高三数学训练题(十二)高三数学综合训练(2)

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高三数学基础训练题集1-10套(含答案)

高三数学基础训练题集1-10套(含答案)

图2俯视图侧视图正视图4图1乙甲7518736247954368534321高三数学基础训练一一.选择题:1.复数i1i,321-=+=zz,则21zzz⋅=在复平面内的对应点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.在等比数列{an}中,已知,11=a84=a,则=5aA.16 B.16或-16 C.32 D.32或-323.已知向量a =(x,1),b =(3,6),a⊥b ,则实数x的值为( )A.12B.2-C.2D.21-4.经过圆:C22(1)(2)4x y++-=的圆心且斜率为1的直线方程为( )A.30x y-+=B.30x y--=C.10x y+-=D.30x y++=5.已知函数()f x是定义在R上的奇函数,当0>x时,()2xf x=,则(2)f-=( )A.14B.4-C.41- D.46.图1是某赛季甲.乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,则甲.乙两人这几场比赛得分的中位数之和是A.62 B.63 C.64 D.657.下列函数中最小正周期不为π的是A.xxxf cossin)(⋅= B.g(x)=tan(2π+x)C.xxxf22cossin)(-=D.xxx cossin)(+=ϕ8.命题“,11a b a b>->-若则”的否命题是A.,11a b a b>-≤-若则B.若ba≥,则11-<-baC.,11a b a b≤-≤-若则D.,11a b a b<-<-若则9.图2为一个几何体的三视图,正视图和侧视图均为矩形,俯视图为正三角形,尺寸如图,则该几何体的侧面积为A .6B .24C .123D .3210.已知抛物线C 的方程为212x y =,过点A ()1,0-和点()3,t B 的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t 的取值范围是 A .()()+∞-∞-,11,B .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222, C .()()+∞-∞-,,2222D .()()+∞-∞-,,22二.填空题:11.函数22()log (1)f x x =-的定义域为 .12.如图所示的算法流程图中,输出S 的值为 .13.已知实数x y ,满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥,≤,≤≤,则2z x y =-的最大值为_______.14.已知c x x x x f +--=221)(23,若]2,1[-∈x 时,2)(c x f <恒成立,则实数c 的取值范围______ 三.解答题:已知()sin f x x x =+∈x (R ). (1)求函数)(x f 的最小正周期;(2)求函数)(x f 的最大值,并指出此时x 的值.高三数学基础训练二一.选择题:1.在等差数列{}n a 中, 284a a +=,则 其前9项的和S9等于 ( )A .18B .27C .36D .92.函数()()sin cos sin f x x x x =-的最小正周期为 ( )A .4π B .2πC .πD .2π 3.已知命题p: {}4A x x a=-,命题q :()(){}230B x x x =--,且⌝p 是⌝q 的充分条件,则实数 a 的取值范围是: ( )A .(-1,6)B .[-1,6]C .(,1)(6,)-∞-⋃+∞D .(,1][6,)-∞-⋃+∞ 4.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本,将160名学生从1~160编号,按编号顺序平均分成20组(1~8号,9~16号,。

高三文科数学考前训练(2)

高三文科数学考前训练(2)

高三数学考前训练(2)一、选择题(5×10=50分)1.若12(1)ai bi i +=-,其中a 、b R ∈,i 是虚数单位,则||a bi +=( )A .12i + BC.D .542. “3=x ”是“92=x ”的( )A .充分而不必要的条件B .必要而不充分的条件C .充要条件D .既不充分也不必要的条件 3.某程序框图如图所示,现输入下列四个函数:1()f x x=,2()f x x x =+,23()log (1)f x x =+,()22xf x =-则输出的函数是( )A .1()f x x=B .2()f x x x =+ C . 23()log (1)f x x =+D .()22xxf x -=-4.等差数列{}n a 中,10120,S = 那么29a a +的值是( )A .12B .16C .24D .485.圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是( )A .0=-y xB .0=+y xC .0=xD .0=y 6.已知函数)2,0()sin(πϕωϕω<>+=x y 的部分图象如图,则( ) A .6,1πϕω== B .6,1πϕω-==C .6,2πϕω== D .6,2πϕω-==7.若曲线x x x f -=331)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ,则点P 的横坐标为( )A .2B .±2C .1D .1-8.若实数y x 、满足231x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,则y x S +=2的最大值为( )A .3B .2C .6D .79.△ABC 的三个内角,C B A 、、的对边分别为c b a 、、,且1)(22=--bcc b a ,则=A ( )A .030 B .060 C .0120 D .015010.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<<≥+=20log 243)21()(2x x x x f x ,则((2))f f =( ) A .0 B .45C .1D .1- 二、填空题(5×5=25分)11.已知平面向量(3,1),(,3),//,a b x a b x ==-则等于 .12.某高中共有学生1200人,其中高一年级有500人,高二年级有400人,高三年级有300人,采用分层抽样方法抽取一个容量为60的样本,那么高三年级抽取学生个数应为 .13.已知F 是双曲线C :)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点,O 是双曲线C 的中心,直线xm y =是双曲线C 的一条渐近线.以线段OF 为边作正三角形MOF ,若点M 在双曲线C 上, 则m 的值为14.已知R 是实数集,集合{}2|22,,12A y y x x x R x ==-+∈-≤≤,集合27|,13x B x x R x -⎧⎫=∈>⎨⎬-⎩⎭,任取x A ∈,则x A B ∈的概率等于15.四棱锥P ABCD -的顶点p 在底面ABCD 中的投影恰好是A ,其三视图如图所示,则四棱锥P ABCD -的表面积为三、解答题(75分)16.(本题满分13分)已知函数)(,2,2}{,1log )(*112N n a a a a x x x f nn n ∈==+-=+满足数列, (1)求数列{}n a 的通项公式n a ;(2)设)(n n a f b =求数列}{n b 的前n 项和n S 。

2013届高三理科数学训练题(12)

2013届高三理科数学训练题(12)

2013届高三理科数学训练题(12)一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.数列}{n a 中,301-=a 且31+=+n n a a ,则这个数列的前20项的绝对值之和为 ( ) A 270 B 300 C 330 D 3602.设n S 和n T 分别是两个等差数列}{n a 和}{n b 的前n 项和,若对任意+∈N n 都有27417++=n n T S nn ,则9a 与9b 的比是( ) A6364B1924C91113D991273.一个首项为正数的等差数列,前7项和等于前13项和,当这个数列的前n 项和最大时,n 的值是 ( )A 8B 9C 10D 114.已知等比数列}{n a 的公比0<q ,前n 项和为n S ,则65a S 与56a S 的大小关系是 ( ) A 5665a S a S > B 5665a S a S = C 5665a S a S < D 无法确定5.已知数列}{n a 为等差数列,01>a ,若189-<a a ,则使得0>n S 的n 的最大值是 ( )A 14B 15C 16D 176.已知数列}{n a 中,11=a ,322+=a ,6543++=a ,109874+++=a ,⋅⋅⋅⋅,则20a 的值是 ( ) A 4000 B 4010 C 4020 D 40307.一凸n 边形,各内角度数成等差数列,公差是8,最小内角是108,则边数n 是 ( ) A 9 B 10 C 9或10 D 8或9二、填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共25分)8.已知等差数列}{n a 的公差为1-,且40182012=S ,则2012642a a a a +⋅⋅⋅⋅+++=_______________。

9.若x 的方程02=+-a x x 和02=+-b x x (b a ≠)的四个根可组成首项为31的等差数列,则b a +的值是_________________。

高三数学选择题专题训练(17套)含答案

高三数学选择题专题训练(17套)含答案

(每个专题时间:35分钟,满分:60分)1.函数y =的定义域是( )A .[1,)+∞B .23(,)+∞ C .23[,1] D .23(,1]2.函数221()1x f x x -=+, 则(2)1()2f f = ( ) A .1 B .-1 C .35D .35-3.圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为( )A .2 BC .1 D4.不等式221x x +>+的解集是( ) A .(1,0)(1,)-+∞ B .(,1)(0,1)-∞- C .(1,0)(0,1)- D .(,1)(1,)-∞-+∞5.sin163sin 223sin 253sin313+=( )A .12-B .12C. D6.若向量a 与b 的夹角为60,||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为( ) A .2 B .4 C .6 D .127.已知p 是r 的充分不必要条件,s 是r 的必要条件,q 是s 的必要条件。

那么p 是q 成立的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 8.不同直线,m n 和不同平面,αβ,给出下列命题 ( )①////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭ ② //////m n n m ββ⎫⇒⎬⎭ ③ ,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面 ④ //m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭其中假命题有:( ) A .0个 B .1个C .2个D .3个9. 若{}n a 是等差数列,首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><,则使前n 项和0n S > 成立的最大自然数n 是 ( ) A .4005 B .4006 C .4007 D .400810.已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左,右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上,且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为 ( )A .43B .53C .2D .7311.已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮,这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯炮使用,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为 ( )A .2140B .1740C .310D .712012. 如图,棱长为5的正方体无论从哪一个面看,都有两个直通的边长为1的正方形孔,则这个有孔正方体的表面积(含孔内各面)是A .258B .234C .222D .2101.设集合U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,3,5},则()U C A B 等于( )A .{1,2,4}B .{4}C .{3,5}D .∅2.︒+︒15cot 15tan 的值是( )A .2B .2+3C .4D .334 3.命题p :若a 、b ∈R ,则|a |+|b|>1是|a +b|>1的充要条件;命题q :函数y=2|1|--x 的定义域是(-∞,-1]∪[3,+∞).则( )A .“p 或q ”为假B .“p 且q ”为真C .p 真q 假D .p 假q 真4.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点,过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,若△ABF 2是正三角形,则这个椭圆的离心率为( )A .32 B .33 C .22 D .235.设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和,若==5935,95S Sa a 则( ) A .1B .-1C .2D .216.已知m 、n 是不重合的直线,α、β是不重合的平面,有下列命题:其中真命题的个数是( ) ①若m ⊂α,n ∥α,则m ∥n ; ②若m ∥α,m ∥β,则α∥β; ③若α∩β=n ,m ∥n ,则m ∥α且m ∥β; ④若m ⊥α,m ⊥β,则α∥β.A .0B .1C .2D .37.已知函数y=log 2x 的反函数是y=f —1(x ),则函数y= f —1(1-x )的图象是( )8.已知a 、b 是非零向量且满足(a -2b) ⊥a ,(b -2a ) ⊥b ,则a 与b 的夹角是( )A .6π B .3π C .32π D .65π 9.已知8)(xa x -展开式中常数项为1120,其中实数a 是常数,则展开式中各项系数的和是( )A .28B .38C .1或38D .1或2810.如图,A 、B 、C 是表面积为48π的球面上三点,AB=2,BC=4,∠ABC=60º,O 为球心,则直线OA 与截面ABC 所成的角是( ) A .arcsin 63 B .arccos 63C .arcsin 33 D .arccos 3311.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2),当x ∈[3,4] 时,f(x)= x -2,则 ( ) A .f (sin21)<f (cos 21) B .f (sin 3π)>f (cos 3π) C .f (sin1)<f (cos1) D .f (sin 23)>f (cos 23) 12.如图,B 地在A 地的正东方向4 km 处,C 地在B 地的北偏东30°方向2 km 处,河流的沿岸PQ (曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ,现要在曲线PQ 上任意选一处M 建一座码头,向B 、C 两地转运货物,经测算,从M 到B 、C 两地修建公路的费用都是a 万元/km 、那么修建这两条公路的总费用最低是( )A .(7+1)a 万元B .(27-2) a 万元C .27a 万元D .(7-1) a 万元专题训练(三)1.已知平面向量a =(3,1),b =(x ,–3),且a b ⊥,则x= ( ) A .-3 B .-1 C .1 D .3 2.已知{}{}2||1|3,|6,A x x B x xx =+>=+≤则A B =( )A .[)(]3,21,2-- B .(]()3,21,--+∞C . (][)3,21,2--D .(](],31,2-∞-3.设函数2322,(2)()42(2)x x f x x x a x +⎧->⎪=--⎨⎪≤⎩在x=2处连续,则a= ( )A .12-B .14- C .14 D .134.已知等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ,则++2221a a …2n a +等于( )A .2)12(-nB .)12(31-nC .14-nD .)14(31-n5.函数f(x)22sin sin 44f x x x ππ=+--()()()是( ) A .周期为π的偶函数 B .周期为π的奇函数 C . 周期为2π的偶函数 D ..周期为2π的奇函数6.一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000,有四台这中型号的自动机床各自独立工作,则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是( )A .0.1536B . 0.1808C . 0.5632D . 0.97287.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是( )A .23 B . 76 C . 45 D . 568.若双曲线2220)x y kk -=>(的焦点到它相对应的准线的距离是2,则k= ( ) A . 6 B . 8C . 1D . 49.当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值是( ) A . 4 B . 12 C .2 D . 1410.变量x 、y 满足下列条件:212,2936,2324,0,0.x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩ 则使z=3x+2y 的值最小的(x ,y )是 ( )A . ( 4.5 ,3 )B . ( 3,6 )C . ( 9, 2 )D . ( 6, 4 )11.若tan 4f x x π=+()(),则( ) A . 1f -()>f (0)>f (1) B . f (0)>f(1)>f (-1) C . 1f ()>f (0)>f (-1) D . f (0)>f(-1)>f (1) 12.如右下图,定圆半径为 ( b ,c ), 则直线ax+by+c=0 与直线 x –y+1=0的交点在( )A . 第四象限B . 第三象限C .第二象限D . 第一象限1.设集合P={1A .{1,2} B . {3,4} C . {1} D . {-2,-1,0,1,2}2.函数y=2cos 2x+1(x ∈R )的最小正周期为 ( )A .2πB .πC .π2D .π43.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有( )A .140种B .120种C .35种D .34种4.一平面截一球得到直径是6cm 的圆面,球心到这个平面的距离是4cm ,则该球的体积是( )A .33π100cmB . 33π208cmC . 33π500cmD . 33π3416cm 5.若双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合,则双曲线的离心率为 ( )A .2B .22C . 4D .246.某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了50名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 ( )A .0.6小时B .0.9小时C .1.0小时D .1.5小时 7.4)2(x x +的展开式中x 3的系数是( ) A .6 B .12 C .24 D .488.若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两 点(-1,0)和(0,1),则( )A .a =2,b=2B .a = 2 ,b=2C .a =2,b=1D .a = 2 ,b= 29.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分 别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体玩具)先后抛掷3次,至少出现一次6点向上的概率是( )A .5216B .25216C .31216D .9121610.函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是( )A .1,-1B .1,-17C .3,-17 D.9,-1911.设k>1,f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中,函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点,它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点,并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3,则k 等于 ( )A .3B .32C .43D .6512.设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=,区间M=[a ,b](a<b),集合N={M x x f y y ∈=),(},则使M=N 成立的实数对(a ,b)有 ( )A .0个B .1个C .2个D .无数多个人数(人)时间(小时)专题训练(五)1.若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.对于10<<a ,给出下列四个不等式,其中成立的是( )① )11(log )1(log a a a a +<+ ②)11(log )1(log aa a a +>+ ③aa a a 111++<④aaaa 111++>A .①与③B .①与④C .②与③D .②与④3.已知α、β是不同的两个平面,直线βα⊂⊂b a 直线,,命题b a p 与:无公共点;命题βα//:q . 则q p 是的( )A .充分而不必要的条件B .必要而不充分的条件C .充要条件D .既不充分也不必要的条件 4.圆064422=++-+y x y x 截直线x -y -5=0所得弦长等于( ) A .6 B .225 C .1 D .5 5.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是p 1,乙解决这个问题的概率是p 2,那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A .21p pB .)1()1(1221p p p p -+-C .211p p -D .)1)(1(121p p --- 6.已知点)0,2(-A 、)0,3(B ,动点2),(x y x P =⋅满足,则点P 的轨迹是( ) A .圆 B .椭圆 C .双曲线 D .抛物线 7.已知函数1)2sin()(--=ππx x f ,则下列命题正确的是( )A .)(x f 是周期为1的奇函数B .)(x f 是周期为2的偶函数C .)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D .)(x f 是周期为2的非奇非偶函数 8.已知随机变量ξ的概率分布如下:则==)10(ξP ( )A .932 B .103 C .93 D .103 9.已知点)0,2(1-F 、)0,2(2F ,动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是21时,点P 到坐标原点的距离是( )A .26 B .23 C .3D .210.设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点,且在同一平面内,AB=BC=CD=DA=3,球心到该平面的距离是球半径的一半,则球的体积是( )A .π68B .π664C .π224D .π27211.若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象(部分)如图所示,则ϕω和的取值是( )A .3,1πϕω==B .3,1πϕω-==C .6,21πϕω==D .6,21πϕω-== 12.有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座,规定前排中间的3个座位不能坐, 并且这2人不.左右相邻,那么不同排法的种数是( )A .234B .346C .350D .3631.设集合U A .{2} B .{2,3} C .{3} D . {1,3} 2.已知函数=-=+-=)(,21)(,11lg )(a f a f x x x f 则若( ) A .21 B .-21 C .2 D .-23.已知a +b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a +3b |=( ) A .7 B .10C .13D .44.函数)1(11>+-=x x y 的反函数是 ( )A .)1(222<+-=x x x yB .)1(222≥+-=x x x y C .)1(22<-=x x x y D .)1(22≥-=x x x y5.73)12(xx -的展开式中常数项是( )A .14B .-14C .42D .-426.设)2,0(πα∈若,53sin =α则)4cos(2πα+=( ) A .57B .51C .27 D .47.椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则||2PF =( ) A .23B .3C .27 D .48.设抛物线x y 82=的准线与x 轴交于点Q ,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是( )A .]21,21[-B .[-2,2]C .[-1,1]D .[-4,4]9.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象,可以将函数x y 2cos =的图象( )A .向右平移6π个单位长度 B .向右平移3π个单位长度 C .向左平移6π个单位长度D .向左平移3π个单位长度10.已知正四面体ABCD 的表面积为S ,其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ,设四面体EFGH 的表面积为T ,则ST等于( )A .91 B .94 C .41 D .31 11.从1,2,……,9这九个数中,随机抽取3个不同的数,则这3个数的和为偶数的概率是( )A .95 B .94 C .2111 D .2110 12.已知ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为( )A .3-21B .21-3C .-21-3D .21+31.已知集合}032|{|,4|{22<--=<=x x x N x x M ,则集合N M ⋂=( ) A .{2|-<x x } B .{3|>x x } C .{21|<<-x x } D . {32|<<x x }2.函数)5(51-≠+=x x y 的反函数是( ) A .)0(51≠-=x x y B .)(5R x x y ∈+=C .)0(51≠+=x xy D .)(5R x x y ∈-=3.曲线1323+-=x x y 在点(1,-1)处的切线方程为( ) A .43-=x y B .23+-=x y C .34+-=x y D .54-=x y4.已知圆C 与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称,则圆C 的方程为( )A .1)1(22=++y xB .122=+y xC .1)1(22=++y xD .1)1(22=-+y x5.已知函数)2tan(ϕ+=x y 的图象过点)0,12(π,则ϕ可以是( )A .6π-B .6π C .12π-D .12π 6.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为( ) A .75° B .60° C .45° D .30° 7.函数xe y -=的图象( ) A .与xe y =的图象 关于y 轴对称B .与xe y =的图象关于坐标原点对称C .与x e y -=的图象关于y 轴对称D .与xe y -=的图象关于坐标原点对称 8.已知点A (1,2)、B (3,1),则线段AB 的垂直平分线的方程是( ) A .524=+y x B .524=-y x C .52=+y x D .52=-y x 9.已知向量a 、b 满足:|a |=1,|b |=2,|a -b |=2,则|a +b |=( ) A .1B .2C .5D .610.已知球O 的半径为1,A 、B 、C 三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为2π,则球心O 到平面ABC 的距离为( )A .31 B .33 C .32 D .36 11.函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为( )A .4π B .2π C .π D .2π12.在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23145且小于43521的数共有( ) A .56个 B .57个 C .58个 D .60个专题训练(八)1、设集合22,1,,M x y xy x R y R =+=∈∈,2,0,,N x y xy x R y R =-=∈∈,则集合MN 中元素的个数为( )A .1B .2C .3D .42、函数sin 2xy =的最小正周期是( ) A .2πB .πC .2πD .4π3、记函数13xy -=+的反函数为()y g x =,则(10)g =( ) A . 2 B . 2-C . 3D . 1- 4、等比数列{}n a 中,29,a = 5243a =,则{}n a 的前4项和为( )A . 81B . 120C .168D . 1925、圆2240x y x +-=在点(P 处的切线方程是( )A . 20x +-=B . 40x +-=C . 40x -+=D . 20x +=6、61x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为( )A . 15B . 15-C . 20D . 20-7、若△ABC 的内角满足sin A +cos A >0,tan A -sin A <0,则角A 的取值范围是( )A .(0,4π) B .(4π,2π) C .(2π,43π) D .(43π,) 8、设双曲线的焦点在x 轴上,两条渐近线为12y x =±,则双曲线的离心率e =( )A . 5B .C .D . 549、不等式113x <+<的解集为( )A . ()0,2B . ()()2,02,4- C . ()4,0- D . ()()4,20,2--10、正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积为( )A .B .C . 3D .11、在ABC 中,3,4AB BC AC ===,则边AC 上的高为( )A .B .C . 32D .12、4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名教师,则不同的分配方案共有( )A . 12 种B . 24 种C 36 种D . 48 种1.设集合U={1U A .{5} B .{0,3} C .{0,2,3,5} D . {0,1,3,4,5}2.函数)(2R x e y x∈=的反函数为( ) A .)0(ln 2>=x x y B .)0)(2ln(>=x x y C .)0(ln 21>=x x y D .)0(2ln 21>=x x y 3.正三棱柱侧面的一条对角线长为2,且与底面成45°角,则此三棱柱的体积为( ) A .26 B . 6C .66 D .36 4. 函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于( ) A .1 B .2 C .3 D .45.为了得到函数xy )31(3⨯=的图象,可以把函数xy )31(=的图象( )A .向左平移3个单位长度B .向右平移3个单位长度C .向左平移1个单位长度D .向右平移1个单位长度6.等差数列}{n a 中,78,24201918321=++-=++a a a a a a ,则此数列前20项和等于 A .160 B .180 C .200 D .2207.已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A ,且点A 的横坐标为2,则k ( )A .41-B .41 C .21-D .21 8.已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,直线0443=++y x 与圆C 相切,则圆C 的方程为( )A .03222=--+x y xB .0422=++x y xC .03222=-++x y x D .0422=-+x y x9.从5位男教师和4位女教师中选出3位教师,派到3个班担任班主任(每班1位班主任),要求这3位班主任中男、女教师都要有,则不同的选派方案共有( )A .210种B .420种C .630种D .840种10.函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .-511.已知球的表面积为20π,球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=BC=23,则球心到平面ABC 的距离为( )A .1B .2C .3D .212.△ABC 中,a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列,∠B=30°,△ABC 的面积为23,那么b =( ) A .231+ B .31+ C .232+ D .32+1.设集合A .PQ P = B .P Q 包含Q C .P Q Q = D . P Q 真包含于P2. 不等式21≥-xx 的解集为( ) A . )0,1[- B . ),1[+∞- C .]1,(--∞ D .),0(]1,(+∞--∞ 3.对任意实数,,a b c 在下列命题中,真命题是( )A .""ac bc >是""a b >的必要条件B .""ac bc =是""a b =的必要条件C .""ac bc >是""a b >的充分条件D .""ac bc =是""a b =的充分条件 4.若平面向量b 与向量)2,1(-=的夹角是o 180,且53||=,则=b ( ) A . )6,3(- B . )6,3(- C . )3,6(- D . )3,6(-5.设P 是双曲线19222=-y ax 上一点,双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ,1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点。

