Bayes贝叶斯估计
bayes法
Bayes法概述Bayes法，也称为贝叶斯法或贝叶斯统计学，是以英国数学家Thomas Bayes命名的一种统计学方法。
Bayes法基于贝叶斯定理，通过利用相关先验概率和观测数据的条件概率，推断出后验概率分布。
Bayes法在各个领域都有广泛的应用，包括机器学习、人工智能、自然语言处理等。
贝叶斯定理贝叶斯定理是Bayes法的核心基础。
贝叶斯定理是一种用于更新概率估计的公式，它表达了在观测到新信息后如何更新先验概率。
贝叶斯定理的数学表达如下：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A|B)表示在B发生的条件下A发生的概率，P(B|A)表示在A发生的条件下B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示A和B的先验概率。
贝叶斯分类器贝叶斯分类器是Bayes法在机器学习领域的一个重要应用。
贝叶斯分类器基于贝叶斯定理，通过计算给定特征条件下每个类别的后验概率，来预测未知实例的类别。
贝叶斯分类器在文本分类、垃圾邮件过滤、情感分析等任务中有广泛的应用。
贝叶斯分类器的基本原理是先计算每个类别的先验概率，然后计算给定特征条件下每个类别的似然概率，最后通过贝叶斯定理计算后验概率，选择具有最高后验概率的类别作为预测结果。
贝叶斯分类器在计算后验概率时，通常假设特征之间是独立的，这称为朴素贝叶斯分类器。
贝叶斯网络贝叶斯网络是一种用于建模不同变量之间条件依赖关系的图模型。
贝叶斯网络由有向无环图表示，其中节点表示变量，边表示变量之间的依赖关系。
贝叶斯网络可以用于推断变量之间的概率分布，根据已知的变量值，推断未知变量的概率分布。
贝叶斯网络常用于处理不确定性的推理问题，包括诊断、预测、决策等。
贝叶斯网络还可用于发现变量之间的因果关系和生成概率模型。
贝叶斯网络在医学诊断、图像处理、金融风险分析等领域有广泛的应用。
贝叶斯优化贝叶斯优化是一种优化算法，用于解决黑盒函数的最优化问题。
贝叶斯优化通过不断探索和利用函数在搜索空间中的信息，逐步优化目标函数的值。
全概率公式和贝叶斯公式(先验概率和后验概率)
全概率公式和贝叶斯公式（先验概率和后验概率）全概率公式（Law of Total Probability）和贝叶斯公式（Bayes' Theorem）是统计学中重要的概率公式，用于计算给定一些条件下的概率。
这两个公式是概率论和统计学中常用的工具，可以解决很多实际问题，从机器学习到社会科学中的调查研究。
P(A)=Σ[P(A，Bi)*P(Bi)]其中，P(A)表示事件A的概率，P(A，Bi)表示在给定事件Bi的条件下，事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率。
贝叶斯公式是在给定一些观察或证据的情况下，计算一个事件的概率的公式。
它基于条件概率的概念，将因果关系转化为条件概率的形式，并用于根据已知的先验概率更新为后验概率。
贝叶斯公式可以表示为：P(A，B)=[P(B，A)*P(A)]/P(B)其中，P(A，B)表示在观察到事件B发生的情况下，事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别是事件A和事件B的先验概率。
全概率公式和贝叶斯公式经常一起使用，特别在机器学习和数据分析中被广泛应用。
通过使用全概率公式，可以将复杂问题分解为多个简单的条件概率问题，然后再使用贝叶斯公式根据已知的先验概率和条件概率计算后验概率。
这样可以更好地理解问题，并得到更准确的结果。
举个例子来说明这两个公式的应用：假设有两个工厂A和B，它们负责生产其中一种产品。
已知A工厂的产品次品率为20%，而B工厂的产品次品率为10%。
现在我们收到一批产品，但不知道是哪个工厂生产的。
一些产品是次品的概率是10%。
问这个产品是来自A工厂的概率是多少？首先，我们可以用全概率公式来计算得到：P(A)=0.5（因为两个工厂的概率相等）P(A，B)=[P(B，A)*P(A)]/P(B)P(B，A)是在A工厂生产的条件下产品是次品的概率P(A)已经计算得到为0.5P(B)=P(B，A)*P(A)+P(B，¬A)*P(¬A)=0.02*0.5+0.1*0.5=0.03将这些值代入贝叶斯公式，可以得到：P(A，B)=(0.02*0.5)/0.03≈0.33因此，基于给定的证据，这个产品是来自A工厂的概率约为33%。
贝叶斯计算
贝叶斯计算贝叶斯计算是一种基于概率的计算方法，它可以帮助我们在不完整信息的情况下做出决策。
这种方法最早由18世纪英国数学家托马斯·贝叶斯提出，后来一些学者在此基础上进行了发展和应用。
贝叶斯计算的核心思想是基于已知的先验概率，通过新的数据来不断更新我们对事件发生的估计。
贝叶斯法则贝叶斯法则（Bayes' Rule）是贝叶斯计算的基础，它用于计算给定某些条件下其他概率的概率。
贝叶斯法则的公式如下：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A)是先验概率，即在考虑新证据之前我们对事件A发生的概率的估计；P(A|B)是后验概率，即考虑新证据之后我们对事件A发生的概率的估计；P(B|A)是条件概率，即在事件A发生的情况下B发生的概率；P(B)是归一化常数，即使概率分布的总和等于1。
贝叶斯计算的流程在实际应用中，贝叶斯计算的流程通常包括以下步骤：1. 确定先验概率在考虑新证据之前，我们需要对事件发生的概率进行估计。
这个概率可以基于过去的经验或领域内的知识进行估计。
2. 收集新证据我们需要收集新的证据，这些证据可以是观察到的数据、用户反馈、领域内的知识等等。
这些证据将用于更新我们对事件的估计。
