有电介质的高斯定理
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2-4 介质中的高斯定律 电位移矢量
求：介质中的电场强度
v E
和电位移矢量
v D
。
解：由定义，知：
v D v P
v
0E
1 (1
r
v P
0
v
)D
v D
r
v P Pz
Dz Dz
4
v D
r r 1
v P
4 3
v P
…
v E
1
v D
4 0
3.5 介质中的高斯定律 边界条件
一、介质静电场基本方程
q
在热平衡时，分子无规则运动，取向各方向均等，介质在宏观 上不显出电特性
介质的极化：在外场影响下，无极分子变为有极分子，有极分 子的取向一致，宏观上出现电偶极矩
2）极化强度矢量
用极化强度矢量
v P
表示电介质被极化的程度。
P
lim
Pi
式中：pvi 表示i个分子极矩。
V 0 V
物理意义：等于单位体积内电偶极矩矢量和。
CE dl 0
微分方程：
D
E 0
本构方程： D r 0 E E
有电介质存在时的高斯定理的应用
（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面 ，求出电位移矢量。 （2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。 （3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度
(
0
)
s0
sp
(
0)
s0
0 (1 )
讨论:
1.
9-6有电介质时的高斯定理 电位移
∫∫ D S
S1
= D 1 S＝S σ
σ σ E1 = = ε 1 ε r 1ε 0
v v v v 再利用 D 1＝ ε 1 E 1 , D 2＝ ε 2 E 2 可求得
σ σ E2 = = ε 2 ε r 2ε 0
方向都是由左指向右。 方向都是由左指向右。
有电介质时的高斯定理 电位移
负两极板A、 间的电势差为 （2）正、负两极板 、B间的电势差为 ）
例题9-6 一半径为 的金属球，带有电荷 0,浸埋在均匀 一半径为R的金属球 带有电荷q 浸埋在均匀 的金属球， 例题 无限大”电介质（电容率为ε），求球外任一点P的场 ），求球外任一点 “无限大”电介质（电容率为 ），求球外任一点 的场 强及极化电荷分布。 强及极化电荷分布。 P 根据金属球是等势体， 解: 根据金属球是等势体，而 ε r 且介质又以球体球心为中心对 称分布，可知电场分布必仍具 称分布， R Q0 球对称性， 球对称性，用有电介质时的高 斯定理来。 斯定理来。 S 如图所示， 如图所示，过P点作一半 点作一半 径为r并与金属球同心的闭合 径为 并与金属球同心的闭合 球面S， 球面 ，由高斯定理知
4εr（εr 2 1) 3 ′ σ 上负下正 σ2 = ε0 (εr2 1)E2 = εr1εr 2 +εr1εr3 + 2εr 2εr3
′ σ3 = ε0 (εr3 1)E3 =
4εr（εr3 1) 2 σ εr1εr 2 + εr1εr3 + 2εr 2εr3
上负下正
有电介质时的高斯定理 电位移
r r 由 P = ε0 (εr 1)E 得电极化强度矢量的分布
P=
r r 由 σ′ = P n 得束缚电荷的分布
电介质中的高斯定理
电介质中的高斯定理
高斯定理，也称为高斯定律或高斯定律，是电磁学中的一个重要定理，描述了电场在电介质中的性质。
其表达式为：
∮S E · da = Q / ε₀
其中，S表示闭合曲面，E表示电场强度，da表示曲面元素的面积矢量，∮表示对整个闭合曲面求面积分，Q表示闭合曲面内的电荷总量，ε₀表示真空介电常数。
高斯定理的意义是，通过对闭合曲面内的电场强度的面积分，可以得到在该闭合曲面内的电荷总量。
具体来说，如果电场强度在闭合曲面上是均匀的且垂直于曲面，那么由闭合曲面边界形成的面积矢量积分等于该电场强度乘以闭合曲面的面积。
当电场强度不均匀或者不垂直于曲面时，可以把曲面细分为小面元，在每个小面元上计算电场强度和面积矢量的点积，再对所有小面元的点积求和，得到整个曲面上电场强度和面积矢量的积分。
高斯定理的应用非常广泛，它不仅可以用于求解电场强度在特定几何形状的闭合曲面上的面积分，还可以用于确定电场强度分布以及计算电荷的总量等问题。
有电介质时的高斯定理
解：（ 1 ）求 ： D D, E , P 具有球对称性
选过场点与球面同心的 球面为S：r
S内
R
q
r
P
2 D d S D 4 r q 0
S
r
当：r R : 当： r R :
q q
0
0 q0
D=0
E=0
P=0
0
E
(1 r )q0 R P n P 2 4r R 2 (1 r )q0 q 4R R
总结
D分布
球对称 面对称 轴对称
高斯面 同心球面 垂直于板的和中心 面对称的封闭柱面 同轴封闭园柱面
由于导体为等势体:
例：设无限长同轴电缆的芯线半径为R1，外皮 的内半径为R2。芯线与外皮之间充入两层绝缘 的均匀电介质，其相对电容率分别为εr1和εr2。 两层电介质的分界面半径为R，如图。求单位 长度的电容。 解： (1) 先求 ： D R2 εr1 设单位长芯线、外皮 R R1 分别带电λ、-λ εr2 D, E 具有轴对称性 选过场点与电缆同轴的单位长封闭园柱 面为高斯面：r
