行列式计算及应用
行列式的计算及应用
1.行列式的定义及性质1
1.1行列式的定义1
1.1.1排列1
1.1.2定义1
1.2行列式的相关性质1
2.行列式的计算方法5
2.1几种特殊行列式的结果5
2.1.1三角行列式5
2.1.2对角行列式5
2.2定义法5
2.3利用行列式的性质计算5
2.4降阶法6
2.5归纳法7
2.6递推法8
2.7拆项法9
2.8用范德蒙德行列式计算10
2.9化三角形法10
2.10加边法11
2.11拉普拉斯定理的运用12
2.12行列式计算的Mat lab实验13
This paper first describes the basic theory of determinants, based on this study describes the reduction me什induction techniques and a certain common determinant of several methods of solution method, the method of the triangle, and cited relevant examples, more intuitive understanding of the essence of the solution determinant method・In addition, this paper describes the determinant in analytic geometry, algebra and other courses which further deepened the understanding of the determinants. Finally, they provide examples described determinant application in practice to achieve a theoretical and practical determinant combined・Research determinant calculation method and its application can improve the understanding of the determinant, is conducive to deepen什study of determinants. You can further enhance the understanding of the determinants through this series of methods, laid the foundation for future learning・
行列式的计算技巧及其应用毕业论文【范本模板】
本科生毕业论文(设计)题目: 行列式的计算技巧及应用学生姓名：谢芳学号: 201210010133专业班级：数学与应用数学12101班指导教师：颜亮完成时间： 2016 年 5 月目录摘要.。
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1 关键词.。
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1 0、前言。
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1 1、基础知识及预备引理.。
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2 1.1行列式的由来及定义。
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..2 1.2行列式的性质。
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3 1。
3拉普拉斯定理及范德蒙德行列式的定义....。
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4 2、行列式的计算方法。
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.4 2。
1定义法。
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..4 2.2利用行列式的性质（化三角型）计算.。
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5 2.3拆行(列）法...。
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6 2。
4加边法（升阶法）。
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.6 2。
5范德蒙德行列式的应用。
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.7 3、n阶行列式的计算。
行列式的计算方法及应用
行列式的计算方法及应用行列式是线性代数中一个重要的概念，它是一个正方形矩阵的特殊的函数，用于描述线性方程组的解的唯一性、可解性以及一些几何性质。
本文将介绍行列式的计算方法及其应用。
一、行列式的计算方法1.二阶行列式的计算方法对于一个二阶的矩阵A=[[a,b],[c,d]]，其行列式的计算方法为：det(A) = ad - bc。
2.三阶行列式的计算方法对于一个三阶的矩阵A=[[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]，其行列式的计算方法为：det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi。
3.一般的行列式计算方法对于一个n阶的矩阵A，其行列式的计算方法可以通过展开定理进行计算。
展开定理的思想是通过将行列式展开为更小规模的行列式的和来计算。
