北师大版4.3.3三角函数的图像和性质导学案
高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 第3节 三角函数的图像与性质教学案 理 北师大版-北师
第三节 三角函数的图像与性质[最新考纲] 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图像定义域 R R ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z值域[－1,1] [－1,1]R单调性递增区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z ，递减区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2， k ∈Z递增区间： [2k π－π，2k π]，k ∈Z ，递减区间：[2k π，2k π＋π]，k ∈Z递增区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性对称中心 (k π，0)，k ∈Z对称中心对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z 对称轴x ＝k π＋π2(k ∈Z )对称轴x ＝k π(k ∈Z )周期性 2π2ππ1．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．2．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．3．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点．一、思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)函数y ＝sin x 的图像关于点(k π，0)(k ∈Z )中心对称．( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (3)y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，那么y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin |x |与y ＝|sin x |都是周期函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 二、教材改编1．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π8，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈ZD [由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z.] 2．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是________．π [T ＝2π2＝π.]3．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调减区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) [由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z 得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z .] 4．y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 [当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.]考点1 三角函数的定义域和值域1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．2．求三角函数最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x ，cos x ，sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数求解．1.函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π6B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－π12C.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π6k ∈ZD.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2＋π6k ∈ZD [由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠k π2＋π6(k ∈Z )，应选D.]2．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________． －4 [f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1，令cos x ＝t ，那么t ∈[－1,1]．f (t )＝－2t 2－3t ＋1＝－2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋342＋178，易知当t ＝1时，f (t )min ＝－2×12－3×1＋1＝－4. 故f (x )的最小值为－4.]3．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，假设f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，那么实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π [∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a ＋π6，∵当x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴由函数的图像(图略)知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.]4．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1 [设t ＝sin x －cos x ，那么t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]．当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1.] 求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(3)形如y ＝a sin 3x ＋b sin 2x ＋c sin x ＋d ，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值．考点2 三角函数的单调性(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx ＋φ看成一个整体，再结合图像利用y ＝sin x 的单调性求解；(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性．求三角函数的单调性(1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )(2)(2019·大连模拟)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________．(1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 [(1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，应选B.(2)∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.]本例(2) 在整体求得函数y ＝12sin x ＋32cos x 的增区间后，采用对k 赋值的方式求得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的区间．根据函数的单调性求参数(1)ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，那么ω的取值范围是( )A.(0,2]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 (2)(2018·全国卷Ⅱ)假设f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ] 是减函数，那么a 的最大值是( )A.π4B.π2C.3π4D.π(1)D (2)C [(1)由2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2，得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω，k ∈Z ，因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω≥4k ＋12，ω≤2k ＋54.因为k ∈Z ，ω＞0，所以k ＝0，所以12≤ω≤54，即ω的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54.应选D.(2)f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，当x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4时， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递增，－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递减，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4是f (x )在原点附近的单调递减区间， 结合条件得[0，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，∴a ≤3π4，即a max ＝3π4，应选C.]