§9-4 有介质时的高斯定理
一、有介质时的环路定理和高斯定理：
E E0 E
L
有介质时的环路定理：
E d l 0
有介质时的高斯定理：
q内
E d S
S
q
S内
q
S
0
0
q0
1 1 S内 ) ( q0 q内 P dS 0 S内 0 0 S ( E P ) d S q 0 0
D, E , P
40 r r
09介质中的高斯定理电位移矢量
3
二、介质中的高斯定理 电位移矢量
1.介质中的高斯定理 1.介质中的高斯定理 真空中的高斯定理 φ =
r r ∫∫ E ⋅ dS =
S
∑q
ε0
在介质中，高斯定理改写为： 在介质中，高斯定理改写为：
自由电荷 总场强
v v 1 ∫∫ E ⋅ dS =
S
ε0
∑ (q
S
0
+q )
'
束缚电荷
v v 1 ∫∫ E ⋅ dS =
v = εE
电常量。 电常量。
例1：将电荷 q 放置于半径为 R 相对电容率为 εr 的介 ： 质球中心， 质球中心，求：I 区、II区的 D、E、 及 U。 区的 、 、 。 在介质球内、 解：在介质球内、外各作半径为 r 的 高斯球面。 高斯球面。 R
r r ∫∫ D ⋅ dS = ∑q0
S
r r r 球面上各点D大小相等 D 大小相等， 球面上各点 大小相等， // dS , cosθ = 1 II 2 ∑q0 D4πr = q0 , ∴ D = 高斯面 4πr 2 q q I区： 1 = 区 D II区： 2 = 区 D 2 4πr2 4πr
dr =
q 4πε 0r
9
例2：平行板电容器极板间距为 d , 极板面积为 S，面 ： ， 电荷密度为 σ0 , 其间插有厚度为 d’ 、电容率为 εr 的 电介质。求 ： ①. P1 、P2点的场强E；②.电容器的电 电介质。 点的场强 ； 电容器的电 容。 ①. 过 P1 点作高斯柱面 左右底面分别经过导体 点作高斯柱面, 解： d' − σ 和 P1 点。 σ
r r φD = ∫∫ D ⋅ dS = ∑ q0
S
有电介质时的高斯定理
有电介质时的高斯定理
有电介质时的高斯定理是电学中的一个重要定理，它描述了电场的分布与电荷分布的关系。
此定理的公式表述为：电场穿过一个封闭曲面的通量等于该曲面内部的电荷总量的比例，即ΦE=Q/ε0，其中ΦE为电场的通量，Q为曲面内部的电荷总量，ε0为真空中的电介质常数。
在有电介质时，电场的分布受到电介质的影响。
电介质的存在会使电场强度发生改变，这是因为电介质的分子会被电场极化，从而产生极化电荷。
这些极化电荷会改变电场的分布，使电场在电介质中的强度比在真空中的强度小。
因此，在有电介质时，要考虑电介质对电场的影响，才能准确地计算电荷的分布。
在应用高斯定理时，通常需要选择一个适当的曲面来计算电场的通量。
曲面的选择应当考虑到电荷分布的对称性，以便简化计算。
在有电介质时，曲面的选择也需要考虑到电介质的影响。
如果曲面穿过电介质，那么在计算电荷总量时，需要将电介质中的极化电荷也计算在内。
高斯定理的应用范围很广，包括电场的计算、电容器的设计、电荷分布的测量等。
在电场的计算中，高斯定理可以用来求解各种电场分布，例如电偶极子、均匀带电球面等。
在电容器的设计中，高斯定理可以用来计算电容器的电容量，从而确定电容器的电荷储存能
力。
在电荷分布的测量中，高斯定理可以用来测量电荷的总量，从而确定电荷的分布情况。
有电介质时的高斯定理是电学中的一个重要定理，它描述了电场的分布与电荷分布的关系。
在应用该定理时，需要考虑到电介质的影响，并选择适当的曲面来计算电场的通量。
高斯定理的应用范围很广，包括电场的计算、电容器的设计、电荷分布的测量等。
电容器、电介质、介质中的高斯定理
i
E总 E0 E 0
被约束在分子内
不一定与表面垂直
9
有极分子电介质
H
H
104
o
F
+ - pi
E0 F
+
+
+
E
无外场
pi 0
pi
0
i
外场中(转向极化)
pi 0
pi
0
i
出现束缚电荷和附加电场
位移极化和转向极化微观机 制不同，宏观效果相同。10
统一描述
pi
0
i
出现束缚电荷(面电荷、体电荷)
实验发现:
A
插入前： U 0
C0
q U0
插入后：U AB
C q U AB
U0 U AB
r,
C C0
r
r 1,常量 由电介质的种类和状态决定
0
真空介电常数
r
相对介电常数(电容率)
= 0 r 介电常数
13
E0
0 0
, U0
E0d ,
E
0
内部的场由自由电荷和
+
+
+
+
E0 E
+
+
极化电荷共同产生
静电感应
无极分子电介质: 位移极化 有极分子电介质: 转向极化
宏观 效果
静电平衡 导体内 E 0, 0 导体表面 E表面 感应电荷 0 E
内为部零：分子pi偶极0 矩矢量和不
i
出现束缚电荷（极化电荷）
12
二、电介质对电场的影响
+ + + + +
B
4.2有电介质存在时高斯定理和环路定理
例题：均匀介质内部极化体电荷密度ρ’＝0
在介质内部取任意高斯面S，则有
∫∫ D ⋅ dS = 0
S
无自由电荷
在均匀线性介质中 D (r ) = ε 0 ε E (r ) P ( r ) = χ eε 0 E ( r )
χ e P= D ε