假设A为n阶矩阵，其元素为a[i][j]，行列式记为det(A)，则行列式的计算方法为：det(A) = a[1][1] * A[1][1] + (-1)^(1+2) * a[1][2] * A[1][2] + ... + (-1)^(1+n) * a[1][n] * A[1][n]其中，A[1][k]为将矩阵A的第1行和第k列删去后的(n-1)阶矩阵，det(A)为其中的行列式。
二、行列式的应用1.线性方程组的解的唯一性和可解性判断对于一个线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b 为常数向量。
若A的行列式不为0，则方程组有唯一解；若A的行列式为0，则方程组可能有无穷多个解或无解。
2.矩阵的可逆性判断一个矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是其行列式不为0。
可逆矩阵在数值计算和理论推导中有着重要的应用，例如求解线性方程组的解、求逆矩阵以及解线性变换等。
3.几何性质的判断行列式可以用来判断空间中向量的线性相关性和共面性。
对于一个n 维空间中的n个向量，若这些向量的行列式为0，则说明这些向量线性相关，存在一些向量可以由其他向量线性表示；若行列式不为0，则说明这些向量线性无关，对应n维空间中的一个n维平行体。
行列式计算与应用
行列式的计算方法方法1 化三角形法化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。
这是计算行列式的基本方法重要方法之一。
因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。
原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。
但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。
因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。
例1：浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题（重庆大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题）的解答中需要计算如下行列式的值：12312341345121221n n n n D n n n -=--[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。
注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n 列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。
然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。
解：11(2,,)(2,,)1111111111121111100031111201111100010000001000020011(1)20002000011(1)()2i in n i n r r i n r r n n n D n n n n n n nn n n n n n nn nn n n nn n n n ===+--=-----++----+=⋅-----+=⋅⋅-()(1)(2)12(1)12(1)(1)12n n n n n n n -----⋅-+=⋅⋅-[问题推广]例1中，显然是1,2，…，n-1,n 这n 个数在循环，那么如果是a 0,a 1,…,a n-2,a n-1这n 个无规律的数在循环，行列式该怎么计算呢？把这种行列式称为“循环行列式”。
行列式的几种计算方法7篇
行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。
下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。
一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。
以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。
但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。
二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。
行列式的计算方法及其应用
行列式的计算方法及其应用行列式是线性代数中一种非常重要的概念，出现在许多领域中，如数学、物理、工程等。
它是一个方阵中各个元素的代数和，具有非常重要的几何和代数特征，因此也是线性代数学习的基础之一。
一、行列式的定义设有n阶行列式，写成如下形式：$$\Delta_n = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\\vdots &\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &\cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$其中，$a_{ij}$代表矩阵中第i行第j列的元素。
行列式的定义是这样的：设$A$为$n$阶方阵，$a_{i,j}$是$A$的元素，那么行列式$\Delta(A)$定义为：$$\Delta(A) =\sum_{\sigma}{(-1)^\sigma\cdot{a_{1,{\sigma(1)}}}\cdot{a_{2,{\sigma(2)}}}\cdots{a_ {n,{\sigma(n)}}}}$$其中，$\sum_{\sigma}$代表对所有$n$个元素的所有排列求和，$\sigma$是一个排列，并且$\sigma(k)$表示k在$\sigma$中的位置。
