9 -5.3.4 变量................................................................................................................................................- 9 -5.3.5 阵列................................................................................................................................................- 9 -5.3.6 维数..............................................................................................................................................- 10 -5.3.7 域...................................................................................................................................................- 11 -5.3.8 长度方法......................................................................................................................................- 12 -5.3.9 面积方法......................................................................................................................................- 12 -5.3.10 体积方法....................................................................................................................................- 12 -5.3.11 表示法........................................................................................................................................- 12 -5.3.12 Hessian特殊法向量....................................................................................................................- 13 -5.3.13 动态链接库................................................................................................................................- 13 -5.3.14 额外的属性................................................................................................................................- 13 -5.3.15 表面张力能..............................................................................................................................- 15 -5.3.16 平均曲率....................................................................................................................................- 15 -5.3.17 综合曲率....................................................................................................................................- 15 -5.3.19 平方高斯曲率............................................................................................................................- 15 -5.3.20 理想气体模型............................................................................................................................- 16 -5.3.21 重力............................................................................................................................................- 16 -5.3.22 间隙能量....................................................................................................................................- 16 -5.3.23 节点能量....................................................................................................................................- 16 -5.3.24 曲率的机动性和运动................................................................................................................- 16 -5.3.25 退火............................................................................................................................................- 17 -5.3.26 扩散............................................................................................................................................- 17 -5.3.27 命名的品质实例........................................................................................................................- 17 -5.3.28 命名的品质................................................................................................................................- 18 -5.3.29 水平集约束................................................................................................................................- 19 -5.3.30 约束误差....................................................................................................................................