接触起电的危害和应用
人体放电
人体对地电容约为
100 ~ 200 pf，人坐在人造革椅 子上起立，或在塑料地板上步行数步所产生的接触 静电电荷造成人体的静电电压可以达到104V～空气 的击穿场强，有时会出现瞬间放电现象
航天工业
静电放电造成火箭和卫星发射失败，干扰航天飞行
例题
如上题。球形电容器内外半径 分别为R1与R2，其间充以相对 介电常数为ε1和ε2的均匀介质， 两介质界面半径为R。两介质 的击穿场强分别为E1和E2，且 E1<E2，为合理使用材料，最 好使两种介质内的电场强度同 时达到其击穿值，求此时R的 大小。
A B C D
场强分布
Q R1 < r < R, EB = 4πε 0ε1r 2 Q R < r < R2 , EC = 4πε 0ε 2 r 2
ε = 1 + χe
相对介电常数（与真空相对）
真空中
ε = 1, D = ε 0 E
应用
∫∫ D ⋅ dS = ∑ q0
S in S
可以用来计算某些场分布（由对称性决定）
利用D-
Gauss定理按以下路径求
9.5 有电介质时的高斯定理
9.5 有电介质时的高斯定理高斯定理是电磁学中的重要定理，它描述了电场的分布情况及其与电荷分布的关系。
在空间中存在介质时，高斯定理的形式会有所不同。
本文将探讨有电介质时的高斯定理。
1.电介质的介绍电介质是指不导电的物质，其内部存在自由电荷，但不能在物质内移动的一类物质。
电介质中的电荷分布会受到电场的影响，从而改变电场的分布特性。
因此，在分析有介质情况下的高斯定理时，需考虑介质的特性对电场的影响。
有电介质时的高斯定理形式与无介质时基本相同，只是在积分式中需要额外考虑电介质的电荷分布。
假设电荷分布位于电介质内的某一空间区域S内，则高斯定理可表示为：∮S E·dS = 1/ε0 Q其中，E为电场强度，S为由闭合曲面S所包围的空间区域，dS为曲面S上某一面元的面积法向向量，Q为S内的总电荷量，ε0为真空介电常数。
在有电介质的情况下，电荷密度不仅来自于空间内自由电荷，还包括电介质中的极化电荷密度。
因此，在计算Q时需将自由电荷和极化电荷密度均纳入考虑。
极化电荷密度的计算需要了解电介质的极化性质。
对于线性极化电介质，其电场强度E在物质内部会引起分子电偶极矩p的改变，进而产生极化电荷。
在外电场E下，极化电荷密度可表示为：ρp = - ∇ · P其中，P为极化电量密度。
根据电介质的古典形式理论，极化电荷密度与E成正比：P = ε0χE其中，χ为电介质的电极化率。
将该式带入极化电荷密度的计算表达式中，可得：因此，考虑了极化电荷分布的情况下，高斯定理可表示为：其中，Sp为介质内的某一部分空间区域，包含极化电荷密度ρp。
3. 总结有电介质时的高斯定理与无介质情况下基本相同，只是在计算电荷量Q时需将极化电荷密度纳入考虑。
在实际问题中，需要根据电介质的具体性质来计算极化电荷密度。
该定理可用于分析电场分布及其与电荷分布之间的关系，是电磁学中不可或缺的基本定理。
3-5有介质时的高斯定理
s
q0和 ′ S所围区域内 q是 所围区域内
的自由电荷及极化电荷
ε0
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
根据第四节的结果 则有
v r q′ = −∫ P⋅ ds
s
s ε0 r r r ∫ (ε 0 E + P ) ⋅ ds = q0 s
r r 1 r r ∫ E ⋅ ds = ( q0 − ∫ P ⋅ ds )
r r r D = ε0εr E = εE
r E
。
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
r D =
q0 r en 2 4π r
r r r D = ε0εr E = εE
r q0 >0， E离开球心向外 ， r r e q0 < 0， E 指向球心 r ， s e
n
r E=
q0 r en 2 4πε r
1 1 σ ′ = − σ 0 εr εr 1 2
讨论极化电荷正负
ε r −1 σ 1′ = σ0 εr
1 1
两种介质表面极化电荷面密度
εr −1 ′ σ2 = σ0 εr
2 2
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
常用的圆柱形电容器， 例3 常用的圆柱形电容器，是由半径为 R1 的长 的薄导体圆筒组成， 直圆柱导体和同轴的半径为 R2 的薄导体圆筒组成， 并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 ε r 的 电介质.设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 电介质 设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 + λ ）电介质中的电场强度、 和 − λ . 求（1）电介质中的电场强度、电位移和极 化强度； 电介质内、外表面的极化电荷面密度； 化强度；（２）电介质内、外表面的极化电荷面密度； 此圆柱形电容器的电容． （３）此圆柱形电容器的电容．
q0和 ′ S所围区域内 q是 所围区域内
的自由电荷及极化电荷
