2017多面体的截面的作法

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多面体截面的几种画法

多面体截面的几种画法正确而迅速地画出几何体的截面，是解决立体几何中有关截面的计算题和证明题的关键。

画截面的主要根据有同一平面内两条不平行的直线必相交，平面的基本性质，平面与平面平行的性质等。

下面举例说明截面的几种画法。

例1在三棱柱ABC-A’B’C’中，E，F，G分别是棱A’C’，CC’，AB上的点。

画出过三点E,F,G的截面图。

分析：画截面的关键是寻找截面与多面体的棱的交点，设法找到多面体的某一侧面与截面的两个公共点，其连线即为截面的一条边。

画法步骤：1.连接EF；2.分别延长FE,AA’相交于点M，连接MG交A’B’于R,连接RE；3.分别延长EF,AC相交于N，连接GN交BC于H，连接FH。

则五边形ERGHF即为所求的截面图。

例2在长方体AC’中，E,F分别是A’D’，CC’上的点，画出过三点E，B，F 的截面图。

分析：上例的画法是可行的，读者不妨试一试。

但注意到侧面AD’与侧面BC’平行，可知截面与侧面AD’的交线必平行于FB。

画法步骤：1.在侧面AD’中，过E作EG∥FB交AA’于G；2.连接BG，在侧面CD’中作FH∥BG交C’D’于H；3.連接EH。

则五边形EGBFH即为所求的截面图。

例3在长方体AC’中，E，F，G分别是棱A’D’，CC’，AB上的点，画出过三点E,F,G的截面图.分析：E,F,G三点中任意两点都不在正方体的同一侧面内，故无法定线。

但我们可以运用平面的基本性质，引一个经过EF的辅助平面，找到EF与底面AC 的公共点，从而得到截面的一条边。

这样就可以用上述方法画出截面。

画法步骤：1.作EP∥AA’ 交AD于P，延长EF,PC相交于点M，连接MG 交BC于点H，连接FH；2.分别延长HF,B’C’ 交于点N，连接EN交D’C’于点S，连接SF；3.分别延长HG，DA相交于点R，连接ER交AA’于Q，连接QG；则六边形EQGHFS即为所求的截面图。

多面体截面的画法

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多面体截面的画法
合肥二中魏克服
多面体的截面问题是立体几何的常见问题之一 , 要正确计算多面体的截面面积 , 必须首先掌握多面体截面的作图。立体几何教学的一个很重要的目的就是培养学生具有较强的空间想象能力 , 而对学生进行截面作图训练正是培养和发展学生的空间想象力 , 正是加强综合运用立儿各方面知识的有益课题。鉴于目前立体几何教学中 , 截面作图问题重视得不够 , 本文提
截面。解连 E 尸 , 由题意知 E F 是截面与底面的交线。两方延长E F 成直线 x 叭则 x y 土 B D , 在
平面 B D D : B : 上作乙 D G S = 30 。交 D D : 于 S , 作乙 B G H 二 30 “ 交 B 刀 , 于 H , 由三垂线定理知刀F一 H G , E F 上 G S 。根据平面角的定义 , 所要求作的截面过 H G 、 S G 。
首先定出截平面与已知平面的交线 , 然后确定截面多边形的其余各顶点的方法是作截面的一般方法 , 我们称之为迹线法。
浅谈求异面直线之间的距离
江苏兴化徐扬中学江西丰城第二中学
解正己邱冬根
求异面直线的距离 , 是立体几何教学中
挤
过棱锥的 P 、 Q 、 R 作截面。
解根据不在一条直线上的三点确定一个平面 , 连 p Q 且延长交 A B 的延长线于 E , 连 R Q 且