二、行列式的计算方法计算行列式有三种方法：直接定义法、代数余子式法和高斯消元法。
直接定义法随着矩阵维度的增加，计算量呈指数级增长，因此较少使用。
代数余子式法和高斯消元法可以将计算行列式的时间复杂度降低到$O(n^3)$，被广泛应用于实际问题中。
1. 直接定义法直接定义法是按照定义计算行列式的方法。
行列式展开与应用例题和知识点总结
行列式展开与应用例题和知识点总结一、行列式的定义对于一个\（n\）阶方阵\（A ＝（a_{ij}）＼），其行列式\（｜A|＼）定义为：＼｜A| ＝＼sum_{＼sigma\in S_n}（－1)＾｛＼tau(＼sigma)｝a_{1\sigma(1)｝a_{2\sigma(2)｝＼cdots a_{n\sigma(n)｝＼其中\（S_n\）是\（n\）个元素的全排列集合，＼（＼tau(＼sigma)＼）是排列\（＼sigma\）的逆序数。
对于二阶行列式，有\（＼begin{vmatrix}a_{11} ＆ a_{12} ＼＼a_{21} ＆ a_{22}＼end{vmatrix} ＝ a_{11}a_{22} a_{12}a_{21}＼）对于三阶行列式，有\（＼begin{vmatrix}a_{11} ＆ a_{12} ＆ a_{13} ＼＼ a_{21} ＆ a_{22} ＆ a_{23} ＼＼ a_{31} ＆ a_{32} ＆ a_{33}＼end{vmatrix} ＝ a_{11}a_{22}a_{33} ＋ a_{12}a_{23}a_{31} ＋a_{13}a_{21}a_{32} a_{13}a_{22}a_{31} a_{12}a_{21}a_{33}a_{11}a_{23}a_{32}＼）二、行列式的性质1、行列式与它的转置行列式相等。
2、对换行列式的两行（列），行列式变号。
3、行列式中某行（列）的公因子可以提到行列式外面。
4、若行列式中有两行（列）元素成比例，则行列式为零。
5、若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则行列式可以拆分成两个行列式之和。
6、把行列式的某行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。
三、行列式的展开1、按行展开设\（A ＝（a_{ij}）＼）是\（n\）阶方阵，＼（A_{ij}＼）是\（a_{ij}＼）的代数余子式，则\（｜A| ＝ a_{i1}A_{i1} ＋ a_{i2}A_{i2} ＋＼cdots ＋ a_{in}A_{in}＼）（＼（i\）为任意行）2、按列展开类似地，＼（｜A| ＝ a_{1j}A_{1j} ＋ a_{2j}A_{2j} ＋＼cdots ＋a_{nj}A_{nj}＼）（＼（j\）为任意列）四、应用例题例 1：计算行列式\（＼begin{vmatrix}2 ＆－1 ＆ 3 ＼＼ 1 ＆ 2 ＆ 0＼＼ 4 ＆ 1 ＆ 5\end{vmatrix}＼）解：按照三阶行列式的展开公式计算：＼＼begin{align}＆＼begin{vmatrix}2 ＆－1 ＆ 3 ＼＼ 1 ＆ 2 ＆ 0 ＼＼ 4 ＆ 1 ＆5\end{vmatrix}＼＼＝＆2\times\begin{vmatrix}2 ＆ 0 ＼＼ 1 ＆ 5\end{vmatrix} （－1)＼times\begin{vmatrix}1 ＆ 0 ＼＼ 4 ＆ 5\end{vmatrix} ＋3\times\begin{vmatrix}1 ＆ 2 ＼＼ 4 ＆ 1\end{vmatrix}＼＼＝＆2\times(2\times5 0\times1) ＋ 1\times(1\times5 0\times4) ＋3\times(1\times1 2\times4)＼＼＝＆2\times10 ＋ 5 ＋ 3\times(－7)＼＼＝＆20 ＋ 5 21\＼＝＆4＼end{align}＼例 2：已知\（＼begin{vmatrix}1 ＆ 2 ＆ 3 ＼＼ 2 ＆ 3 ＆ x ＼＼ 3 ＆x ＆ 1\end{vmatrix} ＝ 0\），求\（x\）的值。
行列式四则运算
行列式四则运算行列式四则运算是指行列式之间的加法、减法、乘法和除法运算。
行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述线性方程组的性质和解的情况。
在实际应用中，行列式的四则运算常常用于求解方程组、计算矩阵的逆以及求解线性方程组的行列式条件等。
一、行列式的加法行列式的加法是指两个行列式相加的运算。
设A和B分别是两个n阶矩阵，记为|A|和|B|，则它们的和为|A+B|。
行列式的加法运算有以下性质：1. 加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A和(A+B)+C=A+(B+C)。
2. 行列式的和的行列数等于原来行列数的阶数。
二、行列式的减法行列式的减法是指两个行列式相减的运算。
设A和B分别是两个n阶矩阵，记为|A|和|B|，则它们的差为|A-B|。
行列式的减法运算有以下性质：1. 减法不满足交换律，即A-B≠B-A。
2. 行列式的差的行列数等于原来行列数的阶数。
三、行列式的乘法行列式的乘法是指两个行列式相乘的运算。
设A和B分别是两个n阶矩阵，记为|A|和|B|，则它们的乘积为|AB|。
行列式的乘法运算有以下性质：1. 乘法满足结合律，即(A*B)*C=A*(B*C)。
2. 行列式的乘积的行列数等于原来行列数的阶数。
四、行列式的除法行列式的除法是指两个行列式相除的运算。
设A和B分别是两个n阶矩阵，记为|A|和|B|，则它们的商为|A/B|。
行列式的除法运算可以转化为乘法运算：|A/B| = |A|/|B|以上是行列式的四则运算的基本概念和性质。
行列式的四则运算在实际应用中有广泛的应用，如矩阵的逆的计算、线性方程组的求解、矩阵的正交性判断等。
行列式的四则运算可以通过行列式的定义和行列式的性质进行推导和计算，理解行列式的四则运算对于理解线性代数的基本概念和解决实际问题具有重要意义。
