平分任意四边形面积的直线

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面积

中考试题中有关面积问题的解法举例知识点：1.运用面积公式2.相似三角形的性质（相似三角形的面积比等于相似比的平方）；3.同（等）底的三角形面积比等于高之比，同（等）高的三角形面积比等于底之比；4.利用割补法；5.利用等积变换：同（等）底同（等）高面积相等；6.利用图形变换：平移变换、旋转变换；7.结合特值法.（适合填空题、选择题）8.和函数图象结合。

平分图形面积：1、三角形的中线将三角形面积平分（任意四边形可以转换为三角形，连对角线，利用平行线间距离相等，同（等）底的三角形面积相等）2、过对称中心的任意一直线将中心对称图形面积平分；3、对称轴将轴对称图形面积平分4、过梯形中位线中点的直线将梯形面积平分1、已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A 、B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数为（）D（A ）3个（B ）4个（C ）5个（D ）6个2、如图小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点可得△ABC ，则AC 边上的高是．3、如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 .4、如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，图中阴影部分为红色．若每个小长方形的面积是1，则红色的面积是______________________．5、如图图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 的顶点和O 点都在正方形的顶点上．（1）以点O 为位似中心，在方格图中将△ABC 放大为原来的2倍，得到△A ′B ′C ′；（2）△A ′B ′C ′向左平移5个单位后得到的△A ″B ″C ″；（3）△A ′B ′C ′和△A ″B ″C ″重叠部分的面积是．【考点】图形的变换位似、平移、相似6、如图，一个面积为250cm 的正方形与另一个小正方形并排放在一起，则△ABC 的面积是________________2cm7、在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠=︒∠=∠=A B D 60，90︒，求四边形ABCD 所在阴影部分的面积。

2014年中考数学高分冲刺17-图形的分割与剪拼

关键点十七图形的分割与剪拼纵观近年来全国各地的中考试卷，图形操作型的问题渐多，而这些题又可分为两大类：一类是围绕“图形变换”展开的（我们已有专题论及），另一类是围绕图形的分割与剪拼展开的。

我们现在要研究的，就是这后边的一类，分割与剪拼的形式与依据主要有：Ⅰ、原图形基础上进行分割，而分割的要求又分为：（1）借助于“边、角”计算的分割；（2）依“面积等分”为要求的分割；Ⅱ、将原图形等面积地变化成新图形的“剪与拼”。

一、图形的分割1、借助于“边、角”计算的分割例1 （1）已知ABC ∆中，︒=∠︒=∠5.67,90B A ，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形。

（2）已知ABC ∆中，C ∠是其最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求ABC ∠与C ∠之间的关系。

【观察与思考】对于（1）只需“构造等角”；对于（2），（1）可从“等边”推演角之间的关系。

解：（1）如图①，图②，有两种不同的分割法。

（2）设ABC ∠y =，C ∠x =，过顶点B 的直线 ① 交边AC 于D 。

在等腰三角形DBC 中，①若C ∠是顶角，如图③，则︒>∠90ADB ，,2190)180(21x x CDB CBD -︒=-︒=∠=∠ y x A --︒=∠180。

②此时只能有ABD A ∠=∠，即)2190(180x y y x -︒-=--︒， ︒=+∴54043y x ，即ABC ∠与C ∠的关系是：C ABC ∠-︒=∠43135。

②若C∠是底角，则有两种情况。

③AC A BC︒5.67 ︒5.67 ︒5.22︒5.22AB C︒45 ︒5.22︒5.22︒45 ABC DABD ∆中，x y ABD x ADB -=∠=∠,2。

Ⅰ、由AD AB =，得x y x -=2，此时有x y 3=，即有关系C ABC ∠=∠3。

④ Ⅱ、由BD AB =，得x yx 2180=--︒，此时 ︒=+1803y x ，即C ABC ∠-︒=∠3180。

数学中考二轮专题复习练习题-5创新作图题专题(含答案)

