等积变形习题
等积变形专项练习
等积变形专项练习
1.在一个底面积是31.4平方厘米的长方体玻璃容器中，有一个底面半径是1厘米的圆锥形铝块完全浸在水中，当从水中取出铝块时，容器的水面下降了0.2厘米。
这个圆锥形铝块高多少厘米？
2.用半径10cm高7cm的圆柱形泥巴揉成半径一样大的圆锥形，圆锥的高是多少厘米呢？
3.一个圆柱形的水桶，内部的底面半径是20厘米，高是45厘米，里面盛有30厘米深的水。
将一个底面半径是15厘米的圆锥形铁块完全沉进水里，水不溢出，水面上升了3厘米，圆锥形铁块的高是多少？
4.有一段钢可做一个底面直径8厘米，高9厘米的圆柱形零件。
如果把它改制成高是12厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？
5.一个圆柱形容器的底面半径是4分米，高6分米，里面盛满水，把水倒在棱长是8分米的正方体容器中，水深多少分米？
6.将一个底面直径是20厘米、高是9厘米的金属圆锥，全部浸没在直径是40厘米的圆柱形水槽中且水未溢出。
水槽中的水面会升高多少厘米？
7.把一个长2米的圆柱截去4分米后，原先的外表积就削减了25.12平方分米，原先圆柱的体积是几何立方分米？
8.在一个底面是边长为2分米的正方形的长方形水槽中，放入一块青铜（完全浸没在水中），水面上升1分米且水未溢出。
（水槽厚度忽略不计）
1）求这块青铜的体积。
2）如果把这块青铜铸成一个底面直径是2分米的圆柱，它的高是多少？（得数保留一位小数）。
【小升初专项训练】04 等积变形
第5讲等积变形第一关三角形的等积变形【例1】如图，在等腰直角三角形ABC中，已知AB的长是7厘米，那么这个直角三角形的面积为 平方厘米。
【答案】12.25【例2】如图，E、F分别是梯形ABCD两腰上的中点，已知阴影部分的面积是43c㎡，那么梯形ABCD 的面积是多少？【答案】172【例3】如图：三条直线互相平行，l1与l3之间的距离是7厘米，l2上AB=4厘米．求阴影部分三角形的面积是多少平方厘米？ 【答案】14【例4】你能看出下面两个阴影部分A与B面积的大小关系吗？（两个长方形面积相等）【答案】A与B的面积相等【例5】如图，在斜边长为20cm的直角三角形ABC中去掉一个正方形EDFB，留下两个阴影部分直角三角形AED和DFC．若AD=8cm，CD=12cm，则阴影部分面积为多少？给出答案并说明你的计算依据．【答案】48【例6】如图，在直角三角形中有一个正方形，已知BD=10厘米，DC=7厘米，阴影部分的面积是多少？【答案】35平方厘米【例7】如图，梯形ABCD的面积是36，下底长是上底长的2倍，阴影三角形的面积是多少？【答案】16【例8】下图中阴影部分甲的面积与阴影部分乙的面积哪个大？【答案】图中甲乙的面积相等【例9】如图，在三角形ABC中，D是BC上靠近C的三等分点，E是AD中点，已知三角形ABC的面积为1，那么图中两个阴影三角形面积之和是多少？【答案】0.4【例10】已知△ABC面积为5，且BD=2DC，AE=ED，求阴影部分面积．要求写出关键的解题推理过程．【答案】2【例11】如图，将一个梯形分成四个三角形，其中两个三角形的面积分别为10与12．已知梯形的上底长度是下底的．请问：阴影部分的总面积是多少？【答案】23【例12】如图，已知梯形ABCD中，CD=10，梯形ABCD的高是4，那么阴影部分的面积是多少。
【答案】20【例13】（1）如图1，阴影部分的面积是多少？（2）如图2，一个长方形长4厘米，宽3厘米．A为长方形内的任意一点，阴影部分的面积是多少？【答案】（1）100；（2）6【例14】如图，在图中△ABE、ADF和四边形AECF面积相等．阴影部分的面积是多少？【答案】15【例15】如图，两个正方形（单位：厘米）中阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】8【例16】由面积为1，2，3，4的矩形拼成如图的长方形，图中阴影部分的面积为多少？【答案】【例17】如图所示，正方形ABCD的对角线BD长20厘米，BDFE是长方形．那么，五边形ABEFD的面积是多少平方厘米。
五下三长正练习五——等积变形
16.王村要挖一个长50米，宽20米，深1.5米的水 塘， （1）这个水塘占地多少平方米？ （2）在水塘周围围上一圈栏杆，栏杆有多长？ （3）挖出的土要铺成一条宽5米，厚10厘米的小 路，能铺多长？ （4）现往水塘注水，每分钟注水50立方米，注水 2小时，水深多少？要注满水塘需要多长时间？
10.一个封闭的长方体容器，长、 宽、高分别是2分米、2分米、5分米， 里面装着水，水高4分米，丽丽不小心 把容器碰到了，现在水的高度是多少？
11.一个棱长10厘米的正方体鱼缸， 里面装满水，把水倒入一个长25厘米， 宽8厘米的长方体鱼缸，水有多深？
12.用水管向一个长10米，宽5米， 深2米的水池注水，如果水管每分钟注 水500升，需要多少分钟才能把空池注 满？
13.在一块长50米，宽30米的长方 形地上铺一层5厘米厚的沙土，如果一 辆汽车每次运送1.5立方米的沙土，至 少需要运多少次？
14.汽车的油箱长50厘米，宽30厘 米，高20厘米，如果每升汽油可以行 驶10千米，油箱装满油后最多可以行 驶多少千米？（油箱厚度忽略不计）
15.一个底面为正方形的长方体纸 盒，如果把它的侧面展开，正好可以 得到一个边长20厘米的正方形，这个 长方体的体积是多少？
7.把一个棱长6分米的铁块熔 铸成一个长8分米，宽9分米的长方 体，这个长方体的高是多少分米？
8.一个长方体纸盒，从里面量长15 厘米，宽12厘米，高10厘米，如果要 把棱长为3厘米的正方体积木装进盒内 （不外露），最多能装多少块？
9.把一个长5分米，宽4分米，高3 分米的长方体石料尽量加工为体积最 大的正方体，那么凿去的石料的体积 是多少立方分米？
长方体和正方体练习（五）
——等积变形练习题
ห้องสมุดไป่ตู้
等积变形应用题