- 20 -5.3.31 边界............................................................................................................................................- 20 -5.3.32 数值积分精度............................................................................................................................- 21 -5.3.33 步长系数....................................................................................................................................- 21 -5.3.34 移动性........................................................................................................................................- 21 -5.3.35 标准度量..................................................................................................................................- 22 -5.3.36 Autochopping...........................................................................................................................- 22 -5.3.37 Autopopping...........................................................................................................................- 22 -5.3.38 总时间......................................................................................................................................- 23 -5.3.39 Runge-Kutta 龙格-库塔方法..................................................................................................- 23 -5.3.40 相似缩放....................................................................................................................................- 23 -5.3.41 视角矩阵....................................................................................................................................- 23 -5.3.42 View transforms...........................................................................................................................- 24 -5.3.43 View transform generators..........................................................................................................- 24 -5.3.44 放大参数....................................................................................................................................- 25 -5.3.45 其他的体积方法........................................................................................................................- 25 -5.3.46 固定面积约束............................................................................................................................- 25 -5.3.47 Merit factor.................................................................................................................................- 25 -5.3.48 参数文件....................................................................................................................................- 25 -5.3.49 消除警告....................................................................................................................................- 26 -5.4单元列表.. (26)5.6边列表 (27)5.7面列表 (27)5.8体 (28)5.9命令 (29)后记： (29)Surface Evolver 第五章5.1 数据文件组织初始配置的表面是从ASCII码的数据文件阅读的。
Algebra1中英版对照目录
分步和混合运算解一元一次方程 P92—P99 2—4：Solving Equations with Variables on Both Sides
变量在两边的一元一次方程的解法 P100—P106 2—5：Solving for a Variable 求变量的值（一元一次）P107—P113
指数幂的乘法运算（同底数幂相乘和积的乘方运算）P460—P466 7—4：Division Properties of Exponents 指数幂的除法 P467—P474 Quiz for Lessons 7-1 through 7-4 第七章 1—4 课小测试 P474—P475 7—5：Polynomials 多项式 P476—P483 7—6：Adding and Subtracting Polynomials 多项式的加减运算 P484—P491 7—7：Multiplying Polynomials 多项式的乘法（单项式与多项式相乘、多项
Algebra 1 与中文数学课本内容在顺序上的对照
Algebra 1
中教数学
CHAPTER 0---- To The Student 0—1：Geometry Formulas
几何公式（s quare，rec tangle,triangle,c irc le）Z3— Z4 0—2：Tree Diagrams 树状图 Z4—Z6 0—3：The Coordinate Plane 直角坐标系 Z7—Z8 0—4：Rounding and Estimating 四舍五入 Z9—Z11 0—5：Adding and Subtracting Decimals 小数的加减运算 Z12—Z13 0—6：Multiplying and Dividing Decimals 小数的乘除运算 Z14—Z16 0—7：Prime and Composite Numbers 素数与合数 Z17—Z18 0—8：Factoring 因数 Z19—Z20 0—9：GCF and LCM 最大公约数和最小公倍数 Z21—Z22
高二物理竞赛课件：一维单原子链模型
20赫兹---20000赫兹，高于20000赫兹的叫超声波
能量(eV)
0.01
0.1
1
100
10000
声子
• 离子实比电子重103~105倍，离子实振动速度比电子慢很多
• 将电子的运动和离子实的运动分开
V
O
• 电子对离子振动的影响，可用一个稳定的势场来替代