中考二轮专题复习练习题-5创新作图专题一、用三角形的有关性质作图1．如图，在△ABE中，AE＝BE，请你仅用无刻度的直尺按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹）（1）如图1，点C，D分别为AE，BE的中点，作出AB的垂线；（2）如图2，EF⊥AB于点F，点C为AE上任意一点，在BE上找出一点D，使ED＝EC．2．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）如图①，点P为AB上任意一点，请你用无刻度的直尺在AC上找出一点P′，使AP＝AP′．（2）如图②，点P为BD上任意一点，请你用无刻度的直尺在CD上找出一点P′，使BP＝CP′．3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，点E是AD的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（不写画法，保留画图痕迹）（1）在图1中，画出△ACD的边AC上的中线DM；（2）在图2中，若AC＝AD，画出△ACD的边CD上的高AN．4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△DEF，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F．请仅用无刻度直尺分别在下面图中按要求画出相应的点（保留画图痕迹）．（1）如图1，当点O为AC的中点时，画出BC的中点N；（2）如图2，旋转后点E恰好落在点C，点F落在AC上，点N是BC的中点，画出旋转中心O．5．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O，限用无刻度直尺完成以下作图：（1）在图1中作线段BC的中点P；（2）在图2中，在OB、OC上分别取点E、F，使EF∥BC．6．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为BC的中点，以BC为底边的等腰△BCD按如图所示位置摆放，且∠DBC＝∠ABC．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）：（1）如图①，在AB上求作一点F，使四边形BDCF为菱形；（2）如图②，过点C作线段CP，使得线段CP将△BCD的面积平分．二、用特殊四边形的性质作图7．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在AD上，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）（1）在图1中，过点E作直线EF将四边形ABCD的面积平分；（2）在图2中，DE＝DC，作∠A的平分线AM；8．如图，在矩形ABCD中，请仅用无刻度的直尺按要求作图．（1）如图①，当E为AD的中点，在BC上找一点F，使得F是BC的中点；（2）如图②，当E为AD上任意一点，在BC上找一点F，使得BF＝DE．9．已知正方形ABCD如图所示，M、N在直线BC上，MB＝NC，试分别在图1、图2中仅用无刻度的直尺画出一个不同的等腰三角形OMN．10．请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形．（1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；（2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形．11．如图，四边形ABCD是菱形，BE是AD边上的高，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹）（1）在图①中，BD＝AB，作△BCD的边BC上的中线DF；（2）在图②中，BD≠AB作△ABD的边AB上的高DF．12．分别在图①，图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）（1）如图①，已知四边形ABCD为平行四边形，BD为对角线，点P为AB 上任意一点，请你用无刻度的直尺在CD上找出另一点Q，使AP＝CQ；（2）如图②，已知四边形ABCD为平行四边形，BD为对角线，点P为BD 上任意一点，请你用无刻度的直尺在BD上找出一点Q，使BP＝DQ．13．如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度直尺、用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．（1）在图（1）中，在AB边上求作一点N，连接CN，使CN＝AM；（2）在图（2）中，在AD边上求作一点Q，连接CQ，使CQ∥AM．14．请你按照下列要求用无刻度的直尺作图：（不写作法，保留作图痕迹）（1）如图1，请你作一条直线（但不过A、B、C、D四点）将平行四边形的面积平分；（2）如图2，在平行四边形ABCD中挖去一个矩形，准确作出一条直线将剩下图形的面积平分．15．如图，在▱ABCD中，点E为边BC上的中点，请仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．（1）在图1中，作EF∥AB交AD于点F；（2）在图2中，若AB＝BC，作一矩形，使得其面积等于▱ABCD的一半．16．如图，AE为菱形ABCD的高，请仅用无刻度的直尺按要求画图．（不写画法，保留作图痕迹）．（1）在图1中，过点C画出AB边上的高；（2）在图2中，过点C画出AD边上的高．三、用圆或多边形有关性质作图17．如图，AB、AD是⊙O的弦，△ABC是等腰直角三角形，△ADC≌△AEB，请仅用无刻度直尺作图：（1）在图1中作出圆心O；（2）在图2中过点B作BF∥AC．18．在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，请仅用无刻度的直尺作图：（1）在图1中，以点C或点B为顶点作一锐角，使该锐角与∠CAB互余；（2）在图2中，已知AD∥BC交⊙O于点D，过点A作直线将△ACB的面积平分．19．已知四边形ABCD内接于⊙O，且已知∠ADC＝120°；请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法，写明答案）．（1）在图1中，已知AD＝CD，在⊙O上求作一个度数为30°的圆周角；（2）在图2中，已知AD≠CD，在⊙O上求作一个度数为30°的圆周角．20．仅用无刻度的直尺．．．．．．．．，按要求画图（保留画图痕迹，不写作法）（1）如图①，画出⊙O的一个内接矩形；（2）如图②，AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB∥CD，画出⊙O的内接正方形．21．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，请仅用无刻度的直尺在下列图形中按要求画图．（1）在图1中，已知OD⊥BC于点D，画出∠A的角平分线；（2）在图2中，已知OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，画出∠A的角平分线．22．如图，在正五边形ABCDE中，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作，（1）在图1中，画出过点A的正五边形的对称轴；（2）在图2中，画出一个以点C为顶点的72°的角．23．在如图的正方形网格中，点O在格点上，⊙O的半径与小正方形的边长相等，请利用无刻度的直尺完成作图，在图（1）中画出一个45°的圆周角，在图（2）中画出一个22.5°的圆周角．24．如图，线段AB是⊙O的直径，BC⊥CD于点C，AD⊥CD于点D，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．（1）在图1中，当线段CD与⊙O相切时，请在CD上确定一点E，连接BE，使BE平分∠ABC；（2）在图2中，当线段CD与⊙O相离时，请过点O作OF⊥CD，垂足为F．25．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，P是⊙O上一点，请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P的平分线．26．如图（甲、乙），AB为半圆⊙O1的直径，AO1为半圆⊙O2的直径，仅用无刻度的直尺完成下列作图：（1）如图甲，C为半圆⊙O1上一点，请在半圆⊙O1找个点D，使得D恰为的中点；（2）如图乙，E为半圆⊙O2上一点，请在半圆⊙O2找个点F，使得F恰为的中点．27．如图，四边形ABCD为菱形，且∠BAD＝120°，以AD为直径作⊙O，与CD交于点P．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，过点C作AB边上的高CE；（2）在图2中，过点P作⊙O的切线PQ，与BC交于点Q．28．等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆交BC于点D，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦BD．（保留作图痕迹，不写作法）（1）如图1，∠A＜90°；（2）如图2，∠A＞90°．29．在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；（2）在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．30．如图在⊙O中，图1中△ABC内接于⊙O且∠ABC＝90°，图2中△A1BC1，内接于⊙O，AC是直径且AC∥A1C1，请仅用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中，画出将△ABC的面积平分为两等份的弦．（2）在图2中，画出将△A1BC1的面积平分为两等份的弦．四、用网格的有关性质作图31．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格点的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）使三角形的三边长分别为3，2，．（2）使三角形为边长都为无理数的钝角三角形且面积为4．32．在正方形网格中，点A、B、C都是格点，仅用无刻度的直尺按下列要求作图．（1）在图1中，作线段AB的垂直平分线；（2）在图2中，作∠ABC的角平分线．33．请在如图所示的正方形和等边三角形网格内，仅用无刻度的直尺完成下列作图，过点P向线段AB引平行线．34．已知△ABC，请用无刻度直尺画图．（1）在图1中，画一个与△ABC面积相等，且以BC为边的平行四边形；（2）在图2中，画一个与△ABC面积相等，且以点C为一顶点的正方形．35．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．（1）在图1中画出等腰直角三角形MON，使点N在格点上，且∠MON＝90°；（2）在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD，使正方形ABCD面积等于（1）中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD面积没有剩余（画出一种即可）．36．如图是一个正方形网格图，图中已画了线段AB和线段EG，请使用无刻度的直尺在正方形网格中画图．（1）画一个以AB为边的正方形ABCD；（2）画一个以EG为一条对角线的菱形EFGH，且面积与（1）中正方形的面积相等．37．图1，图2均为正方形网络，每个小正方形的面积均为1．在这个正方形网格中，各个小正方形的顶点叫做格点．在网格中画图，使得每个形图的顶点均在格点上．（1）画一个边长为整数的菱形，且面积等于24．（2）画一个直角三角形，使其一边长为2，且一个角为45°．38．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，请你按下列要求在网格中画图．（1）在图1中画出以AB为对角线、面积是24的平行四边形ACBD；（2）在图2中画出以AB为对角线、面积是24的矩形AEBF．（所画四边形的顶点都在小正方形的顶点上）39．在5×5的网格中有线段AB，在网格线的交点上找一点C，使三角形ABC 满足如下条件．（仅用直尺作图）（1）在网格①中作一个等腰三角形ABC；（2）在网格②中作一个直角三角形ABC，使两直角边的长为无理数．40．在10×10的正方形网格中（每个小正方形的边长为1）线段AB在网格中的位置如图所示，请仅用无刻度直尺，按要求分别完成以下画图．（1）在图1中，画出一个以AB为边，另两个顶点C、D也在格点上的菱形ABCD；（2）在图2中，画出一个以A、B为顶点，另两个顶点C、D也在格点上的菱形，且使这个菱形的面积最大或最小（仅选其一，即可）：其面积值是．中考二轮专题复习练习题-5创新作图专题（参考答案）1.解：（1）如图1，直线EM即为所求；（2）如图2，点D即为所求．2．解：（1）如图①，点P'为所求作的图形，（2）如图②，点P'为所求作的图形，3．解：（1）如图，DM为所作；（2）如图，AN为所作．4．解：（1）如图，点N即为所求．（2）如图，点O为所作；5．解：（1）如图1，点P为所作；（2）如图2，EF为所作．6．解：（1）如图①，点F为所作；（2）如图②，CP为所作．7．解：（1）如图1，直线EF即为所求；（2）如图2，射线AM即为所求．8．解：（1）连接AC、BD交于点O，作直线EO交BC于F，点F即为所求．（2）连接AC、BD交于点O，作直线EO交BC于F，点F即为所求．9．解：如图1、2，△OMN为所作．10．解：（1）如图所示：四边形EFGH即为所求的菱形；（2）如图所示：四边形AECF即为所求的菱形．11．解：（1）如图1中，线段DF即为所求．（2）如图2中，线段DF即为所求．12．解：（1）如图①，点Q即为所求；（2）如图②，点Q即为所求．13．解：（1）连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO 与AB的交点为点N，如图1，（2）延长MO交ADE于Q，连结CQ，则CQ为所作，如图2．14．解：（1）如图1，直线l为所作；（2）如图2，直线MN为所作．15．解：（1）如图1，F点就是所求作的点；（2）如图2，矩形EGFH就是所求作的四边形．16．解：（1）如图1所示，线段CG即为所求；（2）如图2所示，线段CG即为所求．17．解：（1）设AC交⊙O于K，连接BK，DE，BK交DE于点O，点O即为所求．（2）如图2中，作直线AO交⊙O于F，直线直线BF，直线BF即为所求．18．解：（1）如图1，∠BCE为所作；（2）如图2，AF为所作．19．解：（1）如图1所示：∠ABD＝30°或∠CBD＝30°；（2）如图2所示：∠CAE＝30°．20．解：（1）如图所示，过O作⊙O的直径AC与BD，连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD即为所求；（2）如图所示，延长AC，BD交于点E，连接AD，BC交于点F，连接EF 并延长交⊙O于G，H，连接AH，HB，BG，GA，则四边形AHBG即为所求．21．解：（1）如图1所示：AM即为所求；（2）如图2所示：AN即为所求．22.解：（1）如图1，连接BD，CE，交于点F，过A、F作直线AF，则AF即为所求；（2）如图2，连接AC，则∠ACB＝36°，∠BCD＝108°，∴∠ACD＝72°．同理，连接CE，则∠BCE＝72°．23．解：（1）如图1，连接OA、OB，在优弧AB上任意找一点C，连接AC、AB ∠ACB为所求作（2）如图2，连接OA交圆O于点C，在优弧BC上任意找一点D，连接CD、BD，∠CDB为所求作24.解：（1）如图1；（2）如图2.25.解：如图①中，连接P A，P A就是∠P的平分线．如图②中，连接AO延长交⊙O于E，连接PE，PE就是∠P的平分线．26．解：（1）如图甲所示：（2）如图乙所示：27．解：（1）如图1，CE为所；（2）如图2，PQ为所作．28．解：（1）如图1，DE为所作：（2）如图2，DE为所作：29．解：（1）如图1，EF为所作；（2）如图2，∠DBC为所作．30．解：（1）如图所示：（2）如图所示：31．解：（1）满足条件的△ABC如图所示．（2）满足条件的△DEF如图所示．32．解：（1）如图所示：直线CD即为所求；（2）如图所示：射线BD即为所求．33．解：如图所示，PQ即为所求．34．解：（1）如图1所示：平行四边形BCDE即为所求；（2）如图2所示：正方形CDEF即为所求．35．解：（1）如图1所示；（2）如图2、3所示；36．解：（1）如图所示：正方形ABCD，即为所求；（2）如图所示：菱形EFGH，即为所求．37．解：（1）菱形ABCD即为所求．（2）Rt△EFG即为所求．38．解：（1）如图1中，平行四边形ACBD即为所求．（2）如图2中，矩形AEBF即为所求．39．解：（1）∵＝5，AB＝5，∴作AC＝5，或BC＝5，△ABC如图1所示：（2）∵＝，＝2，（）2+（2）2＝5+20＝25＝AB2，∴画出△ABC和△ABC1是直角三角形，如图2所示．40．解：（1）如图1所示：四边形ABCD即为所求；（2）如图2所示：以线段AB为对角线得到菱形ADBC此时面积最大，其面积为：××3＝15．当AB为正方形对角线时，最小面积为：5．答案为：15．。

