中国古代数学

中国古代数学

先秦时期——中国古代数学的萌芽

摘要：我国数学发展史源远流长，到了先秦时期已经有了数学萌芽，但是其发展形势与西方数学相比有着迥然不同的发展过程．我国最早的记数形势是结绳记数，因当时没有文字的形成、统一，所以人们便用最直观的表现形式来传达各种意思．还有十进位制的应用也是非常有意义的．在别的国家民族还未形成这种意识的时候，我国先辈们便形成了这种记数法．当时这种先进的记数法是别的民族所不能比拟的．而且在当时的数学家们也知道了如何通过精湛的几何作图来解决现实生活问题，很多名流大家在这方面对数学的发展有着很大贡献．

中国是世界著名的文明古国，和古巴比伦、埃及和印度一样，她也是人类文化的发源地之一．数学作为中国文化的重要组成部分，她的起源可以追溯到遥远的古代．根据古籍记载、考古发现以及其他文字资料推测，至少在公元前3000年左右，在中华古老的土地上就有了数学的萌芽．数学是中国古代最为发达的学科之一，通常成为“算术”即“算术之术”．所研究的内容大体上是今天数学教科书中的内容，如算术、代数、几何、三角等方面的内容．后来，算术又成为算学、算法．宋元时期开始使用“数学”一词．此后算学、数学两次并用．与世界上其他民族的数学相比，中国数学源远流长，成就卓著．

下面我们了解一下先秦时期的中国古代数学的发展史：

第一部分：结绳记事

中国古代记数方法的起源是很早的．据《易•系辞传》称：:“上古结绳而治，后世易之为书契”．《九家易》也说：“古者无文字，其为约誓之事，事大大其绳，事小小其绳．结之多少随物众寡，各执以相考，亦足以相治也．”中国古代最早的记数方法是结绳．所谓结绳记数，就是在一根绳子上打结来表示事物的多少．比如今天猎到五头羊，就以在绳子上打五个结来表示；约定三天后再见面，就在绳子上打三个结，过一天解一个结；等等，结可以打得大一些，也可以打得小一点，大的结表示大事，小的结表示小事．这种记数方法在没有掌握文字的民族中曾经被广泛地采用，有些少数民族在很晚的时候仍然是这样．比如鞑靼族在宋代时仍没有掌握文字，每当战争要调动军马时，就在草上打结，然后派人火速传达，有多少结就表示要调多少军马．比结绳记数稍晚一些，古代的人民又发明了契刻记数的方法，即在骨片、木片或竹片上用刀刻上口子，以此来表示数目的多少．

在中国历史上，结绳记数和契刻记数的方法大约使用了几千年时间，到新石器时代的晚期，才逐渐地被数字符号和文字记数所代替．最晚到商朝时，我国古代已经有了比较完备的文字系统，同时也有了比较完备的文字记数系统．那时甲骨文已发展成熟，据对河南安阳发掘的殷墟甲骨文的考古证明，中国当时已采用了“十进位值制记数法”．在商代的甲骨文中，已经有了一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万这１３个记数单字，而有了这１３个记数单字，就可以记录十万以内的任何自然数了．

有这么一句话“如果没有这种十进位制，就几乎不可能出现我们现在这个世界了．”

而这一点又正是同时代的古埃及和古巴比伦数学所不及得．这也正说明了中国古代数学很多部分是先于其他国家的发展形成的．除了整数以外，中国古代对分数概念的认识也比较早，分数的概念及其应用，在《管子》、《墨子》、《商君书》、《考工记》等春秋战国时代的书籍中都有明确的记载．到春秋战国时代，算术四则运算已经成熟．据汉时燕人韩婴所撰的《韩诗外传》介绍，标志着乘除法运算法则的“九九歌”在春秋时代已相当普及．《吕氏春秋》还载有这样的一则故事：在春秋时代的齐国，齐桓公执政的时候，有一个熟背“九九歌”的人，向齐桓公毛遂自荐，齐桓公问他：“难道仅仅因为你精通九九之术，我便要重用你吗？”