3. 计算条件概率在知道新的证据之后，我们需要计算在这些证据下事件发生的条件概率。
这个步骤需要根据具体的问题来确定，可以使用经验分析、领域专家建模、机器学习算法等等。
4. 计算后验概率在求得条件概率之后，我们可以利用贝叶斯法则来计算事件发生的后验概率。
这个概率将是我们在考虑新证据之后对事件发生的估计。
5. 不断更新概率在收集到更多的证据之后，我们需要不断重复上述步骤来更新我们对事件的估计。
这样我们可以不断提高对事件发生的准确度。
贝叶斯计算的应用贝叶斯计算在很多领域中都有广泛的应用，下面列举一些应用：1. 资源分配贝叶斯计算可以用于资产管理、广告投放、项目管理等领域中的资源分配。
二项分布的几种经验bayes估计方法
二项分布的几种经验bayes估计方法二项分布是概率论中常用的一种离散概率分布，它描述了在一系列独立的伯努利试验中成功的次数。
经验Bayes估计是一种在贝叶斯统计中用于参数估计的方法，可以用于估计二项分布的参数。
本文将介绍几种常见的经验Bayes估计方法，以及它们在二项分布中的应用。
一、贝叶斯估计简介贝叶斯估计是一种统计学中的参数估计方法，它基于贝叶斯定理，并结合了先验概率和样本观测数据，得到后验概率分布，从而得到参数的估计值。
经验Bayes估计是一种特殊的贝叶斯估计方法，它假设参数的先验分布是由样本数据估计得到的。
二、Laplace平滑估计Laplace平滑估计是一种常用的经验Bayes估计方法，它用于解决估计参数为0的问题。
在二项分布中，如果样本观测中某个事件的发生次数为0，那么根据传统的极大似然估计方法，该事件的概率将被估计为0，这显然是不合理的。
因此，Laplace平滑估计引入了一个先验概率，将所有事件的发生次数都加上一个正数k，从而解决了参数为0的问题。
三、贝叶斯估计与最大似然估计的比较贝叶斯估计与最大似然估计是两种常用的参数估计方法。
最大似然估计是基于频率学派的思想，通过最大化样本观测数据的似然函数，得到参数的估计值。
而贝叶斯估计则引入了先验概率，通过贝叶斯定理得到后验概率分布，从而得到参数的估计值。
在二项分布中，贝叶斯估计相比最大似然估计具有更好的稳定性和鲁棒性，尤其在样本量较小的情况下效果更好。
四、Dirichlet分布的经验Bayes估计Dirichlet分布是一种常用的多维概率分布，它常用于描述多个参数的分布。
在二项分布中，可以使用Dirichlet分布作为先验分布，利用样本观测数据来估计参数的分布。
Dirichlet分布的参数可以通过最大似然估计或贝叶斯估计得到，从而得到二项分布的参数估计值。
五、经验Bayes估计的优缺点经验Bayes估计作为一种参数估计方法，具有一些优点和缺点。
判别分析(3)贝叶斯判别
知类别的样品代入判别函数进行回判。如果判对
率在75％以上，则认为判别函数有效，其常用的
公式为
判对样品(数 N1) 总样品(数 N)
此外，还可采用统计方法对判别函数效果进行 检验。
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对于判别函数的显著检验，我们可用马氏距 离来检验总体间差异是否显著。若总体间差异不 显著，显然建立在各总体基础之上的判别函数用 于归类其结果就不可靠。马氏距离的计算公式如 下： m
判别分析(3)贝叶斯判别
贝叶斯（ Bayes ）判别
距离判别只要求知道总体的特征量(即参数)---
均值和协差阵,不涉及总体的分布类型. 当参数未知
时,就用样本均值和样本协差阵来估计.
距离判别方法简单,结论明确,是很实用的方法.
但该方法也有缺点:
1. 该判别法与各总体出现的机会大小(先验概
率)完全无关;
我们就可用其进行归类识别，其方法是将待判
样品 X*[x1 *,x2 *, ,xm *]T代入判别函数式（4.21），
计算它归入每个类的判别函数
值
（
），然后选出
k1,2,,g
X*
则将 就归Fl(入X*)第m 1k 类ga{F。xk(X*)}
Fk (X* )
实际X *应用中，常l 常还需要知道待判样品 归
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§4.3.1 贝叶斯准则
问题：待判样品X属于哪一类？？ P (t|X )mP a (k|x X )mg a qkfx k(X ) (k1 ,2 , ,g)
q ifi(X )
i 1
对于诸总体，显然分母（全概率）都是相同的，因此只要比 较式分子的大小，即可判断条件概率的大小，进而对待判样 品作出归类。
贝叶斯估计法推出概率估计公式
贝叶斯估计法推出概率估计公式
贝叶斯估计法（Bayesian estimation）是一种使用贝叶斯统计推断来进行概率估计的方法。
它结合了先验知识和现有观测数据，通过贝叶斯定理推导出后验概率估计公式。
在贝叶斯估计法中，我们假设已经观测到了一些数据X，并想要估计一个未知参数θ 的概率分布。
我们用θ̂表示对参数θ 的估计。
贝叶斯估计的基本思想是，通过联合概率分布P(θ, X) 对参数θ 进行建模，然后通过贝叶斯定理，将先验知识P(θ) 与观测数据X 的似然函数P(X|θ)结合起来，得到后验概率分布P(θ|X)。
根据贝叶斯定理，我们可以得到贝叶斯估计的公式：
P(θ|X) = (P(X|θ) * P(θ)) / P(X)
其中，P(θ|X) 是参数θ 在观测数据X 下的后验概率分布，
P(X|θ) 是观测数据 X 在给定参数θ下的似然函数，P(θ) 是参数θ 的先验概率分布，P(X) 是观测数据 X 的边缘概率。
贝叶斯估计的关键是先验概率分布P(θ) 和似然函数P(X|θ) 的选择。
先验概率分布反映了我们对参数θ 的先验知识和信念，似然函数表示了在给定参数θ 下观测数据 X 出现的可能性。
通过贝叶斯估计，我们可以得到参数θ 的后验概率分布，然后可以根据后验概率分布进行概率估计，如计算期望值、置信区间等。