平行线之间的距离考点训练(含答案解析)

【考点训练】平行线之间的距离－1一、选择题（共5小题）1．在同一平面内，直线a ∥c ，且直线a 到直线c 的距离是2；直线b ∥c ，直线b 到直线c 的距离为5，则直线a 到直线b 的距离为（） A ．3 B ．7 C ．— 3或7D ．无法确定2．（2013•赤峰）如图，4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，则S 四边形ABCD 与S 四边形ECDF 的大小关系是（） A ．S 四边形ABDC =S 四边形ECDF B ． S 四边形ABDC ＜S 四边形ECDF。

C ．S 四边形ABDC =S 四边形ECDF +1 D ． S 四边形ABDC =S 四边形ECDF +2(第2题) (第3题) (第4题)3．（2013•黄冈一模）如图，在一块平地上，雨后中间有一条积水沟，沟的两边是平行的，一只蚂蚁在A 点，想过水沟来B 点取食，几个学生在沟上沿与沟边垂直的方向放了四根小木棍，这只蚂蚁通过第（）号木棍，才能使从A 到B 的路径最短． A ．1 ~B ．2 C ．3 D ．4 4．（2011•台湾）如图为某大楼一、二楼水平地面间的楼梯台阶位置图，共20阶水平台阶，每台阶的高度均为a 公尺，宽度均为b 公尺（a ≠b ）．求图中一楼地面与二楼地面的距离为多少公尺（） A ．20a 、B ．20bC ．×20D ．×205．已知如图直线m ∥n ，A 、B 为直线n 上两点，C 、D 为直线m 上两点，BC 与AD 交于点O ，则图中面积相等的三角形有（）A ．1对 `B ．2对 C ． 3对 D ． 4对(第5题) (第6题) (第7题)二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）6．（2013•郴州模拟）如图，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于O 点，面积相等的两个三角形是 _________（写一组就给满分）．.7．（2009•泉州）如图，方格纸中每个最小正方形的边长为1，则两平行直线AB 、CD 之间的距离是 _________ ． 8．（2003•常州）如图，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE =4，BD =8，△ABD的面积为16，则△ACE 的面积为 _________ ．三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷） 9．如图，已知AD ∥BC ，AC 与BD 相交于点O ．（1）找出图中面积相等的三角形，并选择其中一对说明理由；（2）如果BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，=，求的值．、~10．（2006•汉川市）我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA、OC．显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O 作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”．（1）试说明直线AE是“好线”的理由；（2）如下图，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并对画图作适当说明（不需要说明理由）．参考答案与试题解析一、选择题（共5小题）1．在同一平面内，直线a∥c，且直线a到直线c的距离是2；直线b∥c，直线b到直线c的距离为5，则直线a 到直线b的距离为（）3B．7C．3或7D．无法确定,A．考点：】平行线之间的距离．分析：分两种情况：①直线b在直线a和c的上方；②直线b在直线a和直线c的下方．解答：解：①，则直线a到直线b的距离为5﹣2=3；②，则直线a到直线b的距离为5+2=7．综上所述，直线a到直线b的距离为3或7．故选C．此题考查了两条平行线间的距离，注意思维的严密性，应分情况考虑．<点评：2．（2013•赤峰）如图，4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，则S四边形ABCD与S四边形ECDF的大小关系是（）A．S四边形ABDC=S四边形ECDF B．S四边形ABDC＜S四边形ECDF,C．S四边形ABDC=S四边形ECDF+1D．S四边形ABDC=S四边形ECDF+2考点：多边形；平行线之间的距离；三角形的面积．分析：根据矩形的面积公式=长×宽，平行四边形的面积公式=边长×高可得两阴影部分的面积，进而得到答案．…解答：解：S四边形ABDC=CD•AC=1×4=4，S四边形ECDF=CD•AC=1×4=4，故选：A．点评：此题主要考查了矩形和平行四边形的面积计算，关键是掌握面积的计算公式．3．（2013•黄冈一模）如图，在一块平地上，雨后中间有一条积水沟，沟的两边是平行的，一只蚂蚁在A点，想过水沟来B点取食，几个学生在沟上沿与沟边垂直的方向放了四根小木棍，这只蚂蚁通过第（）号木棍，才能使从A到B的路径最短．】A．1B．2C．3D．4考点：`线段的性质：两点之间线段最短；平行线之间的距离．分析：根据两点之间线段最短，连接AB，过与木棍相交的一根即可．解答：解：如图，连接AB，与2号木棍相交，所以，这只蚂蚁通过第2号木棍，才能使从A到B的路径最短．故选B．点评：本题考查了线段的性质，平行线间的距离相等，是基础题．4．（2011•台湾）如图为某大楼一、二楼水平地面间的楼梯台阶位置图，共20阶水平台阶，每台阶的高度均为a公尺，宽度均为b公尺（a≠b）．求图中一楼地面与二楼地面的距离为多少公尺（）A．20a B．20b C．×20：×20D．考点：平行线之间的距离．专题：计算题．分析：根据两并行线间的距离即为两并行线间的垂线段长，即全部台阶的高度总和；解答：>解：∵一楼地面与二楼地面的距离=全部台阶的高度总和，∴一楼地面与二楼地面的距离为：a×20=20a（公尺）；故选A．点评：本题考查的是两平行线之间的距离的定义，即两直线平行，则夹在两条平行线间的垂线段的长叫两平行线间的距离，注意防止无用条件的干扰．5．已知如图直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、D为直线m上两点，BC与AD交于点O，则图中面积相等的三角形有（）B．2对C．3对D．4对A．*1对考点：三角形的面积；平行线之间的距离．'分析：可以根据同底等高三角形面积相等找出2对是S△BDC=S△ACD，S△ACB=S△BCD，再利用面积相等的两个三角形减去同一个三角形的面积所得的三角形面积相等．解答：解：由题意知△BDC与△ACD是同底等高的三角形，∴S△BDC=S△ADC．同理可得：S△ABC=S△ABD．∵S△AOC=S△ACD﹣S△COD S△BOD=S△BDC﹣S△COD S△BDC=S△ADC，∴S△AOC=S△BOD．∴共有3对面积相等的三角形．故选C．点评：，利用三角形面积公式得出同底等高的三角形面积相等，关键是利用面积的加减法．二、填空题（共3小题）（除非特别说明，请填准确值）6．（2013•郴州模拟）如图，AB∥CD，AC与BD相交于O点，面积相等的两个三角形是△ABC与△ABD（写一组就给满分）．考点：平行线之间的距离；三角形的面积．专题：开放型．分析：]根据平行线间的距离相等以及等底等高的三角形的面积相等解答．解答：解：∵AB∥CD，∴AB、CD间的距离相等，∴△ABC与△ABD面积相等，△ACD与△BCD面积相等，∴△AOD与△BOC的面积也相等．故答案为：△ABC与△ABD（答案不唯一，三组中的任意一组都可以）．点评：本题考查了平行线间的距离相等，等底等高的三角形的面积相等．!7．（2009•泉州）如图，方格纸中每个最小正方形的边长为1，则两平行直线AB、CD之间的距离是3．考点：平行线之间的距离．专题：网格型．分析：本题主要利用平行线之间的距离的定义作答．解答：【解：由图可知，∵AB、CD为小正方形的边所在直线，∴AB∥CD，∴AC⊥AB，AC⊥CD，∵AC的长为3个小正方形的边长，∴AC=3，即两平行直线AB、CD之间的距离是3．故答案为：3．点评：此题很简单，考查的是两平行线之间的距离的定义，即两直线平行，则夹在两条平行线间的垂线段的长叫两平行线间的距离．$8．（2003•常州）如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=4，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为8．考点：平行线之间的距离；三角形的面积．专题：计算题．分析：根据两平行线间的距离相等，可知两个三角形的高相等，所以根据△ABD的面积可求出高，然后求△ACE 的面积即可．解答：解：在△ABD中，当BD为底时，设高为h，#在△AEC中，当AE为底时，设高为h′，∵AE∥BD，∴h=h′，∵△ABD的面积为16，BD=8，∴h=4．则△ACE的面积=×4×4=8．点评：主要是根据两平行线间的距离相等求出高再求三角形的面积．三、解答题（共2小题）（选答题，不自动判卷）？9．如图，已知AD∥BC，AC与BD相交于点O．（1）找出图中面积相等的三角形，并选择其中一对说明理由；（2）如果BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F，=，求的值．考点：三角形的面积；平行线之间的距离．专题：探究型．分析：（1）根据同底等高的三角形面积相等可得出面积相等的三角形，过A作AH1⊥BC，DH2⊥BC，垂足H1、H2，由平行线间的距离相等可知AH1=DH2，再由三角形的面积公式即可得出S△ABC=S△DBC；…（2）由BE⊥AC，CF⊥BD，S△ABC=S△DBC，再根据三角形的面积公式可知AC×BE=DB×CF，进而可得出结论．解答：解：（1）△ABC与△DBC，△ADB与△ADC，△AOB与△DOC．过A作AH1⊥BC，DH2⊥BC，垂足H1、H2，…（1分）∵AD∥BC，（已知），∴AH1=DH2（平行线间距离的意义）．…（1分）∵S△ABC=BC×AH1，S△DBC=BC×AH2，（三角形面积公式），…（1分）∴S△ABC=S△DBC．…（1分）（2）∵BE⊥AC，CF⊥BD，（已知）∴S△ABC=AC×BE，S△DBC=DB×CF（三角形面积公式）．…（1分）—∵S△ABC=S△DBC，∴AC×BE=DB×CF．…（1分）∴AC×BE=DB×CF，∴=．∵=，∴=．…（1分）点评：本题考查的是三角形的面积及平行线间的距离，解答此题的关键是熟知以下知识：①同底等高的三角形面积相等；—②两平行线之间的距离相等．10．（2006•汉川市）我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA、OC．显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”．（1）试说明直线AE是“好线”的理由；（2）如下图，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并对画图作适当说明（不需要说明理由）．考点：平行线之间的距离；三角形的面积．专题：新定义．分析：（1）设AE与OC的交点是F．要说明直线AE是“好线”，根据已知条件中的折线AOC能平分四边形ABCD 的面积，只需说明三角形AOF的面积等于三角形CEF的面积．则根据两条平行线间的距离相等，结合三角形的面积个数可以证明三角形AOE的面积等于三角形COE的面积，再根据等式的性质即可证明；（2）根据两条平行线间的距离相等，只需借助平行线即可作出过点F的“好线”．解答：解：（1）因为OE∥AC，所以S△AOE=S△COE，所以S△AOF=S△CEF，又因为，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，所以直线AE平分四边形ABCD的面积，即AE是“好线”．（2）连接EF，过A作EF的平行线交CD于点G，连接FG，则GF为一条“好线”．∵AG∥EF，∴S△AGE=S△AFG．设AE与FG的交点是O．则S△AOF=S△GOE，又AE为一条“好线”，所以GF为一条“好线”．点评：能够根据两条平行线间的距离相等发现三角形的面积相等，理解“好线”的概念．。