高三数学下学期复习综合验收测试试题(2)理 新课标

高三数学下学期复习综合验收测试试题(2)理 新课标

2012—2013学年度下学期高三二轮复习 数学(理)综合验收试题(2)【新课标】本试卷分第I 卷和第II 卷两部分,共4页。

满分150分。

考试用时120分钟,考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。

参考公式:锥体的体积公式:V=13Sh ,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高。

如果事件A ,B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B );如果事件A,B 独立,那么P (AB )=P (A )·P(B )。

第I 卷(共60分)一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合A={3123|≤-≤-x x },集合B 为函数)1lg(-=x y 的定义域,则A ⋂B= ( ) A .(1,2) B .[1,2] C . [ 1,2) D .(1,2 ] 2.下列有关命题的叙述错误的是( ) A .对于命题 p :∃x∈R, 210x x ++<,则p ⌝为: ∀x∈R,210x x ++≥ B .命题“若2x -3x + 2 = 0,则 x = 1”的逆否命题为“若 x≠1,则2x -3x+2≠0” C .若 p∧q 为假命题,则 p ,q 均为假命题D .“x > 2”是“ 2x -3x + 2 > 0”的充分不必要条件3.i 为虚数单位,复平面内表示复数2iz i-=+的点在 ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限4. 右图是某四棱锥的三视图,则该几何体的表面积等于( )A .34+B .6+C .6+D .17+5. 如图,设A 、B 两点在河的两岸,一测量者在A 的同侧,在所在的河岸边选定一点C ,测出AC 的距离为50m ,∠ACB = 45°,∠CAB = 105°后,就可以计算出A 、B 两点的距离为( )A.B.C.D.6. 要得到函数)12cos(+=x y 的图象,只要将函数x y 2cos =的图象( )A . 向左平移1个单位B . 向右平移1个单位C . 向左平移12个单位 D . 向右平移12个单位 7. 执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为6, 则输出s 的值为 ( )A .105B .16C .15D .18. 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换, 任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的 两位同学互赠一份纪念品,已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为( ) A .1或3 B .1或4 C . 2或3 D .2或4 9.在251(2)x x-的二项展开式中,x 的系数为( ) A .10B .10-C .40D .40-10. 设x ,y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数z =ax +by (a >0,b>0)的最大值为12,则23a b+的最小值为( )A .256 B .83C .113D .411.已知数列{}n a 为等差数列,数列{}n b 是各项均为正数的等比数列,且公比1q >,若11a b =,20112011a b =则10061006a b 与的大小关系是( )A .10061006a b =B .10061006a b <C .10061006a b >D .10061006a b ≥12. 在同一个坐标系中画出函数,sin x y a y ax ==的部分图象,其中01a a >≠且,则下列所给图象中可能正确的是( )第Ⅱ卷(共90分)二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。

2014届高三理科数学综合测试题(2)

2014届高三理科数学综合测试题(2)

图1高三理科数学综合训练题(2014.2)一、选择题:本大题共8个小题;每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{2,0,1,4}A =,{04,R}=<≤∈B x x x ,C A B = .则集合C 可表示为A .{2,0,1,4}B . {1,2,3,4}C .{1,2,4}D . {04,R}x x x <≤∈2.复数z 满足(1i)1z -=(其中i 为虚数单位),则z =A .11i 22- B .11i 22+ C .11i 22-+ D .11i 22--3.下列函数中,为奇函数的是A .122x x y =+B .{},0,1y x x =∈C .sin y x x =⋅D .1,00,01,0x y x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩4.“1ω=”是“ 函数()cos f x x ω=在区间[]0,π上单调递减”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 5.执行如图1所示的程序框图,则输出的a 的值为 (注:“2a =”,即为“2a ←”或为“:2a =”.) A .2 B .13C .12- D .3-6.412x x -(的展开式中常数项为A .12B .12-C .32D .32-7.如图2,在矩形OABC 内:记抛物线21y x =+与直线1y x =+ 围成的区域为M (图中阴影部分).随机往矩形OABC 内投一点P ,则点P 落在区域M 内的概率是 A .118 B .112C .16 D .1311+8.在平面直角坐标系中,定义两点11(,)P x y 与22(,)Q x y 之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-.给出下列命题:(1)若(1,2)P ,(sin ,2cos )()Q R ααα∈,则(,)d P Q的最大值为3 (2)若,P Q 是圆221x y +=上的任意两点,则(,)d P Q的最大值为 (3) 若(1,3)P ,点Q 为直线2y x =上的动点,则(,)d P Q 的最小值为12. 其中为真命题的是 A .(1)(2)(3) B .(1)(2) C .(1)(3) D . (2)(3)二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.本大题分为必做题和选做题两部分.(一)必做题:第9、10、11、12、13题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.函数f x ()的定义域为 .10.某几何体的三视图如图3所示,其正视图是边长为2的正方形,侧视图和俯视图都是等腰直角三角形,则此几何体的体积是 .11.已知双曲线2222:1x y C a b -=与椭圆22194x y +=有相同的焦点,且双曲线C 的渐近线方程为2y x =±,则双曲线C 的方程为 .12. 设实数,x y 满足,102,1,x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩向量2,x y m =-()a ,1,1=-()b .若// a b ,则实数m 的最大值为 .13.在数列{}n a 中,已知24a =, 315a =,且数列{}n a n +是等比数列,则n a = . (二)选做题:第14、15题为选做题,只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的得分. 14.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线1C 的参数方程为,x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线2C 的极坐标方程为sin cos 1ρθρθ-=-.则曲线1C 与曲线2C 的交点个数为________个.图415.(几何证明选讲选做题)如图4,已知AB 是⊙O 的直径,TA是⊙O 的切线,过A 作弦//AC BT ,若4AC =,AT =,则AB = .三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像经过点π(,1)12. (1)求ϕ的值;(2)在ABC ∆中,A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ,若222a b c ab +-=,且π()2122A f +=.求sin B . 17.(本小题满分12分)某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况,随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况,得到如下数据统计表(如图5(1)):若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”,网购金额不超过2千元的顾客定 义为“非网购达人”,已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3:2.(1)试确定x ,y ,p ,q 的值,并补全频率分布直方图(如图5(2)).(2)该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验,从“非网购达人”、“网购 达人”中用分层抽样的方法确定10人,若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查.设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数,求ξ的分布列和数学期望.图5(1) (2)18.(本小题满分14分)如图6所示,平面ABCD ⊥平面BCEF ,且四边形ABCD 为矩形,四边形BCEF 为直角梯形,//BF CE , BC CE ⊥,4DC CE ==,2BC BF ==.(1)求证://AF 平面CDE ; (2)求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值; (3)求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值.19.(本小题满分14分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足24(1)(1)(2)(N )n n n S n a n *++=+∈. (1)求1a ,2a 的值; (2)求n a ; (3)设1n nn b a +=,数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证:34n T <.AD BC FE图620.(本小题满分14分)如图7,直线:(0)l y x b b =+>,抛物线2:2(0)C y px p =>,已知点(2,2)P 在抛物线C 上,且抛物线C 上的点到直线l 的距离的最小(1)求直线l 及抛物线C 的方程;(2)过点(2,1)Q 的任一直线(不经过点P )与抛物线C 交于A 、B 两点,直线AB 与直线l 相交于点M ,记直线PA ,PB ,PM 的斜率分别为1k ,2k , 3k .问:是否存在实数λ,使得123k k k λ+=?若存在,试求出λ的值;若不存在,请说明理由.21.(本小题满分14分)已知函数2901xf x a ax =>+()() .(1)求f x ()在122[,]上的最大值;(2)若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线,求实数a 的值;(3)当2a =时,设1214122x x x ,⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦…,,, ,且121414x x x =…+++ ,若不等式1214f x f x +f x λ≤…()+()+()恒成立,求实数λ的最小值.图7yM PBQxAOl参考答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBDADCBA二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.{2}x x ≥;10.83;11.2214y x -=;12.6;13.123n n -⋅-;14.1;15..三、解答题:本大题共6小题,共80分.16.(本小题满分12分) (1)由题意可得π()112f =,即πsin()16ϕ+=.……………………………2分 0πϕ<< ,ππ7π666ϕ∴<+<, ππ62ϕ∴+=, π3ϕ∴=.……………5分 (2)222a b c ab +-= , 2221cos 22a b c C ab +-∴==,………………………7分sin C ∴==.………………………………8分 由(1)知π()sin(2)3f x x =+,π(+)sin()cos 2122A f A A π∴=+==()0,A π∈ ,sin 2A ∴==,……………………10分 又sin sin(π())sin()B A C A C =-+=+ ,1sin sin cos cos sin 22224B AC A C ∴=+=+=.…………12分 17.(本小题满分12分)(1)根据题意,有39151860,182.39153x y y x +++++=⎧⎪⎨=⎪+++⎩+解得9,6.x y =⎧⎨=⎩………………2分0.15p ∴=,0.10q =.补全频率分布直方图如图所示.………………4分(2)用分层抽样的方法,从中选取10人,则其中“网购达人”有210=45⨯人,“非网购达人”有310=65⨯人.……………6分 故ξ的可能取值为0,1,2,3;03463101(0)6C C P C ξ=== , 12463101(1)2C C P C ξ===,21463103(2)10C C P C ξ===,30463101(3)30C C P C ξ===.……………10分所以ξ的分布列为:01236210305E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=.……………………………12分18.(本小题满分14分)(解法一)(1)取CE 中点为G ,连接DG 、FG , //BF CG 且BF CG =,∴四边形BFGC 为平行四边形,则//BC FG 且BC FG =. ……………2分 四边形ABCD 为矩形, //BC AD ∴且BC AD =,//FG AD ∴且FG AD =,∴四边形AFGD 为平行四边形,则//AF DG .DG ⊂ 平面CDE ,AF ⊄平面CDE , //AF ∴平面CDE .…………………………4分(2)过点E 作CB 的平行线交BF 的延长线于P ,连接FP ,EP ,AP ,////EP BC AD , ∴A ,P ,E ,D 四点共面.四边形BCEF 为直角梯形,四边形ABCD 为矩形,∴EP CD ⊥,EP CE ⊥,又 CD CE C = ,EP ∴⊥平面CDE ,∴EP DE ⊥, 又 平面ADE 平面BCEF EP =,∴DEC ∠为平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的平面角.……………7分4DC CE ==,∴cos CE DEC DE ∠==.即平面ADE 与平面BCEF 9分 (3)过点F 作FH AP ⊥于H ,连接EH ,根据(2)知A ,P ,E ,D 四点共面,////EP BC AD ,∴BC BF ⊥,BC AB ⊥, 又 AB BF B = , BC ∴⊥平面ABP ,∴BC FH ⊥,则FH EP ⊥. 又 FH AP ⊥, FH ∴⊥平面ADE .∴直线EF 与平面ADE 所成角为HEF ∠.……11分4DC CE ==,2BC BF ==,∴0sin 45FH FP ==EF =HE ,∴cos HE HEF EF ∠===.即直线EF 与平面ADE 14分 (解法二)(1) 四边形BCEF 为直角梯形,四边形ABCD 为矩形,∴BC CE ⊥,BC CD ⊥,又 平面ABCD ⊥平面BCEF ,且平面ABCD 平面BCEF BC =,DC ∴⊥平面BCEF .以C 为原点,CB 所在直线为x 轴,CE 所在直线为y 轴,CD 所在直线为z 轴建立坐标系.根据题意我们可得以下点的坐标:(2,0,4)A ,(2,0,0)B ,(0,0,0)C ,(0,0,4)D ,(0,4,0)E ,(2,2,0)F , 则(0,2,4)AF =- ,(2,0,0)CB =.………………………2分BC CD ⊥ ,BC CE ⊥, CB ∴为平面CDE 的一个法向量.又0220(4)00AF CB ⋅=⨯+⨯+-⨯=,//AF ∴平面CDE . ……………4分(2)设平面ADE 的一个法向量为1111(,,)n x y z = ,则110,0.AD n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩(2,0,0)AD =- ,(0,4,4)DE =- ,∴11120440x y z -=⎧⎨-=⎩,取11z =,得1(0,1,1)n =. ……6分DC ⊥ 平面BCEF ,∴平面BCEF 一个法向量为(0,0,4)CD =,设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α,则11cos CD n CD n α⋅===⋅ . 因此,平面ADE 与平面BCEF……………9分 (3)根据(2)知平面ADE 一个法向量为1(0,1,1)n =,(2,2,0)EF =-,1111cos ,2EF n EF n EF n ⋅∴<>===-⋅, ……………………12分 设直线EF 与平面ADE 所成角为θ,则1cos sin ,EF n θ=<>=因此,直线EF 与平面ADE. ……………14分 19.(本小题满分14分)(1)当=1n 时,有2114(11)(+1=1+2a a ⨯+)(),解得1=8a .当=2n 时,有21224(21)(1)(22)a a a ⨯+++=+,解得2=27a .………………2分(2)(法一)当2n ≥时,有2(2)4(1)1nn n a S n ++=+, ……………①211(1)4(1)n n n a S n--++=. …………………② ①—②得:221(2)(1)41n n n n a n a a n n -++=-+,即:331(1)=n n a n a n-+.……………5分 ∴1223333===1(1)(1)3n n n a a a a n n n --==+-….∴ 3=(1)n a n +(2)n ≥. ……………8分 另解:33333121333121(1)42(1)(1)3n n n n n a a a n n a a n a a a n n ---+=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=+- . 又 当=1n 时,有1=8a , ∴3=(1)n a n +.………………………8分(法二)根据1=8a ,2=27a ,猜想:3=(1)n a n +. ……………………………3分用数学归纳法证明如下:(Ⅰ)当1n =时,有318(11)a ==+,猜想成立. (Ⅱ)假设当n k =时,猜想也成立,即:3=(1)k a k +.那么当1n k =+时,有2114(11)(1)(12)k k k S k a +++++=++,即:211(12)4(1)11k k k a S k +++++=++,………………………①又 2(2)4(1)1kk k a S k ++=+, …………………………②①-②得:22223111(3)(2)(3)(2)(1)4=2121k k k k k a k a k a k k a k k k k ++++++++=--++++,解得33+1(2)(11)k a k k =+=++.∴当1n k =+时,猜想也成立.因此,由数学归纳法证得3=(1)n a n +成立.………………………………8分 (3) 211111=(1(11n n n b a n n n n n +=<=-+++)), …………………………10分 ∴1231=n n n T b b b b b -+++++…2222211111=234(1)n n ++++++…211111<22323(1)(1)n n n n +++++⨯⨯-+ (11111)1111=()()()()4233411n n n n +-+-++-+--+ (1113)=4214n +-<+.…………14分 20.(本小题满分14分)(1)(法一) 点(2,2)P 在抛物线C 上, 1p ∴=. …………………2分设与直线l 平行且与抛物线C 相切的直线l '方程为y x m =+,由2,2,y x m y x =+⎧⎨=⎩ 得22(22)0x m x m +-+=, 22(22)448m m m ∆=--=- , ∴由0∆=,得12m =,则直线l '方程为12y x =+.两直线l 、l '间的距离即为抛物线C 上的点到直线l 的最短距离,∴4=,解得2b =或1b =-(舍去).∴直线l 的方程为2y x =+,抛物线C 的方程为22y x =. ………………6分(法二) 点(2,2)P 在抛物线C 上, 1p ∴=,抛物线C 的方程为22y x =.…2分设2(,))2t M t t R ∈(为抛物线C 上的任意一点,点M 到直线l 的距离为d =根据图象,有202t t b -+>,21)21]d t b ∴=-+-,t R ∈ ,d ∴4=,解得2b =. 因此,直线l 的方程为2y x =+,抛物线C 的方程为22y x =.……………6分 (2) 直线AB 的斜率存在,∴设直线AB 的方程为1(2)y k x -=-,即21y kx k =-+,由221,2,y kx k y x =-+⎧⎨=⎩ 得22420ky y k --+=, 设点A 、B 的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ,则122y y k +=,1224k y y k-=, 11121112222222y y k y x y --===-+- ,2222k y =+, ……………………9分 121212121222+82()82242242222()4324y y k k k k k y y y y y y k k⋅+++∴+=+===-++++++⋅+.……10分 由21,2,y kx k y x =-+⎧⎨=+⎩ 得211M k x k +=-,411M k y k -=-,∴341221121321k k k k k k --+-==+--, ………13分 1232k k k ∴+=.因此,存在实数λ,使得123k k k λ+=成立,且2λ=.……14分21.(本小题满分14分)(1)2222229[1(1)2]9(1)()(1)(1)ax x ax ax f x ax ax ⋅+-⋅-'==++,………………………………2分 令()0f x '=,解得x =(负值舍去),由122<<,解得144a <<.(ⅰ)当104a <≤时,由1[,2]2x ∈,得()0f x '≥,∴()f x 在1[,2]2上的最大值为18(2)41f a =+.………………………3分(ⅱ)当4a ≥时,由1[,2]2x ∈,得()0f x '≤,∴()f x 在1[,2]2上的最大值为118()24f a =+.…………………4分(ⅲ)当144a <<时, 在12x a <<时,()0f x '>,在2x a<<时,()0f x '<,∴()f x 在1[,2]2上的最大值为=2f a a()5分 (2)设切点为(,())t f t ,则()1,()2.f t f t t a '=-⎧⎨=-+⎩…………………………………6分由()1f t '=-,有2229[1]1(1)at at -=-+,化简得2427100a t at -+=, 即22at =或25at =, ……………………………① 由()2f t t a =-+,有2921ta t at=-+,……………②由①、②解得2a =或4a =. ………………………9分(3)当2a =时,29()12xf x x =+,由(2)的结论直线4y x =-为曲线()y f x =的切线,(2)2f = ,∴点(2,(2))f 在直线4y x =-上,根据图像分析,曲线()y f x =在直线4y x =-下方. ……………10分 下面给出证明:当1[,2]2x ∈时,()4f x x ≤-.3222928104()(4)41212x x x x f x x x x x -+---=-+=++ 2221(2)12x x x --=+(),∴当1[,2]2x ∈时,()(4)0f x x --≤,即()4f x x ≤-.………………12分∴12141214()()()414()f x f x f x x x x +++≤⨯-+++ ,121414x x x +++= , 1214()()()561442f x f x f x ∴+++≤-= .∴要使不等式1214()()()f x f x f x λ+++≤ 恒成立,必须42λ≥.…………13分又 当12141x x x ==== 时,满足条件121414x x x +++= ,且1214()()()42f x f x f x +++= ,因此,λ的最小值为42.………………14分。

