2021理科数学模拟试题2021高考理科数学模拟试题(一)-(27906)
2021年高考数学模拟试卷一(理科)附答案解析
2021年高考数学模拟试卷（全国卷1）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|3−x>1}，B={x|3−3x>0}，则()A. A∩B={x|x>1}B. A∪B={x|x>2}C. A∪B=RD. A∩(∁R B)={x|1≤x<2}2.设(−1+2i)x=y−1−6i，x，y∈R，则|x−yi|=()A. 6B. 5C. 4D. 33.函数f(x)=ln|x||x|的图象是()A. B.C. D.4.某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取200名同学参加课外知识测试，测试共5道题，每答对一题得20分，答错得0分.已知每名同学至少能答对2道题，得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是()A. 该次课外知识测试及格率为90%B. 该次课外知识测试得满分的同学有30名C. 该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D. 若该校共有3000名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有1440名5.已知向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(2,−3)，则a⃗−2b⃗ 在a⃗+b⃗ 方向上的投影为()A. 13√22B. −13√22C. 13√8989D. −13√89896.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=1，AA1=√3，点D是侧棱BB1的中点，则直线C1D与平面ABC所成角的余弦值为()A. √32B. 2√55C. √77D. 2√777.已知函数f(x)=cos(2x+φ)(−π≤φ≤π)的图象向右平移π12个单位长度后，与函数g(x)=sin2x的图象重合，则f(x)的单调递减区间为()A. [kπ+π3,kπ+5π6](k∈Z) B. [kπ−π6,kπ+π3](k∈Z)C. [kπ+π6,kπ+2π3](k∈Z) D. [kπ−π3,kπ+π6](k∈Z)8.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的半圆的直径为2，则该几何体的表面积为()A. 3π+2B. 4π+2C. 3π+3D. 4π+39.意大利数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…….这个数列称为斐波那契数列，该数列与自然界的许多现象有密切关系，在科学研究中有着广泛的应用.该数列{a n}满足a1=a2= 1，a n+2=a n+a n+1(n∈N+)，则该数列的前1000项中，为奇数的项共有()A. 333项B. 334项C. 666项D. 667项10.已知抛物线C：y2=4x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，则直线OA，OB(O为坐标原点)的斜率之积为()A. −8B. −4C. −2D. −111.已知数列{a n}满足a2n−a2n−1=3n−1，a2n+1+a2n=3n+5(n∈N+)，则数列{a n}的前40项和S40=()A. 321+1972B. 320+1972C. 910+98D. 920+9812. 已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足f′(x)+f(x)x=1x 2，且f(e)=2e ，e 为自然对数的底数，若关于x 的不等式f(x)x−x −ax +2≤0恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. [1,+∞)B. [2,+∞)C. [e+2e,+∞) D. [−e 3+2e 2+2e,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{x +y ≥1x ≤1y ≤1，则z =3x −y 的最小值为______ ．14. 小张计划从5个沿海城市和4个内陆城市中随机选择2个去旅游，则他至少选择1个沿海城市的概率是______ ． 15. 已知双曲线C ：x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在其右支上，△F 1PF 2的内切圆为⊙I ，F 2M ⊥PI ，垂足为点M ，O 为坐标原点，则|OM|= ______ ．16. 定义在R 上的函数f(x)满足f(−x)+f(x)=0，当x ≥0时，f(x)=x 2.若不等式14f(ax 2)+f(3−x)≥0对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且bcosA =c −√32a ．(1)求角B ；(2)若△ABC 的面积为2√3，BC 边上的高AH =1，求b ，c ．18. 某射击小组由两名男射手与一名女射手组成，射手的每次射击都是相互独立的，已知每名男射手每次的命中率为23，女射手每次的命中率为13． (1)当每人射击2次时，求该射击小组共射中目标4次的概率；(2)当每人射击1次时，规定两名男射手先射击，如果两名男射手都没有射中，那么女射手失去射击资格.一个小组共射中目标3次得100分，射中目标2次得60分，射中目标1次得10分，没有射中目标得−50分.用随机变量X 表示这个射击小组的总得分，求X 的分布列及数学期望．19. 点E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，点M 在边AB 上，且AB =3AM ，沿图1中的虚线DE ，EF ，FD 将△ADE ，△BEF ，△CDF 折起使A ，B ，C 三点重合，重合后的点记为点P ，如图2． (1)证明：PF ⊥DM ．(2)求二面角P −DM −F 的余弦值．20. 已知动点P 到点(−√6,0)的距离与到直线x =−4√63的距离之比为√32．(1)求动点P 的轨迹C 的标准方程．(2)过点A(−4,0)的直线l 交C 于M ，N 两点，已知点B(−2,−1)，直线BM ，BN 分别交x 轴于点E ，F.试问在x 轴上是否存在一点G ，使得BE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GF ⃗⃗⃗⃗⃗ +GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=ln(x+3)−x．(1)求函数f(x)的最大值．(2)若关于x的方程ae x+ln ax+3=3(a>0)有两个不等实数根x1，x2，证明：e x1+e x2>2a．22.在极坐标系中，点A(1,π6)，B(1,π2)，曲线C：ρ=2sin(θ+π3).以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．(1)在直角坐标系中，求点A，B的直角坐标及曲线C的参数方程；(2)设点P为曲线C上的动点，求|PA|2+|PB|2的取值范围．23.(1)已知a+b+c=1，证明：(a+2)2+(b+2)2+(c+2)2≥49．3(2)若对任意实数x，不等式|x−a|+|2x+1|≥3恒成立，求实数a的取值范围．2答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|3−x>1}={x|x<2}，B={x|3−3x>0}={x|x<1}，∴A∩B={x|x<1}，A∪B={x|x<2}，∁R B={x|x≥1}，∴A∩(∁R B)={x|1≤x<2}．故选：D．求出集合A，B，进而求出A∩B，A∪B，∁R B，A∩(∁R B)，由此能求出结果．本题考查集合的运算，考查交集、并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵(−1+2i)x=y−1−6i，x，y∈R，∴−x+2xi=y−1−6i，∴{−x=y−12x=−6，解得x=−3，y=4，∴|x−yi|=|−3−4i|=√(−3)2+(−4)2=5．故选：B．推导出−x+2xi=y−1−6i，利用复数相等的定义列出方程组，求出x=−3，y= 4，由此能求出|x−yi|．本题考查向量的模的求法，考查向量相等、向量的模等基础知识，考查运算求解能力等核心思想，是基础题．3.【答案】A是偶函数，排除B，C选项．【解析】解：函数f(x)=ln|x||x|当0<x<1时，y=ln|x|<0，<0．∴y=ln|x||x|故选：A．根据奇偶性，在利用代入特殊点即可选出答案．本题考查了函数图象变换，是基础题．4.【答案】C【解析】解：由测试成绩百分比分布图知：对于A，该次课外知识测试及格率为1−8%=92%，故A错误；对于B，该次课外知识测试得满分的同学有：200×(1−8%−32%−48%)=24名，故B错误；对于C，该次测试成绩的中位数为80分，该次测试成绩的平均数为：40×8%+60×32%+80×48%+100×(1−8%−32%−48%)=71.6(分)，∴该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数，故C正确；对于D，该校共有3000名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有：3000×(1−8%−32%)=1800(名)，故D错误．故选：C．利用测试成绩百分比分布图直接求解．本题考查命题真假的判断，考查扇形分布图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等核心思想，是基础题．5.【答案】B【解析】解：∵a⃗−2b⃗ =(−5,8)，a⃗+b⃗ =(1,−1)，∴(a⃗−2b⃗ )⋅(a⃗+b⃗ )=−5−8=−13，|a⃗+b⃗ |=√2，∴a⃗−2b⃗ 在a⃗+b⃗ 方向上的投影为：(a⃗ −2b⃗)⋅(a⃗ +b⃗)|a⃗ +b⃗|=√2=−13√22．故选：B．根据条件可求出向量a⃗−2b⃗ 和a⃗+b⃗ 的坐标，然后即可求出(a⃗−2b⃗ )⋅(a⃗+b⃗ )和|a⃗+b⃗ |的值，根据投影的计算公式即可求出a⃗−2b⃗ 在a⃗+b⃗ 方向上的投影．本题考查了向量加法、减法、数乘和数量积的运算，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为平面ABC//平面A1B1C1，所以直线C1D与平面ABC所成的角，即是直线C1D与平面A1B1C1所成的角，因为BB1⊥平面平面A1B1C1，所以∠DCB即是直线C1D与平面A1B1C1所成的角，设其大小为θ，则tanθ=B1DB1C1=√321=√32，所以cosθ=1√1+tan2θ=2√77．故选：D．根据直线与两平行平面的成角相等，求出正切值再求余弦值判断．本题考查了正三棱柱性质，考查了直线与平面成角问题，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=cos(2x+φ)(−π≤φ≤π)的图象向右平移π12个单位长度后，可得y=cos(2x−π6+φ)的图象，所得图象与函数g(x)=sin2x的图象重合，∴−π6+φ=−π2，∴φ=−π3，f(x)=cos(2x−π3).令2kπ≤2x−π3≤2kπ+π，求得kπ+π6≤x≤kπ+2π3，可得f(x)的单调递减区间为[kπ+π6,kπ+2π3]，k∈Z，故选：C．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得f(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由一个半径为1的14的球和一个底面半径为1，高为1的半圆柱组成．故该几何体的表面积为：S 表=14⋅4⋅π⋅12+2×12⋅π⋅12+π⋅1⋅1+2×1=3π+2．故选：A．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出组合体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积公式，球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：该数列第3，6，9，…项为偶数，以3为周期，1000=3×333+1，所以前1000项中，为偶数的项共有333项，则为奇数的项共有1000−333=667项．故选：D．该数列第3，6，9，…项为偶数，以3为周期，可求出为偶数的项数，从而可求得为奇数的项的项数．本题考查了数列递推式，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则k OA=y1x1,k OB=y2x2，所以k OA⋅k OB=y1y2x1x2，设直线AB的方程为：x=my+2，并代入抛物线方程消去x可得：y2−4my−8=0，所以y1y2=−8，则x1x2=(y1y2)216=4，所以k OA⋅k OB=y1y2x1x2=−84=−2，故选：C．设出点A，B的坐标，由此即可求出直线OA，OB的斜率之积，再由已知设出直线AB 的方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率之积的关系式即可求解．本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：数列{a n}满足a2n−a2n−1=3n−1，a2n+1+a2n=3n+5(n∈N+)，∴a2n+1+a2n−1=6，a 2n+2+a 2n −(a 2n+1+a 2n−1)=a 2n+2−a 2n+1+a 2n −a 2n−1=3n+1−1+3n −1=4×3n −2，∴a 2n+2+a 2n =4×3n +4，∴(a 1+a 3)+⋯…+(a 37+a 39)=6×10=60．(a 2+a 4)+⋯…+(a 38+a 40)=4×(3+33+⋯…+319)+4×10=4×3(1−910)1−9+40=321−32+40．则数列{a n }的前40项和S 40=60+321−32+40=321+1972．故选：A ．数列{a n }满足a 2n −a 2n−1=3n −1，a 2n+1+a 2n =3n +5(n ∈N +)，可得a 2n+1+a 2n−1=6，又可得a 2n+2+a 2n =4×3n +4，通过分组求和及其利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了数列递推式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：令F(x)=xf(x)，则F′(x)=f(x)+xf′(x)， 而f′(x)+f(x)x=1x 2，故F ′(x)=1x ，故F (x)=lnx +c ，由F(e)=ef(e)=2=lne +c =2，解得：c =1， 故F (x)=lnx +1，故f(x)=lnx+1x，若关于x 的不等式f(x)x−x −a x +2≤0恒成立，则a ≥lnx+1x−x 2+2x 在x ∈(0,+∞)恒成立， 令g(x)=lnx+1x −x 2+2x ，x ∈(0,+∞)， 则g′(x)=−lnx x 2−2(x −1)，x ∈(0,1)时，lnx <0，x −1<0，故g′(x)>0，g(x)在(0,1)递增， x ∈(1,+∞)时，lnx >0，x −1>0，g′(x)<0，g(x)在(1,+∞)递减， 故g(x)max =g(1)=2，故a ≥2，即a 的取值范围是[2,+∞)， 故选：B ．令F(x)=xf(x)，根据题意得到f(x)=lnx+1x，问题转化为a ≥lnx+1x−x 2+2x 在x ∈(0,+∞)恒成立，令g(x)=lnx+1x−x2+2x，x∈(0,+∞)，根据函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是中档题．13.【答案】−1【解析】解：由约束条件作出可行域如图，直线x+y=1与y轴交于A(0,1)，化z=3x−y为y=3x−z，由图可知，y=3x−z过点(0,1)时，直线在y轴上的截距最大，z取得最小值−1．故答案为：−1．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．14.【答案】56【解析】解：小张计划从5个沿海城市和4个内陆城市中随机选择2个去旅游，基本事件总数n=C92=36，他至少选择1个沿海城市包含的基本事件个数m=C51C41+C52=30，则他至少选择1个沿海城市的概率P=mn =3036=56．故答案为：56．基本事件总数n=C92=36，他至少选择1个沿海城市包含的基本事件个数m=C51C41+ C52=30，由此能求出他至少选择1个沿海城市的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．15.【答案】a【解析】解：设内切圆I与边PF1的切点为Q，与边PF2的切点为L，与x轴的切点为K，由切线长定理可得||F1K|=|F1Q|，|F2K|=|F2L|，|PF1|−|PF2|=2a=|F1Q|−|F2L|=|F1K|−|F2K|，又|F1K|+|F2K|=2c，解得|F2K|=c−a，则K(a,0)，即I的横坐标为a，即I在直线x=a上，延长F2M交PF1于N，可得PM为NF2的垂直平分线，可得|PN|=|PF2|，且M为NF2的中点，可得|OM|=12|NF1|，而|PF1|−|PF2|=|NF1|=2a，可得|OM|=a，故答案为：a．设内切圆I与边PF1的切点为Q，与边PF2的切点为L，与x轴的切点为K，运用圆的切线长定理和双曲线的定义可得|F2K|=c−a，延长F2M交PF1于N，运用等腰三角形的三线合一以及中位线定理，双曲线的定义，求解OM即可．本题考查双曲线的定义和性质，以及圆的切线长定理的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．16.【答案】16【解析】解：因为定义在R上的函数f(x)满足f(−x)+f(x)=0，即f(x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数，又当x≥0时，f(x)=x2，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，由f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以f(x)在(−∞,0)上单调递增，又14f(ax2)+f(3−x)≥0，即f(12ax2)≥f(x−3)，所以12ax2≥x−3对任意x∈R恒成立，当x=0时，不等式成立；当x ≠0时，不等式等价于a ≥(2x−6x 2)max ， 令g(x)=2x−6x 2，g′(x)=2x 2−2x(2x−6)x 4=2x(6−x)x 4，令g′(x)>0，可得0<x <6，令g′(x)<0，可得x <0或x >6， 所以g(x)在(0,6)上单调递增，在(−∞,0)，(6,+∞)上单调递减， 当x ∈(−∞,0)时，g(x)<0， 所以g(x)max =g(6)=16， 所以a ≥16，所以a 的最小值为16． 故答案为：16．判断函数f(x)的奇偶性与单调性，将不等式转化为12ax 2≥x −3对任意x ∈R 恒成立，当x =0时，不等式成立，当x ≠0时，分离参数可得a ≥(2x−6x 2)max ，令g(x)=2x−6x 2，利用导数求出g(x)的最大值，即可得解．本题主要考查不等式恒成立问题，考查函数奇偶性与单调性的综合，以及导数的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为bcosA =c −√32a ， 所以由正弦定理可得sinBcosA =sinC −√32sinA =sin(A +B)−√32sinA =sinAcosB +cosAsinB −√32sinA ， 可得sinAcosB =√32sinA ，因为sinA ≠0，可得cosB =√32，所以由B ∈(0,π)，可得B =π6．(2)因为△ABC 的面积为2√3，BC 边上的高AH =1，在Rt △ABH 中，可得c =AH sinB =1sin π6=2，BH =√c 2−AH 2=√22−12=√3，所以2√3=12acsinB =12×(√3+HC)×2×12，解得HC =3√3，可得a =BH +HC =4√3，在△ABC 中，由余弦定理可得b =√a 2+c 2−2accosB =√(4√3)2+22−2×4√3×2×√32=2√7．【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sinA ≠0，可得cos B 的值，结合B ∈(0,π)，可得B 的值．(2)在Rt △ABH 中，由已知利用三角函数的定义可求c ，利用勾股定理可求BH 的值，进而根据三角形的面积公式可求HC 的值，从而可得a ，在△ABC 中，由余弦定理即可求得b 的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式化，勾股定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)某射击小组由两名男射手与一名女射手组成，射手的每次射击都是相互独立的，每名男射手每次的命中率为23，女射手每次的命中率为13． 当每人射击2次时，该射击小组共射中目标4次的概率为：P =C 44(23)4C 20(23)2+C 43(23)3(13)C 21(13)(23)+C 42(23)2(13)2C 22(13)2=827．(2)随机变量X 表示这个射击小组的总得分，则X 的可能取值为−50，10，60，100， P(X =−50)=13×13=19，P(X =10)=C 21(23)(13)(23)=827，P(X =60)=C 21(23)(13)(13)+(23)2(23)=1227，P(X =100)=(23)2(13)=427，∴X 的分布列为：数学期望E(X)=−50×19+10×827+60×1227+100×427=3509．【解析】(1)利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式能求出当每人射击2次时，该射击小组共射中目标4次的概率．(2)随机变量X 表示这个射击小组的总得分，则X 的可能取值为−50，10，60，100，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核心素养，是中档题．19.【答案】(1)证明：由题意知PE 、PF 、PD 两两垂直， 所以PF ⊥平面PED ，又因为DM ⊂平面PED ， 所以PF ⊥DM ．(2)解：由(1)可建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方形边长为6，则各点坐标如下：D(0,0，6)，E(0,3，0)，F(3,0，0)，M(0,2，0)，P(0,0，0)， MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,6)，MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−2,0)， 设平面DMF 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， {MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−2y +6z =0MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =3x −2y =0，令y =3，m⃗⃗⃗ =(2,3，1)， 平面PMD 的法向量为n⃗ =(1,0，0)， 设二面角P −DM −F 的大小为θ，由图可知θ为锐角， 所以cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√14⋅1=√147． 故二面角P −DM −F 的余弦值√147．【解析】(1)证明直线垂直另一直线所在平面即可；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．20.【答案】解：(1)设P(x,y)，由题意可得√(x +√6)2+y 2=|x +4√63|⋅√32，两边平方得x 2+2√6x +6+y 2=34(x 2+8√63x +323)，整理得14x 2+y 2=2，即x 28+y 22=1．(2)①当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为x =my −4，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立{x =my −4x 2+4y 2=8，得(n 2+4)y 2−8ny +8=0， 所以△=64n 2−32(n 2+4)=32(n 2−4)>0，解得n <−2或n >2， y 1+y 2=8n n 2+4，y 1y 2=8n 2+4，所以直线BM 的方程为y +1=y 1+1x 1+2(x +2)，令y =0得x =(n−2)y 1−4y 1+1，即E((n−2)y 1−4y 1+1,0)，同理可得F 坐标((n−2)y 2−4y 2+1,0)，设存在满足题意的点G(t,0)，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =((n−2)y 1−4y 1+1+2,1)=(ny 1−2y 1+1,1)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =((n−2)y 2−4y 2+1+2,1)=(ny 2−2y 2+1,1)， GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =((n−2)y 1−4y 1+1−t,0)=((n−t−2)y 1−t−4y 1+1,0)，GF⃗⃗⃗⃗⃗ =((n−2)y 2−4y 2+1−t,0)=((n−t−2)y 2−t−4y 2+1,0)，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GF ⃗⃗⃗⃗⃗ +GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(ny 1−2)[(n−t−2)y 2−t−4](y 1+1)(y 2+1)+(ny 2−2)[(n−t−2)y 1−t−4](y 1+1)(y 2+1)=0， 所以(ny 1−2)[(n −t −2)y 2−t −4]+(ny 2−2)[(n −t −2)y 1−t −4]=0， 所以(2n 2−2nt −4n)y 1y 2−(nt +6n −2t −4)(y 1+y 2)+4t +16=0， 所以(2n 2−2nt −4n)8n 2+4−(nt +6n −2t −4)(8nn 2+4)+4t +16=0， 整理得−4n 2−n 2t +4t +16=0，即−n 2(t +4)+4(t +4)=0，得(4−n 2)(t +4)=0， 因为n <−2或n >2， 所以4−n 2≠0， 所以t =−4，②当直线l 与x 轴重合时，M ，N 为C 的左右两个顶点， 设M(−2√2,0)，N(2√2,0)， 则E 与M 重合，F 与N 重合， 所以E(−2√2,0)，F(2√2,0)， 取t =−4，则G(−4,0)，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2√2,1)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+2√2,1)，GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−2√2,0)，GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4+3√2,0)， 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GF ⃗⃗⃗⃗⃗ +GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2√2)(4+2√2)+(2+3√2)(4−2√2)=0，满足题意， 综上存在满足题意的定点G(−4,0)．【解析】(1)设P(x,y)，由题意可得√(x +√6)2+y 2=|x +4√63|⋅√32，化简即可得出答案．(2)分两种情况：①当直线l 与x 轴不重合时，②当直线l 与x 轴重合时，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GF ⃗⃗⃗⃗⃗ +GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)f(x)=ln(x +3)−x ，定义域是(−3,+∞)，f′(x)=1x+3−1=−x−2x+3，令f′(x)=0，解得：x =−2，令f′(x)>0，解得：−3<x <−2，令f′(x)<0，解得：x >−2， 故f(x)在(−3,−2)递增，在(−2,+∞)递减， 则f(x)的最大值是f(−2)=2；(2)证明：方程ae x +ln ax+3=3(a >0)可化为e x+lna +x +lna =x +3+ln(x +3)=e ln(x+3)+ln(x +3)，设g(x)=e x +x ，在(−∞,+∞)上单调递增， 又g(x +lna)=g(ln(x +3))，所以有x +lna =ln(x +3)，即方程ln(x +3)−x =lna 有两个实数根x 1，x 2， 由(1)知f(x)=ln(x +3)−x ≤2，则有lna <2， 所以a 的取值范围为(0,e 2)，因为方程f(x)=lna 有两个实数根x 1，x 2， 所以{ln(x 1+3)=x 1+lnaln(x 2+3)=x 2+lna ，则(x 1+3)−(x 2+3)ln(x1+3)−ln(x 2+3)=1，要证明e x 1+e x 2>2a ，即ae x 1+ae x 2>2，所以ae x 1+ae x 2=e x 1+lna +e x 2+lna =e ln(x 1+3)+e ln(x 2+3)=x 1+x 2+6， 需要证明x 1+3+x 2+3>2，需要证明x 1+3+x 2+3>2(x 1+3)−2(x 2+3)ln(x 1+3)−ln(x 2+3)，不妨设−3<x 1<x 2，令t =x 1+3x 2+3，则0<t <1，即要证lnt <2(t−1)t+1(0<t <1)， 设ℎ(t)=lnt −2(t−1)t+1(0<t <1)，则ℎ′(t)=(t−1)2t(t+1)2>0，所以ℎ(t)在(0,1)上的单调递增， 所以ℎ(t)<ℎ(1)=0， 即lnt <2(t−1)t+1成立，故原式成立．【解析】(1)f(x)的定义域是(−3,+∞)，求导得f′(x)=−x−2x+3，分析f′(x)的正负，f(x)单调性，即可得出答案．(2)方程ae x +ln ax+3=3(a >0)可化为e x+lna +x +lna =x +3+ln(x +3)=e ln(x+3)+ln(x +3)，设g(x)=e x +x ，分析单调性，进而可得方程ln(x +3)−x =lna 有两个实数根x 1，x 2，由(1)知f(x)=ln(x +3)−x ≤2，则有lna <2，解得a 的取值范围，由方程f(x)=lna 有两个实数根x 1，x 2，得{ln(x 1+3)=x 1+lnaln(x 2+3)=x 2+lna ，进而可得(x 1+3)−(x 2+3)ln(x1+3)−ln(x 2+3)=1，要证明e x 1+e x 2>2a ，即证明x 1+3+x 2+3>2(x 1+3)−2(x 2+3)ln(x 1+3)−ln(x 2+3)，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，函数的零点，解题中注意转化能力的应用，属于中档题． 22.【答案】解：(1)点A(1,π6)，B(1,π2)根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角纵坐标为A(√32,12)，B(0.1)．曲线C ：ρ=2sin(θ+π3)，整理得ρ2=ρsinθ+√3ρcosθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为直角坐标方程为(x −√32)2+(y −12)2=1，转换为参数方程为{x =√32+cosαy =12+sinα(α为参数)．(2)把曲线C 的直角坐标方程转换为参数方程为{x =√32+cosαy =12+sinα(α为参数)，设点P(√32+cosα,12+sinα)，所以|PA|2+|PB|2的=3+√3cosα−sinα=3+2cos(α+π6)， 由于cos(α+π6)∈[−1,1]， 故3+2cos(α+π6)∈[1,5]．故|PA|2+|PB|2的取值范围为[1,5]．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用两点间的距离公式和三角函数的关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)由柯西不等式可得，(12+12+12)[(a+2)2+(b+2)2+(c+2)2]≥(a+2+b+2+c+2)2=72=49，即为(a+2)2+(b+2)2+(c+2)2≥493(当且仅当a=b=c=13取得等号)；(2)对任意实数x，不等式|x−a|+|2x+1|≥32恒成立，即为32≤(|x−a|+|2x+1|)min，由|x−a|+|2x+1|=|x−a|+|x+12|+|x+12|≥|x−a−x−12|+|−12+12|=|a+1 2|(当且仅当x=−12时取得等号)，所以|x−a|+|2x+1|的最小值为|a+12|，则|a+12|≥32，解得a≥1或a≤−2．则实数a的取值范围是(−∞,−2]∪[1,+∞)．【解析】(1)运用柯西不等式即可得证；(2)由题意可得32≤(|x−a|+|2x+1|)min，由绝对值不等式的性质和绝对值的意义，可得最小值，结合绝对值不等式的解法，可得所求范围．本题考查不等式的证明和不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