面积——等面积法

面积法在中学数学解题中的巧用利用同一图形的面积相等，可以列方程计算线段的值，或证明线段间的数量关系；利用图形面积的和、差关系列方程，将相等的高或底约去，可以计算或证明线段间的数量关系。

利用等积变形，可以排除图形的干扰，实现“从形到数〞的转化，从而从数量方面巧妙地解决问题。

用面积法解题就是根据题目给出的条件，利用等积变换原理和有关面积计算的公式、定理或图形的面积关系进行解题的方法。

运用面积法,巧设未知元,可获“柳暗花明〞的效果。

有关面积的公式〔1〕矩形的面积公式：S=长⨯宽〔2〕三角形的面积公式：ah S 21=〔3〕平行四边形面积公式: S=底⨯高〔4〕梯形面积公式: S=21⨯(上底+下底)⨯高〔5〕对角线互相垂直的四边形：S=对角线乘积的一半〔如正方形、菱形等〕有关面积的公理和定理 1、面积公理〔1〕全等形的面积相等；〔2〕一个图形的面积等它各部分面积之和； 2、相关定理〔1〕等底等高的两个三角形面积相等；夹在平行线间的两个共底的三角形面积相等；如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD〔2〕等底等高的平行四边形、梯形〔梯形等底应理解为两底的和相等〕的面积相等；〔3〕等底的三角形、平行四边形面积之比等于其高之比；等高的三角形、平行四边形面积之比等于其底之比；〔4〕相似三角形的面积的比等于相似比的平方；〔5〕在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等；〔6〕等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。

一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米。

问：长方形的面积是__________平方厘米。

等面积法的应用一：利用平行线间两个共底的三角形面积相等解题。

如图，矩形ABCD 中，AB=3cm ，AD=6cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，且EF=2BE ，则AFC S =△92cm如图，在四边形ABCD 中，动点P 从点A 开始沿A →B →C →D 的路径匀速前进到D 为止。

初中数学专题---------直线等分面积问题

初中数学专题讲座---------直线等分面积问题一、直线等分常见的一些特殊图形二、直线等分三角形（1）不受限制的等分（2）过一边上一点等分三、直线等分梯形（1）不受限制的等分（2）过一腰上一点等分四、等分基本图形练习：1、作图题，请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分，请用一条直线把阴影部分的面积两等分．（保留作图痕迹）2、在一个矩形中，把此矩形面积二等分的直线最多有条，这些直线都必须经过此矩形的点（一个矩形只画一条直线，不写画法）．3、轴对称图形的对称轴将图形面积二等分，中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分．请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分．4、在一个矩形中，把此矩形面积两等分的直线最多有条，这些直线都必须经过该矩形．5、在复习“四边形”时，刘老师出了这样一道题：如图1，已知四边形ABCD、BEFG都是矩形，点G、H分别在AB、CD上，点B、C、E在同一条直线上．（1）当S矩形AGHD=S矩形CEFH时，试画一条直线将整个图形面积2等分．（不写画法）（2）①当S矩形AGHD＜S矩形CEFH时，如图3；②当S矩形AGHD＞S矩形CEFH时，如图4．画一条直线将整个图形面积2等分，在（1）的基础上，应该如何画图呢？（不写画法，保留作图痕迹或简要的文字说明）（3）小娟和小宇两位同学的画法是图5和图6：刘老师看过之后说这两个图形实质上体现的是一种画法，请你用简要的文字说明两个图形画法的共同点：（把原图形分割或构造成两个矩形，再过这两个矩形对角线的交点画一条直线）．6、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式7、如图所示，▱ABCD内有一圆，请你画一条直线，同时将圆和平行四边形的周长二等分．（保留画图痕迹，并简要说出画图步骤）8、提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB=BC=5cm，AC=6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．9、提出问题：如图，在“儿童节”前夕，小明和小华分别获得一块分布均匀且形状为等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．背景介绍：这条分割直线既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这条线为梯形的“等分积周线”．尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以模仿着在自己的蛋糕（图2）中画了一条直线EF分别交AD、BC于点E、F．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．若图2中AD∥BC，∠A=90°，AD＜BC，AB=4cm，BC=6cm，CD=5cm．请你找出梯形ABCD的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．10、阅读下面问题的解决过程：问题：已知△ABC 中，P 为BC 边上一定点，过点P 作一直线，使其等分△ABC 的面积．解决：情形1：如图①，若点P 恰为BC 的中点，作直线AP 即可．情形2：如图②，若点P 不是BC 的中点，则取BC 的中点D ，连接AP ，过点D 作DE ∥AP 交AC 于E ，作直线PE ，直线PE 即为所求直线．问题解决：如图③，已知四边形ABCD ，过点B 作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD 的面积，并证明．11、如图，把一个等边三角形的顶点放置在正六边形的中心O 点，请你借助这个等边三角形的角，以角为工具等分正六边形的面积，等分的情况分别为等分． 12、用一条直线把下图分成面积相等的两部分．13、用三种不同的方法把▱ABCD 的面积四等分，并简要说明分法．14、、如图，所示，张家兄弟要平分这块地，请你用一条直线把它分成面积相等的两部分．（至少有两种画法）15、抛物线y=x 2，212y x =-和直线x=a （a ＞0）分别交于A 、B 两点，已知∠AOB=90°．（1）求过原点O ，把△AOB 面积两等分的直线解析式；（2）为使直线2y x b =+与线段AB 相交，那么b 值应是怎样的范围才适合．16、如图长为2的线段PQ 在x 的正半轴上，从P 、Q 作x 轴的垂线与抛物线y=x 2交于点p '、12题Q′．（1）已知P的坐标为（k，0），求直线OP′的函数解析式；（2）若直线OP′把梯形P′PQQ′的面积二等分，求k的值．17、一条直线过△ABC的内心，且平分三角形的周长，那么该直线分成的两个图形的面积比为（）A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：118、某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；…现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知=S△ABC，请证明．问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD之间的数量关系．问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求．问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．19、阅读下面材料，再回答问题：有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”．解决下列问题：（1）菱形的“二分线”可以是（2）三角形的“二分线”可以是（3）在下图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形ABCD的“二分线”，并说明你的画法．20、用一条直线将一个直角梯形分成面积相等的两部分，请你在下面的图中分别画出两种不同的分割图形．21、下图所示是一块木板的示意图，能不能用一条直线把这块木板分成面积相等的两部分．（3种画法）22、如图所示的图案是一个轴对称图形，直线l是它的一条对称轴，如果最大圆的半径为2，那么阴影部分面积是（）A．π B．2π C．3π D．4π23、如图所示是由7个完全相同的正方形拼成的图形，请你用一条直线将它分成面积相等的两部分．（在原图上作出）．24、九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形．证明：这九条直线中至少有三条经过同一点．抽屉原理．专题：证明题．分析：首先根据抽屉定理证明9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形中至少有5条直线穿过一对边，然后再根据抽屉原理证明至少必有三点经过同一点．解答：证明：按抽屉原理，9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形，则至少有5条直线穿过一对边．又2：3≠1：1，根据“梯形的面积等于中位线长乘以高”，可知这5条直线必过正方形的一条对边中点连线上的两定点．故若5个点不全经过一点，则必经过这条直线上的两点，再据抽屉原理，至少必有三点经过同一点．25、一条直线平行于直线y=2x-1，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，则直线的解析式是A．y=2x+4 B．y=2x-4 C．y=2x±4 D．y=x+2 （）26、把一个圆心为点O，半径为r的圆的面积四等分，请你尽可能多地设想各种分割方法．如图，如果圆心也是点O的三个圆把大圆O的面积四等分．求这三个圆的半径OB、OC、OD的长．27、已知直线AB与x，y轴分别交于A、B（如图），AB=5，OA=3，（1）求直线AB的函数表达式；（2）如果P是线段AB上的一个动点（不运动到A，B），过P作x轴的垂线，垂足是M，连接PO，设OM=x，图中哪些量可以表示成x的函数？试写出5个不同的量关于x的函数关系式．（这里的量是指图中某些线段的长度或某些几何图形的面积等）28、（1）如图1所示，已知△ABC中，D为BC的中点，请写出图1中，面积相等的三角形：，理由是（2）如图2所示，已知：平行四边形A′ABC，D为BC中点，请你在图中过D作一条线段将平行四边形A′ABC的面积平分，平分平行四边形A′ABC的方法很多，一般地过画直线总能将平行四边形A′ABC的面积平分．（3）如图3所示，已知：梯形ABCA′中，AA′∥BC，D为BC中点，请你在图3中过D作一条线段将梯形的面积等分．（4）如图4所示，某承包人要在自己梯形ABCD（AD∥BC）区域内种两种等面积的作物，并在河岸AD与公路BC间挖一条水渠EF，EF左右两侧分别种植了玉米、小麦，为了提高效益，要求EF最短．①请你画出相应的图形．②说明方案设计的理由．19、如图，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值．。