需要注意的是，贝叶斯估计法的应用需要根据具体的问题
和数据进行模型的设定，并进行合理的先验概率和似然函数的选择，以得到准确和可靠的概率估计结果。
定数截尾数据缺失场合下指数分布参数的bayes估计
定数截尾数据缺失场合下指数分布参数的bayes估计在统计学中，数据缺失是一个常见的问题。
当我们在分析数据时，有时会发现一些观测值或测量值无法收集到，导致数据集中缺少一些数据点。
这种数据缺失可能会对我们的分析结果产生影响，因此需要通过一定的方法来估计缺失数据的值。
指数分布在概率论和统计学中是一种常见的连续概率分布。
它通常用于描述连续随机变量的时间间隔，比如两个事件之间的时间间隔或者等待一些事件的时间间隔。
在定数截尾数据缺失场合下，我们可以使用贝叶斯估计来估计指数分布的参数。
贝叶斯估计是一种统计推断方法，它将先验信息与观测数据结合起来进行参数估计。
首先，我们需要定义先验分布。
在贝叶斯估计中，我们假设参数服从一些先验分布，然后通过观测数据来更新我们对参数的估计。
对于指数分布，我们可以选择使用参数为α和β的Gamma分布作为先验分布。
Gamma分布的概率密度函数为：f(x，α,β)=(β^α/Γ(α))*x^(α-1)*e^(-βx)其中，α和β是Gamma分布的形状参数和比例参数，Γ(α)是Gamma函数。
在进行贝叶斯估计时，我们需要计算后验分布，即在观测数据下的参数分布。
根据贝叶斯定理，我们可以得到后验分布：p(α,β，X)∝f(X，α,β)*p(α)*p(β)其中，p(α)和p(β)是参数α和β的先验分布，X是观测数据。
为了计算后验分布，我们需要选择参数α和β的先验分布。
一种常见的选择是设置α和β为1，这相当于一个均匀分布。
因此，先验分布可以写为：p(α)=1p(β)=1代入后验分布的公式，我们可以得到：p(α,β，X)∝f(X，α,β)即后验分布与似然函数成正比。
在指数分布中，似然函数可以写为：L(α, β) = ∏[β * e^(-βxi)]其中，xi是样本中的观测值。
根据贝叶斯估计的原理，我们可以通过最大化后验分布来估计参数α和β的值。
在这种情况下，我们可以通过最大似然估计来计算后验分布。
对于指数分布，最大似然估计可以通过最大化似然函数来得到。
贝叶斯定理及应用
贝叶斯定理及应用中央民族大学孙媛一贝叶斯定理一、贝叶斯定理贝叶斯定理（Bayes‘ theorem）由英国数学家托马斯贝叶斯（Thomas Bayes）·Thomas Bayes 在1763年发表的一篇论文中，首先提出了这个定理。
用来描述两个条件概率之间的这个定理关系，比如P(A|B) 和P(B|A)。
一、贝叶斯定理一贝叶斯定理所谓的贝叶斯定理源于他生前为解决一个“逆概”问题写的一篇文章，而这篇文章是在他死后才由他的一位朋友发表出来的。
在贝叶斯写这篇文章之前，人们已经能够计算“正向概率”，如假设袋子里面有N 个白球，M 个黑球，你伸手进去摸一如“假设袋子里面有N个白球M个黑球你伸手进去摸一把，摸出黑球的概率是多大”。
而一个自然而然的问题是反过来：“如果我们事先并不知道袋子里面黑白球的比例，而是闭着眼睛摸出一个（或好几个）球，观察这些取出来的球的颜色之后，那么我们可以就此对袋子里面的黑白球的比例作出什么样的推测。
这个问题，就是所谓的逆向概率问题。
样的推测”。
这个问题就是所谓的逆向概率问题。
一、贝叶斯定理一贝叶斯定理←实际上就是计算"条件概率"的公式。
p y，←所谓"条件概率"（Conditional probability），就是指在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，用P(A|B)来表示。
的先验概率之所以称为先验是因为它不考虑任何←P(A)是A的先验概率，之所以称为先验是因为它不考虑任何B的因素。
←P(A|B)是在B发生时A发生的条件概率，称作A的后验概率。
←P(B)是B的先验概率。
←P(B|A)是在A发生时B发生的条件概率，称作B的后验概率。
贝叶斯定理与其他统计学推断方法截然不同它建立在主←贝叶斯定理与其他统计学推断方法截然不同。
它建立在主观判断的基础上，也就是说，你可以不需要客观证据，先估计一个值，然后根据实际结果不断修正。
正是因为它的主观性太强，曾经遭到许多统计学家的诟病。
应用数理统计 第4讲 贝叶斯估计
第4讲 贝叶斯估计
主讲教师：陈萍 教授
e-mail:prob123@
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2.4 贝叶斯统计模型 一 、贝叶斯学派的基本观点
美籍波兰统计学家耐曼(E.L.Lehmann1894~1981)高度 概括了在统计推断中可用的三种信息：
1．总体信息，即总体分布或所属分布族给我们的信息。
称为θ 的后验密度函数，或后验分布。
Bayes 原则：对θ的所有统计推断都应建立 在后验分布的基础上！
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为研究方便，引进记号
若随机变量X的概率密度为 p ( x ) cg ( x ) ，其中c是 与x无关的数，则可记为 p ( x ) g ( x ) ，g(x)称为概 率密度p(x)的核。例如：
n
2
n
xi
2
i 1
0
解得：
ˆ
i 1
xi 2
n 2 2
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六.Bayes区间估计(置信区间)
定义 已知参数的后验密度为h(|x), 对给定的置信概 率1-，若存在区间I，满足下列条件：
(1) P { I | x }
(2) 任给1∈I，2I，总有h(1 |x) ≥h(2|x).