大题专项训练6:三角函数与解三角形(综合练习二)-2021届高三数学二轮复习

大题专项训练6:三角函数与解三角形(综合练习二)-2021届高三数学二轮复习

二轮大题专练6—三角函数与解三角形(综合练习二)1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.(1)若a,b,c成等差数列,求cos B的值;(2)是否存在△ABC满足B为直角?若存在,求sin A的值;若不存在,请说明理由.2.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a cos C﹣c sin A=b.(1)求A;(2)若c=2,且BC边上的中线长为,求b.3.设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,﹣<φ<)最小正周期为2π,且f(x)的图象过坐标原点.(1)求ω、φ的值;(2)在△ABC中,若2f2(B)+3f2(C)=2f(A)•f(B)•f(C)+f2(4),且三边a、b、c所对的角依次为A、B、C,试求的值.4.已知在△ABC中,sin(A+B)=1+2sin2.(1)求角C的大小;(2)若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ,△ABC的外接圆半径为2,求△ABI周长的最大值.5.已知f(x)=cos2x﹣1+sin x cos x,x∈R.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c cos B+b cos C=1且f(A)=0,求△ABC的面积的最大值.6.已知函数的最小值为﹣2,其图象经过点(0,﹣1),且图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)若关于x的方程f(x)﹣k=0在上有且仅有两个实数根x1,x2,求实数k的取值范围,并求出x1+x2的值.7.已知函数21()sin sin()cos ()6122f x x x x ππ=++--. (1)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间;(2)已知锐角ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且3(),32B f b ==,求cos cos a B b C -的取值范围.8.已知函数f (x )=4cos ωx sin (ωx +φ)﹣1(0<φ<π,ω>0)的图象关于直线对称,且两相邻对称中心之间的距离为. (Ⅰ)求函数y =f (x )的单调递增区间;(Ⅱ)若x ∈[0,π]时,函数g (x )=f (x )﹣b 有两个不同的零点x 1,x 2,求b 的取值范围及x 1+x 2的值.二轮大题专练6—三角函数与解三角形(综合练习二)答案1.解:(1)若a ,b ,c 成等差数列,所以a +c =2b ,由于.所以cos B ==,由于,所以.(2)假设B为直角,则sin B=1,sin C=cos A,由于,根据正弦定理(sin A+sin C)sin B=,即sin A+cos A=,上式两边平方得:,所以(9sin2A+5)(4sin2A﹣5)=0,由于0<sin2A≤1,所以9sin2A+5>0,4sin2A﹣5<0,与(9sin2A+5)(4sin2A﹣5)=0矛盾,故不存在△ABC满足B为直角.2.解:(1)因为a cos C﹣c sin A=b,由正弦定理可得sin A cos C﹣sin C sin A=sin B,因为B=π﹣A﹣C,所以sin A cos C﹣sin C sin A=sin A cos C+cos A sin C,可得﹣sin C sin A=cos A sin C,因为sin C≠0,所以sin A=﹣cos A,可得tan A=﹣,又因为A∈(0,π),可得A=.(2)由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc cos A=b2+4+2b,①又在△ABC中,cos B==,设BC的中点为D,在△ABD中,cos B==,可得=,可得a2+4﹣2b2=0,②由①②可得b2﹣2b﹣8=0,解得b=4.3.解:(1)依题意,得,ω=1.故f(x)=sin(x+φ).因为f(x)的图象过坐标原点,所以f(0)=0,即sinφ=0,∵﹣<φ<,∴φ=0.(2)由(1)知f(x)=sin x,因为2f2(B)+3f2(C)=2f(A)•f(B)•f(C)+f2(4),所以2sin2B+3sin2C=2sin A sin B sin C+sin2A,由正弦定理可得:2b2+3c2=2sin A•bc+a2,又a2=b2+c2﹣2bc cos A,∴=,又,∴sin A﹣cos A=,且b=,∴A=.∴==.4.解:(1)∵sin(A+B)=1+2sin2,且A+B+C=π,∴sin C=1+1﹣cos C=2﹣cos C,即sin C+cos C=2,∴2sin(C+)=2.∵C∈(0,π),∴C+∈(,),∴C+=,即C=.(2)∵△ABC的外接圆半径为2,∴由正弦定理知,==2×2=4,∴AB=,∵∠ACB=,∴∠ABC+∠BAC=,∵∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点Ⅰ,∴∠ABI+∠BAI=,∴∠AIB=,设∠ABI=θ,则∠BAI=﹣θ,且0<θ<,在△ABI中,由正弦定理得,====4,∴BI=4sin(﹣θ),AI=4sinθ,∴△ABI的周长为2+4sin(﹣θ)+4sinθ=2+4(cosθ﹣sinθ)+4sinθ=2+2cosθ+2sinθ=4sin(θ+)+2,∵0<θ<,∴<θ+<,∴当θ+=,即时,△ABI的周长取得最大值,为4+2,故△ABI的周长的最大值为4+2.5.解:(1)f(x)=cos2x﹣1+sin x cos x=cos2x﹣+sin2x=sin(2x+)﹣,令2x+∈[+2kπ,+2kπ],k∈Z,则x∈[+kπ,+kπ],k∈Z,∴f(x)的单调递增区间为[+kπ,+kπ],k∈Z.(2)∵f(A)=sin(2A+)﹣=0,∴sin(2A+)=,∵A∈(0,π),∴A=,∵c cos B+b cos C=1,∴c•+b•=1,即a2=a,∵a≠0,∴a=1,由正弦定理知,====,∴b=sin B,c=sin C,∴bc=sin B sin C=sin B sin(+B)=sin B(cos B+sin B)=sin2B﹣cos2B+=sin(2B﹣)+,∵B∈(0,),∴2B﹣∈(﹣,),sin(2B﹣)∈(,1],∴bc≤1,∴△ABC的面积S=bc sin A≤×1×sin=,故△ABC的面积的最大值为.6.解:(Ⅰ)由题意,得A=2,.∴T=π,.∴f(x)=2sin(2x+φ).又函数f(x)的图象经过点(0,﹣1),则2sinφ=﹣1.由,得.∴.(Ⅱ)由题意,关于x的方程f(x)﹣k=0在上有且仅有两个实数根x1,x2,即函数y=f(x)与y=k的图象在上有且仅有两个交点.由(Ⅰ)知.令,则y=2sin t.∵,∴.则y∈[﹣2,2].其函数图象如图所示.由图可知,实数k的取值范围为.①当k ∈[1,2)时,t 1,t 2,关于对称,则. 解得.②当时,t 1,t 2关于对称,则. 解得.综上,实数k 的取值范围为,x 1+x 2的值为或.7.解:(1)由题意可得21()sin sin()cos ()6122f x x x x ππ=++-- 311sin (cos )cos(2)226x x x x π++- 3(1cos2)131sin 2sin 244x x x x -=++ 13sin 22x =+, 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==, 令322222k x k ππππ++,k Z ∈,解得344k x k ππππ++,k Z ∈, 故函数()f x 的单调递减区间为[4k ππ+,3]4k ππ+,k Z ∈.(2)由(1)知133()sin 22B f B =+=,解得3sin B =, 因为(0,)2B π∈,所以3B π=, 由正弦定理可知32sin sin sin 3a b c A B C ====,则2sin a A =,2sin c C =, 所以3331cos cos 3cos sin 3cos()sin 3cos()sin cos sin cos sin cos()233226a a B b C C A A A A A A A A A A ππππ-=-=---=++=+-=-=+,在锐角ABC ∆中,可得230,202A C A C πππ+=⎧⎪<<⎪⎨⎪<<⎪⎩可得62A ππ<<, 因此2363A πππ<+<,则1cos()(62A π+∈-,1)2, 故cos cos a B b C -的取值范围为1(2-,1)2. 8.解:(Ⅰ)f (x )=4cos ωx sin (ωx +φ)﹣1=4cos ωx (sin ωx cos φ+cos ωx sin φ)﹣1=4sin ωx cos ωx cos φ+4cos 2ωx sin φ﹣1=2sin2ωx cos φ+2(1+cos2ωx )sin φ﹣1=2sin2ωx cos φ+2cos2ωx sin φ+2sin φ﹣1=2sin (2ωx +φ)+2sin φ﹣1,因为两相邻对称中心之间的距离为,所以函数f (x )的周期为π,则,所以ω=1,则f(x)=2sin(2x+φ)+2sinφ﹣1,又f(x)的图象关于直线对称,所以有φ=,解得φ=,因为0<φ<π,所以φ=,故,令,解得,所以函数y=f(x)的单调递增区间为;(Ⅱ)当x∈[0,π]时,函数g(x)=f(x)﹣b有两个不同的零点x1,x2,即当x∈[0,π]时,方程=有两个不同的根x1,x2,令t=,则t∈,所以方程sin t=在上有两个不同的根t1,t2,作出函数的图象如图所示,①当,即1<b<2时,y=与y=sin t有两个交点,则t1+t2=,即,解得;②当,即﹣2<b<0时,y=与y=sin t有两个交点,则t1+t2=,即,解得;综上可得,当﹣2<b<0时,;当1<b<2时,.。

高三数学(理)二轮复习专题通关攻略:课时巩固过关练 十二 1.5.1空间几何体的三视图、表面积及体积

高三数学(理)二轮复习专题通关攻略:课时巩固过关练 十二 1.5.1空间几何体的三视图、表面积及体积

课时巩固过关练十二空间几何体的三视图、表面积及体积(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2016·天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为( )【解析】选B.由题意得截去的是长方体前右上方顶点.【方法技巧】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角与距离等问题相结合,解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征.2.(2016·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )A. B. C. D.1【解析】选A.通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥,则通过侧视图得高h=1,底面积S=×1×1=,所以体积V=Sh=.3.(2016·广州一模)一个六棱柱的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,所有棱的长都为1,顶点都在同一个球面上,则该球的体积为( )A.20πB.C.5πD.【解析】选D.由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r=1,其高h=1,所以球半径为R===,所以该球的体积V=πR3=×·π=.【加固训练】已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3, AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( )A. B.2 C. D.3【解析】选C.因为直三棱柱中AB=3,AC=4,AA1=12,AB⊥AC,所以BC=5,且BC为过底面ABC的截面圆的直径.取BC中点D,则OD⊥底面ABC,则O在侧面BCC1B1内,矩形BCC1B1的对角线长即为球直径,所以2R==13,即R=.二、填空题(每小题5分,共10分)4.(2016·天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则该四棱锥的体积为________m3.【解析】底面为平行四边形,面积为2×1=2,高为3,所以V=×2×1×3=2. 答案:25.(2016·大连一模)如图,在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图,则该多面体的外接球表面积为________.【解题导引】由三视图知,该几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥,画出直观图,再建立空间直角坐标系,求出三棱锥外接球的球心与半径,从而求出外接球的表面积.【解析】由三视图知,该几何体是三棱锥S-ABC,且三棱锥的一个侧面SAC与底面ABC垂直,其直观图如图所示:由三视图的数据可得OA=OC=2,OB=OS=4.建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示:则A(0,-2,0),B(4,0,0),C(0,2,0),S(0,0,4),则三棱锥外接球的球心I在平面xOz上,设I(x,0,z);由得,解得x=z=;所以外接球的半径R=|BI|==.所以该三棱锥外接球的表面积S=4πR2=4π×=34π.答案:34π三、解答题(6题12分,7题13分,共25分)6.(2016·南阳一模)如图,AA1,BB1为圆柱OO1的母线,BC是底面圆O的直径,D,E分别是AA1,CB1的中点,DE⊥平面CBB1.(1)证明:DE∥平面ABC.(2)求四棱锥C-ABB1A1与圆柱OO1的体积比.【解析】(1)连接EO,OA,因为E,O分别为B1C,BC的中点,所以EO∥BB1.又DA∥BB1,且DA=BB1=EO,所以四边形AOED是平行四边形,即DE∥OA.又DE⊄平面ABC,AO⊂平面ABC,所以DE∥平面ABC.(2)由题意知DE⊥平面CBB1,且由(1)知DE∥AO,因为AO⊥平面CBB1,所以AO⊥BC,所以AC=AB. 因为BC是底面圆O的直径,所以CA⊥AB,且AA1⊥CA,又AB∩AA1=A,所以CA⊥平面AA1B1B,即CA为四棱锥C-ABB1A1的高.设圆柱的高为h,底面圆半径为r,则=πr2h,=h(r)·(r)=hr2.所以∶=.7.(2016·南宁一模)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC且AB⊥BC.(1)求证:AC⊥A1B.(2)求三棱锥C1-ABA1的体积.【解题导引】(1)转化为证明直线AC垂直于直线A1B所在的平面即可.(2)由=,转化为求,关键求点B到平面AA1C1的距离.【解析】(1)取AC的中点O,连接A1O,BO.因为AA1=A1C,所以A1O⊥AC,又AB=BC,所以BO⊥AC,因为A1O∩BO=O,所以AC⊥平面A1OB,又因为A1B⊂平面A1OB,所以AC⊥A1B.(2)三棱柱ABC-A1B1C1中,所以侧面AA1C1C⊥底面ABC,侧面AA1C1C∩底面ABC=AC,OB⊥AC,所以OB⊥平面AA1C1C,易求得OB=1,=,所以==··OB=.(20分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体最短和最长的棱长分别等于( )A.4,B.4,C.3,5D.3,2【解析】选C.由三视图可判断该几何体为三棱锥,形状如图,其中SC⊥平面ABC,AC⊥AB,所以最短的棱长为AC=3,最长的棱长为SB=5.2.如图是某几何体的三视图,正(主)视图是等腰梯形,俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环,侧(左)视图是直角梯形,则该几何体的体积等于( )A.12πB.16πC.20πD.24π【解析】选A.由三视图知:r=1,R=4,S1=π×12=π,S2=π×42=16π,所以V=×-π×12×4=×21π-2π=12π.【加固训练】某几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为3,则侧(左)视图中线段的长度x的值是( )A. B.2 C.4 D.5【解析】选C.分析题意可知,该几何体为如图所示的四棱锥P-ABCD,故其体积V=××4×CP=3,所以CP=,所以x==4.3.如图1,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,动点M,N,Q分别在线段AD1,B1C,C1D1上.当三棱锥Q -BMN的俯视图如图2所示时,三棱锥Q-BMN的正(主)视图面积等于( )A.a2B.a2C.a2D.a2【解析】选B.由俯视图知,点M为AD1的中点、N与C重合、Q与D1重合,所以三棱锥Q -BMN的正(主)视图为△CD1P,其中点P为DD1的中点,所以三棱锥Q -BMN 的正(主)视图面积为×a×=a2.【加固训练】如图,三棱锥V-ABC,VA⊥VC,AB⊥BC,∠VAC=∠ACB=30°,若侧面VAC⊥底面ABC,则其正(主)视图与侧(左)视图面积之比为( )A.4∶B.4∶C.∶D.∶【解题导引】正(主)视图为Rt△VAC,侧(左)视图为以△VAC中AC边的高为一条直角边,△ABC中AC边的高为另一条直角边的直角三角形.【解析】选A.过V作VD⊥AC于点D,过B作BE⊥AC于点E,则正(主)视图为Rt△VAC,侧(左)视图为以△VAC中AC边的高VD为一条直角边,△ABC中AC边的高BE为另一条直角边的直角三角形.设AC=x,则VA=x,VC=x,VD=x,BE=x,则S正(主)视图:S侧(左)视图=∶(·x·x)=4∶.【误区警示】解答本题易出现如下两种错误:一是对正(主)视图、侧(左)视图的形状判断不准确,造成结论错误;二是运算错误,造成结论错误.二、填空题(每小题5分,共10分)4.如图,半径为4的球O中有一内接圆柱,则圆柱的侧面积最大值是________.【解题导引】设出圆柱的上底面半径为r,球的半径与上底面夹角为α,求出圆柱的侧面积表达式,求出最大值.【解析】设圆柱的上底面半径为r,球的半径与上底面夹角为α,则r=4cosα,圆柱的高为8sinα.所以圆柱的侧面积为:32πsin2α.当且仅当α=时,sin2α=1,圆柱的侧面积最大,所以圆柱的侧面积的最大值为:32π.答案:32π5.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=2,E为AB的中点,则点E到平面PBC的距离为________.【解题导引】利用V P-BCE=V E-PBC求.【解析】由于四边形ABCD是菱形,所以以EB为底边的△CBE的高h=AD·sin 60°=2×=,从而四面体P-BCE的体积V P-BCE=V E-PBC=××1××2=,AC==2.在Rt△PAB中PB==2,在Rt△PAC中PC===4,cos∠PBC==-,所以sin∠PBC==.S△PBC=PB·BC·sin∠PBC=×2×2×=.设点E到平面PBC的距离为d,则有S△PBC·d=,所以d===.答案:三、解答题(6题12分,7题13分,共25分)6.如果一个几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是全等的长方形,边长分别是4cm与2cm如图所示,俯视图是一个边长为4cm的正方形.(1)求该几何体的全面积.(2)求该几何体的外接球的体积.【解析】(1)由题意可知,该几何体是长方体,底面是正方形,边长是4,高是2,因此该几何体的全面积是:2×4×4+4×4×2=64(cm2).(2)由长方体与球的性质可得,长方体的体对角线是球的直径,记长方体的体对角线为d,球的半径为r,d===6(cm),所以球的半径r=3cm,因此球的体积V=πr3=×27π=36π(cm3).所以外接球的体积是36πcm3.7.如图,边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,其中AB∥CD,AB⊥BC,DC=BC=AB=1,点M在线段EC上.(1)证明:平面BDM⊥平面ADEF.(2)判断点M的位置,使得三棱锥B-CDM的体积为.【解题导引】证明BD⊥平面ADEF,即可证明平面BDM⊥平面ADEF.(2)在平面DMC内,过M作MN⊥DC,垂足为N,则MN∥ED,利用三棱锥的体积计算公式求出MN,可得结论.【解析】(1)因为DC=BC=1,DC⊥BC,所以BD=.因为AD=,AB=2,所以AD2+BD2=AB2,所以∠ADB=90°,所以AD⊥BD,因为平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD.BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面ADEF,因为BD⊂平面BDM,所以平面BDM⊥平面ADEF.(2)如图,在平面DMC内,过M作MN⊥DC,垂足为N,又因为ED⊥AD,平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,所以ED⊥平面ABCD,所以ED⊥CD,所以MN∥ED,因为ED⊥平面ABCD,所以MN⊥平面ABCD.因为V B-CDM=V M-CDB=MN·S△BDC=,所以××1×1×MN=,所以MN=.所以===,所以CM=CE,所以点M在线段CE的三等分点且靠近C处.。

