经典函数解析式求法

求函数定义域的方法
一．已知函数解析式求函数的定义域
如果只给出函数解析式（不注明定义域），其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围（称为自然定义域），这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。

主要依据是：（1）分式的分母不为零，（2）偶次根式的被开方数为非负数，（3）零次幂的底数不为零，（4）对数的真数大于零，（5）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1，（6）三角函数中的正切函数y=tanx ，｛x ︱x ∈R
且 x ≠2
k ππ+， k ∈z ｝ 例1 求下列函数的定义域：
（1） y=2）0+㏒（x —2）x 2
解：（1）欲使函数有意义，须满足
2≠0
x —1≥0
x —2＞0 解得：x ＞2 且 x ≠3 ，x ≠5
x —2≠1 ∴ 函数的定义域为（2，3）∪（3，5）∪（5，+∞）
x ≠0
二． 复合函数求定义域
求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。

最外层的函数的定义域为次外层函数的值域，依次求，直到最内层函数定义域为止。

多个复合函数的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。

例2
（1）已知函数f （x ）的定义域为〔-2，2〕，求函数y=f （x 2-1）的定义域。

（2）已知函数y=f （2x+4）的定义域为〔0，1〕，求函数f （x ）的定义域。

（3）已知函数f （x ）的定义域为〔-1，2〕，求函数y=f （x+1）—f （x 2-1）的定义域。

分析：（1）是已知f （x ）的定义域，求f 〔g （x ）〕的定义域。

其解法是：已知f （x ）的定义域为〔a ，b 〕，求f 〔g （x ）〕的定义域是解a ≤g （x ）≤b ，即得所求的定义域。

（2）是已知f 〔g （x ）〕的定义域，求f （x ）的定义域。

其解法是：已知f 〔g （x ）〕的定义域为〔a ，b 〕，求f （x ）的定义域的方法为：由a ≤x ≤b ，求g （x ）的值域，即得f （x ）的定义域。

解：（1）令-2≤X 2—1≤2 得-1≤X 2≤3，即 0≤X 2≤3，从而 ≤x
∴函数y=f （x 2-1）的定义域为〔〕。

（2）∵y=f （2x+4）的定义域为〔0，1〕，指在y=f （2x+4）中x ∈〔0，1〕，令t=2x+4， x ∈〔0，1〕，则t ∈〔4，6〕，即在f （t ）中，t ∈〔4，6〕∴f （x ）的定义域为〔4，6〕。

（3）由 -1≤x +1≤2
-1≤X 2—1≤2 得 ≤x ≤1
∴函数y=f （x+1）—f （x 2-1）的定义域为〔1〕。

三．含有字母参数的函数求定义域
对于含有字母参数的函数求其定义域必须对字母参数进行分类讨论。

例3 （1） 求函数y = a ∈R ）的定义域
（2）已知函数f （x ）的定义域为〔1，4〕，求函数y=f （x+m ）—f （x —m ） （m ＞0）的定义域。

解：（1）要使函数有意义，须满足：ax —3≥0
∴（ⅰ）当a ＞0时原函数的定义域为｛x ︱x ≥
3a ｝ （ⅱ）当a ＜0时原函数的定义域为｛x ︱x ≤3
a ｝ （ⅲ）当a=0时ax —3≥0的解集为空集，即原函数的定义域为空集
（2）解：令1≤x+m ≤4 ①
1≤x —m ≤4 ②
由①得 1—m ≤x ≤4—m
由②得 1+m ≤x ≤4+m
当0＜m ＜
32时定义域为〔1+ m ，4—m 〕 当m= 32时定义域为｛x ︱x= 52
｝
求函数解析式常用的方法
求函数解析式常用的方法有：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、特殊值法。

（一）待定系数法
待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。

其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。

例1：已知()f x 是二次函数，若(0)0,f =且(1)()1f x f x x +=++试求()f x 的表达式。

解析：设2()f x ax bx c =++ (a ≠0)
由(0)0,f =得c=0
由(1)()1f x f x x +=++ 得
22(1)(1)1a x b x c ax bx c x ++++=++++
小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。

类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)= k x
(k≠0)；f(x)为二次函数时，根据条件可设①一般f(x)=ax2+bx+c(a≠0) （二）换元法
换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。

它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。

例2
：已知1)1,f x =+求()f x 的解析式。

解析：如果把1视为t ，那左边就是一个关于t 的函数()f t ,
只要在等式1t =中，用t 表示x ,将右边化为t 的表达式，问题即可解决。

1t =
22
20
1
()(1)2(1)1()(1)x t f t t t t f x x x ≥∴≥∴=-+-+=∴=≥
(三)配凑法
已知复合函数[()]f g x 的表达式，要求()f x 的解析式时，若[()]f g x 表达式右边易配成()g x 的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。

例3
：已知1)f x =+求()f x 的解析式。

分析：2x x +
∴可用配凑法
解：由21))1f x =+=-
令t =
01
x t ≥∴≥ 则2()1f t t =-
即2()1(1)f x x x =-≥
(四)消元法，此方法的实质是解函数方程组。

消元法适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数()f x 混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。

例5：设()f x 满足1()2(),f x f x x
-=求()f x 的解析式。

分析：要求()f x 可消去1()f x
,为此，可根据题中的条件再找一个关于()f x 与1()f x
的等式，通过解方程组达到消元的目的。

解析：1()2()f x f x x
-=………………………① 显然，0x ≠,将x 换成1x
得 11()2()f f x x x
-=……………………………..② 由1()2()11()2()f x f x x f f x x
x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 消去1()f x
，得 12()33f x x x
=-- 小结：消元法适用于自变量的对称规律。

互为倒数，如f(x)、1()f x
；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。

（五）赋值法
赋值法是依据题条件的结构特点，由特殊到一般寻找普遍规律的方法。

其方法：将适当变量取特殊值，使问题具体化、简单化，依据结构特点，从而找出一般规律，求出解析式。

例5：已知(0)1,()()(21),f f a b f a b a b =-=--+求()f x 。

解析：令0,a =
则2()(0)(1)1f b f b b b b -=--=-+
令b x -=
则2()1f x x x =++。