应用题专项练习

高考冲刺——应用题专项练习
1．在某海滨城市附近海面有一台风，据测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南
)10
2
(cos =
θθ方向300km 的海面P 处,并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？
解：设经过t 小时台风中心移动到Q 点时，台风边沿恰经过O 城，
由题意可得：OP=300，PQ=20t ，OQ=r(t)=60+10t 因为102cos =θ，α=θ-45°,所以1027sin =θ，5
4cos =α
由余弦定理可得：OQ 2=OP 2+PQ 2-2·OP ·PQ ·αcos 即 (60+10t)2=3002+(20t)2-2·300·20t ·5
4
即0288362=+-t t ，
解得121=t ,242=t -2t 121=t
答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时。

2．某唱片公司要发行一张名为《春风再美也比不上你的笑》的唱片，该公司计划用x （万元）请我校李老师进行创作，经调研知：该唱片的总利润y （万元）与2
)3(x x -成正比的关系，当2=x 时32=y .又有
(]t x x
,0)
3(2∈-，其中t 是常数，且(]2,0∈t .
（Ⅰ）设()y f x =，求其表达式，定义域（用t 表示）； （Ⅱ）求总利润y 的最大值及相应的x 的值. 解：（Ⅰ）()2
3,y k x x =-
当2x =时，32.8y k =∴=
23248y x x =-定义域：()(]0,23x t x ∈-Q
6021
t
x t ∴<≤+
（Ⅱ）()-24-20y x x '== 02x x ∴==或
讨论：若6221t t ≤
+，即12t ≤≤时，()f x 在02)（，单调递增，在6(2,)21
t
t +上单调递减. 所以()322max ==f y
若6221t t >+，即01t <<时0)(/
>x f ，所以()f x 在60)21
t t +（，上为增函数。

()3
2
max 12864126+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=t t
t t f y 综上述：当21≤≤t 时，()322max ==f y ；当10<<t 时，()
3
2
max 12864+=
t t y
O P
θ
45°
东
西
北东
3．环保监察部门对某大型企业自2012年1月1日起向某湖区排放的污水量进行了三个月的跟踪监测，并预测，如果不加以治理，该企业向湖区排放的污水量将以公比为2的等比数列
m。

增长，且1月的污水排放量为1万3
（1）如果不加以治理，求该企业从2012年1月1日起，n个月后，该企业向湖区排放的污m。

水总量为多少1万3
（2）为保护环境，当地政府和该企业决定从7月份开始投资安装污水处理设备，进行污水
m，以后每月的污水排放量比上处理，预计7 月份污水排放量比6月份的排放量减少4万3
m，当企业停止排放污水后，再以每月16万3m的速度处理湖区中的月的排放量减少4万3
m。

污水，问什么时候可以使湖区中的污水不多于50万3
n-．（2）8个月后
（1）21
4．已知某海滨城市O位于东西方向海岸线的O处，在距海滨城市O海里，北偏东ϕ3
ϕ=角的A小岛建有一处海上物资供给站，一科学考察船正在沿海滨城市O北偏(tan)
2
θ=）角的航线上进行科考，现科考指挥部（设在海滨城市O）需要紧急东θ（cos
10
征调在海滨城市O的正东，距离为t海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科考船，该船接到指令后，立即沿BA方向全速赶往科考船，并正好在C处相遇，经测算：当两船的航线与海岸线围成的三角形面积S最小时，这种补给最适宜。

S t；
（1）求S关于t的函数关系式()
（2）问应征调海岸线上何处的补给船，补给最适宜。

5．某市有两个传统强镇A、B，它们相距80km，过A、B分别有一条笔直的公路相交于M，且M到两镇中心的距离之和为100km，为了加快区域经济的发展，该市拟选择这两个传统强镇A、B为龙头带动周边乡镇的发展，并决定在这两个镇的周边修建一条过M的环形高速公路，环形高速公路所在的曲线为E，曲线E上的点到两镇中心的距离之和相等。

（1）在M处原有一个中型加油站，现再在曲线E上建一个小型加油站N，使两个加油站与镇B在一条直线上，且相距80km（直线距离），求两个加油站到镇A的距离之和；
（2）在A、B连线的正中间O有一景点，该市计划过O再修一条笔直的公路与环形高速公路所在的曲线E相交于P、Q，并确定在四边形PABQ区域开发旅游业，问该公路如何修建，可使开发区域面积最大？最大开发区域面积是多少？
6．如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P 和居民区O 的公路，点P 所在
的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（090θ<<o
o
），且2
sin 5
θ=
，点P 到平面α的距离0.4PH =（km ）．沿山脚原有一段笔直的公路AB 可供利用．从点O 到山脚修
路的造价为a 万元/km ，原有公路改建费用为2
a
万元/km ．当山坡上公路长度为l km
（12l ≤≤）时，其造价为2
(1)l a +万元．已知OA AB ⊥，PB AB ⊥， 1.5(km)AB =，
3(km)OA =．
（I ）在AB 上求一点D ，使沿折线PDAO 修建公路的总造价最小； （II ） 对于（I ）中得到的点D ，在DA 上求一点E ，使沿折线PDEO
修建公路的总造价最小．
（III ）在AB 上是否存在两个不同的点D '，E '，使沿折线PD E O ''修建公路的
总造价小于（II ）中得到的最小总造价，证明你的结论．
解：（I ）如图，PH α⊥，HB α⊂，PB AB ⊥，由三垂线定理逆定理知，AB HB ⊥，所以PBH ∠是山坡与α所成二面角的平面角，则PBH θ∠=，1sin PH
PB θ
==． 设(km)BD x =，0 1.5x ≤≤．则
222
1PD x PB x =+=+[12]∈，
． 记总造价为1()f x 万元，
Ｏ
A
E
D
B
H
P
α
A
O
E D
B
H
P
据题设有2
211111
()(1)(224
f x PD AD AO a x x a =++
+=-++
2
143416x a a ⎛⎫⎛=-++ ⎪ ⎝⎭⎝
当14x =
，即1
(km)4
BD =时，总造价1()f x 最小． （II ）设(km)AE y =，5
04
y ≤≤，总造价为2()f y 万元，根据题设有
22131()1224f y PD y a ⎡⎤
⎛⎫=++-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦43216y a a ⎫=+⎪⎭．
则(
)21
2f y a ⎛⎫'⎪=-⎪⎭
，由2()0f y '=，得1y =．
当(01)y ∈，时，2()0f y '<，2()f y 在(01)，内是减函数； 当514y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2()0f y '>，2()f y 在514⎛⎫ ⎪⎝⎭
，内是增函数． 故当1y =，即1AE =（km ）时总造价2()f y 最小，且最小总造价为
67
16
a 万元． （III ）不存在这样的点D '，E '．
事实上，在AB 上任取不同的两点D '，E '．为使总造价最小，E 显然不能位于D ' 与B 之间．故可设E '位于D '与A 之间，且BD '=1(km)x ，1(km)AE y '=，12302
x y +≤≤，总造价为S
万元，则2
11111224x y S x a ⎛⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
．类似于（I ）、（II ）讨论知，2111216x x -
-≥
1322y ≥，当且仅当11
4
x =，11y =同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时1(km)4BD '=，1(km)AE =，S 取得最小值67
16
a ，点D E ''，
分别与点D E ，重合，所以不存在这样的点 D E ''，，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价．。