天津工业大学高等代数期末试卷 2010
(完整word版)2010(2)高等代数2试卷A
2010-2011学年第2学期 高等代数II 期末考试试卷（A 卷） 一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内。
1. 设21,V V 是线性空间V 的子空间，则下列集合不是V 的子空间的是（ ） (A) 21V V ⋃ (B) 21V V + (C) 21V V ⋂ (D) }0{1⋂V 2. 欧氏空间的度量矩阵一定是（ ） (A) 正交矩阵； (B) 正定矩阵； (C) 上三角矩阵； (D) 下三角矩阵. 3. 设A 是3阶方阵，它的特征值分别为0、1、2，则下列矩阵可逆的是（ ）(A ) 2A ; (B) 2A A +; (C) I A +; (D) 2I A -. 4. 设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换σ： (),n A P σξξξ=∈，则1dim((0))σ-和dim(())n P σ分别为（ ） (A) ,r n r -； (B) ,r r ； (C) ,n r r -； (D) ,n r n r --.5. 对于任意一个n 级实对称矩阵A ，则（ ）(A) A 的特征值的绝对值等于1;(B) A 有n 个不同的特征值;(C) A 的任意n 个线性无关的特征向量两两正交;(D) 存在正交矩阵T ，使1T AT T AT -'=为对角形矩阵.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）6. 设123,,εεε是线性空间V 的一组基，112233x x x αεεε=++，则由基123,,εεε到 基231,,εεε的过渡矩阵T ＝ ，而α在基321,,εεε下的坐标是 .7.已知a 是数域P 中的一个固定的数，而1{(,,...,),1,2,...,}n i W a x x x P i n =∈= 是1n P +的一个子空间，则a ＝ ，而dim()W _________.8. 在欧氏空间4R 中，已知(2,1,3,2),(1,2,2,1)αβ==-，则α= ，α与β的夹角为_________.9. 如果1V , 2V 是线性空间V 的两个子空间, 且()1dim 3V =, ()2dim 2V =,()12dim 4V V +=,那么()12dim V V ⋂为________10. 设矩阵A 和B 相似，其中A =20022311x -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，B =10002000y -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, x =_______，y =______.三、判断题（本大题共5小题，每小题2分，满分10分）11. 设σ为n 维线性空间V 的一个线性变换，则由σ的秩＋σ的零度＝n ，有1()(0)V V σσ-=⊕.（ ）12. 设σ是线性空间V 的一个线性变换，12,,...,s ααα线性无关，则向量组12(),(),...,()s σασασα也线性无关.（ ）13. 线性空间V 中任一非零向量皆为数乘变换K 的特征向量.（ ）14. 设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈,并且(,)0αβ=，则,αβ线性无关.（ ） 15. n 维欧氏空间V 上的正交变换在任一组标准正交基下的矩阵皆为正交矩阵．（ ）四、计算题（本大题共25分）16. (满分8分) 在4P 中，求由1234,,,ηηηη到1234,,,ξξξξ的过渡矩阵，其中1234(1,2,1,0),(1,1,1,1),(1,2,1,1),(1,1,0,1)ηηηη=-=-=-=--1234(2,1,0,1),(0,1,2,2),(2,1,1,2),(1,3,1,2)ξξξξ===-=17. （满分17分）设二次型12341234(,,,)22f x x x x x x x x =+ （1）写出这个二次型的矩阵A ；（2分） （2）求A 的特征值及其线性无关的特征向量；（8分） （3）求一个正交线性替换X =TY ，将1234(,,,)f x x x x 化为标准形. （7分） 五、证明题（本题共30分）18. (满分8分) 设A ，B 都是实对称矩阵，证明：存在正交矩阵T ，使得1T AT B-=的充分必要条件是A ，B 有相同的特征值.19.（满分12分）设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换且2σ=σ,证明：（1）1(0){()|};V σασαα-=-∀∈（6分）（2）1(0)().V V σσ-=⊕（6分）20.(满分10分) 已知σ是n 维欧氏空间V 的一个正交变换，证明：σ的不变子空间W 的正交补W ⊥也是σ的不变子空间．。
高代10真题 2
2010年招收硕士研究生入学考试试卷一、填空题（每小题，满分30分）1、当t =________，多项式3231x x tx -+-有重根。
2、写出4级行列式所有带有正好并且含有因子23a 的项_______________。
3、设4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知123,,ηηη是它的三个解向量，且12(1,2,3,4)ηη'+=，3(2,3,4,5)η'=，该方程组的通解为___________。
4、向量组123,,ααα与向量组12,ββ生成相同子空间⇔______________。
5、实二次型21232121323(,,)242f x x x x x x x x x x =+++的秩、正负惯性指数与符号差为_________。
二、简答题；6、判别二次型222123123121323(,,)55484f x x x x x x x x x x x x =+++--是否正定。
7、设1V 和2V 分别是齐次线性方程组122...0n x x nx +++=与12...n x x x ===的解空间，证明：数域P 上n 维列空间12n P V V =⊕(1)n >。
