圆章节综合练习-教师版
人教版2020-2021学年九年级数学上册第二十四章 圆章节综合练习(含答案)
人教版2020-2021学年九年级数学上册第二十四章圆章节综合练习一、单选题1．在下列命题中，正确的是（）A．弦是直径B．长度相等的两条弧是等弧C．三点确定一个圆D．三角形的外心不一定在三角形的外部2．如图，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E⊥CE=1，半径为25，则弦AB的长为()A．24B．14C．10D．73．一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（⊥A．2.5 cm或6.5 cmB．2.5 cmC．6.5 cmD．5 cm或13cm4．在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD=20°，则下列说法中正确的是（）A．AD=2OB B．CE=EO C．∠OCE=40°D．∠BOC=2∠BAD 5．在Rt⊥ABC中，⊥C=90°,AC=3cm，AB=5cm,若以C为圆心，4cm为半径画一个圆，则下列结论中，正确的是（）A．点A在圆C内，点B在圆C外B．点A在圆C外，点B在圆C内C．点A在圆C上，点B在圆C外D．点A在圆C内，点B在圆C上6．如图，点O是△ABC的内心，若∠A＝70°，则∠BOC的度数是（）A．120°B．125°C．130°D．135°7．如图，若干相同正五边形排成环状．图中已经排好前3个五边形，还需（）个五边形完成这一圆环．A．6B．7C．8D．98．如图所示，正六边形ABCDEF内接于O，若边心距OH ，则O的半径为（）A．1B C．2D．49．如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，OA=OB=OC=2，则这朵三叶花的面积为⊥ ⊥A．3π–3B．3π–6C．6π–3D．6π–610．如图，已知在正方形ABCD中，连结AC，在AC上截取AE＝AD，作△ADE的外接圆交AB于点F，连结DF交AC于点M，连结EF，下列选项不正确的是（）A．DG AFB．AM＝ECC．∠EFB＝∠AFDD．S四边形BCMF＝S四边形ADEF二、填空题11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB＝100°，∠ACB＝__°．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的内切圆的半径是______（分母不含根号．．．．．．）．13．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，连接AC、BE、DF，则图中灰色四边形的周长为__．14．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为_____．(答案用根号表示)三、解答题15．在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示．若油面宽 ，求油的最大深度．AB mm60016．如图，⊥O是四边形ABCD的外接圆，对角线AC与BD相交于点E，且AE＝DE，连接AD、CB．（1）求证：AB＝CD；（2）在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的全等三角形．17．如图，OA⊥OD是⊙O半径．过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B⊥(1)求证：直线CD 是⊙O 的切线；(2)如果D 点是BC 的中点，⊙O 的半径为 3cm ，求DE 的长度．(结果保留π)18．如图，已知直线PA 交O 于A 、B 两点，AE 是O 的直径，点C 为O 上一点，且AC 平分PAE ∠，过C 作CD PA ⊥，垂足为D ．（1）求证：CD 为O 的切线；（2）若2CD AD =，O 的直径为20，求线段AB 的长．19．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC＝4时，求阴影部分的面积答案1．D2．B3．A4．D5．D6．B7．B8．C9．B10．D11．5012．313．14．6π15．解：过点O作OC AB⊥于点D，OD延长线交⊙O于点C，由垂径定理，得13002BD AB==，在Rt ODB ∆中，300BD =，325OB =，由勾股定理得：125OD ==， ∴325125200CD OC OD mm =-=-=． ∴油的最大深度是200mm.16.（1）证明：如图，连接OA 、OB 、OC 、OD ， ∵AE ＝DE ，∴∠ADB ＝∠DAC ，∴∠AOB ＝∠DOC ，∴AB ＝CD ；（2）解：⊥在△ABD 与△DCA 中，ABD DCA ADB DAC AD DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．故△ABD ≌△DCA （AAS ）；⊥在△ABE 与△DCE 中，AEB DEC ABE DCE AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．故△ABE ≌△DCE （AAS ）；⊥由AB ＝DC 知，∠ACB ＝∠DBC ．在△ABC 与△DCB 中，BAC CDB ACB DBC BC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．故△ABC ≌△DCB （AAS ）．17.（1）证明：∵AC 是⊙O 切线，∴OA ⊥AC ，∴∠OAC=90°，∵CO 平分∠AOD ，∴∠AOC=∠COD ，在△AOC 和△DOC 中，∴△AOC ≌△DOC ，∴∠ODC=∠OAC=90°，∴OD ⊥CD ，∴直线CD 是⊙O 的切线．（2）∵OD ⊥BC ，DC=DB ，∴OC=OB ，∴∠OCD=∠B=∠ACO ，∵∠B+∠ACB=90°，∴∠B=30°，∠DOE=60°，∴DE 的长度=π．18.证明：（1）连接OC ．∵点C 在O 上，OA OC =，∴OCA OAC ∠=∠，∵CD PA ⊥，∴90CDA ︒∠=，∴90CAD DCA ︒∠=∠=，∵AC 平分PAE ∠，∴DAC CAO ∠=∠，∴90DCO DCA ACO DCA DAC ︒∠=∠+∠=∠+∠=， ∴CD 是O 切线．（2）作OF AB ⊥于F ，∴90OCD CDF OFD ︒∠=∠=∠=，∴四边形CDFO 是矩形，∴OC FD =，OF CD =，∵2CD AD =，设AD x =，则2OF CD x ==，∵10DF OC ==，∴10AF x =-，在Rt AOF 中，222AF OF OA +=，∴()()22210210x x -+=，解得4x =或0（舍），∴4=AD ，6AF =∵OF AB ⊥，∴212AB AF ==（垂径定理）．19解：（1）⊥⊥ABC 与⊥D 都是劣弧AC 所对的圆周角，⊥D ＝60°， ⊥⊥ABC ＝⊥D ＝60°；（2）⊥AB 是⊥O 的直径，⊥⊥ACB ＝90°．可得⊥BAC ＝90°﹣⊥ABC ＝30°，⊥⊥BAE ＝⊥BAC +⊥EAC ＝30°+60°＝90°，即BA ⊥AE ，得OA ⊥AE ，又⊥OA 是⊥O 的半径，⊥AE 是⊥O 的切线；（3）连接OC ，作OF ⊥AC ，⊥OF 垂直平分AC ，⊥OA ＝OB ，⊥OF ＝12BC ＝2，⊥⊥D ＝60°，⊥⊥AOC ＝120°，⊥ABC ＝60°，⊥AC ＝2AB ＝，⊥S 阴影＝S 扇形﹣S △AOC ＝21204116236023ππ⨯-⨯=-。
北大师版九年级数学下册--第三单元 《圆》综合复习同步练习(含答案)
初三数学北师大版第三章：知识回顾与测试同步练习（答题时间：50分钟）一、选择题1. 下列命题中正确的是（ ） A. 过圆心的线段叫做圆的直径 B. 直径过圆心C. 直径是圆上两点的连线D. 圆内任意一点到圆上任意一点的距离都小于半径 2. ⊙O 的圆心坐标为O （0，0），半径为3，那么点A （2，2）、B （3，1）与⊙O 的位置关系为（ ）A. 点A 在圆内，点B 在圆外B. 点A 在圆外，点B 在圆内C. 点A 、点B 均在圆内D. 点A 、点B 均在圆外3. 在半径为5cm 的⊙O 中，有一长为5cm 的弦AB ，则圆心O 到AB 的距离为（ ）A. 5 3B. 52 3C. 5215D. 54 34. 在⊙O 中，两弦AB ＜CD ，分别过O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，则OE 与OF 的关系是（ ）A. OE ＞OFB. OE ＝OFC. OE ＜OFD. 以上皆有可能 5. 如图所示，⊙O 半径为20cm ，∠S △ABO ＝（ ） A. 253cm 2 B. 503cm 2 D. 2003cm 26. 两圆的半径比为3∶2，当两圆外切时，圆心距为10cm ，那么当两圆内含时其圆心距是（ ）A. 大于2cm ，且小于6cmB. 小于2cmC. 等于2cmD. 以上结论都不对*7. 如图所示，△ABC 的内切圆O 分别和AB 、BC、CA 切于点D 、E 、F ，∠A ＝60°，BC ＝4，△ABC 的周长为10，则DF 的长为（ ）A. 1B. 2C. 2.5D. 3**8. 如图，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心、2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是（ ）A. 4－49πB. 4－89πC. 8－49πD. 8－89πA BCE FP二、填空题1. 一条弦分圆周为5∶7两部分，则这条弦所对的圆心角为__________.2. 如图所示，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上的一个动点，那么OP 的取值范围是__________.OABP3. 如图所示，在⊙O 中，弦AB ＝2.4cm ，∠C ＝30°，则⊙O 的半径为__________cm .4. 如图，圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，那么这个圆锥的侧面积是__________cm 2.68l*5. 如图所示，AB 为⊙O 的直径，CA ⊥AB ，CD ＝1cm ，DB ＝3cm ，则AB ＝__________cm .ABCD*6. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，⊙O 过BC 的中点D ，DE ⊥AC 于E ，根据上述条件，可以推出：__________. （要求你填写一个正确的结论即可，不再标注其他字母，不写推理过程）OAE BD**7. 如图所示，扇形AOB 的圆心角为直角，正方形OCDE 内接于扇形，点C 、E 、D 分别在OA 、OB 、︵AB 上，过点A 作AF ⊥ED 交ED 的延长线于F ，垂足为F ，如果正方形OCDE 的边长为1，那么阴影部分的面积为__________.OAB EF**8. 如图所示，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是⊙O 上的任意一点（不与B 、C 重合），已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝__________.D三、解答题1. 如图，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD ＝40°，求∠DCF 的度数.O CFGDE2. 如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，AD 是弦，E 是⊙O 外一点，作EF ⊥AB 于F 点，交AD 于C 点，且ED ＝EC. 求证：DE 是⊙O 的切线.*3. 相交两圆的半径分别为4cm 和5cm ，公共弦长是6cm ，求圆心距的长.**4. 如图所示，在⊙O 中，AB 是直径，半径为R ，︵AC 的长为13πR . （1）求∠AOC 的度数；（2）若D 为劣弧BC 上一动点，且弦AD 与半径OC 交于点E ，试求△AEC ≌△DEO 时，D 点的位置.**5. 已知AB 是半圆的直径，CD ∥AB ，AB ＝4，求：（1）如图①，若C、D是半圆上的三分之一点，求阴影部分的面积；（2）如图②，若点P是BA延长线上的点，PC是切线，当其他条件不变时，说明此图中的阴影部分的面积与图①中的阴影部分的面积之间的关系.B B②①P初三数学北师大版第三章：知识回顾与测试同步练习参考答案一、选择题1. B2. A【OA＝22＜3，故点A在圆内；OB＝10＞3，故点B在圆外】3. B【过圆心、半径外端点、弦的中点构造直角三角形】4. A5. C【过点O作OC⊥AB于C，则AC＝BC，∠AOC＝∠BOC＝60°. 在Rt△ACO中，AO＝20cm，所以OC＝10cm，AC＝103cm，所以AB＝203cm，所以S△ABO＝12AB×OC＝12×203×10＝1003cm2】6. B 【当两圆外切时圆心距等于两圆半径之和，由题意可得两圆半径分别为6cm和4cm. 当两圆内含时圆心距小于半径之差】7. A【连结OD、OE、OF，不难得出AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF. 因为△ABC的周长是10，BC＝BE＋CE＝4，所以AD＋AF＝10－4－4＝2，所以AD＝1. 因为∠A＝60°，所以△ADF 是等边三角形，所以DF＝1】8. B【连结AD，则AD⊥BC，且AD＝2. 所以S△ABC＝12BC×AD＝4. 因为∠P＝40°，所以∠A＝80°，所以S扇形AEDF＝80π×22360＝89π. 所以阴影部分的面积是S△ABC－S扇形AEDF＝4－89π】二、填空题1. 150°2. 3≤OP≤53. 2.4【连结AO并延长交⊙O于点C，则∠ABC＝90°，AB＝12AC＝2.4，即⊙O的半径为2.4cm】4. 60π5. 23【连结AD，则AD⊥BC. 易得△ACD∽△BAD，有CDAD＝ADBD. 得AD＝3，在Rt△ABD 中，AB＝AD2＋BD2＝23】6. 答案不唯一，例如：DE切⊙O于D【连结OD，因为点D是BC的中点，AO＝BO，所以OD ∥AC ，又DE ⊥AC ，所以DE ⊥OD ，所以DE 是⊙O 的切线】7. 2－1【连结OD ，则OD ＝2，所以AC ＝OA －OC ＝2－1. 由题意可知四边形CAFD 是矩形，其面积为AC×CD ＝2－1. 由圆的对称性可知图形BED 与ACD 面积相等，所以图中阴影部分的面积等于矩形CAFD 的面积】 8. 50°或130°【连结OB 、OC ，易得∠BOC ＝180°－∠BAC ＝100°. 当点D 在BC 右侧时，∠BDC ＝12∠BOC ＝50°；当点D 在BC 左侧时，∠BDC ＝12×（360°－100°）＝130°，所以∠BDC ＝50°或130°】三、解答题1. 连结OF ，因为直径CD 平分EF ，所以︵DE ＝︵DF ，所以∠EOD ＝∠FOD ＝40°，∠DCF ＝12∠FOD ＝20°.2. 连结OD ，∠A ＝∠ODA. ∵∠A ＋∠ACF ＝90°，∠ACF ＝∠ECD ＝∠EDC ，∴∠ODA ＋∠EDC ＝90°，∴OD ⊥DE ，即DE 是⊙O 的切线.3. （4＋7）cm 或（4－7）cm . 提示：分两种情况（两圆圆心在公共弦同旁和两旁）讨论.4. （1）设∠AOC ＝n °，则n πR 180＝13πR ，解得n ＝60，所以∠AOC ＝60°；（2）由（1）知△AOC 是等边三角形. 如果△AEC ≌△DEO ，则CE ＝OE ，OD ＝AC. 所以AE ⊥OC ，∠COD ＝∠ACO ＝∠AOC ＝60°，所以OD ∥AC. 所以点D 的位置可描述为∠DOB ＝60°或AC ∥OD 或劣弧BC 的中点等.5. （1）连结OC 、OD ，则∠COD ＝13×180°＝60°. 因为△ACD 和△COD 有公共底边CD ，又CD ∥AB ，所以这两个三角形的高相等. 所以S △ACD ＝S △COD . 所以图①中阴影部分的面积为S ＝60π×22360＝23π（2）相等. 道理同（1）.。
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合基础测试题3(附答案详解)
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合基础测试题3（附答案详解）1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝115°，则∠BOD的度数为（）A．110°B．120°C．130°D．140°2．已知⊙O的直径CD为2，弧AC的度数为80°，点B是弧AC的中点，点P在直径CD上移动，则BP+AP的最小值为（）A．1 B．2 C．23D．33．一点P到圆上各点的最大距离为8cm，最小距离为6cm，则此圆的半径为（）A．7cm B．1cm C．7cm或1cm D．无法确定4．如图，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，以此类推，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S1，S2，S3，…，S10，则S1+S2+S3+…+S10=（）A．4πB．3πC．2πD．π5．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°6．如图，P 与x 轴交于点()5,0A -，()10B ,，与y 轴的正半轴交于点C ．若60ACB ∠=︒，则点C 的纵坐标为( )A ．133+B ．223+C ．42D ．222+7．如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝8cm ．动点D 从点C 出发，沿线段CB 以2cm /s 的速度向点B 运动，同时动点O 从点B 出发，沿线段BA 以1cm /s 的速度向点A 运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止．设运动时间为t （s ），以点O 为圆心，OB 长为半径的⊙O 与BA 交于另一点E ，连接ED ．当直线DE 与⊙O 相切时，t 的取值是（ ）A ．169B ．32C ．43D ．38．如图，点D 在BC 的延长线上，DE AB ⊥于点E ，交AC 于点F ．若35,15A D ∠=︒∠=︒，则ACB ∠的度数为（ ）．A ．65°B ．70°C ．75°D ．85°9．如图，以正五边形ABCDE 的顶点A 为圆心，AE 为半径作圆弧交BA 的延长线于点A '，再以点B 为圆心，BA '为半径作圆弧交CB 的延长线于B '，依次进行……得到螺旋线，再顺次连结EA '，AB '，BC '，CD '，DE '，得到5块阴影区域，若记它们的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，5S ，且满足521S S -=，则43S S -的值为（ ）A．17B．15C．14D．1310．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝4，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为_____．11．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，BC边上有一点P（不与点B，C重合），I为△APC的内心，若∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，则m+n＝_____．12．如图，在⊙O中，C为优弧AB上一点，若∠ACB＝40°，则∠AOB＝___度．13．如图，将扇形AOC围成一个圆锥的侧面．已知围成的圆锥的高为12，扇形AOC的弧长为10π，则圆锥的侧面积为_____．14．边长为a的正六边形的边心距是__________，周长是____________，面积是___________.15．圆锥的底面半径为1，侧面积为5π，则圆锥的母线长为_____．16．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的点，若∠BOC =100°，则∠BAC =______ °．17．等弧所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等． （______）18．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，E 为AD 的中点，△CED 的外接圆与BE 交于点F ，则BF 的长度为______．19．如图，AB 为⊙O 的直径，△P AB 的边P A ，PB 与⊙O 的交点分别为C 、D ．若AC CD DB ==，则∠P 的大小为_____度．20．如图1，AB 为半圆的直径，点O 为圆心，AF 为半圆的切线，过半圆上的点C 作//CD AB 交AF 于点D ，连接BC ．（1）连接DO ，若//BC OD ，求证：CD 是半圆的切线；（2）如图2，当线段CD 与半圆交于点E 时，连接AE ，AC ，判断AED ∠和ACD ∠的数量关系，并证明你的结论．21．如图，已知直角△ABC ，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4.⊙C 的半径长为1，已知点P 是△ABC 边上一动点（可以与顶点重合）（1）若点P到⊙C的切线长为3，则AP的长度为；（2）若点P到⊙C的切线长为m，求点P的位置有几个？（直接写出结果）22．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°.