这个人答道：“如果君王对我这样一个仅会九九歌的人都能礼遇重用，还怕真正有才能的人不来为君主效力吗？”这则故事可以告诉我们当时九九之术在民间何等普及．

算筹是中国古代的计算工具，筹即小竹棍或小木棍，也有骨制的．从出土的汉代算筹可以知道，由于那时没有纸张，古代数学家就用它们摆成不同行列进行计算．用算筹进行的计算就叫筹算．筹算在中国起源甚古，人们认为，公元前五世纪是算筹普遍使用的一个下限．《汉书·律历志》载：“其算法用竹，径一分，长六寸，二百七十一枚而成六觚，为一握．”可见西汉算筹长为13厘米，直径0.23厘米的圆柱形，与出土实物相符．《隋书·律历志》则说：“其算用竹，广二分，长三寸”，这说明算筹随时代的不同在变短变小，以利于使用方便．1954年长沙一战国楚墓中出土文物中有竹算筹；1971年陕西千阳县西汉墓中第一次出土了骨制算筹，其形状长短与文献记载基本一致．中国古代数学中用算筹来记数、列式并用来进行多种数学运算．用算筹记数的规则，最早载于《孙子算经》．从春秋战国时期一直到元代末年，算筹在我国沿用了两千多年，用算筹表示数有纵横两种摆法．其记数法则是“一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当．”（《孙子算经》）．就是说，在记数时，从右到左，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，如此纵横相间，就不会错位，空位时空一格表示之（后来用圆圈○表示零），采用的是典型的十进位值制记数法．

利用算筹不仅能进行数（整数和分数）的四则及开方运算，还能利用算筹的布列（筹式）来表示许多复杂的内容，如不同位置表示不同的未知数，未知数的不同次数，并能为一些独特的问题设计专门的筹式，如约分法、双设法、一次同余式解法等．

算筹记数法简明方便，易于掌握，它在我国使用了二千多年，一直到15世纪中叶，才逐步被算盘取代．它是当时世界上最先进的记数与计算方法．中国古代数学正是在筹算基础上发展起来的．筹算是我国古代数学的一大特点，又是了解我国古代数学的一把金钥匙．中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．把它与世界其他古老民族的记数法作一比较，其优越性是显而易见的．古罗马的数字系统没有位值制，只有七个基本符号，如要记稍大一点的数目就相当繁难．古美洲玛雅人虽然懂得位值制，但用的是20进位；古巴比

伦人也知道位值制，但用的是60进位．20进位至少需要19个数码，60进位则需要59个数码，这就使记数和运算变得十分繁复，远不如只用9个数码便可表示任意自然数的十进位制来得简捷方便．

第二部分：规矩的使用

规矩是中国传统的几何工具．至于他们的用途，《周礼》、《荀子》、《淮南子》、《庄子》等古籍都有明确的记载：“圆者中规，方者中矩”(即循规为圆，依矩为方)说明他们分别用于圆与方的问题．他们的起源也是很早的，据《史记》记载，夏禹在治水时就“左准绳，右规矩，载四时，以开九州，通九道”．甚至在汉武梁祠中还有“伏羲手执矩，女娲手执规”的浮雕像．将这两种工具的最早使用归功于传说的伏羲与女娲．规与矩的使用，对于后来几何学的产生和发展有着重要的意义，中国传统几何学大部分内容都是围绕圆与勾股形展开的，这与古代中国人擅长使用规与矩的关系是十分密切的．

除了那些出土的陶器等给我们展示了那个时代各种精美的几何图形外，更令我们感兴趣的是战国时期的诸子百家，和古希腊的数学学派一样，他们的著作包含了理论数学的萌芽，其中最为杰出的是“墨家”和“名家”．

墨家的代表著作《墨经》记载了许多几何概念，如

“平，同高也”（即两条直线或两个平面间得距离处处相等称为平行）；

“中，同长也”（即直线段的中点至两端点的距离相等，或圆的圆心（球的中心）到圆周（球表面）的距离相等）；

“圆，一中同长也”（即圆或球，皆有一个中心，即圆心或球心，圆周或球表面上任一点到中心的距离相等）；

这些都是中国古代学者试图用形式逻辑的方法定义几何概念的明证．名家以能言善辩著称，对无穷的概念也有着深刻得认识．据《庄子》记载，名家的代表人物惠施曾提出：

“至大无外谓之大一，至小无外谓之小一”．

这里的“大一”、“小一”有无穷大和无穷小的意思，“大一”是说整个空间大到无所不包，不再有外部；“小一”是说物质最小的单位，小到不可再分割，不再有内部．这个时期，他们已晓得了物质是由粒子构成的．此外，《庄子》中还