行列式的性质
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t为排列 p1 pi pj pn 的逆序数.
设排列 p1 pi pj pn 的逆序数为t1,
则有
1t 1 t1 ,
故 D1 1 t1a1 p1 aipj a jpi anpn D.
例如
证毕
1 7 5 1 7 5 17 5 715
见教材第9页
见教材第9页
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比
例，则此行列式等于零． 成比为零
证明
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
ai1 ai2 ain
k 0.
和行和式
规定记法: 行 (row) — 用 r 表示 , 如 第 3 行记为 r3 ;
列 (column) — 用 c 表示 , 如 第 2 列记为 c2 .
例 103 100 204
199 200 395 301 300 600
解
100 100 204 3 100 204
D拆c1 200 200 395 1 200 395
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
转置相等
教材中行列式的性质1 、2 均用小字排印, 非必读内容.
证明
源自文库
记 D det aij 的转置行列式
证明见 教材 第8页
b11 b12 b1n DT b21 b22 b2n ,
bn1 bn2 bnn
即 bij aij i, j 1,2, , n,
3
400 100 100 1
1 2
4 5
1 300 0 1 300 600
130
100 20 2000
倍加不变
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以
同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行
列式不变．
见教材第10页
a11
a1i
a1 j
a1n
例如
注意写法！ 见教材第 13页倒数 第4行
an11 an1
an12 an2
an13 an3
an14 an4
an1n ann
从 a11 开始 将第一列乘以适当的数加到第 2 列、 将 a12 消为0；第 1 列乘以适当的数加到第3 列将 a13 消为 0 ; 第 1 列乘以适当的数加到第4 列将 a14 消为 0 ; 如此下去， 直到将 a1n 消为 0 .
a'n14 an'4
a01n
a'2n a'3n
a 'n1n a'nn
从 a22 开始 将第二列分别乘以适当的数加到
第 3 列、将a23 消为 0 .
乘以适当的数加到第4 列消去a24 如此方法做下去， ，直到消去a2 n .
a11
0
0
0 0
a21 a22 a023 a024 a02n
kai1 kai2 kain
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
1 方程 1
2 4
1 2 x2
3 6
2 2 1 6 x2
3 3 0 的解为 7 14
x 1
x 2
解 ：容易观察出1、2两行元素有三对元素相同；
an1 an2 (ani an i ) ann
则D等于下列两个行列式之和： a11 a1i a1n a11 a1i a1n
D a21 a2i a2n a21 a2i a2n
an1 ani ann an1 an i ann
元素全消为0 .
a11 a21 a31
an11 an1
0 a22 a32 an 12 an 2
0
0 a33 an13 an3
0
0 a304 aann1144 aann44
0
0 a03n aann011nn aannnn
D 341
2
3
4
1
2
1 r1 4r4
2
7 0
4123
2341
2 3 41
用位于 a33 位置上的元素 7 消去 a23 及 a13 的元素会产生
分数不利于计算 , 可以通过换列将位于 a31 位置上的元素
调换到 a33 的位置 , 运算就方便了 .
13 10 7 0 36 4 0 0 40 0 0 0
《线性代数》同济六版
第 1 章 行列式
第四节 行列式的性质
课件制作：黄 明
2018年9月
一、行列式的性质
记
a11 a12 a1n
a11 a21 an1
D a21 a22 a2n DT a12 a22 an2
an1 an2 ann
a1n a2n ann
行列式 DT称为行列式 D 的转置(transposition) 行列式.
按定义
DT
1 tb1 p1b2 p2 bnpn
1 t a p11a p2 2 a pnn .
又因为行列式 D 可表示为
D
1 t a p11a p2 2 a pnn .
故
D DT .
证毕
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
0
0 a304 aann1144 aann44
0
0
a03n aann011nn aaannnnnn
下三角 行列式
继
续用
上
述
方法
消
去a
jj
所在行右边的各元素，
使其化为0 , 最终可将行列式化为下三角行列式.