8、求矩阵131616576687A ⎛⎫⎪=--- ⎪ ⎪---⎝⎭的不变因子、初等因子、若当标准型和有理标准型。
9、求向量组1(1,1,2,1,0)α=-，2(2,2,4,2,0)α=--，3(3,0,6,1,1)α=-，4(0,3,0,0,1)α=的秩，一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示。
10、设,A B 为同阶正定矩阵（1）若AB BA =，且A B -为正定矩阵，证明：22A B -也是正定矩阵。
（2）若A B -为正定矩阵，问：22A B -是否一定是正定矩阵？ 三、解答题11、,a b 取什么值时，线性方程组1234512345123451234513232337443222x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x b++++=⎧⎪+++-=⎪⎨++++=⎪⎪+++-=⎩有解？在有解的情形，求一般解。
高等代数2009-2010第一学期期末试卷答案
高等代数（北大版）第一学期考试卷答案一、选择题（每小题3分，共24分）1.Ｄ2.Ｃ3.Ｂ4.Ｄ5.Ａ6.Ｂ7.Ｃ8.Ａ二、填空题（每小题3分，共１８分）1．322(1)5(1)7(1)1x x x -+-+-- 2．2x + 3．1()2n n +- 4．)1,,1,1( c x = 5．d6．⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-3/13/1003/23/100005200211A三、计算题（本大题共３个小题，共2２分.请写出必要的推演步骤和文字说明）１．（6分）设b ax x x x x f +++-=23463)(，1)(2-=x x g ，a 与b 是什么数时，)(x f 能被)(x g 整除？解：方法一、利用辗转相除法，得余式：7)3()(++-=b x a x r ，………………………………………..4分由已知， 7,3-==b a ……………………………………………..2分方法二、由于)(x f 能被)(x g 整除，而1)(2-=x x g 的零点为1和-1，所以1和-1也应是)(x f 的零点，即04)1(=++=b a f 和 010)1(=+-=-b a f …………5分 故7,3-==b a …………………………………………………...….1分２．（8分）已知B AX X +=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101111010A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=350211B ，求矩阵X 。
解：由 B AX X += 得 B X A E =-)(而 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-201101011101111010100010001A E 可逆…………….2分可以求得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--11012312031)(1A E ……………………………………….. .3分 所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-11012312031)(1B A E X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--350211=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110213………………3分３．（８）b a ,取什么值时,线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++bx x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325432154321334536223231有解？在有解的情形求一般解。
高等代数2期末考卷
高等代数II 》课程期末考试试卷一、 选择题（每小题3分，共12分）1．设(){},,|,W a a b a b a b =+-∈R ，这里R 为实数集，则 （ ）(A) W 与2R 同构。
(B) W 与3R 同构。
(C) W 与2R 的一个真子空间同构。
(D) 2R 与W 的一个真子空间同构。
2. 设1V ，2V 是偶氏空间V 的两个子空间，则2V 是1V 的正交补的充要条件是 ( ) (A) 0 ,2121=+=V V V V V (B) 1V ⊥2V(C) 2121dim dim dimV ,V V V V V +=+= (D) 0),(,2121=∈∈∀+=βαβα有，且 V V V V V3. 设A 是欧氏空间V 的线性变换，则A 是正交变换的必要而非充分条件是( ) (A) βαβαβα , , ,=∈∀A A V ， (B) ααα=∈∀A V ,(C) ),(),( ,βαβαβα=∈∀A A V ，(D) A 在V 的任何一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵（注：其中,表示两个向量的夹角，（,）表示该空间的内积。