n
2
2
1
即有
2
2
2
n
2
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ˆ |x ~ N ,
于是在给定 x 条件下，
ˆ
~ N 0 ,1
ˆ P u 1
2
| x 1
故得 的1-HPD区间估计为
ˆ u
贝叶斯参数估计
先验分布的选取
有信息的： 已知分布类型、参数等 无信息的： 最大熵、共轭分布、Bayes假设 基于经验的： 利用样本确定先验分布
共轭分布法
例：设 X ~ N ( , 2 ) ， ~ N (10,32 ) 。若从正态总体 X 抽
2
得容量为 5 的样本，算得 x 12.1 ，
1 N x 2 2 0 'exp i 2 2 2 i 1 0 1 N 1 N 0 1 2 ''exp 2 2 2 2 xi 2 2 1 i 0 0
| x) E | x ( E )2 Var ( | x) MSE (
1 2
称为后验方差，其平方根 [Var ( | x)] 称为后验标准差。
经典统计学派对贝叶斯统计的批评
贝叶斯方法受到了经典统计学派中一些人的批评,批 评的理由主要集中在以下三点： • (1) 贝叶斯方法具有很强的主观性而研究的问题需 要更客观的工具。经典统计学是“客观的”, 因此符 合科学的要求。而贝叶斯统计学是“主观的”，因 而(至多)只对个人决策有用。 • (2)应用的局限性,特别是贝叶斯方法有许多封闭型 的分析解法,不能广泛地使用。 • (3)先验分布的误用。
对以上这些批评,贝叶斯学派的回答如下：
几乎没有什么统计分析哪怕只是近似是“客观的” 。因为只有在具有研究问题的全部覆 盖数据时,才会得到明显的“客观性”,此时,贝叶斯分析也可得出同样的结论。但大多数统计 研究都不会如此幸运,以模型作为特性的选择对结论会产生严重的影响。实际上,在许多研究 问题中,模型的选择对答案所产生的影响比参数的先验选择所产生的影响要大得多。 Box(1980)说： “不把纯属假设的东西看作先验…我相信,在逻辑上不可能把模型的假设 与参数的先验分布区别开来。 ” Good(1973)说的更直截了当： “主观主义者直述他的判断,而客观主义者以假设来掩盖其 判断,并以此享受着客观性的荣耀。 ” 杰出的当代贝叶斯统计学家 A.OHagan(1977)的观点是最合适的：劝说某人不加思考地 利用贝叶斯方法并不符合贝叶斯统计的初衷。进行贝叶斯分析要花更多的努力。如果存在只 有贝叶斯计算方法才能处理的很强的先验信息或者更复杂的数据结构。 这时收获很容易超过 付出,由此能热情地推荐贝叶斯方法。另一方面,如果有大量的数据和相对较弱的先验信息, 而且一目了然的数据结构能导致已知合适的经典方法 (即近似于弱先验信息时的贝叶斯分 析)，则没有理由去过分极度地敲贝叶斯的鼓(过分强调贝叶斯方法)。
统计学习理论中的Bayes算法
统计学习理论中的Bayes算法Bayes算法在统计学习理论中的应用统计学习理论是一门研究如何从数据中学习模型和进行预测的学科。
在统计学习理论中，Bayes算法是一种重要的方法，它基于贝叶斯定理，通过对已知数据的分析和后验概率的计算来进行模型的学习和预测。
本文将详细介绍Bayes算法在统计学习理论中的原理和应用。
一、Bayes算法的原理Bayes算法是基于贝叶斯定理的一种统计学习方法。
贝叶斯定理是概率统计中的一个基本定理，用于计算在已知一些先验信息的情况下，根据新的观测数据来更新对事件发生概率的估计。
贝叶斯定理可以用公式表示如下：P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)其中，P(A|B)表示已知B发生的情况下A发生的概率，P(B|A)表示已知A发生的情况下B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示A和B发生的概率。
Bayes算法通过贝叶斯定理来推导和计算模型参数的后验概率，并结合先验概率进行模型的学习和预测。
它的基本思想是将数据和先验知识进行结合，通过不断更新模型参数的估计值，提高模型的预测精度。
二、Bayes算法的应用1. 文本分类Bayes算法在文本分类中有广泛的应用。
通过统计分析已知文本的特征和类别的关系，计算出先验概率和条件概率，并利用贝叶斯定理来进行文本分类。
这种基于Bayes算法的文本分类方法被称为朴素贝叶斯分类器。
朴素贝叶斯分类器假设特征之间是条件独立的，通过计算每个特征在给定类别下的概率来进行分类。
这种方法简单高效，并且在一些文本分类任务中取得了较好的效果。
2. 垃圾邮件过滤Bayes算法在垃圾邮件过滤中也有应用。
通过对已知的垃圾邮件和正常邮件进行分析，计算出各个特征在给定类别下的概率，并利用贝叶斯定理来进行邮件的分类。
将概率高于某个阈值的邮件视为垃圾邮件，从而实现垃圾邮件的自动过滤。
这种基于Bayes算法的垃圾邮件过滤方法具有较高的准确率和召回率，并且能够自适应地更新模型参数，适应不断变化的垃圾邮件特征。
贝叶斯公式(BayesTheorem)
贝叶斯公式王社英2015年11月7日摘要贝叶斯公式原来没搞懂，据说它很重要，用的很广，自己重新看看书，总结了一下计算的方法，理解定理含有的意义。
目录1贝叶斯公式1 2计算方法2 3意义3 1贝叶斯公式定理1.1.设E是随机实验，若B,A1,A2,···,A n是E中的事件，且满足：质贱贩P质A i贩>贰贬i贽贱,贲,···,n贻质贲贩事件A1,A2,···,A n是样本空间的一个分割贻质贳贩P质B贩>贰贮则P质A i|B贩贽P质A i B贩P质B贩贽P质A i贩P质B|A i贩nj=1P质A j贩P质B|A j贩,i贽贱,贲,···,n.质贱贩利用条件概率公式和全概率公式易证式质贱贩.称式质贱贩为贝叶斯公式(Bayes formula),又称之为逆概率公式.它是概率论中一个著名的公式，由英国学者贝叶斯首先提出。
