整合提升密码(38)

专训1.证垂直在解题中的应用

名师点金：

证垂直的方法：(1)在同一平面内，垂直于两条平行线中的一条直线；(2)等腰三角形中“三线合一”；(3)勾股定理的逆定理：在几何中，我们常常通过证垂直，再利用垂直的性质来解各相关问题．

利用三边的数量关系说明直角

1．如图，在△中，点D为边上一点，且＝10，＝6，＝8，＝17，求的长．

(第1题)

利用转化为三角形法构造直角三角形

2．如图，在四边形中，∠B＝90°，＝2，＝，＝5，＝4，求S四边形.

(第2题)

利用倍长中线法构造直角三角形

3．如图，在△中，D为边的中点，＝5，＝6，＝13，求证：⊥.

(第3题)

利用化分散为集中法构造直角三角形

4．在△中，＝，∠＝α，点P为△内一点，将绕点C顺时针旋转α得到，连接.

(1)如图①，当α＝60°，＝10，＝6，＝8时，求∠的度数；

(2)如图②，当α＝90°时，＝3，＝1，＝2时，求∠的度数．

(第4题)

利用“三线合一”法构造直角三角形

5．如图①，在△中，＝，∠＝90°，D为的中点，M，N分别为，上的点，且⊥.

(1)求证：＋＝；

(2)如图②，若M，N分别在，的延长线上，探究，，之间的数量关系．

(第5题)

专训2.全章热门考点整合应用

名师点金：

本章主要学习了勾股定理、勾股定理的逆定理及其应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系．它把直角三角形的“形”的特点转化为三边长的“数”的关系，是数形结合的典范，是直角三角形的重要性质之一，也是今后学习直角三角形的依据之一．本章的考点可概括为：两个定理，两个应用．

两个定理

勾股定理

1．如图，在△中，∠C＝90°，点D是上一点，＝.若＝8，＝5，求的长．

(第1题)

勾股定理的逆定理

2．在△中，＝a，＝b，＝c，设c为最长边．当a2＋b2＝c2时，△是直角三

角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，可以判断△的形状(按角分类)．

(1)请你通过画图探究并判断：当△三边长分别为6，8，9时，△为三角形

；当△三边长分别为6，8，11时，△为三角形．

(2)小明同学根据上述探究，有下面的猜想：

“当a2＋b2>c2时，△为锐角三角形；当a2＋b2

两个应用

勾股定理的应用

3．如图，在公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处爆破．已知C与公路上的停靠站A的距离为300 m，与公路上的另一停靠站B的距离为400 m，且⊥.为了安全起见，爆破点C周围半径250 m范围内(包括250 m)不得有人进入．问：在进行爆破时，公路段是否有危险？需要暂时封锁吗？

(第3题)

勾股定理逆定理的应用

4．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙

两艘巡逻艇立即从相距5 n 的A，B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行40 n，乙巡逻艇每小时航行30 n，航向为北偏西37°，问：甲巡逻艇的航向？

(第4题)

答案

1．解：∵2＋2＝100＝2，

∴△为直角三角形，且∠＝90°.

在△中，2＋2＝2，

∴＝＝＝15.

2．解：连接.在△中，2＋2＝2，

∴＝3，∴2＋2＝2.

∴△为直角三角形，且∠＝90°，

∴S四边形＝×2×＋×3×4＝6＋.

(第3题)

3．证明：如图，延长至点E，使＝，连接，.

∵D为的中点，

∴＝.

又∵＝，∠＝∠，

∴△≌△，

∴＝＝13.

在△中，＝2＝12，

∴2＋2＝122＋52＝169.

又∵2＝132＝169，∴2＋2＝2，

∴△是直角三角形，且∠＝90°，即⊥.

点拨：本题运用倍长中线法构造全等三角形证明线段相等，再利用勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形，从而说明两条线段垂直．

4．解：(1)如图①，连接，易知△为等边三角形，易证得△≌△，∴∠＝∠，∠＝60°，＝6，＝8，∴2＋2＝2，∴∠＝90°，∴∠＝150°，

∴∠＝150°.

(第4题)

(2)如图②，连接，易得△为等腰直角三角形，易证得△≌△，∴∠＝∠，∠＝45°，＝1，＝＝2 ，

∴2＋2＝2，∴∠＝90°，∴∠＝135°，

∴∠＝135°.

5．(1)证明：如图①，连接，∵⊥，

∴∠＋∠＝90°.

∵∠＝90°，＝，D为的中点，∴⊥，∠＝∠＝45°，∴∠＋∠＝90°.∴∠＝∠.

∵⊥，∠＝45°，

∴＝.在△和△中，

∵∠＝∠，∠＝∠，＝，

∴△≌△，∴＝.∴＋＝＋＝.

在△中，∠B＝45°，∠＝90°，∴＝.∴＋＝.

(2)解：－＝，如图②，连接，证法同(1)．

1．解：设＝x，在△中，有2＋(＋)2＝2，

整理，得2＝2－(＋)2＝64－(x＋5)2.①

在△中，有2＋2＝2，

整理，得2＝2－2＝25－x2.②

由①②两式，得64－(x＋5)2＝25－x2，解得x＝1.4，即的长是1.4.

点拨：勾股定理反映了直角三角形三边长之间的数量关系，利用勾股定理列方程思路清晰、直观易懂．

2．解：(1)锐角；钝角

(2)a2＋b2＝22＋42＝20，∵c为最长边，2＋4＝6，∴4≤c<6.

①由a2＋b2>c2，得c2<20，0

②由a2＋b2＝c2，得c2＝20，c＝2 ，∴当c＝2 时，这个三角形是直角三角形；

③由a2＋b220，c>2 ，∴当2

3．解：如图，过点C作⊥于点D.在△中，因为2＋2＝2，＝400 m，＝300 m，

所以2＝4002＋3002＝5002，所以＝500 m.

(第3题)

＝·＝·，

因为

△

所以500×＝400×300，所以＝240 m.

因为240<250，所以公路段有危险，需要暂时封锁．

4．解：＝40×0.1＝4(n )，＝30×0.1＝3(n )．