）4. 设A 是线性空间V 的线性变换，n W W ,,1 都是V 的一组A -不变子空间，且n W W V ⊕⊕= 1，则V 中一定存在一组基，使A 在该基下的矩阵是( ) (A) 对角矩阵 (B) 反对称矩阵 (C) 可逆矩阵 (D) 准对角矩阵二、 判断题（对的打√，错的打×）（每小题3分，共12分）1. 若两个n m ⨯的-λ矩阵)(λA 与)(λB 有相同的秩,则)(λA 与)(λB 等价 ( ).2. 在3R 空间中，A 是V 中任一向量在xoy 平面上的垂直投影的线性变换，则 (i) Im ker {0}.A A = ( )； (ii) .ker Im V A A =+ ( )3. 欧氏空间中保持长度不变的变换是正交变换. ( )4. 多项式1416623-+-x x x 在有理数域上不可约. ( )三、 填空题（每小题4分，共16分）1. 若矩阵A 的全部初等因子为22)2(,)1(,1+--λλλ，则A 的不变因子为 .2. 设τσ,是2R 空间的线性变换，定义为,,),,(),(),,0(),(R y x x y y x x y x ∈∀== τσ则2(23)(,)x y στ-= .3. 已知133092)(23-+-=x x x x f 有一个根为,32i -则)(x f 在实数域上典型分解式为=)(x f .4．设s 为有限维复线性空间上的一个线性变换，l 为s 的一个特征值，若12,r r 分别表示s 的属于特征值l 的特征子空间和根子空间的维数，3r 表示l 的重数，则123,,r r r 的大小关系满足 。
2010年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题 (文科)(含详解)(word版)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学(文史类)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I 卷1至3页。
第Ⅱ卷4至11页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．答I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 g 棱柱的体积公式V=Sh.()()()P A B P A P B ⋃=+ 其中S 表示棱柱的底面积.h 表示棱柱的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)i 是虚数单位，复数31ii+-=（ ） (A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i 【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。
进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i 2改为-1.331+24121-(1-)(1+)2i i i ii i i i +++===+（）() 【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心，不要失分哦。
(2)设变量x ，y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数z=4x+2y 的最大值为（ ）（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）2 【答案】B【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，如图由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时z 取得最大值10.(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ）(A)-1 (B)0 (C)1 (D)3 【答案】B【解析】 本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题。
高代(一)期末试题
高等代数（一）期末试题一．填空题（每空2分，共20分）：1．在由几个不同元素组成的一个排列中，所有逆序的总数，叫做这个排列的（ ）。
2．1020003400-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（ ）。
3．设A 为三阶方阵，det 3A =-，则det (2)A A -=（ ）。
4．若矩阵A 的秩1r >，则A 的1r -阶子式的值（ ）。
5．设2是多项式43228x x ax bx -++-的二重根，则a =（ ），b =（ ）。
6．设,A B 都是n 阶可逆矩阵，矩阵00A C B⎛⎫=⎪⎝⎭的逆矩阵为（ ）。
7．如行列式111213212223313233a a a a a a d a a a =，则111213212223313233333222a a a a a a a a a =---（ ）。
8．设,a b 是整数且（ ），那么存在一对整数q 和r ，使得b aq r =+且（ ）。
满足以上条件的整数q 和r 是唯一确定的。
二．选择题（每小题2分，共10分）：1．一个n 阶行列式，如果他的第1列上除了1111n a a ==外其余元素都为零，那么这行列式等于（ ）。
（A ）1111(1)n n M M +-- （B ）111n A A + （C ）111n M M - （D ）1111(1)n n A A ++-2．设3512A --⎛⎫=⎪⎝⎭，则A 的伴随矩阵*A =（ ）。
（A ）3512--⎛⎫ ⎪⎝⎭ （B ）2513⎛⎫⎪--⎝⎭(C)2153-⎛⎫ ⎪-⎝⎭(D) 1235⎛⎫⎪--⎝⎭3．初等方阵（）（A ）都是可逆阵 （B ）所对应的行列式的值等于1（C ）相乘仍为初等方阵 （D ）相加仍为初等方阵 4．若集合{}|,F a bi a b R =+∈（这里R 是实数集）是数域，则,a b 应满足条件（ ）。
（A ）,a b 是整数 （B ）,a b 是有理数 （C ）a 是有理数，b 是实数 （D ）,a b 是任意数5．设A 是三阶方阵，*A 是其伴随矩阵。
高等代数期末复习试题
数学系《高等代数》期末考试试卷年级专业学号姓名注：考试时间120分钟，试卷满分100分。
