2020陕西高中数学竞赛预赛试题(含答案)
全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题第一试一、选择题（每小题5分，共50分）1．a,b 为实数，集合{,1},{,0},:b M P a f x x a==→表示把集合M 中的元素x 映射到集合 P 中仍为x ，则a+b 的值等于 （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．1±2．若函数()f x 满足22()log ||||f x x x x =+，则()f x 的解析式是 （ ） A ．2log xB ．2log x -C ．2x -D 2x -3．若关于x 的方程323()25xaa+=-有负数根，则实数a 的取值范围为 （ ）A ．2(,)(5,)3-∞-+∞B ．3(,)(5,)4-∞-+∞C ．2(,5)3-D ．23(,)34-4．已知数列{}{}n n a b 、的前n 项和分别为n A ，n B 记(1)n n n n n n n C a B b A a b n =⋅+⋅-⋅> 则数列{n C }的前10项和为（ ）A ．1010AB +B ．10102A B + C ．1010A B ⋅ D ．1010A B ⋅5．如图1，设P 为△ABC 内一点，且2155AP AB AC =+， 则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为（ ） A ．15 B ．25C ．14D ．136．若33sin cos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤< 则角θ的取值范围是（ ）A ．[0,]4π B ．[,]4ππ C ．5[,]44ππD ．3[,)42ππ7．袋中装有m 个红球和n 个白球，m>n≥4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概 率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系m+n≤40的数组（m,n ）的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为12,x x 且1201,1x x <<>则ba的取值范围是（ ）A ．1(1,]2--B ．1(1,)2--C ．1(2,]2--D ．1(2,)2--9．如图2，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱AB 上一点，过点P 在空间作直线l ， 使l 与平面ABCD 和平面AB 11C D 均成030角，则这样的直线l 的条数为 （ ）A ．1B .2C ．3D .410．如图3，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为（ ）A ．||||MO MT b a ->-B ．||||MO MT b a -=-C ．||||MO MT b a -<-D ．不确定二、填空题（每十题6分，共30分） 11．已知θ为锐角，且cos31cos 3θθ=，则sin 3sin θθ= 12．用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为1R ，能包容此框架的最小球的半径为2R ，则12R R 等于 13．设()f x 是以2为周期的奇函数，且2()35f -=，若5sin α=则(4cos 2)f α的值是 14．若a ，b ，c 成等差数列，则直线ax+by+c = 0被椭圆22128x y +=截得线段的中点的轨迹方程为15．设)}8(log ,log ,2min{log ,1,122x y S y x y x =>>则S 的最大值为第二试一、（50分）设123(,)(,)(2,)P x a y Q x y r a y ++、、是函数()2xf x a =+的反函数图象上三个不同点，且满足1322y y y +=的实数x 有且只有一个，试求实数a 的取值范围. 二、（20分）已知x 、y 、z 均为正数 （1）求证：111;x y z yz zx xy x y z++≥++ （2）若x y z xyz ++≥,求x y zu yz zx xy=++的最小值 三、（20分）已知sin(2)3sin αββ+=,设tan ,tan x y αβ==,记()y f x = （1）求()f x 的表达式; （2）定义正数数列2*111{};,2()()2n n n n a a a a f a n N +==⋅∈。
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2023年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案
暨2023年全国高中数学联合竞赛加试试题（模拟4）一．（本题满分40分）如图，ABC D 的外接圆为ω，P 为BC 边上一点，满足APB BAC Ð=Ð．过点A 作ω的切线交ABP D 的外接圆于点Q ，Q 关于AB 中点的对称点为T ，AT 交QP 于点D ．证明：111AB AC CD+>．（答题时请将图画在答卷纸上）二．（本题满分40分）设c 是非负整数．求所有的无穷正整数数列{}n a ，满足：对任意正整数n ，恰存在n a 个正整数i 使得1i n a a c +≤+．三．（本题满分50分）设正整数6n ≥，图G 中有n 个顶点，每个顶点的度数均至少为3．设12,,,k C C C 是G 中所有的圈，求12gcd(,,,)k C C C 的所有可能值，其中C 表示圈C 中顶点的个数．四．（本题满分50分）对非负整数,a b ，定义位异或运算a b ⊕，是唯一的非负整数，使得对每个非负整数k ，222k k k a b a b ⊕⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦都是偶数．例如：2229101001101000113⊕=⊕==．求所有正整数a ，使得对任意整数0x y >≥，都有x ax y ay ⊕≠⊕．暨2023年全国高中数学联合竞赛加试（模拟4）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）如图，ABCD的外接圆为ω，P为BC边上一点，满足APB BACÐ=Ð．过点A作ω的切线交ABPD的外接圆于点Q，Q关于AB 中点的对称点为T，AT交QP于点D．证明：111AB AC CD+>．（答题时请将图画在答卷纸上）二．（本题满分40分）设c 是非负整数．求所有的无穷正整数数列{}n a ，满足：对任意正整数n ，恰存在n a 个正整数i 使得1i n a a c +≤+．三．（本题满分50分）设正整数6n ≥，图G 中有n 个顶点，每个顶点的度数均至少为3．设12,,,k C C C 是G 中所有的圈，求12gcd(,,,)k C C C 的所有可能值，其中C 表示圈C 中顶点的个数．四．（本题满分50分）对非负整数,a b ，定义位异或运算a b ⊕，是唯一的非负整数，使得对每个非负整数k ，222k k k a b a b ⊕⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦都是偶数．例如：2229101001101000113⊕=⊕==．求所有正整数a ，使得对任意整数0x y >≥，都有x ax y ay ⊕≠⊕．。
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(1)