等积变形应用题等积变形应用题一“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.等积变形类应用题的基本关系式：变形前的体积（容积)＝变形后的体积(容积）.二练习题1、用直径为4cm的圆钢（截面为圆形的实心长条钢材）铸造3个直径为2cm,高为16cm的圆柱形零件，则需要截取多长的圆钢?2、某铜铁厂要锻造长、宽、高分别为260mm、150 mm、130 mm的长方体毛坯,需要截取地面积为130 mm2的方钢多长？3、某机器加工厂要锻造一个毛胚，上面是一个直径为20毫米，高为40毫米的圆柱,下面也是一个圆柱，直径为60毫米，高为20毫米，问需要直径为40毫米的圆钢多长?4、将一罐满水的直径为40厘米，高为60厘米的圆柱形水桶里的水全部灌于另一半径为30厘米的圆柱形水桶里，问这时水的高度是多少？5、一个直径为1。
2米高为1.5米的圆柱形水桶，已装满水，向一个底面边长为1米的正方形铁盒倒水，当铁盒装满水时，水桶中的水高度下降了多少米。
6、有一块棱长为4厘米的正方体铜块，要将它熔化后铸成长2厘米、宽4厘米的长方体铜块，铸成后的铜块的高是多少厘米(不计损耗）？7 某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的圆柱形瓶内装水,再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中,能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离.8 有一个圆柱形铁块，底面直径为20厘米，高为26厘米,把它锻造成长方体毛胚，若使长方体的长为10π厘米，宽为13厘米，求长方体的高。
9 用一个底面半径为5厘米的圆柱形储油器，油液中浸有钢珠,若从中捞出546π克钢珠，问液面下降了多少厘米?(1立方厘米钢珠7.8克）10 小圆柱的直径是8厘米，高6厘米，大圆柱的直径是10厘米，并且它的体积是小圆柱体体积的2。
5倍，则大圆柱的高是多少厘米？11 一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为5厘米的正方体铁块，熔化成一个圆柱体,其底面直径为20厘米，请求圆柱体的高(π取3。
等积变形应用题练习
பைடு நூலகம்
？
答案：小影所钉长方形的长是16厘米，宽是10厘米。
4、小明的爸爸想用10米铁丝网把墙 当一长边围成一个鸡棚，使长比宽大4 米，问小明的爸爸围成的鸡棚的长和宽 各是多少呢？
墙面
x
铁线
X+4
5、一个长方形的养鸡场的长边靠墙，墙长14 米，其他三边用竹篱笆围成，现有长为35米的 竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长 比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场， 其中长比宽多2米.你认为谁的设计符合实际？ 按照他的设计，鸡场的面积是多少？
相等关系：水面增高体积=长方体体积 解：设水面增高 x 厘米. 则
4 x 5 3 3
2
解得： x
45 0 .9 16
因此，水面增高约为0.9厘米.
3、 墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的 装饰物，小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条 彩绳钉成一个长方形，那么，小颖所钉长方形的 长和宽各为多少厘米？
5.3 练习题
1、 将一个底面直径为10厘米、高为36厘 米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20厘 米的“矮胖”形的圆柱,高变成了多少？
想 什么发生了变化？ 一 想
什么没有发生变化？ 答案：高变成了9厘米。
2、把一块长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的 长方体木块，浸入半径为4cm的圆柱形玻璃杯 中（盛有水），水面大约增高多少？（水不外 溢，结果近似到0.1cm）
墙壁 篱笆
6、 在一个底面直径为3cm，高为22cm的量筒 内装满水，再将筒内的水到入底面直径为7cm，高 为9cm的烧杯内，能否完全装下？若装不下，筒内 水还剩多高？若能装下，求杯内水面的高度。
小学五年级数学思维专题训练—等积变形(含答案解析)
小学五年级数学思维专题训练—等积变形例1.长方形ABCD的面积是40平方厘米，E、F、G、H分别为AD、AH、DH、BC的中点，三角形EFG的面积是平方厘米例 2.梯形ABCD中，AE与DC平行，S ABE∆=15，S BCF∆= .例3。
如下图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB=8，AD= 15.四边EFGO 的面积为。
例4.如下图所示，在平行四边形ABCD中，已知三角形ABP.BPC的面积分别是73、100，求三角形BPD的面积．例5.如下图所示，BD是平行四边形ABCD的对角线，EF平行于BD，如果三角形ABE的面积是12平方厘米，那么三角形AFD的面积是平方厘米。
例6.如下图所示，已知AE=EC，CD=DB，S ABC =60，求四边形FDCE的面积．例7.如右图所示，正方形ABC D和正方形ECGF并排放置，BF与CD相交于点H,已知AB=6厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．例8.如下图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，EG与FH交于点O,S1、S2、S3及S4分别表示4个小四边形的面积．试比较S1+S3与S2+S4的大小．例9.将长15厘米、宽9厘米的长方形的长和宽都分成三等份，长方形内任意一点与分点及顶点连结，如右图所示，则阴影部分的面积是 平方厘米．例10.右图所示ABCD 是个直角梯形（∠DAB=∠ABC= 900），以 ， AD 为一边向外作长方形ADEF ，其面积为6.36平方厘米，连接BE 交AD 于P ，再连接PC ．则图中阴影部分的面积是 平方厘米。
A.6.36B.3.18C.2.12D.1.59例11.如下图所示，平行四边形内有两个大小一样的正六边形，那么阴影部分的面积占平行四边形面积的 。
