Chapter5一维单元(不含拉格朗日)

可以。如需更高的精度，可使用更高阶的插 值函数，例如三次多项式。
用三次函数代替二次函数，要求至少使用4个 节点来定义1个单元，单元被分成等长的3段，4个 节点的取法如图5.4所示。
三、三次单元
典型单元的温度分布：
T (e) c1 c2 X c3 X 2 c4 X 3
T Ti T Tk T Tm T Tj
二、二次单元
如何希望提高计算精度怎么办？ 增加分析中使用的线性单元的数目 通过使用高阶的插值函数
采用二次函数代替原来的线性函数，此时要 求使用3个节点来定义1个单元，第3个点可 取在单元的中点，例如图4.3中的节点k。
二、二次单元
典型单元的温度分布：
T (e) c1 c2 X c3 X 2
Si
Xj X X j Xi
Xj X l
图5.2 单元温度分布的线性近似
Sj
X Xi X j Xi
X
Xi l
l为单元的长度
一、线性单元
单元的温度分布
T (e) SiTi S jTj
柱体单元的位移
U (e) SiUi S jU j
(e) Sii S j j
是未知变量，例如温度、变形或速度
Xm
Sk
27 2l 3
X
Xi
X
X
j
X
Xm
Sm
27 2l 3
X
Xi
X
X
j
X
Xk
四、整体坐标、局部坐标和自然坐标
在有限元建模过程中，大多数情况下可使用 多个参考系。
整体坐标系：(1)表示每个节点的位置和每 个单元的方向；(2)施加边界条件和载荷； (3)表示计算求出的解。
局部坐标系和自然坐标系：当构造几何关系 或计算积分时，可提供很多便利。
图5.1 恒定截面的散热片的温度分布
引子
预处理阶段
1. 计算域离散化 2. 单元分析
2.1 假设描述单元行为的近似解 2.2 单元分析（直接法、最小总势能法、加权余数法） 2.3 组装单元，构造K(G) （按照标准方法进行） 2.4 施加边界条件（约束条件、载荷条件）
求解阶段 后处理阶段
一、线性单元
T Ti T Tk T Tj
在X X i 处
在X X k 处
在X
X
处
j
Ti
c1
c2 X i
c3
X
2 i
Tk
c1
c2 X k
c3
X
2 k
Tj
c1
c2 X
j
c3 X
2 j
c1、 c2、 c3
图5.3 单元温度分布的二次近似
二、二次单元
T (e) SiTi S jTj SkTk
在X X i 处
在X X k 处
在X X m处
在X
X
处
j
c1、c2、c3、c4
图5.4 单元温度分布的三次近似
三、三次单元
T (e) SiTi S jTj SkTk SmTm
单元的形函数：
Si
9 2l 3
X X j X X k X X m
Sj
9 2l 3
X
X i X
X k X
在X
X
处
j
c1
Ti
X X
j j
Tj X i Xi
c2
Tj Xj
Ti Xi
图5.2 单元温度分布的线性近似
一、线性单元
T (e) Ti X j T j X i T j Ti X
X j Xi
X j Xi
T (e)
Xj X X j Xi
Ti
X Xi X j Xi
T j
单元的形 函数：
1
x
j
3、等参单元
u (e)
Siui
S juj
1 2
1
ui
1 2
1
u
j
X
Si Xi
SjX j
1 2
1
X
i
1 2
1
X
j
x
Si xi
Sjxj
1 2
1
xi
1 2
1
x
j
• 使用一组单一参数（例如Si、Sj）定义未知量u、T 等，并使用同样的参数（Si，Sj）表示几何关系。
• 应用这种思想的有限元方法常常称为等参公式， 以这种方式表示的单元称为等参单元。
4、用一维自然坐标表示二次和三次 形函数
二次自然形函数：
Si
1 2
1
S
j
1 2
1
Sk 1 1
注意区分使用整体 坐标、局部坐标和 自然坐标表示形函
数的差别