最后，需要注意的是，在实际计算行列式的四则运算时，可以使用行列式的定义直接计算，也可以利用行列式的性质和运算规则进行化简和简化，以提高计算的效率和准确性。
行列式的计算方法及应用
行列式计算方法解析1.化三角形法此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表示为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式。
三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的N 阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号。
例1计算N 阶行列式ab bb a b b b aD n=解()[]abb a bb b n a Dn1111-+=()[]ba b a b b b n a ---+=0011()()11n a n b a b -=+-⎡⎤⎣⎦-2.利用递推关系法所谓利用递推关系法，就是先建立同类型n 阶与n-1阶（或更低阶）行列式之间的关系——递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值。
例2 计算n 阶行列式n ab b ca b ccaD =，其中0,≠≠bc c b解 将n D 的第一列视为（a-c ）+c,0+c,……,0+c,据行列式的性质，得0000n a c c b b a c b b c b b c a b a b c a b cca ca ccaD -+-+==++()()11n n n a c c a bD D --∴=-+- (1)由b 与c 的对称性，不难得到()()11n n n a b b a c D D --=-+- (2)联立（1），(2）解之，得()()()1n nn b c b c a c a b D -⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦---例3 计算n 阶行列式00010001000000n a b ab a b ab a b a b ab a bD +++=++解 将n D 按第一行展开，得()11000000001n n ab a b a b ab a bab a bD D -+=+-++于是得到一个递推关系式 ()12n n n a b ab D D D --=+-，变形得()112n n n n b a b D D D D ----=- ，易知()()2312334n n n n n n b b b D D D D DD aa------=-=-()()()22212n n n b ab b a b a b D D aaa --⎡⎤==-==⎢⎥⎣⎦--++所以 1nn n b D D a -=+，据此关系式再递推，有()11222nn n n n n n bb b ba aa a D D D ----=++=++1122111n n n n n n n n b b a a a a b b a a b b D -----==++++=++++如果我们将 n D 的第一列元素看作a+b,1+0,……0+0,按第一列拆成两个行列式的和，那么可直接得到递推关系式1nn n b D D a -=+，同样可n D 的值。
行列式的计算方法与其在线性方程组的简单应用
本科生毕业论文题 目： 行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用姓 名： 学 号： 系 别：年 级: 专 业：摘 要《高等代数》是数学专业学生的一门必修基础课程。
行列式的计算是高等代数中的重点、难点，特别是n 阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。
计算n 阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。
当看到一个貌似非常复杂的n 阶行列式时，仔细观察，会发现其实它们的元素在行或列的排列方式上都有某些规律。
掌握住这些规律，选择合适的计算方法，能使我们在极短的时间内达到事半功倍的效果！本文首先介绍n阶行列式的定义、性质，再归纳总结行列式的各种计算方法、技巧及其在线性方程组中的初步应用。
行列式是线性方程组理论的一个组成部分，是中学数学有关内容的提高和推广。
它不仅是解线性方程组的重要工具，而且在其它一些学科分支中也有广泛的应用。
关键词：n阶行列式计算方法归纳线性方程组ABST RACTAlgebra is a courses of mathematics specialized compulsory of the basic mathematic. The determinant's calculation is the most difficulty in higher algebra, especially, the n order determinant's calculation, alway is student's difficulty in the learning process, so ,it is difficult to master for ours . There are a lot of calculations ofn order determinant in method , but when we say a problem of the calculation of n order determinant, according to its characteristics, selecting the appropriate method to solving is a very good idea. When you see a seemingly so complex n order determinant, we should observe them carefully,and we will find that their