A ．21B ．32C ．52D ．125例12.如下图所示，矩形ABCD 的面积是24平方厘米，三角形ADM 与三角形BCN 的面积之和是7.8平方厘米，则四边形PMON 的面积是 平方厘米．例13.一个矩形分成4个不同的三角形（如下图），绿色三角形面积占矩形面积的15%，黄色三角形的面积是21平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？例14.如下图所示，正方形每条边上的三个点（端点除外）都是这条边的四等分点，则阴影部分的面积是正方形面积的。
等积变形例题
解 在直角三角形CDH和直角三角形EKD 中，CD=DE 又∵∠EDK=180°-∠CDH-90° ∠DCH=180°-∠CDH-90° ∴ DCH与 EDK完全相等。 而ABCD是等腰梯形
K A
E
故CH=(BC-AD) ÷2 =(35-23) ÷2
23
D F
=6(厘米) ∴DK=CH=6厘米
B
35
求绿色四边形的面积。 解 连BF，则四边形BCDF为梯形。 4 6 6 ∵S黄÷S红=6÷4=1.5 ∴S白÷S红=1.5×1.5=2.25 ∴S白=S红×2.25=4 ×2.25=9（平方厘米） ∴S绿=S白+S黄－S红 =9+6－4=11（平方厘米） 答：绿色四边形ABEF的面积为11平方厘米。
Ｓ ＫＧＥ=Ｓ Ｃ Ｄ Ｓ ＤＧＥ=Ｓ Ｆ Ｇ Ｐ 所以 阴影部分面积＝ Ｈ Ａ Ｂ 解：１４÷４＝３.５（厘米） 正方形ＢＥＦＧ的周长＝１４厘米， Ｅ Ｋ
ＦＧＥ ＢＧＥ
正方形ＢＥＦＧ的面积
３.５×３.５＝１２.２５（平方厘米） 求阴影部分面积。 答：图中阴影部分面积是 １２.２５平方厘米。
分析与解： 分析与解：
答：丙、丁两个三角形面 积之和是甲、乙两个三角 形面积之和的1.25倍。
分析与解：
等积变形
例5
G
F
∵∠DAB=∠GAE=90° ∴ ∠GAD+ ∠EAB =360°-90 °×2 =180°
D
A C
E
∴三角形BAE绕A点顺时针旋转， 使AB与AD重合，这时，点E落 在点H，且G,A,H在一条直线上。 ∵AG=AE=AH，三角形DAH与 三角形DAG等底同高， ∴S DAH=S DAG 答：内圈三角形石板的总面积 与外圈石板的总面积一样大。
四春 等积变形练习
四春 第一讲 等积变形练习
1、如图，ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，平行四边形ABCD 的面积是48，,三角形ABE 的面积多多少？
2、如图，三角形ABC 面积为182
cm ，
BD=2CD ，求三角形ACD 的面积．
3、如图，AD 垂直于BC ，AD=12cm ，DE=3cm ，求三角形BEC 的面积是5cm 2三角形ABC 面积的多少？
4、如图，三角形ABC 的面积为1，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE 的面积是多少？
5、把图中三角形ABC 的底边平均分成4份，D 是BC 的中点。
已知三角形EFD 的面积是1平方分米。
求三角形ABC 的面积。
6、如图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ，若△ADE 的面积为4平方厘米．求△ABC 的面积．
7、大正方形边长是9，小正方形边长是6，求阴影面积。
8、大正方形边长是9，小正方形边长是6，求阴影面积。
等积变形的应用——两道赛题的解法
等积变形的应用——两道赛题的解法赛题一：给定一个三角形ABC，给定它的边长a，b，c，要求把它变形成一个等腰直角三角形，且其新的三边为x，x，y。
解题思路：由等积变形定理可知，三角形ABC与新三角形ABC满足：$$\frac{a}{\sin A} = \frac{x}{\sin A'} = \frac{x}{\sin B'} = \frac{y}{\sin C'}$$解出新的三角形边长x，y的差分方程为：$$a\cdot\sin A = x\cdot\sin B = x\cdot\sin C = y\cdot\sinA'$$解得：$$x = \frac{a \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{a \cdot \sinA}{\sin C}$$$$y = \frac{a \cdot \sin A}{\sin A'}$$赛题二：给定一个三角形ABC，给定它的边长a，b，c，要求把它变形成一个三角形，且其新的三边为x，y，z。
解题思路：由等积变形定理可知，三角形ABC与新三角形ABC满足：$$\frac{a}{\sin A} = \frac{x}{\sin A'} = \frac{y}{\sin B'} = \frac{z}{\sin C'}$$解出新的三角形边长x，y，z的差分方程为：$$a\cdot\sin A = x\cdot\sin A' = y\cdot\sin B' = z\cdot\sin C'$$解得：$$x = \frac{a \cdot \sin A}{\sin A'}$$$$y = \frac{a \cdot \sin A}{\sin B'}$$$$z = \frac{a \cdot \sin A}{\sin C'}$$。
等积变形练习题
1、用一块体积是2000立方厘米的钢块锻造 成一根横截面面积是20平方厘米长方体方
钢，这根长方体方钢长多少?
2、将体积是360立方厘米的块油 泥捏成一个长是10厘米,宽5厘米的
长方体油泥,能
• 3、将一块棱长0.8分米的正方体油 泥捏成一个横截面面积是0.16平方 分米的长方体,能捏多长?
• 10、一个长方体玻璃缸,底面是2分 米的正方形,向容器内倒入5.4升水, 再把一个梨子放入水中,量得水深 1.5分米,这个梨子的体积有多大?
• 11、一个长方体玻璃缸，底面积是 200平方厘米，高是8厘米，里面 盛有4厘米深的水，现在将一块石 头放入水中，水面升高2厘米。这 块石头的体积是多少立方厘米？
•
• 7、一个货车的车厢是棱长4米,宽 2.5米,高1.5米的长方体,将它装满 石子,铺在一个长20米,宽5米的路 上,能铺多厚?
• 8、一个棱长5分米的玻璃缸 内有水100升,将一个石块投 入缸内,水面上升了1厘米,这 个石块的体积是多少?
• 9、一个长8分米,宽5分米,高6分米 的玻璃缸内有2分米的水,将一个石 块放入水中,水面上升到2.5分米,这 个石块的体积有多大?
