线性系统的数学模型

第二章 线性系统的数学模型
描述控制系统输入、输出变量及内部变量之间关 系的数学表达式称为系统的数学模型。
★ 描述控制系统的输入－输出变量数学模型:
微分方程、传递函数、方框图、频率特性
★ 描述控制系统的内部变量数学模型： 状态空间
说明 ◆ 要分析自动控制系统的性能，必须先建立该系统 的数学模型； ◆ 一个物理系统，要处理的问题或要达到的精度不 同，得到的数学模型也不同。
3.反馈
R(S) E(S) ＋ B(S) H(S) C(S)
G(S)
负反馈 正反馈 单位反馈：H(S)＝1
主 要 内 容
§2－1 微分方程 §2－2 传递函数
§2－3 典型环节的传递函数及动态响应
§2－4 电气网络的运算阻抗与传递函数 §2－5 方框图 §2－5 反馈控制系统的传递函数
§2－1
微分方程
对于线性定常系统, 可以用线性常系数微分方程 作为其数学模型，如 a 0dnc (t)/dtn +a1dn-1c (t) /dtn-1+…＋anc (t) =b0dmr(t)/dtm +b1dm-1r(t)/dtm-1+…+bmr(t) c(t): 系统的输出； r(t): 系统的输入； a0……an ; b0……bm 均为实数，均由系统本身的结
对电气网络，可以不列微分方程，仅利用运算电 路，经过简单的代数运算，就可以求得传递函数！
§2－5 控制系统的方框图
方框图是以图形表示系统的数学模型；
通过方框图，能够非常清楚地表示出信号在系统各
环节之间的传递过程；
方框图可以方便地求出复杂系统的传递函数； 方框图是分析控制系统的一个简明而有效的工具。
八.二阶振荡环节 1、传递函数
C (S ) 1 G(S ) 2 2 R( S ) T S 2TS 1
T —— 时间常数 ζ —— 阻尼比 2、阶跃响应
九. 延迟环节：输出为输入信号的延迟。
1、动态方程
c (t ) r (t )
2、传递函数
C (s) G(S ) e s R( s)
式中：k 为比例系数; z1…zm称为传递函数的零点; p1…pn称为传递函数的极点。
零点和极点是在复数平面上的点，因此可以是实数 （在实轴上），也可以是复数，如为复数必为共轭 出现。 例： G ( S )
S2 S 6 4 S 13
Im
-2 S2 -j3
以零极形式表示，并在复平面上标出。
电气系统
电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、 运算放大器等元件组成的电路，又称电气网络。 无源网络：由无源元件组成的电气网络。 不含电源的器件：R、L、C等。 有源网络：包含有源元件的电气网络。 含电源的器件：运算放大器。
电气系统 列写电气网络的微分方程要用到以下规律：
KCL电流定律： KVL电压定律：
X2(S)
X3(S)
X 3 ( s ) X 2 ( s ) K 3C ( s )
dc (t ) T2 c (t ) K 2 x3 (t ) dt
K3C(S)
④
T2 sC ( s ) C ( s ) K 2 X 3 ( s )
K2 C (s) X 3 (s) T2 s 1
解：G(S)的零极形式为：
S1 －6 j3
S 6 G(S ) ( S 2 j 3)( S 2 j 3)
Re
S1、S2= -2 ±j3 为一对共轭复数极点。
（7）系统的特征方程 系统传递函数分母等于零所得的方程，即
令
特征根：特征方程的根，也是传递函数的极点。
§2－3 典型环节的传递函数及动态响应
R(S)
G(S)
C(S)
（4）传递函数的自变量是S，所以传递函数时系统的 复频域描述，而微分方程则为系统的时域描述。
（5）对实际系统，传递函数是S的有理分式 设
（6）传递函数的零、极点、增益模型
( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) C ( s) G (s) k R(s) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
说明
理想微分环节很难应用，引入 实际微分环节。
1、传递函数
C ( s ) KTs G ( s) R( s ) Ts 1
2、阶跃响应
1 KTs KT K C ( s ) R ( s )G ( s ) s Ts 1 Ts 1 s 1 T
六.比例微分环节（一阶微分环节） 1、传递函数
三.积分环节 1、传递函数
C (S ) 1 G(S ) R( S ) S
2、阶跃响应
1 1 1 C ( S ) R ( S )G ( S ) 2 S S S