多面体的截面的作法

多面体的截面用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集（交线）叫做截线．此平面与几何体的棱的交集（交点）叫做截点．作多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面．作截线与截点的主要根据有：（1）确定平面的条件．（2）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线．（3）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．（4）如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．（5）如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行．主要画法是交线法．即求出截面所在的平面与多面体某一表面所在平面的交线，再找出各有关截线（或其延长线）与此交线的交点．例1 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，G F E 、、分别在1DD BC AB 、、上，求作过G F E 、、三点的截面．作法：（1）在底面AC 内，过F E 、作直线EF 分别与DC DA 、的延长线交于M L 、．（2）在侧面D A 1内，连结LG 交1AA 于K ．（3）在侧面C D 1内，连结GM 交1CC 于H ．（4）连结KE 、FH ．则五边形EFHGK 即为所求的截面．有时为了便于作截面，还须引进辅助面作为作图的中介．例2 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、在两条棱上，G 在底面11C A 内，求过G F E 、、的截面．作法：（1）在底面11C A 内，过G 作11//C B PQ ，交棱于Q P 、两点．（2）作辅助面PC ，在此面内，过F G 、作直线交BP 的延长线于M ．（3）在侧面B A 1内，连结ME ，交11B A 于K ．（4）在底面11C A 内，连结KG ，延长交11C B 于H ．（5）连结HF ．（6）在底面AC 内，作HK FL //，交AB 于L ．（7）连结EL ．则五边形ELFHK 为所求的截面．此外，对于面数较多的多面体，可以把其中一些表面伸展构成面数较少的多面体，使作图得解．例 3 如图，五棱锥ABCD P -中，三条侧棱上各有一已知点H G F 、、，求作过H G F 、、的截面．作法：（1）将侧面PDE PBC PAB 、、伸展得到三棱锥BST P -．（2）在侧面PBS 内，连结并延长GF ，交PS 于K ．（3）在侧面PBT 内，连结并延长GH 交PT 于L ．（4）在侧面PST 内，连结KL 分别交PE PD 、于N M 、．图FN、．则五边形FGHMN即为所求的截面．（5）连结MH。

多面体的截面(一)

多面体的截面（一）黄继红一、教学分析按课标，“多面体的截面”要求学生会作长方体的截面（如截面过已知不共线的、位于棱上的三点，且仅以平面的基本性质为画图依据）。

按教材，“多面体的截面”是对点、线、面的位置关系在认识上的深化和提高，又是为后继几何体的体积学习作准备。

“多面体的截面”定义在课本中仅以“小字”形式作为注意点呈现，例题的截面作法也仅用“交线法”。

我认为：我们松江二中的学生对这个内容的学习不应该仅停留在理解概念、巩固练习的层面，更应该把它上升为探究性理解水平的层次。

基于以上认识，我确立“正确理解多面体的截面概念，体会作多面体截面的基本方法——连延交”作为本课的主要目标。

在设计思路上我以“明线”和“暗线”同时进行、不断贯穿“转化”思想来组织教学，这样可以进一步体验概念学习的过程，还能在各个环节上逐步体会“连延交”的基本方法。

在问题设计上我采取“反复变式”、“层层递进”、“制造认知冲突”等手段突出本课重点、突破本课难点。

又考虑到我校学生已经较好地掌握公理4和面面平行的有关知识，所以本课我在重点突出“连延交”基本方法的同时，适当渗透“平行线法”，这样可以更好地完善学生的认知结构。

明线：形成概念理解概念巩固应用→→暗线：关于课时安排。

“多面体的截面”分为2课时完成，本课为第1课，仅以“正方体”为载体设计教学目标、重点和难点。

第2课安排以棱锥、三棱柱、长方体为例，进一步巩固多面体的截面作法，并说明截面分多面体为怎样的两个多面体、画出这两个多面体的直观图。

二、教学目标⑴通过从具体到抽象的过程，逐步形成并理解平面截多面体的截面概念。

⑵通过正方体的截面作法的探究，体会作多面体截面的基本方法——“连延交”。

⑶经历作正方体截面的过程，体会转化思想，培养空间想象力。

三、教学重点截面的概念及作法教学难点如何“连”四、教学过程1、形成概念引例如图正方体ABCD A B C D ''''-，请画出由点A '、、确定的平面C 'D α与正方体表面的交线。