单调区间求参数范围的3种方法 子集法 求出原函数的相应单调区间，由区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解反子由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数集法 的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解周期 性法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解1.假设函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，那么ω＝________.32 [由得T 4＝π3，∴T ＝4π3，∴ω＝2πT ＝32.] 2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) [由，得函数为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间即可．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．]考点3 三角函数的周期性、奇偶性、对称性求解三角函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的周期性、奇偶性、对称性问题，其实质都是根据y ＝sin x 的对应性质，利用整体代换的思想求解．三角函数的周期性(1)(2019·全国卷Ⅱ)以下函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos 2x |B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |(2)假设函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，那么自然数k 的值为________．(1)A (2)2或3 [(1)对于选项A ，作出y ＝|cos 2x |的部分图像，如图1所示，那么f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递增，且最小正周期T ＝π2，故A 正确．对于选项B ，作出f (x )＝|sin 2x |的部分图像，如图2所示，那么f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2上单调递减，且最小正周期T ＝π2，故B 不正确．对于选项C ，∵f (x )＝cos|x |＝cos x ，∴最小正周期T ＝2π，故C 不正确．对于选项D ，作出f (x )＝sin|x |的部分图像，如图3所示．显然f (x )不是周期函数，故D 不正确．应选A.]图1 图2 图3(2)由题意得，1＜πk ＜2，∴k ＜π＜2k ，即π2＜k ＜π，又k ∈Z ，∴k ＝2或3.]公式莫忘绝对值，对称抓住“心〞与“轴〞(1)公式法求周期①正弦型函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的周期T ＝2π|ω|；②余弦型函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的周期T ＝2π|ω|；③正切型函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)＋B 的周期T ＝π|ω|. (2)对称性求周期①两对称轴距离的最小值等于T2；②两对称中心距离的最小值等于T2；③对称中心到对称轴距离的最小值等于T4.(3)特征点法求周期①两个最大值点之差的最小值等于T ； ②两个最小值点之差的最小值等于T ； ③最大值点与最小值点之差的最小值等于T2.特征点法求周期实质上就是由图像的对称性求周期，因为最值点与函数图像的对称轴相对应．(说明：此处的T 均为最小正周期)三角函数的奇偶性函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)． (1)假设f (x )为偶函数，那么φ＝________； (2)假设f (x )为奇函数，那么φ＝________.(1)56π (2)π3 [(1)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ为偶函数，所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6.(2)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ为奇函数， 所以－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，又φ∈(0，π)，所以φ＝π3.] 假设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，那么①f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；②f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．三角函数的对称性(1)函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，那么该函数的图像( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π3，0对称C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝5π3对称(2)函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜φ＜π2的图像关于直线x ＝π3对称，那么φ的值为________．(1)B (2)－π6 [(1)因为函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期是4π，而T ＝2πω＝4π，所以ω＝12， 即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6.令x 2＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝2π3＋2k π(k ∈Z )， 故f (x )的对称轴为x ＝2π3＋2k π(k ∈Z )，令x 2＋π6＝k π(k ∈Z )，解得x ＝－π3＋2k π(k ∈Z )． 故f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2k π，0(k ∈Z )，对比选项可知B 正确．(2)由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1， ∴2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π－π6(k ∈Z )． ∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π6.]三角函数图像的对称轴和对称中心的求解方法假设求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)图像的对称轴，那么只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k∈Z )，求x ；假设求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)图像的对称中心的横坐标，那么只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x .1.设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，那么以下结论错误的选项是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减 D [A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确；B 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3图像的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称，B 项正确；C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－5π6，当k ＝1时，x ＝π6，.专业. 所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确； D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )， 单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是f (x )的单调递减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是f (x )的单调递增区间，D 项错误．] 2．(2019·成都模拟)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为4π，且任意x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，那么f (x )图像的一个对称中心坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0 A [由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12. 因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立， 所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， 即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， 由|φ|＜π2，得φ＝π3， 故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3. 令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )， 故f (x )图像的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )， 当k ＝0时，f (x )图像的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0.]。
