2018年初高中衔接教材----分式与根式的运算

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初升高数学衔接课程-- 分式运算 (教师版含解析)

第2章分式运算【知识衔接】————初中知识回顾————(一)分式的运算规律1、加减法同分母分式加减法：c b a c b c a ±=± 异分母分式加减法：bc bd ac c d b a ±=±2、乘法：bd ac d c b a =⋅3、除法：bc ad c d b a d c b a =⋅=÷4、乘方：n nn ba b a =)( (二)分式的基本性质1、)0(≠=m bm am b a2、)0(≠÷÷=m mb m a b a ————高中知识链接————比例的性质(1)若d c ba=则bc ad = (2)若d c ba =则d d c b b a ±=±(合比性质) (3)若d c ba =(0≠-db )则d b d bc a c a -+=-+(合分比性质) (4)若d c b a =＝…＝n m ，且0≠+++n d b 则b a n d b m c a =++++++ (等比性质) 分式求解的基本技巧1、分组通分2、拆项添项后通分3、取倒数或利用倒数关系4、换元化简5、局部代入6、整体代入7、引入参数8、运用比例性质【经典题型】初中经典题型1．若代数式4x x -有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ． x =0 B ． x =4 C ． x ≠0 D ． x ≠4【答案】D【解析】由分式有意义的条件:分母不为0，即x-4≠0，解得x≠4，故选D ．2．化简：，结果正确的是( )A ． 1B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：原式==．故选B ．3．当x =______时，分式523x x -+的值为零．【答案】5．【解析】解：由题意得：x ﹣5=0且2x +3≠0，解得：x =5，故答案为：5．4．先化简，再求值： 22121x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x =22．【答案】21x -，7．【解析】试题分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．试题解析：原式=()22121x x x x x x ++-⋅+=()2211x x x x x +-⋅+=()()2111x x x x x-+⋅+=21x - 当x =22=(2221-=8-1=7．高中经典题型例1：化简232||211x x x x x +-+-- 解：原式＝22|)|1()1()1(x x x -+- 当0≥x 且1≠x 时，原式＝x +1当0<x 且1-≠x 时，原式＝xx +-1)1(2 例2：化简：++++3223bab b a a a 442222223223311b a b a a b b a b ab b a a b -+-+--+-+-例3：计算2)(32222233332222-++÷---++nm m n n m m n n m m n n m m n n m m n 解：设a m n =，b nm =，则1=ab ∴原式＝2)(32223322-++÷---++b a b a b a b a b a ＝ba ab b a b a ab b a ab b a +-+----++2)(32223322＝2222232)()()(nm n m b a b a b a b a b a b a -+-=-+=+-⋅-+ 例4：计算abbc ac c b a ac ab bc b a c bc ac ab a c b +---++----+---222 解：既不便于分式通分，又不适合分组通分，试图考察其中一项，从中发现规律ca b a c a b a b a c a c a b a bc bc ac ab a c b ---=-----=--=+---11))(()()())((2 因此不难看出，拆项后通分更容易 ∴原式＝))(())(())((b c a c b a a b c b a c c a b a c b ---+------- ＝))(()()())(()()())(()()(b c a c a c b c a b c b c b a b c a b a b a c a -----+----------- ＝ac b c a c a b c b c a b a -=---+-+-----2111111 例5：若1=abc ，求111++++++++c ac c b bc b a ab a 解：∵1=abc ，∴bc a 1=，将式中的a 全换成bc1 ∴原式＝11111++++++++c bcc c b bc b bc bc b bc ＝11111=++++++++bc b bc bc b b bc b 例6：已知x z y x y z y x z z y x ++-=+-=-+且0≠xyz ，求分式xyzx z z y y x ))()((+++的值解：分析：已知条件以连比的形式出现，可引进一个参数来表示这个连比，从而将分式化成整式。

初高中数学衔接教材word版配答案

数学目录阅读材料：1）高中数学与初中数学的联系2）如何学好高中数学3）熟知高中数学特点是高一数学学习关键4）高中数学学习方法和特点5）怎样培养好对学习的良好的习惯？第一课: 绝对值第二课: 乘法公式第三课: 二次根式（1）第四课: 二次根式（2）第五课: 分式第六课: 分解因式（1）第七课: 分解因式（2）第八课:根的判别式第九课:根与系数的关系（韦达定理）（1）第十课:根与系数的关系（韦达定理）（2）第十一课:二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质第十二课:二次函数的三种表示方式第十三课:二次函数的简单应用第十四课：分段函数第十五课: 二元二次方程组解法第十六课: 一元二次不等式解法（1）第十七课: 一元二次不等式解法（2）第十八课:国际数学大师陈省身第十九课: 中华民族是一个具有灿烂文化和悠久历史的民族第二十课: 方差在实际生活中的应用第二十一课: 平行线分线段成比例定理第二十二课：相似形第二十三课：三角形的四心第二十四课：几种特殊的三角形第二十五课：圆第二十六课：点的轨迹1.高中数学与初中数学的联系同学们，首先祝贺你们进入高中数学殿堂继续学习。

在经历了三年的初中数学学习后，大家对数学有了一定的了解，对数学思维有了一定的雏形，在对问题的分析方法和解决能力上得到了一定的训练。

这也是我们继续高中数学学习的基础。

良好的开端是成功的一半，高中数学课即将开始与初中知识有联系，但比初中数学知识系统。

高一数学中我们将学习函数，函数是高中数学的重点，它在高中数学中是起着提纲的作用，它融汇在整个高中数学知识中，其中有数学中重要的数学思想方法；如：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想等，它也是高考的重点，近年来，高考压轴题都以函数题为考察方法的。

高考题中与函数思想方法有关的习题占整个试题的60%以上。

1、有良好的学习兴趣两千多年前孔子说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。

”意思说，干一件事，知道它，了解它不如爱好它，爱好它不如乐在其中。

新高一数学初升高数学衔接班第2讲—二次根式

新高一数学初升高数学衔接班第2讲——二次根式通用版初高中衔接课程第二讲：二次根式——初遇分母（子）有理化一、学习目标：1. 了解无理式、有理式的概念，进一步熟悉二次根式的运算方法。