高三数学选择题专题训练(12套含答案)

高三数学选择题专题训练(12套含答案)

高三数学选择题专题训练(一)1.已知集合{}1),(≤+=y x y x P ,{}1),(22≤+=y x y x Q ,则有 ( )A .Q P ⊂≠ B .Q P = C .P Q P = D .Q Q P =2.函数11)(+-=x x e e x f 的反函数是( )A .)11( 11)(1<<-+-=-x x xLn x f B .)11(11)(1-<>+-=-x x x x Ln x f 或 C .)11( 11)(1<<--+=-x x x Lnx f D .)11(11)(1-<>-+=-x x xxLn x f 或 3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,369-=S ,10413-=S ,等比数列{}n b 中,55a b =,77a b =,则6b 的值 ( ) A .24 B .24- C .24± D .无法确定4.若α、β是两个不重合的平面, 、m 是两条不重合的直线,则α∥β的一个充分而非必要条件是 ( ) A . αα⊂⊂m 且 ∥β m ∥β B .βα⊂⊂m 且 ∥m C .βα⊥⊥m 且 ∥m D . ∥α m ∥β 且 ∥m 5.已知n n n x a x a a x x x +++=++++++ 102)1()1()1(,若n a a a n -=+++-509121,则n 的值 ( ) A .7 B .8 C .9 D .106.已知O ,A ,M ,B 为平面上四点,则)1(λλ-+=,)2,1(∈λ,则( )A .点M 在线段AB 上 B .点B 在线段AM 上C .点A 在线段BM 上D .O ,A ,M ,B 四点共线 7.若A 为抛物线241x y =的顶点,过抛物线焦点的直线交抛物线于B 、C 两点,则⋅等于 ( ) A .31-B .3-C .3D .43-8.用四种不同颜色给正方体1111D C B A ABCD -的六个面涂色,要求相邻两个面涂不同的颜色,则共有涂色方法 ( ) A .24种 B .72种 C .96种 D .48种9.若函数x x a y 2cos 2sin -=的图象关于直线π87=x 对称,那么a 的值 ( )A .2B .2-C .1D .1-10.设1F ,2F 是双曲线12222=-by a x ,)00(>>b a ,的两个焦点,P 在双曲线上,若021=⋅PF PF ,ac 2=,(c 为半焦距),则双曲线的离心率为 ( ) A .231+ B .251+ C .2 D .221+高三数学选择题专题训练(二)1.已知集合S={}{}01,211x x T x x <<=-≤,则ST 等于A SB TC {}1x x ≤ D Φ 2.已知抛物线y =34x 2,则它的焦点坐标是A (0,316 )B ( 316 ,0)C (13 ,0)D (0, 13)3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 1=1,点(n , S n )在曲线C 上,C 和直线x -y +1=0交于A,B 两点,|AB|= 6 ,那么这个数列的通项公式是A 21n a n =-B 32n a n =-C 43n a n =-D 54n a n =- 4.已知a =(1,2+sinx),b =(2,cosx),c =(-1,2),(a -c )∥b ,则锐角x 等于A 15°B 30°C 45°D 60°5.函数y =f (x )的图像与函数y =lg(x -1)+9的图像关于直线y =x 对称,则f (9)的值为 A 10 B 9 C 3 D 2 6.若tan 2α=,则sin cos αα的值为 A .12B .23C .25D .17..坐平面内区域M=()()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤≤≤-+≥+-01100101y kx k y x y x y ,x 的面积可用函数f(x)表示,若f(k)=8,则k 等于 A.21B.31C.22 D.23 8.函数11)(2-+-=x x a x f 为奇函数的充要条件是\A 、10<<a B 、10≤<a C 、1>a D 、1≥a 9.若61()x展开式中的第5项是152,设12n n S x x x ---=+++,则lim n n S →∞=A .1B .12C .14D .16(文)点P 在曲线y =x 3-x +7上移动,过P 点的切线的倾斜角取值范围是 A.[0,π) B.(0,2π)∪[4π3,π)C.[0, 2π)∪(2π,4π3] D.[0, 2π)∪[4π3,π)10.如图正方体ABCD-A1B1C1D1,在它的12条棱及12条面对角线所在直线中,选取若干条直线确定平面。

2023年高三一检高三数学模拟试题-修订2-答案(sx2022)

2023年高三一检高三数学模拟试题-修订2-答案(sx2022)

2023届高中毕业班第一次质量检测高三数学试卷答案2023.1一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1-8:B A D C C B A B二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9-12: AB AC AD BCD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.14. 10015. ||12x (答案不唯一) 16. 348四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(1)依题意0n a >,当1n =时,()111144(3=1)a S a a −=+,解得13a =,····································································1分 由()()*1)4(3n n n S a a n =+∈−N ,当2n ≥时,有()1111)4(3n n n S a a −−−−=+,作差得:2211422n n n n n a a a a a −−=−+−,······················································································2分 所以()()1120n n n n a a a a −−+−−=,····························································································3分 因为10n n a a −>+,所以()122n n a a n −−=≥,·············································································4分 所以数列{}n a 是首项为3,公差为2的等差数列,所以2+1n a n =. ············································5分(2)50101a =,又6721012<<,同时644892a =>,故5044b a =········································7分所以12612501244...(...)(22...2)b b b a a a +++=+++++++·················································8分 6144442(21)()2150.221a a −=++=−·····················································································10分18.(1)已知3cos 4cos cos bc A ac B ab C +=,··········································································2分代入余弦定理,2222222223()4()b c a a c b a b c +−++−=+−,···················································4分化简得:224c b =,所以2bc=.······························································································5分 (2)由正弦定理知sin sin b B c C=即sin 2sin B C =,········································································6分 又3B C =,故sin sin3sin(2)sin2cos cos2sin B C C C C C C C ==+=+·······································7分 2232sin (1sin )(12sin )sin 3sin 4sin 2sin C C C C C C C =−+−=−=,···········································8分 即234sin 2C −=,得1sin 2C =,····························································································9分 故π5(π)66C C ==舍去, 此时,π32B C ==,···········································································································10分222b c AB ===,BC =ABC ∆的面积112ABC S ∆=⨯=.·································12分19.(1)EF ⊥面11AACC ,又1AC ⊂面11AACC ,1EF AC ∴⊥,··············································1分 又F 为1AC 的中点,1EAEC ∴=,·························································································2分 又在11Rt A B E ∆、Rt BEC ∆中,1BE EB =,易证得11A B E CBE ∆∆≅,······································································································3分 故11A B BC =.又11AB A B =,所以AB BC ⊥,·····························································································4分AC 1AB =. ········································································································5分 (2)以点1B 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系1B xyz −,···············································6分其中1(1,0,0)A,2E,C ,··············································································7分则1(A E =−,1(A C =−, 不妨设000(,,)x y z =m 是平面1CA E 的一个法向量,那么1100A E A C ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m即00000020x z x y ⎧−+=⎪⎨⎪−++=⎩,令02z =,则=m .··································9分又1111B C A B BA ⊥面,故11(0,1,0)B C =是平面11A B BA 的一个法向量.·······································································10分 设α为二面角1C A E A −−所成平面角, 则111121cos 2||||2B C B C α===m m , 即二面角1C A E A −−的余弦值为12.·····················································································12分 20.(1)设“操作成功”为事件S ,“选择设备M ”为事件A ,“选择设备N ”为事件B . ..................................1分 由题意,1()()2P A P B ==,2(|)3P S A =,1(|)2P S B =··················································2分 恰在第二次操作才成功的概率()()P P S P S =,12117()()(|)()(|)232212P S P A P S A P B P S B =+=⨯+⨯=,···············································3分 5()1()12P S P S =−=········································································································4分 所以恰在第二次操作才成功的概率为57351212144⨯=.····························································5分 (2)设方案甲和方案乙成功操作累计次数分别为,X Y ,则,X Y 可能取值均为0,1,2, (0)()(|)(|)()(|)(|)P X P A P S A P S B P B P S B P S A ==+1211121(1)(1)(1)(1)2322236=⨯−⨯−+⨯−⨯−=;······························································7分 (1)()(|)(|)()(|)(|)()(|)(|)()(|)(|)P X P A P S A P S B P A P S A P S A P B P S B P S A P B P S B P S A ==+++12112211211135(1)(1)(1)(1)23223322322272=⨯−⨯+⨯⨯−+⨯−⨯+⨯⨯−=;·······················8分(2)()(|)(|)()(|)(|)P X P A P S A P S A P B P S B P S B ==+1221112523322272=⨯⨯+⨯⨯=;·······················································································9分 所以1352585()0126727272E X =⨯+⨯+⨯=········································································10分 方法一:(0)()(|)(|)()(|)(|)P Y P A P S A P S A P B P S B P S B ==+12211113(1)(1)(1)(1)23322272=⨯−⨯−+⨯−⨯−=; (1)()(|)(|)()(|)(|)P Y P A P S A P S A P A P S A P S A ==+()(|)(|)()(|)(|)P B P S B P S B P B P S B P S B ++12212211111117(1)(1)(1)(1)23323322222236=⨯−⨯+⨯⨯−+⨯−⨯+⨯⨯−= (2)()(|)(|)()(|)(|)P Y P A P S A P S A P B P S B P S B ==+1221112523322272=⨯⨯+⨯⨯=; 所以13172584()01272367272E Y =⨯+⨯+⨯=······································································11分 方法二:方案乙选择其中一种操作设备后,进行2次独立重复试验, 所以12117()2223226E Y =⨯⨯+⨯⨯=,·········································································11分 决策一:因为()()E X E Y >,故方案甲更好.······································································12分 决策二:因为()E X 与()E Y 差距非常小,所以两种方案均可················································12分 21.(1)由题意设焦距为2,c 则2c =,·················································································1分由离心率为2,所以a =························································································2分 则2224b a c =−=,···········································································································3分Γ的方程为22184x y +=.···································································································4分 (2)不存在,··················································································································5分 证明如下:假设存在圆1F 满足题意,当圆1F 过原点O 时,直线PN 与y 轴重合, 直线PM 的斜率为0,不合题意·························································································6分 依题意不妨设为1:2PM y k x =+1(0),k ≠2:2PN y k x =+2(0),k ≠,1122(,),(,)M x y N x y ,圆1F 的半径为r ,则圆心到直线PNr =,即12,k k 是关于k 的方程222(4)840r k k r −++−=的两异根,此时121k k =,···················································································································8分再联立直线PM 与椭圆方程1222184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得2211(12)80k x k x ++=, 得2112211824,1212k k M k k ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭,令121k k =,得2112211824,22k k N k k ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭,··············································10分 由题意,PM MN ⊥,即11MNk k =−, 此时 2211222242221111111122211111111122112424(21)(2)(2)(21)44(1)122,884(21)4(2)4(1)122MN k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k −−−−++−−+−+−+++====−−+−+−−++···10分 所以2111(1)1k k k −+=−,因为10,k ≠所以方程无解,命题得证. ·················································12分 22.(1)已知2()e 2xax f x =−,0a >, 则'()e x f x ax =−,················································································································1分令()e x g x ax =−,则'()e x g x a =−,当ln x a =时,'()0g x =,那么()g x 在(,ln ]a −∞上单调增减,在[ln ,)a +∞上单调递增,························2分则()(ln )ln (1ln )g x g a a a a a a ≥=−=−,①当0<e a ≤时,()0g x ≥恒成立,故()f x 在R 上无极值点;····················································3分②当e a >时,(ln )0g a <,显然11ln a a <<,11()e 10a g a=−>, 则()f x 在1(,ln )a a上有一个极值点, 又2(2ln )2ln (2ln )g a a a a a a a =−=−,令()2ln (e)h x x x x =−>,'22()110eh x x =−>−>, 故()h x 在(e,)+∞上单调递增,则(2ln )0g a >,则()f x 在(ln ,2ln )a a 上有一个极值点,综上,当e a ≤时,函数()f x 没有极值点; 当e a >时,函数()f x 有两个极值点. ················································································5分(2)由(1)中知()e x f x ax '=−,则12,x x 是方程e 0x ax −=的两根, 不妨令e ()x h x x =,'2e (1)()x x h x x−=,知()h x 在(0,1)上单减,在(1,)+∞上单增, 观察图象知,当2e (e,)2a ∈时,101x <<,212x <<,·······························································6分 下先证122x x +> (*)由1212e e x x ax ax ⎧=⎪⎨=⎪⎩,两边取对数得1122ln ln ln ln x a x x a x =+⎧⎨=+⎩,作差,得1122ln x x x x −=, (*)等价于证明121212ln ln 21x x x x x x −=>−+11122121222(1)2()ln 1x x x x x x x x x x −−⇔<=++, 令12((0,1))x t t x =∈,2(1)()ln ,(0,1)1t t t t t ϕ−=−∈+, 2222214(1)4(1)()0(1)(1)(1)t t t t t t t t t t ϕ+−−'=−==≥+++, 故()t ϕ在(0,1)上单增,从而()(1)0t ϕϕ<=,即证得122x x +>,··············································8分 那么12221122()2()e 2e 2x x ax f x f x ax +=−+−112212e e 2e e 2x x x x x x =−+− 1212(1)e (2)e 2x x x x =−+−, 再证明21221(2)e e x x x x −−<,令()(2)e ,(1,2)x S x x x =−∈,()(1)e 0x S x x '=−<,故()S x 在(1,2)上单减,则21()(2)S x S x <−,那么1121121()2()(1)e e 2x x x f x f x x −+<−+,··············································10分。