16.7 多面体直观图的作法(1)

小结斜二测作图法的一般步骤: 斜二测作图法的一般步骤:
(1)找到原图形中的直角关系 (1)找到原图形中的直角关系
(2)一找到水平放置时的x轴和y轴 (2)一找到水平放置时的x轴和y 一找到水平放置时的
例题讲解 3cm和例题1 试用斜二侧法作出一个边长为3cm 4cm的矩例题试用斜二侧法作出一个边长为3cm和4cm的矩形的水平直观图. 形的水平直观图.
D
3cm
C
4cm
A
B
归纳总结总结作多边形的直观图的一般步骤: (一)总结作多边形的直观图的一般步骤: 首先作出准确的多边形平面图,并确定坐标轴方向; ①首先作出准确的多边形平面图,并确定坐标轴方向; 根据与x轴和y轴同方向的线段的长度,按规定2 ②根据与x轴和y轴同方向的线段的长度,按规定2作出与坐标轴同向的线段; 出与坐标轴同向的线段; 根据平面图形联线成形, ③根据平面图形联线成形,就可得到所求作的多边形的水平放置的直观图. 的水平放置的直观图. 根据作图的具体过程,写出作图的主要步骤(作法). ④根据作图的具体过程,写出作图的主要步骤(作法). 注意作空间图形的直观图时,一般不需保留坐标轴. 作空间图形的直观图时,一般不需保留坐标轴.
新课讲解斜二测作图法的两点规定: 一.斜二测作图法的两点规定: *规定(1): 按右图所示的位置和夹角规定(1):* 作三条轴分别表示: 作三条轴分别表示: *前后方向----x轴; ----x 前后方向---左右方向-------y *左右方向----y轴; 铅垂方向-------z *铅垂方向----z轴. z
新课讲解立方体的几种常见透视图: 一.立方体的几种常见透视图:
(平行透视法) 平行透视法)
(点透视法) 点透视法)

沪教版(上海)数学高三上册-1多面体的截面课件

沪教版（上海）数学高三上册- 1 多面体的截面课件
沪教版（上海）数学高三上册- 1 多面体的截面课件
巩固练习如图，在正方体ABCD-A’B’C’D’中，点E、F、G分别是棱A’B’、B’C’、CD的中点，画出由点E、F、G确定的平面截正方体的截面。
沪教版（上海）数学高三上册- 1 多面体的截面课件
回家作业
• 《多面体的截面》作业卷 • 思考：如果多面体不是长方体，作截面方法是
否相同？ • 思考：如果确定平面的三点中，没有两点在多
面体的同一面上，该如何作截面？
沪教版（上海）数学高三上册- 1 多面体的截面课件
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拓展研究
• 平面截多面体的截面的边和顶点一定在什么位置？为什么？
多面体截面的画法
例2 如图，在长方体ABCD-A’B’C’D’中，点E 是面CDD’C’内一点，画出由点A’、C’、E确定的平面截正方体的截面。
截面A’C’F为所求作截面。
连：作平面与多面体一个面的两个公共点的连线段延：延长连线段，在面上形成交线找：找其他面上与已知交线所在直线共面相交的直线交：作两直线的交点，即平面与其他面的公共点检：检验所画图形是否满足截面概念及性质
截面A’C’EG为所求作截面。
沪教版（上海）数学高三上册- 1 多面体的截面课件
沪教版（上海）数学高三上册- 1 多面体的截面课点F分别在棱CD、棱B’C’上，画出由点A’、E、 F确定的平面截正方体的截面。
1、如图，在四棱锥S-ABCD中，点P、Q、R 分别在棱AD、BC、CS上，画出由点P、Q、 R确定的平面截四棱锥的截面。