ε0
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
根据第四节的结果 则有
v r q′ = −∫ P⋅ ds
s
s ε0 r r r ∫ (ε 0 E + P ) ⋅ ds = q0 s
r r 1 r r ∫ E ⋅ ds = ( q0 − ∫ P ⋅ ds )
r r r D = ε0εr E = εE
r E
。
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
r D =
q0 r en 2 4π r
r r r D = ε0εr E = εE
r q0 >0， E离开球心向外 ， r r e q0 < 0， E 指向球心 r ， s e
n
r E=
q0 r en 2 4πε r
1 1 σ ′ = − σ 0 εr εr 1 2
讨论极化电荷正负
ε r −1 σ 1′ = σ0 εr
1 1
两种介质表面极化电荷面密度
εr −1 ′ σ2 = σ0 εr
2 2
3 – 5
有电介质时的高斯定理
第三章静电场中电介质
常用的圆柱形电容器， 例3 常用的圆柱形电容器，是由半径为 R1 的长 的薄导体圆筒组成， 直圆柱导体和同轴的半径为 R2 的薄导体圆筒组成， 并在直导体与导体圆筒之间充以相对电容率为 ε r 的 电介质.设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 电介质 设直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为 + λ ）电介质中的电场强度、 和 − λ . 求（1）电介质中的电场强度、电位移和极 化强度； 电介质内、外表面的极化电荷面密度； 化强度；（２）电介质内、外表面的极化电荷面密度； 此圆柱形电容器的电容． （３）此圆柱形电容器的电容．
2.5 介质中的高斯定理
P = χ e ε0 E
4
P = ε0χe E
D = ε 0 E + P = ε 0 (1 + χ e ) E = ε 0ε r E = ε E
ε = ε 0ε r
称为介质的介电常数
为正实数， 因此， 已知电极化率 χ e 为正实数 ， 因此 ， 一切介质的介电常 数均大于真空的介电常数。 大于真空的介电常数 数均大于真空的介电常数。 实际中经常使用介电常数的相对值， 实际中经常使用介电常数的相对值 ，这种相对值 称为相对介电常数， 表示， 称为相对介电常数，以εr表示，其定义为
(r < a)
(r < a )
(r > a)
介质球内， 介质球内，极化电荷分布为 ρ P = −∇ ⋅ P1 = −∇ ⋅ [(ε − ε 0 ) E1 ] = −(ε − ε 0 )∇ ⋅ E1 球坐标中， 球坐标中，
1 ∂ 2 ∇⋅ A = 2 (r ⋅ Ar ) r ∂r 3(ε − ε 0 ) q 1 d 2 qr ρ P = −(ε − ε 0 ) 2 (r ) =− 3 r dr 4πε a 4πε a 3 (ε − ε 0 ) q = (ε − ε 0 ) E1 ⋅ e r |r = a = 2 4πε a
12
在r=a的球面上， r=a的球面上， 的球面上
例2:一个半径为 a 、介电常数为 ε 的均匀介质球内的极 2:一个半径为 化强度为 K
P=
r
er
为一常数。 其中 K为一常数。 1)计算束缚电荷体密度和面密度 计算束缚电荷体密度和面密度； 1)计算束缚电荷体密度和面密度； 2)计算自由电荷体密度 计算自由电荷体密度； 2)计算自由电荷体密度； 3)计算球内 外的电场和电位分布。 计算球内、 3)计算球内、外的电场和电位分布。 解：1)介质球内的束缚电荷体密度为 1)介质球内的束缚电荷体密度为
4
P = ε0χe E
D = ε 0 E + P = ε 0 (1 + χ e ) E = ε 0ε r E = ε E
ε = ε 0ε r
称为介质的介电常数
为正实数， 因此， 已知电极化率 χ e 为正实数 ， 因此 ， 一切介质的介电常 数均大于真空的介电常数。 大于真空的介电常数 数均大于真空的介电常数。 实际中经常使用介电常数的相对值， 实际中经常使用介电常数的相对值 ，这种相对值 称为相对介电常数， 表示， 称为相对介电常数，以εr表示，其定义为
(r < a)
(r < a )
(r > a)
介质球内， 介质球内，极化电荷分布为 ρ P = −∇ ⋅ P1 = −∇ ⋅ [(ε − ε 0 ) E1 ] = −(ε − ε 0 )∇ ⋅ E1 球坐标中， 球坐标中，
1 ∂ 2 ∇⋅ A = 2 (r ⋅ Ar ) r ∂r 3(ε − ε 0 ) q 1 d 2 qr ρ P = −(ε − ε 0 ) 2 (r ) =− 3 r dr 4πε a 4πε a 3 (ε − ε 0 ) q = (ε − ε 0 ) E1 ⋅ e r |r = a = 2 4πε a
12
在r=a的球面上， r=a的球面上， 的球面上
例2:一个半径为 a 、介电常数为 ε 的均匀介质球内的极 2:一个半径为 化强度为 K
P=
r
er