（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）若BC的长为6，求⊙O的半径．23．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小．以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE=1寸，锯道长AB=10寸，问这块圆形木材的直径是多少？”24．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=23．（1）求证：AE是O的切线；（2）求图中两部分阴影面积的和．25．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB1C1，写出B1，C1的坐标；（2）在（1）的条件下，求点C 旋转到点C 1所经过的路线长（结果保留π）26．如图已知AB 为⊙O 的直径，CD 切⊙O 于C 点，弦CF AB ⊥于E 点，连结AC . （1）探索AC 满足什么条件时，有AD CD ⊥，并加以证明.（2）当AD CD ⊥，5cm OA =，4cm CD =，求△OCF 面积.27．如图，⊙O 的半径OA ＝4，AB 是弦，直线EF 经过点B ，AC ⊥EF 于点C ，∠BAC ＝∠OAB ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）若AC ＝2，求AB 的长；（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．参考答案1．C【解析】【分析】由∠A=115°，根据圆的内接四边四边形的性质求得∠BCD的度数，又由同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半继而求得∠BOD的度数．【详解】解：∵∠A=115°∴∠BCD=180°-∠A=65°，∴∠BOD=2∠BCD=130°．故选C．【点睛】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半与圆内接四边形的对角互补定理的应用．2．D【解析】【分析】先作B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点P，延长AO交⊙O与点E，连接B′E，则∠AB′E=90°，然后根据对称的性质和圆周角定理求得∠B′EA＝60°，再在RT△B′EA中利用三角函数求解即可.【详解】如图所示：作B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点P，延长AO交⊙O与点E，连接B′E，则∠AB′E=90°，∵点B与点B′关于CD对称，∴PB＝PB′，弧BC＝弧B′C ，∴当点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，最小值为AB′．∵点B是弧AC的中点，弧AC=80°，∴弧A B′＝80°+12×80°=120°．∴∠B′EA＝60°．∴AB′＝AE•sin60°＝2×2∴PB+PA有最小值，最小值为.故本题答案为：D.【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、最短路径的问题、利用三角函数解直角三角形、圆周角定理等知识点，根据轴对称的性质找出点P是解题的关键.3．C【解析】【分析】点P可能在圆内，也可能在圆外；当点P在圆内时，直径为最大距离与最小距离的和；当点P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差；再分别计算半径．【详解】当点P在圆内时，直径为最大距离与最小距离的和，∴半径为：(8+6)÷2=7cm.当点P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差，∴半径为：(8-6)÷2=1cm.故选C.【点睛】本题考查点与圆的位置关系，灵活运用分类的思想，理解点到圆上最大距离、最小距离是解题关键．4．D【解析】【分析】图1，作辅助线构建正方形OECF ，设圆O 的半径为r ，根据切线长定理表示出AD 和BD 的长，利用AD+BD=5列方程求出半径r=2a b c +-（a 、b 是直角边，c 为斜边），运用圆面积公式=πr 2求出面积=π；图2，先求斜边上的高CD 的长，再由勾股定理求出AD 和BD ，利用半径r=2a b c +-（a 、b 是直角边，c 为斜边）求两个圆的半径，从而求出两圆的面积和=π；图3，继续求高DM 和CM 、BM ，利用半径r=2a b c +-（a 、b 是直角边，c 为斜边）求三个圆的半径，从而求出三个圆的面积和.【详解】解：（1）图1，过点O 做OE ⊥AC ，OF ⊥BC ，垂足为E 、F ，则∠OEC=∠OFC=90°∵∠C=90° ∴四边形OECF 为矩形∵OE=OF∴矩形OECF 为正方形设圆O 的半径为r ，则OE=OF=r ，AD=AE=3-r ，BD=4-r ∴3-r+4-r=5，r=1∴S 1=π×12=π（2）图2，由S △ABC =12×3×4=12×5×CD ∴CD=125由勾股定理得：21225935⎛⎫- ⎪⎝⎭=，BD=5-95=165 由（1）得：⊙O 的半径=912335525+-=，⊙E 的半径=1216445525+-= ∴S 1+S 2=π×（35）2+π×（45）2=π （3）图3，由S △CDB =12×125×165=12×4×MD∴MD=48 25由勾股定理得：CM=2212483652525⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，MB=4-3625=6425由（1）得：⊙O的半径35=，：⊙E的半径=4836121225255225+-=：⊙F的半径=48641616 25255225+-=∴S1+S2+S3=π×（35）2+π×（1225）2+π×（1625）2=π∴图4中的S1+S2+S3+S4=π则S1+S2+S3+…+S10=π故选D．【点睛】此题重点考查了直角三角形的内切圆，，分析找到各部分的变化规律后直接利用规律是解题的关键.5．A【解析】【分析】先作辅助线，再根据圆心角与圆周角的关系得到∠COB的度数，进一步得到所求角的大小. 【详解】解：连接OC，∴∠OCD=90°∴∠COB=2∠A=60°∴∠D=90°-∠COB=30°故选A．【点睛】此题重点考察学生对圆周角和圆心角的理解，把握圆心角与圆周角的关系是解题的关键. 6．B【解析】【分析】连接PA ，PB ，PC ，过P 作PD ⊥AB 于D ，PE ⊥y 轴于E ，根据圆周角定理得到∠APB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠PAB=∠PBA=30°，由垂径定理得到AD=BD=3，解直角三角形得到PD=3，PA=PB=PC=23，根据勾股定理得到CE=22=12422PC PE -=-，于是得到结论．【详解】连接PA ，PB ，PC ，过P 作PD AB ⊥于D ，PE BC ⊥于E ，∵60ACB ∠=︒，∴120APB ∠=︒，∵PA PB =， ∴30PAB PBA ∠=∠=︒，∵()5,0A -，()10B ,， ∴6AB =，∴3AD BD ==，∴3PD =，23PA PB PC ===∵PD AB ⊥，PE BC ⊥，90AOC ∠=︒，∴四边形PEOD 是矩形，∴3OE PD ==2PE OD ==， ∴2212422CE PC PE =-=-=∴223OC CE OE =+=，∴点C 的纵坐标为223+.故选B ．【点睛】 本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．7．A【解析】【分析】如图，作AF ⊥BC 于F ，利用等腰三角形的性质得BF=CF=4,利用切线的判定方法，当BE ⊥DE,直线DE 与O 相切，则∠BED=90°,然后利用cos ∠B =45BF AB =, 可得cos ∠B =45BE BD =，可求出t 的值. 【详解】由题意可知04t ≤＜，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，∵AB=AC ，则BF ＝CF ＝4cm ，∴cos ∠B ＝45BF AB =， 当直线DE 与⊙O 相切时，DE ⊥AB ，则cos ∠B =45BE BD =， 即24825t t =-，解得169t =. 故选A.【点睛】本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，等腰三角形的性质、三角函数性质，掌握三角函数的性质是解题的关键.8．B【分析】根据题意DE AB ⊥于点E ，交AC 于点F ，则55AFE CFD ∠=∠=︒，即155570ACB D CFD ∠=∠+∠=︒+︒=︒【详解】解：∵,35DE AB A ⊥∠=︒∴55AFE CFD ∠=∠=︒，∴155570ACB D CFD ∠=∠+∠=︒+︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查垂径定理，解题关键在于在证明55AFE CFD ∠=∠=︒9．D【解析】【分析】由题意得，五个扇形的圆心角相等，所以面积比是半径比的平方，根据面积比可表示出五个扇形面积，再根据底相等的三角形面积比等于高的比求出五个三角形的面积比并表示出来，从而分别求出各个阴影部分的面积，再根据521S S -=即可求解.【详解】解：因为扇形AEA′、扇形BB′A′、扇形CC′B′、扇形DD′C′、扇形EE ′D′圆心角相等，都是72°，半径分别是正五边形半径、半径的二倍、三倍、四倍、五倍，由扇形面积公式可得，五个扇形面积从小到大的比是1:4:9:16:25，设：扇形AEA′的面积=m ，则扇形BB′A′、扇形CC′B′、扇形DD′C′、扇形EE′D′的面积依次为：4m 、9m 、16m 、25m ；△AEA′、△BB′A′、△CC′B′、△DD′C′、△EE′D′中，AE=AB=BC=CD=DE ，AA′：BB′：CC′：DD′：EE′=1:2：3:4:5，五个三角形分别以AE 、AB 、BC 、CD 、DE 为底，易证五个三角形的面积比依次为：1:2：3:4:5，设S △AEA′=n ，则S △BB′A′=2n 、S △CC′B′=3n 、S △DD′C′=4n 、S △EE′D′=5n ，所以S 5=25m-5n ，S 2=4m-2n ， S 4=16m-4n ， S 3=9m-3n ， 因为521S S -=，所以（25m-5n ）-（4m-2n ）=1，解得：7m-n=13，所以43S S -=（16m-4n ）-（9m-3n ）=7m-n=13.【点睛】本题考查扇形的面积公式、三角形面积计算，解题关键是圆心角相等的扇形面积比等于半径比的平方.10．883π-【解析】【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【详解】过A 作AD ⊥BC 于D ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ＝4，∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°， ∵AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝2，AD 3BD ＝3∴△ABC 的面积为12BC•AD ＝3 S 扇形BAC ＝260483603ππ⨯=， ∴莱洛三角形的面积S ＝3×83π﹣2×38π﹣3， 故答案为8π﹣3．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．【解析】【分析】I为△APC的内心，即I为△APC角平分线的交点，利用三角形内角和等于180°及角平分线定义，即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值即可．【详解】解：设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°，∵∠BAC＝90°，∴∠PCA＝60°，∠PAC＝90°﹣α，∵I为△APC的内心，∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，∴∠IAC＝12∠PAC，∠ICA＝12∠PCA，∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）＝180°﹣12（∠PAC+∠PCA）＝180°﹣12（90°﹣α+60°）＝12α+105°∵0＜α＜90°，∴105°＜12α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，∴m＝105，n＝150．∴m+n＝255，故答案为：255．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线定义等，熟练掌握内心的性质是解题的关键．12．80【解析】根据圆周角定理直接求解即可.【详解】∵∠ACB ＝40°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝2×40°=80°，故答案为：80.【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键. 13．65π【解析】【分析】求出圆锥的底面半径，根据勾股定理求出圆锥的母线长，根据扇形面积公式计算即可．【详解】∵扇形AOC 的弧长为10π， ∴圆锥的底面半径为：102ππ＝5，＝13， 则圆锥的侧面积为：12×10π×13＝65π， 故答案为：65π．【点睛】本题考查的是圆锥的计算，掌握弧长公式、扇形面积公式、圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．14．2 a 6a 2a 2 【解析】【分析】在正六边形中作出一个正三角形AOB ，并作出边心距OH ，利用三角函数求出边心距，然后求出六个正三角形的面积的，就是这个正六边形的面积．这个正六边形的周长等于边长的6倍．【详解】解：如图，ABCDEF是边长为a的正六边形，则△OAB是边长为a的正三角形，边心距3周长为6AB=6a．面积为6S△AOB=6×12×AB×OH=6×13·•22a a=2332,故答案分别是：(1).32a；(2). 6a；(3). 2332a．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，连接OA，OB，得到等腰三角形AOB，然后作出弦心距，在直角三角形中进行计算求出弦心距，然后计算出正六边形的周长和面积．15．5.【解析】【分析】根据圆锥的侧面积公式得出S=πrl=5π，直接求出l的值即可．【详解】∵圆锥的底面半径为1，侧面积为5π，∴根据圆锥的侧面积公式得出：S＝πrl＝5π，π×1×l＝5π，∴l＝5，∴圆锥的母线长为：5．故答案为5．【点睛】此题主要考查了圆锥的侧面积公式，正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的关键．16．50【解析】【分析】利用圆周角定理计算即可．【详解】∵∠BOC=100°，∴∠BAC=12∠BOC=50°．故答案为：50．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．17．对【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦、弦心距四者关系，进行判断即可.【详解】根据圆心角、弧、弦、弦心距四者关系：等弧所对的圆心角相等，所对的圆周角也相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等，判断可知原命题为真命题.故答案为√.【点睛】此题考查圆心角、弧、弦、弦心距四者关系，解题关键在于掌握命题成立的前提条件. 18．3.6【解析】【分析】连接CF，根据圆内接四边形对角互补可得∠CFE=∠CFB=90°，因为cos∠CBF=cos∠AEB=35，在Rt△BFC中，利用锐角三角函数即可得出BF的长．【详解】解：如图，连接CF，在矩形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=90°∵△CED的外接圆与BE交于点F，∴∠CFE+∠ADC=180°，∴∠CFE=∠CFB=90°，∵AB=4，BC=AD=6，E为AD的中点，∴2222435AB AE+=+=，∴cos∠AEB=35 AEBE=，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBF，∴cos∠CBF=35 BFBC=，∴BF=3.6．故答案为3.6．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，锐角三角函数的定义．解题的关键是掌握圆内接四边形对角互补的性质．19．60【解析】【分析】连接OC、OD，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，根据等边三角形的性质解答．【详解】连接OC、OD，∵=AC CD DB =，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，∵OA=OC ，OB=OD ，∴△AOC 和△BOD 都是等边三角形，∴∠A=60°，∠B=60°，∴∠P=60°，故答案为60．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．20．（1）见解析；（2）90AED ACD ︒∠+∠=【解析】【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质得到AB AD ⊥，推出四边形BODC 是平行四边形，得到OB CD =，等量代换得到CD OA =，推出四边形ADCO 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到//OC AD ，于是得到结论；（2）如图2，连接BE ，根据圆周角定理得到90AEB =︒∠，求得90EBA BAE ∠+∠=︒，证得ABE DAE ∠=∠，等量代换即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OC ，AF 为半圆的切线，AB 为半圆的直径，AB AD ∴⊥，//CD AB ，//BC OD ，∴四边形BODC 是平行四边形，OB CD ∴=，OA OB =，CD OA ∴=，∴四边形ADCO 是平行四边形，//OC AD ∴，//CD BA ，CD AD ∴⊥，//OC AD ，OC CD ∴⊥，CD ∴是半圆的切线；（2）解：90AED ACD ∠+∠=︒，理由：如图2，连接BE ，AB 为半圆的直径，90AEB ∴∠=︒，90EBA BAE ∴∠+∠=︒，90DAE BAE ∠+∠=︒，ABE DAE ∴∠=∠，ACE ABE ∠=∠，ACE DAE ∴∠=∠，90ADE ∠=︒，90DAE AED AED ACD ∴∠+∠=∠+∠=︒．【点睛】 本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．21．（1）2或25；（2）15【解析】【分析】（1）由题意切线长为3，半径为1，可得PC=2，所以点P 只能在边BC 或边AC 上，分两种情形分别求解即可；（2）首先求出CP ⊥AB 、P 与A 点重合、P 与B 点重合这三个特殊位置时切线的长，结合图形即可判断；【详解】（1）∵切线长为3，半径为1∴221(3)2PC =+=∴点P 只能在边BC 或边AC 上，如图1中，连接PA在Rt △PAC 中22224225PA AC PC =+=+=如图2中，422PA AC PC =-=-=故填：52；（2）如图3中，当CP AB ⊥时，易知125AC BC CP AB == 此时切线长222212139155PE PC EC ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭； 如图4中，当点P 与点B 重合时，此时切线长22223122PE BC EC --=如图5中，当点P 与点A 重合时，此时切线长22224115PE AC EC =-=-=①当1390m <<时，点P 的位置有2个位置； ②当1395m =P 的位置有3个位置； ③当139225m <<P 的位置有4个位置； ④当22m =时，点P 的位置有3个位置； ⑤当2215m <<P 的位置有2个位置；⑥当15m =P 的位置有1个位置.综上所述点P 的位置有15个.【点睛】本题主要考查切线的性质、勾股定理，进行分情况讨论，不漏解是关键.22．（1）见解析;（2）3．【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABC ＝∠APC ＝60°，∠CAB ＝∠CPB ＝60°，根据等边三角形的判定定理证明；（2）延长BO 交⊙O 于E ，连接CE ，根据圆周角定理得到∠E ＝∠BAC ＝60°，根据正弦的概念计算即可．【详解】解：（1）△ABC 是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，∠ABC=∠APC=60°，∠CAB=∠CPB=60°，∴△ABC 是等边三角形；（2）延长BO 交⊙O 于E ，连接CE ，由圆周角定理得，∠E=∠BAC=60°，∴BE=43sin BC E∠=， ∴⊙O 的半径为23．【点睛】本题考查的是圆周角定理、等边三角形的判定，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 23．CD=26寸．【解析】【分析】连接OA ，由题意知CD 过点O ，且CD ⊥AB ，AE=BE=12AB=5（寸），设圆形木材半径OA 的长为x ，可知OE=x-1，根据OA 2=OE 2+AE 2列方程求解可得．