2021年高三高考模拟考试理科数学试卷(1) 含答案
2021年高三高考模拟考试理科数学试卷（1）含答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知（，是虚数单位），则（）A． B． C． D．或2、已知向量，，若，则（）A． B． C． D．3、已知等比数列的各项均为正数，且公比，若、、成等差数列，则公比（）A．或 B． C．或 D．4、设，，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5、抛物线的焦点到直线的距离是（）A．B．C．D．6、若是奇函数，且是的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（）A．B．C．D．7、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8、由正整点坐标（横坐标和纵坐标都是正整数）表示的一组平面向量（，，，，，），按照一定的顺序排成如图所示的三角形向量序列图表．规则是：对于，第行共有个向量，若第行第个向量为，则，例如，，，，，依次类推，则（）A．B．C．D．二、填空题（本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（9～13题）9、．10、不等式的解集是．11、某人次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，，，．已知这组数据的平均值为，方差为，则的值为．12、展开，合并同类项后，含项的系数是．13、已知实数，满足条件20320x yx yxy-+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数（，）的最大值为，则的最大值是．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）极坐标方程分别为与的两个圆的圆心距为．15、（几何证明选讲选做题）如图，从圆外一点作圆的割线、．是圆的直径，若，，，则．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知函数（，，）的部分图象如图所示．求函数的解析式；若，，求．17、（本小题满分12分）某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．求直方图中的值；如果上学路上所需时间不少于分钟的学生可申请在学校住宿，请估计学校名新生中有多少名学生可以申请住宿；现有名上学路上时间小于分钟的新生，其中人上学路上时间小于分钟．从这人中任选人，设这人中上学路上时间小于分钟人数为，求的分布列和数学期望．18、（本小题满分14分）如图，直角梯形中，，，，，，过作，垂足为．、分别是、的中点．现将沿折起，使二面角的平面角为．求证：平面平面；求直线与平面所成角的正弦值．19、（本小题满分14分）设等比数列的前项和为，已知（）．求数列的通项公式；在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证：（）．20、（本小题满分14分）如图所示，已知、、是长轴长为的椭圆上的三点，点是长轴的一个端点，过椭圆的中心，，．求椭圆的方程；在椭圆上是否存在点，使得？若存在，有几个（不必求出点的坐标），若不存在，请说明理由；过椭圆上异于其顶点的任一点，作的两条切线，切点分别为、，若直线在轴、轴上的截距分别为、，证明：为定值．21、（本小题满分14分）已知函数，其中且．讨论的单调性；若不等式恒成立，求实数的取值范围；若方程存在两个异号实根，，求证：．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）（一）必做题（9～13题）9、 10、 11、 12、 13、（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分）14、 15、三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16、解：由图象知的最小正周期，故 ……3分将点代入的解析式得，又，∴，故函数的解析式为……………6分 2sin 2()2sin 2cos 1262662f θπθπππθθ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+=++=+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭……8分1cos 0sin 22πθθθ⎛⎫∴=∈= ⎪⎝⎭又，所以 …………10分cos cos cos sin sin 444πππθθθ⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭分 17、解：由直方图可得：200.0125200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯= 所以.……………………………2分新生上学所需时间不少于60分钟的频率为：……………4分因为所以名新生中有名学生可以申请住宿………………6分的可能取值为0，1，2. …………………………………7分，，……10分11分………………………………12分18、证明：DEAE ，CEAE ，AE 平面……3分AE 平面平面平面……5分（方法一）以E 为原点，EA 、EC 分别为轴，建立空间直角坐标系……6分 DEAE ，CEAE是二面角的平面角，即=……7分，，，A （2，0，0），B （2，1，0），C （0，1，0），E （0，0，0），D （0，，1） ……9分、分别是、的中点F ，G ……10分=，=……11分由知是平面的法向量……12分设直线与平面所成角，则故求直线与平面所成角的正弦值为……14分（列式1分，计算1分）（方法二）作，与相交于，连接……6分由知AE 平面所以平面，是直线与平面所成角……7分是的中点，是的中位线，，……8分因为DEAE ，CEAE所以是二面角的平面角，即=…9分在中，由余弦定理得，FEH EH EF EH EF FH ∠⨯⨯⨯-+=cos 2222（或）……11分（列式1分，计算1分）平面所以在中，……13分所以直线与平面所成角的正弦值为……14分19、解：设等比数列的首项为，公比为，………………1分，（）………………2分=即()………3分当,得，即，解得：……………4分………5分即.………6分证明：，则，………8分………9分设① 则②………10分①-②得：2+=+=………12分………13分………14分20、解：依题意知：椭圆的长半轴长，则A (2，0)，设椭圆E 的方程为-----------------------2分由椭圆的对称性知|OC |＝|OB | 又∵，|BC |＝2|AC |∴AC ⊥BC ，|OC |＝|AC | ∴△AOC 为等腰直角三角形，∴点C 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为(－1，－1) ，---------------------4分将C 的坐标(1，1)代入椭圆方程得∴所求的椭圆E 的方程为----------------------------------------------5分解：设在椭圆E 上存在点Q ，使得，设，则()()()2222220000001126222|QB||QA|x y x y x y .-=+++---=+-= 即，--------①-------------------------------------------------7分又∵点Q 在椭圆E 上，∴，-----------------②由①式得代入②式并整理得：，-----③∵方程③的根判别式，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q 存在，且有两个---------9分 证明：设点，由M 、N 是的切点知，,∴O 、M 、P 、N 四点在同一圆上，-------------------------------------10分且圆的直径为OP,则圆心为，其方程为---11分即-----④即点M 、N 满足方程④，又点M 、N 都在上，∴M 、N 坐标也满足方程----------⑤⑤-④得直线MN 的方程为----12分令得，令得--------13分∴，又点P 在椭圆E 上，∴，即=定值.-----------------------------------14分21、解：的定义域为.其导数…………………………………………………2分精品文档实用文档 ①当时,,函数在上是增函数;②当时,在区间上,;在区间(0,+∞)上,．所以,在是增函数,在(0,+∞)是减函数. ……………………………4分解：当时, 则取适当的数能使，比如取， 能使11()1()2()011f e a e a ae e e a a a a-=--=->-=->, 所以不合题意…6分 当时，令,则问题化为求恒成立时的取值范围.由于在区间上,;在区间上,. …………8分的最小值为,所以只需即,,……………………………10分证明：由于存在两个异号根，不妨设，因为,所以………………………………………………………………………………11分 构造函数:()2'22112()20111ax g x a x x x a a a =-+=<-+- 所以函数在区间上为减函数. ,则,于是,又,,由在上为减函数可知.即……………………………………………14分29298 7272 牲C20730 50FA 僺29745 7431 琱34125 854D 蕍35996 8C9C 貜 )38952 9828 頨•/26173 663D 昽N32424 7EA8 纨8。
2021年高三数学第一次模拟试卷(理科)
2021年高三数学第一次模拟试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共50分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）＝P（A）·P（B）．柱体（棱柱、圆柱）的体积公式．其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，n（ C ）A．B．C．D．解：．2．设函数f（x）＝2－x，函数g（x）的图象与f（x）的图象关于直线y＝x对称，函数h（x）的图象由g（x）的图象向右平移1个单位得到，则h（x）为（ A ）A．－log2（x－1）B．－log2（x＋1）ABCDE C．log2（－x－1）D．log2（－x＋1）3．已知E是正方形ABCD的边AB的中点，将△ADE和△BCE分别沿DE、EC向上折起，使A、B两点重合于P，则二面角D－PE－C的大小是（ C ）A．B．C．60°D．90°4．已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F1作倾斜角为的弦AB（ B ）A．B．C．D．－15．设a、b、c是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，且lgsin A、lgsin B、lgsin C成等差数列，那么直线与直线的位置关系是( D )A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．重合6．在△ABC中，若a＝7，b＝8，，则最大角的余弦值为（ B ）A．B．C．D．－7．设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝i）＝，i＝1，2，…，n，则常数k的值为（C ）A．1 B．C．D．8．在的展开式中，含x4项的系数为（ A ）A．－40 B．32 C．36 D．409．已知向量，，若正数k和t使与，垂直，则k的最小值是（ D ）A．0 B．1 C．－2 D．2解：，，，化简得，∴≥2．10．已知方程（a＞0）的两根为，，且，均在区间（－，）内，则的值为（B）A．B．－2 C．D．－2或解：由=(4a)2－4(3a+1)>0得a>1或a<－(舍去)tanα、tanβ是方程的两根tanα+tanβ=－4a<0, tanαtanβ=3a+1>0又α、β∈(－,) α、β∈(－,0), α+β∈(－,0)tan(α+β)=== =tan=-2或tan=(舍去)第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．11．若n是奇数，则＋＝______－2______．12．已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的射影有可能是①两条平行直线②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是①②④．（写出所有正确结论的编号）13．函数的值域为_________（0，］____________．解：设，∴t的最小值为8．∴y的最大值为．14．已知圆与抛物线（p＞0）的准线相切，则p＝________．解：圆的方程化为：，∴切线为x＝－1或x＝－3．∴p＝2或6．15．从1，2，3，……，100这100个数中，任取两个数，使其和能被4 整除的取法（不计顺序）有______1225______种（用数字作答）．解：将这100 个数分成4组：①被4整除的A＝｛4，8，12……｝，②被4除余1的B＝｛5，9，13……｝，被4除余2的C＝｛6，10，14……｝，被4除余3的D＝｛7，11，15……｝．从A里取2个符合，从B、D各取一个符合，从C里取2个符合．∴共有＝1225．16．已知A＝｛x｜x2－2x－3＞0｝，B＝｛x｜x2＋ax＋b≤0｝，若A∪B＝R，A∩B＝（3，4］，则ab＝______12______．解：由A＝（－∞，－1）∪（3，＋∞），A∪B＝R，A∩B＝（3，4］，∴B＝［－1，4］，即－1，4是方程x2＋ax＋b＝0的两个根．∴a＝－3，b＝－4．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）射击比赛中每人射4次，每次一发．规定全部不中得0分，只中一发得15分，中两发得30分，中三发得55分，中四发得100分．某人每次射击的命中率为，求他得分的数学期望．解：设ξ为此人命中目标的次数，则ξ服从二项分布．设η为此人的分数，则η为与ξ相关的随机变量，η的可能取值为0，15，30，55，100．∴P（η＝0）＝P（ξ＝0）＝；………………………………2分P（η＝15）＝P（ξ＝1）＝；……………………………4分P（η＝30）＝P（ξ＝2）＝；…………………………6分P（η＝55）＝P（ξ＝3）＝；……………………………8分P（η＝100）＝P（ξ＝4）＝；………………………………10分∴E η＝1824321601530551008181818181⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝≈51.85．…… 12分18．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝1，点C 到AB 1的距离为CE ＝，D 为AB 的中点． （Ⅰ）求证：AB 1⊥平面CED ；（Ⅱ）求异面直线AB 1与CD 之间的距离；（Ⅲ）求二面角B 1—AC —B 的平面角． 解：（Ⅰ）∵D 是AB 中点，△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，∴CD ⊥AB 又AA 1⊥平面ABC ，∴CD ⊥AA 1 ．∴CD ⊥平面A 1B 1BA ．∴CD ⊥AB 1，又CE ⊥AB 1．∴AB 1⊥平面CDE ． ……………………………………………………… 4分 （Ⅱ）由CD ⊥平面A 1B 1BA ， ∴CD ⊥DE ．∵AB 1⊥平面CDE ， ∴DE ⊥AB 1 ．∴DE 是异面直线AB 1与CD 的公垂线段． …………………………… 6分 ∵CE ＝，AC ＝1， ∴CD ＝．∴． ……………………………………… 8分 （Ⅲ）连结B 1C ，易证B 1C ⊥AC ，又BC ⊥AC ，∴∠B 1CB 是二面角B 1—AC —B 的平面角． …………………………… 10分 在Rt △CEA 中，CE ＝，BC ＝AC ＝1， ∴∠B 1AC ＝60°． ∴， ∴． ∴ ．∴． ………………………………………………… 12分 19．（本小题满分12分） 函数的最小值为（a ∈R ）． （Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）若，求a 及此时的最大值． 解：（Ⅰ）＝，设＝，∈［－1，1］…2分A BC A 1 B 1 C 1E D①当＜－1，即a ＜－2时， ； ②当－1≤≤1，即－2≤a ≤2时， ； ③当＞1，即a ＞2时， ．综上可得：21,2()21,22214,2a ag a a a a a <-⎧⎪⎪=----≤≤⎨⎪->⎪⎩ ． ………………………… 8分 （Ⅱ）当a ＜－2时，；当a ＞2时，，得，矛盾； 当－2≤a ≤2时，，则a ＝－3（舍）或a ＝－1． … 10分 ∴当a ＝－1时，2211()2cos 2cos 12(cos )22f x x x x =++=++． 当cos x ＝1时，有最大值为5． …………………………………………… 12分 20．（本小题满分12分）已知函数在区间（－2，1）内当x ＝－1时取得极小值，x ＝时取得极大值． （Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数在x ＝－2时的对应点的切线方程； （Ⅲ）求函数在［－2，1］上的最大值与最小值． 解：（Ⅰ）； ……………………………………… 2分∵当x ＝－1时取得极小值，x ＝时取得极大值； ∴－1，是方程的两个根．∴． …………………………………………………… 4分 ∴． ………………………………………… 5分（Ⅱ）当x ＝－2时，，即点（－2，2）在曲线上， ………… 7分又切线的斜率为 ， ………………………………… 9分 ∴切线方程为． ……………………………………… 10分 （Ⅲ）∵32221(2)2,(1),(),(1)23272f f f f -=-=-==， ∴在［－2，1］上的最大值为2，最小值为－． ………… 12分21．（本小题满分14分）已知双曲线C 1的中心在原点，实轴在x 轴上．实轴长与虚轴长的积是2，且一焦点到其相应准线的距离为． （Ⅰ）求双曲线C 1的方程； （Ⅱ）求以双曲线C 1的实轴与虚轴分别为短轴和长轴的椭圆C 2的方程； （Ⅲ）求证：当与直线平行的直线m 被椭圆C 2截取的弦最长时，该直线m 被双曲线C 1截取的弦最短，并求该最短弦长． 解：（Ⅰ） ，设F （c ，0），准线， ，……………………………………………………………2分 ∴ ，即 ．……………………………………………4分 （Ⅱ）． ………………………………………………………6分（Ⅲ）将直线与椭圆方程联立得0125142222=-++⇒⎩⎨⎧=++=m mx x y x m x y ， 则，弦长5102]2016[252]544254[22221≤+-=--=m m m T ． 当且仅当m ＝0时取等号．……………………………………………………9分将直线与双曲线方程联立得0123142222=---⇒⎩⎨⎧=-+=m mx x y x mx y ， 则．弦长362]1216[92]34494[22222≥+=++=m m m T ， 当且仅当m ＝0时取等号 ．………………………………………………12分综上当m ＝0时直线被椭圆C 2截取的弦最长同时，该直线被双曲线C 1截取的弦最短，最短弦长为． ……………………………………………………………14分 22．（本小题满分14分）已知点B 1（1，y 1），B 2（2，y 2），…，B n （n ，y n ），…（n ∈N *）顺次为直线y ＝＋上的点，点A 1（x 1，0），A 2（x 2，0），…，A n （x n ，0）顺次为x 轴上的点，其中x 1＝a （0＜a ＜1）．对于任意n ∈N *，点A n 、B n 、A n +1构成以B n 为顶点的等腰三角形．（Ⅰ）求数列｛y n ｝的通项公式，并证明它为等差数列； （Ⅱ）求证：x n +2－x n 是常数，并求数列｛x n ｝的通项公式；（Ⅲ）上述等腰△A n B n A n +1中是否可能存在直角三角形，若可能，求出此时a 的值；若不可能，请说明理由．解：（Ⅰ）y n＝n+，y n+1－y n＝，∴数列｛y n｝是等差数列，…………………………………………………………4分（Ⅱ）由题意得，＝n，∴x n＋x n+1＝2n，①x n+1＋x n+2＝2（n＋1），②①、②相减，得x n+2－x n＝2，∴x1，x3，x5，…，x2n－1，…成等差数列；x2，x4，x6，…，x2n，…成等差数列，…………………………………………8分∴x2n－1＝x1＋2（n－1）＝2n＋a－2，x2n＝x2＋（n－1）·2＝（2－a）＋（n－1）·2＝2n－a，∴x n＝……………………………………………………10分（Ⅲ）当n为奇数时，A n（n＋a－1，0），A n+1（n＋1－a，0）所以｜A n A n+1｜＝2（1－a）；当n为偶数时，A n（n－a，0），A n+1（n＋a，0），所以｜A n A n－1｜＝2a，作B n C n⊥x轴于C n ，则｜B n C n｜＝n＋．要使等腰三角形A n B n A n+1为直角三角形，必须且只须｜A n A n+1｜＝2｜B n C n｜．…12分所以，当n为奇数时，有2（1－a）＝2（n＋），即12a＝11－3n，当n＝1时，a＝；当n＝3时，a＝；当n≥5时，方程12a＝11－3n无解．当n为偶数时，12a＝3n＋1，同理可求得a＝．综上，当a＝，或a＝或a＝时，存在直角三角形．………………………14分36656 8F30 輰H! \?*20305 4F51 佑H23515 5BDB 寛22537 5809 堉38889 97E9 韩28873 70C9 烉34508 86CC 蛌。
2021届高考理科数学模拟卷(全国Ⅰ卷)(有答案)
2021届高考理科数学模拟卷一、选择题 1.设复数2i1iz =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知0m >，设集合{}2{||},230M x x m N x x x =<=-<∣∣，且{1}M N x x n ⋃=-<<∣，则 m n +=( )A.12B.1C.2D.523.在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。
若2,sin cos a b B B ==+=则角A 的大小为( )。
A.π3或2π3 B.π6 C.π6或5π6 D.5π64.已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点,点 P 在C 上,122PF PF =,则12cos F PF ∠等于( )A.14 B.35C.34D.45 5.根据下表中的数据可以得到线性回归直线方程0.70.35y x =+,则实数,m n 应满足( )6.已知函数()f x 是偶函数,当0x >时,()ln 1f x x x =+,则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为( ) A.y x =-B.2y x =-+C.y x =D.2y x =+7.25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为( )A. 5B. 10C. 15D. 208.若πtan 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πtan 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A. B. 9.若将函数2sin 2y x =的图像向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )A. ππ26k x =-(Z)k ∈B. ππ26k x =+(Z)k ∈C. ππ212k x =-(Z)k ∈D. ππ212k x =+(Z)k ∈10.已知四棱锥P ABCD -的体积是,底面ABCD 是正方形,PAB 是等边三角形,平面PAB ⊥平面ABCD ,则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为( )A. D.11.设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆2210x y +=相交于A B C D ，，，四点，若四边形ABCD 的面积为12，则双曲线的离心率是( )D ．12.函数π()cos lnπxf x x x-=+的图象大致为( ) A. B.C. D.二、填空题13.已知0,0x y >>,且41x y +=,则14x x y++的最小值为_____________. 14.已知向量()()()1,2,2,2,1,λ==-=a b c .若()2+c a b ,则λ=_________________.15.已知12,F F 分别是双曲线22233(0)x y a a -=>的左、右焦点，P 是抛物线28y ax =与双曲线的一个交点.若1212PF PF +=，则抛物线的准线方程为_________. 16.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。
2021年高三高考模拟数学(理)试题(1) Word版含答案
2021年高三高考模拟数学（理）试题（1） Word版含答案一、选择题：（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．若复数z满足z1＋i＝2i，则z对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知a，b，c，d为实数，且c＞d，则“a＞b”是“a－c＞b－d”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知数列，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（）A． B．C． D．4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )5．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( ) A．2 B．3 C．6 D．96．育英学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( )A．80种 B．90种 C．120种 D．150种7． 函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A ．－65<a <316B ．－85<a <－316C ．－85<a <－116D ．－65<a <－3168．如图所示，正方体的棱长为1, 分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱、交于，设，，给出以下四个命题：①平面平面；②当且仅当x =时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形周长，是单调函数； ④四棱锥的体积为常函数； 以上命题中假．命题．．的序号为（ ） A ．①④ B ．②C ．③D ．③④二、填空题（本题共7个小题，每小题5分，共35分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）（一）选做题（请考生在9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9. （选修4-1：几何证明选讲）是半圆的直径，点在半圆上，，垂足为，且，设，则的值为 . 10.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直角坐标系中，直线l 的参数方程为. 以直角坐标系xOy中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为，则圆心C 到直线l 距离为 11.（不等式证明选讲）若恒成立，则的范围是____________. （二）必做题（12～16题） 12．已知幂函数过点（2，），则此函数f (x )＝________. 13．若(1－2x )2 013＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x2 013(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝________.14.在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则=________. 15． 若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________. 16.已知定义在[1,+∞）上的函数。
2021届全国一卷高考理科数学全真模拟卷(一)含答案解析