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析一、选择题(每小题6分，共36分)1．(2020年全国高中数学联赛)删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2020项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 20492．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是yxO Ox yO xyyx O A.B. C.D.3．过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于(A ) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 34．若x ∈[－5π12 ，－π3 ]，则y=tan(x +2π3 )－tan(x +π6 )+cos(x +π6 )的最大值是(A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 1253二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0的解集是 ．8．设F 1、F 2是椭圆x 29+y 24=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1，则△PF 1F 2的面积等于 ．9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }，B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R}若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 ．10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a －c=9，则b －d= ．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 ．12． 设M n ={(十进制)n 位纯小数0.－a 1a 2…a n |a i 只取0或1(i=1，2，…，n －1)，a n =1}，T n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则lim n →∞S nT n= ．五、(本题满分20分)15．一张纸上画有一个半径为R 的圆O 和圆内一个定点A ，且OA=a ，折叠纸片，使圆周上某一点A '刚好与点A 重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A '取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、（本题50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ=∠PBC ． 求证：∠DBQ=∠PAC ．二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l ，m ，n ．且l >m >n >0．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104，其中{x }=x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．三、（本题50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形，其中n=q 2+q +1，l ≥12q (q +1)2+1，q ≥2，q ∈N ．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q +2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形)．2020年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2020项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 【答案】C【解析】452=2025，462=2116．在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中的2025－45=1980项．还缺2020－1980=23项．由2025+23=2048．知选C ．3．过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于(A) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 3【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB 所在直线方程为y=3x ，弦的中点在y=p k =43上，即AB 中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x －43)+43，令y=0，得点P 的坐标为163．∴ PF=163．选A ．4．若x ∈[－5π12 ，－π3]，则y=tan(x +2π3)－tan(x +π6)+cos(x +π6)的最大值是(A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 1253【答案】C【解析】令x +π6=u ，则x +2π3=u +π2，当x ∈[－5π12，－π3]时，u ∈[－π4，－π6]，y=－(cot u +tan u )+cos u=－2sin2u +cos u ．在u ∈[－π4，－π6]时，sin2u 与cos u 都单调递增，从而y 单调递增．于是u=－π6时，y 取得最大值1163，故选C ．二．填空题(每小题9分，共54分)7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0的解集是 ．【答案】(－3，－5－12)∪(5－12，3)． 【解析】即|x |3－2|x |2－4|x |+3<0，⇒(|x |－3)(|x |－5－12)(|x |+5+12)<0．⇒|x |<－5+12，或5－12<|x |<3． ∴ 解为(－3，－5－12)∪(5－12，3)．9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }，B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R}若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 ．【答案】－4≤a ≤－1．【解析】A=(1，3)；又，a ≤－21－x∈(－1，－14)，当x ∈(1，3)时，a ≥x 2+52x－7∈(5－7，－4)．∴ －4≤a ≤－1．10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a －c=9，则b －d= ．【答案】93【解析】a 3=b 2，c 5=d 4，设a=x 2，b=x 3；c=y 4，d=y 5，x 2－y 4=9．(x +y 2)(x －y 2)=9．∴ x +y 2=9，x －y 2=1，x=5，y 2=4．b －d=53－25=125－32=93．