为一常数。 其中 K为一常数。 1)计算束缚电荷体密度和面密度 计算束缚电荷体密度和面密度； 1)计算束缚电荷体密度和面密度； 2)计算自由电荷体密度 计算自由电荷体密度； 2)计算自由电荷体密度； 3)计算球内 外的电场和电位分布。 计算球内、 3)计算球内、外的电场和电位分布。 解：1)介质球内的束缚电荷体密度为 1)介质球内的束缚电荷体密度为
有电介质时的高斯定理
（2）定义: D 0E P （普遍适用于各种介质）
而 P 0 E （用于各向同性介质）
3
则 D 0 1 E （用于各向同性介质）
即由E和可求得D，而且D与E方向相同，大小成正比。
① 令比例系数 0 1 称为电介质的绝对
介电常数。
② 真空中的绝对介电常数 0
∵
P真空 0 而 P 0 E ，E不一定为0来自D ds q0S
4 r2 D q0
D
q0
4 r2
D
q0
4 r2
rˆ
P +-
E + 金属 +
P
r 介质ε
-+
+-
q0+
B
n
+-
R
+
S
由D E得：
E
q0
4 r2
rˆ
q0 0，E与rˆ同向,背离球心
q0
0，E与rˆ反向,指向球心
（2）在交界面上取一点B，过B点作界面的法线单
单位矢 nˆ（由介质指向金属），则
∴
真空 0 真空 0
③ 电介质的相对介电常数
④ 由此得
0
r
1
D
0
1
E
0r E
E
（对各向同性介质）
4
（3） D ds q0
S ①上式说明 D 对S面的通量等于S内的自由电荷量，
与 q 无关，但 D 本身与 q和 q0 均有关。
②如果 q0 0，则 D ds 0
S
说明 D 对S面的通量为0，但 D 不一定为0；S面内
§3.5 有电介质时的高斯定理
一 电介质中的场强
电介质在外电场中极化，电介质 中的电场是极化 电荷产生的附加电场 E和外电场 E0 的矢量和。
而 P 0 E （用于各向同性介质）
3
则 D 0 1 E （用于各向同性介质）
即由E和可求得D，而且D与E方向相同，大小成正比。
① 令比例系数 0 1 称为电介质的绝对
介电常数。
② 真空中的绝对介电常数 0
∵
P真空 0 而 P 0 E ，E不一定为0来自D ds q0S
4 r2 D q0
D
q0
4 r2
D
q0
4 r2
rˆ
P +-
E + 金属 +
P
r 介质ε
-+
+-
q0+
B
n
+-
R
+
S
由D E得：
E
q0
4 r2
rˆ
q0 0，E与rˆ同向,背离球心
q0
0，E与rˆ反向,指向球心
（2）在交界面上取一点B，过B点作界面的法线单
单位矢 nˆ（由介质指向金属），则
∴
真空 0 真空 0
③ 电介质的相对介电常数
④ 由此得
0
r
1
D
0
1
E
0r E
E
（对各向同性介质）
4
（3） D ds q0
S ①上式说明 D 对S面的通量等于S内的自由电荷量，
与 q 无关，但 D 本身与 q和 q0 均有关。
②如果 q0 0，则 D ds 0
S
说明 D 对S面的通量为0，但 D 不一定为0；S面内
§3.5 有电介质时的高斯定理
一 电介质中的场强
电介质在外电场中极化，电介质 中的电场是极化 电荷产生的附加电场 E和外电场 E0 的矢量和。
07--4、电介质中的电场高斯定理
解： （1）自由电荷所产生旳场强（在真空中）为
E0
σ0 ε0
9.0 106 8.85 1012
1.02 106 V/m
(2)
由
E
E0 εr
εσrε00
σ0 ε
可知电介质内的场强为
E
σ0 ε
9.0 106 3.5 1011
2.57 105
V/m
（3）极化电荷面密度为：
0
0
3.5 1011 8.85 1010 3.5 1011
有电介质时旳高斯定理得（注意导体中
D=0）：
D dS S2
D dS
右底面
D1 A
A
与前面的式子相比较， 有D1 D2
+ +
S2
利用 D1 1E1 ，D2 2 E2 ，可求得：
E1
1
r1 0
,
E2
2
r 2 0
（2）正、负两极板间旳电势差为：
U
E1d1
E2d2
(d1 1
E1 E2
S D dS D S 0 S
D＝ 0
E1
D
1
0 0 r
E2
D
0
0 0
U
E1
d 2
E2
d 2
0d 2 0 r
0d 2 0
0d 0
r 1 2 r
3 5 U0
C1
Q1 U1
2 r 0 S
d
C2
Q2 U2
2 0 S
d
C1，C2串联：
C
C1C2 C1 C2
5 3 C0
由前面知：
例6、同轴电缆半径分别为R1和R2，其间充斥电介质 r1,，r2 ，
介质中的高斯定理
v E
D
介质中的高斯定理
例 自由电荷面密度为0的平行板电容器，其极化电荷面密度
为多少？
解: 由介质中的高斯定理
-+´0
DS 0S D 0
D +´
E
D
0r
0 0 r
- 0
0 0
E0
0 0
E 0
E E0 E
0 r 0 0
1
1
r
0
E
dS S
++++++
-q - - - - - -
移出S面
qi
留在S面内
介质中的高斯定理
v v E dS
S
1
0
qi
1
0
vv P dS
S
S 0E P dS qi
定义电位移矢量: D 0 E P C m2
介质中的高斯定理: 在任何静电场中，通过任意闭合曲面 的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和.