2021届高考全国一卷理科数学全真模拟(一)含答案解析卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 14 小题 ，共计70分 ， ）1. （5分） 已知集合A ={x|x ≤−12}，B ={x|1<(12)x<2}，则(∁R A)∩B =( ) A.{x|−12≤x <0} B.{x|−12<x <0} C.{x|−1≤x <−12} D.{x|−1<x <−12}2. （5分） 已知复数z =(1+i)21−i，则|z|=( )A.1B.√2C.√3D.√53. （5分） 设a =log 2018√2019，b =log 2019√2018，c =201812019，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a4. （5分） 用0.618法选取试点，实验区间为[2, 4]，若第一个试点x 1处的结果比x 2处好，x 1>x 2，则第三个试点应选取在（ ） A.2.236 B.3.764 C.3.528 D.3.9255. （5分） 函数f (x )=|x|−ln |x|x的图象大致为（ ）A. B.C. D.6. （5分） 用a 表示掷一枚质地均匀的骰子向上的点数，则方程3x 2+2ax +3=0有两个不等实根的概率为( ) A.23B.12C.13D.167. （5分） 在Rt △ABC 中，点D 为斜边BC 的中点，|AB →|=8，|AC →|=6，则AD →⋅AB →=（ ） A.48 B.40C.32D.168. （5分） 若执行如图所示的程序框图，则输出的m =A.8B.11C.10D.99. （5分） 已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，且2a 1+3a 3=S 6，则以下结论正确是（ ）A.a10=0B.S10最小C.S7=S12D.S19=010. （5分）已知点M(x0, y0)(x0y0≠0)是椭圆C:x24+y2=1上的一点F1，F2是椭圆C的左、右焦点，MA是∠F1MF2的平分线若F1B⊥MA，垂足为B，则点B到坐标原点O的距离d的取值范围为（）A.(0, 1)B.(0, 32) C.(0, √3) D.(0, 2)11. （5分）关于函数f(x)=cos|x|+|cos x|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间(−π2,0)上单调递增；③f(x)在[−π,π]上有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确的编号是( )A.①②④B.②④C.①④D.①③12. （5分）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2BC=2，若此长方体的八个顶点都在体积为9π2的球面上.则此长方体的表面积为( )A.16B.18C.20D.2213. （5分）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S=√14[(ab)2−(a2+b2−c22)2]．根据此公式，若a cos B+(b+3c)cos A=0，且a2−b2−c2=2，则△ABC的面积为（）A.√2B.2√2C.√6D.2√314. （5分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin A=2，b(tan A+tan B)= 2c tan B，则△ABC面积最大值为（）A.√63B.2√33C.√64D.3√34卷II（非选择题）二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分，）15. 若直线y＝kx+b是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝e x−2的切线，则b＝________．16. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4、S 2、S 3成等差数列，且a 2+a 3+a 4=−18，若S n ≥2016，则n 的取值范围为________．17. 某工厂在实验阶段大量生产一种零件，这种零件有A ，B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响，若有且仅有一项技术指标达标的概率为12，至少一项技术指标达标的概率为34.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品，任意依次抽取该种零件4个，设ζ表示其中合格品的个数，则E ζ________.18. 已知双曲线 C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 上存在两点A ，B 关于直线 y =x −8 对称，且线段AB 的中点在直线 x −2y −14=0 上，则双曲线的离心率为________. 三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 12 分 ，共计60分 ， ）19. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱CC 1⊥底面ABC ，且CC 1=2AC =2BC ，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，点M 在侧棱CC 1上运动．(1)当M 是棱CC 1的中点时，求证：CD // 平面MAB 1；(2)当直线AM 与平面ABC 所成的角的正切值为32时，求二面角A −MB 1−C 1的余弦值．20. 已知抛物线C:x 2=2y ，过点A (0,1)且互相垂直的两条动直线l 1,l 2与抛物线C 分别交于P ，Q 和M ，N . (1)求四边形MPNQ 面积的取值范围；(2)记线段PQ 和MN 的中点分别为E ，F ，求证：直线EF 恒过定点.21. 已知f(x)=x −12(ln x)2−k ln x −1(k ∈R). (1)若f(x)是(0，+∞)上的增函数，求k 的取值范围；(2)若函数f(x)有两个极值点，判断函数f(x)零点的个数.22. 某地农民种植A 种蔬菜，每亩每年生产成本为7000元，A 种蔬菜每亩产量及价格受天气、市场双重影响，预计明年雨水正常的概率为23，雨水偏少的概率为 13．若雨水正常，A 种蔬菜每亩产量为2000公斤，单价为6元/公斤的概率为14，单价为3元/公斤的概率为34； 若雨水偏少，A 种蔬菜每亩产量为1500公斤，单价为6元/公斤的概率为 23，单价为3元/公斤的概率为13． （1）计算明年农民种植A 种蔬菜不亏本的概率；（2）在政府引导下，计划明年采取“公司加农户，订单农业”的生产模式，某公司未来不增加农民生产成本，给农民投资建立大棚，建立大棚后，产量不受天气影响，因此每亩产量为2500公斤，农民生产的A 种蔬菜全部由公司收购，为保证农民的每亩预期收入增加1000元，收购价格至少为多少？23. 某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形ABC 的边角地辟为植物新品种实验基地，图中DE 需把基地分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上．（1）设AD =x(x ≥10)，ED =y ，试用x 表示y 的函数关系式；（2）如果DE 是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，DE 的位置应该在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的位置又应该在哪里？说明理由．参考答案与试题解析 2020年7月10日高中数学一、 选择题 （本题共计 14 小题 ，共计70分 ） 1.【解答】解：因为B ={x|1<(12)x<2}，所以B ={x|−1<x <0}， 因为集合A ={x|x ≤−12}， 所以∁R A ={x|x >−12}，(∁R A)∩B ={x|−12<x <0}. 故选B . 2. 【解答】解：复数z =(1+i)21−i=2i1−i=2i(1+i)(1−i)(1+i)=i −1， 则|z|=√12+(−1)2=√2． 故选B . 3. 【解答】解：∵ c =201812019>20180=1，1=log 20182018>a =log 2018√2019=12log 20182019>12，b =log 2019√2018=12log 20192018<12，∴ a ，b ，c 的大小关系为c >a >b ． 故选C . 4.【解答】解：由已知试验范围为[2, 4]，可得区间长度为2，利用0.618法选取试点：x 1=2+0.618×(4−2)=3.236，x 2=2+4−3.236=2.764，∵x1处的结果比x2处好，则x3为4−0.618×(4−3.236)=3.528故选C．5.【解答】解：由函数解析式得：x≠0，函数f(x)是偶函数，排除C，D；x>0时，f(x)=x−ln xx2，f′(x)=1−1x+2ln xx3，且f′(1)=0，所以f(x)的极值点为1，故排除A．故选B．6.【解答】解：Δ=(2a)2−4×3×3>0,解得a>3或a<−3（舍），∴ a=4,5,6,∴ P=36=12.故选B.7.【解答】此题暂无解答8.【解答】此题暂无解答9.【解答】解：设等差数列的公差为，，，化为：，即，给出下列结论：．，正确；．，可能大于，也可能小于，因此不正确；．，正确；．，正确．故选，，．10.【解答】方法一：由题意可知B为F1N的中点，连接OB，所以|OB|=12|F2N|=12(|MN|−|MF2|)，由|MN|＝|MF1|，所以|OB|=12(|MN|−|MF2|)=12(|MF1|−|MF2|)<12|F1F2|=√3，所以0<|OB|<√3；方法二：当点M在椭圆与y轴交点处时，点B与原点O重合，此时|OB|取最小值0．当点P在椭圆与x轴交点处时，点M与焦点F1重合，此时|OB|取最大值√3．因为x0y0≠0，所以|OB|的取值范围是(0, √3)．11.【解答】解：①f(−x)=cos|−x|+|cos(−x)|=cos|x|+|cos x|=f(x)，∴f(x)是偶函数，故①正确；②当x∈(−π2,0)时，f(x)=cos x+cos x=2cos x，此时f(x)在(−π2,0)单调递增，故②正确；③当x∈[π2,π]时，f(x)=cos x−cos x=0，此时有无数个零点，故③错误；④当x>0时，f(x)=cos x+|cos x|≤|cos x|+|cos x|≤2，当x=π2+2kπ(k≥0,k∈Z)等号成立，又∵f(x)是偶函数，∴f(x)的最大值为2，故④正确.故选A.12.【解答】解：由球体积为9π2知，球半径R=32，又(2R)2=AB2+BC2+AA12，所以AA1=2，所以长方体的表面积为2×(2×2+2×1+2×1)=16. 故选A.13.【解答】解：由a cos B+(b+3c)cos A=0及正弦定理，可得sin A cos B+cos A sin B+3sin C cos A=0，即sin(A+B)+3sin C cos A=0，即sin C(1+3cos A)=0，因为sin C≠0，所以cos A=−13，由余弦定理可得a2−b2−c2=−2bc cos A=23bc=2，解得bc=3，由△ABC的面积公式可得，S=√14[(bc)2−(c2+b2−a22)2]=√14[32−(−1)2]=√2.14.【解答】解：∵asin A=2，∴由正弦定理asin A =bsin B=csin C，可得b=2sin B，c=2sin C，∵b(tan A+tan B)=2c tan B，可得b(sin Acos A +sin Bcos B)=2c⋅sin Bcos B，∴由正弦定理可得：sin B(sin Acos A +sin Bcos B)=2sin C⋅sin Bcos B，整理可得：sin B⋅sin A cos B+sin B cos Acos A cos B =2sin C⋅sin Bcos B，∴sin B⋅sin Ccos A cos B =2sin C⋅sin Bcos B，∵sin C≠0，sin B≠0，cos B≠0，∴解得cos A=12，由A∈(0, π)，可得A=π3，∴S△ABC=12bc sin A=√34bc=√34×2sin B×2sin C=√3sin B sin C=√3sin B sin(2π3−B)=√3sin B(√32cos B+12sin B)=√32sin(2B−π6)+√34，∵B∈(0,2π3)，∴2B−π6∈(−π6, 7π6)，∴S△ABC=√32sin(2B−π6)+√34≤3√34，当且仅当2B−π6=π2，即B=π3时等号成立，∴△ABC面积最大值为3√34．故选D.二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）15.设y＝kx+b与y＝e x−2和y＝ln x的切点分别为(x1, e x1−2)、(x2, ln x2)；由导数的几何意义可得k=e x1−2=1x2，曲线y＝e x−2在(x1, e x1−2)处的切线方程为y−e x1−2=e x1−2(x−x1)，即y=e x1−2⋅x+(1−x1)e x1−2，曲线y＝ln x在点(x2, ln x2)处的切线方程为y−ln x2=1x2(x−x2)，即y=1x2x+ln x2−1，则{e x1−2=1x2(1−x1)e x1−2=ln x2−1，∴(1x2−1)(ln x2−1)＝0，解得x2＝1，或x2＝e．当x2＝1时，切线方程为y＝x−1，即b＝−1，当x2＝e时，切线方程为y=xe，b＝0．∴b＝−1或0．16.【解答】解：设等比数列的公比为，∵、、成等差数列，∴，∴，又，∴，解得，∵，∴，化为，当为偶数时，不成立，舍去．当为奇数时，化为，解得：．∴的取值范围为大于等于的奇数．故答案为：大于等于的奇数．17.【解答】解：由题得至少一项技术指标达标的概率为34，故不合格的概率为14，又因为有且仅有一项技术指标达标的概率为12，所以合格品的概率为P=1−12−14=14.故Eζ=4×14=1. 故答案为：1. 18.【解答】解：设，，线段的中点的坐标为，则有由②①得，.∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴∵点在直线上，∴，∴，，∴，，即双曲线的离心率为.故答案为：.三、解答题（本题共计 5 小题，每题 12 分，共计60分）19.【解答】(1)证明：取线段AB的中点E，连接DE，EM．∵AD=DB，AE=EB，∴DE // BB1，ED=1BB1，2BB1．又M为CC1的中点，∴CM // BB1，CM=12∴四边形CDEM是平行四边形．∴CD // EM，又EM⊂MAB1，CD⊄MAB1∴CD // 平面MAB1；(2)解：∵CA，CB，CC1两两垂直，∴ 以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．∵ 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱CC 1⊥底面ABC ，可得∠MAC 为直线AM 与平面ABC 所成的角，设AC =1，tan ∠MAC =32，得CM =32∴ C(0, 0, 0)，A(1, 0, 0)，B(0, 1, 0)，B 1(0, 1, 2)，M(0, 0, 32)，AM →=(−1,0,32)，AB 1→=(−1,1,2) 设AMB 1的法向量为n →=(x,y,z)，{AM →⋅n →=−x +32z =0AB 1→⋅n →=−x +y +2z =0 可取n →=(3,−1,2)又平面B 1C 1CB 的法向量为CA →=(1,0,0)．cos <n →,CA →>CA →⋅n→|n →||CA →|=3√1414． ∵ 二面角A −MB 1−C 1为钝角，∴ 二面角A −MB 1−C 1的余弦值为−3√1414．20.【解答】(1)解：由题意可知：两直线l 1，l 2的斜率一定存在，且不等于0，设l 1：y =kx +1(k ≠0)，P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2) ，则 l 2：y =−1k x +1(k ≠0)， 联立直线l 1与抛物线的方程得：{y =kx +1，x 2=2y ，⇒x 2−2kx −2=0，其中Δ=4k 2+8>0 ,由韦达定理得：{x 1+x 2=2k ，x 1x 2=−2，由上可得|PQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=√(1+k 2)(8+4k 2) ，同理 |MN|=√(1+1k 2)(8+4k 2)， 则四边形MPNQ 面积S =12|PQ||MN|=12√(2+k 2+1k 2)(80+32k 2+32k 2)， 令k 2+1k 2=t ≥2，则S =12√(2+t)(80+32t)=√8t 2+36t +40， ∴ 当且仅当t =2 ，即 k =±1 时 ，S 取得最小值12， 且当 t →+∞ 时，S →+∞，故四边形MPNQ 面积的范围是[12,+∞).(2)证明：由(1)有x 1+x 2=2k ，y 1+y 2=2k 2+2，∴ PQ 的中点E 的坐标为(k,k 2+1) ，同理点 F 的坐标为 (−1k ,1k 2+1)，于是，直线EF 的斜率为：k EF =k 2+1−(1k 2+1)k+1k =k 2−1k 2k+1k =k −1k ， 则直线EF 的方程为：y −(k 2+1)=(k −1k )(x −k)⇒y =(k −1k )x +2，∴ 直线EF 恒过定点(0,2).21.【解答】解：(1)由f(x)=x−12(ln x)2−k ln x−1得：f′(x)=x−ln x−kx，由题意知f′(x)≥0恒成立，即x−ln x−k≥0，设F(x)=x−ln x−k，F′(x)=1−1x，x∈(0,1)时，F′(x)<0，F(x)递减，x∈(1,+∞)时，F′(x)>0，F(x)递增；故F(x)min=F(1)=1−k≥0，即k≤1，故k的取值范围是(−∞,1].(2)当k≤1时，f(x)单调，无极值；当k>1时，F(1)=1−k<0，一方面，F(e−k)=e−k>0，且F(x)在(0,1)递减，所以F(x)在区间(e−k,1)有一个零点.另一方面F(e k)=e k−2k，设g(k)=e k−2k(k>1)，则g′(k)=e k−2>0，从而g(k)在(1,+∞)递增，则g(k)>g(1)=e−2>0，即F(e k)>0，又F(x)在(1,+∞)递增，所以F(x)在区间(1,e k)有一个零点. 因此，当k>1时，f′(x)在(e−k,1)和(1,e k)各有一个零点，将这两个零点记为x1，x2(x1<1<x2)，当x∈(0,x1)时，F(x)>0，即f′(x)>0；当x∈(x1,x2)时，F(x)<0，即f′(x)<0；当x∈(x2,+∞)时F(x)>0，即f′(x)>0；从而f(x)在(0,x1)递增，当(x1,x2)递减，在(x2,+∞)递增；于是x1是函数的极大值点，x2是函数的极小值点.下面证明：f(x1)>0，f(x2)<0由f′(x1)=0得x1−ln x1−k=0，即k=x1−ln x1，由f(x1)=x1−12(ln x1)2−k ln x1−1得f(x1)=x1−12(ln x1)2−(x1−ln x1)ln x1−1=x1+12(ln x1)2−x1ln x1−1,令m(x)=x+12(ln x)2−x ln x−1,则m′(x)=(1−x)ln xx，①当x∈(0,1)时，m′(x)<0，m(x)递减，m(x)>m(1)=0，x1<1，故f(x1)>0；②当x∈(1,+∞)时m′(x)<0，m(x)递减，则m(x)<m(1)=0，x2>1，故f(x2)<0；一方面，因为f(e−2k)=e−2k−1<0，又f(x1)>0，且f(x)在(0,x1)递增，所以f(x)在(e−2k,x1)上有一个零点，即f(x)在(0,x1)上有一个零点.另一方面，根据e x>1+x(x>0)得e k>1+k，则有：f(e4k)=e4k−12k2−1>(1+k)4−12k2−1=k4+4k(k−34)2+74k>0又f(x2)<0，且f(x)在(x2,+∞)递增，故f(x)在(x2,e4k)上有一个零点，即f(x)在(x2,+∞)上有一个零点.又f(1)=0，故f(x)有三个零点.22.【解答】解：（1）只有当价格为6元/公斤时，农民种植A种蔬菜才不亏本所以农民种植A种蔬菜不亏本的概率是P=23×14+13×23=718，（2）按原来模式种植，设农民种植A种蔬菜每亩收入为ξ元，则ξ可能取值为：5000，2000，−1000，−2500．P(ξ=5000)=23×14=16，P(ξ=2000)=13×23=29，P(ξ=−1000)=23×34=12，P(ξ=−2500)=13×13=19，Eξ=5000×16+2000×29−1000×12−2500×19=500，设收购价格为a元/公斤，农民每亩预期收入增加1000元，则2500a≥700+1500，即a≥3.4，所以收购价格至少为3.4元/公斤，23.【解答】解：（1）∵的边长是米，在上，则，，∴，故，在三角形中，由余弦定理得：，；（2）若作为输水管道，则需求的最小值，∴，当且仅当即时“”成立．。
2021年一般高等学校招生全国统一考试数学模拟试题(理工类)
绝密★启用并利用完毕前2021年一般高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（理工类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页，共4页，总分值150分，考试时刻120分钟，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，考试终止后，将本试题卷和答题卡一并交回。
命题人：雅安中学 黄潘第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：必需利用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
第Ⅰ卷共10小题。
一、选择题：本大题共10 小题，每题5分，共50分。
在每题给出的四个选项中，只有一个 是符合题目要求的。
1．已知集合2{|230}A x x x =--<,2{|log 2}B x x =<，则AB =（A ）(1,4)- （B ）(1,3)- （C ）(0,3) （D ）(0,4)2．假设复数3i(R,i 12ia a +∈-为虚数单位)为纯虚数，那么实数a 的值为 （A ）6-（B ）2-（C ）4（D ）63．函数2cos(2)2y x π=-是（A ）最小正周期为π的奇函数 （B ）最小正周期为π的偶函数 （C ）最小正周期为2π的奇函数（D ）最小正周期为2π的偶函数 4．等差数列{}n a 中，已知112a =-，130S =，那么使得0n a >的最小正整数n 为 （A ）7（B ）8（C ）9（D ）105．直线0x y m -+=与圆22210x y x +--=有两个不同交点的一个充分没必要要条件是 （A ）31m -<<（B ）42m -<<（C ）1m <（D ）01m <<6．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，要求1不在首位，3不在百位的五位数共有（A ）72个 （B ）78个 （C ）96个 （D ）54个7．概念某种运算⊕，a b ⊕的运算原理如右框图所示，设1S x =⊕，[2,2]x ∈-，那么输出的S 的最大值与最小值的差为（A ）2 （B ）1- （C ）4（D ）38．以下命题:①假设直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α；②假设直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都平行；③假设是两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与那个平面平行； ④假设直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点． 其中正确的个数是 （A ）1（B ）2（C ）3 （D ）49．已知抛物线24y x =的核心为F ，准线为l ，点P 为抛物线上任意一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，||4PF =，那么直线AF 的倾斜角等于（A ）712π （B ）23π （C ）34π （D ）56π 10．已知函数()f x 对概念域R 内的任意x 都有()(4)f x f x =-，且当2x ≠时，其导函数()f x ' 知足()2()xf x f x ''>，若24a <<，则（A ）2(2)(3)(log )af f f a << （B ）2(3)(log )(2)af f a f << （C ）2(log )(3)(2)af a f f <<（D ）2(log )(2)(3)af a f f <<第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：必需利用黑色签字笔或钢笔在答题卡上作答。
2021届高三第一次模拟考试卷 理科数学(一) 教师版
12021届高三第一次模拟考试卷理 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|02}P x x =≤≤，集合2{|34}Q x x x =+<，则P Q =（ ）A ．[0,1]B ．(1,2]C ．[0,2]D ．(1,2)【答案】B【解析】由234x x +<，得13x <<，所以(1,3)Q =，故(1,2]P Q =．2．已知复数z 满足(2i)1i z -=+，则z =（ ）A ．13i 55+B ．31i 55+C ．13i 55-D ．31i 55-【答案】C 【解析】1i (1i)(2i)13i 13i 2i (2i)(2i)555z ++++====+--+，故13i 55z =-． 3．已知3sin 3cos 2αα+=，则πcos()3α-的值为（ ）A ．13B ．13-C ．33D ．33-【答案】C【解析】因为3sin 3cos 2αα+=，所以133(cos sin )122αα+=， 即ππ3cos cossin sin 333αα+=，所以π3cos()33α-=． 4．执行如图所示的程序框图，若输入的6a =，3b =，则输出的x 的值是（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．2-【答案】C【解析】执行程序框图，6,3,3a b x ===；4,5,1b a x ===；2,4,2b a x ===；3,3,0b a x ===，此时退出循环，故输出的x 的值是0．5．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布15项“世界互联网领先科技成果”，有5项成果属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端AI 芯片“思元270”赛灵思“Versal自适应计算加速平台”．若从这15项“世界互联网领先科技成果”中任选3项，则至少有一项属于“芯片领域”的概率为（ ）A ．6791B ．2491C ．7591D ．1691【答案】A【解析】由已知得，这15项“世界互联网领先科技成果”中有5项成果属于芯片领域．记“从这15项‘世界互联网领先科技成果’中任选3项，至少有一项属于‘芯片领域’”为事件A ， 则A 为“选出的3项都不属于‘芯片领域’”，因为310315C 24()C 19P A ==，所以24()1()6791191P A P A =-=-=．6．函数23π(1)cos()2()x x f x x-+=的图象大致为（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号。
2021年高三高考模拟数学(理)试题(一)含答案
2021年高三高考模拟数学（理）试题（一）含答案一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1.设是等差数列的前项和，，则的值为( )A. B. C. D.2、如果是二次函数, 且的图象开口向上,顶点坐标为（1,）, 那么曲线上任一点的切线的倾斜角的取值范围是（）A． B． C． D．3、在中，，，是边上的高，则的值等于（）A．0 B． C．4 D．4、已知数列为等比数列，且. ,则=（）A．B. C．D．5、已知等比数列的公比，且成等差数列，则的前8项和为（）A. 127B. 255C. 511D. 10236、已知函数（其中）的部分图象如右图所示，为了得到的图象，则只需将的图象（）A.向右平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向左平移个长度单位7、函数的零点个数为（）A. 1B.2C. 3D.48、设集合，集合.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．9、在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足→→→→→→→→BCRAQCQA，，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为RBQB++==++CARC（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:510、定义域为的偶函数满足对，有，且当 时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷 非选择题 （共100分）二、填空题：（本题共5个小题，每小题5分，共25分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）11、已知函数的图象与直线交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为 。
12、由曲线与直线所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是13、在等比数列中，若，则 。