三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质优秀教案一、教学目标：1. 理解三角函数的定义，掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质。
2. 能够运用三角函数的图像与性质解决实际问题。
3. 提高学生的数学思维能力，培养学生的数学审美观念。
二、教学内容：1. 三角函数的定义与基本性质2. 正弦函数的图像与性质3. 余弦函数的图像与性质4. 正切函数的图像与性质5. 三角函数图像与性质的综合应用三、教学重点与难点：1. 重点：三角函数的定义，正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质。
2. 难点：三角函数图像与性质的综合应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索三角函数的图像与性质。
2. 利用多媒体课件，展示三角函数的图像，增强学生的直观感受。
3. 结合实际例子，让学生学会运用三角函数的图像与性质解决实际问题。
4. 开展小组讨论，培养学生的合作与交流能力。
五、教学过程：1. 导入：通过复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生进入本节课的学习。
2. 三角函数的定义与基本性质：讲解三角函数的定义，引导学生掌握三角函数的基本性质。
3. 正弦函数的图像与性质：利用多媒体课件展示正弦函数的图像，讲解正弦函数的性质。
4. 余弦函数的图像与性质：利用多媒体课件展示余弦函数的图像，讲解余弦函数的性质。
5. 正切函数的图像与性质：利用多媒体课件展示正切函数的图像，讲解正切函数的性质。
6. 三角函数图像与性质的综合应用：结合实际例子，讲解如何运用三角函数的图像与性质解决实际问题。
7. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。
8. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
9. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，总结经验教训。
10. 教学评价：对学生的学习情况进行评价，了解学生对三角函数图像与性质的掌握程度。
六、教学策略与资源：1. 教学策略：采用问题引导式教学，鼓励学生主动发现问题、解决问题。
利用数学软件或在线工具，让学生亲自动手绘制三角函数图像，加深对函数性质的理解。
《三角函数的图像和性质》教学设计与反思
《三角函数的图像和性质》教学设计与反
思
一、教学设计
1. 教学目标
- 理解正弦函数、余弦函数和正切函数的图像和性质
- 掌握三角函数的周期性和对称性
- 能够利用图像和性质解决三角函数相关问题
2. 教学步骤
步骤一：引入概念
- 通过示意图介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的定义
- 强调函数的周期性和对称性
步骤二：讲解图像和性质
- 展示正弦函数、余弦函数和正切函数的图像
- 分析图像特征，如振幅、周期、对称轴等
- 阐述三角函数的性质，如奇偶性、界值等
步骤三：解决问题
- 提供一些典型问题，引导学生运用图像和性质求解
- 示范解题方法，包括利用性质、缩放变换等
3. 教学资源
- 投影仪和电脑
- 教学PPT
- 相关练题和答案
4. 教学评估
- 设计小组练题，测试学生对三角函数图像和性质的理解程度
- 实时观察学生解题过程，评估其解题方法和思维能力
- 结合学生回答问题和总结教学效果
二、教学反思
本次教学设计在引入概念、讲解图像和性质以及解决问题等环
节上都能够使学生参与，从而提高学生的主动研究能力。
通过图像
的展示和性质的阐述，学生可以直观地理解三角函数的规律和特点。
而解决问题的训练则有助于学生运用所学知识解决实际问题。
值得改进的地方是在评估方面，可以加入更多的互动环节和个别评价，以更准确地评估学生的掌握情况。
此外，教学资源可以进一步扩充，包括实物展示和多媒体辅助工具，以提升教学效果。
总体而言，本次教学设计能够满足教学目标并促进学生的参与和思维能力培养，但仍需在实施过程中加以优化和改进。
导学案 (1) 三角函数的图像与性质
课题 三角函数的图像与性质【复习导航】1.目标定位：（1）．掌握正弦，余弦、正切三角函数的图象和性质，会作三角函数的图象．通过三角函数的图象研究其性质．(2)．注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用 2.考题预测：(1). 考查三角函数的图象及其性质在图象变换中的应用．(2).考查三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用．(3).从几年的试题来看，一是以选择题、填空题的形式考查三角函数的单调性、周期性及对称性，二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换，且常与向量结合进行综合考查。
【要点梳理】1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．三角函数的图象和性质 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x定义域RR{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }图象值域 [－1,1] [－1,1]R 对称性 对称轴： x ＝k π＋π2(k ∈Z )x ＝k π(k ∈Z )无对称轴对称中心 (k π，0)(k ∈Z )⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0)(k ∈Z⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )周期2π2ππ单调性单调增区间⎣⎡ 2k π－π2，2k π＋⎦⎤π2(k ∈Z )； 单调减区间⎣⎡2k π＋π2，2k π＋⎦⎤3π2(k ∈Z )单调增区间[2k π－π，2k π](k ∈Z )；单调减区间[2k π，2k π＋π](k ∈Z ) 单调增区间⎝⎛k π－π2，k π＋⎭⎫π2(k ∈Z )奇偶性 奇 偶奇3.周期性(1)一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．(2)对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．【基础自测】1．(课本习题改编)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域为( )．A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π－π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠2k π－π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠2k π＋π4，k ∈Z 答案 A2．(2011·全国新课标)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )．A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递增解析 f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4，由最小正周期为π得ω＝2，又由f (－x ) ＝f (x )可知f (x )为偶函数，因此φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，又|φ|＜π2可得φ＝π4，所以f (x )＝2cos 2x ，在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减． 答案 A3．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( )． A ．(－π，0) B.⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0 D.⎝⎛⎭⎫π2，0 解析 ∵y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，∴令x －π4＝k π(k ∈Z )，x ＝k π＋π4(k ∈Z )，由k ＝－1，x ＝－34π得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫－3π4，0. 答案 B4．(2011·合肥三模)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为________． 解析 T ＝2π2＝π.答案 π【典例精析】题型一 三角函数的定义域与值域【例1】(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域．（2） 【2012湖南】函数f （x ）=sinx-cos(x+6π)的值域为（ ）A ． [ -2 ,2] B.[-3,3] C.[-1,1 ] D.[-32 , 32] 【分析】 (1)由题意知对数的真数大于0，被开方数大于等于零，再利用单位圆或图象求x 的范围．