【详解】解：连接OA ，∵AB⊥CD，且AB=10，∴AE=BE=12AB =5（寸），设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x∵DE=1，∴OE=x-1，在Rt△AOE 中，根据勾股定理得：OA2-OE2=AE222215x x--=（），解得：x=13所以CD=26（寸）．故答案为：CD=26寸．【点睛】本题考查垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧及勾股定理是解题的关键．24．（1）见解析；（2）3994π-【解析】【分析】（1）由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用锐角三角函数定义，根据tan∠BOD及BD的值，求出OD的值；连接OE，由AE=OD=3，且OD与AE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到OE与AD平行，再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直，即可得证；（2）阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积-扇形DOF的面积-扇形EOG 的面积，求出即可．【详解】（1）∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD=23 BDOD=，∴OD=3；连接OE.∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB.∵在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD=BDOD=23，∴OD=3.∵∠A=90°，OD⊥AB，∴AE∥OD.∵OD=AE=3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO.∵DA⊥AE，∴OE⊥AC.又∵OE为圆的半径，∴AC为圆O的切线.（2）∵OD∥AC，∴BD/BA=OD/CA，即223+=3AC，∴AC=7.5，∴EC=AC-AE=7.5-3=4.5，∴S阴影=S△BDO+S△OEC-(S扇形FOD+S扇形EOG)=12×2×3+12×3×4.5-290π×3360=3+274-94π=3994π-.【点睛】此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．25．（1）如图所示，△AB1C1即为所求见解析；（2）点C旋转到C'所经过的路线长为5π．【解析】【分析】（1）根据旋转中心为点A、旋转方向是逆时针、旋转角度为90°可找到各点的对应点，顺次连接即可，结合直角坐标系可直接写出点B1，C1的坐标；（2）点C旋转到点C1所经过的路线是以点A为圆心，以AC为半径的14圆．【详解】（1）如图所示，△AB1C1即为所求：由图可得，B1（1，5），C1（3，7）；（2）∵点C旋转到点C1所经过的路线是以点A为圆心，以AC为半径的14圆，AC2224+＝5∴点C旋转到C'所经过的路线长为：14π2⨯⨯5．【点睛】本题考查作图-旋转变换, 弧长的计算，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．26．（1）当AC平分∠BAD时，有AD⊥CD，理由见解析；（2）△OCF面积为12cm2【解析】【分析】（1）连接OC，由等边对等角得到∠OCA =∠OAC．再由角平分线定义得到∠OAC =∠DAC，等量代换得到∠OCA = ∠DAC，根据内错角相等，两直线平行，得到OC∥AD．由切线的性质及平行线的性质即可得出结论；（2）先证明AC平分∠BAD，再根据角平分线的性质得到CD =CE，由垂径定理得到CF的长．在Rt△OEC中，由勾股定理得到OE的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．【详解】（1）当AC平分∠BAD时，有AD⊥CD．证明如下：连接OC．∵OA = OC，∴∠OCA =∠OAC．∵AC平分∠BAD，∴∠OAC =∠DAC，∴∠OCA = ∠DAC，∴OC∥AD．∵CD切⊙O于C点，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°．∵OC∥AD，∴∠ADC=180°－∠OCD=90°，∴AD⊥CD．(2) 连接OF．∵CD切⊙O于C点，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠DAC∵OA = OC，∴∠OCA =∠OAC，∴∠OAC =∠DAC，∴AC平分∠BAD，∴CD =CE．∵OA =5，CD =4，∴OC=OA=5，CE=4．∵CF⊥AB，∴CF = 2CE= 2×4=8，OE=22OC CE-=2254-=3．△OCF面积=CF×OE÷2= 8×3÷2=12．故△OCF面积为12cm2．【点睛】本题考查了切线的性质，角平分线的性质定理以及垂径定理．解题的关键是利用角平分线的性质定理得到CE的长．27．（1）见解析；（2）4；（3）8 633π【解析】【分析】（1）由OA=OB 得到∠OAB=∠OBA ，加上∠BAC=∠OAB ，则∠BAC=∠OBA ，于是可判断OB ∥AC ，由于AC ⊥EF ，所以OB ⊥EF ，则可根据切线的判定定理得到EF 是⊙O 的切线；（2）过点O 作OD ⊥AB 于点D ，根据垂径定理得12AD AB =，再证明Rt △AOD ∽Rt △ABC ，利用相似比可计算出AB=2；（3）由AB=OB=OC=2可判断△OAB 为等边三角形，则∠AOB=60°，则∠ABC=30°，则可计算出BC ==S 阴影部分=S 四边形AOBC -S 扇形OAB =S △AOB +S △ABC -S 扇形OAB 进行计算即可．【详解】解：（1）∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ，∵∠BAC ＝∠OAB ，∴∠BAC ＝∠OBA ，∴OB ∥AC ，∵AC ⊥EF ，∴OB ⊥EF ，∴EF 是⊙O 的切线；（2）过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则AD ＝12AB ， ∵∠OAD ＝∠BAC ，∴Rt △AOD ∽Rt △ABC ， AD AO AC AB =，即1AB 422AB=， ∴AB ＝4；（3）∵AB ＝OB ＝OC ＝4，∴△OAB 为等边三角形，∴∠AOB ＝60°，∵OB ⊥BC ，∴∠ABC ＝30°，323BC AC ∴==，∴S 阴影部分＝S 四边形AOBC ﹣S 扇形OAB＝S △AOB +S △ABC ﹣S 扇形OAB211604842322363223603ππ⋅⋅=⨯⨯+⨯⨯-=-．【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质和扇形面积的计算．。
北师大版 圆全章测试题(含答案)-
圆全章测试题（满分：100分 ，时间：100分钟）一、填空题:(每小题2分,共20分)1.到点A 的距离为2cm 的所有的点组成的图形是________.2.已知⊙O,⊙O 所在平面内有一点P 到点Ocm,则点P 与⊙O 的位置关系是__________.3.已知⊙O 的弦AB=8,AB 弦的弦心距OC=3,则⊙O 的直径长为_____.4.如图1,AB 是⊙O 的直径,C 、D 、E 都是⊙O 上的点,则∠1+∠2=_______.21ECDBABNMOC BA(1) (2) (3)5.已知圆的直径为13cm,圆心到直线L 的距离为6cm,那么直线L 和这个圆的公共点的个数是_________.6.已知正三角形ABC 的内心为I,则∠BIC 的度数是________.7.如图2,PT 切⊙O 于点T,直径BA 的延长线交PT 于点P,若PT=4,PA=2,则⊙O 的半径长是_____________.8.已知⊙O 1与⊙O 2相切,⊙O 1的半径为5cm,圆心距O 1O 2=3cm,则⊙O 2 的半径是________. 9.已知两圆半径分别为8、6,若两圆内切,则圆心距为______;若两圆外切,则圆心距为___. 10.已知两圆的圆心距d=8,两圆的半径长是方程x 2-8x+1=0的两根,则这两圆的位置关系是______.二、选择题:(每小题3分,共30分) 11.下列命题中正确的是( )A.三点确定一个圆;B.两个等圆不可能内切;C.平分弦的直径垂直于弦;D.三角形外接圆的圆心是它的内心12.若∠OAB=30°,OA=10cm,则以O 为圆心,6cm 为半径的圆与直线AB 的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定13.给出下列命题:①任意三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆; ②任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形;③任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆;④任意一个圆一定有一个外切三角形, 并且只有一个外切三角形,其中正确命题共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个14.如图3,⊙O的弦AB垂直于直径MN,C为垂足,若OA=5cm, 下面四个结论中可能成立的是( )A.AB=12cmB.OC=6cm;C.MN=8cmD.AC=2.5cm15.圆锥的母线长为13cm,底面半径为5cm,则此圆锥的高为( )A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm16.如图4,已知直线BC切⊙O于点C,PD为⊙O的直径,BP的延长线与CD 的延长交于点A,∠A=28°,∠B=26°,则∠P DC等于( )A.34°B.36°C.38°D.40°(4) (5) (6)17.如图5,为了绿化环境,在矩形空地的四个角划出四个半径为1的扇形空地进行绿化,则绿化的总面积是( )A.2πB.πC.2πD.4π18.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和5cm,两圆的圆心距是8cm,则两圆的位置关系是( ) A.内含 B.内切 C.外切 D.相离19.中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆周五等分,然后连接五等分点而得(如图6),五角星的每一个角的度数是( )A.30°B.35°C.36°D.37°20.某校计划在校园内修建一座周长为12米的花坛,同学们设计出正三角形、正方形和圆共三种图案,其中使花坛面积最大的图案是( )A.正三角形B.正方形C.圆D.不能确定三、解答题21.(8分)如图,为丰富A、B、C三个小区的文化生活,现准备新建一个影剧院,使它到三个小区的距离相等,试确定M的位置(用尺规作图,不写作法,保留痕迹).CB 22.（8分）如图,有三边分别为0.4m、0.5m和0.6m的三角形形状的铝皮,问怎样剪出一个面积最大的圆形铝皮?请你设计解决问题的方法.AC23.（8分）半径为5cm的⊙O中,两条平行弦的长度分别为6cm和8cm.则这两条弦的距离为多少?24.(8分)如图,两同心圆中,大圆的弦AB的中点为C,已知大圆的半径为5cm,小圆的半径为3cm,弦AB为8cm.(1)AB与小圆有何位置关系?为什么?(2)圆环的面积是多少?25.(8分)已知扇形的圆心角为120°,面积为300 cm2.(1)求扇形的弧长;(2)若把此扇形卷成一个圆锥,求这个圆锥的底面半径和高.26.(10分)某单位搞绿化,要在一块圆形空地上种植四种颜色的花, 为了便于管理和美观,相同颜色的花集中种植,且每种颜色的花所占的面积相同. 现征集设计方案,要求设计成轴对称图形或中心对称图形,请在下面圆中画出三种设计方案( 只画示意图,不写作法).圆全章测试题答案：一、填空：（1）以点A 为圆心,2cm 长为半径的圆 （2）点P 在⊙O 内 （3）10 （4）90° （5）2 （6）120° （7）3 （8）2cm 或8cm （9）2、14 （10）两圆外切 二、选择：ABCDD CBCCC 三、解答：21、连接三点，做出三边中垂线的交点，满足到三点距离相等22、作出△ABC 的内切圆⊙O,沿⊙O 的圆周剪出一个圆,其面积最大. 23、分两种情况讨论：两弦在圆心同侧 两弦在圆心两侧根据垂径定理构造直角三角形，分别求出弦心距为3cm ，4cm 所以两弦之间距离为1cm 或7cm24.(1)相切.理由:连接OC,OB,则OC⊥AB,由已知得BC=12AB=4,OB=5,故从而圆心O 到直线AB 的距离等于小圆的半径,故AB 与小圆相切. (2) 22222(53)16OB OC cm ππππ-=-=.25、(1)设扇形半径为Rcm,则2120300360R ππ=,故R=30cm,设扇形弧长为Lcm,则113030022Rl l π=⨯=,故L=20π.(2)设圆锥的底面半径为rcm,则220r ππ=,r=10cm,26、略.只要符合题意即可得分.。
北师大版九年级下册数学第三章《圆》综合能力提升训练
九年级下册北师大版数学第三章《圆》综合能力提升训练密卷一、单选题1．已知⊙O 的半径为6，点A 与点O 的距离为5，则点A 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点A 在圆外B ．点A 在圆内C ．点A 在圆上D ．不确定2．下列说法中，不正确的是（ ）A ．圆既是轴对称图形又是旋转对称图形B ．一个圆的直径的长是它半径的2倍C ．圆的每一条直径都是它的对称轴D ．直径是圆的弦，但半径不是弦3．如图，在⊙O 中，弦AB 的长为16cm ，圆心O 到AB 的距离为6cm ，则⊙O 的半径是（ ）A ．6cmB ．10cmC ．8cmD ．20cm4．如图，已知A ，B ，C 在O 上，AOB ∠的度数为80°，C ∠的度数是（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒5．下列有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．其中错误的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB 是O 的直径，AD 是O 切线，BD 交O 与点C ，50CAD ∠=︒，则B ∠=（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒为（）A．52°B．51°C．61°D．64.5°8．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝22，则⊙O的半径为（）A．2 B．6C．22D．269．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形，做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的全面积（侧面与底面面积的和）为（）A．563πB．643πC．569πD．649π10．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为10，则GE+FH的最大值为（）A．5 B．10 C．15 D．2011．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ=CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD交AB于点F，点P从点A 出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CEP与△DEQ的面积和的变化情况是（）A ．一直减小B ．一直不变C ．先变大后变小D ．先变小后变大12．如下图，已知⊙O 的直径为AB ，AC ⊥AB 于点A, BC 与⊙O 相交于点D ，在AC 上取一点E ，使得ED=EA ．下面四个结论：①ED 是⊙O 的切线；②BC=2OE ③△BOD 为等边三角形；④△EOD ∽ △CAD ，正确的是（ ）A ．①②B ．②④C ．①②④D ．①②③④二、填空题 13．如图，O 是ABC ∆的外接圆，30ABC ∠=︒，4AC =，则弧AC 的长为__________．14．如图，四边形ABCD 内接于O ，若80ADC ∠=︒，则ABC ∠的度数是______．15．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ， CD ＝16，BE ＝4，则CE ＝____，⊙O 的半径为_____．16．如图在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的半径为2，小圆的半径为1，100AOB ∠=︒．则阴影部分的面积是_____________．17．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，已知∠A ＝40°，连接OB ，OC ，DE ，EF ，则∠BOC ＝__________°，∠DEF ＝__________°．18．如图，在等腰ABC 中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，点D 是AC 边上动点，连接BD ，以AD 为直径的圆交BD 于点E ，则线段CE 长度的最小值为___________．三、解答题19．如图， AC 与⊙O 相切于点C ， AB 经过⊙O 上的点D ，BC 交⊙O 于点E ，DE ∥OA ，CE 是⊙O 的直径．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若BD ＝4，CE ＝6，求AC 的长．20．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是半圆上不同于A ，B 的一动点，在弧BC 上取点D ，使DBC ABC ∠=∠，DE 为半圆O 的切线，过点B 作BF DE ⊥于点F ．（1）求证：2DBF CAD ∠=∠；（2）连接OC ，CD ．探究：当CAB ∠等于多少度时，四边形COBD 为菱形，并且写出证明过程．21．如图，AB AC ，分别是半O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，过点A 作半O 的切线,AP AP 与OD 的延长线交于点P ．连接PC 并延长与AB 的延长线交于点F ．（1）求证：PC 是半O 的切线；（2）若30,10CAB AB ︒∠==，求线段BF 的长．22．如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 是⊙O 上的点，AD 平分∠BAC ，过点D 作AC 的垂线，垂足为点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）延长AB 交ED 的延长线于点F ，若⊙O 半径的长为3，tan ∠AFE ＝34，求CE 的长．23．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，点O 在AB 上，⊙O 经过A 、D 两点，交AC 于点E ，交AB 于点F ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径是2cm ，E 是弧AD 的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）24．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE 为菱形．25．如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F，BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB，（1）求证：BG∥CD；（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．参考答案1．B解：∵OA=5，r=6，∴OA＜r，∴点A在圆内，2．CA、因为圆旋转任意一个角度都能够与自身重合，所以圆不仅是中心对称图形，也是旋转对称图形，该选项正确；B、一个圆的直径的长是它半径的2倍，该选项正确；C、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，该选项错误；D. 直径是圆的弦，但半径不是弦，该选项正确；3．B解：如图，过O作直径CD⊥AB于E，连接OA，则OE=6cm，AE=BE=12AB=8cm，在Rt△AEO中，由勾股定理得：2222OE+AE=6+8（cm），4．B解：∵∠AOB=80°，∠AOB=2∠C，∴∠C=40°；5．C解：不在同一直线上的三点确定一个圆，故①错误；在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故③错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故④正确；综上，错误结论的序号为：①②③，共有3个，解：∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90CAB CBA ∠+∠=︒，∵AD 是O 切线，∴90DAB ∠=︒，∴90CAD CAB ∠+∠=︒，∴50CBA CAD ∠=∠=︒，7．B∵PA ，PB 是O 的切线，AC 是O 的直径，∴∠CAP=90°，PA=PB ，∴∠PAB=∠PBA ，∵25.5BAC ∠=︒，∴∠PAB=∠CAP-BAC ∠=64.5°，∴P ∠=180°-64.5°-64.5°=51°．