14、在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则 ．15、设，其中. 若对一切恒成立，则 ① ； ② ；③ 既不是奇函数也不是偶函数；④ 的单调递增区间是；⑤ 存在经过点的直线与函数的图象不相交．以上结论正确的是__________________（写出所有正确结论的编号）．三、解答题（共6个题， 共75分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）16.（本小题满分12分）如图，角为钝角，且，点、分别是在角的两边上不同于点的动点.（1）若=5， =，求的长；（2）设)2sin(,1312cos ,,βααβα+==∠=∠求且AQP APQ 的值.17.（本小题满分12分）某连锁超市有、两家分店，对该超市某种商品一个月30天的销售量进行统计：分店的销售量为200件和300件的天数各有15天；分店的统计结果如下表：（1）根据上面统计结果，求出分店销售量为200件、300件、400件的频率；（2）已知每件该商品的销售利润为1元，表示超市、两分店某天销售该商品的利润之和，若以频率作为概率，且、两分店的销售量相互独立，求的分布列和数学期望.18.（本小题满分12分）如图，为矩形，为梯形，平面平面，，.（1）若为中点，求证：∥平面；（2）求平面与所成锐二面角的大小．19.（本小题满分1分）已知数列中，，且当时，，.记的阶乘！（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列为等差数列；（3）若，求的前n项和.20.（本小题满分13分）已知椭圆：（）的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹的方程；（3）设O为坐标原点，取上不同于O的点S，以OS为直径作圆与相交另外一点R，求该圆面积的最小值时点S的坐标．21.（本小题满分14分）已知函数，函数是函数的导函数.（1）若，求的单调减区间；（2）若对任意，且，都有，求实数的取值范围；（3）在第（2）问求出的实数的范围内，若存在一个与有关的负数，使得对任意时恒成立，求的最小值及相应的值.高三数学（理）模拟试题一答案DBBCB ABBBB11、-1，12、 13、 14、 15、①②③16. 解：（1）是钝角，，…………………………1分在中，由余弦定理得：所以…………………………4分解得或（舍去负值），所以…………………………6分（2）由…………………………7分在三角形APQ中，又…………………………8分…………………………9分………11分………………………12分17. 解：（1）B分店销售量为200件、300件、400件的频率分别为，和……3分（2）A分店销售量为200件、300件的频率均为，…………4分的可能值为400，500，600，700，且………5分P（=400）=，P（=500）=，P（=600）=，P（=700）=，………9分的分布列为400 500 600 700P……………10分=400+500+600+700=（元）…………………12分18.（1）证明：连结,交与,连结，中，分别为两腰的中点∴……………2分因为面,又面，所以平面……………4分（2）解法一：设平面与所成锐二面角的大小为，以为空间坐标系的原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则…6分设平面的单位法向量为，则可设…………………………7分设面的法向量，应有即：解得：，所以………………………………………10分∴…………………………………………………11分所以平面与所成锐二面角为60°………………………………………12分 解法二：延长CB 、DA 相交于G ，连接PG ，过点D 作DH ⊥PG ，垂足为H ，连结HC ……………………6分∵矩形PDCE 中PD ⊥DC ，而AD ⊥DC ，PD ∩AD =D∴CD ⊥平面P AD ∴CD ⊥PG ，又CD ∩DH =D∴PG ⊥平面CDH ，从而PG ⊥HC ………………8分∴∠DHC 为平面P AD 与平面PBC 所成的锐二面角的平面角 ………………………………………………9分在△中，，可以计算……………….10分在△中， ……………………………11分所以平面与所成锐二面角为60°………………………………………12分19. 解：（1）, ，123(1)(1)(2)n n n n a na n n a n n n a ---==-=--=⋅⋅⋅！ ………………………………………2分又，！ ……………………………………………………3分（2）由两边同时除以得即 …4分∴数列是以为首项，公差为的等差数列 ………………………5分，故 …………………………6分（3）因为12111,22(1)(2)12n n n n n a b n a n n n n -+==--=-⋅++++ ……………8分 记= 1111111111()()()()2334451222n A n n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-=-+++……10分 记的前n 项和为则 ①∴12121222(1)22n n n B n n -=-⋅-⋅-⋅⋅⋅--⋅-⋅ ②由②-①得：………………………………………………………………………………11分∴=…………12分20. 解：（1）解：由，得，再由，解得 ………1分由题意可知，即 ………………………………2分解方程组得 ……………………………………3分所以椭圆C 1的方程是 ……………………………………………3分（2）因为，所以动点到定直线的距离等于它到定点（1，0）的距离，所以动点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，…6分所以点的轨迹的方程为 ………………………………………7分（3）因为以为直径的圆与相交于点，所以∠ORS = 90°，即 (8)分设S （，），R （，），＝（-，-），=（，） 所以222221*********()()()()016y y y OR SR x x x y y y y y y -⋅=-+-=+-= 因为，，化简得 …………………………9分所以221222256323264y y y =++≥=， 当且仅当即＝16，y 2＝±4时等号成立. ………………………10分圆的直径|OS|==== 因为≥64，所以当＝64即=±8时，， ……………12分所以所求圆的面积的最小时，点S 的坐标为（16，±8）……………………13分21. 解：（1）当时，， …………………1分由解得 ……………………2分当时函数的单调减区间为； (3)分 （2）易知 X k B 1 . c o m依题意知222121*********()4()2222x x x x ax x ax x a +++-++-=+-- X k B 1 . c o m …………………………………………………………5分因为，所以，即实数的取值范围是 ；………………6分（3）解法一：易知，.显然，由（2）知抛物线的对称轴 ………………7分①当即时，且令解得 ……………………8分此时取较大的根，即 …………………9分， ………………………10分②当即时，且 X k B 1 . c o m令解得 ……………………11分此时取较小的根，即 ………………12分， 当且仅当时取等号 …………13分由于，所以当时，取得最小值 ……………………14分解法二：对任意时，“恒成立”等价于“且”由（2）可知实数的取值范围是故的图象是开口向上，对称轴的抛物线……7分①当时，在区间上单调递增，∴，要使最小，只需要………8分若即时，无解若即时，………………9分解得（舍去）或故（当且仅当时取等号）…………10分②当时，在区间上单调递减，在递增，则，…………………11分要使最小，则即……………………………………………………………12分解得（舍去）或（当且仅当时取等号）……13分综上所述，当时，的最小值为. (14)分234435 8683 蚃Vj27014 6986 榆33180 819C 膜35775 8BBF 访21571 5443 呃24697 6079 恹31926 7CB6 粶7 S36221 8D7D 赽>。
2021年高考数学模拟试卷 理(一)(含解析)
2021年高考数学模拟试卷理（一）（含解析）一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项选出）1．设集合M={m∈Z|﹣3＜m＜2}，N={n∈N|﹣1≤n≤3}，则M∩N=（） A． {0，1} B． {﹣1，0，1} C． {0，1，2} D． {﹣1，0，1，2}2．已知x，y∈R，则“x•y＞0”是“x＞0且y＞0”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数f（x）=的定义域为（）A． B． C． D． [1，+∞）4．已知α∈（﹣，0），cosα=，则tanα等于（）A．﹣ B．﹣ C． D．5．直线l1：（a﹣1）x+y﹣1=0和l2：3x+ay+2=0垂直，则实数a的值为（）A． B． C． D．6．已知点A（﹣1，1），B（﹣4，5），若，则点C的坐标为（）A．（﹣10，13） B．（9，﹣12） C．（﹣5，7） D．（5，﹣7）7．已知函数，则f（0）等于（）A．﹣3 B． C． D． 38．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同 D．甲比乙先到达终点9．已知函数，若f（2）=f（﹣2），则k=（）A． 1 B．﹣1 C． 2 D．﹣210．二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交点的横坐标为﹣5和3，则这个二次函数的单调减区间为（）A．（﹣∞，﹣1] B． [2，+∞） C．（﹣∞，2] D． [﹣1，+∞）11．函数y=sinxsin（﹣x）的最小正周期是（）A． B．π C． 2π D． 4π12．从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（）A． B． C． D．13．某工厂去年的产值为160万元，计划在今后五年内，每一年比上一年产值增加5%，那么从今年起到第五年这个工厂的总产值是（）A． 121.55 B． 194.48 C． 928.31 D． 884.1014．直线x+y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交于A，B两点，则弦|AB|=（）A． B． C． D．15．已知二项式（﹣）n的展开式的第6项是常数项，则n的值是（）A． 5 B． 8 C． 10 D． 1516．已知实数x，y满足，则z=4x+y的最大值为（）A． 10 B． 8 C． 2 D． 017．在正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，则下列结论错误的是（）A．异面直线AB与CD所成的角为90°B．直线AB与平面BCD成的角为60°C．直线EF∥平面ACDD．平面AFD垂直平面BCD18．某商场以每件30元的价格购进一种玩具．通过试销售发现，逐渐提高售价，每天的利润增大，当售价提高到45元时，每天的利润达到最大值为450元，再提高售价时，由于销售量逐渐减少利润下降，当售价提高到60元时，每天一件也卖不出去．设售价为x，利润y是x的二次函数，则这个二次函数的解析式是（）A． y=﹣2（x﹣30）（x﹣60） B． y=﹣2（x﹣30）（x﹣45）C． y=（x﹣45）2+450 D． y=﹣2（x﹣30）2+45019．函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，如果，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A． B． C． D． 120．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A． B．C． D．二、填空题（本大题5小题，每题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21．关于x的不等式ax2﹣5x+b＜0的解集是（2，3），则a+b的值等于．22．已知=（cosx，sinx），=（cosx+sinx，sinx﹣cosx），x∈R，则＜，＞的值是．23．过抛物线y2=4x的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，则= ．24．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．25．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示．若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为．三、解答题（本大题5小题，共40分．请在答题卡相应的题号处写出解答过程）26．已知等差数列{a n}满足：a5=5，a2+a6=8．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=2，求数列{b n}的前n项和S n．27．已知函数f（x）=x+（1）求证：函数y=f（x）是奇函数；（2）若a＞b＞1，试比较f（a）和f（b）的大小．28．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=（b+a，﹣c），=（b﹣a，a+c），且；（1）求角B的值；（2）若a=6，b=6，求△ABC的面积．29．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD的中点．（1）证明：PB∥平面ACM；（2）证明：AD⊥平面PAC．30．焦点在x轴上的椭圆C的一个顶点与抛物线E：x2=4y的焦点重合，且离心率e=，直线l经过椭圆C的右焦点与椭圆C交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若•=﹣2，求直线l的方程．xx年山东省青岛市高考数学模拟试卷（理科）（一）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项选出）1．设集合M={m∈Z|﹣3＜m＜2}，N={n∈N|﹣1≤n≤3}，则M∩N=（）A． {0，1} B． {﹣1，0，1} C． {0，1，2} D． {﹣1，0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由题意知集合M={m∈z|﹣3＜m＜2}，N={n∈N|﹣1≤n≤3}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．解答：解：∵M={﹣2，﹣1，0，1}，N={﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N={﹣1，0，1}，故选：B．点评：此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．2．已知x，y∈R，则“x•y＞0”是“x＞0且y＞0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：我们可先判断x•y＞0”时，x＞0且y＞0是否成立，再判断x＞0且y＞0时，x•y ＞0”是否成立，再根据充要条件的定义即可得到结论．解答：解：若x•y＞0”时，如x=﹣1，y=﹣1，则x•y＞0，即x＞0且y＞0不成立，故命题：x•y＞0”⇒命题乙：x＞0且y＞0为假命题；若x＞0且y＞0成立，则x•y＞0一定成立，即⇒x•y＞0为真命题故命题x＞0且y＞0成立⇒命题x•y＞0也为真命题故“x•y＞0”是“x＞0且y＞0”的必要不充分条件故选：B点评：本题考查的知识点是充要条件的定义，我们先判断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论是解答本题的关键．3．函数f（x）=的定义域为（）A． B． C． D． [1，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：要使函数有意义，则需2x﹣1≥0，且1﹣x＞0，解得即可得到定义域．解答：解：要使函数有意义，则需2x﹣1≥0，且1﹣x＞0，解得，，则定义域为[，1）．故选A．点评：本题考查函数的定义域的求法，注意偶次根式被开方式非负，对数的真数大于0，属于基础题．4．已知α∈（﹣，0），cosα=，则tanα等于（）A．﹣ B．﹣ C． D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：利用同角三角函数间的关系式可求得sinα的值，继而可得tanα的值．解答：解：∵α∈（﹣，0），cosα=，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==﹣．故选：A．点评：本题考查同角三角函数间的关系式，考查运算求解能力，属于基础题．5．直线l1：（a﹣1）x+y﹣1=0和l2：3x+ay+2=0垂直，则实数a的值为（）A． B． C． D．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由已知得3（a﹣1）+a=0，由此能求出结果．解答：解：∵直线l1：（a﹣1）x+y﹣1=0和l2：3x+ay+2=0垂直，∴3（a﹣1）+a=0，解得a=．故选：D．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用．6．已知点A（﹣1，1），B（﹣4，5），若，则点C的坐标为（）A．（﹣10，13） B．（9，﹣12） C．（﹣5，7） D．（5，﹣7）考点：向量数乘的运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的坐标公式进行求解即可．解答：解：设C（x，y），则由，得（x+4，y﹣5）=3（3，﹣4）=（9，﹣12），即，得，即C（5，﹣7），故选：D点评：本题主要考查向量的坐标公式以及向量运算，比较基础．7．已知函数，则f（0）等于（）A．﹣3 B． C． D． 3考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题．分析：由已知中函数，要求f（0）的值，可令g（x）=0，求出对应x值后，代入可得答案．解答：解：令g（x）=1﹣2x=0则x=则f（0）===3故选D点评：本题考查的知识点是函数求值，其中根据g（x）=0，求出对应x值，是解答本题的关键．8．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同 D．甲比乙先到达终点考点：函数的表示方法．专题：规律型．分析：根据图象法表示函数，观察甲，乙的出发时间相同；路程S相同；到达时间不同，速度不同来判断即可．解答：解：从图中直线的看出：K甲＞K乙；S甲=S乙；甲、乙同时出发，跑了相同的路程，甲先与乙到达．故选D．点评：本题考查函数的表示方法，图象法．9．已知函数，若f（2）=f（﹣2），则k=（）A． 1 B．﹣1 C． 2 D．﹣2考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的解析式和f（2）=f（﹣2）列出方程，由对数、指数的运算求出k 的值．解答：解：∵，且f（2）=f（﹣2），∴，则2﹣2k﹣1=2，即﹣2k﹣1=1，解得k=﹣1，故选：B．点评：本题考查分段函数的函数值，以及对数、指数的运算，属于基础题．10．二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交点的横坐标为﹣5和3，则这个二次函数的单调减区间为（）A．（﹣∞，﹣1] B． [2，+∞） C．（﹣∞，2] D． [﹣1，+∞）考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意得到函数的对称轴，结合二次项系数大于0，从而求出函数的递减区间．解答：解：若二次函数的图象与x轴交点的横坐标为﹣5和3，∴对称轴x==﹣1，∵a＞0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣1]递减，在（﹣1，+∞）递增，故选：A．点评：本题考查了二次函数的性质，求出函数的对称轴是解答本题的关键，本题是一道基础题．11．函数y=sinxsin（﹣x）的最小正周期是（）A． B．π C． 2π D． 4π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由诱导公式及二倍角公式可求函数解析式为：y=sin2x，由三角函数的周期性及其求法即可得解．解答：解：∵y=sinxsin（﹣x）=sinxcosx=sin2x∴最小正周期T=．故选：B．点评：本题主要考查了诱导公式及二倍角公式，三角函数的周期性及其求法的应用，属于基本知识的考查．12．从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（）A． B． C． D．考点：等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：试验包含的所有事件是从4个人安排两人，共12种，其中事件“星期六安排一名男生、星期日安排一名女生”包含4种，再由概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是从4个人安排两人，总共有C42A22=12种．其中期六安排一名男生、星期日安排一名女生，总共有C21C21=4种，∴其中至少有1名女生的概率P=．故选：A点评：古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体．13．某工厂去年的产值为160万元，计划在今后五年内，每一年比上一年产值增加5%，那么从今年起到第五年这个工厂的总产值是（）A． 121.55 B． 194.48 C． 928.31 D． 884.10考点：等比数列的性质；有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：由题意依次列出每年的产值，构成等比数列，求和可得．解答：解：由题意知，去年产值是160万，第一年要比去年产值增加5%，故第一年就是160（1+0.05）=1.05×160第二年又比第一年增加5%，第二年是160（1+0.05）（1+0.05）=160×1.052，依此类推，第五年是160×1.055，在每年的产值，构造一个等比数列，∴5年总产值为：S==884.10，故选：D点评：本题主要考查函数的应用问题，根据条件结合等比数列的求和公式是解决本题的关键．14．直线x+y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交于A，B两点，则弦|AB|=（）A． B． C． D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线x﹣y﹣1=0的距离d，即可得出弦长|AB|．解答：解：由圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得圆心M（1，2），半径r=1．∴圆心到直线x+y﹣2=0的距离d==．∴弦长|AB|=2=2×=．故选：D．点评：本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，属于基础题．15．已知二项式（﹣）n的展开式的第6项是常数项，则n的值是（）A． 5 B． 8 C． 10 D． 15考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：根据二项式展开式的通项公式T r+1中第6项是常数项，列出方程，求出n的值．解答：解：∵二项式（﹣）n的展开式通项公式为T r+1=•=（﹣1）r•，且第6项是常数项，∴r=5时，=0，解得n=15；∴n的值是15．故选：D．点评：本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题目．16．已知实数x，y满足，则z=4x+y的最大值为（）A． 10 B． 8 C． 2 D． 0考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出足约束条件的平面区域，再将平面区域的各角点坐标代入进行判断，即可求出4x+y的最大值．解答：解：已知实数x、y满足，在坐标系中画出可行域，如图中阴影三角形，三个顶点分别是A（0，0），B（0，2），C（2，0），由图可知，当x=2，y=0时，4x+y的最大值是8．故选：B．点评：本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．17．在正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，则下列结论错误的是（）A．异面直线AB与CD所成的角为90°B．直线AB与平面BCD成的角为60°C．直线EF∥平面ACDD．平面AFD垂直平面BCD考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：过A作AG⊥CD，则G为CD中点，连接AG，AF，BG，DF，则BG⊥CD，DF⊥BC，利用正四面体的性质对选项分别分析选择．解答：解：如图过A作AG⊥CD，则G为CD中点，连接AG，AF，BG，DF，则BG⊥CD，DF ⊥BC，所以CD⊥平面ABG，所以CD⊥AB，故A正确；正四面体ABCD中，A在平面BCD的射影为O，则O在BG上，并且O为△BCD的中心，则直线AB与平面BCD成的角为∠ABO，又BO=，即=sin∠ABO，所以∠ABO≠60°；故B错误；正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥AC，EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，所以EF∥平面ACD；故C正确；因为几何体为正四面体，所以A在底面BCD的射影为底面的中心，所以AO⊥平面BCD，AO ⊂平面AFD，所以平面AFD⊥平面BCD；故D正确；故选：B．点评：本题以正四面体为载体，考查了线面平行、面面垂直的判定定理的运用以及空间角的求法；关键是转化为线线关系解决．18．某商场以每件30元的价格购进一种玩具．通过试销售发现，逐渐提高售价，每天的利润增大，当售价提高到45元时，每天的利润达到最大值为450元，再提高售价时，由于销售量逐渐减少利润下降，当售价提高到60元时，每天一件也卖不出去．设售价为x，利润y是x的二次函数，则这个二次函数的解析式是（）A． y=﹣2（x﹣30）（x﹣60） B． y=﹣2（x﹣30）（x﹣45）C． y=（x﹣45）2+450 D． y=﹣2（x﹣30）2+450考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可设解析式为y=a（x﹣45）2+450，其中a＜0，代入（60，0）可得a值，可得解析式．解答：解：由题意可得所求二次函数开口向下，顶点坐标为（45，450），故解析式为y=a（x﹣45）2+450，其中a＜0，再由题意可得当x=60时，y=0，代入解析式可得0=225a+450，解得a=﹣2，∴所求解析式为y=﹣2（x﹣45）2+450，变形可得y=﹣2（x﹣30）（x﹣60），故选：A．点评：本题考查待定系数法求二次函数的解析式，属基础题．19．函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，如果，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A． B． C． D． 1考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的对称性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出f（x1+x2）即可．解答：解：由图知，T=2×=π，∴ω=2，因为函数的图象经过（﹣），0=sin（﹣+ϕ）∵，所以ϕ=，∴，，所以．故选C．点评：本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，函数的对称性，考查计算能力．20．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A． B．C． D．考点：双曲线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．解答：解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为=1．故选：D．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题5小题，每题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21．关于x的不等式ax2﹣5x+b＜0的解集是（2，3），则a+b的值等于7 ．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：根据一元二次不等式与对应方程之间的关系，得出方程的两个根为2和3，再利用根与系数的关系求出a、b的值即可．解答：解：∵关于x的不等式ax2﹣5x+b＜0的解集是（2，3），∴关于x的方程ax2﹣5x+b=0的两个根为2和3，∴=2+3，=2×3；解得a=1，b=6；∴a+b=1+6=7．故答案为：7．点评：本题考查了一元二次不等式与对应方程之间的关系应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是基础题目．22．已知=（cosx，sinx），=（cosx+sinx，sinx﹣cosx），x∈R，则＜，＞的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由条件求得•、||=1、||的值，再根据cos＜，＞=，求得＜，＞的值．解答：解：由题意可得，•=cosx（cosx+sinx）=sinx（sinx﹣cosx）=1，||=1，||==2，∴cos＜，＞===，∴＜，＞=，故答案为：．点评：本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．23．过抛物线y2=4x的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，则= ﹣3 ．考点：抛物线的简单性质；平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由抛物线y2=4x与过其焦点（ 1，0）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x1，y1）、B（x2，y2）两点坐标，=x1•x2+y1•y2，由韦达定理可以求得答案．解答：解：由题意知，抛物线y2=4x的焦点坐标为（ 1，0），∴直线AB的方程为y=k（x ﹣1），由得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1•y2=k（x1﹣1）•k（x2﹣1）=k2[x1•x2﹣（x1+x2）+1]∴=x1•x2+y1•y2=，故答案为：﹣3．点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的关系，主要考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，关键是利用=x1•x2+y1•y2，进而得解．24．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方体的棱长．解答：解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，设正方体的棱长为a，所以正方体的体对角线长为：a，正方体的外接球的半径为：，球的体积为：，解得a=．故答案为：．点评：本题考查正方体与外接球的关系，注意到正方体的体对角线就是球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力．25．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示．若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A专业的人数为20 ．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图，求出视力在0.9以上的频率，即可得出该班学生中能报A专业的人数．解答：解：根据频率分布直方图，得：视力在0.9以上的频率为（1.00+0.75+0.25）×0.2=0.4，∴该班学生中能报A专业的人数为50×0.4=20；故答案为：20．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应利用频率分布直方图，会求某一范围内的频率以及频数，是基础题．三、解答题（本大题5小题，共40分．请在答题卡相应的题号处写出解答过程）26．已知等差数列{a n}满足：a5=5，a2+a6=8．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=2，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（1）由条件知：，得，∴{a n}的通项公式为a n=n．（2）∵，，∴数列{b n}是以b1=2，公比q=2的等比数列，∴．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．27．已知函数f（x）=x+（1）求证：函数y=f（x）是奇函数；（2）若a＞b＞1，试比较f（a）和f（b）的大小．考点：函数奇偶性的判断；不等式比较大小．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可证明函数y=f（x）是奇函数；（2）利用作差法即可比较大小．解答：证明：（1）函数的定义域为：x∈R，x≠0，关于原点对称，又故函数y=f（x）是奇函数．…（3分）（2）f（a）﹣f（b）=，∵a＞b＞1，∴a﹣b＞0，ab＞1，∴f（a）﹣f（b）＞0，∴f（a）＞f（b）．…（8分）点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数值的大小比较，利用作差法是解决本题的关键．28．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=（b+a，﹣c），=（b﹣a，a+c），且；（1）求角B的值；（2）若a=6，b=6，求△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形；平面向量及应用．分析：（1）由题意可得，由余弦定理可得cosB，结合B的范围即可得解．（2）由正弦定理可求sinA，结合A的范围可求A，C，由三角形面积公式即可得解．解答：解：（1）因为，所以，即：a2+c2﹣b2=﹣ac，所以，因为0＜B＜π，所以．…（4分）（2）因为，所以，因为0＜A＜π，所以，，所以．…（8分）点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，平面向量及应用，解题时要注意分析角的范围，属于中档题．29．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD的中点．（1）证明：PB∥平面ACM；（2）证明：AD⊥平面PAC．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：常规题型．分析：（1）连接BD、OM，由M，O分别为PD和AC中点，得OM∥PB，从而证明PB∥平面ACM；（2）由PO⊥平面ABCD，得PO⊥AD，由∠ADC=45°，AD=AC，得AD⊥AC，从而证明AD⊥平面PAC．解答：证明：（1）连接BD和OM∵底面ABCD为平行四边形且O为AC的中点∴BD经过O点在△PBD中，O为BD的中点，M为PD的中点所以OM为△PBD的中位线故OM∥PB∵OM∥PB，OM⊂平面ACM，PB⊄平面ACM∴由直线和平面平行的判定定理知 PB∥平面ACM．（2）∵PO⊥平面ABCD，且AD⊂平面ABCD∴PO⊥AD∵∠ADC=45°且AD=AC=1∴∠ACD=45°∴∠DAC=90°∴AD⊥AC∵AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，且AC∩PO=O∴由直线和平面垂直的判定定理知 AD⊥平面PAC．点评：本题主要考查了直线和平面平行及垂直的判定定理．30．焦点在x轴上的椭圆C的一个顶点与抛物线E：x2=4y的焦点重合，且离心率e=，直线l经过椭圆C的右焦点与椭圆C交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若•=﹣2，求直线l的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）求得抛物线的焦点，由椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线的斜率不存在和存在，联立椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，计算可得斜率k，进而得到所求直线方程．解答：解：（1）因为抛物线的焦点为，所以，又，a2=b2+c2，所以a=2，所以椭圆的标准方程为；（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，解得，，此时不合题意．设直线的方程为y=k（x﹣1），则M（x1，y1），N（x2，y2）满足：，（1）代入（2）得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，则，，所以，所以，所以直线的方程为或．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示，属于中档题．30000 7530 田26513 6791 枑 (G€uji{(25089 6201 戁24111 5E2F 帯34912 8860 衠34465 86A1 蚡。