(2)将余弦化为正弦，再换元处理，转化为关于新元的一元二次函数解决．【解】 (1)依题意⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，9－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧k π＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3，⇒⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3≤x ＜－π2，或0＜x ＜π2. （2）【答案】Bf （x ）=sinx-cos(x+6π)31sin cos sin 3sin()226x x x x π=-+=-，[]sin()1,16x π-∈- ，()f x ∴值域为[-3,3].【反思】(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．【变式练习1】(1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域．(2)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的最大值与最小值．解 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . (2)由题意得：f (x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )·(sin x ＋cos x )＝12cos 2x ＋32sin 2x＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 又x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1. 故当x ＝π3时，f (x )取最大值1；当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32.题型二 三角函数的奇偶性与对称性例2、(2011·大同模拟)函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是( )．A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数[审题视点] 先化简为一个角的三角函数，再确定周期和奇偶性．解析 y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 为奇函数，T ＝2π2＝π. 答案 A求解三角函数的奇偶性和周期性时，一般先要进行三角恒等变换，把三角函数式化为一个角的一个三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．【训练2】 已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是________．解析 由f (x )＝(sin x －cos x )sin x ＝sin 2x －sin x cos x ＝1－cos 2x 2－12sin 2x ＝－22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. ∴最小正周期为π. 答案 π题型三 三角函数的单调性与对称性 【例3】（2011 全国新课标卷）设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则（ ）A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称【分析】化为形如f (x )＝A sin(x ＋φ)的形式，再求单调区间与最小正周期． 【解】 f (x )＝sin ）（42π+x ＋sin ）（42π+x ＝x x x 2cos 2)22sin 2442sin 2=+=++πππ（）（，由π＋2k π≤2x ≤2π＋2k π，k ∈Z ，得： +2πk π≤x ≤+πk π，k ∈Z ，由选项可知，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎪⎭⎫ππ，2,由2k π≤2x ≤π＋2k π，k ∈Z ，得： k π≤x ≤+2πk π，k ∈Z ，由选项可知，f (x )的单调递增区间为 ⎝⎛⎪⎭⎫20π，, 由2x=,πk k ∈Z ，得x=,2πk k ∈Z ，由题意，.2π=x 故答案选D.求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数．正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．【训练3】（1） 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调减区间为______． 解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得：k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )【课堂小结】方法与技巧1.利用函数的有界性(－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1)，求三角函数的值域(最值).2.利用函数的单调性求函数的值域或最值.3.利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号). 失误与防范1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.2.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同： (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x . 3.利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误.【巩固深化】（选择紧扣本堂内容的题目10—11道（选择5道，填空3道，解答题2—3道）和拓展提高题1—2道（供学有余力学生使用），供课堂练习或课后作业使用。
高三数学一轮复习43《三角函数的图像及其性质》导学案
高三数学一轮复习4.3《三角函数的图像及其性质》导学案【学习目标】1、通过课前预习，会求三角函数的值域及简单的三角不等式；2、通过课堂探究，熟练掌握sin()y A xωϕ=+型函数的值域及单调性，会通过简单的三角换元求解函数的最值。
【重、难点】能求sin()y A xωϕ=+类型的三角函数的在给定区间上的值域和单调性.能求2sin siny A x B x C=++类型函数的值域问题【回扣课本】1.下列不等式中，正确的是：（）2317A. B.cos(cos()1810541317C.tan138tan143 D tan(tan()45ππππππ->-->->-<-sin( )sin()．小结：考察单调性[][][][][]4sin,,A.,00B.,,2222C.0-,0D.,,2222y x xππππππππππππππππππ=∈--------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2.下列关于函数的单调性的叙述，正确的是（）在上是增函数，在，上是减函数在，上是增函数，在及上是减函数在，上是增函数，在上是减函数在及上是增函数，在，上是减函数小结：考察单调性3.函数tan26y xπ⎛⎫=-++⎪⎝⎭的定义域为（）A. ,3x x k k zππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭B. 2,3x x k k zππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C. ,6x x k k zππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D. 2,6x x k k zππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭小结：考察定义。
4.函数()sin()4f x x π=-的图像的一条对称轴是（ ）A ．4x π=B ．2x π=C ．4x π=-D ．2x π=-小结：整体代换5.根据三角函数图像，写出下列不等式成立的x 的集合sin 2cos 0tan 0x x x ≥≥-≥【知识回顾】正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质一、再熟悉一下三个三角函数图像，印在头脑中。
4.3 三角函数的图像与性质导学案