多面体截面

多面体的截面作法
例1、已知：
画出过A、B、C三点的平面与 , 的交线
l

C
l
B A

（1）

C
A
B

（2）
B C
A

（3）
例2:如图,P,Q,R分别是空间四边形ABCD的边 AB,AD,BC上的点,且PQ与BD不平行,试画出平面PQR与平面BCD的交线 . A
P Q D
R A1 B1 A P C1 D D1
B
C
Q
D1 A1 M B1 N C1
P D C A B
例5:已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P 分别为C1D,AD,CC1的中点, (1)过M,N,P三点作正方体的截面,试画出这个截面;(2)计算这截面的周长l.
D1 A1 M B1 P C1
N A
D C B
2 10 a 2
例6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1直观图,根据下列要求作出截面图形: (1)P、Q平面CDD1C1,截面A1PQ; A D 面内找两点连线
1
1
B1
C1 Q
A
B C
P
D
A1
D1
(2)M、N、K分别是 BC、AA1 、CD1的中点,截面MNK;
B1 N
K C1
A
B M C
D
平行线确定平面
例 7.已知长方体 ABCD-A1B1C1D1, 点M 和 N 分别是矩形 ABCD 和 BB1C1C 的中心 , 画出过点 A,M,N 的平面截长方体的截面. A D
1 1
B1 A B N M C

多面体的截面作图

只有一个从而证明了原式两边的角是相等
能用一对
就名称来说
) 同类的反三角
,
函数 ( 反正弦函数与反余弦函数
反正切函
的
。
计算截面的面积上
,
由于截面的各个顶点都在正六棱柱的棱所以底面正六边形就是截面在底面上的
,
,
a 3
名,
:
.
B F 口=
=
训万
则在截面内的点或直线
,
对应
代入
( 1 )中 0
=
,
tg
而
因此
,
1 一
着唯一的一个基点或基线内的基点或基线线
,
,
反过来
,
,
由基面求出截
。
30
F
I
“
求出截面的对应点或对应
,
S 截面 B c N E
I
M
=
S A BCD E F
多
面
体
的
刘
截
搔
面
作
图
多面体的截面作图何知识
,
,
要用到许多立体几可进一步巩固直线
, ,
例 1 已知正六棱柱 A D 的边长和侧棱长都是
E F
:
.
,
底面正六边形
B C 和
1 )
。
通过截面作图
,
a
求作过对棱
图(
和平面位置关系的概念和定理高学生的空间想象能力作图时