2021年全国普通高等学校高考数学模拟试卷(理科)(一)
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A．﹣73B．﹣61C．﹣55D．﹣6310．(5分)某几何体的三视图如下图,其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形,点G为AF的中点,那么该几何体的外接球的外表积是()A．B．C．D．11．(5分)抛物线C：y2 =4x的焦点为F ,过点F分别作两条直线l1 ,l2 ,直线l1与抛物线C交于A、B两点,直线l2与抛物线C交于D、E两点,假设l1与l2的斜率的平方和为1 ,那么|AB| +|DE|的最|小值为()A．16B．20C．24D．3212．(5分)假设函数y =f (x ) ,x∈M ,对于给定的非零实数a ,总存在非零常数T ,使得定义域M内的任意实数x ,都有af (x ) =f (x+T )恒成立,此时T为f (x )的类周期,函数y =f (x )是M上的a级|类周期函数．假设函数y =f (x )是定义在区间[0 ,+∞)内的2级|类周期函数,且T =2 ,当x∈[0 ,2 )时,函数．假设∃x1∈[6 ,8] ,∃x2∈(0 , +∞) ,使g (x2 )﹣f (x1 )≤0成立,那么实数m的取值范围是()A．B．C．D．二、填空题(每题5分,总分值20分,将答案填在答题纸上)13．(5分)向量,,且,那么=．14．(5分)x ,y满足约束条件那么目标函数的最|小值为．15．(5分)在等比数列{a n}中,a2•a3 =2a1 ,且a4与2a7的等差中项为17 ,设b n =a2n ﹣a2n ,n∈N* ,那么数列{b n}的前2n项和为．﹣116．(5分)如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥BC ,AD∥BC ,,点E是线段CD上异于点C ,D的动点,EF⊥AD于点F ,将△DEF沿EF折起到△PEF的位置,并使PF⊥AF ,那么五棱锥P﹣ABCEF的体积的取值范围为．三、解答题(本大题共5小题,共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. )17．(12分)△ABC的内角A ,B ,C的对边a ,b ,c分别满足c =2b =2 ,2bcosA+acosC +ccosA =0 ,又点D满足．(1 )求a及角A的大小；(2 )求的值．18．(12分)在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,且,∠A1AB =∠A1AD =60°．(1 )求证：BD⊥CC1；(2 )假设动点E在棱C1D1上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．19．(12分) "过大年,吃水饺〞是我国不少地方过春节的一大习俗．2021年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,(1 )求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2 )①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N (μ ,σ2 ) ,利用该正态分布,求Z落在( , )内的概率；②将频率视为概率,假设某人从某超市购置了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10 ,30 )内的包数为X ,求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②假设,那么P (μ﹣σ＜Z≤μ +σ ) ,P (μ﹣2σ＜Z≤μ +2σ )．20．(12分)椭圆C：的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．(1 )求椭圆C的标准方程；(2 )假设直线l：y =kx +2与椭圆C相交于A ,B两点,在y轴上是否存在点D ,使直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD为定值?假设存在,求出点D坐标及该定值,假设不存在,试说明理由．21．(12分)函数f (x ) =e x﹣2 (a﹣1 )x﹣b ,其中e为自然对数的底数．(1 )假设函数f (x )在区间[0 ,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围；(2 )函数g (x ) =e x﹣(a﹣1 )x2﹣bx﹣1 ,且g (1 ) =0 ,假设函数g (x )在区间[0 ,1]上恰有3个零点,求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,那么按所做的第|一题记分.[选修4 -4：坐标系与参数方程]22．(10分)在平面直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为(θ为参数,a是大于0的常数)．以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为．(1 )求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；(2 )分别记直线l：,ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A ,B ,假设圆C1与圆C2外切,试求实数a的值及线段AB的长．[选修4 -5：不等式选讲]23．函数f (x ) =|2x +1|．(1 )求不等式f (x )≤10﹣|x﹣3|的解集；(2 )假设正数m ,n满足m +2n =mn ,求证：f (m ) +f (﹣2n )≥16．2021年全国普通高等学校高|考数学模拟试卷(理科)(一)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1．(5分)集合A ={x|﹣x2 +4x≥0} ,,C ={x|x =2n ,n∈N} ,那么(A∪B )∩C = ()A．{2 ,4}B．{0 ,2}C．{0 ,2 ,4}D．{x|x =2n ,n∈N}【解答】解：A ={x|﹣x2 +4x≥0} ={x|0≤x≤4} ,={x|3﹣4＜3x＜33} ={x|﹣4＜x＜3} ,那么A∪B ={x|﹣4＜x≤4} ,C ={x|x =2n ,n∈N} ,可得(A∪B )∩C ={0 ,2 ,4} ,应选C．2．(5分)设i是虚数单位,假设,x ,y∈R ,那么复数x+yi的共轭复数是()A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2 +i D．﹣2 +i【解答】解：由,得x +yi ==2 +i ,∴复数x +yi的共轭复数是2﹣i．应选：A．3．(5分)等差数列{a n}的前n项和是S n ,且a4+a5+a6+a7 =18 ,那么以下命题正确的选项是()A．a5是常数B．S5是常数C．a10是常数D．S10是常数【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和是S n ,且a4 +a5 +a6 +a7 =18 ,∴a4 +a5 +a6 +a7 =2 (a1 +a10 ) =18 ,∴a1 +a10 =9 ,∴=45．应选：D．4．(5分)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为"东方魔板〞,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点,那么此点取自黑色局部的概率是()A．B．C．D．【解答】解：设AB =2 ,那么BC =CD =DE =EF =1 ,∴S=××=,△BCIS平行四边形EFGH =2S△BCI =2×=,∴所求的概率为P ===．应选：A．5．(5分)点F为双曲线C：(a＞0 ,b＞0 )的右焦点,直线x =a与双曲线的渐近线在第|一象限的交点为A ,假设AF的中点在双曲线上,那么双曲线的离心率为()A．B．C．D．【解答】解：设双曲线C：的右焦点F (c ,0 ) ,双曲线的渐近线方程为y =x ,由x =a代入渐近线方程可得y =b ,那么A (a ,b ) ,可得AF的中点为(, b ) ,代入双曲线的方程可得﹣=1 ,可得4a2﹣2ac﹣c2 =0 ,由e =,可得e2 +2e﹣4 =0 ,解得e =﹣1 (﹣1﹣舍去) ,应选：D．6．(5分)函数那么() A．2 +πB．C．D．【解答】解：∵,=∫cos2tdt ===,∴= () + (﹣cosx )=﹣2．应选：D．7．(5分)执行如下图的程序框图,那么输出的S的值为()A．B．C．D．【解答】解：第1次循环后,S =,不满足退出循环的条件,k =2；第2次循环后,S =,不满足退出循环的条件,k =3；第3次循环后,S ==2 ,不满足退出循环的条件,k =4；…第n次循环后,S =,不满足退出循环的条件,k =n +1；…第2021次循环后,S =,不满足退出循环的条件,k =2021第2021次循环后,S ==2,满足退出循环的条件,故输出的S值为2,应选：C8．(5分)函数(ω＞0 )的相邻两个零点差的绝|对值为,那么函数f (x )的图象()A．可由函数g (x ) =cos4x的图象向左平移个单位而得B．可由函数g (x ) =cos4x的图象向右平移个单位而得C．可由函数g (x ) =cos4x的图象向右平移个单位而得D．可由函数g (x ) =cos4x的图象向右平移个单位而得【解答】解：函数=sin (2ωx )﹣• +=sin (2ωx﹣) (ω＞0 )的相邻两个零点差的绝|对值为,∴•=,∴ω =2 ,f (x ) =sin (4x﹣) =cos[(4x﹣)﹣]=cos (4x﹣)．故把函数g (x ) =cos4x的图象向右平移个单位,可得f (x )的图象,应选：B．9．(5分)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为() A．﹣73B．﹣61C．﹣55D．﹣63【解答】解：展开式中所有各项系数和为(2﹣3 ) (1+1 )6 =﹣64；= (2x﹣3 ) (1 + + +… ) ,其展开式中的常数项为﹣3 +12 =9 ,∴所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为﹣64﹣9 =﹣73．应选：A．10．(5分)某几何体的三视图如下图,其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形,点G为AF的中点,那么该几何体的外接球的外表积是()A．B．C．D．【解答】解：如图,可得该几何体是六棱锥P﹣ABCDEF ,底面是正六边形,有一PAF侧面垂直底面,且P在底面的投影为AF中点,过底面中|心N作底面垂线,过侧面PAF的外心M作面PAF的垂线,两垂线的交点即为球心O ,设△PAF的外接圆半径为r ,,解得r =,∴,那么该几何体的外接球的半径R =,∴外表积是那么该几何体的外接球的外表积是S =4πR2 =．应选：C．11．(5分)抛物线C：y2 =4x的焦点为F ,过点F分别作两条直线l1 ,l2 ,直线l1与抛物线C交于A、B两点,直线l2与抛物线C交于D、E两点,假设l1与l2的斜率的平方和为1 ,那么|AB| +|DE|的最|小值为()A．16B．20C．24D．32【解答】解：抛物线C：y2 =4x的焦点F (1 ,0 ) ,设直线l1：y =k1 (x﹣1 ) ,直线l2：y =k2 (x﹣1 ) ,由题意可知,那么,联立,整理得：k12x2﹣(2k12 +4 )x +k12 =0 ,设A (x1 ,y1 ) ,B (x2 ,y2 ) ,那么x1 +x2 =,设D (x3 ,y3 ) ,E (x4 ,y4 ) ,同理可得：x3 +x4 =2 +,由抛物线的性质可得：丨AB丨=x1 +x2 +p =4 +,丨DE丨=x3 +x4 +p =4 + ,∴|AB| +|DE|=8+==,当且仅当=时,上式" =〞成立．∴|AB| +|DE|的最|小值24 ,应选：C．12．(5分)假设函数y =f (x ) ,x∈M ,对于给定的非零实数a ,总存在非零常数T ,使得定义域M内的任意实数x ,都有af (x ) =f (x+T )恒成立,此时T为f (x )的类周期,函数y =f (x )是M上的a级|类周期函数．假设函数y =f (x )是定义在区间[0 ,+∞)内的2级|类周期函数,且T =2 ,当x∈[0 ,2 )时,函数．假设∃x1∈[6 ,8] ,∃x2∈(0 , +∞) ,使g (x2 )﹣f (x1 )≤0成立,那么实数m的取值范围是()A．B．C．D．【解答】解：根据题意,对于函数 f (x ) ,当x∈[0 ,2 )时,,分析可得：当0≤x≤1时,f (x ) =﹣2x2 ,有最|大值f (0 ) =,最|小值f (1 ) =﹣,当1＜x＜2时,f (x ) =f (2﹣x ) ,函数f (x )的图象关于直线x =1对称,那么此时有﹣＜f (x )＜,又由函数y =f (x )是定义在区间[0 , +∞)内的2级|类周期函数,且T =2；那么在∈[6 ,8 )上,f (x ) =23•f (x﹣6 ) ,那么有﹣12≤f (x )≤4 ,那么f (8 ) =2f (6 ) =4f (4 ) =8f (2 ) =16f (0 ) =8 ,那么函数f (x )在区间[6 ,8]上的最|大值为8 ,最|小值为﹣12；对于函数,有g′ (x ) =﹣ +x +1 ==,分析可得：在(0 ,1 )上,g′ (x )＜0 ,函数g (x )为减函数,在(1 , +∞)上,g′ (x )＞0 ,函数g (x )为增函数,那么函数g (x )在(0 , +∞)上,由最|小值f (1 ) = +m ,假设∃x1∈[6 ,8] ,∃x2∈(0 , +∞) ,使g (x2 )﹣f (x1 )≤0成立,必有g (x )min≤f (x )max ,即 +m≤8 ,解可得m≤,即m的取值范围为(﹣∞,]；应选：B．二、填空题(每题5分,总分值20分,将答案填在答题纸上)13．(5分)向量,,且,那么=．【解答】解：根据题意,向量,,假设,那么•=2sinα﹣cosα =0 ,那么有tanα =,又由sin2α +cos2α =1 ,那么有或,那么= (,)或(﹣,﹣) ,那么|| =,那么=2 +2﹣2•=；故答案为：14．(5分)x ,y满足约束条件那么目标函数的最|小值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图,联立,解得A (2 ,4 ) ,=,令t =5x﹣3y ,化为y =,由图可知,当直线y =过A时,直线在y轴上的截距最|大,t有最|小值为﹣2．∴目标函数的最|小值为．故答案为：．15．(5分)在等比数列{a n}中,a2•a3 =2a1 ,且a4与2a7的等差中项为17 ,设b n =a2n ﹣a2n ,n∈N* ,那么数列{b n}的前2n项和为．﹣1【解答】解：等比数列{a n}中,a2•a3 =2a1 ,且a4与2a7的等差中项为17 ,设首|项为a1 ,公比为q ,那么：,整理得：,解得：．那么：,所以：b n =a2n﹣1﹣a2n ==﹣22n﹣4 ,那么：T 2n = =．故答案为：．16． (5分 )如图 ,在直角梯形ABCD 中 ,AB ⊥BC ,AD ∥BC , ,点E 是线段CD 上异于点C ,D 的动点 ,EF ⊥AD 于点F ,将△DEF 沿EF 折起到△PEF 的位置 ,并使PF ⊥AF ,那么五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的取值范围为 (0 , ) ．【解答】解：∵PF ⊥AF ,PF ⊥EF ,AF ∩EF =F , ∴PF ⊥平面ABCD ．设PF =x ,那么0＜x ＜1 ,且EF =DF =x ．∴五边形ABCEF 的面积为S =S 梯形ABCD ﹣S △DEF =× (1 +2 )×1﹣x 2 = (3﹣x 2 )． ∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积V =(3﹣x 2 )x = (3x ﹣x 3 ) ,设f (x ) = (3x ﹣x 3 ) ,那么f′ (x ) = (3﹣3x 2 ) = (1﹣x 2 ) , ∴当0＜x ＜1时 ,f′ (x )＞0 ,∴f (x )在 (0 ,1 )上单调递增 ,又f (0 ) =0 ,f (1 ) =． ∴五棱锥P ﹣ABCEF 的体积的范围是 (0 , )． 故答案为：．三、解答题 (本大题共5小题 ,共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. )17． (12分 )△ABC 的内角A ,B ,C 的对边a ,b ,c 分别满足c =2b =2 ,2bcosA +acosC+ccosA =0 ,又点D满足．(1 )求a及角A的大小；(2 )求的值．【解答】解：(1 )由2bcosA +acosC +ccosA =0及正弦定理得﹣2sinBcosA =sinAcosC +cosAsinC ,即﹣2sinBcosA =sin (A +C ) =sinB ,在△ABC中,sinB＞0 ,所以．又A∈(0 ,π ) ,所以．在△ABC中,c =2b =2 ,由余弦定理得a2 =b2 +c2﹣2bccosA =b2 +c2 +bc =7 ,所以．(2 )由,得=,所以．18．(12分)在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,且,∠A1AB =∠A1AD =60°．(1 )求证：BD⊥CC1；(2 )假设动点E在棱C1D1上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．【解答】解：(1 )连接A1B ,A1D ,AC ,因为AB =AA1 =AD ,∠A1AB =∠A1AD =60° ,所以△A1AB和△A1AD均为正三角形,于是A1B =A1D．设AC与BD的交点为O ,连接A1O ,那么A1O⊥BD ,又四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD ,而A1O∩AC =O ,所以BD⊥平面A1AC．又AA1⊂平面A1AC ,所以BD⊥AA1 ,又CC1∥AA1 ,所以BD⊥CC1．(2 )由,及,知A1B⊥A1D ,于是,从而A1O⊥AO ,结合A1O⊥BD ,AO∩AC =O ,得A1O⊥底面ABCD ,所以OA、OB、OA1两两垂直．如图,以点O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系O﹣xyz ,那么A (1 ,0 ,0 ) ,B (0 ,1 ,0 ) ,D (0 ,﹣1 ,0 ) ,A1 (0 ,0 ,1 ) ,C (﹣1 ,0 ,0 ) ,,,,由,得D1 (﹣1 ,﹣1 ,1 )．设(λ∈[0 ,1] ) ,那么(x E +1 ,y E +1 ,z E﹣1 ) =λ (﹣1 ,1 ,0 ) ,即E (﹣λ﹣1 ,λ﹣1 ,1 ) ,所以．设平面B1BD的一个法向量为,由得令x =1 ,得,设直线DE与平面BDB1所成角为θ ,那么,解得或(舍去) ,所以当E为D1C1的中点时,直线DE与平面BDB1所成角的正弦值为．19．(12分) "过大年,吃水饺〞是我国不少地方过春节的一大习俗．2021年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标,(1 )求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2 )①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N (μ ,σ2 ) ,利用该正态分布,求Z落在( , )内的概率；②将频率视为概率,假设某人从某超市购置了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10 ,30 )内的包数为X ,求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②假设,那么P (μ﹣σ＜Z≤μ +σ ) ,P (μ﹣2σ＜Z≤μ +2σ )．【解答】解：(1 )所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为．(2 )①∵Z服从正态分布N (μ ,σ2 ) ,且,σ≈,∴P (＜Z＜) =P (﹣＜Z＜ + ) ,∴Z落在( , )内的概率是．②根据题意得X～B (4 ,) ,；；；；．∴X的分布列为X01234P∴．20．(12分)椭圆C：的离心率为,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．(1 )求椭圆C的标准方程；(2 )假设直线l：y =kx +2与椭圆C相交于A ,B两点,在y轴上是否存在点D ,使直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD为定值?假设存在,求出点D坐标及该定值,假设不存在,试说明理由．【解答】解：(1 )由可得解得a2 =2 ,b2 =c2 =1 ,所求椭圆方程为．(2 )由得(1 +2k2 )x2 +8kx +6 =0 ,那么△=64k2﹣24 (1 +2k2 ) =16k2﹣24＞0 ,解得或．设A (x1 ,y1 ) ,B (x2 ,y2 ) ,那么,,设存在点D (0 ,m ) ,那么,,所以==．要使k AD +k BD为定值,只需6k﹣4k (2﹣m ) =6k﹣8k +4mk =2 (2m﹣1 ) ,k与参数k 无关,故2m﹣1 =0 ,解得,当时,k AD +k BD =0．综上所述,存在点,使得k AD +k BD为定值,且定值为0．21．(12分)函数f (x ) =e x﹣2 (a﹣1 )x﹣b ,其中e为自然对数的底数．(1 )假设函数f (x )在区间[0 ,1]上是单调函数,试求实数a的取值范围；(2 )函数g (x ) =e x﹣(a﹣1 )x2﹣bx﹣1 ,且g (1 ) =0 ,假设函数g (x )在区间[0 ,1]上恰有3个零点,求实数a的取值范围．【解答】解：(1 )根据题意,函数f (x ) =e2﹣2 (a﹣1 )x﹣b ,其导数为f' (x ) =e x﹣2 (a﹣1 ) ,当函数f (x )在区间[0 ,1]上单调递增时,f' (x ) =e x﹣2 (a﹣1 )≥0在区间[0 ,1]上恒成立,∴2 (a﹣1 )≤(e x )min =1 (其中x∈[0 ,1] ) ,解得；当函数f (x )在区间[0 ,1]单调递减时,f' (x ) =e x﹣2 (a﹣1 )≤0在区间[0 ,1]上恒成立,∴2 (a﹣1 )≥(e x )max =e (其中x∈[0 ,1] ) ,解得．综上所述,实数a的取值范围是．(2 )函数g (x ) =e x﹣(a﹣1 )x2﹣bx﹣1 ,那么g' (x ) =e x﹣2 (a﹣1 )x﹣b ,分析可得f (x ) =g' (x )．由g (0 ) =g (1 ) =0 ,知g (x )在区间(0 ,1 )内恰有一个零点,设该零点为x0 ,那么g (x )在区间(0 ,x0 )内不单调,所以f (x )在区间(0 ,x0 )内存在零点x1 ,同理,f (x )在区间(x0 ,1 )内存在零点x2 ,所以f (x )在区间(0 ,1 )内恰有两个零点．由(1 )知,当时,f (x )在区间[0 ,1]上单调递增,故f (x )在区间(0 ,1 )内至|多有一个零点,不合题意．当时,f (x )在区间[0 ,1]上单调递减,故f (x )在(0 ,1 )内至|多有一个零点,不合题意；所以．令f' (x ) =0 ,得x =ln (2a﹣2 )∈(0 ,1 ) ,所以函数f (x )在区间[0 ,ln (2a﹣2 )]上单调递减,在区间(ln (2a﹣2 ) ,1]上单调递增．记f (x )的两个零点为x1 ,x2 (x1＜x2 ) ,因此x1∈(0 ,ln (2a﹣2 )] ,x2∈(ln (2a﹣2 ) ,1 ) ,必有f (0 ) =1﹣b＞0 ,f (1 ) =e﹣2a +2﹣b＞0．由g (1 ) =0 ,得a +b =e ,所以,又f (0 ) =a﹣e +1＞0 ,f (1 ) =2﹣a＞0 ,所以e﹣1＜a＜2．综上所述,实数a的取值范围为(e﹣1 ,2 )．请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,那么按所做的第|一题记分.[选修4 -4：坐标系与参数方程]22．(10分)在平面直角坐标系xOy中,圆C1的参数方程为(θ为参数,a是大于0的常数)．以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为．(1 )求圆C1的极坐标方程和圆C2的直角坐标方程；(2 )分别记直线l：,ρ∈R与圆C1、圆C2的异于原点的焦点为A ,B ,假设圆C1与圆C2外切,试求实数a的值及线段AB的长．【解答】解：(1 )圆C1：(θ是参数)消去参数θ ,得其普通方程为(x +1 )2 + (y +1 )2 =a2 ,将x =ρcosθ ,y =ρsinθ代入上式并化简,得圆C1的极坐标方程,由圆C2的极坐标方程,得ρ2 =2ρcosθ +2ρsinθ．将x =ρcosθ ,y =ρsinθ ,x2 +y2 =ρ2代入上式,得圆C2的直角坐标方程为(x﹣1 )2 + (y﹣1 )2 =2．(2 )由(1 )知圆C1的圆心C1 (﹣1 ,﹣1 ) ,半径r1 =a；圆C2的圆心C2 (1 ,1 ) ,半径,,∵圆C1与圆C2外切,∴,解得,即圆C1的极坐标方程为．将代入C1 ,得,得；将代入C2 ,得,得；故．[选修4 -5：不等式选讲]23．函数f (x ) =|2x +1|．(1 )求不等式f (x )≤10﹣|x﹣3|的解集；(2 )假设正数m ,n满足m +2n =mn ,求证：f (m ) +f (﹣2n )≥16．【解答】解：(1 )此不等式等价于或或解得或或3＜x≤4．即不等式的解集为．(2 )证明：∵m＞0 ,n＞0 ,m +2n =mn ,,即m +2n≥8 ,当且仅当即时取等号．∴f (m )+f (﹣2n ) =|2m+1| +|﹣4n+1|≥| (2m+1 )﹣(﹣4n+1 )| =|2m+4n| =2 (m +2n )≥16 ,当且仅当﹣4n +1≤0 ,即时,取等号．∴f (m ) +f (﹣2n )≥16．。
2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题含答案解析 (1)