2024年中考数学一轮复习考点17 多边形与平行四边形(精讲)

考点17.多边形与平行四边形（精讲）【命题趋势】多边形与平行四边形是历年中考考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查多边形的内角和、平行四边形性质和判定、与三角形中位线有关计算的可能性比较大。

中考数学中，对平行四边形的单独考察难度一般不大，一般和三角形全等（相似）、函数、解直角三角形等综合考查的可能性比较大，对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用。

【知识清单】1：多边形的相关概念（☆☆）1）多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形，n边形的对角线条数为()32n n-。

4）多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）。

5）多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。

6）正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。

7）平面镶嵌（密铺）的条件：在同一顶点内的几个角的和等于360°；所有正多边形中，单独使用其中一种能够进行密铺(镶嵌)的只有正三角形、正方形、正六边形。

如果选用多种，则需要满足：(1)边长相等；(2)选用正多边形若干个内角的和恰好等于360°。

2：平行四边形的性质与判定（☆☆☆）1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2）平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.3）平行四边形的性质：（1）两组对边平行且相等；（2）对角相等、邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。

七下数学第二单元

1．如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD间的距离为（）A．2 B．2.5 C．3 D．42．如图，直线L1∥L2，△ABC的面积为10，则△DBC的面积（）A．大于10 B．小于10 C．等于10 D．不确定3．下列命题中，错误的是（）A．对顶角的角平分线互为反向延长线B．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行C．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补D．同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段叫做这两条平行线的距离4．如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n．则下列说法正确的是（）A．AC=BPB．△ABC的周长等于△BCP的周长C．△ABC的面积等于△ABP的面积D．△ABC的面积等于△PBC的面积5．直线a、b、c是三条平行直线．已知a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，则a 与c的距离为（）A．2cm B．3cm C．7cm D．3cm或7cm6．在同一平面内，已知直线a∥b∥c，若直线a与直线b之间的距离为5，直线a与直线c 之间的距离为3，则直线b与直线c之间的距离为（）A．2 B．8 C．3或8 D．2或87．如图，AB∥EF，C是EF上一个动点，当点C的位置变化时，△ABC的面积将（）A．变大B．变小C．不变D．变大变小要看点C向左还是向右移动8．如图，已知AB∥CD，OA、OC分别平分∠BAC和∠ACD，OE⊥AC于点E，且OE=2，则AB、CD之间的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．89．平行线之间的距离是指（）A．从一条直线上一点到另一直线的垂线段B．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度C．从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度D．从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度10．已知直线a、b、c互相平行，直线a与b的距离是3厘米，直线b与c的距离是5厘米，那么直线a与c的距离是（）A．8厘米B．2厘米C．8厘米或2厘米D．不能确定11．下列说法中正确的个数有（）（1）若a∥b，b∥c，则a∥c．（2）在同一平面内，不相交的两条线段必平行．（3）相等的角是对顶角．（4）两条直线被第三条直线所截，所得到同位角相等．（5）若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．（6）两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行．A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，若∠1=∠5，则与∠2相等的角共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个13．将一副三角板摆放成如图所示，图中∠1=（）度．A．90 B．120 C．125 D．15014．到x轴的距离等于2的点组成的图形是（）A．过点（0，2）且与x轴平行的直线B．过点（2，0）且与y轴平行的直线C．过点（0，-2）且与x轴平行的直线D．分别过（0，2）和（0，-2）且与x轴平行的两条直线15．如图所示，已知AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC交AC于点E，且OE=5cm．则直线AB与CD之间的距离等于（）A．5cm B．10cm C．20cm D．5cm或10cm16．把直线a沿水平方向平移4cm，平移后的像为直线b，则直线a与直线b之间的距离为（）A．等于4cm B．小于4cmC．大于4cm D．小于或等于4cm17．如果直线a∥b，则下列说法错误的是（）A．a与b之间距离处处相等B．若a∥c，则b∥cC．若a⊥c，则b⊥cD．a，b被第三条直线所截的同旁内角相等18．直线a、b、c是三条平行直线．已知a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，求a与c的距离为（）A．2厘米B．3厘米C．7厘米D．3厘米或7厘米、19．如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化时，三角形PCD的面积将（）A．变大B．变小C．不变D．变大变小要看点P向左还是向右移动20．如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F，直线MN交AB于M，CD于N，EF于O，则直线AB和CD之间的距离是哪个线段的长（）A．MN B．EF C．OE D．OF21．如图，若∠DAC=∠ECA，∠ADB=35°，B在CE上，则∠DBE=（）A．35°B．135°C．145°D．大小不能确定显示解析试题篮22．如图，已知∠1=∠2=∠3=62°，则∠4=（）A．62°B．118°C．128°D．38°显示解析试题篮23．如图，∠2+∠3=180°，∠2=68°，∠4=74°，则∠1的度数是（）A．106°B．112°C．100°D．以上都不对显示解析试题篮24．如图，已知∠1=∠2，∠3=60°，则∠4=（）A．80°B．70°C．60°D．50°显示解析试题篮25．如图，∠1=∠2，则下列结论一定成立的是（）A．∠B=∠D B．∠3=∠4 C．AB∥CD D．AD∥BC 显示解析试题篮1．（1）方程x-5=0的解是．（2）如图，点A、O、B在同一直线上，已知∠BOC=50°，则∠AOC= °．2．如图，直线AB，CD分别与直线AC相交于点A，C，与直线BD相交于点B，D．若∠1=∠2，∠3=75°，求∠4的度数．显示解析试题篮3．如图，直线a、b相交于点O，若∠1=30°，则∠2= ．显示解析试题篮4．如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A=37°，求∠D的度数．★★★☆☆显示解析试题篮5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PE∥AB；（2）设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ=225S△BCD？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．VIP 显示解析试题篮6．附加题：请你把上面的解答再认真地检查一遍，别留下什么遗憾，并估算一下成绩是否达到了80分，如果你的全卷得分低于80分，则本题的得分将计入全卷总分，但计入后全卷总分最多不超过80分；如果你全卷得分已经达到或超过80分，则本题的得分不计入全卷总分．（1）-2的倒数是；（2）如图，AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点G，H，∠1=50°，求∠2的度数．☆☆☆☆☆显示解析试题篮7．如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）（3）当动点P在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．VIP显示解析试题篮8．我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA、OC．显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”．（1）试说明直线AE是“好线”的理由；（2）如下图，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并对画图作适当说明（不需要说明理由）．★☆☆☆☆显示解析试题篮9．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，∠1=40°，求∠2的度数．10．如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点M、N，∠EMB=50°，MG平分∠BMF，MG交CD于G，求∠1的度数．★★★★★显示解析试题篮11．如图，是一块四边形木板，你将如何用曲尺检验这块木板的对边MN与PQ是平行的．（要求：在原图上画出示意图，用文字简要叙述检验过程，并说明理由）显示解析试题篮12．先作图，再证明．（1）在所给的图形（如图）中完成下列作图（保留作图痕迹）①作∠ACB的平分线CD，交AB于点D；②延长BC到点E，使CE=CA，连接AE；（2）求证：CD∥AE．☆☆☆☆☆显示解析试题篮13．（1）1条直线，最多可将平面分成1+1=2个部分；（2）2条直线，最多可将平面分成1+1+2=4个部分；（3）3条直线，最多可将平面分成个部分；（4）4条直线，最多可将平面分成个部分；（5）n条直线，最多可将平面分成个部分．显示解析试题篮14．我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一般地，n条直线最多有多少个交点？说明理由．显示解析试题篮15．如图，直线l1、l2、l3交于O点，图中出现了几对对顶角，若n条直线相交呢？显示解析试题篮16．平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？它们最多能把平面分成多少个部分？显示解析试题篮17．附加题：（1）计算：3+（-1）= ．（2）两直线相交有且只有个交点．显示解析试题篮18．在同一平面内的三条直线有哪几种位置关系？请画图说明．19．将一个平面分成11部分，至少需几条直线？显示解析试题篮20．如图所示，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数．★★★☆☆显示解析试题篮21．如图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOC，∠BOC-∠BOD=20°，求∠BOE的度数．★☆☆☆☆显示解析试题篮26．观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）：（1）如图a，图中共有对对顶角；（2）如图b，图中共有对对顶角；（3）如图c，图中共有对对顶角；（4）研究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角；（5）若有2008条直线相交于一点，则可形成对对顶角．22．如图，AB，CD交于O点．（1）如果∠AOD=3∠BOD，那么∠BOD= 度，∠COB= 度；（2）如果∠AOC=2x°，∠BOC=（x+90）°，∠BOD=（y+4）°，求x，y的值．☆☆☆☆☆显示解析试题篮23．如图，直线AB、CD相交于点O，已知：∠AOC=70°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．☆☆☆☆☆显示解析试题篮24．如图，直线AB与CD相交于点O，那么∠1=∠2吗？请说明你的理由．31．如图，直线AB、CD相交于点O，已知：∠AOC=70°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．。