elements are arranged in rows or columns have some regularity. Grasping of these laws, finding a appropriate calculation method,it can help us to achieve a multiplier effect in a very short time! This paper mainly introduces the definition of n order determinant, nature, and calculation methods, the skills of calculation of n order determinant and application in linear equation group. Determinant is an important theory in linear equations and it is an indispensable part of linear equations, determinant is also the middle school mathematics' content raise and promotion. It is not only the solution of linear equations of the important tool, but also in some other branch has a wide range of applications.Key words: n order determinant calculation method induce linear equations目录引言 (1)1 n阶行列式的定义 (3)2 n阶行列式的性质 (3)3 计算n阶行列式的具体方法与技巧 (4)3.1 利用行列式定义直接计算 (4)3.2 利用行列式的性质计算 (5)3.3 化为三角形行列式 (6)3.4 降阶法 (7)3.5 逆推公式法 (8)3.6 利用范德蒙德行列式 (9)3.7 加边法（升阶法） (9)3.8 数学归纳法 (10)3.9 拆开法 (11)4 行列式在线性方程组中的初步应用 (11)4.1 克拉默（Gramer）法则 (12)4.2 克拉默（Gramer）法则的应用 (12)4.2.1 用克拉默（Gramer）法则解线性方程组 (13)4.2.2 克拉默法则及其推论在几何上的应用 (14)结论 (16)参考文献 (17)致谢 (18)引 言解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学中所学的代数中，解方程占有重要的地位.因此这个问题是读者所熟悉的.比如说，如果我们知道了一段导线的电阻r ，它的两端的电位差v ，那么通过这段导线的电流强度i ，就可以有关系式v ir =求出来.这就是所谓解一元一次方程的问题.在中学所学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组.线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容. 对于二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22222211212111b x a x a bx a x a ，当021122211≠-a a a a 时，次方程组有惟一解，即 211222112122211a a a a b a a b x --=， 211222111122112a a a a ba b a x --=.我们称21122211a a a a -为二级行列式，用符号表示为 21122211a a a a -=22211211a a a a于是上述解可以用二级行列式叙述为：当二级行列式 22211211a a a a 0≠时，该方程组有惟一解，即.,222112112211112222112112221211a a a a ba b a x a a a a a b a b x ==对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.,,333323213123232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a称代数式312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++为三级行列式，用符号表示为：312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=333231232221131211a a a a a a a a a .我们有：当三级行列式=d 333231232221131211a a a a a a a a a 0≠时，上述三元线性方程组有惟一解，解为 d d x 11=，d dx 22=，d d x 33= 其中3332323222131211a a b a a b a a b d = ，3333123221131112a b a a b a a b a d =，3323122*********b a a b a a b a a d =在本论文中我们将把这个结果推广到n 元线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111的情形.为此，我们首先要给出n 阶行列式的定义并讨论它的性质，这就是本论文的主要内容.1 n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n nna a a a a a a a a (212222111211)等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积n nj j j a a a ...2121（1）的代数和，这里j 1j 2…j n 是1,2,…,n 的一个排列，每一项（5）都按下列规则带有符号：当j 1j 2…j n 是偶排列时，（1）带正号，当j 1j 2…j n 是奇排列时，（1）带有负号.这一定义可以写成nnn n nna a a a a a a a a ..................212222111211=∑Γ-nnn j j j nj j j j j j a a a ...21)...(212121...)1(这里∑nj j j ...21表示对所有阶排列求和.定义表明，为了计算n 阶行列式，首先作所有有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积。