三次自然形函数：
Si
1 16
1
3
13
1
S
j
1 16
1
3
13
1
Sk
9 16
1
13
1
Sm
9 16
1
1
3
1
五、ANSYS中一维单元举例
由节点值表示的任何可变参数：
(e) Si i S j j Sk k
Si
2 l2
X X j X Xk
单元的形函数：
S
j
2 l2
X
Xi
X
X
k
Sk
l
4
2
X
Xi
X
X
j
三、三次单元
在二次单元中，采用二次函数代替线性单元中的 线性函数，相应地提供了比线性单元更为精确的 结果，那么是否可以采用更高阶的函数代替线性 函数或二次函数呢？
课堂总结
一维线性单元及其形函数的概念； 一维二次单元和三次单元及其形函数的概念，
相对线性单元的优点； 使用局部坐标系和自然坐标系的意义所在； 等参单元和公式的意义； ANSYS中的一维单元的例子。
作业布置
对所学内容进行回顾、复习。
第五章 一维单元
孙会 2012.4
本章内容
一、线性单元及其形函数（重点，熟悉） 二、二次单元（重点，熟悉） 三、三次单元（重点，熟悉） 四、整体坐标、局部坐标和自然坐标（熟悉） 五、 ANSYS中一维单元举例（重点，熟悉）
引子
如图所示的等直截 面散热片，散热片左端 相连的基座温度已知， 周围流体温度已知，试 确定散热片沿其长度方 向上的温度分布？
ANSYS提供了描述一维问题的单轴杆单元， 其中包括LINK31、LINK32、LINK34。
LINK32单元：
单轴热传导单元，它允许通过传导模式在节点 间传递热量。
节点的自由度是温度。 该单元由2个节点组成，其属性由横截面面积和
材料属性，如热传导率来定义。
五、ANSYS中一维单元举例
LINK34单元：
1、一维线性整体坐标与局部坐标
对于一维单元，整体坐标X和局部坐标x的 关系为X=Xi+x，如图所示。
相应地，形函数可用局部坐标表示：
Si
Xj X l
Xj
X i
l
x
1
x l
Sj
X
Xi l
Xi
x Xi
l
x l
0 xl
图5.5 整体坐标X和局部坐标x的关系
2、一维线性自然坐标
自然坐标是局部坐标的无量纲形式，用于单 元刚度矩阵或传导矩阵推导中的积分计算。
2
S
j
1 1
2
3、等参单元
可用形函数Si、Sj表示其他变量，如位移u：
u (e)
Siui
S juj
1 2
1
u
i
1 2
1
u
j
也可通过形函数Si、Sj进行从整体坐标X或局 部坐标x到自然坐标的变换，即：
X
Si Xi
SjX j
1 2
1
X
i
1 2
1
XHale Waihona Puke Baidu
j
x
Si xi
Sjxj
1 2
1
xi
1 2
预处理阶段： 计算域的离散化：
3个单元和4个节点 假设单元行为的近似解：
采用分段线性函数近似。
图5.1 恒定截面的散热片的温度分布
一、线性单元
现以其中一个典型单元为研究对象
T (e) c1 c2 X
T Ti T Tj
Ti c1 c2 X i T j c1 c2 X j
在X X i 处
使用自然坐标容易在上限1和下限-1间积分。
若令： 2x 1
l
其中，x是局部坐标。
相应地，i＝－1，j ＝1，
如图所示。
图5.6 局部坐标x和自然坐标的关系
2、一维线性自然坐标
2x 1
l
Si
Xj X l
Xj
X i
l
x 1 x
l
Sj
X
Xi l
Xi
x Xi
l
x l
自然线性形函数：
Si
1 1
单轴对流连接单元，它允许热量通过对流在节 点间传递。
该单元由2个节点组成，其属性由对流表面面积 和对流热传递系数定义。
五、ANSYS中一维单元举例
LINK31单元：
能够对空间两点间的热辐射进行模拟。 该单元由2个节点组成，其属性由辐射表面面积、
几何形状因子、热辐射系数和斯蒂芬森一玻尔 兹曼(Stefan-Boltzman)常数定义。