立体几何找截面方法

立体几何找截面方法立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是三维空间中的几何形体。

在立体几何中，我们经常需要找到一个几何体的截面，以便更好地理解它的性质和特征。

本文将介绍几种常见的找截面方法。

我们来看平行截面法。

这种方法是指将一个几何体沿着一个平面切割成两个部分，从而得到一个截面。

这个平面可以是任意方向的，但必须与几何体平行。

例如，我们可以将一个长方体沿着一条平行于底面的平面切割，得到一个长方形的截面。

这种方法常用于研究几何体的体积、表面积等性质。

我们来看垂直截面法。

这种方法是指将一个几何体沿着一个垂直于它的平面切割成两个部分，从而得到一个截面。

这个平面可以是任意方向的，但必须与几何体垂直。

例如，我们可以将一个圆柱体沿着一条垂直于底面的平面切割，得到一个圆形的截面。

这种方法常用于研究几何体的截面形状、面积等性质。

第三，我们来看旋转截面法。

这种方法是指将一个几何体沿着一个轴线旋转，从而得到一系列平面截面。

这个轴线可以是任意方向的，但必须与几何体相交。

例如，我们可以将一个圆锥体沿着它的轴线旋转，得到一系列圆形的截面。

这种方法常用于研究几何体的旋转对称性、截面形状等性质。

我们来看投影截面法。

这种方法是指将一个几何体沿着一个方向投影到一个平面上，从而得到一个截面。

这个方向可以是任意方向的，但必须与几何体相交。

例如，我们可以将一个立方体沿着一个垂直于它的方向投影到一个平面上，得到一个正方形的截面。

这种方法常用于研究几何体的投影形状、投影面积等性质。

找截面是立体几何中的一个重要问题，它可以帮助我们更好地理解几何体的性质和特征。

以上介绍的几种方法只是其中的一部分，实际上还有很多其他的方法，需要根据具体情况选择合适的方法。

立体几何截面画法

例1：如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M、E分别为棱C1C、
D1D上的点，且C1M=2MC1，DE=2D1E.作过A、M、E三点的截面.
D1
C1
A1
B1
E
D A
M C B
二、立体几何截面画法
方法一：平行线法
例2：如图，点A、B、C、D、M、N为正方体的顶点或所在棱上的
中点，则下列各图中，不满足直线MN∕∕平面ABC的是( )
立体几何画截面画法
教学目标：
1.会判断截面是否完整
2.会画截面
平行线法延长线法
一、复习回顾
1.在立体几何中，什么是截面？
用一个平面去截一个几何体得到的平面图形.
2.如何判断截面是否完整？
截面轮廓均线均在几何体表面（不在几何体内部）.
D1
A1 E
C1 B1
A1
D1 E B1
C1
D A
C B
D A
）
D.平面PMN截该正三棱柱，所得截面图形为五边形
A1
B1
M
C1
N
A
P
B
C
三、课堂练习
练习2：如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1，侧
棱AA1与底面所成角为60◦.E、F、G分别为棱AD、AB、BB1中点，
则下列说法正确的是（
）
C.平面EFG截该棱台，所得截面图形为六边形；
A N
M
A.
M
B
A
N A
B
D C
N C
B.
C.
A
B B
M
C
C
N
D
M

几何体中的截面问题

FE 1Q1几何体中的的截面问题1．定义及相关要素用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线．此平面与几何体的棱的交集(交点)叫做截点． 2．作多面体的截面方法(交线法)：该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面．题型一、截面的形状1．P 、Q 、R 三点分别在直四棱柱AC 1的棱BB 1、CC 1和DD 1上，试画出过P 、Q 、R 三点的截面．1解答：(1)连接QP 、QR 并延长，分别交CB 、CD (2)连接EF 交AB 于Ｔ，交AD 于S ．(3)连接RS 、TP 。

则多边形PQRST 即为所求截面。

2．已知P 、Q 、R 分别是四棱柱ABCD ―A 1B 1C 1D 1的棱CD 、DD 1和AA 1上的点，且QR与AD 不平行，求作过这三点的截面．2解答： (1)连接QP 并延长交DA 延长线于点I 。

(2)在平面ABCD 内连接PI 交AB 于点M 。

(3)连接QP 、RM 。

则四边形PQRM 即为所求。

注：①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。

②若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。

③若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。

3．一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能．．．是D3答案：D解析：考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D 。

题型二、截面面积、长度等计算4．过正方体1111D C B A ABCD -的对角线1BD 的截面面积为S ，S max 和S min 分别为S 的最大值和最小值，则minmaxS S 的值为 ( ) A ．23 B ．26 C ．332 D ．362 4答案：C解析：设M 、N 分别为AA 1、CC 1的中点.易证截面BMD 1N1D1D 5. 如图，已知球O 是棱长为1 的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为． 5答案：解析：平面ACD 1是边长为的正三角形，且球与以点D 为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD 1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD 1内切圆的半径是×tan30°=，则所求的截面圆的面积是π××=．6．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A ．1 BCD ．26答案：C解析：1O 与2O 的公共弦为AB ，球心为Ｏ，AB 中点为C ，则四边形C OO O 21为矩形，12||||,OO OC =||2,OA =所以||1,||AC AC OC OC =⊥∴== 7．已知正四棱锥P —ABCD 的棱长都等于a ,侧棱PB 、PD 的中点分别为M 、N ，则截面AMN 与底面ABCD 所成二面角大小的正切值为． 7答案：12Ｏ２ＯＣＯ2解析：过A 在平面ABCD 内作直线l BD //，连接AC,BD 交于O ，连接PO ，MN ．记PO 、MN 交于O‘．因为PB 、PD 的中点分别为M 、N ，所以MN //BD ，因为l BD //，所以l MN //，A l ∈，所以l ⊂平面AMN ， l =平面AMN∩平面ABCD ．易知O AO '∠即为面AMN 与底面ABCD 所成二面角的平面角．1tan 242AO PO a O O a O AO ''==⇒=⇒= 8．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S 。