也可用ri krj 的运算化行列式成下三角形行列式， 如下所示意
3、4 两行元素有三对元素成比例 . 由行列式的性质4
令：2 x2 1 、6 x2 2
解得： x 1 ， x 2
见教材第9页
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两
数之和.
a11 a12 (a1i a1i ) a1n
例如
D a21 a22 (a2i a2 i ) a2n
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj 把行 列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
也可用ci kc j 将行列式化为下三角行列式。 下面我们以化下三角行列式为例讲其一般方法：
a11
a12
a13
a14 a1n
a21 a22 a23 a24 a2n
a31 a32 a33 a34 a3n
下三角 行列式
继
续用
上
述
方法
消
去a
jj
所在行右边的各元素，
使其化为0 , 最终可将行列式化为下三角行列式.
再从 a33 开始，用上述方法将a33所在行的右边各
元素全消为0 .
a11 a21 a31
an11 an1
0 a22 a32 an 12 an 2
0
0 a33 an13 an3
如果位于a11 的元素不等于1，而行列式的其它 元 素 有 1 ，可 通 过 换 行 及 换 列 使 这个 元 素 调 整 到 第 一 行第一列的位置上再化上(下)三角行列式.
若所有的aij 均不等于1 , 可用 ri krj (ci kc j )生
成元素1 后，再按上面的方法去做 .
a31 a32 a33 a34 aa33nn
an11 an 12 an13 an14 aann11nn an1 an 2 an3 an4 aannnn
再从 a33 开始，用上述方法将a33所在行的右边各
300 300 600 1 300 600
拆c3 0
3 1
100 200
43 5 1
100 200
200 400
1 300 0 1 300 600
3 100 204 0 1 200 395
1 300 600
拆c3 3 1
100 200
43 5 1
100 200
200 c2
再用第2 列第 2 行的元素
a12 a11
a13 a11
a14 a11
a1n a11
a11 a21 a31
an11 an1
a012
a'22 a3'2
an'12 an'2
a013
a2'3 a3'3
an'13 an'3
a014
a2'4 a3'4
3 c4 7c2 2 4
0 2 c4 c3 1 0
4 3 2 4
0 160 .
0
4 7 4 36 4 7 4 40
也可以通过行利用行列式的性质 6 将行列式化 成下三角形行列式 .
1234
1234
7 10 13 0
r3 2r4
2 3 4 1 r2 r4 4 1 2 3 r2 3r4 2 8 10 0
性质2 对换行列式的两行（列）,行列式变号.
证明 设行列式
换行变号
证明见 教材 第9页
b11 b12 b1n
D1
b21 b22 b2n ,
bn1 bn2 bnn
是由行列式 D det aij 变换 i, j 两行得到的,
即当 k i, j 时,
bkp akp; 当 k i, j 时,
于是
bip a jp , bjp aip,
D1
1 tb1 p1 bipi bjp j bnpn
1 ta1 p1 aipi a jp j anpn
1 ta1 p1 aipj a jpi anpn ,
其中 1 i j n 为自然排列,
6 6 2 3 5 8 , 6 6 2 6 6 2. 3 5 8 6 6 2 35 8 538
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则
此行列式为零.
见教材第9页 行同为零
证明 互换相同的两行，有 D D, D 0.
见教材第9页 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都
a11 a21
an21 an11 an1
a012 a22
an22 an12 an2
a10n 2 a 20n 2
an2n2 an1n2 a nn 2
a10n1 a20n1
a 0n2n1
an1n1
a nn 1
a01n a02n a n0 2 n an01n ann
乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
倍行倍式
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面．
a21
a2i
k
a2 j
a2n
an1 ani anj ann
a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n
ci kc j
a21
(a2i ka2 j )
a2 j
a2n
an1 (ani kanj ) anj ann
c1 c3 10
换列变号 7
8 2
2 0 4 r2 2r3 4 0 0 4 r1 r2 4 0 0
1 0 r17r3 7 2 1 0 7 2 1 0
4 3 21
4 3 21 4 3 21
160 .
在上面将行列式用ci kc j 的方法化为下三角 行列式的过程里，将过程中的列换成行，而将行 换成列，则是将行列式化成上三角行列式的方法. 这是因为转置行列式相等的缘故 . 此时相应的列 变换就因转置成为行变换 .
(这是示意过程，在运算中元素的数值有变化的！)
1234 1 0 0 0
c2 2c1
例如：D 2 3
3 4
4 1
1 2 c3 3c1
2 3 c4 4c1
1 2
2 8
7 10
4 1 2 3 4 7 10 13
10 0 0
10 0 0
2 c3 2c2 1 0
设排列 p1 pi pj pn 的逆序数为t1,
则有
1t 1 t1 ,
故 D1 1 t1a1 p1 aipj a jpi anpn D.