D S
dS
qi
说明:
D S
dS
qi
介质中的高斯定理
1. 介质中的高斯定理虽说是从平板电容器这一特例推 导出，但它却有普适性.
2. 介质中的高斯定理包含了真空中的高斯定理.
真空中: P 0 所以: D 0E P 0E
v D dS
S
S 0E dS qi
vv E dS
S
1
0
qi
3. 电位移矢量D 是一个辅助量.描写电场的基本物理
介质中的高斯定理
大学物理
静电场中的导体和电介质
第4讲 介质中的高斯定理
介质中的高斯定理
大学物理 第三篇 电位移矢量和有电介质时的的高斯定理
1Q W 2 C
2
四.场能密度
单位体积内的电能
能量储存于场中 dW we dV
以平行板电容器的场为特例可以 导出 在带电为 Q 时 We 电场能量密度为 we V (自证)
r
S
d
1 we D E 2
普遍
1 单位体积内的电能 we D E 2
例 导体球的电场能ຫໍສະໝຸດ 二. D 的高斯定理
S
D dS
q
i
0i
自由电荷
证： E dS
S
q
i
i
0
i
q q
i i
oi
0 E dS P dS qoi
S S
D dS q0i
S i
0
i
在具有某种对称性的情况下，可 以首先由高斯定理出发 解出 D
W Aq1
q2
q 2 E 1 dl q 2 E1 dl r r
q U 2 21 40 r
q1
在处的电势
q1 在 q2 所
也可以先移动 q2
q2 在 q1所
在处的电势
状态a
q2 W q1 q1U 12 40 r 作功与路径无关 q2U 21
Q E 2 40 r
We
Q D 2 4 r
r
ED
all space of field
we dV
Q 2 2 4 4 r dr 32 0 r R
2
We
Q
2
8 0 R
与前面计 算结果同
6 有电介质时的高斯定理
于该闭合曲面所包围的自由电荷的代数和.
E dS
S 0r
Q
0i
i
自由电荷 代数和
讨论 电场中充满均匀各向同性电介质的情况下
1、定义：电位移矢量 D 0rE E
: 电容率,决定于电介质种类的常数
说明
(1)是描述电场辅助性矢量
(2) 对应电场线起始于正自由电荷，
(3)
终止于负自由电荷
电位移通量 Ψ D
二、电介质中的静电场环路定理
l E dl 0
D dl 0 l
电位移 有介质时的高斯定理
一、电介质中的高斯定理 电位移矢量 D
加入电介质(εr )
E dS
1
S
0
qi
i
1
0
(
0 )S
'(1 1r Nhomakorabea)
0
EdS Q
S 0r i
E
dS
0S
1
S
0 r 0 r
Q0i
i
0i
自由电荷的代数和
令： D0ErE
电位移矢量
DdS
S
Q0i
i
电介质中通过任一闭合曲面的电位移通量等
D
s
dS
电力线与电位移线的比较
E线
D线
+Q
+Q
r
r
2、电介质中电场 强度
E
、电极化强度
P
和电位移矢量D 之间的 关系
电位移
D 0rE E
电极化强度
P
(r1)0 E
D P 0E
3、电介质中的高斯定理
D dS Q0i
S
i
(自由电荷
有电介质的高斯定理
有电介质的高斯定理好的，那我们就开始聊聊有电介质的高斯定理吧。
电介质的高斯定理啊，听起来就很厉害的样子呢。
其实啊，它就像是一个超级智慧的小管家，管理着电场在电介质中的那些事儿。
你想啊，电场这个东西本来就很神秘，看不见摸不着的，就像一个调皮的小精灵到处乱窜。
但是有了这个高斯定理呢，就好像给这个小精灵套上了一个小缰绳，能让我们更好地去把握它。
在电介质里啊，电荷可不像在真空中那么自由自在了。
电介质会对电场产生影响，就像是给电场设置了一些小障碍一样。
而高斯定理呢，它就像一个聪明的侦探，能透过这些复杂的情况，找到电场和电荷之间的关系。
比如说吧，当有个电介质放在电场里的时候，电介质里的分子会被电场影响，它们会发生极化现象。
这极化就像一群小士兵，被电场这个将军指挥着，重新排列队形。
那高斯定理是怎么做到看透这一切的呢？它通过巧妙地选择一个高斯面，就像在电介质的世界里圈出了一块特殊的领地。
然后呢，根据穿过这个高斯面的电通量，就能知道这个领地里面电荷的情况啦。
这电通量就像是经过这个领地边界的某种流量一样，它能告诉我们很多秘密哦。
你要是把电场想象成水流，那电介质就像是水里的一些小障碍物，会让水流改变方向。
而高斯定理就是那个能算出水流到底是怎么变化的神奇法则。
而且啊，这个定理不仅仅是个干巴巴的公式，它背后有着很多有趣的物理故事呢。
就像每一个科学发现都是人类探索未知的小冒险一样，这个定理的诞生也是科学家们不断思考、不断实验的成果。
理解电介质的高斯定理其实也不是特别难啦，只要你愿意去想象，把那些抽象的东西变成生活中的场景，就像我们刚刚说的小精灵、小士兵、水流这些。
这样的话，这个定理就不再是高高在上、让人望而生畏的东西了，而是像一个可爱的小伙伴，可以跟我们愉快地聊天，告诉我们电介质和电场之间那些有趣的互动呢。
你看，科学有时候就是这么有趣，只要我们换个角度去看，那些看似枯燥的定理也能变得生动起来，就像电介质的高斯定理一样，充满了魅力。
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εr 1
S 2
S 2
d
V
V D1 = ε oε r E1 = ε oε r d ε oV D2 = ε o E2 = d
为什么 E1介 = E2真? 反而D1 ≠ D2了?