8．C解：如图，连接OM ，∵正六边形OABCDE ，∴∠FOG ＝120°，∵点M 为劣弧FG 的中点，∴∠FOM ＝60°，OM ＝OF ，∴△OFM 是等边三角形，∴OM ＝OF ＝FM ＝2．则⊙O 的半径为2．解：圆锥的侧面积＝π×42×120?360?＝163π，圆锥的底面半径＝2π×4×120?360?÷2π＝43，圆锥的底面积＝π×(43)2＝169π，圆锥的表面积＝侧面积＋底面积＝1616=39649πππ+．10．C如图1，连接OA、OB，，∵∠ACB=30°，∴∠AOB=2∠ACB=60°，∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，∵⊙O的半径为10，∴AB=OA=OB=10，∵点E，F分别是AC、BC的中点，∴EF=12AB=5，要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：10×2=20，∴GE+FH的最大值为：20-5=15．故选C．11．B连接OC，OD，PD，CQ．设PC＝x，OP＝y，OF＝a，∵PC⊥AB，QD⊥AB，∴∠CPO＝∠OQD＝90°，∵PC＝OQ，OC＝OD，∴Rt△OPC≌Rt△DQO，∴OP＝DQ＝y，∴S阴＝S四边形PCQD−S△PFD−S△CFQ＝12（x＋y）2−12•（y−a）y−12（x＋a）x＝xy＋12a（y−x），∵PC∥DQ，∴PC PF DQ FQ=，∴x y ay a x-=+，∴a＝y−x，∴S阴＝xy＋12（y−x）（y−x）＝12（x2＋y2）＝25212．C解：如图，连接OD．∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，即∠OAE=90°．在△AOE与△DOE中，∵OA=OD，AE=DE，OE=OE，∴△AOE≌△DOE（SSS），∴∠OAE=∠ODE=90°，即OD⊥ED．又∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线．故①正确；∵△AOE≌△DOE，∴∠AOE=∠DOE，∵OB=OD，∴∠B=∠BDO，∵∠B+∠BDO=∠AOE+∠DOE，∴∠B=∠AOE，∴OE∥BC，∵AO=OB，∴OE是△BAC的中位线，∴BC=2OE,故②正确；∵OE∥BC，∴∠AEO=∠C．∵△AOE≌△DOE，∴∠DEO=∠C，∠ODE=∠OAE=90°，∴∠ODE=ADC=90°，∴△EOD∽△CAD，∴正确的①②④．故选C．13．43π 解：连接OC ，OA∵∠AOC=2∠ABC ，∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵OA=OC, ∴△AOC 是等边三角形，∴OA=AC=4∴AC =60441803ππ=， 14．100°解：∵四边形ABCD 内接于O ，∴180ADC ABC ∠+∠=︒，∵80ADC ∠=︒，∴100ABC ∠=︒．15．8 10（1） AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ， CD ＝16由垂径定理可得，CE=16822CD == 故答案为：8（2） 连结OC ，设⊙O 半径为r ，则OC=r ，OE =r-4，弦CD ⊥AB∴△OCE 是Rt △OCE∴OE 2+CE 2=OC 2，∴（r-4）2+82=r 2，解得r=10，即⊙O 半径为10．故答案为：10．16．5 6π阴影部分面积=22100(2-1360π⨯)=56π．故答案为56π．17．110 70∵∠A=40︒，∴∠ABC+∠ACB=140︒，∵O是△ABC的内切圆，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=70︒，∴∠BOC=18070110︒-︒=︒，如图，连接OD，OF，∵AB、AC分别切⊙O于D、F点，∴∠ODA=∠OFA=90︒，∴∠A+∠DOF=180︒，∴∠DOF=140︒，∴∠DEF=12∠DOF=70︒．18．5﹣1解：连接AE ，如图，∵AD 为直径，∴∠AED=90°，∴∠AEB=90°，∴点E 在以AB 为直径的圆O 上，∵2AB AC ==∴圆O 的半径为1，∴当点O 、E 、 C 共线时，CE 最小，如图2在Rt △AOC 中，∵OA=1，AC=2，∴225AC OA =+ ∴CE=OC −51，即线段CE 51．51．19．（1）证明：连接OD ，如图：∵OE =OD ，∴∠OED =∠ODE ，∵DE ∥OA ，∴∠OED =∠AOC ，∠ODE =∠AOD ，∴∠AOC =∠AOD .在△AOD 和△AOC 中，AO AO AOD AOC OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △AOD ≌△AOC ，∴ ∠ADO =∠ACO .∵AC 与⊙O 相切于点C ，∴ ∠ADO =∠ACO =90°，又∵OD 是⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线；（2）解：∵CE =6，∴OE =OD =OC =3.在Rt △ODB 中，BD =4，OD =3，∴222BD OD BO +=，∴BO =5，∴BC =BO +OC =8.∵⊙O 与AB 和AC 都相切，∴AD =AC .在Rt △ACB 中，222AC BC AB +=，即：2228(4)AC AC +=+，解得：AC =6；20．解：（1）如图，连接OD ，DE 为半圆O 的切线，90ODF ∴∠=︒，BF DE ⊥，90BFD ∠=︒∴，∵180BFD ODF ∠+∠=︒，//OD BF ∴，DBF ODB ∴∠=∠，OD OB =，ODB OBD ∴∠=∠，DBF OBD ∴∠=∠，DBC ABC ∠=∠，2OBD DBC ∴∠=∠，2DBF DBC ∴∠=∠，∵DBC CAD ∠=∠，∴2DBF CAD ∠=∠；（2）当CAB ∠等于60︒时，四边形COBD 为菱形，证明：如图，连接OC ，OD ，CD ，四边形COBD 为菱形，OB BD ∴=，OB OD=，OB OD BD∴==，BOD∴是等边三角形，60OBD∠=︒，1302ABC OBD∴∠=∠=︒，9060CAB ABC∴∠=︒-∠=︒，∴当60CAB∠=︒时，四边形COBD为菱形．21．（1）证明：如解图，连接OC，∵OD AC⊥，OD经过圆心O，∴AD CD=，∴PA PC=，在OAP△和OCP△中，OA OCPA PCOP OP=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()OAP OCP SSS△≌△，∴OCP OAP∠=∠，∵PA是O的切线，∴90OAP∠=︒，∴90OCP∠=︒，即OC PC⊥，∴PC是O的切线．（2）解：∵AB是半圆O的直径，10AB=，∴90ACB∠=︒，152OC OB AB===，∵30CAB ∠=︒，∴60COF ∠=︒，∵PC 是O 的切线，∴OC PF ⊥，∴90OCF ∠=︒，∴3090F COF ∠=∠=︒-︒，∴210OF OC ==，∴5BF OF OB =-=．22．（1）证明：连接OD ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠1=∠2，∵OA=OD ，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴OD ∥AE ，∵AC ⊥DE ，∴OD ⊥DE ，∵OD 是⊙O 半径，∴OD 是⊙O 的切线；（2）连接BC ，交OD 于点M ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∵∠E=∠ODE=90°，∴∠ACB=∠E=∠ODE= 90°∴四边形CEDM 是矩形，∴CE=MD ，CM ∥DE ，∴∠F=∠ABC ，在Rt △OBM 中，OB=3，tan ∠ABC=34， 设OM=3x ，BM=4x ，∴222(3)(4)3x x +=，解得x=35， ∴OM=95， ∴CE=MD=3-95=65． ．23．（1）连接OD ．∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ．∵∠OAD =∠DAC ，∴∠ODA =∠DAC ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB =∠C =90°，∴OD ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．（2）连接OE ，OE 交AD 于K ．∵AE DE =，∴OE ⊥AD ． ∵∠OAK =∠EAK ，AK =AK ，∠AKO =∠AKE =90°，∴△AKO ≌△AKE ，∴AO =AE =OE ，∴△AOE 是等边三角形，∴∠AOE =60°，∴S 阴=S 扇形OAE ﹣S △AOE 260233604π⋅⋅=-⨯22233π=-24．解：（1）直线PD 为⊙O 的切线，理由如下：如图1，连接OD ，∵AB 是圆O 的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO ，∴∠BDO=∠PBD ，∵∠PDA=∠PBD ，∴∠BDO=∠PDA ，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD ⊥OD ，∵点D 在⊙O 上，∴直线PD 为⊙O 的切线；（2）∵BE 是⊙O 的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，∵PD 为⊙O 的切线，∴∠PDO=90°，在Rt △PDO 中，∠P=30°，3， ∴0tan 30OD PD=，解得OD=1， ∴22PO PD OD +，∴PA=PO ﹣AO=2﹣1=1；（3）如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE为菱形.25．（1）证明：如图1，∵PC=PB，∴∠PCB=∠PBC，∵四边形ABCD内接于圆，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠PCB=180°，∴∠BAD=∠PCB，∵∠BAD=∠BFD，∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，∴BC∥DF，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵BG⊥AD，∴∠AGB=90°，∴∠ADC=∠AGB，∴BG∥CD；（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，∴四边形BCDH是平行四边形，∴BC=DH，在Rt△ABC中，∵3DH，∴tan∠ACB=33 AB DHBC==，∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，∴∠ADB=60°，BC=12 AC，∴DH=12 AC，①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°，∴∠AMD+∠ADM=90°∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠BDE+∠ABD=90°，∵∠AMD=∠ABD，∴∠ADM=∠BDE，∵DH=12 AC，∴DH=OD，∴∠DOH=∠OHD=80°，∴∠ODH=20°∵∠AOB=60°，∴∠ADM+∠BDE=40°，∴∠BDE=∠ADM=20°，②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．。
北师大版 圆全章测试题(含答案)-
圆全章测试题（满分：100分 ，时间：100分钟）一、填空题:(每小题2分,共20分)1.到点A 的距离为2cm 的所有的点组成的图形是________.2.已知⊙O,⊙O 所在平面内有一点P 到点Ocm,则点P 与⊙O 的位置关系是__________.3.已知⊙O 的弦AB=8,AB 弦的弦心距OC=3,则⊙O 的直径长为_____.4.如图1,AB 是⊙O 的直径,C 、D 、E 都是⊙O 上的点,则∠1+∠2=_______.21ECDBABNMOC BA(1) (2) (3)5.已知圆的直径为13cm,圆心到直线L 的距离为6cm,那么直线L 和这个圆的公共点的个数是_________.6.已知正三角形ABC 的内心为I,则∠BIC 的度数是________.7.如图2,PT 切⊙O 于点T,直径BA 的延长线交PT 于点P,若PT=4,PA=2,则⊙O 的半径长是_____________.8.已知⊙O 1与⊙O 2相切,⊙O 1的半径为5cm,圆心距O 1O 2=3cm,则⊙O 2 的半径是________. 9.已知两圆半径分别为8、6,若两圆内切,则圆心距为______;若两圆外切,则圆心距为___. 10.已知两圆的圆心距d=8,两圆的半径长是方程x 2-8x+1=0的两根,则这两圆的位置关系是______.二、选择题:(每小题3分,共30分) 11.下列命题中正确的是( )A.三点确定一个圆;B.两个等圆不可能内切;C.平分弦的直径垂直于弦;D.三角形外接圆的圆心是它的内心12.若∠OAB=30°,OA=10cm,则以O 为圆心,6cm 为半径的圆与直线AB 的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定13.给出下列命题:①任意三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆; ②任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形;③任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆;④任意一个圆一定有一个外切三角形, 并且只有一个外切三角形,其中正确命题共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个14.如图3,⊙O的弦AB垂直于直径MN,C为垂足,若OA=5cm, 下面四个结论中可能成立的是( )A.AB=12cmB.OC=6cm;C.MN=8cmD.AC=2.5cm15.圆锥的母线长为13cm,底面半径为5cm,则此圆锥的高为( )A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm16.如图4,已知直线BC切⊙O于点C,PD为⊙O的直径,BP的延长线与CD 的延长交于点A,∠A=28°,∠B=26°,则∠P DC等于( )A.34°B.36°C.38°D.40°(4) (5) (6)17.如图5,为了绿化环境,在矩形空地的四个角划出四个半径为1的扇形空地进行绿化,则绿化的总面积是( )A.2πB.πC.2πD.4π18.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和5cm,两圆的圆心距是8cm,则两圆的位置关系是( ) A.内含 B.内切 C.外切 D.相离19.中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆周五等分,然后连接五等分点而得(如图6),五角星的每一个角的度数是( )A.30°B.35°C.36°D.37°20.某校计划在校园内修建一座周长为12米的花坛,同学们设计出正三角形、正方形和圆共三种图案,其中使花坛面积最大的图案是( )A.正三角形B.正方形C.圆D.不能确定三、解答题21.(8分)如图,为丰富A、B、C三个小区的文化生活,现准备新建一个影剧院,使它到三个小区的距离相等,试确定M的位置(用尺规作图,不写作法,保留痕迹).CB 22.（8分）如图,有三边分别为0.4m、0.5m和0.6m的三角形形状的铝皮,问怎样剪出一个面积最大的圆形铝皮?请你设计解决问题的方法.AC23.（8分）半径为5cm的⊙O中,两条平行弦的长度分别为6cm和8cm.则这两条弦的距离为多少?24.(8分)如图,两同心圆中,大圆的弦AB的中点为C,已知大圆的半径为5cm,小圆的半径为3cm,弦AB为8cm.(1)AB与小圆有何位置关系?为什么?(2)圆环的面积是多少?25.(8分)已知扇形的圆心角为120°,面积为300 cm2.(1)求扇形的弧长;(2)若把此扇形卷成一个圆锥,求这个圆锥的底面半径和高.26.(10分)某单位搞绿化,要在一块圆形空地上种植四种颜色的花, 为了便于管理和美观,相同颜色的花集中种植,且每种颜色的花所占的面积相同. 现征集设计方案,要求设计成轴对称图形或中心对称图形,请在下面圆中画出三种设计方案( 只画示意图,不写作法).圆全章测试题答案：一、填空：（1）以点A 为圆心,2cm 长为半径的圆 （2）点P 在⊙O 内 （3）10 （4）90° （5）2 （6）120° （7）3 （8）2cm 或8cm （9）2、14 （10）两圆外切 二、选择：ABCDD CBCCC 三、解答：21、连接三点，做出三边中垂线的交点，满足到三点距离相等22、作出△ABC 的内切圆⊙O,沿⊙O 的圆周剪出一个圆,其面积最大. 23、分两种情况讨论：两弦在圆心同侧 两弦在圆心两侧根据垂径定理构造直角三角形，分别求出弦心距为3cm ，4cm 所以两弦之间距离为1cm 或7cm24.(1)相切.理由:连接OC,OB,则OC⊥AB,由已知得BC=12AB=4,OB=5,故从而圆心O 到直线AB 的距离等于小圆的半径,故AB 与小圆相切. (2) 22222(53)16OB OC cm ππππ-=-=.25、(1)设扇形半径为Rcm,则2120300360R ππ=,故R=30cm,设扇形弧长为Lcm,则113030022Rl l π=⨯=,故L=20π.(2)设圆锥的底面半径为rcm,则220r ππ=,r=10cm,26、略.只要符合题意即可得分.。
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、选择题1.已知O O 的直径为10,点P 到点0的距离大于8，那么点P 的位置（）A. —定在O 0的内部B. —定在O 0的外部C. 一定在O 0上D. 不能确定 2. 乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD 为8m ,水面宽AB 为8m ,则桥拱半径 0C 为（ ）A. 4mB. 5mC. 6mD. 8m3.给出下列说法：① 直径是弦；②优弧是半圆；③ 半径是圆的组成部分；④ 两个半径不相等的圆中，大的半圆的弧长小于小的半圆的周长.其中正确的有（ ）5.如图，点A,B,C 均在坐标轴上， A0=B0=C0=1,过A,0,C 作O D , E 是O D 上任意一点，连结 CE, BE 则6.如图，在O 0中，弦AC 与半径0B 平行，若/ B0C=5O °则/ B 的大小为（）第三章圆A. 1个B. 个C.个D. 个4.一个扇形的圆心角是 120 °面积为3 Mm 2 那么这个扇形的半径是（A.cmB. 3cmC. 6cmD. 9cmB. 5C. 6D.A. 25 °B. 30C. 50 °D. 60 °7. 在研究圆的有关性质时， 我们曾做过这样的一个操作 将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折， 可以 看到直径两侧的两个半圆互相重合 ”.由此说明（）A. 圆的直径互相平分B. 垂直弦的直径平分弦及弦所对的弧C. 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心D. 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴 8.如图，AB 为O O 的直径，点E 、C 都在圆上，连接 AE , CE BC ,过点A 作O O 的切线交BC 的延长线于点D ,若/ AEC=25，则/ D 的度数为（）9.如图，四边形 ABCD 内接于圆O , E 为CD 延长线上一点，若 / B=110:则/ADE 的度数为（）A. 75B. 65C. 55D. 74B. 110C. 90D. 80A. 11510. 已知：O O是厶ABC的外接圆，/ OAB=40°，则/ ACB的大小为（）B. 50 °"C 20 或160 M D. 50 或130A. 2011•如图，O O 内切于四边形 ABCD, AB=10, BC=7, CD=8,贝U AD 的长度为（ ）12. 如图，在圆心角为 45的扇形内有一正方形 CDEF 其中点C 、D 在半径0A 上，点F 在半径0B 上，点E在匚-上，则扇形与正方形的面积比是（、填空题13. PA , PB 分别切O O 于A , B 两点，点C 为O O 上不同于AB 的任意一点，已知 / P=40°则/ ACB 的度数14. 如图，AB 为O O 的直径，直线I 与O O 相切于点C, AD 丄I ,垂足为D , AD 交O O 于点E ,连接OC BE 若B. 9C. 10D. 11 A. n 8 " B. 5 n ： 8 A. 8515. ________________________________________________________________________________ 如图，AB 是O O 的直径，点 C 在O O 上，/ AOC=40, D 是BC 弧的中点，贝U / ACD= ___________________16. ___________ 如图所示，O I 是Rt A ABC 的内切圆，点 D 、E 、F 分别是且点，若 / ACB=90°, AB=5cm , BC=4cm,则O I 的周长为 __ cm .17•如图，PA, PB 是O O 的切线，CD 切O O 于E , PA=6，则△ PDC 的周长为18.如图，O O 的半径为6cm , B 为O O 外一点，OB 交O O 于点A , AB=OA,动点P 从点A 出发，以n cm/s的速度在O O 上按逆时针方向运动一周回到点A 立即停止.当点P 运动的时间为 ________ 时，BP 与O O 相ABCD 中，点E 在DC 的延长线上.若 / A=50 °则/ BCE= ___________21.如图，在△ ABC中，AB=AC=3, / BAC=120：以点A为圆心，1为半径作圆弧，分别交AB, AC于点D,P为弧AB的中点，分别在弧AP和弧PB上取中点A i和B i ，再E, 以点C为圆心，3为半径作圆弧，分别交AC, BC于点A, F.若图中阴影部分的面积分别为则S i - S2的值为在弧PA i和弧PB1上分别取中点A2和B2 ,若一直这样取中点，求 / A n PBn=三、解答题23. 如图，AB为O O的直径，C是O O上一点，D在AB的延长线上，且 / DCB=Z A.求证：CD是O O的切O的直径,/ BAC=32°, D是弧AC的中点，求/ DAC的度数.DP// AC,交BA的延长线于P,求证：AD?DC=PA?BC26. (2017?通辽)如图，AB为O O的直径，D为的中点，连接OD交弦AC于点F,过点D作DE// AC, 交BA的延长线于点E.(1) 求证：DE是O O的切线；(2) 连接CD,若OA=AE=4,求四边形ACDE的面积.参考答案一、选择题BBABCADBBDDB二、填空题13. 70 或110 °14. 415. 125 °16. 2 n17. 1218. 2秒或5秒19. 50 °20. 1221. - n122. 180 °—X 180 °三、解答题••• / ACB=90 ,°••• / A+Z ABC=90 °又•/ OB=OC, • Z OBC=Z OCB, 又•/ Z DCB=Z A°••• / A+Z ABC=/ DCB+/ OCB=90 ,••• OC X DC,• CD是O O的切线.24. 解：连接BC,••• AB是半圆O的直径，Z BAC=32 ,°•Z ACB=90 ,°Z B=90 - 32 =58 ,•Z D=180 - Z B=122。