解决截面问题的三种方法

AE= j A A lt BF = j B B {.i t D ^
截面与平面B S f 的交线落在正方形 S A C ,C 内部最长的线段长为 ..... （）
(A ) # ；(B ) # ；(〇 4 ^ ； ( D )
0
评注：试题 1 与案例 1 相比较，删去了条件 “P4 丄平面/IfiCD, 丄AZT ;试题 2 将案例 2 中的“棱 fi,C ,”改为“& C ,”，读题难度有所增加；进一步加大难度就可以得到试题3•试题 3 需要我们首先判断交线的具体位置，也就是说这条交线落在正方体内的最长时的另一个端点尺的位置.
截面问题中较为常见的题型之一就是过不共线三点作截面的问题，常见方法和策略有代数与几何两大类，其中代数法中又有坐标法与基底法. 1 . 1 代数法 1 . 1 . 1 坐标法
所谓坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，从而为解决立体几何问题增添了一种代数计算方法. 1 . 1 . 2 基底法
* 本文系 2 0 1 6 年教育部首都师范大学基础教育课程研究中心课题 “高考数学学业评价的导向研究 ”（课题立项批准号：J X 16170)及全国教育科学 “十二五 ”规划 2 0 1 5 年度单位资助教育部规划课题 “基于数学教学内容知识（M P C K ) 视角下的概念教学案例研究 ”（课题立项批准号：FH B 150464)的阶段性成果.
案例 2 已知正方体，棱长为 1，点 £ 、F 分别在棱M ,、6 仏上，且满足

简述截面法的步骤

截面法的步骤
截面法是一种常用的数学方法，用于求解曲线在某一点的切线斜率。

下面是截面法的步骤:
步骤 1:找到曲线上的两个点
我们需要找到曲线上的两个点，这两个点将用于构建截面。

通常情况下，我们可以选择曲线上的两个相邻点，或者选择一个点并在该点附近找到另一个点。

步骤 2:计算两个点之间的距离
接下来，我们需要计算这两个点之间的距离。

这个距离可以用来确定截面的长度。

步骤 3:计算曲线在该点处的导数
我们需要计算曲线在该点处的导数，以确定曲线在该点处的切线斜率。

可以使用导数的定义式来计算导数，也可以使用求导法则来计算导数。

步骤 4:构建截面
一旦我们确定了曲线在该点处的切线斜率，我们就可以构建截面。

截面是垂直于曲线的直线，它通过曲线上的该点，并且与曲线在该点处相切。

步骤 5:计算切线斜率
最后，我们可以使用截面和曲线在该点处的斜率来计算切线的斜率。

切线的斜率是截面和曲线在该点处的斜率的平均值。

以上是截面法的步骤。

简述截面法的步骤

截面法的步骤
截面法是一种常用的数学方法，用于求解曲线在某一点的切线斜率。

下面是截面法的步骤:
步骤 1:确定曲线和点
首先，需要确定所要研究的曲线和点。

曲线可以是任何形状的函数，点可以是曲线上的任意一点。

步骤 2:求解曲线在该点处的导数
接下来，需要求解曲线在该点处的导数。

导数表示曲线在该点处的变化率，也就是切线的斜率。

可以使用求导法则来求解导数。

步骤 3:求解截面
然后，需要求解截面。

截面是指曲线在该点处的切线与该点处的法线所组成的平面。

可以使用向量积的公式来求解截面的法线。

步骤 4:求解切线斜率
最后，可以求解切线斜率。

切线斜率是指截面法线与曲线在该点处的切线所组成的角的正切值。

可以使用向量点积的公式来求解切线斜率。

下面是一个例子，说明如何使用截面法求解曲线的切线斜率。

假设有一个曲线 y = f(x),点 P(x0, y0) 在该曲线上。

求解曲线在点P 处的切线斜率。

多面体的截面(2)