§4.3 三角函数的图像与性质2014高考会这样考 1.考查三角函数的图像：五点法作简图、图像变换、图像的解析式；2.考查三角函数的性质：值域或最值，单调区间、对称性等；3.考查数形结合思想．复习备考要这样做 1.会作三角函数的图像，通过图像研究三角函数的性质；2.对三角函数进行恒等变形，然后讨论其图像、性质；3.注重函数与方程、转化、数形结合等数学思想方法的应用．1． “五点法”作图原理在确定正弦函数y ＝sin x 在[0,2π]上的图像形状时，起关键作用的五个点是(0,0)、⎝⎛⎭⎫π2，1、(π，0)、⎝⎛⎭⎫32π，－1、(2π，0)．余弦函数呢？ 2． 三角函数的图像和性质[－1,1] 对称轴：x ＝k π＋∈Z )；对称中心：(k π，0)(k ∈Z )2π单调增区间[2k π－＋π2](k ∈Z )；单调减区间[2k π＋π2，2＋3π2] (k ∈Z )1． 函数的周期性若f (ωx ＋φ＋T )＝f (ωx ＋φ) (ω>0)，常数T 不能说是函数f (ωx ＋φ)的周期．因为f (ωx ＋φ＋T )＝f ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋T ω＋φ，即自变量由x 增加到x ＋T ω，T ω是函数的周期． 2． 求三角函数值域(最值)的方法(1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数的单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．1． 设点P 是函数f (x )＝sin ωx (ω≠0)的图像C 的一个对称中心，若点P 到图像C 的对称轴的距离的最小值是π4，则f (x )的最小正周期是________．答案 π解析 由正弦函数的图像知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的14，故f (x )的最小正周期为T ＝4×π4＝π.2．y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为______，此时x ＝_______________________. 答案 5 34π＋2k π，k ∈Z解析 当cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－1时，函数y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4取得最大值5，此时x ＋π4＝π＋2k π (k ∈Z )，从而x ＝34π＋2k π，k ∈Z .3． (2012·福建)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2答案 C解析 方法一 ∵正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点，故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .取k ＝－1，则x ＝－π4.方法二 用验证法．x ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝0，不合题意，排除A ； x ＝π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4＝22，不合题意，排除B ； x ＝－π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4－π4＝－1，符合题意，C 项正确； x ＝－π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－22，不合题意，故D 项也不正确． 4． 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域为( )A ．{x |x ≠k π－π4，k ∈Z }B ．{x |x ≠2k π－π4，k ∈Z }C ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z }D ．{x |x ≠2k π＋π4，k ∈Z }答案 A解析 令π4－x ≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π－π4，k ∈Z .5． 给出下列四个命题，其中不正确的命题为( )①若cos α＝cos β，则α－β＝2k π，k ∈Z ； ②函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像关于x ＝π12对称； ③函数y ＝cos(sin x )(x ∈R )为偶函数； ④函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π. A ．①②B ．①④C ．①②③D ．①②④ Z*xx*k答案 D解析 命题①：若α＝－β，则cos α＝cos β，假命题；命题②：x ＝π12，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝ cos π2＝0，故x ＝π12不是y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称轴；命题④：函数y ＝sin|x |不是周期函数．题型一 三角函数的定义域、值域问题例1 (1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域； 学科(2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． 思维启迪：求函数的定义域可利用三角函数的图像或数轴；求函数值域时要利用正弦函数的值域或化为二次函数．解 (1)由⎩⎨⎧sin 2x >09－x 2≥0， 得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为{x |－3≤x <－π2或0<x <π2}． 学&科&网Z&X&X&K](2)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x (|x |≤π4)的最大值为54，最小值为1－22.探究提高 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域；(2)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的最大值与最小值．解 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图像，在 同一坐标系中画出[0,2π]内y ＝sin x 和y ＝cos x 的图像，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }．(2)由题意得：f (x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )·(sin x ＋cos x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 又x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1. 故当x ＝π3时，f (x )取最大值1；当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32.题型二 三角函数的单调性与周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |. 思维启迪：(1)化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，再求单调区间及周期．(2)由y ＝tan x 的图像→y ＝|tan x |的图像→求单调性及周期．解 (1)y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 它的增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的减区间， 它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ； 增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z . 最小正周期T ＝2π2＝π.(2)观察图像可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 最小正周期T ＝π.探究提高 (1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ) (其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答．列不等式的原则：①把“ωx ＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A >0 (A <0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的单调区间对应的不等式方向相同(反)．(2)对于y ＝A tan(ωx ＋φ) (A 、ω、φ为常数)，其周期T ＝π|ω|，单调区间利用ωx ＋φ∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，解出x 的取值范围，即为其单调区间．对于复合函数y ＝f (v )，v ＝φ(x )，其单调性的判定方法：若y ＝f (v )和v ＝φ(x )同为增(减)函数时，y ＝f (φ(x ))为增函数；若y ＝f (v )和v ＝φ(x )一增一减时，y ＝f (φ(x ))为减函数．(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图像，结合图像判定．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值．解 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x . ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π2. 学科 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增，∴函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )． 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减， 学科 ∴函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )． 当x ＝π24＋k π2 (k ∈Z )时，y max ＝2；当x ＝－5π24＋k π2 (k ∈Z )时，y min ＝－2.题型三 三角函数的对称性与奇偶性例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图像关于直线x ＝0对 称，则φ的值为________．(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2答案 (1)π6(2)A解析 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ图像关于x ＝0对称， 即f (x ＋φ)为偶函数．∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z ，又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6.(2)由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ， 取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.故选A.探究提高 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0. 如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π (k ∈Z )，求x .如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π (k ∈Z )即可．(1)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3sin x 1 cos x 的图像的一条对称轴方程是( )A ．x ＝5π6B ．x ＝2π3C ．x ＝π3D ．x ＝π6答案 A 解析 f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3sin x 1 cos x ＝3cos x －3sin x＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 所以当x ＝5π6时，f (x )＝23cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋π6＝－2 3. 学。