题号一二三四五总分签名得分一装订线得分阅卷教师一．判断题（正确的在题后的括号内打“√”；错误的在题后的括号内打“×”.每小题2分，共18分）1．向量空间一定含有无穷多个向量. ( ) 2．若向量空间V的维数dimV2,则V没有真子空间. ( )3.n维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵必为可逆矩阵. ( ) 4．线性变换把线性无关的向量组映成线性无关的向量组. ( ) 5．每一个线性变换都有本征值. ( ) 6．若向量是线性变换的属于本征值的本征向量，则由生成的子空间为的不变子空间. ( )7．保持向量间夹角不变的线性变换是正交变换. ( ) 8．两个复二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩. ( )9.若两个n阶实对称矩阵A,B均正定,则它们的和A B也正定. ( )得二分阅卷教师二．单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分）1.下列命题不正确的是 ( ).A.若向量组{1,2,,r}线性无关，则它的任意一部分向量所成的向量组也线性无关；B.若向量组{1,2,,r}线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的线性组合；C.若向量组{1,2,,r}线性无关，且每一i可由向量{1,2,,s}线性表示，则r s ；D.n(n0)维向量空间的任意两个基彼此等价.2.下列关于同构的命题中，错误的是( ).A．向量空间V 的可逆线性变换是V 到V 的同构映射；B．数域F 上的n 维向量空间的全体线性变换所成向量空间与数域F 上的所有n 阶矩阵所成向量空间同构；C．若是数域F 上向量空间V 到W 的同构映射，则1是W 到V 的同构映射；D．向量空间不能与它的某一个非平凡子空间同构.3．n 阶矩阵A 有n 个不同的特征根是A 与对角矩阵相似的 ( ).A．充分而非必要条件； B．必要而非充分条件；C．充分必要条件； D.既非充分也非必要条件．21x14．二次型q(x 1,x 2,x 3)(x 1,x 2)31x的矩阵是( ).22121A．； B．3111；310210C．310； D．1100000005.实二次型q(x 1,x 2,x 3)x Ax 正定的充分且必要条件是 ( ).A．A0； B．秩为3；C．A 合同于三阶单位矩阵； D．对某一x (x 1,x 2,x 3)0,有x Ax 0.三得分阅卷教师三．填空题（每小题2分，共10分，把答案填在题中横线上）1.复数域C 作为实数域R 上的向量空间，它的一个基是________.2.设F n{(x 1,x 2,,x n)xiF ,i 1,2,,n}是数域F 上n 元行空间，对任意(x 1,x 2,,x n)F n ，定义((x 1,x 2,,x n ))(0,0,x 1,x 2,,x n 2)，则是一个线性变换，且的核Ker()的维数等于______.3.若A 是一个正交矩阵，则A 2的行列式A 2=________.4.在欧氏空间R 3中向量1(1,0,0)与2(0,1,0)的夹角=______.5.实数域Ｒ上5元二次型可分为_______类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价.得四分阅卷教师四．计算题（每小题14分，共42分）1．求齐次线性方程组x 1x 2x 3x 403x 12x 2x 3x 40x 2x 2x 03425x14x 23x 33x4的解空间的一个基，再进一步实施正交化，求出规范正交基．1002．设A 021,求A 的特征根及对应的特征向量.问A 是否可以对角化？032若可以，则求一可逆矩阵T ，使T 1AT 为对角形.3．写出3元二次型q(x1,x2,x3)x1x24x2x3的矩阵．试用非奇异的线性变换，将此二次型变为只含变量的平方项.五得分阅卷教师五．证明题（每小题10分，共20分）1．设1,2为n阶矩阵A的属于不同特征根，1,2分别是A的属于1,2的特征向量，证明12不是A的特征向量.2．设是n维欧氏空间V的正交变换，且2为单位变换，某一规范正交基的矩阵，证明A为对称矩阵．A是关于V的数学系《高等代数》期末考试试卷（A 卷）年级专业学号姓名注：考试时间120分钟，试卷满分100分。
天津科技大学2009-2010学年度第一学期工科高等数学一、一多学时期末考试试卷
年级：2009 专业：工科各专业 课程号：1101170006第 2 页 （共 9 页）(C) 0)(0='x f 且0)(0<''x f ； (D) 0)(0='x f 或)(0x f '不存在.4．若()f x 的导函数为sin x ，则()f x 的一个原函数可能为（ ）.(A) 1sin x +； (B) 1sin x -； (C) 1cos x +； (D) 1cos x -. 4．若函数()f x 可导，则下列式子中不正确．．．的是（ ）. (A) d()d ()d f x x f x x =⎰； (B) d ()d ()d f x x f x x =⎰； (C) ()d ()f x x f x C '=+⎰；(D)d ()()f x f x =⎰.5.定积分1⎰与1的大小关系是（ ）(A) 前者大； (B) 前者小； (C) 相等; (D) 无法判定 5. 若()f x 在[,]a b 上可积，则积分()d baf x x ⎰（ ）存在.(A) 一定； (B) 一定不； (C) 不一定； (D) 以上都不对.二、填空题（每题2分，共22分）（基本公式共11个，其中极限1个，导数4个含二阶导数及导数值，积分6个含一个利用面积）1. 1lim 12xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭; 1lim 1xx x →∞⎛⎫-=⎪⎝⎭；2.()tan dx dx =;()sec dx dx=； 3. ()arcsin2d x =； ()arccot 2d x =；年级：2009 专业：工科各专业 课程号：1101170006第 4 页 （共 9 页）2. 已知cos x y e x =，求()0y ''. 2. 已知22cos (1)x y e =+，求dy dx..五、求积分（每题6分，共18分）（第二类换元法，分部法求积分各一个 分段函数的定积分计算一个） 1. ln x xdx ⎰;1. 2xx e dx ⎰;2.;2. ;3.若函数21,1,(),1x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩ 求定积分dx x f ⎰20)(. 