多面体的截面
【例1】如图：P，Q，R是三棱锥的棱MA，MB，BC 上的点，作出过三点的截面。

【练习】四面体ABCD中，AC=BD=10cm,且异面直线BD与AC成60 角，过AB，BC，CD的中点E，F，G作一截面，并求出该截面的面积。

【例2】已知一正三角形的边长为4cm，求这个正三角形的直观图的面积。

【练习】用一张长、宽分别为8cm和4cm的矩形硬纸折成正四棱柱的侧面，求此正四棱柱的对角线的长。

【例3】已知三棱锥P-ABC的棱PA和BC互相垂直，且它们的长分别为a,b，用平行于PA和BC的平面截三棱锥。

（1）求证：截面是一平行四边形；
（2）求截面面积的最大值。

【练习】画三棱锥的直观图，使它的底面是腰长为a的等腰直角三角形，过直角顶点的侧棱长为a,且垂直于底面。

并求出这个三角锥的表面积。

【例3】作正四棱锥的直观图，使它的高为1.5a,且底面边长为a.。

简要说明截面法的四个基本步骤

简要说明截面法的四个基本步骤截面法的四个基本步骤包括：确定截面形状、计算截面特性、确定截面受力状态和计算截面受力。

一、确定截面形状在进行截面法计算之前，首先需要确定截面的形状。

截面形状的选择应根据具体的工程需求和结构特点进行，可以是矩形、圆形、T 形等多种形状。

确定截面形状时需要考虑结构受力情况、荷载特点以及材料的力学性质等因素。

二、计算截面特性确定截面形状后，需要计算截面的特性参数，包括截面的面积、惯性矩、抗弯矩等。

这些特性参数是截面受力计算的基础，能够反映截面的抗弯承载能力和稳定性能。

计算截面特性时需要根据截面形状和材料的力学性质进行相应的计算公式推导和计算。

三、确定截面受力状态确定截面特性后，需要根据具体的受力情况确定截面的受力状态。

截面的受力状态包括正向弯矩、剪力、轴向力等。

根据截面的受力状态，可以确定截面的受力方向和受力大小，为后续的截面受力计算提供依据。

四、计算截面受力在确定截面受力状态后，需要进行截面受力计算。

截面受力的计算主要是根据力学平衡原理和截面特性参数进行计算，包括弯矩、剪力、轴力等。

通过计算截面受力，可以评估截面的承载能力和稳定性，为结构设计和分析提供依据。

截面法是一种常用的结构分析方法，适用于各种结构形式和材料类型。

通过确定截面形状、计算截面特性、确定截面受力状态和计算截面受力，可以对结构的受力性能进行评估和分析，为结构的设计和施工提供科学依据。

在实际工程中，截面法广泛应用于梁、柱、板、壳等结构的设计和分析。

通过截面法计算截面受力，可以确定结构的受力状态和承载能力，为结构的设计和施工提供重要参考。

同时，截面法也是其他结构分析方法的基础，如有限元法、弹性力学理论等。

截面法是一种重要的结构分析方法，具有简便、直观、适用范围广等特点。

通过确定截面形状、计算截面特性、确定截面受力状态和计算截面受力，可以对结构的受力性能进行评估和分析，为结构的设计和施工提供科学依据。

在实际工程中，截面法被广泛应用，并为其他结构分析方法提供基础。

多面体展开图

多面体展开图什么是多面体展开图？多面体是指由多个平面的多边形组成的立体图形。

多面体展开图是将这个立体图形展开成一个平面图形的表示方式。

通过展开多面体可以更好地理解其结构和形状。

为什么需要多面体展开图？多面体展开图可以帮助我们更好地理解多面体的结构和形状。

在进行设计、制造或拼装多面体的过程中，展开图是非常有用的。

它可以帮助我们确定各个面的位置关系、测量尺寸以及预测展开后的形状。

多面体展开图的制作方法多面体展开图的制作方法可以通过计算机辅助设计软件来完成，也可以通过手工制作。

下面介绍两种常见的制作方法。