三角函数的图象与性质教案
三角函数的图象与性质教案一、教学目标：1. 让学生理解三角函数的定义和基本概念，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图象和性质。
2. 培养学生运用数形结合的思想方法研究三角函数的图象与性质。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学审美能力。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：三角函数的图象与性质。
2. 教学难点：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质的推导和应用。
三、教学方法与手段：1. 教学方法：采用讲练结合、师生互动、分组讨论等教学方法。
2. 教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具。
四、教学过程：1. 导入新课：通过复习三角函数的定义和基本概念，引导学生关注三角函数的图象与性质。
2. 讲解与示范：讲解正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质，并通过多媒体课件展示图象，让学生直观地感受三角函数的性质。
五、课后作业：1. 绘制正弦函数、余弦函数和正切函数的图象，并分析它们的性质。
2. 练习题：选择适当的函数，分析它们的图象与性质，解决实际问题。
3. 思考题：探讨三角函数图象与性质的内在联系，提出自己的见解。
六、教学评价：1. 通过课堂讲解、练习和课后作业，评价学生对三角函数图象与性质的理解和掌握程度。
2. 观察学生在课堂讨论和练习中的表现，评估他们的逻辑思维能力和数学审美能力。
3. 收集学生对思考题的解答，评价他们的思考深度和创新能力。
七、教学反思：1. 反思本节课的教学内容和方法，评估学生对新知识的接受程度。
2. 思考如何改进教学手段，提高课堂教学效果。
3. 探讨如何引导学生将所学知识应用于实际问题，提高学生的应用能力。
八、教学拓展：1. 介绍三角函数在实际生活中的应用，如测量、信号处理等。
2. 引入高级三角函数的概念，如双曲函数、反三角函数等。
3. 探讨三角函数与其他数学领域的联系，如微积分、线性代数等。
九、教学资源：1. 多媒体课件：三角函数图象与性质的动态展示。
2. 练习题库：涵盖各种难度的练习题。
三角函数的图象和性质导学案
三角函数的图象和性质一、考点分析二、基础演练1.)函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为________．2.将函数y ＝sinx 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是____________________．3.如图，它表示电流I ＝Asin(ωt ＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则I ＝Asin(ωt ＋φ)的解析式为________________．4.函数cos(2)4y x π=-+的单调递增区间是________．5.函数y ＝2sinx ⎝⎛⎭⎫π6≤x ≤2π3的值域是________．三、知识点1. 周期函数的定义周期函数的概念：对于函数y ＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋T)＝f(x)都成立，则称y ＝f(x)为周期函数；函数y ＝Asin(ωx ＋φ)和y ＝Acos(ωx ＋φ)的周期均为T ＝2π|ω|；函数y ＝Atan(ωx ＋φ)的周期为T ＝π|ω|．2. 三角函数的图象和性质y ＝sinxy ＝cosxy ＝tanx3. “五点法”作图“五点法”作图原理：在确定正弦函数y ＝sinx 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)、⎝⎛⎭⎫π2，1、(π，0)、⎛⎭⎫3π2，－1、 (2π，0)． 余弦函数呢？4. 函数 y ＝Asin(ωx ＋φ)的特征若函数y ＝Asin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．四、典型例题题型1 依据三角函数的图象求解析式例1 已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝________．变式训练1：已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则ω＝________．题型2 三角函数的图象变换例2 为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6(x ∈R )的图象，只需把函数y ＝2sinx(x ∈R )的图象上所有的点经过怎样的变换得到？变式训练2：已知函数f(x)＝23·sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 若将f(x)的图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．题型3 五点法作图例3 已知a ＝(2cosx ，cos2x)，b ＝(sinx ，－3)，f(x)＝a ·b .(1) 求f(x)的振幅、周期，并画出它在一个周期内的图象； (2) 说明它可以由函数y ＝sinx 的图象经过怎样的变换得到．变式训练3：已知f(x)＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. (1) 求ω和φ的值；(2) 在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；(3) 若f(x)>22，求x 的取值范围．题型4 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用例4 已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的周期为π，且图象上有一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－3. (1) 求f(x)的解析式；(2) 求函数y ＝f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值及对应x 的值．变式训练4：已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1) 求f(x)的解析式；(2) 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12时，求f(x)的最值．五、能力提升：1.函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ≤π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________．2.若函数f(x)＝Asin(2x ＋φ)(A>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则f(0)＝________．3.已知ω>0，函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．4.已知角φ的终边经过点P(1，－1)，点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)是函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点．若|f(x 1)－f(x 2)|＝2时，|x 1－x 2|的最小值为π3，则f ⎝⎛⎭⎫π2＝________．5. 已知函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的两个相邻最值点为⎝⎛⎭⎫π6，2、⎝⎛⎭⎫2π3，－2，则这个函数的解析式为________．6.已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.(1) 求函数y ＝f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2) 若f ⎝⎛⎭⎫x 0－π8＝－65，求f(x 0)的值．7. 已知a ＞0，函数f(x)＝－2asin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f(x)≤1. (1) 求常数a 、b 的值；(2) 设g(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lgg(x)＞0，求g(x)的单调区间．