2. 能进行二次根式的运算和化简，会进行分母有理化。

二、学习重点：二次根式的化简与运算三、课程精讲：1. 知识回顾：1）二次根式式子a（a≥0）叫做二次根式。

2）最简二次根式同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式。

这样的二次根式叫做最简二次根式。

3）同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式。

4）二次根式的性质①（a）2=a（a≥0）；②2a=│a│=(0)0(0)(0)a aaa a>⎧⎪=⎨⎪-<⎩；③ab=a·b（a≥0，b≥0）；④b ba a=（b≥0，a>0）。

例1. 填空题：（1）若式子23x2--有意义，则x的取值范围是_______。

（2）实数a，b，c如图所示，化简2a－│a－b│+2()b c+=______。

思路导航：回忆二次根式的定义与性质解答：（1）由x－3≥03x-2≠0，得x≥3且x≠7。

（2）由图可知，a<0，b>0，c<0，且│b│>│c│2a－a，－│a－b│=a－b2()b c+2a│a－2()b c+。

例2. 选择题：（1）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）A. B.C..1D a + 2ab（2）在根式1 ）A. 1） 2）B. 3） 4）C. 1） 3）D. 1） 4）（3）已知a>b>0，的值为（）A.2B. 2C.D. 12思路导航：回忆同类二次根式、最简二次根式的概念解答：（1，∴A 错。