平行四边形的角平分线

平行四边形的角平分线平行四边形是初中数学中常见的图形，在平行四边形中，角平分线也是一个十分重要的概念。

本文将从什么是角平分线、角平分线的性质以及角平分线的应用三个方面展开讨论。

一、什么是角平分线在平行四边形中，如果一条直线同时平分两个相邻角，则这条直线就被称为该平行四边形的角平分线。

如下图所示，直线DE即为平行四边形ABCD的角平分线。

二、角平分线的性质1. 角平分线将相邻两个角分成的两个小角相等。

如下图所示，直线DE将角BAD分成了两个小角BAD和DAC，这两个小角相等。

2. 角平分线与平行四边形两边交点所在的线段相等。

如下图所示，DE与平行四边形的两边AB和DC的交点分别为E和F，且EF=DE。

3. 角平分线将平行四边形分成的两个三角形面积相等。

如下图所示，平行四边形ABCD被角平分线DE分成了两个三角形ADE和BCE，这两个三角形的面积相等。

三、角平分线的应用1. 求角平分线长度。

假设在平行四边形ABCD中，角BAD和角ABC的度数分别为α和β，直线DE为角BAD的角平分线。

则根据角平分线的性质1，有α/2=β/2，即α=β。

又根据角平分线的性质2，有DE/AB=DE/CD，即DE=AB×CD/AB+CD。

因此，可以通过已知角度和平行四边形两边长度，求出角平分线的长度。

2. 求平行四边形的面积。

在已知平行四边形ABCD的两个对角线长度和角平分线长度的情况下，可以利用角平分线的性质3求出平行四边形的面积。

3. 求平行四边形两条对角线的交点坐标。

在已知平行四边形ABCD的两个对角线长度和角平分线长度的情况下，可以利用角平分线的性质2求出对角线的交点坐标。

在初中数学中，平行四边形和角平分线都是非常基础和重要的概念。

掌握了这些概念的性质和应用，能够帮助我们更好地理解和运用平行四边形及其相关的数学知识。

6用一直线将四边形的面积二等分

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图（Ｓ）
图（９）
证明：设梯形ＡＢＣＤ高为ｈ．
万方数据
四边形ＡＢＣＤ为平行四边形继而使用定理２可得定点Ｋ为平行四边形ＡＢＣＤ的对称中心．
初数方圆
犷３夕
三、任意四边形面积的二等分
由定理５可知，凸四边形中，有且只有平行
ＢＣ：相交于点Ｍ、Ｎ．
的直线把梯形面积二等分的充要条件是：这条直线必过梯形中位线的中点．通过对定理１到定理４的证明，我们有下面
的重要定理：
求证：５图形ＡＢ１ＶＭ＝５图形 ”ＣＤ
ＡＮ１／。Ｐ，Ｉ＂＇．ｕ
，／ａｚ＋（ｂ一１）２＋，／（ａ一１）２＋（ｂ一１）ｚ＞２在

[说明]多边形面积二等分问题

多边形面积二等分问题在初中阶段平面几何中，图形的等分问题比较多，常见的有以下几种:等分线段，等分角，等分圆，多边形面积二等分等。

线段和角的二等分比较简单，任意等分就稍显复杂；特别是角的任意等分，著名的“尺规作图不能问题”中就有角的三等分问题。

现在据说有人发明了一种工具叫做弧金规，这种工具不但可以任意等分任意角（包括三等分任意角），还能作一个正方形与已知圆的面积相等，即化圆为方问题；这样一来“尺规作图不能问题”中的三个就被其解决掉了两个，只还剩一个“立方倍积”了。

非但如此，这种工具还能在圆弧上取黄金分割点及在任意曲线上任意取段；也就是说能任意等分圆周及任意曲线。

这项发明可以说是意义重大，但是，这种工具毕竟现在没有推广、普及，而且其操作也肯定不如传统中的直尺和圆规操作简单，再说了，使用这种工具作图是否属于尺规作图还有待于进一步论证；所以，本文还是想从传统的尺规作图的角度来论述一下初中数学中常见的有关几何图形特别是多边形的面积二等分问题。

无论是什么样的多边形，都可以用一条直线把它分成两部分；由于直线相对于多边形的方向与位置不同，被分出来的两部分面积可能相等，也可能不相等。

但无论直线开始时如何放置，只要放置好以后我们让它沿着与直线垂直的方向来回平移，在直线扫过整个多边形的过程中，总有一个位置是使被分出来的两部分面积相等，因此，对于任意多边形，都应该存在无数条直线能把它分成面积相等的两部分；或者换句话说，过多边形任意边上的任意一点也都应该存在一条直线能把多边形分成面积相等的两部分。

先说三角形的面积二等分问题。

对于三角形来说，由于等底等高的三角形面积相等，所以，三角形任意一边上的中线都可以把它分成面积相等的两部分，这个问题比较简单；下面说一下过任意边上的任意一点作直线平分三角形的问题。

如图，已知P 为△ABC 的边BC 上的任意一点，求作直线PQ,把△ABC 分成面积相等的两部分。

作法：1.连接AP ；2，取BC 的中点D ，作D Q ∥AP ，交AC 于点Q;3,作直线PQ ，如图0.则直线PQ 就是所求作的直线。

(完整版)第七章平面图形的认识(二)知识点归纳+典型例题,推荐文档

第七章平面图形的认识（二）一、知识梳理1、在同一平面上，两条直线的位置关系有或者 .练习：平面内三条直线的交点个数可能有 ( )A. 1个或3个B.2个或3个C.1个或2个或3个D.0个或1个或2个或3个2、判定与性质：什么叫做平行线？在同一平面内，的两直线叫平行线。

的两直线平行。

判定性质（1），两直线平行。

（2），两直线平行。

（3），两直线平行。

（1）两直线平行，。

（2）两直线平行，。

（3）两直线平行，互补。

如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等,这个距离称为平行线之间的距离。

（等积变形）（2）如图，长方形ABCD 的面积为16，四边形BCFE 为梯形，BC 与DE 交于点G,则阴）如图，对面积为，使得记其面积为S 1；第二次操作，分别延长A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1至点A 2，B 2，C 2，使得A 2B 1=2A 1B 1，B 2C 1=2B 1C 1，C 2A 1=2C 1A 1，顺次连接A 2，B 2，C 2，得到△A 2B 2C 2，记其面积为S 2；…；按此规律继续下去，可得到△A 5B 5C 5，则其面积S 5= ．（4）已知方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A ，B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，在小方格的顶点上确定一点C ，连接AB ，AC ，BC ，使△ABC 的面积为3个平方单位．则这样的点C 共有个．（1）如图，边长为3cm ，与5cm 的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是______cm 2（π取3）．F3、图形的平移在平面内，将一个图形沿着________________移动____________，这样的____________叫做图形的平移。