行列式的求解方法
行列式的求解方法行列式是矩阵所具备的的一个重要的数学性质，它可以为我们解决很多的线性代数问题。
在数学和工程的应用中，行列式常常应用于解决线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、线性变换、矩阵的可逆性等问题上。
本文将对行列式的定义、基本性质、计算方法以及相关的应用等方面进行详细的讲解。
一、行列式的定义行列式是由数学家Cramer所发明的。
行列式又叫矩阵行列式，是由一个n*n的方阵中所计算出来的一个标量值。
对于二阶方阵$\bold A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$，其行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$对于更高阶的n阶矩阵，则可以采用逐步消元的方法来进行求解。
对于一般的n*n阶矩阵A的行列式，我们可以采用下面的定义进行计算：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{vmatrix}=\sum_{i_1,i_2,\cdots,i_n} (-1)^{N(i_1,i_2,\cdots,i_n)}a_{1i_1}a_{2i_2}\cdots a_{ni_n} $$其中，$N(i_1,i_2,\cdots,i_n)$表示将$i_1,i_2,\cdots,i_n$从小到大排列时所需的逆序对个数，$a_{1i_1}a_{2i_2}\cdotsa_{ni_n}$为行列式的元素积。
线代论文之论行列式的计算方法及在生活中的实际应用
论行列式的计算方法及在生活中的实际应用10数字印刷一班孙晓康100220131 行列式是线性代数中的一个基本工具。
无论是高等数学领域里的高深理论，还是现实生活里的实际问题，都或多或少的与行列式有着直接或间接的联系。
行列式的计算具有一定的规律性和技巧性。
针对各种行列式的结构特点归纳了行列式计算的常用计算方法，并以实例加以说明。
行列式的计算是学习高等代数的基石,它是求解线性方程组,求逆矩阵及求矩阵特征值的基础,但行列式的计算方法很多,综合性较强,在行列式计算中需要我们多观察总结,便于能熟练的计算行列式的值。
目前我们常用的计算行列式的方法有对角线法则，化为三角形行列式,拆分法,降阶法，升阶法，待定系数法和数学归纳法，乘积法，加边法。
1.对角线法则此法则适用于计算低阶行列式的值（如2阶，3阶行列式的值），即主对角线的元素的乘积减去辅或次对角线上的元素的乘积，其主要思想是根据2阶，3阶行列式的定义计算行列式的值。
2.化为三角行行列式利用行列式的性质，把行列式化为上（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的结论，可得到相应行列式的值3.拆分法把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再利用行列式性质将原行列式写成二个行列式的和,使问题简化以利于计算。
4.降阶法(包括递推降阶法和依据定理展开)(1) 递推降阶法：递推法可分为直接递推和间接递推。
用直接递推法计算行列式的关键是找出一个关于的代数式来表示，依次从逐级递推便可以求出的值；间接递推的做法是，变换原行列式以构造出关于和的方程组，消去就可以解得。
(2) 依据定理展开法：依据行列式展开定理，可以把所给行列式展开成若干个低一阶的行列式的和。
如果能把行列式变形，使其某一行（列）的元素只有一个不为零，那么这个行列式就可以变形为一个低一阶的行列式来计算。
5.升阶法在计算行列式时. 我们往往先利用行列式的性质变换给定的行列式，再利用展开定理使之降阶，从而使问题得到简化。
行列式的计算及应用开题报告
行列式的计算与应用一、阐述内容：高等教育中行列式经常被应用于科学和工程计算中，如涉及到的电子工程、控制论、数学物理方程及数学研究等，都离不开行列式．同时在数学专业中行列式的计算是研究高等代数的一个较为重要的工具。
同时行列式的计算方法非常的多，在实际的计算过程中不同的方法往往适合于不同特征的行列式，对于一个初学者来说选取一个较为适合的方法比较困难。
除此之外行列式在微分中值定理，线性方程组，多项式理论，解析几何，以及初等数学中也有着广泛的应用．因此具有非常重要的研究价值．本文主要从行列式的的定义和性质入手，以具体实例为依据，对行列式的各种计算方法如定义法、化三角形法、拆行（列）法、降阶法、升阶法（加边法）进行总结、归纳和比较，得出怎样特征的行列式最适合怎样的方法来，以达到最简单的计算。
在行列式的计算过程中，这其中的的每一种方法都有它们各自的优点及其独特之处，另外，理论用于实践，对这些计算方法实际在解线性方程组、初等代数、解析几何等方面的应用进行探讨二、全文分四个部分，对每一个部分细节写作。
一引言，包括行列式计算及应用的背景、意义。
二行列式的计算包括行列式各种计算方法的解析及例题分析。
三行列式的应用包括行列式在微分中值定理、求解线性方程组、多项式理论、解析几何、初等数学中相关应用三、小组提问：问：选这个题目的目的？答：我们在高等代数这门课中学习了行列式的计算，在学习过程中我发现行列式有很多计算方法而且在实际计算过程中不同的方法往往适合于不同特征的行列式，因此我选择这个题目问：你打算怎样完成这个选题？答：首先对我们学习中最常用到的七种方法进行总结归纳，然后有针对性的去参阅有关行列式计算的文献资料，加深知识理解；在阅读大量的期刊文章，整理资料；最后进行总结归纳与探究分析，确定写这篇论文的主要目的和意义，在指导老师的指导下进行初步的论文写作。