3. 若函数2,1,()1,1x x f x x x ⎧≤=⎨+>⎩ 求定积分dx x f ⎰20)(六、综合应用题. （每题7分，共21分）（定积分应用旋转体体积 极值，切线 难题）1. 求由2x y =，1=x 及x 轴所围成图形绕y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.1. 求由2x y =，1=x 及x 轴所围成图形绕绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.2. 求直线01=--y x 与抛物线2x y =的最近距离．年级：2007 专业：工科各专业 课程号：1101170006第 6 页 （共 9 页）一、选择题（每题3分，共30分）三、求极限（每题5分，共15分）四、(6分)2009-2010学年第一学期答题纸第7 页（共9 页）年级：2007 专业：工科各专业课程号：1101170006第8 页（共9 页）2009-2010学年第一学期草稿纸第9 页（共9 页）。
天津工业大学年第学期期末考试卷分析
课程名称上课班Leabharlann 学生人数一、期末考试成绩统计
期末考试日期实际参加考试学生人数
（一）阅卷情况
是否有标准答案
是否有评分标准
是否流水
阅卷
阅卷人员结构（人数）
授课教师
命题教师
其他教师
（二）考试结果
最高分
最低分
及格率
平均分
（三）成绩分布
得分区间
0-59
60
61-69
70-79
80-89
90-99
100
人数
百分率
二、总评成绩统计
（一）总评成绩构成情况
总评成绩构成
期末考试成绩
期中考试成绩
平时成绩
所占比例（%）
（二）总评成绩结果
最高分
最低分
及格率
平均分
（三）总评成绩分布
得分区间
0-59
60
61-69
70-79
80-89
90-99
100
人数
百分率
授课教师
填表日期年月日
(完整word版)09-10学年第二学期《高等代数》期末考试卷1
一、单选题（32分. 共8题, 每题4分）1.下列说法错误的是________.A)若向量组线性无关，则其中任意两个向量线性无关；B)若向量组中任意两个向量线性无关，则线性无关；C)向量组线性相关；D)若向量组线性无关，则线性无关.设n维列向量线性无关, 则n维列向量2.A)向量组可由向量组线性表示；B)向量组可由向量组线性表示；C)向量组与向量组等价；D)矩阵与矩阵相抵.3.设线性方程组的解都是线性方程组的解，则____.A) ；B) ；C) ； D).4.设n阶方阵A的伴随矩阵，非齐次线性方程组有无穷多组解，则对应的齐次线性方程组的基础解系____.A) 不存在； B) 仅含一个非零解向量；C) 含有两个线性无关的解向量； D) 含有三个线性无关的解向量.5.下列子集能构成的子空间的是________.A) ； B)；C) ； D).6.设V是数域K上的线性空间, V上的线性变换在基下的矩阵为A且，若在基下的矩阵为B, 则________.A) ； B) 2； C) ； D)不能确定.7.设V是维向量空间，和是V上的线性变换，则的充分必要条件是________.A) 和都是可逆变换； B) Ker=Ker；C) ； D) 和在任一组基下的表示矩阵的秩相同.8.设是线性空间V到U的同构映射, 则下列命题中正确的有________个.(Ⅰ) 为可逆线性映射；(Ⅱ) 若W是V的s维子空间, 则是U的s维子空间；(Ⅲ) 在给定基下的表示矩阵为可逆阵；(Ⅳ) 若, 则.A) 1 B) 2 C) 3D) 4二、填空题（32分. 共8题,每题4分）1.若矩阵经过行初等变换化为, 那么向量组的一个极大无关组是_________________, 其余向量由此极大无关组线性表示的表示式为________________.2.设3维向量空间的一组基为，则向量在这组基下的坐标为____.3.设，均为线性空间V的子空间，则____.4.数域上所有三阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是____.而____是它的一组基.5.已知上的线性变换定义如下：，则Ker=____.Im=____.6.设是数域上维线性空间V到维线性空间U的线性映射, 则为满射的充分必要条件是____.（请写出两个）7.设和是线性空间V的两组基，从到的过渡矩阵为. 若是V上的线性变换且，则在基下的表示矩阵是____ .8.设是线性空间V上的线性变换，在基下的表示矩阵为，其中A为矩阵，则存在V的一个非平凡-不变子空间____.三、(8分) 设线性空间V的向量组线性无关，，考虑向量组.求证：或者该向量组线性无关，或者可由线性表示.四、(10分) 设,分别是数域上的齐次线性方程组与的解空间. 证明.五、(10分) 设. 证明：的充分必要条件是存在，，使得且.六、 (8分) 设V, U, W是有限维线性空间，，是线性映射. 求证：存在线性映射使得的充分必要条件是.附加题: (本部分不计入总分)设V, U, W 是有限维线性空间且，，是线性映射. 证明：存在可逆线性映射使得的充分必要条件是.一、填空：（每空2分，共30分）1、n 元二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数______________。
天津工业大学高等代数期末试卷 2010
天津工业大学（2010—2011学年第二学期）一.填空题（每题4分,共20分）1.设3阶矩阵A 的特征值为1,1,2-，则25A E -_______。
2.已知矩阵146025003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的最小多项式为____________________。
3．数域P 上所有三阶对称矩阵构成的线性空间的维数是________，而________________________________________________是它的一组基。
4．设V 是数域P 上的线性空间,V 上的线性变换ϕ在基12,,...,n ααα下的矩阵为A 且||2A =，若ϕ在基11,,...,n n ααα-下的矩阵为B ,则||B =_____________。