11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 ．【答案】2+48【解析】如图，ABCD 是下层四个球的球心，EFGH 是上层的四个球心．每个球心与其相切的球的球心距离=2．EFGH 在平面ABCD 上的射影是一个正方形．是把正方形ABCD 绕其中心旋转45︒而得．设E 的射影为N ，则MN=2－1．EM=3，故EN 2=3－(2－1)2=22．∴ EN=48．所求圆柱的高=2+48．12． 设M n ={(十进制)n 位纯小数0.－a 1a 2…a n |a i 只取0或1(i=1，2，…，n －1)，a n =1}，N MHGFEDCBAT n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则lim n →∞S nT n= ．【答案】118【解析】由于a 1，a 2，…，a n －1中的每一个都可以取0与1两个数，T n =2n －1．在每一位(从第一位到第n －1位)小数上，数字0与1各出现2n －2次．第n 位则1出现2n －1次．∴ S n =2n －2⨯0.11…1+2n －2⨯10－n．∴ lim n →∞S n T n =12⨯19=118．四、(本题满分20分)14．设A 、B 、C 分别是复数Z 0=a i ，Z 1=12+b i ，Z 2=1+c i(其中a ，b ，c 都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线Z=Z 0cos 4t +2Z 1cos 2t sin 2t +Z 2sin 4t (t ∈R)与△ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点．【解析】曲线方程为：Z=a icos 4t +(1+2b i)cos 2t sin 2t +(1+c i)sin 4t=(cos 2t sin 2t +sin 4t )+i(a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c s in 4t )∴ x=cos 2t sin 2t +sin 4t=sin 2t (cos 2t +sin 2t )=sin 2t ．(0≤x ≤1) y=a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c sin 4t=a (1－x )2+2b (1－x )x +cx 2即 y=(a －2b +c )x 2+2(b －a )x +a (0≤x ≤1)． ①若a －2b +c=0，则Z 0、Z 1、Z 2三点共线，与已知矛盾，故a －2b +c ≠0．于是此曲线为轴与x 轴垂直的抛物线．AB 中点M ：14+12(a +b )i ，BC 中点N ：34+12(b +c )i ．与AC 平行的中位线经过M (14，12(a +b ))及N (34，12(b +c ))两点，其方程为4(a －c )x +4y －3a －2b +c=0．(14≤x ≤34)． ②令 4(a －2b +c )x 2+8(b －a )x +4a=4(c －a )x +3a +2b －c ．即4(a －2b +c )x 2+4(2b －a －c )x +a －2b +c=0．由a －2b +c 0，得4x 2+4x +1=0， 此方程在[14，34]内有惟一解： x=12．以x=12代入②得， y=14(a +2b +c )．∴ 所求公共点坐标为(12，14(a +2b +c ))．加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、（本题50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A 、B ，所作割线交圆于C 、D 两点，C 在P 、D 之间．在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ=∠PBC ． 求证：∠DBQ=∠PAC ．分析：由∠PBC=∠CDB ，若∠DBQ=∠PAC=∠ADQ ，则∆BDQ ∽∆DAQ ．反之，若∆BDQ ∽∆DAQ ．则本题成立．而要证∆BDQ ∽∆DAQ ，只要证BD AD =DQAQ即可．二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l ，m ，n ．且l >m >n >0．已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104，其中{x }=x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．【解析】当3l、3m、3n的末四位数字相同时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104．即求满足3l ≡3m ≡3n ( mod 104)的l 、m 、n ．∴ 3n (3l －n －1)≡0 (mod 104)．(l －n >0)但 (3n ，104)=1，故必有3l －n ≡1(mod 104)；同理3m －n ≡1(mod 104)．下面先求满足3x ≡1(mod 104)的最小正整数x ．∵ ϕ(104)=104⨯12⨯45=4000．故x |4000．用4000的约数试验：∵ x=1，2，时3x ≡∕1(mod 10)，而34≡1(mod 10)，∴ x 必须是4的倍数；∵ x=4，8，12，16时3x ≡∕1(mod 102)，而320≡1(mod 102)，∴ x 必须是20的倍数；∵ x=20，40，60，80时3x ≡∕1(mod 103)，而3100≡1(mod 103)，∴ x 必须是100的倍数；∵ x=100，200，300，400时3x ≡∕1(mod 104)，而3500≡1(mod 104)．即，使3x ≡1(mod 104)成立的最小正整数x=500，从而l －n 、m －n 都是500的倍数， 设l －n=500k ，m －n=500h ，(k ，h ∈N*，k >h )．由m +n >l ，即n +500h +n >n +500k ，⇒n >500(k －h )≥500，故n ≥501．取n=501，m=1001，l=1501，即为满足题意的最小三个值． ∴ 所求周长的最小值=3003．三、（本题50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形，其中n=q 2+q +1，l ≥12q (q +1)2+1，q ≥2，q ∈N ．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q +2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形)．现设任一点连的线数≤n －2．且设b 0＝q +2≤n －2．且设图中没有四边形．于是当i ≠j 时，B i 与B j 没有公共的点对，即|B i ∩B j |≤1(0≤i ，j ≤n －1)．记B 0－＝V \B 0，则由|B i ∩B 0|≤1，得|B i ∩B 0－|≥b i －1(i ＝1，2，…，n －1)，且当1≤i ，j ≤n －1且i ≠j 时，B i ∩B 0－与B j ∩B 0－无公共点对．从而B 0－中点对个数≥i ＝1n －1∑(B i ∩B 0－中点对个数)．