第一单元《圆》章节测试 2022—2023北师大版六年级上册(含答案)
第一单元《圆》章节测试2022—2023北师大版六年级上册（含答案）一、选择题1. 世界上第一个把圆周率精确到3.1415926～3.1415927之间的科学家是（ ）A ．杨乐B ．景湿润C ．祖冲之2. 圆周率π是一个（ ）。
A ．3.14B ．有限小数C ．无限循环小数D ．无限不循环小数3. 在一个长是6厘米，宽是4厘米的长方形中画出一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？如果要画出一个最大的半圆，这个半圆的周长是多少厘米？（ ）A ．15.42、28.26B ．28.26、12.56C ．12.56、15.42D ．28.26、9.424. 如图,圆O 的半径为2厘米，且OC⊥AB，AOE EOD ∠=∠，COF FOD ∠=∠，则扇形EOF 的面积为（ ）。
A ．22cm πB ．223cm πC ．23cm π D ．无法确定 5. 如图中以圆的半径为边长的正方形的面积是20平方厘米，圆的面积是（ ）平方厘米。
A ．26.8B ．62.8C ．68.2二、填空题6. 在一个圆里，有( )条半径，半径的长度是直径的( )。
7. 决定圆面积大小的是 ．8. 当圆规两脚间的距离为40cm时，画出圆的周长是( )cm。
9. 圆规两脚分开5厘米画出的圆的直径是( )厘米，周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。
10. 如图,将一个直角三角形纸片竖立，放在水平的桌面绕点C顺时针从图①的位置旋转到图②的位置，点B所经过的路线总长度是______厘米。
11. 在一张长12厘米，宽8厘米的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的直径是_____，面积是_____，周长是_____。
12. 下图是个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形羊圈，这个半圆的直径为5m。
（1）围这个羊圈用了( )m长的篱笆。
（2）如果将这个半圆形羊圈的直径扩大5m，那么这个羊圈扩大后要用( )m长的篱笆，面积是( )m2。
13. 一个圆的直径是d，连续对折2次后（不打开），周长是( )。
圆大单元练习[含参考答案][上学期]--华师大版
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圆的单元练习23.1~23.2.3班级：________ 姓名：_____________ 得分：___________一、选择题（每题4分共40分）1、A、B、C三点在⊙O上的位置如图所示，若∠AOB＝80°，则∠ACB等于( ).(A) 160°(B) 80°(C) 40°(D) 20°第1题图第2题图2、如图，已知⊙O中，∠AOB度数为100°，C是劣弧上的一点，则∠ACB的度数为( ).(A) 130°(B) 100°(C) 80°(D) 50°3、下列说法正确的是( )(A) 相等的圆心角所对的弧相等(B) 相等的圆心角所对的弦相等(C) 圆的切线垂直于圆的半径(D) 每个三角形都有一个内切圆4、如图，已知P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC的度数是( ) (A) 70°(B) 40°(C) 50°(D) 20°第4题图第5题图5、如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E．则下列结论中错误的是( )(A) ∠COE＝∠DOE (B) CE＝DE (C) AE＝OE (D)6、Rt△ABC中，∠C＝90°,AC＝3cm，BC＝4cm．给出下列三个结论：①以点C为圆心，2.3cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2.4cm长为半径的圆与AB相切；③以点C为圆心，2.5cm长为半径的圆与AB相交.则上述结论中正确的个数是( )(A) 0个(B) 1个(C) 2个(D) 3个7、在Rt△ABC中，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，则它的外接圆的面积为( )(A) 100π cm2(B) 15π cm2(C) 25π cm2(D) 50π cm28、与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的 （ ）(A)三条中线的交点， (B)三条角平分线的交点，(C)三条高的交点， (D)三边的垂直平分线的交点。
九下第2章圆全章整合与提升习题新版湘教版
或
动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为
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5.如图，AB为☉O的直径，过圆上一点D作☉O的切线CD交
BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD的延长线于点
E，连接BE.
(1)直线BE与☉O相切吗？请说明理由；
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线OP上的三个点，OA＝6，OB＝5，OC＝4，则(
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A.点A在☉O内
B.点B在☉O上
C.点C在☉O外
D.点C在☉O上
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B )
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பைடு நூலகம்
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圆心角、弧、弦之间的关系
3.[2023·岳阳月考]如图，已知点C，D为半圆上的三等分
；②∠AOD＝∠DOC＝
＝
第2章
圆
全章整合与提升
一类概念——与圆有关的概念
1.下列说法正确的是(
B )
A.长度相等的弧叫作等弧
B.同圆或等圆的半径相等
C.经过圆心的线段是直径
D.顶点在圆上的角叫作圆周角
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精品试题北师大版九年级数学下册第三章 圆综合练习试题(含解析)
北师大版九年级数学下册第三章 圆综合练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在Rt△ABC 中，90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，3AB =，以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A ，D ，则阴影部分的面积为（ ）A 3πB 3π-C 23π-D ．23π 2、已知⊙O 的半径为3，若PO =2，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 外D ．无法判断3、如图，四边形ABCD 内接于O ，若130C ∠=︒，则BOD ∠的度数为（ ）A ．50°B ．100°C ．130°D ．150°4、已知⊙O 的半径等于5，圆心O 到直线l 的距离为6，那么直线l 与⊙O 的公共点的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定5、如图，点A ，B ，C 均在O 上，当35OBC ∠=︒时，A ∠的度数是（ ）．A ．65°B ．60°C ．55°D ．50°6、如图，在圆内接五边形ABCDE 中，425C CDE E EAB ∠+∠+∠+∠=︒，则CDA ∠的度数为（ ）A ．75︒B ．65︒C ．55︒D ．45︒ 7、如图，在Rt ABC 中，390,4,tan 4ACB AC A ∠===．以点C 为圆心，CB 长为半径的圆交AB 于点D ，则AD 的长是（ ）A．1 B．75C．32D．28、在△ABC中，CA CB，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C与AB的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定9、如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，连结AO，BO，则∠AOB的度数是（）A．30°B．60°C．80°D．90°10、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（）A ．（－2，－1）B ．（－1，0）C ．（－1，－1）D ．（0，－1）第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，直线l 与半径为8的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB ⊥l 于B ，连接PA ．设PA =x ，PB =y ，则（x -y ）的最大值是__________．2、已知圆锥的母线长为13cm ，底面圆的半径为5cm ，则圆锥的表面积为 _____．3、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，BE 平分ABC ∠，CF 平分ACB ∠，CF ，BE 交于点P ，4AC =cm ，3BC =cm ，5AB =cm ，则CPB △的面积为_______cm 2．4、如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°．则∠APB =________度；5、如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=105°，则∠BOD=_______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，已知P是⊙O上一点，用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线．要求：用直尺和圆规作图．∥，直线CD交BA的延长线于点E，连接2、如图，AB为O的直径，BC为O的切线，弦AD OCBD．求证：（1）EDA EBD△△；（2）ED BC AO BE⋅=⋅．3、如图1，BC是⊙O的直径，点A，P在⊙O上，且分别位于BC的两侧（点A、P均不与点B、C重合），过点A 作AQ⊥AP，交PC 的延长线于点Q，AQ交⊙O于点D，已知AB＝3，AC＝4．（1）求证：△APQ∽△ABC．（2）如图2，当点C为PD的中点时，求AP的长．（3）连结AO，OD，当∠PAC与△AOD的一个内角相等时，求所有满足条件的AP的长．4、如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）与x轴交于A、B两点（A点在B点的左边），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，OB＝OC＝3OA．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，点E的坐标为（0，7），若过点E作一条直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点H，直线y＝kx﹣2k﹣5（k≠0）与抛物线交于F、G两点，求当k为何值时，△FGH面积最小，并求出面积的最小值；（3）如图3，已知直线l：y＝2x﹣1，将抛物线沿直线l方向平移，平移过程中抛物线与直线l相交于E、F两点．设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m，在x轴上存在唯一的一点P，使∠EPF＝90°，求m的值．5、如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，－3），将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA′B′，点A旋转后的对应点为A´．（1）画出旋转后的图形△OA′B′，并写出点A′ 的坐标；（2）求点B经过的路径'BB的长（结果保留π）.-参考答案-一、单选题1、A连结OC ，根据切线长性质DC =AC ，OC 平分∠ACD ，求出∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，利用在Rt△ABC中，AC =AB tan B =Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，利用三角形面积公式求出12AOC S OA AC ∆=⋅=，12DOC S OD DC ∆=⋅=212011==3603OAD S ππ⨯扇形，利用割补法求即可． 【详解】解：连结OC ，∵以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A , D ，∴DC =AC ，OC 平分∠ACD ，∵90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，∴∠ACD =90°-∠B =60°，∴∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，在Rt△ABC 中，AC =AB tan B =在Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，∴OD =OA =1，DC =AC∴11122AOC S OA AC ∆=⋅=⨯=11122DOC S OD DC ∆=⋅=⨯= ∵∠DOC =360°-∠OAC -∠ACD -∠ODC =360°-90°-90°-60°=120°， ∴212011==3603OAD S ππ⨯扇形，S 阴影=1133AOC DOC OAD S S S ππ∆∆+-扇形．【点睛】本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．2、A【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．【详解】∵⊙O的半径为3，若PO＝2，∴2＜3，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．3、B【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠DCB=180°，∵∠DCB=130°，∴∠A=50°，∠=2∠A=100°，由圆周角定理得，BOD故选：B．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．4、A【分析】圆的半径为,r圆心到直线的距离为,d当d r=时，＞时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当d r圆与直线相切，直线与圆有一个交点，d r＜时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案．【详解】解：∵⊙O的半径等于r为8，圆心O到直线l的距离为d为6，∴d r＞，∴直线l与O相离，∴直线l与⊙O的公共点的个数为0，故选A．【点睛】本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．5、C【分析】先由OB =OC ，得到∠OCB =∠OBC =35°，从而可得∠BOC =180°-∠OCB -∠OBC =110°，再由圆周角定理即可得到答案．【详解】解：∵OB =OC ，∴∠OCB =∠OBC =35°，∴∠BOC =180°-∠OCB -∠OBC =110°， ∴1=552A BOC ∠=∠︒，故选C ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知圆周角定理是解题的关键．6、B【分析】先利用多边的内角和得到540EAB B C CDE E ∠+∠+∠+∠+∠=︒，可计算出115B ∠=︒，然后根据圆内接四边形的性质求出CDA ∠的度数即可.【详解】解：∵五边形ABCDE 的内角和为()52180540-⨯︒=︒，∴540EAB B C CDE E ∠+∠+∠+∠+∠=︒，∵425EAB C CDE E ∠+∠+∠+∠=︒，∴540425115B ∠=︒-︒=︒，∵四边形ABCD 为O 的内接四边形，∴180B CDA ∠+∠=︒，∴18011565CDA ∠=︒-︒=︒.故选：B.【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的性质是解答本题的关键.7、B【分析】利用三角函数及勾股定理求出BC 、AB ，连接CD ，过点C 作CE ⊥AB 于E ，利用cos BC BE B AB BC ==，求出BE ，根据垂径定理求出BD 即可得到答案．【详解】解： 在Rt ABC 中，390,4,tan 4ACB AC A ∠===，∴BC =3，5AB =，连接CD ，过点C 作CE ⊥AB 于E ， ∵cos BC BE B AB BC ==， ∴353BE =， 解得95BE =，∵CB=CD，CE⊥AB，∴1825 BD BE==，∴187555 AD AB BD=-=-=，故选：B．【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，垂径定理，熟记各定理并熟练应用是解题的关键．8、B【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一即可得CO AB⊥，根据三角形切线的判定即可判断AB是C的切线，进而可得⊙C与AB的位置关系【详解】解：连接CO,CA CB=，点O为AB中点．CO AB∴⊥CO为⊙C的半径，AB∴是C的切线，∴⊙C与AB的位置关系是相切故选B【点睛】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．9、B【分析】延长AO交⊙O于点D，连接BD，根据圆周角定理得出∠D=∠P=30°，∠ABD=90°，由直角三角形的性质可推得AB=BO=AO，然后根据等边三角形的判定与性质可以得解．【详解】解：如图，延长AO交⊙O于点D，连接BD，∵∠P=30°，∴∠D=∠P=30°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴AB=12AD=AO=BO，∴三角形ABO是等边三角形，∴∠AOB=60°，故选B．【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆周角定理、圆直径的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质是解题关键．10、A【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．【详解】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，如图所示：EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．故选：A【点睛】此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．