贱2计算方法贝叶斯公式的计算可以画一个图，或者叫做概率树贱P 质A 2贩P 质贖B|A 2贩P 质B |A 2贩P 质A 1贩P 质贖B|A 1贩P 质B |A 1贩贝叶斯公式的计算就是两层贮•第一层的子树数目不定，最常见的是两个；•第二层的子树是确定的，就是两个；•要把第二层的位置放整齐贬含有B 全部放在上面贮那么，贝叶斯公式的计算，就可以流程化了。
P 质A i 贩P 质B |A i 贩 n j =1P 质A j 贩P 质B |A j 贩,i 贽贱,贲,···,n.质贲贩可以把P 质A i 贩P 质B |A i 贩视为根节点P 质A i 贩与子节点P 质B |A i 贩的乘积。
把P 质A i 贩从上到下依次计算。
当我们计算时，•如果计算事件B 发生了，那么所有出现贖B的项可以全部忽略贻•如果计算事件贖B发生了，那么所有出现B 的项可以全部忽略如果我们定义向量•x 贽质P 质A 1贩,P 质A 2贩,···,P 质A n 贩贩贻•y 贽质P 质B |A 1贩,P 质B |A 2贩,···,P 质B |A n 贩贩贻•¯y 贽质P 质贖B|A 1贩,P 质贖B |A 2贩,···,P 质贖B |A n 贩贩贮那么贝叶斯公式的计算可以用向量表示如下贺贲•事件B已经发生的情况下，事件A i发生的概率更新为贺P质A i贩贽x i·y ix·y,i贽贱,贲,...,n.•事件贖B已经发生的情况下，事件A i发生的概率更新为贺P质A i贩贽x i·贖y i x·¯y3意义赛贱贬走赡赧赥赳贲贰购贲贳赝在全概率公式和贝叶斯公式中，如果我们把事件B看成“结果”，而把事件A1,A2,···,A n看成导致结果发生的可能“原因”，则可以形象的把全概率公式看成“由原因推结果”贻而贝叶斯公式恰好相反，其作用在于“由结果找原因”贮在贝叶斯公式中，称P质A i贩为事件A i的先验概率，称P质A i|B贩为事件A i的后验概率，贝叶斯公式是专门用于计算后验概率的贮也就是说，在没有更多的信息质不知事件B是否发生贩的情况下，人们对诸事件A i,A2,···,A n发生的可能性有一个最初的认识贮当有了新的信息质知道事件B已经发生贩贬人们对A i,A2,···,A n发生的可能性大小就有了新的估计贮下面的例子很好的说明了这一点贮例3.1.伊索寓言“孩子与狼”讲的是一个小孩每天到山上放羊，山里有狼出没贮有一天，他闲得无聊在山上喊：“狼来了！狼来了！”，山下的村民闻声便去打狼，可是到了山上发现并没有狼贮第二天仍是如此贮第三天狼真的来了，可是无论小孩怎么叫喊，也没有人来救他，因为前两次他说了谎，人们不再相信他了贮现在用贝叶斯公式来分析寓言中村民对这个小孩的可信程度是如何下降的贮首先记A贽{小孩说谎}贬B贽村民相信小孩的话质即小孩可信贩贮不妨设村民过去对这个小孩的印象为P质B贩贽贰.贸,P质贖B贩贽贰.贲，现在用贝叶斯公式来求P质B|A贩，即小孩说了一次谎后，村民对他可信程度的改变贮在贝叶斯公式中我们要用到概率P质A|B贩和P质A|贖B贩贬这两个概念的含义是：前者为“可信”的孩子说谎的可能性，后者为“不可信”的孩子说谎的可能性贮在此不妨设P质A|B贩贽贰.贱,P质A|贖B贩贽贰.贵.第一次村民上山打狼，发现狼没有来，即小孩说了谎贮村民根据这个信息，对这个小孩的可信程度改变为质由贝叶斯公式贩P质B|A贩贽P质B贩P质A|B贩P质B贩P质A|B贩贫P质贖B贩P质A|贖B贩贽贰.贸×贰.贱贰.贸×贰.贱贫贰.贲×贰.贵贽贰.贴贴贴,贳这表明村民上了一次当后，对这个小孩的可信程度由原来的贰.贸调整为贰.贴贴贴贬即P质B贩贽贰.贴贴贴,P质贖B贩贽贰.贵贵贶,在此基础上，我们再一次利用贝叶斯公式来计算P质B|A贩贬即小孩第二次说谎后，村民对他的可信度改变为P质B|A贩贽贰.贴贴贴×贰.贱贰.贴贴贴×贰.贱贫贰.贵贵贶贽贰.贱贳贸,这表明村民经过两次上当，对这个小孩的可信程度由原来的贰.贸下降到了贰.贱贳贸贬如此低的可信度，村名们听到第三次呼叫时怎么会再上山打狼呢贮贝叶斯公式解释了一种直观的现象，一个说谎的人真的说谎了，他的可信度更低，一个被检测有病的人真的有病了，那么以后就对诊断结果会更相信。
最大似然估计与贝叶斯估计
最大似然估计与贝叶斯估计估计是统计学中非常重要的概念，通过估计可以得到未知参数的近似值，从而进行推断和预测。
最大似然估计和贝叶斯估计是常见的估计方法，本文将对这两种方法进行介绍和比较。
一、最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）最大似然估计是基于数据的频率分布来估计未知参数的方法。
它的核心思想是选择使得给定数据样本的概率最大化的参数值。
通过最大化似然函数来寻找最优解。
假设我们有一个样本数据集X={x1,x2,...,xn}，而我们的目标是估计参数θ。
假设样本数据来自于某个概率分布P(x|θ)，我们可以写出似然函数L(θ|x)。
最大似然估计的思路是找到一个使得似然函数取得最大值的参数值θ_hat，即L(θ_hat|x)=max L(θ|x)。
通过一些数学方法，我们可以求解出最大似然估计的解析解或者使用优化算法来找到最优解。
最大似然估计具有良好的性质，例如，当样本数量趋于无穷大时，估计值的偏差趋近于零，估计值的方差趋近于Cramér-Rao下界。
二、贝叶斯估计（Bayesian Estimation）贝叶斯估计是一种利用贝叶斯定理来估计未知参数的方法。
它将参数视为一个随机变量，通过先验分布和似然函数相结合来计算后验分布，从而得到参数的估计。
假设我们有一个样本数据集X={x1,x2,...,xn}。
贝叶斯估计的核心思想是通过贝叶斯定理来计算参数θ的后验概率分布P(θ|X)，即已知数据样本的条件下，参数θ的概率分布。
具体来说，我们需要选择一个先验分布P(θ)来表示参数的先验知识或者假设。
然后通过似然函数L(X|θ)计算参数的似然度。