例如
证毕
1 7 5 1 7 5 17 5 715
见教材第9页
见教材第9页
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比
例，则此行列式等于零． 成比为零
证明
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
ai1 ai2 ain
k 0.
和行和式
规定记法: 行 (row) — 用 r 表示 , 如 第 3 行记为 r3 ;
列 (column) — 用 c 表示 , 如 第 2 列记为 c2 .
例 103 100 204
199 200 395 301 300 600
解
100 100 204 3 100 204
D拆c1 200 200 395 1 200 395
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
转置相等
教材中行列式的性质1 、2 均用小字排印, 非必读内容.
证明
源自文库
记 D det aij 的转置行列式
证明见 教材 第8页
b11 b12 b1n DT b21 b22 b2n ,
bn1 bn2 bnn
即 bij aij i, j 1,2, , n,
3
400 100 100 1
1 2
4 5
1 300 0 1 300 600
130
100 20 2000
倍加不变
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以
同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行
列式不变．
见教材第10页
a11
a1i
a1 j
a1n
例如
注意写法！ 见教材第 13页倒数 第4行
an11 an1
an12 an2
an13 an3
an14 an4
an1n ann
从 a11 开始 将第一列乘以适当的数加到第 2 列、 将 a12 消为0；第 1 列乘以适当的数加到第3 列将 a13 消为 0 ; 第 1 列乘以适当的数加到第4 列将 a14 消为 0 ; 如此下去， 直到将 a1n 消为 0 .
a'n14 an'4
a01n
a'2n a'3n
a 'n1n a'nn
从 a22 开始 将第二列分别乘以适当的数加到
第 3 列、将a23 消为 0 .
乘以适当的数加到第4 列消去a24 如此方法做下去， ，直到消去a2 n .
a11
0
0
0 0
a21 a22 a023 a024 a02n
kai1 kai2 kain
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
1 方程 1
2 4
1 2 x2
3 6
2 2 1 6 x2
3 3 0 的解为 7 14
x 1
x 2
解 ：容易观察出1、2两行元素有三对元素相同；
an1 an2 (ani an i ) ann
则D等于下列两个行列式之和： a11 a1i a1n a11 a1i a1n
D a21 a2i a2n a21 a2i a2n
an1 ani ann an1 an i ann
元素全消为0 .
a11 a21 a31
an11 an1
0 a22 a32 an 12 an 2
0
0 a33 an13 an3
0
0 a304 aann1144 aann44
0
0 a03n aann011nn aannnn
D 341
2
3
4
1
2
1 r1 4r4
2
7 0
4123
2341
2 3 41
用位于 a33 位置上的元素 7 消去 a23 及 a13 的元素会产生
分数不利于计算 , 可以通过换列将位于 a31 位置上的元素
调换到 a33 的位置 , 运算就方便了 .
13 10 7 0 36 4 0 0 40 0 0 0
《线性代数》同济六版
第 1 章 行列式
第四节 行列式的性质
课件制作：黄 明
2018年9月
一、行列式的性质
记
a11 a12 a1n
a11 a21 an1
D a21 a22 a2n DT a12 a22 an2
an1 an2 ann
a1n a2n ann
行列式 DT称为行列式 D 的转置(transposition) 行列式.
按定义
DT
1 tb1 p1b2 p2 bnpn
1 t a p11a p2 2 a pnn .
又因为行列式 D 可表示为
D
1 t a p11a p2 2 a pnn .
故
D DT .
证毕
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
0
0 a304 aann1144 aann44
0
0
a03n aann011nn aaannnnnn
下三角 行列式
继
续用
上
述
方法
消
去a
jj
所在行右边的各元素，
使其化为0 , 最终可将行列式化为下三角行列式.