2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．设A ,B 是两个非空集合,定义集合A -B ={x |x ∈A ,且x ∉B }.若A ={x ∈N |0≤x ≤5},B ={x |x 2-7x +10<0},则A -B =A.{0,1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{0,1,2,5}2．已知复数z =1+i,z ¯为z 的共轭复数,则1+z z¯=A.3+i 2B.1+i 2C.1-3i 2D.1+3i 23．已知函数f (x )={log 3x,x >0x 2,x ≤0,则f (f (-√3))=A.-2B.2C.-1D.14．下列说法正确的是A.二次函数y =ax 2+bx +c ,x ∈[a ,b ]的最值一定是4ac -b 24aB.二次函数y =ax 2+bx +c (x ∈R ),不可能是偶函数C.二次函数y =x 2+mx +1在[1,+∞)上单调递增的充要条件是m ≥-2D.若二次函数f (x )满足f (2-x )=f (x ),则该二次函数在x =1处取得最小值5．定义在R 上的奇函数f (x )连续且可导,若f (x )-f'(x )<x -1恒成立(其中f'(x )为f (x )的导函数),则A.f'(0)<1B.f (-1)+f'(-1)<0C.f (1)<f (0)<f (-1)D.f (-1)<f (0)<f (1)6．某展览馆在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生来参观,若每天最多安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有A.50种B.60种C.120种D.210种7．若m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是A.若α⊥β,m ⊥β,则m ∥αB.若m ∥α,n ⊥m ,则n ⊥αC.若m ⊥α,n ∥β,m ⊥n ,则α⊥βD.若m ∥β,m ⊂α,α∩β=n ,则m ∥n8．执行如图所示的程序框图,若输入的a ,b 分别是2 018,1,则输出的i =A.5B.6C.7D.89．已知等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若对于任意的自然数n ,都有S n T n=2n−34n−3,则a 3+a 152(b 3+b 9)+a 3b2+b 10=A.1941 B.1737C.715D.204110．已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >b >0)的两条渐近线分别为l 1:y =b ax ,l 2:y =-b ax ,焦距为2c ,F 为双曲线的右焦点,点A (m ,n )是双曲线右支上一点,过点A 作AB ∥l 2,交l 1于点B ,当n =√3c2时,四边形OBAF 的面积为5√3c 216(O 为坐标原点),则双曲线的离心率为A.√2B.√3C.2√33D.211．设θ∈R ,则“|θ−π12|<π12”是“sinθ<12”的 A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.即不充分也不必要条件D.充要条件12．已知某几何体的直观图、正视图、侧视图如图所示,正视图是等腰直角三角形,侧视图的外框是正方形,则直线BC 与平面ACD 所成角的正弦值为A.√63B.√32C.12D.√33第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．已知函数f(x)=x3+ax+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(-1,1),则a=.14．设等差数列{a n}的前n项和为S n,a11=S13=13,则a9= .15．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.根据上表提供的数据,求出y关于x的线性回归方程为y＾=0.7x+0.35,那么表中t的值为.16．已知直线l过点A(-1,0)且与☉B:x2+y2-2x=0相切于点D,以坐标轴为对称轴的双曲线E 过点D,其一条渐近线平行于l,则双曲线E的实轴长为.三、解答题(共7题，共70分)17．(本题12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,a2+b2-c2=2S.(1)求cos C;(2)若a cos B+b sin A=c,a=√5,求b.18．(本题12分)在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,AB=AD=√2,BC=CD=√5.(1)若M是AB的中点,N是棱PC上一点,且CN=2PN,求证:MN∥平面PAD;(2)当平面PBD⊥平面ABCD,且PB=PD=√2时,求二面角A-PB-C的正弦值.19．(本题12分)党的十八大提出建设“美丽中国”的要求,切实增强生态意识,切实加强生态环境保护,把我国建设成为生态环境良好的国家.某中学举办了以“美丽中国,我是行动者”为主题的环保知识竞赛.赛后从参赛者中随机抽取了100人,将他们的竞赛成绩分为6组: [40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并得到如图所示的频率分布直方图.其中成绩在[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[90,100]内的频率之比为1∶2∶4∶6∶2.(1)求成绩落在[90,100]内的频率,并估算本次竞赛的平均成绩;(2)若将频率视为概率,成绩在[90,100]内的定义为优秀.从参赛者中随机抽取3人,记这3人中优秀的人数为a ,非优秀人数为b ,X =|a -b |,求X 的分布列与数学期望.20．(本题12分)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，点M(1,32)在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知P(−2,0)与Q(2,0)为平面内的两个定点，过点(1,0)的直线l 与椭圆C 交于A,B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值.21．(本题12分)已知函数f (x )=ax+1+lnx(a ∈R)(1)当a =2时，比较f (x )与1的大小；(2)当a =92时，如果函数g (x )=f (x )−k 仅有一个零点，求实数k 的取值范围； (3)求证：对于一切正整数n ，都有ln(n +1)>13+15+17+⋯+12n+1请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。
2021普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)理科数学模拟题(附解析)
2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）理科数学模拟试题（附解析）本卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知复数z 满足24(1)(12)i z i --=-，则||z =（ ）A ．1B ．2C D2．设集合{}{}21,2,5,40A B x x x m ==-+=，若{}1A B ⋂=，则B =（ ） A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A ．514- B ．512- C ．514+ D ．512+ 4．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线过点()3,4，且双曲线的一个焦点与抛物线220y x =的焦点重合，则双曲线的方程为（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．22143x y -=D ．22134x y -=5．某电商对连续5个月的广告费和销售额进行了统计，得到如下统计数据：根据表中数据所得的回归方程是ˆˆ9.2ybx =+，则当广告费为8万元时销售额的预测值是（ ） A ．84.8B ．87C ．90.8D ．95.46．已知曲线()2ln f x a x x =+在1x =处的切线方程为0x y b ++=，则ab =（ ） A ．3B ．5C ．6D ．87．记函数()()sin f x x ωϕ=+(其中0>ω，2πϕ<)的图像为C ，已知C 的部分图像如图所示，为了得到函数()sin g x x ω=，只要把C 上所有的点（ ）A ．向右平行移动6π个单位长度B ．向左平行移动6π个单位长度 C ．向右平行移动12π个单位长度 D ．向左平行移动12π个单位长度8．261(1)()x x x x++⋅-的展开式中的常数项为（ ）A ．5-B ．10C ．15D ．209．已知1sin 33παα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．13 B ．13-C ．79D ．79-10．在四面体S ABC -中，SA ⊥平面,120,2,1ABC BAC SA AC AB ∠=︒===，则该四面体的外接球的表面积为（ ） A ．103π B ．7π C ．403π D ．40π11．设点(3,4)M 在圆222(0)x y r r +=>外，若圆O 上存在点N ，使得3OMN π∠=，则实数r 的取值范围是（ ）A ．5[,)2+∞B ．)+∞C ．D ．5[,5)212．若实数2a ≥，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．12log (2)1a a a a +++>+ B ．1log (1)a a a a++<C ．1log 1)log )((2a a a a ++<+D ．21(1)(2)a a a a +++>+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则23z x y =-的最小值为______．14．已知平面向量,a b 满足||2,||1,1a b a b ==⋅=-，则||a b +=______.15．设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(),OP OA OB λμλμ=+∈R ，18λμ=，则该双曲线的离心率为______.16．已知l 为空间中的一条直线，α为空间中的一个平面，且l α⊥，垂足为点O .等腰直角三角形ABC 中，2A π∠=，2AB =，若,A l C α∈∈，则OB 的最大值为___三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足25a =，5930a a +=，{}n a 的前n 项和为n S . （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）令()*1n nb n N S =∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，2ABC π∠=，122AB BC AD ===，且PA a =，E ，F 分别为PC ，PB 的中点.（1）若2a =，求证：PB ⊥平面ADEF ；（2）若四棱锥P ABCD -的体积为2，求二面角A PD C --的余弦值. 19．（本小题满分12分）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14、16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12、23；两人滑雪时间都不会超过3小时． （1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列． 20．（本小题满分12分）椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点为()，且椭圆C 经过点()0,1P ，直线21y kx k =+-(0k ≠)与C 交于A ，B 两点（异于点P ）.（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值，并求出这个定值. 21．（本小题满分12分）已知函数()ln xf x x e a x ax =⋅--.（1）若a e =，讨论()f x 的单调性﹔（2）若对任意0x >恒有不等式()1f x ≥成立，求实数a 的值.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222111t x tt y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩（t 为参数）.以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos （3πθ+）=. （1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交x 轴于点P ，求11PA PB+的值. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2||1|f x x m x =+-+.（1）若2m =-，求不等式()8f x 的解集；（2）若关于x 的不等式()|3|f x m x +对于任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.答案与解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）（13）5- （14（15（16）11.【解析】24(1)2(2)1212i i z i i--+==--，∴22212i z i +==-，故选：B. 2.【解析】由{}1A B ⋂=可知21403m m -+=⇒=，当3m =时，2430x x -+=，解得：1x =或3x =，即{}1,3B =.故选：C3.【解析】如图，设,CD a PE b ==，则PO ==，由题意212PO ab =，即22142a b ab-=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得b a =.故选：C.4.【解析】因为双曲线C 的渐近线by x a=±过点()3,4，所以双曲线C 的渐近线为3=4y x ±，设双曲线的方程为221169x y t t-=，又因为双曲线的一个焦点与抛物线220y x =的焦点()5,0重合，所以5c ==，解得1t =，所以双曲线的方程为221169x y -=. 故选：B5.【解析】由题意，根据表格中的数据，求得()12345645x =++++=， 1(2941505971)505y =++++=，把(4,50)代入回归直线的方程ˆˆ9.2y bx =+， 得到092ˆ54.b=⨯+，解得ˆ10.2b =，即回归直线的方程为ˆ10.29.2y x =+， 令8x =，可得10.289..8ˆ290y=⨯+=.故选：C. 6.【解析】由()2ln f x a x x =+，得()2af x x x'=+， 所以()f x 在1x =处的切线斜率()12k f a '==+，又()f x 在1x =处的切线方程为0x y b ++=，所以斜率1k =-， 所以21a +=-，解得3a =-， 则()23ln f x x x =-+，()11f =，将点(1,1)代入0x y b ++=，得110b ++=，解得2b =-， 所以()()326ab =-⨯-=.故选：C. 7.【解析】由图象可知周期74()123T πππ=-=，所以222T ππωπ===，又图象上一个最低点为7(,1)12π-，所以7sin 2112πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭， 所以7322122k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，即23k πϕπ=+，k Z ∈， 因为2πϕ<，所以3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭sin 26x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以为了得到函数()sin 2g x x =，只要把C 上所有的点向右平行移动6π个单位长度. 故选：A8.【解析】因为61()x x-的通项公式为6621661()(1)k k k k kk k T C C xxx -+-=⋅-⋅⋅⋅-=，所以要求常数项，则令620k -=或621k -=-或622k -=-， 解得3k =或72k =（舍）或4k =， 当3k =时，34620T C =-=-，当4k =时，425615T C x -==，所以常数项为2011515-⨯+⨯=-，故选：A.9.【解析】因为11sin sin sin 322πααααααα⎛⎫-== ⎪⎝⎭ 1sin sin cos 32663ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以sin 2sin 2cos 26233ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22172cos 121639πα⎛⎫=--=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=- ⎪⎝⎭，故选：D10.【解析】如图所示，该四面体的外接球的球心O 必经过ABC 外接圆的圆心O '且垂直于平面ABC 的直线上，且到,A S 的距离相等.在ABC 中，由余弦定理得BC ==1202O A '=，解得O A '=，又因为112OO SA '==，根据球的截面性质，可得3OA ==，即四面体外接球的半径为3r =，故其表面积为24043ππ⨯=⎝⎭. 故选：C .11.【解析】如图所示：222(0)x y r r +=>上存在点N 使得3OMN π∠=，则OMN ∠的最大值大于或者等于3π时，一定存在点N 使得3OMN π∠=，当MN 与圆相切时，OMN ∠取得最大值，此时，5OM =，sin 5ON ON OMN OM∠==≥，解得：ON ≥，即r ≥又(3,4)M 在圆外，22234r ∴+>，解得：5r <5r ≤<.故选：C.12.【解析】A.设()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，当0x e <<时，()0f x '>，当x e >时，()0f x '<，所以()f x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增；而21a a e +>+>，所以()()ln 2ln 121a a a a ++<++，则 ()()ln 22ln 11a a a a ++<++，由换底公式得12log (2)1a a a a +++<+，故错误； B. 因为22log 9log 8>，所以22log 33>，即()221log 212++>，所以2a =时，不等式1log (1)a a a a++<不成立，故错误； C.因为()2212a a a +>+ ，所以()()22lg 1lg 2a a a +>+， 所以()()lg lg 2lg 12a a a +++>>，所以()()()()2lg lg 2lg 1lg lg 22a a a a a +++>>⋅+，所以()()()lg 1lg 2lg lg 1a a aa ++>+，()()()1log 1log 2a a a a ++>+故错误；D. 设()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，当0x e <<时，()0f x '>，当x e >时，()0f x '<，所以()f x 在()0,e 上递减，在(),e +∞上递增；而21a a e +>+>，所以()()ln 2ln 121a a a a ++<++，则()()()()2ln 11ln 2a a a a ++>++，即()()21ln 1ln 2a a a a +++>+，所以()()2112a a a a +++>+，故正确；故选：D13.【解析】由x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩作出可行域,如图由2121x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得()1,1A - 由210x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得11,33C ⎛⎫⎪⎝⎭由2100x y x y ++=⎧⎨-=⎩，解得11,33B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 将目标函数23z x y =-化为2133y x z =-， 则z 表示直线2133y x z =-在y 轴上的截距的13-倍. 要求z 的最小值，则需求直线2133y x z =-在y 轴上的截距的最大值.由图可知，当目标函数过点()1,1A -时，直线2133y x z =-在y 轴上的截距的最大值.此时z 的最小值为()21315z =⨯--⨯=- 故答案为：5-14.【解析】因为||2,||1,1a b a b ==⋅=-， 所以()2||a b a b+=+222a a bb=+⋅+==15.【解析】双曲线的渐近线为：by x a=±， 设焦点(),0F c ，因为过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，则,bc A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，, bc B c a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，2, b c a P ⎛⎫⎪⎝⎭， 因为OP OA OB λμ=+，所以()()2,,bc c a b c aλμλμ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1λμ+=，b c λμ-=，解得：2c b c λ+=，2c b c μ-=，又由18λμ=，得：222148c b c -=，即()2222148c c a c --=，则2212ac =，所以22e =，则e =16.【解析】作出等腰直角三角形ABC 所在的平面的示意图，如下图所示，过点B 作BM α⊥于M ，过点A 作AN BM ⊥于N ，连接OB ，因为,2AB AC BAC π=∠=，所以BAN OAC ∠=∠，又2BNA AOC π∠=∠=，所以BAN CAO ≅，所以,AO AN BN OC ==，设02ACO πθθ⎛⎫∠=≤≤⎪⎝⎭， 则2sin ,2cos AO CO θθ==，所以2sin ,2cos AN OM BN θθ===，所以()()()22222+2sin +2cos 2sin 2OB BM OM θθθθβ==+=-1tan 2β⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为022πθβθβπβ≤≤-≤-≤-，，所以，当22πθβ-=时，2OB取得最大值，所以OB 的最大值为1+17.【解析】（1）设公差为d ，由5930a a +=得：7230a =，所以715a =， 则72155255a a d --===，所以()2221n a a n d n =+-=+， 13a =，所以()()122n n n a a S n n +==+， （2）()1111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，1111111112324112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()1111323122124212n n n n n +⎛⎫=+--=- ⎪++++⎝⎭ 18.【解析】（1）当2a =时，AP AB =，点F 是BP 的中点， AF BP ∴⊥，又AP ⊥平面ABCD ，AD AP ∴⊥，且AD AB ⊥，AP AB A =，AD ∴⊥平面PAB ，BP ⊂平面PAB ，AD BP ∴⊥，又AFA AD =，BP ∴⊥平面ADEF ；（2）()1112422332P ABCD ABCD V S AP AP -=⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=，解得：1AP =，如图，以A 为原点，,,AB AD AP ，为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()0,0,1P ，()2,2,0C ，()0,4,0D ，()2,2,1PC =-，()0,4,1PD =-， 设平面PCD 的法向量(),,m x y z =，则00m PC m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22040x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令1y =，则1,4x z ==，()1,1,4m ∴=，显然AB ⊥平面PAD ，设平面PAD 的法向量()1,0,0n =，1cos ,11m n m n m n ⋅<>===+，二面角A PD C --是锐二面角，∴二面角A PD C -- 19.【解析】（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0、40、80元，两人都付0元的概率为11114624P =⨯=； 两人都付40元的概率为2121233P =⨯=； 两人都付80元的概率为31112111426324P ⎛⎫⎛⎫=--⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 则两人所付费用相同的概率为12311152432412P P P P =++=++=； （2）设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0、40、80、120、160， 则()11104624P ξ==⨯=，()121114043624P ξ==⨯+⨯=， ()11121158046236412P ξ==⨯+⨯+⨯=，()1121112026344P ξ==⨯+⨯=，()1111604624P ξ==⨯=. 所以，随机变量ξ的分布列为：20.【解析】（1）由题意得：1c b ==， 则2223a b c =+=，∴椭圆方程为2213x y +=； （2）解法一（常规方法)：设()()1122,,,A x y B x y ，联立222113y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简可得：()()()22316211210k x k k x k k ++-+-=， 直线1)20(y kx k k =+-≠与椭圆C 交于A B 、两点，0,∴∆>即()()()221231214810k k k k ⎡⎤+-=-⎣⎦-->，解得：01k <<， 由韦达定理()121222621121,3()311k k k k x x x x k k --+=-=++ ()121221121211PA PB y y k k x y x y x x x x --∴+=+=+-+ ()()121212222kx x k x x x x +-+=()()226621121211211212k k k k k k k k k -+--===-- ∴直线PA PB 、得斜率和为定值1．解法二（构造齐次式)：由题直线1)20(y kx k k =+-≠恒过定点()2,1--， ① 当直线AB 不过原点时，设直线AB 为()()11*mx n y +-=则221mx n --=，即12m n +=-有12m n =--， 由2213x y +=有()()2231610y x y +-+-=， 则()()()22316110x y y mx n y +-⎡⎤⎣-+-⎦+=，整理成关于,1x y -的齐次式： ()()()2236161 0n y mx y x +-+-+=， 进而两边同时除以2x ，则()21366110y m x n y x -⎛⎫+-⎛⎫++= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，令1y k x -=，则121216116213636PA PB n y y m k k x x n n⎛⎫-- ⎪--⎝⎭∴+=+=-==++， ②当直线AB 过原点时，设直线AB 的方程为()()00001,,,,2y x A x y B x y =-- 0000001121212PA PB y y y k k x x x --∴+=+==⨯= 综合①②直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值1．21.【解析】（1）()()()()111x x x x x a a f x e xe a e x x e x x a x ⎛⎫-+'=+--= ⎪⎝++-⎭= 当a e =时， ()()1x e f x x e x '=+-⎛⎫ ⎪⎝⎭0x > 当1x >时x e e x>，0x e e x ->可得()0f x '>，()f x 单调递增， 当01x <<时，x e e x<，0x e e x -<，可得()0f x '<，()f x 单调递减， 综上所述：()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）由（1）知()()1⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭x a f x x e x ， ①当0a <时，()()10x a f x x e x ⎛⎫'= ⎝->⎪⎭+恒成立，此时()f x 单调递增， ()f x 的值域为R ，不符合题意；当0a =时，则1211122f e ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，也不符合题意. 当0a >时，令()()10⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭x a f x x e x 可得0x a e x-=，即0x e x a ⋅-=， 令()xg x e x =⋅，则()()10x x x g x e x e e x '=⋅+=+>， 所以()x g x e x =⋅在()0,∞+单调递增，设存在()00x ∈+∞,使得00x e x a ⋅=，两边同时取对数可得00ln ln x x a +=则00x x <<时，x e x a ⋅<，()0f x '<，当0x x >时，x e x a ⋅<，()0f x '>，所以当0x x =时，()()0000in 0m 0ln ln ln x f x x e a x ax a a x a ax a a a =⋅--=--+-=-， 故只需1a alna -≥即可，令()ln h a a a a =-()0a >， ()11ln ln h a a a a a'=--⨯=-， 由()0h a '>可得01a <<，由()0h a '<可得1a >，因此()h a 在()0,1上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 从而()()1101max h a h ==-=，所以()1h a a alna =-≤， 又因为()1h a a alna =-≥，所以()1h a a alna =-=，由以上证明可知()11h =，所以1a = ，故满足条件的实数a 的值为1.22.【解析】（1）曲线C 的参数方程为222111t x t t y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩（t 为参数）， 转化为直角坐标方程为x 2﹣4y 2=1（1x ≠-）直线l 的极坐标方程为ρcos （3πθ+）=.转化为直角坐标方程为：12x y = （2）由于直线与x0），所以直线的参数方程为12x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入x 2﹣4y 2=1得到：210t --=，所以：12t t +=t 1⋅t 2=-1，则：121211t t PA PB t t -+===8. 23.【解析】（1）当2m =-时，34,2,(),21,34,1,x x f x x x x x ---⎧⎪=--<<-⎨⎪+-⎩当2x -时，348x --，解得4x -；当21x -<<-时，不等式无解；当1x -时，348x +，解得43x . 综上，不等式的解集为4(,4],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.（2）由题意知，|2|(|1||3|)x m x x ++++，所以|2||1||3|x m x x ++++.记|2|()|1||3|x g x x x +=+++， 则1,(,3][1,),2()2,(3,1),2x g x x x ⎧∈-∞-⋃-+∞⎪⎪=⎨+⎪∈--⎪⎩， 当31x -<<-时，()()()22122322x x g x x x +⎧-≤<-⎪⎪=⎨--⎪-<<-⎪⎩， 则()12g x <， 又当2x =-时，()min 0g x =，所以1()0,2g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以12m ，所以实数m 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。
2021年高考数学模拟试卷(理科)