即C 2 n －b 0≥i ＝1n －1∑C 2 |B i ∩B 0－|≥i ＝1n －1∑C 2 b i －1＝12i ＝1n －1∑ (b 2i －3b i +2)≥12[1n －1(i ＝1n －1∑b i )2－3i ＝1n －1∑b i +2(n －1)](由平均不等式)＝12[1n －1(2l －b 0)2－3(2l －b 0)+2(n －1)]＝12(n －1)[(2l －b 0)2－3(n －1)(2l －b 0)+2(n －1)2]＝12(n －1)(2l －b 0－n +1)(2l －b 0－2n +2)(2l ≥q (q +1)2+2＝(n －1)(q +1)+2)≥12(n －1)[(n －1)(q +1)+2－b 0－n +1][(n －1)(q +1)+2－b 0－2n +2]＝12(n －1)[(n －1)q +2－b 0][(n －1)(q －1)+2－b 0]．(两边同乘以2(n －1)即 (n －1)(n －b 0)(n －b 0－1)≥(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)．(n －1≥q (q +1)代入) 得 q (q +1)(n －b 0)(n －b 0－1)≥(nq －q +2－b 0)(nq －q －n +3－b 0)．(各取一部分因数比较) ①但(nq －q －n +3－b 0)－q (n －b 0－1)＝(q －1)b 0－n +3(b 0≥q +2)≥(q －1)(q +2)－n +3＝q 2+q +1－n ＝0．②(nq －q +2－b 0)－(q +1)(n －b 0)＝qb 0－q －n +2≥q (q +1)－n +2＝1＞0． ③由假设，不存在处在不同行的2个红点对，使此四点两两同列，所以，有(由于去掉了q ＋2列，故还余q 2－1列，不同的列对数为C 2 q 2－1)i ＝1n －1∑C 2 m i ≤C 2 q 2－1． 所以q 2·q (q －1)＋q (q －1)(q －2)≤(q 2－1)(q 2－2)．⇒ q (q －1)(q 2＋q －2)≤(q －1)(q ＋1)(q 2－2)⇒q 3＋q 2－2q ≤q 3＋q 2－2q －2．矛盾．故证．。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
2020年全国高中数学联赛(陕西预赛)试题
2020年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题（4月24日上午 8:30—11:00）第一试一、选择题（每小题6分，共48分．给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合={1,2,310}M ，，，A 是M 的子集，且A 中各元素的和为8，则满足条件的子集A 共有（ ）A. 8个B. 7个C. 6个D. 5个2、在平面直角坐标系中，不等式组0200y x y ⎧-≤⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪⎩表示的平面区域的面积是（ ）A.B. C. 2D. 3、设,,a b c 是同一平面内的三个单位向量，且a b ⊥，则()()c a c b -⋅-的最大值是（ ）A. 1+B. 1C.1- D. 1 4、从1,2,,20这20个数中，任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率为（ ） A. 15 B. 110 C. 319 D. 1385、,A B 是抛物线23y x =-上关于直线0x y +=对称的相异两点，则||AB 等于（ ）A. 3B. 4C.D. 6、如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，G 为BCD ∆的重心，M 是线段AG 的中点，则三棱锥M BCD -的外接球的表面积为（ ）A. πB. 32πC.D. 7、设函数32()f x x ax bx c =+++（,,a b c 均为非零整数）.若3()f a a =，3()f b b =，则c 的值是（ ）A. 16-B. 4-C. 4D. 168、设非负实数,,a b c 满足0ab bc ca a b c ++=++>的最小值为（ ）A. 2B. 3C.D. A D B G M二、填空题（每小题8分，共32分）9、在数列{}n a 中，4111,9a a ==，且任意连续三项的和都是15，则2016a =_______________.10、设,m n 均为正整数，且满足424m n =，则m 的最小值是_______________.11、设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x =+，若对[1,2]x ∈，不等式()(2)0af x g x ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是___________.12、设x R ∈，则函数()|21||32||43||54|f x x x x x =-+-+-+-的最小值为_________.第二试一、（本题满分20分）设,x y 均为非零实数，且满足sincos 955tan 20cos sin 55x y x y πππππ+=-． （1）求y x 的值；（2）在ABC ∆中，若tan y C x=，求sin 22cos A B +的最大值．二、（本题满分20分）已知直线:4l y =+，动圆222:(12)O x y r r +=<<，菱形ABCD 的一个内角为060，顶点,A B 在直线l 上，顶点,C D 在圆O 上，当r 变化时，求菱形ABCD 的面积S 的取值范围．三、（本题满分20分）如图，圆1O 与圆2O 相交于,P Q 两点，圆1O 的弦PA 与圆2O 相切，圆2O 的弦PB 与圆1O 相切，直线PQ 与PAB ∆的外接圆O 交于另一点R ．求证：PQ QR =．A B P O Q R1O 2O ⋅⋅⋅四、（本题满分30分）设函数1()ln (1),f x x a a R x =+-∈，且()f x 的最小值为0，（1）求a 的值； （2）已知数列{}n a 满足11a =，1()2(N )n n a f a n ++=+∈，设[][][][]123n n S a a a a =++++，其中[]m 表示不超过m 的最大整数．求n S ．五、（本题满分30分）设,,a b c 为正实数，且满足1abc =，对任意整数2n ≥，证明：≥．。
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
（
）
A．只有一个
B ．有二个
C ．有四个
D ．有无穷多个
6. 记集合 T
{ 0,1,2,3,4,5,6}, M
{ a1 7
a2 72
a3 73
a4 74
| ai
T , i 1,2,3,4}, 将 M 中的元素按从大到小的
顺序排列，则第 2020 个数是（
）
A． 5 5 6 3 7 72 73 74
二、（本题满分 50 分）
设正数 a、 b、 c、 x、 y、z 满足 cy bz a, az cx b; bx ay c.
x2
y2
z2
求函数 f (x, y, z)
的最小值 .
1x 1y 1z
三、（本题满分 50 分）
对每个正整数 n，定义函数 f (n)
0 当 n为平方数 ,
[ 1 ]当 n不为平方数 . { n}
。
【答案】 4 . 3
【解析】设 f ( x) cos(x ) cos( x ) cos(x ), 由 x R ， f (x) 0 知，
f ( ) 0, f ( ) 0, f ( ) 0, 即 cos(
) cos( ) 1,cos(
)
cos(
) 1,cos(
) cos(
) 1. cos(
) cos(
【解析】
2 3 ,0
23
, cos(
2) cos( 3 ), 即
2
22
2
2
sin 2 sin 3.