简谐近似：保留2次项，忽略高阶项 2
v
1 v
v(a ) v(a) ( ) a ( 2 ) a 2 ...
r
2 r
所有原子的振动没有影响
• 红线：q=π/2a
• 绿线：q=5π/2a
• 将波数q取值限制为 q
a
a
• 即波数q取值在简约布里渊区
（第一布里渊区）中
• 第一章内容：
简约布里渊区内的全部波矢代
表了晶体中所有的状态，区外
的波矢都可通过平移倒格矢在
该区内找到等价状态点；讨论
固体性质时，可以只考虑第一
ℏ被称为声子（Phonon）。这是晶格振动量子理论最重
要的结论！
3-2 一维单原子链模型
声子
1
振动能量的本征值为 n (nq 2 )q
q
其中nq为声子
数
➢ 声子是晶格振动的能量量子ℏ
➢ 声子具有能量ℏ，也具有准动量ℏ ，它的行为类似于电子或光子，具
有粒子的性质。但声子与电子或光子具有本质区别，声子只是反映晶体
获得ℏ的能量，则称晶格发射一个声子
➢ 声子与声子相互作用，或声子与其他粒子（电子或光子）相互作用时，
声子数目并不守恒。声子可以产生，也可以湮灭。其作用过程遵从能量
AUTODYNChapterALE求解器学习教程
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例子: 容器中爆炸
• 混凝土节点用Lagrange 运动约束 • 其他节点用等位运动约束
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感谢您的观赏！
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例子: 容器中爆炸
• ALE网格 • 考虑空气中的大气压力 • TNT 模型等效为高压空气区域
• TNT 和空气之间没有材料界面
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例子: 容器中爆炸
• Lagrange 运动约束
• TNT / 空气界面大的网格变形 • 小的时间步 • 出现的退化单元会阻止计算
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例子: 容器中爆炸
• 运动约束需有明确的指定
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ALE 运动约束 / 设置选项
• 运动约束
• 自由 (Lagrange) • 固定(Euler) • 等位 • x, y 或 z等间距 • I, J 和/或 K等间距 • I, J 和/或 K几何比率 • 流动平均 (2D ) • 用户自定义
• 设置选项
• 循环频率 (默认: 每个循环重分第4一页次/共)9页
ALE 应用
• 计算不变形结构爆炸响应 最有效的方法
• 如果有变形/失效存在，就 会有网格畸变
坚固结构
弱结构 第2页/共9页
ALE 计算循环
• ALE 计算循环相当于Lagrange 计算循环加上内部节点重新分区 e • 内部节点根据指定的运动方式重新分区，并将结果映射到新的网格 • 默认方式, ALE Part 中所有节点均为拉格朗日
一维横场伊辛模型的精确解
一维横场伊辛模型的精确解伊辛模型是一个最简单且可以提供非常丰富的物理内容的模型，可用于描述很多物理现象，如：合金中的有序-无序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结与蒸发、玻璃物质的性质、森林火灾、城市交通等。
Ising模型的提出最初是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到一定临界温度以上会出现磁性消失的现象，而降温到临界温度以下又会表现出磁性。
这种有磁性、无磁性两相之间的转变，是一种连续相变（也叫二级相变）。
Ising模型假设铁磁物质是由一堆规则排列的小磁针构成，每个磁针只有上下两个方向（自旋）。
相邻的小磁针之间通过能量约束发生相互作用，同时又会由于环境热噪声的干扰而发生磁性的随机转变（上变为下或反之）。
涨落的大小由关键的温度参数决定，温度越高，随机涨落干扰越强，小磁针越容易发生无序而剧烈地状态转变，从而让上下两个方向的磁性相互抵消，整个系统消失磁性，如果温度很低，则小磁针相对宁静，系统处于能量约束高的状态,大量的小磁针方向一致,铁磁系统展现出磁性。
为了研究我们上面所定义的动力学相变，我们要对一维横场伊辛模型的动力学进行求解。
事实上，对于一维横场伊辛模型确实是有精确解的。
早在1925年伊辛就解决了一维伊辛问题。
文章发表初期，引用很少，其中最重要的可能是海森堡1928年论文引言中，引用伊辛经典模型中没有相变，作为引入量子模型的论据。
海森堡模型所引发的统计模型和可积系统的研究，至今方兴未艾、硕果累累。
1944年Onsager发表了平面正方二维伊辛模型的精确解，证明确有一个相变点。
这是统计物理发展的里程碑。
不过那篇文章及其晦涩难懂。
直到1949年Onsager和Kaufmann发表了使用旋子代数的新解法，人们才得以领会奥妙，计算其它晶格，并且开始了求解三维伊辛模型的尝试。
2.1 伊辛模型量子伊辛模型的普遍表达式可以写为[5]：H=−Jg∑σi xi −J∑σi zi,jσj z上述式子的意义：其中J>0，是一个决定微观能量尺度的相互作用常数；g>0，是一个无量纲的耦合常数，被用来调节H跨过量子相变点。
《固体物理学》基础知识训练题及其参考标准答案
《固体物理学》基础知识训练题及其参考标准答案《固体物理》基础知识训练题及其参考答案说明：本内容是以黄昆原著、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。
第一章作业1：1.固体物理的研究对象有那些？答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。
2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点？答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。
非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。
3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点？试画图说明。
有那些单质晶体分别属于以上三类。
答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。
常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。
面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。
常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。
六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。
常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。
4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。
答：NaCl：先将两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格；金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格；Cscl:：先将组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。
Chapter5-分析力学07-哈密顿原理
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.7哈密顿原理 主讲教师：邱晓燕
t2
t2
t2
P244【例】试由哈密顿原理导出正则方程. 解: H p q H ( p, q, t ) L L p q
1
s
s
1
s p q H ( p, q, t ) dt 0 t2 1
d L d L L ( )q ( q ) q α dt q dt q q
等时变分的对易性
理论力学-5.7哈密顿原理 主讲教师：邱晓燕
而：
西南大学-物理科学与技术学院
代入：
s L L L q q q dt 0 q q 1 q 1 t t 1 s
的变化.
y( x )
dx x , t
dx dy y
西南大学-物理科学与技术学院
dx 0
0
主讲教师：邱晓燕
理论力学-5.7哈密顿原理
(3) 变分：自变量不变化 时函数自身的变化
~ y y ( x) y ( x)
泛函的变分：
y
J y( x ) J [ ~ y ( x )] J [ y( x )]
西南大学-物理科学与技术学院
理论力学-5.7哈密顿原理
主讲教师：邱晓燕
返
证：1. 从拉氏方程推导哈密顿原理（保守系）：
保守系拉氏方程 乘以q ，对
t2 s
求和，再积分.