4、平移的性质(1)平移不改变图形的_______、________，只改变图形的_________。

四边形新定义问题例析

学习指导２０２３年１０月下半月㊀㊀㊀四边形新定义问题例析◉江苏省徐州市第十三中学㊀王㊀峥㊀㊀四边形新定义问题,是培养学生创造性思维的良好素材,包括等邻边四边形问题㊁等角相邻点问题㊁妙线问题㊁准等距点问题等．以下作一分析探讨,以飨读者．１等邻边四边形问题菱形㊁正方形是四边都相等的四边形,它们都是从实际生活中抽象出来的,因为应用广泛而得到推广．等邻边四边形是指有两组邻边相等的凸四边形．等邻边四边形有什么性质?又如何判定呢?下面结合实例进行探讨．例１㊀我们定义:有两组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．如菱形㊁筝形都是特殊的等邻边四边形．图１(１)如图１,四边形A B C D中,若øA B C＝øB C D,B CʊA D,对角线B D恰巧平分øA B C,则四边形A B C D等邻边四边形．(填是或不是 )．(２)在探究等邻边四边形的性质时:图２①小红画了一个等邻边四边形 A B C D(如图２),其中A B＝A D,B C＝C D,若øA＝８０ʎ,øC＝６０ʎ,写出øB,øD的度数．②小红猜想:对于任意四边形,若有一组邻边相等,一组对角相等,则这个四边形为等邻边四边形．你认为他的猜想正确吗?若正确,请证明;若不正确,请举出反例．(３)在锐角三角形A B C中,A B＝A C,在平面内存在一点P,使P B＝B A,P A＝P C,四边形P A B C可能是等邻边四边形吗?若可能,画出符合题意的图形,并求øB A C的度数;若不可能,请说明理由．解析:(１)由A DʊB C,øA B C＝øB C D,可知四边形A B C D是等腰梯形,则A B＝C D．由øA D B＝øD B C,øA B D＝øD B C,得øA B D＝øA D B,则A D＝A B,A D＝D C,所以四边形A B C D有两组邻边相等,即四边形A B C D是等邻边四边形．故填答案:是．(２)①如图３,连接A C．因为A B＝A D,B C＝D C ,图３A C＝A C,所以әAB CɸәA D C(S S S),可得øB＝øD．又øB A D＝８０ʎ,øB C D＝６０ʎ,则øB＋øD＝３６０ʎ－８０ʎ－６０ʎ＝２２０ʎ．所以øB＝øD＝１１０ʎ．②小红猜想错误．反例,如图４所示．四边形A B C D中,B A＝B C,øA B C＝øA D C＝６０ʎ,四边形不是等邻边四边形．图４㊀㊀图５(３)①如图５,当C B＝C P时,由P A＝P C,可知四边形A B C D是等邻边四边形．设B P交A C于点O．因为P B＝A C,A B＝B A,P A＝B C,所以әA B PɸәB A C(S S S),可得øP B A＝øB A C,则A O＝O B,P O＝C O,从而可知øO P C＝øO C P＝øO A B＝øO B A．又øO P C＝øC B P,则øA B C＝øA C B＝２øB A C,所以øB A C＝１５ˑ１８０ʎ＝３６ʎ．图６②如图６,当әA B C是等边三角形时,四边形A B C P是等邻边四边形．综上所述,满足条件的øB A C的值为３６ʎ或６０ʎ．２等角相邻点问题平行四边形的对角线互相平分;菱形的对角线互相垂直平分;矩形的对角线相等且互相平分;正方形的对角线相等且互相垂直平分．这些实际上是对应四边形的中心点与四边形的关系, 等角相邻点问题是指四边形内一点与其四个顶点连接,在四边形内形成的四个角中有两组角相等．那么,如何得到等角相邻点?等角相邻点又有什么性质呢?例２㊀如图７Ｇ１,在四边形A B C D内取一点P,连接A P,B P,C P,D P,如果øA P D＝øA P B＝α,且øB P C＝øC P D＝β,那么P叫做四边形A B C D的一６４Copyright©博看网. All Rights Reserved.２０２３年１０月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀个等角相邻点．图７Ｇ１㊀㊀图７Ｇ２图７Ｇ３㊀㊀图７Ｇ４(１)如图７Ｇ２,已知正方形A B C D ,请在其内部找一点P ,使P 为等角相邻点,且αʂβ;(２)如图７Ｇ３,已知任意四边形A B C D ,请在其内部找一点P ,且P 为等角相邻点;(３)如图７Ｇ４,已知任意四边形A B C D ,在它的内部有两个等角相邻点P １,P ２,证明:线段P １P ２上任意一点也是等角相邻点．解析:(１)如图８,所画的点P 在A C 上且不是A C的中点和A C 的端点．图８㊀㊀㊀图９(２)如图９,画点B 关于A C 的对称点B ᶄ,延长D B ᶄ交A C 于点P ,则点P 即为所求．图１０(３)证明:连接P １A ,P １D ,P １B ,P ２C 和P ２D ,P ２B ,如图１０．根据题意,øA P １D ＝øA P １B ,øD P １C ＝øB P １C ,则øA P １B ＋øB P １C ＝１８０ʎ．所以点P １在A C 上．同理可知,点P ２也在线段A C 上．在әD P １P ２和әB P １P ２中,因为øD P ２P １＝øB P ２P １,P １P ２＝P １P ２,øD P １P ２＝øB P １P ２,{所以有әD P １P ２ɸәB P １P ２(A S A ),可得D P １＝B P １,D P ２＝B P ２,于是B ,D 是轴对称点,关于直线A C 对称．如果在P １P ２上任取一点P ,作线段P D ,P B ,根据轴对称的性质,得øD P A ＝øB P A ,øD P C ＝øB P C ．故P １P ２上的任意一点是四边形的等角相邻点．３妙线问题由于中心对称图形绕中心旋转１８０ʎ后能与原图形重合,所以过中心对称图形对称中心的任一条直线,分中心对称图形成两部分,这部分的面积是相等的．但是对于任意四边形,如何画一条直线把它分成面积相等的两部分呢?下面结合实例对此进行深入的讨论,并将这样一条直线称为妙线．例３㊀我们把能将四边形分成两部分,且这两部分的面积相等,这样的直线称为妙线．下面的图示,是得到妙线的过程:如图１１,在四边形A B C D 中,取对角线B D 的中点O ,连接O A ,O C ,显然,折线A O C 能平分四边形A B C D 的面积,再过点O 作O E ʊA C 交C D 于点E ,则直线A E 即为一条妙线．(１)如图１１,试说明直线A E 是妙线的理由;图１１图１２图１３(２)如图１２,A E 为一条妙线 ,F 为A D 边上的一点,请作出经过点F 的妙线 ,并说明理由;(３)如图１３,已知一块土地是五边形A B C D E ,经过开发,又得到多边形E D C MN ,中间的折线C D E 是一条小路,现要修一条直路,且这条直路经过点E ,使直路右边的面积不作改变,如何画图呢?解析:(１)如图１４,由点O 是B D 的中点,可得S әA O B ＝S әA O D ,S әB O C ＝S әD O C ,则S әA O B ＋S әB O C ＝S әA O D ＋S әD O C ＝１２S 四边形A B C D ,所以S 四边形A B C O ＝１２S 四边形A B C D ．故折线A O C 能平分四边形A B C D 的面积．设A E 交O C 于点F ．由O E ʊA C ,可知S әA O E ＝S әC O E ,则S әA O F ＝S әC E F ．由于折线A O C 能平分四边形A B C D 的面积,因此直线A E 平分四边形A B C D 的面积,即A E 是四边形A B C D 的一条妙线．图１４图１５图１６(２)如图１５,连接E F ,过点A 作E F 的平行线交C D 于点G ,连接F G ,则G F 为一条妙线．理由:由A G ʊE F ,可知S әA G E ＝S әA F G ．设A E 与F G 的交点是O ,则S әA O F ＝S әG O E ．又A E 为一条妙线 ,所以G F 为一条妙线．(３)如图１６,连接C E ,过点D 作D F ʊE C 交C M 于点F ,连接E F ,则E F 为所修的直路．本文中从形到点再到线,对四边形内存在的特殊四边形㊁特殊点㊁特殊线作了深入细致的研究,得到了一些创造性的结论,开阔了学生的认知视野,培养了学生创新解决问题的能力,是四边形领域里一道亮丽的风景线．Z７４Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