又0 2 ,
3 , cos 2 0, cos 3 0, cos 2 cos 3 0, 方程表示的曲线是椭
22
圆。
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析.docx
2020 年全国高中数学联赛试题及详细解析说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。
选择题只设6 分和 0 分两档，填空题只设9 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。
2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分， 5 分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36 分，每小题 6 分）本题共有 6 小题，每小题均给出 A ， B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得 6 分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得 0 分。
1．使关于 x 的不等式 x 36 x k 有解的实数 k 的最大值是（）A ． 63B． 3C． 63D ． 62．空间四点 A 、 B 、 C 、 D 满足 | AB | 3, | BC | 7 , | CD | 11 , | DA | 9 , 则 AC BD 的取值（）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个a 1 a 2 a 3a 4| a iT , i 1,2,3,4}, 将 M 中的元素按从大到小的6. 记集合 T { 0,1,2,3,4,5,6}, M {7 27 3747序排列， 第2020 个数是（）A ． 5 5 6 3B ． 55 6 2 7 7273 74 772 73 7 4 C ．11 0 4 D ．11 0 3 7 72737477273 7 4二、填空 （本 分54 分，每小 9 分） 本 共有 6 小 ，要求直接将答案写在横 上。
7. 将关于 x 的多 式 f ( x)1 x x2 x 3x 19x 20 表 关于 y 的多 式 g( y)a 0 a 1 y a 2 y 2 a 19 y 19 a 20 y 20, 其中 y x 4. a 0a 1a20.8. 已知 f (x) 是定 在 ( 0,) 上的减函数， 若 f (2a 2a1) f (3a 24a 1) 成立， a 的取 范是。
全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷
全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷 第一试（4月22日上午8：30——9：30）一、选择题（每小题5分，共50分。
）1．已知函数()()2438f x xx x R =--+∈，则()f x 的反函数()1f x -的解析式是（ ） A ．()()14f x x x R -=-+∈ B ．()()111255fx x x R -=-+∈ C ．()()()142112255x x f x x x -⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩ D ．()()()111225542x x f x x x -⎧-+<⎪=⎨⎪-+≥⎩2．等差数列{}n a 共有21n +项()*n N ∈，其中所有奇数项之和为310，所有偶数项之和为300，则n 的值为（ ）A ．30B ．31C ．60D ．61 3．设()sin sin 2007a =，()sin cos 2007b =，()cos sin 2007c =，()cos cos 2007d =，则,,,a b c d 的大小关系是（ ）A ．a b c d <<<B ．b a d c <<<C ．c d b a <<<D ．d c a b <<<4．如图，半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于,A B 的任意一点。
若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是（ ）A ．2B ．0C ．1-D ．2-5．长度分别为1，,,,,a a a a a 的线段能成为同一个四面体的6条棱的充要条件是（ ） A ．03a <<．02a << C ．3a >33a <<6．设,x y 都是整数，且满足()22xy x y +=+，则22x y +的最大可能值为（ ） A ．32 B ．25 C ．18 D ．167．已知04k <<，直线1:2280l kx y k --+=和直线222:2440l x k y k +--=与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k 的值为（ ） A ．2 B ．12 C ．14 D ．188．对于实数t ，已知等比数列{}n a 的前三项依次为2t ，51t -，62t +，且该数列的前n 项和为n S ，则满足不等式1165n S -<的最大整数n 的值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．89．对于非空集合,A B ，定义运算：{},A B x x AB x A B ⊕=∈∉且。
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(1)
Tn 是 Mn 中元素的个数， Sn 是 Mn 中所有元素的和，则 nl→im∞ Tn=
．
【答案】 1 18
【解析】由于
a1， a2，…， an－1 中的每一个都可以取
0 与 1 两个数， Tn=2n－1．
在每一位 ( 从第一位到第 n－1 位) 小数上，数字 0 与 1 各出现 2n－ 2 次．第 n 位则 1 出现
．
5－ 1
5－ 1
【答案】 ( － 3，－ 2 ) ∪ ( 2 ， 3) ．
【解析】即 | x| 3－ 2| x| 2－ 4| x|+3<0 ，
(| x| － 3)(| x| －
5－1 )(| x|+
5+1 )<0 ．
| x|<
2
2
5+1
5－ 1
－ 2 ，或 2 <| x|<3 ．
5－ 1
5－ 1
【解析】当 3l 、 3m、 3n 的末四位数字相同时，
l
m
n
3 104
=
3 104
=
3 104
．
即求满足 3l 3m≡ 3n( mod 10 4) 的 l 、 m、 n．∴ 3 n(3 l －n－ 1) ≡ 0 (mod 10 4) ． ( l － n>0) 但 (3 n， 104) =1，故必有 3l －n≡ 1(mod 10 4) ；同理 3m－ n≡1(mod 10 4) ．
2
y=－ (cot
u+tan u)+cos
u=－ sin2
u+cosu．在
u∈ [ － ，－ ] 46
时， sin2
u与
cos u 都单调递
全国高中数学联合竞赛预赛模拟试卷附答案