8. 设a ＝⎝⎛⎭⎫sin 2π＋2x4，cosx ＋sinx ，b ＝(4sinx ，cosx －sinx)，f(x)＝a·b . (1) 求函数f(x)的解析式；(2) 已知常数ω＞0，若y ＝f(ωx )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，2π3上是增函数，求ω的取值范围；(3) 设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π6≤x ≤23π，B ＝{x||f(x)－m|＜2}，若A B ，求实数m 的取值范围．六、总结点评1. 求形如y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sinx 的相应单调区间内即可，注意先把ω化为正数．求y ＝Acos(ωx ＋φ)和y ＝Atan(ωx ＋φ)的单调区间类似．2. 求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式，常用的解题方法是待定系数法，由最高(低)点的纵坐标确定A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由条件求得y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一解．3. 由y ＝sinx 的图象变换到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．。
北师大版4.3.4三角函数的图像和性质导学案
5.关于函数f（x）=sin2x－( )|x|+ ，有下面四个结论，其中正确结论的个数为()．
① 是奇函数②当x＞2003时， 恒成立
③ 的最大值是 ④f（x）的最小值是
A.1B.2C.3D.4
6.使 有意义的角 是( )
A.第一象限的角B.第二象限的角
3.定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是π，且当x∈［0， ］时，f（x）=sinx，则f（ ）的值为()
A.－ B. C.－ D.
4.定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈［3，5］时，f（x）=2－|x－4|，则()
A.f（sin ）＜f（cos ）B.f（sin1）＞f（cos1）
3．理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在 上的性质（单调性、最大和最小值、图像与x轴的交点等）；
三、教学过程
1.已知 ，则函数 的最小值是（）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2.已知f(x)的图象关于y轴对称,且它在［0,+∞)上是减函数,若f(lgx)＞f(1),则x的取值范围是()
A.( ,1)B.(0, )∪(1,+∞) C.( ,10)D.(0,1)∪(10,+∞)
【学生Байду номын сангаас结】
谈谈学完本节课有什么收获？
教学反思
安边中学高三年级上学期数学学科导学稿执笔人：王广青总第30课时
备课组长签字：包级领导签字：学生：上课时间：2013.9
集体备课
个人空间
一、课题：4.3.4三角函数的图像和性质小结
二、学习目标
1．理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义和周期，并能画出三角函数的图像;
三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质优秀教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质；（2）学会分析三角函数图像的变化规律；（3）能够运用三角函数的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳三角函数图像的特性；（2）利用数形结合的方法，研究三角函数的性质；（3）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对三角函数的兴趣，培养学习的积极性；（2）引导学生感受数学的美丽和实用性，提高学生的数学素养；（3）培养学生合作、探究的精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质；（2）能够运用三角函数的性质解决实际问题。
2. 教学难点：（1）三角函数图像的变换规律；（2）三角函数性质的深入理解。
三、教学方法与手段1. 教学方法：（1）采用问题驱动法，引导学生探究三角函数的图像与性质；（2）运用数形结合的方法，帮助学生直观地理解三角函数的性质；（3）采用小组合作、讨论的方式，培养学生的团队合作能力。
2. 教学手段：（1）利用多媒体课件，展示三角函数的图像和性质；（2）利用数学软件，进行函数图像的动态演示；（3）提供充足的练习题，巩固所学知识。
四、教学内容与步骤1. 导入新课：（1）复习已知三角函数的图像和性质；（2）引出本节课要学习的内容：三角函数的图像与性质。
2. 探究正弦函数的图像与性质：（1）展示正弦函数的图像；（2）引导学生观察、分析正弦函数的性质；3. 探究余弦函数的图像与性质：（1）展示余弦函数的图像；（2）引导学生观察、分析余弦函数的性质；4. 探究正切函数的图像与性质：（1）展示正切函数的图像；（2）引导学生观察、分析正切函数的性质；五、课堂练习与拓展1. 课堂练习：（1）根据给定的函数式，绘制函数图像；（2）根据函数图像，分析函数的性质；（3）解决实际问题，运用三角函数的性质。
北师大版高中数学必修四第一章《三角函数》导学案
必修四第一章 三角函数一、学习要求1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。
2. 理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
3.能画出函数sin ,cos ,tan y x y x y x ===的图像。
会利用单位圆或三角函数图像推导出诱导公式，并能借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2]π，正切函数在(,)22ππ-上的性质（如单调性、最大值和最小值、图像与x 轴交点等）。
4.了解sin()y A x ωϕ=+的实际意义；会画sin()y A x ωϕ=+的图像（有条件的学生，可以借助数学软件或图形计算器），体会参数,,A ωϕ对函数图像的影响。
二、复习本章知识，整理笔记，建议就以下问题思考、归纳、概括，写出复习小结报告1.本章学习了哪些知识？它们之间存在怎么样的逻辑关系？请用框图表示出本章的知识结构，并对结构图作必要的说明。
2.为什么要建立度量角的弧度制，它对于我们研究三角函数有什么好处?3.任意角的三角函数是怎样定义的？为什么称之为函数？与必修1中的函数的知识相比较，本章学习了三角函数的哪些重要性质？4.函数sin y x =与sin()y A x b ωϕ=++（,,,A b ωϕ为常数）有何关系？,,A ωϕ对函数图像有什么影响？它们的物理意义是什么？5.请查阅资料，看一看正弦函数、余弦函数在、正切函数之外，还有哪些三角函数。
它们之间存在什么样的关系？与同学交流这些三角函数的图像与性质。
6.“三角函数是刻画周期现象的一类重要的初等函数”，你对这句话有什么体会？请找一个生活中的实际例子予以说明。
7.本章出现的公式比较多，你有什么办法帮助记忆并减轻记忆负担？8.举例说明学习本章知识要注意哪些问题，解题时经常会出出现哪些错误，原因是什么，怎样避免？第二章平面向量一、学习要求1.了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义及向量的几何表示。
2.掌握向量加、减、数乘的运算，并理解其几何意义。
高三数学总复习4.3三角函数的图像和性质教学设计
高三数学总复习《三角函数的图像和性质》教案设计武威第十五中学数学组尚永杰一、【教材分析】１．教材背景学生已经学习了三角函数，他们对于正弦函数、余弦函数、正切函数有了基本的了解（包括图像、性质等等）；但是并没有对它们进行细致整理、消化。
因此需要把三角函数进行系统复习，学生在复习中能进一步熟悉函数图像及性质，同时深化三角函数的整体意识。
也借助这一阶段的复习，让学生对高考数学有个初步认识和了解：概念优先，计算为重，突出思维方法，培养学习习惯。
因此，安排相对集中的复习课，突出思想方法，突出用数学语言表达数学思维的培养，也是高考的重要内容之一。
２．本课的地位和作用本节内容是函数内容的深化，具有非常高的实用价值，在三角函数的研究过程中蕴含了数形结合、分类讨论、归纳推理、演绎推理、换元等数学思想方法，通过学习可以帮助学生进一步理解三角函数，培养学生的函数应用意识，增强学生对数学的兴趣，走进高考。
二、【重难点分析】根据新课程标准、高考考纲要求以及对教材的分析，确定本节课重难点如下：重点：教学重点是掌握三角函数的图象和性质，并能灵活应用达到高考要求。
难点：对于三角函数图象的不同特征，学生不容易归纳认识清楚。
因此，弄清楚图象之间的异同和平移变换是本节的难点之一。
三、【目标分析】１．知识技能目标掌握三角函数的概念、图象和性质。
２．过程性目标通过自主回顾与探索，让学生经历“温故→应用→提升”的训练过程，完善认知结构，领会数形结合、归纳推理、换元等数学思想方法。
３．情感、价值观目标让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美，展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。
四、【学情分析】１．有利因素学生已经学习了三角函数的定义、图象、性质，已经掌握了三角函数的一些解题方法和思想方法，对于本节课的学习会有很大帮助。
２．不利因素本节内容思维量较大，题型较多较难，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理、换元等能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度。
三角函数教学设计导学案(北师大版)
初三（）班姓名：____________ 学号：_____初三级三角函数教学设计导学案（北师大版）（一）教学目标：1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用. 2．能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.3.从生活实际问题中提炼出用三角函数解决问题的数学的思想.，进一步感受数形结合的思想（方程方法与画图法）.（二）教学重点与难点教学重点：1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.2．发展学生数学应用意识和解决问题的能力.学案知识方法策略一、预习训练1.画出下列方位角：①南偏西55°；②北偏西25°；③东北方向。
二、探究新知活动一：如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西60°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西30°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中有触礁的危险吗?分析：根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则触礁的危险，如果小于或等于10海里，则触礁的危险.。
活动三某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾斜角由45°减至30°，已知原楼梯AC长为4 m，调整后的楼梯AB会加长多少？楼梯多占多长一段地面?1. 如图，为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥，建桥过程中需测量河的宽度（即两平行河岸AB与MN之间的距离）．在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB=30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA=60°，请你根据以上测量数据求出河的宽度约为．2.2013年4月20日，四川雅安发生里氏7.0级地震，救援队救援时，利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距4米，探测线与地面的夹角分别为30°和60°，如图所示，试确定生命所在点C的深度（结果精确到0.1米，参考数据2≈1.41，3≈1.73）课堂小结三角函数的应用：1.“实际问题”转化为→“数学问题”，→“建立数学模型”→“选择三角函数来解决”。
三角函数的图像与性质复习教案
三角函数的图像与性质复习教案一、教学目标1. 回顾和巩固三角函数的图像与性质的基本概念。
2. 提高学生对三角函数图像与性质的理解和应用能力。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 三角函数的图像与性质的基本概念。
2. 三角函数图像的绘制方法。
3. 三角函数性质的推导和应用。
三、教学重点与难点1. 重点：三角函数的图像与性质的基本概念和应用。
2. 难点：三角函数性质的推导和应用。
四、教学方法与手段1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的教学方法。
2. 使用多媒体课件、黑板、教具等教学手段。
五、教学过程1. 导入：通过复习已学过的三角函数图像与性质的基本概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解三角函数图像与性质的基本概念，结合实际例子进行解释和演示。
3. 练习：布置相关的练习题，让学生巩固所学的知识。
4. 讨论：组织学生进行小组讨论，分享各自的解题方法和思路。
六、教学评估1. 课堂练习：及时给予学生反馈，指出其错误，帮助学生纠正。
2. 课后作业：布置相关的作业，巩固所学知识，并及时批改，给予评价和建议。
3. 小组讨论：观察学生在讨论中的表现，了解其对知识的理解和应用能力。
七、教学拓展1. 邀请相关领域的专家或企业人士进行讲座或实践操作，让学生了解三角函数在实际生活中的应用。
2. 组织学生进行实地考察，如测量物体的高度等，运用三角函数解决实际问题。
3. 开展三角函数主题的研究性学习，培养学生的独立思考和探究能力。
八、教学反思1. 在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏。
2. 反思教学内容，确保涵盖了三角函数图像与性质的重点和难点。
3. 思考如何激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度和积极性。
九、教学计划与进度安排1. 制定详细的教学计划，明确每个阶段的教学目标和内容。
2. 根据学生的学习情况，合理调整教学进度，确保教学效果。
3. 定期进行教学评价，了解学生的学习进展，为后续教学提供参考。
三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质优秀教案一、教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握三角函数的图像与性质，能够运用三角函数解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生探索三角函数的图像与性质。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和团队协作能力。
二、教学内容：1. 三角函数的定义与图像2. 三角函数的周期性3. 三角函数的奇偶性4. 三角函数的单调性5. 三角函数的极值三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角函数的图像与性质的掌握。
2. 教学难点：三角函数的周期性、奇偶性、单调性和极值的判断。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角函数的图像与性质。
2. 利用多媒体手段，展示三角函数的图像，增强学生的直观感受。
3. 组织小组讨论，培养学生的团队协作能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生进入高中阶段的学习。
2. 探究三角函数的图像与性质：引导学生观察三角函数的图像，分析其特点，归纳出性质。
3. 讲解与示范：教师讲解三角函数的周期性、奇偶性、单调性和极值的判断方法，并进行示范。
4. 练习与反馈：学生进行课堂练习，教师及时给予反馈，巩固所学知识。
5. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业：布置相关作业，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
教案编写完毕，仅供参考。
如有需要，请根据实际情况进行调整。
六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组讨论的表现，评价学生的学习态度和团队协作能力。
2. 作业评价：对学生的课后作业进行批改，评价学生对课堂所学知识的掌握程度。
3. 单元测试评价：在单元结束后进行测试，评价学生对三角函数图像与性质的掌握情况。
七、教学策略：1. 针对不同学生的学习基础，采取分层教学，使所有学生都能跟上教学进度。
《3.3三角函数的图象与性质》 教案
三角函数的图象与性质适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长（分钟）60知 识 点正弦、余弦及正切函数的定义域、值域正弦、余弦及正切函数的周期性；正弦、余弦及正切函数的单调性正弦、余弦及正切函数的奇偶性；正弦、余弦及正切函数的对称性教学目标 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.(－π2，π2)教学重点1．三角函数的值域、最值、单调性、周期性等性质是重点．2．三角函数图像的对称性也是一个重点．教学难点灵活应用、管路敷设技术通过管线敷设技术不仅可以解决吊顶层配置不规范高中资料试卷问题，而且可保障各类管路习题到位。
在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。
管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。
线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。
、电气课件中调试查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。
对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
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【检测反馈】
1．已知 是实数，则函数 的图象不可能是( D )
2．若将函数 的图像向右平移 个单位长度后，与函数 的图像重合，则 的最小值为（D）
A． B. C. D.
3．如果函数 的图像关于点 中心对称，那么 的最小值为（A）
安边中学高三年级上学期数学学科导学稿执笔人：王广青总第29课时
备课组长签字：包级领导签字：学生：上课时间：2013.9
集体备课
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一、课题：4.3.3三角函数的图像和性质
二、学习目标
1．理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义和周期，并能画出三角函数的图像;
2．了解任意角的三角函数线的含义；
3．理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在 上的性质（单调性、最大和最小值、图像与x轴的交点等）；
三、教学过程
【温故知新】
1．图像变换问题--由函数 图象的基本步骤：
（1）平移变换：
（2）伸缩变换：
（3）振幅变换：
【导学释疑】
例1.已知像经过怎样的平移变换后得到的图像关
A. B. C. D.
4．函数 的最小值是_________________.
5.当 ，不等式 成立，则实数 的取值范围是_____________.k≤1
【学生小结】
谈谈学完本节课有什么收获？
教学反思