二、填空题1、4【分析】作直径AC ，连接CP ，得出△APC ∽△PBA ，利用相似三角形的性质得出y =116x 2，所以x -y =x -116x 2=-116x 2+x =-116（x -8）2+4，当x =8时，x -y 有最大值是4． 【详解】解：如图，作直径AC ，连接CP ，∴∠CPA =90°，∵AB 是切线，∴CA ⊥AB ，∵PB ⊥l ，∴AC ∥PB ，∴∠CAP =∠APB ，∴△APC ∽△PBA ， ∴AP BP AC AP=， ∵PA =x ，PB =y ，半径为8， ∴16x y x=，∴y =116x 2，所以x -y =x -116x 2=-116x 2+x =-116（x -8）2+4， 当x =8时，x -y 有最大值是4，故答案为：4．【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．2、90πcm 2【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算出圆锥的侧面积，然后加上底面积即可得到圆锥的表面积．【详解】 解：圆锥的侧面积＝12513652ππ＝cm 2， 圆锥的底面积＝π•52＝25πcm 2，所以圆锥的表面积＝65π+25π＝90πcm 2．故答案为：90πcm 2．【点睛】本题考查了圆锥的表面积，圆锥的有关概念，正确运用圆的面积公式，扇形的面积公式是解题的关键．3、1.5【分析】根据BE 平分ABC ∠，CF 平分ACB ∠，CF ，BE 交于点P ，得出点P 是ABC ∆的内心，并画出ABC ∆的内切圆，再根据切线长定理列出方程组，求出BCP ∆的边BC 上的高，进而求出其面积．【详解】解：BE 平分ABC ∠，CF 平分ACB ∠，CF ，BE 交于点P ，∴点P 是ABC ∆的内心．如图，画出ABC ∆的内切圆，与BC 、AC 、AB 分别相切于点G 、M 、N ，且连接PG ，设CG x =，BG y =，AF z =，得方程组：354x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得：123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 1PG x ∴==，CPB ∴∆的面积21131 1.5()22BC PG cm =⨯⨯=⨯⨯=． 故答案为：1.5．【点睛】此题主要考查三角形内切圆的应用，解题的关键是熟知三角形内切圆的性质，根据其性质列出方程组求解．4、60【分析】先根据圆的切线的性质可得90OAP ∠=︒，从而可得60PAB ∠=︒，再根据切线长定理可得PA PB =，然后根据等边三角形的判定与性质即可得．【详解】解：,PA PB 是O 的切线，,PA PB OA AP ∴=⊥，90OAP ∴∠=︒，30OAB ∠=︒，60PAB OAP OAB ∴∠∠=∠-=︒，PAB ∴是等边三角形，60APB ∴∠=︒，故答案为：60．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、切线长定理等知识点，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键． 5、150°【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠C 的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD 内接于O ，105A ∠=︒，∴180********C A ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴2150BOD C ∠=∠=︒．故答案为：150︒．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．三、解答题1、见详解【分析】方法一：连接OP，并延长，以点P为圆心，OP长为半径画弧，交OP的延长线于点C，然后再以点O、C为圆心，大于OC长的一半为半径画弧，交于点M、N，则问题可求解；方法二：连接OP，以点P 为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于点D，连接OD并延长，然后以点D为圆心OD长为半径画弧，交OD的延长线于点E，连接PE，则问题可求解．【详解】解：方法一如图所示：直线MN即为⊙O的切线；方法二如图所示：则PE即为⊙O的切线．【点睛】本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．2、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接DO ，根据AD OC ∥，可证COD COB ∠=∠．从而可得()COD COB SAS ≅，90CDO CBO ∠=∠=︒，即可证明EDA DBE ∠=∠，故EDA EBD △△；（2）证明EOD ECB △△，可得ED OD BE BC=，即可证明ED BC AO BE ⋅=⋅． 【详解】证明：（1）连接DO ，如图：∵AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，∴90CBO ∠=︒，∵AD OC ∥，∴DAO COB ∠=∠，ADO COD ∠=∠．∵OA OD =，∴DAO ADO ∠=∠，∴COD COB ∠=∠．在COD △和COB △中，CO CO COD COB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()COD COB SAS ≅，∴90CDO CBO ∠=∠=︒，∵AB 为O 的直径，∴90EDO ADB ∠=∠=︒，即90EDA ADO BDO ADO ∠+∠=∠+∠=︒，∴EDA BDO ∠=∠，∵OD OB =，∴BDO DBO ∠=∠，∴EDA DBO ∠=∠，即EDA DBE ∠=∠，∵E E ∠=∠，∴~EDA EBD ；（2）由（1）知：90EDO EBC ∠=∠=︒，又∵E E ∠=∠，∴EOD ECB △△， ∴ED OD BE BC=， ∴ED BC OD BE ⋅=⋅，∵OD AO =，∴ED BC AO BE ⋅=⋅．【点睛】本题考查圆中的相似三角形判定与性质，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是证明COD COB ≅，从而得到90EDO ∠=︒．3、（1）见解析；（2）2AP =（3）当=PAC ADO ∠∠，=PAC OAD ∠∠时，AP ==PAC AOD ∠∠时，=4AP ．【分析】（1）通过证=PAQ BAC ∠∠，=B P ∠∠，即可得APQ ABC ∽；（2）先证PCD 是等腰直角三角形，求sin 45DC PC AP AP ==⋅︒==C CDQ AB △△∽，得CQ CD AC AB=，求CQ 长，即可求PQ 得长，通过APQ ABC ∽，即可得AP PQ AB BC ，即可求AP ．（3）分类讨论， =PAC ADO ∠∠，=PAC OAD ∠∠，=PAC AOD ∠∠，三种情况讨论，再通过勾股定理和相似即可求解．【详解】证明：（1）∵AQ ⊥AP∴=90PAQ ∠︒∵BC 是⊙O 的直径∴=90BAC ∠︒∴=PAQ BAC ∠∠∵=B P ∠∠ ∴APQ ABC ∽（2）如图，连接CD ，PD∵BC 是⊙O 的直径∴=90BAC ∠︒∵AB ＝3，AC ＝4∴利用勾股定理得：5BC =,即直径为5∵=90PAQ ∠︒∴180=90PCD PAQ ∠=︒-∠︒∴DP 是⊙O 的直径，且DP =BC =5∵点C 为PD 的中点∴CD =PC∵=90PCD ∠︒∴=45PDC ∠︒∴PCD 是等腰直角三角形∴利用勾股定理得：2222522DP DC PC ===,则DC PC ==∵==DCQ PCD PAQ ∠∠∠，=Q Q ∠∠∴CDQ APQ △∽△∵APQ ABC ∽∴C CDQ AB △△∽∴CQ CD AC AB =，即：243CQ =∴3CQ =∴PQ CQ PC =+∵APQ ABC ∽∴AP PQ AB BC ，即：635AP =∴2AP =（3）连接AO ,OD ，OP ，CD ，OD 交AC 于点M∵=90PCD ∠︒（已证）∴OD ,OP 共线，为⊙O 的直径情况一：当=PAC ADO ∠∠时∵=PAC ADO ∠∠，=ADO ACP ∠∠∴=PAC ACP ∠∠∴AP =PC∵=90PAQ ∠︒∴=90ADO APD ∠+∠︒∴=90PAC APD∠+∠︒∴=90AMP∠︒即AC PD⊥∵AP=PC∴122AM AC==∴在Rt AOM中，32 OM==∴1354222 PM OM OP OM BC=+=+=+=∴在Rt APM中，AP=情况二：当=PAC OAD∠∠时，∵OA OD=∴=OAD ADO∠∠∴=PAC ADO∠∠同情况一：AP=情况三：当=PAC AOD∠∠时∵=ADO ACP∠∠，=PAC AOD∠∠∴DAO CPA△∽△∴APC OAD∠=∠，∵OA=OD∴ADO OAD∠=∠∴=ACP APC∠∠∴==4AP AC综上所述，当=PAC ADO ∠∠，=PAC OAD ∠∠时，AP ==PAC AOD ∠∠时，=4AP ．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等，是圆的综合题。
2020--2021学年华东师大版数学九年级下册课堂小练习：第27章《圆》综合题专练(一)
华东师大版数学九年级下册课堂小练习：第27章《圆》综合题专练（一）1．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E＝∠C；（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF＝4，cos B＝，E是的中点，求EG•ED的值．2．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图1．过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝27°，求∠P的大小；（Ⅱ）如图2，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝10°，求∠P的大小．3．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标为A（﹣，0）、B（，0）、C（0，3）．（1）求△ABC内切圆⊙D的半径．（2）过点E（0，﹣1）的直线与⊙D相切于点F（点F在第一象限），求直线EF的解析式．（3）以（2）为条件，P为直线EF上一点，以P为圆心，以2为半径作⊙P．若⊙P 上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，求此时圆心P的坐标．4．如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB＝∠ABD＝45°（1）求证：BD是该外接圆的直径；（2）连结CD，求证：AC＝BC+CD；（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AC＝4，BC＝2，求BD和CE的长．6．如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE ⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D．（1）求证：DC＝DP；（2）若∠CAB＝30°，当F是的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．7．如图1，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC 于点D，且ED⊥AC．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C＝75°，CD＝2﹣，求⊙O 的半径和BF的长．8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值．9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF．（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PF：PC＝1：2，AF＝5，求CP的长．10．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE＝CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD＝15，BE＝10，sin A＝，求⊙O的半径．参考答案1．（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C；（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD＝180°﹣∠E，又∵∠CFD＝180°﹣∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝55°，又∵∠E＝∠C＝55°，∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝110°；（3）解：连接OE，∵∠CFD＝∠E＝∠C，∴FD＝CD＝BD＝4，在Rt△ABD中，cos B＝，BD＝4，∴AB＝6，∵E是的中点，AB是⊙O的直径，∴∠AOE＝90°，∵AO＝OE＝3，∴AE＝3，∵E是的中点，∴∠ADE＝∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴＝，即EG•ED＝AE2＝18．2．解：（Ⅰ）如图，连接OC，∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°，∵∠CAB＝27°，∴∠COB＝2∠CAB＝54°，在Rt△AOE中，∠P+∠COP＝90°，∴∠P＝90°﹣∠COP＝36°；（Ⅱ）∵E为AC的中点，∴OD⊥AC，即∠AEO＝90°，在Rt△AOE中，由∠EAO＝10°，得∠AOE＝90°﹣∠EAO＝80°，∴∠ACD＝∠AOD＝40°，∵∠ACD是△ACP的一个外角，∴∠P＝∠ACD﹣∠A＝40°﹣10°＝30°．3．解：（1）连接BD，∵B（，0），C（0，3），∴OB＝，OC＝3，∴tan∠CBO＝＝，∴∠CBO＝60°∵点D是△ABC的内心，∴BD平分∠CBO，∴∠DBO＝30°，∴tan∠DBO＝，∴OD＝1，∴△ABC内切圆⊙D的半径为1；（2）连接DF，过点F作FG⊥y轴于点G，∵E（0，﹣1）∴OE＝1，DE＝2，∵直线EF与⊙D相切，∴∠DFE＝90°，DF＝1，∴sin∠DEF＝，∴∠DEF＝30°，∴∠GDF＝60°，∴在Rt△DGF中，∠DFG＝30°，∴DG＝，由勾股定理可求得：GF＝，∴F（，），设直线EF的解析式为：y＝kx+b，∴，∴直线EF的解析式为：y＝x﹣1；（3）∵⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，∴该点必为△ABC外接圆的圆心，由（1）可知：△ABC是等边三角形，∴△ABC外接圆的圆心为点D∴DP＝2，设直线EF与x轴交于点H，∴令y＝0代入y＝x﹣1，∴x＝，∴H（，0），∴FH＝，当P在x轴上方时，过点P1作P1M⊥x轴于M，由勾股定理可求得：P 1F＝3，∴P1H＝P1F+FH＝，∵∠DEF＝∠HP1M＝30°，∴HM＝P1H＝，P1M＝5，∴OM＝2，∴P1（2，5），当P在x轴下方时，过点P2作P2N⊥x轴于点N，由勾股定理可求得：P2F＝3，∴P2H＝P2F﹣FH＝，∴∠DEF＝30°∴∠OHE＝60°∴sin∠OHE＝，∴P2N＝4，令y＝﹣4代入y＝x﹣1，∴x＝﹣，∴P 2（﹣，﹣4），综上所述，若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，此时圆心P的坐标为（2，5）或（﹣，﹣4）．4．解：（1）∵＝，∴∠ACB＝∠ADB＝45°，∵∠ABD＝45°，∴∠BAD＝90°，∴BD是△ABD外接圆的直径；（2）在CD的延长线上截取DE＝BC，连接EA，∵∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE，在△ABC与△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE＝90°，∵＝∴∠ACD＝∠ABD＝45°，∴△CAE是等腰直角三角形，∴AC＝CE，∴AC＝CD+DE＝CD+BC；（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，连接BF，由对称性可知：∠AMB＝∠ACB＝45°，∴∠FMA＝45°，∴△AMF是等腰直角三角形，∴AM＝AF，MF＝AM，∵∠MAF+∠MAB＝∠BAD+∠MAB，∴∠FAB＝∠MAD，在△ABF与△ADM中，，∴△ABF≌△ADM（SAS），∴BF＝DM，在Rt△BMF中，∵BM2+MF2＝BF2，∴BM2+2AM2＝DM2．5．（1）证明：连接OC，如图所示：∵BD是⊙O的切线，∴∠CBE＝∠A，∠ABD＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∠BCD＝90°，∵E是BD中点，∴CE＝BD＝BE，∴∠BCE＝∠CBE＝∠A，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠ACO＝∠BCE，∴∠BCE+∠BCO＝90°，即∠OCE＝90°，CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线；（2）解：∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝2，∵tan A＝＝＝＝，∴BD＝AB＝，∴CE＝BD＝．6．（1）证明：连接OC，∵∠OAC＝∠ACO，PE⊥OE，OC⊥CD，∴∠APE＝∠PCD，∵∠APE＝∠DPC，∴∠DPC＝∠PCD，∴DC＝DP；（2）解：以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形；∵∠CAB＝30°，∴∠B＝60°，∴△OBC为等边三角形，∴∠AOC＝120°，连接OF，AF，OC，BC，∵F是的中点，∴∠AOF＝∠COF＝60°，∴△AOF与△COF均为等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝CF，∴四边形OACF为菱形．7．解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：如图1，连接OE，∵DE是⊙O的切线，∴OE⊥DE，∵ED⊥AC，∴AC∥OE，∴∠1＝∠C，∵OB＝OE，∴∠1＝∠B，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形；（2）如图2，过点O作OG⊥AC，垂足为G，则得四边形OGDE是矩形，∵△ABC是等腰三角形，∴∠B＝∠C＝75°，∴∠A＝180°﹣75°﹣75°＝30°，设OG＝x，则OA＝OB＝OE＝2x，AG＝x，∴DG＝OE＝2x，根据AC＝AB得：4x＝x+2x+2﹣，x＝1，∴OE＝OB＝2，在直角△OEF中，∠EOF＝∠A＝30°，cos30＝，OF＝＝2÷＝，∴BF＝﹣2，⊙O的半径为2．8．（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°；（2）证明：连接DO，∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，∴DF是⊙O的切线；（3）解：方法一：设DE＝1，则AC＝2，由AC2＝AD×AE∴20＝AD（AD+1）∴AD＝4或﹣5（舍去）∵DC2＝AC2﹣AD2∴DC＝2，∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝2；方法二：如图所示：可得∠ABD＝∠ACD，∵∠E+∠DCE＝90°，∠DCA+∠DCE＝90°，∴∠DCA＝∠E，又∵∠ADC＝∠CDE＝90°，∴△CDE∽△ADC，∴＝，∴DC2＝AD•DE∵AC＝2DE，∴设DE＝x，则AC＝2x，则AC2﹣AD2＝AD•DE，即（2x）2﹣AD2＝AD•x，整理得：AD2+AD•x﹣20x2＝0，解得：AD＝4x或﹣5x（负数舍去），则DC＝＝2x，故tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝＝2．9．解：（1）AB是⊙O切线．理由：连接DE、CF．∵CD是直径，∴∠DEC＝∠DFC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DEC+∠ACE＝180°，∴DE∥AC，∴∠DEA＝∠EAC＝∠DCF，∵∠DFC＝90°，∴∠FCD+∠CDF＝90°，∵∠ADF＝∠EAC＝∠DCF，∴∠ADF+∠CDF＝90°，∴∠ADC＝90°，∴CD⊥AD，∴AB是⊙O切线．（2）∵∠CPF＝∠CPA，∠PCF＝∠PAC，∴△PCF∽△PAC，∴＝，∴PC2＝PF•PA，设PF＝a．则PC＝2a，∴4a2＝a（a+5），∴a＝，∴PC＝2a＝．10．（1）证明：连接OB，∵OB＝OA，CE＝CB，∴∠A＝∠OBA，∠CEB＝∠ABC，又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AED＝∠A+∠CEB＝90°，∴∠OBA+∠ABC＝90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：如图1，连接OF，AF，BF，∵DA＝DO，CD⊥OA，∴AF＝OF，∵OA＝OF，∴△OAF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴∠ABF＝∠AOF＝30°；（3）解：作CH⊥BE于H，如图，∵CE＝CB，∴BH＝EH＝BE＝5，∵∠3＝∠4，∴∠A＝∠ECH，在Rt△CHE中，∵sin∠ECH＝sin A＝＝，HE＝5，∴CE＝13，∴DE＝CD﹣CE＝15﹣13＝2，在Rt△ADE中，∵sin A＝＝，∴AE＝，∴AD＝＝，∵D为半径OA的中点，∴OA＝2AD＝，即⊙O的半径为．。