E1 , E2 , D1 , D2的方向均 ↓
关键: 关键: σ1 ≠ σ 2!
(2) 介质内的极化强度 P ,表面的极化电荷密度σ' 表面的极化电荷密度σ P = χ eε o E1 = ε o (ε r 1)V d σ1 S σ 2 方向: 方向: ↓ V εr 1 2 d ∵σ ′ = P cosθ
εo εo εr
(2) U = Q = 2b[ε r b (ε r 1)t ]Q ) C ε o S[2ε r b (ε r 1)t ]
问: Q左? 右 =Q
平板电容器极板面积为S间距为 接在电池上维持V 间距为d,接在电池上维持 例 . 平板电容器极板面积为 间距为 接在电池上维持 . 均匀介质ε 厚度d 均匀介质εr 厚度 ,插入电容器一半忽略边缘效应 求(1)1,2两区域的 E 和 D ;(2)介质内的极化强度 P, , 两区域的 介质内的极化强度 表面的极化电荷密度 σ ' ;(3)1,2两区域极板上自由 , 两区域极板上自由 σ 电荷面密度 σ 1 , 2. 解:(1)V = E1d = E2d ) ∴ E1 = E2 = V d
U = E1 (b t ) + E2 t = εrσ o [εrb (εr 1) t] ε
q εrεoS ∴C = = = U εrb (εr 1) t
空气隙中 D = σ E1 = σ εo
介质中 D = σ
ε 1 b r t εr
εoS b
与t的位置无关 的位置无关 t↑,C↑ ↑ ↑ εrεoS t=b C = b
2 + 2 = ε 0 S[2bε r (ε r 1)t ] 电容并联相加: C 电容并联相加: = C左 + C右 = ε 1 b 2b[bε r (ε r 1)t ] b r t
一平行板电容器, 例 .一平行板电容器,两极板间距为 ,面积为 ,在其间 一平行板电容器 两极板间距为b,面积为S, 平行地插入一厚度为t,相对介电常数为ε ,面积为S/2 平行地插入一厚度为 ,相对介电常数为εr,面积为 均匀介质板.设极板带电Q,忽略边缘效应. 的均匀介质板.设极板带电 ,忽略边缘效应. 该电容器的电容C(2)两极板间的电势差U. 两极板间的电势 求(1)该电容器的电容 该电容器的电容 两极板间的电 . :(1) 解:( )等效两电容的并联 S S2 εo b εr t 左半部: 左半部:C = 2 左 ε r 1 b t ε oS S εr εo C= εr 1 右半部: 右半部: = 2 C b t 右 b εr S S
′ ∴ σ 上 = P cos 180 = P = ε o (1 ε r )V < 0 d ′ σ 下 = P cos 0 = P = ε o (ε r 1)V > 0 d (3) 1,2两区域极板上自由电荷面密度σ1,σ2 两区域极板上自由电荷面密度σ , 两区域极板上自由电荷面密度 σ1 σ1 V E1 = = ∴σ1 = ε oε r d ε ε oε r
S 2
σ2 E2 = ε0
V ∴σ 2 = ε o E2 = ε o d
σ1 > σ 2
例题7 的金属球, 例题7-28 一半径为R的金属球,带有电荷q0,浸埋在均 ),求球外任一点 无限大"电介质( 匀"无限大"电介质(电容率为ε),求球外任一点P 的场强及极化电荷分布. 的场强及极化电荷分布. 解: 金属球是等势体, 金属球是等势体,介质以球体 球心为中心对称分布, 球心为中心对称分布,可知电 场分布必仍具球对称性, 场分布必仍具球对称性,用有 电介质时的高斯定理求解. 电介质时的高斯定理求解. 高斯面: 高斯面:过P点作一半径为r 并与金属球同心的闭合球面S, 由高斯定理知: 由高斯定理知:
S
= DS
εr
-Q
根据电容定义式计算电容
D Q Q E= = D =σ = ε Sε S Q 两极板间的电势差 U = E d = d Sε
Q C = U
=
εS
d
=
ε 0ε r S
d
例. 圆柱形电容器的电容 已知:圆柱形电容器 已知 圆柱形电容器 R1,R2,ε
其电容. 求: 其电容 解: 设两极板面电荷线密度 λ λ 分别为 +λ,-λ 做如图高斯面
C B
σ E2 = ε 0ε r
σ