• 4、将一块棱长0.8米的正方 体钢块,熔铸成一个横截面是 边长2分米的正方形的长方体 钢材,熔铸成和长方体钢材有 多长?
• 5、将30升水倒入一个棱长是5分 米的正方体体玻璃缸内,水深多少 分米?
• 6、两个容器，甲正方体（棱长6分 米），乙长方体（长8分米、宽和 高都是6分米），将甲容器的水装 满倒入乙容器，乙容器水面有多高？
• 12、一个长方5升水，在把一个苹果浸没在 水中，这时容器内的水深是1.5分 米。这个苹果的体积是多少？
• 13、在一个长25厘米、宽12厘 米、高20厘米的长方体玻璃容 缸中放入一个棱长9厘米的正方 体铁块，然后在玻璃缸中加入 一些水，使铁块完全浸没在水 中。当铁块从水中取出时，玻 璃缸中的水会下降多少厘米？
43 等积变形(一)
等积变形练习题一． 夯实基础：1. 图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米？2. 如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求：三角形DEF的面积．3. 如图，ABC ∆的面积是10平方厘米，将AB 、BC 、AC 分别延长一倍到D 、E 、F 且两两连接，得到一个新的DEF ∆．求DEF ∆的面积．4. 下图中，矩形ABCD 的边AB 为4厘米，BC 为6厘米，三角形ABF 比三角形EDF 的面积大9平方厘米，求ED 的长．B ACDEFFE DCBA FEDCBA5. 图中4CA AB ==厘米，三角形ABE 比三角形CDE 的面积大2平方厘米，求CD 的长．二． 拓展提高：6. 在图中，平行四边形ABCD 的边BC 长10厘米，直角三角形ECB 的直角边EC 长8厘米．已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大10平方厘米，求平行四边形ABCD 的面积．7. 如图，ABCD 是边长为8厘米的正方形，梯形AEBD 的对角线相交于O ，三角形AOE 的面积比三角形BOD 的面积小16平方厘米，则梯形AEBD 的面积是多少平方厘米？AB CDEO8. 如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果24AB =厘米，8BC =厘米，求三角形ZCY 的面积．EDCB AYZ DCBA9. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8 平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？10. 如图，ABCD 与AEFG 均为正方形，三角形ABH 的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为多少平方厘米？三. 超常挑战11. 如图，O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC 的面积是52cm ，OAB 的面积是22cm ，求OBD 的面积是多少？12. 如下图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD ∆的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？13. 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．FCH14. 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．四．杯赛演练：15. (《小数报》数学竞赛)如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分．三角形BDC的面积比三角形ABD 的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD 的面积．16. (西城某重点中学小升初分班考题)下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．EDCBAFED CBA答案：1. 4428⨯÷=．2. 三角形ADC 的面积是三角形ABC 面积的一半24212÷=，三角形ADE 又是三角形ADC 面积的一半1226÷=．三角形FED 的面积是三角形ADE 面积的一半，所以三角形FED 的面积623=÷=．3. 根据题意可知，2ADF ABC S S ∆∆=，同理可知2BDE CEF ABC S S S ∆∆∆==，于是(123)771070DEF ABCABCS SS∆=+⨯==⨯=平方厘米．4. (469)6241⨯-÷⨯-=（厘米）5. 连结CB ．三角形DCB 的面积为44226⨯÷-=（平方厘米），6423CD =÷⨯=（厘米）．6. 因为阴影部分比三角形EFG 的面积大10平方厘米，都加上梯形FGCB 后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边形ABCD 比直角三角形ECB 的面积大10平方厘米,所以平行四边形ABCD 的面积等于10821050⨯÷+=平方厘米．7. 题目中出现了两个三角形面积之差16，若将AOD ∆作为公共部分分别加给这两个三角形后，根据差不变原理可知，AED ∆的面积比BAD ∆的面积小16平方厘米,而BAD ∆正好是正方形面积的一半即88232⨯÷=(平方厘米)，从而AED ∆的面积为321616-=（平方厘米）．作为梯形的另一部分，EBD ∆的面积与BAD ∆面积相等（同底等高）． 可见，梯形的面积=163248+=(平方厘米).8. ∵Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点224ZCY DCB ZY DB S S ∴=÷÷=÷，又∵ABCD 是长方形，∴42424ZCYDCBABCD SSS =÷=÷÷=长方形(平方厘米)．9. 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326⨯=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648⨯=(平方厘米)．10. 如图，连接AF ，比较ABF ∆与ADF ∆，由于AB AD =，FG FE =，即ABF ∆与ADF ∆的底与高分别相等，所以ABF ∆与ADF ∆的面积相等，那么阴影部分面积与ABH ∆的面积相等，为6平方厘米．F11. 