d L L ( ) q dt 0 dt q q 1 t1
t1
t2
q p ( pq
哈工大 空气动力学 第5章一维定常管流
扰动无法以音速逆向传播影响入口参数 管内流动不变 pe pb 膨胀波自由界面 反射过程
pe pe cr const 音速气流管外膨胀pepb
壅塞状态讨论
p
pb < cr p
仍为壅塞状态
为壅塞状态
pe , m 随p*而增加
Ve , m 可调喷管增加A
V 2 4 f
设添质速度⊥轴线 Vix dm 0
4
能量方程
h
dh m dm hm Q hidm dh Q h hi dm 当地滞止焓
V2 d c pT c p dT c p dT VdV c p dT 2 T k 1 2 1 M T 2 dT k 1 2 dT 2 dV k 1 M 1 M T V 2 T
2
0.9 0.95
流动仍较均匀
维氏曲线
10
黏性影响
黏性附面层
III
0
Vx dy 0 V0
m 1 mi
I
III
max 亚临界状态 出口截面 平衡状态 p=pe ~低背压抽吸作用 附面层内为亚音速 超临界状态 出口截面 max逆流移动 背压扰动逆流传播 即超临界状态下考虑黏性效应时背压下降仍可影响流动
kM 2 1 k 1 M 2 2 1 M
2
kM 2
kM 2 2 1 M 2 kM 2 2 1 M 2 k k 1 M 2 2 1 M 2
1 kM
2
kM 2 2 kM 2 2 kM 2 2 1 kM 2 k 1 2 M 2
一维自由粒子能量本征值
一维自由粒子能量本征值
对于一维自由粒子，其能量本征值可以由薛定谔方程得到。
薛定谔方程描述了粒子的量子态和能量。
在一维情况下，薛定谔方程可以写作：Ĥψ(x) = Eψ(x)
其中Ĥ是哈密顿算符，x是粒子的位置，ψ(x)是粒子的波函数，E是能量本征值。
对于一维自由粒子而言，其哈密顿算符可以简化为：Ĥ = - (h^2 / 2m) d^2/dx^2
其中h是普朗克常数，m是粒子的质量。
解这个薛定谔方程可以得到能量本征值E和相应的波函数ψ(x)。
对于一维自由粒子，能量本征值是连续的，可以写作：E = p^2 / (2m)
其中p是粒子的动量。
这意味着一维自由粒子的能量可以取任意实数值。
需要注意的是，一维自由粒子的波函数是平面波形式：ψ(x) = A * exp(ikx) + B * exp(-ikx)
其中A和B是待定常数，k是波矢，与粒子的动量相关。
总结起来，一维自由粒子的能量本征值是连续的，可以取任意实数值。
而相应的波函数则由平面波形式给出。
一维burgers方程精确解
一维burgers方程精确解
一维Burger方程指具有一维空域上求解可能的速度场，这一方程通常表示为
单一偏微分方程组。
一维Burger方程由拉格朗日函数构成，用来描述表面的位置、流体的变形和速度。
该方程常用用于数值流体力学中的涡流问题求解，也可以用于研究和解决复杂的液流现象，如波及紊流等。
一维Burger方程是一种抽象模型，它简化正在进行液体动力学（CFD）建模的
原地形和流体属性，如速度、压力和密度等，它能够用一维空间来描述一个液体的运动。
这一方程表达式，常用来描述关于涡流使用传播模型的运动和变形。
一般来说，一维Burger方程解析的方法涉及类型的求解任务，如有限差分法、有限元法、偏微分标准等，它们都是基于已经得出的结果，进行迭代求解。