一平行板电容器,两极板间距为b,面积为S, 例 . 一平行板电容器,两极板间距为 ,面积为 , 其中置一厚度为t 的平板均匀电介质, 其中置一厚度为 的平板均匀电介质,其相对 求该电容器的电容C. 介电常数为εr, 求该电容器的电容 . q 解:根据定义 C = U b 设极板面密度为σ,-σ εr 设极板面密度为σ σ t 由高斯定理可得: 由高斯定理可得:
= ε0E
即: D 与 E 成正比且方向相同
ε0 P 束缚电荷产生的场: 束缚电荷产生的场: ε0 3.介质中高斯定理的应用 介质中高斯定理 介质中高斯定理的应用
S
E=
1
ε0
D 自由电荷产生的场: ( D P ) 自由电荷产生的场:
介质中真实的场: 介质中真实的场:E
∫∫ D dS = ∑ q
§7-9 有电介质时的高斯定理 电位移
一.D 的高斯定理 有介质时, 有介质时,自由电荷和束缚电荷共同产生电场 E = E0 + E ′ 满足高斯定理: E 满足高斯定理:
∫∫
S
∑q= ∑q E dS =
ε0
q 'i ∑
i0
+ q′ i
ε0
可以证明: 可以证明: P d S =
∫∫
S
∫∫ (ε
∫∫
S
∑
0
D4πr = ∑ q0 , ∴ D = ∑ q0 2
2
球面上各点D大小相等, 球面上各点 大小相等, // dS , 大小相等 D
εr
q
r
I II
高斯面
q I区: D1 = 区 2 4πr q II区: D2 = 区 4πr2 由 D = ε 0ε r E
4πr
r
q D1 = 2 4πr
λL
=
2 πε L R2 ln R1
R2 λ ln U = 2πε R1
单位长度的电容
C =
2 πε R ln R
2 1
例:一平行板电容器,其中填充了一层介质,尺寸 一平行板电容器,其中填充了一层介质, 如图, 如图,介质的相对介电常数为εr 1. 用高斯定理求:D 1, D 2 , E1 , E 2 ; +σ 用高斯定理求:
∫
∞
q
q
U 2 = ∫ E 2 dr = ∫r 4πε r 2 dr = 4πε r r 0 0
∞
∞
q
q
例. 平行板电容器的电容 已知: 平行板电容器 d, S ,εr 已知 ε
其电容. 求: 其电容 解: 设电容器带电量 Q 求两极板间的电势差U 求两极板间的电势差
s
Q
d D
∫∫ D dS = σ S
S S1
由高斯定理: 由高斯定理:
D 内 S 底 = σ 0
D =σ0
σ0 E= = ε ε 0ε r
D
S2 上底
S3
下底 S底
D S 内 底
例2 一无限大各向同性均匀介质平板厚度为d 相对介电常数为εr ,内部均匀分布体电荷密度为 ρ0 的自由电荷 介质板内, 求:介质板内,外的 D E P 解: 面对称 取坐标系如图 作正柱形高斯面S 底面积设S0
2. 求U A U B
3. 求此电容器之电容. 求此电容器之电容.
d1
+ + + + + A S
εr D2
ε
0
D1
S
D1 dS = 0 + D1 S + 0 = σ S d2 ∫∫ S D1 = σ E1 = σ / ε 0 D2 dS = 0 D2 S + 0 = σ S D2 = σ ∫∫ σ σ B S d2 U A U B = ∫ A E dl = d 1 + ε0 ε 0ε r σS ε0S C= = σ σ d2 d1 + d2 d1 + ε0 ε 0ε r εr
ε
r
S1
A
B
L l
∫∫
S
D dS =
∫∫
S1
D dS =
= D 2πrl
= λ l
S S1
∫∫
D dS λ
D
+λ
λ E = = ε 2 πε r
R2
两极板间的电势差 U =
∫
R1
R2 λ λ ln dr = 2πε r 2πε R1
根据电容定义式计算电容
Q C = = U R2 λ ln 2 πε R1
例1 平行板电容器上自由电荷面密度为 σ 0 充满相对介电常数为 ε r 的均匀各向同 性电介质 求:板内的场 解:均匀极化 表面出现束缚电荷 故束缚电荷分布亦沿平面均匀分布 电场方向沿x方向 则:电场方向沿 方向
σ0 σ0 εr
S
S ∫∫ D d S = ∫∫ D d S + ∫∫ D d S + ∫∫ D d=
D=
正自由电荷 起自正自由电荷(或无穷远), 起自正自由电荷(或无穷远), 特点: 特点: 终止于负自由电荷(或无穷远), 在无自由电 负自由电荷 终止于负自由电荷(或无穷远), 在无自由电 处不会中断(无自由电荷处电位移矢量连续) 荷处不会中断(无自由电荷处电位移矢量连续)