5．已知2R 上的线性变换ϕ定义如下：((,))(0,)a b a ϕ=-，Ker ϕ=____________________，Im ϕ=____________________。
二．单项选择题（每小题4分，共20分）1．设,A B 是n 阶矩阵，则下列说法错误的是()。
(A)若,A B 是正交阵，则AB 是正交阵(B)若,A B 是正定阵，则A B +是正定阵(C)若,A B 是正交阵，则B AB '是正交阵(D)若,A B 是正定阵，则1B AB -是正定阵2．设A 是n 阶对称正定阵，则12n A A E -+-是()。
(A)正定阵(B)半正定阵(C)负定阵(D)半负定阵3．设1212(,),(,)a a b b αβ==是二维行空间2R 中的任意两个向量，则2R 对以()为规定的内积构成欧氏空间。
(A)1221(,)a b a b αβ=+；(B)1122(,)a b a b αβ=-；(C)1122(,)35a b a b αβ=+；(D)1122(,)1a b a b αβ=++.4．设12,V V 是欧氏空间V 的子空间，12,⊥⊥V V 分别是12,V V 的正交补空间，则下列叙述中错误的是()。
2010年高等代数(A)卷参考答案
2010高等代数1（A 卷）参考答案一、填空题 1．n <; 2. 0; 3. 1627-; 4. 0λ≠且3λ≠-; 5. 6,16a b =-= 二、判断题 6.⨯7.⨯8.√9.⨯ 10. √三、单项选择11. (D) 12. (B) 13. (A) 14. (B) 15 (B)四、解答题 16. 解： x+1∴ （f(x),g(x)）=x-3 （7分）17. 解：（4分）2131415143r r r r r r r r ---+−−−→3242523r r r r r r +-+−−−→1234511231111133542563157A ααααα⎛⎫⎪- ⎪⎪= ⎪- ⎪⎪----⎝⎭1213141511123021202120636402123ααααααααα⎛⎫ ⎪---- ⎪ ⎪- ⎪---- ⎪ ⎪+⎝⎭12132142152111230212000020000300002αααααααααααα⎛⎫⎪---- ⎪⎪+- ⎪-- ⎪ ⎪++⎝⎭∴12345()2,r α,α,α,α,α=12α,α是它的一个极大无关组， （6分） 且3124125123α=2α-α,α=α+α,α=-2α-α （7分） 18．解：方程组的系数行列式为 （1分）（1） 当2k ≠-且1k ≠ 时，方程组有唯一解; （2分）（2）2k =-时，（3）()3()2R A R A =≠=，此时，方程组无解; （4分）（3）1k =，此时方程组有无穷多解， （6分）通解为 ：1212111010,,001k k k k k R --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
（7分）19．解：因为A = ， 所以A 可逆， （2分）则（3分） 21111(2)(1)11k k k k k=+-111111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭111100000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2131r r r r --−−−→()()13R A R A n ==<=015153522321≠=1123123x x A x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211112121124A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭13112412122111r r ↔-⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭21212112403360339r r r r -+-⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪-⎝⎭2132112403360003r r r r -+-⎛⎫ ⎪→-- ⎪⎪⎝⎭()123100123100123100123100225010021210018301018301351001018301021210001541211221201005551381010151515412001151515A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∣E =→---→---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫--⎪⎪ ⎪→---→ ⎪⎪ ⎪-⎪⎝⎭31341515151381010151515412001151515⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭即 1231341515151381151515412151515A -⎛⎫- ⎪⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭（6分） 则（7分）20．解： 二次型的矩阵为 （1分）()21311212213113111221122400110110100221100112240211002110042211011201010201010010022110001210001200001r r r r r r c c c c c c r r c A -+++-+←−→←→--⎛⎫- ⎪⎛⎫---⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪∣E =-−−−→-−−−→-−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭3111110011001222211110100010022220041111001022c −----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪−−−−→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭123231341515151113812015151530412151515x x x ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭021201110A -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭则非退化线性变换X CY == （6分） 把二次型()123,,f x x x 化222123x x x +- 。