精确解也可以用来求解一维Burger方程。
由于Burger方程具有线性结构，因
此可以使用数学方法，运用傅里叶变换的求解精确解。
精确解不仅可以定义满足一维burger方程的解的某个初始条件，而且还可以求解相关的微分的条件，并以平
面波的形式存在。
此外，在求解精确解的过程中还可以利用反应-扩散方程，对液
体动力学进行拓展性的研究和模拟。
总的来说，一维Burger方程是一种重要的基础方程，当面临复杂的液体运动
和变形现象时，可以通过求解精确解，发现有用的方程和定理来解决这些复杂的问题，并为数值流体力学中的研究和应用研究带来新的抽象性和具体性的思维模式。
chapter5.1
同理，由(13)式 (
(0) * n
( 2) n
(1) * n
(1) n
( 2) * n
(n0 ) )d 0 可得：
a
( 2) n
1 ' (1) 2 a 2
说明：引进 的目的是为了更清楚方便地从方程(7)
ˆ ˆ (H (0) H (1) )( (n0) (n1) 2 (n2) )
理解为能量和波函数的一
级修正等等。
二、非简并情况下的微扰理论
1.一级修正项E (n1) 和 (n1)
a.能量的一级修正：
ˆ ˆ 以 (n0 )* 左乘(9)式 ( H ( 0 ) E (n0 ) ) (n1) ( H E (n1) ) (n0 ) 两边，且对
* * ˆ ˆ 整个空间积分有： (n0 ) ( H ( 0 ) E (n0 ) ) (n1) d (n0 ) ( H ' E (n1) ) (n0 ) d
* *
…
…
…
…
因为 即有：
( 0) n
(0) 是H 的本征函数系，具有完全性， (n1) 可按其展开， 故
(n1) a (1) ( 0)
(14)
其中 a (1) (0 ) (n1) d
*
将展 开 式 得： [
(1) n
a
( n )
0 1 即： (E (m ) E (n0) )a (m) H' mn E (n1) mn
(m )
可见 m n ，即： m n
0 1 于是： (E (m ) E (n0) )a (m) H' mn
量子力学习题 钱伯初 课后详细答案
w.
∫
∞
ψ ( x) dx = 1
2
kh
由归一化条件
da
nπ x a
w. c
om
⎧ h2 ψ ′′ = Eψ ⎪− 或： ⎨ 2m ⎪ψ = 0 ⎩
0< x<a x ≤ 0, x ≥ a
⎧ ⎪ψ ( x) = A cos kx + B sin kx ⎨ ⎪ψ = 0 x ≤ 0, x ≥ a ⎩
由边界条件得：
ψ ( x) = ⎨
− βx ⎧ ⎪ βe
x > 0, x<0
2
βx ⎪ ⎩ βe
β=
mγ h2
、 （10）式，对一维，有 由书上 p38 第（9）
∞ d h 2 ∞ dψ h2 0 d βx = + β β e − βx dx] [ T = dx e dx ∫ ∫ ∫ 0 − ∞ − ∞ 2m 2m dx dx dx
对力心的角动量守恒, L=mr ω为常量,由玻尔-索末菲量子化条件 pdq = nh ,得
∫ pdq = ∫ Ldθ = L ∫ dθ = mr ω 2π =
2
mkr 3 2π =nh
解得:
n 2h 2 1/ 3 r = rn = ( ) mk 3 3 n 2h 2 1/ 3 3 n 2h 2 k 2 1/ 3 krn = k ( ) = ( ) 2 2 mk 2 m n = 1,2,3...