等积线

试题
我们把能平分四边形面积的直线称为“等积线”．利用如图所示的作图，可以得到四边形的“等积线”：如图1，在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA、OC．显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“等积线”．
（1）在图1中，画出经过C点的四边形ABCD的“等积线”；
（2）如图2，AE为四边形ABCD的一条“等积线”，F为AD边上的一点，请画出经过F点的四边形ABCD的“等积线”，并写出画图步骤．
考点：三角形的面积．
专题：作图题．
分析：（1）延长EO交AD于点K，连接CK．CK即为所求直线；（2）根据两条平行线间的距离相等，只需借助平行线即可作出经过F点的四边形ABCD的“等积线”．
解答：解：（1）作图如下：
（2）作图如下：①连接EF；②过A作AP∥EF交CD于P；③连接FP，FP即为所求直线．（8分）
点评：本题考查了三角形的面积，能够根据两条平行线间的距离相等发现三角形的面积相等，理解“等积线”的概念．。

面积的平分问题

面积的平分问题(1)平分三角形面积：找中线；问题1、某住宅小区有一块平行四边形花园，现在物业公司要对其进行绿化，要求用一条直线为分界线把这块平行四边形空地分成面积相等的两块，一块用来种花，一块用来植绿色植被，如果你是设计师，你应该怎样设计，才能满足要求？(2)平分平行四边形面积：找过对称中心的直线；问题2、如果花园形状是梯形，要求用一条直线为分界线把这块梯形空地分成面积相等的两块，如果你是设计师，你应该怎样设计，才能满足要求？(3)平分梯形面积：找两底中点所在直线；等积变形成三角形；等积变形成平行四边形问题3、如果花园形状是任意四边形，要求用一条直线为分界线把这块四边形空地分成面积相等的两块，如果你是设计师，你应该怎样设计，才能满足要求？(4)平分一般四边形：变形成等积的三角形。

思考如果花园形状是任意四边形ABCD，四边形内部有一条折线小路AEC刚好平分四边形面积，现在小区的物业公司想把折线小路修成直线小路，由于各种条件限制，小路要通过点A ，并且只能修在AC 和点E 之间，同时还要平分四边形面积，请你帮助设计？相关题目有一块梯形状的土地，现要平均分给两个农户种植(即将梯形的面积两等分)，试设计两种方案(平分方案画在备用图上)，并给予合理的解释。

解：设梯形上、下底分别为a 、b ，高为h 。

方案一：如图1，连结梯形上、下底的中点E 、F ，则S 四边形ABFE ＝S 四边形EFCD ＝(a ＋b)h 4方案二：如图2，分别量出梯形上、下底a 、b 的长，在下底BC 上截取BE ＝12(a ＋b)，连接AE ，则S △ABE ＝S 四边形AECD ＝(a ＋b)h 4 。

方案三：如图3，连结AC ，取AC 的中点E ，连结BE 、ED ，则图中阴影部分的面积等于梯形ABCD 的面积的一半。

分析此方案可知，∵AE ＝EC ，∴S △AEB ＝S △EBC ，S △AED ＝S △ECD ，∴S △AEB ＋S △AED ＝S △EBC ＋S △ECD ，∴图中阴影部分的面积等于梯形ABCD 的面积的一半A B C D 备用图⑴A B C D 备用图⑵A B C D E F 图1A B C D E 图 2A B C D E 图 3。

(完整版)平行四边形提高题练习

平行四边形练习一、选择题1，一块均匀的不等边三角形的铁板，它的重心在（）A.三角形的三条角平分线的交点B.三角形的三条高线的交点C.三角形的三条中线的交点D.三角形的三条边的垂直平分线的交点2，如图1，如果□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，那么图中的全等三角形共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对3，平行四边形的一边长是10cm ，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（）A.4cm 和6cmB.6cm 和8cmC.8cm 和10cmD.10cm 和12cm4，在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )A.AC ＝BD ，AB ＝CD ，AB ∥CDB.AD //BC ，∠A ＝∠CC.AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BDD.AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC5，如图2，过矩形ABCD 的四个顶点作对角线AC 、BD 的平行线，分别相交于E 、F 、G 、H 四点，则四边形EFGH 为（）A.平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D. 正方形6，如图3，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S 1、S 2，那么S 1、S 2的大小关系是（）A.S 1 > S 2B.S 1 = S 2C.S 1<S 2D.S 1、S 2 的大小关系不确定7，矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分，则这个矩形的面积为（）A.3cm 2B. 4cm 2C. 12cm 2D. 4cm 2或12cm 28，如图4，菱形花坛 ABCD 的边长为 6m ，∠B ＝60°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长（粗线部分）为（）A.123mB.20mC.22mD.24m9，如图5，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则折痕EF 的长是( )A ．3B ．23C ．5D ．2510，如图6，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD ，小明从顶点A 沿着花坛间小路直到走到长边中点O ，再从中点O 走到正方形OCDF 的中心O 1，再从中心O 1走到正方形O 1GFH 的中心O 2，又从中心O 2走到正方形O 2IHJ 的中心O 3，再从中心O 3走2走到正方形O 3KJP 的中心O 4，一共走了31 2 m ，则长方形花坛ABCD 的周长是（）图6 图4 F EDC B A 图5 图3 AD C B HE FG 图2O A B D C 图1A.36 mB.48 mC.96 mD.60 m二、填空题（每题3分，共30分）11，如图7, 若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD 的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角的值等于＿＿＿.12，如图8，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积S 1与矩形QCNK 的面积S 2的大小关系是S 1 S 2（填“＞”或“＜”或“＝”）.13，如图9，四边形ABCD 是正方形，P 在CD 上，△ADP 旋转后能够与△ABP ′重合，若AB ＝3，DP ＝1，则PP ′＝＿＿＿.14，已知菱形有一个锐角为60°，一条对角线长为6cm ，则其面积为＿＿＿cm 2.15，如图10，在梯形ABCD 中,已知AB ∥CD ,点E 为BC 的中点, 设△DEA 的面积为S 1,梯形ABCD 的面积为S 2,则S 1与S 2的关系为＿＿＿.16，如图11，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直，A 1B 1C 1D 1四边形ABCD 的中点四边形.如果AC ＝8，BD ＝10，那么四边形A 1B 1C 1D 1的面积为＿＿＿.17，如图12，□ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为＿＿＿.18，将一张长方形的纸对折,如图13所示，可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到条折痕，如果对折n 次，可以得到条折痕.三、解答题（共40分）19，如图1,4，等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠DBC =45°,翻折梯形ABCD ,使点B 重合于D ,折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E ,若AD =2,BC =8.求BE 的长.…… 第一次对折第二次对折第三次对折图13图11A 1B 1C 1D 1 D A B C D A B C EF 图12 D C BA 图7 图9 图8K NM Q C BF E D C B A 图14图10 E D C B A20，在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD 分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；(1)根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有＿＿＿组；（2）请在图15的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；（3）由上述实验操作过程，你发现所画的饿两条直线有什么规律？21，如图16，已知四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD 的平分线CF 交边AB 于F ，∠ADC 的平分线DG 交边AB 于G .（1）线段AF 与GB 相等吗？（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG 为等腰直角三角形,并说明理由.1．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，如图是一副七巧板，若已知S △BIC =1,请你根据七巧板制作过程的认识，解决下列问题： A B C D A B C D D CB A 图15 A BCDEF 图17图16 O F D B E C A· 图18(1)求一只蚂蚁从点A 沿A →B →C →H →E 所走的路线的总长。

作平分图形面积的直线

自修回顾
1.如何作一条直线把平行四边形分成面
积相等的两部分？
AE
D
O
B
F
C2.如何作一条直线把中心对 Nhomakorabea图形分面积相等的两部分?
自修回顾
3. 如图1,平行四边形的内部有一个矩形.如图2， ∠A=∠B ＝∠C＝∠D＝∠E＝∠EFD＝90°．请你各用一条直线分别把下图中的阴影部分分割为面积相等的两部分.
2.有哪些数学思想或方法：
从特殊到一般、转化思想.
课后任务
1．小组合作完成一篇数学小论文《作平分图形面积的直线》，下周五前提交；
2．思考题：如图，在矩形中剪去了两个小正方形，请画出将这个图形面积等分的直线，并说明理由．（下周由第3小组进行汇报）
E
研修学习问题3 如何过顶点作一条直线把任意五边形分成面积相等的两部分？
解题策略：任意五边形转化为等积的三角形.
研修学习问题2再探究如何过顶点作一条直线把任意四边形分成面积相等的两部分？
把等分折线转化为等分直线.
学习交流
1.知识归纳与整理：
作平分中心对称和轴对称图形的直线的方法；利用平行线进行等积转化；作平分任意多边形的直线的方法.
图1
图2
同修学习
问题1 如何作一条直线把三角形分成面积相等的两部分？
A
B
C
同修学习
问题2 如何过顶点作一条直线把任意四边形分成面积相等的两部分？
解题策略：任意四边形转化为等积的三角形.
利用平行线等积变形
A
P
Qa
B E FC
Gb
∵a∥b ∴S△ABC＝ S△PBC＝ S△QBC
同修学习
任意四边形变形为等积的三角形的步骤: