第十章-三向应力状态简介(材料力学课件)

四个强度理论的强度条件可写成统一形式：
r [ ]
r 称为相当应力
r1 1 r2 1 ( 2 3 ) r3 1 3
r4
1 2
( 1 2 ) 2
( 2 3 ) 2
( 3 1 ) 2
• 一般说来，在常温和静载的条件下，脆性材 料多发生脆性断裂，故通常采用第一、第二 强度理论；塑性材料多发生塑性屈服，故应 采用第三、第四强度理论。
• 用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪
应力与许用拉应力之比 [ ] 0.577 [ ]
例：填空题。
石料在单向压缩时会沿压力作用方向的纵 截面裂开，这与第 二 强度理论的论述基本 一致。
例：填空题。
一球体在外表面受均布压力p = 1 MPa 作用，则在球心处的主应力 1 = －1 MPa， 2 = －1 MPa， 3 = －1 MPa。
3
1 E
3 （ 1 2 ）
对于二向应力状态：
1
1 E
( 1
2)
2
1 E
( 2
1 )
3 E ( 1 2 )
2 1
CL10TU30
下面考虑体积变化：
V0 a b c
V1 a(1 1) b(1 2 ) c(1 3 ) 2 a b c (1 1 2 3 )
§10-4 三向应力状态简介
主单元体：六个平面都是主平面
2
1 3
若三个主应力已知，求任意斜截面上的应CL力10T:U30
首先分析平行于主应力之一（例如σ3）的 各斜截面上的应力。
σ3 对斜截面上的应力没有影响。这些斜截 面上的应力对应于由主应力 σ1 和 σ2 所画的应 力圆圆周上各点的坐标。
2
3
1 , 2 0, 3
r3 1 3 ( ) 2
r4
1 2
( 1 2 )2
( 2
3)2
( 3 1 )2
3
例：填空题。
危险点接近于三向均匀受拉的塑性材料， 应选用 第一 强度理论进行计算，因为此时 材料的破坏形式为 脆性断裂 。
例：选择题。 纯剪切应力状态下，各向同性材料单元
m
m CL10TU60
解：(1)将应变片贴于与母线成45°角的外表面上
(2) 1 , 2 0, 3
1
1 E
1 ( 2
3)
max
min
1
E
1
E
m
d3
0
16
m d 3E 0 16(1 )
例：钢制封闭圆筒，在最大内压作用下测 得圆筒表面任一点的εx＝1.5×10－4。已知 E=200GPa，μ＝0.25，［σ］＝160MPa，按第 三强度理论校核圆筒的强度。
0
§10-6 复杂应力状态下的变形比能
P
拉压变形能：
U 1 P l 1 P P l P2l
2
2 EA 2EA
变形比能：
P
l l
uU
P2l
2
1
V 2EA Al 2E 2
CL10TU40
变形比能：
u 1
2
u
1 2
1
1
1 2
2
2
1
2
3
3
2
1 3
变形比能：
u
1 2
1
1
1
2
2
2
1
2
3
3
纯剪切应力状态:
CL10TU50
二、关于屈服的强度理论
• 1.最大剪应力理论（第三强度理论）
• 它假定，无论材料内各点的应力状态如何， 只要有一点的最大剪应力τmax达到单向拉伸 屈服剪应力τS时，材料就在该处出现明显塑 性变形或屈服。
• 屈服破坏条件是：
max s
max
1
3
2
,
s
s
2
• 用应力表示的屈服破坏条件： 1 3 s
流动破坏 材料破坏的形式主要有两类：
断裂破坏
§10-8 常用的四种强度理论
材料破坏的基本形式有两种：流动、断裂 相应地，强度理论也可分为两类：
一类是关于脆性断裂的强度理论； 另一类是关于塑性屈服的强度理论。 一、关于脆断的强度理论
1.最大拉应力理论（第一强度理论） • 它假定：无论材料内各点的应力状态如何，
体的体积改变有四种答案： （A）变大 （B）变小 （C）不变 （D）不确定
1 2 3 m
K
例： 圆轴直径为d，材料的弹性模量为E， 泊松比为 μ ，为了测得轴端的力偶ｍ之值，但 只有一枚电阻片。 (1) 试设计电阻片粘贴的位置和方向； (2) 若按照你所定的位置和方向，已测得线应
变为 0，则外力偶ｍ＝？
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力 （应力单位为MPa）。
CL10TU32
解：
1 30 20
3
2
30
2
20
2
402
52.2
MPa
42.2
2 50MPa
max
1
3
2
47.2MPa
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力 （应力单位为MPa）。
解： 1 50MPa
2 50MPa
• 影响材料的脆性和塑性的因素很多，例如： 低温能提高脆性，高温一般能提高塑性； 在高速动载荷作用下脆性提高，在低速静 载荷作用下保持塑性。
无论是塑性材料或脆性材料： 在三向拉应力接近相等的情况下，都以断
裂的形式破坏，所以应采用最大拉应力理论；
在三向压应力接近相等的情况下，都可以 引起塑性变形，所以应该采用第三或第四强度 理论。
例：填空题。
三向应力状态中，若三个主应力都等于σ，材
料的弹性模量和泊松比分别为E和 μ ，则三个 主
应变为
。
1
1 E
1 （ 2 3 ）
2
1 E
2 （ 3 1）
3
1 E
3 （ 1 2 ）
例：填空题。
第三强度理论和第四强度理论的相当应 力分别为σr3及σr4，对于纯剪应力状态，恒有 σr3／σr4＝＿＿＿。
3
1
1 1
3 2
3
2
3
2
1
同理，在平行于 σ2 的各个斜截面上，其 应力对应于由主应力 σ1 和 σ3 所画的应力圆圆 周上各点的坐标。
2
3
1
1
3 2
3
2
1
在平行于 σ1 的各个斜截面上，其应力对应 于由主应力 σ2 和 σ3 所画的应力圆圆周上各点 的坐标。
2
3
1
1
3 2
3
2
1
这样，单元体上与主应力之一平行的各个 斜截面上的正应力和剪应力，可由三个应力圆 圆周上各点的坐标来表示。
• 它假定，复杂应力状态下材料的形状改变比 能达到单向拉伸时使材料屈服的形状改变比 能时，材料即会发生屈服。
• 屈服破坏条件是： u f uu
u f
1
6E
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2
• 简单拉伸时： 1 s , 2 3 0
uu
1
1 2E
121
122 E
2 3
2( 1
1 （ 2
2 2 3
3）
3 1)
2
1 E
2
（
3
）
1
3
1 E
3 （ 1 2 ）
2 1
m m
2 m 1 m
3
m
3 m
m
1
2
3
3
变形3比(1能 =2体)积改1变比能2 +形状3 改 变比m 能
u E= uv 3 +
uK f CL10TU41
6E
2 s2
• 屈服破坏条件是：
1
2
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2
s
• 第四强度条件：
1
2
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2
[ ]
这个理论和许多塑性材料的试验结果相符， 用这个理论判断碳素钢的屈服失效是相当准确 的。
2
第四强度理论的强度条件为：
1
2
( 1 2 )2
( 2
3)2
( 3
1)2
3 [ ]
由此得： [ ]
3
剪切强度条件为： [ ] 按第三强度理论可求得： [ ] [ ]
3
例：填空题。
• 在纯剪切应力状态下：
• 用第三强度理论可得出：塑性材料的许用剪
应力与许用拉应力之比 [ ] 0.5 [ ]
y
x
CL10TU61
解： y 2 x
x
1 E
( x
y)
1.5 104
由上两式可求得 x 60MPa, y 120MPa
故 1 120MPa, 2 60MPa, 3 0
r3 1 3 120MPa < [ ]
故满足强度条件。
y x
作业（P182-187）
•2 • 4（b、d） • 5（b、d） • 10，11，12，14（b、c），15，17，18 • 20，23，25，30
,
u
u
E
b
E
• 由此导出失效条件的应力表达式为：
1 ( 2 3 ) b
[ ] b
n • 第二强度条件： 1 ( 2 3 ) [ ]
煤、石料或砼等材料在轴向压缩试验时，如 端部无摩擦，试件将沿垂直于压力的方向发生 断裂，这一方向就是最大伸长线应变的方向， 这与第二强度理论的结果相近。
2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）
• 它假定，无论材料内各点的应变状态如何， 只要有一点的最大伸长线应变ε1达到单向拉 伸断裂时应变的极限值 εu，材料即破坏。
• 所以发生脆性断裂的条件是 ε1 ≥ εu • 若材料直到脆性断裂都是在线弹性范围内工
作，则
1