利用贝叶斯定理，我们可以根据先验分布和似然度计算出后验分布，即P(θ|X)。
而贝叶斯估计的目标就是通过后验分布来计算参数的估计。
贝叶斯估计可以灵活地结合先验知识和数据样本，更加全面地反映参数的不确定性。
此外，还可以通过后验分布进行预测和决策，并且可以通过贝叶斯定理进行后续的更新。
6-4Bayes估计
贝叶斯统计学派的基本观点： 贝叶斯统计学派的基本观点：
1. 任一个未知参数 都被看作是随机变量，用 任一个未知参数θ都被看作是随机变量 都被看作是随机变量， 概率分布来描述是恰当的. 这就是θ的先验分布 概率分布来描述是恰当的 这就是 的先验分布 和后验分布. 和后验分布 2. 贝叶斯统计学派是利用后验分布来进行统计 . 推断的. 推断的.
p ( X | θ 0 ) = p ( x 1 ,K , x n | θ 0 ) =
∏Hale Waihona Puke i =1p ( x i |θ 0 )
它综合了总体信息和样本信息. 它综合了总体信息和样本信息
4、由于θ0 是设想出来的 仍然未知 它是按先验分布 、由于 设想出来的 仍然未知. 出来的,仍然未知 π(θ)产生的 为把先验信息综合进去 应考虑一切 因 产生的. 产生的 为把先验信息综合进去, 应考虑一切θ.因 参与进一步综合. 这样,样本 样本X=(x1,…,xn)与 此要用π(θ) 参与进一步综合 这样 样本 与 参数θ的联合分布为 的联合分布为: 参数 的联合分布为 h ( X ; θ ) = p ( X | θ ) π ( θ ) = p ( x 1 ,K , x n | θ ) π ( θ ) 它综合了总体信息和样本信息和先验信息. 它综合了总体信息和样本信息和先验信息 5、我们的目的是对未知参数θ作统计推断.在没有样 、我们的目的是对未知参数θ作统计推断. 本信息时,只能根据先验分布对θ作出推断. 本信息时,只能根据先验分布对θ作出推断.在有了样 本观察值X=(x1,…,xn)之后,应根据 h(X; θ)对θ作出推 之后, 本观察值 之后 对 为此, 作如下分解: 断.为此,需把 h(X; θ)作如下分解: 作如下分解 h( X ; θ ) = π (θ | X )m ( X ) 其中m(X)是样本 的边缘概率函数 它不含 的任何信息 是样本X的边缘概率函数 它不含θ的任何信息 的任何信息: 其中 是样本 的边缘概率函数. m ( X ) = ∫ h ( X ; θ )dθ = ∫ p ( X | θ )π ( θ ) dθ
数理统计：贝叶斯估计
| x)d
(ˆB )2
2ˆB
(
| x)d
2 (
| x)d
(ˆB -
( | x)d )2
2 ( | x)d
(
(
| x)d )2
因此当ˆB
( | x)d时，可使MSE达到最小,
又由于
息去确定Beta分布中的两个参数α与β 。从文献来看，确
定α与β的方法很多。例如，如果能从先验信息中较为准
确地算得θ先验平均和先验方差，则可令其分别等于Beta
分布的期望与方差最后解出α与β ，如下
Байду номын сангаас
(
)2 (
1)
S2
(1 ) 2
S2
a(1 )
假设Ⅲ 我们对参数θ已经积累了很多资料，经过分析、整 理和加工，可以获得一些有关θ的有用信息，这种信息就 是先验信息。参数θ不是永远固定在一个值上，而是一个 事先不能确定的量。
10
贝叶斯公式
从贝叶斯观点来看，未知参数θ是一个随机变量，描 述这个随机变量的分布可从先验信息中归纳出来，这个分 布称为先验分布，其概率分布用π(θ)表示。 1 先验分布 定义：将总体中的未知参数θ∈Θ看成一取值于Θ的随机 变量,它有一概率分布，记为π(θ)，称为参数θ的先验分布。 2 后验分布 从总体 f(x│θ) 中随机抽取一个样本X1，…，Xn， 先获得样本X1，…，Xn和参数θ的联合分布:
(i x)
p(x i ) (i ) p(x i ) (i )
i
(i xj )
贝叶斯定律
贝叶斯定律
贝叶斯定律是关于随机事件A和B的条件机率（或边缘机率）的一则定律。
其中P(A|B)是在B发生的情况下A发生的可能性。
贝叶斯定律也称贝叶斯推理，早在18世纪，英国学者贝叶斯(1702～1763)曾提出计算条件机率的公式用来解决如下一类问题：假设H[1],H[2]…,H[n]互斥且构成一个完全事件，已知它们的机率P(H[i]),i=1,2,…,n,现观察到某事件A与H[1],H[2]…,H[n]相伴随机出现，且已知条件机率P(A|H[i])，求P(H[i]|A)。
基本介绍
•中文名：贝叶斯定律
•外文名：Bayes' theorem
•别称：托马斯·贝叶斯定律
•表达式：P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B)
•提出者：英国学者贝叶斯
•提出时间：18世纪
•套用学科：数学
•适用领域範围：机率论
研究意义
人们根据不确定性信息作出推理和决策需要对各种结论的机率作出估计，这类推理称为机率推理。
机率推理既是机率学和逻辑学的研究对象，也是心理学的研究对象，但研究的角度是不同的。
机率学和逻辑学研究的是客观机率推算的公式或规则；而心理学研究人们主观机率估计的认知加工过程规律。
贝叶斯推理的问题是条件机率推理问题，这一领域的探讨对揭示人们对机率信息的认知加工过程与规律、指导人们进行有效的学习和判断决策都具有十分重要的理论意义和实践意义。
定律定义
贝叶斯公式（发表于1763年）为：
这就是着名的“贝叶斯定律”，一些文献中把P(B[1])、P(B[2])称为基础机率，P(A│B[1])为击中率，P(A│B[2])为误报率。
贝叶斯估计
后验分布是三种信息的综合,先验分布反应人们在抽样前 对参数的认识,后验分布反应人们在抽样后对参数的认识 Bayes统计推断原则:对参数 所作任何推断(参数估计,假 设检验等)都必须建立在后验分布基础上.
