电磁波与电磁场第三次实验报告

电磁波与电磁场第三次实验报告

实验八 直线电荷与共面圆弧电荷之间的相互作用力分析

一、实验目的

1、掌握MATLAB 仿真的基本流程与步骤；

2、掌握静电场的基本分析方法与基本性质；

3、理解矢量积分法在静电场分析中的应用；

4、了解数值分析手段在电磁场分析中的应用。 二、实验原理

如图所示，一无限长直线电荷旁边有一共面的圆弧，直线电荷的线密度为λ（0λ>），圆弧均匀带电q （0q >），半径为a ，张角为α，弧心O 到直线的距离为d 。分析圆弧所受的电场力。

分析与讨论： 基本分析过程：

圆弧长为2C a α=，电荷的线密度为'

/q c λ=，在圆弧上取一长为dl ad θ=弧元，

带电量为d d d 2q

q l λθα

'==，直线电荷在弧元处产生的电场强度方向沿着x 轴正向，大小为022π()

cos k E d x d a λ

λ

εθ

=

=

++

a

O x d λ

θ

d l 2α

d F

q

A

B C

电荷元所受的电场力为：d d d (cos )

k q F E q d a λθ

αθ==

+，

圆弧所受的电场力为：0

2d cos k q

F d a α

λθ

α

θ=

+⎰ （1）如果0d = ，则02d cos k q F a α

λθ

αθ

=⎰，根据积分公式可得21sin ln cos k q F a λααα+= 但/2a π≠，否则圆弧接触直线电荷。

（2）如果d a =，则200

2d 2d 1cos 2cos (/2)k q k q F a a αα

λθλθ

αθαθ==+⎰⎰积分得2t a n 2

k q F a λα

α=

但a π≠，否则圆弧接触直线电荷。

（3）如果d a =-，则积分得到F →-∞，这是圆弧与直线电荷接触的情况。d a =-的

距离称为奇点。

以上仅为简单的分析，讨论了几种特殊情况，下面来分析一般情况：

2d cos k q

F d a α

λθ

α

θ=

+⎰ 设22d 2121arctan(tan )arctanh(tan )1cos 121211

k k S k k k k k θθθ

θ--=

==+++--⎰ 取/k a d =，可得圆弧所受的电场力：

2

2

41arctan(

tan )2k q d a F d a d a λα

α

-=

+-或

22

41arctanh(

tan )2

k q

a d F a d a d λα

α

-=

+- 当d a <-时，圆弧所受力方向向左，上面两式都要取负号。 下面开始讨论 ①当0d =时，可得：

421tan(/2)21sin arctanh(tan )ln[]ln 21tan(/2)cos k q k q k q F a a a λαλαλα

ααααα

++=

==- ②当d a →时，可得：

22

412(

tan )tan 22

k q d a k q F d a a d a λαλα

α

α-→

=+- ③当d a >>时，

1d a

d a

-≈+则： 4122k q k q

F d d

λαλα≈

=

可见：在很远的地方，不论什么样的圆弧电荷都可以当作点电荷。 ④当cos d a α→-时，这是圆弧上下两端接触直线电荷的情况，可得：

411cos 4arctanh(tan )arctanh(1)sin 1cos 2sin k q

k q

F a a λααλα

αααα

+→

=→∞-

⑤cos a d a α-<<-当时，圆弧跨在直线电荷的两边（相互绝缘），圆弧所受直线电荷的作用力仍然由上面两式计算。

⑥当0d a →--时，圆弧B 点从左边接近直线，可得（要加负号）：

22

2241241π

arctan(

tan )22k q a k q F d a d a

λε

αλα

ε

α+=-

→-→-∞--

⑦当0d a →-+时，圆弧跨在直线电荷的两边，其B 点从右边接近直线，设

tan 2

a d x a d α

-=

+ 则x →∞。由于arctanh 1x x →，可得： 4arctanh()2()tan(/2)tan(/2)

k q

x x k q

F a d a λλα

ααα=

→-

可知：在d a =-的两边，力的左右极限并不相等。 再讨论：

①当0α→时，圆弧退化为一点，可得：

22

41(

)2

k q d a F d a d a λα

α

-→

+-

这正是点电荷在直线电荷的电场中所受的电场力。 ②当/2απ=时，可得：

2281arctan()πk q d a

F d a d a

λ-=

+- 这是半圆形电荷所受的电场力。当d a →时，可得：4πk q

F a

λ→