《高等代数》(下)课程期末试卷
莆田学院2002―2003学年第一学期数学2001级数学专业《高等代数》（下）课程期末试卷一、完成下列计算（30分）1． 设)(ij a A =是n 级正定矩阵，而),,,(21'=n x x x α，),,,(21'=n y y y β在n R 中定义内积),(βα为 ),(βαβαA '=.(1) 求基)0,,0,1(1 =ε,)0,,0,1,0(2 =ε,, )1,0,,0,0( =n ε的度量矩阵;(2) 求基)1,,1,1(1 =η,)1,,1,1,0(2 =η,, )1,0,,0,0( =n η的度量矩阵.2.求复矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111122254A 的若当标准形,确定其最小多项式. 3设f 是数域P 上3维线性空间),,(321εεεL V =的一个线性函数, 如果1)(31=+εεf ,1)2(32-=-εεf ,3)(21-=+εεf ,求).(332211εεεx x x f ++二、用正交线性替换化二次型212x x 312x x +412x x -322x x -422x x +432x x +为标准形，现已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----0111101111011110的所有不同的特征值为1和3-. （20分） 三、设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换且=2σσ,证明 （20分） 1.σ的核}|)({)(V Ker ∈∀-=αασασ;2.σ的值域)Im(σ}|)({V ∈==αασα;3. σ的特征值为1或1-;4.若τ也是数域P 上线性空间V 的线性变换, 则)(σKer 和)Im(σ都是τ的不变子空间的充要条件为τσστ=.四、设)(ij a A =是n 级实矩阵,且其行列式0det ≠A . （20分）1 证明存在正交矩阵Q 和每个对角元素皆为正的上三角矩阵T 使得QT A =;2.上述分解是否具有唯一性?为什么?3.证明对n 级正定矩阵S 来说, 必有每个对角元素皆为正的上三角矩阵T 使得T T S '=.五、设m εεε,,,21 是n 维欧氏空间)(R V n 的一个标准正交组， （10分）1． 证明 对任意)(R V n ∈α总有221||),(αεα≤∑=m i i；2．对一般的欧氏空间来说，上述不等式是否总成立？为什么？。
高等代数期末考试卷
大学期末考试试卷（A 卷）2010学年第一学期 考试科目： 高等代数Ⅰ考试类型：（闭卷） 考试时间： 90 分钟学号 姓名 年级专业 题号 一二三四五总分得分 评阅人一、填空题（35=15分）1、设A 是n 阶方阵，12,X X 均为线性方程组AX b =的解，且12X X ≠，则A 的秩 ；2、已知213233220343131D-=--，则1112131433A A A A -+-＝ ；3、若A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且|A |=12，则1*|(3)2|A A --= ；4、如果向量()()()21231,1,1,1,1,1,1,1,1,(1,)ααα=+λ=+λ=+λβ=λ,λ，β可以由123,,ααα唯一地线性表示，那么λ满足：；5、设2是多项式43228xx ax bx -++-的二重根，则a =，b =。
二、判别题（25=10分）（请在正确的小题对应的括号内打“√”，否则打“”）6、如果()d x 是多项式() f x 和()g x 的一个最大公因式且()()()d x u x f x =()()v x g x +，那么()u x 和()v x 唯一。
（ ） 7、设A 为n 阶方阵，若AX AY =，且0A ≠，则X Y =。
（ ） 8、若矩阵A 有一个非零r 阶子式，则()r A r ≥。
（ ）9、含有n 个未知数的线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩等于n 。
（ ） 10、若A 是正定矩阵，那么1A -也是正定矩阵。
（ ）三、单项选择题（35=15分）11、若集合{}|,Fa bi ab R =+∈（这里R 是实数集）是数域，则,a b 应满足条件（ ）。
（A ）,a b 是整数 （B ）,a b 是无理数 （C ）a 是有理数，b 是实数 （D ）,a b 是任意实数 12、初等矩阵（ ）（A ）所对应的行列式的值等于1 （B ）都是可逆矩阵 （C ）相乘仍为初等矩阵 （D ）相加仍为初等矩阵 13、设rs <, 两个n 维向量组：{}12s α,α,⋯,α(1)， {}12r β,β,⋯,β(2) 下述正确的是（ ）（A ）若(1)可由(2)线性表出, 则(1)线性相关； （B ）若(1)可由(2)线性表出, 则(1)线性无关；（C ）若(1)可由(2)线性表出, 则当(2)线性无关时, (1)线性无关； （D ）若(1)可由(2)线性表出, 则仅当(2)线性相关时, (1)线性相关。
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(天津卷,解析版)
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（某某卷，解析版）本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I 卷1至3页。