0< x<a
k=
2mE h
ψ (0) = 0, ψ ( a ) = 0,
B ≠ 0, ⇒ k =
⇒ A=0 ⇒ B sin ka = 0
归一化，
答
案
i ⎧ 2 nπ − h E n t sin xe , ⎪ 得： ψ n ( x, t ) = ⎨ a a ⎪ 0, ⎩
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使用自然坐标容易在上限1和下限-1间积分。
若令： 2x 1
l
其中，x是局部坐标。
相应地，i＝－1，j ＝1，
如图所示。
图5.6 局部坐标x和自然坐标的关系
2、一维线性自然坐标
2x 1
l
Si
Xj X l
Xj
X i
l
x 1 x
l
Sj
X
Xi l
Xi
x Xi
l
x l
自然线性形函数：
Si
1 1
第五章 一维单元
孙会 2012.4
本章内容
一、线性单元及其形函数（重点，熟悉） 二、二次单元（重点，熟悉） 三、三次单元（重点，熟悉） 四、整体坐标、局部坐标和自然坐标（熟悉） 五、 ANSYS中一维单元举例（重点，熟悉）
引子
如图所示的等直截 面散热片，散热片左端 相连的基座温度已知， 周围流体温度已知，试 确定散热片沿其长度方 向上的温度分布？
Si
Xj X X j Xi
Xj X l
图5.2 单元温度分布的线性近似
Sj
X Xi X j Xi
X
Xi l
l为单元的长度
一、线性单元
单元的温度分布
T (e) SiTi S jTj
柱体单元的位移
U (e) SiUi S jU j
(e) Sii S j j
是未知变量，例如温度、变形或速度
在X
X
处
j
c1
Ti
X X
j j
Tj X i Xi
c2
Tj Xj
Ti Xi
图5.2 单元温度分布的线性近似
一、线性单元
T (e) Ti X j T j X i T j Ti X
X j Xi
X j Xi
T (e)
Xj X X j Xi
Ti
X Xi X j Xi
T j
单元的形 函数：
1、一维线性整体坐标与局部坐标
对于一维单元，整体坐标X和局部坐标x的 关系为X=Xi+x，如图所示。
相应地，形函数可用局部坐标表示：
Si
Xj X l
Xj
X i
l
x
1
x l
Sj
X
Xi l
Xi
x Xi
l
x l
0 xl
图5.5 整体坐标X和局部坐标x的关系
2、一维线性自然坐标
自然坐标是局部坐标的无量纲形式，用于单 元刚度矩阵或传导矩阵推导中的积分计算。
图5.1 恒定截面的散热片的温度分布
引子
预处理阶段
1. 计算域离散化 2. 单元分析
2.1 假设描述单元行为的近似解 2.2 单元分析（直接法、最小总势能法、加权余数法） 2.3 组装单元，构造K(G) （按照标准方法进行） 2.4 施加边界条件（约束条件、载荷条件）
求解阶段 后处理阶段
一、线性单元
1
x
j
3、等参单元
u (e)
Siui
S juj
1 2
1
ui
1 2
1
u
j
X
Si Xi
SjX j
1 2
1
X
i
1 2
1
X
j
x
Si xi
Sjxj
1 2
1
xi
1 2
1
x
j
• 使用一组单一参数（例如Si、Sj）定义未知量u、T 等，并使用同样的参数（Si，Sj）表示几何关系。
• 应用这种思想的有限元方法常常称为等参公式， 以这种方式表示的单元称为等参单元。
ANSYS提供了描述一维问题的单轴杆单元， 其中包括LINK31、LINK32、LINK34。
LINK32单元：
单轴热传导单元，它允许通过传导模式在节点 间传递热量。
节点的自由度是温度。 该单元由2个节点组成，其属性由横截面面积和
材料属性，如热传导率来定义。
五、ANSYS中一维单元举例
LINK34单元：
T Ti T Tk T Tj
在X X i 处
在X X k 处
在X
X
处
j
Ti
c1
c2 X X k
c3
X
2 k
Tj
c1
c2 X
j
c3 X
2 j
c1、 c2、 c3