设AODSX =，因为12AOBDOCAODBOCABCD SSSSS +=+=所以可得：25DOC S X +=+，即3DOC S X =+ 另有253102ABCD AOB DOC AOD BOC S S S S S X X X =+++=++++=+（）所以152ABD ABCD S S X ==+,可得523OBD ABD AOB AOD S S S S X X =--=+--=(2cm )．12. 根据差不变原理，要求平行四边形PHCF 的面积与平行四边形PGAE 的面积差，相当于求平行四边形BCFE 的面积与平行四边形ABHG 的面积差． 如下图，连接CP 、AP ．由于12BCP ADP ABP BDP ADP ABCD S S S S S S ∆∆∆∆∆+=++=，所以BCP ABP BDP S S S ∆∆∆-=．而12BCP BCFE S S ∆=，12ABP ABHG S S ∆=，所以()2216BCFE ABHG BCP ABP BDP S S S S S ∆∆∆-=-==(平方分米)．13. 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =， ∴S S AEH BEH =．同理，S S BFH CFH =，S =S CGH DGH ，∴11S S 562822==⨯=阴影长方形ABCD （平方厘米）．14. 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．CH E BA根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．15. 方法一：如右图，作AB 的平行线DE ．三角形BDE 的面积与三角形ABD 的面积相等，三角形DEC 的面积就是三角形BDC 与三角形ABD 的面积差(10平方分米)．从而，可求出梯形高(三角形DEC 的高)是：21054⨯÷=(分米)，梯形面积是：154230⨯÷=(平方分米)． 方法二：10330⨯=(平方分米)．16. 连结AD (见右上图)，可以看出，三角形ABD 与三角形ACD 的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形AFD 是三角形ABD 与三角形ACD 的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF 与三角形FCD 面积仍然相等．根据等量代换，求三角形ABC 的面积等于求三角形BCD 的面积，等于4428⨯÷=（平方厘米）．ABCDEF。
5年级等积变形
等积变形有一个富翁留了一块三角形的土地给两个儿子，两个儿子要求平分这块地，这可伤透了他们的脑筋，因为他们不知道怎样去测量、平分。
同学们，你们能想出多少种方法将这块土地平分成个面积相等的三角形吗？根据这个问题，你能得出什么结论？结论一：。
思维探索例1：你有什么方法将任意一个三角形分成6个面积相等的三角形？如图，把△ABC的底边BC四等分，那么甲、乙两个三角形的面积谁大，为AB的面积是多少？如果△AC的面积是,那么AAB的面积是多少?如图，已知是BC的中点，是C的中点，是AC的中点。
已知三角形的面积是平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？A思维探索例：（平行线间的等积变形）如下图，△和厶夹在一组平行线之间，且有公共底边，那么△和厶的面积关系是怎样的？结论拓展：夹在平行线间的一组同底三角形面积相等例：如图，在梯形中共有个三角形，其中面积相等的三角形有哪几对？即学即练如下图，在梯形A中，梯形A的面积是，AA的面积融会贯通例：如图，在直角三角形A中，D、E分别是A、A的中点，如果△AED的面积是即学即练如下图，在AA中，D、E是所在边的中点，如果AA的面积是,那么△DE的面积是多少？例：如图，A和DE都是长方形，A的长是厘米，的长是厘米。
那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？即学即练在边长为厘米的正方形中有一点，将点分别和四条边的中点相连，如下图，求阴影部分的面积。
练习册知识导航一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化。
同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。
为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：（）等底等高的两个三角形面积相等；（）底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的的顶点是同一个点或在与底平行精彩文档如图, 是直角的直线上，这两个三角形面积相等；（）若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
六年级数学等积变形
六年级数学等积变形1，一个盛水的圆柱形水桶,内底面周长为6028分米，当一个长方形的物体投入水中时，水面上升1分米，量得这个长方体的长为3；14分米，宽为1分米，他的高是多少？2,在长为15厘米，宽为12厘米的长方体水箱中，有10厘米深的水，现沉入一个高为10厘米的圆锥形铁块《全部浸入水中》，水面上升了2厘米，求圆锥的底面积?3,甲，乙两个圆柱体容器，底面积比为4:3,甲容器水深7厘米，以容器水深3厘米，再往两容器中各注入同样多的水，直到水深相等，这时水深多少厘米？4，一个棱长为1分米的正方体木块，从这个木块中各出一个最大的圆锥,求这个圆锥的表面积和体积？5，用一张长3米宽1米的长方形铁皮可以做成无底的圆柱形管子，此圆柱形管子的最大面积是多少？6，一个胶水瓶，它的瓶身呈圆柱形《不包括瓶颈》，容积是32；4立方厘米，当瓶子正放时，瓶内胶水深为8厘米，瓶子倒放时，空余部分为2厘米，则瓶内所装水的体积是多少？7；有A；B两个圆柱形容器，最初在容器A里装有2升水，容器B是空的。
现在往两个容器中以每分钟0；4升的流量注入水，4分钟后，两个容器的水面高度相等。
设B的底面半径为5厘米，那么A的底面直径是多少厘米？8；将一个圆柱体木块沿上下底面圆心切成四块，表面积增加48平方厘米；若将这个圆柱体切成三块小圆柱体，表面积增加50；24平方厘米。