《三维设计》2022届高三数学(理)二轮复习 题型专题检测(十二) 数列的综合应用 Word版含答案

《三维设计》2022届高三数学(理)二轮复习 题型专题检测(十二) 数列的综合应用 Word版含答案

题型专题检测(十二) 数列的综合应用1.(2021·长春质量检测)设数列{}a n 的前n 项和为S n ,且a 1=1,{}S n +na n 为常数列,则a n =( ) A.13n -1 B.2n (n +1) C.6(n +1)(n +2)D.5-2n 32.(2021·大连双基测试)数列{}a n 满足a n -a n +1=a n ·a n +1(n ∈N *),数列{}b n 满足b n =1a n,且b 1+b 2+…+b 9=90,则b 4·b 6( )A .最大值为99B .为定值99C .最大值为100D .最大值为2003.(2021·湖北高考)设a 1,a 2,…,a n ∈R ,n ≥3.若p :a 1,a 2,…,a n 成等比数列;q :(a 21+a 22+…+a 2n -1)·(a 22+a 23+…+a 2n )=(a 1a 2+a 2a 3+…+a n -1a n )2,则()A .p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件B .p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件C .p 是q 的充分必要条件D .p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件4.已知曲线C :y =1x (x >0)及两点A 1(x 1,0)和A 2(x 2,0),其中x 2>x 1>0.过A 1,A 2分别作x 轴的垂线,交曲线C 于B 1,B 2两点,直线B 1B 2与x 轴交于点A 3(x 3,0),那么( )A .x 1,x 32,x 2成等差数列B .x 1,x 32,x 2成等比数列C .x 1,x 3,x 2成等差数列D .x 1,x 3,x 2成等比数列5.(2021·洛阳统考)已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数,且满足f ⎝⎛⎭⎫32-x =f (x ),f (-2)=-3,若数列{}a n 的前n 项和S n 满足S n n =2a nn+1,则f (a 5)+f (a 6)=( )A .-3B .-2C .2D .36.(2021·九江第一次统考)等差数列{}a n 中,a 1=12 015,a m =1n ,a n =1m (m ≠n ),则数列{}a n 的公差为________.7.(2021·云南师大附中适应性考试)已知数列{}a n 中,a 1=2,a 2n =a n +1,a 2n +1=n -a n ,则{a n }的前100项和为________.8.(2021·南昌调研)一牧羊人赶着一群羊通过6个关口,每过1个关口,守关人将拿走当时羊的一半,然后退还1只给牧羊人,过完这些关口后,牧羊人只剩下2只羊,则牧羊人在过第1个关口前有________只羊.9.已知数列{a n }是首项为a ,公差为1的等差数列,b n =1+a n a n,若对任意的n ∈N *,都有b n ≥b 8成立,则实数a 的取值范围为________.10.(2021·南昌第一次模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S 3=6,正项数列{b n }满足b 1·b 2·b 3·…·b n =2S n .(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)若λb n >a n 对n ∈N *均成立,求实数λ的取值范围.11.(2021·山东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n =3n +3. (1)求{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足a n b n =log 3a n ,求{b n }的前n 项和T n .12.已知数列{a n }中,前m 项依次构成首项为1,公差为-2的等差数列,第m +1项至第2m 项依次构成首项为1,公比为12的等比数列,其中m ≥3,m ∈N *.(1)当1≤n ≤2m 时,求a n ;(2)若对任意的m ∈N *,都有a n +2m =a n ,设数列{a n }的前n 项和为S n ,求证:S 4m +3≤-112.答 案1.选B 由题意知S n +na n =2,当n ≥2时,由S n +na n =S n -1+(n -1)a n -1, 得(n +1)a n =(n -1)a n -1,从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n -1=13·24·…·n -1n +1,有a n =2n (n +1),当n =1时上式成立,所以a n =2n (n +1).故选B.2.选B 将a n -a n +1=a n a n +1两边同时除以a n a n +1,可得1a n +1-1a n=1,即b n +1-b n =1,所以{}b n 是公差d =1的等差数列,其前9项和为9(b 1+b 9)2=90,所以b 1+b 9=20,将b 9=b 1+8d =b 1+8,代入得b 1=6,所以b 4=9,b 6=11,所以b 4b 6=99.3.选B 若p 成立,设a 1,a 2,…,a n 的公比为q ,则(a 21+a 22+…+a 2n -1)(a 22+a 23+…+a 2n )=a 21(1+q 2+…+q 2n -4)·a 22(1+q 2+…+q 2n -4)=a 21a 22(1+q 2+…+q 2n -4)2,(a 1a 2+a 2a 3+…+a n -1a n )2=(a 1a 2)2(1+q 2+…+q 2n -4)2,故q 成立,故p 是q 的充分条件.取a 1=a 2=…=a n =0,则q 成立,而p 不成立,故p 不是q 的必要条件,故选B.4.选A 由题意,B 1,B 2两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫x 1,1x 1,⎝⎛⎭⎫x 2,1x 2, 所以直线B 1B 2的方程为y =-1x 1x 2(x -x 1)+1x 1,令y =0,得x =x 1+x 2,∴x 3=x 1+x 2,因此, x 1,x 32,x 2成等差数列.5.选D 由于函数f (x )是奇函数,所以f (-x )=-f (x ). 由于f ⎝⎛⎭⎫32-x =f (x ),所以f (3+x )=f (x ),所以f (x )是以3为周期的周期函数. 由于S n n =2a nn +1,即S n =2a n +n ,①所以S n -1=2a n -1+n -1(n ≥2),② ①-②得a n =2a n -1-1(n ≥2), 即a n -1=2(a n -1-1)(n ≥2), 又S 11=2a 11+1,所以a 1=-1, 所以数列{}a n -1是以2为公比的等比数列,首项为a 1-1=-2, 所以a n -1=-2×2n -1=-2n ,a n =-2n +1, 所以a 5=-25+1=-31,a 6=-26+1=-63,所以f (a 5)+f (a 6)=f (-31)+f (-63)=f (2)+f (0)=f (2)=-f (-2)=3,故选D. 6.解析:∵a m =12 015+(m -1)d =1n ,a n =12 015+(n -1)d =1m ,∴(m -n )d =1n -1m ,∴d =1mn ,∴a m =12 015+(m -1)1mn =1n ,解得1mn =12 015,即d =12 015.答案:12 0157.解析:由a 1=2,a 2n =a n +1,a 2n +1=n -a n ,得a 2n +a 2n +1=n +1, ∴a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a 98+a 99) =2+2+3+…+50=1 276,∵a 100=1+a 50=1+(1+a 25)=2+(12-a 12) =14-(1+a 6)=13-(1+a 3)=12-(1-a 1)=13, ∴a 1+a 2+…+a 100=1 276+13=1 289. 答案:1 2898.解析:记此牧羊人通过第1个关口前,通过第2个关口前,…,通过第6个关口前,剩下的羊的只数组成数列{a n }(n =1,2,3, 4,5,6),则由题意得a 2=12a 1+1,a 3=12a 2+1,…,a 6=12a 5+1,而12a 6+1=2,解得a 6=2,因此代入得a 5=2,a 4=2,…,a 1=2.答案:29.解析:依题意得b n =1+1a n ,对任意的n ∈N *,都有b n ≥b 8,即数列{b n }的最小项是第8项,于是有1a n≥1a 8. 又数列{a n }是公差为1的等差数列,因此有⎩⎪⎨⎪⎧ a 8<0,a 9>0,即⎩⎪⎨⎪⎧a +7<0,a +8>0,由此解得-8<a <-7,即实数a 的取值范围是(-8,-7). 答案:(-8,-7)10.解:(1)∵a 1=1,S 3=6,∴数列{a n }的公差d =1,a n =n .由题知,⎩⎪⎨⎪⎧b 1·b 2·b 3·…·b n =2S n , ①b 1·b 2·b 3·…·b n -1=2S n -1(n ≥2) ②①÷②,得b n =2S n -S n -1=2a n =2n (n ≥2), 又b 1=2S 1=21=2,满足上式,故b n =2n . (2)由λb n >a n 恒成立⇒λ>n2n 恒成立,设c n =n2n ,则c n +1c n =n +12n,当n ≥2时,c n <1,数列{c n }单调递减, ∴(c n )max =12,故λ>12,即实数λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫12,+∞. 11.解:(1)由于2S n =3n +3,所以2a 1=3+3,故a 1=3. 当n ≥2时,2S n -1=3n -1+3,此时2a n =2S n -2S n -1=3n -3n -1=2×3n -1,即a n =3n -1,所以a n =⎩⎪⎨⎪⎧3, n =1,3n -1,n ≥2.(2)由于a n b n =log 3a n ,所以b 1=13.当n ≥2时,b n =31-n log 33n -1=(n -1)·31-n . 所以T 1=b 1=13;当n ≥2时,T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =13+[1×3-1+2×3-2+…+(n -1)×31-n ], 所以3T n =1+[1×30+2×3-1+…+(n -1)×32-n ], 两式相减,得2T n =23+(30+3-1+3-2+…+32-n )-(n -1)×31-n=23+1-31-n1-3-1-(n -1)×31-n =136-6n +32×3n, 所以T n =1312-6n +34×3n .经检验,n =1时也适合. 综上可得T n =1312-6n +34×3n .12.解:(1)当1≤n ≤m 时, a n =1+(n -1)·(-2)=3-2n ; 当m +1≤n ≤2m 时,a n =1·⎝⎛⎭⎫12n -m -1=⎝⎛⎭⎫12n -m -1. 综上,a n =⎩⎪⎨⎪⎧3-2n ,1≤n ≤m ,⎝⎛⎭⎫12n -1-m,m +1≤n ≤2m .(2)证明:由于对任意的n ∈N *,都有a n +2m =a n , 所以数列{a n }具有周期性,周期为2m . S 4m +3=S 4m +a 4m +1+a 4m +2+a 4m +3 =2S 2m +a 1+a 2+a 3=2[(a 1+a 2+…+a m )+(a m +1+a m +2+…+a 2m )]+a 1+a 2+a 3 =2⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ·1+m (m -1)2·(-2)+2·1-⎝⎛⎭⎫12m -1·121-12+1-1-3 =4m -2m 2+1-42m .令f (m )=4m -2m 2+1-42m (m ≥3,m ∈N *),则f (m +1)-f (m )=4(m +1)-2(m +1)2+1-42m +1-4m +2m 2-1+42m =2-4m +22m . 由于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2-4m +22m (m ≥3)单调递减,所以f (m +1)-f (m )=2-4m +22m ≤2-4×3+223=-394<0,所以f (m +1)<f (m ).所以函数f (m )单调递减. 所以f (m )≤f (3)=4×3-2×32+1-423=-112.即S 4m +3≤-112.。

高三数学客观题综合练习题(二)

高三数学客观题综合练习题(二)

高三数学客观题综合练习题(二)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A ={x |-1<x <1},B ={x |0≤x ≤2},则A ∪B =( ) A.{x |0≤x <1} B.{x |-1<x ≤2} C.{x |1<x ≤2} D.{x |0<x <1}答案 B解析 由集合并集的定义可得A ∪B ={x |-1<x ≤2},故选B.2.已知z =2-i ,则z (z -+i)=( ) A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i答案 C解析 因为z =2-i ,所以z (z -+i)=(2-i)(2+2i)=6+2i ,故选C.3.已知点(1,1)在抛物线C :y 2=2px (p >0)上,则抛物线C 的焦点到其准线的距离为( ) A.14 B.12 C.1 D.2答案 B解析 因为点(1,1)在抛物线C 上,所以1=2p ,p =12,故抛物线C 的焦点到其准线的距离为12.故选B.4.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式,常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等,多见于亭阁式建筑.某园林建筑为六角攒尖,如图,它主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥.设这个正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ,则侧棱长与 底面外接圆半径的比为( )A.33sin θB.33cos θ C.12sin θ D.12cos θ答案 C解析 设底面边长为a ,则其外接圆的半径为a .在侧面等腰三角形中,顶角为2θ,两腰为侧棱,底边长为a ,所以侧棱长为a2sin θ,所以侧棱长与底面外接圆半径的比为a 2sin θa =12sin θ.故选C.5.手机屏幕面积与整机面积的比值叫做手机的“屏占比”,它是手机外观设计中的一个重要参数,其值通常在0~1(不含0,1).设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量,升级为一款新手机,则该手机的“屏占比”和升级前相比( ) A.“屏占比”不变 B.“屏占比”变小 C.“屏占比”变大 D.变化不确定 答案 C解析 根据题意,不妨设升级前该手机的手机屏幕面积为a ,整机面积为b ,b >a ,则升级前的“屏占比”为ab ,升级后的“屏占比”为a +m b +m ,其中m 为升级后增加的面积,因为a +m b +m -a b =m (b -a )b (b +m )>0,所以升级后“屏占比”变大,故选C.6.已知函数f (x )=sin 4x -2cos 4x ,若对任意的x ∈R 都有f (x )≥f (x 0),则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+π8=( )A.0B. 5C.- 5D.1答案 A解析 法一 由题意得f (x )=sin 4x -2cos 4x =5sin(4x -φ)(其中tan φ=2), 所以函数f (x )的最小正周期T =2π4=π2.因为对任意的x ∈R ,都有f (x )≥f (x 0),所以f (x )在x =x 0处取得最小值,又x 0+14T =x 0+π8,所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+π8,0是f (x )图象的一个对称中心,故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+π8=0.法二 由题意可得f (x )=sin 4x -2cos 4x =5sin(4x -φ)(其中tan φ=2),因为对任意的x ∈R ,都有f (x )≥f (x 0),所以f (x )在x =x 0处取得最小值,于是4x 0-φ=2k π-π2,k ∈Z ,则x 0=k π2-π8+φ4,k ∈Z ,所以x 0+π8=k π2+φ4,k ∈Z , 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+π8=5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2+φ4-φ=5sin 2k π=0.7.若曲线y =-x +1在点(0,-1)处的切线与曲线y =ln x 在点P 处的切线垂直,则点P 的坐标为( ) A.(e ,1) B.(1,0) C.(2,ln 2) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,-ln 2 答案 D 解析 y =-x +1的导数为y ′=-12x +1,可得曲线y =-x +1在点(0,-1)处的切线斜率为-12.设P (m ,ln m ),由y =ln x 的导数为y ′=1x ,得曲线y =ln x 在点P 处的切线斜率为k =1m ,由两切线垂直可得1m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=-1,解得m =12,所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,-ln 2.故选D.8.某地举办“迎建党100周年”乒乓球团体赛,比赛采用新斯韦思林杯赛制(5场单打3胜制,即先胜3场者获胜,比赛结束).现有两支球队进行比赛,前3场依次分别由甲、乙、丙和A 、B 、C 出场比赛.若经过3场比赛未分出胜负,则第4场由甲和B 进行比赛;若经过4场比赛仍未分出胜负,则第5场由乙和A 进行比赛.假设甲与A 或B 比赛,甲每场获胜的概率均为0.6;乙与A 或B 比赛,乙每场获胜的概率均为0.5;丙与C 比赛,丙每场获胜的概率均为0.5.各场比赛的结果互不影响.那么,恰好经过4场比赛分出胜负的概率为( ) A.0.24 B.0.25 C.0.38 D.0.5答案 C解析 记“恰好经过4场比赛分出胜负”“恰好经过4场比赛甲所在球队获胜”“恰好经过4场比赛A 所在球队获胜”分别为事件D ,E ,F ,则E ,F 互斥,且P (D )=P (E )+P (F ).若事件E 发生,则第4场比赛甲获胜,且前3场比赛甲所在球队恰有一场比赛失利,由于甲与A 或B 比赛每场获胜的概率均为0.6,乙与A 或B 比赛每场获胜的概率均为0.5,丙与C 比赛每场获胜的概率均为0.5,且各场比赛结果相互独立,所以甲所在球队恰好经过4场比赛获得胜利的概率P (E )=0.6×(0.4×0.5×0.5+0.6×C 12×0.5×0.5)=0.24.若事件F 发生,则第4场比赛B 获胜,且前3场比赛A 所在球队恰有一场比赛失利,由于甲与A 或B 比赛每场获胜的概率均为0.6,乙与A 或B 比赛每场获胜的概率均为0.5,丙与C 比赛每场获胜的概率均为0.5,且各场比赛结果相互独立,所以A 所在球队恰好经过4场比赛获得胜利的概率P (F )=0.4×(0.6×0.5×0.5+0.4×C 12×0.5×0.5)=0.14,所以P (D )=P (E )+P (F )=0.38,故选C.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.已知(2x -a )9=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+…+a 9(x -1)9且展开式中各项系数和为39.则下列结论正确的是( ) A.a =1 B.a 0=1C.a 2=36D.a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=39+12答案 ABD解析 令x -1=t ,∴x =t +1,原展开式为(2t +2-a )9=a 0+a 1t +a 2t 2+…+a 9t 9, 令t =1得a 0+a 1+a 2+…+a 9=(4-a )9=39, ∴a =1,故A 正确;∴(2t +1)9=a 0+a 1t +a 2t 2+…+a 9t 9, 令t =0,得a 0=1,故B 正确;(2t +1)9的展开式中含t 2的项为C 79(2t )2·17=144t 2, ∴a 2=144,故C 错误;令t =1,得a 0+a 1+a 2+…+a 8+a 9=39,① 令t =-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 8-a 9=-1,② ①-②2得,a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=39+12,故D 正确.10.已知△PAB 中,AB =2,PA =PB ,C 是边AB 的中点,Q 为△PAB 所在平面内一点.若△CPQ 是边长为2的等边三角形,则AP →·BQ →的值可能是( )A.3+ 3B.1+ 3C.3- 3D.1- 3答案 BD解析 如图(1),若点Q 与点B 在CP 的同侧,则AP →·BQ →=(AC →+CP →)·(BC→+CQ →)=AC →·BC →+CP →·BC →+AC →·CQ →+CP →·CQ →=-1+0+1×2×cos π6+2×2×cos π3=3+1.如图(2),若点Q 与点B 在CP 的异侧,则AP →·BQ →=(AC →+CP →)·(BC →+CQ →)=AC →·BC →+CP →·BC →+AC →·CQ →+CP →·CQ →=-1+0+1×2×cos 5π6+2×2×cos π3= -3+1.故选BD.11.下列选项中,是关于x 的不等式ax 2+(a -1)x -2>0有实数解的充分不必要条件的是( ) A.a =0 B.a ≥-3+2 2 C.a >0 D.a ≤-3-2 2答案 AC解析 设y =ax 2+(a -1)x -2, 令ax 2+(a -1)x -2=0.当a >0时,显然y >0有实数解;当a =0时,y =-x -2,由y >0解得x <-2;当a <0时,若y >0有实数解,则需Δ=(a -1)2+8a =a 2+6a +1>0,得a <-3-22或-3+22<a <0.综上所述,当a >-3+22或a <-3-22时,不等式ax 2+(a -1)x -2>0有实数解.结合选项可知,a =0,a >0是不等式ax 2+(a -1)x -2>0有实数解的充分不必要条件.12.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,点E ,F 分别是棱AB ,A 1B 1的中点,点P 在四边形ABCD 内(包括边界)运动,则下列说法正确的是( ) A.若P 是线段BC 的中点,则平面AB 1P ⊥平面DEFB.若P 在线段AC 上,则D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,π2C.若PD 1∥平面A 1C 1E ,则点P 的轨迹的长度为 2D.若PF ∥平面B 1CD 1,则线段PF 长度的最小值为62 答案 AC解析 对于A ,如图1,P ,E 分别是线段BC ,AB 的中点,故△ABP ≌△DAE ,则∠PAB =∠ADE ,∠PAB +∠DEA =∠ADE +∠DEA =π2,所以AP ⊥DE .易知EF ⊥平面ABCD ,又AP ⊂平面ABCD ,所以EF ⊥AP ,又DE ∩EF =E ,从而AP ⊥平面DEF ,又AP ⊂平面AB 1P ,所以平面AB 1P ⊥平面DEF ,故A 正确.图1对于B ,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,A 1C 1∥AC ,所以D 1P 与A 1C 1所成的角为D 1P 与AC 所成的角.连接D 1A ,D 1C ,则△D 1AC 为正三角形,所以D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,π2,故B 错误.对于C ,如图2,设平面A 1C 1E 与直线BC 交于点G ,连接C 1G ,EG ,则G 为BC 的中点,分别取AD ,DC 的中点M ,N ,连接D 1M ,MN ,D 1N ,易知D 1M ∥C 1G ,又D 1M ⊄平面A 1C 1E ,C 1G ⊂平面A 1C 1E ,所以D 1M ∥平面A 1C 1E .同理可得D 1N ∥平面A 1C 1E ,又D 1M ∩D 1N =D 1,所以平面D 1MN ∥平面A 1C 1E ,由此结合PD 1∥平面A 1C 1E ,可得直线PD 1⊂平面D 1MN ,所以点P 的轨迹是线段MN ,易得MN =2,故C 正确.图2对于D,如图3,取BB1的中点R,BC的中点G,DC的中点N,连接FN,因为FB1∥NC,FB1=NC,所以四边形FB1CN为平行四边形,所以FN∥B1C,又FN⊄平面B1CD1,B1C⊂平面B1CD1,所以FN∥平面B1CD1.连接BD,NG,则NG∥BD,又BD∥B1D1,所以NG∥B1D1,又NG⊄平面B1CD1,B1D1⊂平面B1CD1,所以NG∥平面B1CD1.连接FR,GR,易知GR∥B1C,又B1C∥FN,所以GR∥FN,故F,N,G,R四点共面,所以平面FNGR∥平面B1CD1.因为PF∥平面B1CD1,所以PF⊂平面FNGR,所以点P的轨迹为线段NG.由AB=2知,FN=22,NG= 2.连接FB,FG,在Rt△FBG中,FG2=FB2+BG2=(5)2+1=6,所以FG=6,所以FN2=NG2+FG2,得∠FGN为直角,故线段FP长度的最小值为6,故D错误.故选AC.图3三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13.请写出满足条件“f(x)≤f(1)对任意的x∈[0,1]恒成立,且f(x)在[0,1]上不是增函数”的一个函数:________.答案f(x)=sin 5π2x(答案不唯一)解析 答案不唯一,如f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -142,f (x )=sin 5π2x 等.14.已知椭圆C :x 24+y 2=1的右焦点为F ,点P 在椭圆C 上,O 是坐标原点,若|OP |=|OF |,则△OPF 的面积是________. 答案 12解析 设椭圆C 的左焦点为F 1,连接PF 1,若|OP |=|OF |,则点P 在以F 1F 为直径的圆上,所以PF 1⊥PF ,故S △OPF =12S △FPF 1=12b 2tan π4=12×1×1=12. 15.如图,△ABC 是边长为2的等边三角形,M 为AC 的中点.将△ABM 沿BM 折起到△PBM 的位置,当三棱锥P-BCM 体积最大时,三棱锥P-BCM 外接球的表面积为________.答案 5π解析 当三棱锥P-BCM 体积最大时,平面PBM ⊥平面BCM .如图,三棱锥P-BCM 为长方体的一角,故其外接球的半径R =MP 2+MC 2+MB 22=52.外接球的表面积为4πR 2=4×π×54=5π.16.若∀x >0,不等式ln x +2+a x ≥b (a >0)恒成立,则ba 的最大值为________. 答案 e 2解析 设f (x )=ln x +2+a x ,则f ′(x )=1x -a x 2=x -ax 2.因为a >0,所以当x ∈(0,a )时,f ′(x )=x -a x 2<0,则函数f (x )单调递减;当x ∈(a ,+∞)时,f ′(x )=x -ax 2>0,则函数f (x )单调递增.所以f (x )min =f (a )=ln a +3≥b ,则b a ≤ln a +3a .令g (a )=ln a +3a ,则g ′(a )=1-ln a -3a 2=-2+ln aa 2.由g ′(a )=0可得,a =e -2.所以当a ∈(0,e -2)时,g ′(a )=-2+ln aa2>0,则函数g (a )单调递增;当a ∈(e -2,+∞)时,g ′(a )=-2+ln a a 2<0,则函数g (a )单调递减.所以g (a )max =g (e -2)=ln e -2+3e -2=e 2,即ba 的最大值为e 2.。