图5.3 单元温度分布的二次近似
二、二次单元
T (e) SiTi S jTj SkTk
课堂总结
一维线性单元及其形函数的概念； 一维二次单元和三次单元及其形函数的概念，
相对线性单元的优点； 使用局部坐标系和自然坐标系的意义所在； 等参单元和公式的意义； ANSYS中的一维单元的例子。
作业布置
对所学内容进行回顾、复习。
在X X i 处
在X X k 处
在X X m处
在X
X
处
j
c1、c2、c3、c4
图5.4 单元温度分布的三次近似
三、三次单元
T (e) SiTi S jTj SkTk SmTm
单元的形函数：
Si
9 2l 3
X X j X X k X X m
Sj
9 2l 3
X
X i X
X k X
单轴对流连接单元，它允许热量通过对流在节 点间传递。
该单元由2个节点组成，其属性由对流表面面积 和对流热传递系数定义。
五、ANSYS中一维单元举例
LINK31单元：
能够对空间两点间的热辐射进行模拟。 该单元由2个节点组成，其属性由辐射表面面积、
几何形状因子、热辐射系数和斯蒂芬森一玻尔 兹曼(Stefan-Boltzman)常数定义。
预处理阶段： 计算域的离散化：
3个单元和4个节点 假设单元行为的近似解：
采用分段线性函数近似。
图5.1 恒定截面的散热片的温度分布
一、线性单元
现以其中一个典型单元为研究对象
T (e) c1 c2 X
T Ti T Tj
Ti c1 c2 X i T j c1 c2 X j
在X X i 处
Xm
Sk
27 2l 3
X
Xi
X
X
j
X
Xm
Sm
27 2l 3
X
Xi
X
X
j
X
Xk
四、整体坐标、局部坐标和自然坐标
在有限元建模过程中，大多数情况下可使用 多个参考系。
整体坐标系：(1)表示每个节点的位置和每 个单元的方向；(2)施加边界条件和载荷； (3)表示计算求出的解。
局部坐标系和自然坐标系：当构造几何关系 或计算积分时，可提供很多便利。
4、用一维自然坐标表示二次和三次 形函数
二次自然形函数：
Si
1 2
1
S
j
1 2
1
Sk 1 1
注意区分使用整体 坐标、局部坐标和 自然坐标表示形函
数的差别
三次自然形函数：
Si
1 16
1
3
13
1
S
j
1 16
1
3
13
1
Sk
9 16
1
13
1
Sm
9 16
1
1
3
1
五、ANSYS中一维单元举例
由节点值表示的任何可变参数：
(e) Si i S j j Sk k
Si
2 l2
X X j X Xk
单元的形函数：
S
j
2 l2
X
Xi
X
X
k
Sk
l
4
2
X
Xi
X
X
j
三、三次单元
在二次单元中，采用二次函数代替线性单元中的 线性函数，相应地提供了比线性单元更为精确的 结果，那么是否可以采用更高阶的函数代替线性 函数或二次函数呢？
2
S
j
1 1
2
3、等参单元
可用形函数Si、Sj表示其他变量，如位移u：
u (e)
Siui
S juj
1 2
1
u
i
1 2
1
u
j
也可通过形函数Si、Sj进行从整体坐标X或局 部坐标x到自然坐标的变换，即：
X
Si Xi
SjX j
1 2
1
X
i
1 2
1
X
j
x
Si xi
Sjxj
1 2
1
xi
1 2
可以。如需更高的精度，可使用更高阶的插 值函数，例如三次多项式。
用三次函数代替二次函数，要求至少使用4个 节点来定义1个单元，单元被分成等长的3段，4个 节点的取法如图5.4所示。
三、三次单元
典型单元的温度分布：
T (e) c1 c2 X c3 X 2 c4 X 3
T Ti T Tk T Tm T Tj
二、二次单元
如何希望提高计算精度怎么办？ 增加分析中使用的线性单元的数目 通过使用高阶的插值函数
采用二次函数代替原来的线性函数，此时要 求使用3个节点来定义1个单元，第3个点可 取在单元的中点，例如图4.3中的节点k。
二、二次单元
典型单元的温度分布：
T (e) c1 c2 X c3 X 2