§1.2贝叶斯公式的密度函数形式
例:为了提高某产品质量,公司经理考虑投资100万改进设 备,下属部门提出两种实施意见: 意见1:改进生产设备后,高质量产品占90% 意见2:改进生产设备后,高质量产品占70% 但经理根据以往两部门建议情况认为.意见1的可信度只 有40%,而形式
3. 从贝叶斯观点看，样本 x ( x1 , xn ) 的产生要分两步 进行。首先设想从先验分布 ( ) 产生一个样本 ' ，这一步 是“老天爷”做的，人们是看不到的，故用“设想”二字。
' 第二步是从总体分布 p( x | ) 产生一个样本 x ( x1, xn ) ，
p ( x; ) ， 它表示在参数空间 { } 中不同的 对应不
同的分布。可在贝叶斯统计中记为 p( x | ) ，它表示 在随机变量 给定某个值时，总体指标 X 的条件分 布。 2、 根据参数 的先验信息确定先验分布 ( ) (prior distribution)。这是贝叶斯学派在最近几十年里重点 研究的问题。已获得一大批富有成效的方法。
( )( ) ， 确定的随机变量 X 的分布称为贝塔分 ( )
布，记为 beta( , ) 贝塔分布 beta( , ) 的均值 E ( X ) ，
方差 Var ( X ) ( )2 ( 1)
当 1 时，贝塔分布退化为 [0,1] 区间上的均匀分布。
i 1 K
Bayes 公式(后验概率公式 )：P ( i | x)
贝叶斯预测方法
贝叶斯预测模型的概述贝叶斯预测模型是运用贝叶斯统计进行的一种预测。
贝叶斯统计不同于一般的统计方法，其不仅利用模型信息和数据信息，而且充分利用先验信息。
托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）的统计预测方法是一种以动态模型为研究对象的时间序列预测方法。
在做统计推断时，一般模式是：先验信息+总体分布信息+样本信息→后验分布信息可以看出贝叶斯模型不仅利用了前期的数据信息，还加入了决策者的经验和判断等信息，并将客观因素和主观因素结合起来，对异常情况的发生具有较多的灵活性。
这里以美国1960—2005年的出口额数据为例，探讨贝叶斯统计预测方法的应用。
Bayes预测模型及其计算步骤此处使用常均值折扣模型，这种模型应用广泛而且简单，它体现了动态现行模型的许多基本概念和分析特性。
常均值折扣模型对每一时刻t常均值折模型记为DLM{1，1，V，δ}，折扣因子δ，O<δ<l定义如下：观测方程：μt= μt− 1+ ωt，ωt～N [O,W t]状态方程：y t= μt + v t，v t～N [0,V]初始信息：～N [m0，C0]其中μ是t时刻序列的水平，Vt是观测误差项或噪声项，ωt是状态误差项。
定理：对于每一时刻t，假设μt− 1的后验分布()～N [m t− 1,C t− 1]，则μt 的先验分布()～N [m t− 1,R t]，其中R t = C t− 1 + W t。
推论1：()～N [f t,Q t]，其中f t = m t− 1,Q t = R t + V。
推论2：μt的后验分布()～N [m t，C t]，其中f t = m t− 1,Q t = R t + V。
由于Rt=Ct-1+Wt=Ct-1/δ，故有W−t = C t− 1(δ− 1− 1) W其计算步骤为：(1)R t = C−t / δ； (2)Q t = R t + V；(3)A t = R t / Q t； (4)f t− 1 = m t− 1；(5)e t−y t−f t− 1； (6)C t = A t V；(7)m t−m t− 1 + A t e t计算实例根据The SAS System for Windows 9．0所编程序，对美国出口额（单位：十亿元）变化进行了预测。
中位数型bayes点估计
中位数型bayes点估计
中位数型bayes点估计（Median Bayes Estimator）是贝叶斯统计学中的一种方法，用于确定一个未知参数的值。
在这种方法中，我们通过使用贝叶斯公式将先验分布与似然函数相乘来计算后验分布。
与传统的贝叶斯点估计不同的是，中位数型bayes点估计通过选择使得后验分布中位数最大的值作为估计值。
而不是通常的后验分布期望值。
这种方法被证明在一些情况下比传统的贝叶斯点估计更为准确。
具体来说，我们首先需要确定一个先验分布，它可以是任何合理的概率分布。
然后，我们计算似然函数，它描述了观测数据与参数之间的关系。
接下来，我们将先验分布与似然函数相乘得到后验分布。
最后，我们通过找到后验分布的中位数来确定估计值。
中位数型bayes点估计的优点在于它对极端值的影响较小，因为中位数对极端值不敏感。
此外，这种方法还可以用于一些非正态的分布，因为它不需要假设数据在正态分布下的分布情况。
总之，中位数型bayes点估计是一种基于贝叶斯统计学的估计方法，它通过选择后验分布的中位数来确定未知参数的值。
这种方法对极端值不敏感，可以用于一些非正态分布。
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• 已知： () ，选 p(x|)
• 使得 h (|r ) p ( x | ) *()与先验分布同类型
• 若p(x|)服从正态分布，选正态分布 • 若p(x|)服从两点分布，选Beta分布 • 若p(x|)服从指数分布，选逆Gamma分布
几个学派（3）
• 信念学派：
• 带头人：Fisher