第Ⅱ卷4至11页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．答I 卷前，考生务必将自己的某某、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。
3．本卷共10小题，每小题5分，共50分。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么棱柱的体积公式V=Sh.()()()P A B P A P B ⋃=+其中S 表示棱柱的底面积.h 表示棱柱的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)i 是虚数单位，复数31ii+-= (A)1+2i (B)2+4i(C)-1-2i(D)2-i 【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。
进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i 2改为-1.331+24121-(1-)(1+)2i i i ii i i i +++===+（）() 【温馨提示】近几年某某卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心，不要失分哦。
(2)设变量x ，y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数z=4x+2y 的最大值为（A ）12（B ）10（C ）8（D ）2 【答案】B【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，如图由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时z取得最大值10.(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为(A)-1 (B)0 (C)1 (D)3 【答案】B【解析】 本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题。
天津工业大学(2010—2011学年第 一 学期)《高等数学》期中试卷
a =_ 1 ______, b =_ 1 _____;
2
2
分析：通分后利用罗比达法则或泰勒公式
6、 已知 y ln sin x ，则 dy ____ 1 ___d (sin x) ， dy __cotx_____dx ； sinx
《 高等数学 》第 1 页 共 10 页
7、 设 在 [0,1] 上 f (x) 0 ， 则 f (0), f (1), f (1) f (0) 的 大 小 顺 序 是 _______
少阶泰勒公式。
三 满分 20 得分
计算（每题 4 分）：
1．已知
f
(x)
x
1 x
；求
df
dx
解：
df dx
ln x
(e x )
x
1 x
(1
ln x2
x)
注意：幂指函数的导数应该如何处理。
《 高等数学 》第 4 页 共 10 页
2．设
y
sin[
f
(x 2 )] ，其中
f
具有二阶导数，求
2. tan x ln x x0
= e lim x ln x x0
= e lim ln x x0 1 x
1
= e
lim
x0
x 1
x2
=1
《 高等数学 》第 2 页 共 10 页
分析：应先确定是哪种类型的未定型，再确定求极限的方法，本题是 0 型
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学
天津工业大学（2010 —2011 学年第 1 学期）
院
《高等数学》期中试卷(2010.11 理学院)
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5．已知 上的线性变换 定义如下： ，
Ker =____________________，Im =____________________。
二．单项选择题（每小题4分，共20分）
(A) ；(B) ；
(C) ；(D) .
4．设 是欧氏空间 的子空间， 分别是 的正交补空间，则下列叙述中错误的是( )。
(A) ；(B) ；
(C)若 ，则 ；(D)若 ，则 .
5．下列实数域上的行向量能构成 上的向量空间的是( )。
(A) ；
(B) ；
(C) ；
(D)上面三个都不能构成。
三.计算题（每题8分，共16分）
1．设 是 阶矩阵，则下列说法错误的是( )。
(A)若 是正交阵，则 是正交阵(B)若 是正定阵，则 是正定阵
(C)若 是正交阵，则 是正交阵(D)若 是正定阵，则 是正定阵2．设 是n阶对称正定阵，则 是( )。
(A)正定阵(B)半正定阵(C)负定阵(D)半负定阵
3．设 是二维行空间 中的任意两个向量，则 对以( )为规定的内积构成欧氏空间。
六设 是四维线性空间 的一组基，已知线性变换 在这组基下的矩阵为 ，求 的核与值域。
七综合题（每题 5分，共10分）
1如果 是 级实对称矩阵,且足 ，证明： 是正定矩阵。2.设 是 阶正交矩阵,且 ,证明 为不可逆矩阵
.
天津工业大学（2010—2011学年第二学期）
一.填空题（每题4分,共20分）
1.设3阶矩阵 的特征值为 ，则 _______。
2.已知矩阵 ，则 的最小多项式为____________________。
3．数域 上所有三阶对称矩阵构成的线性空间的维数是________，而
________________________________________________是它的一组基。
1．判别二次型 是否正定。
2．设 ，已知 可逆，求 。
四．证明题（每题8分，共16分）
1．设 是 矩阵,证明： 是反对称矩阵当且仅当对任一 维列向量 ,都有 .
2．设 , 分别是数域 上的齐次线性方程组 与 的解空间.证明 .
五．解答题
设有二次型
(1)写出二次型的矩阵; (2)求一个正交变换 ，将二次型化为标准型.