全国高中数学联合竞赛预赛模拟试卷一． 选择题（共6小题，每题6分）1．设()n n nx a x a a xx 221021+++=++ ，求n a a a 242+++ 的值为（A ）n3 （B ）23-n（C ）213-n （D ）213+n 答： 【 】2．若1sin sin =+y x ，则y x cos cos +的取值范围是(A) ]2 ,2[- (B) ]1 ,1[- (C) ]3,0[ (D) ]3,3[- 答： 【 】 3．设2)(1=x f ，x x x f 2cos sin )(2+=，x xx f 2cos 2sin)(3+=，24sin )(x x f =，上述函数中，周期函数的个数是(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 答： 【 】 4．正方体的截平面不可能是(1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五边形 (5) 正六边形 下述选项正确的是：(A) (1)(2)(5) (B) (1)(2)(4) (C) (2)(3)(4) (D) (3)(4)(5) 答：【 】 5．已知a ，b 是两个相互垂直的单位向量，而13||=c ，3=⋅a c ，4=⋅b c 。
则对于任意实数21,t t ，||21b t a t c --的最小值是(A) 5 (B) 7 (C) 12 (D) 13 答： 【 】 6．设函数)(x f y =满足1)()1(+=+x f x f ，则方程x x f =)(根的个数可能是 (A) 无穷多 (B) 没有或者有限个(C) 有限个 (D) 没有或者无穷多 答： 【 】 二．填空题（共6小题，每题9分） 7. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=-+-=32232332x x x x xM ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=-+-=56656556x x x x x N ，求 N M = 。
8. 已知数列n x ，满足n x x n n n +=++1)1(, 且21=x ， 则2005x = 。
2024年全国高中数学联赛(一试)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛一试试题(A )一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1.若实数m >1满足98m log log =2024，则32m log log 的值为.2.设无穷等比数列{a n }的公比q 满足0<q <1.若{a n }的各项和等于{a n }各项的平方和，则a 2的取值范围是.3.设实数a ，b 满足：集合A ={x ∈R |x 2-10x +a ≤0}与B ={x ∈R |bx ≤b 3}的交集为4,9 ，则a +b 的值为.4.在三棱锥P -ABC 中，若PA ⏊底面ABC ，且棱AB ，BP ，BC ，CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为.5.一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a ,b ．若事件a +b =7发生的概率为17，则事件“a =b ”发生的概率为.6.设f (x )是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数g (x )=f (2x )在区间0,5 上的零点个数为25，则g (x )在区间［1,4）上的零点个数为.7.设F 1,F 2为椭圆Ω的焦点，在Ω上取一点P （异于长轴端点），记O 为△PF 1F 2的外心，若PO ∙F 1F 2 =2PF 1 ∙PF 2 ，则Ω的离心率的最小值为.8.若三个正整数a ,b ,c 的位数之和为8，且组成a ，b ，c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(a ,b ,c )为“幸运数组”，例如（9,8,202400）是一个幸运数组.满足10<a <b <c 的幸运数组（a ，b ，c ）的个数为.二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.（本题满分16分）在ΔABC 中，已知cos C =sinA +cosA 2=B sin +cosB 2,求cos C 的值.10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线Γ：x 2-y 2=1的右顶点为A .将圆心在y 轴上，且与Γ的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA的所有可能的值.11.（本题满分20分）设复数z ，w 满足z +w =2，求S =z 2-2w +w 2-2z 的最小可能值.·1·。
2020全国高中数学联赛试题及详细解析含评分标准
为
．
1
答案： 5 ． 解法 1：设 z a bi (a, b R) ，由条件知
Im z 2 Im (a 2) bi
zi
a (b 1)i
(a 2)(b 1) ab a2 (b 1)2
a 2b 2 a2 (b 1)2
0，
故 a 2b 2 ．从而
5 z 3 (12 22 )((a 3)2 b2 ) (a 3) 2b 5
−
) {x}
·
C|nx|
+
{x}
·
Cn|x|+1,
[x]
x
, {x} = x − [x].
m, n 2
( )( )
(
)
1 f m,
2 + f m,
+ · · · + f m, mn − 1
= 123,
n
n
n
( )( )
(
)
1 f n,
2 + f n,
+ · · · + f n, mn − 1
定写有 i, j 的卡片只能放在 i 号或 j 号盒子中．一种放法称为“好的”，如果 1 号
盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数．则“好的”放法共有
种．
答案：120 ．
解：用{i, j}表示写有 i, j 的卡片．易知这10 张卡片恰为{i, j} (1 i j 5) ．
考虑“好的”卡片放法．五个盒子一共放有10 张卡片，故1号盒至少有 3 张
9.（本题满分 16 分） 在 ABC 中，sin A 范围．
2 ．求 cos B 2
2 cosC 的取值
解：记 f cos B 2 cosC ．
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(2)
16 4
3y 8 2 3 0
上 . 当 F1PF2 取最大值时，比
PF1 的值为 PF2
.
10. 底面半径为 1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为
1 cm 的实心铁球，四个球两两相切， 2
其中底层两球与容器底面相切 . 现往容器里注水， 使水面恰好浸没所有铁球， 则需要注
水 cm 3.
11. 方程 ( x2006 1)(1 x 2 x4 L x 2004 ) 2006 x 2005 的实数解的个数为
（ 1 ），又由圆幂定理，
PF2 AF2
2
AP AF1 AF2 （ 2），而 F1( 2 3,0) ，F2(2 3,0) ，A( 8 2 3,0) ，从而有 AF1 8 ，
AF2
8 4 3 。代入（ 1），（ 2）得 PF1 PF 2
AF1 AF 2
8 8 43
4 23
3 1。
12. 【答案】 0.0434 【解析】第 4 次恰好取完所有红球的概率为
.
12. 袋内有 8 个白球和 2 个红球，每 次从中随机取出一个球，然后放回
次恰好取完所有红球的概率为
.