高三数学高考大题专项训练全套(15个专项)(典型例题)(含答案)

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⾼三数学⾼考⼤题专项训练全套(15个专项)(典型例题)(含答案)1、函数与导数(1)2、三⾓函数与解三⾓形3、函数与导数(2)4、⽴体⼏何5、数列(1)6、应⽤题7、解析⼏何8、数列(2)9、矩阵与变换10、坐标系与参数⽅程11、空间向量与⽴体⼏何12、曲线与⽅程、抛物线13、计数原理与⼆项式分布14、随机变量及其概率分布15、数学归纳法⾼考压轴⼤题突破练 (⼀)函数与导数(1)1.已知函数f (x )=a e xx+x .(1)若函数f (x )的图象在(1,f (1))处的切线经过点(0,-1),求a 的值;(2)是否存在负整数a ,使函数f (x )的极⼤值为正值?若存在,求出所有负整数a 的值;若不存在,请说明理由.解 (1)∵f ′(x )=a e x (x -1)+x 2x 2,∴f ′(1)=1,f (1)=a e +1.∴函数f (x )在(1,f (1))处的切线⽅程为 y -(a e +1)=x -1,⼜直线过点(0,-1),∴-1-(a e +1)=-1,解得a =-1e.(2)若a <0,f ′(x )=a e x (x -1)+x 2x 2,当x ∈(-∞,0)时,f ′(x )>0恒成⽴,函数在(-∞,0)上⽆极值;当x ∈(0,1)时,f ′(x )>0恒成⽴,函数在(0,1)上⽆极值.⽅法⼀当x ∈(1,+∞)时,若f (x )在x 0处取得符合条件的极⼤值f (x 0),则x 0>1,f (x 0)>0,f ′(x 0)=0,则00000200201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ?> +> -+ = ?①②③由③得0e x a =-x 20x 0-1,代⼊②得-x 0x 0-1+x 0>0,结合①可解得x 0>2,再由f (x 0)=0e x a x +x 0>0,得a >-020e x x ,设h (x )=-x 2e x ,则h ′(x )=x (x -2)e x ,当x >2时,h ′(x )>0,即h (x )是增函数,∴a >h (x 0)>h (2)=-4e2.⼜a <0,故当极⼤值为正数时,a ∈-4e 2,0,从⽽不存在负整数a 满⾜条件.⽅法⼆当x ∈(1,+∞)时,令H (x )=a e x (x -1)+x 2,则H ′(x )=(a e x +2)x ,∵x ∈(1,+∞),∴e x ∈(e ,+∞),∵a 为负整数,∴a ≤-1,∴a e x ≤a e ≤-e ,∴a e x +2<0,∴H ′(x )<0,∴H (x )在(1,+∞)上单调递减.⼜H (1)=1>0,H (2)=a e 2+4≤-e 2+4<0,∴?x 0∈(1,2),使得H (x 0)=0,且当10,即f ′(x )>0;当x >x 0时,H (x )<0,即f ′(x )<0.∴f (x )在x 0处取得极⼤值f (x 0)=0e x a x +x 0.(*)⼜H (x 0)=0e x a (x 0-1)+x 20=0,∴00e x a x =-x 0x 0-1,代⼊(*)得f (x 0)=-x 0x 0-1+x 0=x 0(x 0-2)x 0-1<0,∴不存在负整数a 满⾜条件.2.已知f (x )=ax 3-3x 2+1(a >0),定义h (x )=max{f (x ),g (x )}=f (x ),f (x )≥g (x ),g (x ),f (x )(1)求函数f (x )的极值;(2)若g (x )=xf ′(x ),且?x ∈[1,2]使h (x )=f (x ),求实数a 的取值范围.解 (1)∵函数f (x )=ax 3-3x 2+1,∴f ′(x )=3ax 2-6x =3x (ax -2),令f ′(x )=0,得x 1=0或x 2=2a ,∵a >0,∴x 1当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表:∴f (x )的极⼤值为f (0)=1,极⼩值为f 2a =8a 2-12a 2+1=1-4a 2. (2)g (x )=xf ′(x )=3ax 3-6x 2,∵?x ∈[1,2],使h (x )=f (x ),∴f (x )≥g (x )在[1,2]上有解,即ax 3-3x 2+1≥3ax 3-6x 2在[1,2]上有解,即不等式2a ≤1x 3+3x在[1,2]上有解,设y =1x 3+3x =3x 2+1x3(x ∈[1,2]),∵y ′=-3x 2-3x 4<0对x ∈[1,2]恒成⽴,∴y =1x 3+3x 在[1,2]上单调递减,∴当x =1时,y =1x 3+3x 的最⼤值为4,∴2a ≤4,即a ≤2.⾼考中档⼤题规范练 (⼀)三⾓函数与解三⾓形1.(2017·江苏宿迁中学质检)已知函数f (x )=sin 2x +23sin x cos x +sin x +π4sin x -π4,x ∈R . (1)求f (x )的最⼩正周期和值域;(2)若x =x 00≤x 0≤π2为f (x )的⼀个零点,求sin 2x 0的值.解 (1)易得f (x )=sin 2x +3sin 2x +12(sin 2x -cos 2x )=1-cos 2x 2+3sin 2x -12cos 2x =3sin 2x -cos 2x +12=2sin 2x -π6+12,所以f (x )的最⼩正周期为π,值域为-32,52. (2)由f (x 0)=2sin 2x 0-π6+12=0,得 sin 2x 0-π6=-14<0,⼜由0≤x 0≤π2,得-π6≤2x 0-π6≤5π6,所以-π6≤2x 0-π6<0,故cos 2x 0-π6=154,此时sin 2x 0=sin 2x 0-π6+π6 =sin 2x 0-π6cos π6+cos 2x 0-π6sin π6 =-14×32+154×12=15-38.2.(2017·江苏南通四模)已知向量m =sin x 2,1,n =1,3cos x2,函数f (x )=m ·n . (1)求函数f (x )的最⼩正周期;(2)若f α-2π3=23,求f 2α+π3的值.解 (1)f (x )=m ·n =sin x 2+3cos x2=212sin x 2+32cos x2=2sin x 2cos π3+cos x 2sin π3 =2sin x 2+π3,所以函数f (x )的最⼩正周期为T =2π12=4π.(2)由f α-2π3=23,得2sin α2=23,即sin α2=13. 所以f 2α+π3=2sin α+π2=2cos α=2?1-2sin 2α2=149. 3.(2017·江苏南师⼤考前模拟)已知△ABC 为锐⾓三⾓形,向量m =cos A +π3,sin A +π3,n =(cos B ,sin B ),并且m ⊥n . (1)求A -B ;(2)若cos B =35,AC =8,求BC 的长.解 (1)因为m ⊥n ,所以m ·n =cos A +π3cos B +sinA +π3sin B=cosA +π3-B =0. 因为0所以A +π3-B =π2,即A -B =π6.(2)因为cos B =35,B ∈0,π2,所以sin B =45,所以sin A =sin B +π6=sin B cos π6+cos B sin π6 =45×32+35×12=43+310,由正弦定理可得BC =sin A sin B×AC =43+3.4.(2017·江苏镇江三模)在△ABC 中,⾓A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且(a -c )(sin A +sin C )=(b -3c )sin B . (1)求⾓A ;(2)若f (x )=cos 2(x +A )-sin 2(x -A ),求f (x )的单调递增区间.解 (1)由(a -c )(sin A +sin C )=(b -3c )sin B 及正弦定理,得(a -c )(a +c )=(b -3c )b ,即a 2=b 2+c 2-3bc . 由余弦定理,得cos A =32,因为06.(2)f (x )=cos 2(x +A )-sin 2(x -A ) =cos 2x +π6-sin 2x -π6 =1+cos 2x +π32-1-cos ?2x -π32=12cos 2x ,令π+2k π≤2x ≤2π+2k π,k ∈Z ,得π2+k π≤x ≤π+k π,k ∈Z . 则f (x )的单调增区间为π2+k π,π+k π,k ∈Z .(⼆)函数与导数(2)1.设函数f (x )=2(a +1)x (a ∈R ),g (x )=ln x +bx (b ∈R ),直线y =x +1是曲线y =f (x )的⼀条切线. (1)求a 的值;(2)若函数y =f (x )-g (x )有两个极值点x 1,x 2. ①试求b 的取值范围;②证明:g (x 1)+g (x 2)f (x 1)+f (x 2)≤1e 2+12.解 (1)设直线y =x +1与函数y =f (x )的图象相切于点(x 0,y 0),则y 0=x 0+1,y 0=2(a +1)x 0,a +1x 0=1,解得a =0. (2)记h (x )=f (x )-g (x ),则h (x )=2x -ln x -bx .①函数y =f (x )-g (x )有两个极值点的必要条件是h ′(x )有两个正零点. h ′(x )=1x -1x-b =-bx +x -1x ,令h ′(x )=0,得bx -x +1=0(x >0).令x =t ,则t >0.问题转化为bt 2-t +1=0有两个不等的正实根t 1,t 2,等价于Δ=1-4b >0,t 1t 2=1b >0,t 1+t 2=1b>0,解得04.当04时,设h ′(x )=0的两正根为x 1,x 2,且x 1则h ′(x )=-bx +x -1x =-b (x -x 1)(x -x 2)x =-b (x -x 1)(x -x 2)x (x +x 1)(x +x 2).当x ∈(0,x 1)时,h ′(x )<0;当x ∈(x 1,x 2)时,h ′(x )>0;当x ∈(x 2,+∞)时,h ′(x )<0.所以x 1,x 2是h (x )=f (x )-g (x )的极值点,∴b 的取值范围是0,14. ②由①知x 1x 2=x 1+x 2=1 b.可得g (x 1)+g (x 2)=-2ln b +1b -2,f (x 1)+f (x 2)=2b ,所以g (x 1)+g (x 2)f (x 1)+f (x 2)=12-b ln b -b .记k (b )=12-b ln b -b 0令k ′(b )=0,得b =1e 2∈0,14,且当b ∈0,1e 2时,k ′(b )>0,k (b )单调递增;当b ∈1e 2,14时,k ′(b )<0,k (b )单调递减,且当b =1e 2时,k (b )取最⼤值1e 2+12,所以g (x 1)+g (x 2)f (x 1)+f (x 2)≤1e 2+12.2.设函数f (x )=2ax +bx+c ln x .(1)当b =0,c =1时,讨论函数f (x )的单调区间;(2)若函数f (x )在x =1处的切线为y =3x +3a -6且函数f (x )有两个极值点x 1,x 2,x 1解 (1)f (x )=2ax +bx+c ln x ,x >0,f ′(x )=2a -b x 2+c x =2ax 2+cx -bx 2.当b =0,c =1时,f ′(x )=2ax +1x. 当a ≥0时,由x >0,得f ′(x )=2ax +1x >0恒成⽴,所以函数f (x )在(0,+∞)上单调递增.当a <0时,令f ′(x )=2ax +1x >0,解得x <-12a ;令f ′(x )=2ax +1x <0,解得x >-12a,所以,函数f (x )在0,-12a 上单调递增,在-12a ,+∞上单调递减.综上所述,①当a ≥0时,函数f (x )在(0,+∞)上单调递增;②当a <0时,函数f (x )在? 0,-12a上单调递增,在-12a ,+∞上单调递减. (2)①函数f (x )在x =1处的切线为y =3x +3a -6,所以f (1)=2a +b =3a -3,f ′(1)=2a +c -b =3,所以b =a -3,c =-a ,f ′(x )=2a -b x 2+c x =2ax 2-ax +3-ax 2,函数f (x )有两个极值点x 1,x 2,x 1则⽅程2ax 2-ax +3-a =0有两个⼤于0的解,Δ=(-a )2-8a (3-a )>0,a 2a >0,3-a2a >0,解得83所以a 的取值范围是83,3. ②2ax 22-ax 2+3-a =0, x 2=a +9a 2-24a 4a =141+9-24a ,由832x 22-x 2-1.f (x 2)=2ax 2+a -3x 2-a ln x 2=a 2x 2+1x 2-ln x 2-3x 2 =-32x 2+1x 2-ln x 22x 22-x 2-1-3x 2. 设φ(t )=-32t +1t -ln t2t 2-t -1-3t,t ∈14,12,φ′(t )=-32-1t 2-1t (2t 2-t -1)-2t +1t -ln t (4t -1)(2t 2-t -1)2+3t2 =-31t 2(2t 2-t -1)2+32t +1t -ln t (4t -1)(2t 2-t -1)2+3t 2=32t +1t -ln t (4t -1)(2t 2-t -1)2. 当t ∈14,12时,2t +1t-ln t >0,4t -1>0,φ′(t )>0,所以φ(t )在14,12上单调递增,φ(t )∈163ln 2,3+3ln 2,所以f (x 2)的取值范围是163ln 2,3+3ln 2. (⼆)⽴体⼏何1.(2017·江苏扬州调研)如图,在四棱锥P -ABCD 中,底⾯ABCD 为梯形,CD ∥AB ,AB =2CD ,AC 交BD 于O ,锐⾓△P AD 所在平⾯⊥底⾯ABCD ,P A ⊥BD ,点Q 在侧棱PC 上,且PQ =2QC .求证:(1)P A ∥平⾯QBD ; (2)BD ⊥AD .证明 (1)如图,连结OQ ,因为AB ∥CD ,AB =2CD ,所以AO =2OC . ⼜PQ =2QC ,所以P A ∥OQ . ⼜OQ ?平⾯QBD ,P A ?平⾯QBD ,所以P A ∥平⾯QBD .(2)在平⾯P AD 内过P 作PH ⊥AD 于点H ,因为侧⾯P AD ⊥底⾯ABCD ,平⾯P AD ∩平⾯ABCD =AD ,PH ?平⾯P AD ,所以PH ⊥平⾯ABCD .⼜BD ?平⾯ABCD ,所以PH ⊥BD .⼜P A ⊥BD ,P A ∩PH =P ,所以BD ⊥平⾯P AD . ⼜AD ?平⾯P AD ,所以BD ⊥AD .2.如图,在四棱锥P -ABCD 中,底⾯ABCD 是正⽅形,AC 与BD 交于点O ,PC ⊥底⾯ABCD ,E 为PB 上⼀点,G 为PO 的中点.(1)若PD∥平⾯ACE,求证:E为PB的中点;(2)若AB=2PC,求证:CG⊥平⾯PBD.证明(1)连结OE,由四边形ABCD是正⽅形知,O为BD的中点,因为PD∥平⾯ACE,PD?平⾯PBD,平⾯PBD∩平⾯ACE=OE,所以PD∥OE. 因为O为BD的中点,所以E为PB的中点.(2)在四棱锥P-ABCD中,AB=2PC,因为四边形ABCD是正⽅形,所以OC=22AB,所以PC=OC.因为G为PO的中点,所以CG⊥PO.⼜因为PC⊥底⾯ABCD,BD?底⾯ABCD,所以PC⊥BD.⽽四边形ABCD是正⽅形,所以AC⊥BD,因为AC,PC?平⾯P AC,AC∩PC=C,所以BD⊥平⾯P AC,因为CG?平⾯P AC,所以BD⊥CG.因为PO,BD?平⾯PBD,PO∩BD=O,所以CG⊥平⾯PBD.3.(2017·江苏怀仁中学模拟)如图,在四棱锥E-ABCD中,△ABD为正三⾓形,EB=ED,CB=CD.(1)求证:EC⊥BD;(2)若AB⊥BC,M,N分别为线段AE,AB的中点,求证:平⾯DMN∥平⾯BCE.证明(1)取BD的中点O,连结EO,CO.∵CD=CB,EB=ED,∴CO⊥BD,EO⊥BD.⼜CO∩EO=O,CO,EO?平⾯EOC,∴BD⊥平⾯EOC.⼜EC?平⾯EOC,∴BD⊥EC.(2)∵N是AB的中点,△ABD为正三⾓形,∴DN⊥AB,∵BC⊥AB,∴DN∥BC.⼜BC?平⾯BCE,DN?平⾯BCE,∴DN∥平⾯BCE.∵M为AE的中点,N为AB的中点,∴MN∥BE,⼜MN?平⾯BCE,BE?平⾯BCE,∴MN∥平⾯BCE.∵MN∩DN=N,∴平⾯DMN∥平⾯BCE.4.(2017·江苏楚⽔中学质检)如图,在三棱锥P-ABC中,点E,F分别是棱PC,AC的中点.(1)求证:P A∥平⾯BEF;(2)若平⾯P AB⊥平⾯ABC,PB⊥BC,求证:BC⊥P A.证明(1)在△P AC中,E,F分别是棱PC,AC的中点,所以P A∥EF.⼜P A?平⾯BEF,EF?平⾯BEF,所以P A∥平⾯BEF.(2)在平⾯P AB内过点P作PD⊥AB,垂⾜为D.因为平⾯P AB ⊥平⾯ABC ,平⾯P AB ∩平⾯ABC =AB ,PD ?平⾯P AB ,所以PD ⊥平⾯ABC ,因为BC ?平⾯ABC ,所以PD ⊥BC ,⼜PB ⊥BC ,PD ∩PB =P ,PD ?平⾯P AB ,PB ?平⾯P AB ,所以BC ⊥平⾯P AB ,⼜P A ?平⾯P AB ,所以BC ⊥P A .(三)数列(1)1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n +a n =4,n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)已知c n =2n +3(n ∈N *),记d n =c n +log C a n (C >0且C ≠1),是否存在这样的常数C ,使得数列{d n }是常数列,若存在,求出C 的值;若不存在,请说明理由.(3)若数列{b n },对于任意的正整数n ,均有b 1a n +b 2a n -1+b 3a n -2+…+b n a 1=12n -n +22成⽴,求证:数列{b n }是等差数列. (1)解 a 1=4-a 1,所以a 1=2,由S n +a n =4,得当n ≥2时,S n -1+a n -1=4,两式相减,得2a n =a n -1,所以a n a n -1=12,数列{a n }是以2为⾸项,公⽐为12的等⽐数列,所以a n =22-n (n ∈N *).(2)解由于数列{d n }是常数列, d n =c n +log C a n =2n +3+(2-n )log C 2 =2n +3+2log C 2-n log C 2=(2-log C 2)n +3+2log C 2为常数,则2-log C 2=0,解得C =2,此时d n =7.(3)证明 b 1a n +b 2a n -1+b 3a n -2+…+b n a 1 =12n -n +22,①当n =1时,b 1a 1=12-32=-1,其中a 1=2,所以b 1=-12.当n ≥2时,b 1a n -1+b 2a n -2+b 3a n -3+…+b n -1a 1=12n -1-n +12,②②式两边同时乘以12,得b 1a n +b 2a n -1+b 3a n -2+…+b n -1a 2=12n -n +14,③由①-③,得b n a 1=-n -34,所以b n =-n 8-38(n ∈N *,n ≥2),且b n +1-b n =-18,⼜b 1=-12=-18-38,所以数列{b n }是以-12为⾸项,公差为-18的等差数列.2.在数列{a n }中,已知a 1=13,a n +1=13a n -23n +1,n ∈N *,设S n 为{a n }的前n 项和.(1)求证:数列{3n a n }是等差数列; (2)求S n ;(3)是否存在正整数p ,q ,r (p ""(1)证明因为a n +1=13a n -23n +1,所以3n +1a n +1-3n a n =-2.⼜因为a 1=13,所以31·a 1=1,所以{3n a n }是⾸项为1,公差为-2的等差数列. (2)解由(1)知3n a n =1+(n -1)·(-2)=3-2n ,所以a n =(3-2n )13n ,所以S n =1·131+(-1)·132+(-3)·133+…+(3-2n )·13n ,所以13S n =1·132+(-1)·133+…+(5-2n )·13n +(3-2n )·13n +1,两式相减,得23S n =13-2132+133+…+13n -(3-2n )·13n +1=13-219×1-13n -11-13+(2n -3)·13n +1=2n ·13n +1,所以S n =n3n .(3)解假设存在正整数p ,q ,r (p ""3q =p 3p +r 3r. 当n ≥2时,a n =(3-2n )13n<0,所以数列{S n }单调递减.⼜p ""①当q ≥3时,p 3p ≥q -13q -1≥2q 3q ,⼜r 3r >0,所以p 3p +r 3r >2q3q ,等式不成⽴.②当q =2时,p =1,所以49=13+r 3r ,所以r 3r =19,所以r =3({S n }单调递减,解惟⼀确定).综上可知,p ,q ,r 的值为1,2,3.(三)应⽤题1.已知某⾷品⼚需要定期购买⾷品配料,该⼚每天需要⾷品配料200千克,配料的价格为1.8元/千克,每次购买配料需⽀付运费236元.每次购买来的配料还需⽀付保管费⽤,其标准如下:7天以内(含7天),⽆论重量多少,均按10元/天⽀付;超出7天以外的天数,根据实际剩余配料的重量,以每天0.03元/千克⽀付.(1)当9天购买⼀次配料时,求该⼚⽤于配料的保管费⽤P 是多少元?(2)设该⼚x 天购买⼀次配料,求该⼚在这x 天中⽤于配料的总费⽤y (元)关于x 的函数关系式,并求该⼚多少天购买⼀次配料才能使平均每天⽀付的费⽤最少?解 (1)当9天购买⼀次时,该⼚⽤于配料的保管费⽤ P =70+0.03×200×(1+2)=88(元).。