现在把这个圆柱体木块削成一个最大的圆锥体，体积减少多少立方厘米？9；圆钢切削成一个最大的圆锥体，切削掉的部分部分重8千克，这段圆钢重多少㎏？10；棱长是4分米的立方体钢坯切削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方分米？11；一个体积为60立方厘米的圆柱，削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？12；一车箱是长方体，长4米，宽1；5米，高4分米，装满沙，堆成一个高5分米的圆锥，底面积多少㎡13；一个底面周长15；7m高10m的圆柱铁块，熔成一个底面积是25㎡的圆锥，圆锥的高是多少m？14；把一个体积是18㎝³的圆柱削成一个最大的圆锥，削成的圆锥体积是多少㎝³？15；正方体钢材，棱长6分米，把它削成一个最大的圆锥体零件，零件的体积是多少?。
等积变换经典例题
等积变换1、等面积图形拼接类1、小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是:按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB 的中点O 旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG .请你参考小明的做法解决下列问题：（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个．．符合条件的平行四边形即可）；（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、 BC 、CD 、DA 的中点，分别连结AF 、BG 、CH 、DE 得到一个新的平行四边形MNPQ .请在图4中探究平行四边形MNPQ 面积的大小（画图．．并直接写出结果）.2、根据所给的图形解答下列问题：（1）如图1，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，把△ABD 绕点A旋转，图1图2图3图4并拼接成一个与△ABC 面积相等的正方形,请你在图１中完成这个作图；（2）如图2，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =90°，请你设计一种与(1)不同的方法，将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形,画出利用这个三角形得到的正方形；（3）设计一种方法把图3中的矩形ABCD 拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形, 请你依据此矩形画出正方形，并根据你所画的图形，证明正方形面积等于矩形ABCD 的面积的结论.A BCD图3图2图1CBAAB CD2、等分面积类问题1、请作一条直线通过割补把下面的四边形变成面积相等的三角形2、如图，一块矩形的铁皮ABCD 被割去一个小矩形部分DEFG ，剩下一个五边形ABCGFE ，请作一条直线把剩下的五边形分成面积相等的两部分BCADG E D BCFAABCDAD3、（1）请过△ABC 边BC 中点D 作一条直线平分△ABC 的面积（2）请过△ABC 边BC 中点D 外任一点P 作一条直线平分△ABC 的面积4、如图，梯形纸片ABCD 中，AD ∥BC 且AB DC.设AD=a,BC=b. 过AD 中点和BC 的中点的直线可将梯形纸片ABCD 面积分成面积相等的两部分. 请你再设计一种方法:只须用剪子剪一次将梯形纸片ABCD 分割成面积相等的二部分，画出设计的图形并简要说明你的分割方法.DBCADBCAP5、如图是王大爷的一块四边形菜地，在A处有一口井，王大爷要想从A处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水渠将四边形菜地分成面积相等的两部分.请你为王大爷设计一条引水渠的方案，画出图形,并简要写出作图的主要步骤.Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。
五年级等积变形题
五年级等积变形题一、等积变形题目。
1. 一个长方体水箱，从里面量长6分米，宽5分米，高4分米。
先倒入82升水，再浸入一块棱长2分米的正方体铁块，这时水面离水箱口1分米。
求水箱的容积是多少升？- 解析：正方体铁块体积为2×2×2 = 8立方分米，因为1立方分米= 1升，所以8立方分米= 8升。
倒入水的体积是82升，此时水和铁块总体积为82+8=90升。
水面离水箱口1分米，则此时水和铁块占水箱的高度是4 - 1=3分米。
水箱底面积为6×5 = 30平方分米，根据长方体体积公式V=Sh（S是底面积，h是高），那么3分米高的水和铁块的体积对应的水箱容积部分为30×3 = 90升，所以水箱容积为90÷3×4 = 120升。
2. 有一个底面积是300平方厘米、高10厘米的长方体，里面盛有5厘米深的水。
现在把一块石头浸没到水里，水面上升2厘米。
这块石头的体积是多少立方厘米？- 解析：因为石头浸没到水中，水面上升的体积就是石头的体积。
长方体底面积是300平方厘米，水面上升了2厘米，根据长方体体积公式V = Sh，石头体积为300×2=600立方厘米。
3. 一个正方体容器棱长为6分米，里面装满水。
现将水倒入一个长0.8米、宽0.6米的长方体容器中，水面高多少分米？- 解析：首先统一单位，0.8米= 8分米，0.6米= 6分米。
正方体容器棱长6分米，则水的体积为6×6×6 = 216立方分米。
将水倒入长方体容器中，长方体容器底面积为8×6 = 48平方分米，根据h=(V)/(S)（h是高，V是体积，S是底面积），水面高度为216÷48 = 4.5分米。
4. 把一块棱长12厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是144平方厘米的长方体铁块，这个长方体铁块的高是多少厘米？- 解析：正方体铁块体积为12×12×12 = 1728立方厘米。
等积变形练习
3、一个圆柱形容器，底面半径为5cm，里面盛有 一些水，现将一个底面积为157平方厘米的圆锥形 铁块浸没在容器内，水面上升了2cm，求圆锥形 铁块的高。
4、一辆货车箱是一个长方体，它的长是4m宽 1.5m，高2m。装满一车沙子，卸后沙子堆成一个 高是5dm，的圆锥形，他的底面积是多少？
5、有一块底面积是28平方分米，高1米5分米的圆 锥形金属零件，如果把它熔化成一个和它等底的 圆柱体，圆柱体的高是多少？
5.有一个圆锥形谷堆，把这些谷子放到一 个圆柱形粮囤里，可以堆12米高。这个 圆柱型粮囤的占地面积是多少？
2m 6m
1、一个圆柱形容器，底面半径是10cm，里面盛 有升1cm，这个圆锥 形铁块的高是多少？
2、一个体积是1413立方分米的铁块，可以锻造成 多少个底面积是28.26dm²，高是5dm的圆锥形零 件?
3、在一个直径为12cm的圆柱形容器里，放入一个 底面半径为3cm的圆锥形铁块，全部浸没在水中， 这时水面上升0.6cm。圆锥形铁块的高是多少厘米？