三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分）
1 个白球，则第 4
15. 设
f ( x) x2 a . 记 f 1 (x) f (x) ，
n
f ( x)
f
(
f
n
1
( x))
，n
2,3,L ，
【解析】建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为
ｘ轴，ＡＣ为 ｙ轴，ＡＡ １为ｚ轴，
1
1
则 F (t1,0,0) （ 0
t1
1 ），
E(0,1, ) 2
2020陕西高中数学竞赛预赛试题(含答案)
2018年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题考生注意：1，本斌專分两试’第一试共两大趣.满分》）分；第二试共五大题，满分120分'2.用蓝色｛或黑色｝钢笔、巫字笔或圖殊笔作筌.3.解題书坊•不要趙违荣订銭.4・不能使用计算器.第一试一、选择题:本题共8小题,每小题6分，共48分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目姜求的.1.已知集合M % lx = sin E Z ,N = y | y = cos 孑,"e Z，则M 耳 N的关系是（）A・M宇/V B. If = /V C. N^M D•网门/V=e22.（2）31 a =log85.6 =1（）^3^ = -^-,则的大小关系是（）A. a > I）>c B・b>c > a C. b >a >c c >h> a3・已知数列a爲满足a〕++1 +叫（"2 ）•若［幻表示不超过实数兀的最大整数，则詁存…+在卜A. IB. 2C.3D. 20184.已知四面休ABCD内接丁球0.忖AD是球（）的点径•若△佔C和△BCD都是边长为1的等边三角形侧四而体ABCD的体积是（）A返B返C渥D渥-6 * 12 6 - 12八zn ■口 sin x cos x 1 Ml i r,/r M/r 0 <x <—%H.—+ —^― = —,W'J laiLV H'jfllTE i 殳兀j E R. H. 1哄(x+2y) +1(典(兀-2y) = 1 •则x - lyl 的最小值是若既约分数)化为小数是0・】8….则当q 啟小时•"二 8•在边l<为8的止方形ABCD 中.M 是BC 的中点.N 是DA 边I ：一点.H. DN = 3M1用 灯尸常数加.任止方形AHCD 的边I .恰冇6个不同的点P.使PM • RV =叽则实数处的取值 范冈址( )A. ( -8.8)B. ( 一1 .24)C. ( -1 ,8)I). (()&)二、填空题：本题共4小题海小题8分■共32分 将答案填在题中的横线上.9. i 殳△ ABC 的内角.4、〃、C 的灯边分别为心心［1.人- C =歩％ c 成等并数列•则10. 御图1.12.)31拋物线r = 2严(〃〉())的焦点为F.准线为I,过点F 的点线耳抛物线交r A B 网点JIJ.iB I = 3p ・设点A 、Bfl ： I I •.的射影分别为•—今向四边形AA 7TB 内任投•点协，则点M 落在内的飪率址 ____________ .11. 11知南数/(%)=%+ £~-1 .若存在知宀，…%“W ±4〕，使彳"(浙)+/(七)+・・•+/(“" =/(也)・则||瀝数〃的灵大值是 _________ .IX 15 ”是匸整数.当«> 100IIJ ,、后硏T 的小数部分的前两位数是5. 6. B.2 C. 2/T D.47. A. 9B.7C51).2第二试—■（本题满分20分）已曲1 唄数人鼻）=2cosr （ c （＞sx + ） - 1 G R.（1） 求函数/U ）的讯调递增区间;（2） 设点匕（衍皿）出（心上），…止（盼几）•…都在函数y=/（-r ）的图象上，且满足 ■札=y-(n e N* ).求的+y 2 +…+畑8的值• 二、（本题满分20分）如图2•圜c 与％轴相切于点r （2,o ）?H Y 轴的正半轴和交干两点（*在B 的上方），且I 肋I =1（1）求恻（?的方程：⑵设过点〃的1丁线小椭I 略+「1相交于P ®対点…求o 4证册"平分厶PAQ.三. （本题满分20分）如1*1 3.在锐角WC 中,M 是BC 的中点JM] O 过点4 HJ j 代线BC 相切丁•点C.戌线M 网0交T •另一点D,也线HD * j IW1（）交于另一点 E. \m,^EAC = ABAC.7T心二&屯"内四.(本题满分30分)L1 知函数/(x) =j^.g(x) =k( x - I ).Z- G R.(I )证明:炖任总* w R•也线y=gix)祁不町能是Illi线y =/(.v)的切线:(2)若存在"[e J・使/(小W g(.<)十*,求"勺取值范FH.五.(本题满分30分)设aj^c均为止实数,求证：2 2 2a( a + be ) l){lf + ca ) c( c + ab) _ 7；H 1 : 2 ah + /“• + ca b+c c + a a + b2018年陕西省预赛答案第一试一、选择餐（毎小軀6分，共8小SL 共勰分）4. 己知砂面体"（Q 内樓千球.且"星球的玄径.若MBC 和似T ）衿是边长为I 的等边三角號 則四面体 川BCD的体枳杲（A.返65 若= .且——+ —=—.剜un*的值杲()2 94 131 o _ 3 A. —B. *C. ID.— 232Hi D.由柯西不等氏(9才4)(竺上*竺丄."cos 订几由取$条件知氾上口竺上=>伽.2丄・9 4 81162&设比…■ filo&(x+2rHlo S4(x-2jp) = !t 卄恻的燉小值是()A. 7TB. 2C.裁D. 4> 入由S^.v 2-4/=41ix>2|>|.不妨设“2粽& 丿=3仇"(一彳£), Ax^|d = —-一邑也.等式右边是&的偶甬放不妨^g=2-smtf ^€[o,-)=>sin^i-rcostf^2.11心“心。
2020年全国高中数学联赛一试参考答案及评分标准(C卷)(1)(1)