四.比例积分环节 1、传递函数
Ki C (S ) 1 G(S ) Kp Kp 1 R( S ) S T S i
T1sX 2 ( s ) K1 X 1 ( s ) X 2 ( s ) (T1s 1) X 2 ( s ) K1 X 1 ( s )
X1(S) K1 X 2 (s) X 1 (s) T1 s 1 K1 T1s+1 X2(S)
③
x3 (t ) x2 (t ) K 3c (t )
说明：延迟环节可能使系统不稳定，τ越大，对系 统的稳定性越不利。
§2－4 电气网络的运算阻抗与传递函数
一.运算阻抗 元件 R L C 运算阻抗（复阻抗） R sL
i (t ) u (t )
1 sC I (s)
U (s)
二.伏安关系 时域电路
uR RiR
di L uL L dt duC iC C dt
c(t): 系统的输出； r(t): 系统的输入； a0……an ; b0……bm 均为实数，均由系统本身的结
构参数所决定的，且n≥m。
令c(t)和r(t)及其各阶导数在t=0－时的值为零,
（零初始条件）
两端拉氏变换得到以复变量S为自变量的代数方程： （a0Sn+a1Sn-1+…+an-1S+an)C(S) =(b0Sm+b1Sm-1+…+bm-1S+bm)R(S) 经过整理得：
C (s) G( s) K (1 Ts ) R( s)
或
K (Ts 1)
2、阶跃响应
1 K C ( s ) R ( s )G ( s ) K (1 Ts ) KT s s
说明 与微分环节类似，在实际中所用的比例微分环节也 是带惯性环节的。 实际中的比例微分环节的传递函数：
X0(S)＝ Xi(S)× Gn (S)
（3）比较点：信号的代数和，具有相同量纲
X1(S) + X1(S)+ X2(S) X1(S) +
X1(S) －X2(S)
X2(S)
+
X2(S)
－
（4）引出点：
X (S) X (S) X (S)
只是传送信号，并不提取能量，不是求和！
2、方框图的绘制 列系统各环节的微分方程组 例题
构参数所决定的，且n为系统的阶数，n≥m。
建立微分方程的一般步骤
(1)确定输入量和输出量； (2) 增设中间变量，围绕输入量、输出量及中间量， 列微分方程组。 (3)消去中间变量，整理出只含有输入量和输出变量 及其各阶导数的微分方程； (4)标准化，将输出量及其各阶导数放在等号左边， 将输入量及其各阶导数放在等号右边，各阶导数项 按阶次由高到低排列。
传递函数的定义：零初始条件下系统输出与输入的
拉氏变换之比。
说明
（1）由于拉氏变换只是线性定常微分方程的数学变换， 故传递函数仅为线性定常系统的数学模型。 （2）传递函数由系统本身的结构和参数决定，与输 入信号的具体形式和大小无关。
(3) C(S)= R(S)G(S)，信号传递的性质。
用方框图表示：
拉氏变换
方框图
系统的微分方程为：
x1 (t ) r (t ) c (t ) dx2 (t ) T1 K1 x1 (t ) x2 (t ) dt x3 (t ) x2 (t ) K 3c (t ) dc (t ) T2 c (t ) K 2 x3 (t ) dt
①
② ③
一.方框图的概念和绘制 1、方框图是传递函数的图解化表示，框图中各信号 均以s为自变量，反应系统中各个环节的连接关系。 构成方框图的基本符号有四种： （1）信号线： R(s)
箭头表示信号传递的方向，线上表明所对应的变量。
（2）函数方框： 方框中为各环节的传递函数
Xi(S) Gn (S) X0(S)
运算电路
U R (s) RIR (s) U L (s) sLI L (s)
1 U C (s) I C (s) sC
可见，运算阻抗可以当做普通电阻使用！
三.电路定律 时域电路 运算电路
节点
i(t ) 0 u(t ) 0
节点
I ( s) 0
回路
回路
U (s) 0
i 0
u 0
di L uL L dt duC iC C dt
元件的伏安关系： uR RiR
理想运算放大器：虚短、虚断
§2－2
一.定义 线性定常系统 →
传递函数
线性常系数微分方程
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) a0 a1 an 1 an c(t ) n n 1 dt dt dt d n r (t ) d n 1r (t ) dr(t ) b0 b1 bm 1 bm r (t ) n n 1 dt dt dt
容易画图。
二.环节间的连接关系 1.串联