高 三 数 学 综 合 模 拟 测 试 题(附答案)2

高 三 数 学 综 合 模 拟 测 试 题(附答案)2

高三 数学试题(文)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1、设 a b 、是两个非零向量,则“a b =- ”是“//a b”成立的 ( )条件 A .充要 .B .必要不充分 .C .充分不必要 . D .既不充分也不必要 2、函数)sin()(ϕω+=x x f (x ∈R ,ω>0,0≤ϕ<2)π的部分图象如图,则 ( ) A .ω=2π,ϕ=4πB .ω=3π,ϕ=6πC .ω=4π,ϕ=4πD .ω=4π,ϕ=45π3、设全集I Z =,集合A ={-1,1,2},B ={-1,0,1},从A 到B 的一个映射为{}(),,,(),I xx y f x x A y B C y y f x B C x →==∈∈==⋂则为ð( )A .{0,2}B . {0}C .{0,1}D .{-1,0}4、在等差数列{}n a 中,若4681012120a a a a a ++++=,则91113a a -的值为 ( ) A .14 B .15 C .16 D .175、已知椭圆2214x y n +=与双曲线2218x y m -=有相同的焦点,则动点(,)P n m 的轨迹为A .椭圆的一部分 B.双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 直线的一部分 6、关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α,其中假命题是 ( ) A.若,,,m l A A m l m αα⊂=∉ 点则与不共面;B.若m 、l 是异面直线,ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//;C.若直线,l m 与平面α所成的角相等,则//l m ;D.若,,l m αα⊥⊥则//l m 。

7、设函数)(x f =1-2x +)1(log 21-x ,则下列说法正确的是 ( )131oy xA. )(x f 是增函数,没有最大值,有最小值B. )(x f 是增函数,没有最大值,也没有最小值C. )(x f 是减函数,有最大值,没有最小值D. )(x f 是减函数,没有最大值,也没有最小值8、不等式)10(2sin log ≠>>a a x x a 且对任意)4,0(π∈x 都成立,则a 的取值范围为 ( )A 、(0,]4π B 、[,1)4π C 、)2,1()1,4(ππ⋃ D 、)1,0( 9、满足不等式()()*1221223log log N n n x x n ∈-≥-⋅+-的正整数x 的个数记为n a ,数列{}n a 的前n 项和记为n S ,则n S = ( )A .12-+n nB .12-nC .12+nD .12--n n10、若函数x x a x x f -+-=||)1lg()(2是偶函数,则常数a 的取值范围是 ( )A.11-≤≥a a 或B.1≥aC.11≤≤-aD.10≤≤a二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)11、已知正方体1111ABCD A BCD -,E 为11A B 的中点,则异面直线DE 与1B C 所成角的余弦是 _______________ 12、函数()f x =__________13、已知sin 23sin cos A B A =,且A ≠π2k (k Z ∈),则=+-+)cos(2sin )2sin(B A A B A__________14、设命题p :⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-->-+06208201243y x y x y x (R y x ∈,),命题q :222r y x ≤+(0,,,>∈r R r y x ),若命题q 是命题p ⌝的充分非必要条件,则r 的取值范围是__________ 。

2023年高三数学寒假作业12(Word含答案解析)

2023年高三数学寒假作业12(Word含答案解析)

2023年高三数学寒假作业十二(时间:45分钟分值:80分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把正确选项填在答题卡的相应位置)1.已知集合M={y|y=2x,x∈R},集合N={x|y=lg(3-x)},则M∩N=()A.{y|y≥3}B.{y|y≤0}C.{y|0<y<3}D.⌀2.复数i-1的共轭复数在复平面内对应的点位于()2-iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.图X14-1是某统计部门网站发布的《某市2020年2~12月国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数(CPI)月度涨跌幅度(单位:%)折线图(注:同比是今年第n个月与去年第n个月相比,环比是现在的统计周期和上一个统计周期相比).图X14-1则下列说法错误的是()①2020年9月CPI环比上升0.5%,同比上涨2.1%;②2020年9月CPI环比上升0.2%,同比无变化;③2020年3月CPI环比下降1.1%,同比上涨0.2%;④2020年3月CPI环比下降0.2%,同比上涨1.7%.A.①③B.①④C.②④D.②③4.方胜是汉民族的传统寓意祥纹,由两个菱形压角叠加而成,一个菱形的顶点与另一个菱形的中心对应,象征着“同心”.在如图X14-2所示的二连方胜中任取一点,则该点恰好落在叠加小菱形内的概率为(不考虑菱形边界的宽度) ()图X14-2A .16B .17C .18D .195.已知向量a ,b 满足|a|=1,|b|=√2,a ·b=1,则a-b 与b 的夹角为 ( )A .2π3B .3π4C .π2D .π46.已知抛物线y 2=2px (p>0)上有两个点M ,N ,F 为该抛物线的焦点.已知FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,以线段MN 为直径的圆的周长为8π,且过该圆的圆心P 作该抛物线的准线l 的垂线PQ ,垂足为Q ,则|PQ|的最大值为 ( ) A .4√2 B .2√2 C .4D .87.将正整数12分解成两个正整数的乘积,有1×12,2×6,3×4这三种分解,其中因数3与4的差的绝对值最小,则称3×4为12的最佳分解.当正整数n 的最佳分解为p×q (p ,q ∈N)时,记f (n )=|p-q|.设a n =f (2n ),则数列{a n }的前99项和为 ( ) A .249-1 B .250-1 C .298-1D .299-18.如图X14-3所示,某圆锥的高为√3,底面半径为1,O 为底面圆心,OA ,OB 为底面圆半径,且∠AOB=2π3,M 是母线PA 的中点,则在此圆锥侧面上从M 到B 的路径中,最短路径的长度为( )图X14-3A .√3B .√2-1C .√5D .√2+19.在△ABC 中,已知C=60°,AB=4,则△ABC 周长的最大值为 ( )A .8B .10C .12D .1410.函数f (x )=2sin ωx+π6(ω>0)的图像如图X14-4,则下列说法正确的是 ( )A .f (x )的最小正周期为2πB .f (x )的图像关于点-π6,0对称 C .f (x )的图像关于直线x=π6对称D .将f (x )图像上所有的点向左平移π12个单位长度得到y=2sin 2x 的图像图X14-4 图X14-511.如图X14-5,直线l :y=kx 与双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)交于P ,Q 两点,点M 为双曲线C 上异于P ,Q 且不与P ,Q 关于坐标轴对称的任意一点,若直线PM ,QM 的斜率之积为34,则k 的取值范围是 ( ) A .-12,12B .0,√32C .-√32,√32D .-∞,-√32∪√32,+∞12.已知a-4=ln a4<0,b-3=ln b3<0,c-2=ln c2<0,则 ( )A .c<b<aB .b<c<aC .a<b<cD .a<c<b二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若函数f (x )=12x 2+x ln x 的图像在点(1,f (1))处的切线与直线ax-y-1=0垂直,则a= . 14.已知数据x 1,x 2,…,x 9的标准差为5,则数据3x 1+1,3x 2+1,…,3x 9+1的标准差为 . 15.在直角边长为3的等腰直角三角形ABC 中,E ,F 为斜边BC 上两个不同的三等分点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 16.设函数f (x )=(x+1)2+sinxx 2+1的最大值为M ,最小值为m ,则M+m= .答案1.C [解析] ∵M={y|y>0},N={x|x<3},∴M ∩N={y|0<y<3}.故选C .2.C [解析] i -12-i =(i -1)(2+i )(2-i )(2+i )=-35+15i 的共轭复数为-35-15i,在复平面内对应的点为-35,-15,在第三象限.故选C .3.B [解析] 根据折线图中的数据可得,9月份CPI 环比上涨0.5%,同比上涨2.1%,故①正确,②错误;3月份CPI 环比下降0.2%,同比上涨1.7%,故④正确,③错误.故选B .4.B [解析] 设大菱形的边长为2a ,其中一个顶角为α,则小菱形的边长为a ,一个大菱形的面积为2×12×2a×2a×sin α=4a 2×sin α,一个小菱形的面积为2×12×a×a×sin α=a 2×sin α,故任取一点,该点恰好落在叠加小菱形内的概率为a 2×sinα2×4a 2×sinα-a 2×sinα=17.故选B .5.B [解析] 设a-b 与b 的夹角为θ,∵(a-b )·b=a ·b-b 2=1-2=-1,|a-b|=√a 2-2a ·b +b 2=√1-2+2=1,∴cos θ=(a -b )·b|a -b ||b |=1×√2=-√22,又∵0≤θ≤π,∴θ=3π4,故选B .6.A [解析] 设|FM|=a ,|FN|=b ,则根据抛物线的性质和梯形中位线定理可知|PQ|=12(a+b ).易知F 在以线段MN 为直径的圆上,且|MN|=8,则a 2+b 2=64,所以a+b 2≤√a 2+b 22=4√2,当且仅当a=b 时等号成立,故选A .7.B [解析] a 1+a 2+…+a 98+a 99=f (2)+f (22)+…+f (298)+f (299)=|21-20|+|21-21|+|22-21|+|22-22|+…+|249-249|+|250-249|=1+0+2+0+…+0+249=1×(1-250)1-2=250-1.故选B .8.A [解析] 将圆锥的侧面沿PA 剪开得到圆锥的侧面展开图如图所示,则AB⏜的长度l AB ⏜=2π3×1=2π3,PA=√(√3)2+12=2,连接BP ,BM ,则∠APB=lAB ⏜PA=π3.在△PMB 中,PM=1,PB=2,则MB 2=22+12-2×2×1×cos π3=3,∴MB=√3,即M 到B 的路径中最短路径的长度为√3.故选A .9.C [解析] 在△ABC 中,设内角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c.∵C=60°,AB=c=4,∴由余弦定理得16=a 2+b 2-2ab cos 60°=a 2+b 2-ab=(a+b )2-3ab.由基本不等式有ab ≤a+b 22,当且仅当a=b 时等号成立,∴16=(a+b )2-3ab ≥(a+b )2-34(a+b )2=14(a+b )2,∴a+b ≤8,则△ABC 的周长为a+b+c ≤8+4=12,故当且仅当a=b=4时,△ABC 的周长取得最大值12,故选C .10.C [解析] 根据f (x )的图像,结合五点法作图可得ω×5π12+π6=π,即ω=2,故f (x )=2sin 2x+π6.易知f (x )的最小正周期为2π2=π,故A 错误;令x=-π6,求得f (x )=-1,故B 错误;令x=π6,求得f (x )=2,为最大值,故C 正确;将f (x )图像上所有的点向左平移π12个单位长度得到y=2sin 2x+π3的图像,故D 错误.故选C .11.C [解析] 设M (x ,y ),P (x 0,y 0),则Q (-x 0,-y 0),则k PM =y -y 0x -x 0,k QM =y+y 0x+x 0.由题意知k PM ·k QM =y 2-y 02x 2-x 02=b 2(x 2a 2-1)-b 2(x 02a 2-1)x 2-x 02=b 2a 2=34,所以双曲线C 的渐近线方程为y=±√32x ,所以-√32<k<√32.故选C .12.C [解析] 令f (x )=x-ln x ,则f'(x )=1-1x =x -1x.令f'(x )=0,可得x=1,则当0<x<1时,f'(x )<0,f (x )在(0,1)上单调递减,当x>1时,f'(x )>0,f (x )在(1,+∞)上单调递增.由a-4=ln a4<0可得0<a<4,将a-4=ln a4化为a-ln a=4-ln 4,可得f (a )=f (4),则0<a<1.同理f (b )=f (3),0<b<1,f (c )=f (2),0<c<1.因为4>3>2>1,f (x )在(1,+∞)上单调递增,所以f (4)>f (3)>f (2),可得f (a )>f (b )>f (c ).因为f (x )在(0,1)上单调递减,所以a<b<c ,故选C .13.-12[解析] 因为f (x )=12x 2+x ln x ,所以f'(x )=x+ln x+1,因此函数f (x )=12x 2+x ln x 的图像在点(1,f (1))处的切线斜率k=f'(1)=1+1=2.又该切线与直线ax-y-1=0垂直,所以a=-12.14.15 [解析] 数据x 1,x 2,…,x 9的标准差为5,则其方差为25,所以3x 1+1,3x 2+1,…,3x 9+1的方差为25×9=225,则其标准差为√225=15.15.4 [解析] 由题意,以A 为原点,以AB 所在的直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A (0,0),B (3,0),C (0,3).由E ,F 为斜边BC 上两个不同的三等分点,不妨设E (2,1),F (1,2),可得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),可得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+1×2=4.16.2 [解析] f (x )=(x+1)2+sinxx 2+1=1+2x+sinx x 2+1.令g (x )=2x+sinx x 2+1,则g (x )为R 上的奇函数,∴g (x )的最大值与最小值的和为0.∴函数f (x )=(x+1)2+sinxx 2+1的最大值与最小值的和为1+1+0=2,即M+m=2.。

高三数学综合测试题(含答案)

高三数学综合测试题(含答案)

高三数学试题(理科)一、选择题(本大题共12小题,每小题5.0分,共60分)1.已知复平面内的平行四边形ABCD中,定点A对应的复数为i(i是虚数单位),向量BC 对应的复数为2+i,则点D对应的复数为()A. 2 B. 2+2i C.-2 D.-2-2i2.在判断两个变量y与x是否相关时,选择了4个不同的模型,它们的相关指数分别为:模型1的相关指数为0.98,模型2的相关指数为0.80,模型3的相关指数为0.50,模型4的相关指数为0.25.其中拟合效果最好的模型是().A.模型1 B.模型2 C.模型3 D.模型43.设随机变量X的分布列如下表,且E(X)=1.6,则a-b=()A.0.2B.0.1C.-0.2D.-0.44.若方程x3-3x+m=0在[0,2]上有解,则实数m的取值范围是()A. [-2,2] B. [0,2]C. [-2,0]D. (-∞,-2)∪(2,+∞)5.已知圆上9个点,每两点连一线段,所有线段在圆内的交点有()A.36个 B.72个 C.63个 D.126个6.函数f(x)=ax3+x+1有极值的一个充分而不必要条件是()A.a<0 B.a>0 C.a<-1 D.a<17.若(n∈N*),且,则() A.81 B.16 C.8 D.18.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a,b,c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况),则ab的最大值为()A. B. C. D.9.高三毕业时,甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念,已知甲、乙二人相邻,则甲、丙相邻的概率是()A. B. C. D.10.已知x与y之间的几组数据如表:假设根据如表数据所得线性回归直线方程为,若某同学根据表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为,则以下结论正确的是()A., B., C., D.,11.某人射击一发子弹的命中率为0.8,现在他射击19发子弹,理论和实践都表明,在这19发子弹中命中目标的子弹数X的概率满足P(X=k)=(k=0,1,2,…,19),则他射完19发子弹后,击中目标的子弹最可能是 ()A.14发 B.15发 C.16发 D.15发或16发12.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),若a+b+c=0,导函数f′(x)满足f′(0)f′(1)>0,设f′(x)=0的两根为x1,x2,则|x1-x2|的取值范围是()A.323⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭,B.14,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.133⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭, D.1193⎡⎫⎪⎢⎣⎭,第II 卷非选择题二、填空题(本大题共4小题,每小题5.0分,共20分)13.某人从某城市的A地乘公交车到火车站,由于交通拥挤,所需时间(单位:分钟)X~N(50,),则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率为________.14.如图(1),在三角形ABC中,AB⊥AC,若AD⊥BC,则AB2=BD·BC;若类比该命题,如图(2),三棱锥A-BCD中,AD⊥面ABC,若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M,则有________.15.设M=,则M与1的大小关系是__________.16.若对任意的x∈A,则x∈,就称A是“具有伙伴关系”的集合.集合M={-1,0,,,1,2,3,4}的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为________.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题共12分)已知一元二次方程x2-ax+1=0(a∈R).(1)若x=37+i44是方程的根,求a的值;(2)若x1,x2是方程两个虚根,且|x1-1|>|x2|,求a的取值范围.18. (本小题共12分)随着生活水平的提高,人们的休闲方式也发生了变化.某机构随机调查了n 个人,其中男性占调查人数的.已知男性中有一半的人的休闲方式是运动,而女性只有的人的休闲方式是运动.(1)完成如图2×2列联表:(2)若在犯错误的概率不超过0.05的前提下,可认为“休闲方式有关与性别”,那么本次被调查的人数至少有多少?(3)根据(2)的结论,本次被调查的人中,至少有多少人的休闲方式是运动?参考公式:=,其中n=a+b+c+d.参考数据:19.若n为正整数,试比较3·2n-1与n2+3的大小,分别取n=1,2,3,4,5加以试验,根据试验结果猜测一个一般性结论,并用数学归纳法证明.20.为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳.各株沙柳的成活与否是相互独立的,成活率为p,设ξ为成活沙柳的株数,数学期望E(ξ)为3,标准差为.(1)求n和p的值,并写出ξ的分布列;(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种.求需要补种沙柳的概率.21.已知函数f(x)=(ax-x2)e x.(1)当a=2时,求f(x)的单调递减区间;(2)若函数f(x)在(-1,1]上单调递增,求a的取值范围;(3)函数f(x)是否可为R上的单调函数?若是,求出a的取值范围,若不是,说明理由.22.设函数f(x)=|x-a|+x.(1)当a=2时,求函数f(x)的值域;(2)若g(x)=|x+1|,求不等式g(x)-2>x-f(x)恒成立时a的取值范围.答案解析1.B2.A3.C4.A5.D【解析】此题可化归为:圆上9个点可组成多少个四边形,每个四边形的对角线的交点即为所求,所以,交点有=126(个)6.C7.A8.D9.C10. C11. D【解析】由≥且≥,解得15≤k≤16,即P(X=15)=P(X=16)最大12.A【解析】由题意得f′(x)=3ax2+2bx+c,∵x1,x2是方程f′(x)=0的两个根,∴x 1+x2=-,x1·x2=,∴|x1-x2|2=(x+x2)2-4x1·x2=.∵a+b+c=0,∴c=-a-b,∴|x 1-x2|2==()2+·+.∵f′(0)·f′(1)>0,f′(0)=c=-(a+b),且f′(1)=3a+2b+c=2a+b,∴(a+b)(2a+b)<0,即2a2+3ab+b2<0,∵a≠0,两边同除以a2,得()2+3+2<0,解得-2<<-1.由二次函数的性质可得,当=-时,|x 1-x2|2有最小值为,当趋于-1时,|x1-x2|2趋于,故|x 1-x2|2∈[,),故|x1-x2|∈[,).13. 0.9544 14.=S △BCM·S△BCD15.【答案】M<1【解析】∴M==1.16.【答案】15【解析】具有伙伴关系的元素组有-1;1;,2;,3;共4组,所以集合M的所有非空子集中,具有伙伴关系的非空集合中的元素,可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组,又集合中的元素是无序的,因此,所求集合的个数为+++=15.17.解(1)已知一元二次方程x2-ax+1=0(a∈R),若x=+i是方程的根,则x=-i也是方程的根.(+i)+(-i)=a,解得a=.(2)x 1,x2是方程x2-ax+1=0的两个虚根,不妨设x1=,x2=,a∈(-2,2),|x 1-1|>|x2|,∴(-1)2+(-)2>()2+()2,∴a<1.综上,-2<a<1.18.【解】(1)依题意,被调查的男性人数为,其中有人的休闲方式是运动;被调查的女性人数为,其中有人的休闲方式是运动,则2×2列联表如图。