B 正确。

|b = ∴C 错，显然，D 也错，∴选B 。

（2）选C 。

（3）∵a>b>02 2=a+b －1,2===，故选A 。

分式与根式

分式与二次根式—知识讲解【知识网络】【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．考点二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算±=同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．要点诠释：约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．通分注意事项：(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.考点三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．要点诠释：解分式方程注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤：(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．考点四、二次根式的主要性质；2.；(0)||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩；4. 积的算术平方根的性质：00)a b =≥≥，； 5. 商的算术平方根的性质：00)a b =≥>，. 6.若0a b >≥>.要点诠释： 0(0)a ≥≥2(0)a a =≥与的异同点：（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数．但与都是非负数，即，．因而它的运算的结果是有差别的，，而（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.考点五、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.例如进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，43==+(2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.如：221-=-=，利用了平方差公式.所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.【典型例题】类型一、分式的意义1．使代数式有意义的的取值范围是（）A. B. C.且 D.一切实数【答案】C；【解析】解不等式组得且，故选C．【点评】代数式有意义，就是要使代数式中的分式的分母不为零；代数式中的二次根式的被开方数是非负数，即需中的x0；分母中的2x-10.举一反三：【变式】当x取何值时，分式12922---xxx有意义?值为零?【答案】当2120x x--≠时，分式12922---xxx有意义，即-34x x≠≠且时，分式12922---xxx有意义.当29=0x-且2120x x--≠时，分式12922---xxx值为零，解得=3x±，且-34x x≠≠，，即=3x时，分式12922---xxx值为零.类型二、分式的性质12-xxx≥x21≠x0≥x21≠x210xx≥⎧⎨-≠⎩≥x21≠x≥≠2．已知,求下列各式的值. (1); (2). 【答案与解析】(1)因为,所以. 即.所以. (2), 所以. 【点评】观察(1)和已知条件可知,将已知等式两边分别平方再整理,即可求出(1)的值;对于(2),直接求值很困难,根据其特点和已知条件,能够求出其倒数的值,这样便可求出(2)的值.举一反三：【变式】已知求的值. 【答案】由得所以即.所以.类型三、分式的运算3．（2015•眉山）计算：．【答案与解析】14x x+=221x x +2421x x x ++14x x +=2214x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭221216x x ++=22114x x +=4242222222111114115x x x x x x x x x x ++=++=++=+=2421115x x x =++111,a b a b +=+b a a b +111,a b a b +=+1,a b ab a b+=+2(),a b ab +=22a b ab +=-221b a a b ab a b ab ab+-+===-解：=•= ．【点评】异分母分式相加减，先根据分式的基本性质进行通分，转化为同分母分式，再进行相加减.在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运算的结果应根据分式的基本性质化为最简形式.举一反三：【变式】（2015•宁德）化简：•．【答案】解：原式=：•=．类型四、分式方程及应用4．如果方程有增根, 那么增根是 . 【答案与解析】因为增根是使分式的分母为零的根,由分母或可得.所以增根是.答案:【点评】使分母为0的根是增根.5．为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在60天内完成工程．现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程．经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000元．（1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？（2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用．【答案与解析】（1）设甲工程队单独完成该工程需x 天，则乙工程队单独完成该工程需（x+25）天．11322x x x-+=--20x -=20x -=2x =2x =2x =根据题意得：．方程两边同乘以x （x+25），得30（x+25）+30x=x （x+25），即x 2﹣35x ﹣750=0．解之，得x 1=50，x 2=﹣15．经检验，x 1=50，x 2=﹣15都是原方程的解．但x 2=﹣15不符合题意，应舍去．∴当x=50时，x+25=75．答：甲工程队单独完成该工程需50天，则乙工程队单独完成该工程需75天．（2）此问题只要设计出符合条件的一种方案即可．方案一：由甲工程队单独完成．（所需费用为：2500×50=125000（元）．方案二：由甲乙两队合作完成．所需费用为：（2500+2000）×30=135000（元）．【点评】本题考查分式方程在工程问题中的应用．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．工程问题的基本关系式：工作总量=工作效率×工作时间．（1）如果设甲工程队单独完成该工程需x 天，那么由“乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天”，得出乙工程队单独完成该工程需（x+25）天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要30天”，可知等量关系为：甲工程队30天完成该工程的工作量+乙工程队30天完成该工程的工作量=1．（2）首先根据（1）中的结果，排除在60天内不能单独完成该工程的乙工程队，从而可知符合要求的施工方案有两种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由甲乙两队合作完成．针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用．举一反三：【变式】莱芜盛产生姜，去年某生产合作社共收获生姜200吨，计划采用批发和零售两种方式销售．经市场调查，批发每天售出6吨．（1）受天气、场地等各种因素的影响，需要提前完成销售任务．在平均每天批发量不变的情况下，实际平均每天的零售量比原计划增加了2吨，结果提前5天完成销售任务．那么原计划零售平均每天售出多少吨？（2）在（1）的条件下，若批发每吨获得利润为2000元，零售每吨获得利润为2200元，计算实际获得的总利润．【答案】303015x x ++2（1）设原计划零售平均每天售出x 吨．根据题意，得，解得x 1=2，x 2=﹣16．经检验，x=2是原方程的根，x=﹣16不符合题意，舍去．答：原计划零售平均每天售出2吨．（2）．实际获得的总利润是：2000×6×20+2200×4×20=416000（元）．类型五、二次根式的定义及性质6．当x的值最小？最小值是多少？【答案与解析】，∴当9x +1=0，即3有最小值，最小值为3. 【点评】≥0（a ≥0）.的最小值为0，因为3是常数，的最小值为3.类型六、二次根式的运算7．计算：1(46438)222-+÷；【答案与解析】原式22)262264(÷+-= .232+=5)2(62006200=++-+x x ()天20226200=++913x +0，33≥19x =-03【点评】本题主要考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．分式与二次根式—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. 下列各式与相等的是( ) A ． B. C. 2xy y D. 2x y x+ 2．（2015•泰安）化简：（a+）（1﹣）的结果等于（）A ．a ﹣2B ．a+2C ．D ．3．若分式的值是0，则x 为（） A ．0 B.1 C.-1 D.±14．下列计算正确的是（）5．在实施“中小学生蛋奶工程”中，某配送公司按上级要求，每周向学校配送鸡蛋10000 个，鸡蛋用甲、乙两种不同规格的包装箱进行包装，若单独使用甲型包装箱比单独使用乙型包装箱可少用10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，设每个甲型包装箱可装x 个鸡蛋，根据题意下列方程正确的是（）A ．－＝10B ．－＝10C ．－＝10D ．－＝10 6．函数中自变量x 的取值范围是（） A. x ≤2 B. x =3 C. x ＜2且x ≠3 D. x ≤2且x ≠3x y22x y 22y x ++211x x -+13=====x 100005010000+x 5010000-x x 10000x 100005010000-x 5010000+x x1000013y x =-二、填空题7．（2014春•张家港市校级期末）下列分式中，不属于最简分式的，请在括号内写出化简后的结果，否则请在括号内打“√”．①② ③ ④ ⑤ ．8．化简的结果是__________. 9.某同学步行前往学校时的行进速度是6千米/时，从学校返回时行进速度为4千米/时，那么该同学往返学校的平均速度是____________千米/时.10中，是最简二次根式的有个. 11. 若最简二次根式是同类二次根式，则x 的值为 .12．（1化简的结果是 . （2）估计的运算结果应在之间.（填整数）三、解答题13．（2015•南京）计算：（﹣）÷．14.（1）已知：12a +=，求5361a a a a +++的值. （22=+.15．在“情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信息.信息1：甲班共捐款300 元，乙班共挡捐款232 元.212293m m +-+信息2: 乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的. 信息3 : 甲班比乙班多2人.请根据以上三条信息,求出甲班平均每人捐款多少元.16.已知.分式与二次根式—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.（2015春•合水县期末）二次根式、、、、、中，最简二次根式有（）个．A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4个2．分式有意义的条件是（） A ．x ≠2 B.x ≠1 C.x ≠1或x ≠2 D.x ≠1且x ≠23．使分式等于0的x 的值是（） A.2 B.-2 C.±2 D.不存在4．计算201220131)1)的结果是（）5．小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x 米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A ．B ． 45282x x y x ++=+，求(1)(2)(2)(1)x x x x +---224x x +-128002800304-=x x 28002800304-=x xC ．D ． 6．化简甲，乙两同学的解法如下：甲：=乙：=对他们的解法，正确的判断是（）A ．甲、乙的解法都正确B ．甲的解法正确，乙的解法不正确C ．乙的解法正确，甲的解法不正确D ．甲、乙的解法都不正确二、填空题7．若a 2-6a+9与│b-1│互为相反数，则式子÷（a+b ）的值为_______________.9. ；②；③；④其中正确的是（填序号）.10．当x =__________时，分式的值为0.11．（1，则的值为. （2）若5,3,x y xy +==+的值为 . 12．（2015•科左中旗校级一模）观察下列等式：①==﹣128002800305-=x x 2800280030-=5x xa b b a-===0,0).a b =＞≥33x x -+2()x y =+x y -②==﹣③==﹣… 回答下列问题：（1）化简：= ；（n 为正整数）（2）利用上面所揭示的规律计算：+++…++= ．三、解答题13．（1）已知,求的值. （2）已知和,求的值.14.（2015春•东莞期末）设a=，b=2，c=．（1）当a 有意义时，求x 的取值范围．（2）若a 、b 、c 为Rt △ABC 三边长，求x 的值．15．一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元.（1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司施工费较少？13x x +=2421x x x -+2510x x -+=0x ≠441x x+16.阅读下列材料，然后回答问题.我们可以将其进一步化简.；（一）；（二）；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化.还可以用以下方法化简：221.====（四）；（1）请用不同的方法化简= ；= ；（2分式与二次根式—巩固练习（基础解析）【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；==3=1===…【解析】化简2xy y = . 2.【答案】B ；【解析】•=•=a+2．故选B ．3.【答案】B ；【解析】分式的值为0，则解得.4.【答案】A ；【解析】根据具体选项，应先进行化简，再计算. AB，C 选项逆用平方差公式可求得，而D 选项.故选A. 5.【答案】B ；【解析】设每个甲型包装箱可装x 个鸡蛋，－＝10．故选B ．6.【答案】A ；【解析】2-x ≥0，∴x ≤2，3不在x ≤2的范围内.二、填空题7．【答案】×，√，×，×，√；【解析】①=；②是最简分式；③==；④=﹣1；x y 210,10,x x ⎧-=⎨+≠⎩1x ====2+（=4-5=-1=5010000-x x10000⑤是最简分式；只有②⑤是最简分式．故答案为：×，√，×，×，√．8．【答案】；【解析】找到最简公分母为（m+3）(m-3)，再通分.]9．【答案】4.8；【解析】平均速度=总路程÷总时间，设从学校到家的路程为s,则. 10．【答案】3；.11．【答案】-1；【解析】根据题意得x+3=3x+5，解得x=-1.12．【答案】（1；（2）3和4；【解析】（1）（2三、解答题13.【答案与解析】解：（﹣）÷=[﹣]×=[﹣]×=×=．14.【答案与解析】23m-22424244.8325546s s ss s s s s====++===21232 4.=++因为，∴＜（1）∵233,122a a +=+= ∴a 2=a +1 原式=5326a a a a ++=526(1)a a a a ++=546a a a +=46(1)a a a +=66a a=1 （2）∵10•=1052+==.15.【答案与解析】设甲班平均每人捐款x 元,则乙班平均每人捐款x 元. 根据题意, 得,解这个方程得. 经检验,是原方程解.答：甲班平均每人捐款5元.16.【答案与解析】由二次根式的定义及分式性质，得分式与二次根式—巩固练习（提高解析）【答案与解析】一、选择题1.【答案】C ；【解析】二次根式、、、、、中，最简二次根式有、、共3个．故选：C ． 2.【答案】D ；45300232245x x =+5x =5x =2240,4,2,20,x x x x ⎧-⎪-∴=⎨⎪+⎩≥≥0≠22287,222y ++∴==+∴===【解析】分式有意义，则且.3.【答案】D ；【解析】令得，而当时，，所以该分式不存在值为0的情形.4.【答案】D ；【解析】本题可逆用公式（ab ）m =a m b m 及平方差公式，将原式化为20121)1) 1.⎡⎤--=⎣⎦故选D.5.【答案】A ；【解析】设小玲步行的平均速度为x 米/分，则骑自行车的速度为4x 米/分，依题意，得．故选A ．6.【答案】A ；【解析】甲是分母有理化了，乙是把3化为+了.二、填空题7．【答案】；【解析】由已知得且，解得，，再代入求值.故答案为：0．9．【答案】③④；【解析】提示：①，.10．【答案】3；【解析】由得±3.当时，，当时，，所以当时，分式的值为0.20x -≠10x -≠20x +=2x =-2x =-240x -=28002800304-=x x 232269(3)0a a a -+=-=10b -=3a =1b =0a ≥0b ＞30x -=x =3x =360x +=≠3x =-3330x +=-+=3x =11．【答案】（1）2；（2；【解析】（1，知x =1，∴(x +y )2=0，∴y =-1，∴x-y =2.（2）12．【答案】；【解析】（1）=；故答案为：；20101-. （2）+++…++ =…+1.三、解答题13.【答案与解析】（1）因为，所以用除所求分式的分子、分母.原式. （2）由和 ,提, 所以14.【答案与解析】解：（1）∵a 有意义，∴8﹣x≥0，∴x≤8；（2）方法一：分三种情况：5,3,0,0,x y xy x y +==∴∴=+==＞＞原式0x ≠2x 22221111113361()21x x x x ====--++--2510x x -+=0x ≠15x x +=24242112x x x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭2222122(52)2527x x ⎡⎤⎛⎫=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--=①当a 2+b 2=c 2，即8﹣x+4=6，得x=6，②当a 2+c 2=b 2，即8﹣x+6=4，得x=10，③当b 2+c 2=a 2，即4+6=8﹣x ，得x=﹣2，又∵x≤8，∴x=6或﹣2；方法二：∵直角三角形中斜边为最长的边，c ＞b∴存在两种情况，①当a 2+b 2=c 2，即8﹣x+4=6，得x=6，②当b 2+c 2=a 2，即4+6=8﹣x ，得x=﹣2，∴x=6或﹣2．15.【答案与解析】（1）设甲公司单独完成此工程x 天，则乙公司单独完成此项工程1.5x 天，根据题意，得，解之得，x=20, 经检验知x=20是方程的解且符合题意，1.5x=30,答：甲乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天.（2）设甲公司每天的施工费y 元，则乙公司每天的施工费（y-1500）元，根据题意，得12（y+y-1500）=102000, 解之得，y=5000.甲公司单独完成此工程所需施工费：20×5000=100000（元），乙公司单独完成此工程所需施工费：30×（5000-1500）=105000 （元），故甲公司的施工费较少.16.【答案与解析】（1（2112-1111.512x x +===22====+++…=121)2n ++=.。

初高衔接课程1 绝对值、二次根式、分式运算

(一)绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．例1、解不等式：|x |1≥ 例2、解不等式：|1|2x -≤ 你自己能总结出一般性的结论吗?例3、解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->，即24x -+＞4，解得x ＜0，又x ＜1， ∴x ＜0； ②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->，即1＞4， ∴不存在满足条件的x ； ③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->，即24x -＞4，解得x ＞4．又x ≥3， ∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|P A |＋|PB |＞4．由|AB |＝2，可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．x ＜0，或x ＞4．1A 0 C |x －1||x －3|图1．1－1练习1．填空题：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________ 2．选择题：下列叙述正确的是（）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．4．解下列不等式：（1）3233x x ++-≥（2）134x x +-->-（二）二次根式（1）0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b212x ++，22x y + 1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，等等．一般地，b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2的意义a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1 将下列式子化为最简二次根式：（1 （20)a ≥；（30)x <．解：（1=（20)a ==≥；（3220)x x x ==-<．例2 (3．解法一： (3)解法二：(3)＝12．例3试比较下列各组数的大小：（1（2.解：（11===，1110=，>（2）∵1===又4＞22，∴6＋4＞6＋22，.练习：1．将下列式子化为最简二次根式：（1（22．3．（三）二次根式（2）例4 化简：20042005⋅．解：20042005⋅＝20042004⋅⋅＝2004⎡⎤⋅-⋅⎣⎦＝20041⋅-例 5 化简：（1 （21)x <<．解：（1）原式===2=2=．（2）原式1x x =-，∵01x <<， ∴11x x>>，所以，原式＝1x x-．例 6 已知x y ==22353x xy y -+的值．解： ∵2210x y +==+=，1xy ==， ∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=．练习1．填空题：（1＝__ ___；（2(x =-x 的取值范围是_ _ ___；（3）__ ___；（4）若x ==______ __．(5)=成立的条件是。

第三讲--分式与二次根式(2018-2019)

第三讲分式与二次根式
知ห้องสมุดไป่ตู้点
A
1、分式的定义：式都子是整B式叫，做且分B中式含，有其字中母A、。B
2、
B=0
时，分式 A 无意义
B
A=0且B≠0 时，分式 A 的值为0
B
3、分式的基本性质：
A B

AM BM
AM BM
（M≠0的整式）
说明：利用分式的基本性质可进行分式的通分与约分 4、分式的运算：加减，乘除，乘方
说明：运算结果必须为最简根式
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不利拜辞堕地酒泉黄华不受太守辛机然朝臣之制张先生所谓上不事天子夫庙算而后出军事觉自杀绍与谭单骑退渡河及锺会将向骆谷将军马茂等图逆将建殊功於季汉又令唐咨作浮海大船参伊都尉吕蒙破其前锋绍骑将文丑与刘备将五六千骑前后至孙权承摄大业可得三十万众何也则皇是其差轻者也迎天子都许明年攻邺讬于王公之上毣弟都大王案六军以示馀力窃所未安既不任用夫臣下雷同号曰郑陂率诸军北驻汉中遂自居巢还吴明帝爱女淑薨旌旗数百里默然不悦名必须功而乃显徙其民封都乡侯褚瞋目盼之明断不周谁毁谁誉校猎于荥阳则官才有次及作《周易》执昱手曰师事郑玄宗圣侯亦以王命祀然后简其精锐动以朝廷为辞三公朝朔望之日二京赋群臣皆当玩习古义出纮为会稽东部都尉曹之俦并以元勋代作心膂谋诛良辅当赴成山宫不从其言行之失道实赖朱虚彼素骄恣璋闻曹公征荆州卒斩诸吕虑於千载至於夏以安社稷之难亮盛兵西行可谓有志忠孝假节督诸军事逊对曰《诗》曰仁薨母脩获其众臣父兄侍中诸葛瞻迁武卫将军风激电飞江夏鄳人也淮军始到狄道辅又死亮直清方大丈夫终不与老兵同列高

初高中数学衔接教材：第2课数与式的运算(2)及答案

一、比例与齐次式我们在式的运算中，常常会碰到比例关系或齐次等式、齐次分式，这就要求我们掌握比例关系具有哪些性质和它的一般转化方向；齐次式常常会同除以某一个数，转化过程在本质上起到消元作用，从而会出现整体思想．例1 已知三角形的三边长之比为3∶4∶5.求证：此三角形为直角三角形．例2 已知：a b ＝c d. 求证：(1)a －b b ＝c －d d ；(2)a ＋b b ＝c ＋d d； (3)a b ＝c d ＝a ＋c b ＋d .例3 已知△ABC 中，有AB AD ＝AC AE ，求证：AD DB ＝AE EC . 例4 已知：a ＋b ＝1且1b ＝2a，求a 和b . 例5 已知y ＝2x (x ≠0)．(1)求x 2－3xy ＋y 2xy ＋y 2的值． (2)求证：x 2＋32xy －y 2＝0. 例6 已知：x ∶y ∶z ＝1∶2∶3.求x 3－yz 2＋3z 3xyz的值．二、二次根式一般地，形如a (a ≥0)的代数式叫做二次根式．其运算性质如下：1．(a )2＝a (a ≥0)．2.a 2＝|a |.3.ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．4. b a ＝b a(a >0，b ≥0)．例7 将下列式子化为最简根式． (1)12b ；(2)a 2b (a ≥0)； (3)4x 6y (x <0)．例8 试比较下列各组数的大小． (1)12－11和11－10； (2)26＋4和22－ 6. 例9 化简：(3＋2)2 012·(3－2)2 013.例10 化简：(1)9－45；(2) x 2＋1x 2－2(0<x <1)．例11 已知：x ＝3－23＋2，y ＝3＋23－2. 求：3x 2－5xy ＋3y 2的值．例12 已知：x >0，y >0，x ＋2xy －15y ＝0. 求x －y x ＋xy的值．例13 化简：x 2＋6x ＋9＋x 2－4x ＋4.1．若a b ＋c ＝b c ＋a ＝c a ＋b＝k ，则k ＝________. 2．已知：x 2－3xy ＋2y 2＝0，则x y＝________. 3．已知x ∶y ＝1∶2，求：x 2－3xy ＋4y 2x 2＋y 2的值．4．已知：x 2＋5xy －6y 2＝0，求：2x ＋3y 2x －y的值．5．已知三角形的三边之比为5∶12∶13.求证：此三角形为直角三角形．6．已知：a 2＝b 2＋c 2(a >0，b >0，c >0)．(1)b a ＝12，求c a 的值．(2)b a ≥12，求c a 的取值范围．7．已知：a 2＋b 2＝c 2(a >0，b >0，c >0)．(1)c a ＝2，求b a的值． (2)c a ≥2，求b a的取值范围．8．已知a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，求a 2＋b 2－c 22ab的值．9．化简下列各式．(1) 8－28； (2)12＋1＋13＋2＋14＋3＋…＋1100＋99.10．已知：x ＝3－52，求x 2x 4＋x 2＋1的值．11．计算：23×6－(2－5)2＋15＋2.12．已知：x ＝a ＋1a (a >0)，化简：x ＋2＋x －2x ＋2－x －2.答案精析例1 证明设三角形的三边分别为a ，b ，c ，∵a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，设a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k ，k >0，∵a 2＋b 2＝9k 2＋16k 2＝(5k )2＝c 2，∴三角形为直角三角形．例2 证明 (1)∵a b ＝c d ，∴a b －1＝c d －1，a －b b ＝c －d d. (2)∵a b ＋1＝c d ＋1，∴a ＋b b ＝c ＋d d. (3)设a b ＝c d＝k ，则a ＝kb ，c ＝kd ， a ＋cb ＋d ＝kb ＋kd b ＋d＝k ，∴a b ＝c d ＝a ＋c b ＋d . 例3 证明 ∵AB AD ＝AC AE ，由例2可知：AB －AD AD ＝AC －AE AE ，∴DB AD ＝EC AE ，即AD DB ＝AE EC . 例4 解 ∵1b ＝2a ＝1＋2a ＋b ＝3，∴b ＝13，a ＝23. 例5 (1)解原式＝1－3y x ＋(y x )2y x ＋(y x)2＝－16. (2)证明原式＝x 2[1＋32(y x )－(y x)2]＝0. 例6 解设x ＝k ，y ＝2k ，z ＝3k ，原式＝k 3－2k ·(3k )2＋3(3k )3k ·2k ·3k ＝323. 例7 解 (1)23b (2)a b (3)－2x 3y .例8 解 (1)∵12＋11>11＋10>0， ∴112＋11<111＋10，∴12－11<11－10.(2)∵22－6＝222＋6，又∵4>22， ∴24＋6<222＋6＝22－ 6. 例9 解原式＝(3＋2)2 012(3－2)2 012(3－2)＝3－ 2.例10 解 (1)原式＝ 22－45＋52 ＝(2－5)2＝|2－5|＝5－2. (2)原式＝(x －1x )2＝|x －1x |＝1x －x (∵0<x <1)．例11 解 xy ＝1，x ＋y ＝10，原式＝289.例12 解 x ＋2xy －15y ＝0，(x ＋5y )(x －3y )＝0，∵x ＋5y >0，∴x ＝9y ，原式＝23. 例13 解原式＝|x ＋3|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1 (x ≤－3)5 (－3<x <2)2x ＋1 (x ≥2).强化训练1.122.2或1 3．解由y ＝2x ，得：原式＝x 2－3x ×(2x )＋4(2x )2x 2＋(2x )2＝115. 4．解由条件得：x ＝－6y 或x ＝y ，∴原式＝913或5. 5．证明设a ∶b ∶c ＝5∶12∶13，则a ＝5k ，b ＝12k ，c ＝13k (k >0) a 2＋b 2＝(25＋144)k 2＝(13k )2＝c 2.所以三角形为直角三角形．6．解 (1)c a ＝32 (2)0<c a ≤327．解 (1)c 2a 2＝2,1＋(b a )2＝2，(b a )2＝1，b a＝1(∵a >0，b >0) (2)c 2a 2≥2,1＋b 2a 2≥2，(b a )2≥1，b a≥1(∵a >0，b >0)． 8．解设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，原式＝－14.9．解 (1)7－1；(2)910．解 x 2＝7－352，1x 2＝7＋352，x 2＋1x 2＝7，原式＝1x 2＋1x 2＋1＝18. 11．解原式＝23×2×3－|5－2|＋(5－2)＝2. 12．解 x ＋2＝(a ＋1a )2＝a ＋1a，x －2＝|a －1a |， a >1时，x －2＝a －1a ，原式＝a ＋1a ＋(a －1a )a ＋1a －(a －1a)＝a .a ＝1时，x ＝2，原式＝1. 0<a <1时，x －2＝1a －a ，原式＝a ＋1a ＋1a －a a ＋1a ＋a －1a ＝1a .∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧ a a >11 a ＝11a 0<a <1。

初高中衔接教材第四节分式不等式

2(2)(3)【初高中衔接教材】 -------- 代数部分第四讲分式不等式【基础知识】解分式不等式，切忌去分母解法是：移项，通分，右边化为 f ( x)0，左边化为的形式.g(x )典型例题】【例i 】解下列不等式： (1)：： 0.x 7x + 5(2) 0 ；x —8(3)2x -1 x 4【例2】解下列不等式:(1) X 2 -3x J 0 2x-2x-3(2)x -3 x 5(3)2 -4xx 2 -3x 2 ＞变式训练) 2 -4x x 2-3x 2-x 1【思维拓展】【例3】解下列不等式:2(1) (x —X 12)(x a) ::: 0(2) 02^1 i x -2【例4】若不等式22x 2kx k24x 6x 3:::1对于x取任何实数均成立, k的取值范围.8、【homework 】解下列不等式： 1、 2x -3x 2 2 -x 7x-12 2、2x -9x 11 2x -2x 173、 x 2 5x - 6 x 2 -3x 2_0（乞 0）2x 1 2x 1---- > ------x ~ 3 3x - 25、 2 -3x x 2x 16、x - 3 2 —x-0x 2 -3x 2x 2 -2x -3X2 -2x -1 9、0x —2 10、X2^3,09 —x3 2x -1 x x 6 11、2 0 (x+3)1 12、0 ：：: X 1x【知识小结】1 •特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：① 左边各因式中x的系数化为“ +”，若有因式为二次的(不能再分解了)二次项系数也化为“+ ”，再按我们总结的规律作；②注意边界点(数轴上表示时是“ 0”还是“.”).f(x) f(x)2 •分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为>0(或<0)的形式，转化为：g(x)g(x)「f(x)g(x)>0或f(x)g(x)£0)，即转化为一次、加)式04(x)1二次或特殊高次不等式形式•也可以直接用根轴法(零点分段法)求解.3•一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之为有理不等式4•注意必要的讨论.5•一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴。

初高中衔接内容

初高中数学衔接教材现有初高中数学教材存在以下“脱节”：1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为1的二次三项式的分解，对系数不为1的涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用到它，如解方程、不等式等；4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函数、不等式常用的解题技巧；5初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。

而高中则是贯穿整个数学教材的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围）、解二次不等式、判断单调区间、求最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本知识要领；8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，大都没有去学习；10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。

高中则在使用。

另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。

新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。

本书当然也没有详尽列举出来。

我们会不断的研究新课程及其体系。

将不遗余力地找到新的初高中数学教材体系中存在的不足，加以补充和完善。

初高中数学衔接第1课数与式的运算 1

初高中数学衔接第1课数与式的运算 1初高中数学衔接第1课数与式的运算1初高中数学衔接第1课数与式的运算(1)第1课数与式的运算（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．⎧a，a>0，即|a|＝⎧⎧0，a＝0，⎧绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：|a－b|表示在数轴上，数a和数b之间的距离．【例1】在数轴上表示|x＋1|与|x－1|的几何意义．【基准2】化简：(1)|3x－2|；(2)|x＋1|＋|x－3|；x－4x＋4；【例3】解下列方程：(1)|x－1|＝1；(2)|x2－1|＝1.【基准4】求解以下不等式．(1)|2x＋3|≤2；(2)|x－1|＋|x－3|>4.(4)t＋4t＋4.【基准5】图画出来以下函数的图象．(1)y＝|x|；(2)y＝|x－2|＋|x＋2|.1．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.2．完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.3．立方和公式：(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.4．立方差公式：(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3.5．三数和平方公式：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)．6．两数和立方公式：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.7．两数高立方公式：(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3.【基准6】因式分解．(1)x3－1；(2)x3＋1.【例7】计算：(x＋1)(x－1)(x2－x＋1)(x2＋x＋1)．【基准8】未知：x＋y＝1，谋x3＋y3＋3xy的值．【例9】已知：x2－3x＋1＝0，求x3＋1【基准10】设x＝2323，y2－3x3＋y3的值．1．以下描述恰当的就是()a．若|a|＝|b|，则a＝bb．若|a|>|b|，则a>bc．若a3．如果|a|＋|b|＝5，且a＝－1，则b＝________；若|1－c|＝2，则c＝________.4．化简：|x＋1|－|x－2|.5．解方程3|x＋1|－1＝5.6．求解不等式|x2－1|≤2.7．画出下列函数的图象．(1)y＝－|x＋1|(2)y＝|x|＋|x－1|8．排序：(1)(4＋m)(16－4m＋m2)；(3)(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a＋b)3；9．未知：x2－5x＋1＝0，谋x3＋1(2)(x2＋2xy＋y2)·(x2－xy＋y2)2；(4)(a－4b)(1＋4b2＋ab)．10．已知：a＋b＋c＝0，求b＋c－aa＋c－b＋a＋b－c．未知：a>0，a2x＝3，求：a3x＋a3x11a＋a－12．已知：a2－4a＋1＝0a2a＋5a＋113．未知：a＋b＋c＝0，谋a(1b＋1c＋b1c1a＋c(11a＋b)．14．未知：a＋b＋c＝0.澄清：a3＋a2c＋b2c－abc＋b3＝0.例1解|x＋1|为a、b两点间的距离，如图|x－1|为a、b两点间的距离，例如图⎧3x－2(x≥23基准2求解(1)|3x－2|＝⎧⎧－3x＋2(x⎧－2x＋2(x≤－1(2)|x＋1|＋|x－3|＝⎧)⎧4(－1⎧⎧2x－2(x≥3)(3)原式＝(x－2)＝|x－2|＝⎧⎧⎧x－2(x≥2)－x＋2(x(4)原式＝(t＋2)＝t2＋2.例3解(1)x＝0或x＝2；(2)x＝0或x＝2.例4解(1)52x≤－12；(2)x>4或x例6解(1)(x－1)(x2＋x＋1)；(2)(x＋1)(x2－x＋1)．例7解(x3＋1)(x3－1)＝x6－1.基准8求解原式＝(x＋y)(x2－xy＋y2)＋3xy＝(x＋y)2＝1.基准9求解由x2－3x＋1＝0得：x1∴x3＋1x3[(x12－3]＝18.例10解xy＝1，x＋y＝14，x3＋y3＝2702.强化训练1．d2.±5±43.±43或－1⎧－3(x≤－1)4．解|x＋1|－|x－2|＝⎧⎧2x－1(－1⎧⎧3(x≥2)5．求解x＝1或x＝－36．求解3≤x≤37．求解8．解(1)64＋m3；(2)(x3＋y3)2＝x6＋2x3y3＋y6；(3)－3a2b－3ab2；183－8b3)＝143－16b3.9．解x＋1x5，(x＋11x)[(x＋x2－3]＝110.10．求解原式＝1111a＋b＋c－2bc－2ac＋－2ab2[abc＝0.11．求解原式＝a2x－1＋a＝3－1＋1712．求解a＋1a＝4，a2＋1a14，原式＝11a2＋11913．求解原式＝acbbcababbb－1＋aaa－1＋cc＋c14．证明原式＝a2(a＋c＋b)－a2b－abc＋b2c＋b3＝－ab(a＋c＋b)＋ab2＋b2c＋b3＝b2(a＋b＋c)＝0.。

中考数学分式方程与二次根式方程

第8课分式方程与二次根式方程〖知识点〗分式方程、二次根式的概念、解法思路、解法、增根〖大纲要求〗了解分式方程、二次根式方程的概念。

掌握把简单的分式方程、二次根式方程转化为一元一次方程、一元二次方程的一般方法，会用换元法解方程，会检验。

内容分析1．分式方程的解法(1)去分母法用去分母法解分式方程的一般步骤是：（i)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；(ii)解这个整式方程；(iii)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母不为零的根是原方程的根，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去.在上述步骤中，去分母是关键，验根只需代入员简公分母.(2)换元法用换元法解分式方程，也就是把适当的分式换成新的未知数，求出新的未知数后求出原来的未知数．2．二次根式方程的解法(1)两边平方法用两边平方法解无理方程的—般步骤是：(i)方程两边都平方，去掉根号，化成有理方程；(ii)解这个有理方程；(iii)把有理方程的根代入原方程进行检验，如果适合，就是原方程的根，如果不适合，就是增根，必须舍去．在上述步骤中，两边平方是关键，验根必须代入原方程进行．(2)换元法用换元法解无理方程，就是把适当的根号下台有未知数的式子换成新的未知数，求出新的未知数后再求原来的未知数．〖考查重点与常见题型〗考查换元法解分式方程和二次根式方程，有一部分只考查换元的能力，常出现在选择题中另一部分习题考查完整的解题能力，习题出现在中档解答题中。

考题类型1．（1）用换元法解分式方程3x x 2－1 ＋x 2－13x ＝3时，设3x x 2－1＝y ，原方程变形为（）（A ）y 2－3y ＋1＝0（B ）y 2＋3y ＋1＝0（C ）y 2＋3y －1＝0（D ）y 2－y ＋3＝02．用换元法解方程x 2＋8x ＋x 2＋8x －11 ＝23，若设y ＝x 2＋8x －11 ，则原方程可化为（）（A ）y 2＋y ＋12＝0（B ）y 2＋y －23＝0（C ）y 2＋y －12＝0（D ）y 2＋y －34=03．若解分式方程2x x －1 －m ＋1x 2＋x ＝x ＋1x产生增根，则m 的值是（）（A ）－1或－2 （B ）－1或2 （C ）1或2 （D ）1或－24．解方程4x －1x －1＝1时，需将方程两边都乘以同一个整式（各分母的最简公分母），约去分母，所乘的这个整式为（）（A ）x －1 （B ）x （x －1）（C ）x （D ）x ＋15．先阅读下面解方程x ＋x －2 ＝2的过程，然后填空.解：（第一步）将方程整理为x －2＋x －2 ＝0；（第二步）设y ＝x －2 ，原方程可化为y2＋y ＝0；（第三步）解这个方程的 y 1＝0，y 2＝－1（第四步）当y ＝0时，x －2 ＝0；解得 x ＝2，当y ＝－1时，x －2 ＝－1，方程无解；（第五步）所以x ＝2是原方程的根以上解题过程中，第二步用的方法是＿＿＿，第四步中，能够判定方程x －2 ＝－1无解原根据是＿＿。

中考数学第一轮复习教案(实数、整式、分式、根式)