4、一个底面直径是40cm的圆柱形容器，容器内 的水中浸没着一个底面周长是12.56cm，高是 30cm的圆锥形铁块。当取出铁块后容器中的水面 下降了多少厘米？
6、有一个圆锥形沙堆，占地面积为15平方米，高 2米。把这堆沙铺在宽8米的路上，平均铺0.5分米 厚，能铺多少米？
7、把一个底面半径是5cm，高是15cm的圆柱形 量杯内放上水，水面高度是12cm。把一个小球沉 入杯内，水满后还溢出15.7克水。这个小球的体积 是多少立方厘米？（1立方厘米的水的质量为1克）
1、妈妈把一些土豆放在底面积是40平方厘米的圆 柱状容器里清洗，这时容器里的水深上升了6cm。 这些土豆的体积是多少？
1、妈妈把一些土豆放在底面积是40平方厘米 的长方体容器里清洗，这时容器里的水深上升 了6cm。这些土豆的体积是多少？
小学数学 几何问题之等积变形问题 完整版题型训练 PPT带答案带练习
练习6
6、右图ADEF为正方形,BD的长为9,FC的长为4,求右图沿阴影长方形的 四周作四个正方形,四个正方形的面积之和为68平方厘米,其阴影的长方形 的周长是16厘米,求阴影部分的面积。
设正方形ADEF边长为a 4×9=36=6×6 a=6 三角形ABC面积=（6+9）×（6+4）÷2=75
练习7 7、右图沿阴影长方形的四周作四个正方形,四个正方形的面积 之和为68平方厘米,其阴影的长方形的周长是16厘米,求阴影部 分的面积
设阴影长方形长与宽分别为a,b a×a+b×b=130÷2=65 a+b=22÷2=11 经尝试a,b分别为4,7 阴影长方形面积=4×7=28（平方厘米）
ห้องสมุดไป่ตู้
课后作业
练习1
1、如图,图形甲与乙的面积差又可以看做是长方形 ABCD与（ 三角形 ）的差
ABF
练习2
2、将右图通过平移的方法变成一个长方形
小学数学几何问题之 等积变形
例1 下图(单位:厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起: 求阴影部分的面积
20-5=15(厘米) (15+20)×8÷2=140(平方厘米)
例2
下图中,矩形ABCD的边AB为4厘米,BC为6厘米,三角 形ABF比三角形EDF的面积大9平方厘米，求ED的长。
4×6-9=15（平方厘米） EC=15×2÷6=5（厘米） ED=5-4=1（厘米）
设阴影长方形长与宽分别为a,b a×a+b×b=68÷2=34 A+b=16÷2=8 经尝试长与宽分别为5,3 阴影面积=3×5=15（平方厘米）
平行四边形ABCD面积--三角形BCE面积=10（平方 厘米） 三角形BCE面积=10×8÷2=40（平方厘米） 平行四边形ABCD面积=40+10=50（平方厘米）
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六年级奥数解析（七十）形体的等积变形[ 2013-3-21 2:57:00 | By: spring ]4推荐《奥赛天天练》第42讲《形体的等积变形》。
在实际生活中有些物质如金属、橡皮泥、或装在容器里的液体等，可以通过重塑或更换容器等改变原来的形状，在这个变换的过程中物体的形状发生了变化，体积不变，这就是形体的等积变形。
本专题学习，需要学生熟练掌握并能灵活运用长方体、正方体、圆柱、圆锥的体积计算公式。
解答此类问题的关键是抓住题中隐藏的等量关系：物体在改变形状的过程中体积不变，即形状发生改变前后物体的体积相等。
《奥赛天天练》第42讲，模仿训练，练习1【题目】：在底面半径是10厘米的圆柱形杯中装有7厘米高的水，把一小块铁浸入水中，这时水面上升到9厘米，问这块铁块的体积有多大？【解析】：这块铁块的体积就是圆柱形杯中上升的那部分水的体积（即底面半径为10厘米，高为2厘米的圆柱形体积）：3.14×102×（9－7）＝628（立方厘米）。
《奥赛天天练》第42讲，模仿训练，练习2【题目】：有甲、乙两个容器如图所示，（长度单位：厘米），先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容器，求乙容器的水深。
【解析】：先求出倒入甲容器的水的体积：3.14×62×10×1/3＝376.8（立方厘米）再用水的体积除以乙容器的底面积，求出乙容器的水深：378.6÷（3.14×42）＝7.5（厘米）。
注：此类习题列综合算式，先约分再计算，可以使计算更加简洁。
《奥赛天天练》第42讲，巩固训练，习题1【题目】：把一块长19厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体铝块和一个棱长为7厘米的正方体铝块熔铸成一个底面周长为31.4厘米的圆柱形的铝块，求圆柱形铝块的高是多少厘米？【解析】：熔铸成的圆柱形铝块的体积就等于长方体铝块和正方体铝块的体积之和：19×5×3＋73＝628（立方厘米）用圆柱形铝块的体积除以它的底面积，可以求出它的高为：628÷[3.14×（31.4÷3.14÷2）2]＝8（厘米）。
《奥赛天天练》第42讲，巩固训练，习题2【题目】：在一个底面半径是20厘米的圆柱形水桶里，有一个底面半径为10厘米的圆柱形钢材完全浸没在水中，当钢材从桶里取出后，桶里的水面下降3厘米，求这段钢材的长。
【解析】：圆柱形钢材的体积就等于水桶里下降的那部分水的体积（即底面半径为20厘米，高为3厘米的圆柱形体积）：3.14×202×3＝3768（立方厘米）所求钢材的长为：3768÷（3.14×102）＝12（厘米）。
《奥赛天天练》第42讲，拓展提高，习题1【题目】：有两个等高的圆柱体，小圆柱体底面积是50平方厘米，大圆柱体的底面直径比小圆柱体大20％，大圆柱体的体积为360立方厘米，求小圆柱体的体积。
【解析】：要求出小圆柱体的体积，已知小圆柱体的底面积，还需要先求出小圆柱体的高。
因为两个圆柱体等高，只求出大圆柱体的高就等于小圆柱体的高。
由“大圆柱体的底面直径比小圆柱体大20％”，可以求出大、小圆柱体底面直径之比为：（1＋20％）：1＝6 ：5则两个圆柱的底面积比为：62：52＝36 ：25解法一：又因为小圆柱体底面积是50平方厘米，可以求出大圆柱体的底面积为：50×36/25＝72（平方厘米）则大圆柱体的高为：360÷72＝5（厘米）即小圆柱体的高也是5厘米，可以求出小圆柱体的体积为：50×5＝250（立方厘米）。
解法二：等高的两个圆柱体的体积与底面积成正比例，即它们的体积比就等于它们的底面积之比：36 ：25可以直接求出小圆柱体的体积为：360÷36/25＝250（立方厘米）。