• 观点：概率是频率
•
主观不是概率，而是信念度
•
参数不是随机变量，仅是普通变量
• 似然函数： L( | x1,x2,..xn)
批评1：置信区间
• 置信区间：
• 解释：区间[u1,u2]覆盖u的概率
•
不是u位于区间的概率
• 缺点：u不是变量
批评2：评价方法
例子： 两点分布
• X1…Xn服从两点分布，概率，
•则
服从二项分布
• 求的估计
• 设先验分布是beta(a,b)
3.5
• 求得后验分布： • 求得E(|r)=(a+r)/(a+b+n)
• 2.Neyman-Pearson范式
• 不用贝叶斯方法
a=2,b=2
3
a=0.5,b=0.5 a=2,b=5
a=5,b=2
例1：两点分布b(1,p)的
• 1. 联合分布：p(x|)n xx(1)nx • 2. 先验分布：()1 01
• 3. 后验分布： h(|x) n x r(1)nr*()
• 4. 后验期望估计：
• E (|x ) h ( |x )d n x 1 2
2、先验分布的共轭分布选取法
• 假设检验、参数估计等都是多次重复的结 果；
• 想知道：
– 一次实验发生的可能性
Bayesian方法
Bayesian公式
h(y|x) p(x|y)q(y)
p(x|y)q(y)dy
• 先验分布密度：q(y) • 条件分布密度：p(x|y) 似
然度 • 后验分布密度：h(y|x) • 后验综合先验与样本信息
贝叶斯估计
Bayes Estimation
例子：
• 某人打靶，打了5枪，枪枪中靶， • 问：此人枪法如何？ • 某人打靶，打了500枪，枪枪中靶， • 问：此人枪法如何？
• 经典方法：极大似然估计：100% • 但是: ……
几个学派（1）
• 经典学派：频率学派，抽样学派
• 带头人：Pearson、Fisher、Neyman
• 观点：概率就是频率
•
参数就是参数
• 联合分布密度：p(x1,x2,..xn ; )
几个学派（2）
• Bayesian学派：
• 带头人：Bayes,Laplace,Jeffreys,Robbins
• 观点：频率不只是概率
•
存在主观概率，和实体概率可转化
•
参数作为随机变量
• 条件分布： p(x1,x2,..xn | )
Bayes统计推断问题
• 参数估计：
– 点估计 – 区间估计
估计的损失
• 损失函数：
L( , )
• 风险：平均损失 R(,)E(L(,(x1,x2..x. )n)
• 一致最小风险： L( , )
– 对于任意产生的样本x1…xn, 都是最小分析估计。
• Bayesian平均风险：
R(,)()d
(L(,)p(x|)dx)()d
思路：
• 1、未知参数视为随机变量：
• 数据的不可设计性与经验的不能穷尽性？
• 2、取样本x1…xn，求联合分布密度
• p(x1,x2,..xn ; )， 是参数
• 3、联合分布密度－>条件分布密度
• p(x1,x2,..xn | )， 是随机变量
• 4、确定的先验分布() • 5、利用Bayesian公式求后验分布密度 • 6、使用后验分布做推断（参数估计、假设检验）
(L(,)p(x|)()d)dx
后验风险：
• Bayesian风险与后验风险
(L (, )p (x|) ()d )dx
• 后验分析最小＝>Bayesian风险最小
两种常用损失函数：
• 平方损失：
L(,)()2
– 最小Bayesian风险估计：后验期望
• 点损失：
L(a,)
0,|
a
|
1,|
a
|
– 最大后验密度估计
2.5
• 规避了先验概率的决定
2
• 对两个假设区别对待，一个成为原假设H0(null hypotheses)，另一个成为备择假设
H1(alternative hypotheses)
1.5
• 由此导致在有些场合下选择原假设的困难
• Neyman-Pearson引理(lemma)
1
• 方差已知的正态置信区间和假设检验的对偶关系：引理置信区间和假设检验的对偶关0系.5：引理B
例子： 正态ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ布
• X1…Xn服从正态分布N(，2) ， 2已知， • 的先验分布是N(，2 )
• 求的Bayes估计.
• 求得后验分布还是正态分布
• 求得
E (|X )X ( 2 2 n n ) ( 2 2)
• 例：某圆形产品内径X（单位：mm）服从正态分布N( ， 0.4), 有先验分布N(2，0.22),现在测量X=1.8,n=5
• 广义似然比检验： 方差未知正态总体的均值检验多项分布的广义似然比检验Pearson卡方统计量和似然比Handy-Weinberg均衡
•
在参数估计的例子中引入了Handy-Weinberg均衡Bacterial
Clump 0 0
0.1泊松散0.2布度检0.3验(di0s.p4ersio0.n5
test0).泊6 松散0.7布度0检.8验
0.9
1
(dispersion test)泊松散布度检验：数方法：Mann-Whitney检验
• MLE=1.8 • bayes=(1.8*5/0.4+2*0.2^(-2))/(5/0.4+0.2^(-2))=1.93
置信区间估计：
• 方法: 是随机变量，可求其后验分布 • 步骤: 1.积分求后验分布
h (|x)h (,u|x)du
2.根据后验分布求置信区间
的1的置信区间为： (/2，ˆ1/2) 其中 p表示 后验分布 p分的位数。