九年级数学上册第24章圆综合练习题教师版含答案
九年级数学上册 第 24 章 圆 综合练习题一、与圆相关的中档题：与圆相关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等）1. 如图， BD 为⊙O 的直径， AC 为弦， AB AC ， AD 交 BC 于 E ， AE 2， ED 4． （ 1）求证： △ ABE ∽△ ADB ，并求 AB 的长； （2）延伸 DB 到 F ，使 BF BO ，连结 FA ，判断直线 FA 与⊙ O 的地点关系，并说明原因 .AFCBEOD1．解：AB AC ， ∠ABC ∠C .∠C ∠D ， ∠ABC ∠D ． 又 ∠BAE ∠DAB ，△ ABE ∽△ ADB ． A B A EAFA D．A BCAB2AD AEAE ED AE2 42 12．E BOAB 2 3 （舍负）．D（ 2）直线 FA 与 O 相切．连结 OA ． BD 为 O 的直径， ∠ BAD 90 ．在 RtABD 中，由勾股定理，得 BDAB 2AD 2122 424 3 ．48BF1BD 1 4 3 2 3 ．BO22AB2 3 ， BF BO AB ．（或BF BO AB OA ，AOB 是等边三角形，FBAF ．OBA OAB 60 ， F BAF 30 ．）∠ OAF 90 ． OA ⊥ AF ．又 点 A 在圆上，直线 FA 与 O 相切．2. 已知：如图，以等边三角形ABC 一边 AB 为直径的⊙ O 与边 AC 、 BC 分别交于点 D 、 E ，过点 D 作 DF⊥ BC ，垂足为 F ．C（ 1）求证： DF 为⊙ O 的切线；F （ 2）若等边三角形 ABC 的边长为 4，求 DF 的长； DE（ 3）求图中暗影部分的面积．AO B2．（ 1）证明：连结 DO .∵ABC 是等边三角形 ，∴∠ C=60°，∠ A=60°，∵OA=OD ， ∴OAD 是等边三角形 . ∴∠ ADO =60° .∵DF ⊥ BC ，∴∠ CDF =30° .∴∠ FDO =180° - ∠ ADO - ∠CDF = 90°. ∴ DF 为⊙ O 的切线 .（ 2）∵OAD 是等边三角形，∴ CD =AD=AO=1AB=2.1 2RtCDF 中，∠ CDF =30°，∴ CF= CD =1. ∴DF = CD 2 CF 23 .2（ 3）连结 OE ，由（ 2）同理可知 E 为 CB 中点，∴ CE 2 .∵ CF 1 EF 1 .C，∴∴S直角梯形 FDOE1(EF OD ) DF 3 3 ．FDE22602 22AOB∴S扇形 DOE3603 ．∴S 直角梯形 FDOES 扇形DOE3 3 2 ．233、如图，已知圆 O 的直径 AB 垂直于弦 CD 于点 E ，连结 CO 并延伸交 AD 于点 F ，且 CF AD ． （ 1）请证明： E 是 OB 的中点； （ 2）若 AB8 ，求 CD 的长．3、（ 1）证明：连结 AC ，如图CFAD ， AECD 且 CF ，AE 过圆心 OACAD ，ACCD ， △ ACD 是等边三角形．FCD 30在 Rt △COE 中， OE1OC ， OE 1OB 点E 为OB 的中点22（ 2）解：在 Rt OCE中AB8OCAB4，1又 BEOE ， OE2 22216423CD 2CE43CEOC OE4．如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 在⊙ O 上，∠ BAC = 60 ， P 是 OB 上一点，过 P 作 AB 的垂线与 AC 的延伸线交于点 Q ，连结 OC ，过点 C 作 CD OC 交 PQ 于点 D ．（ 1）求证：△ CDQ 是等腰三角形；（ 2）假如△ CDQ ≌△ COB ，求 BP: PO 的值．4． （ 1）证明：由已知得∠ ACB=90 °，∠ ABC =30°，∴∠ Q=30 °，∠ BCO=∠ ABC =30° .∵ CD ⊥ OC ，∴∠ DCQ=∠BCO=30 °， ∴∠ DCQ =∠ Q ，∴△ CDQ 是等腰三角形 .（ 2）解：设⊙ O 的半径为 1，则 AB=2，OC=1，AC= 1AB 1 ，BC= 3 .2∵等腰三角形 CDQ 与等腰三角形 COB 全等，∴ CQ=BC= 3 .∵ AQ=AC+CQ=1+3 ，AP= 1AQ1 3 ，22∴ BP=AB － AP= 213 3 3 PO=AP － AO= 13 13 1 ，2 2 22∴ BP ∶PO= 3 .5． 已知 : 如图 , BD 是半圆 O 的直径 , A 是 BD 延伸线上的一点， BC ⊥AE ，交 AE 的延伸线于点C, 交半圆O 于点 E ，且 E 为DF 的中点.CEF（ 1）求证： AC 是半圆 O 的切线；（ ）若 AD 6，AE 6 2 ，求BC 的长．ADOB25. 解：（ 1）连结 OE, ∵ E 为 DF 的中点，∴ DEEF ．∴ OBECBE .∵OE OB ，∴ OEB OBE .∴ OEBCBE .∴OE ∥ BC.∵ BC ⊥ AC ， ∴∠ C=90° . ∴ ∠ AEO =∠C=90°. 即 OE ⊥AC .又 OE 为半圆 O 的半径，∴ AC 是半圆 O 的切线 .（ 2）设 O 的半径为 x ，∵ OE ⊥ AC ，∴ ( x 6)2(6 2)2 x 2 .∴ x 3 . ∴ ABAD OD OB 12 . ∵OE ∥BC ，∴ △ AOE ∽△ ABC . ∴AOOE . 即 93 ∴ BC4 .ABBC12 BC6. 如图， △ ABC 内接于⊙ O ，过点 A 的直线交⊙ O 于点 P ，交 BC 的延伸线于点 D 2，且 AB=AP ·AD（ 1）求证： AB AC ；（ 2）假如 ABC 60 ，⊙ O 的半径为 1，且 P 为弧 AC 的中点，求 AD 的长 .APOBCD6. 解：（ 1）证明：联络BP．AB AD A2，∴．∵ AB =AP·AD AP = AB P∵ ∠BAD= ∠PAB ，∴△ ABD ∽△ APB ，O∴ ∠ABC= ∠APB ，∵∠ ACB= ∠APB ， BC D∴ ∠ABC= ∠ACB ．∴ AB=AC.（ 2）由（ 1）知 AB=AC ．∵∠ ABC=60°，∴△ ABC 是等边三角形．∴∠ BAC=60°，∵ P 为弧 AC的中点，∴∠ABP= ∠ PAC= 1∠ABC=30°，2∴∠ BAP=90°，∴ BP 是⊙ O的直径，∴ BP=2，∴ AP=12 BP=1 ，在 Rt△ PAB 中，由勾股定理得2 2 2AB 2=3．AB = BP －AP =3，∴ AD= AP7．如图，在△ABC 中，∠ C=90 ° , AD 是∠ BAC 的均分线， O 是 AB 上一点 , 以 OA 为半径的⊙ O 经过点 D.（ 1）求证：BC 是⊙ O 切线；A （ 2）若 BD =5, DC=3, 求 AC 的长 .OB D C7.（ 1）证明 : 如图 1，连结 OD .∵ OA=OD, AD 均分∠ BAC, A∴ ∠ ODA=∠ OAD, ∠ OAD=∠ CAD.O∴ ∠ ODA=∠CAD .∴ OD //AC.∴ ∠ ODB=∠ C=90 .D CB∴ BC 是⊙O 的切线 . 图 1（2）解法一 : 如图 2，过 D 作 DE⊥AB 于 E.∴ ∠AED =∠ C=90 . A又∵ AD=AD , ∠ EAD=∠ CAD ,O∴ △AED ≌△ ACD .E∴ AE=AC, DE=DC =3.在 Rt△BED 中，∠ BED =90 ,由勾股定理，得B D CBE= BD 2 DE 2 4 . 图 2设 AC=x（x>0） , 则 AE =x.在 Rt△ABC 中，∠ C=90 , BC =BD+DC=8, AB=x+4, 由勾股定理，得2 2 2 x +8 = (x+4) .解得 x=6. 即 AC=6.解法二 : 如图 3，延伸 AC 到 E，使得 AE=AB.A ∵ AD=AD , ∠ EAD =∠ BAD ,∴ △AED ≌△ ABD . O∴ ED=BD= 5.在 Rt△DCE 中，∠ DCE=90 , 由勾股定理，得BC DCE= DE 2 DC 2 4.5分图 3E在 Rt△ABC 中，∠ ACB=90 , BC=BD+DC =8, 由勾股定理，得AC 2 +BC2 = AB 2.2 2即 AC +8 =( AC+4) .解得 AC=6.28．如图， AB 是⊙ O 的直径， CD 是⊙ O 的一条弦，且CD⊥ AB 于 E，连结 AC 、 OC、 BC.（1）求证：∠ ACO= ∠BCD ；（2）若 BE=2 ， CD=8 ，求 AB 和 AC 的长 .8、证明：（1）连结 BD ，∵ AB 是⊙ O 的直径， CD ⊥ AB ，∴．∴∠ A= ∠2．又∵ OA=OC ，∴∠ 1=∠ A ．∴∠１＝∠ 2．即：∠ ACO= ∠ BCD ．解：（ 2）由（ 1）问可知，∠ A= ∠ 2，∠ AEC= ∠ CEB.∴△ ACE ∽△ CBE ．∴CE AE. ∴CE2=BE·AE．BE CE又 CD=8 ，∴ CE=DE=4 ．∴ AE=8 ．∴ AB=10 ．∴AC=AE2CE 280 4 5.9．如图，已知BC为⊙O的直径，点A、 F 在⊙ O上， AD BC，垂足为 D，BF 交 AD于 E，且AE BE．（ 1）求证：AB AF ；3， AB 4 5，求AD的长．（ 2）假如sin FBC59．解：（ 1）延伸 AD 与⊙ O 交于点 G．∵直径 BC⊥弦 AG 于点 D，∴AB=GB ．∴∠AFB=∠ BAE．∵AE=BE，∴∠ ABE=∠BAE．∴ ∠ABE=∠ AFB．∴AB=AF．（ 2）在 Rt△ EDB 中， sin∠ FBC = ED 3．BE 5设 ED =3x， BE=5x，则 AE=5 x，AD =8x，在 Rt△EDB 中，由勾股定理得 BD =4x．在 Rt△ADB 中，由勾股定理得BD 2+AD 2=AB 2．∵ AB=4 5，∴(4x)2 (8x)2 (4 5)2．∴ x=1（负舍）．∴ AD=8 x=8．10．如图，已知直径与等边 ABC 的高相等的圆 O 分别与边 AB 、BC 相切于点 D 、E ，边 AC 过圆心 O 与圆 O 订交于点 F 、 G 。
圆的综合训练华师大九年级下
⑦CA圆的综合训练一、填空题。
（16×3=48）一、如右图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC 的大小是 ° 二、在直径为10m 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如右图所若是油面宽8AB m =，那么油的最大深度是 m . 3、如图，AB 、AC 是⊙O 的弦，∠ BOD = 140︒ , 则∠ BCD 的度数为 。
4、在半径为1的圆中，长度等于2的弦所对的圆心角是 度。
五、已知：⊙O 1与⊙O 2的半径别离为2和3，若两圆的相交。
则圆心距d 的取值范围是 。
7、如图，在△ABC 中,∠ACB=90°.AC=2cm,BC=4cm,CM 是中线,以C 为圆心以5cm 长为半径画圆则A 、B 、M 三点在圆的外是 .在圆上的是 八、扇形的圆心角是80°，半径R=5，则扇形的面积为 。
九、直角三角形的两条直角边别离为5cm 和12cm ，则其外接圆半径长为10、如图，在⊙O 中，弦 1.8AB cm =，圆周角30ACB ∠=︒， 则⊙O 的直径等于 cm ．1一、若三角形面积为18，周长为36，则内切圆的半径为 。
1二、把一个半径为2cm 的圆片，剪去一个圆心角为90°的扇形后， 用剩下的部份做成一个圆锥的侧面，那么那个圆锥的高为 。
13、ΔABC 是半径为2cm 的圆的内接三角形，若BC=23，则∠A 的度数是 。
14、如图AD 、AE 、CB 都是⊙O 的切线，AD=4 A P1五、如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点。
∠APC=30°，OC=1，则PA 的长是 。
1六、如图，已知AB 是的直径，BD=OB,∠CAB=30°,请按照已知条件和所给图形，写出三个正确的结论：(除AO=OB=BD 外)①、 ；②、 ；③、第3题A二、选择题。
（10×3=30）1、下列说法正确的是 （ ） A 、三点肯定一个圆。
华东师大版数学九年级下册课堂小练习：第27章《圆》综合题专练(五)
华东师大版数学九年级下册课堂小练习：第27章《圆》综合题专练（五）1．如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与弧AC相交于点E，连接BC．（1）求证：∠PAC＝∠B，且PA•BC＝AB•CD；（2）若PA＝10，sin P＝，求PE的长．2．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．（1）求证：∠BCP＝∠BAN（2）求证：＝．3．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2＝EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，sin A＝，求BH的长．4．已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C、D两点，CD＝2，∠DAB ＝30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q．（1）当点P运动到使Q、C两点重合时（如图1），求AP的长；（2）点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使△CQD的面积为？（直接写出答案）（3）当△CQD的面积为，且Q位于以CD为直径的上半圆，CQ＞QD时（如图2），求AP的长．5．如图1，水平放置一个直角三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE 在一条直线上，AB＝BC＝6cm，OD＝3cm，开始的时候BD＝1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2＝CG•CE．6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O外的一点，AM是⊙O的直径，∠PAC＝∠ABC（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M为的中点，且∠DCF＝∠P，求证：＝＝．7．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO．（1）求⊙M的半径；（2）求证：BD平分∠ABO；（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．8．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若＝，且OC＝4，求PA的长和tan D的值．9．如图，△ABC中，∠C＝90°，点G是线段AC上的一动点（点G不与A、C重合），以AG为直径的⊙O交AB于点D，直线EF垂直平分BD，垂足为F，EF交BC于点E，连结DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若cos A＝，AB＝8，AG＝2，求BE的长；（3）若cos A＝，AB＝8，直接写出线段BE的取值范围．10．如图，已知，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA＝GE．（1）求证：AG与⊙O相切．（2）若AC＝6，AB＝8，BE＝3，求线段OE的长．参考答案1．（1）证明：∵PA是⊙O的切线，AB是直径，∴∠PAO＝90°，∠C＝90°，∴∠PAC+∠BAC＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∴∠PAC＝∠B，又∵OP⊥AC，∴∠ADP＝∠C＝90°，∴△PAD∽△ABC，∴AP：AB＝AD：BC，∵在⊙O中，AD⊥OD，∴AD＝CD，∴AP：AB＝CD：BC，∴PA•BC＝AB•CD；（2）解：方法一：∵sin P＝，且AP＝10，∴＝，∴AD＝6，∴AC＝2AD＝12，∵在Rt△ADP中，PD＝＝8，又∵△PAD∽△ABC，∴AP：AB＝PD：AC，∴AB＝＝15，∴A0＝OE＝，在Rt△APO中，根据勾股定理得：OP＝＝，∴PE＝OP﹣OE＝﹣＝5．方法二：由sin P＝＝，设OA为3x，PO为5x，由勾股定理得PA为4x，∵PA＝10，∴x＝2.5，∴OA＝7.5，OP＝12.5，又∵OE＝OA＝7.5，∴PE＝OP﹣OE＝5．2．（1）证明：∵AC为⊙O直径，∴∠ANC＝90°，∴∠NAC+∠ACN＝90°，∵AB＝AC，∴∠BAN＝∠CAN，∵PC是⊙O的切线，∴∠ACP＝90°，∴∠ACN+∠PCB＝90°，∴∠BCP＝∠CAN，∴∠BCP＝∠BAN；（2）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠PBC+∠ABC＝∠AMN+∠ACN＝180°，∴∠PBC＝∠AMN，由（1）知∠BCP＝∠BAN，∴△BPC∽△MNA，∴．3．（1）证明：∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，∴∠ODB＝∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD＝90°，∴∠ODB+∠DBF＝90°，∴∠ABC+∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线；（2）证明：连接AC，如图1所示：∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE＝∠ECB，∵∠CEA＝∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2＝EH•EA；（3）解：连接BE，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵⊙O的半径为5，sin∠BAE＝，∴AB＝10，BE＝AB•sin∠BAE＝10×＝6，∴EA＝＝＝8，∵，∴BE＝CE＝6，∵CE2＝EH•EA，∴EH＝＝，在Rt△BEH中，BH＝＝＝．4．解：（1）∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°．∵∠DAB＝30°，OB＝CD＝×2＝1，∴AO＝2OB＝2，AC＝AO﹣CO＝2﹣1＝1．当Q、C两点重合时，CP与⊙O相切于点C，如图1，则有∠ACP＝90°，∴cos∠CAP＝＝＝，解得AP＝；（2）有4个位置使△CQD的面积为．提示：设点Q到CD的距离为h，∵S△CQD＝CD•h＝×2×h＝，∴h＝．由于h＝＜1，结合图2可得：有4个位置使△CQD的面积为；（3）过点Q作QN⊥CD于N，过点P作PM⊥CD于M，如图3．∵S△CQD＝CD•QN＝×2×QN＝，∴QN＝．∵CD是⊙O的直径，QN⊥CD，∴∠CQD＝∠QND＝∠QNC＝90°，∴∠CQN＝90°﹣∠NQD＝∠NDQ，∴△QNC∽△DNQ，∴＝，∴QN2＝CN•DN，设CN＝x，则有＝x（2﹣x），整理得4x2﹣8x+1＝0，解得：x1＝，x2＝．∵CQ＞QD，∴x＝，∴＝2+．∵QN⊥CD，PM⊥CD，∴∠PMC＝∠QNC＝90°．∵∠MCP＝∠NCQ，∴△PMC∽△QNC，∴＝＝2+，∴MC＝（2+）MP．在Rt△AMP中，tan∠MAP＝＝tan30°＝，∴AM＝MP．∵AC＝AM+MC＝MP+（2+）MP＝1，∴MP＝，∴AP＝2MP＝．5．（1）解：由题意可得：BO＝4cm，t＝＝2（s）；（2）解：如图2，连接O与切点H，则OH⊥AC，又∵∠A＝45°，∴AO＝OH＝3cm，∴AD＝AO﹣DO＝（3﹣3）cm；（3）证明：如图3，连接EF，∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD，∵DE为直径，∴∠ODF+∠DEF＝90°，∠DEC＝∠DEF+∠CEF＝90°，∴∠CEF＝∠ODF＝∠OFD＝∠CFG，又∵∠FCG＝∠ECF，∴△CFG∽△CEF，∴＝，∴CF2＝CG•CE．6．证明：（1）连接CM，∵∠PAC＝∠ABC，∠M＝∠ABC，∴∠PAC＝∠M，∵AM是直径，∴∠M+∠MAC＝90°，∴∠PAC+∠MAC＝90°，即：∠MAP＝90°，∴MA⊥AP，∴MA⊥AP，∴PA是⊙O的切线；（2）连接AE，∵M为中点，AM为⊙O的直径，∴AM⊥BC，∵AM⊥AP，∴AP∥BC，∴△ADP∽△CDB，∴＝，∵AP∥BC，∴∠P＝∠CBD，∵∠CBD＝∠CAE，∴∠P＝∠DCF，∴∠DCF＝∠CAE，∵∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴＝，∴＝＝．7．解：（1）∵⊙M经过O、A、B三点，且∠AOB＝90°，∴AB为直径∵点A为（，0），点B为（0，﹣），∴OA＝，OB＝，∴AB＝＝2，∴⊙M的半径为：；（2）∵∠COD＝∠CBO，∠COD＝∠CBA，∴∠CBO＝∠CBA，即BD平分∠ABO；（3）如图，过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA 于点F，即AE是切线，∵在Rt△AOB中，tan∠OAB＝＝＝，∴∠OAB＝30°，∴∠ABO＝90°﹣∠OAB＝60°，∴∠ABC＝∠OBC＝∠ABO＝30°，∴OC＝OB•tan30°＝×＝，∴AC＝OA﹣OC＝，∴∠ACE＝∠ABC+∠OAB＝60°，∴∠EAC＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴AE＝AC＝，∴AF＝AE＝，EF＝AE＝，∴OF＝OA﹣AF＝，∴点E的坐标为：（，）．