《奥赛天天练》第42讲，拓展提高，习题2【题目】：甲、乙两个圆柱体容器，底面积之比为4 ：3，甲容器水深7厘米，乙容器水深3厘米，再往两个容器各注入同样多的水，直到水深相等，这是水深多少厘米？【解析】：当两个容器中水深相等时，容器中水的体积比就等于两个容器的底面积之比为： 4 ：3。
如果把甲容器中1厘米深的水量看作4份，则乙容器中1厘米深的水量就有3份。
甲容器中已有水量为：4×7＝28（份）乙容器中已有水量为：3×3＝9（份）假设后来注入两个容器中的水都是x份，由题意可得：（28＋x）：（9＋x）＝4 ：3解比例得：x＝48所求水的深度为：（28＋48）÷4＝19（厘米）。
等积变形练习题1，一个盛水的圆柱形水桶,内底面周长为6028分米，当一个长方形的物体投入水中时，水面上升1分米，量得这个长方体的长为3.14分米，宽为1分米，他的高是多少？2,在长为15厘米，宽为12厘米的长方体水箱中，有10厘米深的水，现沉入一个高为10厘米的圆锥形铁块（全部浸入水中），水面上升了2厘米，求圆锥的底面积?3,甲，乙两个圆柱体容器，底面积比为4:3,甲容器水深7厘米，以容器水深3厘米，再往两容器中各注入同样多的水，直到水深相等，这时水深多少厘米？4，一个棱长为1分米的正方体木块，从这个木块中各出一个最大的圆锥,求这个圆锥的表面积和体积？5，用一张长3米宽1米的长方形铁皮可以做成无底的圆柱形管子，此圆柱形管子的最大面积是多少？6，一个胶水瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是32.4立方厘米，当瓶子正放时，瓶内胶水深为8厘米，瓶子倒放时，空余部分为2厘米，则瓶内所装水的体积是多少？7.有A.B两个圆柱形容器，最初在容器A里装有2升水，容器B是空的。
现在往两个容器中以每分钟0.4升的流量注入水，4分钟后，两个容器的水面高度相等。
设B的底面半径为5厘米，那么A的底面直径是多少厘米？8.将一个圆柱体木块沿上下底面圆心切成四块，表面积增加48平方厘米；若将这个圆柱体切成三块小圆柱体，表面积增加50.24平方厘米。
现在把这个圆柱体木块削成一个最大的圆锥体，体积减少多少立方厘米？9.圆钢切削成一个最大的圆锥体，切削掉的部分部分重8千克，这段圆钢重多少㎏？10.棱长是4分米的立方体钢坯切削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方分米？11. 一个体积为60立方厘米的圆柱，削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？12.一车箱是长方体，长4米，宽1.5米，高4分米，装满沙，堆成一个高5分米的圆锥，底面积多少㎡13.一个底面周长15.7m高10m的圆柱铁块，熔成一个底面积是25㎡的圆锥，圆锥的高是多少m？14.把一个体积是18㎝³的圆柱削成一个最大的圆锥，削成的圆锥体积是多少㎝³？15.正方体钢材，棱长6分米，把它削成一个最大的圆锥体零件，零件的体积是多少？奇妙的“等积变形”江苏省淮安市新民路小学单广红江苏省淮安市武墩中心小学高德洋几何知识在小学阶段一向是学生学习的难点。
高年级立体图形的表面积、体积的应用问题更主让学生望而却步。
针对这种现象，迫使教者去思考: 如何在教学过程中化难为易，让学生不再惧怕数学中的几何问题。
通过实践发现，“等积变形”可以减少计算上的繁琐、扫除理解上的障碍，用数学独有的内涵点燃学生的学习热情。
下面就圆柱的表面积、体积的教学,来谈谈奇妙的“等积变形”体现的“巧”。
一、剪拼变形，化繁为简巧计算圆柱表面积的计算看似简单：只要求三个面的面积和就行了。
实际在学习过程中正确率非常低,有些学生分不清圆的周长和面积公式，在算侧面积时常会用“底面积×高”；有些学生好不容易列式正确,但面对长长的三道算式（底面积计算、侧面积计算、底面积×2+侧面积）而“望式生叹”，动笔就错；就连很优秀的学生也不容易把几道式子都做正确。
面对此景，我联想起学生五年级学习圆的面积公式推导时用“化曲为直”的方法，索性引导学生动手操作,去找出更快捷、简便的方法。
学生迫不及待地动起手来，有了惊喜的发现：S表=2r×(r+h)。
操作思考思路如下图：学会了如此解题后，大大提高了运算速度和正确率，现在的计算量只相当于原来的。
但要提醒学生注意,这只适用于圆柱的表面积是由三个面组成,遇其他情况要随机应变。
二、等积变通，移花接木巧变形圆柱表面积通过“等积变形”简化了计算。
实际，等积变形在体积计算中运用更加广泛。
如最常见的测量土豆、石块等不规则物体的体积，只要在玻璃容器中放适量的水，然后完全浸没水中只要求出上升部份水的体积即可，本文不再细细赘述。
下面举例来谈谈“移花接木”的变形方法计算有趣的饮料体积问题。
例一个饮料瓶里面饮料深10厘米，把瓶子塞紧后倒置(瓶口向下),这时上面空白部份深为2.5厘米,已知瓶子的容积是600毫升，你能算出瓶内饮料是多少毫升吗?在处理这一题时，典型的教学方法是：把600毫升的饮料按10 ：2.5进行按比例分配，其中即为饮料的体积。
可是讲解后大部分学生仍面露茫然。
笔者是这样处理的：出示此题后，用图标出题意，然后问：瓶子倒置后瓶子的大小变了没有？饮料的多少变了没有？你发现了什么？和小组同学说说发现。
学生本来对这类题就充满了好奇，马上带着问题很快进入了探讨、争论的状态中去。
一会儿，每个学生小脸争得红红，小手儿举得高高，发现：瓶子大小没变、饮料的多少也没变，那么空白的部份的容积就也是一样大了，所以把前面不规则的空白部份换成后面的规则的空白部份，这样就把不规则的饮料瓶子变成一个圆柱体了，如图：所以，用“体积÷两个高的和=底面积”，再用“底面积×10”就是饮料的体积了。
算术为600÷（10+2.5）×10=500(毫升)。
把这位同学的思路用上面的图呈现出来，很快赢得了同学们的共鸣，学生感受到图形问题原来并不可怕，通过变形后它变得那么的神奇、有趣、简单。
三、拓展变式，异中求同巧联系布鲁姆曾说过：“学习中经常取得成功可能会导致更大的学习兴趣。
”作为教师在教学中要为学生创造获得成功的机会。
勤钻研、细分析，帮助学生克服困难，获取成功。
比如在体积应用教学中，物体是否完全没入水中,会引起不同的变化效果，这时要多引导学生观察、思考、归纳，充分发挥“等积变形”的神奇功能，利用规律解决各种难题。
例有一圆柱形的玻璃容器,底面半径是10厘米,高20分米,水高8厘米,在容器中垂直放入一底面直径为8厘米，高为30厘米的圆柱形物体,这时的水高为多少厘米?这类练习学生理解起来很困难,如果我们借助媒体,将上面的问题简化成水柱的“体积变形”，并进行演示，使之形象化,可以帮助学生更清晰的明白题目所要表达的内容.如图演示后学生明白:变化前后水的体积不变，只是水柱的形状发生了变化,由左边的半径是10厘米,高是8厘米的圆柱体变成了右面的底面是空心的圆柱了。