2021年高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上.1. 设全集U =R ，集合A ={x|1<x <3}，B ={x|2x −3≥0}，则A ∩(∁U B)=( ) A.(−∞,32) B.(1, +∞)C.(1,32)D.[32,3)2. 若复数z =m 2−1+(m +1)i 是纯虚数，其中m 是实数，则2z =( )A.iB.−iC.2iD.−2i3. 下列命题正确的是( )A.命题“p ∧q ”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题B.命题“若x =y ，则sin x =sin y ”的逆否命题为真命题C.“am 2<bm 2”是“a <b ”成立的必要不充分条件D.命题“存在x 0∈R ，使得x 02+x 0+1<0”的否定是：“对任意x ∈R ，均有x 2+x +1<0”4. 已知随机变量X −N(1, 1)，其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为（ ）附：若随机变量ξ−N(μ, σ2)，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)＝0.6826，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)＝0.9544．A.6038B.6587C.7028D.75395. 已知数列{a n }满足5a n+1=25∗5a n ，且a 2+a 4+a 6=9，则log 13(a 5+a 7+a 9)=() A.−3 B.3C.−13D.136. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知“堑堵”ABC −A 1B 1C 1的所有顶点都在球O 的球面上，且AB =AC =1，若球O 的表面积为3π，则这个三棱柱的体积是( )A.1 6B.13C.12D.17. 偶函数f(x)和奇函数g(x)的图象如图所示，若关于x的方程f(g(x))=1，g(f(x))=2的实根个数分别为m，n，则m+n=()A.16B.14C.12D.108. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A.14B.15C.16D.179. 已知(1+x)(a−x)6=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7(a∈R)，若a0+a1+a2+...+a6+a7=0，则a3的值为()A.35B.20C.5D.−510. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A.8+4√2B.12+4√2+2√3C.6+4√2+2√3D.1211. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，O 为坐标原点，以F 1F 2为直径的圆O 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为P 、Q ，点B 为圆O 与y 轴正半轴的交点，若∠POF 2＝∠QOB ，则双曲线C 的离心率为（ ） A.3+√5 B.3+√52C.1+√5D.1+√5212. 已知函数f(x)=e x +x 2+ln x 与函数g(x)=e −x +2x 2−ax 的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ） A.(−∞, −e]B.(−∞,−1e brackC.(−∞, −1]D.(−∞,−12brack二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的横线上.)13. 平面向量a →=(2, λ)，b →=(−3, 1)，若向量a →与b →共线，则a →⋅b →=________．14. 设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点与抛物线y 2=16x 的焦点相同，离心率为√63，则此椭圆的方程为________．15. 已知x ，y 满足不等式组{2y −x ≥0x +y −3≤02x −y +3≥0 ，若不等式ax +y ≤7恒成立，则实数a 的取值范围是________．16. 设数列{a n }满足a 0=12，a n+1=a n +a n22018(n =0,1,2⋯)，若使得a k <1<a k+1，则正整数k =________．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.)17. 已知向量a →=(√2sin 2x,√2cos 2x)，b →=(cos θ,sin θ)(|θ|<π2)，若f(x)=a →⋅b →，且函数f(x)的图象关于直线x =π6对称．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式，并求f(x)的单调递减区间；(Ⅱ)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若f(A)=√2，且b =5，c =2√3，求△ABC 外接圆的面积．18. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC =BC =AA 1=2，点P 为棱B 1C 1的中点，点Q 为线段A 1B 上一动点．(Ⅰ)求证：当点Q 为线段A 1B 的中点时，PQ ⊥平面A 1BC ；(Ⅱ)设BQ →=λBA 1→，试问：是否存在实数λ，使得平面A 1PQ 与平面B 1PQ 所成锐二面角的余弦值为√3010？若存在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由．19. 手机QQ 中的“QQ 运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．小明的QQ 朋友圈里有大量好友参与了“QQ 运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如表所示：3名，其中走路步数低于7500步的有X 名，求X 的分布列和数学期望；(Ⅱ)如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ 运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”．根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．20. 已知倾斜角为π4的直线经过抛物线Г：y2=2px(p>0)的焦点F，与抛物线Г相交于A，B两点，且|AB|=8．(1)求抛物线Г的方程；(2)过点P(12, 8)的两条直线l1，l2分别交抛物线Г于点C，D和E，F，线段CD和EF的中点分别为M，N．如果直线l1与l2的倾斜角互余，求证：直线MN经过一定点．21. 已知函数f(x)＝ax−ln x．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若a∈(−∞,−1e2]，求证：f(x)≥2ax−xe ax−1．四、请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程])22. 在极坐标系中，已知圆C的圆心为(2√2，π4)，半径为2√2．以极点为原点，极轴方向为x轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为{x=1at+3y=1−t(t为参数，a∈R且a≠0)．(Ⅰ)写出圆C的极坐标方程和直线l的普通方程；(Ⅱ)若直线l与圆C交于A、B两点，求|AB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲])23. 设不等式||x+1|−|x−1||<2的解集为A．(Ⅰ)求集合A；(Ⅱ)若∀m∈A，不等式mx2−2x+1−m<0恒成立，求实数x的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上. 1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】B 4.【答案】B 5.【答案】A 6.【答案】C 7.【答案】D 8.【答案】C 9.【答案】D 10.【答案】C 11.【答案】D 12.【答案】C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的横线上. 13.【答案】 −20314.【答案】 x 224+y 28=1 15.【答案】 [−4, 3]16.【答案】2018三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17.【答案】（1）根据题意，f(x)=a →⋅b →=√2sin 2x cos θ+√2cos 2x sin θ=√2sin (2x +θ)， ∵ 函数f(x)的图象关于直线x =π6对称，∴ 2×π6+θ=kπ+π2，k ∈Z ， ∴ θ=kπ+π6，k ∈Z ，又|θ|<π2，∴ θ=π6． ∴ f(x)=√2sin (2x +π6)．∵ 函数y =sin x 的单调递减区间为[2kπ+π2,2kπ+3π2]，k ∈Z ．令2x+π6∈[2kπ+π2,2kπ+3π2]，∴x∈[kπ+π6,kπ+2π3]．∴f(x)的单调递减区间为[kπ+π6,kπ+2π3]，k∈Z．（2）∵f(A)=√2sin(2A+π6)=√2，∴sin(2A+π6)=1．∵A∈(0, π)，∴2A+π6∈(π6,13π6)，∴2A+π6=π2，∴A=π6．在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2−2bc cos A=25+12−2×5×2√3cosπ6=7，∴a=√7．由正弦定理得asin A =2R=√712，∴R=√7，∴S=7π．18.【答案】(Ⅰ)证明：连结AB1、AC1，∵点Q为线段A1B的中点，∴A、Q、B1三点共线．∵点P、Q分别为B1C1和A1B的中点，∴PQ // AC1；在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，∴BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥AC1，又∵AC=AA1，∴四边形ACC1A1为正方形，∴AC1⊥A1C．∵A1C，BC⊂平面ABC1，A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面A1BC.∵PQ // AC1，∴PQ⊥平面A1BC．(Ⅱ)解：以C为原点，分别以CA、CB、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系C−xyz，则C(0,0,0)，B(0,2,0)，A1(2,0,2)，P(0,1,2)，B1(0,2,2).连结A1P，B1Q.设Q(x, y, z)， ∵ BQ →=λBA 1→，∴ (x, y −2, z)=λ(2, −2, 2)， ∴ {x =2λ,y =2−2λ,z =2λ,∴ Q(2λ, 2−2λ, 2λ)．∵ 点Q 在线段A 1B 上运动时，∴ 平面A 1PQ 的法向量即为平面A 1PB 的法向量. 设平面A 1PB 的法向量为n 1→=(x,y,z)， 由{n 1→⋅BP →=0,n 1→⋅PA 1→=0,得{2x −y =0,−y +2z =0,令y =2，得n 1→=(1,2,1)，设平面B 1PQ 的法向量为n 2→=(a,b,c)， 由{n 2→⋅PB 1→=0,n 2→⋅B 1Q →=0, 得{b =0,λa +λb +(λ−1)c =0, ， 令c =1得n 2→=(1−λλ,0,1)=1λ(1−λ,0,λ)，取n 2→=(1−λ,0,λ)， 由题意得|cos <n 1→，n 2→>|=(1,2,1)⋅(1−λ,0,λ)√6√(1−λ)2+λ2=1√6√2λ2−2λ+1=√3010， ∴ 9λ2−9λ+2=0， 解得λ=13或λ=23．∴ 当λ=13或λ=23时，平面A 1PQ 与平面B 1PQ 所成锐二面角的余弦值为√3010.19. 【答案】（1）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为615=25．X 可能取值分别为0，1，2，3，∴ P(X =0)=C 30(25)0(35)3=27125，P(X =1)=C 31(25)1(35)2=54125， P(X =2)=C 32(25)2(35)1=36125，P(X =3)=C 33(25)3(35)0=8125，∴ X 的分布列为则E(X)=0×27125+1×54125+2×36125+3×8125=65．（2）完成2×2列联表如下：k 2的观测值k 0=30(9×11−6×4)215×15×13×17=750221≈3.394<3.841．据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关． 20. 【答案】解：(1)由题意可设直线AB 的方程为y =x −p2， 令A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)． 联立{y =x −p2，y 2=2px ，得x 2−3px +p 24=0，∴ x 1+x 2=3p ， 根据抛物线的定义得，又|AB|=x 1+x 2+p =4p ， 又|AB|=8，∴ 4p =8，∴ p =2则此抛物线的方程为y 2=4x ．(2)设直线l 1，l 2的倾斜角分别为α，β，直线l 1的斜率为k ，则k =tan α． 由于直线l 1，l 2的倾斜角互余，则tan β=tan (π2−α)=sin (π2−α)cos (π2−α)=cos αsin α=1tan α，则直线l 2的斜率为1k ．于是直线CD 的方程为y −8=k(x −12)， 即y =k(x −12)+8， 联立{y =k(x −12)+8，y 2=4x ，得ky 2−4y +32−48k =0， ∴ y C +y D =4k ，则x C +x D =24+4k 2−16k，∴ M(12+2k 2−8k , 2k )， 同理将k 换成1k 得：N(12+2k 2−8k, 2k)， ∴ k MN =2(1k −k)2(1k 2−k 2)−8(1k−k)=11k+k−4．则直线MN 的方程为 y −2k =11k+k−4[x −(12+2k 2−8k)]，即(1k+k −4)y =x −10，显然当x =10，y =0所以直线MN 经过定点(10, 0)． 21. 【答案】（1）因为f(x)＝ax −ln x ，f′(x)＝a −1x ，x >0，a ∈R ，若a ≤0，则f′(x)<0对x >0恒成立，所以，此时f(x)的单调递减区间为(0, +∞)； 若a >0，则f′(x)=ax−1x>0时，x >1a ，∴ f(x)的单调递减区间为(0, 1a )，单调递增区间为(1a , +∞)； 综上：当a ≤0时，f(x)在(0, +∞)上单调递减；当a >0时，f(x)在(0, 1a )上单调递减，在(1a , +∞)上单调递增．（2）证明：令g(x)＝f(x)−2ax +xe ax−1＝xe ax−1−ax −ln x ，则g′(x)＝e ax−1+axe ax−1−a −1x =(ax +1)(e ax−1−1x )， 由于e ax−1−1x =xe ax−1−1x ，设r(x)＝xe ax−1−1，r′(x)＝(1+ax)e ax−1，由r′(x)>0⇒1+ax >0⇒x <−1a，所以r(x)在(0, −1a )上单调递增； 由r′(x)<0⇒1+ax <0⇒x >−1a ，所以r(x)在(−1a , +∞)上单调递减．∴ r(x)max ＝r(−1a )＝−(1ae 2+1)≤0（因为a ≤−1e 2），从而e ax−1−1x ≤0， 则g(x)在(0, −1a )上单调递减；在(−1a , +∞)上单调递增， ∴ g(x)min ＝g(−1a )， 设t =−1a ∈(0, e 2],g(−1a )＝ℎ(t)=t e 2−ln t +1(0<t ≤e 2)，ℎ′(t)=1e 2−1t ≤0，ℎ(x)在(0, e 2]上递减，∴ ℎ(t)≥ℎ(e 2)＝0； ∴ g(x)≥0，故f(x)≥2ax −xe ax−1．四、请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.【答案】(Ⅰ)∵ 圆C 的圆心为(2√2，π4)，半径为2√2， ∴ 在直角坐标系中，圆C 的圆心为(2, 2)，则圆C 的直角坐标方程为(x −2)2+(y −2)2=(8)即x 2+y 2−4x −4y =0， ∴ 圆C 的极坐标方程为ρ2−4ρcos θ−4ρsin θ=0，即ρ=4√2sin (θ+π4)．∵ 直线l 的参数方程{x =1a t +3y =1−t，消去参数t ，得直线l 的普通方程为：ax +y −3a −1=(0)(Ⅱ)直线l 过圆C 内一定点P(3, 1)，当CP ⊥AB 时，|AB|有最小值，∴ |AB|的最小值|AB|min =2√R 2−CP 2=2√8−2=2√6．[选修4-5：不等式选讲]23.【答案】（1）由已知，令f(x)=|x +1|−|x −1|={2,(x ≥1)2x(−1<x <1)−2(x ≤−1)，由|f(x)|<2，得A ={x|−1<x <1}．（2）将不等式mx 2−2x +1−m <0整理成(x 2−1)m −2x +1<0，令g(m)=(x 2−1)m −2x +1，要使g(m)<0，则{g(−1)=(x 2−1)⋅(−1)−2x +1≤0g(1)=(x 2−1)⋅1−2x +1≤0 ，∴{x2+2x−2≥0，x2−2x≤0∴{x≤−1−√3x≥√3−1，0≤x≤2∴√3−1≤x≤(2)。
高考数学模拟题理科
2021新课程高考调研卷理科〔一〕参照公式：锥体体积公式V1柱体体积公式V Sh S为底面面积，h为高Sh，此中3第I卷〔选择题〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
1.设z 1i〔i是虚数单位〕，那么z1〔〕z3i3iC.13i13iA. B.2D.222x1x2.为了获得函数y1的图象，能够把函数y的图象〔〕333A.向左平移3个单位长度B.向右平移3个单位长度C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度3.某校高三质量检测后，统计的全部考生的数学成绩听从正态散布。
数学成绩的均匀分为90分，60分以下的人数占10%，那么数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为〔〕A.10%B.20%C.30%D.40%4．假定a 21sinxdx，bcosxdx，那么a与b的关系是〔〕20A.abB.abC.abD.ab05.、表示两个相互垂直的平面，a、b表示一对异面直线，那么ab的一个充足条件是〔〕A.a//，bB.a//，b//C.a，b//D.a，b 6.一个等比数列的首项为1，项数是偶数，全部奇数项之和为85，全部偶数项之和为170，那么这个等比数列的项数为〔〕A . 4B.6C . 8D.107．设双曲线x 2 3y 2 1的两条渐近线与直线xm(mR)围成的三角形地区的外接圆面积为4，那么实数m 的值为〔〕3A . 3 B.2 C. 2 D. 38.某程序框图以以下图，该程序运转后输出的 x 的值是〔 〕A. 6B.8C.10D.129.ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA 4OB5OC0，那么OCAB 的值为〔 〕A . 1 11125B.C.D.5 52510.在x 2x15x 4项的系数是〔 x1 的睁开式中，含 〕A. 8 B. 5 C. 9 D.311.x0，，对于x 的方程2sinx a 有两个不一样的实数解，那么实数 a 的取值3范围是〔 〕A . 3,2 B. 3,2C. 3,2D. 3,212.函数yf(x 1)的图象对于点1，0 对称，且当x，0 时，f(x) xf (x)〔此中f (x)是f(x)的导函数〕，假定a 3f(3),blog3f(log3) ，clog 3 1f(log 31)，那么a 、b 、c 的大小关系是〔〕9 9A.abcB.cbaC.cabD.acb第二卷〔非选择题〕二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。
2021年高三理科数学模拟考试卷(1)
2021年高三理科数学模拟考试卷（1）注意事项：1．第I 卷（选择题）每小题选出答案后，用铅笔把答卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上； 2．第II 卷（非选择题）答案写在答卷上。
参考公式：,3114,,(),333V Sh V Sh V S S h V R π'====柱锥台球如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）. 如果事件A 、B 相互独立，那么.第I 卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{24},{3782},P x x Q x x x =≤<=-≥-集合则 （A ） {} （B ） {} （C ） {} （D ） {}2. 复数=（ ）A ．B ．C ．D ． 3. 设随机变量服从正态分布，若，则 A . B . C .D .4.下列命题中正确的个数是（1）若直线上有无数个点不在平面内，则∥.（2）若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行.（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行. （4）若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 35.已知直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y ++=-++=平行，则实数的值为 （A ） -7 （B ） -1 （C ） -1或-7 （D ）6.若函数在处有最小值，则( )A ． B. C.4 D.37.设等比数列的各项均为正数，且，则（A） 12 （B） 10 （C） 8 （D）8.已知点是椭圆上一点，且在轴上方，、分别是椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，则的面积是（A）（B）（C）（D）第II卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共30分.其中14～15题是选做题，只能做一题，两题全答的，只计算前一题得分.（一）必做题（9～13题）9.已知向量共线，则 .10.右面框图表示的程序所输出的结果是_______11.二项式的展开式中的常数项是 .12.设是周期为2的奇函数，当时，,则13.规定符号“”表示一种两个正实数之间的运算，即，则函数的值域是．（二）选做题（14、15题）14（几何证明选讲选做题）已知圆的直径，为圆上一点，，垂足为，且，则 . 15（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐标方程为，则点（0,0）到这条直线的距离是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（14分）已知-2（1）求的最大值及相应的值；（2）当时，已知，求的值.17．（本小题满分14分）xx年广东亚运会，某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K和D两个动作，比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩。
高考数学理科模拟考试卷一 试题
2021年高考数学理科模拟考试卷一制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。
第一卷1至3页. 第二卷4至10页.第一卷〔选择题 一共60分〕参考公式：假如事件A 、B 互斥，那么球的外表积公式P 〔A+B 〕=P 〔A 〕+P 〔B 〕 S=4πR 2假如事件A 、B 互相HY ，那么其中R 表示球的半径 P 〔A ·B 〕=P 〔A 〕·P 〔B 〕球的体积公式假如事件A 在一次试验中发生的概率是P.334R V π=那么n 次HY 重复试验中恰好发生k 次的概 其中R 表示球的半径率kn k k n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1．〔理〕2(1)ii =+A ．12 B ．12-C ．2i D ．2i -2． 角2α顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边过点1(2-，那么tan α=A．BCD．±3．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5(1)n n S a =-，那么1a 等于A ．14-B ．14 C ．54-D ．544. 函数lg(1)y x =+的反函数的图像为ABC D5．函数32y x x =-的切线方程为(0)y x a a =+>，那么a =A ．2B ．1C ．3D ．06．向量a 、b 满足|a |=1，|a －b，a 与b 的夹角为60o，那么｜b ｜＝ A ．1 BC ．12D ．127．不等式11xx >+的解集为A ．{10}x x -<<B ．{0}x x >C ．{1}x x >-D ．1{1}2x x -<<-8．m,n 是两条不重合的直线，,,αβγ是三个两两不重合的平面，给出以下命题：①假设m ∥β，n ∥β且m ,n ,αα⊂⊂那么α∥β；②假设n,m αβ=∥n ，那么m ∥α且m ∥β；③假设m ,α⊥m ∥β那么αβ⊥； ④假设α∥β，且m,n,γαγβ==那么m ∥n其中的正确命题是A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④9．函数()xf x x a=-在区间[1,)+∞上是减函数，那么实数a 的取值范围为A ．0a ≤B ．01a <<C ．01a ≤≤D ．1a >10． 在正方体1111ABCD A B C D —中，点M 是BC 的中点，那么1D B 与AM 所成的角为A．B．arcsinC．arcsin5 D．arccos511．抛物线24(0)y px p =>的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，假设OPF ∆为等腰三角形，那么这样的P 点的个数为Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．４ Ｄ. 612．对于各数互不相等的正数数组()n i i i ,,,21 〔n 是不小于2的正整数〕，假如在q p <时有q p i i >，那么称p i 与q i 是该数组的一个“逆序〞，一个数组中所有“逆序〞的个数称为此数组的“逆序数〞. 例如，数组()1,3,4,2中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其“逆序数〞等于4. 假设各数互不相等的正数数组()1234,,,a a a a 的“逆序数〞是2，那么()4321,,,a a a a 的“逆序数〞是A AC 1CBA . 1B . 2C . 3D . 4第二卷〔非选择题 一共90分〕二、填空题: 本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分.把答案填在题中横线上. 13．某中学高一有400人，高二有320人，高三有280人，，向该中学抽取容量为200的样本，那么每人被抽到的概率为_____________.14. 6()x a +的展开式中2x 的系数为60，那么实数a =________________.15. 假设直线(2)y k x =+与圆221x y +=相交，那么该直线的倾斜角的范围为___________ ________.16．如图，要用三根数据线将四台电脑A 、B 、C 、D 连接起来以实现资源一共享，那么不同的连接方案一共有 种(用数字答题)三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.17．〔本小题满分是12分〕函数()sin()cos f x x x ϕ=+的图像关于直线6x π=对称.〔1〕求函数()f x 的解析式；〔2〕画出函数()f x 在一个周期内的图像.数据线 之一ABCD18．〔本小题满分是12分〕在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点． 〔1〕求证：//EF 平面PAD ；〔2〕当平面PCD 与平面ABCD 成多大二面角时 直线⊥EF 平面PCD ？19．〔本小题满分是12分〕函数()ln(1)1xf x e x =-+-(0)x ≥. 〔1〕求函数()f x 的最小值； 〔2〕0y x ≤<，求证：1ln(1)ln(1)x ye x y -->+-+.19．〔本小题满分是12分〕函数()ln(1)1xf x e x =-+-(0)x ≥. 〔1〕求函数()f x 的最小值； 〔2〕0y x ≤<，求证：1ln(1)ln(1)x ye x y -->+-+.21．〔本小题满分是12分〕 数列{n a }中135a =， 112n n a a -=-〔n ≥2，n *∈N 〕，数列}{n b ，满足11n n b a =-〔n *∈N 〕.〔1〕求证：数列{n b }是等差数列；〔2〕求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由.22．〔本小题满分是14分〕中心在原点的双曲线C 的左焦点(2,0)-，而C 的右准线的方程为32x = 〔1〕求双曲线C 的方程；〔2〕假设过〔0〕点且斜率为k 的直线与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B 满足5OA OB <〔其中O 为原点〕，求k 的取值范围.参考答案一、选择题：ABDCADDBBA ＣD选择题答案提示：1．21(1)22i i i i ==+ 选A.2．由2α终边在第二象限知tan 0α>，依题设知tan 2α=2α=0120，得060α=，tan α=选B5(1)n n s a =-,取1n =,得115(1)a a =-,于是154a =. 选D lg(1)y x =+的图象与其反函数图象都过原点排除A 、D,又由函数lg(1)y x =+的图象过点(9,1),而其其反函数图象过点(1,9),知选C.32y x x =-得'232y x =-,令'0y =,那么1x =±当1x =时,1y =-,过点(1,1)-处的切线方程是2y x =-,此时20a =-<不合题意. 当1x =-时,1y =,过点(1,1)-处的切线方程是2,20y x a =+=>,选A.6.数形结合.如右图,△ABC 中, ,AC a =,AB b =,BC a b =-,1,2a ab =-=,∠BAC=060,由余弦定理得222012cos 60b b =+-⋅⋅ 解得 12b = 选D. 1x =,排除B 和C;取14x =-,排除A,选D ①不成立排除A 和C,检验知③成立,选B 9.()11a f x x =+-,依题意知函数()1a g x x =-在[1,)+∞上递减,利用检验排除法知选B.10．如图,分别取直线DA 、DC 、1DD 为x 轴、y 轴、z 轴,建立坐标系,设正方体的棱长为2,那么(2,0,0),(1,2,0)A M ,1(0,0,2)D ,(2,2,0)B 有1(1,2,0),(2,2,2)AM D B =-=-设1D B 和AM 夹角为θ,那么1115cos 15D B AM D B AMθ⋅==⋅选APO PF=时,点P 在线段的中垂线上,此时,点P 的位置有两个;当OP OF=时, 点P 的位置也有两个;FO FP=的情形不存在,故满足条件的△OPF 一共有4个.选C.1234(,,,)(2,1,4,3)a a a a =,“逆序数〞=2,那么4321(,,,)a a a a =(3,4,1,2),其“二、填空题：13. 14.2± 15. 5[0,)(,)66πππ 16．16 填空题答案提示:2000.2400320280=++.14.662166r r rrr r r T C a C xa --+==,令622r-=,得2r =,可得2x 项的系数为 22660C a=⇒242a a=⇒=±(2)y k x =+与圆221x y +=相交,圆心到直线间隔 小于圆的半径得133k <⇒-<<,知直线的倾斜角范围是5[0,)(,)66πππ 16.先将A 、B 、C 、D 两两连接,得到6条线段,从中取3条有3620C =种,再去掉不符合题意(构成三角形)的4种,一共有20416-=种.三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.17．解：〔1〕2()sin()cos sin cos cos cos sin f x x x x x x ϕϕϕ=+=+111sin 2cos cos 2sin sin 222x x ϕϕϕ=++ 11sin(2)sin 22x ϕϕ=++…………………………………2分因为函数()f x 的图像关于直线6x π=对称，所以()()66f x f x ππ-=+即sin[2()]sin[2()]66x x ππϕϕ-+=++对于任意x R ∈成立．也就是sin[()2)]sin[()2]33x x ππϕϕ+-=++， 展开，得2cos()sin 203x πϕ+=．因为上面的等式对于任意x R ∈均成立，所以有cos()03πϕ+=，于是得()32k k Z ππϕπ+=+∈，即()6k k Z πϕπ=+∈．于是11()sin(2)264f x x π=++，或者11()sin(2)264f x x π=-++…………………………6分〔2〕列表：描点，连线：〔略〕…………………………………………………………12分18．证：〔1〕取CD 中点G ，连结EG 、FG∵E 、F 分别是AB 、PC 的中点，∴EG//AD ，FG//PD ，∴平面EFG//平面PAD ，∴ EF//平面PAD ． ………………………………………………6分〔2〕当平面PCD 与平面ABCD 成45︒角时，直线EF ⊥平面PCD.证明：∵G 为CD 中点，那么EG ⊥CD ，∵PA ⊥底面ABCD ∴AD 是PD 在平面ABCD 内的射影。