8．（1）证明：连接OB，则OA＝OB，∵OP⊥AB，∴AC＝BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA＝PB，在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）∴∠PBO＝∠PAO，PB＝PA，∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO＝90°，∴∠PAO＝90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；（2）连接BE，∵＝，且OC＝4，∴AC＝6，∴AB＝12，在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO＝＝2，∴AE＝2OA＝4，OB＝OA＝2，在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2＝OC•PC，解得：PC＝9，∴OP＝PC+OC＝13，在Rt△APO中，由勾股定理得：AP＝＝3，∴PB＝PA＝3，∵AC＝BC，OA＝OE，∴OC＝BE，OC∥BE，∴BE＝2OC＝8，BE∥OP，∴△DBE∽△DPO，∴，即，解得：BD＝，在Rt△OBD中，tan∠D＝＝＝．（补充方法：可以证明△DBE∽△DAB，可得＝＝＝，由此解决问题，可以简单一些）9．（1）证明：连接OD，如图，∵△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵直线EF垂直平分BD，∴ED＝EB，∴∠B＝∠EDB，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∴∠ODA+∠EDB＝90°，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接GD，∵AG为直径，∴∠ADG＝90°，∵cos A＝，∴∠A＝60°，∴∠AGD＝30°，∴AD＝AG＝，∵AB＝8，∴BD＝AB﹣AD＝8﹣＝7，∵直线EF垂直平分BD，∴BF＝BD＝，在Rt△BEF中，∠B＝30°，∴EF＝BF＝，∴BE＝2EF＝7；（3）解：∵cos A＝，∴∠A＝60°，∴∠B＝30°，∴AC＝AB＝4，由（2）得AD＝AG，BF＝（AB﹣AD）＝4﹣AG，在Rt△BEF中，∠B＝30°，∴EF＝BF，∴BE＝2EF＝BF＝（4﹣AG）＝8﹣AG，∵0＜AG＜AC，即0＜AG＜4，∴6＜BE＜8．10．（1）证明：如图，连接OA，∵OA＝OB，GA＝GE∴∠ABO＝∠BAO，∠GEA＝∠GAE ∵EF⊥BC，∴∠BFE＝90°，∴∠ABO+∠BEF＝90°，又∵∠BEF＝∠GEA，∴∠GAE＝∠BEF，∴∠BAO+∠GAE＝90°，即AG与⊙O相切．（2）解：∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，∴BC＝10，∵∠EBF＝∠CBA，∠BFE＝∠BAC，∴△BEF∽△BCA，∴＝＝∴EF＝1.8，BF＝2.4，∴OF＝OB﹣BF＝5﹣2.4＝2.6，∴OE＝＝．。
2020——2021学年华东师大版数学九年级下册课堂小练习：第27章《圆》综合题专练(二)
华东师大版数学九年级下册课堂小练习：第27章《圆》综合题专练（二）1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB，垂足为D，过点B作直线BE∥DC，交AC的延长线于点E．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若AB＝5，AC＝3，求BD的长．2．⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，弦BD＝BA，BE是⊙O的切线交DC的延长线于点E．（1）求证：BE⊥CE；（2）若BC＝，⊙O的半径为，求线段CD的长度．3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，且∠B＝2∠A，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，EF＝FC．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）设⊙O的半径为2，且AC＝CE，求AM的长．4．如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M为⊙O上一点，并且∠BMC＝60°．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且∠EDF＝120°，⊙O的半径为2，试问BE+CF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．5．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且∠BDE＝∠A．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若AC＝16，tan A＝，求⊙O的半径．6．如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA＝5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）求证：AB＝AC；（2）若PC＝2，求⊙O的半径及线段PB的长．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F．（1）求证：FE⊥AB；（2）当EF＝6，＝时，求DE的长．8．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点（不与A，B重合），AB⊥CD于E，BF为⊙O的切线，OF∥AC，连结AF，FC，AF与CD交于点G，与⊙O交于点H，连结CH．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）求证：GC＝GE；（3）若cos∠AOC＝，⊙O的半径为r，求CH的长．9．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿线段AB方向匀速运动，到达点B停止．连接DP交AC于点E，以DP为直径作⊙O交AC于点F，连接DF、PF．（1）求证：△DPF为等腰直角三角形；（2）若点P的运动时间t秒．①当t为何值时，点E恰好为AC的一个三等分点；②将△EFP沿PF翻折，得到△QFP，当点Q恰好落在BC上时，求t的值．10．如图，MN是⊙O的直径，QN是⊙O的切线，连接MQ交⊙O于点H，E为上一点，连接ME，NE，NE交MQ于点F，且ME2＝EF•EN．（1）求证：QN＝QF；（2）若点E到弦MH的距离为1，cos∠Q＝，求⊙O的半径．参考答案1．（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵BE∥DC，∴∠ABE＝∠ADC＝90°，∵点B在圆O上，∴BE是圆O的切线；（2）解：如图，连接BC，∵AB为圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AB＝5，AC＝3，∴BC＝4，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠ACB＝∠CDB，∵∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴＝，即＝，解得：BD＝．2．（1）证明：连接OB，OD，在△BOD和△BOA中，∴△BOD≌△BOA（SSS），∴∠DBO＝∠ABO，又∵∠CDB＝∠A，∠OBA＝∠A，∴∠DBO＝∠CDB，∴OB∥DE，∴∠E+∠EBO＝180°，∵BE为⊙O的切线，∴OB⊥BE，∴∠EBO＝90°，∴∠E＝90°，∴BE⊥CE；（2）解：在Rt△ABC中，∵AC＝2OA＝5，BC＝，∴AB＝＝2，∴BD＝BA＝2，∵∠ABC＝∠E＝90°，∠BAC＝∠BDE，∴△ABC∽△DEB，∴＝＝，∴DE＝4，BE＝2，在Rt△BCE中，CE＝＝1，∴CD＝DE﹣CE＝3．3．（1）证明：连接OC，如图，∵⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，∴AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵∠B＝2∠A，∴∠B＝60°，∠A＝30°，∵EM⊥AB，∴∠EMB＝90°，在Rt△EMB中，∠B＝60°，∴∠E＝30°，又∵EF＝FC，∴∠ECF＝∠E＝30°，又∵∠ECA＝90°，∴∠FCA＝60°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°，∴∠FCO＝∠FCA+∠ACO＝90°，∴OC⊥CF，∴FC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，∵AC＝CE，∴CE＝2，∴BE＝BC+CE＝2+2，在Rt△BEM中，∠BME＝90°，∠E＝30°∴BM＝BE＝1+，∴AM＝AB﹣BM＝4﹣1﹣＝3﹣．4．（1）证明：连结OB、OD、OC，如图1，∵D为BC的中点，∴OD⊥BC，∠BOD＝∠COD，∴∠ODB＝90°，∵∠BMC＝∠BOC，∴∠BOD＝∠M＝60°，∴∠OBD＝30°，∵△ABC为正三角形，∴∠ABC＝60°∴∠ABO＝60°+30°＝90°，∴AB⊥OB，∴AB是⊙O的切线；（2）解：BE+CF的值是为定值．作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴DH＝DN，∠HDN＝120°，∵∠EDF＝120°，∴∠HDE＝∠NDF，在△DHE和△DNF中，，∴△DHE≌△DNF，∴HE＝NF，∴BE+CF＝BH﹣EH+CN+NF＝BH+CN，在Rt△DHB中，∵∠DBH＝60°，∴BH＝BD，同理可得CN＝DC，∴BE+CF＝DB+DC＝BC，∵BD＝OB•cos30°＝，∴BC＝2，∴BE+CF的值是定值，为．5．解：（1）DE与⊙O相切．理由如下：连接DO，BD，如图，∵∠BDE＝∠A，∠A＝∠ADO，∴∠ADO＝∠EDB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO+∠ODB＝90°，∴∠ODB+∠EDB＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线；（2）∵∠BDE＝∠A，∴∠ABD＝∠EBD，而BD⊥AC，∴△ABC为等腰三角形，∴AD＝CD＝AC＝8，在Rt△ABD中，∵tan A＝＝，∴BD＝×8＝6，∴AB＝＝10，∴⊙O的半径为5．6．证明：（1）如图1，连接OB．∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA＝∠OAC＝90°，∴∠OBP+∠ABP＝90°，∠ACP+∠APC＝90°，∵OP＝OB，∴∠OBP＝∠OPB，∵∠OPB＝∠APC，∴∠ACP＝∠ABC，∴AB＝AC；（2）如图2，延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP＝OB＝r，PA＝5﹣r，则AB2＝OA2﹣OB2＝52﹣r2，AC2＝PC2﹣PA2＝（2）2﹣（5﹣r）2，∴52﹣r2＝（2）2﹣（5﹣r）2，解得：r＝3，∴AB＝AC＝4，∵PD是直径，∴∠PBD＝90°＝∠PAC，又∵∠DPB＝∠CPA，∴△DPB∽△CPA，∴＝，∴＝，解得：PB＝．∴⊙O的半径为3，线段PB的长为．7．（1）证明：连接AD、OD，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，又∵AB＝AC，∴CD＝DB，又CO＝AO，∴OD∥AB，∵FD是⊙O的切线，∴OD⊥EF，∴FE⊥AB；（2）∵＝，∴＝，∵OD∥AB，∴＝＝，又EF＝6，∴DE＝9．8．（1）证明：∵OF∥AC，∴∠BOF＝∠OAC，∠COF＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠BOF＝∠COF，在△BOF和△COF中，，∴△BOF≌△COF，∴∠OCF＝∠OBF＝90°，又∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线．（2）如下图：延长AC、BF交点为M．由（1）可知：△BOF≌△COF，∴∠OFB＝∠CFO，BF＝CF．∵AC∥OF，∴∠M＝∠OFB，∠MCF＝∠CFO．∴∠M＝∠MCF．∴CF＝MF．∴BF＝FM．∵DC∥BM，∴△AEG∽△ABF，△AGC∽△AFM．∴，．∴又∵BF＝FM，∴EG＝GC．（3）如下图所示：∵cos∠AOC＝，∴OE＝，AE＝．在Rt△EOC中，EC＝＝．在Rt△AEC中，AC＝＝．∵EG＝GC，∴EG＝．∵△AEG∽△ABF，∴，即．∴BF＝．∴CF＝．在Rt△ABF中，AF＝＝＝3r．∵CF是⊙O的切线，AC为弦，∴∠HCF＝∠HAC．又∵∠CFH＝∠AFC，∴△CFH∽△AFC．∴，即：．∴CH＝．9．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠DAC＝45°，∵在⊙O中，所对的圆周角是∠DAF和∠DPF，∴∠DAF＝∠DPF，∴∠DPF＝45°，又∵DP是⊙O的直径，∴∠DFP＝90°，∴∠FDP＝∠DPF＝45°，∴△DFP是等腰直角三角形；（2）①当AE：EC＝1：2时，∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠PAE，∠CDE＝∠APE，∴△DCE∽△PAE，∴，解得，t＝1；当AE：EC＝2：1时，∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠PAE，∠CDE＝∠APE，∴△DCE∽△PAE，∴，∴，解得，t＝4，∵点P从点A到B，t的最大值是4÷2＝2，∴当t＝4时不合题意，舍去；由上可得，当t为1时，点E恰好为AC的一个三等分点；②如右图所示，∵∠DFP＝90°，∴∠DPF＝∠FDP＝45°，∵∠DPF＝∠FPQ，∴∠OPF＝90°，∴∠DPA+∠QPB＝90°，∵∠DPA+∠PDA＝90°，∴∠PDA＝∠QPB，∵点Q落在BC上，∴∠DAP＝∠B＝90°，∴△DAP∽△PBQ，∴，∵DA＝AB＝4，AP＝2t，∠DAP＝90°，∴DP＝＝2，PB＝4﹣2t，设PQ＝a，则PE＝a，DE＝DP﹣a＝2﹣a，∵△AEP∽△CED，即，解得，a＝，∴PQ＝，∴，解得，t 1＝﹣﹣1（舍去），t2＝﹣1，即t的值是﹣1．10．（1）证明：如图1，∵ME2＝EF•EN，∴＝．又∵∠MEF＝∠MEN，∴△MEF∽△MEN，∴∠1＝∠EMN．∵∠1＝∠2，∠3＝∠EMN，∴∠2＝∠3，∴QN＝QF；（2）解：如图2，连接OE交MQ于点G，设⊙O的半径是r．由（1）知，△MEF∽△MEN，则∠4＝∠5．∴＝．∴OE⊥MQ，∴EG＝1．∵cos∠Q＝，且∠Q+∠GMO＝90°，∴sin∠GMO＝，∴＝，即＝，解得，r＝2.5，即⊙O的半径是2.5．。
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章节复习题
一、单选题（选择一个正确的选项）
1 、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110°，则∠BAD为（）
A、140°
B、110°
C、90°
D、70°
2 、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D．若∠CDB=30°，⊙O的半径为3，则弦CD的长是（）
A、3
2
B、3
C、23
D、9
3 、先作半径为
3
2
的第一个圆的外切正六边形，接着作上述外切正六边形的外接圆，再作上述外接圆的外切正
六边形，则按以上规律作出的第8个外切正六边形的边长为（）
A、(2
3
3
)7B、(
2
3
3
)8C、(
3
)7D、(
3
)8
4 、设⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离OP=m，且m使得关于x的方程2x2-22x+m-1=0有实数根，则直线l与⊙O的位置关系为（）
A、相离或相切
B、相切或相交
C、相离或相交
D、无法确定
5 、如图，半径分别为r1，r2的⊙O1、⊙O2相外切，AB为两圆的外公切线，O1O2为连心线，若∠AO1O2=60°，r1=6，则r2等于（）
A、3
B、2
C、1.5
D、1
6 、截面直径为100 cm的圆形下水道横截面如图所示，水面宽60 cm，则下水道中水的最大深度为（）
A、90cm
B、80cm
C、60cm
D、50cm
7 、已知⊙O的半径是6cm，P是⊙O外一点，则OP的长可能是（）
A、4cm
B、5cm
C、6cm
D、7cm
8 、如图，在平面直角坐标系中，过点O的⊙O1与两坐标轴分别交于A、B两点，A（5，0），B（0，3），点C 在弧OA上，则tan∠BCO=（）
A、3
4
B、
4
3
C、
4
5
D、
3
5
9 、若线段AB、AC的长分别是一元二次方程x2-3x+2=0的两根，且A、B、C三点共线，则分别以线段AB、
AC为直径的两圆的位置关系为（）
A、内切
B、外切
C、内含
D、内切或外切
10 、圆锥的母线长5cm，底面半径长3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是（）
A、180°
B、200°
C、225°
D、216°
二、填空题（在空白处填写正确的答案）
11 、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠BCA=60°，则∠ABO=__________°．
12 、要制造一个圆锥形的烟囱帽，如图，使底面半径r与母线l的比r：l=3：4，那么在剪扇形铁皮时，圆心角应取__________度．
13 、若一个扇形的弧长是12π，它的圆心角是120°，那么这个扇形的面积是_________．
14 、圆心都在x轴上的两圆相交于A、B两点．已知A点的坐标为（-3，4），则B点的坐标为________．
15 、如图，将一个半径为4cm的半圆绕直径AB的一个端点A旋转40°，那么，图中阴影部分的面积为_____________cm2．
三、解答题（在题目下方写出解答过程）
16 、如图，已知正方形OABC在直角坐标系xOy中，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点O在坐标原点．等腰直角三角板OEF的直角顶点O在原点，E、F分别在OA、OC上，且OA=4，OE=2．将三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE1F1的位置，连接CF1、AE1．
(1)、求证：△OAE1≌△OCF1；
(2)、若三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得OE∥CF？若存在，请求出此时E点坐标；若不存在，请说明理由．
17 、已知，如图1：在正方形ABCD中，AB=2，点P是DC延长线上一点，以P为圆心，PD长为半径的圆的一段弧交AB边于点E，
(1)、若以A为圆心，AE为半径的圆与以BC为直径的圆外切时，求AE的长；
(2)、如图2：连接PE交BC边于点F，连接DE，设AE长为x，CF长为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)、将点B沿直线EF翻折，使点B落在平面上的B′处，当EF=5
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时，△AB′B与△BEF是否相似？若相似，请
加以证明；若不相似，简要说明理由．
18 、如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．
(1)、求证：直线AB是⊙O的切线；
(2)、试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明．
19 、对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离不大于这个圆的半径，那么称图形A被这个圆所覆盖．例如，图中的三角形被一个圆所覆盖．回答问题：
(1)、边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是多少？
(2)、边长为1cm的正三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是多少？
(3)、半径为1cm的圆被边长为a的正方形所覆盖，a的最小值是多少？
(4)、半径为1cm的圆被边长为a的正三角形所覆盖，a的最小值是多少？
20 、在如图的方格纸中，每个小正方形的边长都为l．
(1)、画出将△A1B1C1，沿直线DE方向向上平移5格得到的△A2B2C2；
(2)、要使△A2B2C2与△CC1C2重合，则△A2B2C2绕点C2顺时针方向旋转，至少要旋转多少度？（直接写出答案）
(3)、在条件（2）中，计算△A2B2C2扫过的面积．。