计算机辅助设计软件制作计算机辅助设计软件可以根据多面体的三维模型生成展开图。

一般来说，我们需要将多面体的模型导入到软件中，然后选择展开图功能进行生成。

在生成展开图的过程中，可以调整展开图的大小、方向和比例等参数。

手工制作手工制作多面体展开图需要以下步骤：1.将多面体的边界线绘制在纸上，可以使用直尺和量角器进行辅助绘制。

2.根据多面体的特点，将其面分割成若干个简单的多边形。

3.按照多边形的形状和位置关系，将其一一绘制在纸上。

可以使用图纸上的缩放和旋转等操作来控制每个多边形的位置和大小。

4.根据多边形的边界线，绘制出多面体展开图。

多面体展开图的应用多面体展开图在各个领域有广泛的应用。

以下列举几个常见的应用领域：工程制图在建筑、机械和航空航天等领域，多面体展开图可以用于制作零件图纸、标注尺寸和形状、编写工艺流程等。

展开图可以帮助工程师更直观地理解设计要求和制造工艺。

折纸艺术多面体展开图在折纸艺术中也有重要的应用。

通过展开图，人们可以了解折纸作品的结构和折纸顺序。

展开图可以作为折纸作品的参考，帮助人们更好地折叠和创作。

学术研究在数学和几何学的研究中，多面体展开图可以作为研究对象的可视化工具。

通过展开图，研究人员可以更深入地研究多面体的性质、拓扑和几何特征。

结论多面体展开图是将多面体展开成平面图的表示方式，可以帮助我们更好地理解多面体的结构和形状。

多面体截面的画法专题

多面体截面的画法专题引子，先看一道2019 武汉高三某次质检题：题：如图，点A，B，C，M，N 为正方体的顶点或所在棱的中点。

则下列各图中不满足直线MN∥平面ABC 的是（）这道题，很迷惑人。

直观感觉是都平行，好象没有答案。

是不是出题人搞错了?嘿嘿，把截面画出来，答案一下就清楚了。

所以多面体截面的画法非常重要，是基本功。

一、几何体的截面画法截面作图的题型可以分为以下几种情况：1、过某些点的截面图（见例1、2、3、4），关键：咱们的作图可分为两大类：一是作平行线，二是找交点。

★公理3：若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

★公理2 的推论2：过两条相交直线，有且仅有一个平面。

（两条相交直线共面）★公理2 的推论3：过两条平行直线，有且仅有一个平面。

（两条平行直线共面）★平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行。

★线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

★面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

2、作平行于某条直线成平面的截面。

（见例5）3、作垂直于某一直线成平面的截面。

（见例6）4、作与某一直线或平面成一定角度的截面。

（见例7）★直线和平面所成角：★二面角：★三垂线定理及其逆定理：在考试中一般会考察一些较为明显的，角度易找易算的图形。

一般要求根据线面角，二面角的定义来作图。

例1：如图，点M，N，P 为正方体所在棱的中点。

作出过此三点的平面截正方体所得的截面图形。

分析点线面关系，找到突破口及思路：作平行线。

1、取棱中点A，连NA，可证NA 平行PM。

2、取棱中点B，连AB，可证AB 平行NM。

3、同利用平行关系找到棱中点C 点，然后连接各线。

总结：例1 的关键就是作平行线。

思路：延长找交点。

例2：如图，点M，N，P 为正方体所在棱的中点。

作出过此三点的平面截正方体所得的截面图形。