问：本论文的创新点在哪？答：本论文的创新之处在于：利用行列式的性质由浅入深的研究，先是熟悉行列式最基本的性质和相关联的基础知识，通过这些性质可以加深延拓开发出其他的技巧，采用实例分析加深对知识的理解和应用。
行列式的计算方法和解析论文
行列式的计算方法和解析论文行列式是线性代数中重要的概念，其在矩阵理论、向量空间等方面有广泛的应用。
行列式的计算方法包括拉普拉斯展开、按行（列）展开、递推法等。
行列式的计算方法在不同的场景下有不同的适用性，下面将详细介绍行列式的计算方法及其应用，并从一篇经典的解析论文中探讨行列式在数学研究中的作用。
一、行列式的计算方法1.拉普拉斯展开法：拉普拉斯展开法是求行列式的一种常用的计算方法。
假设A是一个n阶方阵，其中元素用a_ij表示，对于任意一个a_ij，可以通过展开该元素所在的行和列的其他元素来计算行列式的值。
拉普拉斯展开法的基本原理是递归地求解子行列式的值，直到得到一个1阶行列式。
例如，对于一个3阶行列式A=，a_11a_12a_13a_21a_22a_2a_31a_32a_3可以通过拉普拉斯展开法按第一行展开来计算行列式的值：A，=a_11*，A_11，-a_12*，A_12，+a_13*，A_1=a_11*(a_22*a_33-a_23*a_32)-a_12*(a_21*a_33-a_23*a_31)+a_13*(a_21*a_32-a_22*a_31)其中，A_11，表示去掉第一行第一列元素的2阶子行列式，以此类推。
2.按行（列）展开法：按行（列）展开法是求行列式的另一种计算方法。
通过选择其中一行（列），将行列式扩展为若干个较小阶的子行列式，最终递归地计算行列式的值。
按行展开和按列展开所得到的计算表达式相同，只是展开的方式不同而已。
例如，对于一个3阶行列式A=，a_11a_12a_13a_21a_22a_2a_31a_32a_3可以通过按第一行展开来计算行列式的值：A，=a_11*，A_11，-a_12*，A_12，+a_13*，A_1=a_11*(-1)^(1+1)*(a_22*a_33-a_23*a_32)-a_12*(-1)^(1+2)*(a_21*a_33-a_23*a_31)+a_13*(-1)^(1+3)*(a_21*a_32-a_22*a_31)其中，(-1)^(i+j)是代数余子式。
行列式的计算及应用
行列式的计算及应用摘要 ...................................................................................................... 错误!未定义书签。
Abstract ................................................................................................... 错误!未定义书签。
前言 .. (2)第1章行列式的基本理论 (3)第1节行列式的定义 (3)第2节行列式计算的相关性质 (4)第2章行列式的计算方法 .................................................................... 错误!未定义书签。
第1节化三角形法 ............................................................................ 错误!未定义书签。
第2节按某一行(列)展开法.............................................................. 错误!未定义书签。
第3节递推法 .................................................................................... 错误!未定义书签。
第4节升降法 .................................................................................... 错误!未定义书签。
第5节提取因子法 ............................................................................ 错误!未定义书签。
行列式性质详解及应用
行列式性质详解及应用行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述矩阵的性质和解决线性方程组的问题。
本文将详细解析行列式的性质以及其在数学和实际问题中的应用。
一、行列式的定义与基本性质行列式是一个方阵所对应的一个数值，它由矩阵中的元素按照一定的规则组合而成。
设A为n阶矩阵，A的行列式记作|A|或det(A)。
根据定义，当n=1时，矩阵A的行列式即为该矩阵的唯一元素；当n>1时，A的行列式由以下公式计算：|A| = a11·A11 + a12·A12 + … + a1n·A1n其中，a11为A的元素，A11是删去第1行第1列后的(n-1)阶子矩阵的行列式。
行列式具有以下基本性质：1. 行列式与转置矩阵：若A与A'是同阶矩阵，则|A'| = |A|2. 行列式与元素交换：若把方阵A的两列(两行)互换，行列式的值变号，即|A| = -|A'|3. 行列式的奇偶性：方阵A的行列式是其元素的排列的一个定义。
若有奇数对元素互换位置，行列式的值为负数；若有偶数对元素互换位置，行列式的值为正数。
二、行列式的求解方法1. 拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是求解行列式的一种常用方法。
该方法通过选取某一行或某一列，构造与之对应的代数余子式，然后利用代数余子式的性质进行递归计算。