也可用ri krj 的运算化行列式成下三角形行列式， 如下所示意
3、4 两行元素有三对元素成比例 . 由行列式的性质4
令：2 x2 1 、6 x2 2
解得： x 1 ， x 2
见教材第9页
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两
数之和.
a11 a12 (a1i a1i ) a1n
例如
D a21 a22 (a2i a2 i ) a2n
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj 把行 列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
也可用ci kc j 将行列式化为下三角行列式。 下面我们以化下三角行列式为例讲其一般方法：
a11
a12
a13
a14 a1n
a21 a22 a23 a24 a2n
a31 a32 a33 a34 a3n
下三角 行列式
继
续用
上
述
方法
消
去a
jj
所在行右边的各元素，
使其化为0 , 最终可将行列式化为下三角行列式.
再从 a33 开始，用上述方法将a33所在行的右边各
元素全消为0 .
a11 a21 a31
an11 an1
0 a22 a32 an 12 an 2
0
0 a33 an13 an3
如果位于a11 的元素不等于1，而行列式的其它 元 素 有 1 ，可 通 过 换 行 及 换 列 使 这个 元 素 调 整 到 第 一 行第一列的位置上再化上(下)三角行列式.
若所有的aij 均不等于1 , 可用 ri krj (ci kc j )生
成元素1 后，再按上面的方法去做 .
a31 a32 a33 a34 aa33nn
an11 an 12 an13 an14 aann11nn an1 an 2 an3 an4 aannnn
再从 a33 开始，用上述方法将a33所在行的右边各
300 300 600 1 300 600
拆c3 0
3 1
100 200
43 5 1
100 200
200 400
1 300 0 1 300 600
3 100 204 0 1 200 395
1 300 600
拆c3 3 1
100 200
43 5 1
100 200
200 c2
再用第2 列第 2 行的元素
a12 a11
a13 a11
a14 a11
a1n a11
a11 a21 a31
an11 an1
a012
a'22 a3'2
an'12 an'2
a013
a2'3 a3'3
an'13 an'3
a014
a2'4 a3'4
3 c4 7c2 2 4
0 2 c4 c3 1 0
4 3 2 4
0 160 .
0
4 7 4 36 4 7 4 40
也可以通过行利用行列式的性质 6 将行列式化 成下三角形行列式 .
1234
1234
7 10 13 0
r3 2r4
2 3 4 1 r2 r4 4 1 2 3 r2 3r4 2 8 10 0
性质2 对换行列式的两行（列）,行列式变号.
证明 设行列式
换行变号
证明见 教材 第9页
b11 b12 b1n
D1
b21 b22 b2n ,
bn1 bn2 bnn
是由行列式 D det aij 变换 i, j 两行得到的,
即当 k i, j 时,
bkp akp; 当 k i, j 时,
于是
bip a jp , bjp aip,
D1
1 tb1 p1 bipi bjp j bnpn
1 ta1 p1 aipi a jp j anpn
1 ta1 p1 aipj a jpi anpn ,
其中 1 i j n 为自然排列,
6 6 2 3 5 8 , 6 6 2 6 6 2. 3 5 8 6 6 2 35 8 538
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则
此行列式为零.
见教材第9页 行同为零
证明 互换相同的两行，有 D D, D 0.
见教材第9页 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都
a11 a21
an21 an11 an1
a012 a22
an22 an12 an2
a10n 2 a 20n 2
an2n2 an1n2 a nn 2
a10n1 a20n1
a 0n2n1
an1n1
a nn 1
a01n a02n a n0 2 n an01n ann
乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
倍行倍式
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面．
a21
a2i
k
a2 j
a2n
an1 ani anj ann
a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n
ci kc j
a21
(a2i ka2 j )
a2 j
a2n
an1 (ani kanj ) anj ann
c1 c3 10
换列变号 7
8 2
2 0 4 r2 2r3 4 0 0 4 r1 r2 4 0 0
1 0 r17r3 7 2 1 0 7 2 1 0
4 3 21
4 3 21 4 3 21
160 .
在上面将行列式用ci kc j 的方法化为下三角 行列式的过程里，将过程中的列换成行，而将行 换成列，则是将行列式化成上三角行列式的方法. 这是因为转置行列式相等的缘故 . 此时相应的列 变换就因转置成为行变换 .
(这是示意过程，在运算中元素的数值有变化的！)
1234 1 0 0 0
c2 2c1
例如：D 2 3
3 4
4 1
1 2 c3 3c1
2 3 c4 4c1
1 2
2 8
7 10
4 1 2 3 4 7 10 13
10 0 0
10 0 0
2 c3 2c2 1 0