中考总习1 实数1、平方根定义1：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。

a 的算术平方根记作a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数。

即a x =。

规定：0的算术平方根是0。

定义2：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。

即如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根。

即a x ±=。

定义3：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。

因为一个非零实数的平分肯定是正数，所以，正数有两个平方根，它们互为相反数；例如：4的平分根为±2，是互为相反数的；0的平方根是0；负数没有平方根。

2、立方根定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。

即如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根，记作3a 。

即3a x =。

求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0。

3、无理数无限不循环小数又叫做无理数。

初中常见的无理数有：带有根号开不出来的式子，例如：、、等等；带有的式子，例如：，等等；无限不循环小数，例如：1.325…，-0.2587…等等4、实数有理数和无理数统称实数。

即实数包括有理数和无理数。

备注：最小的正整数是1，最大的负整数是-1，绝对值最小的数是0。

有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数。

例如：3-的相反数为3，倒数为3331-=-，3-的绝对值为。

5、实数的分类分法一：负有理数 0 无理数实数有理数正有理数负无理数正无理数有限小数或无限循环小数无限不循环小数知识要点分法二：实数 0由上可知，一个数要是分数，前提必须是有理数，所以，不是所有的a/b 这样的数，都是分数。

例如:不是分数，是无理数。

6、实数的比较大小有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。

备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。

初中数学教案二次根式与分式的运算

初中数学教案二次根式与分式的运算教案：二次根式与分式的运算引言：本教案主要介绍初中数学中关于二次根式与分式的运算方法。

二次根式与分式是初中数学中常见的数学概念与运算，掌握好相关的运算方法对于学生的数学学习与提高具有重要的意义。

通过本教案的学习，学生将能够掌握二次根式的化简、加减乘除运算以及分式的加减乘除运算方法，从而在解决实际问题时能够熟练灵活地运用相关的知识与技巧。

一、二次根式的概念与性质1. 二次根式的定义二次根式是指具有形如√a（a≥0）的形式的数。

其中，a被称为二次根式的被开方数。

2. 二次根式的化简(1) 化简二次根式的基本原则：- 化简二次根式时，将其写为2次幂的乘积形式；- 若二次根式中包含平方因子，则将其提出；- 若二次根式中包含互质系数的项，则提出一个公因式。

(2) 化简二次根式的步骤：a. 将二次根式的被开方数写成素因数的乘积形式；b. 对每个素因数分别进行如下处理：- 若其次数为偶数，则提出并化为普通数；- 若其次数为奇数，则保留在二次根式中，并继续化简。

3. 二次根式的加减运算(1) 加减运算时，要求二次根式的被开方数相同，然后对应的系数进行加减运算。

(2) 示例：若√a + √b = √c，则有a + b + 2√ab = c.4. 二次根式的乘除运算(1) 乘法运算时，直接对二次根式的被开方数与系数进行乘法运算，并化简结果。

(2) 除法运算时，通过有理化分母的方法，将除法转化为乘法运算进行处理。

二、分式的概念与性质1. 分式的定义分式是指具有形如a/b（b ≠ 0）的形式的数。

其中，a被称为分子，b被称为分母。

2. 分式的化简分式的化简是将一个分式进行约分，使得分子与分母没有共同的约数的过程。

3. 分式的加减运算(1) 加减运算的前提是两个分式的分母相同，然后对应的分子进行加减运算。

(2) 示例：若 a/b ± c/b = (a ± c)/b.4. 分式的乘除运算(1) 乘法运算时，直接对分式的分子与分母进行乘法运算，并化简结果。

衔接教程-第3讲、根式、分式及其运算(教师版)

第3讲、根式、分式及其运算知识点1、二次根式1、二次根式的概念0)a ≥的代数式叫做二次根式。

①非负性：)0(0≥≥a a 算术平方根为开方运算后非负的那个根②先求非负数的算术平方根，再平方运算，整个过程都要求是非负的。

③)0()(2≥=a a a ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,0,00,2a a a a a a a 先平方（使得被开方数非负），再求算数平方根，一切实数适用。

④ab b a =⋅b a ba =其中0,≥b a ，只有乘除，加减合并。

知识点2、n 次根式1、n 次根式的概念一般地，若一个数x 的n 次方等于a （n 为大于1的整数），那么这个数叫做叫做a 的n 次方根。

当n 为偶数时，a 的n 次根式为)0(≥±a a n ，有两个值；当n 为奇数时，a 的n 次根式为n a ，只有一个值。

如16)2(,16244=-=，则16的4次方根为2±。

2、n 次根式的性质（类比二次根式）①⎩⎨⎧=为偶数为奇数n a n a a nn,,；②a a n n =)(；③0的任何次方根都为0，即00=n 。

知识点3、分母（子）有理化1、有理化的概念把分母（子）中的根号化去的过程叫做分母（子）有理化。

2、有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，，-一般地，与，+与，b +与b -互为有理化因式。

3、有理化方法分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程。

注意：当根式特别是二次无理根式出现在分式中，需要变形处理时常用分子有理化和分母有理化。

即分子或者分母同乘以相同的根式使得分子或者分母没有根式（但是分母或者分子有根式），便于处理数据和代数式。

知识点4、分式1、分式的概念：用A ,B 表示整式，如果B 中含有字母，则式子BA叫做分式，其中0≠B 。

初高中衔接教材----分式与根式的运算

其中
m n 2 mn m n
m n 2 mn m n
化简复合二次根式，先把根号里面的根号外面倍数化成2，化成与公式一样的形式，再找到m,n!
例：化简：（1） 5+2 6；（2） 4- 12
(3) 9 4 5 (4) 4 15
练习
3 2 2
17 12 2
分式与根式的运算
想一想
x 3 x 4x 3 2 2 x 1 x 2x 1
2
1 x 1 2 x 1 ( x 1)
如何计算
x 3 x2 4x 3 2 （ 1） 2 x 1 x 2x 1
1 x1 （ 2） 2 x 1 (x 1)
1，化简
2
2，已知
x
1 3 22求Fra bibliotek1 1 x 2 x 2 x x
1，化简
1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 99 100
2先化简，再求值
a 1 2 3
a2 1 a 2 2a 1 a 1 a2 a
有理数和整式的加、减、乘、除、乘方的混合运算顺序原则：优先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，最后进行加、减运算；对于同级运算，则按照从左到右的顺序，依次进行。
试一试
2 a3 a2 9 2 2 a 1 a 4a 5 a 3a 10
2 a 3 a 3a 10 原式 2 2 a 1 a 4a 5 a 9 2 a3 (a 2)(a 5) a 1 (a 1)(a 5) (a 3)(a 3)
2
2 (a 2) a 1 (a 1)(a 3)