2. 三角矩阵法三角矩阵法是一种简化行列式计算的方法。
通过进行初等行变换，将矩阵化为上三角矩阵或下三角矩阵，然后计算对角线上元素的乘积即可。
三、行列式的性质及应用行列式除了在数学理论中的应用外，还广泛地应用于各个领域，包括物理、经济、计算机科学等。
1. 线性方程组的解行列式可以用于求解线性方程组的解。
对于n个未知数、n个线性方程的齐次线性方程组，当系数矩阵的行列式不为零时，方程组有唯一解；当行列式为零时，方程组有无穷多解或者无解。
2. 矩阵的可逆性对于n阶方阵A，当行列式|A|不等于零时，矩阵A可逆，即存在逆矩阵A-1，使得A·A-1 = A-1·A = I；当|A|等于零时，矩阵A不可逆。
一类行列式的计算及应用
一类行列式的计算及应用行列式是数学中常见的术语，既它的定义又其应用场景非常广泛，它主要适用于表示和解决线性方程组、矩阵、运算及几何变换等问题。
什么是行列式？行列式是一种由n个未知数组成的矩阵形式的数学表达式，使用符号|A|表示，其中A是n×n矩阵。
它由n行n列的数字或变量组成，且每一行或列给定一个数字或变量。
行列式计算：行列式分解为元素乘积：|A| = a11a22...ann |A| = a11 ∙ a22 ∙ ... ∙ ann行列式计算的基本原理是分解行列式为元素乘积，即将行列式拆分成若干元素乘积的形式，然后进行乘法计算。
例如，当行列式为| A | =\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{pmatrix}时，则可写成| A | = a_{11} \cdot a_{22} \cdot \cdots \cdot a_{nn}行列式的应用：1、解线性方程组：利用Cramer公式可以根据行列式计算线性方程组的解。
2、求解投影：行列式可以用来计算投影的实际长度，也可以求出在投影之间的夹角。
3、矩阵运算：行列式可以用来计算矩阵乘积、矩阵转置以及其他矩阵运算。
4、几何变换：行列式可以用来计算几何变换的表示，例如平移、缩放和旋转等。
5、求多边形的面积：可以利用行列式的特性来直接计算多边形的面积，而不需要求多边形的内部角度就可以求出一个准确的面积值。
6、求解边界和平面上的距离：行列式可以用来计算两个平面之间的距离，也可以用来计算边界上点到平面的距离。
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行列式的计算及应用
毕晟 100220120 数字印刷一班
【摘要】通过了一年的线性代数学习，行列式是学习的重点，因而我对行列式的计算和应用进行总结性的说明，并借此对行列式进行复习。
【关键字】行列式
引言：行列式在本册书中极为重要，并且与其他的章节知识点比如矩阵求逆、向量组、方程等有紧密的联系,所以学好行列式是很重要的，通过这次论文，也可以对期末考试中的行列式问题进行必要的复习。
一． 行列式的计算
1. 定义法
根据定义公式解行列式。
例如：
二阶行列式中
2
521 = 85221-=⨯-⨯ 三阶行列式中
4
213212
51=215644158531132221221135421=---++=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
2.化成三角形行列式法
例求D ＝3 1 1 1的值
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
解D ＝3 1 1 1＝6 1 1 1
1 3 1 1 6 3 1 1
1 1 3 1 6 1 3 1
1 1 1 3 6 1 1 3
=1 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3
=1 1 1 1=48
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
3. 分解行列法
若行列式的某行（列）是两行（列）的和，则可将行列
式分解成两个行列式的和．
4.分离线性因子法
此法是把行列式看成含于其中的一个或一些字母的多项式，变换
它，若发现：它可被一些线性因子所整除，如果这些因子互素，它也可被 这些因子的积所整除，然后将行列式个别项与线性因子积的项比较，求 用这乘积除行列式的商，从而求得行列式的表达式。
5. 递推关系式法
此法是变换已知行列式，并按行或按列把它展开成较低阶的同类型 的行列式的表示式。
所得到的等式为递推关系式。
在递推关系是右端出 现几个低阶的行列式，然后就按行列式的一般形式计算几个低阶的行列 式。
更高阶的行列式逐次由递推关系式算出，在表达n 阶行列式的递推 关系中，把在递推关系式中的n-1 换n 所得到的关于n-1 阶行列式的表 达式代入；其次，把n-2 阶行列式的类似表达式代入，依此类推，直到所 求n 阶行列式的一般表达式为止，递推关系式法是所研究的方法中最常 用的方法，它适用与较复杂的行列式。
6.拆分法
可以将行列式化简后，拆分为余子式进行计算。
但计算量较大。
二． 行列式的应用
2.1 应用行列式解线性方程组（主要应用克莱姆法则，这里要注意应
用的条件）
2.2 雅可比行列式在隐函数组中的应用
2．3 非奇异矩阵的判别
2．4 计算矩阵的秩。
求行列式的值
下面就我们学过的2.1和2.4进行解释说明：
用行列式解方程分为线性齐次方程和线性非齐次方程
例如2.1： 5
26421
43321321321=++=++=++x x x x x x x x x
于是可以用行列式表示：
D=111642143 2156421411=D 1516221132=D 5
112421
433=D
所以 D D x 11= D D x 22= D
D x 33=
2.4 A=0
141114
21
我们将其化简为最简阶梯型的行列式如：0
002102
01
则 R （A ）=2
三． 总结
行列式在线性代数中很重要，而它的应用也很广泛，对此，我们深入学习，就可以开拓思维、拓宽视野。
参考文献
【1】同济版高等数学4
【2】韩宝燕行列式计算方法和应用。