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2021理科数学模拟试题2021高考理科数学模拟试题(一)-(27906)20XX高考理科数学模拟试题（一）考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)1．已知集合M={x|y=x2+1}，N={y|y=}，则M∩N=（）A．{（0，1）}B．{x|x≥﹣1}C．{x|x≥0}D．{x|x≥1}2．复数z=的共轭复数的虚部为（）A．﹣iB．﹣C．iD．3．已知命题p：存在向量，，使得•=||•||，命题q：对任意的向量，，，若•=•，则=．则下列判断正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题4．20XX年5月30日是我们的传统节日﹣﹣”端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事A=“取到的两个为同一种馅”，事B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．5．已知锐角α的终边上一点P（sin40°，1+cos40°），则α等于（）A．10°B．20°C．70°D．80°6．已知函数，若，b=f（π），c=f（5），则（）A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．b＜c＜aD．a＜c＜b7．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，2]D．[2，+∞）8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．9．在约束条下，当6≤s≤9时，目标函数z=x﹣y的最大值的变化范围是（）A．[3，8]B．[5，8]C．[3，6]D．[4，7]10．已知正实数a，b满足a+b=3，则的最小值为（）A．1 B．C．D．211．已知a∈R，若f（x）=（x+）ex在区间（0，1）上只有一个极值点，则a的取值范围为（）A．a＞0B．a≤1 C．a＞1 D．a≤012．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，点Q（c，）在椭圆的内部，点P是椭圆C上的动点，且|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（） A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知，则二项式展开式中的常数项是．14．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于y轴对称，该函数的部分图象如图所示，△PMN是以MN为斜边的等腰直角三角形，且，则f（1）的值为．15．在平面直角坐标系中，有△ABC，且A（﹣3，0），B （3，0），顶点C到点A与点B的距离之差为4，则顶点C的轨迹方程为．16．一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是．三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（12分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=1﹣，其中n∈N*．（Ⅰ）设bn=，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式an；（Ⅱ）设Cn=，数列{CnCn+2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn＜对于n∈N*恒成立，若存在，求出m 的最小值，若不存在，请说明理由．18．（12分）从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；（2）若用分层抽样的方法从分数在[30，50）和[130，150]的学生中共抽取6人，该6人中成绩在[130，150]的有几人？（3）在（2）抽取的6人中，随机抽取3人，计分数在[130，150]内的人数为ξ，求期望E（ξ）．19．（12分）如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC．（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；（Ⅱ）PQ⊥平面QBC，求二面角Q﹣PB﹣A的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=x2+aln（x+1）（a为常数）（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22．（10分）直角坐标系xOy和极坐标系Ox的原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为为参数）．（1）在极坐标系下，曲线C与射线和射线分别交于A，B两点，求△AOB的面积；（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为（t为参数），求曲线C与直线l的交点坐标．23．（10分）已知函数f（x）=|2x+1|﹣|2x﹣3|，g（x）=|x+1|+|x﹣a|（1）求f（x）≥1的解集（2）若对任意的t∈R，都存在一个s使得g（s）≥f （t）．求a的取位范围．20XX高考理科数学模拟试题（一）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知集合M={x|y=x2+1}，N={y|y=}，则M∩N=（）A．{（0，1）}B．{x|x≥﹣1}C．{x|x≥0}D．{x|x≥1}【分析】求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=x2+1，得到x∈R，即M=R，由N中y=≥0，得到N={x|x≥0}，则M∩N={x|x≥0}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．复数z=的共轭复数的虚部为（）A．﹣iB．﹣C．iD．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出得答案．【解答】解：∵z==，∴．∴复数z=的共轭复数的虚部为．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．已知命题p：存在向量，，使得•=||•||，命题q：对任意的向量，，，若•=•，则=．则下列判断正确的是（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨（￢q）是假命题D．命题p∧（￢q）是真命题【分析】命题p：存在同方向向量，，使得•=||•||，即可判断出真假．命题q：取向量=（1，0），=（0，1），=（0，2），满足•=•，则≠，即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：存在同方向向量，，使得•=| |•||，真命题．命题q：取向量=（1，0），=（0，1），=（0，2），则•=•，≠，因此是假命题．则下列判断正确的是：p∧（￢q）是真命题．故选：D．【点评】本题考查了数量积运算性质、复合命题的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．20XX年5月30日是我们的传统节日﹣﹣”端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事A=“取到的两个为同一种馅”，事B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．【分析】求出P（A）==，P（AB）==，利用P（B|A）=，可得结论．【解答】解：由题意，P（A）==，P（AB）==，∴P（B|A）==，故选：A．【点评】本题考查条概率，考查学生的计算能力，正确运用公式是关键．5．已知锐角α的终边上一点P（sin40°，1+cos40°），则α等于（）A．10°B．20°C．70°D．80°【分析】由题意求出PO的斜率，利用二倍角公式化简，通过角为锐角求出角的大小即可．【解答】解：由题意可知sin40°＞0，1+cos40°＞0，点P在第一象限，OP的斜率tanα===cot20°=tan70°，由α为锐角，可知α为70°．故选C．【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．6．已知函数，若，b=f（π），c=f（5），则（）A．c＜b＜aB．c＜a＜bC．b＜c＜aD．a＜c＜b【分析】求出函数f（x）的导数，判断函数的单调性，从而比较函数值的大小即可．【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣1﹣=﹣＜0，故f（x）在（0，+∞）递减，而5＞π＞，∴f（5）＜f（π）＜f（），即c＜b＜a，故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．7．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，﹣1]C．[﹣1，2]D．[2，+∞）【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．根据函数的解析式，结合输出的函数值在区间内，即可得到答案．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．又∵输出的函数值在区间内，∴x∈[﹣2，﹣1] 故选B 【点评】本题考查的知识点是选择结构，其中根据函数的流程图判断出程序的功能是解答本题的关键．8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，从而求两个体积之和即可．【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，半个圆锥的体积为××π×1×=；四棱锥的体积为×2×2×=；故这个几何体的体积V=；故选D．【点评】本题考查了学生的空间想象力与计算能力，属于基础题．9．在约束条下，当6≤s≤9时，目标函数z=x﹣y的最大值的变化范围是（）A．[3，8]B．[5，8]C．[3，6]D．[4，7]【分析】作出不等式组对应的平面区域，画出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣y得y=x﹣z，利用平移即可得到结论．【解答】解：约束条对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x﹣y得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z， s=6时由平移可知当直线y=x﹣z，经过点A时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z 取得最大值，x﹣y取得最大值；由，解得A（5，1）代入z=x﹣y得z=5﹣1=4，即z=x﹣y 的最大值是4， s=9时由平移可知当直线y=x﹣z，经过点B时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z取得最大值，x﹣y取得最大值；由解得B（8，1）代入z=x﹣y得z=8﹣1=7，即z=x﹣y的最大值是7，目标函数z=x﹣y的最大值的变化范围是：[4，7]．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．10．已知正实数a，b满足a+b=3，则的最小值为（）A．1 B．C．D．2 【分析】由已知可得，代入，然后利用基本不等式求最值．【解答】解：∵a+b=3，∴====．当且仅当，即a=，b=时等号成立．故选：C．【点评】本题考查利用基本不等式求最值，关键是掌握该类问题的求解方法，是中档题．11．已知a∈R，若f（x）=（x+）ex在区间（0，1）上只有一个极值点，则a的取值范围为（）A．a＞0B．a≤1 C．a＞1 D．a≤0【分析】求导数，分类讨论，利用极值、函数单调性，即可确定a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=（x+）ex，∴f′（x）=（）ex，设h（x）=x3+x2+ax﹣a，∴h′（x）=3x2+2x+a， a＞0，h′（x）＞0在（0，1）上恒成立，即函数h（x）在（0，1）上为增函数，∵h（0）=﹣a＜0，h（1）=2＞0，∴h（x）在（0，1）上有且只有一个零点x0，使得f′（x0）=0，且在（0，x0）上，f′（x）＜0，在（x0，1）上，f′（x）＞0，∴x0为函数f（x）在（0，1）上唯一的极小值点；a=0时，x∈（0，1），h′（x）=3x2+2x＞0成立，函数h （x）在（0，1）上为增函数，此时h（0）=0，∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值；a＜0时，h（x）=x3+x2+a（x﹣1），∵x∈（0，1），∴h （x）＞0在（0，1）上恒成立，即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值．综上所述，a＞0．故选：A．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，点Q（c，）在椭圆的内部，点P是椭圆C上的动点，且|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（） A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）【分析】点Q（c，）在椭圆的内部，，|PF1|+|PQ|=2a﹣|PF2|+|PQ|，由﹣|QF2|+|PQ|≤|PQ|﹣|PF2|≤|QF2|，且|QF2|=，要|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，即2a﹣|PF2|+|PQ|≤2a+＜5×2c．【解答】解：∵点Q（c，）在椭圆的内部，∴，⇒2b2＞a2⇒a2＞2c2．|PF1|+|PQ|=2a﹣|PF2|+|PQ| 又因为﹣|QF2|+|PQ|≤|PQ|﹣|PF2|≤|QF2|，且 |QF2|=，要|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，即2a﹣|PF2|+|PQ|≤2a+＜5×2c ，，则椭圆离心率的取值范围是（，）．故选：B 【点评】本题考查了椭圆的方程、性质，椭圆的离心率，转化思想是解题关键，属于难题．二．填空题（共4小题）13．已知，则二项式展开式中的常数项是240 ．【分析】利用定积分求出a，写出展开式的通项公式，令x的指数为0，即可得出结论．【解答】解：=sinx=2，则二项式=展开式的通项公式为Tr+1=C6r2rx6-32r，令，求得r=4，所以二项式展开式中的常数项是×24=240．故答案为：240．【点评】本题考查定积分知识的运用，考查二项式定理，考查学生的计算能力，属于中档题．14．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于y轴对称，该函数的部分图象如图所示，△PMN是以MN为斜边的等腰直角三角形，且，则f（1）的值为0 ．【分析】由题意，求出结合函数的图象，图象关于y轴对称，φ=，△PMN是以MN为斜边的等腰直角三角形，可得|PM|•sin45°=|MN|，且，求解 |MN|和A，即得函数f（x）=Asin（ωx+φ）【解答】解：由题意，图象关于y轴对称，φ=，∵△PMN 是以MN为斜边的等腰直角三角形，可得|PM|•sin45°=|MN|，且，解得：|MN|=2，|PM|=在等腰三角形PMN中，可求的△PMN的高为1，即P点的纵坐标是1，故得A=1， T=2|MN|=4，∴ ∴函数f（x）=Asin （ωx+φ）=sin（）=，当x=1时，即f（1）=cos=0．故答案为0．【点评】本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．15．在平面直角坐标系中，有△ABC，且A（﹣3，0），B （3，0），顶点C到点A与点B的距离之差为4，则顶点C的轨迹方程为=1（x≥2）．【分析】利用A（﹣3，0），B（3，0），顶点C到点A与点B的距离之差为4，由双曲线的定义可得点C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线的右支，2a=4，c=3，求出b，即可求出点C的轨迹方程．【解答】解：∵A（﹣3，0），B（3，0），顶点C到点A与点B的距离之差为4，∴由双曲线的定义可得点C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线的右支，2a=4，c=3，∴a=2，b=，∴点P 的轨迹方程为=1（x≥2），故答案为=1（x≥2）．【点评】本题考查点C的轨迹方程，考查双曲线的定义，正确运用双曲线的定义是关键．16．一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是（，）．【分析】画出长方体，使其一个顶点放在桌面上，容易观察出液体体积何时取得最小值和最大值．【解答】解：长方体ABCD﹣EFGH，若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC；而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条，则任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形；所以液体体积必须大于三棱柱G﹣EHD的体积，并且小于长方体ABCD﹣EFGH体积﹣三棱柱B﹣AFC体积1﹣ =，故答案为：（，）．【点评】本题考查了棱柱的结构特征以及几何体的体积求法问题，也考查了空间想象能力，是难题．三．解答题（共7小题，满分70分）17．（12分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=1﹣，其中n∈N*．（Ⅰ）设bn=，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式an；（Ⅱ）设Cn=，数列{CnCn+2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn＜对于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用递推公式即可得出bn+1﹣bn为一个常数，从而证明数列{bn}是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得到bn，进而得到an；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，利用“裂项求和”即可得到Tn，要使得Tn＜对于n∈N*恒成立，只要，即，解出即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵bn+1﹣bn====2，∴数列{bn}是公差为2的等差数列，又=2，∴bn=2+（n﹣1）×2=2n．∴2n=，解得．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，∴cncn+2==，∴数列{CnCn+2}的前n项和为Tn=…+ =2＜3．要使得Tn＜对于n∈N*恒成立，只要，即，解得m≥3或m≤﹣4，而m＞0，故最小值为3．【点评】正确理解递推公式的含义，熟练掌握等差数列的通项公式、“裂项求和”、等价转化等方法是解题的关键．18．（12分）从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分；（2）若用分层抽样的方法从分数在[30，50）和[130，150]的学生中共抽取6人，该6人中成绩在[130，150]的有几人？（3）在（2）抽取的6人中，随机抽取3人，计分数在[130，150]内的人数为ξ，求期望E（ξ）．【分析】（1）由频率分布直方图计算数据的平均分；（2）计算样本中分数在[30，50）和[130，150]的人数，根据分层抽样原理求出抽取的人数；（3）计算抽取的6人中分数在[130，150]的人数，求出ξ的所有取值与概率分布，计算数学期望值．【解答】解：（1）由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考试的平均分为0.0050×20×40+0.0075×20×60+0.0075×20×80+0.0150×20×100 +0.0125×20×120+0.0025×20×140=92；…（4分）（2）样本中分数在[30，50）和[130，150]的人数分别为6人和3人，所以抽取的6人中分数在[130，150]的人有（人）；…（8分）（3）由（2）知：抽取的6人中分数在[130，150]的人有2人，依题意ξ的所有取值为0、1、2，当ξ=0时，；当ξ=1时，；当ξ=2时，；∴．…（12分）【点评】本题主要考查了频率分布直方图以及平均数和概率的计算问题，也考查了运用统计知识解决简单实际问题的能力，是基础题．19．（12分）如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC．（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；（Ⅱ）PQ⊥平面QBC，求二面角Q﹣PB﹣A的余弦值．【分析】（Ⅰ）利用线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理即可证明；（Ⅱ）方法一：利用三角形的中位线定理及二面角的平面角的定义即可求出．方法二：通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量所成的夹角来求两平面的二面角的平面角．【解答】解：（I）证明：过点Q作QD⊥BC于点D，∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD⊥平面ABC，又∵PA⊥平面ABC，∴QD∥PA，又∵QD⊂平面QBC，PA⊄平面QBC，∴PA∥平面QBC．（Ⅱ）方法一：∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．∴点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC，∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，∴四边形PADQ是矩形．设PA=2a，∴，PB=2a，∴．过Q作QR⊥PB于点R，∴QR==， ==，取PB中点M，连接AM，取PA的中点N，连接RN，∵PR=，，∴MA∥RN．∵PA=AB，∴AM⊥PB，∴RN⊥PB．∴∠QRN为二面角Q﹣PB﹣A的平面角．连接QN，则QN===．又，∴cos∠QRN===．即二面角Q﹣PB﹣A的余弦值为．（Ⅱ）方法二：∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．∴点D是BC的中点，连AD，则AD⊥BC．∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，∴四边形PADQ是矩形．分别以AC、AB、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设PA=2，则Q（1，1，2），B（0，2，0），P（0，0，2），设平面QPB的法向量为．∵=（1，1，0），=（0，2，﹣2）．∴令x=1，则y=z=﹣1．又∵平面PAB的法向量为．设二面角Q﹣PB﹣A为θ，则|cosθ|===又∵二面角Q﹣PB﹣A是钝角∴．【点评】熟练掌握线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理、二面角的定义及通过建立空间直角坐标系并利用平面的法向量所成的夹角来求二面角的平面角是解题的关键．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．【分析】（1）求得圆Q的圆心，代入椭圆方程，运用两点的距离公式，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；（2）讨论两直线的斜率不存在和为0，求得三角形MAB的面积为4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，求得MP的长，再由直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，化简整理，由换元法，结合函数的单调性，可得面积的范围．【解答】解：（1）圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心为（2，），代入椭圆方程可得+=1，由点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为，即有=，解得c=2，即a2﹣b2=4，解得a=2，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）当直线l2：y=，代入圆的方程可得x=2±，可得M的坐标为（2，），又|AB|=4，可得△MAB的面积为×2×4=4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程可得，（1+k2）x2﹣4x+2=0，可得中点M（，）， |MP|==，设直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，可得：（2+k2）x2﹣4kx﹣4k2=0，设（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，则|AB|=• =•，可得△MAB的面积为S=••• =4，设t=4+k2（5＞t＞4），可得==＜=1，可得S ＜4，且S＞4=综上可得，△MA B的面积的取值范围是（，4]．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查三角形的面积的范围，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及三角形的面积公式，运用换元法和函数的单调性，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=x2+aln（x+1）（a为常数）（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．【分析】（Ⅰ）已知原函数的值为正，得到导函数的值非负，从而求出参量的范围；（Ⅱ）利用韦达定理，对所求对象进行消元，得到一个新的函数，对该函数求导后，再对导函数求导，通过对导函数的导导函数的研究，得到导函数的最值，从而得到原函数的最值，即得到本题结论．【解答】解：（Ⅰ）根据题意知：f′（x）=在[1，+∞）上恒成立．即a≥﹣2x2﹣2x在区间[1，+∞）上恒成立．∵﹣2x2﹣2x在区间[1，+∞）上的最大值为﹣4，∴a≥﹣4；经检验：当a=﹣4时，，x∈[1，+∞）．∴a的取值范围是[﹣4，+∞）．（Ⅱ）在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根，即方程2x2+2x+a=0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根．记g（x）=2x2+2x+a，则有，解得．∴，．∴ 令．，记．∴，P’(-12)=-4，P’(0)=2 在使得p′（x0）=0．当，p′（x）＜0；当x∈（x0，0）时，p′（x）＞0．而k′（x）在单调递减，在（x0，0）单调递增，∵K"-12=1-2ln2<0,K"0=0 ∴当x∈-12，0，K"(x)<0，∴k（x）在单调递减，即．【点评】本题考查的是导数知识，重点是利用导数法研究函数的单调性、究极值和最值，难点是多次连续求导，即二次求导，本题还用到消元的方法，难度较大．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22．（10分）（选做题）直角坐标系xOy和极坐标系Ox的原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为为参数）．（1）在极坐标系下，曲线C与射线和射线分别交于A，B两点，求△AOB的面积；（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为（t为参数），求曲线C与直线l的交点坐标．【分析】（1）先消去参数方程中的参数得普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换将直角坐标方程化成极坐标方程，通过极坐标方程求出三角形的边长后求面积即可．（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得t的值，再代入l的参数方程，得曲线C与直线l的交点坐标．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为为参数）．消去参数得它的普通方程为：，将其化成极坐标方程为：，分别代入和得|OA|2=|OB|2=，因∠AOB=，故△AOB的面积S=|OA||OB|=．（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得（t﹣2）2=0，∴t=2，代入l的参数方程，得x=2，y=，∴曲线C与直线l的交点坐标为（2，）．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．23．（10分）已知函数f（x）=|2x+1|﹣|2x﹣3|，g（x）=|x+1|+|x﹣a|（1）求f（x）≥1的解集（2）若对任意的t∈R，都存在一个s使得g（s）≥f （t）．求a的取位范围．【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得g（x）min≥f（x）max，利用绝对值三角不等还分别求得g（x）min 和f（x）max，解不等式可得g（x）min≥f（x）max，求得a的范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|2x+1|﹣|2x﹣3|，故f （x）≥1，等价于|2x+1|﹣|2x﹣3|≥1，等价于①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得≥x≥，解③求得x＞，综上可得，不等式的解集为{x|x≥}．（2）若对任意的t∈R，都存在一个s使得g（s）≥f （t），可得g（x）min≥f（x）max．∵函数f（x）=|2x+1|﹣|2x﹣3|≤|2x+1﹣（2x﹣3）|=4，∴f（x）max=4．∵g（x）=|x+1|+|x﹣a|≥|x+1﹣（x﹣a）|=|a+1|，故g （x）min=|a+1|，∴|a+1|≥4，∴a+1≥4，或a+1≤﹣4，求得a≥3，或a≤﹣5，故要求的a的范围为{x|a≥3，或a≤﹣5 }．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，属于基础题．。