2020年全国高中数学联合竞赛一试（C 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1. 25111log 201log 50的值为 ． 答案：1 ．解：原式2511log 10log 10lg 2lg5lg101 ． 2. 在长方体1111ABCD A B C D 中，棱,AB AD 的长均为2，体对角线1AC 的长为3，则该长方体的体积为 ．答案：4．解：由于222211AB AD AA AC ，即21449AA ，得11AA ． 长方体的体积为14AB AD AA ．3. 设a 是非零实数，二项式5(1)ax 的展开式中，4x 项的系数与3x 项的系数相等，则a 的值为 ．答案：2．解：由二项式定理可知555443322(1)5101051+ax a x a x a x a x ax ． 由条件知43510a a ，故2a ．4. 已知集合 1,5A ， 2231,45B x x x x ，若集合A B 的元素个数是3，则实数x ．答案：1,2,3 ．解：首先由223145x x x x ，得4x ．（1）若2311x x ，则0,3x ．当0x 时， 1,5B ，不满足条件；当3x 时， 1,2B ，满足条件．（2）若2315x x ，则1x ．此时 5,10B ，满足条件．（3）若2451x x ，则2x ．此时 1,1B ，满足条件．（4）若2455x x ，则0x ．此时 1,5B ，不满足条件． 综上所述，1,2,3x ．5. 设32()3(sin )f x x x x x ，则(1)(3)f f ． 答案：2 ．解：由已知条件，3()(1)3sin 1f x x x ．于是33(1)(3)(2)3sin[(1)]1(2)3sin[(3)]1f f22223sin()sin(3)23(sin sin )22 ．6. 在ABC 中，cos ,sin ,tan A A B 依次构成以34为公比的等比数列，则cot C ． 答案：5396． 解：由条件可知sin 3tan cos 4A A A，故3sin 5A ，进而 3339tan sin 44520B A ． 于是39tan tan 96420tan()391tan tan 531420A B A B A B ． 故153cot cot()tan()96C A B A B ． 7. 设,A B 为平面直角坐标系xOy 中的曲线1(,0)xy x y 上的两点，向量 1,m OA ，则数量积m OB 的最小值为 ．答案： 解：设11,,,(,0)A a B b a b a b，则1,m ，故11m OB b b b b ．当1,a b 时，m OB取到最小值．8. 数列{}n a 满足1(1),1,2,3,n n n a n a n ，且101a a ，则1n n a a 的最大值是 ．答案：334． 解：由条件可知11(1)(1)n n n n a n a （1,2,n ）．设1a a ，则11(1)(1)(1)(2)1(1)2n n n n a n n a a ， 故1(1)(1)2n n n n a a ． 由101a a 可知1092a a ，解得452a ． 而 145(1)45(1)2222n n n n n n a a ，当且仅当(1)45(1)222n n n n ，即7n 时，10n n a a ． 故1n n a a 的最大值为 78454531133212822224a a． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）在ABC 中，a BC ，b CA ,c AB ．若226a b ，2cos()cos 3A B C ，求ABC 的外接圆半径． 解：由于1cos()cos cos()cos()(cos 2cos 2)2A B C A B A B A B 22221(12sin 12sin )1sin sin 2A B A B ， 故 2225sin sin 133A B ． ……………8分 设ABC 的外接圆半径为R ，结合正弦定理可得22222618(2)5sin sin 53a b R A B ，于是10R ． ……………16分 10.（本题满分20分）设 31f x x x，求满足不等式 499232020f f f n 的最小正整数n ． 解：因为 311112(1)(1)f x x x x x x x， ……………5分 所以23f f f n111111121223(1)2334(1)n n n n1111122(1)42(1)n n n n ． ……………15分 由1149942(1)2020n n 得 505(1)3n n ． 所以n 的最小值为13． ……………20分11. （本题满分20分） 在平面直角坐标系中，椭圆22:143x y ，点P 在椭圆 内部，且在直线y x 上移动．点,K L 在 上，满足,PK PL 的方向分别为x 轴正方向与y 轴正方向．点Q 使得PKQL 为矩形．是否存在平面上两点,A B ，使得当矩形PKQL 变化时，||||QA QB 为非零常数？若存在，求出线段AB 的所有可能的长度；若不存在，请说明理由．解：设点(,)P t t ，其中00(,)t t t （这里0t 是射线 0y x x 与椭圆 的交点的横坐标），设点0000(,),(,),(,)K x t L t y Q x y ．由,K L 在 上，可知 222200434,334t t x y ． 于是220043134y x ，即点Q 总在双曲线22:13443y x 上．……………10分 取点,A B分别为0, ，此时||||QA QB为非零常数，||3AB ． ……………15分 又假如有点,A B 使得QA QB 为非零常数，根据双曲线定义可知，Q 总在以,A B 为焦点的某双曲线 上，由于动点Q 的位置有无穷多个，故双曲线 与 有无穷多个公共点，从而 ，进而{,}{,}A B A B ．综上，线段AB的所有可能的长度为3． ……………20分。