1 E
1 （ 2 3 ）
§10-9 莫尔强度理论
1
[ [
t c
] ]
3
[
t
]
rM
1
[ [
t c
] ]
3
例：填空题。
冬天自来水管冻裂而管内冰并未破裂， 其原因是冰处于 三向压 应力状态，而水管 处于 二向拉 应力状态。
例：填空题。
• 在纯剪切应力状态下：
• 用第三强度理论可得出：塑性材料的许用剪
应力与许用拉应力之比 [ ] [ ]
u 1 2E
2 1
2 2
2 3
2( 1 2 2 3 3 1)
uv
3(1 2)
2E
2 m
1 2
6E
(
1
2
3)2
u f u uv
12 6E
( 1 2 )2m ( 2 3 )2
( 3 1)2
1
m
1 m
3
m
3 m
§10-7 强度理论的概念
max [ ] max [ ]
纵向应变：
E
横向应变：
E
CL10TU35
下面计算沿 1方向的应变：
1引起的应变为
1
1
E
2
2 、 3引起的应变为
1
2
E
1
3
E
1 3
当三个主应力同时作用时：
1
1 E
1 （ 2 3）
CL10TU30
广义胡克定律：
1
1 E
1
（
2
）
3
2
1 E
2
（
3
）
1
3
2
1
至于与三个主方向都不平行的任意斜截面， 弹性力学中已证明，其应力σn和τn可由图中阴 影面内某点的坐标来表示。
3
2
1
• 在三向应力状态情况下：
2
max 1
min 3
1
max
1
3
2
3
• τmax 作用在与σ2平行且与σ1和σ3的方向成45°
角的平面上，以τ1，3表示
CL10TU31
[ ] s
n
• 第三强度条件： 1 3 [ ]
第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结 果所证实，且稍偏于安全。这个理论所提供的 计算式比较简单，故它在工程设计中得到了广 泛的应用。该理论没有考虑中间主应力σ2的影 响，其带来的最大误差不超过15％，而在大多 数情况下远比此为小。
2.形状改变比能理论(第四强度理论)
单位体积的体积改变为:
V1 V0 V0
1 2 3
b 1
3
c
a
也称为体积应变。
CL10TU30
1
2
3
1 2
E
( 1
2
3)
3(1 2) 1 2 3 m
式当中Km：03.(51E213时1E2，EEE1113)2
1
3
（
2
K 3
）
体2 积 弹（性模3量 1）
3
3 （ 1 2 ）
• 用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪
应力与许用拉应力之比 [ ] [ ]
解：在纯剪切应力状态下，三个主应力分别为
1 , 2 0, 3
第三强度理论的强度条件为：
1 3 ( ) 2 [ ] 由此得： [ ]
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu剪切强度条件为： [ ] 按第三强度理论可求得： [ ] [ ]
只要有一点的主应力σ1 达到单向拉伸断裂时 的极限应力σu，材料即破坏。
• 在单向拉伸时，极限应力 σu =σb
• 失效条件可写为 σ1 ≥ σb
[ ] b
n
• 第一强度强度条件： 1 [ ]
试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、 陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符， 这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应 力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏，也 是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都与最 大拉应力理论相符，但这个理论没有考虑其它 两个主应力的影响。
3 50MPa
max
1 3
2
50MPa
CL10TU33
例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力 （应力单位为MPa）。
CL10TU34
解：
1 120 40
2
2
120 40 2 2
302
130 MPa
30
3 30MPa
max
1 3
2
80MPa
§10-5 广义胡克定律