高三数学训练题(知识点回顾)

高三数学训练题(知识点回顾)

高三数学训练题(知识点回顾)1.函数)2(cos 2π+=x y 是 ( )A .最小正周期是π的偶函数B .最小正周期是π的奇函数C .最小正周期是2π的偶函数D .最小正周期是2π的奇函数知识点记录: 2.已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称,则直线l 的方程为( )A .01=+-y xB .0=-y xC .01=++y xD .0=+y x知识点记录:3.函数51232)(23+--=x x x x f 在[0,3]上的最大值与最小值分别是 ( ) (A ) 12 , -15 (B )5 , - 4 (C ) -4 , -15 (D ) 5 , -15 知识点记录:4.直线0320sin 20cos 0=-+y x 的倾斜角是 ( )A 、200B 、1600C 、700D 、1100知识点记录:5.已知直线α平面⊥l ,直线β平面⊂m ,给出下列命题 ( ) ①α∥m l ⊥=β; ②l ⇒⊥βα∥m ③l ∥βα⊥⇒m ④α⇒⊥m l ∥β其中正确命题的序号是( ) A .①②③ B .②③④C .②④D .①③知识点记录:6.已知a b a ,0,0>>、b 的等差中项是111,,,2m a n b m n a b=+=++且则的最小值是 ( )A .3B .4C .5D .6 知识点记录:7.已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O (0,0),A (3,0),B (0,3),点P 在线段AB 上,且OP OA t AB t AP ⋅≤≤=则),10(的最大值为 ( ) A .3 B .6C .9D .12知识点记录:8.设A 、B 是两个集合,定义}2|1||{},,|{≤+=∉∈=-x x M B x A x x B A 若且, ∈==αα|,sin ||{x x N R },则M -N= ( )A .[-3,1]B .[-3,0)C .[0,1]D .[-3,0]知识点记录:9.如图所示,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点 P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等,则动点P 所在曲线的形 状为 ( )知识点记录:10.直线l 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右准线,以原点为圆心且过双曲线的顶点的圆,被直线l 分成弧长为2 : 1的两段圆弧,则该双曲线的离心率是( )A .2B .2C .26D .5知识点记录:P11.在某次数学测验中,学号)4,3,2,1(=i i 的四位同学的考试成绩}98,96,93,92,90{)(∈i f ,且满足)4()3()2()1(f f f f <≤<,则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为 ( )A .9种B .5种C .23种D .15种知识点记录:12.设函数f (x )的定义域为D ,如果对于任意的D x D x ∈∈21,存在唯一的,使)(2)()(21为常数C C x f x f =+成立,则称函数f (x )在D 上均值为C ,给出下列四个函数①3x y =②x y sin 4= ③x y lg = ④xy 2= 则满足在其定义域上均值为2的所有函数是( )A .①②B .③④C .②④D .①③ 知识点记录:二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。

高三文科数学综合训练题

高三文科数学综合训练题
姒 q若函 + ) 耋 : 数 ‘ 1为偶函 则 ) = 的对称, 数, 关于 1 则下列


2 2 0
4 4 0
5 6 0
6 7 0
8 8 0
卜 命题是真 命题的是( ) 。



AA ‘q p
c )(q ・ p^’) (
1、知双曲 一 = 被斜率为1 直线截得的 0已 线 鲁 1 的 弦的
口 0
中点 为 ( ,) 则 该 双 曲线 离 心率 的值 为 ( 41,
) 。
长 原 的 倍再 右 移 个 位 度得 函 Y 到 来 2 , 向 平 詈 单 长 ,到 数 = A= .吾 B : c = D =r .詈 .子 .2 3  ̄
Ⅱ U

+ = 子)
(子) 0 。 ,
=l的离 心 率互 为 倒 数 , 内切 于 圆 + ,= 。 且 , 4 ( ) 椭 圆 的方 程 : 1求 ( ) 直 线 ,= - 2若 4  ̄+m 交 椭 圆 于 A, 点 , 圆 上一 点 P f B两 椭 ( , ) 求 AP B面 积 的最 大 值 。 I , A
l 、 AA C中 , 长 为 2 , 积 为 1 , A= 0 , 边 d 5在 B 周 0面 O 6 。则

— —


() 2 求证 :F B ∥平面 A G C D;
( ) 三棱 锥 A— C 3求 B F的体 积 。 2 、本 小 题 满分 1 ) 0( 3分
2 2
l、 2 已知各项部为正数的等比数列 ; } n = ,, 中, ・ 4口+
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广州市高三数学训练题 (十二) 综合训练( 2 )(时间:120分钟 满分150分)(由广州市中学数学教研会高三中心组编写,原本卷命题人:谭曙光 修改:李敏) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选(1)设集合A = {x |x 2(A ){x |x >1} (B ) {x |x >0} (C ){x |x <-1} (D ) {x |x <-1或x >1}(2)若(x 2-1)+(x 2-2x -3)i 是纯虚数,则实数x 的值是(A )1 B ) -1 (C ) ±1 (D ) 以上都不对 (3)已知等差数列{a n }的各项均为正,且公差不为0,设P =2a a 82+,Q =64a a ,则P 与Q 的大小关系为 (A ) P >Q (B ) P <Q (C ) P =Q (D ) 无法确定 (4)已知sin(π+α)=21-且tan α<0则cos α的值为 (A ) 21± (B ) 21- (C ) 23- (D ) 23±(5)直线l 1,l 2互相平行的一个充分条件是(A ) l 1,l 2都平行于平面α (B ) l 1,l 2与平面α所成的角相等 (C ) l 1平行于l 2所在平面α (D ) l 1,l 2都垂直于平面α(6)平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ,满足(AB -BC )·(AD -CD )=0,则三角形ABC 是 (A ) 直角三角形 (B ) 等腰三角形 (C ) 等腰直角三角形 (D ) 等边三角形(7)将一张坐标纸折叠一次,使点(10,0)与(-6,8)重合,则与点(-4,2)重合的点是(A ) (4,-2) (B ) (4,-3) (C ) (3,23) (D ) (3,-1) (8)对一组数据Z i (i =1,2,3,…,n ),如果将它们改变为Z i -C (i =1,2,3,…,n ),其中C ≠0,则下面结论正确的是 (A ) 平均数与方差均不变 (B ) 平均数变了,而方差保持不变 (C ) 平均数不变,方差变了 (D ) 平均数与方差均发生了变化(9)正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点,则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为(A ) 2 (B ) 3 (C )26 (D ) 332 (10)F 1、F 2是双曲线22a x 22by -=1的左、右两个焦点,P 是双曲线右支上任一点,从右焦点向∠F 1PF 2的平分线作垂线,垂足为M ,点M 的轨迹是曲线C 的一部分,则曲线C 是(A ) 圆 (B ) 椭圆 (C ) 双曲线 (D ) 抛物线(11)已知函数f(x)=x 9x 3m ⋅-+m+1对x ∈(0,∞+)的图象恒在x 轴上方,则m 的取值范围是 (A ) 2-22<m <2+22 (B ) m <2 (C ) m <2+22 (D ) m ≥2+22(12)a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数,不等式a 1x 2+b 1x +c 1>0和a 2x 2+b 2x +c 2>0的解集分别为集合M 和N ,那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的 (A)充分非必要条件. (B)必要非充分条件. (C)充要条件(D)既非充分又非必要条件.二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.(13)平面内一动点P 到直线2x +3y 5-=0和到点M(1,1)的距离相等,则P 点的轨迹为______________ (写出轨迹名称).(14)函数y 1-≤x ≤0)的反函数为_______________.(15)若甲以10发8中,乙以10发6中,丙以10发7中的命中率打靶,三人各射击一次,则三人中只有一人命中的概率是___________.(16)一个三位数abc 称为“凹数”,如果该三位数同时满足a >b 且b <c ,那么所有不同的三位“凹数”的个数是_____________________.三、解答题:本大题共6小题,共74分,(17)(本小题満分12分)设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里均无故障,可获利润10万元;发生一次故障可获利润5万元,只发生两次故障可获利润0万元,发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少?(18)(本小题满分12分)正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长是 ,侧棱长是3,点E 、F 分别在BB 1、DD 1上,且AE ⊥A 1B ,AF ⊥A 1D .(Ⅰ)求证:A 1C ⊥面AEF ;(Ⅱ)求截面AEF 与底面ABCD 所成的二面角的大小;(Ⅲ)求点B 到面AEF 的距离.A D 1 C 1B 1 A 1D C B FE(19)(本小题満分12分)若数列{n a }的通项21n a n =-,设数列{n b }的通项11n nb a =+,又记n T 是数列{n b } 的前n 项的积.(Ⅰ)求1T ,2T ,3T 的值;(Ⅱ)试比较n T 与1+n a 的大小,并证明你的结论.(20)(本小题満分12分)如图,有甲乙两个村庄,甲村位于一直线河岸的岸边A 处,乙村与甲村在河的同侧,乙村位于离河岸40km 的B 处,乙村到河岸的垂足D 与A 相距50km ,两村要在此岸边合建一个自来水厂C ,从自来水厂到甲村和乙村的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元. 现要进行工程费用测算.(Ⅰ)求出水管总费用关于水厂C 到D 的距离的函数关系式; (Ⅱ)问自来水厂C 建在何处,才能使水管总费用最省?DCAB(21)(本小题満分12分)在以O 为原点的直角坐标系中,点A (3,-1)为Rt OAB ∆的直角顶点. 已知|AB |=2|OA |,且点B 的纵坐标大于零. (Ⅰ)求向量的坐标;(Ⅱ)是否存在实数a ,使二次函数12-=ax y 的图像上总有关于直线OB 对称的两个不同的点?若不存在,说明理由;若存在,求a 的取值范围.(22)(本小题満分14分)已知32()(0)f x x bx cx d =+++-∞在, 上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程()0f x =有三个根,它们分别为2αβ, ,. (Ⅰ)求c 的值; (Ⅱ)求证(1)2f ≥;(Ⅲ)求||αβ-的取值范围.(十二)综合训练( 2 )参考答案(1) 特值排除 取 x = 2,显然排除C 、D; 再取 x = 1/2 ,显然排除B .故应选A .(2)由条件⎪⎩⎪⎨⎧≠--=-03x 2x 01x 22解得x =1,选A .(3)因为{a n }是各项均为正的等差数列,则a 2+a 8=a 4+a 6,又公差不为0,由基本不等式可得P >Q ,选A .(4)由sin(π+α)=21-且tan α<0知α为第二象限的角,所以cos α=23-,选C .(5)若l 1,l 2都垂直于同一个平面则l 1,l 2互相平行,但反之不一定成立,选D . (6)由(AB -)·(AD -)=0得 (AB -)·(AD +)=0即(AB -)·=0,(-)·(+)=0,即22-=0,||=|BC |,故为等腰三角形,选B . (7)由条件,以(10,0)和(-6,8)为端点的线段的垂直平分线方程为y =2x ,则与点(-4,2)重合的点即为求点(-4,2)关于直线y =2x 的对称点,求得为(4,-2),选A .(8)x =n 1(x 1+x 2+…+x n ),S 2=n1[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2],令x i 换成x i -c ,则x =n 1[(x 1-c)+(x 2-c)+…+(x n -c)]= x -c ,当x i 换成x i -c 的方差为2S '=n1{[(x 1-c)-(x -c)]2+[(x 2-c)-(x -c)]2+…+[(x n -c)-(x -c)2]}= n1[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2]=S 2,选B .(9)设正方体边长为a ,则正四面体棱长为2a ,S 正方体=6a 2,S 正四边体=4×21×(2a)2×sin o 60,故选B .(10)设垂线交PF 1于Q ,而|QF 1|=|PF 1|-|PQ|=|PF 1|-|PF 2|=2a ,在△F 1F 2Q 中,|MO|=21|QF 1|,故C 为以原点为圆心a 为半径的圆,选A . (11)法1:令t =x 3,则问题转化为函数f(t)=t 2-mt+m+1对t ∈(1,∞+)的图象恒在x轴的上方,即△=(-m)2-4(m+1)<0或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++-<≥∆0m 1m 112m 0解得m <2+22. 法2:问题转化为m <1t 1t 2-+ ,t ∈(1,∞+),即m 比函数y =1t 1t 2-+ ,t ∈(1,∞+)的最小值还小,又y =1t 1t 2-+=t -1+1t 2-+2≥21t 2)1t (--+2=2+22,所以m <2+22,选C .(12)反例否定:一方面,当212121c c b b a a ==时,取1111a b c ===,2221a b c ===-, 易知M 为实数集,N 为空集,这说明M 与N 不能相等;另一面,当M=N 时,若M 与N 均为空集,就可取1111,2,a b c ==-=-2221a b c ===-,这时不能得出212121c c b b a a ==.故应选D . (13)因为点M(1,1)在直线2x+3y 5-=0上,故P 点的轨迹为直线.(14)由y =2x 2-得x 2=2-y 2,又1-≤x ≤0,所以x =2y 2--,又因为y =2x 2-(1-≤x ≤0)的值域为[1,2],得y =2x 2-(1-≤x ≤0)的反函数为y =2x 2--(1≤x ≤2).(15)设甲命中为事件A ,乙命中为事件B ,丙命中为事件C ,P(A B ⋅C ⋅ )+ P(A B⋅C ⋅)+P(A B ⋅C ⋅)=54×52×103+51×53×103+51×52×107=25047 (16)三位“凹数”可分两类:一类是aba ,共有210C =45,另一类是abc ,a ≠c ,共有2310C =240,故共有45+240=285个(17)解:以X 表示一周5天内机器发生故障的天数,则X -B (5,0.2),于是X 有概率分布P (X =k )=C k 50.2k 0.85-k ,k =0,1,2,3,4,5.以Y 表示一周内所获利润,则Y =g (X )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-===3 22 0150 10X X X X 若若若若Y 的概率分布为:P (Y =10)=P (X =0)=0.85=0.328,P (Y =5)=P (X =1)=C 150.2·0.84=0.410 P (Y =0)=P (X =2)=C 25·0.22·0.83=0.205P (Y =-2)=P (X ≥3)=1-P (X =0)-P (X =1)-P (X =2)=0.057故一周内的期望利润为:EY =10×0.328+5×0.410+0×0.205-2×0.057=5.216(万元)(18)解:(Ⅰ)证明:∵CB ⊥面A 1B ,∴A 1C 在平面A 1B 上的射影为A 1B ,又∵A 1B ⊥AE ,∴A 1C ⊥AE , 同理A 1C ⊥AF ,又AE ∩AF =A ,∴A 1C ⊥面AEF ;法2:以A 为坐标原点,AB 为x 轴,AD 为y 轴,AA 1为z 轴建立直角坐标系,则B(3,0,0),A(0,0,3), 设E(3,0,y E )∵B A 1⊥AE ,而B A 1=(-3,0,3),AE =(3,0,y E ),∴B A 1AE ⋅=0, 即3-×3+0×0+3×y E =0,得y E =1,∴E(3,0,1),而C(3,3,0), ∴C A 1=(3,3,-3),∴C A 1AE ⋅=3×3+3×0+(-3)×1=0,∴C A 1⊥AE ⋅, 同理C A 1⊥AF ⋅,又AE ∩AF =A ,∴A 1C ⊥面AEF .(Ⅱ)A 1B ⊥AE ,AA 1⊥AB ,∴∠BA 1A =∠EAB .∴Rt △A 1AB ∽Rt △ABE ,∴AA AB AB EB 1=又∵AB =3,A 1A =3,∴EB =1,AE =13+=2, 同理DF =1,AF =2,∵EF ∥BD ,∴EF ∥面ABCD ,∴过A 作直线l ∥EF ,则l 为 面AEF 与面ABCD 的交线,过B 作BM ⊥l 于M ,连EM ,∵EB ∥面ABCD ,∴BM 是EM 在面ABCD 内的射影, ∴EM ⊥l , ∴∠EMB 是所求的二面角的平面角,AD 1 C 1B 1A 1 DCBF EBM =26,tan ∠EMB =261EMB =arctan 36法2:设截面AEF 与底面ABCD 所成的二面角为α,因为△ABD 为AEF 在底面ABCD 上的射影三角形,则cos α=AEFABDS S ∆∆,而S △ABD =23,S △AEF =215,所以cos α=515,α=arccos 515; 截面AEF 与底面ABCD 所成的二面角为θ,则cos θ=|cos α|=||AA ||C A ||1111=|19333⨯++-|=515,α=arccos 515. 法3:C A 1面AEF 的法向量,1AA 是面ABCD 的法向量,C A 1与1AA 的夹角为α, (Ⅲ)设点B 到面AEF 的距离为h ,由V B -EFA =V F -AEB =V D -AEB , 得31h·S △AEF =31DA·S △AEB , h =AEFAEB S S DA ∆∆⋅,由EF =6,得S △AEF =215,DA =3,S △AEB =233121=⋅⋅,∴h =215233⋅=515.(19)(1)21n a n =-,∴11111112211T b a ==+=+=⨯-, 21221182(1)2(1)2213T b b a =⋅=⋅+=+=⨯- 31233818116(1)(1)332315T b b b a =⋅⋅=⋅+=⋅+=⨯-(2)由(1)中可猜想得T n >1+n a ; 只须证明对于n ∈N ,111(11)(1)(1)(1)3521n ++++>-设n =1时,左=1+1=2,右=3,∈2>3,故原不等式成立; 假设n =k (k ≥1)时,原不等式成立,即12)1211()511)(311)(11(+>-++++k k , 当n =k +1时,不等式左边为11111(11)(1)(1)(1)[1])35212(1)121k k k +++++>+-+-+ 1)(22)2121k k k +=+++ 不等式的右边为32+k , 只须得出)22(1212+++k k k >32+k ,事实上2)22(1212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++k k k -()232+k =12)384(48422+++-++k k k k k =121+k >0, 故)22(1212+++k k k >32+k 成立,从而]1)1(211)[1211()511)(311)(11(-++-++++k k >32+k .即n =k +1时不等式也成立,∈对于n ∈N ,则有12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 成立.. (20)解:(∈)设C 到D 的距离为x km ,BD =40 AC=50-x∴又设总的水管费用为y 元,依题意有:3(50)5y a x =-+(050)x <<即15035y a ax =-+ (050)x <<为所求函数关系式(∈)15035y a ax =-+(050)x <<∴ '3y a =- 令'0,30y x ==得 在(0,50)上,y 只有一个极值点。

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